aproximacion_y_errores

Universidad de Santiago de ChileAplicaciones ComputacionalesIngeniería Ejecución Mecánica

Aplicaciones ComputacionalesAplicaciones Computacionales

Tema: Modelación MatemáticaTema: Modelación MatemáticaA i ió EA i ió EAproximación y Errores Aproximación y Errores

Profesor : Profesor : José Pablo Merino AcevedoJosé Pablo Merino Acevedo

11erer SemestreSemestre 20162016

Universidad de Santiago de ChileMatemáticas Avanzadas – Ingeniería Civil Mecánica

Universidad de Santiago de ChileAplicaciones Computacionales – Ingeniería Ejecución Mecánica

Modelación MatemáticaModelación Matemática

El modelado matemático es uno de los aspectos de mayor relevancia en el campocientífico y tecnológico. Este trata de resolver un conjunto de ecuaciones(ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y generalmenteecuaciones diferenciales parciales) las que describen un cierto sistema físico oecuaciones diferenciales parciales) las que describen un cierto sistema físico oproceso, que representa un problema real.

Por medio del modelado matemático se puede predecir el comportamiento ol ió d l i t i di d l d l d d l levolución de los sistemas, siempre que se disponga del modelo adecuado el cual

debe ser contrastado, para finalmente ser capaces de solucionarlo.

Problema real Modelo Matemático

SoluciónInterpretación Solución Matemáticaen el

mundo real

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f


En términos muy simples podemos definir un modelo matemático mediante lasiguiente función:

Variable dependiente = F( Var independientes, parámetros, influencias externas)Variable dependiente F( Var independientes, parámetros, influencias externas)

Las variables dependientes son las variables que definen el estado del sistema, lasindependientes son comúnmente en todos los balances referidas al tiempo y last d d i l P lti l á t t i ltres coordenadas espaciales. Por ultimo, los parámetros caracterizan lacomposición del sistema.

Ejemplos: (segunda ley del movimiento de Newton)FaamF j p ( g y )

Leyes de Conservación: para formular un modelo los principios mas importantesutilizados son las leyes de conservación, estas consideran la conservación demasa energía y momento La aplicación de las leyes de conservación que hemos

maamF

masa, energía y momento. La aplicación de las leyes de conservación que hemoselegido para un proceso conduce a ecuaciones que se denominan balances. Unavez que hemos establecido los balances, es necesario expresar las magnitudes ocantidades primarias que contienen en términos de parámetros y variables deestado secundario mas conveniente, estas las denominaremos relacionesauxiliares.

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Ø


En general, si consideramos la variable dependiente Ø como una cantidadespecifica por unidad de masa (energía, momento o masa, en un volumen decontrol:

ldlA l d

Ejemplo: balance de energía, unidimensional, estado estacionario, conducción –convección, en borde de sólido.

volumen_eriorint_generadosaleingresat_en_Acumulado

Balance de EnergíaBalance de Energía

VCVC

entraE saleEE almEentra salegenE

Instante tInstante t Instante t Instante t

acumuladaalm

almsalegenentra EEEdEEE acumuladaalmsalegenentra dt

ΔΔ t t

almsalegenentra EEEE

Ecuación de Difusión del CalorEcuación de Difusión del CalorPara obtenerla: Balance de energía en instante tPara obtenerla: Balance de energía en instante tPara obtenerla: Balance de energía en instante tPara obtenerla: Balance de energía en instante t

acumuladasalegenentra EEEE

dyyq

Donde:Donde: dxqqq x

xq dxxq

genE almEdx

xqq xdxx

dyq

qq yydyy

yq

yy

qq ydyy

Á

volumen

gen dzdydxqE

T

xT

dzdykqÁrea

x

Área

volumen

palm dzdydxtTcE

yT

dzdxkqÁrea

y

Combinando de forma adecuada las ecuaciones anteriores en Combinando de forma adecuada las ecuaciones anteriores en la de balance de energía obtenemos:la de balance de energía obtenemos:la de balance de energía, obtenemos:la de balance de energía, obtenemos:

TcqTkTkTk

)(sin volumenAlmacenadaE

p tcq

zk

zyk

yxk

x

E ió d Dif ió d C l ( d ió 3D)E ió d Dif ió d C l ( d ió 3D)Ecuación de Difusión de Calor ( conducción 3D)Ecuación de Difusión de Calor ( conducción 3D)

SimplificacionesSimplificaciones: (k = cte): (k = cte)

Antes debemos definir:Antes debemos definir:

pck

( Difusividad Térmica)( Difusividad Térmica)

Mide la capacidad de respuesta al cambioMide la capacidad de respuesta al cambio

energiaConducir

Valores altos: Sólidos MetálicosValores altos: Sólidos Metálicos

energiaAlmacenar

energiaConducir__

Valores Bajos: Sólidos no MetálicosValores Bajos: Sólidos no Metálicos

tT

kq

zT

yT

xT

1

2

2

2

2

2

2(k = cte)(k = cte)

tkzyx

Si además no existe generación de calorSi además no existe generación de calor

tT

zT

yT

xT

1

2

2

2

2

2

2

y

Si consideramos estado estableSi consideramos estado estable

222 02

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

...Y si la transferencia de calor es unidimensional...Y si la transferencia de calor es unidimensional

02

T 02

x

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Los métodos numéricos entregan una aproximación de la solución analítica exacta.

En general, al solucionar problemas de Ingeniería no es posible obtener la soluciónanalítica exacta, lo que implica a su vez que tampoco se puede cuantificar el erroranalítica exacta, lo que implica a su vez que tampoco se puede cuantificar el errorexacto que se produce al utilizar un Método Numérico. En consecuencia, solopodemos aproximar o estimar el error.

Método Numérico

¿Cuánto es el error en los cálculos?cálculos?

¿Es significativo?


f


Entenderemos por error a la diferencia entre la solución aproximada obtenidamediante un método numérico y la solución exacta del problema que se desearesolver. En general los errores numéricos mas comunes provienen de: Error deRedondeo y Error de Truncamiento.Redondeo y Error de Truncamiento.

Error de Redondeo:Ocurre al tratar de representar un numero exacto mediante la utilización de

ú ti tid d fi it d if i ifi tinúmeros que tienen una cantidad finita de cifras significativas.

Error de Truncamiento (de aproximación):Es la diferencia entre utilizar una aproximación obtenida por un método numérico yp p yuna formulación matemática exacta del problema.

Error de Redondeo:Programar un método numérico en el computador lleva implícito una fuente deProgramar un método numérico en el computador lleva implícito una fuente deerror asociada a la representación de las variables numéricas mediante un numerofinito de bits (cadena de dígitos binarios). El error anteriormente descrito se definecomo error de redondeo y tiene relación con el tipo de precisión que se utiliza, locual esta determinado por el tipo de maquina y el software empleado. Enconsecuencia este error se origina ya que la computadora utiliza un numero finitode cifras significativas en los cálculos.


C f f (CS)


Cifras significativas (CS): ¿Cuan confiable es un numero para efectuar un calculo? Utilizamos las cifras

significativas para indicar cuan confiable es un valor numérico. El grado de incertidumbre de un numero está definido en la forma en que lo El grado de incertidumbre de un numero está definido en la forma en que lo

expresamos. Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado y

que en consecuencia aportan información. L CS l ú d dí it t Las CS son el número de dígitos que conocemos con certeza, mas uno

estimado.

Ejemplo: ¿cuantos mm mide la cinta roja?j p ¿ j

¿14,87 mm o 14,88 mm ?Las cifras confiables son 3 dígitossignificativos es decir 14 8significativos, es decir 14,8.

14,85 mm: 4 cifras o dígitossignificativos.


C f f (CS)


Cifras significativas (CS):

7,563 7,563 : 4 cifras significativas (CS)

1,18145 1,18145 : 6 CS

301 301 : 3 CS

1,089 1,089 : 4 CS

0,027 0,0027 : 2 CS, ,

0,0000404 0,0000404 : 3 CS

0 0270 0 0270 : 3 CS 0,0270 0,0270 : 3 CS

80,00 80,00 : 4 CS

80 ¿Cuántas CS tiene?, ¿1 o 2 CS? Depende de si el cero lo conocemoscon exactitud. Esto lo resolveremos utilizando notación científica.


ó íf ú


Notación científica de un número:La notación científica se emplea para representar de una forma mas simplenúmeros muy grandes o muy pequeños. Es muy útil para escribir cantidadesfísicas ya que solo se escriben en notación científica las cifras o dígitosfísicas ya que solo se escriben en notación científica las cifras o dígitossignificativos.La notación científica expresa un número mediante potencias en base diez, dondelas cifras significativas se representan como un producto:D d ( ti ) ú 1 ≤ < 10 ú t

nx 10Donde x (mantisa) es un número 1 ≤ x < 10 y n un número entero.Para escribir un numero en notación científica, se debe considerar un dígito (elmás significativo) en el lugar de las unidades y el resto de los dígitos se ubicandespués del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo.p p p p p p

Vel. de la luz en el vacío: 299.792,458 km/s = 2,99792458 • 108 km/s 9 CS Radio átomo hidrogeno: 0,000000000053 m = 5,3 • 10-11 m 2 CS 432 2021 = 4 322021 • 102 7 CS 432,2021 = 4,322021 • 102 7 CS -0,002165 = -2,165 • 10-3 4 CS 80 = 8 • 102 1 CS / 80 = 8,0 • 102 2 CS 12500 = 1,25 • 104 3 CS 12500 = 1,250 • 104 4 CS 12500 = 1,2500 • 104 5 CS


R l ió l d d d (R l) i d


Relación entre resultado verdadero (Real) y aproximado:

aproximadoverdaderoverdadero ValorValorError (No permite visualizar el orden de magnitud del error)

verdadero

verdadero

verdaderorelativo Valor

ErrorError

Error d d %100ValorErrorError

verdadero

verdadero

verdaderoporcentualrelativo

Error aproximado: No siempre se dispone de la solución real o verdadera.p p p

anterioractualaproximado ónaproximaciónaproximaciError

i dErrorónaproximaciónaproximaci

actual

aproximado

actual

anterioractual

aproximadorelativo ónaproximaci

Errorónaproximaci

ónaproximaciónaproximaciError

%100ErrorError l til ti %100ErrorErroraproximadorelativo

aproximadoporcentualrelativo


Ej i i bi bi b l l d d ió d b di


Ejercicio: para ubicar una turbina sobre el acoplado de un camión, se debe medir sulongitud y la altura de los ganchos del contenedor, obteniéndose 990 cm y 14 cmrespectivamente. Si lo valores verdaderos son 1000 cm para la turbina y 15 cm paralos ganchos, estime el error verdadero y el error relativo porcentual verdadero.g y p

Turbina Ganchos

9901000 1415Error verdadero :cm10

9901000

cm11415

Error relativoporcentual verdadero :

%1,0

%100cm1000cm10

%7,6

%100cm15cm1

Analizando ambas medidas de error (10 cm y 1 cm), estas son de magnitudcomparable, sin embargo al contrastarlos en forma porcentual, queda en evidenciaque el error cometido al medir el largo de la turbina es mucho menor que el de los

h i l di ió d l h h id bi f dganchos, en consecuencia la medición de los ganchos no ha sido bien efectuada.


E l d b id h b á i i l i d l


En general, debe considerarse que habrá variaciones en el signo del error, por tantodebe considerarse utilizar valor absoluto en su calculo.

En la practica se utiliza como criterio, cumplir con una tolerancia porcentual:

El resultado será correcto en al menos n cifras significativas si se cumple:

ToleranciaErrorproximadorelativo

Ejercicio en computador: para calcular la derivada de una función, esta puede seraproximada mediante la relación:

%105,0Tolerancia n2 %,Error n

aproximadorelativo 21050

aproximada mediante la relación:

Considerando y h = 0.2, calcule para :L i ió

h

xfhxfxf

x.exf 505 3f Derivada verdadera• La aproximación

• El valor verdadero• El error verdadero• El error relativo

El error apro imado

verdadera

• El error aproximado• El error relativo aproximado y;• Criterio de tolerancia

xi

Punto x se acerca a xi

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