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FUNCIONES

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APRENDER FUNCIONES REALES NO ES TAN DIFÍCIL

Msc. JUAN RAMÓN CADENA VILLOTA

FUNCIONES

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Juan Ramón Cadena Villota

Profesor de Matemáticas y en la Formación de Docentes, Carrera de

Matemáticas e Informática, Facultad de Filosofía Universidad Central

del Ecuador. Licence en Matemátiques (Matemático), Université Jean

Monnet, Francia. Máster en Nuevas Tecnologías Aplicadas a la

Educación, Universidad Autónoma de Barcelona –Universidad de

Alicante. Doctorando en Investigación Educativa en la Universidad de

Alicante. Ha asistido como ponente a varios Congresos y Cursos

Nacionales e Internacionales. Participa en varios proyectos de

Investigación en Docencia de Matemática y es Director del Proyecto

de Investigación Etnomatemática. Miembro del SEDEM, Sociedad

Ecuatoriana de Matemática. Coordinador de la Red Latinoamericana

de Etnomatemática, RELAET, Capítulo Ecuador.

FUNCIONES

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Autor: Juan Cadena Villota

Quito, Octubre 2015

ISBN: 978-9942-21-666-3

FUNCIONES

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Índice

La idea de función………………………………………………………………6

Actividades preparatorias……………………………………………………….7

La noción de función…………………………………………………………….10

¿Qué es una curva que representa a una función?......................................12

Paréntesis cultural: Leonhard Euler………………………..…………………15

¿Cómo encontrar el dominio de definición de una función?........................16

Crecimiento y Decrecimiento de una Función……………………………….17

Función creciente……………………………………………………………….18

Función decreciente……………………………………………………………19

Máximos y mínimos……………………………………………………….……29 Simetrías, funciones pares, impares y periódicas………………...…………32

Sentido de variación de una curva………..…………………………………..35 Ejercicios Propuestos…………………………………………………………..39

Operaciones con funciones……………………………………………………52

Multiplicación y división de funciones………………………………………..54

Composición de funciones…………………………………………………… 58

Ejercicios Propuestos…………………………………………………………..64

Funciones Inyectivas…………………………………………………………...65

Funciones Inversas……………………………………………………………..68

Función Lineal y Afín…………………………………………………………...73

Función Valor Absoluto………………………………………………………...84

El valor absoluto como distancia……………………………………………...85

La Función Cuadrática…………………………………………………………89

Funciones Exponenciales………………………………………………………100

Funciones Logarítmicas……………………………………………………….111

Bibliografía………………………………………………………………………125

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La idea de función.

En la vida diaria nos encontramos con expresiones como:

En todas estas expresiones aparecen las palabras: “depende de” o “está en

función de”, lo que significa que hay “algo” que está sujeto a una condición

determinada.

En Matemática, decimos que UNA EXPRESIÓN ESTÁ EN FUNCIÓN DE OTRA.

En Biología: “la contaminación

ambiental depende

de los gases

emanados a la

atmósfera”.

En Economía:

“el índice de inflación depende

de los precios de los artículos”.

“que me quede al

supletorio,

depende de las

notas que saque

en los exámenes”

En Física:

“la aceleración que experimenta

un cuerpo está en función de la

fuerza que se le aplique”.

“la cosecha de arroz

depende del tiempo

que haga en la

temporada”.

“el consumo de gasolina está

en función de la velocidad y la

marca del auto”.

“el tráfico depende de la hora”

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AYUDA:

Por ejemplo, vamos a “leer” la temperatura a las 10 de la mañana, para lo cual: buscamos

el número 10 en el eje de las x, trazamos mentalmente una línea vertical hasta que le

“toque” a la curva (punto D), desde ese punto trazamos ahora una línea vertical hacia el

eje de las y, leemos el número correspondiente, en este caso: 16oC.

Actividades preparatorias:

Temperatura en Quito:

Observemos con atención el siguiente gráfico:

Según el gráfico, contesta lo siguiente:

1.- ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la mañana?, ¿a las 8 de la mañana?

2.- ¿Cuál es la temperatura a las 4 de la tarde?, ¿a las 10 de la noche?

3.- ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura “crece”?, ¿en qué intervalos de

tiempo la temperatura “decrece”?,

4.- ¿A qué hora se tiene la temperatura “máxima”?, ¿a qué hora la temperatura

es “mínima”?, ¿cuáles son esas temperaturas?

Un ejemplo en Biología.-

Los biólogos han probado experimentalmente que la población de amebas se

“dobla” cada 24 horas. Utilicemos al día como unidad de tiempo y a un millón

de amebas como la unidad de población. Suponiendo que empezamos con un

millón de amebas, entonces es natural escribir 𝑷 (0) = 1.

Las amebas son seres unicelulares cuyo crecimiento poblacional depende del

tiempo. Simbolicemos 𝑷 la población de amebas y 𝒕 el tiempo (en días). Para indicar

que la población depende del tiempo transcurrido, utilicemos la “notación”: 𝑷 (𝒕). Se

lee: “𝑷𝑑𝑒 𝒕”

En él, el eje x

(horizontal)

representa las

horas de un día de

invierno en Quito,

y el eje y

(vertical)

representa los

grados

centígrados de

temperatura.

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Es evidente que: 𝑷 (1) = 2; 𝑷 (2) = 2x2 = 22; 𝑷 (3) = 23; 𝑷 (4) = 24; etc.

Completa:𝑷 (7) =…….; 𝑷 (9) =…….

¿Qué te parece si podemos deducir la fórmula general?: 𝑷(𝒕) = 2𝒕. Si 𝒕 es un

número entero, por ejemplo: para 𝒕 = 3, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 23 = 8, pero el tiempo no

siempre es un número entero, si tenemos un día y medio por ejemplo,

𝒕 = 1.5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 21.5 = 2.8284…

En la calculadora, para calcular 2𝒕, utilizamos la tecla:

Ahora vamos a estudiar el crecimiento de la población de amebas en los 4

primeros días, es decir, cuando 𝒕 pertenece al intervalo [ 0, 4 ].

En el eje x ponemos los días, del 1 al 4, y en el eje y ponemos la población de

amebas (en millones de individuos), la “curva” quedaría así:

Observamos que la curva representa el crecimiento de la población de amebas

en millones de individuos para un período de tiempo de 4 días,

matemáticamente, diremos que la curva representa el gráfico de la

“función”: 𝑷(𝒕) = 2𝑡, en el “intervalo”: 0 ≤ 𝒕 ≤ 4.

“Leyendo” el gráfico, contesta lo siguiente:

1.- ¿Cuál es la población aproximada en 36 horas?, ¿en 60 horas?

2.- Con la calculadora, calcula los valores siguientes: 21.5 y 22.5 y compara tus

respuestas con las de la pregunta anterior.

3.- “Lee” en el gráfico: ¿cuántos días son necesarios para que haya una

población de 8 millones?, ¿de 12 millones?

Otro ejemplo, ahora en Economía:

La siguiente curva representa el

balance comercial

(exportaciones- importaciones)

de un país, tomando como 0 al

año 2000 (en el eje de las x), en

yx

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el eje y tenemos el monto en millones de dólares.

Vamos a contestar lo siguiente:

1.- Expresar lo que representa esta curva con una frase que contenga la

expresión: “en función de”.

2.- ¿Entre qué años está definida esta curva?

3.- ¿Cuál es el valor de la balanza comercial para los años: 1980, 1995,2005?

4.- ¿En qué año, la balanza es de 40 millones?, ¿de -10 millones?

5.- ¿En cuales años la balanza estuvo o estará equilibrada?

6.- ¿Sobre qué intervalo de tiempo hay un déficit en la balanza comercial?, ¿un

superávit?

7.- ¿Cuál es el comportamiento (crece o decrece) de la balanza comercial entre

mediados de 1997 al 2010? Lo mismo para los años 1985 y mediados de 1997.

8.- ¿En qué año la balanza tiene su “máximo”?, ¿su “mínimo”?, ¿cuáles son esos

valores?

Puedes encontrar más ejemplos de funciones, tales como: el estiramiento de un

resorte en función de la masa que se cuelga de él, el área de un círculo en

función de su radio, la presión atmosférica en función de la altura, etc. Tienes

como tarea buscar esos ejemplos.

La noción de función:

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Una función 𝒇 definida sobre un subconjunto de los números reales D es una

“relación” que a cada número 𝒙 perteneciente a D, le asocia un único resultado

numérico que le llamaremos 𝒇(𝒙).

Veamos este ejemplo: “desde las 6 de la mañana hasta las 10 de la noche, el

número de pasajeros en la estación norte del trole varía en función del tiempo”.

Esta frase nos indica una relación entre el tiempo, sobre “el intervalo” entre las

6 y las 22 horas y el número de pasajeros en la estación. Lo podemos ver en el

siguiente esquema:

𝑥𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑓(𝑥)

Lo que acabamos de hacer se llama modelización matemática de un caso de la

vida cotidiana, lo que nos conduce a definir “una función”, que la vamos a

llamar 𝒇, de tal manera que a un tiempo 𝒙 del intervalo [6, 22] le asocia un único

resultado, llamado 𝒚 = 𝒇(𝒙)., que es el número de pasajeros presentes en la

estación norte del trole a la hora 𝒙.

Esta función está definida sobre el intervalo [6, 22], y como los resultados son

números, se llama función numérica.

Ahora, definamos formalmente a una función numérica:

Simbología:

Al conjunto D le llamamos: conjunto de definición o dominio de la función,

también se le “nota” Df (según el nombre de la función).

El número 𝒇(𝒙)se llama la imagen de 𝒙 a través de 𝒇. Al número 𝒙 se

llama pre-imagen de 𝒇(𝒙) a través de 𝒇.

Número de pasajeros

Análisis del caso

Tiempo entre las 6 y 22 horas

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Definición.- En un plano cartesiano, la curva C que representa a la función 𝒇 es el

conjunto de puntos M del plano, de coordenadas (𝒙, 𝒚)tal que:

o la abscisa 𝒙 recorre el conjunto de definición Df

o la ordenada 𝒚 es la imagen de 𝒙 por 𝒇.

En símbolos: 𝒙 ∈Df y 𝒚 = 𝒇(𝒙).

𝒙 es la variable, que también puede llamarse: 𝒕, 𝒛, 𝒑, 𝒖,…, 𝒇 es la función,

que también puede llamarse: 𝒇, 𝒈, 𝒉, 𝒊, … Por generalización llamamos 𝒚 = 𝒇(𝒙).

Es importante anotar que el resultado 𝒇(𝒙) es único para cada 𝒙. En el

caso analizado, no es posible que, por ejemplo, hayan más o menos de 56

pasajeros a las 8 de la mañana.

En el fenómeno descrito, la función 𝒇 toma valores continuos en D. En

general, la función 𝒇 es definida sobre un intervalo I, subconjunto de ℝ.

Cuando el conjunto de definición no está dado, la función se escribe:

𝒇 ∶ ℝ⟶ℝ 𝒙 ⟶ 𝒇(𝒙)

En algunos ejercicios se pedirá encontrar el conjunto de definición o dominio.

Por lo general,𝒇 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂, donde 𝒚 = 𝒇(𝒙) es un

número que resulta de reemplazar el valor numérico de 𝒙 en la fórmula.

Por ejemplo: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + √𝒙 es la fórmula para 𝒇, algunos valores numéricos

serían:

𝑓(0) = 02 + √0 = 0

𝑓(4) = 42 + √4 = 18

𝑓(7) = (7)2 + √7 = 51.6457…

Podemos ver que esta función está definida para valores no negativos (por la

raíz cuadrada), luego Df= [0,+∞[.

Hay infinitos ejemplos de funciones, como: 𝑓(𝜃) = sin 𝜃 + tan 𝜃; ℎ(𝑡) = 𝑣𝑜𝑡 +

1

2𝑎𝑡2; 𝐸(𝑚) = 𝑚𝑐2; 𝑉(𝑟) =

4

3𝜋𝑟3;

¿Qué es una curva que representa a una función?

FUNCIONES

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Definimos además: el rango o conjunto imagen de 𝒇, como al conjunto formado por

todas las 𝒚, de tal manera que 𝒚 = 𝒇(𝒙), donde 𝒙 ∈Df.Le notamos Imf

Observa que:

una curva es un conjunto de puntos;

𝒙 es la abscisa en el “eje de las x”;𝒇(𝒙) es el número en el “eje de las y”,

llamada ordenada;

𝒚 = 𝐟(𝒙) es la ecuación de la curva C; y,

El conjunto de definición Df está en el eje de las x.

El conjunto imagen está en el “eje de las y”.

Observa con atención el gráfico siguiente:

FUNCIONES

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El punto M tiene coordenadas: (𝒙, 𝒇(𝒙))

Hagamos a continuación un ejemplo numérico: C es la curva de una función 𝒇 definida sobre el intervalo: Df= [−2, 7].

La imagen de -2 es 5, es decir 𝑓(−2) = 5 esel punto de la curva

correspondiente es 𝐴(−2,5)

𝑓(0) = 3; 𝐵(0,3)

𝑓(5) = 0; 𝐶(5,0)

𝑓(7) = ⋯

2 es la imagen de -1 y de 7, es decir, 2 tiene como pre-imágenes a los números

-1 y 7.

Observa ahora el gráfico y comprueba lo anterior:

FUNCIONES

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Ahora, según el siguiente gráfico, trata de responder el cuestionario:

1.- ¿Cuál es el conjunto de definición de 𝒇?

2.- Dar imágenes aproximadas de: 0, 3, -3

3.- Aproximadamente, el conjunto imagen de 𝒇 es el intervalo:

4.- ¿Cuáles son las pre-imágenes de 6?

FUNCIONES

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Bien, ahora ya sabes reconocer algunos elementos de la noción de función, que

es uno de los conceptos más importantes en Matemáticas. Es recomendable que

hagas más ejercicios de reconocimiento, para lo cual puedes utilizar una

calculadora gráfica o el programa DeadLine, por ejemplo.

Listo, sigamos con un poco más de materia, veamos ahora:

El Gran Leonhard Euler: Apuntes biográficos

Leonhard Euler nació en Basilea (Suiza) en

1707. Su padre, pastor calvinista, se

preocupó de que la formación intelectual de

su hijo fuese de gran calidad. Leonhard

estudió matemáticas con Jean Bernoulli,

física, astronomía, medicina, teología y

lenguas orientales.

En 1727, animado por sus amigos y

compatriotas Daniel y Nicolás Bernoulli,

ingresó en la Academia de San Petersburgo.

En 1730, ocupó la cátedra de filosofía natural

y a los veintisiete años, después de que

Nicolás y Daniel dejasen San Petersburgo, se

convirtió en el matemático más relevante de

la Academia. A los veintiocho años perdió la

vista de su ojo derecho. En 1741 se incorporó

a la Academia de Berlín, pero en 1766 volvió

a Rusia. En 1771 se quedó ciego pero ello no

impidió que Euler siguiera publicando e

investigando.

Se cuenta que cuando el filósofo ateo D.

Diderot visitó la corte rusa fue informado de

que un matemático suizo había demostrado la

existencia de Dios mediante razonamientos

de tipo algebraico. Interesado por dicha

noticia y esperando rebatir tales

argumentos, Diderot concertó una entrevista

con Leonhard. Puesto en contacto con Euler,

éste le dijo: “Señor (a + bn)/n = x, entonces

Dios existe”. Diderot, cuyos conocimientos

de álgebra eran nulos, se quedó sin respuesta

y regresó a Francia.

Leonhard murió en 1783 mientras se estaba

tomando una taza de té y jugando con uno de

sus nietos.

Euler escribió sobre temas relativos a todas

las ramas de las matemáticas. A lo largo de

su vida publicó más de quinientos libros y

artículos y fue padre de trece hijos.

Entre sus numerosísimas contribuciones

destacamos las referentes al simbolismo

matemático. Así, Euler introdujo el símbolo

e para la base de los logaritmos naturales; π para la razón de la circunferencia al

diámetro; i para la unidad imaginaria; a, b, c

para los lados de un triángulo; A, B, C para

los ángulos de un triángulo; Σ para la suma;

y f(x) para una función de x. En geometría

elemental es famosa su fórmula c + v = a

+ 2, que relaciona el número de caras (c),

vértices (v) y aristas (a) de cualquier

poliedro convexo. La expresión 𝑒𝜋𝑖 + 1 = 0,

que aparece en su Introduction in analysin

infinitorum (1748), incluye los cinco números

más importantes de las Matemáticas.

Su definición de función dice textualmente:

“Una función de una magnitud variable es

cualquier expresión analítica formada con la

cantidad variable y con números o

cantidades constantes”

Desde luego, no coincide exactamente con la

definición actual de función. Pero más allá

del rigor de la definición, el hecho

destacable y realmente significativo es que

Euler convirtió a la función en el objeto

fundamental del Cálculo, que hasta esa época

se basaba esencialmente en las propiedades

de las curvas.

¡Aquí vale la pena un... Paréntesis Cultural!

FUNCIONES

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Cuando nos dan la ley de la función: 𝐟(𝒙) =…, o si nos dan de la forma:

𝒇: ℝ → ℝ

𝒙 ↦ 𝒚 =. ..

Analicemos dos casos importantes:

a) Si hay un denominador en la fórmula de 𝐟(𝒙), ejemplo: 𝐟(𝒙) =𝟒𝒙+𝟔

𝟑𝒙−𝟏, como

𝒙 ∈ ℝ, entonces: 𝟑𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝒙 ≠𝟏

𝟑, por lo tanto: el conjunto de

definición de la función es: Df = ℝ − {𝟏

𝟑}.

Como aplicación, calcula el Df de 𝒇(𝒙) =𝟓𝒙−𝟕

𝟒𝒙+𝟔

b) Si existe una raíz cuadrada en la fórmula de𝐟(𝒙),ejemplo: 𝐟(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟖,

igualmente, cómo 𝒙 ∈ ℝ, entonces:

𝟐𝒙 + 𝟖 ≥ 𝟎, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝒙 ≥ −𝟒, por lo tanto, el dominio de la función es:

Df = {𝒙; 𝒙 ≥ −𝟒}𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [𝟒,+∞[.

Aplicación:

Calcula el Df de 𝒇(𝒙) = √𝟔𝒙 −𝟏

𝟒.

Combinando los dos casos, calcula el Df de 𝒇(𝒙) =𝒙𝟑−𝟒𝒙

√𝟓

𝟑−𝟏𝟎𝒙

Seguidamente vamos a formalizar ciertos conceptos que se dieron anteriormente

de manera intuitiva, como: creciente, decreciente, máximo, mínimo, etc.

FUNCIONES

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Crecimiento y Decrecimiento de una Función

¿Qué es crecer?, naturalmente tenemos que remitirnos a la noción cotidiana de

crecer, como por ejemplo el niño que pasa de los 3 a los 6 años, decimos que

ha crecido en estatura; en los países industrializados crece la contaminación

ambiental; en nuestros países latinoamericanos crece el interés de la deuda

externa, a pesar que ya se les ha pagado el monto de la deuda; cuando

aprendemos matemáticas estamos creciendo en nuestro intelecto; en fin

asociamos crecimiento al “aumento de algo”; Para el decrecimiento podemos

hacer un razonamiento análogo. Pero, tenemos que definir formalmente estos

conceptos en matemática, para lo cual veamos los siguientes ejemplos:

1.- En Geometría:

El área de un círculo está en función de su radio, con la conocida fórmula: 𝑨 =

𝝅𝒓𝟐, donde: 𝑨 es el área y 𝒓 es el radio. Observa que de esta manera se ha

definido una función, en este caso : 𝑨(𝒓) = 𝝅𝒓𝟐, utilizando la 𝑨 en lugar de la 𝐟

y la 𝒓 en lugar de la 𝒙. Es lógico observar que el área del círculo aumenta

conforme aumenta el radio, por ejemplo, para un radio de 2 cm tenemos un área

de 4𝜋 = 12.5663…𝑐𝑚2, si aumentamos el radio a 6 cm, tendremos un área de

36𝜋 = 113.0973… . 𝑐𝑚2 . En este caso diremos que el área de un círculo, que

está en función del radio, es una función creciente.

Definición intuitiva.-Si los valores de 𝒙 aumentan, entonces los valores de𝒇(𝒙)

también aumentan, luego diremos que una función es creciente; o lo que es lo

mismo, si los valores de 𝒙disminuyen, los valores de 𝒇(𝒙) también disminuyen.

FUNCIONES

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Definición formal.- Sea f una función definida sobre

un intervalo I de los reales, se dice que f es creciente

sobre el intervalo I, si para toda pareja de números

reales: 𝒖 𝒚 𝒗 que pertenecen a I:

Observa que las dos desigualdades tienen el mismo sentido

2.- En la carretera: Un auto está en movimiento, la cantidad de gasolina en su

tanque disminuye o “decrece” conforme el auto avanza en el camino, es decir,

mientras aumentan los kilómetros recorridos, la reserva del tanque disminuye.

Podemos entonces decir que la cantidad de gasolina en el tanque es una función

decreciente con respecto a la distancia recorrida.

Definición intuitiva.- Si los valores de 𝒙 aumentan, entonces los valores de𝒇(𝒙)

disminuyen, luego diremos que una función es decreciente; o lo que es lo

mismo, si los valores de 𝒙 disminuyen, los valores de 𝒇(𝒙) aumentan.

Definición formal.-Sea f una función definida sobre un intervalo I de los reales,

se dice que f es decreciente sobre el intervalo I, si para toda

pareja de números reales: 𝒖 𝒚 𝒗 que pertenecen a I:

Observa que las dos desigualdades tienen sentido

contrario.

3.- Un reloj antiguo:

¿Te acuerdas de los relojes de péndulo, como este grandfather en la imagen

contigua? La siguiente figura que encontrarás es una simulación gráfica de los

si 𝒖 < 𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑢) ≤ 𝑓(𝑣)

si 𝒖 < 𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑢) ≥ 𝑓(𝑣)

FUNCIONES

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movimientos del péndulo de este reloj: el punto A representa la extremidad del

péndulo. La distancia AH desde A hasta la vertical Ox está en función del tiempo.

En un intervalo de 1 minuto, esta función no es creciente ni decreciente, en

efecto, como el péndulo se balancea varias veces en este intervalo de tiempo,

esta distancia aumenta y disminuye alternativamente.

Hagamos algunas aplicaciones: Definición.- Se dice que una función 𝒇 definida sobre un intervalo I es constante, si para todo elemento 𝒙 ∈ I se tiene que 𝒇(𝒙) = 𝒄, donde 𝒄 es un

número real.

FUNCIONES

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1) El ascensor de un edificio, sube del primero al sexto piso; entonces, la

distancia que le separa del piso, ¿es una función creciente o decreciente

en función del tiempo? El mismo ascensor sube al noveno piso y luego

baja al tercero; en este caso, la distancia que le separa del piso, ¿es una

función creciente, decreciente o ninguna de las dos en función del tiempo?

2) Un bus interprovincial que viaja desde Quito hasta Ambato:

a) La distancia entre Quito y el bus, ¿es una función creciente o

decreciente en función del tiempo? ¿Por qué?

b) La distancia entre Ambato y el bus, ¿es una función creciente o

decreciente en función del tiempo? ¿Por qué?

3) Cuando vas a una cabina de Internet, el precio que te cobran está en

función del……………...de utilización, ¿será esta función creciente o

decreciente?

4) En el círculo trigonométrico, de radio 1, se define al seno y al coseno como

los segmentos siguientes: sSi el ángulo 𝛼 varía desde 00 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 900, en el

sentido anti horario, el seno y el coseno dependen del ángulo, es decir

son funciones de 𝛼, analizando el gráfico,

el seno: ¿es creciente o decreciente?,

el coseno: ¿es creciente o decreciente?

FUNCIONES

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5) Tienes como tarea averiguar si el precio del petróleo a nivel internacional,

es una función decreciente, creciente o ninguna de los dos, en el lapso de

tiempo de los dos últimos meses.

Interpretación gráfica

Funciones crecientes.-Veamos los siguientes gráficos de funciones

crecientes:

i) 𝒚 = 𝟐𝒙

Analizando algunos puntos en la gráfica, por ejemplo:

𝟏 < 2 𝑓(𝟏) = 𝟐; 𝒇(𝟐) = 𝟒; 𝟐 < 4 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓(1) < 𝑓(2)

−𝟐 < 0 𝑓(−𝟐) = −𝟒; 𝒇(𝟎) = 𝟎; −𝟒 < 0 𝑙𝑢𝑒𝒈𝒐 𝒇(−𝟐) < 𝑓(0)

*Se conservan las desigualdades, parece ser una función creciente, pero…:

ii) 𝒚 = 𝟐𝒙 iii) 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙

ADVERTENCIA: Es muy importante señalar que para probar que la

función es creciente, no es suficiente hacerlo con ejemplos

numéricos, por numerosos que sean, puesto que no estamos seguros

que en algún par de puntos no se cumpla la condición. Esta es una

aseveración indispensable en la matemática, puesto que una de sus

características más potentes es precisamente la generalización de

resultados: NO SE PUEDE DEMOSTRAR UNA PROPOSICIÓN

MATEMÁTICA SOLO CON EJEMPLOS.

FUNCIONES

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En los dos gráficos anteriores se observa que las curvas “suben” de izquierda a

derecha en el plano cartesiano.

iv) Veamos un caso especial:

Esta función está definida en el intervalo [−4, 6], observamos que en el intervalo

[−4,1[ la función “crece”, pero en el intervalo [1, 4], la función permanece

constante, cuyo valor es 1 (su gráfico es una línea horizontal); después, en el

intervalo ]4, 6] sigue “creciendo” hasta alcanzar su “máximo” valor en 6, 𝑓(6) =

4.

La pregunta es: ¿En el intervalo [𝟏, 𝟒] la función crece o decrece?Veamos si

cumple con la definición: 𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦): como para todo

número 𝒙en el intervalo[𝟏, 𝟒]𝒇(𝒙) = 𝟏, entonces para cualquier pareja de

números 𝒙 𝑒 𝒚 en el intervalo, se tiene que 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚), por lo tanto se cumple

con la definición de función creciente, porque, no te olvides que:

FUNCIONES

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𝒇(𝒙) ≤ 𝒇(𝒚) 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) < 𝑓(𝒚) 𝒐 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚)

* Por lo tanto se puede concluir que: una función constante en un intervalo I,

es una función creciente en I.

¿Podrá ser decreciente también? ¡Piénsalo!

FUNCIONES

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Funciones decrecientes.- Observemos los siguientes ejemplos:

i) 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟑

Probemos con unos puntos en la gráfica:

−𝟏 < 2 𝑓(−1) = 5; 𝑓(2) = −1; 5 > −1 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒇(−𝟏) > 𝑓(𝟐)

𝟑 < 4 𝑓(3) = −3; 𝑓(4) = −5; −3 > −5 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒇(𝟑) > 𝑓(𝟒)

* Las desigualdades cambian.

Sin embargo, como antes, no podemos asegurar con certeza que la función es

decreciente, pero el gráfico nos da una buena pista:

ii) 𝒚 = (𝟏

𝟐)𝒙

iii) 𝒚 = −√𝒙

Como puedes observar, en el gráfico de una función decreciente, la curva

“baja” de izquierda a derecha en el plano cartesiano.

FUNCIONES

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iv) Caso especial:

En el dibujo, se puede notar que la función es decreciente en el intervalo

[−4,−2[, es constante en el intervalo [−2, 3], y otra vez decreciente en el

intervalo ]3, 6]. Nos interesa el intervalo [−2, 3]; como en el análisis anterior, para

verificar que es decreciente es necesario que cumpla:

𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒚); pero como:

𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒚) 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) > 𝑓(𝒚) 𝒐 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚) ;

La definición se ajusta perfectamente al intervalo en que la función es constante.

Luego, una función constante en un intervalo I también es decreciente en I.

* Conclusión: Una función que es constante en un intervalo I, es creciente y

decreciente a la vez en I.

Toma un respiro y vamos con otras definiciones:

Definición.- Se dice que una función definida sobre un

intervalo 𝑰 es estrictamente creciente, si cumple con: 𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) < 𝒇(𝒚).

Definición.- Se dice que una función definida sobre un

intervalo 𝑰 es estrictamente decreciente, si cumple con: 𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝒙) > 𝒇(𝒚)

FUNCIONES

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¿En qué se diferencian estas dos definiciones de las ya anotadas anteriormente?

Pues precisamente en los signos de desigualdad, fíjate bien y compara.

Analizando estos conceptos:

Si una función 𝒇 es estrictamente creciente (estrictamente

decreciente) sobre un intervalo𝑰, entonces esta función es

creciente (decreciente) sobre el intervalo, pero una función

creciente (decreciente) no es necesariamente estrictamente

creciente (estrictamente decreciente) en el intervalo.

Se dice que una función𝒇 es monótona sobre un intervalo 𝑰si 𝒇es

creciente o decreciente sobre el intervalo 𝑰.

Se dice que una función 𝒇 es estrictamente monótona sobre un

intervalo 𝑰 si 𝒇 es estrictamente creciente o estrictamente

decreciente sobre el intervalo 𝑰.

El gráfico de una función estrictamente monótona no presenta

líneas horizontales.

Hay que notar que la noción de creciente o decreciente,

estrictamente o no, está relacionada con el intervalo escogido, por

ejemplo, la función del gráfico siguiente, no es creciente ni

decreciente (no es monótona) en el intervalo [𝑎, 𝑏], pero es

estrictamente monótona decreciente en [𝑎, 𝑐] y estrictamente

monótona creciente en [𝑐, 𝑏]:

Ejemplos:

FUNCIONES

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Puedes construir más ejemplos para que te acostumbres a las nociones

precedentes, hazlo a mano y también con la ayuda de una computadora o

calculadora gráfica, en matemática es imprescindible explorar nuevos

conocimientos, no importa equivocarse al principio, que de los errores se

aprende.

Ahora vamos a ver cómo demostrar formalmente el crecimiento o decrecimiento

de una función; el método es bastante “algebraico”, es decir que hay un algoritmo

fácil a seguir:

Para demostrar que una función 𝒇 es creciente, tomamos un par de

números cualquiera en el dominio de definición de 𝒇, digamos 𝒙 𝒆 𝒚 , tal

que 𝒙 < 𝑦, y debemos mostrar que: 𝒇(𝒙) ≤ 𝒇(𝒚). Para probar que es

decreciente, debemos mostrar que 𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒚) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 < 𝑦.

Ejemplo: Probemos que la función: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐 es creciente:

Solución: Sea 𝒙 < 𝑦:

Estrictamente monótona creciente en ℝ+

Estrictamente monótona decreciente en ℝ

Ni creciente ni decreciente en [−4, 7]

Estrictamente creciente en [−6,4]

Estrictamente decreciente en [−2,3]

Constante en ℝ

FUNCIONES

27

Multiplicando por 3 a los dos miembros de la desigualdad se obtiene: 𝟑𝒙 < 3𝒚

Restando 2 a los dos miembros de la desigualdad se tiene: 𝟑𝒙 − 𝟐 < 3𝒚 − 𝟐

Pero 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐; 𝒇(𝒚) = 𝟑𝒚 − 𝟐; por lo tanto:

𝒇(𝒙) < 𝑓(𝑦), que es lo que queríamos probar, luego 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐 es creciente.

Otra forma: mostrar que 𝒇(𝒙) < 𝑓(𝑦) es lo mismo que mostrar que:

𝒇(𝒚) − 𝒇(𝒙) > 0, para lo cual, según la definición de 𝒇se tiene que:

𝒇(𝒚) − 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒚 − 𝟐 − (𝟑𝒙 − 𝟐) = 𝟑𝒚 − 𝟑𝒙 = 𝟑(𝒚 − 𝒙)

Pero como 𝒙 < 𝑦, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 − 𝒙 > 0por lo tanto 𝟑(𝒚 − 𝒙) > 0, entonces

𝒇(𝒚) − 𝒇(𝒙) > 0; De lo cual concluimos que: 𝒇(𝒙) < 𝑓(𝑦); entonces la función es

creciente.

*Puedes escoger cualquiera de las dos formas

Ejemplo: Mostremos que 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏 es decreciente:

Solución: Sea 𝒙 < 𝑦:

Multiplicando por -4 a los dos miembros de la desigualdad se obtiene:

−𝟒𝒙 > −4𝒚 (No te olvides que al multiplicar por un número negativo, la

desigualdad cambia de sentido)

Sumando 1 a los dos miembros de la desigualdad obtenemos:

−𝟒𝒙 + 𝟏 > −4𝒚 + 𝟏

Pero 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏, 𝒇(𝒚) = −𝟒𝒚 + 𝟏 por lo tanto:

𝒇(𝒙) > 𝑓(𝑦), que es lo que queríamos probar, luego 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏 es

decreciente.

Como tarea, prueba el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) =5

4𝑥 − 9 b) 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 𝑥

c) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, sugerencia para esta función: considerar dos intervalos:[−∞, 0] y

[0, +∞]

Como ves, es indispensable conocer las propiedades de las desigualdades y, a

partir de 𝒙 < 𝒚 vas construyendo 𝒇(𝒙) y 𝒇(𝒚), al final los comparas y listo. Los

gráficos son de gran ayuda, usa el DeadLine.

Máximos y Mínimos

Estos conceptos matemáticos también se ajustan al lenguaje ordinario,

escuchamos frecuentemente: La Liga, al ganar la Copa Libertadores es “lo

FUNCIONES

28

máximo”; ayer la temperatura “mínima” en Quito fue 10 grados y la “máxima” de

21 grados; los préstamos hipotecarios tendrán un monto “máximo” de 70000

dólares; la nota “mínima” para pasar de año es de 28 puntos sobre 40, etc.

La idea intuitiva de “máximo” es el valor más grande

que se pueda alcanzar en una determinada

situación; la de “mínimo”, es el valor más pequeño.

Pero, ahora nos toca definirlo matemáticamente,

toma aire y…

Definición:

MÁXIMO.- Sea 𝒇 una función definida sobre un

intervalo 𝑰, sea𝒂 un número real que pertenece a

𝑰.Decir que 𝒇 tiene un máximo en 𝒂, o que 𝒇(𝒂) es

el máximo de 𝒇 en 𝑰, significa que: para todo 𝒙

elemento de 𝑰, 𝒇(𝒂) ≥ 𝒇(𝒙)

Definición:

MÍNIMO.-Sea 𝒇 una función definida sobre un intervalo 𝑰, sea 𝒃 un número real

que pertenece a 𝑰.Decir que 𝒇 tiene un mínimo en 𝒃, o que 𝒇(𝒃) es el mínimo

de 𝒇 en 𝑰, significa que: para todo 𝒙 elemento de 𝑰, 𝒇(𝒃) ≤ 𝒇(𝒙)

Esto quiere decir que el máximo de una función 𝒇 es el valor más alto que puede

alcanzar 𝒇 en el intervalo 𝑰, el mínimo en cambio es el menor valor de todos los

valores de 𝒇 en el intervalo 𝑰.

Interpretación gráfica

MÁXIMO:

Espacio para la

publicidad:

"El razonamiento se

hace por el sentimiento

que nos produce en la

mente la evidencia de la

verdad, sin necesidad de

norma o regla alguna"

Frase del matemático francés

Jean Marie Duhamel (1797-

FUNCIONES

29

MÍNIMO:

El punto 𝑩(𝒃, 𝒇(𝒃)) es el punto más bajo de la curva, 𝒇 tiene un mínimo en 𝒃;el

mínimo es 𝒇(𝒃).

Veamos el siguiente caso, es una función definida a trozos, sobre el intervalo

El punto 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) es el punto más alto de la curva, 𝒇 tiene un máximo en

𝒂; el máximo es 𝒇(𝒂).

FUNCIONES

30

Esta función está definida en el intervalo [𝟎, 𝟖].

o En el intervalo [𝟎, 𝟖], la función tiene un máximo en x = 2, ese máximo es 5.

o En el mismo intervalo: [𝟎, 𝟖], el mínimo es 1, para x = 0y x = 5. o En el intervalo [𝟎, 𝟐], el mínimo es 1, para x = 0, el máximo es 5, para

x = 2.

o En el intervalo [𝟐, 𝟓], el mínimo es 1, para x = 5, el máximo es 5, para x = 2.

o En el intervalo [𝟓, 𝟖], el mínimo es 1, para x = 5, el máximo es 3, para x = 8.

Con esto, hay que notar que las nociones de máximo y mínimo están

relacionadas con el intervalo a considerarse, además vemos que alguna

función puede alcanzar su máximo o mínimo en varios puntos.

Una pregunta: ¿será que todas las funciones tienen máximos y mínimos?

La respuesta es obviamente NO, ejemplos:

i. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 no tiene máximo ni mínimo en ℝ

ii. 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 no tiene máximo ni mínimo en ℝ.

Otros ejemplos:

iii. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 tiene mínimo en 0, pero no tiene máximo en ℝ.

iv. 𝒇(𝒙) = −√𝒙 + 𝟐 tiene máximo en 0, pero no tiene mínimo en ℝ

v. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 , definida en el intervalo [𝟎, 𝟐𝝅]tiene un máximo en 𝝅

𝟐, cuyo

valor es 1, y tiene un mínimo en 𝟑𝝅

𝟐, cuyo valor es -1.

¡Compruébalo con la ayuda de la calculadora o un programa de gráficos, el

programa GeoGebra: http://geogebra.softonic.com/ también es muy bueno!

Simetrías

http://geogebra.softonic.com/

FUNCIONES

31

Funciones: Pares, Impares, Periódicas

SIMETRÍA.- La simetría es un concepto también asociado a la realidad, en la

naturaleza encontramos algunos ejemplos: muchas flores tienen dispuestos sus

pétalos de forma “simétrica”, el cuerpo humano es “simétrico”, algunas figuras

geométricas son “simétricas”, etc.

La idea intuitiva asociada al concepto de simetría es el espejo. Pero tenemos

que definirla matemáticamente, para lo cual consideramos dos tipos de

simetría:

A. Simetría axial.- Se dice que dos puntos A y

B son simétricos respecto a un eje d,

llamado “eje de simetría”, si d es la

mediatriz del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

En el plano cartesiano, los ejes de simetría suelen

ser precisamente el eje x y el eje y.

B. Simetría central.- Dos puntos M y N son

simétricos respecto a un punto O, si O es la

mitad del segmento 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅.

Igualmente, en el plano cartesiano, el origen de

coordenadas suele ser el punto de simetría central.

Sea 𝒇 una función definida sobre un intervalo 𝑰, entonces aprendamos las

siguientes definiciones:

FUNCIONES

32

Función par

I está centrado en cero y para todo x elemento

de I, se tiene que:

𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙)

El eje de las ordenadas

(eje y) es el eje de simetría de la curva

Función impar

I está centrado en cero y para todo x elemento

de I, se tiene que:

𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙)

El origen de

coordenadas es el centro de simetría de la

curva

Función periódica

El dominio de definición de f es y para todo x elemento de , se tiene

que:

𝒇(𝒑 + 𝒙) = 𝒇(𝒙)

Donde p es un número real, llamado período de

f

La curva es “invariante” por traslación horizontal

Notas: muchas funciones no son ni pares ni impares, en particular, no lo son las

funciones cuyo conjunto de definición no esté centrado en cero, por ejemplo, el

intervalo: [−3, 3], está centrado en cero, mientras el intervalo [−2,5] no lo está.

Ahora ¿cómo reconocer si una función es par o impar? Nos ayudará el esquema

siguiente:

FUNCIONES

33

Ejemplos:

Estudiar la “paridad” de las siguientes funciones:

1.-𝒇(𝒙) =𝟒

𝒙𝟐+𝟏, definida sobre ℝ

Calculamos inmediatamente: 𝒇(−𝒙) =𝟒

(−𝒙)𝟐+𝟏=

𝟒

𝒙𝟐+𝟏= 𝒇(𝒙)

Luego, la función es par.

2.- 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑−𝒙

𝒙𝟐−𝟗, definida sobre ℝ− {𝟑,−𝟑}

Calculamos 𝒇(−𝒙) = (−𝒙)𝟑−(−𝒙)

(−𝒙)𝟐−𝟗=−𝒙𝟑+𝒙

𝒙𝟐−𝟗= −𝒇(𝒙)

Luego la función es impar.

3.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔, definida sobreℝ− {𝟐, 𝟑}

Calculando 𝒇(−𝒙) =𝟏

(−𝒙)𝟐−𝟓(−𝒙)+𝟔=

𝟏

𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟔≠ 𝒇(𝒙) ≠ −𝒇(𝒙)

Luego la función no es par ni es impar.

* La función seno es periódica de período 𝟐𝝅, puesto que: 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝟐𝝅) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙),

(comprueba con algunos valores en la

calculadora). Más adelante veremos con

detalle estas funciones. Pero si puedes

contestar la pregunta siguiente: ¿el seno es

par o impar? Construye el gráfico y deduce.

Sentido de Variación de una Curva.-

Analicemos la curva siguiente:

Cálculo de f(-x) f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)f no es par ni

es impar

f es imparf es par

Un chistecito gringo:

FUNCIONES

34

La función 𝒇 que representa esta curva, está definida en el intervalo [𝟎, 𝟏𝟎], en

el cual no es creciente ni decreciente, pero si la analizamos por sub-intervalos

veremos mejor su comportamiento: en el intervalo [𝟎, 𝟓]𝒇 es estrictamente

decreciente, en el intervalo [𝟓, 𝟕] es constante y en el intervalo [𝟕, 𝟏𝟎]𝒇 es

estrictamente creciente.

De esta manera hemos estudiado el “sentido de variación” de la curva que

representa la función. Es decir, hemos encontrado los intervalos en los que la

curva es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante. Pero

esto lo podemos simplificar con una tabla, llamada tabla de variación de la

función, para el ejemplo anterior quedaría así:

x 0 5 7 10

f

4 4

1 1

Como aplicación, encuentra la tabla de variación de la siguiente curva:

FUNCIONES

35

Pero, en la mayoría de casos, nos dan la tabla de variación y se pide construir la

curva, como vemos en este ejemplo:

Construye la curva de una función que tiene la tabla de variación siguiente:

x -4 0 2 5

f

3

-2 -1 -1

Como pueden ver, la representación anterior coincide con lo planteado en la

tabla de variación.

FUNCIONES

36

Claro que la curva también podría ser así:

Es decir, hay infinidad de curvas que se pueden dibujar con esa tabla de

variación. Entonces el método de la tabla es una manera solo aproximada de

dibujar la curva, pero en todo caso es muy útil para ver su “comportamiento” en

forma general, es decir su monotonía en cada intervalo. Además no necesitamos

conocer la ley de la función.

Tracemos ahora una curva por otro método, el llamado “punto por punto”:

Sea la función: 𝒇(𝒙) =−𝟒𝒙−𝟑

𝒙𝟐+𝟏, definida sobre el intervalo [−𝟕, 𝟕]

El método consiste en construir una tabla de valores de la siguiente manera:

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 0.5 0.55 0.65 0.75 0.9 1 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7

-3 -3.5 -2.2 -1.5 -1.1 -0.9 -0.75 -0.6

Se han colocado en la fila se las x, los valores enteros entre -7 y 7, en la fila de

las y, se han colocado los valores obtenidos con UNA CALCULADORA

programable, con una aproximación de 2 centésimas, siguiendo la fórmula:

𝒇(𝒙) =−𝟒𝒙−𝟑

𝒙𝟐 ; la secuencia de teclas es la siguiente:

( (-) 4 × 𝒙 - 3 ) ÷ (

𝒙 ^ 2 + 1 )

¡Comprueba los valores de la tabla!

Observemos y analicemos los valores obtenidos:

FUNCIONES

37

De -7 a -2, la variación no es muy importante, los valores de la función

crecen “despacio” desde 0.5 a 1.

De -2 a -1 hay un “pequeño” decrecimiento; en cambio de -1 a 0, el

decrecimiento es más “rápido”. Calculemos por ejemplo: 𝑓(−0.5) = −0.8

y 𝑓(−0.25) = −1.9

Podemos deducir que la función tiene un máximo que es 1, para x = -2,

se puede observar que al calcular 𝑓(𝑥) para valores “próximos” a -2, nos

dan números menores que 1. Pero –¡cuidado!-, no está demostrado

formalmente que 1 es el máximo; para ello habría que demostrar que

𝑓(𝑥) ≤ 1 para todos los x que pertenecen a [−𝟕, 𝟕]

Según la tabla, la función tiene el valor más pequeño: -3.5, para x =1, pero

por si acaso calculemos algunos valores más:

𝑓(0.4) = −𝟑. 𝟗𝟔 baja a 𝑓(0.5) = −𝟒 sube a 𝑓(0.6) = −𝟑. 𝟗𝟕

Deducimos que hay un mínimo en 0.5, este valor es -4.

Ahora ya podemos dibujar la curva

Bueno aquí nos paramos de tanta teoría y nos vamos a hacer

algunos ejercicios, lo cual es muy necesario para reafirmar la

teoría. Aquí se necesita tu mayor concentración, si no sabes

alguna pregunta, revisa nuevamente la teoría, no te rindas frente

a un problema, algunos son más difíciles que otros, pero TODOS

SON RESOLUBLES.

FUNCIONES

38

Ejercicios Propuestos

CONTESTA VERDADERO O FALSO:

1. La “relación” que une a un padre con sus dos hijos ¿es una función?

2. Si x es un elemento del conjunto de definición de 𝒇, entonces 𝒇(𝒙)siempre

existe.

3. Sea A (-3,2) un punto de una curva que representa a la función 𝒇,

entonces es verdad que 𝒇(−𝟑) = 𝟐.

4. Las pre-imágenes de una función está en el eje de las ordenadas.

5. Una función que no es par, entonces es impar.

IDENTIFICACIÓN GRÁFICA:

1. Observar las curvas siguientes:

a) Indicar cuáles curvas representan una función (sugerencia: Si trazas una

línea vertical en cualquier parte del plano, para que la curva represente a

una función, ésta debe cortar en un SOLO PUNTO a la curva).

b) ¿Cuáles son pares, impares?

c) Para cada curva encontrar el conjunto de definición.

FUNCIONES

39

2. Observa la curva del gráfico, definida en [−5, 5] y contesta lo siguiente:

i. Realiza la tabla de variación de la función

ii. ¿Cuál es el máximo, cuál es el mínimo en el intervalo [−5, 5]?

iii. ¿Cuál es el mínimo en el intervalo [−5,−1]?, ¿Cuál es máximo en el

intervalo [2, 5]?

iv. Encuentra los siguientes valores de la función: 𝑓(−5), 𝑓(5), la función es

¿par, impar?

v. Si 𝑓(𝑥) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 =?

vi. Traza otra curva con la misma tabla de variación de esta función.

3. En el gráfico que sigue se han trazado unas curvas que representan la talla y

el peso de los muchachos y las muchachas entre 0 y 18 años.

Las dos curvas superiores indican las tallas y las dos inferiores indican el peso.

Las curvas que indican a las muchachas están en rojo, las de azul indican a los

muchachos y la verde indica los pesos de un muchacho con desnutrición.

FUNCIONES

40

Nota que hay dos ejes de ordenadas, la de la izquierda indica las tallas en cm y

la de la derecha indica los pesos en kg.

PREGUNTAS:

a) ¿Cuáles curvas son estrictamente crecientes?, ¿cuáles son crecientes,

decrecientes?, ¿ninguna de las dos? En el intervalo [1, 18]

b) Indicar el máximo y el mínimo en el intervalo [1, 18] de cada una de las

cinco curvas representadas, precisar la edad.

c) Un chico desnutrido pesa 35 kg, ¿qué edad tiene?

d) Comparar la manera de crecer en talla y en peso entre los muchachos y

las muchachas.

e) Busca tu edad y encuentra tu peso y tu talla.

f) Definimos una nueva función llamada 𝑔, donde 𝑔(𝑥) es el peso de un

muchacho de edad 𝑥, y sea 𝑚(𝑥) el peso de un muchacho de edad 𝑥 que

tiene desnutrición, entonces, sea la función:

𝑑(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 𝑚(𝑥)

FUNCIONES

41

Encontrar aproximadamente los valores 𝑑(15), 𝑑(17), 𝑑(8). Saca alguna

conclusión.

¿En qué intervalos la curva que representa a la función 𝑑 es creciente,

decreciente? Concluye algo interesante.

4. Un problema de Física

El gráfico que se muestra a continuación representa la variación de la distancia

en función del tiempo 𝒅(𝒕), realizada por un móvil M. también se da una tabla de

datos, en la cual se tiene valores del tiempo 𝒕, expresado en segundos y su

respectiva distancia 𝒅(𝒕), expresada en metros.

𝒕 0 2 5 10 15 20 30 40 50

𝒅(𝒕) 0 19 29 42 56 61 78 88 98

Recordemos que la velocidad media �̅� de un móvil, entre los instantes:

𝒕𝟏 𝒚 𝒕𝟐 está definida como el cociente entre la variación de la distancia recorrida

y el tiempo utilizado, es decir: �̅� =𝒅(𝒕𝟏)−𝒅(𝒕𝟐)

𝒕𝟐−𝒕𝟏

Veamos lo que se puede concluir de los datos anteriores:

a. ¿El móvil recorre la misma distancia en iguales intervalos de tiempo?, es

decir, el movimiento ¿es uniforme? Sugerencia: fíjate en la tabla, por

ejemplo en el intervalo entre 5 y 10 segundos, ¿es la misma distancia que

el intervalo entre 10 y 15, o 15 y 20?, etc.

FUNCIONES

42

b. ¿Recorre más metros durante los primeros cinco segundos que durante

los diez últimos?, es decir ¿es mayor la velocidad en el intervalo de

tiempo[0, 5]que sobre el intervalo [40, 50]?

c. De acuerdo al gráfico, la velocidad del móvil: ¿tiende a disminuir?, ¿a ser

constante?, verificar con la tabla.

d. Según el gráfico y la tabla, ¿cuál es el intervalo de tiempo en que el móvil

tiene mayor velocidad?

e. ¿Cuál es la velocidad media en el intervalo [0, 20]?, ¿en el intervalo

[0, 50]?

f. Supongamos que otro móvil N, se mueve con la misma velocidad que el

móvil M en el intervalo [0, 20], es decir el móvil N se mueve con esa

velocidad constante desde el tiempo 𝑡 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑡 = 20, sin hacer

cálculos, directamente sobre el gráfico, traza la curva que representa la

función 𝑔(𝑡), que es la distancia en metros que recorre el móvil N en el

tiempo 𝑡.

5. a) 𝒇 es una función creciente en el intervalo [𝟑, 𝟕], ¿por qué f(3) es el mínimo

en el intervalo [𝟑, 𝟕]? ¿Por qué f (7) es el máximo en el mismo intervalo?

b) 𝒈 es una función decreciente en el intervalo [−𝟒, 𝟓], ¿por qué f(-4) es el

máximo en el intervalo [−𝟒, 𝟓]? ¿Por qué f (5) es el mínimo en el mismo

intervalo?

6. 𝒇 es una función definida en ℝ, f es creciente sobre ℝ, tal que f(0) = 1, ¿se

puede decir que es cierto que: si 𝑥 ≥ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≥ 1?

7. 𝒇 es una función estrictamente creciente en el intervalo [𝑎, 𝑏], es cierto o falso

lo siguiente: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑛]𝑎, 𝑏[ se tiene que: 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑏)

8. Indicar la monotonía (decir si es creciente, decreciente, estrictamente o no) de

las siguientes funciones:

I. 𝑥 ⟼ 3𝑥 − 4

II. 𝑥 ⟼ 3𝑥 + 1

III. 𝑥 ⟼ 3− 𝑥

FUNCIONES

43

IV. 𝑥 ⟼ 12

V. 𝑥 ⟼4

3𝑥 + 5

VI. 𝑥 ⟼ −1

2𝑥 − 3

¿Las funciones I y II, tienen la misma monotonía?

9. Dada la siguiente tabla de variación de una función, hacer dos gráficos

aproximados de la misma.

X -2 0 3 6

F

5 0

-1 -3

10. Sea la función 𝑓 sobre ℝ, definida por 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙.

a. Verificar que 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒚) = (𝒚 − 𝒙)(𝒙 + 𝒚 − 𝟐)

b. Demostrar las dos propiedades siguientes:

{𝒔𝒊 𝒙 < 𝑦 ≤ 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 𝑦 < 2𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 𝑦 > 2

c. Deducir de a. y b. que 𝑓 es estrictamente creciente en el intervalo ]−∞, 𝟏]

y que es estrictamente decreciente en el intervalo[𝟏,+∞[. Hallar la tabla

de variación de la función.

d. Resolver la ecuación: −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎(factora e iguala a cero cada factor).

e. Utiliza c. y d. para resolver la inecuación:−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 > 0.

11. Resolver lo siguiente:

i. ¿Qué número real es igual a su opuesto? Deducir la función definida sobre

ℝ, que es a la vez par e impar.

ii. f es una función impar, definida sobre el intervalo [– 𝑎, 𝑎], entonces,

demostrar que 𝑓(0) = 0

FUNCIONES

44

iii. Demostrar que si f es creciente sobre el intervalo [0, 𝑎], entonces 𝑓

también es creciente en el intervalo [−𝑎, 0].

iv. Demostrar que si f es decreciente sobre el intervalo [0, 𝑎], entonces 𝑓

también es decreciente en el intervalo [−𝑎, 0].

v. Analizar lo mismo si 𝑓 es par.

12. Sea 𝑓 una función definida sobre el intervalo [– 𝑎, 𝑎]. Sobre este intervalo,

consideremos las funciones 𝑔 𝑦 ℎ definidas así:

𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

ℎ(𝑥) =𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2

a. Determinar las funciones 𝑔 𝑦 ℎ cuando: 𝑓 es par, 𝑓 es impar.

b. Estudiar la paridad de 𝑔 𝑦 ℎ en una forma general.

13. Para cada par de números reales 𝑥1 𝑦 𝑥2tal que: −2 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 9, se

tiene:𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2).

a) ¿Qué se puede decir de la monotonía de esta función?

b) f es una función definida sobre [−4, 5] y tal que: 𝑓(−3) = 4 𝑦 𝑓(4) = 6,

¿Se puede decir que la función es creciente en [−4, 5]? Justificar.

c) Se sabe que 𝑓(2) = 5, y que para todo real 𝑥 del intervalo [2, 8] se tiene

que 𝑓(𝑥) ≤ 5. ¿Se puede decir que esta función es decreciente en [2, 8]?

Justificar.

14. Dibujar las siguientes curvas:

i. Decreciente en [−2, 3] y creciente en [3,5]

ii. 𝑓 está definida en el intervalo [0, 7], tal que : sea decreciente en [0, 4],

decreciente en [4, 7], pero no estrictamente decreciente en [0, 7]

iii. 𝑓 es creciente en el intervalo [2, +∞], y tal que, para todo 𝑥 del conjunto

de definición: −4 ≤ 𝑓(𝑥) < 3

iv. 𝑓 es una función decreciente sobre los números negativos y tal que para

todo 𝑥 ≤ −2, se tiene que 𝑓(𝑥) ≥ 0

15. Considera la curva de la función 𝑓𝑛 en el gráfico siguiente:

FUNCIONES

45

a) Encontrar el conjunto de definición de 𝑓.

b) Resolver gráficamente las ecuaciones: 𝑓(𝑥) = 5 ; 𝑓(𝑥) = −2 ; 𝑓(𝑥) =

0.

c) Encontrar los puntos de las abscisas donde la imagen es negativa.

d) Resolver gráficamente: 𝑓(𝑥) ≥ 0.

16. Una función definida a trozos tiene la forma siguiente:

𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 25 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

Se ha representado dicha función en cada una de sus partes para que puedas

observar cómo se grafica este tipo de funciones cuya curva de definición no tiene

un comportamiento igual en todo su dominio.

FUNCIONES

46

a. ¿Hay máximo?, ¿hay mínimo?, ¿cuáles son?

b. ¿En qué intervalos es creciente?, ¿en qué intervalos es decreciente?

c. Si la función se “anula”, ¿en qué puntos?

d. ¿En qué intervalos es positiva?, ¿en qué intervalos es negativa?

e. ¿Cuál es su conjunto imagen?

17. Un problema de medicina

Se inyecta a un ratón de laboratorio por vía intramuscular una sustancia

inofensiva que pasa del músculo a la sangre y es eliminada enseguida por los

riñones. El gráfico siguiente muestra la variación de la cantidad de sustancia 𝑆(𝑡)

en gramos por litro presente en la sangre en el instante 𝑡(en segundos). Observar

el gráfico para responder estas preguntas:

FUNCIONES

47

(Considera que el proceso de asimilación de la sustancia sucede en el intervalo

de 0 a 18 segundos, mientras que el proceso de eliminación sucede a partir de

los 18 segundos en adelante.)

a. ¿Cuál es la cantidad máxima de sustancia que pasa a la sangre?, ¿en

qué tiempo?

b. ¿A partir de qué momento comienza la eliminación de la sustancia?

c. ¿El tiempo de la asimilación de la sustancia es más largo o más corto que

la eliminación? ¿por qué?

d. ¿Cuál es el tiempo de paso de 1.5 g a 2.3 g en el proceso de asimilación?

¿Cuál es el tiempo de paso de 2.3 g a 1.5 g en el proceso de eliminación?

Compara los dos tiempos.

18. Demostrar que la función 𝒇: 𝒙 ↦ 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔, es estrictamente decreciente

en el intervalo]−∞, 4], y es estrictamente creciente en el intervalo [4, +∞[,

construye la tabla de variación y dibuja la curva.

19. Un problema de Física

Un proyectil se lanza desde el suelo , designamos por ℎ(𝑡) la altura en metros al

instante 𝑡 en segundos, los físicos estiman que la altura del objeto responde a la

ley siguiente: ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 100𝑡.

a) ¿En qué instante el proyectil regresará al suelo?

b) Demostrar que la función ℎ(𝑡) es estrictamente creciente en el

intervalo [0, 10] y es estrictamente decreciente en el intervalo [10, 20].

c) ¿Cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?

d) ¿En qué tiempo llegó a esa altura?

e) Acuérdate de las clases de Física y responde: ¿cuál es la velocidad

inicial con la que se lanzó el proyectil?, ¿qué valor aproximado de g

(aceleración de la gravedad) se ha tomado en la fórmula de ℎ(𝑡)?

f) Dibuja la curva.

20. Vamos por la Ecología, tema tan de moda en estos tiempos

FUNCIONES

48

En base de los valores que proporciona el estudio de la evolución de las fuentes

de energía en el mundo desde 1950 a 1985 elaborar la tabla de variación de

cada función:

1. A partir de 1980, ¿qué pasó con el consumo del carbón y la madera?

2. ¿Qué función tendió a crecer más rápidamente?

3. ¿En qué año se presentó la máxima producción de carbón?

4. ¿Por qué tendió a disminuir el consumo de la madera?

21. La relación que une a cada número real con su cuadrado ¿es una función?

V____ F____

22. Si el punto P (3, 2) pertenece a la curva de la función 𝒇 , entonces se verifica

que: 𝒇(𝟐) = 𝟑. V____ F____

23. El dominio de una función es un subconjunto del eje de las x. V____ F____

24. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙, entonces 𝒇(−𝟏) = 𝒇(𝟏) V____ F____

FUNCIONES

49

25. En una relación 𝒉 se tiene 𝒉(𝟐) = 𝟒 𝒚 𝒉(𝟐) = 𝟔, entonces no es una función

V_____ F____

26. En el gráfico se representa la distancia recorrida por los ciclistas en la Vuelta

a la República del Ecuador en la etapa Quito - Santo Domingo, de la manera

siguiente:

a) ¿A qué hora salen?_______, ¿A qué hora llegan?_______

b) Suponiendo que tienen velocidad constante en cada hora, calcula la

velocidad en cada tramo: 10-11:_____km/h; 11-12:____km/h; 12-

13____km/h; 13-14_____km/h; 14-15____km/h; 15-16____km/h

c) ¿Dónde y a qué hora hay la mayor cuesta?: hora_______; Km_______

d) ¿Dónde y a qué hora hay la mayor bajada?: hora_______; Km_______

27. Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 20 cm de lado, se recorta

en cada esquina un cuadrado de 𝒙 cm de lado y luego se dobla para fabricar una

caja.

a) Expresar el volumen de la caja en función de 𝑥 : 𝑽(𝒙) =

________________________

b) Hallar el dominio de𝑽: 𝑫𝑽 = {𝒙|______________________________}

Nota: El volumen de la caja es igual a la superficie de la base por la altura

FUNCIONES

50

28. Una agencia de alquiler de autos propone dos

tarifas diarias a sus clientes para alquilar un auto:

Primera: $50 fijos más $0.5 por kilómetro. Segunda:

$25 fijos más $1.5 por kilómetro. Llamemos 𝒙 al

número de kilómetros recorridos en el día, 𝒇(𝒙)al

precio que se pagaría en la primera tarifa; 𝒈(𝒙) al

precio que se pagaría por la segunda tarifa.

a) Encontrar 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙); 𝒇(𝒙) =

_______________________𝒈(𝒙) = _____________________

b) Suponiendo que se recorra 500 km en el día,

¿Cuál de las dos tarifas es más conveniente? Explicar:

(se sugiere hacer un gráfico en la parte de atrás)

29. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) 𝒇(𝒙) =𝟐𝒙

𝟑𝒙−𝟐, 𝑫𝒇 =

___________________________________

b) 𝒇(𝒙) =𝒙+𝟓

𝒙𝟐−𝟏𝟎𝟎, 𝑫𝒇 =

_________________________________

c) 𝒇(𝒙) =𝟓

𝟒𝒙+𝟐+𝟓𝒙

𝒙, 𝑫𝒇 =

_________________________________

d) 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 − 𝟗, 𝑫𝒇 =

_________________________________

e) 𝒇(𝒙) =𝟔

√𝟕−𝟏𝟒𝒙 𝑫𝒇 =

__________________________________ 30. Dados los siguientes gráficos, encontrar el dominio y el conjunto imagen

Operaciones con Funciones:

Paréntesis cultural: Galois

Galois fue un matemático genial

que no es conocido por el público en

general. Su obra pertenece al

campo del Análisis Matemático que

no está entre los contenidos de la

escuela primaria ni secundaria,

quedando al margen de los estudios

básicos de cultura general. Su

genio le permitió dejar una obra de

inestimable valor habiendo vivido

sólo 21 años. Su vida se desarrolló

en Francia a comienzos del siglo

XIX en uno de los turbulentos

períodos de la historia de Europa.

Evaristo Galois nació en Bourg-

la-Reine el 25 de octubre de

1811. A los doce años ganó una

beca para estudiar en el Colegio

de Reims y al poco tiempo se fue

a París para estudiar en el Liceo

Luis-le-Grand, donde con sus

escasos doce años discutía

violentamente sobre el destino

político de Francia. En realidad la

política era el tema que lo volvía

agresivo y por lo demás era un

adolescente soñador; gustaba de

la literatura, sin por esto

descuidar su inclinación ya

notable por la matemática.

Con solo 13 años estudió la

geometría de Legendre, y en

pocos meses asimiló su

contenido. Buscó aprender

álgebra así que se puso a

desentrañar la obra de Lagrange.

Estos dos matemáticos,

Legendre y Lagrange, influyeron

notablemente en su pasión por la

matemática y entonces se

propuso prepararse para el

ingreso a la Escuela Politécnica

FUNCIONES

51

Las funciones, al igual que los números también se pueden “combinar” con varias

operaciones para producir otras funciones, vamos a estudiar algunas de estas

operaciones:

SUMA Y RESTA DE FUNCIONES:

Para poder sumar o restar dos funciones es necesario que ambas tengan el

mismo dominio de definición𝑫, de esta forma definimos:

Sean 𝒇 𝑦 𝒈dos funciones con el mismo dominio de definición𝑫, entonces la suma

de 𝒇 y𝒈simbolizada: 𝒇 + 𝒈tiene la ley:(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), donde

𝒙 pertenece a 𝑫

Sean 𝒇 𝑦 𝒈dos funciones con el mismo dominio de definición 𝑫, entonces la resta

de 𝒇y𝒈 simbolizada: 𝒇 − 𝒈 tiene la ley:(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), donde

𝒙 pertenece a 𝑫

Ejemplos:

1. Sean 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐, y 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 entonces: (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 + 4𝑥2 + 5𝑥 − 6

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟒

FUNCIONES

52

Gráficos:

1. Sean 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐;

𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 . Entonces:

(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 6

(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟖

Gráficos:

de París sin dejar, por supuesto

las otras actividades. Intervenía

en las discusiones artísticas. En

el año 1827, Galois fracasó en su

intento de ingresar a dicha

institución, así que se dedicó a

preparar una memoria con sus

trabajos y la presentó por su

cuenta en la Academia de

Ciencias. Sus apuntes sobre la

teoría de ecuaciones algebraicas

fueron olvidados sin que nunca

más se supiera de ellos; algunos

argumentan que por celos

profesionales, otros que los

prejuicios de la época fueron los

causantes. Al año siguiente volvió

a dar el examen de ingreso a la

Politécnica. Esta vez no consiguió

entenderse con los profesores

que le tomaron el examen y se

puso a corregir las preguntas que

le hacían sobre la teoría de

logaritmos; es muy probable que

Galois, a esa altura, supiera

mucho más que sus profesores.

Pero claro, a ellos no les gustó la

observación del aspirante y le

llamaron seriamente la atención

con lo cual Galois ya no pudo

dominar su temperamento, les

tiró el borrador por la cabeza y

se fue diciendo que eran unos

"ganapanes de la enseñanza" y,

por supuesto, tampoco esa vez

pudo ingresar a la Politécnica de

París. Abandonó para siempre la

posibilidad del ingreso a la

Politécnica y se dedicó a entrar

en la Escuela Normal que había

sido reabierta.

Entró en la Escuela Normal el 20

de febrero de 1830. Ganarse la

incomprensión de sus maestros

fue una condición que Galois

FUNCIONES

53

3. Sean 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2(𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟐

Gráficos:

4. Sean 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙−

𝟏

𝒙𝟐 ; 𝒈(𝒙) = −

𝟏

𝒙𝟐−𝟏

𝒙 entonces:

(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =1

𝑥−1

𝑥2− (−

1

𝑥2−1

𝑥 )

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =1

𝑥−1

𝑥2+1

𝑥2+1

𝑥

(𝒇 − 𝒈)(𝒙) =𝟐

𝒙

Gráficos:

conservó toda su vida de

estudiante. En la Escuela Normal

sus profesores de matemática le

tenían por un alumno inteligente,

lúcido y aceptaban que había

obtenido resultados nuevos en el

Análisis Matemático; pero los

otros le consideraban un pésimo

alumno. La atmósfera política de

la ciudad ya estaba cargada y

desde ese momento lo que siguió

fue a desembocar directamente

en la revolución de julio que

derrocó a Carlos X y puso en el

poder a Luis Felipe. Y así fue

como Galois se lanzó nuevamente

a la actividad política. Pero esta

vez sin descuidar totalmente sus

estudios matemáticos. En esta

época publicó el resultados de

algunas de sus investigaciones,

dio clases particulares de

álgebra superior, funciones

elípticas y teoría de números,

pero también se hizo tiempo para

participar de las reuniones

literarias en el Cenáculo, una

sociedad literaria famosa

fanática de Víctor Hugo que se

reunía en el salón Charles Nodier.

Así que Galois, llevado por su

temperamento extremista no

tuvo mejor idea que dejar

aclarado su punto de vista y para

eso eligió a un partidario de Luis

Felipe, nada menos que el

director de la Escuela Normal a

quien envió una explosiva carta

de protesta. Y así fue como lo

expulsaron también de la Escuela

Normal.

Por su comportamiento

apasionado en temas políticos,

sus mañas para convencer a las

masas a compartir sus ideales, y

FUNCIONES

54

Multiplicación y División de Funciones:

De la misma forma que la suma y la multiplicación, para

que dos funciones puedan multiplicarse deben tener el

mismo dominio de definición. La multiplicación entonces

sigue las mismas reglas que el producto entre números

reales; sin embargo para la división es necesario

constatar que el denominador sea diferente de cero.

Sean 𝒇 𝑦 𝒈 dos funciones con el mismo dominio de

definición 𝑫, entonces el producto de 𝒇 y 𝒈

simbolizado: 𝒇 × 𝒈 tiene la ley: (𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ×

𝑔(𝑥), donde 𝒙 pertenece a 𝑫

Sean 𝒇 𝑦 𝒈 dos funciones con el mismo dominio de

definición 𝑫, entonces la división de 𝒇 por 𝒈

simbolizada: 𝒇/𝒈 tiene la ley: (𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥),

donde 𝒙 pertenece a 𝑫 y 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎

Ejemplos:

1. Sean 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 entonces:

(𝑓 × 𝑔) = (2𝑥2 − 3𝑥)(𝑥2 + 1)

(𝒇 × 𝒈) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙

su continuas muestras de

desafecto por Luis Felipe, fue en

varias ocasiones tomado

prisionero, pero por cortos

períodos. Esta fue sin dudas la

causa de su temprana

desaparición física, cuando una

vez más se complicó en enredos

políticos con sus enemigos y

aceptó batirse a duelo por

motivos que nunca quedaron muy

claros. Consciente de su

desventaja ante su adversario la

noche antes del duelo escribió su

última voluntad: un testamento

científico que daría buen trabajo

a los científicos que lo

sucedieron. En él puso sus

especulaciones sobre la teoría de

grupos que había concebido en los

últimos tiempos y a las que nunca

había destinado el tiempo

suficiente para escribirlas ya que

estaba siempre involucrado en

episodios confusos. Así expuso

sus teorías en una sola noche. Al

día siguiente se enfrentó con su

adversario: duelo a pistola y a

veinticinco pasos. Recibió un

balazo en el vientre y a pesar de

recibir atención médica falleció

al día siguiente, el 31 de mayo de

1832 y fue enterrado en la fosa

común. Galois era un genio

netamente romántico. Tanto su

vida como su muerte tuvieron los

detalles del romanticismo

francés. No es casual entonces

que los temas matemáticos de su

interés hayan sido abstractos y

que incursionara en la teoría de

las estructuras mostrando así las

aspiraciones románticas de

ocuparse de ideales filosóficos

elevados.

FUNCIONES

55

Veamos los gráficos:

2. Sean 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐; 𝒈(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒) entonces:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟑)

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

(𝒙 + 𝟑)

(𝒙 + 𝟐)

Pero: 𝒙 ≠ −𝟐 𝒚 𝒙 ≠ 𝟒,

Veamos a continuación los gráficos de dichas funciones:

Como se puede apreciar en la mayoría de los gráficos, los resultados de sumar,

restar, multiplicar o dividir pueden ser graficados de manera diferente a la que

indican sus funciones iniciales. También se puede combinar las operaciones.

Ejemplos:

Sean 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥, 𝑔(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1, ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥

Hallar: 2𝑓 − 3𝑔 + 4ℎ:

FUNCIONES

56

Solución:

(2𝑓 − 3𝑔 + 4ℎ)(𝑥) = 2𝑓(𝑥) − 3𝑔(𝑥) + 4ℎ(𝑥)

(2𝑓 − 3𝑔 + 4ℎ)(𝑥) = 2(2𝑥2 − 4𝑥) − 3 (𝑥 + 1

𝑥 − 1) + 4(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥)

Un ejemplo interesante:

Sea𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, se pide encontrar: 𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)

𝒉, donde ℎ es un número diferente de

cero.

Solución:

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2

ℎ

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ=𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2

ℎ

𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)

𝒉=ℎ(2𝑥 + ℎ)

ℎ= 𝟐𝒙 + 𝒉

Tomemos un ejemplo de la vida real:

una pequeña industria produce zapatos; suponiendo que la materia prima

cuesta $7 por cada par de zapatos, se deben pagar gastos fijos, como luz,

agua y teléfono: $75; a los 3 empleados se les paga $300 mensuales, a

cada uno. Suponiendo que al mes se producen 𝑥 pares de zapatos, se

pide encontrar las fórmulas matemáticas de las siguientes funciones, 𝑭:

gastos fijos al mes; 𝑯: gastos móviles, de acuerdo al número de pares de

zapatos producidos al mes; si cada par de zapatos se vende a $20,

encontrar la función 𝑉 de dinero producido por la venta de 𝑥 pares de

zapatos, por último, se pide encontrar la función 𝐺 de ganacias al vender

𝑥 pares de zapatos.

Solución:

𝐹(𝑥) = 75 + 900, 𝑭(𝒙) = 𝟗𝟕𝟓

𝑯(𝒙) = 𝟕𝒙

𝑽(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙

𝑮(𝒙) = 𝑽(𝒙) − 𝑯(𝒙) − 𝑭(𝒙)

𝐺(𝑥) = 20𝑥 − 7𝑥 − 975

FUNCIONES

57

𝑮(𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 − 𝟗𝟕𝟓

Si vende 100 pares de zapatos, ¿cuál es su ganancia?:

𝑮(𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 − 𝟗𝟕𝟓

𝑮(𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟑(𝟏𝟎𝟎) − 𝟗𝟕𝟓 = 𝟑𝟐𝟓, luego su ganancia es: $325

¿Cuántos pares de zapatos debe vender para obtener una ganancia de por lo

menos $1000?

𝑮(𝒙) ≥ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟑𝒙 − 𝟗𝟕𝟓 ≥ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝒙 ≥ 𝟏𝟓𝟏. 𝟗𝟐

Luego, para conseguir una ganancia de por lo menos $1000 debe vender 152

pares de zapatos o más.

Composición de Funciones

Vamos a aprender una nueva forma de operar funciones. Es un poco más

complicada que las anteriores; pero una vez que la comprendas, se te hará fácil.

Además esta operación es muy útil para muchos temas de la matemática. Toma

un respiro y va la definición siguiente:

Definición.- Sean 𝑨,𝑩 𝒚 𝑪 tres conjuntos de los números reales, sea 𝒇 una

función de 𝑨 en 𝑩, sea 𝒈 una función de 𝑩 en 𝑪, definimos entonces la función:

“compuesta de g con f”, simbolizada 𝒈 ∘ 𝒇que va de 𝑨 en 𝑪, de tal manera

que: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)),donde 𝒙 pertenece a 𝑨.

Parece un poco complicado, pero vamos analizando la definición: esta operación

se llama “composición” porque la nueva función resulta de aplicar una función en

otra, es decir, la función 𝒈 ∘ 𝒇 resulta de aplicar la función 𝒈 a la función 𝒇. En

general, si tomamos dos funciones 𝒇 𝒚 𝒈, si tomamos un elemento 𝒙 del dominio

de 𝒇, calculamos luego su imagen: 𝒇(𝒙), si este número 𝒇(𝒙) pertenece al

dominio de 𝒈, entonces podemos calcular el número: 𝒈(𝒇(𝒙)). Entonces el

dominio de la nueva función (𝒈 ∘ 𝒇)es un subconjunto del dominio de la función

𝒇 , de tal manera que 𝒇(𝒙) pertenece al dominio de 𝒈 , el conjunto imagen o

FUNCIONES

58

rango de 𝒈 ∘ 𝒇 es un subconjunto del rango de 𝒈. Podemos apreciar mejor en el

esquema siguiente:

Con un ejemplo numérico se aclara tremenda duda que tienes:

Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓, hallemos 𝒈 ∘ 𝒇

Por definición: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) Luego:

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟒(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝟓

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟗

Otro ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟏, hallemos 𝒈 ∘ 𝒇

Por definición: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) luego:

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏)

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟏

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √𝒙𝟐

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = |𝒙|

Y otro más: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 y sea 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐, hallemos 𝒈 ∘ 𝒇

Por definición: (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) luego:

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = (𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙

Otro caso: De igual manera podemos definir la función 𝒇 ∘ 𝒈, que sería así:

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))

Esquema:

f(x)

g(f(x))

g o f

x

FUNCIONES

59

Ejemplo: Sea 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓, hallemos 𝒇 ∘ 𝒈

Por definición: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) luego:

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝟒𝒙 − 𝟓)

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟑(𝟒𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟐(𝟒𝒙 − 𝟓) − 𝟏

Otro: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 y sea 𝒈(𝒙) = √𝒙 + 𝟏, hallemos 𝒇 ∘ 𝒈


(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(√𝒙 + 𝟏)

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = (√𝒙 + 𝟏)𝟐− 𝟏

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒙

Otro más: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 y sea 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐


(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟐)

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐

g(x)

f(g(x))

f o g

x

FUNCIONES

60

Ejercicio: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑 y sea 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐, halla 𝒇 ∘ 𝒈

Analicemos el caso inverso de las operaciones algebraicas que hemos realizado

hasta ahora en los ejemplos anteriores:

Variando los ejercicios: Dadas 𝒇 ∘ 𝒈 o 𝒈 ∘ 𝒇, hallar 𝒇 𝒚 𝒈

Sea (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = √𝒔𝒆𝒏𝒙

Vemos que: 𝒇(𝒙) = √𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙

Sea (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = √√𝒙 − 𝟏𝟑

Vemos que 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑

y 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟏

Sea (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) =𝟐

𝒕𝒂𝒏𝒙

Vemos que: 𝒇(𝒙) =𝟐

𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝒙

Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Hallar 𝒇 ∘ 𝒇.

𝒇 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒇(𝒙)) = 𝒇(𝒙𝟑) = 𝒙𝟗

¿Será cierto que la operación “composición* es *conmutativa”?, es decir que:

𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒈 ∘ 𝒇 , evidentemente y por definición: en general NO. Pero puede darse

el caso en que 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒈 ∘ 𝒇, por ejemplo:

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐; 𝒈(𝒙) =𝒙 + 𝟐

𝟑

Encontremos 𝒇 ∘ 𝒈; 𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))

𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 + 𝟐

𝟑)

𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝟑 (𝒙 + 𝟐

𝟑) − 𝟐

𝒇 ∘ 𝒈(𝒙) = 𝒙

FUNCIONES

61

Ahora calculemos 𝒈 ∘ 𝒇; 𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙))

𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝟑𝒙 − 𝟐)

𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) =𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟐

𝟑

𝒈 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒙

Entonces vemos que en este caso 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒈 ∘ 𝒇, pero es solo un caso particular,

en general la composición no es conmutativa.

¡Encuentra otro ejemplo!

¿Será cierto que la operación “composición es asociativa”?

Veamos, para que la composición sea asociativa se debe cumplir:

𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉) = (𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉

Desarrollemos los dos lados de la igualdad:

(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇((𝒈 ∘ 𝒉)(𝒙))

(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒉(𝒙)))

Por otro lado: ((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒉(𝒙))

((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒉(𝒙)))

Como se puede ver las dos expresiones son iguales; por tanto, hemos probado

formalmente que la composición de funciones es asociativa.

Probemos con un ejemplo:

Sean 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐; 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙; 𝒉(𝒙) =𝟏

𝒙

Calculemos primero: (𝒈 ∘ 𝒉)(𝒙) = 𝒈(𝒉(𝒙)) = 𝒈 (𝟏

𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (

𝟏

𝒙);

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

FUNCIONES

62

Ahora:

(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇((𝒈 ∘ 𝒉)(𝒙))

(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒇 (𝒔𝒆𝒏(𝟏

𝒙))

(𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉))(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟏

𝒙)

Por otro lado:((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒉(𝒙))

((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈) (𝟏

𝒙)

((𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉)(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟏

𝒙)

Por lo tanto:

𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉) = (𝒇 ∘ 𝒈) ∘ 𝒉

Encuentra otro ejemplo para que te ejercites.

Existe una función real muy particular, que se llama la función identidad, la

notamos: 𝒊𝒅; 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒅(𝒙) = 𝒙, es decir es una función que a cualquier valor le

devuelve el mismo valor. Su gráfico es:

Sea 𝒇 cualquier función real, hagamos la composición de 𝒇 con la función

identidad:

(𝒇 ∘ 𝒊𝒅)(𝒙) = 𝒇(𝒊𝒅(𝒙)) = 𝒇(𝒙)

(𝒊𝒅 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒊𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇(𝒙)

Es decir al componer cualquier función con la identidad, tanto a la izquierda como

a la derecha nos da como resultado la misma función. Decimos entonces que la

FUNCIONES

63

función identidad cumple con una misión modulativa o de neutralidad, si te

acuerdas un poco de los números reales, existen dos números que cumplen con

esa propiedad, el cero para la suma y el uno para la multiplicación.

En este caso, como estamos tratando con funciones y con la operación

composición, es lógico que ese papel lo cumpla otra función, y esta es la función

identidad.

Haciendo un resumen: hemos visto que la composición de funciones es una

operación que cumple con dos propiedades: la asociativa y la existencia de un

elemento neutro, que se llama función identidad, más adelante veremos que

cumple con otra propiedad más, que se llama la existencia de un inverso y

verás cómo se juntan mágicamente dos partes esenciales de la matemática: el

análisis en los reales y el álgebra abstracta. Todo esto es posible -claro está-

bajo las condiciones de existencia y de cada una de las composiciones de las

funciones que intervienen en las propiedades.


1. Dadas las siguientes funciones, hallar las operaciones indicadas y su conjunto

de definición.

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙; 𝒈(𝒙) = 𝒙(𝒙 + 𝟏); 𝒉(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙; 𝒊(𝒙) =𝒙

𝒙 + 𝟏

a) 𝟑𝒇 + 𝟐𝒈

b) 𝒈𝒊 + 𝒇

c) 𝒇

𝒈− 𝒉𝒊

d) 𝒇+𝒈−𝒉

𝒊

e) 𝟏 − 𝒉𝟐

f) 𝒇 ∘ 𝒈

g) 𝒉 ∘ 𝒊

h) 𝒇 ∘ 𝒊

i) (𝒈 ∘ 𝒇) ∘ (𝒊 ∘ 𝒉)

j) 𝒉 ∘ 𝒉

k) (𝒈 ∘ 𝒊) − (𝒊 ∘ 𝒈)

l) (𝒊 ∘ 𝒉)𝟐 + (𝒇 ∘ 𝒈)𝟐

2. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier 𝒙 ∈ ℝ se tiene que: 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝒇(𝒙) = 𝟏

3. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier 𝒙 ∈ ℝ se tiene que: 𝒙 − 𝒇(𝒙) = 𝟎

4. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier𝒙 ∈ ℝ − {𝟎}se tiene que:

𝒇(𝒙) ×𝟏

𝒙= −𝟏

FUNCIONES

64

5. Hallar 𝒇(𝒙)sabiendo que para cualquier 𝒙 ∈ [𝟎,𝝅

𝟐[ se tiene que:

𝐬𝐢𝐧 𝒙 ÷ 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧𝒙

6. Si sabemos que 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏, hallar una función 𝒈(𝒙), tal que:

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒙 − 𝟏

7. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏, hallar una función 𝒈(𝒙), tal que: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒊𝒅(𝒙)

8. Definimos la siguiente operación: 𝚿, de tal manera que, dadas dos funciones

reales 𝒇 𝒚 𝒈, se tiene que: (𝒇 𝚿 𝒈)(𝒙) = (𝒇 + 𝒈) + (𝒇

𝒈) (𝒙). Si 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 y

𝒈(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙, demostrar que: (𝒇 𝚿 𝒈)(𝝅) = 𝟏

9. Definimos: (𝒇𝚯𝒈)(𝒙) = (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) + (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙), sean: 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙+𝟏,

𝒈(𝒙) =𝟏−𝒙

𝒙, demostrar que (𝒇𝚯𝒈)(𝟎. 𝟎𝟎𝟏) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐

10. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, hallar: 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)

𝒉. Encontrar 𝒇(𝟐), 𝒈(𝟐) (en función de h)

Si 𝒉 = 𝟎. 𝟎𝟏¿Cuánto vale 𝒈(𝟐)?. Compara con 𝒇(𝟐)

Funciones Inyectivas

Hay un tipo muy especial de funciones que se llaman inyectivas o uno a uno.

Para aproximarnos a su concepto veamos un par de ejemplos de la vida real: si

a cada ciudadano del Ecuador le asociamos el número de su cédula de identidad,

es decir, si establecemos una relación entre el conjunto de ciudadanos y sus

números de cédula, sabemos que, en primer lugar, cada ciudadano tiene un

único número de cédula(es decir no puede tener más de uno), lo cual convierte

a esta relación en una función; pero, por otro lado, dos ciudadanos distintos,

digamos Pedro y Luis, no pueden tener el mismo número de cédula, lo cual,

ya vamos a ver, le convierte a esta función en inyectiva.

En el conjunto de los números naturales: {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒… }, tomemos el

subconjunto de los números pares:{𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔… }, encontremos una función que:

a cada número par “le asocie” un determinado y único número natural, así por

ejemplo tendríamos las parejas:{(𝟎, 𝟏), (𝟐, 𝟐), (𝟒, 𝟑), (𝟔, 𝟒)… }, en este caso

FUNCIONES

65

hemos formado una función inyectiva, es decir, a cada número par se le asocia

un número natural determinado, de tal manera que: dos números pares

distintos, tienen distintas parejas.

De esta manera podemos acercarnos al concepto defunción inyectiva,

“una función es inyectiva cuando por cada dos números distintos del dominio,

se les asocia dos números diferentes en el conjunto imagen”

Definición formal: Sea 𝒇 una función real definida sobre un intervalo 𝑰, decimos

que 𝒇 es inyectiva si: 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝒚) o 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚) ⇒ 𝒙 = 𝒚, donde 𝒙 ∈

𝑰, 𝒚 ∈ 𝑰.

Traduciendo: 𝒙 ≠ 𝒚 ⇒ 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝒚), significa que: en una función inyectiva, si

tenemos dos elementos distintos del dominio entonces sus imágenes deben ser

también distintas. También se puede poner así: 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚) ⇒ 𝒙 = 𝒚, lo que

quiere decir que: para que la función sea inyectiva, si dos imágenes son iguales,

entonces, sus pre – imágenes deben ser también iguales.

También podemos interpretar este concepto gráficamente: “si trazamos líneas

horizontales en cualquier parte de la gráfica, estas líneas deben cortar a la

gráfica de la función en un solo punto”.

En cambio, si trazamos líneas horizontales y éstas cortan a la gráfica en dos

puntos o más, entonces esta función no es inyectiva:

FUNCIONES

66

También lo podemos ver en un diagrama de conjuntos:

Función inyectiva Función no inyectiva

Ejemplos:

Funciones inyectivas: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟔

𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙 − 𝟗

𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙

Funciones no inyectivas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙

𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙

Ahora, ¿cómo podemos probar formalmente que una función es inyectiva?

El método es relativamente fácil: tomamos dos imágenes iguales y mostramos

que sus pre – imágenes también son iguales.

Ejemplo:

FUNCIONES

67

Probemos que la función: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟔 es inyectiva.

Tomamos 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚), 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐; 𝟑𝒙 + 𝟔 = 𝟑𝒚 + 𝟔

𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟔 𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝟑𝒙 = 𝟑𝒚,

𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝟑: 𝒙 = 𝒚 Por lo tanto, hemos partido de la igualdad de las dos

imágenes y hemos concluido en la igualdad de las pre-imágenes; por lo tanto, la

función:

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟔 es inyectiva.

Prueba con la función: 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙 − 𝟗

Veamos en cambio esta función:

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐. Suponemos la igualdad de dos imágenes cualquiera: 𝒙𝟐 = 𝒚𝟐, en este

caso no podemos probar que 𝒙 = 𝒚, puesto que, por ejemplo: (𝟑)𝟐 =

(−𝟑)𝟐 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝟑 ≠ −𝟑

Esta función (cuadrática) no representa una función inyectiva, lo puedes

comprobar haciendo el gráfico con el programa Deadline, y trazando líneas

paralelas al eje “x”; verás que cada paralela corta a la curva en 2 puntos.

¡Ya estamos listos entonces para hacer algunos ejercicios sobre este tema!


1. Dadas las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

b) 𝑔(𝑥) =1

𝑥+ cos 𝑥2

c) ℎ(𝑥) = 1 + 𝑥

d) 𝑖(𝑥) = 𝑥2 + 7

e) 𝑗(𝑥) = √𝑥2 − 5

f) 𝑘(𝑥) =1

𝑥+ 𝑥

g) 𝑙(𝑥) = 3𝑥 + 25

determine cuáles son inyectivas y cuáles no. Justifique.

2. Dadas las representaciones gráficas de ciertas funciones siguientes:

FUNCIONES

68

Determine cuáles representan funciones inyectivas. Justifique.

3. Determine si las siguientes funciones son o no inyectivas.

a) 𝑦 =𝑥+2

𝑥−5

b) 𝑦 = √1 − 𝑥2

c) 𝑦 = √𝑥 + 5

d) 𝑦 = 4 − √2 + 𝑥

e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

f) 𝑦 = 2𝑥 + 3

g) 𝑦 = |𝑥|

h) 𝑦 =𝑥2−2

𝑥+1

i) 𝑦 =2𝑥

√1+𝑥

j) 𝑦 =3𝑥2−2+𝑥

𝑥+1

Funciones inversas:

A continuación analicemos otra propiedad que cumplen las funciones. Para

determinar dicha propiedad es muy importante conocer si la función es o no

inyectiva. Estamos hablando de las Funciones Inversas, las cuales solo pueden

obtenerse a partir de una función inyectiva.

El concepto de función Inversa cotidianamente se asocia con la imagen que se

obtiene al reflejar un cuerpo en un espejo. Es exactamente esta la relación que

existe entre una función y su inversa.

FUNCIONES

69

Tomando la función f, como una función inyectiva, podemos representar a la

función inversa de f como f-1. La relación existente entre estas 2 funciones

recíprocamente inversas una de la otra establece que:

Dominio de 𝒇 = Imagen de 𝒇−𝟏

Imagen de 𝒇 ⊆ Dominio de 𝒇−𝟏

Tal que:𝒇−𝟏(𝒚) = 𝒙 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇(𝒙) = 𝒚 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 ∶ 𝒇 ∘ 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒇−𝟏 ∘ 𝒇(𝒙) = 𝒙

Gráficamente una función y su inversa son simétricas

respecto a la recta f(x)=x, o también representada como

y=x. Esta recta es quien funciona como el espejo entre las

curvas de las funciones recíprocamente inversas.

En general, en dicha representación cada par ordenado (𝒙; 𝒚) de la función

principal 𝒇 representa el par ordenado (𝒚; 𝒙) de la función inversa. Como ya

habíamos enunciado el dominio (o valores que toma la función en x) de la función

𝒇 pasa a ser la Imagen (o valores que toma la función en y) de 𝒇−𝟏, es decir que

si (𝟎; 𝟒) ∈ 𝒇 entonces (𝟒; 𝟎) ∈ 𝒇−𝟏.

Por ejemplo, las funciones: 𝒚 = 𝒙𝟐, e 𝒚 = √𝒙 son inversas. Veamos sus

gráficos por separado:

TRABALENGUAS: Toda función inyectiva es la función inversa de otra función, y viceversa.

FUNCIONES

70

Ahora, en el gráfico siguiente, se observa a dos funciones cuyos gráficos son

simétricos respecto a la recta 𝒚 = 𝒙: (pero sólo en el intervalo [𝟎, +∞[); ¿por

qué?

Veamos entonces cómo obtener la inversa de una función inyectiva utilizando

métodos algebraicos.

Ejemplo:

Sea 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟑 − 𝟏. Hallar la función inversa si es posible.

Antes de comenzar definamos el Dominio y la Imagen de 𝑓

FUNCIONES

71

𝑫𝒐𝒎 𝒇 = {𝒙 ∈ ℝ ∕ 𝒙 ≥ 𝟑} = [𝟑;+∞[

𝑰𝒎 𝒇 = {𝒚 ∈ ℝ 𝒙⁄ ≥ −𝟏} = [−𝟏;+∞[

A continuación hay que determinar si es esta una función inyectiva:

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚)

√𝒙 − 𝟑 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟑 − 𝟏 Simplificamos en cada miembro el -1 por ser factor

común.

√𝒙 − 𝟑 = √𝒚− 𝟑 Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.

𝒙 − 𝟑 = 𝒚 − 𝟑 Simplificamos en cada miembro el -3 por ser factor común.

Por lo tanto: 𝒙 = 𝒚 entonces la función es inyectiva; y, por lo tanto. se puede

determinar su función inversa.

A continuación procedemos a despejar la x de la función principal. Para más

comodidad sustituiremos F(x) por y:

𝒚 = √𝒙 − 𝟑 − 𝟏

𝒚 + 𝟏 = √𝒙 − 𝟑 Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz.

(𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝒙 − 𝟑

(𝒚 + 𝟏)𝟐 + 𝟑 = 𝒙 Al despejar la variable 𝒙 hemos invertido la ecuación, con lo

cual podemos intercambiar las variables 𝒙 𝒆 𝒚 para obtener la ecuación de

definición de la función Inversa, haciendo un cambio de variable:

𝒚 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑 Queda definida entonces 𝒇−𝟏(𝒙) = (𝒙+ 𝟏)𝟐+𝟑

FUNCIONES

72

Teniendo en cuenta la relación de dominio e Imagen de las funciones y sus

inversas queda definida esta nueva función de modo siguiente:

𝑫𝒐𝒎 𝒇−𝟏 = ℝ

𝑰𝒎 𝒇−𝟏 = {𝒚 ∈ ℝ ∕ 𝒚 ≥ 𝟑} = [𝟑;+∞[

Ejercitemos los contenidos de este resultado para garantizar una mejor

comprensión del tema.


1. Represente gráficamente la función 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 1. Por simetría con

la recta y=x represente en el mismo gráfico la función inversa

correspondiente.

2. Según los resultados obtenidos en los ejercicios de comprobación de

inyectividad en el epígrafe anterior, halle las funciones inversas en los

casos en que sea posible.

3. Encuentre algébricamente la inversa de la función: 𝒚 =𝒙+𝟏

𝒙−𝟏

4. Si una función no es inyectiva en todo su dominio, ¿será posible encontrar

su inversa en la parte en que sí es inyectiva? Prueba con la función: 𝒚 =

𝒔𝒆𝒏(𝒙), en el intervalo: [𝟎, 𝟐𝝅]

Funciones Especiales

En esta parte de la materia vamos a comenzar con el estudio de ciertas funciones

especiales, muy comunes en matemáticas de números reales, así pues,

empezamos con:

La función lineal y la función afín

FUNCIONES

73

Para todos es conocida la frase: “el camino más corto entre dos puntos es la

línea recta”. Pues bien, la línea recta es una de las funciones más conocidas y

útiles, muchos fenómenos físicos, económicos y sociales se describen mediante

una recta. Vamos a definirla correctamente:

UNA FUNCIÓN LINEAL ESTÁ DEFINIDA SOBRE LOS REALES, DE ESTA

FORMA:

𝒇 ∶ ℝ →ℝ

𝒙→ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

Donde 𝒂 ∈ ℝ.

Gráficos:

Vemos que la gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen,

si 𝒂 es positiva, el gráfico va de izquierda a derecha “subiendo”, es decir es una

función creciente (acuérdate de la definición); en cambio, si 𝒂 es negativa, el

gráfico va “de bajada” de izquierda a derecha (es decir, es una función

decreciente).

Igualmente, es evidente que el dominio de la función lineal es el conjunto de los

números reales, lo mismo para el conjunto imagen

La función lineal siempre pasa por el origen. ¿Por qué? ¿Cómo será el gráfico

de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 si 𝒂 es cero?

Casos particulares:

Función identidad: es de la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒙, es decir 𝒂 = 𝟏

Su gráfico:

FUNCIONES

74

La función opuesto aditivo: es de la forma: 𝒇(𝒙) = −𝒙, es decir 𝒂 = −𝟏

Su gráfico:

En la función lineal, las imágenes 𝒚, son proporcionales a los valores de 𝒙.

Por ejemplo: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

𝒙 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

𝒚 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12

Ser proporcional significa que el cociente 𝒚

𝒙 (𝒙 ≠ 𝟎)es siempre constante e igual

a 𝒂

Comprueba con los valores de la tabla.

FUNCIONES

75

En física, un ejemplo de una función lineal es el espacio recorrido cuando

transcurre el tiempo, en el movimiento uniforme (sin aceleración) 𝒅 = 𝒗𝒕 , en este

caso la constante 𝒂 es la velocidad y la variable independiente es el tiempo 𝒕.

En geometría, la longitud de un círculo en función del radio es lineal y se mide

por 𝒄 = 𝟐𝝅𝒓, 𝒂 = 𝟐𝝅, y la variable independiente es 𝒓

UNA FUNCIÓN AFÍN ESTÁ DEFINIDA SOBRE LOS REALES, DE ESTA

FORMA:

𝒇 ∶ ℝ →ℝ

𝒙→ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

Donde 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. ( 𝒃 ≠ 𝟎)

Como puedes ver, se diferencia de la función lineal en que a ésta se le suma el

número 𝒃, en su gráfica, la función afín pasa por el punto (𝟎, 𝒃).

Si 𝒂 es positiva, la

función afín es

creciente sobre ℝ

Si 𝒂 es negativa, la

función afín es

decreciente sobre ℝ.

Si 𝒂 es cero, la función

afín se llama función

constante: 𝒚 = 𝒃

Analicemos su fórmula: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃, con 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, al número 𝒂 se le llama

coeficiente director o pendiente de la recta, de tal forma que si la recta forma un

ángulo agudo ∝ con el eje de las 𝒙, se tiene que: |𝒂| = 𝒕𝒂𝒏 ∝

Veamos en el gráfico:

FUNCIONES

76

Ejemplo:

Sea la función: 𝒚 = −𝟏

√𝟑𝒙 + 𝟐, observamos que 𝒂 = −

𝟏

√𝟑 𝒃 = 𝟐, entonces la

curva pasa por el punto (𝟎, 𝟐), y |−𝟏

√𝟑| = 𝒕𝒂𝒏 ∝ =

𝟏

√𝟑, donde ∝= 𝟑𝟎𝟎

Como vemos, la noción de una función afín:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

Generaliza a estos tipos de funciones:

Si 𝒃 = 𝟎, entonces 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, es una función lineal.

Si 𝒂 = 𝟎, entonces 𝒇(𝒙) = 𝒃, es una función constante

Si 𝒂 = 𝟎 𝒚 𝒃 = 𝟎, entonces 𝒇(𝒙) = 𝟎, es la función nula. Para pensar: ¿cuál sería el gráfico de la función nula?


1. Señale la respuesta correcta: si f(x) = (-3/7) x, entonces f (2) es:

a) -32/7 b) -0.857 c) -6/7

FUNCIONES

77

2. El precio P de un producto aumenta en un 10 %, entonces el nuevo precio es:

a) 1.1 P b) 110 P c) 0.9 P

3. Para una función lineal g, la imagen de 2 es -3, entonces el coeficiente director

es:

a) -2/3 b) -3/2 c) -6

4. i) El ancho de un rectángulo es 2 cm, el largo es x cm, entonces el perímetro

P es:

a) 2x b) 2 + 2x c) 4 + 2x

ii) Complete la tabla siguiente:

x 0 1 2 3 4 5

P

iii) ¿Es esta una tabla de proporcionalidad? ________

iv) ¿La función que asocia a x con P es aplicación lineal? ________

5. a) La base de un triángulo es 4 cm, su altura es x, entonces el área es: A =

______.

b) ¿Es A una aplicación lineal? _______

c) Calcular el área si x = 5. A = _________cm2

d) ¿Para qué valor de la altura, el área es 100 cm2?: x = _______cm.

6. En un campamento de vacaciones hay 360 personas, de las cuales 198 son

niños, el resto son adultos. Todos los días, 176 niños y 1/3 de los adultos van a

la piscina.

a) ¿Cuántos adultos van todos los días a la piscina? __________

b) ¿Cuál es el porcentaje de todas las personas que van a la piscina?

__________%

7. El siguiente gráfico representa el consumo de gasolina, C (en litros), de un

auto en función de los kilómetros recorridos, x, a la velocidad constante de 90

km/h.

FUNCIONES

78

a) Leer en el gráfico el consumo de gasolina para 250 km: _________litros.

b) Deducir el consumo para 100 Km: __________litros.

c) ¿Cuál es la aplicación lineal que representa a la gráfica?: C = ______x.

8. Dados los puntos A = (1.4; 4.55) y B = (-1.8; -5.85), encuentre la ecuación que

define la recta que une esos dos puntos: y = __________________.

¿Es una aplicación lineal? ________

9. Grafique la siguiente función: y = x + 1

10. Grafique en el plano las siguientes parejas de puntos:

X -2 -1 0 1 2

y 5 3 1 -1 -3

¿Es una aplicación afín? _________ Su ecuación es: y = _____________a

11. En cada caso, indicar si existe una relación del tipo y = ax entre x e y. Indicar,

también, ¿qué representa a?

a) y = distancia en Km recorrida por un auto con velocidad constante. x = tiempo

en horas que se demora el auto en recorrer esa distancia.

b) y = distancia en un mapa. x = distancia real.

12. Para cada tabla: decir si es una tabla de proporcionalidad de la forma y = ax,

en ese caso, encontrar a.

x 1 5

FUNCIONES

79

y 4 20

x -2 0 3

y -8 0 12

x -3 5 7

y -6 -10 -15

13. La receta de un mousse de chocolate para 3 personas necesita la utilización

de 2 huevos. En esta receta, el número de personas: x, es proporcional al

número de huevos utilizados: n.

a) ¿Cuál es el coeficiente de la aplicación lineal que asocia x con n?

b) Calcular n, si x = 24

c) Calcular x, si n = 44.

14. ABC es un triángulo rectángulo en A. El ángulo B = 60o, h es la longitud de

la hipotenusa y x es la longitud del lado AB.

a) Expresar h en función de x

b) ¿Es una relación de proporcionalidad? , en tal caso encontrar el coeficiente

de proporcionalidad. Dato adicional: cos 60o = 0.5

15. Un rectángulo de ancho: A y de largo: L, tiene por perímetro igual a 500.

Decir si hay una aplicación lineal que asocia A con B, encontrar su ecuación.

16. f es la aplicación lineal tal que f: x - 0.9 x

Calcular: f (10), f (0), f (-5).

Calcular x si f (x) = 0.99.

Graficar Y = - 0.9 x

17. Para demostrar que una propiedad es falsa, basta con encontrar un ejemplo

en que la propiedad es falsa, este método se llama: por contraejemplo. a) Si 𝑓

es la aplicación lineal definida por 𝑓 (𝑥) = 𝑥. (se llama aplicación identidad),

verificar que 𝑓 (2) × 𝑓 (3) = 𝑓 (2 × 3).

FUNCIONES

80

b) Sea 𝑓 la aplicación lineal definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥. María afirma que para todo

par de números: 𝑐 𝑦 𝑑, se cumple que 𝑓(𝑐 × 𝑑) = 𝑓(𝑐) × 𝑓 (𝑑), demostrar por

contraejemplo que María está equivocada.

18. Sea la función: 𝑓(𝑥) = 5𝑥. Demostrar que cumple:

𝑓 (2 + 4) = 𝑓 (2) + 𝑓 (4). Dar un ejemplo más. Sea ahora la función general

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, demostrar que para cualquier par de números 𝑎 𝑦 𝑏, se cumple que

𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 (𝑏)

(ES LA PROPIEDAD QUE DEFINE A UNA FUNCIÓN LINEAL)

19. En un sistema de coordenadas cartesiano, la recta L pasa por el origen y por

el punto (1,3). ¿Representa esta recta una aplicación lineal? Si es así, ¿cuál es

su coeficiente, cuál es su ecuación? Iguales preguntas son válidas para la recta

que pasa por los puntos (3,1.5) y (6,3).

20. Dar un ejemplo de una función que sea afín pero no lineal: f(x)= ___________

21. Se mide el ancho (a) y el largo (l) de unas hojas de ramas de cedro, se

obtienen los siguientes resultados:

a 5.2 4.8 4.4 4.2 4

l 6.5 6 5.5 5.25 5

a) ¿Es esta una tabla de proporcionalidad? Si: ____. No:____

b) Expresar a en función de l : a =___________

c) Expresar l en función de a : l = ___________

22. a) Convertir una velocidad de 35 m/s en km/h: __________km/h. Sea V la

velocidad expresada en km/h, sea v la velocidad expresada en m/s. Expresar V

en función de v: V = __________v; expresar v en función de V: v

=__________V. Convertir una velocidad de 46.8 km/h en m/s; __________km/h.

23. Encontrar la ecuación de la función afín que pasa por los puntos: (1,-1) y

(3,3), Ecuación: y = _____________. ¿Esta recta pasa por el punto (0,-2)?.

Si___, No___. ¿Pasa por el punto (2,1)?. Si___. No___.

FUNCIONES

81

24. Decir si es verdadero o falso:

a) En cualquier aplicación afín : f(x) = ax + b, se cumple que: f(0) = b _____

b) Toda aplicación afín es lineal. _____

c) En cualquier aplicación afín : f(x) = ax + b, se cumple que: f(-b/a)= 0 _____

d) Toda aplicación lineal es constante.____

25. Sea la aplicación lineal: y = ¾ x, Entonces:

a) La imagen de 6 es :____

b) Si y = -9, entonces x =____

26. Unos zapatos costaban $ 55 hace dos años, cada año el precio aumentó en

5%. ¿Cuál es el valor actual de esos zapatos?

27. Graficar la función: y = 2x -4

28. Encontrar la ecuación de la recta que representa el siguiente gráfico:

y =__________

29. Si una aplicación lineal tiene coeficiente director 5, (a = 5) entonces, la

imagen de 80 es:

a) 85 b) 400 c) 16

30. Un cuadrado tiene de lado x, entonces su área es: A = ____, ¿es una

aplicación afín?______

FUNCIONES

82

31. Se tiene la aplicación lineal f(x)= -3x, calcular f (-5) =_____. Si la imagen de

x es -9, entonces x = ____

32. Sea la aplicación afín: f(x) = 3x – 5, calcular f (-2/3). Calcular el número que

tiene por imagen 4, es decir, si y = 4, entonces x =____

33. Sea la función afín definida por: 𝑦 =1

2x -

1

3, completar la tabla:

x 1 2

y 1 2

34. Sea la función f(x) = 3x – 2, encontrar un número x tal que su imagen sea el

mismo número. x =_____

35. 𝒇 es una función afín, tal que: f (3) = -1 y f (-3) = 5, encontrar la ecuación de

Y de la forma: y = ax + b.

Y = ___________

36. Trazar la gráfica de la función: y = 2x – 4

37. Dada la siguiente gráfica:

Hallar su ecuación: y = _____________

La imagen de -10 es _____, si y = 3, entonces x = ______

FUNCIONES

83

38. Se quiere comprar un computadora portátil, cuyo precio es $ 1600, se ofrece

el 25 % de descuento, ¿cuánto se debe pagar? $_________

39. Por un DVD se obtuvo una rebaja del 10 %, se pagó 57.60 dólares. ¿Cuál

fue el precio real del aparato? $_________

40. Un automovilista recorre media hora a la velocidad de 200 km/h, luego una

hora a la velocidad de 100 km/h.

a) Hacer un gráfico de la distancia en función del tiempo

b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total? ______________km

Función valor absoluto

En la sección de los números reales hemos visto ya el valor absoluto, ahora lo

vamos a ver en su aspecto analítico y gráfico:

La función valor absoluto se define así:

𝒇(𝒙) = |𝒙| = {𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 < 0

Su gráfico es:

FUNCIONES

84

Se puede deducir que:

El valor absoluto es una función afín para x positivo: 𝒇(𝒙) = 𝒙

El valor absoluto es una función afín para x negativo 𝒇(𝒙) = −𝒙

El valor absoluto es creciente en [0, +∞[

El valor absoluto es decreciente en ]−∞, 0]

El valor absoluto tiene un mínimo en (𝟎, 𝟎)

El valor absoluto es par

El valor absoluto tiene como eje de simetría al eje y

El valor absoluto como distancia

Si se te pregunta: ¿cuál es la distancia entre tu casa y el colegio o universidad

donde estudias? Seguramente harías un cálculo en metros o kilómetros,

haciendo una línea recta imaginaria entre las dos localidades.

Igualmente podemos preguntarnos: ¿cuál es la distancia entre el 7 y el 12? La

respuesta es sin duda, 5; puesto que el número de unidades que separa al 12

del 7 es 5. Con esto, vamos a formalizar la distancia entre dos números reales

cualesquiera, de esta manera:

Llamaremos 𝒅(𝒙,𝒚) a la distancia entre un par de números reales 𝒙 𝒆 𝒚,

FUNCIONES

85

Definimos formalmente:

𝒅(𝒙, 𝒚) = {𝒚 − 𝒙 𝒔𝒊 𝒚 > 𝑥𝒙 − 𝒚 𝒔𝒊 𝒙 > 𝑦

Es decir 𝒅(𝒙, 𝒚) = 𝒎𝒂𝒙(𝒚 − 𝒙; 𝒙 − 𝒚).

Veamos con ejemplos:

Encontrar: 𝒅(𝟐, 𝟕) =?

Calculamos: 𝟐 − 𝟕 = −𝟓; 𝟕 − 𝟐 = 𝟓, luego escogemos el máximo (más grande)

entre – 𝟓 𝒚 𝟓, que naturalmente es el 𝟓

Entonces 𝒅(𝟐, 𝟕) = 𝟓,

Observaciones:

𝒅(𝒙,𝟎) = {𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0

O lo que es lo mismo:

d(x ; 0) = max(-x ; x)

Se observa fácilmente que la distancia es simétrica, es decir:

𝒅(𝒙, 𝒚) = 𝒅(𝒚, 𝒙)

Pero, ¿qué tiene que ver esto con el valor absoluto?, fácil, fíjate bien:

𝒅(𝒙,𝟎) = {𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 0−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0

Es la misma definición del valor absoluto, es decir:

|𝒙| = 𝒅(𝒙, 𝟎)

O, lo que es lo mismo:

|𝒙| = 𝒎𝒂𝒙(𝒙,−𝒙)

𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(−5; 4)

FUNCIONES

86

Otra forma de definir al valor absoluto:

|𝒙| = √𝒙𝟐

Para pensar: 𝒅(𝒙, 𝒙) = ? 𝒅(𝒙,−𝒙) = ?,

Así, pues, es lógico deducir que: 𝒅(𝒙,𝒚) = |𝒙 − 𝒚|

Veamos ahora la relación entre valor absoluto e intervalos:

Por las propiedades de valor absoluto, sabemos que: |𝒙| = 𝒄, significa que 𝒙 =

𝒄 𝒐 𝒙 = −𝒄, 𝒄𝒐𝒏 𝒄 > 0

Ahora bien, consideremos esta igualdad: |𝒙 − 𝒂| = 𝒄

Se tiene que: 𝒙 − 𝒂 = 𝒄 𝒐 𝒙 − 𝒂 = −𝒄, de lo cual resulta que:

𝒙 = 𝒂 + 𝒄 𝒐 𝒙 = 𝒂 − 𝒄; es decir, 𝒙 puede tomar los valores extremos del

intervalo [𝒂 − 𝒄, 𝒂 + 𝒄]

En cambio, si tenemos la desigualdad: |𝒙 − 𝒂| ≤ 𝒄, 𝒄𝒐𝒏 𝒄 > 0, sabemos que, por

la propiedad del valor absoluto: 𝒂 − 𝒄 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 + 𝒄 ; es decir, la desigualdad:

|𝒙 − 𝒂| ≤ 𝒄 significa que la variable 𝒙 puede tomar todos los valores entre 𝒂 − 𝒄

y 𝒂 + 𝒄, que es equivalente a decir que: 𝒙 ∈ [𝒂 − 𝒄, 𝒂 + 𝒄]

En otras palabras, decimos que alrededor del punto 𝒂, existe una vecindad o un

entorno de radio 𝒄, en el idioma de las distancias pondremos: 𝒅(𝒂, 𝒙) ≤ 𝒄

𝑎 − 𝑐 𝑎 + 𝑐

𝑎

𝑎 − 𝑐 𝑎 + 𝑐

𝒂

FUNCIONES

87

Y esta es la idea fundamental para comprender muchos conceptos en

matemática, como es el límite.

Ejercicios Propuestos:

1. ¿Cuánto vale |𝟑 − 𝝅|?

2. Si |𝒙| > |𝒚| 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 > 𝑦 V____; F____

3. Si |𝒙 + 𝟕| = 𝟒. Determine la respuesta correcta dentro de las siguientes

opciones:

a) la distancia entre 𝒙 y 7 es igual a 4;

b) la distancia entre 𝒙 y 4 es igual a 7;

c) la distancia entre 𝒙 y -7 es igual a 4;

d) la distancia entre 𝒙 y -4 es igual a 7.

4. La inecuación |𝟓 + 𝒙| > 1 tiene por solución:

5. La inecuación |𝟑 − 𝟐𝒙| < 7 tiene por solución:

6. La inecuación |𝒙 − 𝟓𝟎𝟎| > −100 tiene por solución:

7. Resolver la ecuación: 𝟐|𝒙| − 𝟏 = |𝒙| por dos métodos:

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑐 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑐

FUNCIONES

88

Primer método: Considere dos casos: cuando 𝒙 ≥ 𝟎 𝒚 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 < 0

Segundo método: Sean 𝒇(𝒙) = 𝟐|𝒙| − 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = |𝒙| , llene la siguiente tabla:

Grafique las dos funciones y concluya.

8. Mediante el uso del valor absoluto, encontrar una expresión para:

a) 𝒙 ∈ [𝟐, 𝟏𝟐]] significa que: __________________

b) 𝒙 ∈ ]−𝟐, 𝟏𝟎[ significa que: __________________

Ejemplo: 𝒙 ∈ [−𝟑, 𝟓] significa que: |𝒙 − 𝟏| ≤ 4

9. Escriba en símbolos matemáticos (con valor absoluto):

a) La distancia entre 𝒙 y 3 es mayor a 2:

_______________________________________

b) La distancia entre -5 y 𝒙 es menor o igual a7:

________________________________

10. La propiedad llamada desigualdad triangular dice que para cualquier par

de números reales 𝒙 e 𝒚 se cumple que: |𝒙 + 𝒚| ≤ |𝒙| + |𝒚|

a) “Pruebe” que se cumple con dos números cualquiera.

b) ¿Qué significa geométricamente la desigualdad triangular?

La función cuadrática

Es una función de la forma: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, donde: 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son números

reales. Es evidente verificar que:

Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎entonces 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙 + 𝒄, es una función afín

Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 = 𝟎entonces 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙, es una función lineal

Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎entonces 𝒇(𝒙) = 𝒄, es una función constante

Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = 𝟎entonces 𝒇(𝒙) =, es la función nula

Para lo cual, vamos a considerar que 𝒂 ≠ 𝟎

Vamos por partes:

Consideremos la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, en este caso: 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = 𝟎

FUNCIONES

89

Su gráfico, muy sencillo:

Se llama parábola; nos recuerda al tiro parabólico, o a los faros del auto o a la

trayectoria de ciertos cometas.

Ahora grafiquemos la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐, 𝒂 = 𝟐, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = 𝟎

Comparando los dos gráficos, vemos que: el gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 es más

angosto que el gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, lo que en realidad significa que la curva 𝟐𝒙𝟐

crece más rápido que la curva 𝒙𝟐; de tal manera que, si seguimos aumentando

el valor de 𝒂, la curva será cada vez más angosta; es decir, crecerá más rápido

para valores positivos de 𝒙 y decrece más rápido para valores negativos de 𝒙.

Mira esto, 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟐

FUNCIONES

90

En cambio si tomamos valores de 𝒂 más pequeños que 1, pero positivos, por

ejemplo: 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟓𝒙𝟐, su gráfico queda así:

Ahora 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟏𝒙𝟐

Como puedes observar, los gráficos se vuelven cada vez más anchos conforme

𝒂 se acerca a 0 con valores positivos, lo cual quiere decir que la curva crece más

lento para valores positivos y decrece más lento para valores negativos de 𝒙.

FUNCIONES

91

En todos los casos anteriores, la gráfica de estas funciones es:

- Decreciente en el intervalo:]−∞, 𝟎]

- Creciente en el intervalo:[𝟎,+∞[

Y efectivamente, la función 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐, tiene un mínimo en (𝟎, 𝟎)

Si 𝒂 toma ahora valores negativos: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐

Como puedes observar es el mismo gráfico de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, solo que

hacia abajo. Análogamente, los gráficos cuando 𝒂 tome cada vez valores más

pequeños menores a -1, el gráfico se tornará más angosto; pero hacia abajo del

eje. Mientras que, si 𝒂 toma valores entre 0 y -1, (excluyendo el 0), la gráfica se

volverá más ancha, otra vez, hacia abajo.

Como tarea tienes que hacer estos gráficos en el DeadLine y concluir sobre los

intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso de que 𝒂 tome valores

negativos, y decir dónde hay mínimo o tal vez, máximo.

Avancemos un poco, veamos ahora cómo graficar una función cuadrática de la

forma: 𝒚 = (𝒙 + 𝒉)𝟐

El gráfico de 𝒚 = (𝒙 + 𝟑)𝟐

(No te olvides que (𝒙 + 𝟑) = (𝒙 − (−𝟑))

FUNCIONES

92

Como puedes ver, el gráfico es muy parecido al de 𝒚 = 𝒙𝟐, solo que se ha

“corrido” 3 unidades a la izquierda.

Veamos este otro: 𝒚 = (𝒙 − 𝟒)𝟐

Éste, en cambio, se ha recorrido 4 unidades a la derecha. Podemos entonces

generalizar de esta manera:

“El gráfico de 𝒚 = (𝒙 − 𝒉)𝟐 es igual al gráfico de 𝒚 = 𝒙𝟐, pero desplazado 𝒉

unidades en el eje de las x, si 𝒉 es positivo, se desplaza a la derecha, y si 𝒉 es

negativo, se desplaza a la izquierda del origen”

Observación: No te olvides que (𝒙 + 𝒉) = (𝒙 − (−𝒉)); por eso, en el gráfico de

𝒚 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 se desplaza a la izquierda puesto que: (𝒙 + 𝟑) = (𝒙 − (−𝟑)), en

este caso, 𝒉 = −𝟑 es negativo

Es evidente que se pueden deducir los gráficos de: 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌

Continuemos con otro ejemplo para ilustrar mejor el comportamiento gráfico de

las funciones cuadráticas:

FUNCIONES

93

𝒚 = 𝟐(𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝟒

Vamos por partes: el gráfico tiene la misma forma de 𝒚 = 𝟐𝒙, pero se ha

desplazado 3 unidades a la derecha en el eje de las x, y 4 unidades hacia arriba

en el eje de las y.

Otro: 𝒚 = 𝟎. 𝟓(𝒙 + 𝟐)𝟐 − 𝟏

Y otro más: 𝒚 = −𝟑(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐

FUNCIONES

94

Listo, ya podemos graficar una parábola de la forma: 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌, donde:

El vértice de la parábola es: (𝒉, 𝒌)

Si 𝒂 es positivo, el gráfico se abre hacia arriba y la gráfica tiene un

mínimo en el punto: (𝒉, 𝒌)

Si 𝒂 es negativo, el gráfico se abre hacia abajo y la gráfica tiene un

máximo en el punto: (𝒉, 𝒌)

Su anchura o angostura depende del valor absoluto de 𝒂, es decir: si

|𝒂| > 1, el gráfico es más angosto que el gráfico de 𝒚 = 𝒙𝟐, en cambio, si

|𝒂| < 1, el gráfico es más ancho.

Pero, si nos piden graficar y analizar una función cuadrática de la forma: 𝒚 =

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, es fácil: igualemos las dos formas.

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌 = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙𝒉 + 𝒂𝒉𝟐 + 𝒌

Obtenemos: 𝒂 = 𝒂; 𝒃 = −𝟐𝒂𝒉; 𝒄 = 𝒂𝒉𝟐 + 𝒌

De donde deducimos que: 𝒉 = −𝒃

𝟐𝒂, 𝒌 =

𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐

𝟒𝒂

Y de esta forma, 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 la podemos expresar como:

𝒚 = 𝒂(𝒙 + 𝒃/𝟐𝒂)𝟐 +𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐

𝟒𝒂

Ejemplo: Probemos con un gráfico

Graficar la función: 𝒚 = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏

Haciendo las transformaciones anteriores, esta expresión es equivalente a: 𝒚 =

−𝟐(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑, y su gráfico es:

FUNCIONES

95

Claro que esto lo podemos hacer también completando los cuadrados, así:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙𝟐 +𝒃

𝒂𝒙 +

𝒃𝟐

𝟒𝒂𝟐) + 𝒄 −

𝒂𝒃𝟐

𝟒𝒂𝟐= 𝒂(𝒙 + 𝒃/𝟐𝒂)𝟐 +

𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐

𝟒𝒂

Si hacemos 𝒚 = 𝟎, se obtienen las “raíces de la función”, es decir las abscisas

donde la curva interseca al eje de las x, así:

𝒂(𝒙 + 𝒃/𝟐𝒂)𝟐 +𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐

𝟒𝒂= 𝟎, despejando x, se obtiene: 𝒙 =

−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Bueno, ¡basta de álgebra! Aquí lo importante es observar las propiedades de la

parábola; pues bien, podemos observar que ésta tiene un eje de simetría y es la

recta 𝒙 = 𝒂.

Además, si tenemos el siguiente gráfico de la función: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔

Se puede observar que sus raíces son -3 y 2, luego como 𝒂 = 𝟏 es positivo, la

parábola se abre hacia arriba; y en el intervalo [−𝟑, 𝟐], se tiene que la función es

negativa (𝒚 ≤ 𝟎), mientras que en el intervalo ]−∞, −𝟑[ ∪ ]2,+∞[ la función es

positiva (𝒚 > 0). Un análisis similar se puede hacer para los casos siguientes:

Intenta hacerlos tú.

FUNCIONES

96


1. Completar: a) x2 + 2x – 15 = (x +…….)2 – 16; b) x2 - 2x – 8 = (x -1)2. Graficar

a) y b).

2. Encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que las medidas

de sus lados son tres números enteros consecutivos (utilizar el teorema de

Pitágoras).

3. Hallar tres números enteros consecutivos tales que, si al cuadrado del mayor

se le restan los cuadrados de los otros dos, se obtenga como resultado 3.

4. Las soluciones de la ecuación: (2x + 3)2 – x2 = 0 son:

a) -1 y -3 b) 1 y -3 c) -1 y 3

5. Probar que la ecuación: x2 + x + 3 = 0 no tiene soluciones reales.

6. Graficar las funciones cuadráticas siguientes:

a) x² – 3x – 10 = 0 b) x² – 10 = 0 c) 9x² – 12x + 4 = 0

d) -x² + 7x – 1 = 0 e) -2x² + 3x – 7 = 0

7. Si a = 0, entonces, la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se convierte en una función:

____________.

8. El gráfico de la función cuadrática se llama una: _____________.

9. Con la función: 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 + 1, completa la tabla:

x y

-2

1

-1

2

FUNCIONES

97

10. i) Dar un gráfico aproximado de:

a) 𝑦 = 2𝑥2 b) 𝑦 = −(𝑥 + 3)2 + 1

ii) Sabiendo que los siguientes gráficos tienen la misma forma de 𝑦 = 2𝑥2,

encontrar las ecuaciones de:

Y =________________ y =________________

11. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar el vértice (decir si es

máximo o mínimo) y su eje de simetría:

a) 𝑦 = −0.1𝑥2. V( , ) es _________, Eje simetría: X = ____

b) 2(𝑥 − 2)2 + 3. V( , ) es _________, Eje simetría: X = ____

c) 2𝑥2 − 12𝑥 + 17 V( , ) es _________, Eje simetría: X = ____

12. En las siguientes ecuaciones, encontrar su discriminante y decir si hay dos

raíces reales distintas, una sola raíz o no hay raíces reales:

a) 8𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 ; ∆= _______ Hay_______________________

b) 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0 ; ∆= ________ Hay_______________________

c) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 ; ∆= _______ Hay_______________________

d) 𝑥2 − 1 = 0 ; ∆= _______ Hay_______________________

FUNCIONES

98

13. Encontrar las raíces de:

a) 𝑥2 − 𝑥 − 72 = 0 b) 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 0 c) 6 𝑥2 + 6𝑥 + 1 = 0

14. Demostrar que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, es igual a: −𝑏

2𝑎

15. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la

edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

16. Dar un gráfico aproximado de: a) 𝑦 = −2𝑥2

17. Factorizar los polinomios siguientes:

𝑥2 + 14𝑥 + 49 =

𝑥2 − 6𝑥 + 9 =

𝑥2 − 𝑥 +1

4=

3𝑥2 −3

4=

(2𝑥 − 3)(𝑥 − 7) + (𝑥2 − 14𝑥 + 49) =

𝑥2 − 16 =

𝑥2 + 11𝑥 + 28 =

𝑥2 − 𝑥 + 6 =

18. Desarrollar:

(2𝑥 − 1)2 =

(𝑥 +1

2)2

=

19. Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes:

a) 𝑥2 − 1 = 0

b) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0

20. Encontrar un número de tal manera que su triple aumentado en dos sea igual

a su doble disminuido en tres.

FUNCIONES

99

21. Encontrar dos números pares consecutivos, de tal manera que su producto

sea 2024.

22. Probar que la ecuación: x2 + 2x - 3 = 0 tiene soluciones 2 soluciones reales

distintas.

23. i) Dar un gráfico aproximado de: a) 𝑦 = 0.5𝑥2 b) 𝑦 = −(𝑥 − 2)2 + 1

24. Resolver las ecuaciones:

a) 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0

b) 6 𝑥2 + 24𝑥 + 18 = 0

c) −𝑥2 + 4𝑥 − 8 = 0

25. ¿Para qué valores de x, el perímetro del rectángulo es más pequeño que el

perímetro del triángulo equilátero?

x

3.5

Funciones exponenciales:

FUNCIONES

100

En tus estudios precedentes debes haber definido y trabajado con potencias.

Este concepto define que para todo número real positivo 𝒂 ≠ 𝟏 y todo número

real c, existe un único número real 𝒃 > 0 tal que 𝒂𝒄 = 𝒃, y recíprocamente 𝒂𝒄

es la potencia de base a y exponente c.

Esta es la base de la definición de la Función Exponencial. Solo cambiaremos

la variable c por una x para homogenizar con otras bibliografías sobre el tema

que podrás consultar.

Entonces decimos que a cada número real x una única potencia del número real

a (𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1). Esta propiedad permite definir la Función Exponencial.

Debes observar que en la función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 la base es constante en

tanto que el exponente es variable. Las funciones de tipo 𝑦 = 𝑥𝑎 en las cuales la

base es variable y el exponente constante son funciones potenciales (como 𝑦 =

𝑥^2).

Al ser la relación de x con la potencia 𝑎𝑥 única para cada valor de x, podemos

inferir que las funciones exponenciales son inyectivas. Siendo así podemos

afirmar que dichas funciones tienen una función inversa asociada: la función

logarítmica que estudiaremos más adelante. Debido a esto a las funciones

exponenciales también se les conoce como Antilogaritmo.

Comencemos a estudiar a continuación un ejemplo que nos ayudará a entender

mejor el comportamiento y las propiedades de la función exponencial.

Es muy común la utilización de la base a=10 en las funciones exponenciales por

su alto grado de aplicación, pues los números reales se escriben cómodamente

Definición: se llama función exponencial de base a (𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1) a la función que a cada número real x le hace corresponder 𝒂𝒙, es decir el conjunto de pares ordenados {(𝑥, 𝑎𝑥); 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1}

FUNCIONES

101

en el sistema decimal. Sin embargo no es preciso tomar como base al número

10, cualquier otro entero positivo diferente de 1 puede tomarse como base.

La representación gráfica de la función 𝑦 = 10𝑥 es la siguiente.

Como puedes ver para lodo 𝑥 ∈ ℝ la función 10𝑥 > 0, por lo que su gráfica no

toca el eje “x”, aunque sí se acerca ilimitadamente a él. Esta recta a la cual la

curva se aproxima ilimitadamente se denomina Asíntota de la Función

Exponencial.

A partir de la Gráfica podemos definir las propiedades de la función:

Dominio: 𝑥 ∈ ℝ

Imagen: 𝑦 ∈ ℝ∗ (reales positivos).

Ceros (puntos donde la curva interseca el eje “x”): no tiene Monotonía:

Creciente.

Valor máximo: no tiene la función; toma cualquier valor positivo.

Valor mínimo: no tiene la función; se aproxima indefinidamente al eje “x”

sin tocarlo.

Paridad: no es par ni es impar puesto que la función no es simétrica

respecto al origen ni al eje “y”.

FUNCIONES

102

Analicemos los siguientes gráficos de las funciones 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 3𝑥; 𝑦 =

(1

2)𝑥

respectivamente.

¿Qué notas en común? ¿Qué diferencias puedes determinar?

A continuación resumo las principales conclusiones que podrás aprender de este

análisis.

Para las funciones de tipo: 𝒚 = 𝒂𝒙

En ambos casos las propiedades de las funciones resultantes coinciden con las

de 𝑦 = 10𝑥, solo es diferente la monotonía en el caso de 0 < 𝑎 < 1 que pasa a

ser decreciente.

𝒚 = 𝟐𝒙 𝒚 = 𝟑𝒙 𝒚 = (𝟏

𝟐)𝒙

∗ Si 𝑎 > 1 entonces log 𝑎 > 0 por ∗ Si 0 < 𝑎 < 1 entonces log 𝑎 < 0, y la una contracción o dilatación en la contracción o dilatación de la gráfica de dirección del eje “x”. 𝑦 = 10𝑥 le sigue una simetría respecto al eje "y"

FUNCIONES

103

Transformaciones de funciones exponenciales:

Partiendo de los gráficos de las funciones 𝑦 = 2𝑥; y 𝑦 = (1

2)𝑥

tratemos de esbozar

cómo serían las gráficas de 𝑦 = 2𝑥 − 8; y 𝑦 = (1

2)𝑥−2

CASO 1: 𝑦 = 2𝑥 − 8.

Tomando como base la función 𝑦 = 2𝑥 en su forma 𝑓(𝑥) = 2𝑥 podemos decir que

la función 𝑦 = 2𝑥 − 8 es del tipo 𝑓(𝑥) − 𝑐 donde 𝑓(𝑥) = 2𝑥 y 𝑐 = 8.

Siendo así la gráfica de 𝑦 =

2𝑥 − 8 se obtiene por un

desplazamiento de la función

𝑓(𝑥) = 2𝑥 en 8 unidades hacia

abajo. Partiendo de 𝑦 = 1 en la

función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 la 𝑥 = 0; y

para la función 𝑦 = 2𝑥 − 8, la x

correspondiente se ubica 8

unidades más abajo. Por lo

tanto sería 𝑥 = −7, y el par

ordenado sería (-7; 1)

Tarea:

Cuál sería el gráfico de 𝑦 =

2𝑥 + 8

FUNCIONES

104

CASO 2: Utilizamos el mismo procedimiento que en el caso anterior. Definimos entonces

que 𝑦 = (1

2)𝑥−2

es una función

de tipo 𝑓(𝑥 − 𝑐) donde 𝑓(𝑥) =

(1

2)𝑥

y 𝑐 = 2.

De aquí que su gráfica se obtenga recorriendo la gráfica

de 𝑓(𝑥) = (1

2)𝑥

2 unidades a la

derecha. Tarea: Cuál sería el gráfico de

𝑦 = (1

2)𝑥+2

Función exponencial con base 𝓮

Leonard Euler, según has podido leer en el primer Paréntesis Cultural, realizó

disímiles investigaciones y aportes a la matemática moderna. El más reconocido

es el número 𝓮 = 2.71828. Con él se logra la ampliación de las aplicaciones de

las funciones exponenciales mediante la conceptualización de las funciones

exponenciales naturales. Dichas funciones tienen como base a 𝓮. Estas son

aplicadas en cálculos, estadísticas, análisis económicos, y en problemas que

implican crecimiento o decaimientos naturales, como estudios poblacionales,

intereses compuestos de inversiones y decaimientos radiactivos, por citar

algunos ejemplos.

FUNCIONES

105

Como puedes constatar a través de la representación gráfica, la función 𝒚 = 𝒆𝒙

mantiene las características y propiedades generales de las funciones

exponenciales con base 𝑎 > 1.

A continuación analicemos otros ejemplos que te ayudarán a comprender mejor

la aplicación de las funciones exponenciales en la resolución de problemas.

CASO 3: Una de las principales inquietudes de los padres es qué talla

alcanzarán sus hijos. Este es el caso de un niño llamado Carlos, quien tiene 3

años de edad. Carlos midió al nacer 30 cm de longitud y ha aumentado su

estatura a razón de 45% anual en sus 3 primeros años de vida.

a) Determine la función de crecimiento de Carlos

Estatura inicial= 30cm

% de crecimiento anual= 1.45%

Variable (exponente)= t (tiempo en años de vida de Carlos)

Recuerda las siguientes propiedades de las potencias que te serán muy útiles

Si 𝑎 > 0; 𝑏 > 0; 𝑟 𝑦 𝑠 ∈ ℝ

*𝑎𝑟 ∗ 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 ∗ 𝑎𝑟 ∗ 𝑏𝑟= (𝑎 ∗ 𝑏)

𝑟 ∗ (𝑎𝑟)𝑠 = 𝑎𝑟𝑠

*𝑎𝑟 ÷ 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟−𝑠 ∗ 𝑎𝑟 ∗ 𝑏𝑟 = (𝑎

𝑏)𝑟 *𝑎−𝑟 =

1

𝑎𝑟

*𝑎log𝑎 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑎0 = 1 ∗ 𝑎1 = 1

*Si 𝑎𝑟 = 𝑎𝑠, entonces 𝑟 = 𝑠

FUNCIONES

106

Con estos datos podemos definir la función de crecimiento de Carlos

como 𝑪(𝒕) = 𝟑𝟎(𝟏. 𝟒𝟓)𝒕.

b) Qué estatura tiene Carlos actualmente.

Han transcurrido 3 años desde el nacimiento de Carlos, por lo tanto 𝑡 = 3.

Entonces

𝐶(3) = 30(1,45)3

𝐶(3) ≈ 91,5

Carlos mide aproximadamente 91,5 cm de estatura.

c) Represente gráficamente la función de crecimiento de Carlos, y ubique en

la misma el punto de crecimiento hasta los 3 años.

CASO 4: El monto que se obtiene de una cantidad de dinero invertida a un

interés compuesto, está expresado por la función:

Secuencia en la calculadora:

1 . 45 x^y 3 = * 3 0 =

FUNCIONES

107

𝐹(𝑛) = 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛

Donde:

S=monto compuesto

n= años transcurridos desde el inicio de la inversión (variable independiente de

la función)

P=capital al final de n años

r= tasa de interés compuesto anual

Supongamos que hemos realizado una inversión de 1000 dólares a una tasa de

interés compuesta del 9% anual-

a) Representa gráficamente la función.

Comenzamos como puedes ver con un capital P=1000, la asíntota de la función

será la recta y=1000, porque desde que se inicia la inversión se comienza a

percibir ganancias de los intereses, por lo que el monto S nunca va a ser 1000

aunque se aproxime infinitamente a él.

b) Determine el monto acumulado a los 5 años.

𝑆 = 1000(1 + 0.09)5

𝑆 = 1000(1.09)5

FUNCIONES

108

Ya tenemos sistematizados los contenidos principales de esta sección, por lo

cual te propongo realizar los ejercicios de consolidación siguientes.


1. Los puntos A1; A2; A3; A4 están situados en la curva 𝑦 = 10𝑥. Sus ordenadas

son iguales a los números 1; 0,1; 1,2; 2; 79,6 respectivamente. Determina las

abscisas de dichos puntos.

2. Dadas las funciones 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = (1

2)𝑥. Determina a qué función corresponde

cada uno de los siguientes puntos:

(0;1); (-0,1;0); (5;1/32); (0;2); (-2;-4); (0;0); (-2;1/4)

3. Resume las propiedades que son comunes a todas las funciones

exponenciales.

4. Sean las funciones:

𝑓(𝑥) = 5𝑥 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = 5𝑥+3 𝑖(𝑥) = 5𝑥+3 − 1 𝑗(𝑥) = 5𝑥−4

a) Determina el Dominio y la Imagen de cada una de ellas.

b) Diga si tienen ceros.

c) Para qué valor de x se cumple que:

𝑓(𝑥) = √53; 𝑔(𝑥) − 4 = 0; ℎ(𝑥 + 6) =

1

25; 𝑖(𝑥 − 7) =

1

9; 𝑗(𝑥) = 3√2

5. Si 𝑓(𝑥) = 7𝑥−3 ; 𝑔(𝑥) = (1

7)𝑥

a) Determina el punto de intersección entre las 2 funciones.

b) Calcula 𝑓(12,7)+𝑓(2)−𝑓(0,15)

𝑔(0,15)−𝑔(2)+𝑔(7,3)

Secuencia en la calculadora:

1 . 09 x^y 5 = * 1 0 0 0 =

FUNCIONES

109

6. De las funciones siguientes:

𝑓(𝑥) = 6𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 2 + 8𝑥−2 ; ℎ(𝑥) = (2

5)𝑥+1; 𝑖(𝑥) = 9𝑥−2

a) Determina el Dominio y la Imagen de cada una.

b) Identifica los ceros en los casos donde sea posible.

c) Obtén en cada caso el par ordenado (0;y)

d) Realiza un esbozo gráfico de cada una de ellas.

7. Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Justifique su respuesta.

“Para toda función exponencial se cumple que si su base se encuentra en el

rango de 0 a 1, la representación gráfica de la misma es idéntica a la de la función

𝑓(𝑥) = 10𝑥 ”

8. Sea la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 determina si los pares ordenados siguientes

pertenecen a ella:

(0;5); (3;7); (0;6); (3;13); (5;37); (4;23); (11;126)

9. Sea 𝑓(𝑥) = 5𝑥−2 − 2.

Para qué valores de x se cumple que 𝑓(2𝑥 + 1) > 0

10. Calcula x en 𝑓(3𝑥 − 1) = 2

a) Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥

b) Si 𝑓(𝑥) = 42𝑥−3

c) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥−7 + 2

d) Si 𝑓(𝑥) =25𝑥−4

13𝑥−4

11. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) √4𝑥+1

= 2𝑥

b) 2𝑥−1 = 2𝑥

c) 5𝑥+1 + 5𝑥 = 750

FUNCIONES

110

d) (9

4)𝑥+1 ∗ (

8

27)𝑥−1 =

2

3

e) 3𝑥+1 + 2 ∗ 32−𝑥 − 29 = 0

12. Sea la función 𝑔(𝑥) = 5𝑥+4 − 7

a) Determina el Dominio y la Imagen de la misma

b) ¿Tiene ceros?

c) Clasifícala en cuanto a la paridad

d) Cuáles son sus valores mínimos y máximos.

e) Determina si los pares ordenados siguientes pertenecen a dicha función:

(0,015;15); (0;618)

13. En un mismo eje de coordenadas ortogonales graficar las funciones

siguientes:

a) y = 2x

b) y = 3x

c) y = 4x

14. Proceder de la misma manera que en el ejercicio anterior:

a) y = (1/2)x

b) y = (1/3)x

c) y = (1/4)x

15. Resolver estos sistemas:

a) 4x = 16.y

2(x + 1) = 4.y

b) 2x - 2y = 24

x + y = 8

16. Observa las bases de cada una de las funciones exponenciales y las gráficas

trazadas en los ejercicios anteriores, ¿qué conclusiones extraes?

17. En un cultivo de laboratorio el número de células en el momento t está dado

por la función 𝐿 = 𝐿𝑜(2𝑡/230), siendo 𝐿𝑜 la cantidad de células. ¿En qué tiempo

FUNCIONES

111

la cantidad de células se duplicará con respecto a la cantidad inicial?

18. Producto de la crisis económica mundial que está enfrentando todo el

planeta, los economistas han pronosticado para los países pobres una

disminución de las importaciones promedio, en un 15% anual para los próximos

12 meses. Si uno de estos países tiene un nivel de importaciones de 1500

millones de dólares ¿cuánto debería estar importando en el noveno mes? ¿Y en

el onceno mes?

19. Producto del envejecimiento poblacional que estaban experimentando

algunos países desarrollados, los estados implantaron políticas para incentivar

al aumento del número de hijos de un matrimonio. Después de 5 años de

comenzado el proyecto se ha constatado un aumento de un 2% anual en la

cantidad de niños nacidos. Si al inicio la población de niños de uno de estos

países era de 2,5 millones. ¿A cuánto ascendería la población de niños dentro

de 4 años?

20. Para la función 𝑦 = 15𝑥 − 4𝑥 − 5, determina:

a) ¿Para qué valor de x la función toma valor -5?

b) ¿Cuál es el Dominio e Imagen de la función?

c) ¿Tiene ceros la función?

Funciones logarítmicas

A continuación definiremos formalmente la función logarítmica.

Una vez más vemos la interrelación entre la función exponencial y la logarítmica,

tanto que, hasta para su definición, una está en relación de dependencia de la

otra. Decimos que log𝑎 𝑥 = 𝑦 es la forma logarítmica de la forma exponencial

𝑎𝑥 = 𝑦

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝒔í 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂𝒙 = 𝒚

FUNCIONES

112

Te muestro otro estilo de definición con un enfoque a los pares ordenados y los

valores admitidos para la constante y la variable de la ecuación. Veamos:

Gráfica:

Para obtener la gráfica de la función logarítmica podemos hallar los valores de y

que corresponden a cada x (ya sabemos que la función logarítmica es inyectiva

así que cada y se obtiene a partir de un solo valor de x) Pero además al saber la

relación inversa entre las funciones logarítmicas y exponenciales, podemos

utilizar el procedimiento gráfico explicado en el epígrafe de funciones inversas,

donde, trazando la recta 𝑦 = 𝑥 sobre el eje de coordenadas, y con la

representación gráfica de la función exponencial, proyectamos sobre la recta

dicha función, obteniéndose la curva correspondiente a la representación gráfica

de la función logarítmica.

Vamos a representar la función 𝑦 = log 𝑥, ya que en la sección de funciones

exponenciales habíamos representado la función inversa de esta, o se a 𝑦 =

10𝑥.

Una vez representada la función, comparemos las propiedades de esta, con su función inversa.

𝒚 = 𝒂𝒙 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒙

Se llama función logarítmica de base 𝑎 (𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1) a la función que a cada 𝑥 (𝑥 > 0) le hace corresponder log𝑎 𝑥, es decir, al conjunto:

{(𝑥; log𝑎 𝑥); 𝑥 𝜖 ℝ+∗ ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 }

FUNCIONES

113

Dominio ℝ ℝ+∗

Imagen ℝ+∗ ℝ

Ceros No tiene x=1 ya que log 1 = 0 Monotonía Creciente Creciente Valor máximo No tiene No tiene Valor mínimo No tiene, se acerca

infinitamente al eje x

No tiene, se acerca infinitamente al eje y

Paridad No es impar ni par No es impar ni par

Como puedes apreciar, la relación entre dominio e imagen de ambas funciones

nos confirma la relación inversa que existe entre ellas.

Analicemos ahora un Ejemplo en el que utilizaremos la base 𝑎 = 10, y vamos a

determinar para qué valores de 𝑥, la función 𝑦 = 𝑎𝑥 alcanza los valores 5; 10 y

42,5, respectivamente.

Los valores 5; 10 y 42,5 son imágenes de la función, o lo que es igual, son valores

que toma la variable y con determinado valor de x, respectivamente.

Entonces. si

𝑦 = 5 ⟹ 5 = 10𝑥

𝑦 = 10 ⟹ 10 = 10𝑥

𝑦 = 42,5 ⟹ 42,5 = 10𝑥

Los valores de x en cada caso los determinamos despejando dicha variable, con

lo cual obtenemos una ecuación logarítmica.

5 = 10𝑥

𝑥 = log 5

𝑥 = 0.699

10 = 10𝑥

𝑥 = 1

42,5 = 10𝑥

𝑥 = log 42,5

𝑥 = 1.6284

Recuerda que puedes obtener los valores de los logaritmos utilizando una

calculadora científica. La secuencia de teclas sería la siguiente:

Para 𝑦 = 5 5 Log =

Importante: Los logaritmos de base 10 son llamados Logaritmos comunes, y no es

necesario colocar el 10 en la base para saber que se trata de este tipo.

FUNCIONES

114

En el caso de calculadoras con editor de fórmulas la secuencia es la siguiente:

Ahora te propongo determinar cuáles serían las imágenes de la función anterior

si los valores de las abscisas (x) son 0,5; 1,3 y -1,7.

𝑦 = 100,5

𝑦 = 3,16

𝑦 = 101,3

𝑦 = 20

𝑦 = 10−1,7

𝑦 = 0,02

En la calculadora científica se obtienen dichos valores utilizando la secuencia

de teclas siguiente:

Apoyados en la demostración anterior podemos llegar a la conclusión siguiente:

En general las propiedades de las funciones 𝒚 = 𝒂𝒙 y sus gráficas pueden

obtenerse de la de la función 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙 ya que 𝒚 = 𝒂𝒙 = 𝟏𝟎(𝐥𝐨𝐠 𝒂 )𝒙

Es decir, una función exponencial desconocida se puede transformar una en una

variación de otra conocida. Lo mismo puede aplicarse en las funciones

Para curiosos

¿Cómo sería la representación gráfica de 𝒚 = 𝟐𝒙 sin utilizar ningún programa computarizado?

Tenemos una función de forma: 𝑦 = 2𝑥 ⟹ 𝑏 = 𝑎𝑐

Primero transformaremos la expresión en una potencia de base 10: 𝑏 =10𝑐 ⟹ 2 = 10𝐶 (ecuación 1)

Despejamos c en la ecuación 1 quedando: 𝑐 = log10 2 = log 2 (ecuación 2)

Calculamos el valor numérico de: 𝑙𝑜𝑔 2 = 0.3

En la función principal sustituimos las ecuaciones 1 y 2 y queda:

𝒚 = 𝟐𝒙⟹ 𝒚 = 𝟏𝟎(𝐥𝐨𝐠𝟐)𝒙 = 𝟏𝟎𝟎,𝟑𝒙

Como puede verse la función y=2^x se obtiene gráficamente por una

contracción de la función 𝑦 = 10𝑥 en el sentido del eje “x”. Por lo que si gráfica tiene la misma representación que esta última con una ligera contracción con respecto a ella.

Se infiere además que las propiedades de dicha función son muy similares a

las de la función de tipo 𝑦 = 10𝑥

1 0 𝑥𝑦 0 , 5 =

log 5 =

FUNCIONES

115

logarítmicas; pero eso ya debes suponerlo debido a la relación inversa que ya

conoces existe entre exponenciales y logarítmicas.

A continuación se relacionan algunas propiedades algebraicas de los logaritmos

que te serán muy útiles para el trabajo con estas funciones.

Ya estamos listos entonces para trazar la gráfica de la función 𝑦 = log2 𝑥, como

hicimos en las funciones exponenciales con 𝑦 = 2𝑥, sin utilizar un programa

computarizado.

𝑦 = log2 𝑥 Utilizamos la propiedad del cambio de base, para cambiar la base 2

por base 10.

𝑦 =log𝑥

log2 Calculamos con la calculadora científica el valor de log 2 = 0,3. Por lo

que:

𝑦 =log𝑥

0,3

Por lo tanto, la gráfica se puede obtener de la de 𝑦 = log 𝑥 por una contracción

en el sentido del eje x. Realiza el gráfico de ambas funciones y comprueba sus

concordancias (Recuerda que puedes utilizar el programa DeadLine).

Al igual que las funciones exponenciales, las logarítmicas de base 𝑎 (𝑎 > 1) se

pueden obtener de la de 𝑦 = log 𝑥 por una dilatación o contracción de su gráfica:

log𝑎 𝑥 =log𝑥

log𝑎 (log𝑎 𝑥 > 0)Por consiguiente estas funciones mantienen las

propiedades de la función 𝑦 = log 𝑥.

Ahora, si la base 𝑎 (0 < 𝑎 < 1), entonces se tiene que:

Si 𝑎 > 0; 𝑏 > 0;𝑚, 𝑟 𝑦 𝑛 ∈ ℝ

∗ log𝑎(𝑚𝑛) = log𝑎𝑚+ log𝑎 𝑛 ∗ log𝑎 (1

𝑚) = − log𝑎𝑚 ∗ log𝑎 1 = 0

∗ log𝑎 (𝑚

𝑛) = log𝑎𝑚− log𝑎 𝑛 ∗ log𝑎(𝑚

𝑟) = 𝑟 log𝑎𝑚 ∗ log𝑎 𝑎 = 1

∗ 𝑎log𝑎𝑚 = 𝑚 ∗ log𝑎 𝑎𝑟 = 𝑟 ∗ log𝑎𝑚 =

log𝑏𝑚

log𝑏 𝑎

*Si log𝑎𝑚 = log𝑎 𝑛, entonces 𝑚 = 𝑛

FUNCIONES

116

log𝑎 𝑥 =1

log𝑎log 𝑥 ; con

1

log𝑎< 0.

Esto significa que la gráfica se obtendría de 𝑦 = log 𝑥, añadiéndole a la dilatación

o contracción de su gráfica una simetría con respecto al eje x (la misma situación

que en exponenciales). Por ello las propiedades de estas funciones coinciden

con las de 𝑦 = log 𝑥, pero cambia el sentido de la monotonía de creciente para

𝑦 = log 𝑥 a decreciente para estas últimas.

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝐬𝐢 𝐚 > 1

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝐬𝐢 𝟎 < 𝐚 < 𝟏

Existe un tipo de logaritmo llamado logaritmo natural, cuya particularidad es que

tiene como base al número 𝒆, cuya notación es 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙, que es igual a log𝑒 𝑥.

Su representación gráfica, al ser 𝑒 > 1, coincide con la representación gráfica de

las funciones logarítmicas con base 𝑎 > 1. Puedes comprobarlo representando

gráficamente la función con la ayuda del programa DeadLine.

Esta coincidencia en los gráficos se hace extensiva a las propiedades, así que

la función 𝒚 = 𝐥𝐧𝒙, coincidirá con las propiedades de la función 𝑦 = log 𝑥.

Veamos a continuación algunos ejemplos que tanto nos ayudan a comprender

la importancia y aplicación del contenido teórico.

CASO 5: Revisa el caso 3 de la sección de Funciones Exponenciales y

responde:

Suponiendo que Carlos mantuviera dicha función de crecimiento y teniendo en

cuenta la talla promedio máxima de un hombre adulto (para este ejemplo la

FUNCIONES

117

fijaremos en 180 cm). ¿Hasta qué edad necesitaría crecer Carlos a este ritmo?

¿Es probable que a esa edad ya Carlos haya alcanzado esa talla?

En este caso podemos hacerlo utilizando la representación gráfica y ubicando

en el eje x el valor 180 cm, y buscando cuál es el valor de y correspondiente.

Pero lo haremos calculando por ser más exacto el resultado y porque no todos

los editores de gráficos nos permiten ese nivel de detalle. Siendo así:

𝐶(𝑡) = 180 Por lo que,

180 = 30(1,45)𝑡 Despejamos y,

180

30= 1,45𝑡, Simplificando obtenemos:

6 = 1,45𝑡, Despejamos en función de t, y quedaría:

log1,45 6 = 𝑡, Transformamos para poder calcular el valor,

log6

log1,45 = 𝑡 Quedando:

0,77815

0,161368= 𝑡, con lo que,

𝑡 = 4,82 ≈ 5.

Carlos alcanzaría la estatura de 180 cm a los 5 años, aproximadamente, lo cual

no es probable que ocurra.

CASO 6: Análogamente revisa el CASO 4 de funciones exponenciales y

responde: ¿a qué tiempo el monto acumulado será igual a 40000?

𝑆 = 40000 Por lo que,

40000 = 1000(1 + 0,09)𝑛 Simplificamos y queda:

40 = 1,09𝑛 Despejamos en función de n:

log1,09 40 = 𝑛, Transformamos para poder calcular el valor,

log40

log1,09 = 𝑛, Quedando:

1,602

0,1614= 𝑛, con lo que,

𝑛 = 9,93 ≈ 10

El monto acumulado será igual a 40000 a los 10 años, aproximadamente.

CASO 7: Este es un caso de aplicación de funciones exponenciales, y su

relación con los logaritmos naturales:

FUNCIONES

118

El señor Marcos López trabaja en las obras de construcción del nuevo

aeropuerto de Quito que se piensa se termine en el año 2011. El turno de trabajo

del señor Marcos comienza a las 11pm y termina a las 7am del otro día. Es así

que Marcos necesita dormir durante el día para estar listo en la noche para su

jornada laboral. Marcos decidió comprarse unas cortinas para tapar las

ventanas, disminuir un poco la intensidad de la luz del día y poder conciliar el

sueño. Cada tela de 1mm de espesor con las que están elaboradas las cortinas

que don Marcos escogió, según le indicó el vendedor reduce el 10% de la

intensidad de la luz. Si Marcos quisiera disminuir la intensidad de la luz en su

cuarto al 50%, ¿cuántas capas de esta tela deben tener las cortinas?

Solución: Como puedes ver, éste es un problema clásico de decaimiento de un

factor natural (como es la intensidad de la luz). Es por ello que supongo que

hayas inferido que en nuestra formulación del caso estará involucrado el

número 𝒆 como constante de nuestra ecuación de decaimiento.

El factor que queremos disminuir es la intensidad de la luz, que la definiremos

con la letra 𝑰 , con lo cual la intensidad de la luz inicial (o sea en un 100%) la

definimos por 𝑰𝒐. Como queremos reducirla al 50%, o sea a la mitad, en nuestro

caso diríamos que la intensidad que necesitamos es 𝑰 =𝑰𝒐

𝟐

La variable que necesitamos encontrar es la cantidad de capas de tela

necesarias, y la representaremos con la letra 𝒑. Dicha variable provoca una

disminución de la intensidad de la luz 𝑰 a razón de un 10% por capa, o sea 𝟎, 𝟏𝒑,

y al ser decaimiento debemos afectar dicho producto por un signo negativo de

denote la disminución, es decir −𝟎, 𝟏𝒑.

Con todos los datos definidos procedemos a plantear la ecuación que define la

función.

𝐼 = 𝐼𝑜𝑒−0,1𝑝

Para reducirla al 50% quedaría entonces:

𝑰𝒐𝟐= 𝐼𝑜𝑒

−0,1𝑝

Algebraicamente podemos cancelar la 𝐼𝑜 como factor común de ambos

miembros dividiendo por 1

𝐼𝑜. La formula queda entonces:

FUNCIONES

119

1

2= 𝑒−0,1𝑝

Despejamos para hallar 𝑝, quedando:

ln 0,5 = −0,1𝑝

Recuerda que es el logaritmo la función inversa de la función exponencial con la

cual podemos determinar el valor del exponente de la exponencial.

ln 0,5

−0,1= 𝑝

Resultando: 𝑝 = 6,9… ≈ 7

Por lo tanto, Marcos necesitaría 7 capas de tela para reducir la intensidad de la

luz en su cuarto a la mitad.

Después de los ejemplos citados, y con el estudio de los temas teóricos de esta

sección, ya estás listo para comenzar a realizar ejercicios para lograr una mejor

comprensión del contenido.


1. Calcular utilizando las propiedades de logaritmo estudiadas:

a) 8log77 =

b) 3log32 2 =

c) 7log2 16 =

d) 4log 1

366=

e) 5log16 2 =

f) 15log15ℎ =

g) 32log162 =

h) log2 16 =

i) log3 27 + log3 9 =

j) log5 5 − log5 25 =

k) log 0,1 log 0,01 =

l) log 4 64 + log 8 64 =

La secuencia en la calculadora seria:

0 , 5 ln * - 0 , 1

FUNCIONES

120

m) log 5 + log 20 =

n) log7 49 − log7 175 =

o) log 2 log 0,2 =

p) ln 35 −ln(𝑥+2)

ln𝑥= 0

2. Resolver las ecuaciones siguientes:

a) 𝑙𝑜𝑔 (𝑥3 − 6. 𝑥2 + 11. 𝑥 − 5) = 0

b) log16 𝑥 + log4 𝑥 = log256 𝑥 +13

2

c) 𝑥log𝑥 = 1012

d) log2𝑛+1

𝑛−1= 0

e) log2𝑥

log(𝑥−15)= 2

f) log12

(1

16) + 2 log3(𝑥 − 3) ∗ log3(𝑥 + 2) = log32(𝑥 − 3) ∗ log32(𝑥 + 3)

3. Hallar el logaritmo de los números siguientes:

a) 𝑙𝑜𝑔 9,8907 =

b) 𝑙𝑜𝑔 718,41 =

c) 𝑙𝑜𝑔 5879,2 =

d) 𝑙𝑜𝑔 0,00050858 =

e) 𝑙𝑜𝑔 0,28904 =

4. Determine si pertenecen a 𝑦 = log 𝑥 los pares siguientes:

(100; 2) (1

10; −1) (855; 2,932) (5; 1,699)

5. Encuentre los valores de x para los cuales están definidas las funciones

siguientes:

a) 𝑓(𝑥) = log2(2𝑥 −3

4)

b) 𝑔(𝑥) = log5(1

5− 9)

c) ℎ(𝑥) = log(10 − 4𝑥)

d) 𝑖(𝑥) = log3(2 − 𝑥)

e) 𝑘(𝑥) = log2(𝑥

2−𝑥)

FUNCIONES

121

f) 𝑓(𝑥) = log(𝑥2 + 3𝑥 − 18)

6. Representa gráficamente los incisos anteriores, y determina la imagen en cada

caso. (Recuerda que puedes utilizar el programa DeadLine para estos fines)

7. Determina la función inversa de los incisos del ejercicio 2. ¿Cuáles serían los

dominios respectivos?

8. Utilizando las propiedades de los logaritmos expresa tan reducidas como sea

posible las funciones siguientes:

a) 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) − log2(𝑥 + 1)

b) 𝑓(𝑥) =log𝑥

log𝑦− log 𝑦

c) 𝑓(𝑥) =log2(3𝑥+1)

log4(3𝑥+1)− log4(3𝑥 + 1)

9. Determina el conjunto solución, en cada caso:

a) log3 𝑥 = 2 − log3 9

b) log2 3 + log3(𝑥 + 1) = 1

c) log7(𝑥 + 2) − log4 3 = 2

d) log2(3 𝑥2 − 3) = log2(𝑥 + 5) − log2 3

10. Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4; 𝑦 𝑔(𝑥) = log3(𝑥 − 3)

a) ¿En qué punto de la gráfica cortan al eje x?

b) Determina el Dominio y la Imagen de cada una.

c) Represéntelas gráficamente.

d) Halla x si 𝑓(𝑥) + 3 = 0; 𝑦 𝑔(𝑥) + log3(2𝑥 + 15) − 4 = 0

11. Completa las coordenadas de los puntos que constan a continuación, si todos

pertenecen a la función 𝑓(𝑥) = log(3𝑥 + 2)

a) (3; 𝑦)

b) (𝑥; 1)

c) (4; 𝑦)

FUNCIONES

122

d) (𝑥; −4)

e) (2; 𝑦)

f) (−5; 𝑦)

12. Sea la función ℎ(𝑥) = 3𝑥 + 3

a) ¿Cuáles de los pares, registrados a continuación, pertenecen a la función?

(4; 84) (−1;10

3) (0; 2) (2; 5)

b) Determina la imagen de la función en el intervalo (−1 < 𝑥 ≤ 2)

c) ¿Para qué valor de x, h(x)=12, h(x)=5?

13. Las propiedades radiactivas de las sustancias disminuyen con el paso del

tiempo. Digamos que tenemos la cantidad R de miligramos de una sustancia

radiactiva después de n años, y que la relación de dependencia entre estas 2

variables se define por la función 𝑅 = 250𝑒−0,027𝑡. Determina a partir de ella:

a) La cantidad de sustancia inicial.

b) La cantidad de sustancia presente después de 3,5 años; y después de 5

años.

c) Determina la vida media de la sustancia (apóyate en el ejemplo CASO 3)

d) ¿Después de qué cantidad de tiempo, encontraremos una cantidad de

sustancia de 35 miligramos?

14. El crecimiento poblacional normalmente se expresa en términos de una

función exponencial. Dado esto, si tenemos que en cierto país la población está

disminuyendo a razón de un 0,5% anual a partir de una población inicial de 10

millones de habitantes,

a) plantee la ecuación de definición de la función, donde la variable

dependiente es el crecimiento poblacional (C) y la variable independiente

es t (años transcurridos).

b) ¿Cuántos años tardará en disminuir al 50% de la población inicial?

15. En un submarino hay censores que determinan la intensidad de la luz solar

que está influyendo sobre el mismo. Estos censores marcan la intensidad de la

FUNCIONES

123

luz en cero a partir de un 2% de intensidad. Si se sabe que la intensidad de la

luz disminuye en un 15% por cada 50 cm de profundidad,

a) determine la función que representa dicha situación.

b) ¿A qué profundidad se detecta una intensidad media de la luz?

c) ¿A qué profundidad comenzará el censor a registrar la ausencia de luz?

16. Vamos a invertir un capital de 6000 dólares en un proyecto empresarial en el

cual recibiremos un incremento anual de la inversión inicial por concepto de

intereses compuestos del 15%. La ecuación que define dicha función es la

siguiente: 𝐴 = 𝐾(1,15)𝑡, donde A es el monto compuesto que obtendremos de

dicha inversión. Con estos datos responde:

a) ¿Cuántos años hacen falta para que la inversión inicial se triplique?

b) Si en el primer año se retira hasta el 50% del capital inicial, según el

contrato, no se acumula ningún interés por el tiempo que estuvo completo,

pero en su lugar se ganará una tasa de interés del 8% desde el inicio de la

inversión y hasta 5 años mínimos, en los cuales no podrá retirar el capital

restante. Entonces, ¿cuál sería la ecuación de definición y a cuánto

ascendería el monto de la inversión después de los 5 años?

17. Las ventas de un producto que recientemente se lanzó al mercado han

registrado un comportamiento según la siguiente función:

𝑉(𝑡) = 5400 (3

4)7𝑡

, siendo t el tiempo en días que ha transcurrido desde el

lanzamiento.

a) ¿Cuál fue la cantidad vendida el primer día. (aproxime el resultado al

número natural más cercano?

b) ¿Cuántos días harán falta para que a este ritmo de ventas se aumente 6

veces la cantidad vendida el primer día?

c) ¿En cuántos días se habrán vendido 30000 unidades?

18. De acuerdo con Richter, la magnitud 𝑀 de un terremoto que ocurre a 100 km

de cierto tipo de sismógrafo está dada por 𝑀 = log 𝐴 + 3, donde A es la magnitud

del trazo registrado (en milímetros) del terremoto.

FUNCIONES

124

a) Encuentra la magnitud de un terremoto que registra una amplitud de trazo

de 1mm.

b) Si un terremoto tiene amplitud 𝐴1 y magnitud 𝑀1, determina la magnitud de

un temblor con amplitud 100𝐴1. Exprese su respuesta en términos de 𝑀1.1

19. Dada la función 𝑓(𝑥) = log34𝑥2+3𝑥−1

4𝑥−1

a) Simplifica la expresión de la función hasta que sea posible.

b) Determina el Dominio e Imagen de la misma.

c) ¿Cuál es su Monotonía?

d) ¿Tiene ceros? ¿Cuáles?

20. En Química debes recordar que el pH de una disolución acuosa se determina

por la fórmula 𝑝𝐻 = log𝐻+. En dependencia del valor del pH podemos decir que

una disolución es ácida si 𝑝𝐻 < 7, básica si 𝑝𝐻 > 7, y neutra si 𝑝𝐻 = 7. Diga

entonces:

a) ¿Para qué valores de 𝐻+ la disolución es ácida? ¿y básica?

b) Si el 𝑝𝐻 = 7 cuál es el 𝐻+ de esta disolución, representa gráficamente la

función, rotulando en la misma los intervalos en que la función cambia de

𝑝𝐻 y por consiguiente de propiedades.

c) ¿Cuál es el pH de una disolución salina utilizada en la preparación de

cosméticos, si su 𝐻+ = 4 ∗ 10−3?

1 Ernest F. Haeussler Jr., Richard S. Paul, “Matemática para Administración y Economía”, Pearson Education, 209p.

FUNCIONES

125

BIBLIOGRAFÍA

Antibi, A.; Barra, R.; MAlaval, J. et Pensec J. (1990). Mathématiques.

France: Nathan, 2a.

Apostol, Tom M. (1972). Calculus. La Habana: Instituto Cubano del Libro.

Ayra, Jagdish C. y Lardner, Robin W. (2002). Matemáticas aplicadas a la

administración y la economía. México: Pearson Educación.

Campistrous L., Cuadrado Z. (1990). Matemática Onceno Grado. La

Habana: Pueblo y Educación.

Carruelle Ch., Isblé F. (2000). Mathématiques, Série Collège. France:

Nathan.

González M., Mancill J. D. (1962). Álgebra Elemental Moderna. Vol. 2. La

Habana: Selecta.

Haeussler F., Ernest Jr. (2003). Matemáticas para administración y

economía. México: Pearson Educación, 10ª.

http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

http://www.mister-wong.es/groups/+Galois/

Lara Prado, Jorge (2004). Matemática, Décimo Año Educación Básica.

Quito: Artes Gráficas SILVA.

Malaval J., Courbon D. (1999). Math 3e Noveau Transmath. France : Nathan.

Misset, L.; Delaruelle, D. (1957). Mathématiques. Paris: Hachette

Education, 2a.

Sáenz, Rolando; Lara, Jorge; León Hernán (1989). Matemática para el ciclo

diversificado Segunda Parte. Quito: Gráficas Mediavilla Hermanos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

http://www.mister-wong.es/groups/+Galois/

FUNCIONES

126

Quito - Ecuador

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