CAPTULO 1

Introduccin

Un circuito elctrico es un sistema de componentes interconectadas tales como resistores, capacitores, inductores, fuentes de voltajes, etc., donde existe la posibilidad de que fluya continuamente una corriente elctrica. El comportamiento elctrico de estas componentes se describe mediante unas pocas leyes bsicas experimentales. Estas leyes y los principios, conceptos, relaciones matemticas y mtodos de anlisis que han evolucionado a partir de ellas se conocen como teora de circuitos. 1.1 Cantidades Elctricas y Unidades SI La solucin de problemas tcnicos requiere el uso de unidades debido que tenemos que trabajar con cantidades medibles. Sin embargo, las mediciones deben darse en un lenguaje comn que todos podamos entender. En la actualidad se usan dos sistemas principales el ingls y el mtrico. En el lenguaje internacional comn para objetivos cientficos y tcnicos el sistema ingls ha sido reemplazado casi totalmente. En su lugar se usa el sistema internacional de unidades..

En el curso se usar el Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado en 1960. Este sistema combina las unidades mtricas MKS y las unidades elctricas en un solo sistema unificado. El Sistema Internacional se basa en el metro como la unidad de longitud, el kilogramo como la unidad de masa, el segundo como la unidad del tiempo, el kelvin como la unidad de temperatura, el amperio como la unidad de corriente y la candela como la unidad de intensidad de luz.. En la Tabla 1-1 se da una lista de cuatro cantidades bsicas y sus unidades SI. Definicin de Unidades. Cuando se comenz a usar el sistema mtrico en 1792, el metro se defini como una diez millonsima de la distancia del polo norte al ecuador y el segundo como 1/60 1/60 1/24 del da solar promedio. Posteriormente, se adoptaron definiciones ms precisas basadas en leyes fsicas naturales. El metro se define ahora como la distancia recorrida por la luz en un vaco en 1 299792 458 de un segundo, en tanto que el segundo se define en trminos del perodo de reloj atmico con base en cesio. La definicin del kilogramo es la masa de un cilindro especfico de platino-iridio (prototipo internacional) preservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Francia.

Tabla 1-1

Cantidad Smbolo Unidad SI Abreviatura

longitud L, l metro m

masa M, m kilogramo kg

tiempo T, t segundo s

corriente I, i amperio A

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Todas las dems unidades pueden derivarse a partir de las siete unidades bsicas. Las cantidades elctricas y sus smbolos de uso comn en el anlisis de circuitos elctricos se dan en la Tabla 1-2. Dos cantidades suplementarias son el ngulo plano (tambin llamado ngulo de fase en el anlisis de circuitos) y el ngulo slido. Sus unidades SI correspondientes son el radin (rad) y el esteradin (sr).

Para los ngulos de fase se usan grados casi universalmente en funciones sinusoidales, por ejemplo, ( )sen 30t + . Como t est en radianes, ste es un caso de unidades mixtas.

Tabla 1-2

Cantidad Smbolo Unidad SI Abreviatura

carga elctrica Q, q culombio C

potencial elctrico V, v voltio V

resistencia R ohmio

conductancia G siemens S

inductancia L henry H

capacitancia C faradio F

frecuencia f hertz Hz

fuerza F, f newton N

energa, trabajo W, w julio J

potencia P, p vatio W

flujo magntico tesla T

Una gran ventaja del sistema SI es que usa prefijos basados en la potencia de 10 para relacionar las unidades mayores o menores con la unidad bsica. Siempre que sea posible, se deben usar los mltiplos y submltiplos decimales de las unidades SI. Los smbolos dados en la Tabla 1-3 son prefijados a los smbolos de las unidades de las Tablas 1-1 y 1-2. Por ejemplo, mV se usa para milivoltio, 103 V, y MW para megavatio, 106 W, etc.

Tabla 1-3

Prefijo Factor Smbolo

pico 1012 p

nano 109 n

micro 106 mili 103 m

centi 102 c

deci 101 d

kilo 103 k

mega 106 M

giga 109 G

tera 1012 T

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1.2 Fuerza, Trabajo y Potencia Las unidades derivadas salen de las expresiones matemticas que relacionan las cantidades. Por ejemplo, de la relacin fuerza igual a masa por aceleracin, se define el newton (N) como la fuerza no equilibrada que imparte una aceleracin de 1 metro por segundo al cuadrado a una masa de 1 kilogramo. As, 1 N = 1 kg m/s2.

Cuando una fuerza acta en una distancia resulta trabajo. Un julio de trabajo es equivalente a un newton-metro: 1 J = 1 N m. Trabajo y energa tienen las mismas unidades.

Potencia es la tasa con la cual se realiza trabajo o la tasa con la cual se cambia la energa de una forma a otra. La unidad de potencia, el vatio (W), es un julio por segundo (J/s). Ejemplo 1.1. En el movimiento rectilneo simple, a una masa de 10 kg se le da una aceleracin constante de 2.0 m/s2. (a) Halle la fuerza actuante F. (b) Si el cuerpo est en reposo en t = 0, x = 0, halle la posicin, la energa cintica y la potencia para t = 4 s.

(a) ( )( )2 210 kg 2.0 m s 20.0 kg m s 20.0 NF ma= = = = (b) ( )( )22 21 12 2 2.0 m s 4 s 16.0 mx at= = = ( ) ( )EC 20.0 N 16.0 m 320 N m 0.32 kJFx= = = = EC 0.32 kJ 4 s 0.08 kJ s 0.08 kWP t= = = =

Ejemplo 1.2. La fuerza aplicada a un objeto movindose en la direccin x vara de acuerdo con 212F x= (N).

(a) Halle el trabajo realizado en el intervalo 1 m x 3 m. (b) Qu fuerza constante actuando en el mismo intervalo resultara en el mismo trabajo?

(a) 33

211

12 1 12 8 JdW Fdx W dx

xx

= = = =

(b) ( )8 J 2 m o 4 Nc cF F= = 1.3 Carga Elctrica y Corriente El concepto de carga elctrica es el principio que sirve de base para explicar todos los fenmenos elctricos y tambin la cantidad ms bsica en un circuito elctrico. La carga elctrica es una propiedad intrnseca de la materia que se manifiesta en la forma de fuerzas electrones repelen otros electrones pero atraen protones, en tanto que los protones se repelen entre s pero atraen electrones. A travs del estudio de estas fuerzas se determin que la carga en el electrn es contraria a la del protn y se tom como positiva, en tanto que la del protn se considera negativa; la carga se mide en culombios (C). Sin embargo, la forma en la cual se usa el trmino carga se extiende ms all de esto. De la fsica elemental se sabe que toda la materia est formada por bloques fundamentales conocidos como tomos. Como ilustracin, considere el tomo bsico ilustrado en la Fig. 1.1. ste tiene el mismo nmero de electrones y protones y, como sus cargas son iguales y opuestas, ellas se cancelan y el tomo como un todo no est cargado. La carga de un electrn es negativa e igual en magnitud a

191.602 10 C. Sin embargo, si el tomo adquiere electrones adicionales, decimos que est cargado negativamente; inversamente, si pierde electrones y se queda con menos electrones que protones, decimos que est cargado positivamente. El trmino carga en este sentido denota un desequilibrio entre el nmero de electrones y protones presentes en el tomo.

En el nivel macroscpico, las sustancias en su estado normal tambin estn generalmente descargadas; es decir, tienen igual nmero de electrones y protones. Sin embargo, este equilibrio se perturba fcilmente electrones puede desligarse de sus tomos madre mediante acciones sencillas como, por ejemplo, caminar por una alfombra, deslizar una silla o la rotacin de la ropa en una secadora. Considere dos ejemplos adicionales. Supngase que se frota una barra de ebonita con piel. Esta accin provoca una transferencia de electrones de la piel a la barra. Por tanto, esta ltima adquiere un exceso de electrones y de esta forma se carga negativamente.

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En forma similar, cuando una barra de vidrio es frotada con seda, se transfieren electrones del vidrio a la seda, dejando la barra con una deficiencia de electrones y, en consecuencia, con una carga positiva. De nuevo, aqu carga se refiere a un desequilibrio de electrones y protones.

Como ilustran estos ejemplos, el trmino carga se puede referir a la carga en un electrn individual o a la carga asociada con todo un grupo de electrones. En cualquier caso, esta carga se denota por la letra Q y su unidad de medida en el sistema SI es el culombio. En general, de acuerdo con observaciones experimentales, la carga Q asociada con un grupo de electrones es igual al producto del nmero de electrones por la carga en cada electrn individual; es decir, las nicas cargas que ocurren en la naturaleza son mltiplos enteros de la carga de un electrn.

Electrn (carga negativa)

Protn (carga positiva)

Neutrn (descargado)

Figura 1.1. Modelo de Bohr del tomo.

La ley de conservacin de la carga establece que la carga se conserva, esto es, no se puede ni crear ni destruir, slo se puede transferir o manipula en diferentes formas. As pues, la suma algebraica de las cargas elctricas en un sistema no cambia. Conductores, Aislantes y Semiconductores La estructura atmica afecta la facilidad con que las cargas, esto es, los electrones, se mueven a travs de una sustancia y por tanto cmo se usa elctricamente. Los materiales se clasifican, elctricamente, como conductores, aislantes o semiconductores. Conductores. Los materiales en los cuales las cargas se mueven fcilmente se denominan conductores. Los ejemplos ms conocidos son los metales. Los buenos conductores metlicos tienen grandes nmeros de electrones libres que puede moverse con facilidad. En particular, la plata, el cobre, el oro y el aluminio son conductores excelentes. De stos, el cobre es el de mayor uso. Aislantes. Los materiales que no conducen (por ejemplo, vidrio, porcelana, plsticos, etc.) se denominan aislantes. Los aislantes no conducen debido a que sus capas de valencia estn llenas o casi llenas por lo que sus

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electrones estn fuertemente ligados. Sin embargo, cuando se aplica un campo elctrico lo suficientemente alto, la fuerza es tan grande que los electrones son separados de sus tomos, produciendo ruptura del aislamiento y que ocurra conduccin. Semiconductores. El silicio y el germanio (y algunos otros materiales) tiene capas de valencia semillenas y por eso no son buenos conductores ni buenos aislantes. Se conocen como semiconductores, tiene propiedades elctricas nicas que los hacen importantes en la industria de la electrnica. El material ms importante es el silicio. Se usa para fabricar transistores, diodos, circuitos integrados y otros dispositivos electrnicos. Los semiconductores hicieron posible las computadoras personales, calculadoras, equipos de CD porttiles y muchos otros productos electrnicos.

Como ya se mencion, la unidad de carga elctrica es el culombio (C). El culombio se define como la carga transportada por 186.24 10 electrones. As, si de un cuerpo elctricamente neutro se remueven 186.24 10 electrones, se quedar con una carga positiva neta de 1 culombio, es decir, Q = 1 C. Inversamente, si a un cuerpo

descargado se la aaden 186.24 10 electrones, adquirir una carga negativa neta de 1 culombio, es decir, Q = 1 C. Sin embargo, usualmente estamos ms interesados en la carga que se mueve por un alambre. En este sentido, si 186.24 10 electrones pasan a travs de un alambre, decimos que la carga que pas por el alambre es 1 C. Observe que el culombio es una unidad grande en magnitud para las cargas. La carga negativa ms elemental es la del electrn, cuyo valor es 191.602 10 C.

Considrese ahora el flujo de cargas elctricas. Una caracterstica nica de la carga elctrica es el hecho de que tiene movilidad; es decir, puede ser transferida de un lugar a otro, donde puede ser convertida en otras formas de energa.

La unidad de corriente, el amperio (A), se define como la corriente en dos conductores paralelos de longitud infinita y seccin transversal despreciable, separados por 1 metro en el vaci, que produce una fuerza entre los conductores de 72.0 10 newtons por metro de longitud. Sin embargo, un concepto ms til es que la corriente resulta de cargas en movimiento y 1 amperio es equivalente a 1 culombio de carga movindose a travs de una superficie fija en 1 segundo. As, para funciones variables en el tiempo, la corriente se puede expresar matemticamente como ( ) ( )A C si dq dt . El objetivo principal de un circuito elctrico es mover cargas a lo largo de trayectorias especficas. Cuando un conductor se conecta a una fuente de fuerza electromotriz (una batera, por ejemplo), las cargas son impulsadas a moverse. Estas cargas en movimiento pueden ser positivas o negativas. Los iones positivos, movindose hacia la izquierda en un lquido o plasma como en la Fig. ( )1.2 a , producen una corriente i, tambin dirigida hacia la izquierda. Si estos iones cruzan la superficie plana S perpendicular al flujo con una tasa de un culombio por segundo, entonces la corriente instantnea resultante es 1 amperio. Iones negativos movindose hacia la derecha como muestra la Fig. 1.2(b) tambin producen una corriente dirigida hacia la izquierda. Por convencin, el flujo de corriente se toma como el movimiento de cargas positivas, esto es, opuesto al flujo de cargas negativas, como muestra la Fig. 1.2. Esta convencin fue iniciada por Benjamin Franklin.

Figura 1.2

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En el anlisis de circuitos es ms importante la corriente en conductores metlicos, la cual ocurre a travs del movimiento de electrones que ocupan las capas ms externas de la estructura atmica. En el cobre, por ejemplo, un electrn en la capa ms alejada est ligado muy dbilmente al ncleo central y se mueve libremente de un tomo al siguiente en la estructura cristalina. A temperaturas normales existe un movimiento aleatorio constante de estos electrones. Un cuadro razonablemente preciso de la conduccin en un conductor de cobre es que aproximadamente 288.5 10 electrones de conduccin por metro cbico tienen libertad de movimiento. La carga

del electrn es 191.602 10e = C, de manera que para tener una corriente de un amperio, aproximadamente 186.24 10 electrones por segundo tendran que pasar por una seccin transversal fija del conductor. Aunque

sabemos que la corriente en conductores metlicos se debe casi exclusivamente al flujo de electrones (cargados negativamente), se acepta universalmente la convencin de que la corriente es el flujo neto de cargas positivas. As, la corriente es la tasa temporal de cambio de la carga que pasa por un punto dado y la relacin matemtica entre la corriente i, la carga q y el tiempo t es

dq

idt

(1.1)

donde la corriente se mide en amperios (A) y

1 amperio 1 culombio/segundo=

La carga transferida en un intervalo de tiempo de t0 a t se obtiene integrando ambos lados de la Ec. (1.1) y se obtiene

0

t

tq i dt= (1.2)

La habilidad de una batera para almacenar carga se conoce como la capacidad de la batera y se expresea en amperios-horas (Ah). Las bateras de los carros tienen capacidades en el orden de 102 Ah.

La forma en que se defini la corriente como i en la Ec. (1.1) sugiere que ella no tiene que ser una funcin constante. Esto se ver en muchos de los ejemplos y problemas que se tratan a travs del curso. Si la corriente no cambia en el tiempo y permanece constante, decimos que es una corriente directa (cd) y, por convencin, se denota por el smbolo I. Si la corriente vara en el tiempo se representa por el smbolo i. Una corriente variable en el tiempo puede tomar muchas formas, tales como una rampa, una sinusoide o una exponencial. La corriente sinusoidal se denomina una corriente alterna (ca).

Una vez definida la corriente como el movimiento de cargas, es de esperar que tenga una direccin asociada del flujo. Como ya se mencion, por convencin, la direccin del flujo de corriente se toma como la direccin en que se mueven las cargas positivas. Con base en esta convencin, una corriente de 5 A, por ejemplo, puede representarse positiva o negativamente, como muestra la Fig. 1.3. En otras palabras, una corriente negativa de 5 A que fluye en una direccin [Fig. 1.5(b)] es la misma que una corriente de +5 A que fluye en la direccin opuesta. Una descripcin completa de la corriente requiere un valor, el cual puede ser positivo o negativo, y una direccin, indicada por una flecha.

Figura 1.3. Convencin para el flujo de corriente. (a) flujo positivo. (b) flujo negativo.

Ejemplo 1.3. Un conductor tiene una corriente constante de cinco amperios. Cuntos electrones pasan un punto fijo en el conductor en un minuto?

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( )( )5 A 5 C s 60 s min 300 C min= = 21

19

300 C min1.87 10 electrones min

1.602 10 C electrn=

Ejemplo 1.4. Determine la carga total que entra por un terminal entre t = 1 y t = 2s si la corriente que pasa por el

terminal es 23i t t= A.

( )

( )

2 22

1 12

23

1

3

1 8 2 1 5.5 C

2 2

tq i dt t t dt

tt

=

= =

= = =

Ejemplo 1.5. Determine la carga que ha entrado al terminal de un elemento desde t = 0 s hasta t = 3 s, cuando la corriente que entra al elemento es como se muestra en la Fig. 1.4.

Figura 1.4. Corriente para el Ejemplo 1.5

Solucin

La corriente i(t) se puede describir como

0 0

( ) 1 0 1

1

t

i t t

t t

Usando la Ec. (1.2), se tiene que

( )

3 1 3

0 0 132

10

1

(3) (0) ( ) 1

1 1 9 1 5 C

2 2

q q i t dt dt t dt

tt

= = +

= + = + =

1.4 Potencial Elctrico o Voltaje La herramienta ms comn para la manipulacin de cargas es el campo elctrico, el cual se denota por E. Una carga elctrica experimenta una fuerza en un campo elctrico que, si no tiene oposicin, acelerar la partcula que contiene la carga en la misma direccin de E para cargas positivas pero en direccin contraria para cargas negativas. Aqu nos interesa el trabajo realizado al mover la carga contra el campo como muestra la Fig. 1.4(a). La fuerza ejercida por el campo elctrico hace que la carga posea energa potencial. As, si se requiere 1 julio de trabajo para mover la carga Q, 1 culombio, desde la posicin 0 hasta la posicin 1, entonces la posicin 1 est a un potencial de 1 voltio con respecto a la posicin 0; 1 V = 1 J/C. Este potencial elctrico es capaz de realizar trabajo igual que la masa en la Fig. 1.5, la cual fue elevada contra la fuerza gravitacional g a una altura h sobre el plano

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de tierra. La energa potencial mgh representa una habilidad para realizar trabajo cuando se suelta la masa m. Conforme la masa cae, se acelera y esta energa potencial es convertida en energa cintica.

En trminos elctricos, una diferencia en energa potencial se define como voltaje. En general, la cantidad de energa requerida para separar cargas depende del voltaje desarrollado y de la cantidad de carga movida. Por definicin, el voltaje o diferencia de potencial entre dos puntos es igual a un voltio si se requiere un julio de energa para mover un culombio de un punto al otro. En forma de ecuacin,

Figura 1.5

[ ] voltios, VWVQ

= (1.3)

donde W es la energa en julios, Q es la carga en culombios y V es la diferencia de potencial o voltaje resultante en voltios.

Recuerde de sus estudios en fsica que el nivel de referencia o nivel cero de la energa potencial se puede escoger en forma arbitraria; esto se debe que slo diferencias en energa potencial tienen significado prctico. Igual que en el caso gravitatorio se escoge por conveniencia el nivel del mar como el nivel cero de energa potencial, en el caso elctrico, la convencin es considerar a la tierra como el nivel cero de energa potencial para las cargas. Observe entonces cuidadosamente que el voltaje se define entre puntos o como la diferencia de potencial entre puntos. Para el caso de una batera, por ejemplo, el voltaje aparece entre sus terminales. As que el voltaje no existe en un punto por s mismo; siempre se determina con respecto a algn otro punto. Por esta razn es por la que tambin se le denomina diferencia de potencial. En un circuito elctrico, el voltaje entre dos puntos a y b es la energa (o trabajo) que se necesita para mover una carga unitaria desde a hasta b; matemticamente,

abdw

vdq

(1.4)

donde w es la energa en julios (J) y q es la carga en culombios (C). El voltaje vab o simplemente v, como ya se dijo, se mide en voltios (V). Es evidente de las Ecs. (1.3) y (1.4) que

1 voltio 1 julio/culombio 1 newton metro/culombio= =

La Fig. 1.6 muestra el voltaje en un elemento (representado por un rectngulo) conectado entre los puntos a y b. Los signos ms (+) y () se usan para definir la direccin de referencia o polaridad del voltaje. El voltaje vab puede interpretarse de dos formas: (1) el punto a est a un potencial de vab voltios ms alto que el punto b, o (2) el potencial en el punto a con respecto al punto b es vab. Lgicamente se deduce que, en general,

ab bav v= (1.5)

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Por ejemplo, en la Fig. 1.7, tenemos dos representaciones del mismo voltaje. En la Fig. 1-6(a) , el punto a est a +9 V sobre el punto b; en la Fig. 1.6(b) (hay una cada de voltaje de 9 V entra a y b), el punto b est 9 V por encima del punto a(hay una elevacin de voltaje de 9 V de b a a). Observe que la notacin para describir un voltaje consta de dos partes: un valor (quizs representado por el nombre de una variable) y una direccin asignada. El valor puede ser positivo o negativo y la direccin de un voltaje es dada por sus polaridades.

Igual que en la corriente elctrica, un voltaje constante se denomina un voltaje de cd y se representa por V, en tanto que un voltaje que vara sinusoidalmente se llama un voltaje de ca y se representa por v. Un voltaje de cd es producido normalmente por una batera; un voltaje de ca es producido por un generador elctrico.

Figura 1.6 Figura 1.7 Ejemplo 1.6. En un circuito elctrico se requiere una energa de 9.25 J para transportar 0.5 C desde un punto a hasta un punto b. Qu diferencia de potencial existe entre los dos puntos?

6

6

9.25 10 J1 voltio = 1 julio por culombio 18.5 V

0.5 10 CV

= =

1.5 Energa y Potencia Elctricas La potencia y la energa entregadas a un elemento son de gran importancia. Para sostener una corriente elctrica en el interior de un material se requiere un gasto de energa o trabajo. La tasa, en julios por segundo, con la cual se transfiere energa es la potencia elctrica en vatios. Adicionalmente, como muestra la Ec. (1.7), el producto de voltaje y corriente produce la potencia elctrica, p vi= ; 1 W = 1 V 1 A. Tambin, V A = (J/C)

(C/s) =J/s = W. En un sentido ms fundamental, la potencia es la derivada con respecto al tiempo (trabajo realizado por unidad de tiempo) y se puede escribir como

dw

pdt

(1.6)

de modo que la potencia instantnea p es generalmente una funcin del tiempo. Como ejemplo, una lmpara elctrica tpica disipa potencia con la tasa de 60 vatios, y una tostadora con una tasa de aproximadamente 1000 vatios. De las Ecs. (1.4) y (1.6), se obtiene que

dqdw dw

p v idt dq dt

= = = (1.7)

La potencia p es una cantidad variable en el tiempo y se denomina la potencia instantnea. As pues, la potencia absorbida o entregada por un elemento es el producto del voltaje en el elemento y la corriente que pasa por l. Si la potencia tiene un signo +, se est entregando potencia al elemento o ste est absorbiendo potencia. Si, por otra parte, la potencia tiene un signo , el elemento est suministrando potencia. Nuestro problema ahora es determinar cundo la potencia tiene un signo negativo o positivo.

La direccin de la corriente y la polaridad del voltaje juegan un papel primordial en la determinacin del signo de la potencia. De manera que es importante que se preste atencin a la relacin entre la corriente i y el voltaje v en la Fig. 1.8(a). La polaridad del voltaje y la direccin de la corriente deben coincidir con lo mostrado en la Fig. 1.8(a) para que la potencia tenga un signo positivo. Esto se conoce como la convencin pasiva de los signos (o

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convencin de variables asociadas). Las variables v e i se denominan variables terminales para el elemento y sus valores pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la direccin real del flujo de corriente y de la polaridad real del voltaje. Para la convencin pasiva de signos, la corriente entra por la polaridad asignada positiva (+) del voltaje. En este caso, p vi= + o 0vi > implica que el elemento est absorbiendo o almacenando

energa. Sin embargo, si p vi= o 0vi < , como en la Fig. 1.8(b), el elemento est entregando o suministrando

potencia. La convencin se satisface cuando la corriente entra por el terminal positivo de un elemento y p vi= + .

Si la corriente entre por el terminal negativo, p vi= . La convencin se puede resumir en la regla siguiente:

Si i fluye en la direccin de v creciente, entonces se est entregando potencia. Si i fluye en la direccin de v decreciente, entonces se est absorbiendo potencia.

Figura 1.8. Polaridades de referencia para la potencia usando la convencin pasiva de los signos. (a) se absorbe potencia, (b) se entrega potencia.

A menos que se diga lo contrario, en este curso se seguir esta convencin para la potencia. Por ejemplo, el elemento en ambos circuitos de la Fig. 1.9 est absorbiendo una potencia de +12 W, ya que una corriente positiva entra por el terminal positivo en ambos casos. Sin embargo, en la Fig. 1.10, el elemento est suministrando 12 W, debido a que una corriente positiva entra por el terminal marcado negativo. Por supuesto, una potencia absorbida de +12 W es equivalente a una potencia entregada de 12 W. En general, para un circuito,

+Potencia absorbida Potencia suministrada=

que es simplemente el principio de conservacin de la energa. De hecho, la ley de conservacin de energa debe ser obedecida por cualquier circuito elctrico. Por esta razn, la suma algebraica de la potencia en un circuito en cualquier instante debe ser igual a cero:

0p = (1.8) lo que confirma una vez ms que la potencia total suministra a un circuito debe equilibrar la potencia total absorbida. La tabla 1-4 resume las reglas para la convencin pasiva.

Figura 1.9 Figura 1.10

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Tabla 1-4 Potencia Recibida o Entregada por un Elemento

POTENCIA RECIBIDA POR UN ELEMENTO POTENCIA ENTREGADA POR UN ELEMENTO

Como las direcciones de referencia de v e i cumplen con la convencin pasiva, la potencia

p = vi

es la potencia recibida por el elemento

Como las direcciones de referencia de v e i no cumplen con la convencin pasiva, la potencia

p = vi

es la potencia entregada por el elemento

En los captulos siguientes se desarrollarn la potencia promedio Pprom y el valor de la raz de la media del cuadrado (RMS, por sus siglas en ingls) para el caso donde el voltaje y la corriente no son constantes.

De la Ec. (1.8), la energa absorbida o entregada por un elemento desde un instante t0 hasta un instante t es

0 0

t t

t tw pdt vi dt= = (1.9)

Las compaas de electricidad miden la energa en vatios-horas (Wh), donde

1 Wh 3600 J=

Ejemplo 1.7. Un resistor tiene una diferencia de potencial de 50.0 V entre sus terminales y por un punto fijo pasa una carga de 120.0 C por minuto. Bajo estas condiciones, con qu tasa se convierte energa elctrica en calor?

( ) ( ) ( )( )120 C min 60 s min 2.0 A 2.0 A 50.0 V 100.0 WP= = = Como 1 W = 1 J/s, la tasa de conversin de energa es cien julios por segundo. Ejemplo 1.8. Energa elctrica es convertida en un calor con la tasa de 7.56 kJ/min en un resistor por el que pasan 270 C/min. Cul es la diferencia de potencial entre los terminales del resistor?

De la relacin p vi= ,

37.56 10 J min28 J C 28 V

270 C minp

vi

= = = =

Ejemplo 1.9. Una fuente de energa hace que fluya una corriente constante de 2 A durante 10 s a travs de un bombillo. Si se producen 2.3 kJ en la forma de luz y energa calrica, calcule la cada de voltaje en el bombillo.

La carga total es

2 10 20 Cq i t = = =

y la cada de voltaje es

32.3 10115 V

20w

vq

= = =

Las compaas de electricidad miden la energa en vatios-hora (Wh), donde

1 Wh= 3600 J

El vatio-hora es una unidad demasiado pequea para propsitos prcticos. Por esta razn se usa el kilovatio-hora (kWh). Por definicin

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( )( )Wh

kWh

energaenerga =

1000 (1.10)

En Venezuela, el kilovatio-hora (kWh) es la unidad usada en el recibo de electricidad. Ejemplo 1.10. Determine la energa total usada por una lmpara de 100 W por 12 horas y un calentador de 1.5 kW por 45 minutos.

Primero, convierta todas las cantidades al mismo conjunto de unidades; por ejemplo, convierta 1.5 kW a 1500 W y 45 minutos a 0.75 h. Entonces

( )( ) ( )( )100 W 12 h 1500 W 0.75 h 2325 Wh 2.325 kWhW = + = = Alternativamente, convierta primero toda la potencia a kilovatios. As pues,

( )( ) ( )( )0.1 kW 12 h 1.5 kW 0.75 h 2.325 kWhW = + =

Ejemplo 1.11. Suponga que en su casa se usan los siguientes artefactos elctricos: un calentador de 1.5 kW por 7 horas; una hornilla (de la cocina) de 3.6 kW por 17 minutos; tres lmparas de 100 W por 4 horas; una tostadora de 900W por 6 minutos. A BsF 0.09 por kilovatio-hora, cunto costar la electricidad?

Convierta el tiempo de minutos a horas. As,

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )1 2 17 61500 7 3600 3 100 4 90060 60 13 560 Wh 13.56 kWh

w

= + + +

= =

( )( )costo 13.56 kWh BsF 0.09/kWh BsF 1.22= = 1.6 Funciones Variables y Funciones Constantes

Para distinguir entre cantidades constantes y variables con el tiempo, se emplearn letras maysculas para las cantidades constantes y minsculas para la cantidad variable. Por ejemplo, una corriente constante de 10 amperios es escribe I = 10.0 A, en tanto que una corriente variable en el tiempo de 10 amperios es escribe

10.0 ( )i f t= A. Ejemplo de funciones comunes en el anlisis de circuitos son la funcin sinusoidal 10.0 seni t=

(A) y la funcin exponencial 15.0 atv e= (V). El tipo de seal ms bsico es una cuyo valor permanece constante con el tiempo,

s sx X= (1.11)

donde Xs representa el valor constante de la seal, el cual puede ser positivo o negativo. Siguiendo la convencin ya mencionada anteriormente, estas seales se denota con letras maysculas. Esto nos permite identificar la naturaleza constante de una seal con slo mirar la notacin. Un ejemplo comn de una seal constante es la corriente que fluye en el circuito de una linterna. A esta corriente se le refiere como una corriente directa o cd para abreviar.

Una seal que se repite cada T segundo es una seal peridica con periodo T. Matemticamente, una seal as satisface la condicin

( ) ( )s sx t nT x t = (1.12) para cualquier t y n = 1, 2, 3, . El nmero de ciclos de oscilacin completados en un segundo se denota por f y se denomina la frecuencia,

1fT

= (1.13)

Jos R. Morn B. 13

La unidad SI de la frecuencia es el hertz (Hz). Una seal de cd puede considerarse como una seal peridica infinitamente lenta, esto es, una seal peridico con t = . En consecuencia, como f = 1/T = 1/ = 0, la frecuencia de una seal de cd es cero.

Una seal sinusoidal tiende a producir una corriente alterna sinusoidal o de ca para abreviar. Por tanto, como el trmino cd significa constante en el tiempo, el trmino ca significa se alterna sinusoidalmente.

Ejemplo 1.12. Un cierto elemento de circuito tiene una corriente 2.5seni t= (mA), donde es la frecuencia angular en rad/s y una diferencia de potencial 45senv t= (V) entre sus terminales. Halle la potencia promedio Pprom y la energa WT transferida en un periodo de la funcin seno.

Sabemos que la energa es la integral en el tiempo de la potencia instantnea:

( )2 2 20 0

112.5112.5 sen mJTw vi dt t dt

pi pi pi= = =

La potencia promedio es entonces

prom 56.25 mW2TwP = =

pi

Observe que Pprom es independiente de la frecuencia .

Ejemplo 1.13. Considrese el elemento de circuito mostrado en la Fig. 1.11 con 8( ) 12 tv t e= V e 8( ) 5 ti t e= A

para t 0. Tanto v(t) como i(t) son iguales a cero para t < 0. Halle la potencia y la energa entregadas por este elemento durante los primeros 100 ms de operacin.

Figura 1.11

Solucin La potencia

( )( )8 8 16( ) ( ) ( ) 12 5 60 Wt t tp t v t i t e e e = = = es la potencia suministrada por el elemento porque v(t) e i(t) no se adhieren a la convencin pasiva. Este elemento est entregando potencia a la carga que fluye a travs de l.

La energa entregada durante los primeros 100 ms = 0.1 segundos es

( ) ( )

( ) ( )

0.1 0.116

0 00.116

1.6 1.6

0.1 60

60 60 1 3.75 1 2.99 J

16 16

t

t

o

w p dt e dt

ee e

= =

= = = =

Ejemplo 1.14. Cuntos electrones pasan por un punto fijo en un bombillo de 100 vatios si el voltaje aplicado es constante e igual a 120 V?

( )100 W 120 V (A) 5 6 AI I= =

( )( ) 2219

5 6 C s 3600 s h1.87 10 electrones por hora

1.602 10 C electrn=

Ejemplo 1.15. Una batera de automvil se clasifica de acuerdo con sus amperios-hora. Una batera de 70 A h, por ejemplo, con una tasa de descarga de 3.5 A tiene una vida de 20 h. (a) Suponiendo que el voltaje permanece constante, obtenga la energa y potencia entregada en una descarga completa de la batera mencionada. (b) Repita para una tasa de descarga de 7.0 A.

Jos R. Morn B. 14

(a) ( )( )( )( ) ( )3.5 A 12 V 42.0 W (o J/s)

42.0 J/s 3600 s/h 20 h 3.02 MJ

=

=

(b) ( )( )( ) ( )( )7.0 A 12 V 84.0 W (o J/s)

84.0 J/s 3600 s/h 10 h 3.02 MJ

=

=

La clasificacin en amperios-hora es una medida de la energa que la batera almacena; en consecuencia, la energa transferida con una descarga total es la misma ya sea que se transfiera en 10 horas o en 20 horas. Como la potencia es la tasa de transferencia de energa, la potencia para una descarga de 10 horas es el doble de la de una descarga en 20 horas.

Jos R. Morn B. 15

Problemas

1.1. Obtenga el trabajo y la potencia asociados con una fuerza de 47.5 10 N actuando en una distancia de 2 metros durante 14 segundos. Resp. 1.5 mJ, 0.107 mW

1.2. Obtenga el trabajo y la potencia requeridos para mover una masa de 5.0 kg por un plano inclinado sin friccin que forma un ngulo de 30 con la horizontal por una distancia de 2.0 m a lo largo del plano durante 3.5 s. Resp. 49.0 J, 14.0 W

1.3. Se gasta un trabajo igual a 136.0 julios para mover 188.5 10 electrones entre dos puntos en un circuito elctrico. Qu diferencia de potencial se establece entre los dos puntos? Resp. 100 V

1.4. Un pulso de electricidad mide 305 V, 0.15 A y dura 500 s. Qu potencia y energa representa? Resp. 45.75 W, 22.9 mJ

1.5. Una unidad de potencia usada para motores elctricos es el caballo de fuerza (hp, por sus siglas en ingls). Cunta energa entrega un motor de 5 hp en 2 horas? Exprese la respuesta en MJ. Resp. 26.9 MJ

1.6. Para t 0, ( )( )4 2504.0 10 1 tq e = (C). Obtenga la corriente en t = 5 ms. Resp. 47.2 mA 1.7. En la Fig. 1.12 se muestra la carga que est entrando a un cierto elemento. Halle la corriente en: (a) t = 1

ms; (b) t = 6 ms; (c) t = 10 ms.

1.8. En la Fig. 1.13 se muestra la corriente que pasa por un elemento. Determine la carga total que atraviesa el elemento en: (a) t = 1 s; (b) t = 3 s; (c) t = 5 s.

Figura 1.12 Figura 1.13

1.9. La corriente que entra por el terminal positivo de un dispositivo es 2( ) 3 ti t e= A y el voltaje entre sus

terminales es ( ) 5v t di dt= V. (a) Halle la carga entregada al dispositivo entre t = 0 y t = 2 s. (b) Calcule la potencia absorbida. (c) Determine la energa absorbida en 3 s.

1.10. La Fig. 1.14 muestra la corriente y el voltaje en un dispositivo. Halle la energa total absorbida por el dispositivo en el periodo 0 < t < 4 s.

Figura 1.14

Jos R. Morn B. 16

1.11. Un cierto elemento de circuito tiene la corriente y el voltaje

( ) ( ) ( )5000 500010 A , 50 1 Vt ti e v e = = Halle la energa total transferida para t 0. Resp. 50 mJ

1.12. El voltaje v a travs de un dispositivo y la corriente i que pasa por l son

( )0.5( ) 5 cos 2 V, ( ) 10 1 Atv t t I t e= = Calcular

(a) la carga total en el dispositivo en t = 1 s.

(b) la potencia consumida por el dispositivo en t = 1 s.

1.13. La batera de un automvil se carga con una corriente constante de 2 A durante cinco horas. El voltaje en los terminales de la batera es 11 0.5v t= + V para t > 0, donde t se da en horas. (a) Halle la energa entregada a la batera durante las cinco horas. (b) Si el costo de la energa elctrica es 15 cntimos/kWh, halle el costo de cargar la batera por cinco horas.

Resp. 1.84 cntimos

1.14. Halle la potencia p(t) entregada por el elemento mostrado en la Fig. 1.15 cuando ( ) 8sen 3v t t= V e

( ) 2 sen 3i t t= A. Resp. ( ) 8 8 cos 6p t t= W

Figura 1.15

1.15. Halle la potencia p(t) entregada por el elemento mostrado en la Fig. 1.15. El voltaje en el elemento se

representa como ( )2( ) 4 1 tv t e= V cuando t 0 y v(t) = 0 cuando t < 0. La corriente del elemento se representa como 2( ) 2 ti t e= A cuando t 0 e i(t) = 0 cuando 0t < .

Resp. ( )2 2( ) 8 1 t tp t e e = W 1.16. La Fig. 1.16 muestra un circuito con cinco elementos. Si p1 = 205 W, p2 = 60 W, p4 = 45 W, p5 = 30 W,

calcular la potencia p3 recibida o entregada por el elemento 3.

Figura 1.16

1.17. La conservacin de energa requiere que la suma de la potencia recibida por todos los elementos en un circuito sea cero. La Fig. 1.17 muestra un circuito y en l se especifican todos los voltajes y corrientes. Son correctos todos estos voltajes y corrientes? Justifique su respuesta.

Figura 1.17

Jos R. Morn B. 17

1.18. Las corrientes y voltajes en los elementos mostrados en la Fig. 1.6 son correctos con una excepcin: la direccin de referencia de exactamente una de las corrientes est invertida. Determine es direccin de referencia.

Figura 1.17

1.19. La capacitancia de un elemento de circuito se define como Q/V, donde Q es la magnitud de la carga almacenada en el elemento y V es la magnitud de la diferencia de potencia en el elemento. La unidad SI derivada para la capacitancia es el faradio (F). Exprese el faradio en funcin de las unidades bsicas.

Resp. 1 F = 1 A2s4/kgm2.

1.20. Se requiere una corriente constante de 3 A por 4 horas para cargar la batera de un automvil. Si el voltaje terminal es 10 2t+ V, donde t est en horas,

(a) cunta carga se transporta como un resultado del proceso de carga?

(b) cunta energa se utiliza?

(c) cunto cuesta cargar la batera? Suponga que el costo de la electricidad 60 cntimos (de bolvar) por kWh.

1.21. Una batera puede clasificarse en amperios-horas (Ah). Una batera de plomo-cido se clasifica en 160 Ah.

(a) Cul es la mxima corriente que la batera puede entregar por 40 horas?

(b) Cuntos das durar si es descargada a 1 mA?

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CAPTULO 2

Conceptos de Circuitos y Leyes Bsicas

En el Captulo 1 se introdujeron los conceptos de voltaje y corriente y se encontr que la corriente involucra el movimiento de cargas. En un conductor, los portadores de carga son los electrones libres que se mueven debido al voltaje aplicado por una fuente externa. Conforme estos electrones se mueven a travs del material, chocan constantemente con tomos y con otros electrones en el conductor. En un proceso semejante al de la friccin, los electrones en movimiento ceden parte de su energa en forma de calor. Estas colisiones representan una oposicin al movimiento de las cargas y se denomina resistencia. Mientras mayor sea la oposicin, menor ser la corriente para un voltaje aplicado dado.

Los componentes de un circuito llamados resistores, se disean especficamente para tener resistencia y se utilizan en casi todo tipo de circuitos elctricos y electrnicos. Aunque el resistor es el componente ms sencillo en cualquier circuito, su efecto es muy importante para determinar el comportamiento de un circuito. 2.1 Elementos de Circuito Activos y Pasivos Los circuitos concentrados comprenden elementos concentrados (o elementos discretos) conectados por alambres conductores ideales. Un elemento agrupado tiene la propiedad de que se puede definir, entre sus terminales, un voltaje terminal nico v(t) y una corriente terminal nica i(t), como se muestra en la Fig. 2.1, y sus propiedades permanecen constantes en todas sus partes.

Un dispositivo elctrico se representa mediante un diagrama de circuito o red construido por arreglos de elementos de dos terminales; a veces, los terminales se conectan en una forma natural para formar puertos. Un circuito elctrico es un arreglo de elementos interconectados de una forma tal que pueden conducir corriente. El anlisis del diagrama de circuito predice el comportamiento del dispositivo real. La forma general de un elemento de dos terminales y un puerto se muestra en la Fig. 2.1, en la cual un solo dispositivo es representado por un smbolo rectangular y dos terminales conductores perfectos en los puntos de conexin A y B. La mayor parte del anlisis de circuitos se realiza en forma efectiva en circuitos que contienen solamente elementos de dos terminales. Los elementos de dos terminales fundamentales de un circuito elctrico son el resistor, el capacitor, el inductor, la fuente de voltaje y la fuente de corriente. La funcin de un elemento de circuito es asegurar una relacin prescrita entre el voltaje y la corriente en sus terminales. Estos elementos se pueden clasificar en dos categoras: activos y pasivos. Los elementos activos son fuentes de voltaje o corriente que pueden suministrar energa a la red; es decir, son capaces de generar energa. Ejemplos de elementos activos incluyen las bateras y los generadores. Se dice que un elemento es activo si, con la corriente entrando por el terminal marcado ,

0t

w vi d

= (2.1) para por lo menos un valor de t.

Un elemento activo es capaz de suministrar energa.

Jos R. Morn B.

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Figura 2.1

Los elementos pasivos son elementos que toman o absorben energa de las fuentes y la convierten en otra forma de energa o la almacenan en su campo elctrico o magntico. Ejemplos de elementos pasivos son los resistores (que se estudiarn a continuacin), los inductores y capacitores. Para un elemento pasivo, con la corriente entrando por el terminal marcado +,

0t

w vi d

= (2.2) para todos los valores de t.

Un elemento pasivo absorbe energa.

Para facilitar su interconexin, los elementos de circuito estn equipados con alambres de un buen conductor elctrico. Idealmente, los alambres no poseen resistencia al flujo de corriente, una condicin que tambin puede expresarse como:

(1) Todos los puntos de un alambre estn al mismo potencial.

Adicionalmente, en los alambres no se acumula carga, una condicin que se expresa como:

(2) Toda la corriente que entra por un extremo de un alambre sale por el otro extremo.

Los alambres prcticos no satisfacen esas propiedades exactamente, pero se supondr que lo hacen para facilitar nuestra iniciacin en la teora de circuitos. Conforme se gana experiencia con circuitos prcticos, se hallar que los errores debidos a alambres no ideales pueden despreciarse en la mayora de los casos de inters prctico para el principiante.

Los elementos activos ms importantes empleados en el estudio de circuitos son las fuentes de voltaje o de corriente. Hay dos tipos de fuentes: independientes y dependientes. Una fuente independiente ideal es un elemento activo que suministra energa y proporciona un voltaje especificado o una corriente especificada y es completamente independiente de cualesquiera otras variables en un circuito. Una fuente de voltaje independiente ideal no es afectada por cambios en el circuito al cual est conectada; es decir, mantiene su voltaje suministrando al circuito la corriente que sea necesaria. La Fig. 2.2 muestra los smbolos para fuentes de voltaje independientes. Observe que ambos smbolos en la figura pueden usarse para representar una fuente de voltaje CD, pero slo uno de ellos, el de la Fig. 2.2(a), puede usarse para una fuente de voltaje que vare en el tiempo. En la misma forma, una fuente de corriente independiente ideal es un elemento activo que suministra una corriente especificada, independientemente del voltaje entre sus terminales o bornes. Es decir, la fuente de corriente entrega al circuito el voltaje que sea necesario para mantener la corriente designada. El smbolo para una fuente de corriente independiente se muestra en la Fig. 2.3; la flecha indica la direccin de la corriente i.

El cortocircuito y el circuito abierto son casos especiales de fuentes ideales. Una cortocircuito es una fuente de voltaje ideal cuyo voltaje v(t) = 0. La corriente en un cortocircuito es determinada por el resto del circuito. Un circuito abierto es una fuente de corriente ideal cuya corriente i(t) = 0. El voltaje en un circuito abierto es determinado por el resto del circuito. Observe que la potencia absorbida por cada uno de estos dispositivos es cero.

Las fuentes dependientes modelan la situacin en la cual el voltaje o la corriente de un elemento de circuito es proporcional al voltaje o la corriente de un segundo elemento de circuito en otro punto de la red. Una fuente dependiente (o controlada) es un elemento activo en el cual la variable de la fuente (voltaje o corriente) es controlada en alguna forma prescrita por otro voltaje o corriente. Estas fuentes usualmente se designan mediante smbolos con forma de rombo, como muestra la Fig. 2.4. Como el control de la fuente dependiente se obtiene mediante un voltaje o corriente de algn otro elemento en el circuito, hay cuatro tipos posibles de fuentes dependientes, a saber:

A B

Terminal Terminal Elemento

+ v(t)

i(t)

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v i

Figura 2.2 Figura 2.3 1. Una fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV).

2. Una fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC).

3. Una fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV). 4. Una fuente de corriente controlada por corriente (FCCC). Las fuentes dependientes son tiles en el modelado de elementos activos electrnicos tales como transistores, amplificadores operacionales y circuitos integrados. Para una fuente de voltaje dependiente, el voltaje controlado, como tambin el voltaje controlador, puede ser constante o variable en el tiempo. Indiferentemente de la naturaleza en el dominio del tiempo, el valor del voltaje controlado no es un nmero independiente. Ms bien, su valor es determinado por el voltaje controlador de acuerdo con una relacin funcional prescrita. Lo anterior tambin es vlido para una fuente de corriente, y tambin para fuentes controladas por corriente.

v i

Figura 2.4

La Fig. 2.5 muestra un circuito que incluye una fuente dependiente. Los signos + y identifican lafuente dependiente como una fuente de voltaje e indican la polaridad de referencia del voltaje del elemento. La identificacin 5i representa el voltaje de esta fuente dependiente. Este voltaje es un producto de dos factores, 5 e i. El segundo factor, i, indica que el voltaje de esta fuente dependiente es controlado por la corriente i en el resistor de 18 . El primer factor, 5, es la ganancia de la fuente dependiente. Como esta fuente es una de voltaje y como un corriente controla el voltaje, ella se denomina una fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC).

Figura 2.5

Se debe sealar que una fuente ideal, en teora, puede suministrar una cantidad infinita de energa. Tambin que las fuentes no solamente entregan potencia a un circuito, tambin pueden absorberla.

Los componentes de circuito llamados resistores, se disean especficamente para tener resistencia y se utilizan en casi todo tipo de circuitos elctricos y electrnicos. Aunque el resistor es el componente ms sencillo en cualquier circuito, su efecto es muy importante para determinar el comportamiento de un circuito.

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Circuitos Lineales y No Lineales. Un elemento de circuito de dos terminales es lineal si el voltaje entre sus terminales y la corriente que fluye por l, junto con la condicin inicial, si la hay, estn relacionados entre s por una ecuacin algebraica lineal o una ecuacin integro-diferencial lineal. Si la relacin es no lineal, se dice que el elemento es no lineal. Un circuito compuesto completamente de elementos lineales es un circuito lineal. Todos los circuitos prcticos son inherentemente no lineales. Sin embargo, en bandas restringidas de los voltajes aplicados y las corrientes correspondientes, las caractersticas de voltaje-corriente de estos elementos y redes emulan relaciones lineales idealizadas. Elementos Variables y No Variables en el Tiempo. Los elementos de un circuito se definen elctricamente mediante un parmetro de identificacin, como resistencia, capacitancia, inductancia y los factores de ganancia asociados con las fuentes dependientes. Un elemento cuyo parmetro de identificacin cambia en funcin del tiempo es un elemento variable en el tiempo. Si ese parmetro permanece constante en el tiempo, el elemento en cuestin es invariable en el tiempo. Elementos Concentrados y Elementos Distribuidos. Los electrones en elementos conductores convencionales no son transportados instantneamente a travs de secciones elementales, pero sus velocidades de transporte son muy altas. De hecho estas velocidades se aproximan a la velocidad de la luz. El tiempo requerido para transportar carga de un terminal a otro en un elemento de dos terminales, comparado con el tiempo requerido para propagar uniformemente la energa a travs del elemento, determina si un elemento es agrupado o distribuido. En particular, si el tiempo requerido para transportar carga a travs de un elemento es significativamente menor que el tiempo requerido para propagar la energa (requerida para el transporte de la carga) a travs del elemento, entonces se dice que el elemento es concentrado. Por otra parte, si el tiempo de transporte de la carga es comparable con tiempo de propagacin de la energa, se dice que el elemento es distribuido. Por lo anterior, el voltaje, la corriente y la resistencia se definen para un elemento slo bajo ciertas restricciones denominadas colectivamente restricciones de elementos concentrados. Esto permite varias simplificaciones en el anlisis de circuitos. Las restricciones impuestas muestran cmo escoger los elementos concentrados en circuitos; ellas son:

1. Escoja las fronteras de los elementos concentrados de modo que la razn de cambio del flujo magntico enlazado con cualquier lazo cerrado fuera de un elemento debe ser cero todo el tiempo. En otras palabras, escoja las fronteras de los elementos de modo que 0B t = a travs de cualquier trayectoria cerrada fuera del elemento.

2. Escoja las fronteras de los elementos concentrados de manera que no haya variacin en el tiempo de la carga total dentro del elemento para todo el tiempo. En otras palabras, escoja las fronteras del elemento de modo que 0q t = , donde q es la carga total dentro del elemento.

3. Opere bajo el rgimen en el cual las escalas de tiempo de la seal que interesan son mucho mayores que el retardo en propagacin de las ondas electromagnticas a travs de los elementos concentrados.

La primera restriccin permite definir un voltaje nico entre los terminales de un elemento. Puesto que el voltaje (o la diferencia de potencial) entre un par de puntos en un elemento es el trabajo requerido para mover una partcula de carga unitaria de un punto a otro a lo largo de alguna trayectoria contra la fuerza debida al campo elctrico y, como se requiere que este voltaje sea nico, entonces el voltaje no debe depender de la trayectoria que se tome. La segunda restriccin resulta de querer definir un valor nico para la corriente que entra y sale de los terminales del elemento. Se puede definir un valor nico para la corriente si no se almacena o se reduce la carga en el interior del elemento.

Bajo el tercer requerimiento se establece que la escala de tiempo de inters sea mucho mayor que los retardos de la propagacin electromagntica a travs de los elementos. Dicho de otra forma, el tamao de los elementos concentrados debe ser mucho menor que la longitud de onda asociada con las seales v e i. Bajo estas restricciones de velocidad, las ondas electromagnticas pueden tratarse como si se propagasen instantneamente a travs de un elemento agrupado.

Para los circuitos, considerados como conjuntos de elementos concentrados conectados por alambres ideales, las corrientes fuera de los elementos concentrados estn confinadas a los alambres. Un alambre ideal no desarrolla un voltaje entre sus terminales, indiferente de la corriente que transporte. Adicionalmente, los

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alambres mismos son tambin elementos concentrados. Para que los voltajes y corriente en circuitos tengan significado, las restricciones que aplican a elementos concentrados aplican tambin a los circuitos como un todo. En otras palabras, para los voltajes entre cualquier par de puntos en el circuito y para definir corrientes a travs de alambres conductores, cualquier segmento del circuito debe obedecer un conjunto de restricciones similares a las impuestas sobre cada uno de los elementos concentrados. 2.2 Modelos de Componentes Una componente elctrica se describe mediante una relacin entre sus variables terminales, la que se denomina una relacin de equilibrio. El voltaje y la corriente no pueden variar en una forma arbitraria; deben satisfacer la relacin de equilibrio que los define.

Los modelos de las componentes de redes son abstracciones que permiten concentrar en un solo elemento los efectos electromagnticos. Desde el punto de vista de redes, se puede postular la existencia de componentes elementales para las redes. En las secciones a continuacin se definen los modelos idealizados lineales de las componentes elctricas de mayor uso. 2.3 Resistencia de Conductores Los conductores son materiales que permiten el flujo de cargas. Sin embargo, no todos los conductores se comportan en la misma forma.

La resistencia es la propiedad fsica de un elemento o dispositivo que impide el flujo de corriente. Se representa por el smbolo R. La resistencia es el elemento en el que se disipa energa elctrica.

La resistencia al paso de cargas de un material depende de varios factores:

Tipo de material

Longitud del conductor

rea de la seccin transversal

Temperatura

Si una cierta longitud de un alambre se somete a una corriente, los electrones en movimiento chocarn con otros electrones dentro del material. Las diferencias a nivel atmico entre diferentes material producen variaciones en cmo las colisiones afectan la resistencia. Por ejemplo, la plata tiene ms electrones libres que el cobre y, por tanto, la resistencia de un alambre de plata ser menor que la de un alambre de cobre con las mismas dimensiones. Se puede entonces concluir lo siguiente: La resistencia de un conductor depende del tipo de material. Si se duplica la longitud del alambre, es de esperar que se dupliquen las colisiones a lo largo del alambre, haciendo as que la resistencia tambin se duplique. Este efecto puede resumirse en la forma siguiente: La resistencia de un conductor metlico es proporcional a la longitud del conductor. Una propiedad de un conductor un poco menos intuitiva es el efecto sobre la resistencia del rea de la seccin transversal. Conforme se aumenta el rea de la seccin transversal, los electrones en movimiento pueden moverse libremente por el conductor, en la misma forma que el agua se mueve con mayor libertad en una tubera de mayor dimetro que en una con un dimetro menor. Si se duplica el rea de la seccin transversal, los electrones se involucrarn en la mitad de las colisiones para una longitud fija del alambre. Este efecto se puede resumir as: La resistencia de un conductor metlico es inversamente proporcional al rea de la seccin transversal del conductor.

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Los factores que controlan la resistencia de un conductor a una temperatura dada se resumen en la relacin

[ ] ohmios, RA

= (2.3)

donde

= resistividad, en ohmios-metros (-m)

= longitud, en metros (m)

A = rea de la seccin transversal (uniforme), en metros cuadrados (m2)

En la ecuacin anterior, la letra griega es la constante de proporcionalidad y se denomina la resistividad del material. La resistividad es una propiedad fsica de un material y se miden en ohmios-metros (-m) en el sistema SI. La Tabla 2.1 da una lista de las resistividades de varios materiales a una temperatura de 20C. Los efectos debidos a cambios en la temperatura se examinarn ms adelante.

TABLA 2-1 Resistividad de Materiales,

Material Resistividad, , a 20 C (-m)

Plata 1.645 106

Cobre 1.723 106 Oro 2.443 108 Aluminio 2.825 106 Tungsteno 5.485 108 Hierro 12.30 108 Plomo 22 108 Mercurio 95.8 108 Nicromo 99.72 108 Carbn 4 103 Germanio 202300* Silicio 500* Madera 1081014

Vidrio 10101014 Mica 10111015 Goma dura 51014

mbar 11015 Azufre 51014 Tefln 11012

* Las resistividades de estos materiales dependen de las impurezas en su interior.

Puesto que la mayora de los conductores son circulares, como muestra la Fig. 2.6(a), se puede determinar el rea de la seccin transversal a partir ya sea de su radio o de su dimetro:

2 2

2

2 4d d

A rpi

= pi = pi =

(2.4)

El elemento de circuito usado para modelar la conducta de resistirse al paso de corriente de un material es el resistor. El smbolo para el resistor se muestra en la Fig. 2.6(b).

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3 2 4A r d= pi = pi

(a) (b)

R

+

v

i

A

B

iR

Figura 2.6. (a) Conductor con una seccin transversal circular. (b) Smbolo del resistor.

2.4 Efectos de la Temperatura Ya se indic que la resistencia de un conductor no ser constante para todas las temperaturas. Conforme la temperatura aumenta, ms electrones escaparn de sus orbitas, produciendo colisiones adicionales en el interior del conductor. Para la mayora de los materiales conductores, el incremento en el nmero de colisiones se traduce en un incremento relativamente lineal en la resistencia, como muestra la Fig. 2.7.

La razn con la cual la resistencia de un material cambia con una variacin en la temperatura se denomina el coeficiente de temperatura del materia y se le asigna la letra griega alfa (). Algunos materiales slo presentan cambios muy ligeros en su resistencia, en tanto que otros materiales experimentan cambios dramticos en su resistencia con un cambio en la temperatura.

Cualquier material para el cual la resistencia aumenta conforme la temperatura aumenta se dice tiene una coeficiente de temperatura positivo.

Cero

absoluto

Pendiente

Interseccin de temperatura

Figura 2.7. Efectos de la temperatura sobre la resistencia de un conductor.

Para materiales semiconductores como el carbn, germanio y silicio, incrementos en temperatura permiten que electrones escapen de sus rbitas normalmente estables y tengan libertad de movimiento dentro del material. Aunque s ocurren colisiones adicionales en el interior del semiconductor, su efecto es mnimo cuando se compara con la contribucin de los electrones adicionales al flujo de carga total. Conforme la temperatura se incrementa, el nmero de electrones de carga aumenta, resultando en una mayor corriente. Por tanto, un aumento en temperatura resulta en una disminucin en la resistencia. En consecuencia, se dice que estos materiales tienen coeficientes de temperatura negativos.

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La Fig. 2.7 ilustra cmo cambia la resistencia del cobre con la temperatura; en ella se observa un incremento casi lineal en la resistencia a medida que la temperatura aumenta. Adems, se ve que conforme la temperatura es disminuida hasta el cero absoluto (T = 273.15 C), la resistencia tiende a cero. En la Fig. 2.7, el punto en el cual la porcin lineal de la recta es extrapolada para cruzar la abscisa se conoce como la interseccin de temperatura o la temperatura absoluta inferida T del material.

Si se examina la porcin en lnea recta de la grfica, vemos que hay dos tringulos semejantes, uno con el pice en el punto 1 y el otro con el pice en el punto 2. La relacin siguiente aplica para estos tringulos semejantes:

2 1

2 1

R R

T T T T=

Esta expresin puede reescribirse y despejar la resistencia R2 a cualquier temperatura T2 como

22 11

T TR R

T T

=

(2.5)

Un mtodo alterno para determinar la resistencia R2 de un conductor a una temperatura T2 es usar el coeficiente de temperatura del material. El coeficiente de temperatura para cualquier material se define como

1m R = (2.6)

donde R1 es la resistencia en ohmios a una temperatura T1, m es la pendiente de la parte lineal de la curva ( )m R T= y se mide en (C)1. Se deja como un ejercicio demostrar la siguiente expresin para R2 deducida de la Fig. 2.3:

( )2 1 1 2 11R R T T= + (2.7) 2.5 Conductancia La conductancia G se define como la medida de la habilidad de un material para permitir el flujo de carga y se le asigna la unidad SI de Siemens (S). Una conductancia grande indica que un material puede conducir corriente bastante bien, en tanto que un bajo valor de conductancia indica que un material no permite con facilidad el flujo de carga. Matemticamente, la conductancia se define como el recproco de la resistencia. As

[ ]1 siemens, SGR

= (2.8)

donde R es la resistencia en ohmios ().

Aunque la unidad SI de conductancia (el Siemens) es aceptada casi universalmente, algunos libros viejos y hojas de datos todava le dan la unidad como el mho y el smbolo es una letra omega invertida, . En esos casos, se cumple la siguiente relacin:

1 1 S= (2.9)

Anlisis y Sntesis de Circuitos. El anlisis de circuitos es el proceso de hallar voltajes y corrientes especficos en un circuito una vez que se conocen sus elementos individuales y sus interconexiones. Inversamente, la sntesis de circuitos es el proceso de escoger un conjunto de elementos y disear sus interconexiones para obtener voltajes y corrientes especficos en el circuito, como por ejemplo producir un cierto voltaje en una parte del circuito en respuesta a un voltaje recibido en otra parte. Tambin llamada diseo, la sntesis es usualmente ms difcil que el anlisis. Involucra la intuicin, la creatividad y ensayo y error. Adicionalmente, la solucin puede no ser nica y se debe saber cmo escoger la ms adecuada a una aplicacin particular. Un excelente dominio del anlisis proporciona las bases para una sntesis efectiva e inteligente.

Tanto el anlisis como la sntesis se basan en dos conjuntos de leyes:

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(1) Las leyes de los elementos, tales como la Ley de Ohm, relacionan los voltajes entre los terminales y las corrientes de los elementos individuales indiferentemente de cmo estn conectados para formar un circuito.

(2) Las leyes de conexin, tambin llamadas Leyes de Kirchhoff o leyes de circuitos, relacionan los voltajes y corrientes compartidos en las interconexiones indiferentemente del tipo de elementos que forman el circuito.

2.6 La Ley de Ohm La relacin de equilibrio ms sencilla para un resistor es la ley de Ohm. Ella establece que el voltaje v en un resistor es directamente proporcional a la corriente que fluye por el resistor. Es decir,

v i

Ohm defini la constante de proporcionalidad para un resistor como la resistencia R. sta es una propiedad de los materiales que puede cambiar si las condiciones internas o externas del elemento se alteran (por ejemplo, como se vio con los cambios de temperatura). Entonces la ecuacin anterior se puede escribir en forma matemtica* como

v Ri= (2.10)

Se puede ver que mientras mayor sea el voltaje aplicado, mayor ser la corriente, en tanto que mientras ms grande sea la resistencia, menor ser la corriente. Se debe sealar que los resistores obedecen la ley de Ohm en una banda limitada de voltaje corriente.

De la Ec. (2.10) se deduce que

R v i= (2.11)

de manera que si v se mide en voltios (V) e i en amperios (A), R se mide en ohmios ():

V1 1

A =

Al aplicar la ley de Ohm, se debe prestar especial atencin a la direccin de la corriente y a la polaridad del voltaje, ya que deben conformar con la convencin pasiva de los signos, como muestra la Fig. 2.6(b). sta implica que la corriente fluye desde un potencial ms alto a un ms bajo para que v Ri= . Si la corriente fluye desde un potencial ms bajo a uno ms alto, entonces v Ri= . Como el resistor es un elemento pasivo, el terminal por el cual la corriente entra se trata generalmente como el lado positivo con respecto al terminal por el cual sale la corriente. Se debe prestar atencin a la direccin de la corriente de manera que no se pase por alto el signo menos.

La ley de Ohm tambin puede escribirse como

i Gv= (2.12)

donde G denota la conductancia en Siemens (S). Tambin las unidades de conductancia se denotan como mhos con el smbolo . Sin embargo, se usarn las unidades SI y el Siemens como la unidad para la conductancia.

Al aplicar la Ley de Ohm se prestar especial atencin a la direccin de i en relacin con la polaridad de v y viceversa. Como la resistencia es un elemento que disipa, debe conformar con la convencin pasiva de los signos, esto es, la corriente debe fluir siempre desde un potencial ms alto a uno ms bajo. En la Fig. 2.6(b) se tiene una resistencia R con terminales A y B. Supngase que los voltajes en esos puntos son vA y vN y aplicamos la ley de Ohm. Si se desea la forma i v R= , entonces debemos escribir

A BRv v

iR

= (2.13)

En palabras, la corriente es igual al voltaje en la cola menos el voltaje en la punta de la flecha, dividido por la resistencia.

* La ley fue publicada en 1827.

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La relacin entre la corriente y el voltaje descrita por la Ec. (2.10) puede mostrarse grficamente como en la Fig. 2.8. Las grficas, que son lneas rectas que pasan por el origen, muestran claramente que la relacin entre el voltaje y la corriente es lineal.

0 v (V)

i (A)R = 10

R = 20

Figura 2.8. Representacin grfica de la ley de Ohm.

Hay dos casos lmites importantes del resistor lineal: los circuitos abiertos y los cortocircuitos. La corriente puede existir solamente donde existe una trayectoria conductora, es decir, una longitud de alambre. Como el valor de R puede variar de cero a infinito, es importante considerar los dos extremos posibles de R. Un elemento para el cual R = 0, se denomina un cortocircuito, como muestra la Fig. 2.9(a). Para un cortocircuito, la ecuacin de equilibrio es

0v Ri= =

y el voltaje es cero pero la corriente podra tener cualquier valor. En la prctica, un cortocircuito es usualmente un alambre que se supone es un conductor perfecto (alambre ideal). La corriente que pasa por el cortocircuito no lo calienta, ya que no disipa energa. Para el circuito de la Fig. 2.9(b), i es igual a cero puesto que no hay un conductor entre los puntos a y b (hay una ruptura del circuito entre a y b). Esta situacin se conoce como un circuito abierto. Puesto que 0i = , la sustitucin en la Ec. (2.11) da

ohmios0

v vR

i= =

As pues, un circuito abierto es un elemento de circuito que tiene una resistencia infinita. Observe que si remover una resistencia R de un circuito equivales a hacer R = , no R = 0. Un interruptor funciona como un cortocircuito cuando est cerrado y como un circuito abierto cuando est abierto. Un fusible funcin como un cortocircuito bajo condiciones normales de operacin. Sin embargo, si su corriente excede un lmite prescrito, el calor resultante de la excesiva disipacin de potencia har que el fusible se funda y se convierta en un circuito abierto.

v = 0 vR = 0 R =

i = 0i

(a) (b)

Figura 2.9. (a) Corto circuito (R = 0). (b) Circuito abierto (R = ).

Un resistor puede ser fijo o variable. La mayora de los resistores son del tipo fijo y se entiende que su resistencia permanece constante. Los dos tipos ms comunes de resistores fijos se muestran en la Fig. 2.10. El smbolo para un resistor fijo se muestra en la Fig. 2.2(b). Los resistores variables tienen resistencia ajustable. El

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smbolo para un resistor variable se muestra en la Fig. 2.11. En la Fig. 2.11(b) y en la 2.11(c) se muestran ilustraciones de resistores variables comunes conocidos como potencimetros. El potencimetro es un elemento de tres terminales con un contacto deslizante; al deslizarse este contacto, las resistencias entre el terminal que se desliza y los terminales fijos varan.

Figura 2.10. Resistores fijos.

(a)

(b) (c)

Figura 2.11

Se debe sealar que no todos los resistores obedecen la ley de Ohm. Un resistor que obedece la ley de Ohm se conoce como un resistor lineal. Tiene una resistencia constante y por ello su caracterstica de voltaje-corriente es una lnea recta que pasa por el origen. Con frecuencia en electrnica se usan componentes que no tienen una relacin lineal de corriente-voltaje; estos son resistores que no obedecen la ley de Ohm. Su resistencia vara con la corriente y su caracterstica de corriente-voltaje es tpicamente como muestra la Fig. 2.12. Ejemplos de dispositivos con resistencia no lineal son el bombillo incandescente y el diodo. En este curso se supondr que todos los resistores son lineales.

Pendiente = R

Figura 2.12

Los resistores absorben energa y la convierten en calor. De hecho, la resistencia tambin podra definirse como la habilidad de un elemento de circuito para disipar potencia. El calentamiento hmico se aprovecha en artefactos domsticos tales como cocinas, tostadoras, secadores de pelo, planchas y calentadores. Sin embargo,

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en los circuitos electrnicos y en instrumentacin, el calentamiento puede producir temperaturas muy elevadas y ocasionar daos a las componentes.

La potencia instantnea disipada por un resistor, cuando se usa la convencin pasiva, puede expresarse en funcin de R como

2

2 vp vi i RR

= = = (2.14)

o, alternativamente, en trminos de la conductancia G,

2

2 ip vi v GG

= = = (2.15)

Observe en la Ec. (2.15) lo siguiente:

1. La potencia disipada es una funcin no lineal del voltaje o de la corriente.

2. Como R y G son cantidades positivas, la potencia disipada en un resistor es siempre positiva. As pues, un resistor siempre absorbe potencia del circuito; es un elemento pasivo incapaz de generar energa.

Los resistores prcticos obedecen la ley de Ohm siempre y cuando v e i estn confinados dentro de ciertos lmites. Por razones obvias, a un resistor cuya relacin v/i es constante indiferentemente de las magnitudes de v e i se le refiere como ideal. Mientras ms cerca est la caracterstica iv de una lnea recta, ms cerca estar el resistor correspondiente de ser ideal. Ejemplo 2.1 Una plancha elctrica extrae 2 A conectada a una tensin de 120 V. Halle su resistencia.

De la ley de Ohm,

12060

2v

Ri

= = =

Ejemplo 2.2. Calcule la potencia en cada resistor en la Fig. 2.13.

+ V1 = 10 V + V2 = 50 V

R1 = 20 R2 = 100 Figura 2.12 En la ecuacin para la potencia, se debe usar el voltaje apropiado. Para el resistor R1, se usa V1; para el resistor R2, se usa V2:

( )

( )

221

11

222

22

10 V5 W

20

50 V25 W

100

VP

R

VP

R

= = =

= = =

Ejemplo 2.3. En el circuito de la Fig. 2.13, calclese la corriente i, la conductancia G y la potencia p.

5 k

i

+

v

30 V30 V

Figura 2.13 Solucin. El voltaje en el resistor es el mismo que en la fuente de voltaje (30 V) ya que el resistor y la fuente estn conectados al mismo par de terminales. Por tanto, la corriente es

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3

300.006 A 6 mA

5 10

vi

R= = = =

La conductancia es

3

1 10.2 mS

5 10G

R= = =

La potencia se puede calcular en varias formas. Usando la Ec. (2.14), se obtiene

( )223

30180 mW

5 10

vp

R= = =

2.7 Interruptores Los interruptores tienen dos estados distintos: abierto y cerrado. Idealmente, un interruptor acta como un cortocircuito cuando est cerrado y como un circuito abierto cuando est abierto.

Las Figs. 2.14 y 2.15 muestran varios tipos de interruptores. En cada caso, se indica el instante cuando el interruptor cambia de estado. Considrese los interruptores mostrados en la Fig. 2.14. El interruptor en la Fig. 2.14a est inicialmente abierto. Este interruptor cambia de estado, y se cierra, en el instante t = 0 s. Cuando el interruptor se modela como un interruptor ideal, se trata como un circuito abierto cuando t < 0 y como un cortocircuito cuando t > 0 s. El interruptor ideal cambia de estado instantneamente. El interruptor en la Fig. 2.14b est inicialmente cerrado. Este interruptor cambia de estado, y se abre, en el instante t = 0 s.

Inicialmente abierto Inicialmente cerrado Desconecta antes Conecta antes

Figura 2.14 Figura 2.15 Considrese ahora el interruptor de doble tiro mostrado en la Fig. 2.15a. Este interruptor acta como dos interruptores del tipo mostrado en la Fig. 2.14, uno entre los terminales c y a, otro entre los terminales c y b. Antes de t = 0 s, el interruptor entre c y a est cerrado el interruptor entre c y b est abierto. En t = 0 s, ambos interruptores cambian de estado; es decir, el interruptor entre a y c se abre y el interruptor entre c y b se cierra. Una vez ms, los interruptores ideales se modelan como circuitos abiertos cuando estn abiertos y como cortocircuitos cuando estn cerrados.

En algunas aplicaciones s hay diferencias cuando el interruptor entre c y b se cierra antes o despus, o si el interruptor entre c y a se abre. Se usan smbolos diferentes para representar estos dos tipos de interruptores de un solo polo. El interruptor de desconectar antes se fabrica de modo que el interruptor entre c y b se cierra despus de que se abre el interruptor entre c y a. El smbolo para el desconectar antes se muestra en la Fig. 2.15a. El interruptor de conectar antes se fabrica de modo que el interruptor entre c y b se cierra antes de que se abra el interruptor entre c y a. El smbolo para este interruptor se muestra en la Fig. 2.15b. Recuerde que la transicin del interruptor del terminal a al terminal b se supone que ocurre instantneamente. Esta transicin instantnea es un modelo preciso cuando la conexin antes de interrumpir es muy rpida en comparacin con la respuesta del circuito en el tiempo. 2.8 Nodos, Ramas y Lazos Ya se sabe que un circuito elctrico es la combinacin de fuentes y cargas conectadas de tal forma que es posible el flujo de carga. Como los elementos de un circuito pueden interconectarse de varias maneras, es necesario estudiar algunos conceptos bsicos de la topologa de redes. En topologa se establece una diferencia entre lo que

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se entiende por un circuito y una red. Una red puede considerarse como una interconexin de elementos, en tanto que un circuito es una red que proporciona una o ms trayectorias cerradas. En la topologa de redes se estudian las propiedades que se relacionan con la colocacin de los elementos en la red y su configuracin geomtrica. Esos elementos incluyen lo que se conocen como ramas, nodos y lazos.

Una rama representa un solo elemento como, por ejemplo, una fuente de tensin o un resistor. En otras palabras, una rama representa cualquier elemento de dos terminales. Un nodo o nudo es el punto de conexin entre dos o ms ramas, o tambin el punto de unin donde se conectan los terminales de dos o ms elementos de un circuito. Usualmente un nodo se indica mediante un crculo pequeo o por un punto. Si un cortocircuito conecta dos nodos, los dos nodos constituyen un solo nodo o nodo secundario. Un nodo esencial es un nodo donde se unen tres o ms ramas. La caracterstica distintiva de un nodo es que todas sus conexiones estn al mismo potencial, el potencial del nodo. Como slo las diferencias de potencial o voltajes tienen significado prctico, es conveniente referenciar todos los potenciales de los nodos en un circuito al potencial de un nodo comn denominado el nodo

de referencia. Este nodo se identifica con el smbolo y su potencial es cero por definicin. Cuando se referencian respecto a este nodo, los potenciales de los nodos se denominan simplemente voltajes nodales.

Un lazo es una trayectoria cerrada en un circuito, de tal forma que si se elimina cualquier rama del lazo, la trayectoria queda abierta. Un lazo se forma comenzando en un nodo, se pasa por un conjunto de nodos y se regresa al nodo inicial sin pasar ms de una vez por un mismo nodo. Un lazo es independiente si contiene una rama que no est en ninguna otra rama. Una malla es un lazo que no encierra otros lazos y un circuito plano es uno que puede dibujarse en un plano sin que se crucen las ramas. El concepto de malla slo aplica a circuitos planos.

El circuito de la Fig. 2.16(a) tiene cinco ramas, a saber, la fuente de 10 V, la fuente de 2 A y los tres resistores. Tiene tres nodos a, b y c. Observe que los tres puntos que forman el nodo b estn conectados por alambres conductores perfectos y por tanto constituyen un solo punto. Lo mismo tambin es vlido para los cuatro puntos que forman el nodo c. Redibujando el circuito, se obtiene el de la Fig. 2.16(b), donde los nodos todos se dibujan como un solo punto. En la Fig. 2.16(b), la trayectoria abca que contiene el resistor de 2 es un lazo. Otro lazo es la trayectoria cerrada bcb que contiene el resistor de 3 y lafuente de corriente. Aunque se pueden identificar seis lazos en la figura, slo tres de ellos son independientes.

(a) (b)

Figura 2.16

Un mismo circuito puede dibujarse de varias formas. Un dibujo de un circuito podra parecer muy diferente de otro dibujo del mismo circuito. Cmo podemos establecer que dos dibujos representan el mismo circuito? Informalmente, se dice que dos dibujos de circuitos representan el mismo circuito si los elementos correspondientes estn conectados a los nodos correspondientes. Esto es, los dibujos A y B representan el mismo circuito cuando se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Existe una correspondencia uno a uno entre los nodos del dibujo A y los nodos del dibujo B.

2. Existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del dibujo A y los elementos del dibujo B.

3. Los elementos correspondientes estn conectados entre los nodos correspondientes.

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Las seales primarias en un circuito son sus corrientes y voltajes, los cuales se denotan por los smbolos i y v, respectivamente. Una corriente de rama se define como la corriente que pasa por una rama del circuito y un voltaje de rama es la diferencia de potencial medida entre los terminales de la rama. 2.9 Leyes de Kirchhoff Los fundamentos de la teora de circuitos reposan en dos leyes fsicas: que la suma de los voltajes en una trayectoria cerrada es cero y que la suma de las corrientes que salen de un nodo es cero. Con estas dos leyes, junto con las ecuaciones que definen los elementos, tenemos una descripcin completa de todos los circuitos.

La hiptesis fundamental de la teora de circuitos es que los voltajes satisfacen la ley de voltajes de Kirchhoff y las corrientes satisfacen la ley de corrientes de Kirchhoff. Estas leyes, tambin conocidas como las leyes de circuitos o las leyes de conexin, establecen una relacin entre todas las corrientes asociadas con un nodo y una relacin entre todos los voltajes de ramas asociados con un lazo. Estas leyes provienen, respectivamente, de los principios de conservacin de la carga y de conservacin de la energa. En este punto contamos con suficientes elementos para analizar la primera de las dos leyes de Kirchhoff. Estas leyes aplican solamente a circuitos que pueden representarse mediante un modelo concentrado; describen cmo los elementos de circuitos de parmetros concentrados se acoplan en sus terminales cuando estn ensamblados en un circuito. Las leyes son simplificaciones de dos de las ecuaciones generales de Maxwell. 2.9.1 Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) Esta ley axiomtica se denomina ley de Kirchhoff para las corrientes (se abrevia LCK) y se basa en la conservacin de la carga. Ella establece simplemente que:

En cualquier instante, la suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo (o una frontera cerrada) en cualquier instante es igual a cero.

La frase suma algebraica indica que se deben tomar en cuenta direcciones de referencia conforme sumamos las corrientes de los elementos conectados a un nodo en particular. Una forma de tomar en cuenta direcciones de referencia es usar un signo ms cuando la corriente se dirige alejndose del nodo y un signo menos cuando la corriente est dirigida hacia el nodo.

La ley expresa la conservacin de la carga y representa matemticamente el hecho de que la carga no se acumula en un nodo; es decir, en un nodo no se puede almacenar, destruir o generar carga; la carga en un nodo es idnticamente igual a cero en todo instante. En consecuencia, las corrientes que entran (o salen) deben sumar cero. Para aplicar la LCK, primero se deben identificar todas las corrientes ramales de inters e identificar sus direcciones de referencia. Considrese, por ejemplo, el nodo de la Fig. 2.17. Si se toman las corrientes que entran al nodo como positivas, entonces la suma algebraica de las corrientes que entran al nodo debe ser cero:

( ) ( ) 0A B C Di i i i+ + + = Es obvio que la ley se puede aplicar tambin a la suma algebraica de las corrientes que salen del nodo. Tomando las corrientes que salen como positivas, se obtiene

( ) ( ) 0A B C Di i i i + + + = Otra forma de la ley consiste en igualar las corrientes que entran al nodo con la corrientes que salen, es decir,

A B C Di i i i+ = +

Cualquiera de las tres formas utilizadas en este ejemplo puede utilizarse como vlida. Una expresin compacta de la forma general de la ley es

1

0N

n

n

i

=

= (2.16)

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Figura 2.17 donde N es el nmero de ramas conectadas al nodo e in es la n-sima corriente entrando (o saliendo) del nodo. La aplicacin de la Ec. (2.16) requiere que se asigne una direccin positiva para las corrientes, bien sea que entren o salgan del nodo.

Para demostrar la LCK, supngase un conjunto de corrientes ik(t), k = 1, 2, , que fluyen hacia un nodo (la superficie cerrada S en la Fig. 2.17). La suma algebraica de las corrientes en el nodo es

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) Ti t i t i t i t= + + +

Si se integran ambos lados de esta ecuacin, se obtiene

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) Tq t q t q t q t= + + +

Pero la ley de conservacin de la carga elctrica requiere que la suma algebraica de las cargas elctricas en un nodo no debe cambiar; esto es, el nodo no almacena una carga neta. De modo que ( ) 0 ( ) 0T Tq t i t= = , es decir,

0TS

q = (2.17) lo que confirma la validez de la LCK.

Una forma alterna de la LCK es la siguiente:

En cualquier instante, la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo.

Esta forma alterna expresa la relacin de continuidad de la corriente en su forma ms directa. Matemticamente, esta forma alterna de la LCK puede expresarse como

entrando saliendon n

i i= (2.18)

Es muy importante darnos cuenta que la LCK aplica no slo a nodos sino tambin a porciones completas de un circuito. Por ejemplo, si un circuito se separa en dos partes y se muestran solamente las conexiones entre esas partes, la suma algebraica de las corrientes en esas conexiones es cero en todo momento. Ejemplo 2.4. En el circuito de la Fig. 2.18, calclese la corriente que pasa por el resistor R3, si se sabe que la fuente de voltaje suministra una corriente de 3 A.

10 V10 V

2 A i

5 A

1R

2R 3R10 V

2 A i

5 A

1R

2R 3R

1Ri

(a) (b)

Figura 2.18

iA iB

iC iD

S

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Solucin. En el circuito de la Fig. 2.18(a) se identifica como i la corriente que pasa por el resistor R3. En la Fig. 2.18(b) se marca la corriente que pasa por R1. Escribiendo ahora la LCK en el nodo superior de los resistores R2 y R3, con las corrientes entrando tomadas como positivas, se obtiene

12 5 0Ri i + =

Ahora se utiliza el hecho de que la fuente de 10 V suministra 3 A: la LCK aplicada en el nodo que une la fuente de 10 V con el resistor R1 muestra que

13 ARi = . Por tanto, sustituyendo este valor en la relacin anterior y

despejando i, obtenemos

3 2 5 6 Ai = + =

En todo lo anterior, las direcciones asignadas a las corrientes se escogieron en forma arbitraria. En general, no importa cmo se asignan las corrientes en un nodo ya que su objetivo es sencillamente proporcionar un marco de referencia en cual basar una expresin explcita de la ley de corrientes. Si no se conoce una corriente, se deben determinar tanto su magnitud como su direccin. Con este fin, se supone una direccin de referencia arbitraria para la corriente desconocida y se aplica la LCK para calcular su valor. Si el valor calculado resulta positivo, nuestra seleccin de la direccin de referencia fue correcta; si es negativo, la corriente fluye realmente en direccin opuesta a la seleccionada. Aqu simplemente invertimos la flecha en el diagrama del circuito. 2.9.2 Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) La base fsica de la LVK es la ley de Ampere, la cual establece que la integral d