Apunte y Ejercicios Propuestos - Polinomios

UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROFESORA: CLAUDIA VARGAS BRAVO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD : Polinomios

Definición: Sea A un anillo y x un símbolo cualquiera no perteneciente a A. Un polinomio en x con coeficientes en A es una suma formal infinita.

∑∞

=

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=oi

nn

oo

ii xaxaxaxa 1

1

donde 0=∈ ii ayAa Para todo i, excepto un número finito de valores de i.

El conjunto de polinomios en x con coeficiente en A se denota por A [x], Sus elementos se denotan por p(x),q(x), a (x), .... etc. Dado un polinomio p(x) ⋅⋅⋅++= 1

1xaxa oo , las componentes i

i xa se llaman

términos de polinomio y los ia se llaman coeficiente del polinomio. Nota: De aquí trabajaremos con el conjunto A(x), Donde A es un anillo conmutativo con unidad, contenido en un cuerpo k, pudiendo darse el caso A=K Por ejemplo Z(x), R(x), C(x) etc. Definición : Sean p(x)= yxaxaxa n

no

o ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++ 11

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++= nnxbxbxbxq 1

10

0)( dos polinomios en A [x], diremos que son iguales

si y sólo si ii ba = para todo i.

Notación : Si p(x)= ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++ n

no

o xaxaxa 11 es tal que 0=ia para ni >

entonces escribimos p (x)= nn

oo xaxaxa +⋅⋅⋅++ 1

1 .

En lugar de ooxa escribimos xaya 10 en lugar de 1

1xa .

Si algún 1=ia el termino ii xa se escribe ix .

Acordemos también que cuando ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++≠ nxxxxp 0000)( 2

Es posible omitir de la suma formal cualquier término 00 aoxi =0

Por ejemplo si p(x) = 432 01001 xxxx ++++ escribimos 42101 xx ++ . Nótese que por la definición de polinomios se tiene que siempre existe 0≥n tal que

p(x)= nnxaxaa +⋅⋅⋅++ 10 . Es Decir, Los coeficientes ,,, 21 ⋅⋅⋅++ nn aa . etc. Son cero

Definición . Con las notaciones anteriores, si n>0 y p (x)=

0,1 ≠+⋅⋅⋅++ nn

no aconxaxaa entonces se dice que el grado de p(x) es n.

Si p(x)= 00 ≠aconao se dice que el grado de p(x) es cero.

Si p(x)=0 se dice que p(x) no tiene grado. Cuando el polinomio p(x) tiene grado 0≥n se anota gr p(x)= n. Ejemplos

5)31( 5 =++ xxgr

1)2( =+ xgr

0)10( =gr



Definición. La suma y multiplicación de polinomios con coeficientes es un anillo A se definen formalmente de la siguiente manera. Sean p (x)= ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++ n

no xaxaa 1 y

q(x)= ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++ nno xbxbb 1

dos polinomios. Entonces se define el polinomio suma :

⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++=+ nnn xbaxbabaxqxp )()()()()( 1100

= iiii

xba )(0

+∑∞

=

El polinomio producto o multiplicación: ⋅⋅⋅++++++= 2

02112001100 )()()()( xbababaxbababaxqxp o

= ∑∑ =

∞

=−= n

k nkni ii kbacconxc00

.,

Ejemplo. 44 15105)321(5 xxxx −+=−+ .

Notación: El polinomio p(x)=∑∞

=⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+−+−=−

0 10 )()()(i

nn

ii xaxaaxa , se

detonará por p(x)= ⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−− nno xaxaa 1 .La suma p(x)+-q(x) se denotará por

p(x)-q(x). Ejemplo:

5432

543

4322232

32

32

32

3232

651125

6210

3535)35()21(

321

1321

)131()32(

)131()32()31()32(

xxxxx

xxx

xxxxxxxxx

xxx

xxx

xxxx

xxxxxxxx

+−−−=

+−+

+−+−+−=+−+−

+−−=

+−+−+=

+−+−+−++=

−++−+−++=−+−−+

Definición . Sea xxaxaxaaxpk n

n [)(, 2210 Κ∈+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=∈α ] el valor

)(10 ααα paaa nn =+⋅⋅⋅++ se llamará evaluación de p(x) en x=α .

Ejemplo Si p(x)= 53432 xxx +−+ se tienen que

2)1()1(4132)1( 53 =−+−−−⋅+=−p . Definición . Sea )(,)( αpsixp Κ∈ diremos que α es un cero o una raíz de p(x). Ejemplo. 1−=a es un cero del polinomio 0)1(562)( 25 =−+++= ppuesxxxxp



Observación . Resolver una ecuación polinomial es equivalente a encontrar los cero del polinomio. Ejemplo: { } }2,1,1{}22)(/{022/ 2323 −−=−−+=∈==−−+∈ xxxxpdecerounesRxxxRx α. Definición. Sea

[ ] [ ]

[ ].)(

)()().()()(

)()()(.0)()(),(

xkenxp

defactoressonxsyxqquecasoesteendiceseTambiénxsxqxpquetal

xKxsexistesixpadividexqquediceSexqyxKxqxp

=∈≠∈

Teorema 4 .(Algoritmo de la división para K [ ]x ). Sean p(x),q(x) [ ],xK∈ con gr q(x) .1≥ Entonces existen únicos polinomios s(x) y r(x), donde gr r (x) o r(x)=0. Observación 1. Es posible calcular los polinomios q(x) y r(x) realizando la división de polinomios en [ ]xK aprendida en la enseñanza media. 2. El polinomio r(x) se llama resto de la división y q(x) cuociente. Ejemplo 1. 371:55237 3234 +=+−+−+ xxxxxx

xx 77 4 +

822

33

5223

2

3

23

−−−+

−−−

xx

x

xxx

Así 822)37)(1(65237 23234 −−−++=−−−− xxxxxxxx

con )1()822( 32 +−−− xgrxxgr p



Ejemplo 2.

0

3636

3636

714714

313171314

2424

372122:3131917164

23

23

234

234

2345

2232345

−+−

−+−+−+

−+−+−−+−

+−=−+−−+−+−

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxxxx

En este caso el resto de la división es 0, es decir r(x)= 0. Corolario 5. Si p(x) K∈ [x]se divide por x – a , con a ,K∈ entonces el resto es p( a ) Ejemplo. 468)15351186)(3(936 2324 +−+−+=+− xxxxxx

Por otra parte, evaluando enxpxx )(936 24 =+− -3 se tiene que

p(-3)=6(-3) .4689)3(3 24 =+−− Corolario 6. Un elemento a K∈ es un cero de p(x) K∈ [x] si y sólo si x- a es

factor de p(x) en K [x]

Corolario.7 Sea p(x) K∈ [x], gr p (x)=n>0 entonces p (x) tiene a lo más n cero en el

cuerpo K División de los polinomios por el Método de Horne r (división sintética). Este método se usa cuando se divide un polinomio p(x) por x - c y Consiste en anotar en forma simplificada los elementos que aparecen en la división. Veamos esto en detalle. Sea. 01

11)( axaxaxaxp n

nnn ++⋅⋅⋅++= −− y supongamos que

011

1)(,)()()( bxbxbxqdonderxqcxxp nn ++⋅⋅⋅+=+−= −

−

Entonces: rbxbxbcxxp nn +++⋅⋅⋅+−= −

− ))(()( 011

1

Ejemplo Dividir p(x)= 21026 234 −−+−+ xporxxxx Haciendo la tabla se tiene: Así: .100)5527146)(2()( 23 ++++−= xxxxxp

2 110542812

11126 −−

6 14 27 55 100.



Definición . Un polinomio no constante p(x) K∈ [x] se llama reducible sobre K si

existen polinomios q(x) y s (x) en K [x] tales que p(x)=q(x)s(x) con gr q(x)< gr s(x) <gr p(x). Si un polinomio no constante no es reducible sobre K se dice que es irreducible sobre K . Ejemplo 1 . p(x)= 12 +x es reducible sobre C pues 12 +x = (x-i)(x+i). Ejemplo 2. El mismo polinomio p(x)= 12 +x es irreducible sobre R. En efecto, supongamos que p(x)=q(x)s(x) con gr q (x)< gr p(x) y gr s(x)<gr p(x).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Encontrar el cuociente y el resto se divide a) 222742534 234345 +−+−+−− xxxxporxxx

b) 6321725 23 −+−+ xxporxx

c) 12536 36 ++− xporxx 2) Encontrar los valores bya para que el polinomio

52112)( 234 −+−+= xxxbxaxp divisible por 132 3 −+ xx . 3) Encontrar K de modo que el polinomio 234) 345 +−−= kxxxplx sea

divisible por 2+x . 4) Si ,2)( 23 axxxxp ++−= encuentra “a” tal que )pxl sea divisible por x+2. 5) Sea .33)( 23 +++= bxaxxxp escriba a y b si

a) El resto al dividir 3)1()( yxporxp −

b) El resto al dividir 31)1()( yxporxp − 6) Prueba que las raíces de 12 ++ xx satisfacen la educación

08826822)( 23456 =−+++−−= xxxxxxxp y resuelve completamente

−= .0)(xp 7) Encuentra las raíces racionales de: a) 01123020 23 =−+− xxx

b) 012 23 =+− xx

c) 04116 234 =−−− xxx

d) 0307570305 234 =+−+− xxxx

e) 043 2345 =−−++ xxxx



8) Sea )(xp 2414133 24 +−−+= xxxkx a) Determine Rk ∈ tal k (-2) sea raíz de p(x) b) Determine las demás raíces 9) Usar división sintética para hallar el cuociente el resto se divide a) )4(.415383 235 fhallarxentrexxx −−+− 10) Determine la raíz de los polinomios a) 13232 2345 +++++ xxxxx

b) 382382 2345 +++++ xxxxx

c) 6923 23 −+− xxx

d) 2333 234 ++++ xxxx

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