Transformaciones Lineales

Version Enero de 2010

Pontificia Universidad Catolica de Chile

Indice

1. Definicion y propiedades 2

2. Nucleo e imagen 3

3. Isomorfismos 7

4. Matriz de una transformacion lineal 11

5. Algebra de transformaciones lineales y cambio de bases 15

1. Definicion y propiedades

En este captulo estudiaremos la definicion general de las transformaciones lineales, definiendo funciones entredos espacios vectoriales cualesquiera. Recordemos que ya fueron estudiadas las transformaciones lineales entre Rn

y Rm (que son nuestro prototipo de espacios vectoriales).Comenzamos con la definicion formal, que resultara muy familiar.

Definicion: Sean V y W espacios vectoriales sobre R (en la teora general es necesario que ambos espaciosvectoriales tengan el mismo cuerpo base). Una funcion T : V W es una transformacion lineal de V en W si ysolo si

1. v1, v2 V T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)

2. v V R T (v) = T (v)

Nota: De esta manera, tomando V = Rn y W = Rm, tenemos que esta definicion coincide con la que ya habamosdado. Notemos que en la igualdad T (v1+v2) = T (v1)+T (v2), la suma de la izquierda se realiza en V , con su propiadefinicion de suma; en cambio, en el lado derecho, la suma se hace en W . Lo mismo ocurre con las ponderacionesde T (v) = T (v).

Ejemplos:

1. Consideremos la funcion T : M22(R) P4(R) definida por

T

([a b

c d

])= ax4 + bx3 + cx2 + dx (a+ b+ c+ d).

Probemos que T es transformacion lineal (tl):

T

([a b

c d

]+

[a b

c d

])= T

([a+ a b+ b

c+ c d+ d

])

= (a+ a)x4 + (b+ b)x3 + (c+ c)x2

+(d+ d)x (a+ a + b+ b + c+ c + d+ d)

= ax4 + bx3 + cx2 + dx (a+ b+ c+ d)

+ax4 + bx3 + cx2 + dx (a + b + c + d)

= T

([a b

c d

])+ T

([a b

c d

])

T

(

[a b

c d

])= T

([a b

c d

])

= (a)x4 + (b)x3 + (c)x2 + (d)x (a+ b+ c+ d)

= (ax4 + bx3 + cx2 + dx (a+ b+ c+ d)

)

= T

([a b

c d

])

2. Sean V un espacio vectorial sobre R, B una base de V y n = dim(V ). Definimos la funcion de coordenadasen la base B, TB : V R

n, por:T (v) =

[v]B

Entonces TB es tl, pues sabemos que[v1+v2

]B=[v1]B+[v2]By[v]B=

[v]B, es decir, TB(v1+v2) =

TB(v1) + TB(v2) y TB(v) = TB(v).

2

3. La funcion derivada en los polinomios D : P4(R) P3(R), definida por D(p(x)

)= p(x) es tl, pues

sabemos que (p1 + p2)(x) = p1(x) + p

2(x) y (p)

(x) = p(x).

4. Podemos considerar tambien una tl de integracion S : P3(R) P4(R) con

S(p(x)

)=

x0

p(t)dt

Y tenemos que

S((p1 + p2)(x)

)=

x0

(p1 + p2)(t)dt =

x0

p1(t)dt+

x0

p2(t)dt = S(p1(x)

)+ S

(p2(x)

)

S((p)(x)

)=

x0

(p)(t)dt =

x0

p(t)dt =

x0

p(t)dt = S(p(x)

)

Propiedades de las transformaciones lineales

Sea T una tl del ev V en el ev W . Entonces:

1. T (OV ) = OW .

Pues T (OV ) = T (OV +OV ) = T (OV ) + T (OV ) = T (OV ) = OW .

2. Si v1, . . . , vk V y 1, . . . , k R, T

(ki=1

ivi

)=

ki=1

iT (v1).

Lo que es una consecuencia directa de la definicion de tl.

3. Si A V , A 6= , entonces T(A

)=T (A)

.

Lo que se obtiene directamente de la propiedad anterior, pues T(A

)contiene las imagenes de todas las cl

de elementos de A, que son, por la propiedad anterior, cl de imagenes de elementos de A. Se sugiere haceruna demostracion detallada como ejercicio.

4. Si S es un sev de V , entonces T (S) es sev de W .

Esto es directo, por la propiedad anterior. Recordemos que todo subespacio se puede expresar como unconjunto generado, por lo que S = A para algun subconjunto no vaco A de V .

2. Nucleo e imagen

Definicion: Sea T : V W una tl. Definimos:

1. el nucleo o kernel de T como el conjunto

Ker(T ) = {v V : T (v) = OW },

2. la imagen de T como el recorrido de la funcion, es decir,

Im(T ) = Rec(T ) = {w W : v V T (v) = w}.

Estas definiciones coinciden con aquellas que hicimos para las transformaciones lineales de Rn en Rm, pero ahoratenemos el lenguaje y los conocimientos para establecer el siguiente resultado:

Teorema. Sea T : V W una tl. Entonces:

1. Ker(T ) es un sev de V ,

2. Im(T ) es un sev de W .

3

Demostracion: Para probar que Ker(T ) es sev de V , notemos que Ker(T ) V , por su definicion y que OV Ker(T ), pues T (OV ) = OW , por tanto, Ker(T ) 6= .Ahora, si v1 y v2 pertencen a Ker(T ), entonces T (v1) = T (v2) = OW y, luego,

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = OW +OW = OW .

As, tenemos que v1 + v2 Ker(T ) y Ker(T ) es cerrado para la suma.Analogamente, tenemos que si v Ker(T ) y R, entonces v Ker(T ), pues

T (v) = T (v) = OW = OW .

Y Ker(T ) tambien es cerrado para la ponderacion.Ahora, probaremos que Im(T ) es sev de W . Tomamos una base de V : Bv = {v1, v2, . . . , vk}. Entonces cualquierv V es cl de los vectores de la base, es decir, tenemos que

v = 1v1 + 2v2 + + kvk.

EntoncesT (v) = T (1v1 + 2v2 + + kvk) = 1T (v1) + 2T (v2) + + kT (vk).

As, si w Im(T ), entonces existe un v V tal que w = T (v) = 1T (v1) + 2T (v2) + + kT (vk), lo que pruebaque

Im(T ) ={T (v1), T (v2), . . . , T (vk)}

Lo que, a su vez, prueba que Im(T ) es sev de W .

Nota: En la demostracion anterior hemos descrito un metodo para determinar Im(T ) como un conjunto generado:la imagen de T es generada por los transformados de cualquier base del espacio de partida V .

Veamos como obtener, en la practica, el nucleo y la imagen de algunas transformaciones lineales.

Ejemplos:

1. Consideremos la transformacion lineal T1 : P2(R) R4 definida por

T1(p(x)

)=(p(0), p(1), p(0) + p(1), p(0)

).

Calcularemos las dimensiones de Ker(T1) y de Im(T1).

Buscamos la forma general de los elementos del Ker(T1):

p(x) = a+ bx+ cx2 Ker(T1) T1(a+ bx+ cx2) = (0, 0, 0, 0)

(a, a+ b+ c, 2b+ 2c, 2c) = (0, 0, 0, 0)

a = b = c = 0

p(x) = 0

Entonces Ker(T1) = {0} y dim(Ker(T1)) = 0.

Ahora, buscamos una base de Im(T1). Como ya sabemos, la imagen esta generada por los transformados decualquier base del espacio de partida. En este caso, consideremos la base canonica de los polinomios: {1, x, x2}y tendremos que

Im(T1) ={ T1(1), T1(x), T1(x

2) }={ (1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 1, 2, 2) }

Ademas, los vectores (1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0) y (0, 1, 2, 2) son li (compruebelo!). As, podemos concluir quedim(Im(T1)) = 3.

2. Sea T2 : M22(R) R2 la tl definida por

T2

([a b

c d

])= (a c, 2a b+ d).

4

Caracterizamos los elementos del nucleo:

A =

[a b

c d

] Ker(T2) T2

([a b

c d

])= (0, 0)

(a c, 2a b+ d) = (0, 0)

c = a; b = 2a+ d; a, d libres

A =

[a 2a+ da d

]= a

[1 21 0

]+ d

[0 10 1

]

Entonces Ker(T2) =

{[1 21 0

],

[0 10 1

]}y ambas matrices generadoras son li.

Por tanto, dim(Ker(T2)) = 2.

Ahora, para obtener la imagen de T2, tomamos la base canonica de las matrices de 2 2 y calculamos sustransformados:

T2

([1 00 0

])= (1, 2); T2

([0 10 0

])= (0,1);

T2

([0 01 0

])= (1, 0); T2

([0 00 1

])= (0, 1).

As, tenemos queIm(T2) =

{ (1, 2), (0,1), (1, 0), (0, 1) }

.

Pero, claramente, los cuatro vectores generadores son ld, as que podemos eliminar algunos. Como en R2 sepueden tener, a lo mas, dos vectores li, podemos tomar (1, 2) y (0,1) (que son li) para conformar una basede Im(T2). Entonces dim(Im(T2)) = 2 = dim(R

2) y como un subespacio con la misma dimension de todo elespacio debe coincidir con el, tenemos que

Im(T2) = R2.

3. Por ultimo, consideremos la tl T3 : P2(R) W , donde W es el subespacio de la matrices simetricas de2 2 definida por

T3(a+ bx+ cx2) =

[3a 2b+ 2c 4a b c4a b c 3a 2b+ 2c

]Entonces:

p(x) = a+ bx+ cx2 Ker(T3) T3(a+ bx+ cx2) =

[0 00 0

]

{3a 2b+ 2c = 04a b c = 0

a = 0; b = c; c libre

p(x) = cx+ cx2 = c(x+ x2)

Por tanto,Ker(T3) = {x+ x

2}.

Ademas,

Im(T3) ={

T3(1), T3(x), T3(x2)}

=

{ [3 44 3

],

[2 11 2

],

[2 11 2

] }

Pero esta tres matrices son ld, pues[3 44 3

]=

11

4

[2 11 2

]

5

4

[2 11 2

]

Luego,

Im(T3) =

{ [2 11 2

],

[2 11 2

] }y dim(Im(T3)) = 2.

5

A continuacion, presentamos un resultado que permitira relacionar el nucleo y la imagen de una tl dada. Estarelacion se conoce, a menudo, como el Teorema NucleoImagen.

Teorema. Sean V y W dos espacios vectriales sobre R, ambos de dimension finita y sea T : V W unatransformacion lineal. Entonces

dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )).

Demostracion: Llamemos n a la dimension de V . Partimos considerando una base de Ker(T ):

B0 = {v1, v2, . . . , vk}

entonces, ademas estamos diciendo que dim(Ker(T )) = k y como Ker(T ) es un sev de V , tenemos que k n.Si k = n, entonces Ker(T ) = V y, por tanto, T (v) = OW para todo v V . Entonces Im(T ) = {OW } y dim(Im(T )) =0, con lo que se cumple la afirmacion del teorema.Si k < n, entonces B0 no es una base de todo V , as que existe al menos un vector en V que es li con los vectoresde B0. Entonces podemos completar este conjunto li a una base de V .Sea BV = {v1, v2, . . . , vk, u1, . . . , unk} una base de V que contiene a B0. Entonces,

Im(T ) ={T (v1), . . . , T (vk), T (u1), . . . , T (unk)}

Pero T (v1) = OW , . . . , T (vk) = OW , luego podemos eliminar estos vectores del conjunto generador, as,

Im(T ) ={T (u1), . . . , T (unk)}

Ahora probaremos que los vectores T (u1), T (u2), . . . , T (unk) son li y, por tanto, conforman una base de la imagende T lo que terminara la demostracion.Para esto, consideramos una cl nula:

1T (u1) + + nkT (unk) = OW

y debemos probar que 1 = 2 = = k = 0.Pero:

1T (u1) + + nkT (unk) = OW = T (1u1 + + nkunk) = OW

de donde podemos concluir que el vector u = 1u1 + + nkunk pertenece a Ker(T ). As, u se escribe como clde los vectores de B0 (pues es base del nucleo). Luego,

1u1 + + nkunk = u = 1v1 + + kvk

= 1u1 + + nkunk 1v1 kvk = OV

Pero esta es una cl de los vectores de la base de V , por tanto, de vectores li. Luego, todos sus coeficientes debenser cero, es decir, 1 = 2 = = k = 0 (lo que queramos probar) y tambien tenemos que 1 = = nk = 0.Con esto, hemos probado que la imagen de T tiene dimension igual a n k. Entonces:

dim(V ) = n = k + (n k) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )).

Lo que termina la demostracion.

Nota: Observando los ejemplos anteriores al Teorema de NucleoImagen, podemos acortar los calculos, simplementeusando la igualdad que nos entrega el teorema. As:

En el ejemplo 1, una vez calculado el nucleo de T1, podemos concluir de inmediato que la dimension de suimagen es 3, por tanto, sabemos que los transformados de cualquier base de V = P2 conformaran una basede la imagen de T1. Si, por otro camino, alguien calculara primero Im(T1), entonces se obtendra que sudimension es 3, por lo que podra concluir inmediatamente que el nucleo de esta tl es trivial.

De forma analoga, en el ejemplo 2, una vez calculado el nucleo de T2 se sigue inmediatamente del teorema quedim(Im(T2)) = 2 y como Im(T2) es sev de R

2, podemos concluir de inmediato que Im(T2) = R2, sin realizar

ningun calculo. Lo mismo puede afirmarse en el ejemplo 3.

6

3. Isomorfismos

Definicion: Sea T : V W una transformacion lineal. Diremos que T es:

un monomorfismo de espacios vectoriales si y solo si T es una funcion inyectiva o 11,

un epimorfismo de espacios vectoriales si y solo si T es una funcion sobreyectiva o epiyectiva,

un isomorfismo de espacios vectoriales si y solo si T es una biyeccion.

Ademas, decimos que los espacios vectoriales V y W son isomorfos (lo que anotamos V = W ) si y solo siexiste un isomorfismo entre ellos.

El siguiente resultado nos permite clasificar una transformacion lineal a traves de su nucleo y de su imagen.Las demostraciones de todas las afirmaciones son tan valiosas como las conclusiones, pues permiten visualizar comotrabajar con transformaciones lineales.

Teorema. Sea T : V W una transformacion lineal. Entonces:

1. T es monomorfismo si y solo si dim(Ker(T )) = 0.

2. T es epimorfismo si y solo si dim(Im(T )) = dim(W ).

3. T es monomorfismo si y solo si transforma conjuntos li de V en conjuntos li de W .

4. T es epimorfismo si y solo si transforma conjuntos generadores de V en conjuntos generadores de W .

5. T es isomorfismo si y solo si transforma bases de V en bases de W .

Demostracion: Para demostrar la afirmacion (1 ) primero supongamos que T es una funcion inyectiva. Es decir,

v1, v2 V T (v1) = T (v2) = v1 = v2.

Si v Ker(T ), tendremos que T (v) = OW = T (OV ) y concluimos que v = OV . Por lo tanto, Ker(T ) = {OV } ydim(Ker(T )) = 0. Para la otra implicacion, supongamos que Ker(T ) = {OV } y que v1 y v2 son dos elementos deV tales que T (v1) = T (v2). Debemos probar que v1 = v2. Pero esto se deduce directamente, pues T (v1 v2) =T (v1) T (v2) = OW , es decir, v1 v2 Ker(T ), que contiene solo a OV . Luego, v1 v2 = OV .

La afirmacion (2 ) es directa, pues T es una funcion sobreyectiva si y solo si Im(T ) = W (el recorrido de latransformacion es todo el espacio de llegada), pero como Im(T ) es un subespacio de W , tendremos que amboscoinciden si y solo si tienen la misma dimension.

Probaremos la afirmacion (3 ). Primero, supongamos que T es un monomorfismo y que {v1, v2, . . . , vk} es un conjuntode vectores li en V . Probaremos que el conjunto de transformados, {T (v1), T (v2), . . . , T (vk)}, es li. Para esto,consideramos la cl:

1T (v1) + 2T (v2) + + kT (vk) = OW

Entonces,T (1v1 + 2v2 + + kvk) = OW

y concluimos que 1v1 + 2v2 + + kvk Ker(T ) = {OV }, es decir, obtenemos que

1v1 + 2v2 + + kvk = OV

de donde se obtiene que 1 = 2 = = k = 0 y {T (v1), T (v2), . . . , T (vk)} es li.Para probar la otra implicacion, supongamos que T transforma conjuntos li de V en conjuntos li deW y consideremosun elemento v Ker(T ). Si v 6= OV , entonces existe una base de V que contiene este vector, digamos BV ={v, v2, v3, . . . , vn} y, por nuestra hipotesis, el conjunto {T (v), T (v2), T (v3), . . . , T (vn)} es li en W . Pero T (v) = OW ,lo que lleva a una contradiccion. Por tanto, v debe ser igual a OV . Es decir, Ker(T ) = {OV } y T es monomorfismo.

7

Ahora porbaremos la afirmacion (4 ). Supongamos que T es sobreyectiva y que {v1, v2, . . . , vk} es un conjuntogenerador de V .Probaremos que W = {T (v1), T (v2), . . . , T (vk)}. Para esto, basta probar que W {T (v1), T (v2), . . . , T (vk)},pues la otra contencion es trivial.Sea w W . Como T es sobreyectiva, tenemos que w Im(T ), es decir, existe un vector v V tal que T (v) = w.Pero como {v1, v2, . . . , vk} genera a V , entonces v se escribe como cl de estos vectores:

v = 1v1 + 2v2 + + kvk

y aplicando la tl, obtenemos que

w = T (v) = T (1v1 + 2v2 + + kvk) = 1T (v1) + 2T (v2) + + kT (vk)

Luego, w {T (v1), T (v2), . . . , T (vk)}, lo que completa la demostracion.La otra implicacion es directa, pues si suponemos que T transforma conjuntos generadores de V en conjuntosgeneradores de W y tomamos una base Bv = {v1, v2, . . . , vn} de V , tendremos que

Im(T ) = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} =W

lo que implica que T es un epimorfismo.

Por ultimo, la afirmacion (5 ) es una consecuencia directa de las afirmaciones (3 ) y (4 ) en conjunto. 2

Ejemplos:

1. Sea T : M22(R) P3(R) la tl definida por

T

([a b

c d

])= (a d)x3 + (b+ c)x2 + (2a+ d)x+ (2b+ c)

Clasifiquemos esta transformacion. Para esto, calculemos su nucleo:

[a b

c d

] Ker(T ) T

([a b

c d

])= 0x3 + 0x2 + 0x+ 0

a d = 0b+ c = 0

2a+ d = 02b+ c = 0

a = b = c = d = 0

Luego, Ker(T ) =

{[0 00 0

]}y T es un monomorfismo.

Ahora, usando el Teorema NucleoImagen, tenemos que

4 = dimM22(R) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = 0 + dim(Im(T ))

Entonces la dimension de la imagen de T coincide con la dimension del espacio de llegada. Por tanto, T tambienes un epimorfismo. Es decir, T es un isomorfismo de espacios vectoriales y tenemos que M22(R) = P3(R).

Ya que T es una biyeccion, tenemos que su funcion inversa T1 tambien es transformacion lineal. Deter-minemos la definicion de la tl T1 : P3(R) M22(R). Para esto, recordemos que si A M22(R) yp(x) P3(R), entonces

T1(p(x)) = A T (A) = p(x).

Queremos determinar T1(x3 + x2 + x + ) para todo polinomio. El resultado es una matriz de 2 2.Entonces:

T1(x3 + x2 + x+ ) =

[a b

c d

].

8

Debemos encontrar a, b, c, d en funcion de , , , , pero

T1(x3 + x2 + x+ ) =

[a b

c d

] T

([a b

c d

])= x3 + x2 + x+

(a d)x3 + (b+ c)x2 + (2a+ d)x+ (2b+ c) =

x3 + x2 + x+

a d = b+ c =

2a+ d = 2b+ c =

a =+

3; b = ; c = 2 ; d =

2

3

Luego, la formula que define T1 es:

T1(x3 + x2 + x+ ) =

[+3

2 23

]

2. Si T : R4 P3(R) es una tl cuya imagen es

Im(T ) = {1 + x,3 + x2, x3 x2 + x+ 1, x3 3} ,

podemos clasificar T?

Para responder esta pregunta, debemos calcular la dimension de la imagen de T . Para esto, determinamosuna base de Im(T ) del conjunto generador que conocemos {1 + x,3 + x2, x3 x2 + x+ 1, x3 3}. Hacemosuna cl de estos polinomios y determinamos cuales de ellos son li.

(1 + x) + (3 + x2) + (x3 x2 + x+ 1) + (x3 3) = 0x3 + 0x2 + 0x+ 0

=

3 + 3 = 0+ = 0 = 0 + = 0

Escalonamos la matriz asociada al sistema:1 3 1 31 0 1 00 1 1 00 0 1 1

1 3 1 30 3 0 30 1 1 00 0 1 1

1 3 1 30 1 1 00 3 0 30 0 1 1

1 3 1 30 1 1 00 0 3 30 0 1 1

1 3 1 30 1 1 00 0 3 30 0 0 0

Luego, una base de Im(T ) es {1 + x,3 + x2, x3 x2 + x + 1} y dim(Im(T )) = 3 6= 4 = dim(P3(R)). Portanto, T no es sobre. Ahora,

4 = dim(R4) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = dim(Ker(T )) = 1.

Luego, T tampoco es inyectiva,

El siguiente teorema nos indica que espacios vectoriales son isomorfos.

9

Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre R. Entonces

V =W dim(V ) = dim(W )

Demostracion: Supongamos que V y W son espacios isomorfos. Entonces existe una tl T : V W que es unisomorfismo. Entonces, dim(Ker(T )) = 0 y dim(Im(T )) = dim(W ). Luego,

dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) = 0 + dim(Im(T )) = dim(W ).

Ahora, supongamos que dim(V ) = dim(W ) = n. Sean BV = {v1, v2, . . . , vn} y BW = {w1, w2, . . . , wn} bases de Vy W respectivamente.Definimos la tl T : V W , indicando los transformados de los vectores de la base BV :

T (v1) = w1

T (v2) = w2...

T (vn) = wn

As, para conocer el transformado de un elemento cualquiera v V , lo escribimos en la base BV :

v = 1v1 + 2v2 + + nvn

Entonces:T (v) = 1T (v1) + 2T (v2) + + nT (vn) = 1w1 + 2w2 + + nwn.

Luego, Im(T ) = {w1, w2, . . . , wn} = W por lo que T es sobreyectiva y, usando el Teorema NucleoImagen,concluimos que dim(Ker(T )) = 0.Por tanto, concluimos que T es isomorfismo entre V y W , es decir, V =W .

Nota : En esta demostracion hemos usado que toda trasnformacion lineal queda completamente determinada(o definida) por los transformados de una base del espacio de partida. Conociendo estos, podemos obtener eltransformado de cualquier elemento, pues basta expresarlo en esta base.

Ejemplos:

1. Definimos la tl T1 : R3 R2 por

T1(1, 0, 3) = (2, 1); T1(5, 1, 0) = (1, 1); T1(0, 0, 1) = (0, 0).

Con esto basta, pues los vectores (1, 0, 3), (5, 1, 0) y (0, 0, 1) forman una base de R3. Para poder encontrar laformula general de T1, es decir, T1(x, y, z), basta escribir un vector cualquiera de R

3 en esta base:

(x, y, z) = (1, 0, 3) + (5, 1, 0) + (0, 0, 1) = = x 5y ; = y ; = z + 15y 3x

EntoncesT1(x, y, z) = (x 5y)T1(1, 0, 3) + yT1(5, 1, 0) + (z + 15y 3x)T1(0, 0, 1)

= (x 5y)(2, 1) + y(1, 1) + (z + 15y 3x)(0, 0)

= T1(x, y, z) = (2x 9y, x 4y)

2. Supongamos que una tl T2 : P2(R) R3 tiene nucleo

Ker(T2) = {1 + x, 2x2}

Nos planteamos dos preguntas: Se puede encontrar una formula para T2(a + bx + cx2)? Si es as, es unica

la formula encontrada?

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Para responder esto, notemos que T2(1 + x) = (0, 0, 0) y que T2(2x2) = (0, 0, 0). Si consideramos un tercer

polinomio li con 1+x y con 2x2, podremos determinar completamente la tl, pues tendremos los transformadosde una base del espacio de partida.

Por ejemplo, si tomamos el polinomio x2 + x, tendremos que {1 + x, 2x2, x2 + x} es una base de P2(R).Ahora, asignamos un vector de R3 (la unica restriccion es que no sea el vector cero). Por ejemplo, podemosponer T2(x

2 + x) = (1, 1, 1). Con esto, se repite el procedimiento del ejemplo anterior par aobtener la formulade T2(a+ bx+ cx

2).

Es claro que esta formula no es unica, pues si elegimos un polinomio distinto de x2 + x, pero que siga siendoli con 1 + x y 2x2, ontendremos otra tl.

Entonces, existen infinitas tl T2 : P2(R) R3 que tienen nucleo

Ker(T2) = {1 + x, 2x2}.

4. Matriz de una transformacion lineal

En esta seccion generalizaremos la relacion entre las transformaciones lineales y las matrices que estudiamos enel captulo de Matrices. En ese momento, solo tenamos a nuestra disposicion la base canonica de Rn, por tanto,solo calculabamos matrices canonicas de las transformaciones. Ahora, cada transformacion lineal tendra infinitasmatrices representantes, pues podemos considerar distintos sistemas de coordenadas tanto en el espacio de partidacomo en el espacio de llegada.

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre R. Fijamos bases de ambos espacios: BV = {v1, v2, . . . , vn} yBW = {w1, w2, . . . , wm}.

Consideramos una transformacion lineal T : V W y queremos determinar una matriz M de m n tal que

v V[T (v)

]BW

=M[v]BV

. (1)

Es decir, escribimos cualquier elemento v de V en la base de partida y al multiplicarlo por la matriz M ,obtendremos su transformado T (v) escrito en la base de llegada.

Para determinar esta matriz, la describimos por columnas:

M =[~c1 ~c2 ~cn

]Si usamos la ecuacion (1) para v = vi obtendremos la i-esima columna de M , pues

[T (vi)

]BW

=M[vi

]BV

=[~c1 ~c2 ~ci ~cn

]

00...1...0

= ~ci

Entonces la i-esima columna de M es el transformado de vi escrito en la base de llegada BW .De esta manera,

M =[ [

T (v1)]BW

[T (v2)

]BW

[T (vn)

]BW

]

Definicion: La matriz M se llama matriz de la transformacion T de la base BV a la base BW . Esta matriz seanota [

T]BWBV

y tenemos que

v V[T (v)

]BW

=[T]BWBV

[v]BV

11

Ejemplos:

1. Consideremos la tl T : P2(R) P3(R) definida por

T (a+ bx+ cx2) = (2a+ c) + bx+ cx2 + ax3.

Calcularemos[T]BWBV

, donde BV = {1, 1 + x, 1 + x+ x2} y BW = {1, x, 2 + x

2, x+ x3}.

Calculamos los transformados de los vectores de la base de partida y los escribimos en la base de llegada:

T (1) = 2 + x3 = 2 1 + (1)x+ 0(2 + x2) + 1(x+ x3)

T (1 + x) = 2 + x+ x3 = 2 1 + 0x+ 0(2 + x2) + 1(x+ x3)

T (1 + x+ x2) = 3 + x+ x2 + x3 = 1 1 + 0x+ 1(2 + x2) + 1(x+ x3)

Entonces, la matriz de T es estas bases es:

[T]BWBV

=

2 2 11 0 00 0 11 1 1

2. Sea T : M22(R) R3 la tranformacion lineal con matriz representante

[T]B2B1

=

1 0 1 11 2 1 1

3 1 0 0

,

donde B1 =

{(1 11 1

),

(2 22 0

),

(1 10 0

),

(1 00 0

)}y B2 = {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 0)}.

Calcularemos, como ejercicio, T

(2 30 2

)y , a continuacion, obtendremos la formula de T , es decir, calcularemos

T

(a b

c d

).

Para calcular T

(2 30 2

), escribiremos

(2 30 2

)en la base B1:

(2 30 2

)= 2

(1 11 1

)+ (1)

(2 22 0

)+ 3

(1 10 0

)+ 1

(1 00 0

)

Entonces [ (2 30 2

) ]B1

=

2131

y

[T

(2 30 2

) ]B2

=[T]B2B1

[ (2 30 2

) ]B1

=

1 0 1 11 2 1 1

3 1 0 0

2131

=

045

Luego,

T

(2 30 2

)= 4(2, 1, 0) + 5(1, 1, 0) = (13, 9, 0).

12

Siguiendo el mismo procedimiento, tenemos que

[ (a b

c d

) ]B1

=

dcd2

b cb a

, luego

[T

(a b

c d

) ]B2

=

1 0 1 11 2 1 1

3 1 0 0

dcd2

b cb a

=

a c d2b a

c+5d2

Por tanto,

T

(a b

c d

)= (a c d)(1, 0, 1) + (2b a)(2, 1, 0) +

c+ 5d

2(1, 1, 0)

=

(6a+ 8b+ 3c+ 7d

2,2a+ 4b+ c+ 5d

2, a c d

)

A continuacion, exploraremos como usar la matriz de la transformacion lineal para conocer propiedades de lafuncion.

Teorema. Sean T : V W una transformacion lineal y A =[T]BWBV

, donde BV = {v1, . . . , vn} y BW =

{w1, . . . , wm} son bases de V y W respectivamente. Entonces:

1. v Ker(T )[v]BV

es solucion del sistema A~x = ~0.

2. w Im(T ) el sistema A~x =[w]BW

es compatible.

3. T es un monomorfismo si y solo si A tiene inversa por la izquierda.

4. T es un epimorfismo si y solo si A tiene inversa por la derecha.

5. T es un isomorfismo si y solo si A es invertible.

Demostracion: Para probar (1 ), notemos que

v Ker(T ) OW = T (v)

~0 =[OW

]BW

=[T (v)

]BW

=[T]BWBV

[v]BV

= A[v]BV

[v]BV

es solucion de A~x = ~0

La afirmacion (2 ) tambien es directa, pues

w Im(T ) v V w = T (v)

v V[w]BW

=[T (v)

]BW

=[T]BWBV

[v]BV

= A[v]BV

El sistema A~x =[w]BW

tiene al menos una solucion

Para probar la afirmacion (3 ), tenemos que T es un monomorfismo si y solo si Ker(T ) = {OV }, es decir, la unicasolucion del sistema A~x = ~0 es la trivial, pero esto equivale a que la matriz A tenga inversa por la izquierda.Ademas, T es epiyectiva si y solo si el sistema A~x = ~b es compatible para todo vector~b (basta tomar w W = Im(T )

tal que[w]BW

= ~b), lo que, a su vez, equivale a que la matriz A tiene inversa por la derecha. Con esto, hemos

probado (4 ).La afirmacion (5 ) se obtiene de (3 ) y (4 ). 2

Veamos un ejemplo en donde aplicaremos este teorema.

13

Ejemplo: Sea T : P2(R) M22(R) la tl con matriz representante

A =[T]B2B1

=

1 2 00 3 32 3 71 1 1

,

donde B1 = {x 2, x2 + 1, 2x x2} y B2 es la base canonica de las matrices de 2 2.

Sin encontrar la formula general de T , calcularemos su nucleo y su imagen usando las afirmaciones (1 ) y (2 ) delteorema.Para calcular el nucleo de T , debemos resolver el sistema A~x = ~0. Pivoteamos la matriz:

1 2 00 3 32 3 71 1 1

1 2 00 3 30 7 70 1 1

1 2 00 3 30 0 00 0 0

Luego, si ~x = (x, y, z), tenemos que z = y; x = 2y y ~x = (2y, y,y) = y(2, 1,1). Entonces el conjunto{(2, 1,1)}

contiene todas las soluciones de A~x = ~0.Esto significa que los polinomios que estan en el Ker(T ) tienen vectores coordenados en

{(2, 1,1)}

. Es decir,

p(x) Ker(T )[p(x)

]B1

=

2

p(x) = 2(x 2) + (x2 + 1) (2x x2) = (2x2 4x+ 5)

Por tanto,Ker(T ) =

{2x2 4x+ 5}

.

Ahora calcularemos Im(T ). Para esto, debemos determinar para que vectores ~b el sistema A~x = ~b es compatible.Escalonamos la matriz ampliada (A|b).

1 2 0 b10 3 3 b22 3 7 b31 1 1 b4

1 2 0 b10 3 3 b20 7 7 b3 2b10 1 1 b4 b1

1 2 0 b10 3 3 b20 0 0 b3 2b1 +

7

3b2

0 0 0 b4 b1 +1

3b2

Luego, A~x = ~b sera compatible si y solo si b3 2b1 +7

3b2 = 0 y b4 b1 +

1

3b2 = 0. Es decir, vecb debe pertenecer al

conjunto { (1, 0, 2, 1), (0, 3,7,1) }

Interpretando este resultado como los vectores coordenados de las matrices de la imagen de T en la base BW (quees la base canonica de las matrices, lo que hace trivial el trabajo), tendremos que

Im(T ) =

{(1 02 1

),

(0 37 1

)}

14

5. Algebra de transformaciones lineales y cambio de bases

Cuando estudiamos la transformaciones lineales de Rn en Rm probamos, con todo detalle, que la suma, ponde-racion y composicion de transformaciones lineales es una transformacion lineal, esta demostracion no depende delos espacios de partida y llegada, por tanto, no repetiremos tales demostraciones. En cambio, estudiaremos aqu,como obtener las matrices asociadas a las nuevas transformaciones lineales que se obtienen por suma, ponderaciono composicion.

Consideraremos tres espacios vectoriales sobre R con sus respectivas bases: (U,BU ), (V,BV ) y (W,BW ) y lastransformaciones lineales T1 : V W , T2 : V W y T3 : U V .

Si A =[T1]BWBV

, B =[T2]BWBV

, C =[T3]BVBU

, entonces:

T1 + T2 : V W es la tl definida por (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v) y su matriz representante en las basesBV y BW es A+B. Es decir, [

T1 + T2]BWBV

=[T1]BWBV

+[T2]BWBV

T1 : V W es la tl definida por (T1)(v) = T1(v) y su matriz representante en las bases BV y BW esA. Es decir, [

T1]BWBV

= [T1]BWBV

T1 T3 : U W es la tl definida por (T1 T3)(v) = T1(T3(v)

)y su matriz representante en las bases BU y

BW es AC. Es decir, [T1 T3

]BWBU

=[T1]BWBV

[T3]BVBU

Si suponemos que T1 es un isomorfismo, entonces T11 : W V es la transformacion lineal definida por la

relacionT11 (w) = v T1(v) = w

y su matriz representante en las bases BW y BV es A1. Es decir,

[T11

]BVBW

=([T1]BWBV

)1

Ejemplo: Sean B y B dos bases de R2 y BP una base de P2(R). Supongamos que T : R2 P2(R) y

R : R2 R2 son dos tl tales que

M1 =[T R

]BPB

=

2 10 11 1

y M2 = [R ]BB =

(1 11 2

).

Queremos determinar[T]BPB

.

Para esto, notamos que M2 es invertible, pues det(M2) = 1 6= 0. Luego, R es un isomorfismo y

[R1

]BB

=M12 =

(2 11 1

).

Entonces:

[T]BPB

=[T R R1

]BPB

=[T R

]BPB

[R1

]BB

=M1M12 =

2 10 11 1

( 2 1

1 1

)=

3 11 13 2

Para terminar, revisaremos como se relacionan dos matrices representantes en distintas bases de una misma tlT : V W .

15

En el caso mas general, consideramos dos bases distintas de V : B1V y B2V ; y dos bases distintas de W : B

1W y

B2W . Entonces podemos considerar dos matrices representantes de T :

[T]B1

W

B1V

y[T]B2

W

B2V

.

Para saber como se relacionan, usaremos dos transformaciones lineales auxiliares:

IdV : V V , definida por IdV (v) = v, y IdW :W W , definida por IdW (w) = w.

Como ambas son la funcion identidad en el espacio correspondiente, tenemos que

T = IdW T IdV .

Ahora, usamos la propiedad de las matrices de una transformacion lineal compuesta. Entonces:

[T]B2

W

B2V

=[IdW T IdV

]B2W

B2V

=[IdW T

]B2W

B1V

[IdV

]B1V

B2V

=[IdW

]B2W

B1W

[T]B1

W

B1V

[IdV

]B1V

B2V

Pero, si la base B2V = {v1, v2, . . . , vn}, tenemos que

[IdV

]B1V

B2V

=[ [

IdV (v1)]B1

V

[IdV (v2)

]B1

V

[IdV (vn)

]B1

V

]

=[ [

v1]B1

V

[v2]B1

V

[vn]B1

V

]

=[Id]B1

V

B2V

Es decir,[IdV

]B1V

B2V

es la matriz de cambio de bases en V desde la base B2V a la base B1V . Analogamente,

[IdW

]B2W

B1W

es la matriz de cambio de bases en W desde la base B1W a la base B2W .

Luego, dos matrices representantes en distintas bases de una misma transformacion lineal se relacionan a travesde dos cambios de bases: uno, en el espacio de partida y el otro, en el espacio de llegada. La formula general es:

[T]B2

W

B2V

=[Id]B2

W

B1W

[T]B1

W

B1V

[Id]B1

V

B2V

Ejemplo: Supongamos que T : P3 R3 y S : P3 R

3 son dos transformaciones lineales dadas por lasmatrices [

T]B3B1

=

1 0 2 10 1 1 12 3 11 0

y [S ]B4

B2=

0 0 1 21 1 1 11 0 0 2

,

donde B1 = {1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3} y B2 = {1 x

3, 1 x2, 1 x, 1} son bases de P3; y B3 ={(1,1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} y B4 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} son bases de R

3.

Nos interesa calcular alguna matriz representante de la tl T + S. Para esto, debemos cambiar de bases algunade las dos matrices representantes que tenemos disponibles. As, o bien usamos la relacion

[T]B4B2

=[Id]B4B3

[T]B3B1

[Id]B1B2

para encontrar la matriz[T + S

]B4B2

=[T]B4B2

+[S]B4B2; o usamos la relacion

[S]B3B1

=[Id]B3B4

[S]B4B2

[Id]B2B1

para encontrar la matriz[T + S

]B3B1

=[T]B3B1

+[S]B3B1.

En ambos casos, debemos calcular dos matrices de cambio de base y realizar la multiplicacion de matrices.

Usemos la primera relacion. Luego, debemos calcular[Id]B4B3

y[Id]B1B2.

16

Para[Id]B4B3, tenemos que:

(1,1, 0) = 1(1, 0, 0) 1(0, 1, 0) + 0(0, 1, 1)(1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 1, 1)(0, 0, 1) = 0(1, 0, 0) 1(0, 1, 0) + 1(0, 1, 1)

= [ Id ]B4B3 =

1 1 01 1 1

0 0 1

Para[Id]B1B2, tenemos que:

1 x3 = 1 1 + 0(1 + x) + 1(1 + x+ x2) 1(1 + x+ x2 + x3)1 x2 = 1 1 + 1(1 + x) 1(1 + x+ x2) + 0(1 + x+ x2 + x3)1 x = 2 1 1(1 + x) + 0(1 + x+ x2) + 0(1 + x+ x2 + x3)

1 = 1 1 + 0(1 + x) + 0(1 + x+ x2) + 0(1 + x+ x2 + x3)

=[Id]B1B2

=

1 1 2 10 1 1 01 1 0 01 0 0 0

Luego,

[T]B4B2

=

1 1 01 1 1

0 0 1

1 0 2 10 1 1 12 3 11 0

1 1 2 10 1 1 01 1 0 01 0 0 0

=

2 1 3 111 7 8 3

13 12 7 2

Por tanto,

[T + S

]B4B2

=

2 1 3 111 7 8 3

13 12 7 2

+

0 0 1 21 1 1 11 0 0 2

=

2 1 2 310 8 7 2

14 12 7 4

17

MAT1203 Algebra Lineal

Gua N7 Transformaciones linealesTemporada Academica de Verano 2010

1. Decida cuales de las siguientes funciones son transformaciones lineales y en los casos en que lo sean, determinesu Nucleo y su Imagen con bases y dimensiones.

a) T : R3 P2(R), dada por

T ((a, b, c)) = (a+ b+ c) + (a b+ 2c)x+ (3b c)x2

b) T :M22(R)M22(R), dada por

T (A) = AM +MAt con M =

(1 11 2

)

c) T : R3 M22(R), dada por

T (x) =

(x a x bx b x a

)con a = (1, 1, 1) , b = (1, 1, 0)

d) T : R3 R3, dada porT (x) = ||x||a con a = (1, 1, 2)

e) T : R3 M22(R), dada por

T (a, b, c) =

(a b c b

b a+ b+ c

)

2. Determine los valores de a y b en R para que la funcion L : R R definida por L(x) = ax+ b sea una t.l.

3. Sea V un ev sobre R y sean S1 y S2 dos sev de V tales que V = S1 S2.

a) Demuestre que para cada vector v V existen unicos elementos s1 S1 y s2 S2 tales que v = s1 + s2.

b) Demuestre que la funcion T1 : V S1, definida por T1(v) = s1 cuando v = s1 + s2, es una tl.

c) Demuestre que la funcion T2 : V S2, definida por T2(v) = s2 cuando v = s1 + s2, es una tl.

d) Demuestre que T1 T2 = O y T2 T1 = O, donde O es la funcion cero O(x) = OV .

e) Demuestre que T1 T1 = T1 y T2 T2 = T2 y que T1+T2 = IdV , donde IdV es la funcion identidad en V .

4. Sea T : V1 V2 una transformacion lineal. Demuestre que:

a) Si T es inyectiva, entonces dimV1 dimV2.

b) Si T es sobreyectiva, entonces dimV2 dimV1.

5. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimension 2n, con n N. Demuestre que existen subespacios U1 y U2de V tales que

dimU1 = n = dimU2 y U1 U2 = {OV }

6. Sea T : V1 V2 una t.l. y sean v1, v2, . . . , vn vectores de V1. Demuestre que si el conjunto {T (v1), . . . , T (vn)}es l.i., entonces {v1, . . . , vn} tambien es l.i.

7. Describa de la mejor manera posible todas las transformaciones lineales de R2 en R3 para las cuales el conjunto{(1,1, 2), (3, 1,1)} es una base para su imagen.

18

8. En V = M22(R), sean C =

(3 34 4

)y B =

(1 12 2

). Considere la funcion T : V V definida por

T (X) = CXB.

a) Muestre que T es una transformacion lineal.

b) Determine una base de KerT y una base de ImT .

c) Encuentre la matriz que representa a T respecto a la base canonica de V .

9. Sea T :M22(R) P2(R) la transformacion lineal definida por

T

(a b

c d

)= (a+ b) + (a+ c)x+ (a+ d)x2

a) Sean B1 y B2 las bases canonicas de M22(R) y P2(R) respectivamente. Encuentre [T ]B2B1.

b) Encuentre una base B3 de M22(R) tal que

[Id]B3B1 =

1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

c) Encuentre [T ]B2B3 .

d) Encuentre un subespacio U1 de M22(R) tal que

Ker(T ) U1 =M22(R)

e) Encuentre un subespacio U de M22(R) tal que T restringida a U sea un isomorfismo, es decir,

T |U : U T (U) es biyeccion.

10. Sea T : P3(R) P3(R) una t.l. Es U = {p(x) P3(R) : T (p(x)) = 1} un subespacio de P3(x)?

11. Demuestre que B1 = {1 + t t2, t2 t, 2 + t 2t2} es base de P2(R). Si B0 es la base canonica de P2(R),

encuentre una matriz P tal que

p(x) P2(R) [p(x)]B1 = P [p(t)]B0 .

12. Sea T : P2(R) R3 la unica transformacion lineal para la cual

T (1 + t t2) = e1 + e3

T (t2 t) = e1 + e2 e3

T (2 + t 2t2) = e1 + e2 2e3

Determine la matriz de T con respecto a las bases canonicas de P2(R) y de R3: {1, t, t2} y {e1, e2, e3}.

13. Demuestre que la t.l. T : P2(R) R3 definida por T (p(x)) = (p(1), p(2), p(3)) es un isomorfismo.

14. Si L : U V es una transformacion lineal, B1 = {u1, u2, u3} es base de U , B2 = {v1, v2, v3} es base de V y

[L]B2B1 =

1 1 11 2 1

1 2 2

.

Determine una nueva base B3 = {w1, w2, w3} de V tal que la matriz que representa a L con respecto a lasbases B1 de U y B3 de V es la matriz identidad.

19