Apoyo Visual 5

Dinmica

Enseanza e Investigacin Superior A. C. Todos los Derechos Reservados 2011

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Dinmica

Tema 5 Introduccin a la cintica plana de cuerpos rgidos


En un automvil describes una gran cantidad de movimientos mientras vas de camino hacia tu destino, puedes trasladarte en lnea recta o trasladarte de manera curvilnea, segn describa una recta o una curva el automvil mientras se ejecuta el movimiento. Las llantas, por su parte, describen un movimiento de rotacin y de traslacin durante todo el trayecto.

Introduccin al tema

Dinmica


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En este tema comenzars a descubrir ya no solo la cinemtica de cuerpos rgidos, sino la cintica plana de

cuerpos rgidos, la cual estudia las relaciones existentes entre las fuerzas que actan en un cuerpo

rgido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento

producido (Beer & Johnston, 1997).

Como puedes leer en la definicin, la cintica nos mostrar tambin las fuerzas que se producen durante

el movimiento. Recuerdas la segunda Ley de

Newton? La fuerza ser igual a la masa por la

aceleracin, por lo cual esta ser una frmula de inicio

para la demostracin de otras nuevas frmulas.

Introduccin al tema


En la fotografa puedes observar a un hombre que sube una

pendiente en una silla de ruedas.

Si este hombre frena, es capaz de

hacer rodar toda la silla de ruedas,

y voltearse, ya que l es quien

aplica la fuerza para mover la silla,

y tiene la posibilidad de aplicar los

frenos.

Introduccin a la cintica plana de cuerpos rgidos

Dinmica


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Si continas analizando el movimiento de la silla, considerndola como un cuerpo rgido, vers que sta

tiene un centro de masa G, el cual est en continuo

movimiento, y en torno a l es que el cuerpo se mueve.

En base a lo anterior, es que podemos calcular si la silla se volcara o no en caso de tener que aplicar los frenos

de una manera inesperada.




La cintica plana de cuerpos rgidos, la cual estudia las relaciones existentes entre las fuerzas que actan en un cuerpo rgido, la forma y

la masa del mismo, y el movimiento producido (Beer & Johnston, 1997).

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Para este principio vers a los cuerpos rgidos como si estuvieran de manera

simtrica con respecto a un plano de

referencia fijo. Como el trompo que se

ve en la fotografa, los cuerpos rgidos

estn sometidos a fuerzas y

momentos, los cuales pueden ser

tomados como si se aplicaran al plano

de referencia y proyectados hacia ste.

Principio del movimiento del centro de masa


Revisars a continuacin las frmulas del movimiento de traslacin y despus las del movimiento de

rotacin, partiendo de los siguientes diagramas:


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Todas las fuerzas: el magnetismo, la gravedad, electricidad, resortes, etc., que actan sobre el cuerpo

rgido se llaman fuerzas externas (fuerzas FA, FB, FC y

FD del diagrama de cuerpo libre de la diapositiva

anterior), y todas ellas sumadas son igual a la masa del

cuerpo rgido por la aceleracin de su centro de masa.

Si el centro de masa se encuentra en un punto denominado G (en el diagrama anterior se ven sus coordenadas y ), entonces: x y

GmaF

Movimiento de traslacin


Donde:

F= sumatoria de todas las fuerzas externas

m= masa del cuerpo rgido

a= aceleracin lineal del cuerpo rgido

GmaF


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Esta es la ecuacin de traslacin del centro de masa de un cuerpo. Si queremos dividir las fuerzas en sus componentes x y, entonces las frmulas sern:

En el diagrama cintico mostrado anteriormente se muestra el centro de masa G con estas dos componentes.

xGx amF )(

yGy amF )(



Si un automvil descompuesto que tiene una masa de 500kg es empujado en una explanada por un nio y un seor, imprimiendo una fuerza de 500N y 1000N respectivamente, cul ser la aceleracin horizontal que adquirir el automvil estando en neutral?

Solucin:

xGx amF )(

xGakgNN ))(500()1000()500(

2/3)( sma xG

Ejemplo

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Sabemos que nuestro planeta gira alrededor de su eje, y que tiene un centro de masa G, qu fuerzas influyen

en nuestro planeta para que se mueva?

Movimiento de rotacin


Si analizamos los momentos a los que el cuerpo rgido est sometido y que son originados por las fuerzas

externas, cuando los consideramos con respecto a un

punto denominado P que coincide con el centro de masa del cuerpo rgido G, llegamos entonces a la

siguiente frmula:

Donde:

IG = momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pasa por G.

a = aceleracin angular del cuerpo. MG = sumatoria de momentos con respecto a G, que

corresponde al centro de masa del cuerpo rgido.

aGG IM


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Utilizando el teorema de los ejes paralelos (que se estudiar en el tema siguiente), la ecuacin anterior se

puede expresar en trminos de la aceleracin en el

centro de masa G del siguiente modo (ver el glosario al

final):

2)()( a xyaa xPxG

2)()( a yxaa yPyG



Repitiendo algunos de los trminos anteriores, la suma

de momentos con respecto

al punto P de referencia

queda como:

aGyGxGP IamxamyM ])()([


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La suma de momentos de las fuerzas externas con respecto al punto P ( ), puede ser igualada a la suma

de momentos cinticos . De modo que:

Donde:

MP = sumatoria de momentos (de las fuerzas externas) con respecto al punto P.

(MK)P = sumatoria de momentos de las componentes de masa por aceleracin ( ), ms el

momento cintico producido por .

P

PK )(

PKP )(

)( Gam

aGI



Realiza el diagrama de cuerpo libre y el diagrama cintico para la siguiente barra giratoria de 10kg de masa. Determina tambin la aceleracin angular de la barra si el momento de inercia con respecto el eje que pasa por G es IG=0.25kgm

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Ejemplo

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Solucin


En base a estos diagramas, podemos utilizar la frmula:

En los siguientes temas se desarrollarn ms a fondo los movimientos de traslacin y de rotacin.

a)25.0(60 2kgmNm

2/240 srada

aGG IM


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Sabes nadar? Cuando mueves tus brazos para avanzar en el agua o mantenerte a flote, tus brazos giran alrededor de tus hombros y experimentan la fuerza externa del agua que intenta frenarlos. Con un anlisis cintico podramos mejorar tu tcnica de nado, si sabes acomodar tu centro de gravedad de un modo que disminuyas la oposicin al movimiento y aumentes tu aceleracin hacia el otro lado de la piscina.

Cierre


Los puntos ms importantes que has visto en este tema surgen de la aplicacin de la segunda ley de Newton, de la cual se deduce que la fuerza que se aplica a un cuerpo es directamente proporcional a la masa del cuerpo concentrada en su centro de masa por la aceleracin del mismo.

Partiste de la elaboracin del diagrama de cuerpo libre y el diagrama cintico para un cuerpo rgido, los cuales te ayudan a distinguir qu es lo que se te est preguntando en un problema, o cul es en realidad la incgnita si hay un problema en alguna mquina de la industria en la que te desempeas.

Cierre

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Analizaste el movimiento de traslacin y el de rotacin, obteniendo algunas frmulas que resumen el comportamiento de los cuerpos rgidos cuando son sometidos a este tipo de movimiento. Las frmulas ms importantes obtenidas fueron las siguientes:

Cierre

xGx amF )(

yGy amF )(

aGG IM

PKP )(


Hibbeler, R.C. (2010). Ingeniera Mecnica. Dinmica (12. ed.). Mxico: Pearson.

Beer, F. and Johnston R. Jr. (1997). Mecnica Vectorial para Ingenieros. Dinmica (6. ed.). Mxico: Mc Graw-Hill.

Referencias bibliogrficas

Dinmica


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Diseo de contenido: Ing. Alejandro Corts Leal

Coordinador de Calidad Acadmica de rea: Ing. Norma Yolanda Loera Hdz. MA y MED

Universidad Tec Milenio

Produccin y edicin del curso:

Tecnologa Educativa Universidad Virtual, ITESM

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