Apunte Principios de Modulación Digital-preliminar

índice

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL FACULTAD REGIONAL SANTA FE – DEPARTAMENTO SISTEMAS

CÁTEDRA DE COMUNICACIONES

Principmod

di

(prel

La modulación digital. Primy complejas. Límites de Ny

ios de la ulación gital

iminar)

itivas. Modulación multinivel, m-arias quist y de Shannon.

Fenómenos en la transmisión

Página dejada intencionalmente en blanco

- 2 -

Cátedra de Comunicaciones

TTaabbllaa ddee ccoonntteenniiddooss Objetivos y alcance .................................................................................................................4

Objetivos ..............................................................................................................................4 Alcance.................................................................................................................................4 Declaración ..........................................................................................................................4

La modulación de señales.......................................................................................................6 ¿Qué es modular?.................................................................................................................6 ¿Porqué hay que modular la banda base digital? .................................................................7 Las técnicas de modulación primitivas ................................................................................7

La modulación en amplitud.............................................................................................7 La modulación en frecuencia ..........................................................................................8 La modulación en fase.....................................................................................................9

Los niveles de la modulación.............................................................................................10 Cambiando la técnica de representación............................................................................10 La Región de decisión........................................................................................................11 La modulación m-QAM.....................................................................................................12

La Ley de Shannon-Hartley.................................................................................................15 Algo de historia: ¿Quién fue Shannon? .............................................................................15 Los límites en la velocidad binaria ....................................................................................15

La cantidad de Información...........................................................................................15 Entropía .........................................................................................................................16 El límite de Nyquist.......................................................................................................16 El límite de Shannon .....................................................................................................17

Consecuencias de los límites..............................................................................................18 Resumen.............................................................................................................................19

Bibliografía ............................................................................................................................21 Datos de la edición.............................................................................................................21

- 3 -


Objetivos y alcance

Objetivos El objetivo de este apunte es reunir en un único compendio los principios básicos de la modulación digital, para que el estudiante de Ingeniería en Sistemas de Información tenga una visión global de las técnicas y procedimientos empleados en la transmisión de datos que deben modularse. El estudiante se verá exento así de acudir a textos que ahondan en cuestiones relativa a la naturaleza de los fenómenos, que es claramente electrónica, y podrá concentrarse en la comprensión de la técnica sin tener que desarrollarla matemáticamente.

Fue concebido con el propósito de servir de guía para el dictado de la clase, para luego poder acudir a bibliografía complementaria indicada.

Alcance Se pretende definir los términos de referencia de la modulación digital, sin abordar otros tipos de modulación.

Se espera que el alumno tenga los elementos básicos para comprender las técnicas, no que las domine matemáticamente. De hecho, no se hace un abordaje matemático sino fenomenológico.

Se enseñan las técnicas primitivas y se esboza la más difundidas de las técnicas complejas, que es QAM. En orden, se distinguen las modulaciones mononivel y multinivel, para comprender el concepto conocido como m-aria. Con ambas desarrolladas, se abordan los límites de Nyquist y de Shannon, sin profundizar en sus respectivos teoremas.

Respecto a estos límites, se pretende desarrollar sus conceptos, sin profundizar en su demostración pero atendiendo al origen, significado y su impacto en las comunicaciones. Se remite al lector a los trabajos originales de Shannon para encontrar los fundamentos y desarrollos que sustentan el cálculo.

Finalmente, se enuncia y resalta la capacidad de un canal binario con modulación mono y multinivel pasando por los conceptos de probabilidad y entropía, y se los relaciona con el ancho de banda disponible y la relación señal-a-ruido.

Se espera que al terminar la lectura, el alumno sea capaz de entender cómo se relacionan estos parámetros aplicando los conceptos al cálculo de los límites del canal.

Declaración La cátedra informa que este apunte está en estado preliminar, que se encuentra en redacción, que su estado es aún rudimentario y que está disponible sólo para los alumnos del 2° Cuatrimestre del curso de 2003, con el propósito que se les ha hecho saber.

- 4 -



- 5 -


La modulación de señales

¿Qué es modular? Cuando una señal no puede ser transmitida en su banda base, por la razón que sea, es necesario modularla, lo cual significa usarla como patrón de transformación de otra onda, la cual será realmente transmitida.

¿Porqué una señal no podría ser transmitida en su banda base? Porque alguna de sus características no se adecua al medio. En tal caso, hay que adecuar la señal, y el modo de hacerlo es por medio de la Modulación.

De este modo, podemos definir que la modulación es la acción que ejecuta un modulador al modificar sistemáticamente una onda a la que llamamos portadora, en función de un patrón que llamamos modulante y que es la banda base de la señal que queremos transmitir, para obtener así una nueva onda que llamamos modulada. Si la banda base es digital, en tal caso tenemos modulación digital

Fig. 1 - Esquema básico de entradas y salidas en un modulador

Modulante (Banda Base)

Portadora

Modulada

MODULADOR

El proceso puede ser reversible si se conoce la función con la que ha sido generada la portadora. Las señales senoidales tienen propiedades que le permiten ser portadoras ideales y por tal motivo las portadoras suelen responder a la función y = sen (n ω t) y ser generadas directamente dentro del modulador.

De este modo, se puede concebir un bloque demodulador que tenga como objetivo recibir de la línea una señal modulada, sustraerle la portadora y entregar la modulante como banda base. Ambas secciones pueden estar construidas en el mismo equipo, junto a la lógica de apoyo para filtrar los ruidos, generar y sustraer las portadoras y comunicarse con quien alimenta/recibe la banda base.

En estos casos en que la banda base es digital, al dispositivo así construido se lo llama módem, por el acrónimo de modulador/demodulador. Un módem es un ECD o un ETCD en términos de la ITU y como tal es un dispositivo par que interactúa con un ECD, es decir de él recibe la banda base y a él se la entrega, y esto lo hace por el vínculo entre ambos, que recibe entonces el nombre de Interfaz Digital, para diferenciarla de la interfaz entre ambos módems, que es obviamente analógica.

Si la banda base fuera analógica, estaríamos en presencia de una modulación analógica, objeto de otro estudio. Por ejemplo: la modulación de señales de voz para la transmisión por radio, da lugar a la modulación (en amplitud o en frecuencia) de las señales de la banda base de voz.

- 6 -


En resumen, si la banda base es analógica, decimos que hacemos modulación analógica; si es digital, la llamamos modulación digital. Este es el caso en el que deseamos transmitir datos que han sido generados por ETDs transmitiendo en la banda base pero que no pueden sacar la transmisión de ese modo a la línea, y por tal motivo la modulan con un módem, al que se comunican por la interfaz digital

Línea Fi 2

Interfaz digital

Fig. 2 Dos PC con sus

módems externos

En esta figura, podemos ver dos notebooks con módems externos, sólo para graficar la interfaz digital, pero podría ser cualquier tipo de ETD y el módem podría ser interno o externo.

¿Porqué hay que modular la banda base digital? La banda base digital tiene algunos problemas para poder ser transmitida por circuitos que han sido concebidos como analógicos y, casi siempre, con anchos de banda pequeños.

En particular, cuando se quiere transmitir a distancias largas, que exceden el ámbito de una lan, es necesario salir a alguna red de transporte. Ellas suelen tener ancho de banda acotado y generalmente el requerimiento de ancho de banda para transmitir una señal periódica no senoidal del tipo onda rectangular o cuadrada es muy exigente respecto al ancho de banda disponible. Ni qué hablar cuando se usa la red pública conmutada, que tiene el ancho de banda de la banda vocal, es decir unos 4 KHz.

En segundo lugar, la banda base digital tal como es generada por los ETD suele tener potencias pequeñas, producto de bajos voltajes, lo que sumada a la alta frecuencia la convierten en candidata a la distorsión lineal.

Debido a estas razones, principalmente, se modulan las señales antes de su transmisión. La modulación puede hacerse con técnicas distintas y según cuál se use, recibe el nombre.

Las técnicas de modulación primitivas Se denomina Técnicas Primitivas a las técnicas básicas de modulación que no reconocen ser descompuestas en procesos más simples. Existen tres técnicas básicas y son: modulación en amplitud, modulación en frecuencia y modulación en fase. Serán descriptas someramente con el único propósito de ver cómo hoy no se modula, ya que para lograra las velocidades que se requieren hay que implementar técnicas más complejas o acudir a lo que se llama técnicas multinivel.

La modulación en amplitud La modulación en amplitud es la más vieja de las técnicas y se la conoce como Modulación ASK1

1 Corresponde a la sigla en Inglés de Amplitude Shift Keying

- 7 -


cuando la modulación es digital aunque es muy popular y conocida como AM2 cuando la modulación es analógica.

La modulación ASK consiste en modificar la amplitud de la portadora asignándole un valor para el binario 0 y otro valor distinto para el binario 1, pero siempre de modo tal de mantenerla a frecuencia

constante. Podemos verla en la figura 3.

A

Fig. 3 – Modulación ASK con dos valores de amplitud

t

Una variante de esta técnica primitiva, pero que no distorsiona su definición, recibe el nombre de Supresión de portadora, ya que a uno de los valores binarios le hace corresponder una amplitud nula de la portadora.

La modulación en frecuencia Esta técnica, posterior a la ASK, se la conoce como modulación FSK3 y es el equivalente con banda base digital, de la modulación FM4 más conocida en la banda base analógica.

Es una técnica otrora muy difundida, que consiste en darle una frecuencia al valor binario 0 y otra distinta al valor binario 1, manteniendo constante la amplitud de la señal.

Cuando esta técnica era frecuentemente usada para la transmisión de datos modulados, en aquel entonces la CCITT –hoy ITU- tenía establecidos distintos valores (según cada recomendación) para la frecuencia de la portadora, y los valores de desviación de frecuencia para los valores binarios altos y bajos, recibiendo estas desviaciones el nombre poco difundido de excursión.

Por ejemplo, cuando se usaban estas técnicas, un valor típico de portadora puede haber sido 1800 Hz con excursión de 400 Hz, que resultaba en 1400 Hz para un valor binario y 2200 Hz para el otro.

Como se puede ver, son valores que se encuentran totalmente en la banda audible, por esa razón , estas técnicas generan los llamados “tonos de modulación” en la jerga, que es el ruido en la banda audible resultante de oscilar entre 1,4 y 2,2 KHz

2 Conocida por la técnica de transmisión de radio de Amplitud Modulada (Amplitude Modulation) 3 Corresponde a la sigla en Inglés de Frequency Shift Keying 4 Conocida por la técnica de transmisión de radio de Frecuencia Modulada (Frequency Modulation)

- 8 -


La FSK es mostrada en la figura 4:

A

Fig. 4 – Modulación FSK con dos valores de frecuencia

t

La modulación en fase Esta técnica es conocida como PSK5 y es la que ha dado lugar al mayor desarrollo de la

modulación compleja. Consiste en asignarle una fase a un valor binario y otra fase distinta – opuesta o no – al otro valor binario. En la figura 5 se muestra una asignación de valores opuestos.

A

t

Fig. 5 – Modulación PSK en fases de 0° y 180°

En ese caso, se observa en el ejemplo que se ha asignado fase 0° al valor eléctrico bajo (que podría representar un cero de banda base si la lógica fuera positiva o un uno si fuera negativa) y fase 180° al

5 Por las siglas en Inglés de Phase Shift Keying

- 9 -


valor eléctrico alto.

Al igual que las frecuencias en la FSK o las amplitudes en la ASK, los valores de fase no son arbitrariamente elegidos, sino que los determina la ITU para maximizar la posibilidad de leer el dato recibido con la mayor probabilidad de no cometer un error. En este caso, los valores de 0° y 180° se tomaron sólo para la graficar la representación claramente.

Los niveles de la modulación Sabemos que hasta ahora hemos trabajado con primitivas porque lo hemos enunciado, pero ¿cómo podemos indicarlo de una manera fehaciente?. La ITU ha establecido una nomenclatura que consiste en indicar la cantidad de estados que puede tener la onda modulada, es decir cuántos estados pueden modularse con una técnica.

Cuando trabajamos con primitivas que llamaremos mononivel, porque son capaces de representar la información correspondiente a 1 (un) bit, la notación se hará anteponiendo a la técnica empleada el número 2.

Así, por ejemplo, 2PSK significa modulación PSK con 2 estados modulados –es decir una primitiva PSK- en la que entonces un estado corresponderá al valor binario 0 y el otro al valor binario 1, así que cada estado modulado transporta la información de un bit, y por eso es mononivel.

Ahora podemos definir la modulación mononivel como aquella en la que cada estado modulado representa la información correspondiente a un bit.

Pero si un estado modulado debe representar la información de más de un bit, pongamos por caso un dibit, entonces la modulada deberá tener 4 estados distintos, y cada uno de ellos representar a algunos de los dibits 00, 01, 10 o 11. La cuestión es comprender que la técnica de modulación ya no deberá modular un bit, sino un símbolo constituido por n bits –en el ejemplo, 2. Cada símbolo tendrá su propio estado modulado. Siguiendo con el ejemplo y usando valores totalmente arbitrarios, si se estuviera usando una modulación FSK, podría usarse 1800 Hz con la tolerancia que corresponda para la portadora, -200 Hz para el símbolo 00, -400 Hz para el símbolo 01, +200 Hz para el 10 y +400 Hz para el 11, resultando la modulada en frecuencias de 1400, 1600, 1800 (portadora), 2000 y 2200 Hz. En este caso, estaríamos en presencia de una modulación 4FSK y se la llama multinivel porque cada estado modulado representa a más de un bit.

De igual manera podríamos reflejarlo con la modulación 4PSK. Le daríamos a cada símbolo el valor de fase que sea más conveniente y que más adelante discutiremos como Región de Decisión. En este caso, esa modulación está normalizada por la ITU bajo la recomendación V.26, en la que establece (textualmente):

The carrier frequency is to be 1800 ± 1 Hz. No separate pilot frequencies are provided. The power levels used will conform to Recommendation V.2.

Podemos ver cómo la ITU se exime de redundancias, remitiendo a otra recomendación para buscar los valores eléctricos apropiados. La recomendación establece los valores de fase, aunque en este caso en vez de hacerlo en términos absolutos establece un cambio de fase respecto al símbolo anterior.

El número que acompaña a la técnica de modulación, no importa cuál sea ella, recibe el nombre de m y por eso se suele hablar de modulación m-aria (que debe leerse como emearia)

Algunos otros ejemplos: 8PSK (cada estado representa información de un símbolo de tres bits), 16FSK (cada estado representa información de un símbolo de 4 bits).

Cambiando la técnica de representación Hasta ahora, que hemos representado sólo las primitivas, hemos podido usar una gráfica A=f(t) ya que

- 10 -


las representaciones son simples. Sin embargo, a medida que la m-aria crece, la representación de amplitudes (digamos por caso voltajes) en función del tiempo, se hace más compleja.

Por eso, la forma de representación usada no es la gráfica A=f(t) salvo que alguna cuestión en especial lo exija.

Para ver cómo cambiaremos el sistema de representación, veamos primero cómo podriamos representar un estado modulado cualquiera. Tomemos por ejemplo una modulación 2PSK usando fase de 45° para el valor binario 1 y una oposición de 180° para el valor binario 0. Veamos la figura 6:

Fig. 6 – Representación polar para una modulación 2PSK

A

ω

Podemos ver a la izquierda de la figura 6 que un estado modulado queda representado por un vector, en el que su módulo indica la Amplitud A y el ángulo ω indica la fase, y por lo tanto indirectamente la frecuencia.

Es decir que esta representación, a la que llamaremos vectorial, permite representar unívocamente los estados. De hecho, la modulación 2PSK como la enunciamos está representada a la derecha.

Ahora, si se quiere representar una modulación 4PSK en la forma A=f(t) tendremos 4 fases y será más complicado, mientras que con una representación vectorial podríamos verla como en la figura 7.

Es mucho más simple identificar los estados modulados como puntos en un plano polar, que analizar una gráfica en función del tiempo en un plano coordenado.

Como estas gráficas vectoriales son más legibles sin el vector, ya que se entiende que la distancia al origen representa la amplitud de la onda, reciben el nombre de Diagrama de constelación. Fig. 7

Constelación de 4PSK Tal vez no parezca tal cuando se representa una modulación 4PSK, pero es notorio cómo adquiere la forma de una constelación en una m-aria alta, por ejemplo 64 o 128.

La Región de decisión Hay un valor añadido en los diagramas de constelación, y es que permiten establecer gráficamente o “ver” la región de decisión de un símbolo. Cuando un símbolo es recibido, el demodulador debe interpretar el estado modulado, lo cual significa que el valor de amplitud y fase que se recibe para el estado, debe ser tal que el demodulador lo interprete y le asigne el valor de un símbolo, sea éste mono o multinivel. Si alguno de estos dos valores se encuentra fuera de su rango esperado, el demodulador interpretará que ese es un error motivado por algún ruido.

Se puede entonces decir que existe una posición angular y un valor de módulo (de amplitud) óptimos para un estado modulado. Las características del demodulador, que son determinadas por el estándar que corresponda, establecen las tolerancias para ambos valores. Cuanta mayor tolerancia, más segura

- 11 -


la recepción.

Esto determina, alrededor del punto que representa el estado modulado, una zona que llamaremos Región de decisión y que representa una zona dentro de la cual puede leerse una señal recibida como un valor de amplitud y fase correspondientes a ese estado modulado. Por lo tanto, y como corolario y relacionado con la tolerancia, a mayor región de decisión más confiabilidad en la recepción.

Ahora, y a la luz de este concepto, podemos ver que los valores para las fases en una m-PSK son determinados por la ITU en función de encontrar valores óptimos para las regiones de decisión.

Fig. 8 Región de decisión teórica en

una modulación 4PSK

a

F

región de decisión

Una modulación podría, para una modulación 4PSK por ejemplo, asignar como Región de decisión todo el cuadrante, ya que no hay otros estados modulados que disputen esa área. La figura 8 muestra lo expresado asignando un vector a de magnitud fácilmente calculable como máximo desvío posible de amplitud y que resultara en una suma directa sólo si está alineada (en este caso) a 45°, pero que sino requerirá un cálculo vectorial.

Esto es sólo para representar la región de decisión potencial, pero no son los valores asignados por la ITU a esta modulación.

La modulación m-QAM Supongamos ahora que aumentamos la cantidad de estados modulados y en vez de hacer 4PSK hacemos 8PSK, en cada cuadrante habrá 2 estados modulados. La Región de decisión obviamente disminuirá. Si seguimos creciendo en la m-aria, la región de decisión será cada vez más chica. Veamos cómo sería en el caso de una 16PSK

Fig. 9 – Diagrama de constelación 16PSK y regiones de decisión para m-PSK

Podemos ver a la izquierda en la figura 9, el diagrama de constelación de una modulación 16PSK, y a la derecha en ella las regiones de decisión de dos símbolos en el primer cuadrante. Se observa la limitación mutua que se imponen ambas regiones y se deduce que cuantos más estados modulados, menores regiones de decisión lo que conduce a recepciones menos tolerantes y disminución de la confiabilidad.

El desafío entonces es poder encontrar para cada m-aria una modulación que maximice la región de decisión de cada símbolo, lo que se traducirá en una recepción más confiable.

- 12 -


Fig. 10 (a) Fig. 10 (b) Fig. 10 (c)

Vamos a buscar una alternativa a este caso de la modulación 16PSK. Tengamos en mente cómo es la región de decisión para esta modulación, vista en la figura 9, pero ahora cambiemos el escenario usando para la misma m-aria una técnica de modulación nueva.

A esta técnica la llamaremos m-QAM6 y es obviamente una m-aria, que consiste en combinar para los estados modulados valores de fase y de amplitud distintos para cada uno de ellos. La construiremos paso a paso para comprenderla y la desarrollaremos en el primer cuadrante, sabiendo que luego replicaremos los estados simétricamente en ambos ejes.

Usaremos en el primer cuadrante tres fases, en lugar de cuatro como usa la 16PSK. Se ven en la figura 10 (a). Las tres fases podrían estar equirepartidas –y de hecho, lo están- y podrían comenzar yuxtapuestas con el eje de 0° o no. En este caso, tomaremos un ángulo para la primera fase de modo tal que no esté sobre 0°.

Ahora consideremos tres amplitudes en el mismo cuadrante, como se ven en la figura 10 (b). Podríamos tomar tres valores cualesquiera de amplitud, o tomarlos de modo tal que podamos vectorialmente maximizar las regiones de decisión, esto da muchas posibilidades y veremos que podemos usar varias intersecciones que nos resulten útiles. Se pueden hacer algunos cálculos vectoriales, pero gráficamente se puede ver que la Región de decisión de cada punto se maximiza cuando se usan las intersecciones que se marcan en 10 (c).

Resumamos que los estados resultan de considerar tres valores de fase y tres valores de amplitud:

6 Por las siglas en Inglés de Quadrature Amplitude Modulation

- 13 -


Fig. 11 Diagrama de constelación de 16PSK y 16QAM

De las 9 intersecciones posibles se usaron sólo 4 por la causa apuntada y se pueden ver en la figura 11.

En la misma figurase puede verse ahora el diagrama de constelación de esta nueva modulación, llamada modulación m-QAM que por haberla construido para 16 estados la llamamos 16QAM, comparada con la constelación de 16PSK. También podemos ver sus correspondientes Regiones de decisión y compararlas, sin cálculo, ya que la de 16PSK la pusimos en 16QAM para apreciar cómo aumenta la tolerancia.

m-QAM se produce a partir de dos portadoras generadas en cuadratura, y de allí su nombre. Es una modulación compleja, usada en hasta 128 estados.

Veremos ahora los límites que se alcanzan en las velocidades binarias producidas.

- 14 -


La Ley de Shannon-Hartley

Algo de historia: ¿Quién fue Shannon?

Claude Elwood Shannon (1916 - 2000) fue un ingeniero electrotécnico y matemático, conocido por su desarrollo de la Teoría de la comunicación, llamada actualmente Teoría de la información.

Nació en Gaylord, Michigan – Estados Unidos de Norteamérica -, estudió en esa Universidad y en 1940 obtuvo su doctorado en el Instituto de M.I.T, donde luego fue docente e investigador.

En 1948 publicó Mathematical theory of communication un paper en el que presentaba su concepto inicial de una teoría unificadora de la transmisión y tratamiento de la información [Shannon 1] [Shannon 2].

Él expresó que existe un límite para la tasa de transmisión de información en un canal ruidoso, llamado ahora usualmente Límite de Shannon. Hubo no obstante una contribución de Hartley quien formalizó, 24 años antes, la proporcionalidad entre la cantidad de información, el ancho de banda y la capacidad del canal. De todos modos, Shannon hubo de rescribir la hipótesis.

Los trabajos de Claude Shannon se basan en los conceptos de cantidad de información y de entropía, y en la Ley de Nyquist, que también se enuncia aquí.

Estos enunciados, en conjunto, tienen impacto en el estudio de los canales de comunicaciones y la capacidad de transmisión, ya que permiten relacionar en un solo sistema de ecuaciones: la tasa de bits o velocidad binaria, el ancho de banda de un medio, la cantidad de niveles modulados y la relación señal a ruido del canal.

Los límites en la velocidad binaria

La cantidad de Información La cantidad I de información contenida en un mensaje, es un valor matemático medible referido a la probabilidad p de que una información en el mensaje sea recibida, entendiendo que el valor más alto se le asigna al mensaje menos probable.

Shannon relacionó I con p, mediante la ecuación:

1 I = log2 ( p ) Ejemplo 1: calcular la cantidad de información contenida en los mensajes cara o cruz separadamente cuando se revolea una moneda.

I = log2 [(1/(1/2)] = log2 2 = 1

Se puede ver cómo I manifiesta la cantidad de símbolos posibles que representan el mensaje. Si se lanzara una moneda tres veces seguidas, los ocho resultados (o mensajes) equiprobables pueden ser:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

La p de cada mensaje es de un octavo, y su cantidad de información es

- 15 -


I = log2 [1/(1/8)] = 3

Como se puede ver en el ejemplo, la I de los mensajes es igual a la cantidad de bits de cada mensaje. Este concepto nos lleva al de entropía.

Entropía La entropía H de un sistema de transmisión es igual a la cantidad de información media de sus mensajes, es decir

H = Imed Se le suele llamar entropía como un concepto prestado de la termodinámica [Castro] y puede ser intuitivamente entendida como cantidad de información en un sistema.

Si en un conjunto de mensajes sus probabilidades son iguales, la entropía total será

H = log2 N donde N es el número de mensajes posibles en el conjunto.

Ejemplo 2: Transmitamos mensajes basados en un abecedario. ¿Cuál será la entropía?

Supongamos: las combinaciones son aleatorias y los mensajes son equiprobables; La cantidad de letras es 26 La cantidad de signos de puntuación es 5 La cantidad de signos especiales es 1 (espacio en blanco) La cantidad total de símbolos es entonces 32 La entropía será H = log2 32 = 5

Visto desde la óptica binaria, esto significa que se necesitan 5 bits para codificar cada símbolo: 00000, 00001, 00010, 11111, etc., resultado éste que coincide con la recíproca de la probabilidad p.

En suma, la entropía nos indica la recíproca de la probabilidad de ocurrencia y nos permite ver la cantidad de bits necesarios para representar el mensaje que se va a transmitir.

El límite de Nyquist Nyquist demostró la existencia de una frecuencia de muestreo llamada Frecuencia de Nyquist, igual cuanto más al doble de la frecuencia natural de entrada, es decir la frecuencia de la señal que se va a muestrear.

Lo que Nyquist sostiene es que si se hace un muestreo con una frecuencia superior al doble, la información recuperada es “redundante” (Nyquist dixit). Esto en realidad se debe interpretar como que la cantidad de información obtenida al recuperar un mensaje que se ha muestreado a una frecuencia mayor que el doble de la natural, no difiere de la obtenida cuando se muestrea a una frecuencia del doble de la natural.

Llamamos FN a la frecuencia de Nyquist, tal que:

FN = 2 f

Para los canales de información, en lugar de indicar la frecuencia de la señal, conviene usar como referencia el pasabanda, de tal modo que:

FN ≤ 2 ∆F

Sobre la base de este límite, estableció y comprobó que si los canales son sin ruido, y si las

- 16 -


señales son binarias con una transmisión mononivel, la FN coincide con la máxima velocidad binaria, ya que:

bps ≤ 2 ∆F

Y esto opera como un límite físico, dado que se necesita oscilar para transmitir una información cuya I ≠ 0. Pero es posible remover este máximo, si la transmisión es multinivel, dado que por cada instante de muestreo, se transmitirá un símbolo que contiene más que dos bits y por lo tanto I > 1

bps ≤ 2 ∆F log2 m

en donde m es la cantidad de niveles de la modulación. De este modo, se relaciona la máxima velocidad binaria con el ancho de banda y la cantidad de niveles y también con la entropía.

A esta velocidad binaria la llamamos Límite de Nyquist.

bps = 2 ∆F H (1)

Ejemplo 3: en un canal de transmisión se usa una modulación 64QAM y es del tipo “canal de voz”. ¿Cuál será el límite de Nyquist?:

Modulación 64QAM: 64 niveles de modulación Canal de voz: 4 KHz de pasabanda bps = 2 ∆F H = 2 x 4 x log2 64 = 8 x 6 = 48 Kbps Nótese que la frecuencia está en KHz ⇒ bps está en Kbps

Recuérdese que el límite es válido en los canales sin ruido.

El límite de Shannon Si el canal es no ideal, Shannon ya había demostrado que era ruidoso. Por ejemplo, en los canales de cobre usados como canales de voz existe un ruido base equipartido que coincide en general con el valor de ruido térmico o lo supera.

En esas condiciones, Shannon demostró que existe una relación entre la cantidad de niveles máximos que ese canal puede admitir y la relación señal-a-ruido del mismo, que está dado por:

mmax = (1 + S/N)½ en donde m nuevamente es la cantidad de niveles (recuérdese la m-aria); S y N son los valores de potencia de señal y de potencia del ruido, ambos en unidades de potencia y S/N es la relación señal a ruido adimensional y no la medida decibélica de la ganancia o la pérdida.

Para ser aplicable, el canal deberá estar sujeto a ruido gaussiano limitado en banda y su relación no contempla – ni prevé, ni permite calcular - la presencia de ruido impulsivo.

Como lo que estamos buscando es la capacidad máxima del canal, entonces debemos maximizar m en el límite de Nyquist, y reemplazando mmax en (1) obtenemos

bps = 2 ∆F log2 (1 + S/N)½

Simplificando la ecuación anterior, obtenemos la máxima velocidad de transmisión en función del

- 17 -


ancho de banda, la potencia de la señal y la del ruido gaussiano

bps = ∆F log2 (1 + S/N) (2)

Al valor obtenido, lo llamamos Límite de Shannon dado por la ley de Shannon-Hartley

Consecuencias de los límites AAllgguunnooss ttóóppiiccooss iimmppoorrttaanntteess suelen olvidarse o malinterpretarse a la hora de aplicar el límite obtenido mediante la ley de Shannon. Entre ellos se destacan:

No hay que olvidar que en el cálculo del límite interviene la relación de las respectivas potencias en unidades de potencia y por lo tanto S/N es adimensional, es decir en veces; no es la ganancia del circuito ni la pérdida del medio. En el canal se considera el ruido gaussiano. No debe usarse para calcular el impacto de los ruidos impulsivos o no correlacionados que puedan existir. La sola aplicación de la ley de Shannon no permite determinar la máxima velocidad de un modulador cualquiera en un canal real, sino la máxima capacidad del canal.

Ejemplo 4: Si un canal tiene un ancho de banda de 2,7 KHz, y la relación entre Señal y Ruido es S/N = 1000, ¿Cuál será el límite de Shannon? ¿Cuántos estados deberá manejar el modulador:

bps = ∆F log2 (1 + S/N) = 2700 log2 (1001) = 26900

Sin embargo, recordando el límite de Nyquist, se requerirá al menos un modulador de 32 estados para alcanzar esa tasa de bits en un canal con ese ancho de banda.

El límite de Shannon impacta sobre las técnicas de modulación y de transmisión que se desarrollan.

En la actualidad, las redes públicas de voz, llamadas PSTN, tienen un valor típico S/N de 35 dB, aunque les cuesta mucho mejorar ese valor debido especialmente a uno de los ruidos principales que se presentan fijos u omnipresentes, que es ruido de cuantificación.

Los valores típicos de la relación S/N pueden llegar a 39 dB y, sólo en casos, superar ligeramente ese valor. El efecto del ruido de cuantificación o “cuantización” se ve en el siguiente diagrama de la figura 12:

1

Fig. 12 – Efecto del ruido de cuantización

1 quanto

Valor de la amplitud de la salida

Valor de la amplitud de la entrada

Diferencia de amplitud entre el valor de la amplitud de la entrada y el de la salida

- 18 -


El ruido de cuantización Nq, o error de cuantización, se produce en el codec, a la entrada de la red digital desde la red analógica. Ese valor es proporcional a la diferencia entre el valor de la amplitud en la entrada y el valor de la amplitud a la salida del cuantificador

El ruido de cuantificación es producto de la necesidad de encaminar las señales analógicas de última milla hacia las redes conmutadas que son digitales. En la entrada, el codec introduce errores de cuantificación que se manifiestan como ruido.

Recordemos que necesitamos S/N en forma adimensional, y conocemos el valor en dB indicado de 35 dB, así que como:

dB = 10 log10 (S/N) podemos poner a S/N en modo adimensional en función de dB

S/N = 10dB/10 Sustituyendo este valor en la ecuación del límite de Shannon

bps = ∆F log2 (1 + 10dB/10 ) Es decir, la máxima velocidad en bps, se logra multiplicando el ancho de banda del canal por el log2 de uno más diez a la décima parte de los decibeles de la red.

Para una red con un ancho de banda estándar de 3 KHz, se observa que:

Si la red tiene una relación de 35 dB, entonces bps = 34.822 (34 Kbps) Si la red en cambio mejora a 40 dB, entonces bps = 39.839 (38.9 Kbps)

Resumen En suma, el límite de Shannon, calculado por el teorema de Shannon-Hartley, muestra que los valores de alrededor de 40 Kbps se presentan aparentemente como imbatibles en la modulación actual, con estos valores de ancho de banda y relaciones S/N vistas.

Sin embargo, hoy los módems que logran superar la barrera de los 50 Kbps, parecieran quebrar el límite y desconocer los cálculos de Nyquist. El mérito de los desarrolladores fue cambiar el enfoque, lo que puede verse en el paper [56Kbps].

- 19 -



- 20 -


Bibliografía [Tomasi] Sistemas de comunicaciones electrónicas; Wyne Tomasi; 2ª ed.; 1996; Prentice Hall.

[Danizio] Sistemas de Comunicaciones; Pedro E. Danizio; 1ª ed.; 2003; Universitas

[Castro] Teleinformática para Ingeniería en Sistemas de Información (II); 2ª ed.; 2002; Reverte

[Stalling] Data and Computer Communication; W. Stallings; 5ª ed.; 1997; Prentice Hall

Otras lecturas importantes: [56Kbps] 56Kbps Data Transmission across the PSTN, P.Michael Henderson, Rockwell Semiconductors, Network Access Division; October 14, 1998 [buscar el paper en su versión original en http://frsf.utn.edu.ar/universidad_virtual/catedras/sistemas/comunicaciones/papers/56kbps.exe (Idioma: Inglés), 15 páginas - Formato: PDF - Self Extract

[Shannon1] Mathematical theory of communication, Shannon C. et Weaver W.;University of Illinois Press; ISBN 0-2527-2548-4 [buscar el paper en su versión original en http://frsf.utn.edu.ar/universidad_virtual/catedras/sistemas/comunicaciones/papers/shannon1948.exe (Idioma: Inglés) 55 páginas - Formato: PDF - Self Extract]

[Shannon2] Collected papers, Shannon C. Et. Al.; IEEE Press; ISBN 0-7803-0434-9

Datos de la edición Creado por la Cátedra de Comunicaciones.

Autores: Tomás A. Bracalenti, Gabriel A. Filippa, Alicia Chevalier y Hernán Soperez

Edición: 1ª Edición, preliminar

Revisada, editada y publicada en el sitio Web el 9 de noviembre de 2003

Edición original: 9 de noviembre de 2003

- 21 -



- 22 -

Apunte Principios de Modulación Digital-preliminar

Documents

Transcript of Apunte Principios de Modulación Digital-preliminar