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Apuntes de Matemticas para 1
o
de
Ciencias
Jess Beato Sirvent
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2
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ndice general
I lgebra Lineal 13
1. Espacios Vectoriales 15
1.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Diagonalizacin real de matrices 21
2.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Nmeros complejos 27
3. Nmeros complejos 29
3.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III Anlisis real de funciones de una variable real 37
4. Funciones reales de variable real 39
4.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5. Clculo de primitivas 45
5.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.3. Racionales con races reales simples . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.4. Racionales con races reales mltiples . . . . . . . . . . . 51
5.2.5. Racionales con races complejas simples . . . . . . . . . . 51
5.2.6. Trigonomtricas: cambio t = tg(x
2
). . . . . . . . . . . . 51
5.2.7. Trigonomtricas: cambio t = tg(x) . . . . . . . . . . . . . 52
3
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4 NDICE GENERAL
5.2.8. Trigonomtricas: tipo
senm(x)cosn(x) dx . . . . . . . . 52
5.2.9. Trigonomtricas: tipos
sen(mx)cos(nx) dx;
sen(mx)sen(nx) dx;cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . 52
5.2.10. Irracionales: tipos
a2 b2x2; a2 + b2x2; a2x2 b2 . 535.2.11. Miscelnea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Aplicaciones de la integracin 59
6.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.1. Clculo de reas, longitudes y volmenes . . . . . . . . . 62
6.2.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV Anlisis real de funciones de varias variables reales 71
7. Funciones de varias variables reales 73
7.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.3. Coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas . . . . . 80
7.2.4. Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8. Derivadas parciales y direccionales. Gradiente 85
8.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2.2. Derivadas direccionales. Gradiente . . . . . . . . . . . . . 92
9. Diferenciabilidad 95
9.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . 97
10.Derivacin de funciones compuestas e implcitas 99
10.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.2.1. Derivacin de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . 100
10.2.2. Derivacin de funciones denidas implcitamente . . . . . 102
11.Extremos de funciones reales de dos variables 103
11.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
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NDICE GENERAL 5
12.Integrales dobles y triples 107
12.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.2.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.2.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.Integrales de lnea 115
13.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
V Soluciones 127
1. Soluciones al captulo 1 129
2. Soluciones al captulo 2 135
3. Soluciones al captulo 3 155
4. Soluciones al captulo 4 165
5. Soluciones al captulo 5 173
5.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.3. Racionales con races reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.4. Racionales con races reales mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.5. Racionales con races complejas simples . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6. Trigonomtricas: cambio t = tg(x
2
). . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.7. Trigonomtricas: cambio t = tg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.8. Trigonomtricas: tipo
senm(x)cosn(x) dx . . . . . . . . . . . . 1815.9. Trigonomtricas: tipo
sen(mx)cos(nx) dx;
sen(mx)sen(nx) dx;cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . . . . . . . 1825.10. Irracionales: tipos
a2 b2x2; a2 + b2x2;
a2x2 b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.11. Miscelnea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6. Soluciones al captulo 6 189
6.1. Clculo de reas, longitudes y volmenes . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7. Soluciones al captulo 7 203
7.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3. Coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas . . . . . . . . . 208
7.4. Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
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6 NDICE GENERAL
8. Soluciones al captulo 8 213
8.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.2. Derivadas direccionales. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9. Soluciones al captulo 9 223
9.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.Soluciones al captulo 10 227
10.1. Derivacin de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.2. Derivacin de funciones denidas implcitamente . . . . . . . . . 230
11.Soluciones al captulo 11 233
12.Soluciones al captulo 12 237
12.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
13.Soluciones al captulo 13 247
VI Apndices 257
A. Tabla de ejercicios resueltos 259
B. Ecuaciones rectangulares de algunas curvas planas 261
B.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
B.2. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
B.3. Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
B.4. Cisoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
B.5. Estrofoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
B.6. Lemniscata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
C. Ecuaciones polares de algunas curvas planas 263
C.1. Cardioides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
C.2. Lemniscatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
C.3. Caracoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
C.4. Rosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
C.5. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
C.6. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
C.7. Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
C.8. Espirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
D. Ecuaciones paramtricas de algunas curvas planas 267
D.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
D.2. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
D.3. Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
D.4. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
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NDICE GENERAL 7
D.5. Folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
E. Ecuaciones rectangulares de algunas supercies 269
E.1. Cudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
F. Exmenes de aos anteriores 271
F.1. 10 de Febrero de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
F.2. 2 de Julio de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
F.3. 1 de Septiembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
F.4. 1 de Diciembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
F.5. 15 de Junio de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
F.6. 6 de Septiembre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
-
8 NDICE GENERAL
-
ndice de guras
3.1. Ejercicio 3.17 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.2. Ejercicio 3.17 (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.3. Ejercicio 3.17 (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1. Ejercicio 6.1 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2. Ejercicio 6.1 (k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.3. Ejercicio 6.2 (a.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.4. Ejercicio 6.2 (a.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5. Ejercicio 6.2 (a.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.6. Ejercicio 6.2 (a.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.7. Ejercicio 6.2 (g.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.8. Ejercicio 6.2 (g.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.9. Ejercicio 6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.10. Ejercicio 6.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.1. Ejercicio 7.3 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.2. Ejercicio 7.3 (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.3. Ejercicio 7.3 (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4. Ejercicio 7.3 (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.1. Ejercicio 12.2 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.2. Ejercicio 12.3 (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.3. Ejercicio 12.4 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9
-
10 NDICE DE FIGURAS
-
Introduccin
A las
62 nias de mis e
2pii + 1 ojos:M
a
Jos, Mara y Ana.
apuntar:
1
[...] 4. Tomar nota por escrito de alguna cosa. [...] 18. Insinuar o
tocar ligeramente algn tema. [...] 19. Sugerir al que habla alguna cosa para que
recuerde lo olvidado o para que se corrija.
Estas tres acepciones del trmino apuntar dan signicado pleno al hecho de
llamar Apuntes de Matemticas a las pginas que tienes entre tus manos. No
pretenden ser un libro de Matemticas, o al menos segn la manera habitual
de entender este concepto, sino que tienen voluntad de servirte de guin de la
asignatura. Desde luego, el estudio de la misma no debe limitarse a recordar los
hechos contenidos en estas notas y en hacer los ejercicios propuestos en ellas, sino
que debe completarse con la lectura y estudio en distintos libros, especialmente
los indicados en la bibliografa. Te animo desde ahora a que hagas uso de la
Biblioteca para consultar, pues estoy convencido de que es la nica forma de
adquirir verdadero conocimiento, que es algo mucho ms profundo que la simple
adquisicin de informacin.
La adaptacin al modelo de crdito europeo ha supuesto bastantes novedades
desde un punto de vista didctico. Una de las consecuencias de esta adaptacin
ha sido el descenso del nmero de horas de docencia directa por parte del pro-
fesor. Este hecho ha provocado que las asignaturas tengan, si cabe, un carcter
prctico an ms acentuado. Por eso he incluido en estos apuntes las notas
tericas que usualmente se desarrollaban en clase. De esta forma, las clases im-
partidas por el profesor se limitarn, prcticamente, a la exposicin de ejemplos
que aclaren los conceptos y pongan de maniesto la aplicacin de los distintos
algoritmos que se trabajen a lo largo del curso.
La estructura de estos apuntes es la siguiente: Cada tema empieza con un
prontuario
2
, seguido de los enunciados de los ejercicios relativos al mismo. De-
spus de desarrollar todos los temas de esta forma, hay una parte dedicada a
1
Diccionario RAE. Vigsima edicin.
2
Resumen o breve anotacin de varias cosas a n de tenerlas presentes cuando se necesiten
11
-
12 NDICE DE FIGURAS
proporcionar las soluciones de todos y cada uno de los ejercicios propuestos en
los apuntes. Adems, algunos de estos ejercicios estn completamente resueltos,
a n de que puedan servir de modelos de aplicacin de algoritmos o de desar-
rollos de conceptos. Como novedad interesante, he incluido una parte dedicada
a actividades dirigidas listas para ser estudiadas y expuestas por los alumnos.
Es una forma de adelantar al tipo de enseanza que el Espacio Europeo de
Educacin Superior propone. Por ltimo, se encuentran los apndices. En los
cuatro primeros se aportan las ecuaciones de algunas curvas y supercies que se
usarn durante el curso. En el quinto apndice se encuentran exmenes de aos
anteriores, completamente resueltos.
Me gustara ahora hacerte un comentario sobre la enseanza y aprendizaje
de las Matemticas. Creo que el aprendizaje de las Matemticas se basa en dos
pilares fundamentales:
CONOCER+PENSAR
Adems estos dos pilares no son independientes sino que estn interrelaciona-
dos. A menudo, el pensar sobre un tema te hacer tener necesidad de ampliar
conocimientos y esta adquisicin de conocimientos te hace pensar mejor. Muchas
veces las ideas que nos parecen ms originales e inalcanzables, dejan de serlo al
localizarlas muchas veces en distintos contextos. Adems, la mayora de las oca-
siones pensar se traduce en relacionar hechos y procedimientos que ya tenemos
adquiridos. Evidentemente, aquellos ejercicios y/o problemas en los que slo se
requiere conocer algn hecho (denicin, algoritmo, teorema,...) para aplicarlo,
tienen un grado de dicultad menor que aquellos en los que adems se necesita
pensar un poco.
El hecho de que este manual est planteado de una forma eminentemente
prctica y que pongamos el nfasis en la utilizacin de las Matemticas como
herramienta para la Ciencia, no te debe hacer descuidar otros aspectos de las
Matemticas, imprescindibles para el buen desarrollo de sta y de cualquier dis-
ciplina cientca: el rigor en la expresin y en la escritura, la precisin, el detalle
y el razonamiento son piezas bsicas para que una mente cientca empiece a
funcionar bien. No lo olvides: Todo lo que de rigurosamente cientfico
tiene una disciplina, lo debe a su contenido matemtico.
El autor
Cdiz, Noviembre de 2005.
-
Parte I
lgebra Lineal
13
-
Captulo 1
Espacios Vectoriales
1.1. Prontuario
Denicin 1.1.1 Sea V un conjunto no vaco, en el que se han denido dosoperaciones:
Una ley de composicin interna llamada suma, que representaremos por
+:+ : V V V(u, v) 7 u+ v
Una ley de composicin externa sobre R, que representaremos por R:
R : R V V
(, v) 7 v
Se dice que la terna (V,+, R) tiene estructura de espacio vectorial real (o sobreR), si se verican las ocho siguientes propiedades:
1. Propiedad conmutativa: u+ v = v + u; u, v V2. Propiedad asociativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w; u, v, w V3. Existencia de elemento neutro: Existe V / u+ = u u V4. Existencia de elemento simtrico: para cada u V , existe un elemento,u V , llamado simtrico de u y tal que u+ (u) = .5. (u+ v) = u+ v; R; u, v V6. (+ )u = u+ u; , R; u V7. (u) = ()u; R; u V
15
-
16 CAPTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
8. 1 u = u; u VSi (V,+, R) tiene una estructura de espacio vectorial (e.v.), a sus elementosse les llama vectores y se representan por ~u. A los nmeros reales se les llamaescalares.
Denicin 1.1.2 Sea (V,+, R) un e.v. y F V . Se dice que F es un sube-spacio vectorial (s.e.v) de V si F tiene estructura de espacio vectorial con lasmismas operaciones denidas en V .
Teorema 1.1.1 (Caracterizacin de subespacios vectoriales) Sea (V,+, R)un e.v. y F V . Entonces F es subespacio vectorial de V si y slo si se cumplenlas dos siguientes condiciones:
1. ~u+ ~v F ; u, v F2. u F R; u FTeorema 1.1.2 (Caracterizacin de subespacios vectoriales) Sea (V,+, R)un e.v. y F V . Entonces F es subespacio vectorial de V si y slo si se cumplela siguiente condicin:
u+ v F ; , R u, v FDenicin 1.1.3 Sea (V,+, R) un e.v. Se dice que un vector ~v V es com-binacin lineal (c.l.) de los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} V si existen escalares{1, 2, . . . , n} R tales que:
~v = 1~u1 + 2~u2 + + n~unDenicin 1.1.4 Sea (V,+, R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un conjunto libre o son linealmenteindependientes (l.i.) si:
1~u1 + 2~u2 + + n~un = ~ 1 = 2 = = n = 0En caso contrario, es decir, si esta combinacin lineal igualada a
~ es posiblecon al menos uno de los escalares i; i = 1, 2, . . . , n distinto de 0, se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un conjunto ligado o son linealmentedependientes (l.d.)
Observacin 1.1.1 Consideremos los vectores de Rn:
~u1 = (u11, u21, . . . , un1), ~u2 = (u12, u22, . . . , un2), . . . , ~up = (u1p, u2p, . . . , unp)
Sea A la matriz formada con las componentes de estos vectores (por columnas),esto es:
A =
u11 u12 u1pu21 u22 u2p.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
un1 un2 unp
-
1.1. PRONTUARIO 17
Entonces se tiene
{~u1, ~u2, . . . , ~un} l.i. Rg(A) = p = no de vectoresObservacin 1.1.2 El mximo nmero de vectores linealmente independientes
en Rn es n.
Denicin 1.1.5 Sea (V,+, R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un sistema de generadores de V sicualquier vector de V se puede escribir como c.l. de dichos vectores.
Observacin 1.1.3 El mnimo nmero de vectores sistema de generadores en
Rn es n.
Denicin 1.1.6 Sea (V,+, R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman una base de V si son linealmente inde-pendientes y forman un sistema de generadores.
Teorema 1.1.3 En un e.v. todas las bases tiene igual nmero de vectores.
Denicin 1.1.7 Se llama dimensin de un e.v. (V,+, R), y representaremospor dim(V ), al nmero de vectores de una cualquiera de sus bases.
Observacin 1.1.4 dim(Rn) = n
Denicin 1.1.8 Sea (V,+, R) un e.v. y sea B = {~u1, ~u2, . . . , ~un} V unbase de V . Entonces cualquier vector de V se puede escribir como combinacinlineal de los vectores de B, de forma nica, es decir, para cada vector ~u Vexisten unos nicos {1, 2, . . . , n} tales que:
~u = 1~u1 + 2~u2 + + n~unA los coecientes {1, 2, . . . , n} de esta c.l. se les llama coordenadas del vector~u en la base B y se representa ~u(1, 2, . . . , n)B
Observacin 1.1.5 (Ecuaciones paramtricas e implcitas de un s.e.v.)
Sea F Rn un s.e.v. con dim(F ) = p. Sea B = {~u1 = (u11, u21, . . . , un1), ~u2 =(u12, u22, . . . , un2), . . . , ~up = (u1p, u2p, . . . , unp)} una base de F . Notemos por~x(x1, x2, . . . , xn) un vector genrico de F tal que ~x(1, 2, . . . , p)B. Entonces:
(x1, x2, . . . , xn) = 1(u11, u21, . . . , un1)+2(u12, u22, . . . , un2)+ +p(u1p, u2p, . . . , unp)Igualando componentes llegamos a:
x1 = 1u11 + 2u12 + + pu1px2 = 1u21 + 2u22 + + pu2p.
.
.
.
.
.
.
.
.
xn = 1un1 + 2un2 + + punp
Este conjunto de ecuaciones se conoce como ecuaciones paramtricas del sube-
spacio F . Obsrvese que el nmero de parmetros coincide con la dimensin delsubespacio. Eliminando estos parmetros llegamos a las ecuaciones implcitas
independientes del subespacio. Ntese de igual forma que:
no ecuaciones implcitas independientes = dim(Rn) dim(F )
-
18 CAPTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
1.2. Ejercicios
Ejercicio 1.1 Consideremos el conjunto R3 con las siguientes operaciones:
(x, y, z) + (x, y, z) = (x+ x, 2(y + y), 3z); (x, y, z), (x, y, z) R3
(x, y, z) = (x, y, z); R; (x, y, z) R3
Es R3 con las operaciones as denidas un espacio vectorial?
Ejercicio 1.2 Consideremos el conjunto R2 con las siguientes operaciones:
(x, y) + (x, y) = (x+ x, y + y); (x, y), (x, y) R2
(x, y) = (2x, 2y); R; (x, y) R2
Estudia si la terna (R2,+, .R) es espacio vectorial.
Ejercicio 1.3 Consideremos el conjunto R3 con las siguientes operaciones:
(x, y, z) + (x, y, z) = (x+ x + 1, y + y, z + z); (x, y, z), (x, y, z) R3
(x, y, z) = (x, y, z); R; (x, y, z) R3
Es R3 con las operaciones as denidas un espacio vectorial?
Ejercicio 1.4 Calcula a, b para que la matriz
( 11 a4 b
)sea combinacin
lineal de las matrices
(2 15 3
)y
(5 32 1
)Ejercicio 1.5 Estudia, en cada caso, si el sistema de vectores genera o no el
espacio vectorial indicado:
R3, {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)}R3, {(1,1, 0), (0, 6, 2), (1, 5, 2)}Ejercicio 1.6 Analiza la dependencia o independencia lineal de los siguientes
subconjuntos de vectores:
{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} R3
{(1, 2,1,2), (2, 3, 0,1), (1, 2, 1, 3), (1, 3,1, 0)} R4
{(1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2,3, 1, 2, 5)} R5
{1 x2, 3 x2 + x3, 3x2 4x3} R3[x]Ejercicio 1.7 Estudia, segn los distintos valores de a R, la dependencia oindependencia de los siguientes conjuntos de vectores:
{(2, a, 0), (5,1, a), (1,3, 1)} R3
-
1.2. EJERCICIOS 19
{(3,1, 2, 4), (3, a,1, 2), (4, 2, 0, 1)} R4
{(3,1, 2, 4), (3, a,1, 2), (4, 2, 0, 1), (7,a, 5, 7)} R4
{(a, 1, 0), (1 a, 1 + a, 2), (5a 1, 1 2a,a 2)} R3
Ejercicio 1.8 Averigua si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales
de R4:
A = {(3, , + , ) / , R}B = {(x1, x2, x3, x4) / x1.x2 = 0}C = {(x1, x2, x3, x4) / x1, x2 Z}D = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + x2 = 0, x3 x4 = 0}E = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + 2x4 = 7}F = {(x1, x2, x3, x4) / x1 = 3, x2 = 2, x3 = , x4 = }Ejercicio 1.9 Sean A = {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} y B = {(2, 3, 2), (1, 0, 1)} subcon-juntos de R3. Comprueba que son equivalentes.
Ejercicio 1.10 Determina si son equivalentes A = {(1, 2,1), (1, 1, 0)} yB = {(1, a+ 3,2), (2, 1, 1 a)}Ejercicio 1.11 Calcula a, b para que el vector (a, 1, b,5) pertenezca al sube-spacio engendrado por {(2, 1, 0, 4), (1, 1,1, 1)}Ejercicio 1.12 Demuestra que el conjunto A = {(x1, x2, x3, x4) R4 / x1 +x2 + x3 = 0, 3x2 2x3 + x4 = 0} es un subespacio vectorial de R4. Halla sudimensin, una base y unas ecuaciones paramtricas.
Ejercicio 1.13 Las ecuaciones paramtricas de un subespacio vectorial de R4son:
x1 = 3x2 = + x3 = 2x4 = 4Obtn las ecuaciones implcitas.
Ejercicio 1.14 Se considera el subespacio de R4 engendrado por los vectores{(1, 2, 0, 1), (2, 0, 7, 2), (0,1,2,2)}. Halla unas ecuaciones implcitas, unasparamtricas, una base y su dimensin.
Ejercicio 1.15 Se considera el subespacio de R4 engendrado por los vectores{ ~u1(1, 1,1, 0), ~u2(2,1, 1, 1)}. Halla unas ecuaciones implcitas, unas paramtri-cas, una base y su dimensin. Pertenece el vector (1, 0, 0, 0) a dicho subespa-cio?. Demuestra que el subespacio engendrado por { ~u1, ~u2} es el mismo que elengendrado por {(3, 0, 0, 1), (4, 1, 1,1)}
-
20 CAPTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicio 1.16 Dado el espacio vectorial (R3,+, .R), se pide:
Comprueba que {(2, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} es base de R3.Determina el subespacio generado por {(1, 0, 1), (0, 0, 1)} (una base, di-mensin, unas ecuaciones paramtricas y unas ecuaciones implcitas)
Comprueba que el conjunto {(1, 1, 1), (1, 1, 0)} R3 no es base.Comprueba que el conjunto {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} R3 no esbase.
Comprueba que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} R3 es base (sellama base cannica).
Ejercicio 1.17 Sean ~u1(1, 2); ~u2(4, 3); ~v1(1,1); ~v2(2, 3).Comprueba que los conjuntos B = { ~u1, ~u2}; B = {~v1, ~v2} son bases deR2.
Halla las coordenadas del vector ~w(2, 3) en la base B.
Halla las coordenadas del vector ~w(2, 3) en la base B.
Dado un vector ~v = ~u1 2 ~u2, encuentra las coordenadas de ~v en la baseB.
Dado un vector
~t cuyas coordenadas en la base B son (2, 1), encuentrasus coordenadas en la base B.
Ejercicio 1.18 Sea BC = {~e1, ~e2, ~e3, ~e4} la base cannica de R4. Se consideranlos conjuntos B1 = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} y B2 = { ~w1, ~w2, ~w3, ~w4} donde:
~v1 = ~e2 + 3~e4~v2 = ~e1 + ~e2~v3 = ~e1 ~e3 + 2~e4~v4 = ~e1 ~e2 ~e3 + ~e4
;
~w1 = 2~e1 2~e2 + ~e4~w2 = ~e1 + ~e2 + ~e3~w3 = 3~e1 + ~e3 ~e4~w4 = 2~e2 ~e3 + ~e4Prueba que B1, B2 son bases de R4.
Determina las coordenadas respecto de B1 del vector ~u R4 cuyas coor-denadas en B2 son (2, 1, 0,1)
-
Captulo 2
Diagonalizacin real de
matrices
2.1. Prontuario
Denicin 2.1.1 Sea A Mnn(R) y R. Se dice que es un autovalorreal de A (o valor propio) si existe un vector ~u Rn; ~u 6= ~ tal que:
A ~u = ~u
Nota 2.1.1 Para que tenga sentido el producto A~u, consideramos el vector ~ucomo vector columna, esto es:
~u =
u1u2.
.
.
un
Denicin 2.1.2 Sea A Mnn(R) y ~u Rn. Se dice que ~u es un autovectorde A (o vector propio) si existe un escalar tal que:
A ~u = ~u
En este caso, se dice que ~u es un autovector de A asociado al autovalor A.
Teorema 2.1.1 Sea A Mnn(R) y un autovalor de A. El conjunto de au-tovectores de A asociados a es un subespacio vectorial de Rn, que se denominasubespacio propio asociado al autovalor y se representa por V ()
Teorema 2.1.2 Autovectores correspondientes a distintos autovalores son lin-
ealmente independientes.
21
-
22 CAPTULO 2. DIAGONALIZACIN REAL DE MATRICES
Teorema 2.1.3 (Clculo de autovalores) Sea A Mnn(R). Los autoval-ores de A son las soluciones de la ecuacin:
0 = |A In|
donde In representa la matriz identidad de orden n. Esta ecuacin es llamadaecuacin caracterstica de la matriz A.
Teorema 2.1.4 (Clculo de autovectores) Sea A Mnn(R) y un auto-valor de A. Los autovectores de A asociados al autovector son las solucionesdel sistema de ecuaciones:
(A In)X = ~donde X representa la matriz de incgnitas, por columnas, esto es:
X =
x1x2.
.
.
xn
El sistema anterior representa, por tanto, unas ecuaciones implcitas del sube-
spacio vectorial V ()
Denicin 2.1.3 Sea A Mnn(R). Se dice que A es diagonalizable sobre Rsi existe una matriz D Mnn(R) diagonal y una matriz P Mnn(R) con|P | 6= 0 tales que:
P1 A P = DEn este caso, a la matriz D se le llama forma diagonal de A y a la matriz P sele denomina matriz de paso entre A y su forma diagonal.
Teorema 2.1.5 Sea A Mnn(R). La condicin necesaria y suciente paraque A sea diagonalizable sobre R es que se cumplan las dos siguientes condi-ciones:
Todos los autovalores de A son reales.
Para cada autovalor de A se verica:
dim(V ()) = multiplicidad()
Corolario 2.1.6 Si una matriz tiene todos sus autovalores reales y distintos,
es diagonalizable.
Teorema 2.1.7 (Clculo de la forma diagonal) Sea A Mnn(R) diago-nalizable sobre R. La forma diagonal D es la matriz diagonal que tiene en sudiagonal principal los autovalores de A, repetidos segn su multiplicidad.
-
2.2. EJERCICIOS 23
Teorema 2.1.8 (Clculo de una matriz de paso) Sea A Mnn(R) diag-onalizable sobre R. La matriz de paso P es un matriz que contiene, por colum-nas, los vectores de cada una de las bases de autovectores de los subespacios
V () asociados a la matriz A, en el mismo orden en el que los correspondientesautovalores fueron colocados en la forma diagonal.
Teorema 2.1.9 Toda matriz A Mnn(R) simtrica es diagonalizable con unamatriz de paso ortogonal. Para ello, basta elegir bases ortonormales de cada una
de las bases de los subespacios de autovectores asociados a A.
Teorema 2.1.10 Sea D = (dij)1i,jn Mnn(R) una matriz diagonal. En-tonces:
Dm =
dm11 0 00 dm22 0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 dmnn
Teorema 2.1.11 Sea A Mnn(R) diagonalizable con forma diagonal D ymatriz de paso P . Entonces:
Am = P Dm P1; m N
2.2. Ejercicios
Ejercicio 2.1 Halla los autovalores y autovectores correspondientes a las sigu-
ientes matrices:
A =
1 0 00 1 30 0 2
B =
2 1 25 3 31 0 2
C =
(2 43 13
)Ejercicio 2.2 Diagonaliza sobre R las siguientes matrices, en caso de que seaposible:
A =(
3 45 2
)
B =(
2 11 2
)
-
24 CAPTULO 2. DIAGONALIZACIN REAL DE MATRICES
C =
1 2 11 1 10 3 2
D =
3 1 04 1 04 8 2
E =
2 5 64 6 93 6 8
F =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
G =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
Ejercicio 2.3 Se considera la matriz:
A =
1 0 11 2 12 2 3
Es A semejante a una matriz diagonal real D?. En caso armativo, encuentrauna matriz D con esta condicin y una matriz de paso P entre A y D.
Ejercicio 2.4 Diagonaliza sobre R la matriz:
B =
3 1 11 3 11 1 3
Ejercicio 2.5 Sea la matriz:
G =
1 2 31 1 22 2 2
Se pide:
Halla su polinomio caracterstico as como los autovalores.
Halla los subespacios de autovectores (bases, dimensiones, ecuaciones paramtri-
cas e implcitas).
-
2.2. EJERCICIOS 25
Estudia su diagonalizacin sobre R.
Ejercicio 2.6 Sea la matriz:
H =
3 0 03 1 01 0 1
Se pide:
Halla su polinomio caracterstico as como los autovalores.
Halla los subespacios de autovectores (bases, dimensiones, ecuaciones paramtri-
cas e implcitas).
Estudia su diagonalizacin sobre R.
Ejercicio 2.7 Diagonaliza sobre R la matriz(a bb a
), siendo a, b R \ {0}
Ejercicio 2.8 Estudia para qu valores de a R la matriz A = a 0 01 1 0
a 1 a
es diagonalizable sobre R
Ejercicio 2.9 Determina para qu valores de a R son ortogonales los vectores{(a, a 1, a,1), (2a, a, 3, 1)}.Ejercicio 2.10 Encuentra una base ortonormal para el espacio generado por
los vectores {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}Ejercicio 2.11 Diagonaliza sobre R las siguientes matrices, a travs de unamatriz de paso ortogonal.
A =(
2 44 8
)
B =
7 2 12 10 21 2 7
C =
1 1 01 2 10 1 1
Ejercicio 2.12 Halla una matriz real diagonal D que sea semejante a la matriz
A =
3 1 11 0 21 2 0
. Encuentra tambin una matriz P ortogonal tal que D =
P1AP
-
26 CAPTULO 2. DIAGONALIZACIN REAL DE MATRICES
Ejercicio 2.13 Estudia para qu valores de a R es diagonalizable sobre R lamatriz:
A =
a 1 11 a 11 1 a
Ejercicio 2.14 Se considera la matriz F =
1 0 00 1 02 4 1
. Halla una ma-
triz P tal que P1FP sea diagonal y calcula Fn; n N.
Ejercicio 2.15 Calcula la potencia nsima de cada una de las siguientes ma-trices:
A =(
2 21 1
)
B =
0 7 61 4 00 2 2
C =
2 0 43 4 121 2 5
-
Parte II
Nmeros complejos
27
-
Captulo 3
Nmeros complejos
3.1. Prontuario
Denicin 3.1.1 Se llama conjunto de los nmeros complejos y se represen-
ta por C al conjunto de los pares ordenados de nmeros reales, dotado de lassiguientes operaciones:
1. Suma:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d); (a, b), (c, d) C
2. Producto:
(a, b) (c, d) = (ac bd, ad+ bc); (a, b), (c, d) C
3. Producto por un nmero real:
(a, b) = (a, b); (a, b) C ; R
Si z = (a, b) C, al nmero real a se le llama parte real del nmero complejoz y se representa por Re(z) y al nmero real b se le denomina parte imaginariadel nmero complejo z y se representa por Im(z). Al nmero complejo (0, 1) sele denomina unidad imaginaria y se representa por i. El nmero complejo (1, 0)se le denomina unidad real y se representa por 1.
Observacin 3.1.1 Los nmeros complejos con parte imaginaria 0 seidentican con los nmeros reales, a saber:
(a, 0) = a (1, 0) + 0 (0, 1) = a 1 + 0 i = a
Los nmeros complejos con parte real 0 se llaman imaginarios puros y seescriben:
(0, b) = 0 (1, 0) + b (0, 1) = 0 1 + b i = bi
29
-
30 CAPTULO 3. NMEROS COMPLEJOS
Cualquier nmero complejo (a, b) puede expresarse en la forma a + bi, asaber:
(a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a+ b iEsta forma de escribir un nmero complejo se llama forma binmica.
Los nmeros complejos no reales se llaman imaginarios.
Observacin 3.1.2 La unidad imaginaria verica:
i2 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1
por tanto
1 = i
Denicin 3.1.2 Dos nmeros complejos se llaman conjugados si tienen la
misma parte real y sus partes imaginarias son opuestas. El conjugado de z serepresenta por z.
Denicin 3.1.3 Se dene el mdulo de un nmero complejo z como el nmeroreal positivo que se obtiene como raz cuadrada positiva del producto de ese
nmero complejo por su conjugado. El mdulo de z, se representa por |z|, esdecir:
|z| = +z z
Observacin 3.1.3 Para efectuar la divisin de complejos en forma binmica,
se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:
z
w=z ww w =
z w|w|2
Teorema 3.1.1 Se verica:
i0 = 1; i1 = 1; i2 = 1; i3 = i
Sean n,m N tales que n = 4m+ r; 0 r < 4. Entonces in = ir.
Denicin 3.1.4 Una vez jado un sistema de referencia cartesiano en el
plano, a cada nmero complejo z = a + bi le corresponde un nico punto delplano, de coordenadas (a, b) que se denomina ajo de z.
Observacin 3.1.4 |z| es la longitud del segmento que une el origen conel ajo de z.
|z w| representa la distancia entre los ajos de z y de w.
El ajo de z es el simtrico respecto al eje horizontal del ajo de z.
El ajo de z es el simtrico respecto al origen del ajo de z.
-
3.1. PRONTUARIO 31
La suma de dos nmeros complejos se puede interpretar grcamente me-
diante la llamada regla del paralelogramo: Si por cada ajo trazamos una
recta paralela al segmento que une el origen con el otro ajo, el punto de
corte de estas dos rectas corresponde al ajo de la suma de los dos nmeros
complejos considerados.
Multiplicar un nmero complejo por la unidad imaginaria corresponder a
girar su ajo 90o sobre el origen en sentido contrario a las agujas del reloj.
Denicin 3.1.5 Se llama argumento de un nmero complejo z y se representapor arg(z), al ngulo que forma el segmento que une el origen con el ajo dez y el semieje horizontal positivo. A la nica determinacin de este ngulo enel intervalo [0, 2pi) se le denomina argumento principal de z y se representa porArg(z).
Denicin 3.1.6 Se llama forma polar de un nmero complejo z a la carac-terizada por su mdulo y su argumento. El complejo z se expresa en forma polarescribiendo:
z = |z|arg(z)Observacin 3.1.5 z = |z|2piArg(z)
z = |z|pi+Arg(z)Teorema 3.1.2 (Operaciones con complejos en forma polar) As se re-
alizan las operaciones en forma polar:
Producto:
M N = (M N)+
Cociente:
MN
=(M
N
)
Potenciacin:
(M)n = (Mn)n
Observacin 3.1.6 Multiplicar un nmero complejo z por otro nmero com-plejo w, con |w| = 1, corresponde a girar el ajo de z sobre el origen un nguloigual a Arg(w) en sentido contrario a las agujas del reloj.
Teorema 3.1.3 (Relacin entre la forma binmica y la forma polar) Sea
z = a+ bi. Entonces: |z| = +a2 + b2
Arg(z) = arctg(b
a
)
-
32 CAPTULO 3. NMEROS COMPLEJOS
Sea z = M. Entonces: {Re(z) = Mcos()Arg(z) = Msen()
De esta ltima expresin se deduce que:
z = M = M(cos() + isen())
Esta forma de expresar un nmero complejo se denomina forma trigonomtrica.
Teorema 3.1.4 Se verica:
ei = cos() + isen()
por tanto, un nmero complejo z = M se puede expresar en la forma:
z = Mei
Esta forma de expresar un nmero complejo se denomina forma exponencial.
Denicin 3.1.7 Sea z C. Se dene el logaritmo neperiano de z como:ln(z) = ln(|z|) + iarg(z)Se denomina determinacin principal del logaritmo, a:
Ln(z) = ln(|z|) + iArg(z)Denicin 3.1.8 Sean z, w C. Se dene:
zw = ewln(z)
Teorema 3.1.5 Sea z C y n N; n > 1. Existen exactamente n nmeroscomplejos w0, w1, . . . , wn1 que son races nsimas de z, es decir, wnk = z; k =0, 1, . . . , n 1. De hecho:{
|wk| = n|z|; k = 0, 1, . . . , n
Arg(wk) =Arg(z)+k2pi
n ; k = 0, 1, . . . , nTeorema 3.1.6 Los vrtices de las races nsimas de la unidad son los vr-tices de un ngono regular inscrito en la circunferencia de centro z = 0 y radior = 1.
Teorema 3.1.7 (Teorema fundamental del lgebra) Una ecuacin polinmi-
ca de grado n tienen exactamente n races complejas.
Teorema 3.1.8 Si un nmero complejo z es solucin de una ecuacin polinmi-ca con coecientes reales, el nmero complejo z es tambin solucin de la mismaecuacin.
Teorema 3.1.9 Toda ecuacin polinmica de grado impar con coecientes reales
tiene al menos una solucin real.
-
3.2. EJERCICIOS 33
3.2. Ejercicios
Ejercicio 3.1 Calcula:
(3 2i)(2 + 3i)3 4i
i13241
Ejercicio 3.2 Representa y expresa en forma trigonomtrica lo nmeros com-
plejos:
5
32
+52i(
5
32
+52i
)1
7
5
32
+52i5
3
2+
52i
Ejercicio 3.3 Calcula a, b para que
3b 2ai4 3i sea real y de mdulo la unidad.
Ejercicio 3.4 Cul es el argumento principal de un complejo z en cada unode los siguientes casos?
z es un nmero real positivo
z es un nmero real negativo
z es un nmero imaginario puro.
Ejercicio 3.5 Si z es un complejo arbitrario, demuestra que los complejos u =z2 + 12z + iy w =
z2 + 12z i son conjugados, y calcula ambos para z = 3 5i
Ejercicio 3.6 Expresa en forma polar los complejos:
i
13 + 3i
1 +
3i
12
3 2i
-
34 CAPTULO 3. NMEROS COMPLEJOS
Ejercicio 3.7 Expresa en forma binmica los nmeros complejos:
2pi2
2 3pi4
5pi4
1pi6
Ejercicio 3.8 Resuelve en C las siguientes ecuaciones:
z2 3z + 9 = 0z4 + 16 = 0
(1 + i)z3 2i = 0(1 + i)z3 zi = 0z3 (1 + i) = 0Ejercicio 3.9 Calcula el valor de a y c en la ecuacin z3 + az2 + cz + 5 = 0 si1 + 2i es una de sus races.
Ejercicio 3.10 Determina un nmero complejo z cuyo cuadrado sea igual a suconjugado.
Ejercicio 3.11 Halla dos nmeros complejos tales que su suma sea 1 + 6i y sucociente sea imaginario puro, suponiendo que la parte real del que se toma como
divisor al calcular el cociente es 1.Ejercicio 3.12 Calcula
i
1 + i
4i31 + i6
13i(
3 i)10
Ejercicio 3.13 Usando la frmula de De Moivre, calcula cos(3), sen(3) enfuncin de sen(), cos(). A partir de esas frmulas, expresa tg(3) en funcinde tg(). Repite el mismo ejercicio para el caso de un ngulo cos(4), sen(4), tg(4).
Ejercicio 3.14 Calcula las races sextas de la unidad.
Ejercicio 3.15 Expresa en forma exponencial los nmeros complejos:
-
3.2. EJERCICIOS 35
ei
5(cos(pi
3
)+ isen
(pi3
))1 +
3ie2 e
2i
Ejercicio 3.16 Halla el lugar geomtrico descrito por el ajo A de z sabiendoque el mdulo de z + 1 es igual a 2.
Ejercicio 3.17 Determina analtica y geomtricamente los conjuntos de com-
plejos z = x+ iy, tales que:
Re(z) + Im(z) = 1
|z| 1|z + 1| < |z 1||z i| |z + i||2z + 3| < 1|z| |2z + i|zz = |z|2z 3z + 2
= 2Ejercicio 3.18 Calcula el valor principal de:
ln(i)
ln(i)ln(1)ln(3 + 3i)
logi(2i)Ejercicio 3.19 Calcula:
ii(1 i
2
)(1+i)i1+i
(1 + i)(2+i)
-
36 CAPTULO 3. NMEROS COMPLEJOS
Ejercicio 3.20 Halla el mdulo y el argumento de z = ln(1 + i)i
Ejercicio 3.21 Determina analtica y geomtricamente los siguientes conjun-
tos:
{z C / |z + i| = 2}{z C / |z 1 + 2i| 2}
{z C / Arg(z) = pi4}
{z C / Arg(z i) = pi4}
{z C / 1 |z + 1| 2}{z C / |z + 2| = |z + 2i|}{z C / |z 1 + i| 3} {z C / |z + 1| > |z i|}
-
Parte III
Anlisis real de funciones de
una variable real
37
-
Captulo 4
Funciones reales de variable
real
4.1. Prontuario
Denicin 4.1.1 Sea a R, a = +, a = . Una funcin f(x) se diceque es un innitsimo en a, si lm
xa f(x) = 0
Denicin 4.1.2 Dos innitsimos f(x) y g(x) en a se dicen equivalentes si:
lmxa
f(x)g(x)
= 1
Nota 4.1.1 En los lmites que presentan la indeterminacin
(00
), puede susti-
tuirse un innitsimo por otro equivalente, si gura en productos o en cocientes
(nunca en sumas o restas)
Teorema 4.1.1 (Innitsimos equivalentes) Se tiene:
sen(x) x (x 0)
tg(x) x (x 0)
1 cos(x) x2
2(x 0)
ln(1 + x) x(x 0)
ax 1 xln(a) (x 0)
(1 + x)m 1 mx (x 0)
39
-
40 CAPTULO 4. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Teorema 4.1.2 Sea P (x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn un polinomio concoecientes reales y sea a R. Entonces, P (x) se puede escribir en potenciasde (x a), es decir:
P (x) = b0 + b1(x a) + b2(x a)2 + + bn(x a)n
donde:
b0 = P (a); bk =P k)(a)k!
; k = 1, 2, . . . , n
Denicin 4.1.3 Sea f : D R R, f n veces derivable en a D D.Se llama polinomio de Taylor de grado n de la funcin f en el punto a, yrepresentamos por Pn,a[f ](x) al polinomio:
Pn,a[f ](x) = f(a) +f (a)
1!(x a) + f
(a)2!
(x a)2 + + fn)(a)n!
(x a)n
Teorema 4.1.3 Se verican las siguientes propiedades:
f(a) = Pn,a[f ](a); f (a) = P n,a[f ](a); f(a) = P n,a[f ](a); f
n)(a) =
Pn)n,a[f ](a)
lmxa[f(x) Pn,a[f ](x)] = 0
Denicin 4.1.4 Sea f : D R R, f n veces derivable en a D D. Sellama resto del polinomio de Taylor de grado n de la funcin f en el punto a, yrepresentamos por Rn,a[f ](x), o trmino complementario a la expresin:
Rn,a[f ](x) = f(x) Pn,a[f ](x)
Observacin 4.1.1 En las condiciones anteriores
f(x) = Pn,a[f ](x) +Rn,a[f ](x)
A esta expresin se le denomina desarrollo de Taylor de grado n de la funcinf en el punto a.
Teorema 4.1.4 Sea f : (b, c) R, f n veces derivable en a (b, c). Se verica:
lmxa
Rn,a[f ](x)(x a)n = 0
Teorema 4.1.5 Sea f : (b, c) R, f n veces derivable en a (b, c). Se veri-can las siguientes expresiones para el trmino complementario:
Expresin de Lagrange del trmino complementario:
Rn,a[f ](x) =fn+1)(t)(n+ 1)!
(x a)n+1; t entre x y a
-
4.2. EJERCICIOS 41
Expresin de Cauchy del trmino complementario:
Rn,a[f ](x) =fn+1)(t)
n!(x t)n(x a); t entre x y a
Observacin 4.1.2 En el caso particular de que estemos haciendo el estudio
local en el punto x = 0, al desarrollo de Taylor resultante se le suele llamardesarrollo de Mc-Laurin.
Teorema 4.1.6 (Desarrollos de Mc-Laurin de las funciones elementales)
Se tiene:
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ + x
n
n!+
sen(x) = x x3
3!+x5
5! x
2n1
(2n 1)!
cos(x) = 1 x2
2!+x4
4! x
2n
(2n)!
ln(1 + x) = x x2
2+x3
3 + (1)n+1x
n
n+
Teorema 4.1.7 Sea f : (a, b) R, f n veces derivable en x0 (a, b). Supong-amos que se verica:
fk)(x0) = 0; k = 1, 2, . . . , n 1; fn)(x0) 6= 0Entonces:
Si n es par:
fn)(x0) > 0 f tiene un mnimo relativo en x0. fn)(x0) < 0 f tiene un mximo relativo en x0.Si n es impar, entonces f no tiene en x0 ni mximo ni mnimo relativo.En este caso, f tiene en x0 un punto de inexin.
4.2. Ejercicios
Ejercicio 4.1 Haciendo uso de innitsimos equivalentes, calcula:
lmx0
1 cos(x)x3
lmx1
sen(x2 1)x 1
lmx0
3x 2xx
-
42 CAPTULO 4. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
lmx0
xarctg(x
2
)cos(x)sen2(x)
lmx0
tg(x) sen(x)x3
lmx0
cotg(x)|1 cos(x)|
lmx0
(cos(x))cotg2(x)
lmx0
(x+ e2x)1x
lmx0
1xln
1 + x1 xEjercicio 4.2 Sea P (x) un polinomio de grado 4 tal que P (2) = 1; P (2) =0; P (2) = 2; P (2) = 12; P IV )(2) = 24. Determina P (1); P (0); P (1)
Ejercicio 4.3 Desarrolla por Mac-Laurin f(x) =1
1 + x
Ejercicio 4.4 Dado el polinomio P (x) = 3x4 + 2x3 + 5x2 + 2x+ 4, desarrllaloen potencias de (x+ 1).
Ejercicio 4.5 Calcula el polinomio de Taylor de grado n = 3 en el punto x = 0de la funcin f(x) = ee
x
.
Ejercicio 4.6 Calcula el polinomio de Taylor de grado n = 4 en el punto x = 0de la funcin f(x) = esen(x)
Ejercicio 4.7 Halla el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) = sen(x) enx =
pi
2.
Ejercicio 4.8 Halla el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) = cos(x) enx = pi.
Ejercicio 4.9 Halla el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = ex en x = 1
Ejercicio 4.10 Halla el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = ln(x) enx = 2
Ejercicio 4.11 Desarrolla por la frmula de Mac-Laurin la funcin f(x) = ex.
Ejercicio 4.12 Obtn una cota del error que se comete al tomar como valor
del nmero e la suma siguiente:
e = 1 +11!
+12!
+13!
-
4.2. EJERCICIOS 43
Ejercicio 4.13 Desarrolla por la frmula de Mac-Laurin la funcin f(x) =ln(1 + x).
Ejercicio 4.14 Justica la relacin:
1 + x ' 1 + x
2 x
2
8; 0 < x < 1
y acota el error cometido en la aproximacin.
Ejercicio 4.15 Demuestra que si x > 0, entonces se tiene:
3
1 + x < 1 +x
3 x
2
9+x3
16
Ejercicio 4.16 Calcula e0,4 con un error menor que una milsima.
Ejercicio 4.17 Halla la frmula de Mac-Laurin de la funcin f(x) = sen(x)hasta el grado 2n+ 1.
Ejercicio 4.18 Halla la frmula de Mac-Laurin de la funcin f(x) = cos(x)hasta el grado 2n
Ejercicio 4.19 Calcula los mximos, los mnimos y los puntos de inexin de
la funcin f(x) = x5 5x4 + 10x3 10x2 + 5x 1
Ejercicio 4.20 Halla los mximos, mnimos y puntos de inexin de f(x) =x4 + 8x3 + 24x2 + 32x+ 16
Ejercicio 4.21 Calcula los siguientes lmites, usando desarrollos de Taylor:
lmx0
x sen(x)x(1 cos(3x))
lmx0
[1
sen2(x) 1x2
]
lmx0
x ln(1 + x)(1 cos
(x2
))
lmx0
x sen(x)x tg(x)
lmx0
x sen(x)x3
lmx0
ln(1 + x) x1 cos
(x2
)
-
44 CAPTULO 4. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
lmx0
ln(1 + x2)x2
lmx0
sen(x)ex ax
lmx0
ln(x+ 1) sen(x) + 1 cos(x)tg(x) x
lmx0
tg(x) + 2sen(x) 3xx4
Ejercicio 4.22 Halla el desarrollo de Mac-Laurin de la funcin f(x) = eax
hasta el trmino de orden 2. Calcula el valor de a para que esta aproximacin
de la funcin, evaluada en x = 1, valga12.
Ejercicio 4.23 Obtn el desarrollo de Mac-Laurin correspondiente a la sexta
derivada de la funcin:
f(x) =ex ex
2Nota: Esta funcin se llama seno hiperblico y se suele representar por f(x) =sh(x).
Ejercicio 4.24 Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2 en x = 1, de la
funcin f(x) = xx, calcula una solucin aproximada de la ecuacin xx =52
-
Captulo 5
Clculo de primitivas
5.1. Prontuario
Denicin 5.1.1 Llamaremos primitiva de una funcin f a toda funcin Fcon el mismo dominio que f y tal que en todo punto x e su dominio s vericaF (x) = f(x).
45
-
46 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS
Teorema 5.1.1 (Tabla de primitivas inmediatas) Se tiene:
k dx = kx+ C
xn dx =
xn+1
n+ 1+ C; n 6= 1
1xdx = ln(x) + C
ex dx = ex + C
ax dx =
ax
ln(a)+ C
sen(x) dx = cos(x) + C
cos(x) dx = sen(x) + C
tg(x) dx = ln(cos(x)) + C
cotg(x) dx = ln(sen(x)) + C
1
cos2(x)dx = tg(x) + C
1
sen2(x)dx = cotg(x) + C
1
1 + x2dx = arctg(x) + C
1
1 x2 dx = arcsen(x) + C 1
1 x2 dx = arccos(x) + C
1
a2 + x2dx =
1aarctg
(xa
)+ C
1
a2 x2 dx = arcsen(xa
)+ C
1a2 x2 dx = arccos
(xa
)+ C
Existen dos integrales que aparecen frecuentemente y que se tratan como inmedi-
atas: 1
x2 1 dx = ln(x+x2 1) + C
1x2 + 1
dx = ln(x+x2 + 1) + C
Teorema 5.1.2 Se verican las siguientes propiedades:
-
5.1. PRONTUARIO 47f(x) dx+
g(x) dx =
[f(x) + g(x)] dx
k f(x) dx =
kf(x) dx
Teorema 5.1.3 (Mtodo de sustitucin o cambio de variable) Se utiliza
para integrales de la forma: f(g(x)) g(x) dx
Se realiza el cambio:
t = g(x)dt = g(x) dx
luego al sustituir queda:f(g(x)) g(x) dx =
f(t) dt
Teorema 5.1.4 (Mtodo de integracin por partes) Se usa cuando el in-
tegrando es un producto de un polinomio por una funcin trascendente o bien
es producto de funciones trascendentes. Se utiliza la frmula:u dv = u v
v du
Teorema 5.1.5 (Integracin de funciones racionales) Se trata de integrar
funciones del tipo: P (x)Q(x)
dx; P (x), Q(x) Z[x]
Distinguimos los siguientes casos:
1. grad(P (x)) grad(Q(x)). En este caso se debe hacer la divisin de P (x)Q(x), obteniendo as:
P (x)Q(x)
= C(x) +R(x)Q(x)
siendo C(x), R(x) el cociente y el resto respectivamente de la divisin an-terior. Por tanto, se vericar grad(R(x)) < grad(Q(x)) y estaramos enel siguiente caso.
2. grad(P (x)) < grad(Q(x)). Hallamos las races de Q(x) y distinguimos lossiguientes casos a su vez:
a) Q(x) slo tiene races reales simples {1, 2, . . . , n}. En este caso,el integrando se descompone en fracciones simples, as:
P (x)Q(x)
=A1
x 1 +A2
x 2 + +An
x n
-
48 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS
siendo Ak
x k dx = Akln|x k|; k = 1, 2, . . . , n
b) Q(x) slo tiene races reales pero al menos una de ellas mltiple. Sea una de stas races de multiplicidad r. Entonces, para esta raz aparecen r fracciones en la descomposicin en fracciones simples deP (x)Q(x), del tipo:
A1x +
A2(x )2 + +
Ar(x )r
siendoAk
(x )k dx =Ak
(k + 1)(x )k1 ; k = 2, 3, . . . , r
c) Q(x) tiene al menos dos races complejas conjugadas i. Seax2 + px+ q el polinomio de segundo grado que tiene como solucionesestas dos races complejas conjugadas. En primer lugar observamos
que se puede escribir:
x2 + px+ q = (x )2 + 2
Asociada a estas dos races complejas conjugadas, la descomposicin
en fracciones simples de
P (x)Q(x)contiene un sumando del tipo:
Mx+Nx2 + px+ q
donde:Mx+Nx2 + px+ q
dx =
Mx+N(x )2 + 2 dx =
MxM+M+N
(x )2 + 2 dx =
=
M(x )(x )2 + 2 dx+
M+N
(x )2 + 2 dx = I1 + I2
donde en I1 se hace el cambio t = (x )2 + 2 y se obtiene unlogaritmo neperiano y en I2 se saca factor comn
2y se obtiene
una integral del tipo arco tangente que se resuelve con el cambio t =x .
Teorema 5.1.6 (Integracin de funciones trigonomtricas) Distinguimos
los siguientes casos:
-
5.1. PRONTUARIO 49R(sen(x), cos(x)) dx. Se hace el cambio:
t = tg(x
2
); dx =
2dt1 + t2
sen(x) =2t
1 + t2; cos(x) =
1 t21 + t2
R(sen(x), cos(x)) dx, con R(sen(x),cos(x)) = R(sen(x), cos(x)).Se hace el cambio:
t = tg(x) ; dx =dt
1 + t2
sen(x) =t
1 + t2; cos(x) =
11 + t2
senm(x)cosn(x) dx. Distinguimos a su vez los siguientes casos:
m impar positivo. Se aparta un seno y se hace el cambio t = cos(x). n impar positivo. Se aparta un coseno y se hace el cambio t = sen(x). m,n pares. Se usan las siguientes identidades:
sen(x)cos(x) = sen(2x)2
; sen2(x) =1 cos(2x)
2; cos2(x) =
1 + cos(2x)2
sen(mx)cos(nx) dx;sen(mx)sen(nx) dx;
cos(mx)cos(nx) dx.
Se usan las identidades trigonomtricas:
sen(mx)cos(nx) =12
[sen((m+ n)x) + sen((m n)x)]
sen(mx)sen(nx) = 12
[cos((m+ n)x) cos((m n)x)]
cos(mx)cos(nx) =12
[cos((m+ n)x) + cos((m n)x)]
Teorema 5.1.7
a2 b2x2 dx. Cambio:
x =a
bsen(t)
a2 b2x2 = acos(t)
a2 + b2x2 dx. Cambio:
x =a
btg(t)
a2 + b2x2 =
a
cos(t)
-
50 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS a2x2 b2 dx. Cambio:
x =b
asec(t)
a2x2 b2 = btg(t)
5.2. Ejercicios
5.2.1. Cambio de variable
Ejercicio 5.1
5x4 + 6x
x5 + 3x2 + 1dx
4x
23x dx
x3
cos2(x4 + 2)dx
sen5(x)cos(x) dx
dx
x(ln(x))3dx
x 1
1 + (x2 2x)2 dxex
4 (ex 1)2 dx
5.2.2. Por partes
Ejercicio 5.2
(x+ 1)sen(x 2) dx
e2x+1sen(2x+ 1) dx
(x2 + 1)ex+1 dx
(x6 5x4 + 2x3 + 1)ln(x) dx
-
5.2. EJERCICIOS 51
5.2.3. Racionales con races reales simples
Ejercicio 5.3
x3 4x2 1 dx
3x4
x2 4 dxx2 3
x3 6x2 + 3x+ 10 dxdx
x3 + 3x2 x 3
5.2.4. Racionales con races reales mltiples
Ejercicio 5.4
x4 + 1
x3 + x2 5x+ 3 dxx3
x3 5x2 + 8x 4 dx3x 2
(x+ 1)2(x 1) dx1 2x
(x+ 4)(x+ 2)2dx
5.2.5. Racionales con races complejas simples
Ejercicio 5.5
1
(x2 + 4)xdx
x 2
x3 x2 + x 1 dxx 3
x2 2x+ 4 dx2x 1
x3 5x2 + 10x 6 dx
5.2.6. Trigonomtricas: cambio t = tg(x
2
)Ejercicio 5.6
dx
cos(x) + sen(x) + 3dx
8 4sen(x) + 7cos(x)
-
52 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVASdx
3 + 5cos(x)dx
sen(x) + cos(x)
5.2.7. Trigonomtricas: cambio t = tg(x)
Ejercicio 5.7
dx
9cos2(x) sen2(x)dx
sen2(x)cos4(x)dx
1 + tg(x)
5.2.8. Trigonomtricas: tipo
senm(x)cosn(x) dx
Ejercicio 5.8
sen5(x) dx
sen4(x)ctg3(x) dxtg3(x)sec2(x) dxsec2(x)cosec3(x)
dxsen6(x) dxcos4(2x) dxsen2(x+ 1)cos2(x+ 1) dxcos2(x)sen4(x) dx
5.2.9. Trigonomtricas: tipos
sen(mx)cos(nx) dx;
sen(mx)sen(nx) dx;
cos(mx)cos(nx) dx
Ejercicio 5.9
sen(6x)cos(3x) dx
-
5.2. EJERCICIOS 53cos(5x)cos(10x) dxcos(6x)sen(x+ 1) dxsen(4x+ 1)sen(4x 1) dx
5.2.10. Irracionales: tipos
a2 b2x2; a2 + b2x2; a2x2 b2
Ejercicio 5.10
2
4 2x2 dxx2
4 4x2 dxdx
x
3 + 2x2dx
2x2 8x
dx
5.2.11. Miscelnea de integrales
Ejercicio 5.11
ln
(x 1x+ 1
)dx
x 1
x2 x 2 dxx 32 x2 dx
dx
xsen2(ln(x))x2
x3 + xdx
Ejercicio 5.12
dx
1 + 3cos2(x)sen(6x)cos(x) dxx
7 + x2 dx(x3 + 2)ex3 dx
-
54 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVASsen2(ex)cos(ex)ex dx
Ejercicio 5.13
x+ 1
x3 + x2 6x dx x+ 1 dx
cosec3(x)cos2(x) dx
5x2 + 8
x3 + 2x2 + 4xdx
(7 + cos(x))5sen(x) dx
Ejercicio 5.14
(x+ 1)sen(2x) dx
dx
sen2(x)cos2(x)3sen(x) + 2cos(x)2sen(x) + 3cos(x)
dx
(x+ 1)arctg(x) dx
3x2 + 2x+ 2
x3 1 dx
Ejercicio 5.15
sen(3x)sen(x) dx
sen(2x)
1 + sen2(x)dx
cos(x)
sen2(x) + 2sen(x) + 1dx
x+ 1 dx
dx
x[1 + (ln(x))2]dx
Ejercicio 5.16
1 + tg(x)1 tg(x) dx
-
5.2. EJERCICIOS 55cos(x)esen(x) dx
ln
(x+ 1x 3
)dx
dx
sen8(x)cos(x)
cos2(sen(x)) 1 dx
Ejercicio 5.17
sec6(x) dx
xsen(x2 + 1)cos(x2 1) dx
dx
x3 6x2 + 12x 8x2 4x+ 1
3x3 6x2 + 3x dx
ex+1sen(x 1) dx
Ejercicio 5.18
dx
(1 + sen(x))2x
2x2 4 dx
5x2 13x
dx
7 dx
5 + cos(x)cotg5(x) dx
Ejercicio 5.19
x 3
x3 + 2x2 + 5xdx
sen3(x)ln(cos(x)) dx
(x 1)x 1 dx
-
56 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS3x+ 15x2 + 7
dx
3cos(x)
5cos(x) sen(x) dx
Ejercicio 5.20
cos(x)sen25(x)
dx
dx
cos(x) 2sen(x) + 1 5 x2 dx 1 + cos(2x) dx
dx
x(x2 + x+ 1)
Ejercicio 5.21
x2cos(x) dx
ex
e2x 3ex dxdx
x2
4 + x2xsen2(x2 + 1)cos(x2 + 1) dx
5sen(x) 5cos(x)2sen(x) + 4cos(x)
dx
Ejercicio 5.22
xarctg(x+ 1) dx
x 2x3 5x2 + 16x 30 dxx2ln
(x+ 1x 2
)dx
x+x
xdx
(x3 + x2 + 1)ex1 dx
-
5.2. EJERCICIOS 57
Ejercicio 5.23
x3sen(x 3) dx
x 2x+ 1
dx
sen(ln(x))xcos3(ln(x))
dx(sen2(x) + cos2(x)) dx
-
58 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS
-
Captulo 6
Aplicaciones de la integracin
6.1. Prontuario
Teorema 6.1.1 Sean f, g dos funciones integrables en I = [a, b]. Se vericanlas siguientes propiedades: b
a
f(x) dx = ca
f(x) dx+ bc
f(x) dx; c (a, b)
ba
f(x) dx ab
f(x) dx
aa
f(x) dx = 0
ba
(f(x) g(x)) dx ba
f(x) dx k ba
g(x) dx
f(x) 0; forall x I ba
f(x) dx 0
f(x) 0; forall x I ba
f(x) dx 0
f(x) g(x); x I ba
f(x) dx 0
Teorema 6.1.2 (Regla de Barrow) Sea f una funcin continua en I, y seaF una primitiva de f . Entonces: b
a
f(x) dx = F (b) F (a)
59
-
60 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN
Denicin 6.1.1 Sea f : I R continua. Se dene la funcin integral de fen I como:
F : I Rx 7 F (x) =
xa
f(t) dt
Teorema 6.1.3 (Teorema fundamental del clculo integral) Si F es lafuncin integral de f en I, entonces F es una primitiva de f en I, esto es:
d
dx
( xa
f(t) dt)
= f(x)
Teorema 6.1.4 (rea) Sea f una funcin continua y positiva en I. Elrea que determina la funcin con el eje de abscisas entre las rectas x = a
y x = b coincide con ba
f(x) dx
Sea f una funcin continua en I. El rea que determina la funcin con el
eje de abscisas entre las rectas x = a y x = b coincide con ba
|f(x)| dx
Sean f, g funciones continuas en I. El rea que determinan dichas fun-
ciones coincide con
ba
|f(x) g(x)| dx
Teorema 6.1.5 (Volumen) Para calcular el volumen V de un slido de rev-olucin:
Si el eje de giro es el eje horizontal:
V = pi ba
R2(x) dx
donde R(x) es el radio de disco que gira para cada x en I.
Si el eje de giro es el eje vertical:
V = pi ba
R2(y) dy
donde R(y) es el radio de disco que gira para cada y en I.
Si el slido tiene un agujero:
V = pi ba
[R2(x) r2(x)] dx
donde R(x) y r(x) son, respectivamente, el radio externo e interno deldisco que gira, para cada x en I.
-
6.1. PRONTUARIO 61
Teorema 6.1.6 (Longitud de un arco) Si y = f(x) representa una curvasuave en I, la longitud de arco de f entre a y b viene dada por:
s = ba
1 + [f (x)]2 dx
Teorema 6.1.7 (rea de una supercie de revolucin) Si y = f(x) tienederivada continua en I, entonces el rea de la supercie de revolucin S formadaal girar la grca de f alrededor de un eje horizontal o vertical es:
S = 2pi ba
r(x)
1 + [f (x)]2 dx
donde r(x) representa, para cada x en I, la distancia desde la grca de f y eleje de revolucin correspondiente.
Teorema 6.1.8 (Centroide) Sean f, g funciones continuas en I con f(x) g(x) en I. El centro de masas, o centroide, de la lmina determinada por lasgrcas de f y g, viene dado por:
(x, y) =(Mym,Mxm
)con:
Mx = ba
f2(x) g2(x)2
dx
My = ba
x[f(x) g(x)] dx
m = ba
[f(x) g(x)] dx
Denicin 6.1.2 Llamaremos integral impropia a aquellas en las que el inter-
valo de itegracin no est acotado y/o la funcin no est acotada en una cantidad
nita de puntos del intervalo de integracin. Atendiendo a esta denicin, las
integrales impropias se clasican en:
Integrales impropias de 1
a
especie: intervalo de integracin no acotado.
Integrales impropias de 2
a
especie: la funcin no est acotada.
Integrales impropias de 3
a
especie: son a la vez de 1
a
y de 2
a
especie.
Teorema 6.1.9 Se verica: +a
f(x) dx = lmb+
ba
f(x) dx
ba
f(x) dx = lmcb
ca
f(x) dx, siendo c un punto de I donde la funcin
no est acotada.
-
62 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN
Denicin 6.1.3 Se dene la funcin Gamma de Euler, o funcin euleriana
de 1
a
especie y se representa por como:
: (0,+) R
(p) = +
0
xp1ex dx
Teorema 6.1.10 Se verican las siguientes propiedades:
(1) = 1
(p+ 1) = p(p)
(n+ 1) = n!; n N
(
12
)=pi
Denicin 6.1.4 Se dene la funcin beta de Euler, o funcin euleriana de 2
a
especie y se representa por , como:
: (0,+) (0,+) R
(p, q) = 1
0
xp1(1 x)q1 dx
Teorema 6.1.11 Se verican las siguientes propiedades:
(p, q) = (q, p)
(p, q) = 2 pi
2
0
sen2p1()cos2q1() d
(p, q) =(p) (q)(p+ q)
6.2. Ejercicios
6.2.1. Clculo de reas, longitudes y volmenes
Ejercicio 6.1 En cada uno de los siguientes apartados, haz un esbozo de la
regin acotada por las grcas de las ecuaciones dadas y calcula el rea de la
regin:
y =1x2
; y = 0; x = 1; x = 5
y =1x2
; y = 4; x = 5
-
6.2. EJERCICIOS 63
y =x
(x2 + 1)2; y = 0; x = 1
y = 1 x2
; y = x 2; y = 1
x = y2 2y; x = 0x = y2 2y; y = 0; x = 1y = x; y = x3
x = y2 + 1; x = y + 3
y = x2 8x+ 3; y = 3 + 8x x2
y =x 1; y = x 1
2
y = x4 2x2; y = 2x2
Ejercicio 6.2 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el volumen del
slido generado al girar la regin acotada por las ecuaciones dadas en torno de
la recta indicada:
y = x; y = 0; x = 4
el eje X el eje Y la recta x = 4 la recta x = 6
y =x; y = 2; x = 0
el eje X el eje Y la recta y = 2 la recta x = 1
x2
16+y2
9= 1
el eje X (esferoide prolato) el eje Y (esferoide oblato)
x2
a2+y2
b2= 1
el eje X (esferoide prolato) el eje Y (esferoide oblato)
-
64 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN
y =1
(x2 + 1)2; y = 0; x = 0; x = 1
el eje Yy =
(x+ 1)3; y = 0; x = 1; x = 1
el eje Xy = x2 + 6x 5; y = 0 el eje X el eje Y
y = x3 + 1; y = 2; x = 0
el eje XEjercicio 6.3 En cada uno de los apartados siguientes, halla el centroide de la
regin acotada por grcas de las ecuaciones dadas:
x+y =a; x = 0; y = 0
y = x2; y = 2x+ 3
y = a2 x2; y = 0
y = x23 ; y =
12x
Ejercicio 6.4 Escribe una integral que represente la longitud del arco del crculo
x2 + y2 = 4 desde (3, 1) hasta (3, 1), en el sentido de las agujas del reloj.
Ejercicio 6.5 Calcula la longitud de la grca de y =16x3 +
12x, desde x = 1hasta x = 3
Ejercicio 6.6 Calcula por integracin el rea de la supercie de un cono cir-
cular recto de altura 4 y radio 3.
Ejercicio 6.7 Un depsito de gasolina tiene forma de esferoide oblato generado
por la regin acotada por la grca de
x2
16+y2
9= 1 al girar en torno el eje Y ,donde x e y se miden en pies. Calcula la profundidad de la gasolina cuando eldepsito est lleno a un cuarto de su capacidad.
Ejercicio 6.8 Calcula el rea de la regin acotada por y = xx+ 1 e y = 0.
Ejercicio 6.9 Se hace girar la regin denida en el ejercicio anterior en torno
al eje X. Calcula el volumen del slido resultante.
Ejercicio 6.10 La regin limitada por y = 2x; y = 0; x = 3 se hace girar entorno al eje X. Calcula el rea de la supercie del slido resultante.
Ejercicio 6.11 Calcula la longitud de arco de la grca de f(x) =45x
54, desde
x = 0 hasta x = 4.
-
6.2. EJERCICIOS 65
6.2.2. Integrales impropias
Ejercicio 6.12 En cada uno de los siguientes apartados, determina si la inte-
gral impropia dada converge o diverge. Calcula el valor de las que sea conver-
gentes: 40
1xdx
43
1x 3 dx 2
0
1(x 1) 23 dx 2
0
1(x 1)2 dx +
0
ex dx
0
e2x dx
0
xe2x dx
+0
xex dx
+0
x2ex dx
+0
(x 1)ex dx +
1
1x2
dx
+1
1xdx
+0
excos(x) dx
+0
eaxsen(bx) dx; a > 0
+
11 + x2
dx
-
66 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN
+0
x3
(x2 + 1)2dx
+0
1ex + ex
dx
+0
ex
1 + exdx
+0
cos(pix) dx
+0
sen(x
2
)dx
10
1x2
dx
10
1xdx
80
13
8 x dx e0
ln(x) dx
10
xln(x) dx
pi2
0
sec() d
pi2
0
tg() d
20
14 x2 dx 4
2
1x2 4 dx 2
0
14 x2 dx 2
0
13x 1 dx 2
0
1(x 1) 43 dx
-
6.2. EJERCICIOS 67
Ejercicio 6.13 Determina los valores de p para los cuales converge la integralsiguiente: +
1
1xp
dx
Ejercicio 6.14 Determina los valores de p para los cuales converge la integralsiguiente: 1
0
1xp
dx
Ejercicio 6.15 Comprueba que la siguiente integral converge para todo nmero
n N: +0
xnex dx
Ejercicio 6.16 Sea f(t) una funcin denida para todos los valores positivosde t. Se dene su transformada de Laplace como la funcin F (s) dada por:
F (s) = +
0
estf(t) dt
si esa integral impropia converge. En cada uno de los siguientes apartados, halla
la transformada de Laplace de cada funcin:
f(t) = 1
f(t) = t
f(t) = t2
f(t) = eat
f(t) = cos(at)
f(t) = sen(at)
Ejercicio 6.17 Dada la regin acotada por las grcas de y =1x2e y = 0
(x 1), calcula:el rea de la regin.
el volumen del slido generado al girar en torno el eje X.
el volumen del slido generado al girar en torno al eje Y .
Ejercicio 6.18 Dada la regin acotada por las grcas de y = ex e y = 0(x 0), calcula:el rea de la regin.
el volumen del slido generado al girar en torno al eje Y .
-
68 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN
Ejercicio 6.19 La regin acotada por (x 2)2 + y2 = 1 se hace girar en tornoal eje Y . Calcula el rea de la supercie del toro as obtenido.
Ejercicio 6.20 Una funcin f no negativa se llama funcin de densidad deprobabilidad si: +
f(t) dt = 1
La probabilidad de que t est entre a y b viene dada por:
P (a t b) = ba
f(t) dt
El valor esperado de t (esperanza) viene dado por:
E(t) = +
tf(t) dt
En cada uno de los siguientes apartados, prueba que la funcin no negativa que
se da es una funcin de densidad de probabilidad, despus calcula P (0 t 4)y por ltimo calcula E(t).
f(t) =
{ 17e
t7 si t 0
0 si t < 0
f(t) =
{ 25e
2t5 si t 0
0 si t < 0
Ejercicio 6.21 Calcula el valor de la siguiente integral, muy usada en la teora
de electromagnestismo:
P = k +
1
1(a2 + x2)
32dx
6.2.3. Funciones eulerianas
Ejercicio 6.22 Calcula (
72
)y
(52,
72
)
Ejercicio 6.23 Calcula
+0
ex3x2 dx
Ejercicio 6.24 Calcula
+0
ex2x2 dx
Ejercicio 6.25 Calcula
80
x12 (2 x 13 ) 14 dx
-
6.2. EJERCICIOS 69
Ejercicio 6.26 Calcula
10
x(1 x4) 12 dx
Ejercicio 6.27 Calcula
10
dx1 4x
Ejercicio 6.28 Calcula
10
x5 dx1 x4
Ejercicio 6.29 Calcula
80
dx
x12 (2 x 13 ) 14
-
70 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN
-
Parte IV
Anlisis real de funciones de
varias variables reales
71
-
Captulo 7
Funciones de varias variables
reales
7.1. Prontuario
Denicin 7.1.1 Sea f(x, y) una funcin real de dos variables reales. Se lla-ma curva de nivel al conjunto de puntos en los que la funcin toma un valor
constante. La curva de nivel formada por los puntos en los que la funcin toma
el valor c R tiene de ecuacin:f(x, y) = c
Denicin 7.1.2 Se llama funcin vectorial a toda aplicacin:
f : D Rn Rm; m > 1f(x1, x2, . . . , xn) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))
de forma que se suele escribir la funcin f as:
f : D Rn Rm; f = (f1, f2, . . . , fm)donde
fi : D Rn Rse llaman funciones componentes de f .
Nota 7.1.1 En algunos contextos, llaman funcin vectorial a aquella en la que
n = 1.
Observacin 7.1.1 Una funcin f : D Rn Rm tiene n variables y mcomponentes.
Teorema 7.1.1 Sea f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) una funcin vectorial en el es-pacio. Se verican las siguientes propiedades:
73
-
74 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
1. Lmite:
lmta f(t) =
(lmta f1(t), lmta f2(t), lmta f3(t)
)2. Una funcin vectorial f es continua en el punto t = a si existe lm
ta f(t) yse cumple:
lmta f(t) = f(a)
3. Una curva C en el espacio representada por la funcin f = (f1, f2, f3) sedice que es suave en el intervalo I = (a, b) si f 1, f
2, f3 son continuas en I
y f (t) 6= ~; t I.4. Derivada: Si f1, f2, f3 son derivables en I, entonces la derivada de f vienedada por:
f (t) = (f 1(t), f2(t), f
3(t))
5. Integral: Si f1, f2, f3 son continuas en I, se tiene:f(t) dt =
(f1(t) dt,
f2(t) dt,
f3(t) dt
)y anlogamente: b
a
f(t) dt =
( ba
f1(t) dt, ba
f2(t) dt, ba
f3(t) dt
)
Denicin 7.1.3 (Coordenadas cilndricas) En un sistema de coordenadas
cilndricas, un punto P de espacio se representa por una terna ordenada (r, , z),donde:
1. (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de P en el plano XY ,0 2pi.2. z es la tercera coordenada rectangular.
Teorema 7.1.2 Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de
coordenadas cilndricas a rectangulares:
x = rcos() y = rsen() z = zLas siguientes identidades nos proporcionan el cambio de coordenadas rect-
angulares a cilndricas:
r = +x2 + y2
= arctg(yx
)
-
7.2. EJERCICIOS 75
z = z
Denicin 7.1.4 (Coordenadas esfricas) En un sistema de coordenadas
esfricas, un punto P de espacio se representa por una terna ordenada (, , ),donde:
1. es la distancia orientada desde P hasta el origen, 02. es el mismo ngulo usado en coordenadas cilndricas, 0 2pi.3. es el ngulo entre el eje z positivo y el segmento OP , 0 pi
Teorema 7.1.3 Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de
coordenadas esfricas a rectangulares:
x = sen()cos() y = sen()sen() z = cos()Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de coordenadas rect-
angulares a cilndricas:
= +x2 + y2 + z2
= arctg(yx
) = arccos
(z
x2 + y2 + z2
)
7.2. Ejercicios
7.2.1. Funciones escalares
Ejercicio 7.1 En cada uno de los siguientes apartados, evala la funcin en
los puntos que se indican:
f(x, y) =x
y
(3, 2) (30, 5) (x, 2) (1, 4) (5, y) (5, t)
f(x, y) = xey
-
76 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
(5, 0) (3, 2) (2,1) (5, y) (x, 2) (t, t)
h(x, y, z) =xy
z
(2, 3, 9) (1, 0, 1)
f(x, y) = xsen(y)
(
2,pi
4
) (3, 1)
f(x, y) = yx
(2t 3)dt
(0, 4) (1, 4)
Ejercicio 7.2 En cada uno de lo siguientes apartados, describe la regin R quecorresponde, en el plano xy, al dominio de la funcin dada. Halla el recorridode la funcin.
f(x, y) =
4 x2 y2
f(x, y) = arcsen(x+ y)
z =x+ yxy
f(x, y) = ln(4 x y)f(x, y) = e
xy
f(x, y) =1xy
Ejercicio 7.3 Describe las curvas de nivel para cada funcin y las curvas de
nivel para los valores de c que se indican:
f(x, y) =
25 x2 y2; c = 0, 1, 2, 3, 4, 5f(x, y) = xy; c = 1,2, ,6
-
7.2. EJERCICIOS 77
f(x, y) =x
x2 + y2; c = 1
2,1,3
2,2
f(x, y) = ln(x y); c = 0,12,1,3
2,2
f(x, y) = exy; c = 1, 2, 3, 4,12,
13,
14
Ejercicio 7.4 La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y)de una placa metlica circular de 10 pies de radio es:
T (x, y) = 600 0, 75x2 0, 75y2
donde x e y se miden en pies. Dibuja algunas de las curvas isotermas.
Ejercicio 7.5 Las ley de los gases ideales establece que PV = kT , donde P esla presin, V el volumen, T la temperatura (en grados Kelvin) y k una constantede proporcionalidad. Un depsito contiene 2600 pulgadas cbicas de nitrgeno
a una presin de 20 libras por pulgada cuadrada y a una temperatura de 300
grados Kelvin.
Determina k.
Expresa P como funcin de V y T y describe las curvas de nivel corre-spondientes.
Ejercicio 7.6 Un depsito de propano se ha construido adosando dos semies-
feras a los extremos de un cilindro circular recto. Expresa su volumen V comofuncin del radio r y de la longitud l del cilindro.
7.2.2. Funciones vectoriales
Ejercicio 7.7 En cada uno de los siguientes apartados, halla el dominio de la
funcin vectorial dada:
r(t) =(
5t,1t
)r(t) = (
4 t2, t2)
r(t) = (et, ln(t))
r(t) =(
1t 3 ,
1t 5
)Ejercicio 7.8 Calcula ||r(t)||:
r(t) = (sen(pit), cos(pit))
r(t) = (t, 3t)
-
78 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
Ejercicio 7.9 Dibuja la curva representada por la funcin vectorial, indicando
su orientacin:
r(t) = (3t, t 1)r(t) = (2cos(t), 2sen(t))
r(t) = (t, t2)
r(t) =(t,
1t
)Ejercicio 7.10 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el lmite indi-
cado:
lmt3
(t,t2 9t2 3t
)
lmt0
(1 cos(t)
t, t2)
lmt3
(2t2, e2t
)Ejercicio 7.11 En cada uno de los siguientes apartados se pide:
1. Dibujar la curva plana representada por la funcin vectorial.
2. Dibujar los vectores r(t0), r(t0) para el valor de t0 especicado. Colocarlo vectores de manera que el punto inicial de r(t0) est en el origen y elpunto inicial de r(t0) sea el punto nal de r(t0).
r(t) = (t2, t); t0 = 2
r(t) = (cos(t), sen(t)); t0 =pi
2
Ejercicio 7.12 Halla r(t), r(t):
r(t) = (3t, t 1)r(t) = (acos(t), asen(t))
r(t) = (t sen(t), 1 cos(t))Ejercicio 7.13 En cada uno de los siguientes apartados, halla:
1. r(t)
2. Dt[r(t) u(t)]3. Dt[3r(t) u(t)]4. Dt[||r(t)||]
-
7.2. EJERCICIOS 79
r(t) = (3t, 4t); u(t) = (4t, t2)
r(t) = (sen(t), cos(t)); u(t) = (cos(t),sen(t))
Ejercicio 7.14 En cada uno de los siguientes apartados, halla el intervalo o
intervalos donde la funcin vectorial es suave:
r(t) = (t2, t3)
r() = (2cos3(), 3sen3())
r() = ( 2sen(), 1 2cos())
r(t) =(
3t1 + t3
,3t2
1 + t3
)Ejercicio 7.15 Halla las siguientes integrales indenidas:
(6t2, 3) dt
(1t, et)dt
(4sen(t), 3cos(t)) dt(tet
2, t) dt
Ejercicio 7.16 Halla las siguientes integrales denidas: 10
(6t,3t) dt 1
0
(t,t+ 1) dt
pi2
0
(4cos(t), 3sen(t)) dt
30
(et, tet) dt
Ejercicio 7.17 Halla r(t) con las condiciones impuestas:
r(t) = (4e2t, 3et); r(0) = (2, 0)
r(t) = (2t,t); r(0) = (1, 1)
r(t) = (4cos(t),3sen(t)); r(0) = (0, 3); r(0) = (4, 0)
-
80 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
Ejercicio 7.18 En cada apartado, demuestra la propiedad enunciada. Supn,
en cada caso, que r, u son funciones vectoriales derivables en t, f una funcinreal derivable en t y c un escalar.
Dt[cr(t)] = cr(t)
Dt[r(t) u(t)] = r(t) u(t)Dt[f(t)r(t)] = f(t)r(t) + f (t)r(t)
Dt[r(f(t))] = r(f(t))f (t)
Si r(t) r(t) = c r(t) r(t) = 0
7.2.3. Coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas
Ejercicio 7.19 Pasa el punto dado, de coordenadas rectangulares a cilndricas:
(0, 5, 1)
(1,
3, 4)
(2,2,4)
Ejercicio 7.20 Pasa el punto dado, de coordenadas cilndricas a rectangulares:
(5, 0, 2)(3,pi
3, 2)
(4,
7pi6, 3)Ejercicio 7.21 Pasa el punto dado, de coordenadas rectangulares a esfricas:
(4, 0, 0)
(2, 23, 4)(
3, 1, 2
3)
Ejercicio 7.22 Pasa el punto dado, de coordenadas esfricas a rectangulares:(4,pi
6,pi
4
)(
12,pi4, 0)
(5,pi
4,
3pi4
)Ejercicio 7.23 Pasa el punto dado, de coordenadas cilndricas a esfricas:
-
7.2. EJERCICIOS 81(4,pi
4, 0)
(4,pi
6, 6)
(12, pi, 5)
Ejercicio 7.24 Pasa el punto dado, de coordenadas esfricas a cilndricas:(10,
pi
6,pi
2
)(
6,pi6,pi
3
)(
8,7pi6,pi
6
)Ejercicio 7.25 Halla una ecuacin en coordenadas rectangulares para la ecuacin
dada en coordenadas cilndricas:
r = 2
=pi
6
r = 2sen()
r2 + z2 = 4
Ejercicio 7.26 Halla una ecuacin en coordenadas rectangulares para la ecuacin
dada en coordenadas esfricas:
= 2
=pi
6
= 4cos()
= cosec()
Ejercicio 7.27 Halla una ecuacin de la supercie dada, primero en coorde-
nadas cilndricas y despus en coordenadas esfricas:
x2 + y2 + z2 = 16
x2 + y2 + z2 2z = 0x2 + y2 = 4y
x2 y2 = 9
-
82 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
7.2.4. Lmites y continuidad
Ejercicio 7.28 Calcula el lmite propuesto usando los lmites:
lm(x,y)(a,b)
f(x, y) = 5; lm(x,y)(a,b)
g(x, y) = 3
lm(x,y)(a,b)
[f(x, y) g(x, y)]
lm(x,y)(a,b)
[4f(x, y)g(x, y)
]lm
(x,y)(a,b)[f(x, y)g(x, y)]
lm(x,y)(a,b)
[f(x, y) g(x, y)
f(x, y)
]Ejercicio 7.29 En cada apartado, calcula el lmite que se indica y discute la
continuidad de la funcin:
lm(x,y)(2,1)
(x+ 3y2)
lm(x,y)(2,4)
x+ yx y
lm(x,y)(0,1)
arcsen(xy
)1 + xy
lm(x,y)(0,0)
exy
lm(x,y,z)(1,2,5)
x+ y + z
Ejercicio 7.30 En cada uno de los siguientes ejercicios, calcula el lmite usan-
do coordenadas polares (Ayuda: Haz x = rcos(); y = rsen() y observa que(x, y) (0, 0) es equivalente a r 0)
lm(x,y)(0,0)
sen(x2 + y2)x2 + y2
lm(x,y)(0,0)
xy
x2 + y2
lm(x,y)(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
lm(x,y)(0,0)
x2y2
x2 + y2
Ejercicio 7.31 Discute la continuidad de las siguientes funciones:
-
7.2. EJERCICIOS 83
f(x, y, z) =1
x2 + y2 + z2
f(x, y, z) =z
x2 + y2 4
f(x, y, z) =sen(z)ex + ey
f(x, y, z) = xysen(z)
Ejercicio 7.32 Discute la continuidad de la funcin compuesta f g en cadaapartado:
f(t) = t2; g(x, y) = 3x 2y
f(t) =1t; g(x, y) = 3x 2y
f(t) =1
4 t ; g(x, y) = x2 + y2
-
84 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
-
Captulo 8
Derivadas parciales y
direccionales. Gradiente
8.1. Prontuario
Denicin 8.1.1 Si z = f(x, y), se dene la derivada parcial de f respecto ax en un punto (a, b), y se representa por:
D1f(a, b) = fx(a, b) =f
x(a, b)
como el siguiente lmite, si existe es nito:
f
x(a, b) = lm
xaf(x, b) f(a, b)
x a = lmh0f(a+ h, b) f(a, b)
h
Anlogamente, se dene la derivada parcial de f respecto a y en un punto (a, b),y se representa por:
D2f(a, b) = fy(a, b) =f
y(a, b)
como el siguiente lmite, si existe y es nito:
f
y(a, b) = lm
ybf(a, y) f(a, b)
y b = lmh0f(a, b+ h) f(a, b)
h
Nota 8.1.1 Formalmente, las derivadas parciales se efectan segn las mismas
reglas de derivacin de las funciones de una variable, entendiendo como tal la
variable respecto de la que se est derivando y considerando las dems variables
como constantes.
Nota 8.1.2 La forma de notar las derivadas segundas de una funcin de dos
variables es:
85
-
86CAPTULO 8. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. GRADIENTE
Derivar dos veces respecto a x:
x
(f
x
)=2f
x2= fxx = D11f
Derivar dos veces respecto a y:
y
(f
y
)=2f
y2= fyy = D22f
Derivar primero con respecto a x y a continuacin con respecto a y:
y
(f
x
)=
2f
yx= fxy = D12f
Derivar primero con respecto a y y a continuacin con respecto a x:
x
(f
y
)=
2f
xy= fyx = D21f
Teorema 8.1.1 (Teorema de Schwartz de igualdad de derivadas cruzadas)
Si z = f(x, y) es tal que f, fx, fy, fxy, fyx son continuas en la regin abierta R,entonces para cada (x, y) R, se tiene:
fxy(x, y) = fyx(x, y)
Denicin 8.1.2 Sea f : Rn Rm. Se llama matriz jacobiana de f en elpunto (a, b), y se representa por J(f)(a, b), a la matriz:
J(f)(a, b) =
f1x1
(a, b)f1x2
(a, b) f1xn
(a, b)
f2x1
(a, b)f2x2
(a, b) f2xn
(a, b)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
fmx1
(a, b)fmx2
(a, b) fmxn
(a, b)
Observacin 8.1.1 Observemos que:
f : Rn Rm J(f)(a, b) Mmn(R)
Observacin 8.1.2 (Interpretacin geomtrica de las derivadas parciales)
Se tiene:
fx(a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva interseccindel plano y = b con la supercie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b))
-
8.2. EJERCICIOS 87
fy(a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva interseccindel plano x = a con la supercie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b))
Denicin 8.1.3 Una funcin f se dice diferenciable en (a, b) si:
lm(h,k)(0,0)
[f(a+ h, b+ k) f(a, b)] [fx(a, b) h+ fy(a, b) k]h2 + k2
= 0
Observacin 8.1.3 En general, una funcin f : Rn Rm es diferenciable siy solo si lo son cada una de sus funciones componentes
Denicin 8.1.4 Sea z = f(x, y) y ~u = (u1, u2) R2 con ||~u|| = 1. Se denela derivada direccional de f en (a, b) en la direccin del vector ~u y se representapor D~uf(a, b), como el siguiente lmite si existe y es nito:
D~uf(a, b) = lmh0
f(a+ hu1, b+ hu2) f(a, b)h
Denicin 8.1.5 Si z = f(x, y), entonces se dene el gradiente de f en unpunto (a, b) y se representa por (f)(a, b) como:
f(a, b) = (fx(a, b), fy(a, b))Teorema 8.1.2 Sea z = f(x, y) diferenciable y sea ~u = (u1, u2) R2 con||~u|| = 1. Entonces:
D~uf(a, b) = f(a, b) ~uTeorema 8.1.3 Sea f una funcin diferenciable en el punto (a, b). Entonces severican las siguientes propiedades:
Si f(a, b) = ~, entonces D~uf(a, b) = 0, ~u.La direccin y sentido de mximo crecimiento de f viene dada por f(a, b).El valor mximo de D~uf(a, b) es ||f(a, b)||La direccin y sentido de mnimo crecimiento de f viene dada por f(a, b).El valor mnimo de D~uf(a, b) es ||f(a, b)||
Teorema 8.1.4 Si f es diferenciable en (a, b) y f(a, b) 6= ~, entonces f(a, b)es normal a la curva de nivel que pasa por (a, b)
8.2. Ejercicios
8.2.1. Derivadas parciales
Ejercicio 8.1 Calcula D1f(1, 0), D2f(1, 0), siendo f(x, y) = xxxy
Ejercicio 8.2 Calcula, aplicando la denicin, las derivadas parciales de primer
orden de la funcin f(x, y) =x+ yx y en el punto P (2, 3).
-
88CAPTULO 8. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. GRADIENTE
Ejercicio 8.3 Calcula utilizando las reglas prcticas de derivacin parcial, las
derivadas de primer orden de las siguientes funciones:
f(x, y) =x2 y2x2 + y2
f(x, y) =cos(x) + cos(y)cos(x) cos(y)
f(x, y, z) = ex + ey + ez exyz
g(x, y) = tg(x) sen(y) + x2 y2
h(x1, x2, ,n ) =ni=1
x2i
u(x, y, z, w) =1x
+ y + z2 + ln(w)
w(x, y, z) = sen(x
(y 1
sen(x)
))Ejercicio 8.4 Sea f : R2 R denida as:
f(x, y) =
{xytg
(yx
)si x 6= 0
0 si x = 0
Estudia en qu puntos f satisface la ecuacin:
xD1f(x, y) + yD2f(x, y) = 2f(x, y)
Ejercicio 8.5 Calcula utilizando las reglas prcticas de derivacin parcial, las
derivadas de primer orden de las siguientes funciones:
f(x, y, z) = xy + xz + yz
f(x, y, z) = x+ sen(xy) + ln(xz)
f(x, y) = exy +1xy
g(x, y) = arcsen(y +
1x
)h(x, y, z) = xyz
u(x, y, z) =x+ y + zxyz
Ejercicio 8.6 En cada uno de los siguientes apartados, halla las derivadas par-
ciales primeras con respecto a x y con respecto a y:
-
8.2. EJERCICIOS 89
f(x, y) = 2x 3y + 5f(x, y) = xy
z = xy
z = x2e2y
z = ln(x2 + y2)
z = lnx+ yx y
h(x, y) = e(x2+y2)
h(x, y) =x2 + y2
z = sen(2x y)z = eysen(xy)
f(x, y) = sen yx
(t2 1) dt
Ejercicio 8.7 Evala fx, fy en el punto indicado
f(x, y) = arctg(yx
); (2,2)
f(x, y) =xy
x y ; (2,2)
f(x, y) =4xyx2 + y2
; (1, 0)
Ejercicio 8.8 Halla las derivadas primeras con respecto a x, y, z.
w =x2 + y2 + z2
w =xy
x+ y + z
H(x, y, z) = sen(x+ 2y + 3z)
Ejercicio 8.9 Dada la funcin f(x, y) =x
y, calcula
2f
x2,2f
xy,2f
yx,2f
y2
Ejercicio 8.10 Calcula
2f
x2,2f
y2, siendo f(x, y) =
x2 + xy + y2
x+ yen el punto
P (1, 1)
Ejercicio 8.11 Halla las segundas derivadas parciales: