Apunte Espacios Vectoriales Reales

7/21/2019 Apunte Espacios Vectoriales Reales

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Espacios vectoriales

Version Octubre de 2013

Pontificia Universidad Catolica de Chile

Indice

1. Conceptos basicos 11.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Subespacios Vectoriales 62.1. Definicion y caracterizaciones de los subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Operaciones con subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Bases y dimension 133.1. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Completacion de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Sistemas de coordenadas y cambio de base 224.1. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2. Matrices de cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



1. Conceptos basicos

En este capıtulo, estudiaremos la generalizacion de las ideas y propiedades estudiada en el capıtulo de Vectoresdadas de la relacion que existe entre Rn y R. El papel de Rn sera ocupado por un espacio vectorial .

1.1. Espacios vectoriales

Definicion: Un conjunto no vacıo E es un espacio vectorial (ev) sobre R si tiene definidas dos operaciones binarias:

: E × E −→ E (x, y) −→ x ⊕ y

(suma )

: E ×R −→ E

(x, α) −→ α x (ponderaci´ on )

que cumplen las siguientes propiedades (axiomas de espacio vectorial):

Axiomas de la suma

(1) La suma es conmutativa: x ⊕ y = y ⊕ x para todo x, y ∈ E .

(2) La suma es asociativa: (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) para todo x, y,z ∈ E .

(3) Existe un elemento neutro aditivo 0E tal que x ⊕ 0E = x para todo x ∈ E .

(4) A cada x ∈ E le corresponde un inverso aditivo x ∈ E tal que x ⊕ x = 0E .

Axiomas de la ponderaci´ on

(1’) El 1 es neutro con respecto a la ponderaci´ on: 1 x = x para todo x ∈ E .

(2’) La ponderaci´ on es asociativa: (αβ ) x = α (β x) = β (α x) , para todo α, β ∈ R y todo x ∈ E .

(3’) La ponderaci´ on es distributiva con respecto a la suma escalar: (α + β ) x = α x ⊕ β x , para todo

x ∈ E y todo α, β ∈ R.

(4’) La ponderaci´ on es distributiva con respecto a la suma vectorial: α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y para todo

α ∈R y todo x, y

∈ E .

Llamaremos vectores a los elementos de E y escalares a los elementos del cuerpo R.

Ejemplos:

1. El conjunto E = Rn es un espacio vectorial sobre R con las operaciones de suma y ponderacion de vectoresdefinidas por componentes (que ahora llamaremos operaciones usuales).

2. El conjunto E = Mm×n(R) de todas las matrices de m × n es un espacio vectorial sobre R con las operacionesde suma y ponderacion de matrices (que definimos por componentes en su momento).

3. El conjunto E = F (R) de todas las funciones reales f : R −→ R es un espacio vectorial sobre R con la sumay la ponderacion usuales de las funciones.

4. El conjunto E = C1(R) de las funciones reales continuas tambien es un espacio vectorial con las operacionesusuales de funciones.

5. El conjunto E = P (R) = P [x] de todos los polinomios con coeficientes reales es un espacio vectorial sobre Rcon la suma y ponderacion de polinomios(que son las operaciones conocidas de funciones reales).

6. El conjunto E = P ≤n(R) de todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a n, con n ∈ N fijo, es unespacio vectorial con las operaciones de suma y ponderacion de polinomios.

1



7. El conjunto E = P n(R) de los polinomios de grado exactamente igual a n, con n ∈ N fijo, no es un espaciovectorial sobre R, pues aunque ambas operaciones definidas cumplen sus cuatro axiomas, tenemos que la sumano es cerrada en el conjunto, es decir, si sumamos dos polinomios de grado n, el resultado no es necesariamenteun polinomio de grado n.

Por ejemplo: si tomamos dos elementos de E , p1(x) = xn + 3 y p2(x) = 4 − xn, entonces la suma de ellos p1(x) + p2(x) = 7 no pertenece a E .

8. Comprobaremos que el conjunto E = {

(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0

}, que representa el primer cuadrante del

plano real R2, dotado con las operaciones

(x, y) ⊕ (u, v) = (xu,yv)

α (x, y) = (xα, yα)

es un espacio vectorial sobre R.

Primero, comprobemos que las operaciones estan bien definidas.

Si (a, b) y (c, d) son elementos de E , entonces (a, b) ⊕ (c, d) = (ac, bd) pertenece a E , pues ambas componentesson positivas (por ser producto de numeros positivos).

Si (a, b) es un elemento de E y α ∈R, entonces α (a, b) = (aα, bα) es un elemento de E , pues si la base x deuna expresion exponencial xy es positiva, entonces la expresion tambien es positiva (compruebelo para y > 0,

y = 0 e y < 0).Ahora, veamos que ambas operaciones cumplen sus axiomas correspondientes. Siempre comprobamos los axiomas

de la suma primero. 1. (c, d) ⊕ (a, b) = (ca, db) = (ac, bd) = (a, b) ⊕ (c, d) =⇒ la suma es conmutativa.

2. [(a, b) ⊕ (c, d)] ⊕ (e, f ) = (ac,bd) ⊕ (e, f ) = (ace, bdf ) = (a, b) ⊕ (ce, df ) = (a, b) ⊕ [(c, d) ⊕ (e, f )] =⇒ lasuma es asociativa.

3. Buscaremos el neutro aditivo 0E = (x, y) tal que para todo elemento (a, b) ∈ E se tenga:

(a, b) ⊕ (x, y) = (a, b) ⇐⇒ (ax, by) = (a, b) ⇐⇒ x = 1; y = 1

Ası, en este caso, el vector neutro es 0E = (1, 1).

4. Ahora fijamos (a, b) ∈

E y buscamos (a,b) tal que

(a, b) ⊕ (a,b) = 0E ⇐⇒ (aa, bb) = (1, 1) ⇐⇒ a = 1

a;b =

1

b

Luego, el inverso aditivo de (a, b) es (a−1, b−1). 1’. Calculamos 1 (a, b) = (a1, b1) = (a, b). Luego, 1 v = v para todo v ∈ E .

2’. Ahora, para α y β en R, calculamos:

α (β (a, b)) = α (aβ , bβ) =

(aβ)α, (bβ)α

=

aαβ, bαβ

= (αβ ) (a, b)

β (α (a, b)) = β (aα, bα) =

(aα)β , (bα)β

=

aαβ, bαβ

= (αβ ) (a, b)

Lo que demuestra el segundo axioma de la ponderacion.

3’. (α + β )

(a, b) = aα+β, bα+β = aαaβ, bαbβ = (aα, bα)⊕

(aβ, bβ) = α

(a, b)⊕

β

(a, b)

4’. α (a, b) ⊕ (c, d)

= α (ac,bd) =

(ac)α, (bd)α

=aαcα, bαdα = (aα, bα) ⊕ (cα, dα) = α (a, b) ⊕

α (c, d).

Con todos estos calculos hemos probado que (E, ⊕, ) es un espacio vectorial sobre R.

9. Por ultimo, probaremos que el conjunto E = R2 es un espacio vectorial sobre R con las operaciones

(x, y) ⊕ (u, v) =

3

x3 + u3, 3

y3 + v3

λ (x, y) = (

3√

λ x, 3√

λ y)

Notamos, en primer lugar, que ambas operaciones estan bien definidas.

2



(1)

(u, v) ⊕ (x, y) =

3

u3 + x3, 3

v3 + y3

=

3

u3 + x3, 3

v3 + y3

= (x, y) ⊕ (u, v)

(2)

(x, y) ⊕

(u, v) ⊕ (s, t)

= (x, y) ⊕

3

u3 + s3,

3

v3 + t3

=

3

x3 + u3 + s3, 3

y3 + v3 + t3

=

(x, y) ⊕ (u, v)

⊕ (s, t)

(3) El elemento (0, 0) es el elemento neutro de este espacio, pues para todo (x, y) en E

(x, y) ⊕ (0, 0) =

3

x3 + 03, 3

y3 + 03

=

3√

x3, 3√

v3

= (x, y)

(4) El inverso aditivo de un elemento (x, y) en E es (

−x,

−y), pues

(x, y) ⊕ (−x, −y) =

3

x3 + (−x)3, 3

y3 + (−y)3

=

3

x3 − x3, 3

y3 − y3

= (0, 0)

(1’) 1 (x, y) =

3√

1 x, 3√

1 y

= (x, y)

(2’) Por un lado tenemos que (α + β ) (x, y) =

3

α + β x, 3

α + β y

, mientras que, por otro lado,

α (x, y) ⊕ β (x, y) =

3√

α x, 3√

α y⊕

3

β x, 3

β y

=

3

α + β x, 3

α + β y

= (α + β ) (x, y)

(3’) Ahora, α

(x, y) ⊕ (u, v)

=

3

α(x3 + u3), 3

α(y3 + v3)

, mientras que

α (x, y) ⊕ α (u, v) =

3√

α x, 3√

α y⊕ 3

√ α u, 3

√ α v

=

3

α(x3 + u3), 3

α(y3 + v3)

= α

(x, y) ⊕ (u, v)

(4’) Por ultimo,

(αβ ) (x, y) =

3

αβ x, 3

αβ y

α β (x, y) = α 3 β x, 3 β y = 3 αβ x, 3 αβ yy

β α (x, y)

= β 3√

α x, 3√

α y

=

3

αβ x, 3

αβ y

obteniendo que las tres expresiones son iguales.

Por tanto, el conjunto E es espacio vectorial sobre los reales con las operaciones ⊕ y .

3



Debido a que todo conjunto que es un espacio vectorial cumple los mismos axiomas basicos con sus operaciones,ciertas propiedades que no son axiomas son comunes a todos los espacios vectoriales.

Teorema. Sea E un espacio vectorial sobre R. Entonces:

i ) El vector nulo 0E es ´ unico.

ii ) Para cada x ∈ E el vector (−x) (inverso aditivo de x) es ´ unico.

iii ) 0 x = 0E para todo x ∈ E .

iv ) α 0E = 0E para todo α ∈R.

v ) (−1) x = (−x) para todo x ∈ E .

vi ) α x = 0E =⇒ α = 0 ∨ x = 0E .

vii ) Existe un ´ unico vector X soluci´ on de la ecuaci´ on u ⊕ X = v. Este vector se anota X = v − u.

Demostracion: Probaremos algunas afirmaciones. El resto queda propuesto.

i) Si suponemos que 01 y 02 son dos neutros de la suma en E . Entonces,

∀x ∈ E 01 + x = x + 01 = x y 02 + x = x + 02 = x

y, por tanto, 01 = 01 + 02 = 02. Lo que demuestra la afirmacion.

iii) 0 x = (0 + 0) x = 0 x ⊕ 0 x

(−0 x) =⇒ 0E = 0 x.

iv) α 0E = α (0E ⊕ 0E ) = α 0E ⊕ α 0E

(−α 0E ) =⇒ 0E = α 0E

vi) Supongamos que α x = 0E y que α = 0. Entonces debemos probar que x = 0E .

Como α = 0, entonces existe α−1 y podemos ponderar la identidad 0E = α x por α−1 =⇒ 0E = α−1 0E =α−1 (α x) = 1 x = x. Es decir, x = 0E .

1.2. Combinaciones linealesEn lo que sigue, E sera un espacio vectorial sobre R con las operaciones + (suma) y · (ponderacion).

Definicion:

1. Una combinacion lineal (cl) de los vectores v1, v2, . . . , vn ∈ E es una expresi´ on de la forma

α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn,

donde α1, α2, . . . , αn ∈ R.

2. Se define el conjunto generado por {v1, v2, . . . , vn} ⊆ E como el conjunto de todas las cl de estos vectores.Lo denotamos por

{v1, v2, . . . , vn} = {α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn : αi ∈R

}3. El conjunto {v1, v2, . . . , vn} de vectores de E es linealmente independiente (li) si la ´ unica forma de escribir

0E como cl de los vectores vi es usando coeficientes nulos. Es decir, si se tiene la siguiente implicaci´ on:

0E = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0

4. El conjunto {v1, v2, . . . , vn} de vectores de E es linealmente dependiente (ld) si no es li, es decir, si existen escalares α1, α2, . . . , αn no todos nulos tales que

α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0E

4



Definicion general de conjuntos li y ldSea A ⊆ E (A podrıa tener infinitos elementos). Entonces:

A es li si dado cualquier subconjunto finito A0 de A, se tiene que A0 es li (con la definicion ya dada).

A es ld si no es li, es decir, si existe un subconjunto finito A0 de A tal que A0 es ld (con la definicion ya dada).

Ejemplos:

1. Sean E = M2×2(R) y A =

1 20 1

,

0 12 3

,

2 10 0

,

0 30 2

. Para determinar si A es li o ld debemos

estudiar como se escribe 0E =

0 00 0

como cl de los elementos de A:

0 00 0

= α

1 20 1

+ β

0 12 3

+ γ

2 10 0

+ δ

0 30 2

=

α + 2γ 2α + β + γ + 3δ

2β α + 3β + 2δ

Lo que equivale al sistema homogeneo

α + 2γ = 02α + β + γ + 3δ = 0

2β = 0α + 3β + 2δ = 0

Cuya matriz asociada es1 0 2 02 1 1 30 2 0 01 3 0 2

F 2 − 2F 1F 3 ·

12

F 4 − F 1

∼

1 0 2 00 1 −3 30 1 0 00 3 −2 2

F 4 − 7

3F 3

∼

1 0 2 00 1 −3 30 1 0 00 2

3 −2 2

F 2 − F 3

F 4 − 23F 2

∼ 1 0 2 00 0 −3 30 1 0 00 0 0 0

de donde es claro que el sistema tiene infinitas soluciones, lo que significa que 0E puede escribirse de infinitasformas como cl de los elementos de A. Entonces A es ld.

2. Si E = P [x] y A =

xn : n ∈N ∪ {0} = {1, x , x2, . . . , xm, . . .} podemos probar que A es li, pues si tomamos

A0 = {xn1 , xn2 , . . . , xnk}

(un subconjunto finito cualquiera de A) tendremos que

0E = α1xn1 + α2xn2 +

· · ·+ αkxnk

implica, de manera directa, que α1 = α2 = · · · = αk = 0, es decir, A0 es li Luego, A es li (¡¡En los polinomioshay un conjunto con infinitos vectores li!!)

3. Si E = R3 y A = {(n, 0, 0) : n ∈N}, entonces se tendra que A es un conjunto ld, pues si tomamos

A0 = {(1, 0, 0), (2, 0, 0)}

tendremos que0E = (0, 0, 0) = 2(1, 0, 0) + (−1)(2, 0, 0)

y A0 es ld, lo que implica que A es ld.

5



4. Si E = C1 y A = {ex, e2x, e3x}, para decidir si A es li o ld, estudiaremos como puede escribirse 0E , que es lafuncion O(x) = 0 para todo x ∈ R, como cl de los elementos de A. Entonces debemos estudiar la ecuacionfuncional

O(x) = αex + βe2x + γe3x

La ecuacion anterior es valida para todo x ∈ R, luego, debe ser entendida como un sistema de infinitasecuaciones cuyas variables son α, β y γ , una ecuacion para cada valor de x. Si tomamos un “subsistema” conlas ecuaciones que se obtienen al evaluar en x = 0, x = 1, en x = 2, que es:

α + β + γ = 0eα + e2β + e3γ = 0

e2α + e4β + e6γ = 0

cuya matriz asociada es 1 1 1e e2 e3

e2 e4 e6

∼1 1 1

0 e(e − 1) e(e2 − 1)0 e2(e2 − 1) e2(e4 − 1)

∼1 1 1

0 e(e − 1) e(e2 − 1)0 0 e2(e2 − 1)(e + 1)(e − 2)

de donde es claro que α = β = γ = 0, por lo que A es li

En el mismo espacio vectorial, consideramos el conjunto B = {cos2(x), sen2(x), 1}, donde 1 denota la funcion1(x) = 1 para todo x

∈R, que es claramente un conjunto ld, por la conocida identidad trigonometrica:

cos2(x) + sen2(x) = 1

que implica queO(x) = 1 · cos2(x) + 1 · sen2(x) + (−1) · 1(x)

2. Subespacios Vectoriales

2.1. Definicion y caracterizaciones de los subespacios

Definicion: Sea E un espacio vectorial sobre R. Un subespacio vectorial (sev) de E es un subconjunto novacıo S de E que es un espacio vectorial por sı mismo, con las operaciones suma y ponderaci on que son heredadas

de E (se consideran las operaciones restringidas a S ).

En teorıa, con esta definicion, para determinar si un subconjunto no vacıo S de E es un subespacio vectorial, deberıacomprobarse que las operaciones definidas en S cumplen con todos los axiomas de espacios vectoriales. Pero es claroque la mayorıa de estas propiedades se cumpliran trivialmente, simplemente por ser S ⊆ E . Ası, tenemos el siguienteresultado:

Teorema. Sea S un subconjunto no vacıo de E . S es un sev de E si y s´ olo si se cumplen las dos implicaciones siguientes:

i ) Si x, y ∈ S , entonces x + y ∈ S .

ii ) Si x ∈ S y α ∈R, entonces αx ∈ S .

Demostracion: Supongamos que S es un sev de E . Entonces, S es un ev sobre R con las operaciones de E restringidas a S . Luego, ambas operaciones son cerradas en S , lo que significa que al tomar dos elementos x, y ∈ S ,el resultado de la suma, x + y, esta en S . De manera analoga, si x ∈ S y α ∈ R, entonces el resultado de laponderacion, αx, pertenece a S .

Para la otra implicacion, supongamos que S es un subconjunto no vacıo de E que cumple las condiciones (i) y (ii),es decir, las operaciones de E restringidas a S son cerradas y estan bien definidas en S . Debemos probar todos losaxiomas de espacio vectorial.

Como la suma es conmutativa y asociativa para todos los elementos de E , en particular, la suma es conmutativa yasociativa para todos los elementos de S . Ahora, como S = ∅, existe al menos un x ∈ S , entonces 0 · x ∈ S por la

6



condicion (ii), pero 0 · x = 0E ∈ S y, claramente, el neutro de la suma para todos los elementos de E tambien esneutro para los elementos de S (∀s ∈ S 0E + s = s). De forma analoga, tenemos que para cada x ∈ S , su inversoaditivo −x = (−1) · x ∈ S , de nuevo por (ii). Y probamos que la suma cumple todos sus axiomas.

Los axiomas de la ponderacion se cumpliran automaticamente, pues como las igualdades se cumplen para todos loselementos de E , en particular se cumplen para los elementos de S . No hay nada que probar. Entonces S es espaciovectorial sobre R.

Nota 1: De esta manera, para comprobar que un conjunto S es sev de E , debemos comprobar cuatro propiedades:

1. S ⊆ E .

2. 0E ∈ S (lo que demuestra que S = ∅).

3. (x ∈ S ∧ y ∈ S ) =⇒ x + y ∈ S .

4. (x ∈ S ∧ α ∈R) =⇒ αx ∈ S .

Nota 2: En la demostracion del teorema queda claro que todo subespacio contiene al neutro del espacio 0E , luegopara probar que S = ∅ basta probar que 0E ∈ S , si no es ası, entonces el conjunto S no es sev de E .

Ejemplos:1. En el espacio vectorial E = M2×3(R), tenemos que

S 1 =

a b c0 0 0

: a + b + c = 1

no es un sev de E , pues 0E =

0 0 00 0 0

/∈ S 1.

Ahora, S 2 =

3x −y 00 0 z

: x, y,z ∈ R

si es un sev de E , pues

i ) S 2 ⊆ E , pues S 2 solo contiene matrices de 2 × 3.

ii ) 0E = 0 0 0

0 0 0 ∈ S 2, tomando x = y = z = 0. Entonces S 2 = ∅.

iii ) Si X =

3a −b 00 0 c

e X =

3a −b 0

0 0 c

son elementos de S 2, entonces

X + X =

3(a + a) −(b + b) 0

0 0 c + c

tambien pertenece a S 2, pues tomamos x = a + a, y = b + b, z = c + c.

iv ) Por ultimo, si X =

3a −b 00 0 c

∈ S 2 y α ∈R, entonces

αX =

3αa −αb 0

0 0 αctambien pertenece a S 2 tomando x = αa, y = αb, z = αc.

2. En el espacio vectorial E = P ≤3(R) de los polinomios de grado menor o igual a 3, consideremos los conjuntos:

S 1 = { p(x) ∈ E : p(0) = p(1) = p(2) = 0}S 2 = { p(x) ∈ E : p(1) = p(1) = p(1) = 0}

S 3 = {−a + ax − x2 + 2ax3 : a ∈R}Iremos comprobando simultaneamente las cuatro propiedades que deben cumplir estos conjuntos para sersubespacios vectoriales:

7



i) S 1 ⊆ E , S 2 ⊆ E y S 3 ⊆ E , pues todos ellos solo contienen polinomios de grado menor o igual a 3.

ii) Consideremos 0E = O(x) = 0 + 0x + 0x2 + 0x3. Como O(0) = O(1) = O(2) = 0, tenemos que 0E ∈ S 1.Ademas, O(1) = O(1) = O(1) = 0, luego 0E ∈ S 2.

Pero O(x) /∈ S 3, pues el coeficiente de x2 no es igual a −1. De esta manera, ya sabemos que S 3 no es sevde E .

iii) Consideremos dos polinomios de E : p1(x) y p2(x).

Si suponemos que p1

(x), p2

(x) ∈

S 1

, entonces p1

(0) = p1

(1) = p1

(2) = 0 y p2

(0) = p2

(1) = p2

(2) = 0.Luego, la suma de estos elementos ( p1 + p2)(x) cumple que

( p1 + p2)(0) = p1(0) + p2(0) = 0 + 0 = 0,

( p1 + p2)(1) = p1(1) + p2(1) = 0 + 0 = 0,

( p1 + p2)(2) = p1(2) + p2(2) = 0 + 0 = 0

Por tanto, ( p1 + p2)(x) ∈ S 1.

Si, ahora, suponemos que p1(x), p2(x) ∈ S 2, entonces p1(0) = p1(0) = p1(0) = 0 y p2(0) = p2(0) = p2(0) = 0. Luego, la suma de estos elementos ( p1 + p2)(x) cumple que

( p1 + p2)(0) = p1(0) + p2(0) = 0 + 0 = 0,

( p1 + p2)(0) = p1(0) + p2(0) = 0 + 0 = 0

( p1 + p2)(0) = p1(0) + p2(0) = 0 + 0 = 0

Por tanto, ( p1 + p2)(x) ∈ S 2.

iv) Ahora consideramos un polinomio p(x) ∈ E y α ∈R.

Si suponemos que p(x) ∈ S 1, entonces p(0) = p(1) = p(2) = 0. Luego, el polinomio ponderado (αp)(x)cumple que

(αp)(0) = αp(0) = α · 0 = 0

(αp)(1) = αp(1) = α · 0 = 0

(αp)(2) = αp(2) = α · 0 = 0

Por tanto, (αp)(x) ∈

S 1.

Si suponemos que p(x) ∈ S 2, entonces p(0) = p(0) = p(0) = 0. Luego, el polinomio ponderado (αp)(x)cumple que

(αp)(0) = αp(0) = α · 0 = 0

(αp)(0) = αp(0) = α · 0 = 0

(αp)(0) = αp(0) = α · 0 = 0

Por tanto, (αp)(x) ∈ S 2.

En conclusion, S 1 y S 2 son subespacios de E , pero S 3 no lo es.

3. Dado cualquier espacio vectorial E , tendremos que {0E } y el mismo E son dos sev de E .

La siguiente pregunta razonable ser ıa: dado cualquier espacio vectorial E , ¿como podemos determinar todos sussubespacios vectoriales?Para responder esta pregunta, tenemos el siguiente teorema:

Teorema. S es un sev de E si y s´ olo si existe un subconjunto A de E , A = ∅, tal que S = A.

Demostracion: Si S = A, con A ⊆ E , A = ∅, entonces es claro que S ⊆ E (los vectores de S son cl de vectoresen E , por tanto, estan en E ), que S = ∅ (0E es cl de cualquier grupo de vectores de E , en particular, 0E ∈ S ) y six, y ∈ S , entonces ambos vectores son cl de elementos de A, luego, la suma de ellos x + y tambien es cl de vectoresde A y, por tanto, pertenece a S . De forma analoga, se tiene que si x ∈ S , entonces αx ∈ S para cualquier escalarα. Ası, tenemos que S es sev de E .

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Por otro lado, si suponemos que S es un sev de E , entonces podemos asumir que A = S , pues S ⊆ E y S = ∅, pero,ademas, afirmamos que S = S . Para probarlo, notemos que S ⊆ S , pues todo elemento de S es cl de sı mismoy, por tanto, esta en S . La otra contencion es clara, pues toda cl de elementos en S sera un elemento de S , al serS un subespacio vectorial. Por tanto, S = S .

Ası, tenemos que todos los subespacios de un espacio vectorial son conjuntos generados por ciertos vectores delespacio.

Ejemplos:

1. Ahora podemos asegurar que los unicos subespacios vectoriales de E = R3 son los conjuntos generados.Podemos listar algunos que ya conocemos:

S = {0E } = {0E }

S = {e1, e2, e3} = R3

Si x = 0E , entoncesS =

{x}es la recta que pasa por el origen con direcci on x. Si x, y son dos vectores no paralelos, entonces

S = {x, y}es el plano que pasa por el origen con vectores directores x e y.

Una vez que desarrollemos el concepto de base, podremos probar que todos los subespacios de R3 son dealguno de los tipos descritos arriba.

2. Consideremos el subconjunto S = { p(x) ∈ E : p(0) = p(1) = p(2) = 0} del espacio vectorial E = P ≤3(R).En un ejemplo anterior ya probamos que S es sev de E , por tanto, sabemos que S puede escribirse como unconjunto generado. Determinaremos un conjunto de generadores li de S :

p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ S ⇐⇒

p(0) = a = 0

p(1) = a + b + c + d = 0

p(2) = a + 2b + 4c + 8d = 0

⇐⇒

a = 0

b + c + d = 0

b + 2c + 4d = 0

⇐⇒

a = 0

b = 2d

c = −3d

⇐⇒ p(x) = 2dx − 3dx2 + dx3 = d

2x − 3x2 + x3

Luego,

S = 2x − 3x2 + x3y el conjunto A =

2x − 3x2 + x3

es li. De hecho, podemos decir que S es una “recta” en el espacio de los

polinomios de grado menor o igual a 3.

Nota : En esta seccion hemos desarrollado dos metodos para reconocer que subconjuntos de E son subespacios:comprobando que el subconjunto es no vacıo y cerrado bajo suma y ponderacion, o determinando un conjunto degeneradores para expresar al conjunto como un conjunto generado.

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2.2. Operaciones con subespacios vectoriales

Sea E un espacio vectorial sobre R y sean S 1 y S 2 dos sev de E . Vamos a estudiar como combinar estos dossubespacios para obtener nuevos subespacios de E .

Como estamos tratando con conjuntos, es natural que combinemos estos subespacios usando las operaciones deconjunto. Pero debemos estudiar que sucede con la calidad de subespacio de los conjuntos resultantes. Es decir, nospreguntamos ¿son sev de E los conjuntos S 1 ∩ S 2 y S 1 ∪ S 2?

La respuesta, en el caso de la interseccion, es afirmativa.

Teorema. Si S 1 y S 2 son dos sev de E , entonces S 1 ∩ S 2 tambien es un sev de E .

Demostracion: Claramente, la interseccion es un subconjunto de E , pues S 1∩S 2 ⊆ S 1 ⊆ E . Ademas, S 1∩S 2 = ∅,pues 0E pertenece a todos los subespacios vectoriales de E . En particular, 0E ∈ S 1 y 0E ∈ S 2, por tanto, 0E ∈ S 1∩S 2.Ahora, si x, y ∈ S 1 ∩ S 2, entonces x, y ∈ S 1 y x, y ∈ S 2. Como cada conjunto es un subespacio, tenemos quex + y ∈ S 1 y x + y ∈ S 2. Por tanto, x + y ∈ S 1 ∩ S 2.Un argumento analogo permite demostrar que si x ∈ S 1 ∩ S 2, entonces αx ∈ S 1 ∩ S 2 para todo escalar α.

¿Que pasa en el caso de S 1 ∪ S 2?

Podemos demostrar de forma directa que S 1 ∪ S 2 ⊆ E , que S 1 ∪ S 2 = ∅ y que

(α ∈R ∧ x ∈ S 1 ∪ S 2) =⇒ α x ∈ S 1 ∪ S 2.

Pero la suma de dos elementos de la union S 1 ∪ S 2 no pertenece necesariamente a este conjunto.De hecho, si en E = R2 consideramos los subespacios S 1 =

{(1, 0)} y S 2 ={(0, 1)}, es decir, S 1 es el eje X y S 2

es el eje Y . La union S 1 ∪ S 2 consiste de ambos ejes coordenados del plano real. Pero si tomamos s1 = (1, 0) ∈ S 1y s2 = (0, 1) ∈ S 2, tendremos que s1 + s2 = (1, 1) /∈ S 1 ∪ S 2.

Entonces, en general,

S 1 ∪ S 2 no es un subespacio vectorial de E .

Nota : Se tiene que S 1 ∪ S 2 es un sev de E si y solo si S 1 ⊆ S 2 o S 2 ⊆ S 1. ¡Demuestrelo!

Podemos preguntarnos ahora por algun subespacio que contenga a S 1∪S 2. Para responder a esto, se hace la siguientedefinicion.

Definicion: Sean S 1 y S 2 dos sev de E . Se define el conjunto suma de estos subespacios por

S 1 + S 2 = {x ∈ E : x = s1 + s2 con s1 ∈ S 1 y s2 ∈ S 2}

Teorema. Si S 1 y S 2 son sev de E , entonces S 1 + S 2 es un sev de E .

Demostracion: Probaremos que S 1 + S 2 es sev de E , viendo que es un subconjunto no vacıo de E que es cerradobajo suma y ponderacion.

i) S 1 + S 2 ⊆ E , por su definicion. Consideramos solo vectores en E .

ii) S 1 + S 2 = ∅, pues como 0E ∈ S 1, 0E ∈ S 2 y 0E = 0E + 0E , tendremos que 0E ∈ S 1 + S 2.

iii) Sean x, y ∈ S 1 + S 2. Entonces existen s1, s1 ∈ S 1 y s2, s2 ∈ S 2 tales que x = s1 + s2 e y = s1 + s2. Entonces

x + y = (s1 + s2) + (s1 + s2) = s1 + s2 + s1 + s2 = (s1 + s1) ∈S 1

+ (s2 + s2) ∈S 2

Lo que significa que x + y ∈ S 1 + S 2.

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iv) Sean α ∈R y x = s1 + s2 ∈ S 1 + S 2 (claramente s1 ∈ S 1 y s2 ∈ S 2). Entonces

αx = α(s1 + s2) = αs1 ∈S 1

+ αs2 ∈S 2

y αx ∈ S 1 + S 2.

Con esto hemos probado que S 1 + S 2 es subespacio de E .

El siguiente resultado nos indica como calcular en la practica el subespacio suma cuando conocemos los gener-adores de los subespacios S 1 y S 2.

Teorema. Si S 1 = A y S 2 = B son dos sev de E , entonces S 1 + S 2 = A ∪ B.

Demostracion: Para probar que S 1 + S 2 ⊆ A ∪ B, notemos que si x ∈ S 1 + S 2, entonces x = s1 + s2 con s1 ∈ S 1y s2 ∈ S 2, es decir, x es la suma de un vector que es cl de elementos de A y de un vector que es cl de los elementosde B . Por tanto, x es cl de elementos de A y de B , lo que implica que x ∈ A ∪ B.La otra contencion se obtiene notando que un vector x ∈ A ∪ B sera una cl de vectores de A ∪ B. Podemos,entonces, separar esta suma en dos: la primera, conteniendo los terminos que involucran vectores de A y la segunda,con los terminos que involucran vectores de B. De esta manera, la primera parte de la suma sera un vector en S 1y la segunda parte de la suma sera un vector de S 2, por lo que x

∈ S 1 + S 2.

Ejemplo: Sean S 1 = {a + bx + cx2 : a + b + c = 0} y S 2 ={1, x2 − x} dos sev de E = P ≤2(R). Encontremos los

subespacios S 1 + S 2 y S 1 ∩ S 2.Por el teorema anterior, para encontrar S 1 + S 2 nos conviene tener escritos ambos subespacios como conjuntosgenerados. Entonces, partimos por encontrar un conjunto de vectores generadores de S 1:

p(x) = a + bx + cx2 ∈ S 1 ⇐⇒ a + b + c = 0

⇐⇒ a = −b − c

⇐⇒ p(x) = (−b − c) + bx + cx2

⇐⇒ p(x) = b(x − 1) + c(x2 − 1)

De esta manera, tenemos que todos los elementos de S 1 se pueden escribir como cl de los polinomios x − 1 y x2 − 1,

es decir, S 1 ={x − 1, x2 − 1}

Luego, usando el teorema anterior, tenemos que

S 1 + S 2 ={x − 1, x2 − 1}

A

+{1, x2 − x}

B

={x − 1, x2 − 1, 1, x2 − x}

A∪B

Para encontrar la interseccion de ambos subespacios, obtendremos un conjunto de vectores generadores, usando elmetodo usual (caracterizar los elementos del subespacio):

p(x) ∈ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒ p(x) ∈ S 1 y p(x) ∈ S 2

⇐⇒ p(x) = α(x − 1) + β (x2

− 1) (ya que p(x) ∈ S 1) p(x) = γ (1) + δ (x2 − x) (ya que p(x) ∈ S 2)

Igualando ambas expresiones que tenemos para p(x), tendremos que

α(x − 1) + β (x2 − 1) = γ (1) + δ (x2 − x) ⇐⇒ (−α − β − γ ) + (α + δ )x + (β − δ )x2 = 0

lo que se cumplira si y solo si α, β,γ y δ cumplen el siguiente sistema homogeneo: −α − β − γ = 0α + δ = 0β − δ = 0

11



que tiene infinitas soluciones, pues tenemos que δ es libre. Las soluciones del sistema sonαβ γ δ

=

−δ δ 0δ

Por ultimo, recordemos que estamos caracterizando los polinomios p(x) que estan en S

1 ∩ S

2. Entonces, reem-

plazamos los valores obtenidos de α,β,δ y γ en alguna de las expresiones de p(x) que tenemos. Ası, tendremosque

p(x) = α(x − 1) + β (x2 − 1) = −δ (x − 1) + δ (x2 − 1) = δ (x2 − 1 − x + 1) = δ (x2 − x)

(si reemplazamos en p(x) = γ (1) + δ (x2 − x), obtendremos el mismo resultado). Luego, todos los polinomios de lainterseccion son cl del polinomio x2 − x, es decir,

S 1 ∩ S 2 ={x2 − x}.

Definicion: Un espacio vectorial E sobre R es la suma directa de dos de sus subespacios S 1 y S 2 si se cumple

simult´ aneamente que

i ) E = S 1 + S 2.

ii ) S 1 ∩ S 2 = {0E }.

Esto se anota,E = S 1 ⊕ S 2.

Nota : En el ejemplo anterior, tenıamos que S 1∩S 2 = {0E }, por tanto, ya sabemos que P ≤2(R) no es suma directade estos subespacios. Pero, ¿se tiene que P ≤2(R) = S 1 + S 2?

¿Como decidimos si S 1 + S 2 es todo el espacio vectorial? Como S 1 + S 2 es sev de E , entonces, S 1 + S 2 ⊆ E , portanto, para determinar la igualdad basta ver si E ⊆ S 1 + S 2.

Sea p(x) = a + bx + cx2 (un elemento cualquiera de E ), si probamos que p(x) ∈ S 1 + S 2 para todo valor de a, b yc, tenemos la igualdad, si p(x) /∈ S 1 + S 2 para algunos valores de a, b y c, entonces no tenemos la igualdad.

p(x) = a + bx + cx2 ∈ S 1 + S 2 ⇐⇒ p(x) ∈ {x − 1, x2 − 1, 1, x2 − x}⇐⇒ Existen α , β , γ , δ ∈ R tales que

p(x) = α(x − 1) + β (x2 − 1) + γ (1) + δ (x2 − x)

⇐⇒ Existen α , β , γ , δ ∈ R tales que

a + bx + cx2 = (−α − β + γ ) + (α − δ )x + (β + δ )x2

Esto se traduce en el sistema −α − β + γ = a

α − δ = bβ + δ = c

Y debemos estudiar cuando este sistema tiene solucion. Analizamos la matriz ampliada asociada: −1 −1 1 0 a1 0 0 −1 b0 1 0 1 c

F 2 + F 1 ∼ −1 −1 1 0 a

0 −1 1 −1 b + a0 1 0 1 c

F 3 + F 2

12



∼ −1 −1 1 0 a

0 −1 1 −1 b + a0 0 1 0 c + b + a

Entonces el sistema tiene solucion, sin importar los valores de a, b y c. Lo que significa que p(x) = a+bx+cx2 ∈ S 1+S 2siempre. Luego,

P ≤2(R) = S 1 + S 23. Bases y dimension

3.1. Bases

Definicion: Sea E un espacio vectorial sobre R y sea S un sev de E . Un conjunto B ⊆ E es una base de S si y s´ olo si B es un conjunto generador li de S , es decir, si se tiene simult´ aneamente que

i ) B es un conjunto li

ii ) S = B

Ejemplos:

1. En E = M2×2(R), consideramos el subespacio

S =

1 00 0

,

0 10 0

,

1 10 0

De manera obvia, A =

1 00 0

,

0 10 0

,

1 10 0

es un conjunto generador de S , pero tambien es claro

que no es un conjunto li, pues 1 00 0

+

0 10 0

=

1 10 0

Para obtener una base de S eliminamos de A todos los vectores que son cl de los demas. En este caso, tenemosque

B = 1 0

0 0 ,0 1

0 0es un subconjunto li de A, pero como eliminamos un vector que esta generado por los otros dos, tendremosque B = A = S . Ası, B es un conjunto generador li de S , es decir, B es una base de S .

Solo para dejar clara la importancia de eliminar solamente los vectores que son cl de otros, consideremos elconjunto

C =

1 00 0

que es li, pero el conjunto generado por C no es S , ya que

0 10 0

no es cl de

1 00 0

.

2. En E = R3, consideremos el subespacio

S =

{(x,y,z) : x + 3y

−z = 0

}Para obtener una base de S , partimos buscando un conjunto generador:

(x,y,z) ∈ S ⇐⇒ x + 3y − z = 0

⇐⇒ z = x + 3y

⇐⇒ (x,y,x + 3y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 3)

Luego,S =

{(1, 0, 1), (0, 1, 3)}y tenemos que A = {(1, 0, 1), (0, 1, 3)} es un conjunto generador de S . Ademas, es claro que A es un conjuntoli, por tanto, A es una base de S .

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Nota : En cualquier espacio vectorial E , tenemos que S 0 = {0E } es sev de E . Ademas, tenemos que S 0 = {0E },pero el conjunto {0E } no es li, por tanto, S 0 no tiene base. Este es el unico subespacio vectorial que no tiene base,es decir,

Si S = {0E } es un sev de E , entonces S tiene al menos una base.

3.2. Dimension

Una vez tratado el concepto de base, nos interesa introducir el concepto de dimensi´ on . Para esto, se deben

establecer algunos resultados.

Teorema. Sea E un ev sobre R y S un sev de E que es generado por n vectores. Entonces todo conjunto li de vectores de S tiene a lo m´ as n vectores.

Demostracion: Sea A = {u1, . . . , un} un conjunto generador de S con n vectores y sea B = {b1, . . . , bm} unconjunto li de vectores en S . Queremos demostrar que m ≤ n.Como B es li, entonces b1 = 0E , . . . , bm = 0E y como S = A,

0E = b1 = α1u1 + α2u2 + · · · + αnun

y alguno de los coeficientes debe ser distinto de cero (si no, la cl darıa 0E ).Sin perder generalidad, vamos a suponer que α1 = 0 (si no es ese, les cambiamos el nombre a los vectores de A).Entonces,

u1 = 1α1

b1 − α2

α1u2 − · · · αn

α1un

y tendremos que {b1, u2, u3, . . . , un}

={b1, u1, u2, u3, . . . , un}

={u1, u2, u3, . . . , un}

= S

y escribimos de ahora en adelanteS =

{b1, u2, u3, . . . , un}

Ahora, b2 ∈ S , luego0E = b2 = γ 1b1 + β 2u2 + β 2u3 + · · · + β nun

Como b1 y b2 son li, entonces alguno de los β i = 0 (si todos fueran nulos, se tendrıa que b1 ser ıa un ponderado deb2) y, de nuevo, sin perder generalidad, asumimos que β 2 = 0. Entonces

u2 =

1

β 2 b2 − γ 1

β 2 b1 − β 3

β 2 u3 − · · · − β n

β 2 un

Luego {b1, b2, u3, . . . , un}

={b1, b2, u2, u3, . . . , un}

={b1, u2, u3, . . . , un}

= S

Repitiendo el proceso, vamos reemplazando cada uno de los ui por un bi en el conjunto generador de S .

Si suponemos que m > n, entonces los bi nos alcanzan (y nos sobran) para reemplazar todos los ui, es decir,tendremos que

S ={b1, b2, b3, . . . , bn}

y tendremos que bm = b1, b2, . . . , bn y que bm ∈ S , luego bm es cl de b1, b2, . . . , bn, lo que contradice el hecho de queB es un conjunto liEs decir, m no puede ser estrictamente mayor que n. Luego, m ≤ n.

Ahora probaremos que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo numero de elementos.Teorema. Sea E un ev sobre R y S un sev de E con una base de n vectores. Entonces todas las bases de S tienen n vectores.

Demostracion: Sea A = {u1, u2, . . . , un} la base con n vectores de S y sea B = {b1, b2, . . . , bm} otra base de S .Debemos demostrar que m = n.Como S es generado por A y A tiene n vectores, entonces, por el teorema anterior, tenemos que B al ser li puedetener a lo mas n vectores. Entonces m ≤ n.Pero S = B, por tanto, S tambien es generado por m vectores y usando el teorema anterior, tendremos que A nopuede tener mas de m vectores li Luego, n ≤ m.Con esto, hemos probado que n = m.

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Ahora podemos definir la dimension de un espacio vectorial.

Definicion: Sea S un sev de E . Se define la dimension de S como el n´ umero de vectores que tiene cualquier base de S .Ası, si S tiene bases finitas con n elementos, anotamos que

dim(S ) = n

si S = {0E }, entonces se define su dimensi´ on como cero (no tiene bases), entonces

dim({0E }) = 0

y si S tiene bases con infinitos elementos, entonces

dim(S ) = ∞.

Ejemplos:

1. dim(Rn) = n, pues el conjunto de los vectores canonicos B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.

2. dim(M2×2(R)) = 4, pues

1 0

0 0 ,0 1

0 0 ,0 0

1 0 ,0 0

0 1es una base de M2×2(R). En general, tendremos que

dim(Mm×n(R)) = m · n

3. dim(P ≤n(R)) = n + 1, pues {1, x , x2, . . . , xn} es una base de P ≤n(R).

4. dim(P [x]) = ∞, pues {1, x , x2, . . . , xk, . . .} =

xn : n ∈N ∪ {0} es una base de P [x].

5. dim(M2×2(C)) = 8, pues para poder generar una matriz de la forma

a + bi c + die + f i g + hi

necesitamos el conjunto

1 0

0 0 ,0 1

0 0 ,0 0

1 0 ,0 0

0 1 ,i 0

0 0 ,0 i

0 0 ,0 0

i 0 ,0 0

0 ique es una base de M2×2(C).

Notemos que si consideramos el conjunto M2×2(C) con un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos,entonces nuestros ponderadores son numeros complejos. Luego, para poder generar una matriz de la forma

a + bi c + die + f i g + hi

solo necesitamos los vectores del conjunto

1 00 0

,

0 10 0

,

0 01 0

,

0 00 1

,

pues

a + bi c + die + f i g + hi = (a + bi)1 00 0+ (c + di)0 10 0+ (e + f i)0 01 0+ (g + hi)0 00 1Entonces cuando el cuerpo del espacio vectorial es C tendremos que dim(M2×2(C)) = 4 y cuando el cuerpodel espacio vectorial es R tendremos que dim(M2×2(C)) = 8.

Conocer la dimension de un subespacio nos entrega un dato extra para poder determinar bases, como lo muestrael siguiente resultado.

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Teorema. Sea E un ev sobre R y sea S un sev de E con dim(S ) = n. Si A es un subconjunto de S con n vectores,entonces:

i ) A es base de S si y s´ olo si A es li

ii ) A es base de S si y s´ olo si S = A.

Demostracion: Si A es base de S , claramente A es li y S =

A. Luego, para ambas afirmaciones basta demostrar

la otra implicacion.

i ) Supongamos que A es li. Debemos probar que S = A (lo que significa que A es base de S ).

Pero en realidad, basta probar que S ⊆ A (la otra inclusion es obvia).

Para esto, sea s ∈ S . Si s /∈ A, entonces el conjunto A ∪ {s} es li y tiene n + 1 vectores. Pero dim(S ) = n,ası que no hay conjuntos li con mas de n vectores. Lo que nos lleva a una contradiccion.

Luego, s ∈ A y S ⊆ A.

ii ) Supongamos que S = A. Ahora, debemos probar que A es li.

De nuevo lo haremos por contradiccion.

Supongamos que A es ld. Entonces existe al menos un vector en A que es cl de los demas vectores de A,

llamemos a a ese vector. Luego, A − {a} = A = S

Pero, entonces S es generado por un conjunto de n − 1 vectores y los conjuntos li de S tienen a lo masn − 1 vectores. Pero dim(S ) = n, ası que las bases de S tienen n vectores li. De nuevo hemos llegado a unacontradiccion.

Por tanto, A es li.

Ejemplo: Sea E un espacio vectorial con base A = {v1, v2, v3, v4, v5}. Demostraremos que

B = {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, v4 + v5, v5 + v1}

tambien es una base de E .

Notemos que E es un espacio vectorial de dimension 5, pues su base A tiene 5 elementos (ası que todas las basesde E tienen 5 elementos).

Como B es un conjunto con 5 vectores de E para probar que es una base basta demostrar que B es li o bienque B = E (usamos el ultimo teorema).

Probaremos que B es li. Para esto, escribimos 0E como una cl de los vectores de B :

α1(v1 + v2) + α2(v2 + v3) + α3(v3 + v4) + α4(v4 + v5) + α5(v5 + v1) = 0E

=⇒ (α1 + α5)v1 + (α1 + α2)v2 + (α2 + α3)v3 + (α3 + α4)v4 + (α4 + α5)v5 = 0E

Pero los vectores v1, v2, v3, v4, v5 son li (pues A es base de E )

=⇒

α1 + α5 = 0α1 + α2 = 0α2 + α3 = 0α3 + α4 = 0α4 + α5 = 0

=⇒

α1 = −

α5 = α4 = −

α3 = α2 = −

α1 =⇒

α1 = 0

Luego, todos los αi son cero y los vectores de B son li

Entonces, como dim(E ) = 5 y B contiene 5 vectores li de E , tenemos que B es una base de E .

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3.3. Completacion de bases

En esta seccion estudiaremos ciertos elementos tecnicos que nos permiten encontrar bases con ciertas caracterısticasprestablecidas. Veremos como extender un conjunto de vectores li a una base, c omo determinar subespacios quesumen directamente todo el espacio y probaremos el “Teorema de la dimension para subespacios”.

Teorema. Sea E un ev sobre R y sea S un sev de E con dimensi´ on finita. Entonces todo conjunto li de vectores de S est´ a contenido en una base de S .

Demostracion: Sea n = dim(S ). Entonces todos los conjuntos li en S tienen a lo mas n vectores.Sea A = {u1, u2, . . . , uk} un conjunto li de vectores en S . Entonces , sabemos que k ≤ n.Si k = n, entonces A es una base de S (conjunto li con n = dim(S ) vectores). Entonces la base de S que contiene aA es el mismo conjunto A.Si k < n, entonces A no es base de S y, por tanto, lo que falla es que A no genera a S . Es decir, existe un vectorv1 en S que no esta en A y definimos el conjunto

A1 = A ∪ {v1} = {u1, u2, . . . , uk, v1}que es liAplicamos el mismo procedimiento y podremos construir conjuntos

A ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ · · · An−k

todos li tales que Ai = Ai−1 ∪ {ui} con ui ∈ S − Ai−1.Entonces el conjunto An−k = {u1, . . . , uk, v1, . . . , vn−k} es li y tiene n vectores, lo que implica que An−k es unabase de S que contiene a A.Nota: En la practica, para extender un conjunto li a una base se usa el siguiente procedimiento:

1. Chequear que el conjunto A es li (si A es ld no se aplica el teorema).

2. Obtener una base B cualquiera de S (si es posible, usar la base canonica).

3. Se considera el conjuntoC = A ∪ B,

que es ld.

4. Eliminar de C los vectores de B que son cl de los otros vectores de C .

Ejemplo: En E = P ≤4(R), consideramos el subespacio

S = { p(x) ∈ E : p(0) = p(0) = 0}y el conjunto A =

x3 + 7, 2x4

.

Como (x3 + 7) = 3x2, (x3 + 7) = 6x y evaluando en cero dan cero, tendremos que x3 + 7 ∈ S y como (2x4) = 8x3,(2x4) = 24x2 y tambien se obtiene cero al evaluar en cero, tendremos que 2x4 ∈ S , es decir, A ⊆ S .El conjunto A es li, pues

α(x3 + 7) + β (2x4) = 0 =⇒ 2βx4 + αx3 + 7α = 0 =⇒ α = β = 0,

por tanto, podemos extender el conjunto A a una base de S .Para esto, debemos encontrar una base BS de S . Buscamos los generadores de S :

p(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 ∈ S ⇐⇒ p(0) = 0 ∧ p(0) = 0

⇐⇒

b + 2c · 0 + 3d · 0 + 4e · 0 = 02c + 6d · 0 + 12e · 0 = 0

⇐⇒ b = 0 ∧ c = 0

⇐⇒ p(x) = a + dx3 + ex4

17



Ası,S =

{1, x3, x4}y claramente el conjunto BS = {1, x3, x4} es una base de S al ser li.Entonces consideramos el conjunto

C = A ∪ BS = {x3 + 7, 2x4, 1, x3, x4}

Por ultimo, eliminamos de C los vectores que son cl del resto. En este caso, podemos eliminar x3 y x4, ya quex3 = 1 · (x3 + 7) + (−7) · 1 y x4 = 1

2 · (2x4).Ası, B = {x3 + 7, 2x4, 1} es una base de S que contiene al conjunto original A.

Nota: Observemos que

S ={x3 + 7, 2x4, 1} =

{x3 + 7, 2x4}+{1} =

A

+

B − A

Ademas,A ∩ B − A = {0E },

pues los elementos de A y de B

−A son li

De esta manera, tendremos que S es suma directa del subespacio generado por A y del subespacio generado por loselementos de B que no estan en A.En general, supongamos que se tiene un sev S 1 de E , con base A. Para encontrar otro subespacio S 2 tal que

E = S 1 ⊕ S 2,

basta encontrar una base B de E que contiene a A y tomar S 2 como el conjunto generado por B − A.

Ahora enunciaremos y probaremos el “Teorema de la dimension para subespacios”.

Teorema. Sea E un ev sobre R y sean S 1 y S 2 dos subespacios de E , ambos con dimensi´ on finita. Entonces

dim(S 1 + S 2) = dim(S 1) + dim(S 2) − dim(S 1 ∩ S 2).

Demostracion: Sea {u1, u2, . . . , uk} una base de S 1 ∩ S 2 (es decir, ya sabemos que dim(S 1 ∩ S 2) = k).Como S 1 ∩ S 2 esta contenido tanto en S 1 como en S 2, podemos completar este conjunto li a bases de S 1 y de S 2,obteniendo:una base de S 1: {u1, u2, . . . , uk, v1, v2, . . . , vm}, lo que implica que dim(S 1) = k + m

y

una base de S 2: {u1, u2, . . . , uk, w1, w2, . . . , wn}, lo que implica que dim(S 2) = k + n.Afirmamos que

B = {u1, u2, . . . , uk, v1, v2, . . . , vm, w1, w2, . . . , wn}es una base de S 1 + S 2.Probemoslo:

i ) Probemos que B es li. Si consideramos una cl de los vectores de B igualada a 0E :

α1u1 + · · · + αkuk + β 1v1 + · · · + β mvm + γ 1w1 + · · · + γ nwn = 0E ,

debemos probar que todos los coeficientes son cero. Pero esta cl equivale a

α1u1 + · · · + αkuk + β 1v1 + · · · + β mvm = −γ 1w1 − · · · − γ nwn (1)

18



Luego, −γ 1w1 − · · · − γ nwn ∈ S 1 ∩ S 2 (esta en S 1 por la igualdad (1) y esta en S 2 por ser cl de vectores desu base). Entonces

−γ 1w1 − · · · − γ nwn = δ 1u1 + δ 2u2 + · · · + δ kuk

lo que implica queδ 1u1 + δ 2u2 + · · · + δ kuk + γ 1w1 + · · · + γ nwn = 0E .

Como estos vectores son li, tendremos que

δ 1 = δ 2 = · · · = δ k = γ 1 = γ 2 = · · · = γ n = 0.

Reemplazando estos valores en (1), tendremos que

α1u1 + · · · + αkuk + β 1v1 + · · · + β mvm = 0E

y como estos vectores tambien son li, entonces

α1 = α2 = · · · = αk = β 1 = β 2 = · · · = β m = 0.

Y hemos probado que todos los coeficientes de la cl son cero, por tanto, B es li.

ii ) Probemos, ahora que B genera S 1 + S 2. Pero esto es claro, pues

B = {u1, . . . , uk, v1, . . . , vm}+ {u1, . . . , uk, w1, . . . , wn} = S 1 + S 2.

De esta manera, tenemos que dim(S 1 + S 2) = k + m + n. Y tenemos que

dim(S 1 + S 2) = k + m + n = (k + m) + (k + n) − k = dim(S 1) + dim(S 2) − dim(S 1 ∩ S 2)

Corolario. Sean S 1 y S 2 dos sev de E . Si E = S 1 ⊕ S 2, entonces dim(E ) = dim(S 1) + dim(S 2).

Demostracion: Si E = S 1 ⊕ S 2, entonces E = S 1 + S 2 y S 1 ∩ S 2 = {0E }. Luego

dim(E ) = dim(S 1 + S 2) y dim(S 1 ∩ S 2) = dim({0E }) = 0

=⇒ dim(E ) = dim(S 1 + S 2) = dim(S 1) + dim(S 2) − dim(S 1 ∩ S 2) = dim(S 1) + dim(S 2).

Terminamos con un ejercicio “tipo prueba”.

Ejercicio: Considere los subconjuntos

W 1 =

x yz t

∈ M2×2(R) :

x + 2y − z + t = 02x − y − z + 2t = 0

−x + 3y − t = 05y − z = 0

W 2 =x y

z t

∈ M2×2(R) :x + y + z − t = 0

x + 2y − t = 02x + 3y + z − 2t = 0

del espacio vectorial E = M2×2(R).

1. Demuestre que W 1 y W 2 son sev de E .

2. Encuentre una base y la dimension de W 1.

3. Encuentre una base y la dimension de W 2.

4. Encuentre una base y la dimension de W 1 + W 2.

19



5. Encuentre una base y la dimension de W 1 ∩ W 2.

6. ¿Es E suma directa de W 1 y W 2?

Solucion:

1. Para probar que ambos subconjuntos son subespacios de E , vamos a encontrar conjuntos generadores de W 1y W 2 (el principal motivo para elegir este metodo es que todos los calculos que hagamos nos serviran para las

siguientes preguntas).Primero calcularemos los generadores de W 1:

x yz t

∈ W 1 ⇐⇒

x + 2y − z + t = 0

2x − y − z + 2t = 0−x + 3y − t = 0

5y − z = 0

Resolvemos el sistema homogeneo, pivoteando la matriz de coeficientes:

1 2 −1 12 −1 −1 2

−1 3 0 −10 5

−1 0

F 2 − 2F 1F 3 + F 1

∼

1 2 −1 10 −5 1 00 5 −1 00 5

−1 0

F 3 + F 2F 4 + F 2

∼

1 2 −1 10 −5 1 00 0 0 00 0 0 0

Ası, x yz t

∈ W 1 ⇐⇒

x = 3y − t

z = 5y

⇐⇒

x yz t

=

3y − t y

5y t

= y

3 15 0

+ t

−1 00 1

Luego,

W 1 = A, donde A =

3 15 0

,

−1 00 1

.

Entonces, W 1 es un subespacio de E .

Ahora calcularemos los generadores de W 2:x yz t

∈ W 2 ⇐⇒

x + y + z − t = 0

x + 2y − t = 02x + 3y + z − 2t = 0

Resolvemos el sistema homogeneo, pivoteando la matriz de coeficientes:1 1 1 −11 2 0 −12 3 1 −2

F 2 − F 1F 3 − 2F 1

∼1 1 1 −1

0 1 −1 00 1 −1 0

F 3 − F 2

∼1 1 1 −1

0 1 −1 00 0 0 0

Ası,

x yz t

∈ W 2 ⇐⇒

y = z

t = x + 2z

⇐⇒

x yz t

=

x zz x + 2z

= x

1 00 1

+ z

0 11 2

Luego,

W 2 = B, donde B =

1 00 1

,

0 11 2

.

Entonces, W 2 es un subespacio de E .

20



2. Notemos que A =

3 15 0

,

−1 00 1

es un conjunto li, pues ninguno de los vectores es multiplo del otro.

Entonces A es un conjunto li de generadores de W 1, es decir, A es una base de W 1 y dim(W 1) = 2.

3. Analogamente, tenemos que B =

1 00 1

,

0 11 2

es un conjunto li, pues ninguno de los vectores es

multiplo del otro.

Entonces B es un conjunto li de generadores de W 2, es decir, B es una base de W 2 y dim(W 2) = 2.4. Como W 1 = A y W 2 = B, entonces W 1 + W 2 = A ∪ B.

Es decir,

W 1 + W 2 =

3 15 0

,

−1 00 1

,

1 00 1

,

0 11 2

Para encontrar una base de W 1 + W 2 debemos determinar que vectores de A ∪ B son li. Hacemos una cl nulade los vectores:

α

3 15 0

+ β

−1 00 1

+ γ

1 00 1

+ δ

0 11 2

=

0 00 0

=⇒ 3α − β + γ α + δ 5α + δ β + γ + 2δ = 0 00 0=⇒

3α − β + γ = 0

α + δ = 05α + δ = 0

β + γ + 2δ = 0

=⇒ α = β = γ = δ = 0

Entonces A ∪ B es un conjunto de vectores li que genera a W 1 + W 2, es decir, A ∪ B es una base de W 1 + W 2y dim(W 1 + W 2) = 4.

5. Ahora, deberıamos encontrar la interseccion de W 1 con W 2. Pero esto no sera necesario, pues sabemos que

dim(W 1 + W 2) = dim(W 1) + dim(W 2)

−dim(W 1

∩W 2)

=⇒ dim(W 1 ∩ W 2) = dim(W 1) + dim(W 2) − dim(W 1 + W 2) = 2 + 2 − 4 = 0

Y como el unico subespacio de con dimension cero es el conjunto formado solo por el cero del espacio, tenemosque

W 1 ∩ W 2 =

0 00 0

y W 1 ∩ W 2 no tiene una base.

6. Como E = W 1 ⊕ W 2 si y solo si E = W 1 + W 2 y W 1 ∩ W 2 = {0E }, debemos decidir si E = W 1 + W 2 (pues laotra condicion la tenemos).

Pero dim(W 1

+ W 2

) = 4 = dim(E ), luego W 1

+ W 2

= E pues la base de W 1

+ W 2


Luego, E sı es suma directa de W 1 y W 2.

21



4. Sistemas de coordenadas y cambio de base

4.1. Sistemas de coordenadas

En esta seccion comenzaremos a reconocer las caracterısticas comunes de todos los espacios vectoriales quecomparten dimension. Para esto, el primer paso sera instalar en cada espacio vectorial un sistema de coordenadas.Este proceso consiste en fijar una base del espacio vectorial y usarla como el sistema de referencia para describir elresto de los vectores del espacio.

Consideraremos, de aquı en adelante, las bases de un espacio vectorial como conjuntos ordenados. De estamanera, en E = R4, tendremos que

B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

yB2 = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}

son dos bases distintas del espacio, pues a pesar de contener los mismos cuatro vectores, estos estan ubicados endistinto orden dentro de la base. Ası, hablaremos frecuentemente de bases ordenadas de E .

Antes de hacer la definicion formal del sistema de coordenadas, revisaremos el siguiente resultado.

Teorema. Sea E un espacio vectorial sobre R y B = {b1, b2, . . . , bn} una base de E . Entonces, para cada elementox ∈ E existen ´ unicos escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R tales que

x = α1b1 + α2b2 + · · · + αnbn.

Demostracion: Como B es base de E , tenemos que E = B. Luego, es claro que todo x ∈ E se puede escribircomo una combinacion lineal de los elementos de B. Lo que debemos demostrar es la unicidad de los coeficientesde esta combinacion.Entonces, supongamos que existen dos conjuntos de escalares α1, . . . , αn y β 1, . . . , β n tales que

x = α1b1 + α2b2 + · · · + αnbn y x = β 1b1 + β 2b2 + · · · + β nbn.

Igualando ambas expresiones de x y reordenando la expresion en los elementos de la base, obtenemos que

(α1 − β 1)b1 + (α2 − β 2)b2 + · · · + (αn − β n)bn = OV .

Esto implica que α1 − β 1 = 0, α2 − β 2 = 0, . . . , αn − β n = 0, pues los vectores de la base son li. Es decir, loscoeficientes de la cl son unicos.

Ahora estamos en condiciones de definir el sistema de coordenadas con respecto a una base fija.

Definicion: Sea E un ev sobre R y sea B = {u1, . . . , un} una base de E . Para cada x ∈ E , se define su vectorcoordenada en la base B como

x

B

=

α1

α2

...

αn

∈ Rn,

donde los αi son los coeficientes de la cl que describe x en terminos de los vectores de la base B. Es decir,

x = α1u1 + α2u2 + · · · + αnun

22



Ejemplos:

1. Sea E = R3. Al considerar la base canonica de E , BC = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}, tenemosque cualquier vector x = (x,y,z) cumple que

x = x e1 + y e2 + z e3,

entonces xBC

= xyz

Es decir, el sistema de coordenadas dado por la base canonica de R3 coincide con las coordenadas cartesianasque se usan para definir inicialmente R3.

Consideremos otra base de E , por ejemplo, B1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Calculemos el vector coordenadade x = (x,y,z) en esta nueva base. Para esto, determinemos la cl correspondiente:

x = α(1, 1, 1) + β (0, 1, 1) + γ (0, 0, 1) = (α, α + β, α + β + γ )

=

⇒ α = x

α + β = y

α + β + γ = z

=⇒

α = xβ = y − xγ = z − y

=⇒ x = x(1, 1, 1) + (y − x)(0, 1, 1) + (z − y)(0, 0, 1)

=⇒ [x]B1 =

xy − xz − y

Por ultimo, si tomamos la base B2 =

{(0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 0, 1)

}, que tiene los mismos elementos de B1 pero

en distinto orden. Entonces, el vector coordenada de x = (x,y,z) es

[x]B2 =

y − xx

z − y

(las coordenadas cambian de orden, pero contiene las mismas componentes).

2. Sea E = P ≤2(R) y consideremos tres bases de E : B1 = {1, x , x2}, B2 = {1, 1 + x, 1 + x + x2} y B3 ={1, 1 + x + x2, 1 + x}.

Determinemos los vectores coordenadas del vector p(x) = (2x − 1)2 en cada una de estas bases.

Como p(x) = 4x2

−4x + 1 = 1 + (

−4)x + 4x2, tendremos que p(x)B1

= 1

−4

4 .

Para determinar p(x)

B2

, debemos escribir p(x) como cl de los vectores de B2:

p(x) = 4x2 − 4x + 1 = α(1) + β (1 + x) + γ (1 + x + x2)

= (α + β + γ ) + (β + γ )x + γx2

Entonces: α + β + γ = 1

β + γ = −4γ = 4

=⇒ γ = 4, β = −8, α = 5

23



Por tanto, p(x)

B2

=

5−84

y como B3 contiene los mismos vectores de B2 aunque en distinto orden,

tendremos que p(x)

B3

=

54

−8

.

Queda propuesto determinar los vectores coordenadas con respecto a estas tres bases de un polinomio generico

de E : p(x) = a + bx + cx2

.

A continuacion enunciamos las principales propiedades de los vectores coordenadas:

Teorema. Sean E un ev sobre R, B = {u1, . . . , un} una base de E y x, x1, x2, . . . , xk vectores de E . Entonces:

1. El vector coordenada de x en la base B es ´ unico.

2. Si x1 = x2, entonces

x1

B =

x2

B

.

3.

x1 + x2

B

=

x1

B

+

x2

B

y, para todo α ∈R,

αx1

B

= α

x1

B

.

4. {x1, x2, . . . , xk} es li en E si y s´ olo si x1B, x2B , . . . , xkB es li en Rn.

Demostracion:

1. Es directo del primer teorema de la seccion. Como B es base, x puede escribirse de manera unica como cl dela base, entonces el vector coordenada es unico.

2. Si x1 = x2, entonces los vectores deben escribirse como distintas cl de los vectores de B (si las combinacionesfueran iguales, entonces x1 = x2).

3. Si x1 = α1u1 + · · · + αnun y x2 = β 1u1 + · · · + β nun, entonces

x1 + x2 = (α1 + β 1)u1 + · · · + (αn + β n)un

y αx1 = αα1u1 + · · · + ααnun.

En lenguaje de vectores coordenados, lo anterior se anota:

x1

B

=

α1

...αn

,

x2

B

=

β 1...

β n

,

x1 + x2

B

=

α1 + β 1...

αn + β n

,

αx1

B

=

αα1

...ααn

Ahora, la afirmacion es obvia.

4. Notemos que

c1x1 + · · · + ckxk

B

= c1

x1

B

+ · · · + cn

xk

B

y que OV B = 0 ∈Rn. Con estas dos observaciones, demostrar la afirmacion es directo. Queda propuesto.

24



4.2. Matrices de cambio de bases

Con frecuencia, el problema no sera obtener las coordenadas de un vector particular con respecto a distintasbases, sino mas bien cambiar simultaneamente las coordenadas de todos los vectores de un espacio vectorial queestaban escritos en una base inicial a una nueva base. Este proceso se conoce como un cambio de base del espacioo cambio de coordenadas y, usando todo nuestros conocimientos previos sobre Rn, concluiremos que el cambio debase se lleva a cabo mediante una unica matriz que hara todo el trabajo.

Definicion: Sea E un ev sobre R y sean B1 y B2 dos bases distintas de E . Se define la matriz de cambio debase de B1 a B2, que anotamos

IdB2

B1

, como la ´ unica matriz que cambia las coordenadas con respecto a la base B1 en coordenadas con respecto a B2 para todo vector x del espacio, es decir,

∀x ∈ E

xB2

=

IdB2

B1

xB1

Usando la definicion de matriz de cambio de base, podemos determinar mas concretamente la forma de la matrizde cambio de base.

Si dim(E ) = n, B1 = {u1, u2, . . . , un} y B2 = {v1, v2, . . . , vn}, tendremos que tanto

xB1

como

xB2

son

vectores de Rn. Entonces queremos determinar la matriz

Id

B2

B1

de n × n tal que

∀x ∈ E

xB2

=

IdB2

B1

xB1

(2)

Describamos la matriz por columnas: IdB2

B1

=

c1 |c2 | · · · |cn

Para encontrar la i-esima columna usaremos la igualdad (2) para x = ui (el i-esimo vector de la base B1). Como

ui = 0 · u1 + 0 · u2 + · · · + 1 · ui + · · · + 0 · un,

entonces

uiB1

=

00

...1...0

con el 1 en el i-esimo lugar. Luego, (2) sera:

ui

B2

=

Id

B2

B1

ui

B1

=

c1 |c2 | · · · |cn

00...1...0

= ci.

Es decir, la columna i-esima de la matriz buscada sera

uiB2

y, por tanto,

IdB2

B1

=

u1

B2

u2

B2

· · · unB2

Ahora, por el ultimo teorema, tenemos que las columnas de

IdB2

B1

son li, por tanto, la matriz es invertible ytendremos que su inversa sera

IdB2

B1

−1=

IdB1

B2

.

25



Ejemplo: Sea E = P ≤3(R) y seaS = { p(x) ∈ E : p(1) = p(1) = 0}.

Determinaremos dos bases de S y encontraremos la matriz de cambio de base entre ellas.

Determinaremos un conjunto generador de S primero:

p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ S ⇐⇒

p(1) = a + b + c + d = 0 p(1) = b + 2c + 3d = 0

⇐⇒

b = −2c − 3da = −b − c − d = c + 2d

c, d libres

⇐⇒ p(x) = (c + 2d) + (−2c − 3d)x + cx2 + dx3

⇐⇒ p(x) = c(1 − 2x + x2) + d(2 − 3x + x3)

EntoncesS =

{1 − 2x + x2, 2 − 3x + x3}y B1 = {1 − 2x + x2

u1

, 2 − 3x + x3 u2

} es una base porque

α(1

−2x + x2) + β (2

−3x + x3) = 0 =

⇒(α + 2β ) + (

−2α

−3β )x + αx2 + βx3 = 0

=⇒ α = β = 0

¿Como obtenemos una segunda base de S ? Bueno, ya sabemos que dim(S ) = 2, por tanto, s olo debemosencontrar dos vectores de S que sean li.

En general siempre se tendra lo siguiente (buen dato para generar nuevas bases a partir de bases conocidas):

Si {u1, u2, . . . , un} es base de un ev E , entonces

u1, u1 + u2, . . . ,

nk=1

ui


En nuestro caso particular, si tomamos los vectores

v1 = u1 = 1 − 2x + x2

y

v2 = u1 + u2 = (1 − 2x + x

2

) + (2 − 3x + x

3

) = 3 − 5x + x

2

+ x

3

tendremos que forman una nueva base de S :

B2 = {1 − 2x + x2 v1

, 3 − 5x + x2 + x3 v2

}

Ahora determinaremos la matriz

IdB2

B1

. Para eso, debemos escribir cada uno de los vectores de la base B1 comocl de los vectores de la base B2:

u1 = v1 =⇒ u1

B2

=

10

u2 = v2 − u1 = v2 − v1 =⇒

u2

B2

=

−11

Entonces: IdB2

B1

= u1B2

u2B2

= 1 −10 1

Si calculamos la inversa de esta matriz:

1 −1 1 00 1 0 1

∼

1 0 1 10 1 0 1

Tendremos que

IdB1

B2

=

IdB2

B1

−1=

1 10 1

Pero esto ya lo sabıamos, pues v1 = u1 y v2 = u1 + u2.

26



Ejercicios

I. Espacios Vectoriales

1. Demuestre que el conjunto V = {(x,y,z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z > 0} es un espacio vectorial sobre R con lasoperaciones ⊕ (suma) y · (ponderacion) definidas por

(a,b,c) ⊕ (x,y,z) = (ax,by,cz)

α · (x,y,z) = (xα, yα, zα)

2. Decida si el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a 2, V = P ≤2(R), es un espacio vectorial sobreR con las operaciones definidas por

(a0 + a1x + a2x2) ⊕ (b0 + b1x + b2x2) = (a0 + b1) + (a1 + b0)x + (a2 + b2)x2

λ · (a0 + a1x + a2x2) = λa0 + λa1x + λa2x2

3. Decida si el conjunto de las matrices de 2 × 2 con componentes reales, V = M2×2(R), es un espacio vectorialsobre R con las operaciones definidas por

a bc d

⊕a bc d

= a + a 1c + c + 1 0

α ·

a bc d

=

αa αbαc αd

II. Subespacios Vectoriales

1. Demuestre que el conjunto

S =

{ p(x)

∈ P (R) :

1

−1

p(x)dx = 0

}es un subespacio de V = P (R) (el espacio de los polinomios con coeficientes en R).

2. Demuestre que las matrices simetricas forman un subespacio vectorial del espacio de las matrices de n × ncon entradas reales. ¿Que sucede con las matrices antisimetricas?

3. En cada caso, decida si el conjunto S en un subespacio vectorial del espacio V indicado.

a ) S = {f ∈ V : f (c) = 0}, V es el espacio de las funciones continuas definidas en el intervalo [a, b] yc ∈ (a, b).

b) S = {(x,y,z) : xyz ≥ 0}, V = R3.

c ) S = {(x1, x2, x3, . . . , xn) : x1 = x2}, V = Rn.

d ) S = {

Ax : x ∈Rn

}, V = Rm donde A

∈M

m×n

(R)}

fija.

e ) S = { p(x) : p(0) = 2k, k ∈ Z}, V = P ≤n(R).

f ) S = { p(x) : p(k) para todo k ∈ N}, V = P ≤n(R).

g ) S = {A : det(A) = 0}, V = Mn×n(R).

h ) S = { p(x) : p(x) = p(x) + x}, V = P ≤n(R).

i ) S = {a + bx3 : a ∈R, b ∈R, b ≥ 0}, V = P ≤3(R).

27



4. Sea V un espacio vectorial sobre R y sean U , S y W subespacios de V que satisfacen las siguientes condiciones:

U ∩ S = U ∩ W (3)

S ⊆ W (4)

Suponga que

u + w = u

+ sdonde u y u son vectores de U , w ∈ W y s ∈ S . Demuestre que w ∈ S .

5. Sea V un espacio vectorial sobre R y sean S , T y U subespacios de V . Demuestre que: T ∩ (S + U ) = {0V }

S ∩ U = {0V } ⇐⇒

T ∩ S = {0V }(T + S ) ∩ U = {0V }

6. Sean S 1, S 2 y S 3 subespacios del espacio vectorial V tales que S 1 ⊆ S 3. Demuestre que

S 1 + (S 2 ∩ S 3) = (S 1 + S 2) ∩ S 3

De un ejemplo que muestre que si la condicion S 1

⊆ S 3 no se cumple, entonces la igualdad anterior no es

necesariamente valida.

7. El conjunto de todas las sucesiones reales

R∞ = {(xn)n∈N : xn ∈ R}

es un espacio vectorial sobre R. Determine cuales de los siguientes conjuntos de sucesiones son subespacios deR∞.

a ) Todas las sucesiones que incluyen infinitos ceros (Ejemplo: xn = 1 + (−1)n).

b) Todas las sucesiones con xj = 0 a partir de algun termino en adelante.

c ) Todas las sucesiones decrecientes, es decir, aquellas para las cuales xn−1 ≥ xn para todo n ∈N.

d ) Todas las sucesiones convergentes, es decir, aquellas para las cuales lımn→∞

xn existe.

e ) Todas las progresiones aritmeticas, es decir, aquellas para las cuales xn−1 − xn es la misma para todo n.

f ) Todas las progresiones geometricas, es decir, todas las de la forma (x1, kx1, k2x1, . . .), admitiendo cualquierk y cualquier x1.

III. Dependencia e Independencia Lineal. Bases y Dimensiones

1. Las funciones f 1(x), f 2(x), . . . , f n(x) definidas en un intervalo I son l.i. en I si

c1f 1(x) + c2f 2(x) + . . . + cnf n(x) = 0 para todo x ∈ I

implica que c1 = c2 = . . . = cn = 0. El siguiente problema muestra las tecnicas mas comunes utilizadas paradeterminar la independencia lineal de las funciones f i en el intervalo I .

a ) Se define el Wronskiano de las funciones f 1, . . . , f n por

W (x) =

f 1(x) f 2(x) · · · f n−1(x) f n(x)f 1(x) f 2(x) · · · f n−1(x) f n(x)

· · · · · · . . . · · · · · ·f (n−1)1 (x) f

(n−1)2 (x) · · · f

(n−1)n−1 (x) f

(n−1)n (x)

.

Demuestre que si existe c ∈ I tal que W (c) = 0, entonces las funciones f i(x) son l.i. en el intervalo I .

28



b) Demuestre que si existen x1, x2, . . . , xn ∈ I tales que

f 1(x1) f 2(x1) · · · f n−1(x1) f n(x1)f 1(x2) f 2(x2) · · · f n−1(x2) f n(x2)

· · · · · · . . . · · · · · ·f 1(xn) f 2(xn) · · · f n−1(xn) f n(xn)

= 0

entonces las funciones f i son l.i. en el intervalo I .

c ) Demuestre que si la matriz A = (aij), donde aij =

ba

f i(x)f j(x)dx, tiene inversa, entonces las funciones

f i son l.i. en el intervalo I = [a, b].

2. a ) Demuestre que x y |x| son l.i. en el intervalo [−1, 1], pero son l.d. en el intervalo [0, 1].

b) Demuestre que las funciones ex, e−x, e2x son l.i. en cualquier intervalo I .

c ) Demuestre que las funciones sen(x), cos(x) son l.i. en [0, π].

d ) Demuestre que las funciones sen2(x), cos2(x), 1 son l.d. en cualquier intervalo I .

e ) Demuestre que las funciones sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x) son l.i. en el intervalo (−∞, ∞).

f ) Demuestre que el conjunto con infinitos vectores {sen(nx) : n ∈N} es l.i. en el intervalo [0, π].

3. Sea V un espacio vectorial sobre R y sea A = {a1, a2, . . . , an} un conjunto de vectores l.i. de V . Si x1, x2, . . . , xnson numeros reales que satisfacen la siguiente condicion:

ni=1

xiai =

ni=1

i2

i + 1ai −

ni=1

(n + 1 − i)bi,

donde bi = an+1−i, i = 1, 2, . . . , n, encuentre los valores de x1, x2, . . . , xn.

4. Sean u1, u2 y u3 vectores de un espacio vectorial V sobre R. Determine todos los valores de α y β para loscuales

{u1, u1 + αu2, u1 + βu2 + αu3} = {u1, u2, u3}.

5. Sean R = 0 1 20 0 1

0 0 0 y W =

{A

∈M3×3(R) : AR = RA

}. Demuestre que W es un subespacio de las matrices

de 3 × 3 y encuentre base y dimension de W .

6. Sea V un espacio vectorial sobre R. Demuestre que un conjunto B de vectores en V es base de V si y solo siB es l.i. y, ademas, B ∪ {v} es l.d. para todo vector v ∈ V \ B.

7. Dado

W =

(a,b,c,d,e) ∈R5 :

3x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4 − x5 = a(k − 1)x1 + 3x2 − x3 + 7x4 + x5 − 5x6 = b

x1 + x2 − x3 + 2x4 − x6 = c−x1 + x2 + 3x3 + 4x4 + 2x5 − 5x6 = d

(k + 2)x1 + 5x2 − 5x3 + 10x4 − 5x6 = e

es compatible

Determine la dimension de W , dando bases adecuadas para cada valor de k en R.

8. Sea p(x) = 1 + x + x2 + · · · + xn. Decida si el conjunto

B = { p(x), p(x), p(x), p(3)(x), . . . , p(n−1)(x), p(n)(x)}es base de P ≤n(R).

9. En V = M2×2(R), se define

S =

1 2k 1

,

0 1

p 0

,

k 12 3

,

Encuentre los valores de k y p de modo que dim(S ) = 2.

29



10. Sea S = {x ∈R6 : Ax = 0}, donde

A =

1 −1 2 3 a −1−1 1 −1 −4 −2 b3 −3 8 7 c − 4 −5

y a, b, c ∈R.

Determine todos los valores de a, b y c para los cuales dim(S ) = 4 y demuestre que T = {(a,b,c) : dim(S ) = 4}es un subespacio de R3. ¿Cual es la dimension de T ?

11. Sea V un espacio vectorial sobre R y sea {u1, u2, . . . , ur} la base del subespacio W de V . Demuestre que{u1, u2 + 2u1, . . . , ur + ru1} tambien es una base de W .

IV. Operaciones de Subespacios Vectoriales. Extension de bases

1. Sean S =

x yz t

:

x + y + z + t = 02x − 5y + 3z − 2t = 0

x − 6y + 2z − 3t = 0

y T =

1 11 1

,

2 1−1 −2

.

a ) Demuestre que S es subespacio de V = M2×2(R) y encuentre una base de S y dim(S ).

b) Encuentre S ∩ T , base y dimension.

c ) Encuentre S + T , base y dimension.

2. Sean W 1 = {1 + 2x − 5x2 + x3, −3 + x + 2x2 + 2x3, 1 + 9x − 18x2 + 6x3} y

W 2 =

a + bx + cx2 + dx3 :

a + b + c = 0a + c + 3d = 0b − 3d = 0c + 5d = 0

subespacios de P ≤3(R). Encuentre bases y dimensiones de estos conjuntos. Decida si P ≤3(R) = W 1 ⊕ W 2.

3. En el espacio vectorial de las funciones reales continuas considere los subespacios:

S = {e−x p(x) + exq (x) : p(x), q (x) ∈ P ≤n(R)}T = {e−x p(x) : p(x) ∈ P ≤n(R)}

a ) Encuentre una base de T y determine dim(T ).

b) Pruebe que T es un subespacio de S y encuentre otro subespacio S de S tal que S = T ⊕ S .

4. En V = P ≤3(R) sean

S = { p(x) ∈ V : p(1) = 0 y 2 p(0) + 3 p(0) + 1

6 p(0) = 0}

T = {a + bx + cx2 + dx3 ∈ V : a − b + c − d = 0 y 5a + c + d = 0}

a ) Demuestre que S y T son subespacios de V .b) Demuestre que V = S ⊕ T .

c ) Se define el subespacio U = {x3 − x2 − x + 1, x2 + x + 2}, determine U ∩ S , una base y dim(S ∩ U ).

5. Sea X una matriz de n × n con rango r. Considere el subespacio vectorial de V = Mn×n(R)

W = {Y ∈ V : X Y = O}.

Determine la dimension W .

6. Sea S 1 = {A ∈ Mn×n(R) : tr(A) = 0}. Determine la dimension del subespacio S 1 y otro subespacio S 2 deMn×n(R) tal que Mn×n(R) = S 1 ⊕ S 2.

30



7. Demuestre que si V = W 1 ⊕ W 2, entonces para cada vector v ∈ V existe un unico vector w1 ∈ W 1 y un unicow2 ∈ W 2tales que

v = w1 + w2.

8. Encuentre el valor de λ para que q (x) = −1 + x + λx2 + 3x3 + x4 pertenezca al subespacio

S =

{ p(x)

∈ P ≤4(R) : p(4)(2) = 12 p(0) + 4 p(0)

}.

Determine una base de S y extienda la base de S encontrada a una base de P ≤4(R).

9. En cada caso, decida si el subconjunto de V = M2×2(R) se puede extender a una base de V . Si esto es posible,encuentrela.

a ) A1 =

1 1−2 −6

,

1 −11 2

b) A2 =

−3 10 1

,

0 −11 1

,

1 11 1

c ) A3 =

1 23 4

,

−1 −10 1

,

2 6

12 18

,

−9 32 1

10. Sea n ∈ N. Considere el subespacio vectorialS 1 = { p(x) ∈ P ≤n+5(R) : p(0) = p(0) = p(0) = p(3)(0) = · · · = p(n−1)(0) = 0}

de P ≤n+5(R).

a ) Encuentre una base y la dimension de S 1.

b) Determine un subespacio S 2 de P ≤n+5(R) tal que S 1 ⊕ S 2 = P ≤n+5(R).

11. En el espacio vectorial V = M3×2(R), considere los subespacios

S 1 =

1 3−1 0

1 2

S 2 =

0 2

−2 01 4

,

1 11 00 −2

,

1 4−1 1

3 1

S 3 =

a d

b ec f

∈ V :

a + 2b + c = 03a − d = 0

a + b + e = 0−a + b + f = 0

a ) Demuestre que S 1 ⊆ S 2 y que S 1 ⊆ S 3.

b) Encuentre una base y la dimension de S 1 ∩ S 2 ∩ S 3.

c ) Demuestre que dim(S 1 + S 2 + S 3) = 4 y encuentre una base B de S 1 + S 2 + S 3.d ) Encuentre una base de V que contenga a B (la base encontrada en la parte anterior).

V. Coordenadas. Matriz de cambio de base

1. Sea V un espacio vectorial dado y sea A = {u1, u2, u3, u4} una base de V . Demuestre que B = {u1, u1 +

u2, u1 + u2 + u3, u1 + u2 + u3 + u4} tambien es base de V . Si x ∈ V es tal que [x]A =

2

−103

, encuentre [x]B.

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2. Sean B1 = {1 + x − x2, 1 + 2x + 3x2, x} y B2 = {1 + 2x − x2, 3 + x, 1} bases de V = P ≤2(R).

a ) Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2 y la matriz de cambio de base de B2 a B1.

b) Si [ p(x)]B2 =

111

, determine [ p(x)]B1 y determine explıcitamente p(x).

3. Considere el subespacio de V = M2×2(R)

S =

x yz t

∈ V : x + y + z + t = 0

.

Encuentre dos bases de S y la matriz de cambio de base entre ellas.

4. En R2, la matriz P =

µ λ−λ µ

representa el cambio de base de una base B a otra B .

a ) Determine el valor de λ y de µ, sabiendo que existe un vector v ∈ R2 para el cual

[v]B =

−1−5

y [v]B =

1−1

b) Ademas, si se tuviera que B = {(1, 3), (−1, 1)}, encuentre la base B .

5. El conjunto B = {1 + x + 2x2, 1−x, −x2} es una base de P ≤2(R). Si P =

1 2 −12 4 23 1 2

es la matriz de cambio

de base de B a otra base B , determine B .

Apunte Espacios Vectoriales Reales

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