APROXIMACIÓN A RAÍCES DE FUNCIONES MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Hallar las raíces de las funciones dadas a continuación intervalos dados y con una precisión de

10^ (-4).

1) x^3-2*x-5=0 en [1, 4]

2) x-0.8-0.2*sin(x)=0 en [0, pi/2]

SOLUCIÓN

1)

Empleando el método de newton.

Para lo cual graficamos inicialmente para aproximar en que punto se encuentra la raíz

Como se indicaba en la pregunta existe una raíz en ese intervalo, por la tanto:

METODO DE NEWTON:

Ingrese el valor inicial: 1

Ingrese el porcentaje de error: 10^(-4)

Ingrese la función: x^3-2*x-5

i fx(i) Error aprox (i)

0 1.0000000 100.000

1 7.0000000 85.714

2 4.7655172 46.889

3 3.3487028 42.309

4 2.5315996 32.276

5 2.1739159 16.453

6 2.0978837 3.624

7 2.0945577 0.159

8 2.0945515 0.000

9 2.0945515 0.000

2)

Graficando

La raíz se encuentra en el intervalo [0,2], entonces.

Ingrese el valor inicial: 0

Ingrese el porcentaje de error: 0.0001

Ingrese la función: x-0.8-0.2*sin(x)

i fx(i) Error aprox (i)

0 0.0000000 100.000

1 1.0000000 100.000

2 0.9644530 3.686

3 0.9643339 0.012

4 0.9643339 0.000

la función f(x)= (4*x-7)/(x-2) tiene una raíz en p=1.75. Graficar la función f(x). Use el método

de newton con los siguientes puntos iniciales.

3) x0=1.625 4) x0=1.875

5) x0=1.5 6) x0=1.95

7) x0=3 8) x0=7 Explique sus resultados.

SOLUCION

En el grafico de la función se observa que existe una raíz en ese punto, a continuación

probaremos con cada uno de los puntos:

Ingrese el valor inicial: 1.625

Ingrese el porcentaje de error: 0.0001

Ingrese la función: (4*x-7)/(x-2)

i fx(i) Error aprox (i)

0 1.6250000 100.000

1 1.8125000 10.345

2 1.7656250 2.655

3 1.7509766 0.837

4 1.7500038 0.056

5 1.7500000 0.000

6 1.7500000 0.000

4)

Ingrese el valor inicial: 1.875

Ingrese el porcentaje de error: 0.0001

Ingrese la función: (4*x-7)/(x-2)

i fx(i) Error aprox (i)

0 1.8750000 100.000

1 1.8125000 3.448

2 1.7656250 2.655

3 1.7509766 0.837

4 1.7500038 0.056

5 1.7500000 0.000

6 1.7500000 0.000

5)

Ingrese el valor inicial: 1.5

Ingrese el porcentaje de error: 0.0001

Ingrese la función: (4*x-7)/(x-2)

i fx(i) Error aprox (i)

0 1.5000000 100.000

1 2.0000000 25.000

2 NaN NaN

6)

Ingrese el valor inicial: 1.95

Ingrese el porcentaje de error: 0.0001

Ingrese la función: (4*x-7)/(x-2)

i fx(i) Error aprox (i)

0 1.9500000 100.000

1 1.9100000 2.094

2 1.8524000 3.109

3 1.7919430 3.374

4 1.7570369 1.987

5 1.7501981 0.391

6 1.7500002 0.011

7 1.7500000 0.000

MÉTODO DE LA SECANTE

1.- Hallar el valor de (2)^0.5 con precisión de 10^(-3), con el método de secante:

SOLUCION

Sea 2 un numero x, entonces debemos encontrar una función donde x= (2) ^0.5, esta función es

x^2-2=y, si f(X)=0, entonces existe una raíz en dicho punto tal como se observa si grafica la

función.

Empleando el método de la secante:

Ingrese el intervalo inferior: 0.5

Ingrese el intervalo superior: 2

Ingrese el porcentaje de error: 0.001

Ingrese la funciòn: x^2-2

i xf(i) Error aprox (i)

1 2.00000000000000000000 100.00000000000

2 1.20000000000000000000 -66.66666666667

3 1.37500000000000000000 12.72727272727

4 1.41747572815533960000 2.99657534247

5 1.41416775315080390000 -0.23391673280

6 1.41421350959905110000 0.00323546960

7 1.41421356237394980000 0.00000373175

2.-hallar las raíces de la ecuación 3*x-2+exp(x)-x^2=0 con puntos iniciales de 0,1 con tolerancia

10^(-5). Usando el método de la secante.

SOLUCION

Graficamos para ver en que puntos se encuentran las raíces.

Ingrese el intervalo inferior: 0

Ingrese el intervalo superior: 1

Ingrese el porcentaje de error: 10^(-5)

Ingrese la funciòn: 3*x-2+exp(x)-x^2

i xf(i) Error aprox (i)

1 1.00000000000000000000 100.00000000000

2 0.26894142136999510000 -271.82818284590

3 0.25717072182926159000 -4.57699829009

4 0.25753066668330421000 0.13976776385

5 0.25753028545267409000 -0.00014803332

6 0.25753028543986078000 -0.00000000498

3.-Hallar la raíces de la ecuación x^2+10*cos(x)=0, con puntos iniciales 1.5 ,2 con tolerancia de

10^(-5). Usando el método de la secante.

SOLUCION Graficando la función

Se observa que tiene dos raíces, ero nos pide con los puntos iniciales de 1.5 y 2, lo que quiere

decir, la raíz cercana a 2.

Ingrese el intervalo inferior: 1.5

Ingrese el intervalo superior: 2

Ingrese el porcentaje de error: 10^(-5)

Ingrese la funciòn: x^2+10*cos(x)

i xf(i) Error aprox (i)

1 2.00000000000000000000 100.00000000000

2 1.97411403828236390000 -1.31126982614

3 1.96877849555964880000 -0.27100777130

4 1.96887321478713880000 0.00481083428

5 1.96887293783438100000 -0.00001406656

6 1.96887293781982750000 -0.00000000074

Bisección

1.-aplique el método de bisección para las soluciones exactas dentro 10-2 para x3-7x2+14x-6=0 en cada

intervalo. (0;1)

Ingrese el intervalo inferior: 0

Ingrese el intervalo superior: 1

Ingrese el porcentaje de error: 0.01

Ingrese la funciòn: 7*x^2+14*x-6

It. Xa Xr Xb Error aprox

1 0.0000000 0.5000000 1.0000000

2 0.0000000 0.2500000 0.5000000 100.000

3 0.2500000 0.3750000 0.5000000 33.333

4 0.2500000 0.3125000 0.3750000 20.000

5 0.3125000 0.3437500 0.3750000 9.091

6 0.3437500 0.3593750 0.3750000 4.348

7 0.3593750 0.3671875 0.3750000 2.128

8 0.3593750 0.3632813 0.3671875 1.075

9 0.3593750 0.3613281 0.3632813 0.541

10 0.3613281 0.3623047 0.3632813 0.270

11 0.3623047 0.3627930 0.3632813 0.135

12 0.3623047 0.3625488 0.3627930 0.067

13 0.3625488 0.3626709 0.3627930 0.034

14 0.3626709 0.3627319 0.3627930 0.017

15 0.3627319 0.3627625 0.3627930 0.008