Aprendizajes esperados Que los alumnos - La Magia de … · En equipo, investiguen cómo se...

BLOQUE3

Aprendizajes esperados

Que los alumnos:

1. Elaborensucesionesdenúmeroscon

signoapartirdeunaregladada.

2.Resuelvanproblemasqueimpliquenel

usodeecuacionesdelaforma

ax+b=cx+d;dondeloscoeficientes

sonnúmerosenterosofraccionarios,

positivosonegativos.

3.Expresenmedianteunafunciónlineal

larelacióndedependenciaentredos

conjuntosdecantidades.

4.Establezcanyjustifiquenlasumadelos

ángulosinternosdecualquierpolígono.

5.Argumentenlasrazonesporlascuales

unafigurageométricasirvecomomodelo

pararecubrirunplano.

6.Identifiquenlosefectosdelos

parámetrosmybdelafunción

y=mx+b,enlagráficaque

corresponde.

127

P Proyecto

¿Has oído hablar de los mosaicos de Escher?

El dibujo que ilustra esta página es un teselado hecho por el artista gráfico holandés M. C. Escher. Cada figura se ajusta perfectamente a sus vecinas, sin sobreponerse a ellas ni dejar huecos intermedios. La palabra teselado viene del latín tessellae, que era el nombre que daban los romanos a los pequeños mosaicos usados en los pavimentos y paredes. Escher, fascinado por los mosaicos del palacio de la Alhambra, que visitó en 1936, creó sus propias “particiones regulares de la superficie”, empleando para ello figuras humanas yanimales. Enseguida te presentamos un ejemplo del método de “quita y pon”, usado por Escher.

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3

X

I

S

N

O

G

Reporte sobre ejemplos de aplicación de las teselaciones

En equipo, investiguen cómo se utilizan en su localidad los mosaicos y adoquines para recubrir pisos, muros, calles, andadores, etc. También pueden averiguar con qué figuras se adornan los sarapes, tapetes, manteles, jarrones y la artesanía en general. Presenten su trabajo en un reporte que incluya dibujos para explicar sus hallazgos.

A BPaso 1

CD

A BPaso 2

CD

A BPaso 3

CD

Paso 4A B

CD

Paso 5

128

Reptiles, obra de M. C. Escher, elaborada en 1943.

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18.1. Construcción de patrones

numéricos a partir de fórmulas

129

La fórmula que rige una sucesión de números es 2n + 3. ¿Cómo puedes utilizar esta fórmula para encontrar los 10 primeros números de esta sucesión?

Exploración y discusión

a) ¿Cómo se utiliza la fórmula 2n + 3 para obtener el primer término de la sucesión? ¿Y para obtener el segundo? ¿Y para el tercero? Comen-ta con un compañero o compañera la manera en que tú resuelves este problema, y escucha la que él o ella te propone.

b) ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión?c) Completa la siguiente tabla para presentar de manera ordenada

los primeros 10 términos de la sucesión.

18Patrones numéricos

¿Cuál es el término que falta en la sucesión –5, –3, ___, 1, 3, 5,…? ¿Qué tienen en común esos tér-minos? ¿Cuál es el término que ocupa la posición 100 si la lista se continúa indefinidamente siguiendo el mismo patrón? En las siguientes tres sesiones apren- derás a resolver problemas como éstos.

Te sugerimos leer:

“¿Cuántas canicas tuve en promedio en la semana?”, en De la Peña, J. A., Matemáticas y vida cotidiana, pp. 16-17.

Posición del término (n) Fórmula (2n + 3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sucesión. Es una lista ordenada de números o figuras, generalmente descritas por una regla o patrón. La lista de números 3, 5, 7, 9, 11,… es un ejemplo de sucesión.Patrón. Es un conjunto de características o reglas que satisfacen todos los elementos de un conjunto, ya sea de números o de figuras.Términos de una sucesión. Son los elementos que forman una sucesión; pueden ser figuras o números.Posición de un término. Es el número que corresponde al lugar que ocupa un término dentro de una sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 2, 4, 6,… el número 2 ocupa la posición 1; el 4, la posición 2, y el 6, la posición 3.

Recuerda que, en la fórmula de una sucesión, la letra n que aparece en ella es una variable que representa el número de la posición que ocupa el término correspondiente.

Tema 18

Actividades adicionales

130

d) ¿Cómo se obtiene el término que ocupa la posición número 100 de la sucesión? ¿Cuál es?

e) ¿Cuál es la diferencia entre el primero y segundo términos de la su-cesión? ¿Y entre un término cualquiera y su inmediato anterior o posterior? ¿Por qué?

f ) ¿En qué posición de la sucesión se encuentra el número 53?g) ¿El 206 forma parte de esta sucesión? ¿Por qué?h) ¿Qué valores puede tomar la letra n en la fórmula 2n + 3? i) ¿El valor de n puede ser 4.5? ¿Qué otros valores no puede tomar

n? ¿Por qué?

1. La fórmula de una sucesión es 4n + 2.

a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.b) ¿Cuáles son los términos de las posiciones 100, 101 y 102? ¿Qué

diferencia hay entre ellos? c) ¿Cuál es la diferencia entre un término cualquiera de esta su-

cesión y su inmediato anterior o posterior? ¿Por qué?

2. La fórmula de otra sucesión es 3n + 7.

a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.b) ¿En qué posición de la sucesión se encuentra el número 46? ¿Y el 247?

3. ✓ Las expresiones 4n + 2 y 3n + 7 son las fórmulas de dos

sucesiones.

a) En alguna posición, ¿los términos de las sucesiones 4n + 2 y 3n + 7 son iguales? ¿En cuál? ¿Cómo podrías averiguarlo sin recurrir al uso de tablas? Reúnete con un compañero o compañera para realizar esta tarea, y presenten su respuesta al grupo.

b) ¿En alguna de las dos sucesiones los términos que la forman son sólo números pares? ¿En cuál? ¿Por qué crees que esa sucesión no contiene números impares?

c) ¿Cuál de las dos sucesiones crece más rápidamente? ¿Por qué crees que sucede esto? Comenta tu respuesta con tu compañero o compañera, y después con el grupo.

d) Otro número que pertenece a ambas sucesiones es el 70, ¿en cuál de las dos sucesiones crees que se obtiene primero? verifi-calo.

e) ¿Cuál de las dos sucesiones crece más rápidamente? ¿Por qué?

Para las sucesiones que se presentan en este tema, la letra n seguirá siendo el número de la posición que ocupa el término correspondiente.

Bloque 3

Término 5 10 15 20 25,…

1 2 3 4 5,…Posición

131

4. Escribe la fórmula de una sucesión, de modo que la diferencia entre un término cualquiera y el inmediato anterior o posterior sea 10. Compara tu respuesta con las de otros compañeros del grupo.

18.2. Simbolización de reglas

de patrones sencillos¿Cuál es la fórmula que genera la sucesión de números 5, 10, 15, 20,

25,…? ¿Y de la sucesión 6, 11, 16, 21, 26,…?


a) ¿Qué operación debe hacerse con el número de la posición para ob-tener el término que le corresponde?

b) ¿Qué término ocupa la posición 100 de esta secuencia? ¿Cómo se obtiene?

c) ¿Cuál es la fórmula de esta sucesión?d) Si a cada uno de los términos de la sucesión 5, 10, 15, 20, 25,… se

le suma 1, se obtiene la sucesión 6, 11, 16, 21, 26,…. ¿Cómo se ob-tiene el término que ocupa la posición 100 de esta sucesión? ¿Cuál es el término?

e) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión 6, 11, 16, 21, 26,…? f ) ¿Qué sucesión se obtendría si, en vez de sumar 1 a cada término de

la sucesión 5, 10, 15, 20, 25,…, se le restara 1?g) Y si, en vez de restarle 1 a cada término de la sucesión 5, 10, 15, 20, 25,…,

se le restara 3, ¿cuál sería la nueva sucesión? ¿Cuál sería su fórmu-la?

h) La diferencia entre un término cualquiera y el inmediato anterior o posterior de la sucesión 5, 10, 15, 20, 25,… es 5. ¿Sucede lo mis-mo con las otras tres sucesiones u ocurre algo distinto?

i) ¿En qué se parecen las expresiones algebraicas (o fórmulas) de las cuatro sucesiones anteriores? ¿Alguna de sus partes es igual en todas ellas? ¿Por qué? Coméntalo con un compañero o com-pañera.

Tema 18


132

4, 8, 12, 16, 20,…

20, 40, 60, 80, 100,…

18, 38, 58, 78, 98,…

a) ✓ ¿Cuál es la diferencia entre un término cualquiera y el inme-diato anterior o posterior de esta sucesión?

b) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión? c) ¿Qué tienen en común las sucesiones 2, 4, 6, 8, 10,… y 3, 5, 7, 9, 11,…?d) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,…? e) ¿Qué tienen en común las sucesiones 2, 4, 6, 8, 10,… y 102, 104,

106, 108, 110,…? f ) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión 102, 104, 106, 108, 110,…?

2. ✓ Considera la siguiente sucesión para contestar las cuestiones que se plantean.

a) ¿Cuál es la diferencia entre un término cualquiera y el inmediato anterior o posterior de esta sucesión?

b) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión? c) ¿Qué tienen en común las sucesiones 4, 8, 12, 16, 20,… y 3, 7, 11,

15, 19,…?d) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19,…?

3. Considera las siguientes sucesiones para contestar las preguntas que se plantean.

a) ¿Qué tienen en común estas dos sucesiones?b) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión 20, 40, 60, 80, 100,…? c) ¿Cuál es la fórmula de la sucesión 18, 38, 58, 78, 98,…?

1. Considera la siguiente sucesión para contestar las cuestiones que se plantean.

2, 4, 6, 8, 10,…

Bloque 3


133

18.3. Simbolización de reglas

de patronesEn las dos sucesiones que se presentan enseguida, la diferencia en-

tre un término y otro es 2; observa:

2, 4, 6, 8, 10, 12,…

–6, –4, –2, 0, 2, 4,…

2, 4, 6, 8, 10, 12,…

–6, –4, –2, 0, 2, 4,…

La fórmula de la primera sucesión es 2n. ¿Cuál es la fórmula que genera la otra sucesión?


a) ¿Puedes obtener cada término de la segunda sucesión a partir de la primera? ¿De qué manera?

b) Si la segunda sucesión fuera –2, 0, 2, 4, 6,…, ¿se podría obtener tam-bién a partir de la primera? ¿Y si la segunda sucesión fuera –4, –2, 0, 2, 4, 6,…? ¿Qué tendría que hacerse en cada caso?

c) Si la fórmula de la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, 12,… es 2n, ¿cuáles serían las fórmulas de las sucesiones –2, 0, 2, 4, 6, 8,… y –4, –2, 0, 2, 4, 6,…?

d) De las siguientes fórmulas, ¿en cuál o cuáles se generan sucesiones que contienen números negativos? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y después con el grupo.

3n – 2 4n – 6 5n – 4

1. ✓ Considera la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6,… para contestar las pregun-tas que se plantean.

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?b) ¿Cuál es el término que ocupa la posición número 100?

Tema 18

134

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

–3, –2, –1, 0, 1, 2,...

?

…

c) ¿Qué tienen en común las suce-siones 1, 2, 3, 4, 5, 6,… y –3, –2, –1, 0, 1, 2,…?

d) ¿Qué debe hacerse con cada término de la primera sucesión para obtener cada término de la segunda?

e) Si la fórmula de la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6,… es n, ¿cuál es la fórmula de la sucesión –3, –2, –1, 0, 1, 2,…?

2. Encuentra los primeros cinco términos de las sucesiones cuyas fórmulas son:

n n – 1 n – 2 n – 3 2n – 5 3n – 10 4n – 10

1

2

3

4

5

¿Qué relación encuentras entre los términos de la sucesión n – 1 y los términos de las sucesiones n – 2 y n – 3? ¿Y entre los de las suce-siones 3n – 10 y 4n – 10?

3. Escribe la fórmula para hallar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones:

a) –3, 0, 3, 6, 9, 12,…b) –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4,… c) –2, –1, 0, 1, 2, 3,…

4. Escribe la fórmula de una sucesión, de manera que su tercer térmi-no sea 0. Compara tu respuesta con las de tus compañeros del gru-po. ¿Por qué hay muchas respuestas diferentes?

5. ✓ Observa con cuidado la siguiente sucesión de puntos:

Posición: 1 2 3 4 5

a) ¿Cuántos puntos habrá en la posición 10? b) ¿Cuántos puntos habrá en la posición 100?c) Escribe la fórmula para hallar el número de puntos que hay en la

posición n.

Bloque 3

135

En ocasiones, una sucesión contiene términos negativos, como –4, –1, 2, 5, 8,… Una manera de encontrar la

fórmula que la genera consiste en hacer lo siguiente:

1. Encontrar la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.2. Escribir una sucesión más sencilla cuyos términos tengan esa misma diferencia.3. Obtener la sucesión original a partir de la más sencilla.

Por ejemplo, en la sucesión –4, –1, 2, 5, 8,… se observa lo siguiente:

• La diferencia entre sus términos es 3.• Una sucesión similar, pero más sencilla, es: 3, 6, 9, 12, 15,…, y su fórmula es 3n.• Como la sucesión –4, –1, 2, 5, 8,… se obtiene restando 7 a cada término de 3, 6, 9,

12, 15,…, su fórmula es 3n – 7.

3, 6, 9, 12, 15,... 3n

3n – 7–4, –1, 2, 5, 8,...–7

a) ¿Cuántos palillos forman la figura que ocupa la posición 10? b) ¿Cuántos palillos forman la figura que ocupa la posición 100?c) Escribe la fórmula para hallar el número de palillos que hay en la

posición n de la sucesión.

6. ✓ Observa con cuidado la siguiente sucesión de figuras:

…

a) ¿Cuántos palillos forman la figura que ocupa la posición 10? b) ¿Cuántos palillos forman la figura que ocupa la posición 100?c) Escribe la fórmula para hallar el número de palillos que hay en la

posición n de la sucesión.

7. ✓ Observa con cuidado la siguiente sucesión de figuras:

…

Posición: 1 2 3 4

Posición: 1 2 3 4

19.1. Ecuaciones sencillas. Uso de

las propiedades de la igualdad

Tema 19

136

19Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones son una de las herramien-tas más útiles para resolver problemas. En las siguientes cuatro sesiones aprenderás a aplicar-las en la resolución de situaciones muy distintas entre sí, como en problemas de la vida cotidia-na, en juegos y en problemas geométricos o

simplemente numéricos.

El dibujo muestra una balanza en equilibrio. Si las pesas cilíndricas pequeñas pesan 1 unidad, ¿cuánto pesan los objetos marcados con la letra x?


a) ¿Qué valor se desconoce en este problema? ¿Cómo puedes encon- trarlo? Comenta con un compañero o compañera el procedimiento que utilizas para hallarlo.

b) Si quitas tres unidades de cada platillo, ¿seguirá en equilibrio la ba-lanza? Dibuja en tu cuaderno cómo quedaría la balanza.

c) Has retirado 3 unidades de cada platillo. Si ahora dejas la mitad de lo que hay en cada platillo, ¿se mantendrá en equilibrio la balanza? Dibuja en tu cuaderno cómo queda.

d) Si la ecuación 2x + 3 = 13 representa la situación original de la ba-lanza, ¿qué ecuación representa la situación en que quedó después de retirar 3 unidades de cada platillo?

e) ¿Qué ecuación representa la situación en que quedó después de reti-rar la mitad del contenido de cada platillo?

f ) Finalmente, ¿cuál es el peso de cada objeto marcado con la letra x?¿Cómo puedes comprobarlo?

xxRecuerda que una

ecuación se resuelve mediante la aplicación de las propiedades de la igualdad, con el propósito de dejar la incógnita en uno de los miembros, y en el otro, su valor.

Bloque 3


137

Ecuaciones equivalentes. Una ecuación es equivalente a otra, si se obtuvo de sumar o restar un mismo número a ambos miembros de la otra ecuación; o de multiplicar o dividir ambos miembros de la otra ecuación por un número que no sea cero. O también, dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Observa que para resolver la ecuación 2x + 3 = 13 se le hicieron algunas transformaciones.

g) ¿En qué consistió la primera transformación? La ecuación que se obtuvo después de esta transformación es 2x = 10. ¿Esta ecuación es equivalente a 2x + 3 = 13? ¿Por qué?

h) ¿Cómo podrías expresar la propiedad de la igualdad que se aplicó en este caso?

i) La segunda transformación se le hizo a la ecuación 2x = 10. ¿En qué consistió esta transformación? ¿Cuál es la ecuación equivalente que se obtuvo?

j) ¿Cómo podrías expresar la propiedad de la igualdad que se aplicó en este caso?

k) Explica a un compañero o compañera cómo has expresado las dos propiedades de la igualdad que se han aplicado en la resolución de la ecuación 2x + 3 = 13. Después, compartan sus conclusiones con el grupo.

1. En tu cuaderno, haz un dibujo para representar, una balanza, la ecuación 3x + 5 = 11 en una balanza.

a) Para dejar la x en el primer platillo, ¿cuál es la primera transfor-mación que debe hacerse? ¿Qué ecuación equivalente se obtie-ne?

b) ¿Cuál es la segunda transformación que debe hacerse? ¿Qué ecuación equivalente se obtiene?

c) ¿Cuál sería el valor de x en este caso? ¿Podría tener x algún otro valor diferente?

d) ¿Qué propiedades de la igualdad se aplicaron para resolver la ecuación 3x + 5 = 11? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

2. Discute con tus compañeros de grupo las respuestas que se den a las preguntas que se plantean en el siguiente problema: la fórmula que permite generar la sucesión –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7,…, es 2n – 7.

a) ¿Cómo puedes averiguar la posición que ocupa el número 35 en esta sucesión? ¿Qué posición ocupa?

b) ¿Puedes plantear una ecuación para resolver este problema? ¿Cuál sería esa ecuación?

c) ¿Cuál es la solución de la ecuación? ¿Qué representa esa solu-ción? ¿Qué posición ocupa el número 35 en esta sucesión?

d) ¿Coinciden los resultados que obtuviste mediante ambos proce-dimientos?

Recuerda que la fórmula de una sucesión (por ejemplo, 2n + 1) permite generar los términos de esa sucesión (en el ejemplo: 3, 5, 7, 9,…), y que la letra n que aparece en ella es una variable que representa el número de la posición que ocupa el término correspondiente.

Tema 19

138

3. Lee atentamente: “Estoy pensando en un número. Si a 23

de ese

número le agrego 9, obtengo 17. ¿Cuál es el número?” ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se resuelve el problema? Comenta con un compañero o compañera tu respuesta.

23

+ 9 + 17 = x 23

x + 9 = 17 23

+ x + 9 = 17

4. ¿Qué propiedades de la igualdad se aplican para resolver la ecua-

ción 34

x + 5 = 17? Escríbelas sobre las rayas.

• 34

x + 5 – 5 = 17 – 5

34

x = 12

• 4 × 3 x 4

= 4 × 12

3x = 48

• 3x3

= 483

x = 16

5. ✓ Representa cada una de las siguientes situaciones mediante una ecuación y resuélvela. Compara tus respuestas con las de un com- pañero o compañera.

a) Quiero comprar un par de zapatos, pero sólo tengo $ 120, que representan dos tercios de su costo. ¿Cuál es el costo de los zapatos?

b) José compró 11 litros de miel en una tienda. El tendero le dio

2 botellas de un litro y varias de 34

. ¿Cuántas botellas de 34

de litro le dio?

6. ✓ Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades de la igualdad. Comprueba las soluciones.

a) 5x + 3 = 23

b) 6 + 3x = 12

c) 7 + 5x = 17

d) 6z – 6 = 18

e) 2n – 1 = 1

f ) 23

x + 3 = 7

g) 45

n – 7 = 17

h) 0.5x + 6 = 11

i) 0.5n + 0.05 = 1.55

Siempre que resolvamos una ecuación, es conveniente comprobar que la solución obtenida es correcta.

Bloque 3


139

19.2. Resolución de ecuaciones con

la incógnita en ambos miembrosEl dibujo muestra una balanza en equilibrio. ¿Cuánto pesan los ob-

jetos marcados con la letra x si los cilíndricos pesan 1 unidad?


a) ¿Con qué ecuación se representa la situación en que se halla la ba-lanza?

b) ¿Cómo queda la ecuación si quitas una unidad de cada platillo?c) ¿Cómo queda la ecuación si después quitas dos objetos marcados

con x de cada platillo?d) Originalmente, la incógnita aparecía en los dos miembros de la ecua-

ción. Con la transformación anterior, ¿en qué miembro queda única-mente?

e) Finalmente, ¿cómo queda la ecuación si en cada platillo dejas la mi-tad de su contenido?

f ) ¿Qué queda en cada platillo después de la última transformación? ¿Con cuántas unidades se equilibra un objeto marcado con la letra x?

g) ¿Cuál es la solución de la ecuación? ¿Cómo puedes comprobarlo?

1. Resuelve las siguientes ecuaciones con el modelo de la balanza.

a) 5x = 3x + 8

b) 7x = x + 24

c) 4y + 12 = 5y

d) 6y + 6 = 8y

2. ✓ Para representar cada uno de los siguientes problemas se propo-nen dos ecuaciones; elige la que creas que es la adecuada y utilízala para resolverlo. Comparte tus respuestas con un compañero o com-pañera y las razones en que las sustentas.

xx xx xx

Tema 19

5x + 5 = 3x + 27 5x = 5 + 3x + 27

140

a) La tía Carmen regaló igual cantidad de canicas a sus dos sobri-nos. Uno recibió 5 bolsas y 5 canicas más; el otro, 3 bolsas y 27 canicas más. Al contar las canicas, los niños se dieron cuenta de que las bolsas contenían igual cantidad de canicas. ¿Cuántas ca-nicas había en cada bolsa?

4x + 37 = x + 135 + 128 + x 4x = x + 135 + 128 + x + 37

200 + 7x = 110 + 2x 200 – 7x = 110 – 2x

3x – 15 = 2x + 20 3x + 15 = 2x + 20

b) Un avión hace cuatro vuelos diarios a Zacatecas. Ayer voló con pasaje completo en las cuatro ocasiones. Hoy, las estadísticas de los cuatro vuelos son las siguientes: lleno; 135 pasajeros; 128 pa-sajeros y lleno. Si ayer viajaron 37 pasajeros más que hoy, ¿cuál es el cupo del avión?

c) Roberto y Guillermo fueron a una tienda de mascotas. El primero llevaba $ 200; compró 7 peces del mismo precio para su colección y le sobró algo de dinero. Guillermo le dijo: “Yo sólo traigo $ 110, pero si compro 2 peces como los tuyos, a ambos nos sobrará la misma cantidad de dinero.” ¿Cuánto costó cada pez?

d) Pablo dijo: “¿Pueden decirme el número en que estoy pensan-do? Si lo multiplico por 3 y le resto 15, obtengo el mismo resulta-do que si lo multiplico por 2 y le agrego 20.”

3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5x – 18 = 2x

b) 4x + 3 = 7x + 12

c) 15c + 14 = 8c

d) 7m + 4 = 4m + 24 – 2m

e) 4x + 3 = 7x + 12

f ) 2b – 7 = 9b + 2

g) –5m = 9m + 14

h) –7n = 9n – 16

i) –2x = 7x – 18 j) –6c + 9 = –4c – 3

k) 4x – 7 = 13 2

+ x

l) 12

x + 8 = x + 10

m) 13

x + 8 = x + 10

n) 3x + 1 = x + 2

Bloque 3


141

19.3. Resolución de ecuaciones

con paréntesisEl triángulo que se muestra a continuación es equilátero. ¿Cuál

debe ser el valor de x para que el perímetro del triángulo sea el mismo que el del rectángulo?

x + 1.5

xx + 5


a) ¿Qué relación hay entre las medidas del largo y el ancho del rectán-gulo?

b) ¿Qué relación hay entre la medida del ancho del rectángulo y la del lado del triángulo equilátero?

c) ¿Cómo se expresa el perímetro del triángulo equilátero mediante una multiplicación de expresiones algebraicas?

d) ¿Cómo se expresa el perímetro del rectángulo con multiplicaciones y sumas de expresiones algebraicas?

e) Escribe la ecuación que resuelve la pregunta inicial. f ) ¿Cuál es el valor de x? ¿Qué representa este valor en términos del

problema?g) ¿Cuál es el perímetro de estas figuras? ¿Cómo puedes comprobarlo?

1. Reúnete con un compañero o compañera y, juntos, analicen el pro-cedimiento que se siguió en la resolución de la ecuación 3 + 5(x – 7) = 3(x + 6).

3 + 5(x – 7) = 3(x + 6) 3 + 5x – 35 = 3x + 18 3 + 5x – 35 – 3 + 35 = 3x + 18 – 3 + 35 5x = 3x + 50 5x – 3x = 3x + 50 – 3x 2x = 50

2x2

= 502

x = 25

Tema 19

142

b) Juan y Pedro trabajan en vacaciones. Pedro gana $ 60 diarios menos que Juan. En una semana, ganan $ 5180 entre los dos. Encuentra el sueldo diario de cada uno.

7(x – 60) = 5180 7x + 7(x – 60) = 5180

2(x + 5) + x = 34 3(x + 5) = 34x + 5 x + 5

x

4 + x = 3(x + 7) 4x = 3(x + 7)

x x + 7

c) Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 5 cm más que el lado desigual. Encuentra las medidas de los lados del triángulo, si sabes que su perímetro es 34 cm.

d) El cuadrado y el triángulo equilátero siguientes tienen igual perí-metro. ¿Cuánto mide cada figura por lado?

2(x + x + 20) = 84 x(x + 20) = 84

a) Para resolver la ecuación, ésta pasó por una serie de transforma-ciones. ¿En qué consistió la primera de ellas? ¿De qué manera se llevó a cabo?

b) Con objeto de dejar la incógnita en uno de los miembros, y en el otro su valor, se aplicaron varias veces las propiedades de la igualdad. ¿En qué pasos del proceso se hizo esto? Expliquen de qué modo se llevó a cabo esta aplicación.

c) Para comprobar que la solución es x = 25, este valor se sustituye en la ecuación original y se realizan las operaciones indicadas siguiendo el orden de las operaciones. ¿Cómo pueden estar segu-ros de que la solución es x = 25?

2. ✓ En cada uno de los siguientes problemas se proponen dos ecuaciones; elige la que creas que es la adecuada y utilízala para resolver-lo. Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera.

a) El perímetro de un terreno rectangular es de 84 m. Si sabes que mide 20 m más de largo que de ancho, calcula sus dimensiones.

Bloque 3

143

2(x – 5) = + 40x3 2(x – 5) =

x + 403

e) Lilia dijo: “Díganme mi número. Si le resto 5 y duplico ✓ el resultado, obtengo lo mismo que si lo divido entre 3 y le agrego 40 al cociente.”

2. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba que las soluciones obtenidas sean correctas.

a) 3(x – 1) = 9

b) 2(3x + 2) = 40

c) 5(2x – 1) = 35

d) 4(3 + 2x) = 36

e) m – (7 + m) = 3m + (m – 3)

f ) 2b + 3(3b + 1) = 25

g) 3 + 2(2x – 3) = 17

h) 3c – (4 + 2c) = 0

i) x – 4(5 – x) = 0

j) 4(b + 1) + 9 = 2(3b – 4) + b

19.4. Actividades sobre problemas

que se resuelven con ecuaciones

de primer grado1. Una expresión algebraica puede interpretarse de muchas formas,

según el contexto en que se emplee. Analiza los siguientes pares de expresiones para señalar cómo están relacionadas. Reúnete con un compañero o compañera para realizar esta actividad.

a) ¿En cuál par de expresiones un número es el doble del otro? ¿Qué relación hay entre las expresiones del otro par?

m, 2m m, m + 2

b) ¿En cuál par de expresiones un número es consecutivo del otro? ¿Qué relación hay entre las expresiones del otro par?

n, 2n n, 2(n + 1)

c) ¿En cuál par de expresiones un número es 2 unidades mayor que el triple del otro? ¿Qué relación hay entre las expresiones del otro par?

x, 2x + 3 x, 3x + 2

Tema 19

144

d) Presenten ante el grupo sus conclusiones sobre los ejercicios anteriores.

2. Comenta con un compañero o compañera tus respuestas a las pre-guntas que se plantean sobre cada uno de los siguientes problemas.

a) Teresa retiró $ 500 de su cuenta bancaria. Al ver su saldo, su hermana Julia le dijo: “Mi saldo es nueve veces el tuyo.” Si el saldo de Julia es $ 2700, ¿cuánto tenía Teresa en el banco antes de hacer el retiro?

• ¿Cómo se puede representar simbólicamente el saldo de Teresa antes de hacer el retiro? ¿Cómo se representa simbólicamente el saldo que le quedó en el banco?

• ¿Cómo se representa simbólicamente el saldo de Julia en tér-minos del saldo de Teresa?

• Si el saldo de Julia era de $ 2700, ¿qué ecuación puede plan-tearse para resolver el problema?

• ¿Qué representa la solución de esta ecuación?

b) Un número es el doble de otro. La suma de ambos es 20. ¿Cuáles son estos números?

• Si un número lo representas con la letra r, ¿cómo representas el doble de ese número?

• ¿Cómo representas la suma de los dos números?• ¿Qué ecuación puedes plantear para resolver el problema?• ¿Qué representa la solución de esa ecuación?• ¿Cuáles son los números? ¿Cómo puedes comprobar que estos

números son la solución del problema?

c) Un jugador de ajedrez jugó 45 partidos y no empató ninguno de ellos. El número de juegos ganados es el doble de los perdidos más 6. ¿Cuántos juegos ganó y cuántos perdió?

• Si el número de juegos perdidos lo representas con la letra n, ¿cómo representas el número de ganados?

• ¿Qué ecuación puedes plantear para resolver el problema?• ¿Qué representa la solución de esa ecuación: el número de

juegos ganados o de juegos perdidos?• ¿Cuántos juegos ganó y cuántos perdió el jugador? ¿Cómo puedes

comprobar que estos números son la solución del problema? 3. ✓ Representa cada una de las siguientes situaciones mediante una

ecuación y resuélvela.

a) Arturo ganó $ 4500 en dos semanas. En la segunda semana ganó $ 500 más del triple de lo que ganó en la primera. ¿Cuánto ganó cada semana?

Bloque 3

145

b) En un edificio viven 65 personas. Hay 7 mujeres más que hombres. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres viven en el edificio?

c) Un suéter y una camisa cuestan $ 750. El precio del suéter es 1.5 veces el precio de la camisa. ¿Cuál es el precio de cada prenda?

d) La suma de cinco enteros consecutivos es 100. ¿Cuáles son los nú-meros?

e) La suma de dos enteros pares consecutivos es 50. ¿Qué números son?

4. Comenta con un compañero o compañera tus respuestas a los siguientes problemas:

a) ¿Es posible encontrar un número tal que, al sumarle 1, dé el mis-mo resultado que si se le resta 1? ¿Por qué?

b) ¿Es posible encontrar un número tal que, al sumar su mitad con su tercera parte, el resultado sea cinco sextos del mismo número? ¿Por qué?

Hay una diversidad de problemas que pueden resolverse utilizando ecuaciones. Veamos un ejemplo: el doble de

un número menos 12 es igual a 72. ¿Cuál es el número?La ecuación para representar este problema es: 2x – 12 = 72. Para resolverla, aplicamos las propiedades de la igualdad:

2x – 12 = 72

Sumamos 12 a cada miembro 2x – 12 + 12 = 72 + 12Simplificamos 2x = 84

Dividimos entre 2 ambos miembros 2x 84

= 2 2

La incógnita está despejada x = 42

Por tanto, la solución (el número buscado) es 42.Para comprobar, sustituimos x por su valor en la ecuación original:

2x – 12 = 72

Sustituimos x por su valor 2(42) – 12 = 72 84 – 12 = 72 72 = 72

Veamos otro ejemplo. Resolver la ecuación: b + 3(b – 2) = 2(b + 4).

1. Propiedad distributiva

b + 3(b – 2) = 2(b + 4) b + 3b – 6 = 2b + 8

20.1. Cantidades que varían una

en función de la otra

Tema 20

146

20Relaciones funcionales

Hay situaciones en las que, al crecer una de las cantidades, la otra también crece (por ejemplo, la longitud de una sombra a determinada hora del día varía con la altura del objeto que la proyecta). En otras, ocurre al revés: cuando una de las cantidades crece, la otra disminuye. En la siguiente sesión utili-

zarás tablas de valores y expresiones algebraicas para describir la variación entre cantidades relacionadas.

La capacidad de una sala de espectáculos es de 3000 personas. Cuenta con vías de acceso por las cuales pueden entrar hasta 200 personas por minuto. Cuando se da la primera llamada, en la sala ya hay 1000 personas. ¿Cómo se representa el número de personas que podría haber como máximo en la sala cada minuto, después de la primera llamada?


a) ¿Qué cálculos debes realizar para calcular el número de personas que podría haber en la sala después de 1, 2, 3, 4 y 5 minutos?

b) La variación de las dos cantidades puede presentarse en una ta-

bla como la siguiente. Complétala.

Te sugerimos leer:

“La dama misteriosa”, en Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, pp. 26-27.

2. Reducción de términos semejantes 4b – 6 = 2b + 83. Restamos 2b de cada miembro 2b – 6 = 8 Sumamos 6 a cada miembro 2b = 14 Dividimos entre 2 ambos miembrosb = 7 Por tanto, la solución es b = 7.4. Comprobación: al sustituir b por su valor (7), el valor de cada uno de los

miembros de la ecuación es 22:

b + 3(b – 2) = 2(b + 4) 7 + 3(7 – 2) = 2(7 + 4)7 + 3(5) = 2(11)7 +15 = 22

Bloque 3

147

Número de minutos (n)

Número de personasen la sala (p)

0

1

2

3

4

5

c) ¿Qué cantidades no varían al realizar los cálculos? ¿Qué cantidades sí varían?

d) ¿En qué momento hay 2000 personas en la sala? ¿En qué momento se llena la sala?

e) ¿Cómo se representa la regla para calcular el número de personas ( p) que habría en la sala en un minuto cualquiera después de la primera llamada, si representamos “un minuto cualquiera” con la letra n?

f ) En el ejemplo anterior, ¿cuál de las dos cantidades cambia a medida que cambia la otra?

El espectáculo ha terminado y los 3000 asistentes se disponen a aban-donar la sala; por las vías de acceso pueden salir 200 personas por minuto.

g) ¿Cómo se calcula el número de personas que podrían quedar como mínimo en la sala, después de 1, 2, 3, 4 y 5 minutos de haber termi-nado el espectáculo?

h) La variación de las dos cantidades puede presentarse en una tabla

como la siguiente. Complétala.

Número de minutos (n)

Número de personas que quedan en la sala (p)

0

1

2

3

4

5

i) ¿Qué cantidades no varían al realizar los cálculos anteriores? ¿Qué cantidades sí varían?

j) ¿En qué momento quedan 1000 personas en la sala? ¿En qué mo-mento queda vacía la sala?


Tema 20

148

k) ¿Cómo se representa la regla para calcular el número de personas (p) que quedarían en la sala en un minuto cualquiera después de haber terminado el espectáculo, si representamos “un minuto cual-quiera” con la letra n?

l) ¿Qué diferencia encuentras en la variación del valor de la variable p entre la situación del problema inicial (la gente llega a la sala) y la de este problema (la gente abandona la sala)?

1. ✓ Compré una planta que tenía 15 cm de altura. La planté y creció a razón de 4 cm por mes.

a) Copia y completa la tabla que muestra la altura de la planta

durante los primeros 12 meses.

Número de meses (n)

1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12

Altura (h)

b) ¿Cómo se representa la regla para calcular la altura de la planta (h) en un mes cualquiera, si representamos “un mes cualquiera” con la letra n?

c) ¿Cuál de las dos cantidades varía en función de la otra?d) ¿Esta función es creciente o decreciente? Para averiguarlo, lee

el recuadro de la derecha.

2. A continuación se presentan dos situaciones: la de un vendedor y la del comprador:

• He vendido $ 100. A partir de este momento voy a vender las pale-tas a $ 4. ¿Cuánto tendré después de vender n paletas?

• Tengo $ 100 y voy a comprar algunas paletas de $ 5 para una fiesta. ¿Cuánto me quedará si compro n paletas?

Responde:

a) ¿Cuál de las siguientes expresiones podría representar la situa-ción del vendedor y cuál la del comprador? ¿Por qué?

y = 100 – 5n y = 4n + 100

b) ¿Cuál de ellas es creciente? ¿Cuál es decreciente?

Función creciente. Una función lineal es creciente si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.Función decreciente. Una función lineal es decreciente si, al aumentar el valor de x, el valor de y disminuye.

Recuerda que entre dos cantidades existe una relación funcional, si a cada valor de la primera corresponde un único valor en la segunda. Por ejemplo, entre la cantidad que se paga mensualmente por el servicio telefónico y el número de llamadas realizadas hay una relación funcional: por cada número de llamadas hay que pagar una cantidad de dinero. Una relación funcional puede representarse mediante una tabla de valores o una fórmula. En el caso del ejemplo anterior, si todas las llamadas tienen el mismo costo, la fórmula es y = mx + b.

Bloque 3

21.1. Fórmula para sumar los ángulos

interiores de un polígono

149

Una relación funcional (función) puede ser creciente o decreciente. Por ejemplo, la primera situación presentada en esta lección es una función creciente (las personas están entrando a la sala), por lo que el

número de personas (p) que habrá en la sala en un cierto momento crece al aumentar el número de minutos (n) transcurridos. La segunda situación es una función decreciente (las personas están saliendo de la sala), por lo que el número de personas (p) que quedan en un cierto momento en la sala decrece (disminuye) al crecer el número de minutos (n) transcurridos.

En el primer caso, los números 1000 y 200 son constantes, y las cantidades que varían (n y p) son variables. En el segundo caso, las constantes son 3000 y 200, y las variables son n y p. Ambos ejemplos pueden representarse algebraicamente mediante la expresión y = mx + b, donde x y y son las variables, y m y b son las constantes. En este caso se dice que y es función lineal de x.

La siguiente ilustración muestra un cuadrilátero representado en un geoplano. ¿Cuánto suman sus ángulos interiores? ¿Habrá alguna manera de conocer la suma de sus ángulos interiores sin tener que me-dirlos con el transportador?

21Suma de los ángulos interiores de un polígono

La suma de los ángulos interiores de un cua-drado es 360°, porque cada uno de sus cuatro ángulos mide 90°. ¿Qué será mayor: esta suma o la de los ángulos interiores de un cuadrilátero cualquiera? ¿Se puede saber cuál es la suma de

los ángulos interiores de cualquier polígono? Sobre estas cuestio-nes trata la presente lección.

Geoplano. Es un instrumento con el cual se representa el plano. Comúnmente es una superficie plana de plástico o madera, en la que se encuentran clavos o pivotes dispuestos sobre los vértices de una cuadrícula. Los pivotes representan puntos en el plano, y en ellos se enganchan ligas para representar diferentes polígonos.

Tema 21

150

b) Si desde el vértice A trazas una diagonal en cada cuadrilátero, ¿cuántos triángulos resultan en cada caso?

c) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?d) ¿Qué podría hacerse para hallar la suma de los ángulos interiores de

un cuadrilátero?e) En vez de cuadriláteros, dibuja en tu cuaderno algunos pentágonos

y, desde un vértice, traza todas las diagonales. ¿Cuántos triángulos se forman? ¿Qué relación encuentras entre el número de lados del polígono y el número de triángulos que se forman?


a) Si cambias de ubicación uno de sus vértices (por ejemplo, el A), para formar nuevos cuadriláteros, ¿la suma de los ángulos interiores será diferente al cambiar la forma del cuadrilátero? Comenta con un compañero o compañera tu respuesta.

f ) Ahora traza hexágonos o cualquier otro polígono de más de cinco lados; desde un vértice, traza todas las diagonales. ¿Cuántos trián-gulos se forman en cada caso?

g) ¿Qué relación encuentras entre el número de lados de cada polígo-no y el número de triángulos que se forman?

h) Si el número de lados del polígono es n, ¿en cuántos triángulos se divide? Reúnete con un compañero o compañera; tracen diversos polígonos y todas las diagonales desde un vértice; encuentren una relación entre el número de lados del polígono y el número de trián-gulos que se forman.

i) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono? ¿Cómo encuentran ese resultado?

Diagonal. Segmento que une dos vértices no contiguos de un polígono.

Diagonales

Bloque 3


151

j) Registren sus resultados en la siguiente tabla:

Número de lados del polígono

3 5 6 7 8 n

Número máximo de triángulos

Suma de los ángulos interiores

1. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un rectángulo? ¿Será diferen-te de la suma de los ángulos interiores de un cuadrado? ¿Por qué?

2. ✓ ¿Habrá algún cuadrilátero en el que la suma de sus ángulos inte-riores sea mayor que la de los ángulos interiores de un cuadrado? ¿Por qué? Comenta con un compañero o compañera las razones en que basas tu respuesta.

3. ✓ La suma de los ángulos interiores de un polígono es 180°. ¿Cuán-tos lados tiene el polígono?

4. Las figuras regulares, como el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular, tienen lados y ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de las siguientes figuras?

a)

b)

c)

d)

e)

f )

Tema 21

152

5. ✓ La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se trata?

150°

150°

150°

a) Si ese polígono regular es de n lados, ¿cuántos ángulos tiene? ¿Cuál es la suma de las medidas de esos ángulos?

b) Por el número de triángulos en que se puede dividir, ¿cuál es la suma de sus ángulos interiores?

c) ¿Puedes utilizar una ecuación para resolver este problema? ¿Qué representa su solución? Presenta tus respuestas a un compañero o compañera, y después al grupo.

6. ✓ Halla la medida del ángulo A de cada figura.

a)

b) d)

116° 72°

155°

148°

A

A

112°

96°

42° 98°106°

147°125°

143°

A

c)

A

88° 142°

105° 136°

136°

Si trazas todas las diagonales desde un vértice de un polígono convexo (es decir, uno cuyos lados no se crucen), éste se divide en regiones triangulares. Así,

un cuadrilátero se divide en dos triángulos; un pentágono, en tres, un hexágono, en cuatro, y así sucesivamente.

En general, un polígono de n lados se divide en n – 2 triángulos. Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos interiores de dos triángulos; esto es, 2 × 180° = 360°.

De la misma forma, la suma de los ángulos interiores del pentágono es 3 × 180° = 540°, y la del hexágono es 4 × 180° = 720°.

En general, la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180° × (n – 2).

Bloque 3

22.1. ¿Con qué forma se recubre

un plano?

153

22Recubrimiento de planos

¿Has observado con detalle los pisos y paredes recubiertos con mosaicos rectangulares, cuadrados, triangulares o hexagonales? ¿Qué otras formas pueden tener los mosaicos para que con ellos puedan recubrirse superficies planas? En esta lección

reconocerás las características de los polígonos que permiten recubrir el plano.

Un dibujante cubrió una superficie utilizando triángulos equiláte-ros del mismo tamaño, sin que se encimaran ni quedaran huecos entre ellos. Luego trató de cubrir el plano con pentágonos regulares, pero no lo logró. ¿Por qué? Si el dibujante hubiera utilizado triángulos rectán-gulos iguales entre sí, ¿habría podido cubrir la superficie?

Te sugerimos leer:

“Teselados”, en Langdon, N. et al., El fascinante mundo de las matemáticas, pp. 18-23.


a) ¿Por qué es posible cubrir el plano con triángulos equiláteros, pero no con pentágonos regulares?

Tema 22


154

1. Recorta en cartoncillo 6 triángulos rectángulos iguales, 6 triángulos isósceles iguales y 6 triángulos escalenos iguales para realizar las siguientes actividades.

a) Con dos triángulos rectángulos iguales se puede formar un rectángulo. Trata de formar dos romboides diferentes. ¿Es posible? ¿Cómo deben acomodarse?

b) Observa las siguientes figuras. ¿Cuánto suman los ángulos en cada punto de unión?

c) ¿Podrá recubrirse el plano con triángulos rectángulos iguales? Re- corta en cartoncillo varios triángulos rectángulos iguales; acomódalos sobre una superficie plana y ve si es posible cubrirla, sin que queden huecos ni se encimen los triángulos entre sí. ¿Pudiste hacerlo?¿Por qué crees que es posible (o no es posible) hacerlo? Comenta tu res-puesta con un compañero o compañera.

d) ¿Podrá recubrirse el plano con cuadriláteros iguales? Trata de hacerlo con cuadriláteros de cartoncillo. Observa con cuidado la forma en que acomodaste los cuadriláteros y explica por qué el plano puede recubrirse (o no se puede recubrir) con estas figuras.

Bloque 3

155

b) ¿Puede cubrirse el plano con rectángulos? ¿Y con romboides? Trata de acomodar tus 6 triángulos rectángulos de modo que con rectángulos y con romboides se cubra una porción del plano.

c) Con dos triángulos isósceles iguales, ¿cuántos romboides diferentes se pueden formar? ¿Por qué?

d) ¿Puede cubrirse el plano con triángulos isósceles? e) Con dos triángulos escalenos iguales pueden formarse tres rom-

boides diferentes. ¿Cómo debes acomodarlos para poder hacerlo? f ) ¿Puede cubrirse el plano con triángulos escalenos?

g) Reúnete con un compañero o compañera. Con base en sus obser-vaciones en las tres actividades anteriores, escriban juntos sus con-clusiones sobre la posibilidad de recubrir el plano con romboides.

2. Observa las siguientes figuras:

1

12

2

A

1

11

2

2

2

B

1 1

11 3 22

C

a) La figura A muestra tres rectas paralelas cortadas por una trans-versal. ¿Qué relación hay entre los ángulos marcados con un mis-mo número?

b) En la figura B se han agregado dos rectas paralelas y equidistantes a la transversal anterior, con lo que se han formado cuatro romboides iguales. ¿Qué relación hay entre los ángulos marcados con un mis-mo número? ¿Cuánto suman los ángulos en el punto de unión?

Tema 22

156

c) ¿Se puede recubrir el plano con romboides iguales? ¿Por qué?d) En la figura C, los romboides se han dividido en triángulos igua-

les. Completa la numeración de los ángulos. ¿Por qué el plano puede recubrirse con triángulos iguales?

e) En la actividad 1 escribiste en tu cuaderno tus conclusiones sobre la posibilidad de recubrir el plano con romboides. Completa esas con-clusiones tomando como base tus observaciones en esta actividad.

3. ✓ La siguiente figura muestra cómo puede recubrirse un plano usan-do octágonos regulares y cuadrados. ¿Cómo puedes hallar la medida de un ángulo interior de un octágono regular a partir de esta figura?

4. Recorta 10 cuadriláteros iguales y trata de recubrir con ellos una página de tu cuaderno. ¿Pudiste hacerlo? Compara tu diseño con los de tus compañeros del grupo. ¿Cuántos diseños diferentes resulta-ron? ¿Hubo algunos diseños iguales?

5. Un balón está elaborado con piezas de cuero yuxtapuestas que tie-nen la forma de pentágonos y hexágonos regulares, como se muestra en la figura de la izquierda. En la figura de la derecha se aprecia que con pentágonos y hexágonos regulares no es posible recubrir un pla-no porque quedan huecos. ¿Por qué ocurre esto?

El plano puede recubrirse con triángulos iguales o con cuadriláteros iguales porque con estas figuras es posible:

• unir varias alrededor de un vértice de manera que la suma de los ángulos interiores sea igual a 360°, y

• aparejar lados iguales con lados iguales.

Los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares son los únicos polígonos regulares con los que es posible cubrir el plano, porque cumplen con las dos condiciones anteriores.

Los polígonos regulares restantes podrían cumplir con la segunda condición, pero no con la primera, porque sus ángulos interiores no son divisores de 360°.

Bloque 3

23.1. Interpretación de gráficas

de funciones lineales

157

En los países de habla inglesa, la temperatura se mide en gra-dos Fahrenheit (°F), y no en grados Celsius o centígrados (°C), como lo hacemos nosotros. Existe una relación entre las temperaturas en grados Celsius y Fahrenheit. La gráfica siguiente representa di-cha relación; analízala para contestar las preguntas que se plantean (C representa la cantidad de grados Celsius y F la de grados Fahren-heit).


a) Cuando el termómetro graduado en grados Celsius indi-ca 50°, ¿cuánto indica uno graduado en Fahrenheit?

b) ¿A cuántos grados centígrados corresponde una tempe-ratura de 0° F?

c) De acuerdo con la gráfica, cuando el número de grados centígrados aumenta de 0 a 10, ¿de cuántos grados es el aumento de Fahrenheit?

d) Cuando el número de grados centígrados aumenta de 10 a 20, ¿de cuántos grados es el aumento de Fahrenheit? ¿Observas alguna regularidad? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

e) De acuerdo con la observación que han hecho, ¿a cuán-tos grados Fahrenheit corresponde una temperatura de 210° centígrados? Verifíquenlo en la gráfica.

f ) ¿Corresponde esta situación a una función lineal? ¿Por qué?

23Gráficas de funciones lineales

Hemos visto que hay muchas situaciones de la vida cotidiana en que dos cantidades están relacionadas: el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Una de las maneras de entender el comportamiento de tales situaciones consiste

en estudiar la gráfica que las representa. En la presente lección analizaremos algunas de estas situaciones mediante gráficas lineales.

Te sugerimos leer:

“De Fahrenheit a Celsius”, en Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, pp. 42-43.

240

0

F

C 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

210210 20 220

220

30 230

230

40 240 50 250

250

60

Tem

per

atu

ra e

n

grad

os

Fah

ren

hei

t

Temperatura en grados Celsius

Tema 23


0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

T

t 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Tem

per

atu

ra(e

n °

C)

Tiempo(en minutos)

158

g) Completen la siguiente tabla de manera que muestre la relación entre las variables C y F.

Temperatura en grados centígrados (C)

–10 0 10 20 30 40 50 60

Temperatura en grados Fahrenheit (F)

h) Si se agregan más columnas a la tabla, ¿qué temperatura en grados Fahrenheit asociarías a 70 °C? ¿Y a 80 °C?

i) La fórmula que relaciona a las variables C y F es: 9F 5 C 1 32. 5

Utilízala para verificar los resultados que anotaste en la tabla. j) Utilízala también para encontrar el número de grados Fahrenheit

que corresponden a una temperatura de 100 °C.k) ¿La función que corresponde a esta situación es creciente o decre-

ciente?

1. ✓ Una taza de café se calienta en un horno de microondas. Luego, se extrae del horno y se expone al ambiente, que se encuentra a una temperatura de 15 °C. Supongamos que, en los primeros 10 minutos, la temperatura de la taza disminuye uniformemente. La siguiente gráfica representa una aproximación a la forma en que la tempera-tura de la taza disminuye en los primeros 10 minutos.

Función lineal. Es una función cuya representación gráfica es un conjunto de puntos sobre una línea recta. Las funciones lineales son de la forma y = mx + b.

Recuerda que una función lineal es creciente si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.Recuerda que una función lineal es decreciente si, al aumentar el valor de x, el valor de y disminuye.

Bloque 3

159

a) ¿A qué temperatura está la taza de café cuando se saca del horno?b) ¿Qué temperatura tiene la taza un minuto después de haberla

extraído del horno? ¿Y luego de 2 minutos? ¿Y de 3 minutos?c) La temperatura que bajó cada minuto fue la misma durante los

primeros 10 minutos. ¿De qué manera se manifiesta este hecho en la gráfica?

d) ¿La gráfica representa una función lineal? ¿En qué razones basas tu respuesta? Coméntalas con un compañero o compañera.

e) Completa la siguiente tabla para mostrar la temperatura de la taza de café durante los primeros 10 minutos.

Temperatura en min (t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temperatura en °C (T)

f ) Escribe una fórmula que exprese la temperatura (T) de la taza de café en cualquier instante (t), dentro del periodo de los primeros 10 minutos.

g) ¿La función que corresponde a esta situación es creciente o decre-ciente?

2. Las fórmulas de las funciones que corresponden a las siguientes gráficas son y = 2x + 10 y y = 10 – 2x.

a) En la función y = 2x + 10, ¿cuáles son los valores de m y b? ¿Y en la función y = 10 – 2x?

b) En la función y = 2x + 10, cuando el valor de x aumenta, ¿qué sucede con el valor de y: aumenta o disminuye?

0 5

10

–5

y

x 0 5

10

–5

y

x

Tema 23

160

c) En la función y = 10 – 2x, cuando el valor de x aumenta, ¿qué sucede con el valor de y: aumenta o disminuye?

d) ¿Cuál de las dos funciones anteriores es creciente?e) ¿Cuál es decreciente?f ) ¿Qué características tiene la gráfica de una función creciente?

¿Cuáles son las de una función decreciente?

3. La tabla y la gráfica siguientes muestran la variación de la población de México durante un periodo de seis años a partir de 2000.

Años (t) 0 1 2 3 4 5

Población en millones (P)

97.5 98.4 99.5 100.6 102.4 103.2

a) ¿El número de habitantes que aumentó la población fue el mismo cada año durante esos seis años? ¿De qué manera se manifiesta este hecho en la gráfica?

b) ¿La gráfica representa una función lineal? Justifica tu respuesta.

Reúnete con un compañero o compañera para comentar sus res-puestas. Obtengan conclusiones y preséntenlas ante el grupo.

1 2 3

Tiempo(en años)

4 5

50

Po

bla

ció

n (

en m

illo

nes

) 100

FUENTE: INEGI, 2000

p

t 0

Población de México duranteun periodo de seis años a partir de 2000.

Bloque 3

24.1. ¿En qué se parecen las gráficas

de y = mx y y = mx + b?

161

En la siguiente tabla se dan sólo algunos valores de las variables de la función y = 2x; en ellos se observa que cada valor de y es del doble del correspondiente de x.

x 0 1 2 3 4 5

y = 2x 0 2 4 6 8 10

24Familias de rectas paralelas

Las gráficas de dos funciones de la forma y = mx + b son rectas que pueden ser paralelas o no; en este último caso, se cortan en algún punto. ¿Cómo deben ser los valores de las literales m y b para que las rectas sean paralelas? En la siguiente lección estudiaremos esta cuestión.

0 5 1 2 3 4 x

y

1

10 9 8 7 6 5 4 3 2

¿Cómo es la gráfica de la función y = 2x + 3 con respecto de la de y = 2x? ¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes?

Te sugerimos leer:

“La recta en el plano cartesiano”, en Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, pp. 40-41.

Gráfica de la función y = 2x

Tema 24

162

13

–7

– 5 5 x

y


a) En la función y = 2x, cada valor de y se calcula duplicando el de x. ¿Cómo se calcula cada valor de y en la función y = 2x + 3?

b) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Completa la siguiente tabla de valores de y = 2x + 3.

x 0 1 2 3 4 5

y = 2x + 3

c) Utiliza los datos de la tabla anterior para ubicar los puntos correspon-dientes en el mismo plano en que están los puntos de la función y = 2x.

d) Si sólo se consideran los datos de la tabla anterior, la gráfica que resulta es un conjunto de puntos alineados en el primer cuadrante. ¿Dónde se ubican los puntos que corresponden a valores negativos de la x? Completa la tabla y traza la gráfica para averiguarlo.

x –5 –4 –3 –2 –1 0

y = 2x + 3

e) Traza en el plano cartesiano anterior las rectas de las funciones y = 2x y y = 2x + 3. ¿Alguna de estas dos rectas pasa por el origen? ¿Cuál de ellas? ¿A qué se debe que esa recta pase por el origen? Co-menta tu respuesta con un compañero o compañera.

Bloque 3


163

f ) ¿Qué características tienen en común la gráfica de y = 2x y la de y = 2x + 3?

g) Las gráficas anteriores están formadas por sólo algunos puntos. ¿Se han considerado todos los valores que es posible asignar a la x? ¿Dónde se ubican, por ejemplo, los que corresponden a los valores decimales de la x?

1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Completa la tabla y traza en tu cuaderno las gráficas de las si-guientes funciones. Luego contesta las preguntas que se plantean abajo. Realiza el trabajo con un compañero o compañera.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y = 3x

y = 3x + 1

y = 3x – 1

a) ¿Son paralelas entre sí las tres rectas?b) ¿La recta y = 3x + 1 está arriba o abajo de la recta y = 3x? c) ¿La recta y = 3x – 1 está arriba o abajo de la recta y = 3x?

2. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones: y = –3x, y = –3x + 1, y = –3x –1, aunque el orden no es el mismo.

a) ¿Cuál de las tres gráficas corresponde a la función y = –3x? ¿En qué te fijaste para reconocerla?

b) ¿La recta y = –3x + 1 está arriba o debajo de la recta y = –3x? ¿Por qué punto del eje vertical cruza la recta y = –3x + 1?

c) La recta y = –3x – 1 está arriba o debajo de la recta y = –3x? ¿Por qué punto del eje vertical cruza la recta y = –3x – 1?

d) ¿Son paralelas entre sí las tres rectas? Justifica tu respuesta.

De hecho, la gráfica de una función de la forma y = mx + b es una recta, y no sólo un conjunto de puntos discretos, cuando x toma todos los valores en el eje x.

Puntos discretos. Son los puntos que están separados unos de otros, y que pueden estar alineados o no. En contraste, puntos continuos son los que no están separados unos de otros, como los contenidos en una línea.

y

x

y

x

y

x

Tema 24

164

3. ✓ Un recipiente con forma de paralelepípedo se está llenando de agua. La gráfica muestra la forma en que aumenta el volumen del líquido conforme aumenta la altura del líquido en el recipiente.

30

V

25

20

15

10

5

0.5 1Paralepípedo 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 h

Altura (cm)

Vo

lum

en (

cm3)

a) Completa la siguiente tabla a partir de los datos que proporciona la gráfica.

Altura, h (en cm)

Volumen, V (en cm3)

b) ¿Cuál es el área de la base del recipiente?

4. ✓ El costo de la impresión del periódico escolar depende del núme-ro de ejemplares, de acuerdo con la siguiente tabla.

Número de ejemplares (x)

100 200 300 400 500 600 700

Costo en pesos ( y)

200 300 400 500 600 700 800

a) Escribe la fórmula que representa el costo de la impresión en función del número de ejemplares.

Bloque 3

165

b) Traza el conjunto de puntos discretos que forman la gráfica de la fórmula que encontraste.

c) De acuerdo con esta fórmula, ¿cuál es el valor de y cuando x = 0? ¿Qué interpretación puede darse al punto del plano cartesiano asociado a estos valores de x y y? Coméntalo con un compañero o compañera.

La gráfica de la función y = mx + b tiene las siguientes características:

• Es una recta paralela a la gráfica de la función y = mx.• Corta a la ordenada (o eje de las y) en el punto (0, b).

Por ejemplo, las gráficas de las funciones y = 4x, y1 = 4x + 2, y2 = 4x – 2 son las siguientes:

10 2

4

8

x

y

y = 4x

10 2

2

6

x

y

y1 = 4x + 2

10 2

2

– 2

6

x

y

y2 = 4x – 2

La gráfica de y1 pasa por el punto (0, 2) y la de y2 pasa por (0, –2).

25.1. ¿En qué se parecen las rectas

de la forma y = mx?

Tema 25

25Familias de rectas en rotación

Las gráficas de las funciones de la forma y = mx son rectas que tienen una cierta pendiente. ¿Cómo deben ser los valores de m de dos funciones para que la recta que le corresponde a una de ellas tenga una mayor pendiente que la de la otra? En la siguiente lección abordaremos esta cuestión.

166

Como recordarás de la lección anterior, la gráfica de la función y = 2x es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano. Traza en tu cuaderno las gráficas de las funciones y = x y y = 2x. ¿Qué tienen en común estas gráficas? ¿En qué son diferentes?


a) Completa la siguiente tabla. Luego, traza las gráficas de las dos

funciones.

Pendiente. Es la medida de la “inclinación” de una recta en el plano cartesiano.

1

1

5

4

3

2

–5

–1

–2

–3

–4

5432–5 –1–2–3–4 x

y

x – 2 0 2 4

y = x

y = 2x

Bloque 3

167

b) Considera los ángulos que forman estas rectas con la dirección positiva del eje x. ¿Cuál de los dos ángulos es mayor: el de y = x o el de y = 2x?

c) Si trazas la gráfica de la función y = 3x, ¿cómo supones que sea el ángulo de esta recta con respecto de la dirección positiva del eje x? Trázala y verifica tu suposición.

Las tres funciones anteriores son de la forma y = mx; en la primera función, el valor de m es 1; en la segunda, m = 2, y en la tercera, m = 3.

d) ¿Qué relación encuentras entre el valor de m de estas funciones y el ángulo que forman las rectas correspondientes con la direc-ción positiva del eje x?

La medida de la “inclinación” de una recta se obtiene mediante la razón del cambio en el eje vertical y el cambio en el eje horizontal.

Por ejemplo:

La medida de la inclinación de la siguiente recta es 23

. O, dicho de

otra manera, su pendiente es 23

.

Observa:

x

y

Cambio en x

Cambioen y

60 3

2

4

Pendiente = Cambio en el eje verticalCambio en eje horizontal

= 4 – 26 – 3

= 23

e) Observa las gráficas de las rectas y = x, y = 2x y y = 3x. ¿Cuál es el valor de la pendiente cada una de ellas?

f) ¿Qué relación encuentras entre la pendiente de la recta de una función de la forma y = mx, y el valor de la literal m?

Coméntalo con un compañero o compañera, y compartan sus conclusiones con el grupo.

Tema 25


168

1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ La gráfica que muestra la ilustración corresponde a la función

y = x.

y

x1

1

0

6 5 4 3 2

–1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y1 = 12

x y2 = 13

x y3 = 14

x

b) Completa la tabla y, en tu cuaderno, traza las gráficas de estas funciones para verificar tu suposición. Comparte tus respuestas con un compañero o compañera, y después con el grupo.

x 0 3 4 6 8 9 12

y1 = 12

x

y2 = 13

x

y3 = 14

x

a) ¿Cómo supones que sean las gráficas de las siguientes funciones con respecto de la gráfica de y = x? ¿En qué razones basas tu suposición?

Bloque 3

169

a) Compara las gráficas de estas tres funciones. ¿Cuál de ellas tiene mayor pendiente?

b) ¿Tienen algún punto en común las gráficas de estas tres funcio-nes? ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?

y

x1

1

0

6 7 8

5 4 3 2

–1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y1 = 12

x +2 y2 = 13

x +2 y3 = 14

x +2

2. ✓ Completa la tabla y traza la gráfica de las siguientes funciones:

C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

x 0 3 4 6 8 9 12

y1 = 12

x +2

y2 = 13

x +2

y3 = 14

x +2

Tema 25

170

La gráfica de una función de la forma y = mx es una línea recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

El valor de m determina la pendiente de la recta respecto del eje x. Dicho de otra manera: la pendiente de la recta es el valor de m; cuanto mayor es el

valor de m, mayor es la pendiente de la recta.

Si m es un valor positivo, la recta forma un ángulo agudo con respecto de la dirección positiva del eje x.

Estudia los ejemplos:

y

x

y=2x

y=x

La pendiente de la recta y = 2xes mayor que la de la recta y = x.

c) ¿Qué relación hay entre la gráfica de la función y4 = 1

10 x +2 y las

de las funciones y1, y2 y y3?

3. Las gráficas de las funciones y = 2x + 1 y y = x + 1 se cortan en el punto (0, 1) del plano cartesiano. ¿Por qué? Comenta tu respuesta con todo el grupo.

BLOQUE4


Que los alumnos:

1. Resuelvanproblemasqueimplicaneluso

delasleyesdelosexponentesydela

notacióncientífica.

2.Resuelvanproblemasgeométricosque

implicanelusodelaspropiedadesde

lasalturas,medianas,mediatricesy

bisectricesentriángulos.

3.Interpretenyrelacionenlainformación

proporcionadapordosomásgráficas

delíneaquerepresentandiferentes

característicasdeunfenómenoo

situación.4.Resuelvanproblem

asqueimplican

calcularlaprobabilidaddedoseventos

independientes.

5.Relacionenadecuadamenteeldesarrollo

deunfenómenoconsurepresentación

gráficaformadaporsegmentosderecta.

171

P Proyecto

¿Para qué puede ser útil la estadística?

Seguramente, la estadística puede ser útil para muchas cosas, incluso para salvar miles de vidas. Por lo menos, ése fue el destino que le dio la enfermera más famosa del mundo: Florence Nightingale (1820-1910). Ella fue pionera en el uso de la estadística social y de las técnicas gráficas. Durante la guerra de Crimea (1854-1856), Nightingale se dio cuenta de que morían más soldados en los hospitales militares (debido a las condiciones de insalubridad) que en combate. Mediante la gráfica que ilustra esta página, logró convencer a los oficiales ingleses de introducir reformas a los sistemas hospitalarios. Pensó, con sobrada razón, que ésta era la manera más eficaz de describir la gravedad del problema. En el dibujo, las regiones internas de cada sector circular representan el número de muertes por heridas; las externas, muertes por enfermedades que pudieron prevenirse, y las centrales, muertes por otras causas.

BLOQUE

4

Julio

Agosto

Septiembre

Oct

ubre

Noviembre

Diciembre

Enero 1855

Febrero

Marzo

Junio

Mayo

Abril

1854

Inicio

83

324

2761

Invasión de Crimea

Muertes en los hospitales militaresingleses, durante la guerra de Crimea

Reporte sobre el cambio en la cotización del dólar

En equipo, investiguen diariamente, durante cuatro semanas, el precio del dólar; registren la información en una tabla. Presenten sus resultados en una exposición ante el grupo; utilicen una gráfica estadística adecuada.

Florence Nightingale, inglesa nacida en Italia y conocida como “La Dama de la Lámpara” o el “Ángel de Crimea”, creó la Escuela de enfermeras que sirvió para fundar, asimismo, la Cruz Roja Internacional.

172

Bloque 4

26.1. Potencias con exponentes

enteros positivos y cero

173

El censo nacional de población realizado en febrero de 2000 mostró que la población residente en el país era de 97.5 millones. ¿Cuál de las siguientes potencias de 10 es más cercana a esa cantidad?

103 104 105 106 107 108 109


a) ¿A cuántos millones puede redondearse 97.5 millones?b) Los números 100 y 10 000 son potencias de 10. Observa:

100 = 10 × 10 = 102 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104

¿Puedes usar esta idea para resolver el problema?c) ¿Cómo expresas el 1000 como una potencia de 10?d) Las operaciones que efectuaste pueden representarse también

usando exponentes, como se muestra en la tabla. Complétala.

26Leyes de los exponentes y notación científica

El matemático James Newman llamó googol (se pronuncia gúgol) al número que un niño de nueve años de edad escribió en el pizarrón: un 1 seguido de 100 ceros. ¿Cómo se escribe este número usando exponentes? En las siguientes seis sesiones aprenderás a usar exponentes para

hacer más sencillas algunas operaciones y para expresar núme-ros muy grandes o muy pequeños.

e) ¿Encuentras alguna relación entre el número de ceros de las potencias de 10 y el número de factores iguales a 10 que les dan origen?

f) ¿Encuentras alguna relación entre el número de ceros de cada potencia de 10 y el exponente de la potencia que le corresponde?

Te sugerimos leer:

“Números gigantes que nos rodean y que existen en nuestro organismo”, en Y. Perelman, Matemáticas recreativas, pp. 63-66.

Potenciasde10 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000

Operaciones 10 x 10 x 10 x 10 x 10

Conexponentes 105

Recuerda que un factor, en matemáticas, es cada uno de los números o expresiones que se multiplican para obtener su producto.

Tema 26


Valoresdea

Valoresden 1 2 4 10

2

5 25 = 32

4

6 10º = 1

0

1

174

g) ¿A cuál de las siguientes potencias puede redondearse 97.5 millones: 104, 105, 106, 107, 108 o 109?

h) Lee el recuadro de la derecha y luego completa la siguiente tabla de valores de an:

1. En cada caso, escribe la expresión con exponente. Observa el ejemplo resuelto.

Ejemplo: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35

a) (–2)(–2)(–2)

b) (–1)(–1)(–1)(–1)

c) x · x · x · x

d) b · b · b · b · b · b

e) a · a · a · a · a · a · a

f) x

2. Escribe en forma desarrollada el valor de cada expresión. Estudia el ejemplo resuelto.

Ejemplo: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

a) 33

b) (–2)4

c) (–2)5

d) 101

e) 2 3

4

3. ✓ Calcula las siguientes potencias y enseguida contesta la pregunta que se plantea.

(–2)6 (–3)2 2– 3

4

Recuerda que el signo · también indica multiplicación.

En general, la potencia de base a y exponente n es el producto de n factores iguales al número a:

an = a × a × … × a

n factores

A la operación an se le llama potenciación.

De este modo, en la potenciación 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2, la base es 2, el exponente es 5 y la potencia es 32.

En particular, las potencias de exponente cero y 1 se definen convencionalmente de la siguiente manera:

• Cuando n = 1, an = a; esto es, a1 = a.

• Cuando n = 0 y a 0, an = 1; es decir, a0 = 1.

Bloque 4

175

Cuando un número negativo es elevado a una potencia par, ¿qué signo tiene el resultado: positivo o negativo?

4. ✓ ¿Cuáles de las siguientes expresiones aritméticas son equivalentes?

6. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Enseguida se presentan tres parejas de expresiones. De cada pareja, ¿cuál expresión es mayor? ¿Alguna de las expresiones es mayor que 1? Comenta tus respuestas con un compañero o compañera, y compruébala realizando las operaciones correspondientes.

a) 2 3 ×

3 4

2

b) 5 × 18 × 2

2

c) 2 2 3 2

× 3 4

d) 2 2 3 2 ×

3 2 4 2

5. ✓ La siguiente tabla muestra la suma de los primeros números impares consecutivos. Según el patrón que se observa en la tabla, ¿cuál sería

la suma de los primeros 20 números naturales impares consecutivos? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

a) (0.5)2 y (0.5)3 b) (0.2)3 y (0.2)4 c) (0.1)2 y (0.1)10

26.2. Multiplicación de

potenciasUn año-luz se define como la distancia que recorre la luz en un año.

Si la rapidez de la luz es aproximadamente de 300 000 km por segundo, y un año tiene cerca de 30 millones de segundos, ¿a cuántos kilómetros equivale un año-luz?

Sumandos Suma Númerosalcuadrado

1 1 12

1 + 3 4 22

1 + 3 + 5 9 32

1 + 3 + 5 + 7 16 42

Tema 26


176

c) En 3000 segundos, la luz recorre 10 veces la distancia 9 × 107 km. ¿Cómo se escribe esta cantidad en forma exponencial?

d) ¿Qué distancia recorre la luz en 30 000 segundos?e) ¿Puedes utilizar esta idea para expresar en forma exponencial

la distancia que recorre la luz en 30 000 000 segundos? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera y luego con todo el grupo.

f) Lee la sección No olvides que…, al final del tema, para contestar: ¿cuánto es 3x2 • 2x?

g) ¿Cuál es el valor de 3x2 • 2x cuando x = 10?

1. Sabemos que el producto de 1000 × 1000 es igual a 1 000 000. Sabemos también que 1000 = 103.

a) ¿Cuánto es 103 × 103?b) ¿Cómo se escribirías el resultado en forma exponencial?


a) ¿Qué operación harías para realizar este cálculo?b) ¿Habrá otra forma que no sea disponer en columna la multiplicación

300 000 × 30 000 000?

Recuerda que las expresiones comoax5, bx7, y cx12 se llaman monomios.

Si se trata de saber la distancia que recorre la luz en 5 minutos (esto es, en 300 segundos), primero se podrían expresar los factores en forma exponencial:

300 = 3 × 100 = 3 × 102

300 000 = 3 × 100 000 = 3 × 105

y luego, multiplicar estas expresiones:

3 × 102 × 3 × 105 = 3 × 10 × 10 × 3 × 10 × 10 × … × 10 = 2 factores 5 factores

= 3 × 3 × 10 × 10 × … × 10 = 9 × 107

7 factores

Por tanto, la luz recorre aproximadamente 9 × 107 km en 300 segundos.

Bloque 4

177

3. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

En una calculadora básica, la potenciación 25 se puede obtener oprimiendo la siguiente secuencia de teclas:

a) 35 · 32

b) (–2)3(–2)

c) 516 · 54

d) 23 × 23 × 2

e) a3 · a

f) b5 · b

g) c2 · c · c7

h) 2x2 · 3x2

i) 3y · 5y3

j) (–2m3)(–m)

con lo que se obtiene 32. Es decir, 25 = 32.

Usa esta idea para calcular las siguientes potencias:

a) (1.25)2(1.25)2

b) (0.8)(0.8)3

c) 2 2 2 2

3 3

d) 3 2 3

4 4

4. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Si tu calculadora tiene la tecla la potenciación 37 puede

realizarse oprimiendo la siguiente secuencia de teclas:

Usa esta idea para verificar si 25 + 23 es igual a 28.5. ✓ ¿La expresión 22 · 33 = 35 = 243 es verdadera o falsa? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.6. ✓ ¿El valor de x +x(xx) cuando x = 2 es 10 o 16? ¿Por qué? Comenta

tu respuesta con tus compañeros del grupo.

2. ✓ Efectúa las siguientes multiplicaciones. (Recuerda que a=a1.)

Tema 26

178

2 8

8

8

2

2

26.3. División de potencias¿Cuántas veces cabe un cubo de 2 cm de arista en otro de 8 cm de

arista?


a) Imagina que cubres el fondo del cubo grande con cubos pequeños. ¿Cuántos cubos pequeños se necesitan?

b) ¿Cuántos niveles de cubos pequeños se requieren para llenar el cubo grande?

c) ¿Con cuántos cubos pequeños se llena un cubo grande? d) ¿Puedes resolver el problema calculando el volumen de los cubos?

¿Cuál es el volumen de cada uno?e) ¿Qué operación debes efectuar para saber cuántas veces cabe el

volumen del pequeño en el grande? Observa que, si se tratara de saber cuántas veces cabe un cuadrado

de 16 cm2 de área en otro de 128 cm2, el problema podría resolverse

dividiendo 12816

. Pero también sería posible hacerlo expresando

estos valores en forma exponencial:

16 = 24

128 = 27

y luego dividiendo estas potencias:

27 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = = 2 · 2 · 2 = 23

24 2 · 2 · 2 · 2

f) ¿Cuántos factores iguales se suprimieron en el numerador y en el denominador para simplificar esta fracción?

Bloque 4


179

Al realizar este cálculo habrás observado que 27 ÷ 24 = 23; es decir, el exponente 3 se obtiene restando los exponentes 7 y 4.

g) ¿Puedes utilizar esta idea para encontrar cuántos cubos pequeños caben en uno grande?

1. ✓ Simplifica las siguientes expresiones como se muestra en el ejemplo resuelto. Verifica los resultados realizando las operaciones arit- méticas.

Ejemplo: 35

32 = 35 – 2 = 33 = 27

a) 25

23

b) 26

22

c) 53

52

d) 42

4

2. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) m5

m2

b) c8

c3

c) q8

q5

d) r3s2

rs

e) a2b2

ab

f) m8n2

mn

g) m2nn

h) a3b2

ab

i) abc2

ab

j) 6x2

2x

k) 15xy2z15xy

l) 8abx2

2bx

m) abcabc

Tema 26

180

3. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

¿Son equivalentes las expresiones 6x2

2x, 9x3

3x2 y 3x? En la

siguiente tabla se asignan algunos valores a la x para evaluar estas expresiones. ¿Son iguales o diferentes los valores que se obtienen?

4. ✓ ¿Cuántas veces mayor es el área del rectángulo ABCD que el área del rectángulo DEFG?

A6x

2xE

x

B

D G1.5x

F

C

Valoresdex

Valorde6x2

2x

Valorde9x3

3x2

Valorde3x

–3

–2

–1

1

2

3

En general, cuando dos potencias tienen la misma base, su producto es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes.

Por ejemplo: x 7 · x 5 = x 7 + 5 = x 12.

De manera general: am · an = am + n

donde a es un número cualquiera, y m y n son números enteros positivos.Para dividir potencias de la misma base a, de exponentes m y n, con m > n, restamos

los exponentes. Observa:

am ÷ an = am – n

donde a es un número cualquiera diferente de 0, y m y n son números enteros positivos.

Bloque 4


181

26.4. Potencia de una potencia¿Cuántos metros cuadrados tiene un terreno cuadrado de un kiló-

metro por lado?


a) ¿Cuántos metros por lado mide el terreno? ¿Qué operación debes efectuar para hallar el área del terreno cuadrado?

b) ¿Cuál es el área del terreno?c) Si la medida del lado del terreno cuadrado fuera de 16 metros, ¿cuál

sería el área?d) Observa que 16 puede expresarse en forma exponencial: 16 = 24, por

lo que el área del terreno es (24)2 metros cuadrados. ¿Cuál es el valor de (24)2?

e) Si (24)2 = 2m, ¿cuál es el valor de m? ¿Qué operación debe realizarse para hallar el valor de m?

f) El número 1000 = 103, por lo que (1000)2 puede expresarse también como (103)2. ¿Cuál es el valor de m en la expresión (103)2 = 10m? ¿Qué operación debe efectuarse para hallar el valor de m?

1. ✓ Julia tiene una calculadora científica y pide a su hermano Pedro que le enseñe a hallar el valor de la expresión (23)4. Pedro teclea sucesivamente:

y el resultado que aparece en la pantalla es 4096.

a) ¿Cómo convencerías a un compañero de que este resultado es correcto, sin recurrir a la calculadora?

b) ¿Los resultados de (23)4 y (24)3 son iguales o diferentes? ¿Por qué?

2. Halla el resultado de las siguientes potenciaciones:

a) (103)3

b) (32)4

c) (25)2

d) (52)2

Tema 26

182

3. Simplifica las siguientes expresiones de modo que las literales tengan sólo un exponente:

a) (r3)5

b) (2x3)2

c) (3x2)2

d) (5y3)3

e) (–3x)2

f) (–2x4)2

g) (x2y3)2

h) (a2b3c)3

i) (mn2)7

4. ✓ ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene un valor diferente del de las demás? Subráyala.

(22 × 52)2 (2 × 5)4 (24 × 54) 104 254

5. ✓ Escribe los siguientes números como potencias elevadas a una potencia. Estudia el ejemplo resuelto.

Ejemplo: 64 = 82 = (23)2

Para cualquier número a y cualesquiera números enteros positivos m y n:

(am)n = am × am × am × … × am = amn

n veces

Es decir, la potencia de una potencia se halla multiplicando los exponentes.

Observa el siguiente ejemplo:

(53)2 = 56

a) 256

b) 1024

c) 81

d) 16

e) 729

6. ¿Cuál de estas expresiones numéricas es mayor: (0.12)2 o (0.12)3? ¿Por qué? Coméntalo con un compañero o compañera, y luego con todo el grupo.

Bloque 4

183

26.5. Exponentes enteros

negativos

La población de bacterias de una alberca se duplica de un día para otro. Si el domingo al mediodía había 1000 bacterias por cm3, ¿cuál era la población los dos días posteriores y los dos días anteriores al domingo?


a) ¿Qué significa que “la población se duplica de un día para otro”? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

b) La siguiente tabla puede ayudarte a resolver el problema. Cópiala en tu cuaderno y complétala con los datos que faltan.

Jueves Viernes Sábado Domingo Lunes Martes Miércoles

1000 2000

c) ¿Qué operación realizaste para encontrar el número de bacterias para los días posteriores al domingo? ¿Y para los días anteriores al domingo?

d) La siguiente tabla muestra el número de bacterias que hay en algunos días, como producto de 1000 por una potencia de 2. ¿Qué exponentes debe tener el 2 para los días sábado y viernes anteriores al domingo? Coméntalo con un compañero o compañera.

Martes 1000 × 4 = 1000 × 22 = 4000

Lunes 1000 × 2 = 1000 × 21 = 2000

Domingo 1000 × 1 = 1000 × 20 = 1000

Sábado 1000 × 1 = 1000 × 2? = 500 2

Viernes 1000 × 1 = 1000 × 2? = 250 4

Tema 26


184

El siguiente modelo sugiere una interpretación para las potencias negativas de 10:

103 = 10 × 10 × 10 = 1000

102 = 10 × 10 = 100

101 = 10

100 = 1

10–1 = 110

= 0.1

10–2 = 1 1 = 100 102

= 0.01

10–3 = 1 1 = 1000 103

= 0.001

De acuerdo con este modelo, 10–3 significa 11000

, o bien, 1103

.

e) Según el modelo anterior, ¿a qué fracción equivale la expresión 10–4?

f) ¿Cómo puede expresarse 11000000

(un millonésimo) con exponentes

negativos?g) ¿Qué expresión con exponente positivo es equivalente a 10–5?h) ¿A qué expresión con exponente negativo es equivalente 0.00001?

Observa que los exponentes van disminuyendo de 1 en 1, en tanto que los números de la derecha se van dividiendo entre 10.

1. ✓ Reescribe las siguientes expresiones como cocientes:

a) 3–2

b) 5–3

c) 2–6

d) 1–2

2. ✓ Reescribe las siguientes expresiones con exponentes negativos:

a) 14

b) 18

c) 15

d) 136

3. ¿Cómo convencerías a un compañero de que 10–3 × 103 es igual a 1?4. ✓ ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 0.01?

a) 103

b) 102

c) 10–1

d) 10–2

Bloque 4


185

26.6. Notación científicaJuan leyó en un libro de Física que una barra de aluminio de 1 cm

aumenta su longitud en 2.3 × 10–5 cm por cada grado Celsius que se incrementa su temperatura. ¿Qué significa la expresión 2.3 × 10–5 cm? ¿Con qué otro número, sin exponentes, puede indicarse esa longitud?


a) La expresión 2.3 × 10–5 es una multiplicación. ¿Cuáles son sus factores?b) ¿Qué fracción es equivalente a 10–5? ¿Y a qué fracción decimal?c) ¿A qué multiplicación de decimales es equivalente 2.3 × 10–5?d) ¿Qué longitud aumenta una barra de aluminio de 1 cm al aumentar

un grado Celsius su temperatura?

Un número diferente de cero, elevado a una potencia de exponente entero negativo, es igual a la unidad dividida entre el número elevado al simétrico del exponente

original; esto es:

1a–n = an

.

Por ejemplo:

1 15–2 = = 52 25

1. El censo nacional de población, realizado en febrero de 2000, mostró que la población residente en el país estaba compuesta por 47.6 millones de hombres y 49.9 millones de mujeres, con lo cual la diferencia entre las cantidades de hombres y de mujeres era de 2.3 millones. Expresa los números anteriores en notación científica. Estudia el ejemplo resuelto:

Ejemplo: 3.5 × 106 = 3 . 5 0 0 0 0 0 = 3 500 000 6 lugares

a) 47.6 millones c) 2.3 millones

b) 49.9 millones d) 1.02 millones

Notación científica. Un número está escrito en notación científica si se expresa de la forma m × 10n , en donde m es un número mayor que 1 y menor que 0, y el exponente n es cualquier entero. Por ejemplo: 3.5 × 105 es la notación científica de 350 000.

Tema 26

186

2. ✓ Representa en notación científica los siguientes decimales:

a) 0.000718 c) 0.0409

b) 0.0000075 d) 0.000000098

3. Escribe los siguientes números en forma decimal. Estudia el ejemplo resuelto:

Ejemplo: 3.28 × 10–7 = 0 0 0 0 0 0 0 3 . 28 = 0.000000328 7 lugares

a) 2.51 × 10–4 d) 2.81 × 10–2

b) 1.09 × 10–3 e) 3.0008 × 10–4

c) 3.008 × 10–1

4. ✓ Escribe los siguientes números en notación científica:

a) La distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km, aproximadamente.

b) El ser humano tiene unos 25 billones de glóbulos rojos. Cada glóbulo rojo tiene un diámetro de 0.008 mm.

c) Un alambre de cobre de 1 m de longitud aumenta 0.000016 m al aumentar su temperatura 1 °C.

d) El 25 de enero de 2007 se realizó la presentación de una familia de procesadores que tenian transistores para computadoras de 0.000 000 045 m que equivale a 45 nonámetros.

e) Un nanómetro (nm) equivale a 0.000 000 001 m y un micrómetro (mm) equivale a 0.000 001 m mientras que un gigametro (Gm) equivale a 1 000 000 000 m y un megametro (Mm) equivale a 1 000 000 m.

Un número está escrito en notación científica si se expresa de la siguiente forma:

m × 10n

en donde m es un número mayor que 1 y menor que 10, y el exponente n es cualquier número entero. Por ejemplo, a la expresión 3.5 × 107 se le llama notación científica de 35 000 000.

Para expresar un número cualquiera en notación científica:

1. Corremos el punto decimal a una posición tal que su parte entera conste de una cifra diferente de cero.

2. Contamos el número de lugares que se corrió el punto. Este número será el exponente de 10.

Bloque 4

27.1. Triángulos congruentes.

Un mensaje telefónico

60°

A

C

4 cm 6 cm

7 cm B

40°

80°

187

27Triángulos congruentes

Si quisieras hacer una réplica exacta del bande-rín triangular de tu equipo favorito de futbol, podrías conseguir uno, trazar un patrón en cartoncillo y lue-go elaborarlo en tela. Pero también puedes inves-tigar sus medidas. ¿Qué medidas del triángulo (de ángulos y de lados) debes conocer como mínimo

para poder copiarlo? ¿Qué información necesitas para saber si dos triángulos tienen la misma forma y tamaño? Acerca de estas cues-tiones trata esta lección.

3. Finalmente:

• Si el punto decimal se corrió a la izquierda, el exponente de 10 es positivo.• Si el punto decimal se corrió a la derecha, el exponente de 10 es negativo.• Si el punto decimal no se corrió, el exponente de 10 es cero.

Estudia estos ejemplos:

740000000 = 7.4 × 108

0.00086 = 8.6 × 10–4

A Leticia le encargaron que avisara por teléfono a dos compañeros que no asistieron a clase, que llevaran al día siguiente un triángulo de cartulina igual al de la ilustración. A uno le dijo: “Los ángulos del triángulo miden 60°, 40° y 80°”; y al otro: “Las longitudes de los lados son 7 cm, 4 cm y 6 cm.”

¿Con cuál de las dos informaciones es posible construir el triángulo solicitado?

Congruentes. Dos figuras son congruentes si son iguales en forma y tamaño.

Tema 27

188

f) Recorta los triángulos que construiste y compáralos sobreponién-dolos. ¿Son iguales o diferentes?

g) ¿Cuántos triángulos distintos pueden dibujarse con tres segmentos que miden 7 cm, 4 cm y 6 cm?

h) ¿Cuántos triángulos diferentes pueden construirse conociendo las medidas de sus tres lados?

i) ¿Con cuál de las dos informaciones es posible construir los triángu-los solicitados en la clase de Leticia: con las medidas de los ángulos o con las medidas de los lados?


a) Usa regla y compás para dibujar un triángulo en un trozo de cartoncillo. Sus ángulos deben tener las medidas que se indican enseguida.

A = 60° B = 40° C = 80°

b) Recorta el triángulo y compáralo con el de un compañero o compañe-ra. ¿Son iguales o diferentes?

c) ¿Cuántos triángulos diferentes pueden construirse sabiendo que sus ángulos miden 60°, 40° y 80°? ¿Por qué?

d) ¿Cuántos triángulos diferentes pueden construirse conociendo las medidas de sus ángulos?

e) Usa nuevamente regla, compás y cartulina para construir tres trián- gulos con la información que se da enseguida.

Triángulo1

Los otros lados miden 4 cm y 6 cm

7 cm Los otros lados miden

6 cm y 7 cm

Triángulo2

4 cm

Triángulo3

Los otros lados miden7 cm y 4 cm

6 cm

Bloque 4Actividades adicionales

189

4 cm 5 cm

10 cmA B A = 50° B = 60° C = 70°

6 cm 8 cm 10 cmA A B BC C A = 90°

9 cmA B 9 cmA C A = 40°

8 cmA B B = 45°

1. Usa regla y compás para dibujar un triángulo en tu cuaderno. Dos de sus lados deben ser iguales a los siguientes segmentos:

a) Compara el triángulo que dibujaste con el de un compañero o compañera. ¿Son iguales o diferentes?

b) ¿Cuántos triángulos distintos pueden construirse conociendo las medidas de dos de sus lados?

2. ✓ Con la información que se da en cada caso, en tu cuaderno trata de construir un triángulo.

a) ¿En cuáles de los cuatro casos fue posible construir un triángulo con los datos que se dan?

b) ¿En cuáles de los cuatro casos es posible construir dos o más triángulos de diferente forma y tamaño?

3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y cuáles son verdaderas? Comenta tus respuestas con las de tus compañeros de grupo.

a) Dos triángulos que no son congruentes pueden tener la misma área.b) Dos triángulos que no son congruentes pueden tener el mismo

perímetro.c) Dos triángulos que no son congruentes pueden tener la misma

área y el mismo perímetro.d) Dos triángulos congruentes tienen la misma área y el mismo

perímetro.

28.1. Algunas propiedades de

las líneas del triángulo

Tema 28

190

En general, las figuras que son iguales (esto es, que tienen la misma forma y tamaño) se llaman figuras congruentes.Hay tres criterios que permiten determinar si dos triángulos son congruentes:

1. Si cada lado de un triángulo mide lo mismo que el correspondiente de otro (criterio LLL: lado, lado, lado).

2. Si dos lados de un triángulo y el ángulo formado por éstos tienen la misma medida que los correspondientes del otro (criterio LAL: lado, ángulo, lado).

3. Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida que los correspondientes del otro (criterio ALA: ángulo, lado, ángulo).

28Las líneas del triángulo

El triángulo es una figura especial. Por ejemplo, es una figura rígida, a diferencia de los demás po-lígonos, que son flexibles. Esto lo puedes compro-bar si unes por sus extremos tres tiras de madera; una vez armado, el triángulo no se deforma. En las siguientes dos lecciones estudiaremos algunas

propiedades de rectas relacionadas con los triángulos: las me-dianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas.

¿Cómo se construye un triángulo ABC si se conocen las longitudes del lado AB y de la mediana MC correspondiente a ese lado? (Debemos suponer que se desconoce la posición del punto C.)

A M B

C

Recuerda que la mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

R M1

M2 M3

S

T

TM1 , RM2 y SM3 son las medianas del triángulo RST; M1, M2 y M3 son los puntos medios de los lados RS, ST y RT , respectivamente.

Bloque 4

A

C

BM

R M S

T

191

¿Puede construirse más de un triángulo con estos datos? ¿Cuántos triángulos diferentes pueden construirse con estos datos? ¿Qué clases de triángulos?


a) ¿Son suficientes los datos que se dan en el problema para localizar los tres puntos A, B y C que determinan el triángulo ABC? ¿Cómo localizas los puntos A y B? ¿Cómo localizas el punto C?

b) Con regla y compás, localiza el punto medio M del lado AB para trazar la mediana correspondiente a ese lado. ¿En dónde vas a fijar el extremo C de la mediana para construir el triángulo?

c) ¿Cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con regla y compás, de modo que uno de sus lados tenga la longitud de AB , y su mediana, la de MC? Traza tres triángulos diferentes con estas características.

d) ¿Qué debe hacerse para trazar con regla y compás el triángulo ABC, de modo que la mediana MC del lado AB sea también la altura correspondiente al mismo lado? Traza el triángulo. ¿Qué clase de triángulo resulta?

e) ¿Qué otras propiedades tiene esta mediana, además de ser altura del triángulo? ¿Es mediatriz del lado AB ? ¿De qué ángulo es bisectriz?

f) Traza, con regla y compás, tres triángulos diferentes, de modo que uno de sus lados sea RS y su mediana sea MT. (La longitud de la mediana MT es la mitad de la longitud del lado RS .)

g) ¿Qué clase de triángulos resultaron?h) ¿Cómo puedes construir un triángulo rectángulo isósceles con los

datos anteriores (las longitudes de RS y MT)?

Recuerda que la mediana es un segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto al ángulo.

Recuerda que la bisectriz de un ángulo es la recta que divide a éste en dos ángulos iguales.

Tema 28


192

1. Enseguida se muestran varios triángulos construidos en el geoplano:

Mediana

A B C D

MedianaMedianaMediana

a) ¿En cuáles de los cuatro casos, la longitud de la mediana es mayor que la de la altura del triángulo? ¿Hay algún caso en que la mediana y la altura del triángulo son iguales?

b) ¿En cuáles de los cuatro casos, la longitud de un lado es menor que la de la mediana?

c) ¿Habrá algún caso en que la longitud de la mediana sea igual a la de un lado del triángulo? Si tu respuesta es afirmativa, dibuja un ejemplo de triángulo que ilustre este hecho.

d) ¿Habrá algún caso en que las longitudes de todos los lados del triángulo sean mayores que la de la mediana? Si tu respuesta es afirmativa, dibuja un ejemplo de triángulo que ilustre este hecho.

2. ✓ Una mediana de un triángulo divide a éste en dos regiones triangulares. ¿Tendrán éstas la misma superficie? ¿Por qué?

3. ✓ Las tres medianas de un triángulo dividen a éste en seis regiones triangulares, generalmente de formas diferentes. ¿Tendrán estas regiones la misma superficie? Para comprobarlo, dibuja un triángulo de regular tamaño en tu cuaderno, traza sus medianas y calcula el área de los seis triángulos que se forman.

Bloque 4

193

4. Otra manera de comprobarlo consiste en usar una balanza de brazos para comparar unas partes con otras. Te invitamos a que, en equipo, construyan una.

28.2. Actividades sobre los puntos

de intersección de las líneas

del triángulo1. Dibuja un triángulo ABC en tu cuaderno y traza, con regla y compás,

sus mediatrices.

a) Localiza el punto en que se cortan las mediatrices (esto es, el circuncentro). Desígnalo con la letra O, como en el ejemplo.

b) Traza con el compás un círculo con centro en O y radio OA. El círculo pasará por los vértices A, B y C del triángulo. ¿Por qué?

A B

C

O

Circuncentro. Es el punto en que concurren las tres mediatrices de un triángulo.

Recuerda que una mediatriz es una recta perpendicular a un segmento y que pasa por el punto medio de éste.

Tema 28

194

P QS

R

O

4. Para visualizar las tres alturas de un triángulo y localizar el punto en que se cortan (ortocentro), dibuja uno en cartoncillo grueso.

• Haz una perforación en cada uno de sus vértices.• Pasa un hilo por cada una de las perforaciones. (El hilo deberá

tener un objeto pesado en uno de sus extremos para que funcione como plomada.)

A continuación:

a) Halla una de las alturas del triángulo; luego gira el triángulo para hallar las otras dos.

b) Localiza el punto en que se cortan las tres alturas del triángulo.

2. El punto en que se cortan las medianas es su punto de equilibrio; recibe el nombre de baricentro, o centro de gravedad. Para comprobarlo, dibuja un triángulo en cartoncillo grueso, traza sus medianas y recórtalo. (Procura trazar y recortar muy bien el triángulo.) Sitúa el triángulo en posición horizontal sobre un lápiz afilado colocado de manera vertical y con la punta hacia arriba situada exactamente en el baricentro. El triángulo debe quedar en equilibrio sobre la punta del lápiz.

3. ✓ Dibuja en tu cuaderno un triángulo PQR y traza, con regla y compás, sus bisectrices.

a) Localiza el punto en que se cortan estas bisectrices (el incentro). Designa este punto con la letra O.

b) Traza una recta desde O, perpendicular a PQ . Asigna la letra S al punto de intersección.

c) Ajusta el compás a una longitud igual a OS y traza el círculo O. El círculo quedará inscrito en el triángulo. ¿Por qué?

A

C

C

CA

A

B

B

B

Baricentro. Es el punto en que concurren las tres bisectrices de un triángulo.

Bloque 4

29.1. ¿Cuándo dos eventos de azar

son independientes?

195

Los cuatro tipos de líneas del triángulo (alturas, medianas, mediatrices y bisectrices) tienen algunas propiedades; entre ellas, las siguientes:

• La longitud de una mediana es mayor o igual que la longitud de la altura que pasa por el mismo vértice, y sus longitudes son iguales sólo cuando la altura y la mediana coinciden, como ocurre, por ejemplo, en el triángulo equilátero.

• La mediatriz correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles es también altura y mediana del mismo lado, y bisectriz del ángulo opuesto.

• Las alturas no son siempre interiores al triángulo.• Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo siempre se cortan en el interior

del triángulo.

Con un frasco que contiene 3 canicas azules y 3 rojas, realizo los siguientes dos experimentos de azar:

• Experimento 1. Saco una canica al azar y anoto su color. La devuelvo al frasco. Luego, saco al azar una canica y anoto su color. ¿Cuál es la probabilidad de que el par de canicas extraídas haya sido roja-roja?

• Experimento 2. Llegan Pedro y Carmen. Ahora saco al azar una canica y se la doy a Pedro; enseguida, saco otra más, también al azar, y se la doy a Carmen. ¿Cuál es la probabilidad de que a los dos les haya tocado una canica roja?

29Eventos de azar independientes

Seguramente ha ocurrido que cuando juegas a los volados, salen 5 o más águilas seguidas. Cuando esto sucede, algunas personas piensan que si se lanza de nuevo la moneda, lo más probable es que caiga águila. ¿Será cierto esto? ¿Acaso la moneda tiene memoria y se acuerda

del último resultado? En la presente lección estudiarás este tipo de eventos de azar, a los que llamaremos independientes.

Te sugerimos leer:

“Teoría de las probabilidades”, y otros temas, en J. A. de la Peña, Matemáticas y vida cotidiana, pp. 28-41.

Tema 29

196


a) En el experimento 1, ¿cuántas canicas tenía en el frasco? ¿Cuántas había de cada color?

b) Completa el diagrama de árbol del experimento 1 con los dibujos de las canicas de color roja o azul que puedan salir de cada extracción.

c) ¿Cuántos resultados diferentes puede haber en este experimento?d) ¿En cuántos de esos resultados la primera canica es roja? ¿En este

experimento, ¿cuál es la probabilidad del evento: “la primera canica que sale es roja”?

e) ¿En cuántos de los resultados la segunda canica es roja? ¿Cuál es la probabilidad del evento “la segunda canica que sale es roja”?

f) Multiplica las probabilidades de estos dos eventos: “la primera canica que sale es roja” y “la segunda canica que sale es roja”.

g) ¿En cuántos de esos resultados la primera y la segunda canicas que se extraen son rojas, es decir, el par de canicas extraídas son roja-roja?

h) ¿Cuál es la probabilidad del evento “el par de canicas extraídas son roja-roja”?

Primeraextracción

Frasco

Segundaextracción Resultado

Bloque 4

197

Primeraextracción

Frasco

Segundaextracción Resultado

i) Compara la probabilidad del evento “el par de canicas extraías son roja-roja”, con el producto de los dos eventos que obtuviste en el inciso f. ¿Son iguales o diferentes?

j) Ahora completa el diagrama de árbol del experimento 2 con los dibujos de las canicas de color roja o azul que puedan salir de cada extracción.

k) ¿En cuántos de esos resultados la primera canica es roja, es decir, a Pedro le toca una canica roja? En este experimento, ¿cuál es la probabilidad del evento: “a Pedro le toca una canica roja”?

l) ¿En cuántos de los resultados la segunda canica es roja, es decir, a Carmen le toca una canica roja? ¿Cuál es la probabilidad del evento “a Carmen le toca una canica roja”?

m) Multiplica las probabilidades de estos dos eventos: “a Pedro le toca una canica roja” y “a Carmen le toca una canica roja”.

n) ¿En cuántos de esos resultados la primera y la segunda canicas que se extraen son rojas, es decir, a Pedro y a Carmen les tocan canicas rojas?

o) ¿Cuál es la probabilidad del evento “a ambos les tocan canicas rojas”?

p) Compara la probabilidad del evento anterior con el producto de los dos eventos que obtuviste en el inciso m. ¿Son iguales o diferentes?

q) ¿Son independientes los eventos del experimento 1?, ¿y los del experimento 2? Comenta con un compañero o compañera las razones en que basas tu respuesta, y después, con todo el grupo.

Eventos independientes. Dos eventos son independientes si la probabilidad de que ocurran simultáneamente es la misma que el producto de sus probabilidades.

Tema 29


198

En el experimento de lanzar dos veces una moneda, los resultados pueden ser: águila-águila, águila-sol, sol-águila y sol-sol. Por tanto, la probabilidad del

evento “caer águila-águila” es 1 4

.

Por otra parte, si en el mismo experimento consideramos los siguientes dos eventos: “en la primera vez cae águila” y “en la segunda vez cae águila”, la

probabilidad de cada uno de estos eventos es 1 2

y su producto es:

1 2

3 1 2

5 1 4

.

Se dice que dos eventos son independientes si la probabilidad de que ocurran simultáneamente es la misma que el producto de sus probabilidades. Es decir, la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

1. ✓ Cada una de las siguientes situaciones presenta un par de eventos de azar. Contesta las preguntas que se plantean.

a) En una feria hay un juego que consiste en lanzar dardos sobre una ruleta, como la que aparece en la figura. ¿Cuál es la probabilidad de que, en el primer lanzamiento, el dardo dé en una región de color azul? ¿Cuál es la probabilidad de que, en un segundo lanzamiento, se repita este resultado? ¿Son independientes estos dos eventos? ¿Por qué?

b) Tengo una moneda y un dado, y los lanzo dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que, en el primer lanzamiento, los resultados sean 6 y águila? ¿Cuál es la probabilidad de que, en el segundo lanzamiento, se repitan estos resultados? ¿Son independientes estos dos eventos?

c) Una caja contiene 36 chicles revueltos: 12 de menta, 12 de canela y 12 de hierbabuena. Diana toma uno al azar. Luego llega Patricia y toma otro al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que a ambas les toque un chicle de canela?

Bloque 4

30.1. ¿Qué es una

gráfica de línea?

199

30Gráficas de línea

Posiblemente has escuchado o leído en noticia-rios y periódicos algunas de las siguientes expresiones: “Ha aumentado el precio del kilogramo de tortillas…”, “Cada mes, sube el precio de la gasolina; este mes vale…”, “Hoy, el precio del dólar es… “, etc., y tal vez han estado acompañadas de alguna gráfica que

muestra su comportamiento durante un determinado periodo. En esta lección estudiarás este tipo de gráficas.

El cine es una de las diversiones que le gusta a la mayoría de las personas. En los últimos cinco años se ha incrementado el número de salas en nuestro país. Sin embargo, quizá has escuchado que nuestra industria cinematográfica tiene problemas de apoyo. Las siguientes gráficas muestran algunos datos relacionados con el cine.

3000

Año

Nú

mer

o d

e sa

las

0 1980 1985 1990 1995 2000 2005

500

1000

1500

2000

2500

Salas de cine en México

300 000

Año

Número de localidades vendidas en México

Nú

mer

o d

e lo

cali

dad

es

ven

did

as (

en m

iles

)

0 1980 1985 1990 1995 2000 2005

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

¿Qué relación encuentras entre el número de salas de cine que había y la cantidad de boletos vendidos en México durante los años 1980 a 2005?

Gráfica de línea. Es una gráfica que presenta la variación o el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo.

Tema 30

200


a) En la gráfica que presenta el número de salas de cine, ¿a partir de qué año desciende el número de salas? ¿Qué causas consideras que influyeron para esa situación?

b) ¿En qué año hay menos de 1200 salas de cine?c) Describe las tendencias que se dieron en los años 1990, 1995 y 2000

de esta situación.d) Con la información que presenta la gráfica, ¿podrías decir cuántas

salas de cine había en el año 2001? ¿Por qué?e) ¿En qué porcentaje se incrementó o disminuyó el número de salas

que funcionaron en 2005 con respecto a 1980?f) Observa la segunda gráfica. ¿Cuál ha sido la tendencia en la venta de

localidades?g) Aproximadamente ¿cuántas localidades se vendieron en 1980?h) ¿En qué año se vendieron 90 000 localidades?i) ¿Cuántas localidades se vendieron en 1998?j) En 1995 se reportó el menor número de localidades vendidas. ¿Qué

porcentaje representa este número con respecto a lo que se vendió en 1980?

k) ¿Cuál fue el comportamiento del número de localidades vendidas en 2005 con respecto a 1995?

l) Si relacionamos los datos que presentan ambas gráficas, en cuanto al número de localidades que se vendieron y el número de salas que había en 1980, en promedio, ¿cuál fue aproximadamente la cantidad de localidades vendidas por cada sala? (Supón que las salas son todas del mismo tamaño.)

m) ¿Y cuál fue la cantidad de localidades vendidas por cada sala en 2005?

n) Completa la siguiente tabla:

o) ¿Consideras que ha descendido la razón entre el número de localidades vendidas y el número de salas de cine? Justifica tu respuesta.

AñoNúmerode

salasNúmerode

localidadesvendidasNúmerodelocalidades

vendidas/númerodesalas

1980

1985

1990

1995

2000

2005


201

1. Otra información que está relacionada con el cine es el número de funciones que se proyectaron en México y el monto de las ventas.

a) ¿Cuál es el comportamiento del número de funciones que se proyectan en México?

b) ¿En qué porcentaje se incrementó el número de funciones que se proyectaron en 2005 con respecto a 1980?

c) ¿Cuál es el comportamiento de la venta de boletos en el cine?

d) ¿Cuántas veces más aumentó el monto de las ventas de 2005 con respecto al monto de 1980?

e) ¿A partir de qué año se incrementaron considerablemente las ventas?

f) Si relacionas la información que presentan las gráficas “Monto total por la venta de boletos de cine en México” y “Número de localidades vendidas”, ¿cuál fue el costo de un boleto en 1980? ¿Cuánto costó en 2000? ¿Y en 2005?

g) Si comparas el precio de un boleto en 1980 y en 2005, ¿cuántas veces aumentó?

h) Si ahora relacionas la información de las gráficas “Salas de cine en México” y “Funciones que se proyectaron en México”, en promedio, ¿cuántas funciones se proyectaron por sala en 1980? ¿Cuántas en 2000? ¿Y en 2005?

300 000

400 000

350 000

Año

Funciones que se proyectaron en México

Fu

nci

on

es

0 1980 1985 1990 1995 2000 2005

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

Año

Monto total por la venta de boletos en México

Ven

ta d

e b

ole

tos

(en

mil

es d

e p

eso

s)

4 000 0003 800 000 3 900 000

0200 000

6000 35 000 31 000

760 000

3 600 0003 400 0003 200 0003 000 0002 800 0002 600 0002 400 000 2 400 000

2 200 0002 000 0001 800 0001 600 0001 400 0001 200 0001 000 000

800 000600 000400 000

1980 1985 1990 1995 2000 2005

FUENTE: INEGI, Agenda 2005.

Tema 30

202

2. ✓ Cuando analizamos una situación, es conveniente relacionarla con información que esté a nuestro alcance, para poder compren- der mejor los datos que se nos presentan. Realiza las siguientes actividades y presenta tus conclusiones a tus compañeros:

a) Investiga cuántas salas de cine hay en tu localidad.b) Realiza las siguientes preguntas a tus compañeros de clase y

anota las respuestas en tu cuaderno; te recomendamos utilices una tabla de frecuencias para registrar la información.

• ¿Te gusta ir al cine? (Sí) (No) • ¿Con qué frecuencia asistes?

Cada 8 días Cada 15 días Cada 30 días Cada 60 días

Cada 90 días Cada 120 días Cada 365 días Otro

• ¿Cuántas películas has visto en el cine en este año?• ¿Con quién acostumbras ir al cine?

Amigos Familia (padres y hermanos) Primos

Hermanos Solo/Sola Otro

• ¿Qué tipo de películas prefieres ver?

Comedia Terror Drama Acción Suspenso

• Consideras que el precio para una función de cine es:

Muy barato Barato Adecuado Caro Muy caro

¿Por qué?• Cuando acudes al cine, la sala se encuentra:

Vacía Ocupada en un 25 % Ocupada en un 50 % Ocupada en un 75 % Ocupada en un 100 %

c) De las siguientes afirmaciones, subraya aquella o aquellas que, en tu opinión, son verdaderas. Argumenta tus respuestas dando datos o cifras que aparecen en las gráficas, y a partir de los resultados de tu encuesta.

• Actualmente a la gente no le gusta ir al cine.• La venta de boletos para el cine ha disminuido debido a su

costo.• Cada vez se proyectan más funciones debido a que se llenan las

salas.• Se ha incrementado el número de salas por la cantidad de

boletos que se venden.

Bloque 4

203

2. ✓ Cuando analizamos una situación, es conveniente relacionarla con información que esté a nuestro alcance, para poder compren- der mejor los datos que se nos presentan. Realiza las siguientes actividades y presenta tus conclusiones a tus compañeros:

a) Investiga cuántas salas de cine hay en tu localidad.b) Realiza las siguientes preguntas a tus compañeros de clase y

anota las respuestas en tu cuaderno; te recomendamos utilices una tabla de frecuencias para registrar la información.

• ¿Te gusta ir al cine? (Sí) (No) • ¿Con qué frecuencia asistes?

Cada 8 días Cada 15 días Cada 30 días Cada 60 días

Cada 90 días Cada 120 días Cada 365 días Otro

• ¿Cuántas películas has visto en el cine en este año?• ¿Con quién acostumbras ir al cine?

Amigos Familia (padres y hermanos) Primos

Hermanos Solo/Sola Otro

• ¿Qué tipo de películas prefieres ver?

Comedia Terror Drama Acción Suspenso

• Consideras que el precio para una función de cine es:

Muy barato Barato Adecuado Caro Muy caro

¿Por qué?• Cuando acudes al cine, la sala se encuentra:

Vacía Ocupada en un 25 % Ocupada en un 50 % Ocupada en un 75 % Ocupada en un 100 %

c) De las siguientes afirmaciones, subraya aquella o aquellas que, en tu opinión, son verdaderas. Argumenta tus respuestas dando datos o cifras que aparecen en las gráficas, y a partir de los resultados de tu encuesta.

• Actualmente a la gente no le gusta ir al cine.• La venta de boletos para el cine ha disminuido debido a su

costo.• Cada vez se proyectan más funciones debido a que se llenan las

salas.• Se ha incrementado el número de salas por la cantidad de

boletos que se venden.

Una gráfica de línea presenta la variación (o comportamiento) de un fenómeno o situación a través del tiempo. Es por esto que en el eje horizontal se representan unidades referidas al tiempo (como años,

meses, días, horas, etc.). En el eje vertical se anota el rango de valores con que varía el fenómeno que se representa (por ejemplo, las ventas de un almacén a lo largo del año o las temperaturas que se registraron durante el verano pasado).

Cuando se desea conocer un fenómeno más profundamente, pueden utilizarse varias gráficas de línea que muestren diversos aspectos del mismo fenómeno.

3. ✓ Elabora gráficas de línea para presentar la información de la siguiente tabla:

Derechohabientes, médicos generales y consultorios deinstituciones del Sistema Nacional de Salud(IMSS, SSA, ISSSTE, SEDENA, PEMEX)

AñoDerechohabientes

(enmiles)Médicosgenerales Consultorios*

1995 45 700 32 000 43 700

1996 48 800 32 550 45 200

1997 51 400 32 500 47 500

1998 54 300 34 400 48 700

1999 57 000 55 800 49 900

2000 59 200 37 600 51 500

2001 58 900 37 100 51 600

2002 59 300 37 250 52 500

*Incluye consultorios generales, especializados, odontológicos y de urgencias.

Con base en tu trabajo:

a) Describe cuál ha sido el comportamiento de la cantidad de derechohabientes de 1995 a 2002.

b) ¿En qué porcentaje aumentó el número de consultorios de 1995 a 2002?

c) ¿Qué sucedió con el número de médicos generales en los años 2000, 2001 y 2002?

d) En 2003, ¿qué ocurrió con el número de derechohabientes y con el número de médicos? ¿Por qué crees que sucedió eso?

Tema 31

31.1. ¿Qué es una gráfica

de segmentos?

204

31Gráficas de segmentos

En bloques anteriores estudiaste fenómenos que pueden representarse totalmente mediante una recta. Sin embargo, existen otros que, por su comportamiento cambiante, se representan en forma gráfica con una sucesión de segmentos de recta. En esta lección analizarás algunos ejemplos

de estos fenómenos o situaciones.

Irene va a visitar a su amiga Karina. Sale de su casa y, al poco rato de caminar, se encuentra con Teresa, quien con gusto se ofrece a acom-pañarla. Siguen las dos caminando y platicando hasta llegar a casa de Karina.

Completa esta historia tomando como base la información que presenta la gráfica.

0

200

1200

1000

800

600

400

1 2

Dis

tan

cia

des

de

la c

asa

(m)

Tiempo (h)


a) ¿A qué distancia de la casa de Irene está la casa de Karina?b) ¿Cuánto tiempo estuvo Irene fuera de su casa?c) ¿Cuánto tiempo después de haber empezado su trayecto, Irene

encontró a Teresa?d) ¿Qué distancia había caminado Irene cuando encontró a Teresa?e) ¿Qué distancia caminaron juntas Irene y Teresa para llegar a casa de

Karina?f) ¿Caminó más rápidamente Irene: cuando iba sola o cuando la acom-

Te sugerimos leer:

“La gráfica de velocidades”, en J. A. de la Peña, Matemáticas y vida cotidiana, pp. 18 y 19.

Bloque 4


1.0

7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

Dis

tan

cia

(m)

Tiempo (s)

205

pañó Teresa? ¿En qué razones basas tu respuesta? Coméntalas con un compañero o compañera.

g) ¿Cuánto tiempo estuvieron de visita en casa de Karina?h) ¿Cuánto tiempo tardó Irene en llegar desde su casa a la de Karina?i) ¿Cuánto tiempo tardó Irene en regresar desde la casa de Karina a su casa?j) En promedio, ¿cuándo caminó más rápido: en la ida o en el regreso?

1. ✓ La siguiente gráfica describe el movimiento de un gato que se pasea por el parque. Utiliza la información que se da en ella para contestar las preguntas que se plantean.

a) ¿Cuál fue la distancia total recorrida por la mascota?b) ¿En cuánto tiempo la recorrió?c) ¿Cuántos metros recorrió en los primeros 4 segundos? d) ¿En qué momento se movió con mayor rapidez: durante los primeros

2 segundos o en los últimos 8 segundos?e) ¿Hubo algún momento en que se detuviera?f) Si se detuvo en algún momento, ¿durante cuánto tiempo lo hizo?g) Utiliza la información que da la gráfica para completar la tabla de

abajo.h) Escribe una historia que corresponda a la gráfica.

Antesdeldescanso

Despuésdeldescanso

Tiempoquecaminó

Distanciaquerecorrió

Tema 31

206

2. ✓ En la siguiente gráfica se muestra el desplazamiento de un ratón que corre por un túnel angosto y recto. (El origen es la entrada del túnel.)

1.0

7.06.05.04.03.02.0

0 2 4 65 7 81 3

Mag

nit

ud

del

des

pla

zam

ien

to (

m)

Tiempo (s)

a) ¿Cuánto tiempo permanece el ratón en el túnel?b) ¿Cuántos metros recorrió en total?c) ¿En qué momento comenzó a moverse el roedor?d) ¿En qué parte del túnel estaba el ratón cuando empezó a moverse?e) ¿Cuántos metros avanzó por el túnel?f) ¿Descansó en algún momento? ¿Por cuánto tiempo?g) En cierto momento, el ratón decidió salir corriendo del túnel.

¿Cuánto tiempo duró la carrera hasta la entrada del túnel?

Muchos fenómenos de la vida real pueden describirse mediante una recta en el plano cartesiano. En ocasiones se dan cambios en el comportamiento del fenómeno que no pueden ser descritos por una sola recta, pero sí por

una sucesión de segmentos de recta.Por ejemplo, ¿cómo varía la cantidad de agua que

hay en una cisterna, de acuerdo con la información de las siguientes gráficas?

La primera gráfica describe lo que sucedió en la cisterna durante los primeros 15 minutos: la cisterna vacía recibió agua de manera regular (20 litros por minuto), de modo que a los 15 minutos ya tenía 300 litros.

La segunda gráfica representa lo que sucedió en 40 minutos: en los primeros 15, la cisterna llegó a tener 300 litros; los conservó por 5 minutos, pero en los siguientes 25 se vació totalmente. El primer segmento representa una función creciente; el segundo, una función constante, y el tercero, una función decreciente.

1

0 5 1510

3

2

Cant

idad

de

agua

(mile

s de

litr

os)

Tiempo (min)

1

0 5 40353025201510

3

2

Cant

idad

de

agua

(mile

s de

litr

os)

Tiempo (min)

BLOQUE5


Que los alumnos:

1. Resuelvanproblemasqueimplicaneluso

desistemasdedosecuacioneslineales

condosincógnitas.

2.Determineneltipodetransformación

(traslación,rotaciónosimetría)que

seaplicaaunafiguraparaobtenerla

figuratransformada.

3.Identifiquenyejecutensimetríasaxiales

ycentralesycaractericensusefectos

sobrelasfiguras.

4.Resuelvanproblemasqueimplican

calcularlaprobabilidaddedoseventos

quesonmutuamenteexcluyentes.

207

P Proyecto

Experimento acerca del movimiento uniforme de un objeto

En la asignatura de Ciencias, revisa la noción de movimiento uniforme, en el tema “El movimiento. La descripción de los cambios en la naturaleza”. Diseña y realiza un experimento acerca del movimiento uniforme. Presenta tus resultados ante el grupo, mediante tablas y gráficas de funciones lineales.

¿Cómo encontró el conde Buffon el valor de ?

BLOQUE

5

Hay una manera extraña de calcular el valor de : dejando caer un palillo de dientes sobre una superficie plana dividida por líneas paralelas. Las líneas deben estar separadas entre sí por una distancia D y el palillo de dientes debe tener una longitud L igual a la distancia D. Considera que la caída es favorable si el palillo cae transversal a una línea, y desfavorable si cae entre dos líneas. Una forma sencilla de realizar el experimento consiste en lo siguiente: dibujar las líneas en el piso; arrojar el palillo varias veces al piso; llevar la cuenta de las veces que se arroja el palillo y de las veces que cae transversal a una línea; multiplicar por 2 el número de veces en que se arrojó el palillo y dividir el producto entre el número de veces en que cayó transversal a una línea. Por ejemplo, supongamos que el palillo se arrojó 75 veces al piso, y que cayó transversalmente a una línea en 48 ocasiones. Se multiplica 75 × 2 = 150, se divide 150 ÷ 48 y se obtiene 3.12, valor muy aproximado al de . En el siglo xviii, el conde Buffon, naturalista francés, encontró que, a medida que aumentaba el número de pruebas, más se acercaba al valor de , hasta tres cifras decimales. En consecuencia, la probabilidad de una caída favorable es 2/.

L

DL = D

= 3.1415926535897932384...

208

Bloque 5

32.1. ¿Qué es un sistema

de ecuaciones?

209

Juan tiene una bolsa de canicas grandes y otra de canicas pequeñas. Las dos juntas pesan 138 g. La bolsa de canicas grandes pesa 12 g más que la de canicas pequeñas. ¿Cuánto pesa cada bolsa?

32Sistemas de ecuaciones linealescon dos incógnitas

Hasta este momento del curso has resuelto situaciones mediante ecuaciones lineales con una incógnita. Sin embargo, hay otras situaciones cuya solución se facilita si se usan simultáneamente dos ecuaciones con dos incógnitas. En las siguientes cinco sesiones aprenderás a utilizar esta poderosa

herramienta algebraica.


a) ¿Se mantendrá en equilibrio la balanza A si agregas a cada platillo las bolsas y pesas de la balanza B, como se indica en la figura C?

b) Observa la figura C. ¿Cómo puedes saber el peso de cada bolsa?

g p

A

g p

B

138 12

g g p p

C

138 12

c) ¿Se mantendrá en equilibrio la balanza C si quitas de cada uno de sus platillos la bolsa de canicas pequeñas?

d) ¿Cuánto pesan juntas las dos bolsas de canicas grandes?e) ¿Puedes saber ahora cuánto pesa una bolsa de canicas grandes?f) ¿Cuánto pesa una bolsa de canicas pequeñas?

Tema 32


210

g) Supón que x representa el peso de una bolsa de canicas pequeñas, y y, el peso de una bolsa de canicas grandes. Por tanto, la ecuación x+y = 138 indica la situación de la balanza A. ¿Cómo se indicaría la situación de la balanza B?

h) ¿Cómo representas con un par de ecuaciones el problema inicial de Juan?

i) ¿Cuál es el valor de las variables x y y en esta situación? Comenta tus respuestas con un compañero o compañera, y luego

con el grupo.

1. ✓ Representa, mediante dos balanzas en equilibrio, cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) x + y = 18 x = 7

b) 2x + y = 130 x + y = 80

c) x + 2y = 20 2x + 2y = 30

d) x + 2y = 20 2x = 2y + 4

2. ✓ En las balanzas del problema anterior, realiza las transformaciones que sean necesarias para hallar la solución de cada sistema de ecuaciones. Trabaja en tu cuaderno.

3. ✓ Resuelve los siguientes problemas:

a) Dos tornillos y una tuerca pesan 130 g. Un tornillo y una tuerca pesan 80 g. ¿Cuánto pesa cada tornillo y cada tuerca?

= 130 g = 80 g

b) Juan tiene monedas de dos denominaciones. En la mano izquierda tiene 2 monedas de una denominación y 4 de otra, que hacen un total de $ 24. En la derecha tiene 5 monedas de la primera denominación y 4 de otra, que hacen un total de $ 30.

Al par de ecuaciones que representa el problema de Juan se le llama sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

Bloque 5

211

32.2. El método de sustitución

Elena compró 2 blusas y 3 faldas en $ 300. Si cada blusa cuesta $ 25 más que cada falda, ¿cuánto cuesta cada prenda?


a) La situación puede representarse mediante un par de balanzas. ¿Qué ecuación puedes asociar a cada balanza?

b) Si, en lugar de cada una de las 2 blusas que están en el platillo izquierdo de la balanza A, colocas su equivalente (1 falda y $ 25), ¿qué quedaría en ese platillo? ¿Cuál sería su costo?

c) ¿Sabes ahora cuánto cuesta 1 falda? ¿Y 1 blusa?d) Si x representa el costo de una blusa, y y, el de una falda, la ecuación

que representa la situación de la balanza A es: 2x + 3y = 300. ¿Con qué ecuación se representa la situación de la balanza B?

e) ¿Cómo representas algebraicamente las acciones que realizas en las balanzas para hallar el costo de cada prenda?

f) ¿Cuánto cuesta cada prenda?

b b f f f $ 300

b $ 25f

A

B

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones

lineales con dos incógnitas, es un par de valores que hace que ambas ecuaciones se satisfagan; es decir, al sustituir las incógnitas por sus valores respectivos, los miembros de cada ecuación se vuelven expresiones aritméticas equivalentes.

La representación algebraica de las acciones realizadas en la balanza para hallar los valores desconocidos del problema (el costo de cada prenda), recibe el nombre de método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones.

Melina le dice: “Para que en tu mano derecha quede la misma cantidad de dinero que tienes en la izquierda, dame las monedas sobrantes.” ¿De qué denominación serían esas monedas?


Tema 32

212

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a) 2x + 3y = 19 x = 26 – 7y

b) 3x + 2y = 41 x = 3y – 1

c) x = 35 – 4y 3x + 2y = 55

d) x = 2 + 2y 6x + 5y = 47

2. ✓ Propón un ejemplo de sistema de ecuaciones, de modo que los valores de x y y sean 5 y 3, respectivamente.

3. ✓ Resuelve cada uno de los siguientes problemas mediante un sistema de ecuaciones.

a) El perímetro de un terreno rectangular es de 58 m. El largo es 7 m mayor que el ancho. ¿Cuáles son los valores de las dos dimensiones?

b) En cierto triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales es 15° mayor que el tercer ángulo. ¿Cuánto miden los tres ángulos? (Ayuda: utiliza el hecho de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.)

c) Perla tiene 5 años menos que René. Dentro de 3 años, René tendrá el doble de la edad de Perla. ¿Qué edad tienen actualmente?

d) Dentro de 5 años, mi abuelito tendrá cuatro veces mi edad. Hace 5 años tenía siete veces mi edad. ¿Qué edad tenemos él y yo?

e) La suma de dos fracciones es 56

. Si al triple de la menor se le

resta 12

, la diferencia es 12

. ¿Cuáles son las fracciones?

f) La suma de dos decimales es 4.04. Si al mayor se le resta el doble del menor, la diferencia es 1.01. ¿Cuáles son los números?

g) Adriana y Lidia midieron el ancho de una cancha de basquetbol, y era de 3 m menor que su largo. Si el perímetro era de 88 m, ¿cuál es el largo y ancho de la cancha?

32.3. El método de igualaciónJulia encuentra la siguiente relación entre los pesos de latas de

sardinas y angulas:

• Una lata de sardinas se equilibra con tres de angulas y 45 g.• Una lata de sardinas también se equilibra con dos latas de angulas

y 110 g.

Bloque 5


A B

213

¿Cuánto pesa cada lata?


a) ¿Qué sucede si sustituyes la lata de sardinas de la balanza B por tres de angulas y 45 g? ¿Seguirá en equilibrio la balanza B?

b) ¿Qué otras acciones puedes realizar en la balanza B para dejar en el platillo de la izquierda una lata de angulas, y que además la balanza siga en equilibrio?

c) ¿Cuánto pesa cada lata de angulas? ¿Cuánto pesa cada lata de sardinas?d) Si x representa el peso de una lata de angulas, y y, el de una lata de sardinas,

la ecuación que representa la situación de la balanza A es: y = 3x + 45. ¿Con qué ecuación se representa la situación de la balanza B?

e) ¿Cómo representas algebraicamente las acciones que realizas en las balanzas para hallar el peso de cada lata?

f) ¿Cuánto pesa cada lata?

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

a) y = 2x – 3 y = 3x – 8

b) x = 3y + 14 x = 5y + 22

c) a = 23 – 4b a = 3b – 12

d) m = 8n – 3 m = 28n – 52

e) m = n – 2 m = 2n – 7

f) a = b + 25 a = 2b + 5

2. ✓ Resuelve los siguientes problemas:

a) La mamá y el papá de Carmen tienen la misma edad. Ella tiene el doble de la edad de Carmen y 7 años más. Él tiene el triple de la edad de Carmen menos 7 años. ¿Qué edad tienen Carmen y sus padres?

b) Efectué una división y obtuve 9 de cociente y 1 de residuo. Halla el dividendo (x) y el divisor (y) sabiendo que la suma de ellos es 171.

La representación algebraica de las acciones realizadas en las balanzas para hallar los valores desconocidos del problema (el peso de una lata de sardinas y el de una lata de angulas) recibe el nombre de método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones.

Recuerda que el cociente, por el divisor, más el residuo, es igual al dividendo.

9y x

1

Tema 32

C

50

A

60

214

A

60

B

25


a) ¿Qué acciones deben realizarse en las balanzas para que, a final de cuentas, nos quedemos con una sola balanza en la que podamos ver el peso de una canica?

b) Si se duplica el contenido de cada platillo de la balanza B, se conserva el equilibrio y quedaría como se ve en la balanza C. ¿Ves alguna diferencia entre la balanza A y la balanza C?

c) Con esta información, ¿puedes saber cuánto pesa una canica pequeña?

32.4. El método de reducción

Dos canicas grandes y tres pequeñas pesan 60 g (balanza A); una canica grande y una pequeña pesan 25 g (balanza B). ¿Cuánto pesa cada canica?

d) Si x representa el peso de una canica grande, y y, el de una canica pequeña, la ecuación que representa la situación de la balanza A es: 2x + 3y = 60. ¿Con qué ecuación se representa la situación de la balanza B?

e) ¿Cómo representas algebraicamente las acciones que realizas en las balanzas para hallar el peso de cada canica?

f) ¿Cuánto pesa cada canica?

La representación algebraica de las acciones realizadas en las balanzas para hallar los valores desconocidos del problema (pesos de una canica grande y una pequeña) recibe el nombre de método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones.


215

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

a) x + y = 6 3x – y = 2

b) –a + b = –2 a + 3b = 6

c) m + n = 3 m + 2n = 4

d) x + 2y = 3 x + 3y = 4

e) 5r + 2s = 20 5r + 3s = 25

f) 2x – 3y = 0 2x + 3y = 12

2. ✓ Resuelve los siguientes problemas mediante un sistema de ecuaciones. Utiliza el método de resolución que te parezca más adecuado.

a) En una papelería, un cliente paga $ 171.50 por 25 lápices y 4 cuadernos. Otro cliente paga $ 133.50 por 15 lápices y 6 cuadernos. Si yo pido 40 lápices y 5 cuadernos, ¿cuánto debo pagar?

b) La asistencia a un juego fue de 250 personas. El boleto de admisión para adultos costó $ 100, y el de niños, $ 50. Si la recaudación fue de $ 21 000, ¿cuántos adultos y cuántos niños pagaron boleto?

3. Contesten en equipo las siguientes preguntas. Después, comenten sus conclusiones con el resto del grupo.

a) Expliquen por qué el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución.

a + 2b = 12a + 2b = 6

b) Expliquen por qué el siguiente sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones.

x + 3y = 52x + 6y = 10

c) Obtengan los valores de x y y en el sistema de ecuaciones siguiente:

ax + by = cdx + ey = f

Tema 32

216

32.5. Actividades sobre sistemas

de ecuaciones1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Utiliza el método de

resolución que te parezca más adecuado.

2. ✓ Resuelve los siguientes problemas mediante un sistema de ecuaciones. Utiliza el método que te parezca más adecuado.

a) Se tienen trozos de cartulina rectangulares con las dimensiones que se muestran en las figuras. Si el perímetro de la primera es de 80 cm y el de la segunda es de 100 cm, ¿cuánto miden de largo y de ancho cada una?

a) x – y = 2 2x + 3y = 19

b) 5a + 3b = 13 5a – b = –11

c) 3x + 5y = 5 4x – 9y = –56

d) 2a – 2b = –5 3a + 4b = –11

e) r = s + 8 r = 2s + 11

f) 4b = 3a – 4 4b = 5a – 20

g) 11m = 4n – 6 11m = 9n – 41

h) 5r = s r = 2s – 18

i) 4s = r s = 3r – 55

j) y = 1 + 4x 2x + 5y = 27

k) y = 25 – 5x

6x + 5y = 46

l) 2c + d = 8 3c – d = 7

m) c – 2d = –6 c + 4d = 12

n) 4x + y – 11 = 0 5x + 3y – 19 = 0

x

x y yP= 80 cm

x

x x yP=100 cm

Bloque 5

217

x x

x

xy

y

y

y

x–y

x–y

b) El perímetro exterior del siguiente cuadrado es de 40 cm, y el interior, de 24 cm. Halla los valores de x y y.

c) Un número de dos cifras puede expresarse como 10d + u, donde d es la cifra de las decenas, y u, la cifra de las unidades. Encuentra un número de dos cifras que sumen 9, de manera que la diferencia entre dicho número y el que resulta de invertir las dos cifras sea 45.

3. ✓ Escribe un problema que pueda resolverse mediante el siguiente sistema de ecuaciones. Comenta el problema que propusiste y la forma de resolverlo con los demás compañeros del grupo.

2x – y + 9 = 06x + 12y + 42 = 0

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se resuelve transformando el sistema en una sola ecuación con una

incógnita. Esto puede hacerse mediante cualquiera de los siguientes tres métodos:

• El método de sustitución, que consiste en tomar el valor de una de las incógnitas en una ecuación y sustituirlo en la otra; de esta manera, sólo queda una ecuación con una incógnita.

• El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en tomar el valor de una de las incógnitas en cada ecuación y con esos valores establecer una sola ecuación con una sola incógnita.

• El método de reducción para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en transformar una de las ecuaciones de modo que, al sumarla a la otra (o restarla de la otra), quede una sola ecuación con una incógnita.

Tema 33

33.1. Simetrías

218

La figura B se obtuvo a partir de la figura A.

33Movimientos en el plano

Una manera de descubrir algunas propiedades de una figura geométrica consiste reflejarla con respecto a un punto o una recta o moverla en una cierta dirección, y observar lo que cambia y lo que permanece invariable. Las siguientes tres lecciones tratan acerca de las transformaciones

a que puede someterse a las figuras sin modificar su forma ni su tamaño.

A

B

¿Qué transformaciones hubo que hacer a la figura A para obtener la B?


a) ¿Qué figura se obtiene al dibujar la simétrica de la figura A con respecto a un eje horizontal? Trázala.

b) ¿Y con respecto al eje vertical? Trázala también.

Te sugerimos leer:

“De atrás hacia delante y de arriba hacia abajo”, en N. Langdon, et al., El fascinante mundo de las matemáticas, pp. 16 y 17.

Bloque 5


219

c) ¿Y al reflejarla dos veces, primero con respecto de un eje de simetría horizontal y luego con respecto a un eje vertical? ¿Se obtuvo la figura B?

90°

90°O

d) ¿Qué sucede si se gira sucesivamente, en torno a un punto O con un ángulo de 90°?

e) ¿Con qué transformaciones se pudo obtener la segunda figura a partir de la primera?

f) ¿La figura tiene simetría central, simetría rotacional o ambas sime- trías?

g) ¿Qué tipo de simetría tiene un hexágono regular? ¿Y un triángulo equilátero?

B

BO

A

A

C' B'

A'

C

C

1. Dibuja un cuadrado y traza sus diagonales. Al punto en que se cortan las diagonales le llamaremos O.

a) Selecciona un punto cualquiera A del cuadrado de la derecha y traza el segmento AA’ que pase por O. Usa un compás para medir los segmentos AO y OA’. ¿Son iguales o diferentes?

A

O

A'

Simetría axial. Una figura plana tiene esta propiedad si existe una recta que la divide en dos partes idénticas, de tal manera que al doblar a lo largo de la recta, las dos partes coincidirán perfectamente.Simetría central. Una figura plana tiene esta propiedad si existe un punto O tal que, al reflejar cada punto de la figura con respecto a O, la reflexión está sobre la misma figura.Simetría rotacional. Una figura plana tiene esta propiedad, si no cambia su apariencia al girarla en torno de un punto con ángulo distinto de 180º.

Tema 33

220

b) ¿Habrá otros segmentos BB’, CC’, etc., que pasen por O, de modo que BO = OB’, CO = OC’, etc.?

c) ¿Qué tipo de simetría tiene el cuadrado?

2. ✓ Dibuja un rectángulo y traza sus diagonales; llama O al punto en que se cortan sus diagonales.

a) Selecciona algunos puntos A, B, C,… cualesquiera en uno de los lados del rectángulo, y traza los segmentos AA’, BB’, CC’, etc., que pasen por O. Usa un compás para medir los segmentos AO y OA’. ¿Son iguales o diferentes?

A

O

A'

1

1 2 3 4 5 0 –1

–1 –2 –3 –4 –5

–2

–3

–4

–5

2

3

B

AC

4

5 II I

III IV

y

x

a) Compara las coordenadas de los vértices de una y otra figura. ¿Qué relación hay entre ellas?

b) ¿Qué tipo de simetría tiene el rectángulo?

3. ✓ Traza la figura simétrica al triángulo rectángulo con respecto al origen del plano cartesiano. Anota las coordenadas de los vértices del triángulo ABC y las de su simétrico A’B’C’.

Bloque 5

221

b) ¿Ocurrirá lo mismo si trazas otra figura en el primer cuadrante y su simétrica con respecto al origen del plano cartesiano. Hazlo en tu cuaderno.

c) Verifica que el triángulo resultante A’B’C’ puede obtenerse también girando 180° el triángulo original con respecto al origen del plano cartesiano.

33.2. Composición de

reflexionesLas rectas l y m son paralelas, y están separadas 4 cm entre sí. Si

reflejas el triángulo XYZ, primero sobre la recta l, y luego la figura resultante la reflejas sobre la recta m, ¿qué posición final tendrá el triángulo?

Y

Z

X

l m

2.5 cm

1.5 cm

1.5 cm4 cm


a) Refleja el triángulo XYZ con respecto a la recta l, y llama X’Y’Z’ al triángulo simétrico de XYZ.

b) Ahora refleja el triángulo X’Y’Z’ sobre la recta m, y llama X’’Y’’Z’’ al triángulo simétrico de X’Y’Z’.

c) Mide las distancias entre los vértices X y X’’, Y y Y’’, y Z y Z’’. ¿Qué relación encuentras entre estas distancias y la que separa a las paralelas l y m?

d) Mide los ángulos del triángulo XYZ y compara estas medidas con los ángulos correspondientes del triángulo X’’Y’’Z’’. ¿Son iguales o diferentes?

e) Compara las longitudes de los lados del triángulo XYZ con las de los lados correspondientes del triángulo X’’Y’’Z’’. ¿Son iguales o diferentes?

Un punto P es simétrico a un punto P’ respecto a una recta l, si l corta perpendicularmente al segmento PP’ en su punto medio; en particular, P y P’ equidistan de l.

l

P P'

Dos figuras F y F’ son simétricas con respecto a una recta l, si F está formada por los puntos simétricos a los de F, respecto a l.

A A'

B B'

C

l

C'

D D'

F F'

Decimos que las figuras tienen simetría axial, y a la recta l se le llama eje de simetría.En consecuencia, el eje de simetría corta en el punto medio a los segmentos que unen dos puntos simétricos.

Tema 33


222

f) Une con segmentos los vértices X y X’’, Y y Y’’, y Z y Z’’, y compara sus longitudes. ¿Son iguales o diferentes?

g) ¿Qué relación guardan estos segmentos con respecto a las paralelas l y m?

h) ¿Qué relación guardan los segmentos entre sí? ¿Son paralelos? i) Ahora, a la inversa: si reflejas el triángulo X’’Y’’Z’’ primero sobre

la recta m y luego sobre la recta l, ¿qué posición tendrá el triángulo que se obtiene?

1. ✓ Realiza en tu cuaderno las siguientes actividades:

a) Las rectas l1 y l2 son paralelas. Refleja la figura dada usando a l1 como eje de simetría. Luego, refleja la figura resultante usando a l2 como eje de simetría. ¿Qué efecto tuvieron las dos reflexiones sobre la figura dada?

l1 l2

m1

m2

O

b) Las rectas m1 y m2 son secantes. Refleja la figura dada usando a m1 como eje de simetría. Luego, refleja la figura resultante usando a m2 como eje de simetría. ¿Qué efecto tuvieron las dos reflexiones sobre la figura dada?

Bloque 5

223

c) Las rectas n1 y n2 son perpendiculares. Refleja la figura dada usando a n1 como eje de simetría. Luego, refleja la figura resultante usando a n2 como eje de simetría. ¿Qué efecto tuvieron las dos reflexiones sobre la figura dada?

n1

n2O

a)

b)

2. ¿Cuál es la siguiente figura de cada secuencia. No la dibujes; descríbela a un compañero o compañera.

m

n

x

y

P Q

S O R

33.3. Actividades sobre

movimientos en el plano

1. Refleja el romboidePQRS con respecto a la recta m para obtener el romboide P’Q’R’S’. Luego refleja la figura resultante usando a n como eje de simetría para obtener el romboide P’’Q’’R’’S’’.

¿Hay alguna otra forma de trasladar el romboide PQRS directamente al romboide P’’Q’’R’’S’’?

Tema 33

224

2. Analiza la siguiente ilustración. Luego, contesta las cuestiones que se plantean.

A

C C'

BB'

a) ¿Tiene simetría axial la figura A? ¿Tiene simetría central?b) ¿Qué transformación debe hacérsele al cuadrado B para obtener

el cuadrado B’?c) ¿Y a la figura C para obtener la C’?d) Colorea un par de figuras que tengan simetría axial y traza el eje

de simetría.e) Colorea otro par de figuras que tengan simetría central y marca

el centro de simetría.

3. ✓ Analiza la siguiente ilustración para realizar la actividad que se propone.

Colorea pares de figuras que tengan eje de simetría, y pares de figuras que tengan simetría central. Compara tus resultados con los de tus compañeros del grupo.

Bloque 5

225

4. Encierra en un círculo pequeño el centro de simetría de las siguientes figuras:

a) b)12

6

3 9

c) d)

a) Verifica con compás que, al reflejar punto por punto cada figura con respecto a su centro de simetría, la reflexión está sobre la misma figura.

b) Comprueba, además, que al girar 180° cada una de ellas en torno a su centro de simetría, la figura girada cae sobre la original coincidiendo en todos sus puntos.

5. Para cada inciso, calca la figura en papel transparente. Colócala encima de la figura del libro y clava un alfiler en el centro de simetría de ambas figuras.

a) Si das un giro completo a la figura copiada, ¿en cuántas ocasiones coinciden las partes de ambas figuras?

b) ¿Cuáles de estas figuras tienen sólo simetría rotacional?

Una figura tiene centro de simetría si existe un punto O tal que, al reflejar cada punto de la figura con respecto a

O, la reflexión está sobre la misma figura. En este caso se dice que la figura tiene simetría central. Observa:

A

O

A'

A'

O

A

A

O

A'

Se ha girado 180°

Tema 1

34.1. Resolución gráfica de un

sistema de ecuaciones

34Gráfica de un sistema de ecuaciones

Un aspecto muy importante en el estudio de las Matemáticas es poder visualizar los problemas en dibujos, esquemas, diagramas o gráficas, porque estos recursos nos guían en su resolución, sin que nos perdamos en cálculos largos y fatigosos. En esta lección aprenderás a utilizar las gráficas en el

plano cartesiano, para encontrar e interpretar la solución de un sistema de dos ecuaciones.

Te sugerimos leer:

“Sistemas de ecuaciones lineales”, en C. Bosch et al., Una ventana a las incógnitas, pp. 44 y 45.

226

Una figura tiene simetría de rotación si no cambia de apariencia cuando el giro que se le da en torno de un punto O no es de 180°.

Por ejemplo, un pentágono regular tiene simetría de rotación: al girarlo 72° en torno del punto O, cae sobre sí mismo.

C B

A

E

D O

B

Se ha girado 72°

A

E

D

C O

C B

A

E

D O

Se le llama composición de reflexiones a dos reflexiones sucesivas.Si una figura se refleja sucesivamente sobre dos rectas paralelas, el resultado es una

traslación. La distancia que separa a la figura original y la trasladada es el doble de la distancia que separa a las rectas paralelas.

En una composición de reflexiones, se conservan las medidas de los lados y de los ángulos de las figuras. Asimismo, se mantiene la colinealidad; esto es, si tres puntos están alineados en la figura original, en la trasladada también lo están.

Estoy pensando en dos números. La suma de ellos es 10. Si al mayor le resto el menor, obtengo 2. ¿Cuáles son los números?


a) Copia la tabla de la página siguiente en tu cuaderno. Anota en ella algunos ejemplos de números que sumen 10.

Bloque 5Primernúmero

Segundonúmero

Suma 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Númeromayor

Númeromayor

Diferencia 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

227

–2 –1 –1 –2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8

AB

C

D EF

9 10 11 12 13

b) Si x representa el primer número, y y, el segundo, ¿qué ecuación representa la suma de ellos?

c) La siguiente gráfica representa los números que suman 10. Por ejemplo, el punto A representa al par (8, 2), esto es, x = 8, y = 2. ¿Qué par de números representa al punto B?

d) ¿Hay algún punto de la gráfica que represente un par de números fraccionarios que sumen 10? ¿Cuál?

e) ¿Hay algunos puntos de la gráfica que representen una combinación de números positivos y negativos que sumen 10? ¿Cuáles son?

f) Ahora copia la siguiente tabla. Anota en ella algunos ejemplos de números tales que, al restar del mayor el menor, se obtenga 2.

Tema 34

228

–2 –1 –1 –2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8

M

L

KJ

IH

G

9 10 11 12 13

g) Si x representa el número mayor, y y, el menor, ¿qué ecuación representa la resta del mayor menos el menor?

h) En el siguiente plano cartesiano se ha agregado la gráfica que representa los números que al restarse dan 2. Por ejemplo, el punto G representa al par (4, 2), esto es, x = 4, y = 2. ¿Qué par de números representa al punto H?

i) ¿Hay algún punto de la gráfica que represente un par de números fraccionarios que al restarse den 2? ¿Cuál es?

j) ¿Hay algunos puntos de la gráfica que representen una combinación de números positivos y negativos que al restarse den 2? ¿Cuáles son?

k) ¿Hay algún punto de la gráfica que represente un par de números negativos que al restarse den 2? ¿Cuál es?

l) ¿Hay algún punto de la gráfica que represente a los dos números que cumplen con las dos condiciones del problema: que sumen 10 y que su diferencia sea 2? ¿Cuál es?

m) ¿Qué valores tienen las coordenadas (x,y) de ese punto?n) Comprueba, por sustitución, que esos valores son la solución del

siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 10x – y = 2

Bloque 5


229

1. ✓ Analiza la gráfica que se muestra a continuación:

y

x0

4x+6y=60

5x+5y=60 (0, 10)

(0, 12)

2

4

6

8

10

12

14

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

a) Comprueba, por sustitución, que el par (6, 6) satisface la ecuación 5x + 5y = 60.

b) Comprueba que el par (6, 6) satisface la ecuación 4x + 6y = 60.c) Comprueba algebraicamente que el par (6, 6) es el único que

satisface ambas ecuaciones.d) La recta 5x + 5y = 60 corta al eje y en el punto (0, 12). ¿En qué

punto corta al eje x?e) La recta 4x + 5y = 60 corta al eje y en el punto (0, 10). ¿En qué

punto corta al eje x?f) ¿A cuál de las dos rectas pertenece el punto cuyas coordenadas

son (10.5, 1.5)?

2. ✓ Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones, y responde si tienen solución única, si no tienen solución o si tienen una infinidad de soluciones.

b) y = x + 3 y = x + 1

c) 2x + 2y = 2 x + y = 1

a) y = x + 1 y = 3 – x

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

b) 2x + y = 8 x + 2y = 7

c) 2x – y = 4 x – 2y = –1

a) x + y = 3 x – y = 1

Tema 34

230

4. ✓ ¿Cómo podrías explicar a un compañero o compañera que la solución del sistema de ecuaciones representado en el siguiente plano cartesiano, es x = 0, y = 0?

–2–3–5 –4 –1

–5–4–3–2–1

12345

y

x0 1 2 3 4 5

x+y=0

x–y=0

Al representar gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales, hay tres posibles situaciones, como se muestra en las siguientes figuras:

Recta 1

Recta 1

Recta 1

Recta 2

Recta 2

Recta 2

Solución

Exactamente 1 solución(rectas no paralelas)

Sin solución(rectas paralelas)

Número infinito desoluciones

(las rectas coinciden)

y

y

x

x

y

x

5. ✓ En un grupo de segundo grado de una escuela secundaria, el número de mujeres es el doble que el de varones. En total, el grupo consta de 48 estudiantes. La siguiente gráfica representa esta situación:

x

84

12162024283236404448 A

F

I

G

C

D

E

H

B

y

0 32 36 40 44 484 8 12 16 20 24 28

x+y=48

y=2x

a) El problema se refiere al número de mujeres y de varones. ¿Cuál de las dos variables, x o y, representa a las mujeres? ¿Y a los varones?

b) El problema establece dos condiciones: que el total de mujeres y varones del grupo es 48, y que el número de mujeres es el doble que el de varones. ¿Cuál de las dos rectas representa la primera condición?

Bloque 5

35.1. ¿Cuándo dos eventos de azar

son mutuamente excluyentes?

231

c) ¿Cuál representa la segunda condición?d) ¿Con cuál de las dos condiciones cumple el punto B?e) ¿Cuál de los puntos indica que el número de mujeres es 8, y el de

hombres, 40?f) ¿Cuál indica lo contrario: que son 40 mujeres y 8 hombres?g) ¿Cuál de los puntos cumple con las dos condiciones?h) De acuerdo con la gráfica, ¿cuál es la solución del sistema de

ecuaciones?

Una manera de resolver un sistema de ecuaciones consiste en trazar las gráficas de las ecuaciones, y encontrar las coordenadas del punto o puntos en que se

cortan.Este método se basa en el hecho de que el punto o puntos de intersección están en

ambas rectas y, por lo mismo, sus coordenadas son soluciones de las ecuaciones que corresponden a esas rectas.

35Eventos mutuamente excluyentes

Así como hay eventos de azar independientes (en los que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrir del otro: si la moneda ya cayó águila en 10 ocasiones, esto no impide que nuevamente caiga águila y que la probabilidad de que ocurra este evento sea 1/2), hay otros que

son mutuamente excluyentes. ¿Qué significa que dos eventos se excluyan mutuamente? Esto lo aprenderás en la presente lección.

En una caja tengo 4 canicas numeradas del 1 al 4, y realizo el siguiente experimento: saco una canica al azar, anoto su número y la regreso a la caja; saco otra canica, también al azar, y anoto su número. Quiero calcular lo siguiente:

• ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un 3 o salgan números mayores que 1 al extraer dos veces una canica de la caja?

• ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un 3 o no salga ningún 3 al extraer dos veces una canica?

Te sugerimos leer:

“La suerte y el riesgo”, en A. Jouette, El secreto de los números, pp. 109-116.

12

34

Tema 35

Segundaextracción

1 2 3 4

Primeraextracción

1 (1, 1)

2 (2, 3)

3

4

Segundaextracción

1 2 3 4

Primeraextracción

1 (1, 1)

2 (2, 3)

3

4

232


a) ¿Cuántos resultados diferentes se obtienen al sacar las dos canicas al azar? En la siguiente tabla aparecen dos de ellos. Cópiala en tu cuaderno y complétala anotando los resultados faltantes.

b) ¿Cuántos de estos resultados son favorables al evento “salir al menos un 3”? Márcalos con un color en la tabla anterior. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?

c) ¿Cuáles resultados son favorables al evento “salir números mayores que 1”? Márcalos con otro color en la misma tabla. ¿Coloreaste al-gunos resultados dos veces? ¿Por qué?

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento “salir números mayores que 1”? e) De los resultados de la tabla, ¿en cuántos se cumple la condición de

que haya salido al menos un 3 o de que los números sean mayores que 1? Enciérralos con una línea en la tabla. ¿Cuál es la probabili-dad de este evento?

f) Compara la probabilidad del evento “salir al menos un 3 o salir nú-meros mayores que 1”, con la siguiente suma de probabilidades:

P(salir al menos un 3) + P(salir números mayores que 1)

¿Son iguales o diferentes? ¿Por qué?g) Completa la siguiente tabla anotando los resultados diferentes que

se obtienen al sacar las dos canicas al azar.

Bloque 5


Múltiplosde5comprendidosdel1al50

Múltiplosde3comprendidosdel1al50

233

h) ¿Cuántos resultados de la tabla son favorables al evento “no salir nin-gún 3”? Márcalos con un color en la tabla? ¿Cuál es la probabilidad de este evento?

i) Usa un color distinto para señalar los resultados que son favorables al evento “salir al menos un 3”? ¿Coloreaste algunos resultados dos veces? ¿Por qué?

j) ¿Cuál es la probabilidad del evento “salir al menos un 3”?k) ¿En cuántos resultados de la tabla se cumple la condición de que

haya salido al menos un 3 o de que no haya salido ningún 3? En-ciérralos con una línea en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?

l) Compara la probabilidad del evento “salir al menos un 3 o no salir ningún 3”, con la siguiente suma de probabilidades:

P(salir al menos un 3) + P(no salir ningún 3)

m) ¿Los eventos “salir al menos un 3” y “salir números mayores que 1” son mutuamente excluyentes?

n) ¿Son mutuamente excluyentes los eventos “salir al menos un 3” y “no salir ningún 3”?

1. ✓ En una rifa participan los números del 1 al 50. ¿Cuál es la proba-bilidad de que gane un múltiplo de 5 o un múltiplo de 3?

a) ¿Cuántos múltiplos de 5 hay del 1 al 50? Anótalos en la tabla.

b) ¿Cuántos múltiplos de 3 hay del 1 al 50? Anótalos en la tabla.

Eventos mutuamente excluyentes. Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno descarta la posibilidad de que el otro ocurra.

Tema 35

234

c) Si el evento A es “salir premiado un múltiplo de 5” y el B es “salir premiado un múltiplo de 3”, ¿qué valores tienen las siguientes probabilidades?

P(A) = P(B) = P(A o B) =

d) ¿Son mutuamente excluyentes los eventos A y B?e) ¿Es verdadera o falsa la afirmación: P(A o B) = P(A) + P(B)?

Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

2. Considera el experimento de azar que consiste en lanzar tres monedas. Pon atención a los siguientes eventos:

A = “salen sólo águilas” B = “salen sólo soles” C = “sale al menos un águila” D = “sale al menos un sol”

a) ¿Cuántos resultados diferentes puede haber al lanzar tres monedas? Completa un diagrama de árbol como el siguiente para encontrarlos:

b) En cada resultado del diagrama de árbol, anota la letra del evento que cumple con los eventos enunciados. Por ejemplo, anota la letra A en los resultados que cumplen la condición de ser sólo águilas; la letra B, si son sólo soles, etcétera.

c) ¿Cuáles de estos resultados son favorables a cada uno de los eventos anteriores?

Bloque 5

235

Cuando la ocurrencia de un evento excluye la posibilidad de que ocurra otro, se dice que los eventos son mutuamente excluyentes.

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de las probabilidades de cada uno.

Por ejemplo, al lanzar una moneda, el evento “caer águila” excluye la posibilidad del evento “caer sol”; es decir, los eventos son mutuamente excluyentes.

En este caso, la probabilidad de obtener águila es 12

, la de obtener sol es

igualmente 12

, y la de obtener águila o sol es 1 1 + 2 2

= 1.

Simbólicamente, si A = salir águila y B = salir sol, y estos eventos son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B)

d) Calcula la probabilidad de los eventos siguientes:

• P(A) =

• P(B) =

• P(C) =

• P(D) =

e) Subraya los pares de eventos que sean mutuamente excluyentes:

A y B A y C A y D B y C B y D C y D

f) Subraya las afirmaciones que sean verdaderas:

• P(A o B) = P(A) + P(B)

• P(A o C) = P(A) + P(C)

• P(A o D) =P(A) +P(D)

• P(B y C) = P(B) + P(C)

• P(B y D) = P(B) + P(D)

• P(C y D) = P(C) + P(D)

Tema 35

¿Qué es una hoja electrónica de cálculo?

Una hoja electrónica de cálculo es un programa de computadora con el cual es posible manipular, mediante fórmulas, datos (numéricos o en forma de texto) colocados en una tabla.

Aun cuando en el mercado están disponibles diversos programas de este tipo, todos tienen el mismo funcionamiento básico.

Pantalla principal

La hoja electrónica de cálculo está formada por celdas. Cada celda corresponde a la intersección de una columna con una fila. Las columnas se identifican con letras mayúsculas, y las filas, con números. Por ejemplo, en la pantalla de la figura está seleccionada la celda A1.

Apéndice

Guía para el manejo de la hoja electrónica

de cálculo

236

Apéndice¿Cómo escribir textos y números?

Primero, coloca el puntero del mouse en la celda en que vas a escribir y da clic. Escribe el texto y oprime Enter.

Por ejemplo, en la figura, en la celda C3 se escribió la etiqueta número1, y en la celda C4, el número 6.

Ejercicio 1. En una hoja de cálculo nueva, escribe la etiqueta número2 en la celda D2, y el número 3 en la celda D3. Si lo deseas, practica escribiendo otros textos en distintos lugares.

¿Cómo realizar operaciones aritméticas?

Para que la hoja electrónica calcule operaciones aritméticas, selecciona la celda donde deseas que aparezca el resultado de la operación y escribe la expresión empezando con el signo “igual” (=). Por ejemplo, para calcular la suma 6 + 3, en la celda E3 se escribe = 6 + 3.

¿Qué sucederá en la pantalla al oprimir la tecla Enter? Te invitamos a que lo averigües.

Ejercicio 2. En una nueva hoja de cálculo, escribe en las celdas que se mencionan en la columna de la izquierda, lo que aparece en la columna de la derecha de la tabla 1. ¿Qué ocurre en cada caso después de oprimir Enter?

Tabla 1

Celda Escribe

F2 Diferencia

F3 =6–3

G2 Producto

G3 =6*3

H2 Cociente

H3 =6/3

I2 Potencia

I3 =6^3

237

¿Cómo crear fórmulas?

Para crear fórmulas, deberás relacionar las celdas que contienen los valores con que vas a operar. (Recuerda: una fórmula es una expresión algebraica que generaliza una situación.)

Por ejemplo, en la celda E4 se ha relacionado el contenido de las celdas C4 y D4, para calcular la suma de dos números.

Apéndice

Ejercicio 3. En una nueva hoja de cálculo, escribe en las celdas que se mencionan en la columna de la izquierda, lo que aparece en la columna de la derecha de la tabla 2.

a) ¿Qué sucede cada vez que oprimes Enter? ¿Por qué crees que ocurre eso?

b) Escribe el número 12 en la celda C4. ¿Notas algún cambio en las celdas F4, G4, H4 e I4?

c) Escribe el número 4 en la celda D4. ¿Qué ocurre con tu hoja de cálculo? ¿Obtuviste los resultados que esperabas?

Ejercicio 4. En una nueva hoja de cálculo, halla el perímetro y el área de 10 cuadrados que miden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 cm por lado, respectivamente. Podrías organizar la información como se muestra en la figura.

Ejercicio 5. En una nueva hoja de cálculo, halla el perímetro y el área de rectángulos; en cada caso, la altura es la mitad de la medida de la base. Considera los casos de rectángulos que miden 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 cm de base. (Sugerencia: en las celdas A2, B2, C2 y D2, escribe las palabras: Base, Altura, Perímetro y Área, respectivamente.)

Tabla 2

Celda Escribe

F4 =C4–D4

G4 =C4*D4

H4 =C4/D4

I4 =C4^D4

238

Para los alumnos

Anno, M., Elmisteriosojarrónmultiplicador, FCE, México, 2004.Blatner, D., ElencantodePi, Aguilar, México, 2003.Bosch, C. etal., Unaventanaalasformas, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2004.––––––, Unaventanaalinfinito, Biblioteca Juvenil Ilustrada, Santillana,

México, 2002.––––––, Una ventana a la incertidumbre, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.––––––, Una ventana a las incógnitas, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.Castelnuovo, E., Deviajeconlamatemática.Imaginaciónyrazonamiento

matemático, Trillas, México, 2001.De la Peña, J. A., Geometríayelmundo, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.––––––, Matemáticas y la vida cotidiana, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, Biblioteca

Juvenil Ilustrada, Santillana, México, 2002.Jouette, A., Elsecretodelosnúmeros, Ediciones Robinbook, Barcelona,

2000.Langdon, N. etal., Elfascinantemundodelasmatemáticas, SEP, México,

2004.Marván L. M., Representacionesnuméricas, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.––––––, Andreay las fracciones, Biblioteca Juvenil Ilustrada, Santillana,

México, 2002.Noreña, F. etal., Lamediciónylasunidades, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.Perelman, Y., Matemáticasrecreativas, Planeta, México, 2003.Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, Biblioteca Juvenil Ilustrada,

Santillana, México, 2002.––––––, Crónicas geométricas, Biblioteca Juvenil Ilustrada, Santillana,

México, 2002.Tahan, M., Elhombrequecalculaba, Noriega Editores, México, 1992.

Bibliografía recomendada

239

Para los profesores

Berlanga, R. y C. Bosch, Lasmatemáticas,perejildetodaslassalsas, FCE, México, 2003.

Clark, D., Evaluación constructiva en matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2002.

Gracián Rodríguez, E., DiccionarioAurochdeMatemáticas, Lukambanda Editorial, México, 2005.

Libroparaelmaestro.Matemáticas.Educaciónsecundaria. SEP, México, 2000.

Perelman, Y., Aritméticarecreativa, MIR, Moscú, 1986.Poskitt, K., Esacondenadamalasuerte, Molino, Barcelona, 2001.Santos, L.M. La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos

cognitivos, Biblioteca de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas, Trillas, 2007.

Segovia, I., Estimaciónencálculoymedida, Síntesis, Madrid, 1989.Struik, D., Historia concisa de las matemáticas, Consejo editorial del

IPN, México, 1980.Tonda, J. y F. Noreña, Losseñoresdelcero.Elconocimientomatemático

enMesoamérica, Pangea Editores, México, 2001.Ursini, S. etal., Enseñanzadelálgebraelemental.Unapropuestaalter-

nativa, Biblioteca de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas, Trillas, México, 2005.

Videos

Elmundodelasmatemáticas, El video en el aula, Video SEP.Resuélvelo, El video en el aula, Video SEP.

Bibliografía consultada

Batanero, Ma. C. etal., Razonamientocombinatorio, Síntesis, Madrid, 1996.Bricio Hernández, D., Estadísticadescriptiva, Limusa, México, 1983.Castelnuovo, E., Didácticadelamatemáticamoderna, Trillas, México,

2004.Chamoso, J. etal., Contandolageometría, Nivela Libros y Ediciones, España,

2004.Chevalard, Bosch y Gascón, Estudiarmatemáticas, Biblioteca del Normalista de

la SEP, México, 1998.Díaz, J. etal., Azaryprobabilidad, Síntesis, Madrid, 1987.INEGI, MujeresyhombresenMéxico2005, 9a. ed., México, 2006.Moise y Downs, Geometría, Serie Matemática Moderna, Fondo

Educativo Interamericano, Colombia, 1972.Paulos, J.A., Elhombreanumérico, Tusquets Editores, España, 1990.––––––, Másalládelosnúmeros, Tusquets Editores, España, 1993.Peterson y Hashisaki, Teoríadelaaritmética, Limusa, México, 1993.

240

ISBN-978-968-24-8523-7

www.trillas.com.mx

Fortino EscareñoOlga Leticia López

2MATEMÁTICASMATEMÁTICAS 2

Fortino Escareño • Olga Leticia López

Matemáticas 2 ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas, que consiste en proponer actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos, y que los inviten a reflexionar y a encontrar distintas formas de solucionar los problemas con argumentos

que respalden sus resultados.La obra consta de 5 bloques y cada lección inicia con el planteamiento de una situación

problemática, para introducir los conocimientos y habilidades propuestos por el programa de estudios. Dicha situación intenta provocar en los alumnos un conflicto cognitivo que los mueva

a buscar la colaboración de sus compañeros.Después de la situación problemática, se propone una sección de exploración y discusión en la que, mediante preguntas, se orienta la búsqueda de procedimientos de solución. El

tipo de preguntas invita a los estudiantes a trabajar en parejas y, en otras, de manera grupal. Cuando se requiere el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser inferidos por los alumnos, se incluyen algunas notas matemáticas. A partir de allí, se usa la terminología formal.

Las actividades de exploración y discusión concluyen con un resumen de los conceptos y procedimientos estudiados. Con las actividades que cierran la lección, los alumnos aplicarán

lo aprendido en otros contextos y lo vincularán con situaciones de la vida cotidiana y de otras disciplinas.

Al final de Matemáticas 2, se incluye una Guía para el manejo de la hoja electrónica de cálculo, cuya consulta permitirá que los alumnos cuenten con un recurso más para la resolución de

problemas.

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