Apunte Mr Isdecat de Dibujo Tecnico.

1

1- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

INTRODUCCIÓN

Desde sus orígenes, el hombre ha tratado decomunicarse mediante grafismos o dibujos. Lasprimeras representaciones que conocemos son laspinturasrupestres, en ellas no solo se intentaba representar larealidad que le rodeaba, animales, astros, al propio serhumano, etc., sino también sensaciones, como la alegríade las danzas, o la tensión de las cacerías.

A lo largo de la historia, este ansia de comunicarsemediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un ladoal dibujo artístico y por otro al dibujo técnico. Mientras elprimero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándoseen la sugerencia y estimulando la imaginación delespectador, el dibujo técnico, tiene como fin, larepresentación de los objetos lo más exactamente posible,en forma y dimensiones.

Hoy en día, se está produciendo una confluenciaentre los objetivos del dibujo artístico y técnico. Esto esconsecuencia de la utilización de los ordenadores en eldibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtualesen 3D, que si bien representan los objetos en verdaderamagnitud y forma, también conllevan una fuerte carga desugerencia para el espectador.

Imagen generada con 3DStudio 4 BLL

EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ANTIGÜEDAD

La primera manifestación del dibujo técnico, data del año 2450 antes de Cristo, en un dibujo de construcciónque aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea, llamada El arquitecto, y que se encuentra en el museodel Louvre de París. En dicha escultura, de forma esquemática, se representan los planos de un edificio.

Del año 1650 a.C. data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio, redactó, en un papiro de de 33 por 548 cm.,una exposición de contenido geométrico dividida en cinco partes que abarcan: la aritmética, la esteorotomía, lageometría y el cálculo de pirámides. En este papiro se llega a dar valor aproximado al numero .

En el año 600 a.C., encontramos a Tales, filósofo griego nacido en Mileto. Fue el fundador de la filosofíagriega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tenía conocimientos en todas las ciencias, perollegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía, después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 demayo del 585 a.C.. Se dice de él que introdujo la geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto. Susconocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas. Tales no dejó escritos; elconocimiento que se tiene de él, procede de lo que se cuenta en la metafísica de Aristóteles.

Del mismo siglo que Tales, es Pitágoras, filósofo griego, cuyas doctrinas influyeron en Platón. Nacido en la islade Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro yAnaxímedes. Fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. Adicha escuela se le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro yoctaedro. Pero quizás su contribución más conocida en el campo de la geometría es el teorema de la hipotenusa,

2

conocido como teorema de Pitágoras, que establece que "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa,es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

En el año 300 a.C., encontramos a Euclides, matemático griego. Su obra principal "Elementos de geometría",es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudesinconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudio en Atenas con discípulos de Platón. Enseñógeometría en Alejandría, y allí fundó una escuela de matemáticas.

Arquímedes (287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobregeometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto.Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados limitadospor superficies curvas. Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que lacircunscribe. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (), la proporción entre eldiámetro y la circunferencia de un circulo, y estableció que este número estaba en 3 10/70 y 3 10/71.

Apolonio de Perga, matemático griego, llamado el "Gran Geómetra", que vivió durante los últimos años delsiglo III y principios del siglo II a.C. Nació en Perga, Panfilia (hoy Turquía). Su mayor aportación a la geometría fue elestudio de las curcas cónicas, que reflejó en su Tratado de las cónicas, que en un principio estaba compuesto porocho libros.

EL DIBUJO TÉCNICO EN LA ERA MODERNA

Es durante el Renacimiento, cuando las representaciones técnicas, adquieren una verdadera madurez, son elcaso de los trabajos del arquitecto Brunelleschi, los dibujos de Leonardo de Vinci, y tantos otros. Pero no es, hastabien entrado el siglo XVIII, cuando se produce un significativo avance en las representaciones técnicas.

Uno de los grandes avances, se debe al matemático francés Gaspard Monge (1746-1818). Nació en Beaune yestudió en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesorde física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesorde física en Mézières. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometríadescriptiva durante más de diez años. Es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometríadescriptiva es la que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales delos objetos. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación, que sirven a este fin, como la perspectivacónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrolladopor Monge en su primera publicación en el año 1799.

Finalmente cave mencionar al francés Jean Victor Poncelet (1788-1867). A él se debe a introducción en lageometría del concepto de infinito, que ya había sido incluido en matemáticas. En la geometría de Poncellet, dosrectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se cortarían en el infinito. El desarrollo de estanueva geometría, que él denominó proyectiva, lo plasmó en su obra "Traité des propietés projectivas des figures" en1822.

La última gran aportación al dibujo técnico, que lo ha definido, tal y como hoy lo conocemos, ha sidola normalización. Podemos definirla como "el conjunto de reglas y preceptos aplicables al diseño y fabricación deciertos productos". Si bien, ya las civilizaciones caldea y egipcia utilizaron este concepto para la fabricación deladrillos y piedras, sometidos a unas dimensiones preestablecidas, es a finales del siglo XIX en plena RevoluciónIndustrial, cuando se empezó a aplicar el concepto de norma, en la representación de planos y la fabricación depiezas. Pero fue durante la 1ª Guerra Mundial, ante la necesidad de abastecer a los ejércitos, y reparar losarmamentos, cuando la normalización adquiere su impulso definitivo, con la creación en Alemania en 1917, delComité Alemán de Normalización.

CLASIFICACION DE LOS DIBUJOS TECNICOS

2











2











3

Veremos en este apartado la clasificación de los distintos tipos de dibujos técnicos según la norma DIN 199.Aclaramos que la utilización de una norma extranjera se debe únicamente a la carencia de una norma españolaequivalente.

La norma DIN 199 clasifica los dibujos técnicos atendiendo a los siguientes criterios:

- Objetivo del dibujo- Forma de confección del dibujo.- Contenido.- Destino.

Clasificación de los dibujos según su objetivo:

- Croquis: Representación a mano alzada respetando las proporciones de los objetos.- Dibujo: Representación a escala con todos los datos necesarios para definir el objeto.- Plano: Representación de los objetos en relación con su posición o la función que cumplen.- Gráficos, Diagramas y Ábacos: Representación gráfica de medidas, valores, de procesos de trabajo, etc.

Mediante líneas o superficies. Sustituyen de forma clara y resumida a tablas numéricas, resultados deensayos,

procesos matemáticos, físicos, etc.

Clasificación de los dibujos según la forma de confección:

- Dibujo a lápiz: Cualquiera de los dibujos anteriores realizados a lápiz.- Dibujo a tinta: Ídem, pero ejecutado a tinta.- Original: El dibujo realizado por primera vez y, en general, sobre papel traslúcido.- Reproducción: Copia de un dibujo original, obtenida por cualquier procedimiento. Constituyen los dibujos

utilizadosen la práctica diaria, pues los originales son normalmente conservados y archivados cuidadosamente,

tomándoseademás las medidas de seguridad convenientes.

Clasificación de los dibujos según su contenido:

- Dibujo general o de conjunto: Representación de una máquina, instrumento, etc., en su totalidad.- Dibujo de despiece: Representación detallada e individual de cada uno de los elementos y piezas no

normalizadasque constituyen un conjunto.

- Dibujo de grupo: Representación de dos o más piezas, formando un subconjunto o unidad de construcción.- Dibujo de taller o complementario: Representación complementaria de un dibujo, con indicación de detalles

auxiliares para simplificar representaciones repetidas.- Dibujo esquemático o esquema: Representación simbólica de los elementos de una máquina o instalación.

Clasificación de los dibujos según su destino:

- Dibujo de taller o de fabricación : Representación destinada a la fabricación de una pieza, conteniendotodos los

datos necesarios para dicha fabricación .- Dibujo de mecanización: Representación de una pieza con los datos necesarios para efectuar ciertas

operaciones del proceso de fabricación . Se utilizan en fabricaciones complejas, sustituyendo a losanteriores.

3





















3





















4

- Dibujo de montaje: Representación que proporciona los datos necesarios para el montaje de los distintossubconjuntos y conjuntos que constituyen una máquina, instrumento, dispositivo, etc.

- Dibujo de clases: Representación de objetos que sólo se diferencian en las dimensiones.- Dibujo de ofertas, de pedido, de recepción: Representaciones destinadas a las funciones mencionadas.

2-GEOMETRIA PLANA2.1 TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO

CONCEPTOS Y DESIGNACIÓN DE LOS ELEMENTOS

En este tema, estudiaremos las construcciones geométricas sencillas y elementales, que nos servirán debase para trazados posteriores de mayor complegidad.

En toda construcción gemétrica debe tenerse en cuenta la rapidez y la precisión de los trazados. Estasdos premisas serán la base de cualquier trazado en Dibujo Técnico, tanto si se trata de trabajos realizados conherramientas clásicas, como el compás, escuadra, cartabón, etc., como si es realizado con ordenador. Lo quebásicamente a aportado el diseño gráfico por ordenador al Dibujo Técnico, ha sido precisamente la rapidez, ysobre todo la precisión de los trazados.

CONCEPTOS Y DESIGNACIÓN DE LOS ELEMENTOS

PUNTO. Se define como la intersección de dos rectas. No tiene dimensiones, y se nombra con una letramayúscula (punto P).LÍNEA. Es una sucesión de puntos. Una línea se denomina recta, cuando los puntos van en una mismadirección, en caso contrario se denomina curva. Las líneas tienen una dimensión, y se nombran con una letraminúscula (recta r o curva c).

SEMIRRECTA. Es una recta limitada por un extremo, y se nombra mediante el punto origen y el nombre de larecta(semirrecta A-r).SEGMENTO. Es una porción de línea limitada por dos puntos. Si la línea origen es recta, se denomina segmento,y si la línea origen es curva se denomina arco. Se nombra mediante los puntos de sus extremos (segmento AB oarco AB).

LÍNEA QUEBRADA. Es la formada por varios segmentos o arcos.

PLANO. Un plano se define como la superficie generada por una recta al girar con respecto a un ejeperpendicular a ella, tiene dos dimensiones. Se nombra mediante letras minúsculas del alfabeto griego (plano ).Y queda definido por: -Dos rectas que se cortan. -Dos rectas paralelas.

5

-Una recta y un punto. -O tres puntos.

ÁNGULO. Se define como la porción de plano comprendida entre dos semirectas que tienen un mismo origen.Dichas semirrectas serán los lados del ángulo, y su origen común el vértice de dicho ángulo. Se nombranmediante una letra mayúscula, o una letra minúscula del alfabeto griego (ángulo A o ángulo )

2.2 TRIÁNGULOSDEFINICÓN, NOMENCLATURA, CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

DEFINICIÓN

El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más importante, tanto por la grancantidad de construcciones que se pueden plantear, como por tratarse de la figura que servirá de base para laconstrucción de otras más complejas, tanto planas como espaciales.

Se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos, o como la porción comúnde tres semiplanos pertenecientes a un mismo plano.

Subir

6

NOMENCLATURA

En la figura siguiente se puede apreciar la nomenclatura a utilizar, para designar los diferentes elementos de untriángulo.

Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, y los ángulos correspondientes, mediante la misma letramayúscula, pero con acento circunflejo, o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designarán mediante lamisma letra del vértice opuesto, pero en minúscula.

El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de triángulos rectángulos, lahipotenusa se designará con la letra "a".

SubirCLASIFICACIÓN

Los triángulos se clasifican en función de la longitud de sus lados, o del valor de sus tres ángulos internos.

Teniendo en cuenta la lóngitud de sus lados, los triángunos se denominan: Equiláteros si tienen sus tres ladosiguales, Isósceles si tienen dos lados iguales y uno desigual, y Escalenos si tienen los tres lados desiguales.

Teniendo en cuenta el valor de sus tres ángulos internos, los triángunos se denominan: Acutángulos si tienen sustres ángulos agudos, Rectángulos si tienen un ángulo recto, y obtusángulos si tienen un ángulo obstuso.

7

PROPIEDADES

1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º.

Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que:

-Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.

-En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º.

-Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dosángulos interiores no adyacentes.

2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de losotros dos, y mayor que su diferencia.

3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, yse denomina equilátero.

8

2.3 ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO

Si trazamos las mediatrices de los tres lados de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que sedemomina Circuncentro (Oc), y que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

BISECTRICES, INCENTRO Y EXICENTRO

Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, quese denominaIncentro(Oi), y que resulta ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Si trazamos las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambasbisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido,dicho punto se denomina Exicentro(Oe), y que resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior altriángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, podremos obtener hasta tres Exicentros.

9

ALTURAS, ORTOCENTRO Y TRIÁNGULO ÓRTICO

Las Alturas de un triángulo, son las tangentes trazadas desde cada vértice al lado opuesto, o su prolongación.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Ortocentro (Oo). El triánguloresultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo órtico, y el Ortocentro(Oo)resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico.

Si por cada unos de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectasdeterminan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, ycomo vemos en la figura, el Ortocencentro (Oo) del triángulo dado es el centro de la circunferenciacircunscrita del triángulo circunscrito.

10

MEDIANAS Y BARICENTRO

Las medianas de un triángulo, son las rectas que unen cada vértice con el centro del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Baricentro(Ob). El segmentode mediana que va desde cada vértice al baricentro es 2/3 de la mediana, y en consecuencia, el segmento demediana restante será 1/3 de la misma.

Si por los pies de las medianas, trazamos rectas paralelas a las otras dos medianas, veremos como se dibuja unhexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son 1/3 de cada mediana.

11

SEGMENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER O FEUERBACH

En todo triángulo, el Ortocentro, el Baricentro y el Circuncentro están alineados, y el segmento que definen sedenomina segmento de Euler.

El centro del Segmento de Euler, es el centro(Oe) de la Circunferencia de Euler. La Circunferencia de Eulertiene la propiedad de pasar por nueve puntos:

- Los 3 pies de las alturas- Los 3 pies de las mediatrices de los lados- Los 3 puntos medios de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo

RECTA DE SIMPSON

Las Rectas de Simpson son las rectas que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto dela circunferencia circunscrita, a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones.

12

CIRCUNFERENCIA DE TAYLOR

La Circuferencia de Taylor es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desdelos pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker.

TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN

Dado un triángulo cualquiera ABC, si construimos los triángulos equiláteros exteriores, cuyas bases sean loslados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulosa 1-2-3, serán los vértices del triángulo de Napoleónexterior.

Si sobre ese mismo triángulo construimos los triángulos equiláteros interiores, cuyas bases sean los lados dedicho triángulo, los centros de esos tres triángulos 1'-2'-3', serán los vértices del triángulo de Napoleón interior.

Los dos triángulos de Napoleón son triángulos equiláteros, y se cumple que la diferencia entre sus áreas, es igualal área del triángulo base ABC.

13

2.4 POLÍGONOS REGULARESCONSIDERACIONES GENERALES

Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscritoy circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista delos vértices y lados del mismo.

Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el centro del polígono, y suslados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados delpolígono (ver figura).

Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor es igual a 180º, menos el valordel ángulo central correspondiente.

14

Si unimos todos los vértices del polígono, deforma consecutiva, dando una sola vuelta a lacircunferencia, el polígono obtenido sedenomina convexo. Si la unión de los vértices serealiza, de forma que el polígono cierra después dedar varias vueltas a la circunferencia, sedenomina estrellado. Se denomina falso estrelladoaquel que resulta de construir varios polígonos convexoso estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es elcaso del falso estrellado del hexágono, compuesto pordos triángulos girados entre sí 60º.

Para averiguar si un polígono tiene construcciónde estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los

números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto adicho número de lados. Por ejemplo: para el octógono (8 lados), los números menores que la mitad de sus lados sonel 3, el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 8 solo tendremos el 3, por lo tanto podremos afirmar que el octógonotiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 3 en 3 (ver figura).

En un polígono regular convexo, se denomina apotena a la distancia del centro del polígono al punto medio decada lado (ver figura).

En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos sus lados.

El área de un polígono regular convexo, es igual al producto del semiperímetro por la apotema.

2.5 CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dichacircunferencia en un número partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerdacorrespondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención delángulo central del polígono correspondiente.

Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo dela circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino,que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, conobjeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.

TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción exacta)

15

Comenzaremos trazando dos diámetrosperpendiculares entre sí, que nos determinarán,sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4respectivamente.

A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremosdos arcos, de radio igual al de la circunferenciadada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremosun arco del mismo radio, que nos determinará elpunto C sobre la circunferencia dada.

Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos eltriángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo lospuntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágonoinscrito; para su total construcción solo tendríamosque llevar este lado, 12 veces sobre lacircunferencia.

De los tres polígonos, solo el dodecágonoadmite la construcción de estrellados,concretamente del estrellado de 5. El hexágonoadmite la construcción de un falso estrellado,formado por dos triángulos girados entre sí 60º.

NOTA: Todas las construcciones de esteejercicio se realizan con una misma aberturadel compás, igual al radio de la circunferenciadada.

CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)

16

Comenzaremos trazando dos diámetrosperpendiculares entre sí, que nos determinarán,sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7respectivamente.

A continuación, trazaremos las bisectricesde los cuatro ángulos de 90º, formados por ladiagonales trazadas, dichas bisectrices nosdeterminarán sobre la circunferencia los puntos 2,4, 6 y 8.

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos elcuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito.

El cuadrado no admite estrellados. El octógonosí, concretamente el estrellado de 3. El octógonotambién admite la construcción de un falsoestrellado, compuesto por dos cuadrados giradosentre sí 45º.

NOTA: De esta construcción podemos deducir, la forma deconstruir un polígono de doble número de lados que unodado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de losángulos centrales del polígono dado, y estas nosdeterminarán, sobre la circunferencia circunscrita, losvértices necesarios para la construcción.

PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta)

Comenzaremos trazando dos diámetrosperpendiculares entre sí, que nos determinaránsobre la circunferencia dada los puntos A- B y 1-Crespectivamente. Con el mismo radio de lacircunferencia dada trazaremos un arco de centroen A, que nos determinará los puntos D y E sobrela circunferencia, uniendo dichos puntosobtendremos el punto F, punto medio del radio A-O

Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágonoinscrito, mientras que la distancia O-G es el ladodel decágono inscrito.

Para la construcción del pentágono y eldecágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10veces respectivamente, a lo largo de lacircunferencia.

El pentágono tiene estrellado de 2. El decágonotiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formadopor dos pentágonos estrellados girados entre sí36º.

17

HEPTÁGONO (construcción aproximada)

Comenzaremos trazando una diagonal de lacircunferencia dada, que nos determinará sobreella puntos A y B.

A continuación, con centro en A, trazaremos elarco de radio A-O, que nos determinará, sobre lacircunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichospuntos obtendremos el punto D, punto medio delradio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado delheptágono inscrito.

Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre lacircunferencia, para obtener el heptágono buscado.Como se indicaba al principio de este tema,partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tresveces en cada sentido de la circunferencia, paraminimizar los errores de construcción.

El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2.

NOTA: Como puede apreciarse en laconstrucción, el lado del heptágono inscrito enuna circunferencia, es igual a la mitad del ladodel triángulo inscrito.

ENEÁGONO (construcción aproximada)

Comenzaremos trazando dos diámetrosperpendiculares, que nos determinarán, sobre lacircunferencia dada, los puntos A-B y 1-Crespectivamente.

Con centro en A, trazaremos un arco de radioA-O, que nos determinará, sobre la circunferenciadada, el punto D. Con centro en B y radio B-D,trazaremos un arco de circunferencia, que nosdeterminará el punto E, sobre la prolongación de ladiagonal 1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-A, trazaremos un arco de circunferencia quenos determinará el punto F sobre la diagonal C-1.En 1-F habremos obtenido el lado del eneágonoinscrito en la circunferencia.

Procediendo como en el caso del heptágono,llevaremos dicho lado, 9 veces sobre lacircunferencia, para obtener el heptágono buscado.

El eneágono tiene estrellado de 4 y de 2.También presenta un falso estrellado, formado por3 triángulos girados entre sí 40º.

18

DECÁGONO (construcción exacta)

Comenzaremos trazando dos diámetrosperpendiculares, que nos determinarán, sobre lacircunferencia dada, los puntos A-B y 1-6respectivamente.

Con centro A, y radio A-O, trazaremos un arcoque nos determinará los puntos C y D sobre lacircunferencia, uniendo dichos puntos,obtendremos el punto E, punto medio del radio A-O. A continuación trazaremos la circunferencia decentro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, lacual intercepta a la circunferencia anterior en elpunto F, siendo la distancia 1-F, el lado deldecágono inscrito.

Procediendo con en el caso del heptágono,llevaremos dicho lado, 10 veces sobre lacircunferencia, para obtener el decágono buscado.

El decágono como se indicó anteriormentepresenta estrellado de 3, y un falso estrellado,formado por dos pentágonos estrellados, giradosentre sí 36º.Subir

PENTADECÁGONO (construcción exacta)

Esta construcción se basa en la obtención delángulo de 24º, correspondiente al ángulo interiordel pentadecágono. Dicho ángulo lo obtendremospor diferencia del ángulo de 60º, ángulo interior delhexágono inscrito, y el ángulo de 36º, ángulointerior del decágono inscrito.

Comenzaremos conlas construcciones necesarias para la obtencióndel lado del decágono (las del ejercicio anterior),hasta la obtención del punto H de la figura.

A continuación, con centro en C trazaremos unarco de radio C-H, que nos determirá sobre lacircunferencia el punto 1. de nuevo con centro enC, trazaremos un arco de radio C-O, que nosdeterminará el punto 2 sobre la circunferencia.

Como puede apreciarse en la figura, el ánguloCO1 corresponde al ángulo interior del decágono,de 36º, y el ángulo CO2 corresponde al ángulointerior del hexágono, de 60º, luego de sudiferencia obtendremos el ángulo 1O2 de 24º,

19

ángulo interior del pentadecágono buscado, siendoel segmento 1-2 el lado del polígono. Solo restallevar, por el procedimiento ya explicado, dicholado, 15 veces sobre la circunferencia dada.

El pentadecágono presenta estrellado de 7, 6, 4y 2, así como tres falsos estrellados, compuestopor: tres pentágonos convexos, tres pentágonosestrellados y 5 triángulos, girados entre sí, en todoslos casos, 24º.

2.6 CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO DEL CONVEXO, EL LADO DELESTRELLADO O LA DISTANCIA ENTRE CARAS

PENTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Dividiendo el lado del pentágono en mediay extrema razón, obtendremos la diagonal delpentágono buscado, solo restará construirlopor simple triangulación.

Comenzaremos trazando la perpendicularen el extremo 2 del lado, con centro en 2trazaremos un arco de radio 1-2, que nosdeterminará sobre la perpendicular anterior elpunto A, y trazaremos la mediatriz delsegmento A-2, que nos determinará su puntomedioB.

A continuación, con centro en B,trazaremos la circunferencia de radio A-B.Uniremos el punto 1 con el punto B, laprolongación de esta recta, interceptará a lacircunferencia anterior en el punto C, siendo1-C el lado del estrellado, o diagonal delpentágono buscado.

Por triangulación obtendremos los vérticesrestantes, que uniremos convenientemente,obteniendo así el pentágono buscado.

20

PENTÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta)

Operaremos como en el caso anterior,obteniendo en la media razón del lado delestrellado, el lado del convexo.

Como en el caso anterior, trazaremos laperpendicular en el extremo A del lado, concentro en A, trazaremos un arco de radio A-1,que determinará el punto B, sobre dichaperpendicular, y trazaremos la mediatriz delsegmento A-B, que nos determinará puntomedio C.

A continuación, con centro en Ctrazaremos una circunferencia de radio A-C.Uniendo el punto 1 con el punto C, esta rectadeterminará sobre la circunferencia anteriorel punto 5, siendo el segmento 1-5, el ladodel convexo del pentágono buscado.

Completaremos el trazado portriangulación, obteniendo así los vérticesrestantes, y uniéndolos convenientemente.

HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada)

Siendo el segmento 1-2 el lado delheptágono, comenzaremos trazando lamediatriz de dicho lado, y trazaremos laperpendicular en su extremo 2.

A continuación, en el extremo 1construiremos el ángulo de 30º, queinterceptará a la perpendicular trazada en elextremo 2, en el punto D, la distancia 1-D, esel radio de la circunferencia circunscrita alheptágono buscado, con centro en 1 y radio1-D, trazamos un arco de circunferencia queinterceptará a la mediatriz del lado 1-2 en elpunto O, centro de la circunferenciacircunscrita.

Solo resta construir dicha circunferenciacircunscrita, y obtener los vértices restantesdel heptágono, que convenientementeunidos, nos determinarán el polígonobuscado.

21

OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Siendo el segmento 1-2 el lado deloctógono, comenzaremos trazando uncuadrado de lado igual al lado del octógonodado.

A continuación, trazaremos la mediatrizdel lado 1-2, y una diagonal del cuadradoconstruido anteriormente, ambas rectas secortan en el punto C, centro del cuadrado.Con centro en C trazaremos la circunferenciacircunscrita a dicho cuadrado, dichacircunferencia intercepta a la mediatriz dellado 1-2, en el punto O, centro de lacircunferencia circunscrita al octógonobuscado.

Solo resta construir dicha circunferenciacircunscrita, y obtener los vértices restantesdel octógono, que convenientemente unidos,nos determinarán el polígono buscado.

ENEÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada)

Dado el lado 1-2 del eneágono,construiremos un triángulo equilátero condicho lado, hallando el tercer vértice en A.

A continuación, trazaremos la mediatrizdel lado A-2, de dicho triángulo, que pasarápor el vértice 1, y la mediatriz del lado 1-2,que pasará por A. Con centro en A y radio A-B, trazaremos un arco, que determinarásobre la mediatriz anterior el punto O, queserá el centro de la circunferencia circunscritaal eneágono buscado.

Solo resta trazar dicha circunferenciacircunscrita, y determinar sobre ella losvértices restantes del polígono, queconvenientemente unidos nos determinaránel eneágono buscado.

22

DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Dividiendo el lado del decágono en mediay extrema razón, obtendremos el radio de lacircunferencia circunscrita al polígono.

Comenzaremos trazando la perpendicularen el extremo 2 del lado, con centro en 2trazaremos un arco de radio 1-2, que nosdeterminará sobre la perpendicular anterior elpunto A, trazaremos la mediatriz delsegmento A-2, que nos determinará su puntomedio B, y con centro en B trazaremos lacircunferencia de radio B-A.

Uniendo el punto 1 con el B, en suprolongación obtendremos el punto C sobrela circunferencia anterior, siendo 1-C, el radiode la circunferencia circunscrita al polígono.A continuación, trazaremos la mediatriz dellado 1-2, y con centro en 1 un arco de radio1-C, que determinará sobre la mediatrizanterior, el punto O, centro de lacircunferencia circunscrita.

Solo resta trazar dicha circunferenciacircunscrita, y determinar sobre ella losvértices restantes del polígono, queconvenientemente unidos nos determinaránel decágono buscado.

DECÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcción exacta)

Dividiendo el lado del decágono en mediay extrema razón, obtendremos el radio de lacircunferencia circunscrita al polígono y ellado del convexo.

Comenzaremos trazando la perpendicularen el extremo 2 del lado, con centro en 2trazaremos un arco de radio 2-A, que nosdeterminará sobre la perpendicular anterior elpunto B, trazaremos la mediatriz delsegmento B-2, que nos determinará su puntomedio C, y con centro en C trazaremos lacircunferencia de radio C-B.

A continuación, uniremos A con C,determinando el punto D, sobre lacircunferencia anterior, siendo A-D el radio dela circunferencia circunscrita. Trazando unarco con centro en A, y radio A-D,

23

determinaremos sobre el lado del estrelladodado el punto 1, resultando en 1-2 el lado deldecágono convexo correspondiente. Concentro en 1 y 2 trazaremos dos arcos, deradio igual R, que nos determinarán en O, elcentro de la circunferencia circunscrita alpolígono.

Solo resta trazar dicha circunferenciacircunscrita, y determinar sobre ella losvértices restantes del polígono, queconvenientemente unidos nos determinaránel decágono buscado.

HEXÁGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta)

Comenzaremos trazando dos rectasparalelas, r y s, y trazaremos unaperpendicular a ambas rectas, que nosdeterminará los puntos 1 y 3.

Con vértice en 1, construiremos un ángulode 30º, que nos determinará sobre la recta sel punto 4, por dicho punto trazaremos unaperpendicular que nos determinará el punto 6sobre la recta r. En los segmentos 3-4 y 1-6,habremos obtenido el lado del hexágonobuscado, la obtención de los dos vérticesrestantes, se hará por simple triangulación.

Solo nos resta unir todos los vértices, paraobtener el hexágono buscado.

24

OCTÓGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcción exacta)

Dada la distancia entre caras d, con dichadistancia construiremos un cuadrado devértices A, B, C y D, mediante el trazado desus diagonales obtendremos su centro en O.

Con centro en los cuatro vértices delcuadrado anterior, trazaremos arcos de radioigual a la mitad de la diagonal del cuadrado,arcos que pasarán por O, y que nosdeterminarán sobre los lados del cuadrado,los puntos 1, 2, 3, ... y 8, vértices delpolígono.

Solo nos resta unir todos los vértices, paraobtener el octógono buscado.

CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL CONVEXO

Aunque en este caso, se trata de laconstrucción de un decágono, elprocedimiento es aplicable a cualquier otropolígono.

Comenzaremos por la construcción de undecágono inscrito en una circunferenciacualquiera, por el procedimiento ya visto en eltema anterior, obteniendo en este caso, unode sus lados en 1'-2'.

A partir del vértice 1', y sobre laprolongación del lado 1'-2', llevaremos lalongitud del lado del decágono buscado,obteniendo el punto G. Prolongaremos losradios O-1' y O-2'. Por G trazaremos unaparalela al radio O-1', que determinará sobrela prolongación del radio O-2', el punto 2,siendo este uno de los vértices del polígonobuscado, y resultando la distancia O-2, elradio de la circunferencia circunscrita a dichopolígono. Trazaremos dicha circunferenciacon centro en O, que interceptará a laprolongación del radio O-1' en el punto 1, otro

25

vértice del polígono buscado, obteniendo enla cuerda 1-2 el lado del polígono buscado.

Solo resta determinar sobre lacircunferencia circunscrita, los vérticesrestantes del polígono, queconvenientemente unidos nos determinaránel decágono buscado.

CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULAR DADO EL LADO DEL ESTRELLADO

Como en caso anterior, aunque se tratade la construcción de un decágono, elprocedimiento es aplicable a cualquier otropolígono.

Procederemos, como en el caso anterior,construyendo un decágono inscrito en unacircunferencia cualquiera, por elprocedimiento ya visto en el tema anterior,obteniendo en este caso, uno de los lados delestrellado en 1'-4'.

A partir del vértice 1', y sobre laprolongación del lado 1'-4', llevaremos lalongitud del lado del estrellado dado,obteniendo el punto G. Prolongaremos losradios O-1' y O-4'. Por G trazaremos unaparalela al radio O-1', que determinará sobrela prolongación del radio O-4', el punto 4,siendo este uno de los vértices del polígonobuscado, y resultando la distancia O-4, elradio de la circunferencia circunscrita a dichopolígono. Trazaremos dicha circunferenciacon centro en O, que interceptará a laprolongación del radio O-1' en el punto 1, otrovértice del polígono buscado, obteniendo enla cuerda 1-4 el lado del estrellado buscado.

Solo resta determinar sobre lacircunferencia circunscrita, los vérticesrestantes del polígono, queconvenientemente unidos nos determinaránel decágono buscado.

26

3. GEOMETRIA DESCRIPTIVA

3.1 SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

GENERALIDADES

Todos los sistemas de representación, tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, como esuna hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio.

Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación. Pero todos elloscumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentessistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, elsistema debe permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.

Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un plano, que se denomina plano del cuadro o deproyección, mediante los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyección utilizados, la situaciónrelativa de estos respecto al objeto, así como la dirección de los rayos proyectantes, son las características que diferencian alos distintos sistemas de representación.

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

En todos los sistemas de representación, la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, serealiza mediante los rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto,proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto.

Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos seránparalelos entre sí, dando lugar a la que se denomina, proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al planode proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano,estaremos ante laproyección cilíndrica oblicua.

Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyección central o cónica.

Proyección cilíndrica ortogonal Proyección cilíndrica oblicua Proyección central o cónica

27

TIPOS Y CARACTERÍSTICAS

Los diferentes sistemas de representación, podemos dividirlos en dos grandes grupos: los sistemas de medida ylos sistemas representativos.

Los sistemas de medida, son el sistema diédrico y el sistema de planos acotados. Se caracterizan por la posibilidadde poder realizar mediciones directamente sobre el dibujo, para obtener de forma sencilla y rápida, las dimensiones y posiciónde los objetos del dibujo. El inconveniente de estos sistemas es, que no se puede apreciar de un solo golpe de vista, la forma yproporciones de los objetos representados.

Los sistemas representativos, son el sistema de perspectiva axonométrica, el sistema de perspectiva caballera, elsistema deperspectiva militar y de rana, variantes de la perspectiva caballera, y el sistema de perspectiva cónica o central.Se caracterizan por representar los objetos mediante una única proyección, pudiéndose apreciar en ella, de un solo golpe devista, la forma y proporciones de los mismos. Tienen el inconveniente de ser mas difíciles de realizar que los sistemas demedida, sobre todo si comportan el trazado de gran cantidad de curvas, y que en ocasiones es imposible tomar medidasdirectas sobre el dibujo. Aunque el objetivo de estos sistemas es representar los objetos como los vería un observador situadoen una posición particular respecto al objeto, esto no se consigue totalmente, dado que la visión humana es binocular, por loque a lo máximo que se ha llegado, concretamente, mediante la perspectiva cónica, es a representar los objetos como losvería un observador con un solo ojo.

En el siguiente cuadro pueden apreciarse la características fundamentales de cada unos de los sistemas derepresentación.

Sistema Tipo Planos deproyección

Sistema deproyección

Diédrico De medida DosProyeccióncilíndricaortogonal

Planosacotados De medida Uno

Proyeccióncilíndricaortogonal

Perspectivaaxonométrica Representativo Uno

Proyeccióncilíndricaortogonal

Perspectivacaballera Representativo Uno

Proyeccióncilíndricaoblicua

Perspectivamilitar Representativo Uno


Perspectivade rana Representativo Uno


Perspectivacónica Representativo Uno

Proyeccióncentral ocónica

28

4. CURVAS CONICAS

DEFINICIÓN

Se denomina superficie cónica de revolución, a la superficie generada por una recta denominada generatriz, al girarentorno a otra recta denominada eje.

El punto donde la generatriz corta al eje se denomina vértice V de la superficie cónica.

Si un plano , intercepta a una superficie cónica de revolución, la sección producida se denomina superficie cónica, y sucontorno es una curva plana de segundo grado.

Las curvas cónicas propiamente dichas son tres Elipse, Parábola e Hipérbola.

La Elipse se genera cuando el plano es oblicuo respecto al eje, y corta a todas las generatrices.

La Parábola se genera cuando el plano es paralelo a una generatriz.

La Hipérbola se genera cuando el plano es paralelo a dos generatrices. Por cuestiones didácticas y de mejorcomprensión, se suele representar utilizando un plano paralelo al eje de la superficie cónica de revolución.

29

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLAEn la siguiente figuras puedes apreciar mejor en rojo, las curvas cónicas obtenidas.

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLAAl interceptar una superficie cónica de revolución con un plano, podemos contemplar dos ángulos, elformado por el

eje y la generatriz, y el formado por el eje y el plano de corte.

La relación entre estos ángulos determina el tipo cónica generada, como se puede apreciar en las figuras siguientes.

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA

30

CÓNICAS SINGULARES O DEGENERADAS

En función de la posición del plano de corte y las propiedades del cono, se pueden obtener otras curvas cónicas que sedenominan singulares o degeneradas.

Puntpo

TEOREMA DE DANDELÍN

Según el teorema de Dandelín, si trazamos las esferas tangentes interiores a la superficie cónica de revolución y al planoelque la corta, los puntos de intersección f y f' de dicha esfera con la recta r, eje de las curvas cónicas, son losdenominados focos de las curvas.

Mientras en la elipse y en la hipérbola hay dos focos, en la parábola solo tendremos uno.

Elipse Parábola Hipérbola

4.1 ELIPSE

DEFINICIÓN

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de lospuntos del plano cuya suma de distancias r+r', a dos puntos fijos F y F', denominadosfocos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D,ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumpleque .

31

La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, sedenominan radios vectores r y r', y por definición se cumple que r+r' = 2a.

PROPIEDADES Y ELEMENTOS

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de lasperpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También sepuede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con lacircunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes ala elipse

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focosde la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. Lacircunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otrofoco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico delos centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferenciafocal del otro foco.

32

CONCEPTO DE DIÁMETROS CONJUGADOS

Si tenemos un diámetro de la elipse A'B', el diámetro conjugado con él, es el lugargeométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estoscentros determinan el diámetro conjugado D'C' del dado.

Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entresi.

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bienobtener los ejes reales de la misma.

33

OBTENCIÓN DE LOS EJES REALES, A PARTIR DE LOS EJES CONJUGADOS

Dados los ejes conjugados de una elipse A'B' y C'D', podremos obtener a partir de elloslos ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:1. 1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A'B',y sobre el llevaremos la distancia O-A', determinando el punto 1.2. 2.- Uniremos el punto 1 con C', y determinaremos el punto medio 2, de dichosegmento.3. 3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-O, que determinará sobre laprolongación del segmento 1-C', los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan lasdirecciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.4. 4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro1-C'. Uniendo elcentro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo lasdistancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.5. 5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, lasdimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales dela elipse AB y CD.

TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma dedistancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radiosvectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor, 1, 2, 3 etc., ycogeremos como parejas de radios vectores, los segmentosA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente,determinando los puntos 1', 2', 3', etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de lamisma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o

33







33







34

bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS

Trazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntosde la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES CONJUGADOS

Trazaremos el romboide A'O'C'E', y dividiremos los lados A'O' y A'E' en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C'1-D'1, C'2-D'2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntosde la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

35

TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico delos pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremosdicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a laelipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIAS AFINES

Comenzaremos trazando las circunferencias de centro O, y diámetrosAB y CD.

36

Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2. Pordichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que esde la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.

TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE DOS DIÁMETROS CONJUGADOS POR TRIÁNGULOSSEMEJANTES AFINES

Partiendo de los ejes conjugados A'B' y C'D', comenzaremos trazando la circunferencia de centro O ydiámetro A'B'.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A'B', como la 1-2. Uniendo 2 con C',y 1 con D', obtendremos los triángulos O2C' y O1D'. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulossemejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C', obteniendo así puntos de la elipse.

37

RECTA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO DE LA ELIPSE

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores endicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

38

RECTA TANGENTE A LA ELIPSE EN UN PUNTO POR CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios delos radios vectores del punto P, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2,determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2, y F'-P y O-T1 son respectivamente paralelas.

39

SubirRECTAS TANGENTES A LA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIA FOCAL

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntossimétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, ya continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F', la cual corta a la focal en los puntos F'1 y F'2. Dichospuntos son los simétricos del F' respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F'-F'1 y F'-F'2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán lastangentes a la elipse buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F'1 y F-F'2, que determinarán sobrelas tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

40

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIA PRINCIPAL

Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación lacircunferencia de centro enC, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremoslas rectas O1 y O2, y por F' las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, lospuntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

41

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIAFOCAL

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el puntoes un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la rectaperpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F'. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, lospuntos F'1 y F'2.

Las mediatrices de los segmentos F'-F'1 y F'-F'2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F'1 y F-F'2, que determinarán sobre lastangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIAPRINCIPAL

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular ala dirección d, y que pase por el foco F'. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S,pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por R y S las rectas t1 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientesparalelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.

42

PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE

Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferenciasque pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos unacircunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F'. En nuestro caso hemos trazado lacircunferencia de centro C1. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F', respecto ala recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasandopor P y F', sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferenciasque pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F', obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias decentro en r y que pasen por P y F'.

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, lospuntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichascircunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, lospuntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la elipse.

43

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA. RADIOS DE CURVATURA

Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectrizde los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje mayor en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal,que determinará sobre la recta P-O, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, queinterceptará a la normal en el puntoCp, centro de curvatura buscado.

Partiendo de la normal, podríamos haber llegado a la misma solución, determinando el punto 3 sobre el ejemenor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta P-O, el punto 4. Pordicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro decurvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rectángulo OBMC.Seguidamente trazaremos por M, la perpendicular a la recta C-B, que determinará los puntos CB y Cc,respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que serán los centros de curvatura buscados.

44

4.2 PARÁBOLA

DEFINICIÓN

La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r.

El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La distancia FD, del foco a ladirectriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del segmentoFD, es el punto V, que se denominavértice de la parábola.

45


La parábola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vértices se encuentra en el infinito, así como elcentro de la curva. Partiendo de esta consideración, comprobaremos que las propiedades enunciadas para la elipse,se cumplen igualmente en la parábola.

La circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la curva, y dado que el centro de la curva se encuentraen el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta perpendicular al eje en el vértice V. La circunferenciaprincipal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a lastangentes (t) de la parábola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen el foco, conla circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la parábola.

La única circunferencia focal Cf de la parábola, tendrá su centro en el infinito, y deberá pasar por el punto D,simétrico del foco respecto a la tangente el en vértice de la curva, resultando por tanto, una recta coincidente conla directriz de la parábola. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos delfoco F, respecto a las tangentes (t) de la parábola.

Observando la figura, también podemos definir la parábola, como el lugar geométrico de los centros decircunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.

46

TRAZADO DE LA PARÁBOLA MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuanta la definición de la parábola, buscaremos puntos equidistantes del foco F, y la directriz d. Paraello determinaremos una serie de puntos sobre el eje, 1, 2, 3, etc., por los que trazaremos paralelas a la directriz.Trazando arcos de circunferencia de centro en F, y radio las distancias D1, D2, D3, etc., determinaremos sobrelas correspondientes paralelas anteriores, los puntos 1', 2', 3', etc., puntos de la parábola buscada.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán dos puntos de la parábola, uno en cada rama de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la parábola, que deberá realizarse,o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

47

TRAZADODE LA PARÁBOLA POR HACES PROYECTIVOS

Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y trazaremos el rectángulo APCV, ydividiremos los lados APy PC en un mismo número de partes iguales.

Por las divisiones de AP, trazaremos paralelas al eje de la curva, y uniremos las divisiones de CP, con elvértice V de la curva. La intersección de estas rectas con las paralelas anteriores, determinarán puntos, como el P,pertenecientes a la parábola buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la parábola.

TRAZADO DE LA PARÁBOLA POR ENVOLVENTES

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso, la tangente a la curva en elvértice, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a laparábola.

Para este trazado partiremos de puntos 1, 2, 3, etc, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con elfoco F, y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentosl F1, F2, F3, etc., obteniendo lasrectas tangentes a la parábola. La curva se determinará mediante tangentes a dichas rectas.

48

TRAZADO DE LA PARÁBOLA EN BASE A LA DEFINICIÓN DE LA CURVA

Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros decircunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.

Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el foco de la curva F, con puntos de la directriz d. .

Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de intersección con lacircunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto s. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz delsegmento F1, y tangente a la la curva.

Trazando por el punto 1, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptará a la tangente anteriormentetrazada en el puntoT1, punto de la parábola.

Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada.

49

RECTA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO DE LA PARÁBOLA

La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dichopunto.


RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIA FOCAL

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el lugar geométrico de los

50

puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la parábola.

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en P, y radio P-F, lacual corta a la focal (directriz), en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentesa la parábola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F-F1 y F-F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán lastangentes a la parábola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas paralelas al eje de la curva,que determinaránsobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIAPRINCIPAL

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el vértice),y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en lospuntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1-F1=1-F y 2-F2=2-F, y por F1 y F2, trazaremos rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre lastangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

51

RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIAFOCAL


Dada la dirección d, comenzaremos trazando la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F.Dicha recta determina sobre la circunferencia focal (directriz), el punto F1.

La mediatriz del segmento F-F1, será la tangente a la parábola t buscada.

Para determinar el punto de tangencia, trazaremos pro F1, la recta paralela al eje de la curva, que determinaránsobre la tangente t, el punto T1, punto de tangencia buscado.

52

SubirRECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIA

PRINCIPAL

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el vértice), y seguidamente larecta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en elpunto 1, perteneciente a la tangente buscada.

Solo restará trazar por 1 la recta t, paralela a la dirección dada, siendo esta la tangentes buscada.

Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1-F1=1-F, y por F1 trazaremos una recta paralela al eje de lacurva, que terminará sobre la tangente t el puntoT1, punto de tangencia buscado.

53

PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA PARÁBOLA

Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros decircunferencias que pasan por el foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco (directriz).

Comenzaremos trazando una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F. Ennuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro O. Sobre dicha circunferencia determinaremos el punto F1,simétrico del foco F, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasandopor F1 y F, sean tangentes a la circunferencia focal (directriz). Por lo tanto el problema se reduce al trazado decircunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una recta dada (directriz), Lo que resolveremos porpotencia.

Prolongando la recta F-F1, determinaremos sobre la directriz el punto Cr, centro radical de todas lascircunferencias de centro en r y que pasen por F y F1.

Con centro en pm, punto medio del segmento F-Cr, trazaremos la circunferencia de diámetro F-Cr, y por F1 laperpendicular a dicho diámetro, determinando sobre la circunferencia anterior el punto 1.

Con centro en Cr trazaremos el arco de circunferencia de radio Cr-1, que nos determinará sobre la directriz, lospuntos T1 y T2. Las perpendiculares a la directriz en dichos puntos, determinarán sobre la recta r los puntos I1 e I2,de intersección de la recta con la parábola.

CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA. RADIOS DE CURVATURA

Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la parábola, trazaremos la normal en dicho punto,bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

54

La normal trazada, cortará al eje en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, quedeterminará sobre la recta trazada por P y paralela al eje, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la perpendicular aleje, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

El centro de curva en el vértice de la curva Cv, lo determinaremos haciendo F-Cv= F-V.

4.3 HIPÉRBOLA

DEFINICIÓN

La hipérbola es una curva abierta y plana, con dos ramas, que se definen como el lugar geométrico de lospuntos del plano cuya diferencia de distancias r'-r, a dos puntos fijos F y F', denominados focos, es constante e iguala 2a, siendo 2a la longitud del eje real A-B de la hipérbola. Al eje CD, se le denomina eje imaginario, siendo sulongitud 2b. Ambos ejes se cruzan perpendicularmente en el centro O, punto medio de los dos ejes. Por lo tanto, lahipérbola es simétrica, respecto a los dos ejes.

Si, como vemos, la distancia focal F-F' es igual a 2c, se cumplirá que .

Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r', y pordefinición se cumple que r'-r = 2a.

Según las dimensiones de los semiejes, se obtendrán tres tipos de parábolas:

1.- Si a > b, se obtendrá una curva de ramas cerradas.

2.- Si a = b, se obtendrá una hipérbola equilátera.

3.- Si a < b, se obtendrá una curva de ramas abiertas.

55


Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferenciaprincipal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a lastangentes (t) de la hipérbola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, conla circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hipérbola.

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la hipérbola, y radio2a. En una hipérbola se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugargeométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la hipérbola.

Observando la figura, también podemos definir la hipérbola, como el lugar geométrico de los centros decircunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

56

TRAZADO DE LA HIPÉRBOLA MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuenta la definición de la hipérbola, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuyadiferencia sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje real, 1, 2, 3 etc., y cogeremoscomo parejas de radios vectores, los segmentosA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando lossuficientes puntos de la parábola, como para ser definida.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la hipérbola, uno en cada cuadrante de lamisma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la hipérbola, que deberá realizarse,o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

TRAZADODE LA HIPÉRBOLA POR HACES PROYECTIVOS

Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y trazaremos el rectángulo ARPS, ydividiremos los lados RP yPS en un mismo número de partes iguales. Sobre la prolongación de PR y PS llevaremosesas misma divisiones.

Seguidamente trazaremos rectas que unan el vértice A, con las divisiones de PR, y el vértice Br con las divisionesde PS, obteniendo en sus intersecciones, puntos, pertenecientes a la hipérbola buscada. Esto se repetirá para la otrarama de la hipérbola.

56








56








57

TRAZADO DE LA HIPÉRBOLA POR ENVOLVENTES

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, es el lugar geométrico de los pies de lasperpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la hipérbola.

Para este trazado partiremos de puntos, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F', ytrazaremos por ellos, perpendiculares a las rectas trazadas, obteniendo las rectas tangentes a la parábola. La curvase determinará mediante tangentes a dichas rectas.

Las asíntotas serán las tangentes a la hipérbola en el infinito, y que determinaremos trazando el arco de centroen O y radio O-F. En la intersección de dicho arco con la perpendicular al eje real, trazada por el vértice A,determinaremos el punto 1, perteneciente a la asíntota, solo restará unir dicho punto con el centro O de la hipérbola.

58

RECTA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO DE LA HIPÉRBOLA

La tangente a la hipérbola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dichopunto.


RECTA TANGENTE A LA HIPÉRBOLA EN UN PUNTO POR CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Siendo P el punto de la hipérbola, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2,puntos medios de los radios vectores del punto P, y diámetro dichos radios vectores.

Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2,determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.

Se cumple que los puntos T1, T2 y P, están alineados, y determinan la recta t tangente a la hipérbola buscada.

También se verifica que las rectas F-P y O-T2, y F'-P y O-T1 son respectivamente paralelas.

59

RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIA FOCAL

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntossimétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la hipérbola.

Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F', ya continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F, la cual corta a la focal anterior, en los puntos F1 y F2.Dichos puntos son los simétricos del Frespecto a las tangentes a la hipérbola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F-F1 y F-F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán lastangentes a la hipérbola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F'-F1 y F'-F2, que determinarán sobrelas tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIAPRINCIPAL

Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación lacircunferencia de centro en C1, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremoslas rectas O1 y O2, y por F' las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, lospuntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

60

RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIAFOCAL


Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F', y a continuación la rectaperpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, lospuntos F1 y F2.

Las mediatrices de los segmentos F-F1 y F-F2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F'-F1 y F'-F2, que determinarán sobre lastangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

61

RECTAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIAPRINCIPAL

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular ala dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos 1 y 2,pertenecientes a las tangentes buscadas.

Solo restará trazar por 1 y 2 las rectas t1 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por el foco F', las correspondientesparalelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.

PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA HIPÉRBOLA

Esta construcción se basa en la definición de la hipérbola, como el lugar geométrico de los centros decircunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos unacircunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F'. En nuestro caso hemos trazado lacircunferencia de centro C1. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F', respecto ala recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasandopor P y F', sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferenciasque pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.

En la intersección de las rectas 1-2 y P-F', obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias decentro en r y que pasen por P y F'.

Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, lospuntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichascircunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sobre la recta r dada, los

62

puntos I1 y I2, centro de las circunferencias solución, y por tanto, puntos de intersección de la recta r con la hipérbola.

CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIA. RADIOS DE CURVATURA

Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la hipérbola, trazaremos la normal en dicho punto,bisectriz del ángulo exterior que forman los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará a la prolongación del eje real en el punto 1. Por dicho punto trazaremos laperpendicular a la normal, que determinará sobre la recta O-P, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la paralela aleje imaginario de la hipérbola, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

Para determinar los centros de curvatura en los extremos del eje real de la hipérbola, trazaremos la perpendiculara la asíntota en el punto R. Dicha perpendicular interceptará a la prolongación del eje real en el punto CB, centro decurvatura buscado.

63

5. NORMALIZACIONINTRODUCCIÓN

DEFINICIÓN Y CONCEPTO

La palabra norma del latín "normun", significa etimológicamente:

"Regla a seguir para llegar a un fin determinado"

Este concepto fue más concretamente definido por el Comité Alemán de Normalización en 1940, como:

"Las reglas que unifican y ordenan lógicamente una serie de fenómenos"

La Normalización es una actividad colectiva orientada a establecer solución a problemas repetitivos.

La normalización tiene una influencia determinante, en el desarrollo industrial de un país, al potenciar lasrelaciones e intercambios tecnológicos con otros países.

OBJETIVOS Y VENTAJAS

Los objetivos de la normalización, pueden concretarse en tres:La economía, ya que a través de la simplificación se reducen costos.

La utilidad, al permitir la intercambiabilidad.

La calidad, ya que permite garantizar la constitución y características de un determinado producto.Estos tres objetivos traen consigo una serie de ventajas, que podríamos concretar en las siguientes:

Reducción del número de tipos de un determinado producto. En EE .UU. en un momento determinado, existían49 tamaños de botellas de leche. Por acuerdo voluntario de los fabricantes, se redujeron a 9 tipos con un sólodiámetro de boca, obteniéndose una economía del 25% en el nuevo precio de los envases y tapas de cierre.

Simplificación de los diseños, al utilizarse en ellos, elementos ya normalizados.

Reducción en los transportes, almacenamientos, embalajes, archivos, etc.. con la correspondiente repercusiónen la productividad.

En definitiva con la normalización se consigue:

PRODUCIR MÁS Y MEJOR, A TRAVÉS DE LA REDUCCIÓN DE TIEMPOS Y COSTOS.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA, NORMAS DIN E ISO

Sus principios son paralelos a la humanidad. Basta recordar que ya en las civilizaciones caldea y egipcia, sehabían tipificado los tamaños de ladrillos y piedras, según unos módulos de dimensiones previamente establecidos.Pero la normalización con base sistemática y científica nace a finales del siglo XIX, con la Revolución Industrial en lospaíses altamente industrializados, ante la necesidad de producir más y mejor. Pero el impulso definitivo llegó con laprimera Guerra Mundial (1914-1918). Ante la necesidad de abastecer a los ejércitos y reparar los armamentos, fuenecesario utilizar la industria privada, a la que se le exigía unas especificaciones de intercambiabilidad y ajustesprecisos.

64

NORMAS DIN

Fue en este momento, concretamente el 22 de Diciembre de 1917, cuando los ingenieros alemanes Naubaus yHellmich, constituyen el primer organismo dedicado a la normalización:

NADI - Normen-Ausschuss der Deutschen Industrie - Comité de Normalización de la Industria Alemana.

Este organismo comenzó a emitir normas bajo las siglas:

DIN que significaban Deustcher Industrie Normen (Normas de la Industria Alemana).

En 1926 el NADI cambio su denominación por:

DNA - Deutsches Normen-Ausschuss - Comité de Normas Alemanas

que si bien siguió emitiendo normas bajos las siglas DIN, estas pasaron a significar "Das Ist Norm" - Esto es norma

Y más recientemente, en 1975, cambio su denominación por:

DIN - Deutsches Institut für Normung - Instituto Alemán de Normalización

Rápidamente comenzaron a surgir otros comités nacionales en los países industrializados, así en el año 1918se constituyó en Francia el AFNOR - Asociación Francesa de Normalización. En 1919 en Inglaterra se constituyó laorganización privada BSI - BritishStandards Institution.

NORMAS ISO

65

Ante la aparición de todos estos organismos nacionales de normalización, surgió la necesidad de coordinar lostrabajos y experiencias de todos ellos, con este objetivo se fundó en Londres en 1926 la:

Internacional Federación of the National Standardization Associations - ISA

Tras la Segunda Guerra Mundial, este organismo fue sustituido en 1947, por la International Organizationfor Standardization -ISO - Organización Internacional para la Normalización. Con sede en Ginebra, y dependiente dela ONU.

A esta organización se han ido adhiriendo los diferentes organismos nacionales dedicados a la Normalización yCertificación N+C. En la actualidad son 140 los países adheridos, sin distinción de situación geográfica, razas,sistemas de gobierno, etc..

El trabajo de ISO abarca todos los campos de la normalización, a excepción de la ingeniería eléctrica yelectrónica que es responsabilidad del CEI (Comité Electrotécnico Internacional).

NORMAS UNE ESPAÑOLAS

Como consecuencia de la colaboración Hispano-Aleman durante la Guerra Civil Española, y sobre todo durantela 2ª Guerra Mundial, en España se comenzaron a utilizar las normas DIN alemanas, esta es la causa de que hastahoy en los diferentes diseños curriculares españoles, se haga mención a las normas DIN, en la última propuesta delMinisterio para el bachillerato, desaparece la mención a dichas normas, y solo se hace referencia a las normas UNE eISO.

El 11 de Diciembre de 1945 el CSIC (Centro Superior de Investigaciones Científicas), creo el Institutode Racionalización yNormalización IRANOR, dependiente del patronato Juan de la Cierva con sede en Madrid.

IRANOR comenzó a editar las primeras normas españolas bajo las siglas UNE - Una Norma Española, lascuales eran concordantes con las prescripciones internacionales.

A partir de 1986 las actividades de normalización y certificación N+C, recaen en España en la entidadprivada AENOR (AsociaciónEspañola de Normalización). AENOR es miembro de los diferentes organismosinternacionales de normalización:

ISO - Organización Internacional de Normalización.CEI - Comité Electrotécnico InternacionalCEN - Comité Europeo de NormalizaciónCENELEC - Comité Europeo de Normalización ElectrotécnicaETSI - Instituto Europeo de Normas de TelecomunicacionesCOPANT - Comisión Panamericana de Normas Técnicas

Las normas UNE se crean en Comisiones Técnicas de Normalización - CTN. Una vez estas elaboran unanorma, esta es sometida durante seis meses a la opinión pública. Una vez transcurrido este tiempo y analizadas lasobservaciones se procede a su redacción definitiva, con las posibles correcciones que se estimen, publicándose bajolas siglas UNE. Todas las normas son sometidas a revisiones periódicas con el fin de ser actualizadas.

66

Las normas se numeran siguiendo la clasificación decimal. El código que designa una norma está estructuradode la siguiente manera:

A B CUNE 1 032 82

A - Comité Técnico de Normalización del que depende la norma.B - Número de norma emitida por dicho comité, complementado cuando se trata de una revisión R, una modificaciónM o un complemento C.C - Año de edición de la norma.

CLASIFICACIÓN DE LAS NORMAS

Independiente de la clasificación decimal de las normas antes mencionada, se puede hacer otra clasificaciónde carácter más amplio, según el contenido y su ámbito de aplicación:

Según su contenido, las normas pueden ser:Normas Fundamentales de Tipo General, a este tipo pertenecen la normas relativas a formatos, tipos de línea,rotulación, vistas, etc..

Normas Fundamentales de Tipo Técnico, son aquellas que hacen referencia a las característica de los elementosmecánicos y su representación. Entre ellas se encuentran las normas sobre tolerancias, roscas, soldaduras, etc.

Normas de Materiales, son aquellas que hacen referencia a la calidad de los materiales, con especificación de sudesignación, propiedades, composición y ensayo. A este tipo pertenecerían las normas relativas a la designación demateriales, tanto metálicos, aceros, bronces, etc., como no metálicos, lubricantes, combustibles, etc..

Normas de Dimensiones de piezas y mecanismos, especificando formas, dimensiones y tolerancias admisibles. Aeste tipo pertenecerían las normas de construcción naval, máquinas herramientas, tuberías, etc..Según su ámbito de aplicación, las normas pueden ser:Internacionales. A este grupo pertenecen las normas emitidas por ISO, CEI y UIT-Unión Internacional deTelecomunicaciones.

Regionales. Su ámbito suele ser continental, es el caso de las normas emitidas por el CEN, CENELEC y ETSI.

Nacionales. Son las redactadas y emitidas por los diferentes organismos nacionales de normalización, y enconcordancia con las recomendaciones de las normas Internacionales y regionales pertinentes. Es el caso de lasnormas DIN Alemanas, las UNE Españolas, etc..

De Empresa. Son las redactadas libremente por las empresas y que complementan a las normas nacionales. EnEspaña algunas de las empresa que emiten sus propias normas son: INTA (Instituto Nacional de TécnicaAeroespacial), RENFE, IBERDROLA, CTNE, BAZAN, IBERIA, etc..

67

6.FORMATOS NORMALIZADOS

FORMATOS

CONCEPTO

Se llama formato a la hoja de papel en que se realiza un dibujo, cuya forma y dimensiones en mm. estánnormalizados. En la norma UNE 1026-2 83 Parte 2, equivalente a la ISO 5457, se especifican las características delos formatos.

DIMENSIONES

Las dimensiones de los formatos responden a las reglas de doblado, semejanza y referencia. Según las cuales: 1- Un formato se obtiene por doblado transversal del inmediato superior. 2- La relación entre los lados de un formato es igual a la relación existente entre el lado de un cuadrado y sudiagonal, es decir1/ . 3- Y finalmente para la obtención de los formatos se parte de un formato base de 1 m2.

Aplicando estas tres reglas, se determina las dimensiones del formato base llamado A0 cuyas dimensionesserían 1189 x 841 mm.

El resto de formatos de la serie A, se obtendrán por doblados sucesivos del formato A0.La norma estable para sobres, carpetas, archivadores, etc. dos series auxiliares B y C.Las dimensiones de los formatos de la serie B, se obtienen como media geométrica de los lados homólogos de

dos formatos sucesivos de la serie A.

Los de la serie C, se obtienen como media geométricas de los lados homólogos de los correspondientes de laserie A y B.

Serie A Serie B Serie C

A0841x1189

B01000x1414

C0917x1297

A1594x841

B1707x1000

C1648x917

A2420x594

B2500x707

C2458x648

A3297x420

B3353x500

C3324x456

A4 210X B4 250

x C4 229x

68

297 353 324

A5148x210

B5176x250

C5162x229

A6105x148

B6125x176

C6114x162

A7 74 x105 B7 88 x

125 C7 81 x114

A8 52 x74 B8 62 x

88 C8 57 x81

A9 37 x52 B9 44 x

62

A10 26 x37 B10 31 x

44

Excepcionalmente y para piezas alargadas, la norma contempla la utilización de formatos que denominaespeciales y excepcionales, que se obtienen multiplicando por 2, 3, 4 ... y hasta 9 veces las dimensiones del ladocorto de un formato.

FORMATOS ALARGADOSESPECIALES

A3 x 3 420 x891

A3 x 4 420 x1189

A

A4 x 3 297 x630

A4 x 4 297 x841

A4 x 5 297 x1051

FORMATOS ALARGADOSEXCEPCIONALES

A0 x 3 1) 1189 x1682

A0 x 3 1189 x2523 2)

AA1 x 3 841 x 1783

A1 x 4 841 x2378 2)

AA2 x 3 594 x 1261A2 x 4 594 x 1682A2 x 5 594 x 2102AA3 x 5 420 x 1486A3 x 6 420 x 1783A3 x 7 420 x 2080AA4 x 6 297 x 1261A4 x 7 297 x 1471A4 x 8 297 x 1682A4 x 9 297 x 1892

69

PLEGADO

La norma UNE - 1027 - 95, establece la forma de plegar los planos. Este se hará en zig-zag, tanto en sentidovertical como horizontal, hasta dejarlo reducido a las dimensiones de archivado. También se indica en esta normaque el cuadro de rotulación, siempre debe quedar en la parte anterior y a la vista.

INDICACIONES EN LOS FORMATOS

70

MÁRGENES:En los formatos se debe dibujar un recuadro interior, que

delimite la zona útil de dibujo. Este recuadro deja unos márgenesen el formato, que la norma establece que no sea inferior a 20mm. para los formatos A0 y A1, y no inferior a 10 mm. para losformatos A2, A3 y A4. Si se prevé un plegado para archivado conperforaciones en el papel, se debe definir un margen de archivadode una anchura mínima de 20 mm., en el lado opuesto al cuadrode rotulación.CUADRO DE ROTULACIÓN:

Conocido también como cajetín, se debe colocar den de lazona de dibujo, y en la parte inferior derecha, siendo su direcciónde lectura, las misma que el dibujo. En UNE - 1035 - 95, seestablece la disposición que puede adoptar el cuadro con su doszonas: la de identificación, de anchura máxima 170 mm. y la deinformación suplementaria, que se debe colocar encima o a laizquierda de aquella.SEÑALES DE CENTRADO:

Señales de centrado. Son unos trazos colocados en losextremos de los ejes de simetría del formato, en los dos sentidos.De un grosor mínimo de 0,5 mm. y sobrepasando el recuadro en5 mm. Debe observarse una tolerancia en la posición de 0,5 mm.Estas marcas sirven para facilitar la reproducción y microfilmado.SEÑALES DE ORIENTACIÓN:

Señales de orientación. Son dos flechas o triángulosequiláteros dibujados sobre las señales de centrado, para indicarla posición de la hoja sobre el tablero.GRADUACIÓN MÉTRICA DE REFERENCIA:

Graduación métrica de referencia. Es una reglilla de 100mm de longitud, dividida en centímetros, que permitirá comprobar la reducción del origina en casos de reproducción.

71

7. LINEAS Y ESCALAS

7.1 LÍNEAS NORMALIZADAS

En los dibujos técnicos se utilizan diferentes tipos de líneas, sus tipos y espesores, han sido normalizados en lasdiferentes normas. En esta página no atendremos a la norma UNE 1-032-82, equivalente a la ISO 128-82.

CLASES DE LÍNEAS

Solo se utilizarán los tipos y espesores de líneas indicados en la tabla adjunta. En caso de utilizar otros tipos de líneasdiferentes a los indicados, o se empleen en otras aplicaciones distintas a las indicadas en la tabla, los convenios elegidosdeben estar indicados en otras normas internacionales o deben citarse en una leyenda o apéndice en el dibujo de que setrate.

En las siguientes figuras, puede apreciarse los diferentes tipos de líneas y sus aplicaciones. En el cuadro adjunto seconcretan los diferentes tipos, su designación y aplicaciones concretas.

71

7. LINEAS Y ESCALAS



CLASES DE LÍNEAS



71

7. LINEAS Y ESCALAS



CLASES DE LÍNEAS



73

Línea Designación Aplicacionesgenerales

Llena gruesa

A1 ContornosvistosA2 Aristasvistas

Llena fina (recta ocurva

B1 Líneasficticias vistasB2 Líneas decotaB3 Líneas deproyecciónB4 Líneas dereferenciaB5 RayadosB6 Contornosde seccionesabatidas

sobre lasuperficie deldibujoB7 Ejes cortos

Llena fina amano alzada(2)Llena fina (recta)con zigzag

C1 Límites devistas o cortesparciales

ointerrumpidos, siestos límitesD1 no sonlíneas a trazos ypuntos

Gruesa de trazos

Fina de trazos

E1 ContornosocultosE2 AristasocultasF1 ContornosocultosF2 Aristasocultas

Fina de trazos ypuntos

G1 Ejes derevoluciónG2 Trazas deplano desimetríaG3Trayectorias

Fina de trazos ypuntos, gruesa enlos extremos y enlos cambios dedirección

H1 Trazasde plano decorte

74

ANCHURAS DE LAS LÍNEAS

Además de por su trazado, las líneas se diferencian por su anchura o grosor. En los trazados a lápiz, estadiferenciación se hace variando la presión del lápiz, o mediante la utilización de lápices de diferentes durezas. En los trazadosa tinta, la anchura de la línea deberá elegirse, en función de las dimensiones o del tipo de dibujo, entre la gama siguiente:

0,18 - 0,25 - 0,35 - 0,5 - 0,7 - 1 - 1,4 y 2 mm.

Dada la dificultad encontrada en ciertos procedimientos de reproducción, no se aconseja la línea de anchura 0,18.

Estos valores de anchuras, que pueden parecer aleatorios, en realidad responden a la necesidad de ampliación yreducción de los planos, ya que la relación entre un formato A4 y un A3, es aproximadamente de . De esta forma al ampliarun formato A4 con líneas de espesor 0,5 a un formato A3, dichas líneas pasarían a ser de 5 x = 0,7 mm.

La relación entre las anchuras de las líneas finas y gruesas en un mismo dibujo, no debe ser inferior a 2.

Deben conservarse la misma anchura de línea para las diferentes vistas de una pieza, dibujadas con la misma escala.

ESPACIAMIENTO ENTRE LAS LÍNEAS

El espaciado mínimo entre líneas paralelas (comprendida la representación de los rayados) no debe nunca ser inferior ados veces la anchura de la línea más gruesa. Se recomienda que este espacio no sea nunca inferior a 0,7 mm.

ORDEN DE PRIORIDAD DE LAS LÍNEAS COINCIDENTES

En la representación de un dibujo, puede suceder que se superpongan diferentes tipos de líneas, por ello la norma haestablecido un orden de preferencias a la hora de representarlas, dicho orden es el siguiente:

1 - Contornos y aristas vistos.2 - Contornos y aristas ocultos.3 - Trazas de planos de corte.4 - Ejes de revolución y trazas de plano de simetría.5 - Líneas de centros de gravedad.6 - Líneas de proyección

Los contornos contiguos de piezas ensambladas o unidas deben coincidir, excepto en el caso de secciones delgadasnegras.

TERMINACIÓN DE LAS LÍNEAS DE REFERENCIA

Una línea de referencia sirve para indicar un elemento (línea de cota, objeto, contorno, etc.).Las líneas de referencia deben terminar:

1 - En un punto, si acaban en el interior del contorno del objeto representado2 - En una flecha, si acaban en el contorno del objeto representado.3 - Sin punto ni flecha, si acaban en una línea de cota.

75

1 2 3

ORIENTACIONES SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LAS LÍNEAS

1 - Las líneas de ejes de simetría,tienen que sobresalir ligeramente delcontorno de la pieza y también las decentro de circunferencias, pero nodeben continuar de una vista a otra.

2 - En las circunferencias, los ejesse han de cortar, y no cruzarse, si lascircunferencias son muy pequeñas sedibujarán líneas continuas finas.

3 - El eje de simetría puedeomitirse en piezas cuya simetría seperciba con toda claridad.

4 - Los ejes de simetría, cuandorepresentemos media vista o uncuarto, llevarán en sus extremos, dospequeños trazos paralelos.

5 - Cuando dos líneas de trazossean paralelas y estén muy próximas,los trazos de dibujarán alternados.

6 - Las líneas de trazos, tanto siacaban en una línea continua o detrazos, acabarán en trazo.

7 - Una línea de trazos, nocortará, al cruzarse, a una líneacontinua ni a otra de trazos.

8 - Los arcos de trazos acabaránen los puntos de tangencia.

7.2 ESCALAS

Para el desarrollo de este tema se han tenido en cuenta las recomendaciones de la norma UNE-EN ISO5455:1996.

76

CONCEPTO

La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando sonmuy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo,porque faltaría claridad en la definición de los mismos.

Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso paraque los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.

Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:E = dibujo / realidad

Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será dereducción en casocontrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural).

ESCALA GRÁFICA

Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillométodo gráfico para aplicar una escala.

Véase, por ejemplo, el caso para E 3:51º) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y sformando un ángulo cualquiera.2º) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala (5 eneste caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Losextremos de dichos segmentos son A y B.3º) Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida en ladel dibujo mediante una simple paralela a AB..

ESCALAS NORMALIZADAS

Aunque, en teoría, sea posible aplicar cualquier valor de escala, en la práctica se recomienda el uso de ciertosvalores normalizados con objeto de facilitar la lectura de dimensiones mediante el uso de reglas o escalímetros.

Estos valores son:

Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 ...

Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 ...

No obstante, en casos especiales (particularmente en construcción) se emplean ciertas escalas intermediastales como:

1:25, 1:30, 1:40, etc...

EJEMPLOS PRÁCTICOS

77

EJEMPLO 1

Se desea representar en un formato A3 la planta de un edificio de 60 x 30 metros.

La escala más conveniente para este caso sería 1:200 que proporcionaría unas dimensiones de 30 x 15 cm,muy adecuadas al tamaño del formato.

EJEMPLO 2:

Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2 x 1 mm.

La escala adecuada sería 10:1EJEMPLO 3:

Sobre una carta marina a E 1:50000 se mide una distancia de 7,5 cm entre dos islotes, ¿qué distancia real hayentre ambos?

Se resuelve con una sencilla regla de tres:si 1 cm del dibujo son 50000 cm reales7,5 cm del dibujo serán X cm realesX = 7,5 x 50000 / 1 ... y esto da como resultado 375.000 cm, que equivalen a 3,75 km.

USO DEL ESCALÍMETRO

La forma más habitual del escalímetro es la de una reglade 30 cm de longitud, con sección estrellada de 6 facetas ocaras. Cada una de estas facetas va graduada con escalasdiferentes, que habitualmente son:

1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500Estas escalas son válidas igualmente para valores que

resulten de multiplicarlas o dividirlas por 10, así por ejemplo, laescala 1:300 es utilizable enplanos a escala 1:30 ó 1:3000, etc.

Ejemplos de utilización:1º) Para un plano a E 1:250, se aplicará directamente la escala1:250 del escalímetro y las indicaciones numéricas que en él seleen son los metros reales que representa el dibujo.2º) En el caso de un plano a E 1:5000; se aplicará la escala1:500 y habrá que multiplicar por 10 la lectura del escalímetro. Por ejemplo, si una dimensión del plano posee 27unidades en el escalímetro, en realidad estamos midiendo 270 m.

Por supuesto, la escala 1:100 es también la escala 1:1, que se emplea normalmente como regla graduada encm.

8. REPRESENTACION NORMALIZADA DE CUERPOS8.1 OBTENCIÓN DE LAS VISTAS DE UN OBJETO

GENERALIDADES

Se denominan vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre 6 planos,dispuestos en forma de cubo. También se podría definir las vistas como, las proyecciones ortogonales de un objeto,

78

según las distintas direcciones desde donde se mire.

Las reglas a seguir para la representación de las vistas de un objeto, se recogen en la norma UNE 1-032-82,"Dibujos técnicos: Principios generales de representación", equivalente a la norma ISO 128-82.

DENOMINACIÓN DE LAS VISTAS

Si situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendríamos las seis vistasposibles de un objeto.

Estas vistas reciben las siguientes denominaciones:Vista A: Vista de frente o alzadoVista B: Vista superior o plantaVista C: Vista derecha o lateral derechaVista D: Vista izquierda o lateral izquierdaVista E: Vista inferiorVista F: Vista posterior

POSICIONES RELATIVAS DE LAS VISTAS

Para la disposición de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar dos variantes de proyecciónortogonal de la misma importancia:

- El método de proyección del primer diedro, también denominado Europeo (antiguamente, método E)

- El método de proyección del tercer diedro, también denominado Americano (antiguamente, método A)

En ambos métodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre cuyas seis caras, se realizarán lascorrespondientes proyecciones ortogonales del mismo.

La diferencia estriva en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se encuentra entre el observador y elplano de proyección, en el sistema Americano, es el plano de proyección el que se encuentra entre el observador y elobjeto.

79

SISTEMA EUROPEO SISTEMA AMERICANO

Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del cubo, y manteniendo fija, la cara de laproyección del alzado (A), se procede a obtener el desarroyo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, esdiferente según el sitema utilizado.


El desarrollo del cubo de proyección, nos proporciona sobre un único plano de dibujo, las seis vistas principalesde un objeto, en sus posiciones relativas.

Con el objeto de identificar, en que sistema se ha representado el objeto, se debe añadir el símbolo que sepuede apreciar en las figuras, y que representa el alzado y vista lateral izquierda, de un cono truncado, en cada uno delos sistemas.

80


CORRESPONDENCIA ENTRE LAS VISTAS

Como se puede observar en las figuras anteriores, existe una correspondencia obligada entre las diferentesvistas. Así estarán relacionadas:

a) El alzado, la planta, la vista inferior y la vista posterior, coincidiendo en anchuras.b) El alzado, la vista lateral derecha, la vista lateral izquierda y la vista posterior, coincidiendo en alturas.c) La planta, la vista lateral izquierda, la vista lateral derecha y la vista inferior, coincidiendo en profundidad.Habitualmente con tan solo tres vistas, el alzado, la planta y una vista lateral, queda perfectamente definida una

pieza. Teniendo en cuenta las correspondencias anteriores, implicarían que dadas dos cualquiera de las vistas, sepodría obtener la tercera, como puede apreciarse en la figura:

También, de todo lo anterior, se deduce que las diferentes vistas no pueden situarse de forma arbitraria. Aunquelas vistas aisladamente sean correctas, si no están correctamente situadas, no definirán la pieza.

81

8.2 ELECCIÓN DE LAS VISTAS DE UN OBJETO, Y VISTAS ESPECIALES

ELECCIÓN DEL ALZADO

En la norma UNE 1-032-82 se especifica claramente que "La vista más característica del objeto debe elegirsecomo vista de frente o vista principal". Esta vista representará al objeto en su posición de trabajo, y en caso de quepueda ser utilizable en cualquier posición, se representará en la posición de mecanizado o montaje.

En ocasiones, el concepto anterior puede no ser suficiente para elegir el alzado de una pieza, en estos casosse tendrá en cuenta los principios siguientes:

1) Conseguir el mejor aprovechamiento de la superficie del dibujo.

2) Que el alzado elegido, presente el menor número posible de aristas ocultas.

3) Y que nos permita la obtención del resto de vistas, planta y perfiles, lo más simplificadas posibles.

Siguiendo las especificaciones anteriores, en la pieza de la figura 1, adoptaremos como alzado la vista A, yaque nos permitirá apreciar la inclinación del tabique a y la forma en L del elemento b, que son los elementos mássignificativos de la pieza.

En ocasiones, una incorrecta elección del alzado, nos conducirá a aumentar el número de vistas necesarias; es

82

el caso de la pieza de la figura 2, donde el alzado correcto sería la vista A, ya que sería suficiente con esta vista y larepresentación de la planta, para que la pieza quedase correctamente definida; de elegir la vista B, además de laplanta necesitaríamos representar una vista lateral.

ELECCIÓN DE LAS VISTAS NECESARIAS

Para la elección de las vistas de un objeto, seguiremos el criterio de que estas deben ser,las mínimas, suficientes y adecuadas, para que la pieza quede total y correctamente definida. Seguiremosigualmente criterios de simplicidad y claridad, eligiendo vistas en las que se eviten la representación de aristasocultas. En general, y salvo en piezas muy complejas, bastará con la representación del alzado planta y una vistalateral. En piezas simples bastará con una o dos vistas. Cuando sea indiferente la elección de la vista de perfil, seoptará por la vista lateral izquierda, que como es sabido se representa a la derecha del alzado.

Cuando una pieza pueda ser representada por su alzado y la planta o por el alzado y una vista de perfil, seoptará por aquella solución que facilite la interpretación de la pieza, y de ser indiferente aquella que conlleve el menornúmero de aristas ocultas.

En los casos de piezas representadas por una sola vista, esta suele estar complementada con indicacionesespeciales que permiten la total y correcta definición de la pieza:

1) En piezas de revolución se incluye el símbolo del diámetro (figura 1).2) En piezas prismáticas o troncopiramidales, se incluye el símbolo del cuadrado y/o la "cruz de San Andrés"

(figura 2).

3) En piezas de espesor uniforme, basta con hacer dicha especificación en lugar bien visible (figura 3).

VISTAS ESPECIALES

Con el objeto de conseguir representaciones más claras y simplificadas, ahorrando a su vez tiempo deejecución, pueden realizarse una serie de representaciones especiales de las vistas de un objeto. A continuacióndetallamos los casos más significativos:

VISTAS DE PIEZAS SIMÉTRICAS

En los casos de piezas con uno o varios ejes de simetría, puede representarse dicha pieza mediante unafracción de su vista (figuras 1 y 2). La traza del plano de simetría que limita el contorno de la vista, se marca en cadauno de sus extremos con dos pequeños trazos finos paralelos, perpendiculares al eje. También se pueden prolongarlas arista de la pieza, ligeramente más allá de la traza del plano de simetría, en cuyo caso, no se indicarán los trazos

83

paralelos en los extremos del eje (figura 3).

VISTAS CAMBIADAS DE POSICIÓN

Cuando por motivos excepcionales, una vista no ocupe su posición según el método adoptado, se indicará ladirección de observación mediante una flecha y una letra mayúscula; la flecha será de mayor tamaño que las deacotación y la letra mayor que las cifras de cota. En la vista cambiada de posición se indicará dicha letra, o bien laindicación de "Visto por .." (figuras 4 y 5).

VISTAS DE DETALLES

Si un detalle de una pieza, no quedara bien definido mediante las vistas normales, podrá dibujarse un vistaparcial de dicho detalle. En la vista de detalle, se indicará la letra mayúscula identificativa de la dirección desde la quese ve dicha vista, y se limitará mediante una línea fina a mano alzada. La visual que la originó se identificará medianteuna flecha y una letra mayúscula como en el apartado anterior (figuras 6).

En otras ocasiones, el problema resulta ser las pequeñas dimensiones de un detalle de la pieza, que impide sucorrecta interpretación y acotación. En este caso se podrá realizar una vista de detalle ampliada convenientemente.La zona ampliada, se identificará mediante un círculo de línea fina y una letra mayúscula; en la vista ampliada seindicará la letra de identificación y la escala utilizada (figuras 7).

84

VISTAS LOCALES

En elementos simétricos, se permite realizar vistas locales en lugar de una vista completa. Para larepresentación de estas vistas se seguirá el método del tercer diedro, independientemente del método general derepresentación adoptado. Estas vistas locales se dibujan con línea gruesa, y unidas a la vista principal por una líneafina de trazo y punto (figuras 8 y 9).

VISTAS GIRADAS

Tienen como objetivo, el evitar la representación de elementos de objetos, que en vista normal no apareceríancon su verdadera forma. Suele presentarse en piezas con nervios o brazos que forman ángulos distintos de 90ºrespecto a las direcciones principales de los ejes. Se representará una vista en posición real, y la otra eliminando elángulo de inclinación del detalle (figuras 10 y 11).

85

VISTAS DESARROLLADAS

En piezas obtenidas por doblado o curvado, se hace necesario representar el contorno primitivo de dicha pieza,antes de su conformación, para apreciar su forma y dimensiones antes del proceso de doblado. Dicha representaciónse realizará con línea fina de trazo y doble punto (figura 12).

VISTAS AUXILIARES OBLICUAS

En ocasiones se presentan elementos en piezas, que resultan oblicuos respecto a los planos de proyección.Con el objeto de evitar la proyección deformada de esos elementos, se procede a realizar su proyección sobre planosauxiliares oblicuos. Dicha proyección se limitará a la zona oblicua, de esta forma dicho elemento quedará definido poruna vista normal y completa y otra parcial (figuras 13). En ocasiones determinados elementos de una pieza resultanoblicuos respecto a todos los planos de proyección, en estos casos habrá de realizarse dos cambios de planos, paraobtener la verdadera magnitud de dicho elemento, estas vistas se denominan vistas auxiliares dobles.

Si partes interiores de una pieza ocupan posiciones especiales oblicuas, respecto a los planos de proyección,se podrá realizar un corte auxiliar oblicuo, que se proyectará paralelo al plano de corte y abatido. En este corte laspartes exteriores vistas de la pieza no se representan, y solo se dibuja el contorno del corte y las aristas queaparecen como consecuencia del mismo (figura 14).

86

REPRESENTACIONES CONVENCIONALES

Con el objeto de clarificar y simplificar las representaciones, se conviene realizar ciertos tipos derepresentaciones que se alejan de las reglas por las que se rige el sistema. Aunque son muchos los casos posibles,los tres indicados, son suficientemente representativos de este tipo de convencionalismo (figuras 15, 16 y 17), enellos se indican las vista reales y las preferibles.

INTERSECCIONES FICTICIAS

En ocasiones las intersecciones de superficies, no se produce de forma clara, es el caso de los redondeos,chaflanes, piezas obtenidas por doblado o intersecciones de cilindros de igual o distinto diámetro. En estos casos laslíneas de intersección se representarán mediante una línea fina que no toque los contornos de la piezas. Los tresejemplos siguientes muestran claramente la mecánica de este tipo de intersecciones (figuras 18, 19 y 20).

87

8.3 CORTES, SECCIONES Y ROTURAS (I)

INTRODUCCIÓN

En ocasiones, debido a la complegidad de los detalles internos de una pieza, su representacón se haceconfusa, con gran número de aristas ocultas, y la limitación de no poder acotar sobre dichas aristas. La solución aeste problema son los cortes y secciones, que estudiaremos en este tema.

También en ocasiones, la gran longitud de determinadas piezas, dificultan su representación a escala en unplano, para resolver dicho problema se hará uso de las roturas, artificio que nos permitirá añadir claridad y ahorrarespacio.

Las reglas a seguir para la representación de los cortes, seciones y roturas, se recojen en la norma UNE 1-032-82, "Dibujos técnicos: Principios generales de representación", equivalente a la norma ISO 128-82.

GENERALIDADES SOBRE CORTES Y SECCIONES

Un corte es el artificio mediante el cual, en la representación de una pieza, eliminamos parte de la misma, conobjeto de clarificar y hacer más sencilla su representación y acotación.

En principio el mecanismo es muy sencillo. Adoptado uno o varios planos de corte, eliminaremos ficticiamentede la pieza, la parte más cercana al observador, como puede verse en las figuras.

88

Como puede verse en las figuras siguientes, las aristas interiores afectadas por el corte, se representarán con elmismo espedor que las aristas vistas, y la superficie afectada por el corte, se representa con un rayado. Acontinuación en este tema, veremos como se representa la marcha del corte, las normas para el rayado del mismo,etc..

Se denomina sección a la intersección del plano de corte con la pieza (la superficie indicada de color rojo ),como puede apreciarse cuando se representa una sección, a diferencia de un corte, no se representa el resto de lapieza que queda detrás de la misma. Siempre que sea posible, se preferirá representar la sección, ya que resulta másclara y sencilla su representación.

89

LÍNEAS DE ROTURA EN LOS MATERIALES

Cuando se trata de dibujar objetos largos y uniformes, se suelen representar interrumpidos por líneas de rotura.Las roturas ahorran espacio de representación, al suprimir partes constantes y regulares de las piezas, y limitar larepresentación, a las partes suficientes para su definición y acotación.

Las roturas, están normalizadas, y su tipos son los siguientes:

a) Las normas UNE definen solo dos tipos de roturas (figuras 1 y 2), la primera se indica mediante una líneafina, como la de los ejes, a mano alzada y ligeramente curvada, la segunda suele utilizarse en trabajos por ordenador.

b) En piezas en cuña y piramidales (figuras 3 y 4), se utiliza la misma línea fina y ligeramente curva. En estaspiezas debe mantenerse la inclinación de las aristas de la pieza.

c) En piezas de madera, la línea de rotura se indicará con una línea en zig-zag (figura 5).

d) En piezas cilíndricas macizas, la línea de rotura de indicará mediante las característica lazada (figura 6).

e) En piezas cónicas, la línea de rotura se indicará como en el caso anterior, mediante lazadas, si bien estasresultarán de diferente tamaño (figura 7).

90

f) En piezas cilíndricas huecas (tubos), la línea de rotura se indicará mediante una doble lazada, quepatentizarán los diámetros interior y exterior (figura 8).

g) Cuando las piezas tengan una configuración uniforme, la rotura podrá indicarse con una línea de trazo ypunto fina, como la las líneas de los ejes (figura 9).

9. ACOTACION9.1 GENERALIDADES, ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN DE LAS COTAS

GENERALIDADES

La acotación es el proceso de anotar, mediante líneas, cifras, signos y símbolos, las mediadas de un objeto,sobre un dibujo previo del mismo, siguiendo una serie de reglas y convencionalismos, establecidos mediante normas.

La acotación es el trabajo más complejo del dibujo técnico, ya que para una correcta acotación de un dibujo, esnecesario conocer, no solo las normas de acotación, sino también, el proceso de fabricación de la pieza, lo queimplica un conocimiento de las máquinas-herramientas a utilizar para su mecanizado. Para una correcta acotación,también es necesario conocer la función adjudicada a cada dibujo, es decir si servirá para fabricar la pieza, paraverificar las dimensiones de la misma una vez fabricada, etc..

Por todo ello, aquí daremos una serie de normas y reglas, pero será la práctica y la experiencia la que nosconduzca al ejercicio de una correcta acotación.

PRINCIPIOS GENERALES DE ACOTACIÓN

Con carácter general se puede considerar que el dibujo de una pieza o mecanismo, está correctamenteacotado, cuando las indicaciones de cotas utilizadas sean las mínimas, suficientes y adecuadas, para permitirla fabricación de la misma. Esto se traduce en los siguientes principios generales:1. Una cota solo se indicará una sola vez en un dibujo, salvo que sea indispensable

repetirla.2. No debe omitirse ninguna cota.3. Las cotas se colocarán sobre las vistas que representen más claramente los elementos

correspondientes.4. Todas las cotas de un dibujo se expresarán en las mismas unidades, en caso de utilizar

otra unidad, se expresará claramente, a continuación de la cota.5. No se acotarán las dimensiones de aquellas formas, que resulten del proceso

de fabricación.6. Las cotas se situarán por el exterior de la pieza. Se admitirá el situarlas en el interior,

siempre que no se pierda claridad en el dibujo.7. No se acotará sobre aristas ocultas, salvo que con ello se eviten vistas adicionales, o

se aclare sensiblemente el dibujo. Esto siempre puede evitarse utilizando secciones.8. Las cotas se distribuirán, teniendo en cuenta criterios de orden, claridad y estética.9. Las cotas relacionadas. como el diámetro y profundidad de un agujero, se indicarán

sobre la misma vista.10. Debe evitarse, la necesidad de obtener cotas por suma o diferencia de otras, ya que

puede implicar errores en la fabricación.

90




GENERALIDADES














90




GENERALIDADES














91

ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN LA ACOTACIÓN

En el proceso de acotación de un dibujo, además de la cifra de cota, intervienen líneas y símbolos, que variaránsegún las características de la pieza y elemento a acotar.

Todas las líneas que intervienen en la acotación, se realizarán con el espesor más fino de la serie utilizada.

Los elementos básicos que intervienen en la acotación son:

Líneas de cota: Son líneas paralelas a lasuperficie de la pieza objeto de medición.

Cifras de cota: Es un número que indica lamagnitud. Se sitúa centrada en la línea de cota.Podrá situarse en medio de la línea de cota,interrumpiendo esta, o sobre la misma, pero en unmismo dibujo se seguirá un solo criterio.

Símbolo de final de cota: Las líneas de cota seránterminadas en sus extremos por un símbolo, quepodrá ser una punta de flecha, un pequeño trazooblicuo a 45º o un pequeño círculo.

Líneas auxiliares de cota: Son líneas que partendel dibujo de forma perpendicular a la superficie aacotar, y limitan la longitud de las líneas de cota.Deben sobresalir ligeramente de las líneas de cota,aproximadamente en 2 mm. Excepcionalmente,como veremos posteriormente, pueden dibujarse a60º respecto a las líneas de cota.

Líneas de referencia de cota: Sirven para indicarun valor dimensional, o una nota explicativa en losdibujos, mediante una línea que une el texto a lapieza. Las líneas de referencia, terminarán:

En flecha, las que acaben en un contorno de lapieza.

En un punto, las que acaben en el interior de lapieza.

Sin flecha ni punto, cuando acaben en otra línea.

La parte de la línea de referencia don se rotula eltexto, se dibujará paralela al elemento a acotar, sieste no quedase bien definido, se dibujaráhorizontal, o sin línea de apoyo para el texto.

92

Símbolos: En ocasiones, a la cifra de cota leacompaña un símbolo indicativo de característicasformales de la pieza, que simplifican su acotación,y en ocasiones permiten reducir el número devistas necesarias, para definir la pieza. Lossímbolos más usuales son:

CLASIFICACIÓN DE LAS COTAS

Existen diferentes criterios para clasificar las cotas de un dibujo, aquí veremos dos clasificaciones queconsidero básicas, e idóneas para quienes se inician en el dibujo técnico.

En función de su importancia, las cotas sepueden clasificar en:

Cotas funcionales (F): Son aquellas cotasesenciales, para que la pieza pueda cumplir sufunción.

Cotas no funcionales (NF): Son aquellas quesirven para la total definición de la pieza, pero noson esenciales para que la pieza cumpla sufunción.

Cotas auxiliares (AUX): También se les suelellamar "de forma". Son las cotas que dan lasmedidas totales, exteriores e interiores, de unapieza. Se indican entre paréntesis. Estas cotas noson necesarias para la fabricación o verificaciónde las piezas, y pueden deducirse de otras cotas.

92








92








93

En función de su cometido en el plano, las cotasse pueden clasificar en:

Cotas de dimensión (d): Son las que indican eltamaño de los elementos del dibujo (diámetros deagujeros, ancho de la pieza, etc.).

Cotas de situación (s): Son las que concretan laposición de los elementos de la pieza.

10. NORMAS IRAM PARA EL DIBUJO TECNICO10.1 LINEAS

Norma IRAM 4502

Noviembre de 1974

1. NORMAS A CONSULTARa. Para la aplicación de esta norma no es necesario la consulta específica de ninguna otra.

2. OBJETO

a. Establecer las características de las líneas a utilizar en dibujo técnico.

3. CONDICIONES GENERALES

a. TIPOS. Los tipos de líneas, la proporción de sus espesores y su aplicación, serán losindicados en la tabla I

94

LINEAS

TIPOREPRESENTACION DESIGNACION ESPESOR PROPORCION* APLICACIÓN

A Continua gruesa 1 Contorno Visible

B continua fina 0,2

1. Línea de cola y auxiliares2. Rayados en cortes y

secciones3. contornos y bordes

imaginarios4. contornos de secciones

rebatidas, interpoladas,etc.

C Interrupción en áreasgrandes

D

Interrupción en cortesparciales

E De trazos media 0,5 Contornos ocultos

F Trazo largoy trazo corto

fina 0,2

1. Ejes de simetría2. Posiciones extremas de

piezas móviles3. Líneas de centros y

circunferencias primitivasde engranajes

G Trazo largoy trazo corto

Gruesay media

1

0,5

Indicaciones de cortes ysecciones.

H Trazo largoy trazo corto

gruesa 1

Indicación de incremento odemasías.

*Corresponde a la revisión de la edición de noviembre de 1971

95

3.2 CARACTERISTICAS. Las dimensiones de los trazos y los grupos están indicados enla Tabla II.

3.3 AGRUPAMIENTO. En cada dibujo hecho en una misma escala se usará la proporciónque determina cada grupo. La elección del mismo se basará en las características dela representación a ejecutar y de la escala adoptada.

3.4 LÍNEAS3.4.1 Línea continua “A”. se utilizará para la representación de contornos

y aristas visibles.3.4.2 Línea continua “B”. Se utilizará para la representación de línea de

cota, líneas auxiliares de cota, rayados en secciones y cortes,diámetro interior de rosca, borde y empalmes redondeados, y enlos casos que su uso se considere conveniente.

3.4.3 Línea “E”. Se utilizará para la presentación de contornos y aristasno visibles, y en todos los casos en que su uso se considereconveniente.

3.4.4 Línea “F”. Se utilizará para la representación de ejes, líneas decentros y circunferencias primitivas de engranajes.

3.4.5 Línea “G”. se utilizará para la indicación de secciones y cortes.3.4.6 Línea “H”. Se utilizará para indicar incrementos o demasías en

piezas que deben ser mecanizadas, o sometidas a tratamientosdeterminados.

3.4.7 Línea “C”. Se utilizará como línea de interrupción, cuando el área acortar sea grande.

3.4.8 Línea “D”. Se utilizará como línea de interrupción, para limitar elárea de cortes parciales.

4. ANEXOS4.1. Se indican en las figuras 1/10 las distintas representaciones de líneas establecidas en

3.4.1/8.

96

10.2 ACOTACIÓN DE PLANOS

NORMAS A CONSULTAR

I R A M

4502 Líneas4534 Símbolos de perfiles5001/4 Sistemas de Tolerancias y Ajustes

5030 Características de las roscas

COTA : Valor numérico de una medida.

LÍNEA DE COTA : Línea con la que se indica una cota.

1) Acotación en cadena2) Acotación en paralelo3) Acotación combinada4) Acotación progresiva5) Acotación por coordenadas

Unidad de medida : será en mm

97

6

Flecha de cota : La punta tendrá una proporción de 4 a 1 (largo y ancho).

4

1

Línea de cota : Es la que tiene una inclinación de 45º aproximadamente en relación a las restantes, aefectos de clarificar la acotación en casos particulares.

Cota : Valor numérico que se ubica sobre la línea de cota (parte media), o en las formas que se indican,cuando las características del cuerpo así lo aconsejan.

Para el caso de las líneas que se cortan (ejes) : Debe evitarse ubicar los números “cortando” líneas.

Detalles a observar : Las líneas de cota deben ser paralelas a la línea que debe medir.

4.17 DETALLES. Los detalles de una pieza que no puedan ser representados ni acotados claramente,se dibujarán aparte en mayor escala. El detalle a ampliar se circunscribirá con un círculo de trazo fino ycon una letra de identificación. 4.18 METODOS PARA ACOTAR

4.18.1 Acotación en cadena

4.18.1.1. La figura 85 indica una chapa de forma rectangular. La aplicación de la acotación encadena, está referida a las cotas de sentido longitudinal superior e inferior, y la disposición delas parciales de 60 mm debe ir en la parte inferior.

98

4.18.1.2. La acotación en cadena puede efectuarse en forma horizontal, vertical o inclinada, sinvariar las condiciones del método4.18.1.3. La pieza cilíndrica que indica la figura 87 es otro ejemplo de acotación en cadena : lasuperficie exterior está acotada en la parte superior de la pieza, mientras las longitudes quedeterminan sus formas interiores han sido colocadas en la parte inferior de la representación.

4.18.1.4. En el eje de transmisión las cotas indicadas en la parte superior del eje se refiere a laslongitudes de los distintos, mientras en la inferior se determinan la ubicación de los diámetros ydetalles.

4.18.2 Acotación en paralelo

4.18.2.1. En la pieza (fig.89) se ha indicado una cantidad de agujeros fresados, dicha placatiene forma rectangular, siendo necesario determinar medidas de largo y de ancho. Se haelegido el ángulo superior izquierdo como punto inicial para las distintas medidas.

4.18.2.2. La figura 90 representa un buje; las medidas que se indican son las distintaslongitudes que corresponden a los diferentes rebajes que es necesario mecanizar.

4.18.3 Acotación combinada. Esta forma de acotar es la aplicación simultánea de los dossistemas ya descriptos, en forma independiente, en cadena y en paralelo.

99

4.18.4. Acotación progresiva

4.18.4.1. Las cotas progresivas se representarán por líneas (tipo “B” IRAM 4502)terminadas con flechas que parten desde las bases de medidas o referencias.

4.18.4.2. Las cotas correspondientes se colocarán desde las bases de medidas y seinterrumpirán en las líneas auxiliares que corresponden a las sucesivas dimensionesque se desean acotar. Desde cada una de éstas líneas auxiliares, se comenzará aacotar nuevamente.4.18.4.3. Para simplificar la indicación de cotas, se aplica la acotación progresiva(fig.92); en el caso presente se indicará el comienzo o cero, con un punto notable oennegrecido y las medidas se escribirán en sentido vertical.

100

10.3 Escalas lineales para construcciones civiles ymecánicas

NORMA IRAM 4505

1. NORMAS A CONSULTAR1.1 Para la aplicación de esta norma no es necesario la consulta específica de ninguna

otra.

2 OBJETO2.1 Establece las escalas lineales que deben usarse en el dibujo técnico para

construcciones civiles y mecánicas.

3. DEFINICIONES

3.1. Escala. Relación aritmética en la cual el denominador es la cantidad a representar y elnumerador la longitud del segmento que la representa.

3.2. Escala lineal. Escala en la que la cantidad a representar corresponde a una magnitudlineal.

3.3. Escala natural. Escala lineal en la que el segmento a representar y el que lorepresenta son iguales.

3.4. Escala de reducción. Escala lineal en la que el segmento a representar es mayor queel que representa.

3.5. Escala de ampliación. Escala lineal en la que el segmento a representar es menor queel que lo representa.

4. CONDICIONES GENERALES4.1. En las escalas lineales, la unidad de medida del numerador y denominador será la

misma, debiendo quedar en consecuencia indicada en la escala solamente por relaciónde los números, simplificada, de modo que el menor sea la unidad.

Ejemplo : 10 cm = 1 cm = 1 = 1:50

500 cm 50 cm 50

4.2. Las escalas lineales que se usarán son las indicadas en la Tabla I4.3. En el rótulo del dibujo se indicarán todas las escalas usadas en el mismo,

destacándose la escala principal con números de mayor tamaño. Las escalassecundarias se indicarán además, junto a los dibujos correspondientes.

101

4.4. Se subrayarán las colas particulares de cualquier vista que no estén dibujadas a lamisma escala que las demás de esa misma vista.

4.5. No se indicarán en el dibujo las dimensiones no especificadas en el mismo.

Tabla I

Clase

Construcciones

civiles

Construccionesmecánicas

Escalas Escalas

Reducción

1 : 5

1 : 10

1 : 20

1 : 50

1 : 100

1 : 200

1 : 500

1 : 1000

1 : 25

1 : 50

1 : 100

1 : 200

1 : 500

1 : 1000

1 : 2000

Natural 1 : 1 1 : 1

Ampliación 2 : 1

5 : 110 : 1

2 : 1

5 : 110 : 1

102

10.4 Letras y NúmerosNorma IRAM 4503

1. NORMAS A CONSULTAR1.1 Para la aplicación de esta norma no es necesario la consulta específica de ninguna otra.

2. OBJETO2.1 Establecer los tamaños y características de las letras y números a utilizar en dibujo

técnico.

3. CONDICIONES GENERALES3.1 ALTURAS Y ESPESORES

3.1.1 Las alturas nominales de las letras y números de los espesores optativos “A” y“B” serán los indicados en la Tabla I.

3.1.2 Las letras mayúsculas, minúsculas, los números y los renglones se relacionaránentre sí (Fig.1).

3.1.3 Partiendo de una altura nominal “A” se determinarán para las letras y númeroslas características indicadas en la Tabla II.

3.2 INCLINACIÓN . La inclinación de las letras y números con respecto a la línea sobre lacual se trazan será 75º o 90º (Fig.2/3).

3.3 ANCHO. El ancho de las letras y números, tomando como base al cuadriculado de lasfiguras 2/3, podrá variarse a voluntad.

Tabla I

Altura de la letramayúscula (h)

2,5 3,5 5 7 10 1420

Espesor del A (1/14 h)Trazo (d) (1/10 h) 0,18

0,25

0,250,35

0,35

0,5

0,5

0,7

0,7

1

1

1,4

1,4

2

103

Tabla II

Características Cola

Espesor

“A” “B”

Altura de la letra mayúscula h 1 h 1 h

Altura de la letra minúscula c 0,7 h 0,7 h

Distancia entre las letras, según elespacio disponible

a 0,14 h 0,2 h

Distancia entre renglones b 1,6 h 1,6 h

10.5 Representación de secciones y cortes en dibujomecánico

Norma IRAM 4507

1. NORMAS A CONSULTAR

IRAM TEMA

4501 Definición de vistas, método ISO (E)4502 Líneas4509 Rayados indicadores de secciones y cortes

2. OBJETO2.1 Establecer las definiciones generales sobre secciones y cortes, e indicaciones de

cortes en dibujo mecánico.3. DEFINICIONES

3.1. Sección. Figura que resulta de la intersección de un plano o planos con el cuerpo opieza. (Fig.1)

104

3.2. Corte. Vista de la porción de un cuerpo o pieza resultante de un seccionamiento,observada desde la sección en la dirección indicada por las flechas (Fig.2).

3.3. Corte longitudinal. El que se obtiene en cuerpos o piezas según la mayor medidade los mismos (corte A-A de la figura 2). Si el cuerpo o pieza es de revolución, elplano de corte pasa por su eje longitudinal (Fig.3).

3.4. Corte transversal. El que se obtiene en cuerpos o piezas, según una de susmedidas menores (corte B-B de la figura 2). Si el cuerpo o pieza es de revolución, elplano de corte es perpendicular al eje longitudinal (Fig.3a).

4. CONDICIONES GENERALES4.1 INDICACIONES DE PLANO DE CORTE4.1.1. Los planos de corte se indicarán mediante líneas de trazos largos y trazos cortos,

cuyos extremos se dibujarán con trazos gruesos y los trazos restantes serán degrosor medio (línea “G” – IRAM 4502).

4.1.2. La línea de indicación de corte podrá ser recta, quebrada o curva. (Fig.4)4.1.3. La línea quebrada indicadora de distintos planos de corte podrá quedar limitada a

los extremos y a trazos en ángulos, hechos en los puntos donde se quiebra sudirección (Fig. 5).

4.1.4. En el caso de cortes parciales, la línea de corte podrá quedar limitada a la porciónque se corta (Fig.6).

4.2 DENOMINACIÓN. En los extremos de la línea de corte, se indicará con letrasmayúsculas y el corte correspondiente se denominará con las mismas letras.

4.3 DISPOSICIÓN.4.3.1. Los cortes o vistas en corte se dispondrán de acuerdo con el método ISO (E).

Las líneas de corte llevarán en sus extremos flechas que se anteponen a lalínea de corte, indicando la dirección y sentido de la visual. En todos los casos,las letras se escribirán en la posición de la lectura normal y, preferentemente,sobre la línea de la flecha o en el costado de ella (Fig.7).

4.3.2. En cuerpos o piezas y estructuras simétricas, en las cuales resulte evidente queel plano de corte pasa por su eje de simetría, será necesario indicar, sólo en unode sus extremos, un trazo grueso, la flecha indicadora y la letra (Fig.8/9).

4.4 SECCION TRANSVERSAL4.4.1. Una sección transversal podrá quedar interpolada dentro de la

representación, haciéndola girar 90º sobre el lugar mismo de seccionamientoy, preferentemente, la sección interpolada no será atravesada por ningunalínea llena (Fig.10), pudiendo despejarse el lugar de la sección transversal,como muestra la figura 11. Una sección interpolada podrá ser parcial, comoen el caso de la figura 12, que muestra la configuración de la vista de unrefuerzo.

4.4.2. Una sección transversal podrá ser dibujada separada, como se indica en lafigura 13, en cualquier lugar conveniente, pero siempre en la posición correctaobtenida por proyección (Fig.14); en estos casos se indicará la traza del planode corte y, debajo de la sección dibujada, la leyenda aclaratoria “Sección A-A”; “Sección B-B” etc., y la escala adoptada, si es diferente de la principal.

4.5 CUERPOS O PIEZAS SIMÉTRICAS4.5.1. Los cuerpos o piezas simétricas y, especialmente, los de revolución, se podrán

dibujar mitad en vista y mitad en corte (medio corte) como se indica en la figura15; la separación entre corte y vista quedará determinada por el eje de simetría.

Un corte podrá ser efectuado en forma parcial, como muestran las figuras 16/18, limitandopor una línea de interrupción trazada a pulso y ligeramente sinuosa (tipo “D” – IRAM 4502).

105

Cuando en una vista de una misma pieza se efectuaren dos o más cortes parciales, seránrayados en la misma forma (fig.19/20).

Apunte Mr Isdecat de Dibujo Tecnico.

Documents

Transcript of Apunte Mr Isdecat de Dibujo Tecnico.