La Teoría de Juegos, 4

Roberto A. Molina Cruz

Guatemala, septiembre de 2014

Este documento constituye la cuarta parte de los apuntes de un curso sobre Teoría de Juegosque imparto en varias universidades del país. En los apuntes presento los fundamentos de laTeoría de Juegos y su aplicación en el estudio de los fenómenos sociales.

Agradeceremos al lector cualquier observación o sugerencia, las cuales pueden ser dirigidasa la dirección de correo electrónico que aparece seguido.

R. Molina / ramolinacruz@gmail.com

Aplicaciones en la Administración

Las empresas se desempeñan en el mercado, donde regularmente compiten con otras empre-sas que producen o venden productos similares. Las empresas se encuentran en competencia,básicamente por que la demanda del mercado es limitada y cada empresa busca tener lasmayores utilidades posibles.

Desde luego, esta competencia es evidencia del conflicto de intereses de las empresas. Por loque la Teoría de Juegos se aplica en forma natural en algunas situaciones de la Administraciónde Empresas. En estos apuntes nos interesan principalmente las dos situaciones siguientes.

a) La competencia de las empresas que ofrecen productos similares.

b) El conflicto de las empresas en la cadena de distribución de un producto.

1

1. La competencia de las empresas

En el mercado hay regularmente muchas empresas produciendo y ofreciendo productos simi-lares. Sin embargo, en lo que sigue consideramos el caso de solamente dos empresas. Estasempresas componen lo que regularmente se denomina un duopolio.

Esta simplificación tiene como objetivo poder utilizar modelos parsimoniosos de la Teoría deJuegos, y aunque parece una sobre simplificación de la realidad, debemos notar que se puedejustificar por lo siguiente.

i. En un mercado con muchas empresas en competencia, una de las empresas puede conside-rarse como un jugador, la cual puede ver al resto de empresas componiendo un solo segundojugador.

ii. Al ver localmente el mercado, puede ser posible identificar solamente 2 empresas compi-tiendo en esa fracción del mercado.

1.1. El modelo de Cournot

Consideremos dos empresas produciendo un mismo producto, cuyo precio no puede ser con-trolado directamente por la empresas, y en cambio es establecido por el mercado. Así, lasempresas solo pueden actuar decidiendo cuántas unidades deben producir, buscando tomaruna mayor o menor parte del mercado.

En el modelo consideramos a una de las empresas como el jugador 1 (Empresa 1) y la otracomo el jugador 2 (Empresa 2). Las estrategias de ambas empresas corresponden al númerode unidades que cada empresa puede producir, las cuales representamos como sigue.

q1 = La cantidad a producir por la Empresa 1.

q2 = La cantidad a producir por la Empresa 2.

El precio de cada unidad es establecido por el mercado, en base principalmente a la oferta delproducto. Lo cual podemos modelar por medio de la siguiente función de precios.

P(q1, q2)= a−b

(q1 +q2)

2

Donde las constantes a y b son parámetros determinados por el mercado. El primero (a)representa un precio máximo por unidad del producto, el cual se aplica cuando la oferta delproducto es prácticamente inexistente, esto es cuando q1+q2 = 0. Mientras que b representala cantidad en que se reduce el precio del producto, por cada unidad que se ofrece en elmercado. Notemos que el precio del producto debe ser prácticamente cero cuando la ofertatotal del producto es: q1 +q2 = a

b .

Esta función de precios corresponde a un modelo lineal, el cual es regularmente válido enel mercado de cualquier producto, por lo menos en forma aproximada. Por supuesto, losparámetros de la función deben ser estimados a partir de las ofertas y precios observados endos o más ocasiones.

La producción de las unidades tiene un costo, el cual puede ser diferente para las empresas.Por lo que consideramos las siguientes funciones de costo.

El costo de la Empresa 1 de producir q1 unidades

C1 (q1)= c1 +d1q1

El costo de la Empresa 2 de producir q2 unidades

C2 (q2)= c2 +d2q2

Aquí las constantes c j y d j son parámetros de cada empresa ( j). El primero (c j) representaun costo fijo de producción del lote de q j unidades, mientras que el segundo (d j) representaun costo por cada unidad que se produce.

Estas funciones de costo son también modelos lineales, como la función de precios descritaantes. Sin embargo, a diferencia de la función de precios, la función de costos es propia decada empresa, y alguna empresa puede tener una función no lineal. Los parámetros de la fun-ción de costos de cada empresa deben ser estimados de acuerdo a su proceso de producción.

Aunque en esta sección nos referimos a empresas productoras, el modelo que presentamos seaplica también a las empresas comercializadoras, ya sean mayoristas o minoristas. En estoscasos la función de costos debe comprender la compra, distribución y venta del producto.

Desde luego, las empresas obtienen ingresos al vender sus productos, los cuales podemosmodelar por medio de las funciones siguientes.

3

Los ingresos de la Empresa 1 por la producción y venta de q1 unidades

I1 (q1, q2)= q1P(q1, q2)

Los ingresos de la Empresa 2 por la producción y venta de q2 unidades

I2 (q1, q2)= q2P(q1, q2)

Con estos ingresos y las funciones de costo descritas antes, podemos calcular como sigue lasganancias o utilidades de cada empresa.

Las utilidades de la Empresa 1 por la producción y venta de q1 unidades

U1 (q1, q2)= I1 (q1, q2)−C1 (q1)Las utilidades de la Empresa 2 por la producción y venta de q2 unidades

U2 (q1, q2)= I2 (q1, q2)−C2 (q2)Por supuesto, cada empresa con sus acciones busca obtener la mayor utilidad posible. Sinembargo, dado que el mercado tiene una demanda limitada, las dos empresas no se encuentranen una situación gana-gana, sino en una situación más cercana a un juego de suma cero.Notemos que no es una situación de conflicto estricto –un juego de suma constante o sumacero– pero la solución del juego debe corresponder a un equilibro del tipo silla de montar, lacual resulta cuando cada empresa alcanza su nivel de seguridad.

Es conveniente plantear el juego en forma normal, considerando que las estrategias de cadaempresa corresponden a las cantidades de unidades que puede producir. Estas cantidadespueden ser aproximadas, por ejemplo en lotes de 1,000 unidades, y conviene presentar lasmatrices de utilidades de las empresas en una hoja electrónica, como hacemos en el ejemploque describimos más adelante.

Resolvemos el juego aplicando el método de la Mejor Respuesta de cada empresa, en la formaque describimos seguido. Supongamos que actualmente la Empresa 1 produce q1

i unidades yla Empresa 2 produce q2

k unidades. Obteniendo la Empresa 1 U1 (q1i , q2

k

)de utilidades, y la

Empresa 2 U2 (q1i , q2

k

).

4

Si por ejemplo, la Empresa 1 encuentra beneficioso producir diferente cantidad de unidades,digamos q1

r unidades, buscando obtener una mayor utilidad: U1 (q1r , q2

k

)> U1 (q1

i , q2k

), la

Empresa 2 podría ver reducidas sus utilidades a U2 (q1r , q2

k

)< U2 (q1

i , q2k

). Por lo que la

Empresa 2 buscaría aumentar sus utilidades cambiando el volumen de su producción a q2s

unidades, para obtener más utilidades: U2 (q1r , q2

s)>U2 (q1

r , q2k

).

El procedimiento del párrafo anterior puede ser iniciado por cualquier jugador, y deberíarepetirse hasta que ambos jugadores no tengan ningún incentivo de cambiar el volumen de suproducción. Lo que debe ocurrir cuando el juego llegue un punto de equilibrio de Nash.

1.2. Ejemplo 1

Consideremos el modelo de Cournot, en que dos empresas producen un mismo producto ycuyo precio está dado por la función siguiente.

P(q1, q2)= 130−

(q1 +q2)

Es decir que a = 130 y b = 1, son los valores de los parámetros del modelo general descritoantes.

Y supongamos que ambas empresas tienen los mismos costos de producción. Esto es, susfunciones de costos son iguales y como sigue.

C1 (q1)= 10q1

C2 (q2)= 10q2

Así los parámetros del modelo general descrito antes son c1 = c2 = 0 y d1 = d2 = 10.

Entonces las funciones de ingresos de las dos empresas son las siguientes.

I1 (q1, q2)= q1P(q1, q2)= q1 [130−

(q1 +q2)]

I2 (q1, q2)= q2P(q1, q2)= q2 [130−

(q1 +q2)]

5

Y las funciones de las utilidades de las empresas son como sigue.

U1 (q1, q2)= I1 (q1, q2)−C1 (q1)= q1 [130−(q1 +q2)]−10q1

U2 (q1, q2)= I2 (q1, q2)−C2 (q2)= q2 [130−(q1 +q2)]−10q2

Con esto notamos que el juego alcanza un punto de equilibro de Nash, cuando ambas empre-sas escogen producir q1 = q2 = 40 unidades. Por lo que la oferta total del mercado son 80unidades, al precio de P(40,40) = 130−80 = 50 por unidad. Y las empresas obtienen cadauna la misma utilidad de U (40,40) = 40(50)−10(40) = 1,600.

1.3. El modelo de Bertrand

Consideremos ahora dos empresas vendiendo un mismo producto, las cuales compiten en-tre ellas en el mercado con posiblemente precios diferentes. Así, las estrategias de ambasempresas corresponden al precio por unidad del producto, los cuales representamos comosigue.

p1 = El precio por unidad de la Empresa 1.

p2 = El precio por unidad de la Empresa 2.

El precio por unidad del producto de cada empresa determina su demanda del mercado. Locual podemos modelar por medio de las siguientes funciones.

El número de unidades de la Empresa 1 demandada por el mercado.

D1 (p1, p2) = a−bp1 si p1 < p2

= 12

(a−bp1) si p1 = p2

= 0 si p1 > p2

El número de unidades de la Empresa 2 demandada por el mercado.

6

D2 (p1, p2) = 0 si p1 < p2

= 12

(a−bp2) si p1 = p2

= a−bp2 si p1 > p2

Donde las constantes a y b son parámetros determinados por el mercado, para el mismoproducto que venden las dos empresas. El primero (a) representa la demanda total máxima delproducto, la cual se aplica cuando alguna empresa establece un precio de cero. Mientras que b

representa el número de unidades en que se reduce la demanda del producto por cada aumentoen el precio. Por supuesto, estos parámetros deben ser estimados a partir de la demanda yprecios observados en dos o más ocasiones.

Estas funciones de demanda suponen que si las empresas establecen un mismo precio, lademanda total del mercado se distribuye por igual (50%) entre ellas. Y si sus precios difieren,la empresa con el menor precio tiene la capacidad de cubrir la demanda total del mercado,por lo que la otra empresa no vende.

Por supuesto, las unidades que vende cada empresa tienen un costo, el cual puede ser diferentepara ellas, y que representamos como sigue.

El costo de la Empresa 1 por producir D1 (p1, p2) unidades

C1 (p1, p2)= c1 +d1D1 (p1, p2)El costo de la Empresa 2 por producir D2 (p1, p2) unidades

C2 (p1, p2)= c2 +d2D2 (p1, p2)Las constantes c j y d j son parámetros de cada empresa ( j). El primero (c j) representa uncosto fijo de producción de un lote unidades, mientras que el segundo (d j) representa uncosto por cada unidad que se produce. Los cuales deben ser estimados de acuerdo al procesode producción de cada empresa.

Entonces podemos modelar los ingresos de las empresas como sigue.

Los ingresos de la Empresa 1 por la venta de D1 (p1, p2) unidades

I1 (p1, p2)= p1D1 (p1, p2)7

Los ingresos de la Empresa 2 por la venta de D2 (p1, p2) unidades

I2 (p1, p2)= p2D2 (p1, p2)Luego, con estos ingresos y las funciones de costo descritas antes, calculamos como sigue lasganancias o utilidades de cada empresa.

Las utilidades de la Empresa 1 por la venta de D1 (p1, p2) unidades

U1 (p1, p2)= I1 (p1, p2)−C1 (p1, p2)Las utilidades de la Empresa 2 por la venta de D1 (p1, p2) unidades

U2 (p1, p2)= I2 (p1, p2)−C2 (p1, p2)Por supuesto, cada empresa con sus acciones busca obtener la mayor utilidad posible. Sinembargo, de nuevo las dos empresas no se encuentran en una situación gana-gana, sino enuna situación más cercana a un conflicto estricto.

Podemos plantear el juego en forma normal, considerando que las estrategias de cada em-presa corresponden a los precios que puede escoger. Luego resolvemos el juego aplicando elmétodo de la Mejor Respuesta de cada empresa, como describimos seguido. Supongamos queactualmente ambas empresas cobran un mismo precio p1

i = p2i = pi, obteniendo las utilidades

U1 (pi, pi) y U2 (pi, pi), respectivamente.

Si la Empresa 1 decide bajar el precio a p1r , buscando tomar todo el mercado y obtener las

utilidades U1 (p1r , pi

)> U1 (pi, pi), la Empresa 2 con utilidades U2 (p1

r , pi)= 0, dado que

p1r < pi, debe responder bajando también el precio a pr = p1

r = p2r , terminando entonces

ambas con las nuevas utilidades: U1 (pr, pr) y U2 (pr, pr), respectivamente.

Notemos que las nuevas utilidades podrían ser mayores a las iniciales, pero dado que cadaempresa puede aumentar sus utilidades apropiándose de todo el mercado al reducir el precio,las empresas podrían encontrar un equilibrio hasta asignar un precio prácticamente igual alcosto de producción. Lo que les daría a ambas utilidades prácticamente nulas.

8

1.4. Ejemplo 2

Consideremos ahora el modelo de Bertrand, con dos empresas vendiendo un mismo productopor precios: p1 y p2, y cuyas funciones de demanda tienen los parámetros: a = 85 y b = 1. Ysupongamos que ambas empresas tienen los mismos costos de producción, con parámetros:c1 = c2 = 0 y d1 = d2 = 10.

Notemos que las matrices de demanda, ingresos y utilidades de cada empresa, tienen valorescero en una de sus triangulares –la triangular inferior para la Empresa 1 y la superior parala Empresa 2. Además, las utilidades de cada empresa son cero cuando el precio y costo porunidad del producto son iguales, y son negativas cuando el precio es menor al costo.

Entonces, considerando las matrices de utilidades de las dos empresas, el juego alcanza unpunto de equilibro de Nash, cuando ambas empresas escogen el precio igual al costo porunidad. Esto es cuando p1 = p2 = 10 unidades. Por lo que la oferta total del mercado es de38 unidades y las empresas no obtienen utilidades. Lo que se conoce como la Paradoja deBertrand.

Notemos que si la Empresa 1 aumenta el precio a 25, la Empresa 2 estaría interesada entambién aumentar el precio, pero solo a 20 para obtener la mayor utilidad posible de 650.Como la Empresa 1 no tiene utilidades a ese precio, debe bajar el precio a también 20 paraque ambas empresas tengan la misma utilidad de 325.

Luego la Empresa 2 está incentivada a bajar el precio a 15 para aumentar sus utilidades a350, lo que provocaría que la Empresa 1 de nuevo no tenga utilidades, así que la Empresa 1también debe bajar el precio a 15 para que ambas tengan una utilidad de 175. Este argumentopuede repetirse, iniciando con cualquiera de las dos empresas, hasta que ambas empresasconcuerden con el precio de 10 –el costo de producción– y cero utilidades.

1.5. El monopolio

Regularmente pensamos que hay un monopolio en un mercado, cuando una empresa es laúnica productora o comercializadora de un producto, del cual prácticamente no hay productossimilares o sustitutos. Sin embargo, un monopolio también puede darse cuando todas lasempresas productoras o comercializadoras de un producto –o productos similares– cooperanpara maximizar sus utilidades. En tal caso todas las empresas pueden verse como una solaempresa –un jugador.

9

Desde luego, la Empresa del monopolio de un mercado debe solamente buscar maximizarsus utilidades, dado que no hay empresas competidoras. Es conveniente revisar esta situaciónpara compararla con el duopolio visto antes, y en particular con las soluciones obtenidas delos modelos de Cournot y Bertrand.

1.5.1. El modelo de Cournot

En el modelo de Cournot consideramos a la única empresa, cuyas estrategias correspondenal número de unidades que puede producir, las cuales representamos por q. El precio de cadaunidad es establecido por el mercado, por medio de la función de precios: P(q) = a−bq.

Si el costo de producción de la Empresa por producir q unidades es C (q)= c+dq, la Empresaobtienen ingresos por la producción y venta de q unidades: I (q) = qP(q,), por lo que lasutilidades de la empresa son U (q) = I (q)−C (q).

Así, con los parámetros del mercado del Ejemplo 1, la función de utilidades de la Empresa esU (q) = I (q)−C (q) = q [130−q]−10q. La cual corresponde a la misma función presentadaen el ejemplo, pero con q1 = q y q2 = 0, y tiene un valor máximo en q = 60, siendo U (60) =3,600.

Notemos que en este monopolio, la cantidad de producto en el mercado (60) es menor ala cantidad ofrecida en el duopolio (80), por lo que el precio del producto en el monopolio(70) es mayor al precio en el duopolio (50). Y siendo el costo de producción igual en lasdos situaciones, las utilidades de la Empresa del monopolio (3,600) es mayor al total de lasutilidades de las dos empresas del duopolio (3,200 = 1,600 + 1,600).

Entonces, en el modelo de Cournot del Ejemplo 1, las dos empresas del duopolio puedenaumentar sus utilidades al cooperar y actuar en forma conjunta, como un monopolio. Locual debe afectar negativamente a los consumidores, reduciendo la oferta del producto en elmercado y aumentando su precio.

1.5.2. El modelo de Bertrand

En el modelo de Bertrand consideremos una única empresa, cuyas estrategias correspondena los precios por unidad que puede cobrar, los cuales representamos por p. El número deunidades a vender es establecido por la función de demanda: D(p) = a−bp.

10

Si el costo de producción de la Empresa por producir D(p) unidades es C (q) = c+dD(p),y la Empresa obtienen ingresos por la venta de D(p) unidades: I (p) = pD(p), las utilidadesde la empresa son U (p) = I (p)−C (p) = (p−d)D(p)− c.

Así, con los parámetros del mercado del Ejemplo 2, la función de utilidades de la Empresa esU (p) = (p−10) [85− p]. La cual corresponde a la misma función presentada en el ejemplo,pero con p1 = p y p2 = 100, teniendo un valor máximo en p = 45 o p = 50, siendo U (60) =1,400.

Notemos que en este monopolio, la cantidad de producto en el mercado (35 o 40) es menor ala cantidad ofrecida en el duopolio (76 = 38 + 38), y el precio del producto en el monopolio(45 o 50) es mayor al precio en el duopolio (10). Siendo el costo de producción igual enlas dos situaciones, la utilidad de la Empresa del monopolio (1,400) es mayor al total de lasutilidades de las dos empresas del duopolio (0 = 0 + 0).

Entonces, en el modelo de Bertrand del Ejemplo 2, las dos empresas del duopolio no tendránutilidades mientras no actúen en forma conjunta, como un monopolio. Esto afectará negati-vamente al consumidor, aumentando el precio del producto y disminuyendo su oferta en elmercado.

2. La cadena de distribución

Los productos son comercializados por medio de una cadena de distribución, compuesta re-gularmente por muchas empresas organizadas en una red. En el inicio de esta red está lasempresas productoras, y al final las empresas de minoristas que venden el producto a losconsumidores individuales. Desde luego, en la parte media de la red hay algunas empresasmayoristas, las cuales se encargan de proveer del producto a las empresas minoristas.

Una red de distribución puede ser centralizada, por lo que todas las empresas de la red estándirigidas por un solo administrador. Por el otro lado, existen redes descentralizadas, en lascuales las empresas involucradas toman decisiones en forma independiente, buscando cadauna su propio beneficio.

En esta sección presentamos un modelo de Teoría de Juegos, para describir la situación deuna red de distribución compuesta por solo dos empresas: una empresa mayorista y otraminorista. El modelo se compone de lo siguiente.

11

El precio de mercado, al que vende la empresa minorista cada unidad del producto, y quedepende del número de unidades que ofrece en el mercado: q. Los parámetros a y b sonvalores constantes determinados por el mercado.

P(q) = a−bq

El precio de mayoreo, al que vende la empresa mayorista y compra la empresa minorista, quedebe ser establecido por la empresa mayorista y que asumimos constante: w.

El costo de cada lote de producto para la empresa mayorista, el cual depende del número totalde unidades del lote, que asumimos igual al número de unidades que luego se ofrecen en elmercado: q.

C (q) = c+dq

Por lo que las funciones de utilidad de las dos empresas es como sigue.

La empresa mayoristaUM (q) = wq−C (q) = (w−d)q− c

La empresa minoristaUm (q) = qP(q)−wq = (a−bq−w)q

Podemos plantear esta situación como un juego, con las empresas mayorista y minorista comolos jugadores. Las estrategias de la empresa mayorista corresponden a los diferentes preciosde mayoreo (w) que puede establecer, y las estrategias de la empresa minorista correspondena número de unidades de producto puede comprar (q).

R. Molina / 6-10-2014

12