ApunteGeometria_2008

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL SANTA FE

Dirección de Acceso a la Universidad

Taller de Matemática

NOCIONES

BASICAS

DE

GEOMETRIA

Nociones básicas de Geometría 1

Prólogo

“ Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto, y pensar lo que nadie más ha pensado ”

Albert Szent-Györgi (1893-1986)

Las abejas necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son más difíciles de construir?. Este problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro") fue notado por el matemático griego Papus de Alejandría (ss. III-IV), quien demostró que entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Es por eso que la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que puede imaginarse como un polígono de infinitos lados. Por lo tanto la figura que cumple ambas condiciones es el hexágono y es por eso que las abejas construyen sus celdillas con esa forma, ya que gastando la misma cantidad de cera consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta que no pudo contestar Papus de Alejandría es

¿quién le enseñó geometría a las abejas?

______________

El presente apunte no pretende ser un Tratado de Geometría elaborado con la rigurosidad que la matemática exige, sino simplemente ser una pequeña guía que oriente al alumno en los conceptos básicos de geometría que utilizará en la materia. Esto no significa una total ambigüedad en los conceptos, sino que aunque se busca la mayor precisión en las definiciones, cuando se considera necesario se deja de lado la rigurosidad priorizando la facilidad en la comprensión. Así por ejemplo aunque la expresión “segmentos iguales” no es del todo correcta y debería decirse “segmentos de igual longitud”, una continua repetición de ésta frase contribuye a hacer tediosa la lectura del texto y muchas veces dificulta la comprensión. En nuestro contexto (Ingeniería) es importante comprender los temas y saber aplicarlos. Para la elaboración del apunte se tuvieron en cuenta los temas que el alumno debe conocer al comenzar el presente curso (éste es el caso del tema Triángulos para la unidad de Trigonometría), los errores más comunes que hemos detectado en los exámenes (perímetros, superficies y algunos elementos y propiedades de diferentes polígonos, especialmente Triángulos) y algunos temas extras que pueden ser útiles en otras materias. El apunte está destinado exclusivamente a servir como ayuda a los alumnos, y son ustedes quienes “juzgarán” éste material (si les resulta útil, de fácil comprensión, etc.). Esperamos sus críticas, comentarios y demás aportes para mejorarlo en próximas ediciones.

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Puntos y Rectas

Conceptos básicos � Dos puntos (no coincidentes) determinan una recta a la cual pertenecen. � A través de una recta obtenemos la distancia más corta entre dos puntos:

o Sean dos puntos A y B que pertenecen a una recta. La parte de dicha recta que se encuentre entre ambos puntos (incluyendo a A y B) se denomina segmento AB (se escribe AB )

o La longitud del segmento AB es la distancia más corta entre A y B. � Tres puntos son colineales si, y solo si, pertenecen a la misma recta (es decir que existe una recta pasa

por todos ellos) � Punto medio: Un punto B es punto medio del segmento AC si y solo si pertenece a AC y la longitud de

AB es igual a la longitud de BC . � Dos rectas son perpendiculares entre sí, si y solo si en su intersección se forman 4 ángulos de 90º. � La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud del segmento formado por las intersecciones de

éstas rectas con una recta perpendicular a ambas.

(a) (b) (c)

Figura 1: Puntos y rectas. (a) Puntos colineales, (b) Puntos no colineales,

(c) La distancia entre r y s es la longitud de AB , que es perpendicular a ambas

Notación Punto: letras mayúsculas (A, B, C, P, Q, etc.) Recta y segmentos: letras minúsculas (a, b, r, s, etc.) Angulo: letras griegas minúsculas (α, β, γ, δ, θ, φ, etc.) Para referirnos al segmento que une los puntos A y B escribimos AB (se lee “segmento AB”).

Para referirnos a la semirrecta de extremo A que pasa por BC escribimos →BC (se lee “semirrecta BC”).

Para referirnos al ángulo que forman →OA y

→OB (vértice O) escribimos BOA ˆ (se lee “ángulo AOB”).

Ángulos Dos semirrectas cuyos extremos son el mismo punto determinan dos ángulos. Las semirrectas se denominan lados (de cada ángulo), y el punto en común vértice (de cada ángulo).

Figura 2: Dos semirrectas con el mismo punto extremo determinan dos ángulos

90º

A

B

r

s

ángulo 1

ángulo 2


Clasificación Angulo convexo: es todo ángulo mayor a 0º y menor a 180º. Los ángulos convexos se dividen en:

Angulo recto: es aquel cuya amplitud es exactamente 90º Angulo agudo: es aquel cuya amplitud es mayor a 0º y menor a 90º. Angulo obtuso: es aquel cuya amplitud es mayor a 90º y menor a 180º. Angulo llano: es aquel cuya amplitud es exactamente 180º

Angulo Cóncavo: es aquel cuya amplitud es mayor a 180º y menor a 360º. En la figura 2 el ángulo 1 es convexo y el ángulo 2 es cóncavo. Ángulos complementarios: son aquellos cuya suma es igual 90º Ángulos suplementarios: son aquellos cuya suma es igual a 180º En ésta clasificación no tenemos en cuenta el sentido de giro. Si nos interesa el sentido de giro, decimos que un ángulo es generado por una semirrecta que gira sobre su punto extremo. Cuando el giro se realiza en el sentido de las agujas del reloj el ángulo es negativo, y será positivo si el giro es en sentido antihorario.

(a) (b) (c)

Figura 3: Ángulos (a) un ángulo visto como generado a partir del giro de una semirrecta (b) Ángulo negativo (c) Ángulo positivo

Gráfica Cuando en una gráfica sabemos que un ángulo es recto (90º) lo indicamos con el símbolo “ ” opuesto al ángulo (figura 4b) De ésta manera indicamos claramente al ángulo recto y no es necesario incluir la medida del ángulo.

(a) (b)

Figura 4: Gráficas de ángulos. (a) un ángulo cualquiera, (b) ángulo recto

Polígonos convexos Un polígono es una figura plana con todos sus lados rectos, y sus lados no se cruzan entre sí (es decir que si dos lados tienen un punto en común es uno de sus extremos). Trabajaremos con polígonos convexos, es decir aquellos en los cuales todos sus ángulos interiores miden menos de 180º (si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º, el polígono es cóncavo).

(a) (b) Figura 5: Polígonos (a) Convexos (b) Cóncavos

α α (-) α (+)

α


4

En un polígono, dos vértices A y B son consecutivos si la recta que los une deja a los demás vértices en el mismo semiplano. En la figura 6(a) vemos que B y E no son vértices consecutivos porque el vértice A pertenece a uno de los semiplanos que ha formado la recta que pasa por BE , y C y D pertenecen al otro semiplano. En cambio en la figura 6(b) podemos ver que A, B y E pertenecen al mismo semiplano respecto de la recta que pasa por CD , por lo tanto C y D son vértices consecutivos.

(a) (b)

Figura 6: (a) B y E no son vértices consecutivos. (b) C y D son vértices consecutivos

Elementos Vértices: cada uno de los puntos que determinan el polígono Lados: cada uno de los segmentos determinados por 2 vértices consecutivos Diagonales: cada uno de los segmentos determinados por 2 vértices no consecutivos. Angulo interior: son los ángulos que se encuentran en el interior de un polígono Angulo exterior: evitamos la definición y lo mostramos en una gráfica

Figura 7: DÂB es el ángulo exterior a BÂC. Sus amplitudes (ψ y α) suman 180º Si extendemos el segmento AB obtenemos otro ángulo exterior a BÂC y también de amplitud ψ (porque es opuesto por el vértice con DÂB). Por lo tanto cada ángulo interior tiene dos ángulos exteriores aunque generalmente se considera sólo uno de los dos.

Propiedades • Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior correspondiente • Cada lado es menor que la suma de los demás • La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a 180°.(n-2). • La suma de los ángulos exteriores es siempre igual a 360°, sin importar el número de lados. Aclaración: esto se cumple considerando un solo ángulo exterior por cada ángulo interior. Si consideramos ambos ángulos exteriores, la suma es 2 x 360º = 720º (ya que los ángulos exteriores del mismo ángulo tienen igual amplitud).

Otras definiciones Perímetro: es la suma de las longitudes de los lados del polígono.

Nota 1: Aunque en el caso de las figuras que tienen algunos de sus lados iguales (cuadrado, rectángulo, triángulos isósceles y equiláteros, etc.) se utilizan fórmulas simplificadas, en forma general siempre podemos calcular el perímetro de un polígono como la suma de cada uno de los lados.

B

A

C

D E

r

B

A

C

D

E

A

B

C

ψ α

D

s


Congruencia (igualdad) de polígonos: Dos polígonos son congruentes (iguales) si tienen sus lados y sus ángulos respectivamente iguales. En otras palabras, dos polígonos son congruentes si tienen igual forma y tamaño, aunque puede variar la orientación.

(a) (b) (c)

Figura 8: polígonos congruentes entre sí con orientaciones diferentes.

(a) rectángulo, (b) paralelogramo, (c) triángulo escaleno

Cuadriláteros

Definición Son los polígonos que tienen 4 lados

Propiedades • La suma de sus ángulos interiores es igual a 360°. Demostración: Utilizamos la fórmula de la suma de ángulos interiores de un polígono con n = 4.

180° . (n-2) = 180° . (4-2) = 180° . 2 = 360°

Trapecio

Definición Es el cuadrilátero que tiene dos, y sólo dos, lados opuestos paralelos

Clasificación Trapecio rectángulo: es el trapecio que tiene dos de sus ángulos rectos. Trapecio isósceles: es el trapecio cuyos lados no paralelos son iguales. Trapecio escaleno: es el trapecio que no es ni rectángulo ni isósceles.

Elementos Tiene los mismos elementos ya definidos para los polígonos en general (vértices, lados, diagonales, ángulos interiores, ángulos exteriores) y además:

� Los lados paralelos se denominan bases del trapecio. � El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina base media del trapecio

(su longitud es el promedio de las longitudes de las bases). � La distancia entre las bases es la altura del trapecio.

(a) (b) (c)

Figura 9: Trapecios. (a) isósceles, (b) rectángulo, (c) escaleno con algunos elementos

base

base media

base altura


6

Perímetro P = L1 + L2 + L3 + L4

Nota 2: por definición el trapecio generalmente no tiene lados iguales por eso como forma general la fórmula para su perímetro es la suma de los lados.

Superficie Sean B1 y B2 las bases (lados paralelos) del trapecio, y h su altura, entonces

S = ½.(B1 + B2) . h

Esta fórmula puede enunciarse (ayuda-memoria) de dos maneras diferentes: i. El producto de su base media por la altura

ii. La mitad del producto de su altura por la suma de sus bases El alumno puede elegir de ambos enunciados el que le resulte más fácil de recordar.

Paralelogramo

Definición Es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos

Elementos Son los mismos elementos ya definidos para los polígonos en general: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores, ángulos exteriores. Cada una de las distancias entre sus lados opuestos (paralelos) se denomina altura del paralelogramo.

Propiedades • Al ser sus lados opuestos paralelos, cada par de lados opuestos tienen igual longitud. • Cada diagonal del paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. • Los ángulos opuestos son iguales. • Los pares de ángulos consecutivos son suplementarios. • Las diagonales se bisecan (intersecan en el punto medio) mutuamente.

Nota: las diagonales de un paralelogramo (no rectángulo) no tienen igual longitud

Perímetro Sean L1 y L2 las longitudes de cada par de lados, entonces

P = 2 . L1 + 2. L2 o bien P = 2. (L1 + L2)

Superficie Para calcular la superficie debemos elegir a uno de sus lados como base, calcular la altura correspondiente a ése lado y luego multiplicar ambos valores

S = b x h

(a) (b)

Figura 10: Paralelogramo (a) una de las alturas (b) las diagonales se bisecan mutuamente

altura (h)

A

B C

D

O BOAO

ODBO

OCAO

≠

=

=


Rectángulo

Definición Es el paralelogramo que tiene todos sus ángulos rectos.

Elementos Son los mismos elementos ya definidos para los paralelogramos: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores, ángulos exteriores. Las bases y alturas coinciden con los lados y se eligen arbitrariamente.

Propiedades Al ser un paralelogramo conserva todas las propiedades de éste, pero además

• Las diagonales del rectángulo tienen igual longitud.

Perímetro La fórmula es la misma que para el paralelogramo.

Sean L1 y L2 las longitudes de cada par de lados, entonces P = 2 . L1 + 2. L2

o bien P = 2. (L1 + L2)

Superficie S = L1 . L2

o bien S = base x altura

Nota 3: La segunda fórmula es igual a la del paralelogramo, pero en el rectángulo la base y la altura coinciden con los lados (en el paralelogramo la altura no coincide con alguno de los lados).

Cuadrado

Definición Es el rectángulo que tiene todos sus lados iguales.

Elementos Son los mismos elementos ya definidos para los rectángulos: vértices, lados (bases, alturas), diagonales, ángulos interiores, ángulos exteriores.

Propiedades Conserva todas la propiedades del rectángulo, y además:

• Es equiángulo (ángulos iguales) y equilátero (lados iguales) • Las diagonales forman con los lados ángulos de 45º • Las diagonales son perpendiculares entre sí. • Cada diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos isósceles (congruentes entre sí) • Las diagonales dividen al cuadrado en 4 triángulos rectángulos isósceles (congruentes entre sí)

Perímetro Como todos sus lados son iguales la fórmula se reduce a P = 4 x L

A

B C

D

O

Figura 11: las diagonales del rectángulo son iguales y se bisecan mutuamente

Figura 12: Propiedades del cuadrado

45º


8

Superficie Es un rectángulo con sus lados iguales, por lo que la fórmula se simplifica a: S = L2 (porque b x h = L x L = L2)

Triángulo

Definición Es el polígono que tiene 3 lados

Notación Los vértices son puntos (letras mayúsculas) y los lados segmentos (letras minúsculas). Por convención se utiliza la misma letra para un ángulo y su lado opuesto (ver figura 13), pero manteniendo la diferencia entre mayúsculas y minúsculas.

Si en la figura hay un solo ángulo con vértice A nos podemos referir a él escribiendo A , sino la notación

es CAB ˆ (véase como ejemplo la Figura 19). “α” es la amplitud de dicho ángulo.

De forma similar, escribimos BC para referirnos al lado del triángulo, y cuya longitud es “a”.

Elementos El triángulo es el único polígono que no posee diagonales. Descartando éstas, sus elementos son los mismos ya definidos para los polígonos en general: vértices, lados, ángulos interiores, ángulos exteriores. Además es necesario mencionar los siguientes elementos:

Mediatriz (de un lado): es la recta perpendicular a un lado y que pasa por el punto medio del mismo. Medianas (del triángulo): son los segmentos que tiene por extremo a un vértice del triángulo y al punto medio del lado opuesto al mismo.

Nota 4: Por definición la mediana divide a un lado en dos segmentos equivalentes, pero no divide al ángulo opuesto en dos ángulos equivalentes (salvo en casos especiales).

Bisectriz (de un ángulo): es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos equivalentes

Nota 5: Por definición la bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos equivalentes, pero no divide al lado opuesto en dos segmentos equivalentes (salvo en casos especiales).

Alturas (del triángulo): son las distancias desde cada vértice a la recta que incluye al lado opuesto.

Nota 6: la altura de un triángulo no divide al ángulo opuesto en dos ángulos equivalentes ni al lado en dos segmentos equivalentes (excepto en casos especiales).

Los casos especiales mencionados son los siguientes:

Nota 7: Para el caso de un triángulo equilátero son coincidentes las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas (respecto de cada lado y ángulo) y por lo tanto dichos segmentos dividen a cada lado en dos segmentos equivalentes y a cada ángulo en dos ángulos equivalentes.

Nota 8: Sea un triángulo isósceles cuyos ángulos equivalentes son α y δ y el desigual es β. La mediana, mediatriz, bisectriz y altura correspondientes al ángulo β y su lado opuesto son coincidentes y por lo tanto dichos segmentos dividen a cada lado en dos segmentos equivalentes y a cada ángulo en dos ángulos equivalentes. En los ángulos iguales (α y δ, y en sus lados opuestos) no se verifica ésta propiedad.

A

B C

b

a

c

α

β γ

Figura 13: Notación en un triángulo


(a) (b) (c)

(d) (e)

Figura 14: Triángulo. (a, b, c, d) elementos y propiedades, (e) diferencias entre mediana, mediatriz y altura

(a) (b)

Figura 15: Altura, bisectriz, mediana y mediatriz que coinciden en un triángulo (a) isósceles, (b) equilátero

Propiedades • La suma de sus ángulos interiores es igual a 180°

Demostración: En éste caso, n = 3 en la fórmula de la suma de ángulos interiores de un polígono. 180°. (n - 2) = 180°. (3 - 2) = 180°. 1 = 180°

• La suma de las longitudes de cualesquiera dos de sus lados es siempre mayor al lado restante. L1 + L2 > L3 L1 + L3 > L2 L2 + L3 > L1

Esto es cierto debido a que la distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une. Cualquier otra distancia será mayor a ésta. Si en alguno de los casos la suma de las longitudes de dos de los lados es igual al tercero de ellos, la figura no es un triángulo sino un segmento (los 3 puntos son colineales).

Figura 16: La longitud de AC es la menor distancia entre A y C

h

mediana

A

B

C M

MCAM =

mediatriz α α

bisectriz

A

B

C

M

mediana

A

B

C M

MCAM =

mediatriz

A

B

C M

MCAM =

A h

B

C

β α

⇒≠ BCABSi βα ≠

α

β α

30º 30º

60º

A

B

C

βα ≠


10

Aplicación Las longitudes de los lados de un triángulo son: 4 cm, 5 cm y 10 cm. Hallar su superficie.

Solución: Primero verificaremos si existe un triángulo con esas medidas, para ello debe verificarse: 4 cm + 5 cm > 10 cm (falsa) 4 cm + 10 cm > 5 cm (verdadera) 5 cm + 10 cm > 4 cm (verdadera) Como la primera de las inecuaciones es falsa, entonces no existe un triángulo con dichas medidas y por lo tanto no puede calcularse su superficie.

Nota 9: Para poder construir un triángulo con medidas dadas deben ser verdaderas las tres desigualdades, la falsedad de una sola de ellas implica la inexistencia de dicho triángulo.

Figura 17: no existe un triángulo con lados de longitudes 4 cm, 5 cm y 10 cm

Perímetro

Sea un triángulo cuyos lados tiene longitudes L1, L2, L3

� Fórmula general: P = L1 + L2 + L3 (vale para todos los triángulos, incluidos isósceles y equilátero)

Para casos especiales podemos utilizar fórmulas simplificadas:

� Si el triángulo es isósceles tal que L2 = L3, entonces P = L1 + 2.L2

� Si el triángulo es equilátero (L1 = L2 = L3),entonces P = 3.L1

Superficie

Para calcular la superficie de un triángulo debemos elegir un lado, al que llamaremos base (b) y luego calcular la altura (h) correspondiente a ese lado.

Entonces: 2hb

S.=

Triángulos semejantes Definición: dos triángulos son semejantes si tienen sus 3 ángulos iguales. Propiedad: en los triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales.

Figura 18: triángulos semejantes entre sí (tienen ángulos iguales aunque puede variar el tamaño y la orientación)

A

¿ B ?

C 5 cm 4 cm

10 cm

4 cm 5 cm

α

β

γ α

β

γ α

β γ

α β γ


Criterios de Igualdad de Triángulos Dos triángulos son iguales si tienen...

1) ... dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido igual (L.A.L. = Lado-Angulo-Lado) 2) ... un lado y los dos ángulos adyacentes a él respectivamente iguales (A.L.A. = Angulo-Lado-Angulo) 3) ... sus tres lados respectivamente iguales (3L = 3 Lados) 4) ... dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales (L.L.A.)

Aplicación: demostración de la fórmula para el cálc ulo de la Superficie del Triángulo

Sea el triángulo ABC. Tomamos a AC como base. Trazamos la paralela a la base que pasa por B y las perpendiculares a la base que pasan por A y C. Obtenemos los puntos D y E (figura 19).

El área del rectángulo ADEC es AC x HB, es decir base x altura del triángulo.

Demostraremos que los triángulos ABH y ABD son iguales.

BHABDA ˆˆ = (son rectos) (1)

ABHBAD ˆˆ = (alternos internos entre paralelas) (2)

Hay dos formas de demostrar que HABABD ˆˆ =

i. Son alternos internos entre paralelas

ii. Por la suma de ángulos interiores, el valor de cada ángulo es

)ˆˆ(º180ˆ BDABADABD +−=

)ˆˆ(º180ˆ BHAABHHAB +−=

De las igualdades (1) y (2) tenemos que BHAABHBDABAD ˆˆˆˆ +=+ , por lo tanto al restar a 180º

cada uno de esos valores obtenemos el mismo resultado y entonces HABABD ˆˆ =

La demostración (ii) puede enunciarse así: si dos triángulos tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales, el tercer par de ángulos también es igual.

Figura 19: Superficie del triángulo

Dejamos como ejercitación para el alumno demostrar que ∆∆

= BCEHBC

De ambos resultados tenemos que:

� la superficie de ∆

BAH es la mitad de la superficie del rectángulo ADBH (es decir ½ AH x BH)

� la superficie de ∆

HBC es la mitad de la superficie de HBEC (es decir ½ AH x BH)

y entonces:

( ) alturaxbaseACxHBADECHBECADBHBHCBAHABC 21

21

21

21

21 ===+=+=

∆∆∆

Entonces 2hb

Superficie.=∆

H A

B

C

D E

α α

h

b

HCAHACb +==


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Polígonos regulares

Definición Son aquellos polígonos que tienen todos sus ángulos iguales y todos sus lados iguales.

(a) (b) (c) (d)

Figura 20: Polígonos regulares (a) de 3 lados (triángulo equilátero) (b) de 4 lados (cuadrado)

(c) de 5 lados (pentágono regular) (d) de 6 lados (hexágono regular)

Elementos particulares de los polígonos regulares � Apotema: es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados. � Radio: Es el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. � Angulo central: Es cada uno de los ángulos comprendidos entre dos radios consecutivos.

Propiedades particulares � La apotema es perpendicular al lado correspondiente.

� La amplitud de cada ángulo central es 360º : n ( n = número de lados/ángulos)

(a) (b) (c)

Figura 21: Polígonos regulares (a) apotema (b) radio (c) ángulo central

Perímetro

Sea un polígono regular de n lados de longitud l, entonces

P = n. l

Superficie

Sea un polígono regular de perímetro P y apotema a, entonces:

2aP

S.=

r

a

α


Circunferencia y círculo Sea O un punto del plano y r una distancia. El conjunto de puntos que están a distancia r de O es una circunferencia de radio r. Una circunferencia y todos sus puntos interiores es un círculo de radio r.

Elementos Radio: cualquier segmento que une el centro con un punto cualquiera que pertenece a la circunferencia. Diámetro: cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro.

Propiedades � Independientemente del punto elegido, la longitud del radio es siempre igual a r (esto se

deduce de la definición de circunferencia).

� La longitud del diámetro es igual a la de dos radios: d = 2r

(a) (b)

Figura 22: Circunferencia (a) el radio tiene longitud r (b) el diámetro tiene longitud d = 2r

Perímetro (de la circunferencia) P = π. d O bien P = 2 π r

Superficie (del círculo) S = π r2

Circunferencia y polígonos regulares Por los vértices de un polígono regular pasa una circunferencia con

centro coincidente con el del polígono y radio r.

Se dice que dicha circunferencia está circunscripta al polígono.

Ejercicios

i. Completar la demostración de la fórmula de la superficie del triángulo, demostrando que ∆∆

= BCEHBC ii. Demostrar lo enunciado en la Nota 8.

Ayuda: demostrar que en ése caso la bisectriz de β divide al triángulo en dos triángulos iguales. iii. Escribir los Criterios de Igualdad de Triángulos para el caso de triángulos rectángulos. iv. Demostrar la fórmula de la superficie del trapecio v. Demostrar la fórmula de la superficie del paralelogramo

vi. Demostrar que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º Ayuda: Calcular la suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados.

vii. Utilizar la fórmula del área de un polígono regular para obtener la fórmula del área de un cuadrado. viii. Demostrar que un lado y su apotema forman un ángulo recto. ix. Demostrar que si trazamos los 6 radios de un hexágono regular se forman 6 triángulos equiláteros.

O d

B

A

O r A

r

Figura 23: Circunferencia circunscripta a un polígono regular


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Bibliografía � RICH, Barnett: Teoría y problemas de geometría plana con geometría de coordenadas, México, McGraw-Hill, 1970.

� HEMMERLING, Edwin M.: Geometría elemental, México, Limusa Wiley, etc., 1971.

� HOLZMÜLLER, Gustavo: Tratado metódico de Matemáticas elementales, Barcelona, Editorial Labor, 1950.

� MUNILLA, Manuel J.: Matemática: 2º Curso, Buenos Aires, Sainte Claire Editora, 1982.

� ROJO, Armando O.; SANCHEZ, Silvia C.; GRECO, Mario: Matemática 2, Buenos Aires, Editorial El Ateneo, 1980.

� AYRES, Frank Jr.: Theory and problems of plane an spherical trigonometry, New York, Schaum, 1954.

� GOMEZ GOMEZ, Jesús et al.: Matemáticas II, Alcalá de Guadaíra (Sevilla, España), Editorial MAD, 2003.

Páginas web consultadas � Wolfram MathWorld: the web’s most extensive mathematics resource [en línea]. Actualizado 2008. Wolfram Research. <http://mathworld.wolfram.com> [Consulta: 3 de febrero de 2008]

� Wikipedia, la enciclopedia libre [en línea]. Actualizado 2008. Wikimedia Foundation, Inc. <http://es.wikipedia.org> [Consulta: 3 de febrero de 2008]

� Mendoza, Alberto. Curso de Geometría Euclídea [en línea]. Última actualización 14/9/2007. <http://cronos.ma.usb.ve/> [Consulta: 25 de enero de 2008]

� Montecinos Pérez, Waldo Esteban. Diccionario de Geometría [en línea]. Actualizado 2001. <http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/mpwe.html> [Consulta: 25 de enero de 2008]

Índice

Puntos y Rectas ..................................................................................... 2 Ángulos ................................................................................................. 2 Polígonos convexos............................................................................... 3 Cuadriláteros .........................................................................................5 Trapecio................................................................................................. 5 Paralelogramo........................................................................................ 6 Rectángulo............................................................................................. 7 Cuadrado ............................................................................................... 7 Triángulo ............................................................................................... 8 Polígonos regulares ............................................................................. 12 Circunferencia y círculo ...................................................................... 13 Ejercicios ............................................................................................. 13 Bibliografía..........................................................................................14 Índice................................................................................................... 14

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