Aprendizaje y Enseñanza de la Modelación: el caso de las ecuaciones diferenciales

8/17/2019 Aprendizaje y Enseñanza de la Modelación: el caso de las ecuaciones diferenciales

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Aprendizaje y enseñanza de la modelación

Relime, Vol. 13 (4-I), Diciembre de 2010

Aprendizaje y enseñanza de la modelación:

el caso de las ecuaciones diferenciales

Teac ng an earn ng mo e ng: T e case o erent a equat on

Ruth Rodríguez

RESUMEN

Este artículo trata de la didáctica de la modelación matemáticaen os cursos e Fís ca y Matemát cas. En 2002, un nuevocurrículo para el bachillerato en Francia enfatizó la relevanciade las Matemáticas como una herramienta para modelar eotras c enc as. Se presentan a escr pc ón e procesomodelación, el análisis de los manuales comúnmente usadoestos cursos, y la implementación de una situación expe tacon tareas no a tua es, o cua perm t ó a entn uenc a e as praxeo ogías en os procesos e a

los estudiantes. Asimismo, este análisis revela la trae “proceso e mo e ac ón” pract ca o r os exper

que es a apta o na mente a a escue én se s ela vinculación de algunas dificultad al abordar lasituación con la transposición del ción.

ABSTRACT

This paper proposes a th the learning andteaching of mathe ysics and mathematicscourses. It was o or t e sen or g sc oostudents in Fr syllabi for the Physics andMathemati d the role of mathematics as atoo or ences. F rst y, a escr pt on o t emod tablished for this work. Secondly,th y used in the Physics and Mathematics

yze . T ese ana yses revea e t et ocess o t e “mo e ng process” pract ce by t into a different process adapted for school. Thesett ng an exper menta s tuat on nc u ng some unusuatas s out o t e scope o t e common act c contract orsenior high school students allowed the identification of then uence o t e ex st ng “praxeo og es” n t ese c asses w en

students were subjected to problem-solving situations. Some

of the difficulties linked to the setting up of this transposition process ware analyzed and are presented in the study.

Relime (2010) 13 (4-I): 191-210. Recepción: Abril 30, 2009 / Aceptación: Enero 31, 2010.

ini

textboocourses werc

anspos t on ps oe expertert

up

a; tas presenteses

roceso de model o d l

study which deals wtical modeling in pn

ente spec ca ynce. In 2002, the ne

s courses emphasiso e ng n ot er scn process was er s

s commos cana

meac ón ec

ren za e en posición p

s y es y e

e

ene

PALABRAS CLAVE:

- Modelación

- Matemáticas

- Física

- Ecuación diferencial

- Praxeología

KEY WORDS:

- Modeling

- Mathematics

- Physics

- Differential equation

- Praxeology


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Ruth Rodríguez

RESUMO

Este artigo trata da didática da modelação matemática noscursos de Física e Matemática. Em 2002, um novo currículo

para o bacharelado na França enfatizou a relevância daatemát ca como uma erramenta para mo e ar em outras

c ênc as. Se apresentam a escr ção o processo e mo e ação,a aná se os manua s comumente usa os nestes cursos, e amp ementação e uma s tuação exper menta com tare as não

habituais, o qual permitiu a identificação da influência das praxeologias nos processos de aprendizado dos estudantes.Também, esta análise revela a transposição do “processo demodelação” praticado pelos especialistas e o que é adaptado

na mente à esco a; tam ém se scute a v ncu ação e

a gumas cu a es presentes ao a or ar a s tuação com aranspos ção o processo e mo e ação.

ÉSUMÉ

Cette recherche porte sur la didactique de la « démar emodélisation » en classes de Physique et de Mathém nTerm na e S au ycée, en France. Les nouveauxm s en p ace en 2002 pour ces eux c asses mettenrô e es o ets mat émat ques en tant qu’out e mo pour ’autres sc ences. L’ana yse es m s a tue e

utilisés en classes de Physique et de ues, a permisde caractériser la démarche de nsée êtreenseignée à ce niveau scola ermettentde mettre en évidence la tran démarche demo é sat on » e ré émarc e p ussco a re ce e es é è ce ’une s tuat onexpér menta e co s n a tue es orscontrat pour sse e Term na e S a permis d’ide ercées par les praxéologiesexistantes r les démarches des élèves.

es di ise en place de cette démarcheran relief dans le présent travail.

In ducción

y en día, la sociedad tiene nuevas expectativas sobre las habilidades aser desarrolladas en los jóvenes estudiantes. En particular, algunos

estudios internacionales establecen la importancia del desarrollo de

poss

nue

athématatmodélisation cs c

e. Ces analysese. a position de l’objeto et

rence vers uner v ees . La m se en pa e

ue avec es tâcss é èves e a cc

tifier l’influence e’ edans ces classes s

icultés liées à lasont mises eo

iquesirogrammesen re e en

sat one

ee MOTS CLÉS:

- Modélisation

- Mathématiques

- Physique

- Equation différentielle

- Praxeologie

PALAVRAS CHAVE:

- Modelação

- Matemática- Física

- Equação diferencial

- Praxeologia


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habilidades individuales para modelar y solucionar problemas en contextos de lavida real (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico, 2007).

or un lado se cuenta con la existencia de un programa internacional que

desde el año 2000 evalúa (cada tres años) el desempeño en Matemáticas de losestudiantes de 15 años de edad en diversos países (PISA en sus siglas en inglés).Este estu io en atiza etermina as a i i a es que e ieran ser a quiri aspor los j venes durante su instrucci n. En particular, “PISA usa (y eval a) elconcepto de cultura matem tica para referirse a la capacidad de los est diantespara analizar, razonar y comunicar efectivamente la formulación, n einterpretación de problemas en una variedad de situaciones q nconceptos cuantitativos, espaciales, probabilísticos o mate2007, p. 51).

or otro lado, los programas curriculares de oneseducativas y en distintos niveles han incluido de m uso delas Matem ticas en otras disciplinas cient cas. Por 2002, losnuevos programas de estudio de preparatori de Física yMatemáticas en Francia enfatizan la utilida de icas como unaherramienta para modelar en otras cie t amas establecena la modelación matemática como un o te a ser llevado alsistema de ense anza si se pretende que esarrolle cierta culturamatem tica. Siendo la preparator un cicl nal en ese pa s, se sabe

que una parte de los estudiante e nivel q z no contin en sus estudiosuniversitarios o quizá no los un rubro cientíco, por lo cual estaformación matemática de para ellos.

ste trabajo tien o: por un lado, estudiar cómo se poneen práctica el proces n el sistema escolar y por otro, identicarlas dicultades d ara modelar un problema de la vida real.

n las es, la metodolog a utilizada en este trabajode investi ada as como la discusi n de algunos resultadosimporta

o” a mo e ac ón matemát ca

Se esta lece primeramente una descripción del proceso de modelación que sirvacomo referencia para este estudio. Esta descripción se construye principalmenteconsiderando las deniciones del proceso de modelación usadas por Blum yNiss (1991) y Henry (2001). La descripción nal del proceso de modelación está

representada en la Figura 1 (para más detalles ver Rodríguez, 2007):

“Mo e

de eealicen ennse es primordiar

un doble propóso sde modelación

os estudianteste

cciones siguieneci n es presen

es del mismo.

ias.iroceso imo

l alumnolterter

oluce involucrr

ticos” (OCDE,,

diversas instituc asnera expl cita ele a

ejemplo, desdeepara las claseclas Matema

s pros


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Figura 1. Descripción del proceso de modelació encia (Rodríguez, 2007).

Con base en la descrip roceso de modelación matemáticaestablecida, libros de tex usados en clases de Física y de

atem ticas son anali ados de estos an lisis permitenaracterizar el proces ropuesto a ser ense a o en el ltimo

año de bachillerato. cterización es ilustrada en el apartado 3.

2.1. La noci a

n este noci n de praxeolog a como un instrumento til para

anali o. Esta noci n es tomada de la Teor a Antropol gica deCh sta noción es retomada por otros investigadores, como por

007) quien establece que “bajo esta perspectiva, dos aspectosi ben ser considerados. El primero alrededor de lo que es ense adoy ap y que debe ser modelado en términos de praxeologías matemáticas.l segu do respecto al aprendizaje y ense anza de actividades y que debe serodelado en t rminos de praxeolog as did cticas” (p.373). Esta autora precisa

que este constructo tiene cuatro componentes:

a) un tipo de tareas T al que el alumno es usualmente enfrentado;

b) una técnica τ , la cual establece una manera de realizar determinadotipo de tareas;

vallarljemplo, Ar,

ortantesrendid

ión delcomúnmentt

dos. Los resu.de modelaci nc

sta primera car

n e praxeo og r eo

estudio se usa l

libros de texx(1999)..

ud

de refee e


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c) una tecnología θ para cada técnica, la cual establece el discurso quejustica y la explica;

) una teoría que es el discurso que justica y explica la tecnolog a.

a pareja T τ conforma el bloque práctico o praxis (el saber hacer)mientras que el conjunto ,Θ conforma el bloque teórico o logos (el saber).

n una primera revisi n de los programas de estudio as como de los librosa analizar, la noción de ecuación diferencial ED se escoge como herr ientapara modelar con el propósito de realizar el análisis. Esta noción ica,la cual es enseñada por primera vez en el último año de preparatouna poderosa y útil herramienta para modelar diversos fenómeextra-matemática.

Gracias al análisis del contenido teórico del onesDiferenciales” se determinaron y clasificaron as quecomúnmente se solicita realizar al alumno. U , el de losejercicios resueltos y propuestos en el libro, p clasicaciónanterior. Si un tipo de tarea aparece solam nido te rico delcap tulo sin posteriormente ser solicitada a, sta se desecha.Una vez conformada nuestra primera lista e s, la identicación deelementos de técnicas, tecnología y teoría a a cabo. Los resultadosde estos análisis son mostrados en ección sig e.

Pr meros resu e os ros

3.1. La c as

El an lis e texto com nmente usados en clase de matem ticas

permi n de los tipos de tareas siguientes:

er una ecuaci n diferencial que modela una situaci n real enos pseudo-concretos,

contrar una solución general de laencontrar una solución particular usando una condición inicial y

T responder una pregunta, formulada en términos pseudo-concretos,en base a los resultados matemáticos obtenidos.

En la siguiente gura se ubican los tipos de tarea identicados en esta clase

respecto a nuestra descripción de modelación de referencia:

EDDet ree

a

os: e aná s

e Matemática

s de tres libros

e la identicacit c

tablet

ntn la parte tipo de t

s llevaie

tem a, constituu

os de naturalezat

capítulo “Ecuaos tipos de tar

segundo análisio lrmite validar lr a

n el contncti


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Figura . T pos e tarea ex stente temát cas.

Se observa que la mayor par del tiem s problemas propuestos a

os alumnos est n presentados inos pseudo-concretos e incluso cuasi-atem ticos (por ejemplo, va das expl citamente). El tipo de tarea

es a menos so icita a ya que os ejercicios proporcionana mayoría de las vec algunas ocasiones, se reduce a

“justicar” que un m enunciado) es efectivamente el correcto.También se observ se, resolver una ecuación diferencial T

G

ignica hacer (anteriormente demostrado por el profesor enlase) para p solución general a la ED. Este análisis evidencia

que la es matem tico, la cual es una etapa importante delroces , es un tipo de tarea poco solicitado en clase deat se en los resultados anteriores, se decide entonces

e del estudio a la clase de Física.

. . e e Física

l inclu r un dominio físico en nuestra descripción de modelación conlleva aonsiderar dos etapas adicionales en el proceso (ver gura 3).

La etapa, denominada Modelo Físico, se reere en este caso a proponer

una conguración de un circuito eléctrico que representa algún dispositivo

mendere

La c a

n t rables desig

a os estu ianteuel modelo. Ee

delo (dado en eldque en esta cle t

so de un teoremrder proponer ur

itura del modede modelacilticas. Con bc

l domin

en c ase ee

o,


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físico en particular. La etapa de Resultados Físicos, que está relacionada conel tratamiento del modelo para obtener (posterior al tratamiento matemático)algunos resultados en términos físicos que sirvan de base para formular nalmente

los resultados en términos pseudo-concretos (cotidianos).

Figura 3. Descr eso e Mo e ac ón en c ase e Fís ca.

l capítulo ncia-Capacitor (RC)” de tres manuales de laclase de Físic análisis se realiza análogamente al de los librosde Matem s de tareas identicados son:

n diagrama de un circuito eléctrico (en este caso, un),

cer una ecuación diferencial que modela el voltaje en el

citor t presente en e circuito,contrar una soluci n particular de la

determinar la corriente eléctrica t en el circuito usando la función de

voltaje en el capacitor t .

n la siguiente gura, se ubican los tipos de tareas previamente identicados

en esta clase:

TED

: es

ap

SP

c ón grá ca e pror

“Circuito Resistes analizado. E

icas. Algunos tip. A i

E representarsircuito

abl


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igura T pos e tarea ex st ís ca.

Existe un tipo de tarea TF ual apare lo en dos ocasiones en los

ibros analizados y consiste en r un diagrama a partir de la fotografíade un dispositivo físico. El T

CIR es poco solicitado y el tipo de

tarea T aparece con a que en clase de matemáticasaunque se guía al alumn ED. La tarea TSP consiste en vericarque una función, pro enunciado del ejercicio, es solución dea ecuación difer debe precisar el valor de los parámetrosresentes en la de una condición incial (dada explícitamente

en e enuncia corriente T en el circuito también es una tareaolicitada os alumnos en los ejercicios y que sta supone el

transita pseudo-concreto, físico y matemático.

e os aná isis e i ros e texto

o teriores revelan la transposición didáctica existente del proceso deod en este nivel escolar de acuerdo a lo ya establecido por Chevallard

(1991) especto a la distancia que existe entre el saber sabio (de los expertos)y el saber escolar (aquel que es nalmente llevado al ámbito de la escuela). Enuestro caso se observa una distancia importante entre aquello que se supone

debe ser enseñado (saber institucional de programas de estudio) y el saber

a enseñar o enseñado (aquel que es finalmente llevado a la práctica por elmaestro en clase).

. . esu

análisissació

stablecpo de tareaa

ayor frecuencepara establecerb r

orcionada en eocial; además sa

olución con ayuo). E precisars

on frecuencia aaentre el dominid

a osa

tes en c asete

e s


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En general se observa que:

A) El tránsito entre la Situación Real hacia el Modelo Pseudo-Concreto esmuy poco veces dejado al alumno así como el establecer un modelo

ísico poco solicitado al estudiante.) El establecimiento de la D tiene lugar más ampliamente en clase de

F sica que de Matem ticas aunque se gu a al estudiante en el proceso.C) En am as c ases existen pocos ejercicios para con rontar a estu iante

a la transici n entre las etapas de modelaci n Resultados seudo-Concretos hacia la Confrontación Modelo-Realidad.

enry (2001) establece que esta última transición asíReal hacia el Modelo Pseudo Conreto son importantes a ser cun punto de vista didáctico si realmente se pretende ens .

Con base en los resultados de los análisis realizados, o deuna situación experimental con el objetivo de enfr s a lastransiciones de las etapas de la modelación normal el ámbitoesco ar.

Descripción de la situación experi

E segun o o jetivo e est i enti icar as i icu ta es e osestudiantes para modelar u ida real. Se toma como base para elise o e as activi a e y se contemp a e inc uir a gunas e

ellas que no sean co (fuera del contrato didáctico). El diseñode esta situación p terísticas importantes:

A) enfr ntes a la transición entre las etapas SituaciónR do-Concreto hacia la construcción del Modelo

realizado con anterioridad revela la ausencia de este

en os i ros e texto. los estudiantes a la transición entre las etapas Modelocia el Modelo Matemático. En esta ocasión, no se guía a

udiantes para la escritura del Modelo Matemático.rentar a los estudiantes a la transición entre las etapas Resultados

seudo-Concreto hacia la Confrontación Modelo-Realidad, estatransición está ausente en las dos clases estudiadas.

n la situación experimental se pide a los estudiantes a modelar elfuncionamiento de un desbrilador card aco. Este dispositivo electr nico funciona

aplicando un choque eléctrico a un ser humano para restaurar el ritmo de sucorazón. Una breve descripción sobre el funcionamiento de este dispositivo es

)

losC) ee

tra ajo eea situaci n de lai

e tipo e tarernmente exigidat i

esenta tres caraa s

tar a los estudiaal + Modelo Ps

sico. El an lisiE

tipo e tareasoenfrentareísico hís

ental e

mo Situacióisideradas desdes e

ñar la modelaci

e realiza el disei entar a los aluml

ente ausentes et


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incluida en el texto introductorio de la actividad, esta descripción es formuladaen términos pseudo-concretos y físicos (eléctricos).

Posterior a un texto introductorio de la actividad, se les presenta a los

estudiantes la pregunta clave ¿Cuál es la probabilidad de sobrevivir de un hombreque presenta un problema cardíaco en plena calle y el cual es asistido con ayudade un desbrilador card aco? A trav s de cinco incisos se le gu a al alumno a irespon ien o gra ua mente a esta pregunta.

A continuación, se presenta los enunciados de las cinco pregu s queonforman la situación experimental.

.1. Instrucción de la Pregunta A

Se desea modelar el desfibrilador con ayuda de u(similar a aquellos estudiados en clase). Dibuje o yrealice el diagrama justificando su elección.

Una respuesta posible (y correcta) a es e diagrama de unircuito RC como el mostrado en la Figura 5 l tencia R representa

a cuerpo e paciente mientras que e e resenta a ispositivoes ri a or.

ura 5. Respuesta posible a la pregunta A. e la imagen, la cual ejemplica el uso del aparato, puede

uestas dadas por los estudiantes. Este inciso corresponde alt

E (representar un diagrama de circuito), la cual est presente en

las ca.

.2. Instrucción e a Pregunta B

Establecer un modelo (ED) para la evolución del voltaje en el desfibrilador.Justifique las leyes empleadas para el establecimiento del modelo.

Laanuir en lan

o e tarearde f

Fi

esenciaere

a p, en el cuaapacitor Cp

t

circuito eléctricin circuito eléctric

unta es eu eresir


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Se espera que el alumno establezca la ley de Kirchoff para la suma devoltajes ( U C + U R = E ( t ) ) , dado que se estudiará la descarga del capacitorsobre la resistencia el voltaje del generador debe ser considerado cero y

posteriormente con el uso de la ley de Ohm U = R se llega a que unarespuesta posible (y correcta) para esta pregunta es la siguiente D

UC+ C

on e representa e vo taje en e capacitor. Este inciso correspon etarea

ED esta ecer una ) la cual est presente en ambas clas

4.3. nstrucción e a Pregunta C Verificar que e

-t es solución de la ED. Dete la

constante A usan o una con c ón n c a .

a condici n inicial necesaria para respo unta es dadaimplícitamente en la actividad. El estudian e r que 0 = Edonde E representa el voltaje del capacit m 0 . Este inciso estárelacionado con el tipo de tarea T

P iden mbas clases aunque en

los ejercicios analizados la condición inicial ida explícitamente en elenunciado.

4.4. nstrucción de la Pre

Se sabe que so rriente eléctrica es recibida por el paciente. Se alor máximo de la corriente recibida porel corazón

ara r inciso, os estu iantes e en esta ecer que

=

ón t encontrada en el inciso anterior. Este inciso estár n el tipo de tarea T (determinar la corriente eléctrica t ) queapa amente en clase de Física.

4.5. nstrucción e a Pregunta E

Comparar el resultado del inciso D con los datos de la tabla

proporcionada. Con base en esta comparación, determinar si el pacientetiene posibilidades de sobrevivir.

dt RC

sando lallacionado cc

ece soo

gunta D

o el 4% de la cocesita precisar eli

del paciente. .

spon er a estr

prer

e deer en el tiicado eni

stá incs

a tips.

minar el valor del

der a esta prpconsiderc i

oo t


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Se proporciona una tabla junto con la actividad donde el estudiante tienela información sobre el tipo de reacción que presenta el cuerpo humano al recibircorriente eléctrica.

Tomando de base esta información, se puede nalmente determinar deléxito del proceso de resucitación sobre el paciente. Este último inciso estáe aciona o con e tipo e tareas

RP (formular en t rminos pseudo-concretos

os resu ta os o teni os). Este inciso permite e con rontar os resu ta os eo e o con a rea i a .

En la siguiente gura se ubican los incisos que conforman la enel esquema de modelación:

untas de la actividad en el esquema de modelación.

sticas de la experimentación

a experimentación se lleva a cabo con la participación voluntaria de 25estudiantes del último año de preparatoria en Francia. La experimentación seealiza posterior a la ense anza del tema Circuitos El ctricos. Se solicita a los

estudiantes trabajar en pareja la resolución de la situación durante un tiempoaproximado de una hora.

Caracte

Figura 6 6 . Pre.

tivida


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6 Análisis de resultados

El análisis de las producciones de los alumnos se realiza con base en el tipo detareas usualmente solicitadas en clase. Se desea determinar los tipos de tareadonde se encuentre el mayor número de dicultades de los estudiantes y precisarsi existe una t cnica en los libros para realizar estas tareas. Se ubica estasdicultades respecto a las transiciones entre las etapas del proceso modelaci n.Se analizan algunas estrategias utilizadas por los alumnos para re ver laactividad. A continuación, se presenta el análisis de las primeras tre tasque conforman la situación experimental.

. . ná isis e a Pregunta A

Una regularidad encontrada en las respuestas a esta ultad delos estudiantes en proponer un diagrama de circui mentos delmismo como componentes el ctricos. A este resp a la aparici nde algunas conguraciones denominadas “h br y an elementos denaturaleza pseudo-concreta con eleme u a puramente física(eléctrica). La dicultad de insertar una omo parte del circuitoeléctrico para remplazar al paciente aparece e r parte de las respuestas.A pesar de que la palabra “resiste aparece l texto de la actividad, esta

palabra no hace referencia esp “resistencia” física. Este hecho puedeser observado en la gura 7:

igura 7 . E emp os e con gurac ones “ í r as”.

ra 7 (izquierda) el tórax del paciente es representado porun rande y los electrodos por círculos más pequeños. Incluso si laleyen = 5 0 Ω ” se reere a una resistencia, es notable la dicultadpara los estudiantes de usar la representación convencional para ésta(rectángulo). En la gura 7 (derecha), los electrodos son representados por losestudiantes (“palettes dures” en franc s) pero ellos no hacen referencia a laposible presencia de una resistencia en el circuito. Al parecer, los estudiantes noconciben al paciente como parte del circuito quizá porque para ellos el paciente,

n lalcírculo

a

cia

cíca a l

F

dasos de naresistenciae

la man

opregu

regunta es la dieo con todos los eo

ecto se identie tque mez

alea


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en tanto ser humano, no tiene naturaleza eléctrica y por lo tanto no conciben elrepresentarlo en términos puramente eléctricos.

Algunos estudiantes proponen un modelo físico como el mostrado en la

iguiente gura 8. Se ubica este diagrama en el Dominio Pseudo - Concretoya que los elementos mostrados no corresponden a representaciones de

elementos f sicos normalmente presentes en un circuito el ctrico. Esta respuestauestiona la comprensi n de los estudiantes respecto a la pregunta planteada.sta dificultad puede ubicarse en la transición Situación Real + odelo

seudo - Concreto hacia la escritura del Modelo Físico.

Figura 8. jemplo de una conf do creta.

Respecto a las praxeologías previamente das en los libros, ninguna

técnica es presentada para realiza tipo de ta s; a pesar que esta transición(Situación Real + Modelo Pseu o Modelo Físico) parece constituirun paso importante a ser co l punto de vista de la modelaci n.

6.2. ná isis e a

El establ cuaci n diferencial para modelar la variaci ndel voltaje el circuito permite identicar dicultades de losestudian an las leyes de la Física para realizar este proceso

(suma irchoff, definición de corriente), otros la manera deest entre las magnitudes implicadas. Se observa el uso de leyes

enunciados de manera incorrecta.

rva con particular atenci n el establecimiento por algunos

estu e a para mo e ar a carga q t e capacitor, esto es:

q+

1q= 0

dt RC

lece

principios

Se obs

iant

esteo - concree

siderado desded e

regunta B

cimiento de laln el capacitorr

es. Algunos olvin

de voltajes der relacione

ísico

guración pse r

observo v

e

co co


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Figura 9. espuesta a la tarea B.

sta forma de proceder no se observa como t cnic

manua es ana iza os; sin em argo parece “natura ” p eestablecimiento de dicha ED.

tra dicultad observada es la elección de est carga delcapacitor sobre la resistencia. El interés e a descargadel desbrilador sobre el paciente, pero un n e de estudiantesno parece considerar este hecho.

espuesta e un equ po para e nc so B.

producción mostrada por la gura 10, los estudiantescorri puesta a B

ya que se an cuenta gracias a inciso C) que e va or e vo taje egenera or e e ser cero a momento e rea izar a escarga e capacitorsobre la resistencia. Veremos con m s detalle esta retroacci n de C sobre B enla sección siguiente.

( C C

t ) por C

C

t �

0

e

Figura 10..

r ejemplo, en lla primera r

existente en loen e

a os estu ianta

diar la carga o del estudio deioo importanto r


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6.3. Análisis de la Pregunta C

En muchos casos, la pregunta C permite validar el modelo inicialmente

ropuesto en B y esto ayu a a os estu iantes a mo i car a propuesta.sta dicultad evidencia la poca o nula relaci n para los estudiantes entreel fen meno real estudiado y los modelos f sico (circuito el ctrico) y/o

atem tico ED propuestos.

Por ejemplo, algunos estudiantes (ver gura 11) terminan por darseuenta que el valor del voltaje en el generador E debe ser igual a cer to alomento de vericar que la función dada en C es solución de la D oreviamente por ellos en B).

jemplo de resolución del inciso C.

P ción en B, los alumnos modican la ED establecida e

inclu respuesta dada al inciso A (modicaci n del diagrama gina mente).

6.4. s e aná isis e as respuestas a a activi a

a realización por los estudiantes de la situación experimental ilustra laimportancia de una comprensión inicial adecuada del fenómeno a modelary del rol del modelo pseudo-concreto concebido por los alumnos para elestablecimiento adecuado de los modelos físico y matemático para estudiarel fenómeno real de interés.

ocircuitu

Sínte

Figura 11.i

terior a la reso

cuestionan la o or r

juestablecc


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Los benecios (y dicultades) de que los alumnos realicen la transiciónentre el “mundo de los objetos y eventos” (o dominio real) y el “mundo de losmodelos y las teorías” (o dominio físico o matemático) ya ha sido reportada

anteriormente en otros trabajos de investigación, en especial por Thiberghieny Vince (2004) en sus investigaciones alrededor de la Didáctica de la Física.En los resultados reportados, se enfatiza principalmente la necesidad de que losalumnos puedan transitar de la situaci n real a modelar hacia el modelo f sicoy posteriormente al matem tico, lo cual es fundamental si se pretende realmenteenseñar el proceso de modelación. Sin embargo, durante la reali delpresente estudio, se vislumbran algunas limitaciones de llevar esto toescolar tradicional.

A continuación se muestran las dicultades observadas c

en las respuestas de los estudiantes, algunas se sitúan esode modelaci n (transiciones entre etapas) e incluso re og aso serva as en os i ros e texto.

TABLA I

Dificultades de los alumnos identificadas durante la r za ción experimental

Transición A o se alguna

técnice t

. os a umnos no sienten la necesidad de

incluir sistencia el circuito eléctrico para representar el tórax del paciente.

M B

té ica

a en clase paraar este procedimiento.

v enc a e

relación entre los dominiosFísico y a i .

2. Los estud ntes olvidan lgunas

l i l f l drelacionarlas para poder est blecer la ecuación

difer i l. io , deincorrect estas eyes o principios.

2 . Los es udiantes est blecen un ED p r

la q(t) del capacitor el vol jUc de este elemento del circuito.

2’’ Los estudiantes no establecen el valor de E voltaje en e gene dor = 0, que

d dici n i icial a e para establecer la solución particular de a D.

st id cia la i n d la sit acireal de origen a odelar.

C B Pr xis

( /,τ Τ )3.Haber p opuesto u va or de indef n do

permite va dación de la resp es a dada en e

inciso e ncluso para el inc so A.

M SR EM o ex is te lguna

técnica para realizar esteti de .

. b dif lt d i

para es blecer la condición n cial en formf / ti l f d d dmanera im lícita por el exto i trod ctorio de

situación experimental.

RM RP→ RPC→ D Praxis

( ', / ) Ia Ia Iaτ τ Τ

( )', / Ib Ib Ibτ τ Τ

5. Los estudiantes no consideran a lacorrie nte eléctr ica en el circuito i (t) como

función del tiempo.

(t ansición en reapa del de

model ción)

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Ruth Rodríguez

En ocasiones, la inexistencia de una praxeología (o praxis) para realizar untipo de tarea puede explicar las dicultades encontradas en los alumnos paraesolverla (ejemplo inciso A y C). Otras veces la praxis está dada implícitamente

en los libros y aún así el estudiante presenta serias dicultades para realizar elinciso correctamente (ejemplo incisos C y D).

En algunas de estas dicultades podemos constatar que est n relacionadason ciertas transiciones entre etapas que permiten pasar e un ominio a otro.or ejemp o, e inciso A y una parte e C sugieren que es en rea i a en as

transiciones entre diferentes dominios que el alumno encuentra yordicultad en realizar determinadas tareas. Por ejemplo, el inc ltránsito del Dominio Pseudo-Concreto al Dominio Físico y eal alumno a regresar al Dominio Pseudo - Concreto para po

ondición inicial en términos del Dominio Matemático (tr delominio F sico).

Conclusiones del estudio

a descripci n del proceso de modelar pr omo referencia en estetra ajo pue e mo i carse con as aspectos erva os urante a activi a

de los estudiantes. Se sugier tir en la comunidad de Matem ticaducativa las diferentes c modelación existentes y precisar

aquella que deba ser llev olar. Esta descripción de modelaciónuede variar dependi entíco donde la situación a modelar

especíca esté inm

Un hallaz ste trabajo es el enfatizar la importanciade la constr o pseudo-concreto adecuado para establecerosterior s f sico y/o matem tico que sean pertinentesa prob ón. Este estudio encuentra absolutamente necesario

que llevada a cabo en ámbito escolar.

la retroalimentación de una tarea sobre otra en la situación ra poder desarrollar una solución apropiada a cada pregunta

l s un resultado que este estudio evidencia. Lo anterior esuna er stica a tener en cuenta en el dise o de futuras actividades para elaprendizaje de la modelaci n.

Es recomendable el diseño de actividades que incorporen la mayoría deas etapas del proceso de modelación si realmente se pretende que el alumnodesarrolle habilidades en este rubro.

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Finalmente, la necesidad de capacitación para los profesores respecto a laenseñanza y aprendizaje de modelación se revela como un aspecto fundamentala ser considerado en un futuro.

Reconoc m entos

eseo agradecer el apoyo recibido por el CONACYT para la realis estudios doctorales y a Colette Laborde por haber ace

este trabajo de investigación.

Referencias bibliográcas

Artaud, M. (2007). Some conditions for model ematics classrooms. Enlum, W., Galbraith, P. L., Henn, H.-W. y , odeling and Applications

in Mathematics Education. The 14th CMI Study -378). New York: InternationalComm ss on on Mat emat ca Inst ICMI.

B um, W. & N ss, M. 1991 . App ca pro em so v ng, mo e ng, app cat ons,an n s to ot er su ects – S es n mat emat cs nstruct on. E ucationaStu ies in Mat ematics, 2

Chevallard, Y. (1991). La ique - Du savoir savant au savoir enseigné,deuxième édition. Sauvage éditions.

Chevallard, Y. (1999 ques d’enseignantes en théorie anthropologique dudidactique. ue des Mathématiques, 19 (2), 221-266.

Henry, M. 200 et mo é sat on ans ’ense gnement. En Henry, M. E . , Autour pro a i ités 149-159 . Besançon : Comm ss on Inter-IREMStat .

Organ peración y e Desarro o Económico OCDE 2007 . PISA 2006:cies for Tomorrow´s World Executive Summary, 55. Retrieved from

.oecd.org/dataoecd/15/13/39725224.pdf 07). Les équations différentielles comme outil de modélisation en Classe

ue et des Mathématiques au lycée : une étude de manuels et de processus de

isation en Termina e S Tes s e octora o . Un vers a Josep Four er,Greno e, France.

Tiberghien, A. y Vince, J. (2004). Études de l’activité des élèves de lycée en situation’ense gnement e a p ys que. En Pug et, V. et Gett e-Grant, N. E s. , Ca iers u

Français Contemporain 10. ENS Editions.

Scienie

http://w:odríguez, R.r ,

e Physi ys

o é

ct omat emaa

ate, tren s an ssn ss1 , 37-68.

ransposition didaco c

renoble : La Pensée: s. L’analyse de prate p a

cherche en Didacti. Not on e mo èn e m

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Ruth Rodríguez

Autora:

uth Rodr guez.

nstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM).Campus Monterrey. Mé[email protected]

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Aprendizaje y Enseñanza de la Modelación: el caso de las ecuaciones diferenciales

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