Apuntes de clase Tema 5 - Ozono Centro de Estudios · 1 TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA 5.1 Concepto de...
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TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA
5.1 Concepto de variable aleatoria. Función de distribución
En muchas ocasiones vamos a estar interesados en alguna característica medible ligada a un experimento
aleatorio, como el número de puntos que se obtienen al lanzar dos veces un dado con las caras numeradas
del uno al seis, o el peso de un paquete de un alimento precocinado elaborado mediante un determinado
proceso de fabricación, o el número de automóviles que llegan en un periodo de 10 minutos a una estación
de servicio, o el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda.
En todas estas situaciones los sucesos ligados a estas características se pueden representar mediante
conjuntos de números reales. El concepto de variable aleatoria permite estudiar estas situaciones y
desarrollar el modelo matemático de los experimentos aleatorios utilizando resultados de las funciones
numéricas.
5.1.1 Concepto de variable aleatoria
Consideramos un experimento aleatorio con espacio de probabilidad ,(Ω A, P ). Una variable aleatoria
asociada al experimento aleatorio es una función que a cada suceso elemental le hace corresponder un
número real y que permite definir un nuevo espacio de probabilidad cuyo espacio muestral es el conjunto de
los números reales, R, y mantiene la estructura de la probabilidad definida por P .
Para ello hay que considerar una familia de subconjuntos de R que representen los sucesos y que tenga la
misma estructura de A . Esta familia se llama campo de Borel, lo notamos por B, y tiene por elementos los
intervalos de números reales de todo tipo, los conjuntos formados por un número finito o infinito numerable
de números reales y las uniones e intersecciones de todos ellos.
Definición: Sea ,(Ω A, P ) el espacio de probabilidad de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria
definida sobre este espacio de probabilidad es una función, que notamos X , que verifica:
( )∈Ω∈∀ ωω X R y ∈∀B B ( )∈− BX 1 A
La variable aleatoria permite trasladar la estructura de la probabilidad definida por P , porque se puede
definir una función, que notamos XP , que se demuestra que es una función de probabilidad y que se le
llama función de probabilidad inducida por la variable aleatoria X o distribución de probabilidad de X .
La forma de definir XP es: ∈∀B B ( ) ( )( )BXPBPX1−=
Podemos concluir que al definir una variable aleatoria X se obtiene un nuevo espacio de probabilidad cuyo
espacio muestral es el conjunto de los números reales, la familia de sucesos es el campo de Borel y la
función de probabilidad es XP .
2
( )CCC ,,
( )CCC ,,
( )CCC ,,
( )CCC ,,
( )CCC ,,
( )CCC ,,
( )CCC ,,
( )CCC ,,
0
R
1
2
3
Ω
Ejemplo 1: Se considera la variable aleatoria X : número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una
moneda.
Sea C el suceso “se obtiene cara al lanzar una moneda”, entonces el espacio muestral del experimento
aleatorio tiene ocho sucesos elementales, y en el gráfico vemos los valores que la variable aleatoria le hace
corresponder a cada suceso elemental. Obtenemos
5.1.2 Función de distribución de una variable aleatoria
Definición: Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad ,(Ω A, P ) y sea (R, B,
XP ) el espacio de probabilidad inducido por X .
Se considera la función: ( ]( ) xXPxPxF X ≤=∞−= ,)( ∈∀x R
Esta función, determinada por PX, se llama función de distribución de la variable aleatoria X .
Propiedades
Se pueden demostrar las siguientes propiedades: 1) F es una función monótona no decreciente, es decir, dados dos números reales 21 xyx se verifica
)()( 2121 xFxFxx ≤⇒<
2) F es continua por la derecha en todo punto, es decir, )()(lim 00
xFxFxx
=+→
∈∀ 0x R
3) F puede ser discontinua por la izquierda ya que se verifica para cualquier número real 0x ,
)(lim)(0
00 xFxFxXPxx −→
−==
( ) ( )( )8
1,,00 ==== CCCPXPPX
( ) ( ) ( ) ( )( )8
3,,,,,,11 ==== CCCCCCCCCPXPPX UU
( ) ( ) ( ) ( )( )8
3,,,,,,22 ==== CCCCCCCCCPXPPX UU
( ) ( )( )8
1,,33 ==== CCCPXPPX
](( )
( ) ( ) ( ) ( )( )2
1
8
4,,,,,,,,
11,
===
=≤=∞−
CCCCCCCCCCCCP
XPPX
UUU
](( )
( ) ( ) ( ) ( )( )2
1
8
4,,,,,,,,
313,1
===
=≤<=
CCCCCCCCCCCCP
XPPX
UUU
( )( ) 2
1
2
11111,1 =−=≤−=>=+∞ XPXPPX
4) 1)(lim =+∞→
xFx
; (lim−∞→
Fx
5) El conjunto de puntos de discontinuidad de
6) La función de distribución determina la distribución de probabilidad de
En efecto, ya que si se conoce la función
a. ∈∀a R (aFaXP =≤
b. ∈∀a R aXP ==
c. ∈∀ ba, R, si ba < aP
Esta igualdad se obtiene si consideramos que
bXPbXaP −≤=≤<
d. ∈∀ ba, R, si ba < aP
De forma análoga se puede determinar
Ejemplo 2: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
;9,0)(43
0;0)(0
=<≤
<≤=<
xFx
xxFx
También podemos calcular probabilidades de otros sucesos, por ejemplo:
( ) 1;7,022 =>==≤ XPFXP
Ejemplo 3: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
(40;0)(0 <≤=< xFxxFx
0)( =x
de discontinuidad de F es finito o infinito numerable.
6) La función de distribución determina la distribución de probabilidad de X
ya que si se conoce la función F se puede determinar:
)a (utilizamos la definición de F )
)(lim)( xFaFax −→
− (utilizamos la propiedad 3)
)()( aFbFbX −=≤< .
Esta igualdad se obtiene si consideramos que aPaXPbXP <+≤=≤
( ) ( )aFbFaXP −=≤−
XPbXaPaXPbX ==≤<+==≤≤
De forma análoga se puede determinar bXaPybXaP <≤<<
: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:
1)(4
2;4,0)(21;2,0)(1
=≥
<≤=<≤=<
xFx
xxFxxF
Esta función es continua excepto para
presenta discontinuidad por la izquierda.
Utilizando la propiedad 6b., deducimos que
2,00 ==XP
2,02,04,01 =−==XP
3,04,07,02 =−==XP
2,07,09,03 =−==XP 1,09,014 =−==XP
Para cualquier otro valor a, la probabilidad es igual a cero
También podemos calcular probabilidades de otros sucesos, por ejemplo:
( ) 1;6,04,011111 <=−=−=≤−= XPFXP
: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:
1)(4;4
) =≥= xFxx
x
3
bX ≤< , por tanto
)()( aFbFa −+=
cuya función de distribución es:
;7,0)(3 =< xF
Esta función es continua excepto para 4,3,2,1,0=x que
discontinuidad por la izquierda.
deducimos que
, la probabilidad es igual a cero
( ) ( ) 6,0144 =−=≤ FFX
cuya función de distribución es:
( ) ( )
( ) ( ) 0114554
4
2
4
32332
=−=−=≤<
=−=−=≤<
FFXP
FFXP
Ejemplo 4: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
)(0< xFx
( ) ( )
( ) ( ) 0114554
16
4
16
92332
=−=−=≤<
−=−=≤<
FFXP
FFXP
Ejemplo 5: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
x <
Esta función es continua en todos los números reales.
Utilizando la propiedad 6b., deducimos que
∈∀a R lim)( −==−→
aFaXPax
Sin embargo
( ) ( )4
10110 =−=≤< FFXP
( ) ( )4
1
4
21221 −=−=≤< FFXP
( ) ( )
( ) ( )4
,1
4
5,25,15,25,25,1;0
4
1
4
313443;
4
1
−=−=≤<
=−=−=≤<
FFXP
FFXP
: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:
)(4;16
)(40;02
≥=<≤= xFxx
xFx
Esta función es continua en todos los números reales.
Utilizando la propiedad 6b. deducimos que
∈∀a R lim)( −==−→
aFaXPax
Sin embargo
( ) ( )16
10110 =−=≤< FFXP
( ) ( )1616
41221 −=−=≤< FFXP
( ) ( )
( ) ( ) 2
16
25,65,15,25,25,1;0
16
7
16
913443;
16
5
−=−=≤<
=−=−=≤<=
FFXP
FFXP
: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:
xexFxxF 5,11)(0;0)(0
−−=≥=
Esta función es continua en todos los números reales.
Utilizando la propiedad 6b. deducimos
∈∀a R lim)( −==−→
aFaXPax
Sin embargo
( ) ( ) 10110 −=−=≤< −eFFXP
( ) ( ) 9502,01221 =−=≤< FFXP
4
Esta función es continua en todos los números reales.
deducimos que
( ) ( ) 0)( =−=−
aFaFxF
4
1
4
1 =
4
1
4
5, =
cuya función de distribución es:
1=
Esta función es continua en todos los números reales.
Utilizando la propiedad 6b. deducimos que
( ) ( ) 0)( =−= aFaFxF
16
3
16
1 =
4
1
16
4
16
25,2
16
7
==
cuya función de distribución es:
Esta función es continua en todos los números reales.
Utilizando la propiedad 6b. deducimos
( ) ( ) 0)( =−=−
aFaFxF
7769,05,1 =−
1733,07769,09502 =−
( ) ( ) ( ) ( ) 9994,04554
9889,02332
−=−=≤<
−=−=≤<
FFXP
FFXP
Ejemplo 6: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
20;0)(0 <≤=< FxxFx
( ) ( )
( ) ( ) 0114554
4
2
4
32332
=−=−=≤<
=−=−=≤<
FFXP
FFXP
Ejercicio 1: La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE,
es una variable aleatoria con función de distribución
0)( =xF
a) Determina razonadamente los valores
distribución.
b) Determina la probabilidad de que una llamada dure más de 10
c) ¿Cuánto tiempo duran como máximo
respuesta.
( ) ( ) ( ) ( )5665;0019,09889,0
3443;0387,09502,0
−=≤<=−
=−=≤<=−
FFXP
FFXP
: Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:
(4;4
)(42;8
)( ≥=<≤= Fxx
xFxx
xF
Esta función es continua excepto para
discontinuidad por la izquierda.
Utilizando la propiedad 6b. deducimos
4
2)(lim)2(2
2−=−==
−→xFFXP
x
( ) ( ) 08
10110 −=−=≤< FFXP
( ) ( )8
1
4
21221 −=−=≤< FFXP
( ) ( )
( ) ( )8
5,1
4
5,25,15,25,25,1;0
4
1
4
313443;
4
1
−=−=≤<
=−=−=≤<
FFXP
FFXP
En este gráfico se representa la función de distribución de
una variable aleatoria que puede tomar
real.
La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE,
es una variable aleatoria con función de distribución
( )1)(;0 2'0 >−+=≤ − xenmxFx x
a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de
de que una llamada dure más de 10 minutos.
¿Cuánto tiempo duran como máximo el 95% de las llamadas de menor
5
) 0004,0
0086,09889,09975,0
=
=−=
cuya función de distribución es:
1)( =x
Esta función es continua excepto para 2=x que presenta
Utilizando la propiedad 6b. deducimos
4
1
4
1
4
2
8
2 =−=−
8
10 =
8
3
8
1 =
8
5,3
8
5 =
En este gráfico se representa la función de distribución de
una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor
La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE,
0>
utilizando las propiedades de la función de
95% de las llamadas de menor duración? Razona la
6
5.2 Distribuciones discretas y continuas
5.2.1 Distribuciones de probabilidad discretas
Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad ,(Ω A, P) y sea (R, B, PX) el
espacio de probabilidad inducido por X .
Se dice que X y su distribución de probabilidad son discretas o de tipo discreto si su función de
distribución es constante por intervalos.
Si KK iX xxxD 21,= es el conjunto de los puntos de discontinuidad de F entonces XD tiene un
número finito o infinito numerable de elementos (propiedad 5 de la función de distribución)
Si ix es un elemento de XD entonces 0)(lim)( ≠−==−→
xFxFxXPixx
ii (propiedad 3 de la función de
distribución) y si ii pxXP == entonces
1=== ∑∑i
ii
i pxXP
Al conjunto XD se le llama soporte de la variable aleatoria X ya que es el conjunto de valores que toma la
variable con probabilidad distinta de cero.
Además se demuestra que si B es un elemento del campo de Borel, entonces
Se puede definir una función, que notamos ( )xm , llamada función masa de probabilidad de la variable
aleatoria X como
Si el soporte de la variable aleatoria es finito, kiX xxxxD KK21 ,= ,los valores de la función masa de
probabilidad que son distintos de cero se suelen escribir en una tabla
X 1x 2x L ix L kx
( )xm 1p 2p L ip L kp 1
La función masa de probabilidad determina la distribución de probabilidad de X ya que, conocida ( )xm
se puede determinar la función de distribución y la probabilidad de cualquier suceso, utilizando la
igualdad (1).
∑∈
==∈Xi DBx
ixXPBXPI (1)
X
Xiii
Dxsixm
DxxsipxXPxm
∈=∈====
0)(
)(
7
Ejercicio 2: La empresa EE vende baldosas en paquetes de 10 unidades. Se ha determinado que el número
de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4
( )xm 0,08 0,15 0,54 4p 0,08
a) Calcula la probabilidad de que un paquete contenga más de una baldosa defectuosa
b) Si al abrir un paquete la primera baldosa que aparece es defectuosa, determina razonadamente la
probabilidad de que en ese paquete haya como máximo 3 baldosas defectuosas.
c) Determina y representa la función de distribución de la variable aleatoria X .
Ejercicio 3: Una panadería ha establecido que la demanda diaria del número de piezas de pan elaborado con
aceite es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4 5 6
( )xm 0,1 0,2 0,35 0,15 0,1 0,06 0,04
a) Calcula la probabilidad de que la demanda en un día sea de al menos tres piezas de pan de este tipo.
b) Si hasta las doce horas la demanda ha sido de una pieza de pan, determina la probabilidad de que la
demanda en ese día sea de al menos tres piezas.
c) Si al comienzo del día la panadería dispone de cuatro piezas de pan de este tipo, determina la
distribución de probabilidad del número de piezas que no se han vendido al finalizar el día.
d) Si el coste de cada pieza de pan de este tipo es de 0,5 euros, el precio de venta es de 0,85 euros y las
piezas no vendidas se tiran, determina la distribución de probabilidad del beneficio de la panadería si
al comienzo del día dispone de cuatro piezas de este tipo.
Ejercicio 4: Una pequeña empresa de taxis dispone de dos vehículos. A lo largo de un mes cada taxi recibe 0
multas de tráfico con probabilidad 0,5, 1 multa de tráfico con probabilidad 0,3 ó 2 multas de tráfico con
probabilidad 0,2.
a) Determina razonadamente la distribución de probabilidad del número de multas de tráfico que
recibe la empresa en un mes.
b) Calcula la probabilidad de que la empresa reciba en un mes más de dos multas de tráfico.
c) ¿Cuál es el número más probable de multas de tráfico que recibirá la empresa el próximo mes?
d) Si el primer día de un mes le han puesto una multa a uno de los taxis, determina razonadamente la
probabilidad de que en ese mes la empresa no reciba más de tres multas de tráfico.
Ejercicio 5: En el trayecto de un estudiante a la Universidad hay tres semáforos. En la tabla se recoge la
probabilidad de encontrar un número determinado de semáforos en rojo
Nº de semáforos en rojo 0 1 2 3
Probabilidad 0,14 0,36 0,34 0,16
a) Calcula la probabilidad de que el estudiante tenga que pararse como máximo en un semáforo.
b) Si el estudiante ha tenido que parar en dos semáforos, calcula la probabilidad de que el tercero
también esté en rojo.
c) Si el estudiante tarda 20 minutos en recorrer el trayecto hasta la Universidad cuando no debe
pararse y cada semáforo en rojo le retiene 1,5 minutos, determina razonadamente la distribución de
probabilidad del tiempo que tarda el estudiante en recorrer este trayecto.
8
5.2.2 Distribuciones de probabilidad continuas
Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad ,(Ω A, P) y sea (R, B, PX) el
espacio de probabilidad inducido por X . Se dice que X y su distribución de probabilidad son continuas o
de tipo continuo si su función de distribución se puede expresar:
∈∀x R ∫∞−
=x
dttfxF )()(
La función )(xf se llama función de densidad y cumple las condiciones
El conjunto 0)(/ >= xfxCX se llama soporte de la variable aleatoria X porque es el conjunto de
valores que puede tomar la variable aleatoria.
Se pueden demostrar las siguientes propiedades:
1. ( )xF es continua en R
2. Si 0x es un punto de continuidad de la función de densidad, entonces la función de distribución es
derivable en dicho punto y se verifica que )()( 00 xfxF =′ .
Estas propiedades nos permiten afirmar que:
** ∈∀a R 0== aXP por ser ( )xF continua en R (propiedad 6b. de la función de distribución)
** ∈∀a R ∫∞−
==≤=<a
dxxfaFaXPaXP )()(
** ∈∀ ba, R si ba < bXaPbXaPbXaPbXaP ≤<=≤≤=<≤=<<
∫∫∫∫∫∫ =−+=−=−=≤<∞−∞−∞−∞−
b
a
ab
a
aab
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfaFbFbXaP )()()()()()()()(
a b
( ) bXaPdxxfb
a
≤<=∫
f(x)
X
1. )(xf es una función no negativa
2. )(xf es continua en R excepto a lo sumo en un conjunto tal que todo intervalo finito contiene un
número finito de elementos de dicho conjunto.
3. ∫∞
∞−= 1)( dxxf .
9
Ejemplo 7: Determina la función de densidad de la variable aleatoria X cuya función de distribución es:
1)(4;16
)(40;0)(02
=≥=<≤=< xFxx
xFxxFx
Solución:
Calculamos la derivada de ( )xF
( ) ( ) ( ) 04;816
240;00 =′>==′<<=′< xFx
xxxFxxFx
En 0=x la derivada por la izquierda y por la derecha coinciden y por tanto ( ) 0=′ xF
En 4=x la derivada por la izquierda y por la derecha no coinciden y por tanto ( )xF no es derivable en este
punto. En este caso a la función de densidad en este punto se le asigna un valor no negativo.
La expresión de la función de densidad es:
Ejercicio 6: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Suponga que las ventas
semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:
101)(;102)(;20)( >=≤<+=≤= xxFxnmxxFxxF
a) Determina razonadamente los valores m y n utilizando las propiedades de la función de distribución.
b) Explica entre qué valores oscilan las ventas semanales de tomates de la cooperativa CC.
c) Explica si X es una variable discreta o continua y determina su función de masa o de densidad.
d) Determina la probabilidad de que las ventas en una semana no superen los 5.000 euros.
e) Si el lunes la cooperativa ha tenido unas ventas de 3.000 euros, determina la probabilidad de que las
ventas de esa semana sean como mínimo de 6.000 euros.
f) Si el beneficio de la cooperativa asciende al 20% de las ventas, determina la probabilidad de que en
una semana la cooperativa obtenga un beneficio de al menos 1.200 euros por la venta de tomates.
g) Determina la distribución de probabilidad del beneficio semanal de la cooperativa por la venta de
tomates
Ejercicio 7: La duración, en miles de horas, de las bombillas de la marca BB es una variable aleatoria X con
función de densidad:
02,0)(;00)( 2,0 >=≤= − xexfxxf x
a) Determina la función de distribución de X
b) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure 1000 horas o menos.
c) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure más de 2000 horas.
d) Si una bombilla de esa marca lleva encendida 2000 horas, determina la probabilidad de que dure
más de 4000 horas.
e) Si el coste de fabricación de cada bombilla es de 2 euros y el precio de venta es de 5 euros pero se le
garantiza al cliente el reembolso total si la bombilla dura menos de 1000 horas, determina la
distribución de probabilidad del beneficio que obtiene el fabricante por cada bombilla.
( ) ( ) casootroen0;8
40 ==≤≤ xfx
xfx
10
5.3 Características de la distribución de una variable aleatoria
5.3.1 Esperanza matemática
Definición: Sea X una variable aleatoria, ( )xm la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y
( )xf la función de densidad si es continua. Se define el valor esperado, media o esperanza matemática de
la variable aleatoria X y lo vamos a notar [ ]XE , como el valor real, si es que existe, que se obtiene:
De la definición se deduce:
1. Si X es una v.a. discreta con soporte finito ( kiX xxxxD LL21,= ) entonces [ ]XE siempre
existe ya que se cumple la condición (1), y [ ] ( ) ∑∑ ∑=∈ =
⋅==⋅=⋅=k
iii
Dx
k
iii pxxXPxxmxXE
X 11
Ejemplo 8: Calcula el número medio de baldosas por paquete (ejercicio 2)
Para calcular [ ] ( )∑∈
⋅=DXx
xmxXE
X 0 1 2 3 4 Total
( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08 1
( )xmx ⋅ 0 0,15 1,08 0,45 0,32 2
Obtenemos que [ ] 2=XE , el número medio de baldosas por paquete es dos.
2. Si X es una v.a. acotada siempre existe [ ]XE
“ X es una v. a. acotada” significa que MX ≤ , siendo M un número real positivo, y esta condición
permite afirmar que se cumple (1) ó (2) ya que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫
∑ ∑ ∑
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∈ ∈ ∈
=⋅⋅=⋅⋅≤⋅⋅
=⋅=⋅≤⋅
MdxxfMdxxfMdxxfxb
MxmMxmMxmxaX X XDx Dx Dx
)
)
y por tanto existe [ ]XE Ejemplo 9: Sea X una v.a. con función de densidad
( ) ( ) casootroenxfxxf 0;4041 =≤≤=
Como X es una v. a. acotada pues 4≤X , podemos afirmar que existe [ ]XE y su valor es
[ ] ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫
∑ ∑∞
∞−
∞
∞−
∈ ∈
∞<⋅⋅⋅⋅=
∞<⋅⋅=
2..)
1..)
dxxfxsidxxfxXEcontinuaavesXb
xmxsixmxXEdiscretaavesXaX XDx Dx
11
[ ] ( ) 28
1624
141
4
0
24
0
==⋅=⋅=⋅= ∫∫∞
∞−
xdxxdxxfxXE
3. Si X toma sólo valores positivos, entonces la convergencia en valor absoluto coincide con la
convergencia de la serie o la integral y por tanto existe [ ]XE si la serie o la integral son
convergentes.
Ejemplo 10: Sea X una v.a. con función de densidad: ( ) 02;00)( 2 >⋅=≤= − xexfxxf x
Como X sólo toma valores positivos, para calcular [ ]XE sólo tenemos que determinar
[ ] ( )21
20
2 =⋅⋅== ∫∫∞
−∞
∞−
dxexdxxfXE x
Definición: Sea X una variable aleatoria, ( )xm la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y
( )xf la función de densidad si es continua. Si ( )Xg es una variable aleatoria función de la variable
aleatoria X (se demuestra que si la función real de variable real, g, es continua o monótona entonces
( )Xg es una variable aleatoria), entonces
se define ( )[ ]XgE , la esperanza matemática de ( )Xg , como el valor real, si es que existe, que se obtiene
5.3.1.1 Propiedades de la esperanza matemática
Enunciamos algunas de las propiedades de la esperanza matemática
1. Si X es una variable aleatoria tal que 1== cXP , entonces [ ] [ ] ccEXE == .
2. Si X es una variable aleatoria y )( Xg es una variable aleatoria no negativa, entonces si existe
( )[ ]XgE se verifica que ( )[ ] 0≥XgE
3. Si )( Xg es una variable aleatoria función de la variable aleatoria X y a es un número real, entonces
si existe ( )[ ]XgE también existe ( )[ ]XgaE ⋅ y se verifica
4. Si 21 aya son dos números reales y ( ) ( )XgyXg 21 son dos variables aleatorias función de la
variable aleatoria X entonces si existe ( )[ ] ( )[ ]XgEyXgE 21 también existe
( ) ( )[ ]XgaXgaE 2211 ⋅+⋅ y se verifica
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∑ ∑∞
∞−
∞
∞−
∈ ∈
∞<⋅⋅⋅⋅=
∞<⋅⋅=
dxxfxgsidxxfxgXgEcontinuaavesXb
xmxgsixmxgXgEdiscretaavesXaX XDx Dx
..)
..)
( )[ ] ( )[ ]XgEaXgaE ⋅=⋅
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]XgEaXgEaXgaXgaE 22112211 ⋅+⋅=⋅+⋅
12
5.3.2 Momentos de una distribución de probabilidad
Vamos a considerar dos tipos de momentos, los momentos no centrales y los momentos centrales o
respecto a la media.
5.3.2.1 Momentos no centrales
Sea X una variable aleatoria y r un número entero positivo, se define el momento no central de orden r de
la distribución de probabilidad de X , que notamos rα , como la esperanza matemática, si es que existe, de
rX . Por lo tanto:
“Se puede demostrar que si existe rα para un valor fijo de r, entonces existen todos los momentos de orden
inferior a él”.
5.3.2.2 Momentos centrales
Sea X una variable aleatoria, 1α su media y r un número entero positivo. Se define el momento central de
orden r de la distribución de probabilidad de X , que notamos rµ , como la esperanza matemática, si es
que existe, de ( )rX 1α− . Por lo tanto:
El momento central de orden dos recibe el nombre de varianza de la distribución de probabilidad de X y
utilizaremos la notación ( ) 22 σµ == XV .
La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación típica (utilizaremos la notación
σµ =2 ) y es una medida de dispersión de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
Los momentos centrales se pueden obtener a partir de los momentos no centrales, ya que si tenemos en
cuenta las propiedades de la esperanza matemática y suponemos que existen los correspondientes
momentos no centrales, se verifican las siguientes igualdades:
[ ] [ ] [ ] KK3
32
21 ;; XEXEXE === ααα
[ ] ( )[ ] ( )[ ] KK3
132
1211 ;; αµαµαµ −=−=−= XEXEXE
[ ] [ ] 0111 =−=−= ααµ XEXE
( )[ ] [ ] [ ] [ ] 212
21
212
211
2211
2212 222 ααααααααααµ −=+⋅−=+⋅⋅−=+⋅⋅−=−= XEXEXXEXE
( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]31213
31
31213
31
21
21
331
21
21
3313
2333
3333
ααααααααααααααααµ
+⋅⋅−=−⋅+⋅⋅−=
=−⋅⋅+⋅⋅−=−⋅⋅+⋅⋅−=−= XEXEXEXXXEXE
13
Ejemplo 11: La empresa EE vende baldosas en paquetes de 10 unidades. Se ha determinado que el número
de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4
( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08
Calcula los momentos no centrales y centrales de orden menor o igual a tres
Solución:
Para determinar el valor de los momentos efectuamos las operaciones que se incluyen en la tabla
X 0 1 2 3 4 Total
( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08 1,00
( )xmx ⋅ 0,00 0,15 1,08 0,45 0,32 2 [ ] 2)(1 ∑
∈
=⋅==XDx
xmxXEα
( )xmx ⋅2 0,00 0,15 2,16 1,35 1,28 4,94
[ ] 94,4)(222 ∑
∈
=⋅==XDx
xmxXEα
( )xmx ⋅3 0,00 0,15 4,32 4,05 5,12 13,64
[ ] 64,13)(333 ∑
∈
=⋅==XDx
xmxXEα
( )[ ] ( )( )[ ] 064,2964,291664,2964,1323
94,0294,431213
313
2212
212
=−=+−=⋅+⋅⋅−=−=
=−=−==−=
αααααµ
αααµ
XE
XVXE
Ejemplo 12: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Si las ventas semanales de
tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:
101)(;102)(;20)( >=≤<+=≤= xxFxnmxxFxxF
Calcula los momentos no centrales y centrales de orden menor o igual a tres
Solución:
En el apartado c) del ejercicio 6 hemos determinado la función de densidad
casootroenxfxxf 0)(;1028
1)( =≤≤=
[ ] 62
4100
8
1
28
1
8
1)(
10
2
210
2
1 =−=
=⋅=⋅== ∫∫
∞
∞−
xdxxdxxfxXEα
[ ]3
124
24
992
24
81000
38
1
8
1)(
10
2
310
2
2222 ==−=
=⋅=⋅== ∫∫
∞
∞−
xdxxdxxfxXEα
[ ] 31232
9984
32
1610000
48
1
8
1)(
10
2
410
2
3333 ==−=
=⋅=⋅== ∫∫
∞
∞−
xdxxdxxfxXEα
14
( )[ ] ( )
( )[ ] 043274431223
3
1636
3
124
31213
313
212
212
=+−=+−=−=
=−=−==−=
αααααµ
αααµ
XE
XVXE
En efecto:
a) [ ] [ ]baXEYE +=
Como [ ] bbE = (propiedad 1 de la esperanza) y existe [ ]XE , podemos aplicar la propiedad 4 de la
esperanza y obtenemos [ ] [ ] bXaEbaXE +=+ . Por tanto [ ] [ ] [ ] bXaEbaXEYE +=+=
b) Por definición ( ) [ ]( )[ ]2YEYEYV −= y si desarrollamos esta expresión obtenemos
( ) [ ]( )[ ] ( [ ] )[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ]22222 XEXaEXEXaEbXaEbaXEYEYEYV −⋅=−⋅=−−+=−=
Como existe [ ]( )[ ]2XEXE − ya que [ ]( )[ ] ( )XVXEXE =− 2, podemos aplicar la propiedad 3 de la
esperanza y obtenemos [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] ( )XVaXEXEaXEXaE ⋅=−⋅=−⋅ 22222
Por tanto ( ) [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] ( )XVaXEXEaXEXaEYEYEYV ⋅=−⋅=−⋅=−= 222222
Podemos utilizar esta propiedad para calcular la media y la varianza de la variable aleatoria tipificada, Z,
asociada a una variable aleatoria X con media µ y desviación típica σ finitas.
Se define σµ
σσµ −=−= X
XZ
1 entonces se verifica
[ ] [ ]
( ) ( ) 111
01
2
2
2
==
=
=−=−=
σσσ
σµ
σµ
σµ
σ
XVZV
XEZE
Propiedad de la media y de la varianza: Sea X una variable aleatoria y ba, dos números reales
cualesquiera. Se considera la variable aleatoria bXaY += .
a) Si existe [ ]XE entonces existe [ ]YE y se verifica [ ] [ ] bXaEYE +=
b) Si existe ( )XV entonces existe ( )YV y se verifica ( ) ( )XVaYV 2=
15
Ejercicio 8: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Suponga que las ventas
semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:
101)(;1028
2)(;20)( >=≤<−=≤= xxFx
xxFxxF
Si el beneficio de la cooperativa asciende al 20% de las ventas, determina razonadamente la media y la
varianza del beneficio semanal de la cooperativa
5.3.3 Mediana y cuantiles
5.3.3.1 Mediana
Sea X una variable aleatoria, se define la mediana de la distribución de probabilidad de X , que notamos
Me, como un valor real que verifica las siguientes desigualdades:
21
;21 ≥≤≥≥ MeXPMeXP
Como MeXPMeXP <−=≥ 1 , entonces 21
21 ≤<⇔≥≥ MeXPMeXP , por tanto
• Si X es una v.a. discreta, la mediana es el valor real que verifica las desigualdades
• Si X es una v.a. continua entonces ( )MeFMeXP =< , y la mediana es el valor real que verifica
las desigualdades
2
1≤< MeXP y 2
1≥≤ MeXP que se pueden expresar 21
)( ≤MeF y 21
)( ≥MeF pero sólo
se cumplen las dos últimas desigualdades si
5.3.3.2 Cuantiles
Sea X una variable aleatoria y α un número real entre 0 y 1, se define el cuantil de orden α de la
distribución de probabilidad de X , que notamos αx , como un valor real que verifica las siguientes
desigualdades
αα αα ≥≤−≥≥ xXPxXP ;1
Como αα xXPxXP <−=≥ 1 , entonces αα αα ≤<⇔−≥≥ xXPxXP 1 , por tanto
• Si X es una v.a. discreta, el cuantil de orden α es el valor real que verifica las desigualdades
2
1
2
1 ≥≤≤< MeXPyMeXP
2
1)( =MeF
αα ≤< xXP y αα ≥≤ xXP
16
• Si X es una v.a. continua entonces ( )αα xFxXP =< , y el cuantil de orden α es el valor real
que verifica las desigualdades.
αα ≤< xXP y αα ≥≤ xXP que se pueden expresar αα ≤)(xF y αα ≥)(xF pero sólo se
cumplen las dos últimas desigualdades si
Casos particulares:
• Cuartiles: se definen los cuartiles de la distribución de probabilidad que notaremos 1Q y 3Q , como
los cuantiles 25,0x y 75,0x respectivamente.
• Percentiles: se definen los percentiles de la distribución que notaremos 9921 , PPP KK , como los
cuantiles 99,002,001,0 , xxx KK respectivamente.
Ejercicio 9: La empresa EE vende baldosas en paquetes de 10 unidades. Se ha determinado que el número
de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4
( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08
Calcula la mediana, los cuartiles y el percentil 77
Solución:
Obtenemos la función de distribución
0)(0 =≤=< xXPxFx
08,00)(10 ===≤=<≤ XPxXPxFx
23,010)(21 ==+==≤=<≤ XPXPxXPxFx
77,0210)(32 ==+=+==≤=<≤ XPXPXPxXPxFx
92,03210)(43 ==+=+=+==≤=<≤ XPXPXPXPxXPxFx
143210)(4 ==+=+=+=+==≤=≥ XPXPXPXPXPxXPxFx
Para determinar la mediana, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores que
cumplen
2
1≤< MeXP y 2
1≥≤ MeXP
Si analizamos los valores que toma la función de distribución, vemos que el menor valor mayor o igual a 0,5
es 0,77 y por tanto cualquier valor mayor o igual a 2 cumple que 21≥≤ xXP
Si 21
23,01022 ≤==+==<= XPXPXPx
( ) αα =xF
17
Si 21
77,02101,21,2 ≤/==+=+==<= XPXPXPXPx y del mismo modo podemos
razonar que si 2
177,02101,2 ≤/==+=+=≥<> XPXPXPxXPx
Por lo tanto 2=Me ya que es el único valor que cumple 21
23,02 ≤=<XP y 21
77,02 ≥=≤XP
Para determinar el primer cuartil, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores
que cumplen
25,01 ≤< QXP y 25,01 ≥≤ QXP
Razonando del mismo modo que en el caso de la mediana, podemos decir que 21 =Q ya que es el único
valor que cumple 25,023,02 ≤=<XP y 25,077,02 ≥=≤XP
Para determinar el tercer cuartil, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores
que cumplen
75,03 ≤< QXP y 75,03 ≥≤ QXP
Razonando del mismo modo que en el caso de la mediana, podemos decir que 23 =Q ya que es el único
valor que cumple 75,023,02 ≤=<XP y 75,077,02 ≥=≤XP
Para determinar el percentil 77, como X es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores
que cumplen
77,077 ≤< PXP y 77,077 ≥≤ PXP
Si analizamos los valores que toma la función de distribución, vemos que 77,077,02 ≥=≤XP , por
tanto cualquier valor x mayor o igual a 2 cumple que 77,0≥≤ xXP
Si 77,023,01022 ≤==+==<= XPXPXPx
Si 77,077,02101,21,2 ≤==+=+==<= XPXPXPXPx y del mismo modo podemos
razonar que si 77,077,021032 ≤==+=+==<<≤ XPXPXPxXPx
Si 77,077,021033 ≤==+=+==<= XPXPXPXPx
Si 77,092,032101,31,3 ≤/==+=+=+==<= XPXPXPXPXPx
Hemos razonado que si 77,032 ≤<≤≤ xXPx y 77,0≥≤ xXP , por tanto el percentil 77
es cada uno de los valores del intervalo [2, 3]
Ejercicio 10: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Si las ventas semanales de
tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria X con función de distribución:
101)(;1028
2)(;20)( >=≤<−=≤= xxFx
xxFxxF
Calcula la mediana, los cuartiles y el percentil 77
18
Solución:
Para determinar la mediana utilizamos que 2
1)( =MeF ya que la variable aleatoria X es continua
6422
1
8
2
2
1)( =⇒=−⇒=−⇔= MeMe
MeMeF
Para determinar el primer cuartil utilizamos que 4
1)( 1 =QF ya que la variable aleatoria X es continua
4224
1
8
225,0)( 11
11 =⇒=−⇒=−⇔= QQ
QQF
Para determinar el tercer cuartil utilizamos que 4
3)( 3 =QF ya que la variable aleatoria X es continua
8624
3
8
275,0)( 33
33 =⇒⋅=−⇒=−⇔= QQ
QQF
Para determinar el percentil 77 utilizamos que 77,0)( 77 =PF ya que la variable aleatoria X es continua
16,816,677,08277,08
277,0)( 7777
7777 =⇒=⋅=−⇒=−⇔= PP
PPF
5.3.4 Moda
Definición: Sea X una variable aleatoria, se define la moda de la distribución de probabilidad de X , que
notamos Mo, como el valor real que maximiza la función masa de probabilidad si la variable es discreta o la
función de densidad si la variable es continua.
En el caso de distribuciones de probabilidad discretas a la moda también se le llama valor más probable.
5.3.5 Simetría de una distribución de probabilidad
Definición: Sea X una variable aleatoria, ( )xm la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y
( )xf la función de densidad si es continua. Se dice que la distribución de probabilidad de X es simétrica
respecto al número real c si se verifica:
Propiedades de las distribuciones simétricas
1. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es simétrica respecto al valor c ,
entonces si existe [ ]XE se verifica [ ] cXE =
• )()( xcmxcmx +=−ℜ∈∀ cuando X es una variable aleatoria discreta
• )()( xcfxcfx +=−ℜ∈∀ cuando X es una variable aleatoria continua
19
2. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es simétrica respecto al valor c ,
entonces todos los momentos centrales de orden impar, si existen, son nulos.
Ejercicio 11: La empresa EE vende baldosas en paquetes de 10 unidades. Se ha determinado que el número
de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4
( )xm 0,08 0,15 0,54 0,15 0,08
Estudia si la distribución es simétrica.
Solución:
En el ejemplo 8 obtuvimos que el número de baldosas defectuosas que se espera obtener en un paquete es
dos.
Por tanto esta distribución será simétrica si se cumple que )2()2( xmxmx +=−ℜ∈∀
Observamos que
( ) ( ) 1paraanteriorcondiciónlacumplesequesignificaesto,1212)3()1( =+=−⇔= xmmmm
( ) ( ) 2paraanteriorcondiciónlacumplesequesignificaesto2222)4()0( =+=−⇔= xmmmm
Para el resto de valores x la función masa de probabilidad es cero y se cumple la condición.
Por tanto, podemos afirmar que la distribución es simétrica ya que se cumple
)2()2( xmxmx +=−ℜ∈∀
5.3.6 Función generatriz de momentos
Definición: Sea X una variable aleatoria y t un número real. Si existe [ ] ( )ccteE tX ,−∈∀ siendo c un
número real positivo, se puede definir una función
[ ] ctceEtg tX <<−=)(
A esta función se le llama función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad de X .
Ejemplo 13: La duración, en miles de horas, de las bombillas de la marca BB es una variable aleatoria X con
función de densidad:
02,0)(;00)( 2,0 >=≤= − xexfxxf x
Determina la función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad de X
Solución:
[ ] ∫∫∫+∞
−−−+∞+∞
∞−===
0
)2,0(2,0
0
2,02,0)( dxedxeedxxfeeE xtxtxtxtX
20
Si [ ] [ ] +∞=====+∞∞+ ∞+
−−∫ ∫
00 0
)2,0(2,02,02,02,0 xdxdxeeEt xttX
y por tanto no existe [ ]tXeE
Si [ ] ( ) ( )[ ] ∞+−−+∞
−−+∞
−− −−
=−−
===/ ∫∫ 02,0
0
2,0
0
)2,0(
2,0
2,0)2,0(
2,0
2,02,02,0
xtxtxttX et
dxett
dxeeEt
Para calcular el valor del límite consideramos dos casos
( ) tt >⇔>− 2,002,0 entonces 0lim)2,0( =−−
+∞→xt
xe y por tanto [ ]
teE tX
−=
2,0
2,0
( ) tt <⇔<− 2,002,0 entonces +∞=−−+∞→
xt
xe )2,0(
lim y por tanto no existe [ ]tXeE
La función generatriz de momentos es ( ) ( ) 2,02,02,02,0
2,0)( 1 <−=
−= − tt
ttg
Propiedades de la función generatriz de momentos
Se pueden demostrar las siguientes propiedades:
1. ( ) 10 =g
2. Sea X una variable aleatoria, ba, dos números reales y )(tgX la función generatriz de momentos
de X . Entonces existe la función generatriz de momentos de la variable aleatoria bXaY += y se
puede expresar
)()( btgetg Xat
Y ⋅=
3. Sea X una variable aleatoria y )(tg su función generatriz de momentos. Entonces se verifican las
siguientes igualdades:
KK321 )0(;)0(;)0( ααα =′′′=′′=′ ggg
4. Si X e Y son dos variables aleatorias tales que sus funciones generatrices de momentos )(tgX y
)(tgY toman el mismo valor para cada ( )cct ,−∈ , entonces las dos variables aleatorias tienen la
misma distribución de probabilidad.
Esta propiedad nos permite afirmar que la función generatriz de momentos determina unívocamente la
distribución de probabilidad de la variable aleatoria.
Ejercicio 12: El número de ordenadores que vende un comercio semanalmente es una variable aleatoria X
con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4 5 7
( )xm 0.03 0.12 0.15 0.4 0.15 0.12 0.03
a) Explica si la distribución de X es simétrica
b) Calcula la probabilidad de que en una semana el número de ordenadores que vende el comercio sea
superior a la media.
c) Si el precio de venta de un ordenador es de 500 euros y el beneficio del comercio es del 5% sobre
dicho precio, determina razonadamente el beneficio semanal que espera obtener el comercio
debido a la venta de ordenadores.
d) Determina la moda, la mediana, los cuartiles, el percentil 30 y el percentil 80 de la distribución de
probabilidad de X .
21
Ejercicio 13: El tiempo, en horas que tarda en fabricarse un electrodoméstico de cierto tipo es una variable
aleatoria X con función de densidad:
( )
0)(;424
4)(;20
4)( =≤<−=≤≤= xfx
xxfx
xxf en otro caso
a) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde más de tres horas en
fabricarse.
b) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde menos de una hora en
fabricarse.
c) Estudia si la distribución de probabilidad de X es simétrica y determina la moda, la mediana y los
cuartiles.
d) Si el coste de fabricación de un electrodoméstico de este tipo es de 100 euros más 30 euros por cada
hora que tarda en fabricarse, determina el coste de fabricación esperado de un electrodoméstico.
Ejercicio 14: Los ingresos diarios, en cientos de euros, de un comercio es una variable aleatoria X con
función de distribución
91)(;936
3)(;30)( >=≤<−+=≤= xxFx
xnmxxFxxF
a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de
distribución.
b) Razona si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
** La media de X es el doble de la varianza
** La distribución de X es simétrica
c) Determina razonadamente la probabilidad de que el comercio tenga en un día unos ingresos de al
menos 800 euros, si los ingresos al cerrar el comercio al mediodía eran de 400 euros.
Ejercicio 15: El porcentaje de vinagre que contienen las latas de gazpacho GG es una variable aleatoria X
con función de densidad:
( )0)(;40
8
4)( =≤≤−= xfx
xkxf en otro caso.
a) Determina el porcentaje medio de vinagre que contiene una lata de gazpacho.
b) Determina la función de distribución de la variable aleatoria X . c) Si las latas que contienen más del 3% de vinagre tienen mal sabor, calcula la probabilidad de que
una lata de gazpacho tenga mal sabor.
d) Si una persona compra tres latas de gazpacho, determina la probabilidad de que una de ellas tenga
mal sabor.
e) Razona si el porcentaje medio de vinagre que contiene una lata de gazpacho es mayor que el
porcentaje mediano
Ejercicio 16: La probabilidad de que un hombre de 30 años viva un año más es 0.99. Una compañía de
seguros ofrece vender a un hombre de 30 años una póliza de seguro de vida por 10.000 euros a un año y con
una prima de 110 euros. ¿Cuál es la ganancia esperada de la compañía?
Ejercicio 17: En una lotería hay un primer premio de 3.000 euros, tres segundos premios de 1.000 euros y
seis terceros premios de 500 euros. Si la lotería tiene 1.000 boletos que se venden a 5 euros cada uno,
determina la ganancia esperada de una persona que compra un boleto de esta lotería.
22
Ejercicio 18: Se ha determinado que el tiempo diario, en horas, que los funcionarios de cierta región están conectados a la red durante su jornada de trabajo es una variable aleatoria X con función de distribución
00)(;01)( ≤=>−= − xxFxkexF kx
a) Utilizando las propiedades de la función de distribución, determina el valor de k y explica si X es
una variable discreta o continua. Determina la función de masa o de densidad y el soporte de X .
b) Calcula la probabilidad de que un funcionario esté conectado a la red una hora o más en un día
durante su jornada de trabajo.
c) Calcula la probabilidad de que un funcionario esté conectado a la red durante su jornada de trabajo
entre dos y tres horas.
d) Si un funcionario lleva conectado a la red una hora, determina la probabilidad de que no esté
conectado más de dos horas.
e) Calcula el tiempo diario máximo que están conectados a la red durante su jornada de trabajo el 30%
de los funcionarios que menos la utilizan.
Ejercicio 19: El tiempo, en minutos, que tardan en un taller mecánico en efectuar la revisión de un
automóvil, es una variable aleatoria con función de distribución:
( ) ( ) 00)(;01 2
2
<=≥+
⋅= xxFxx
xkxF
a) Determina, utilizando las propiedades de la función de distribución, el valor de k . b) Si el encargado del taller piensa iniciar la revisión de un vehículo 10 minutos después de recibirlo en
el taller, y le dice al cliente que estará listo en media hora, ¿cuál es la probabilidad de que se equivoque?
c) Si la reparación del vehículo se inicia en el momento de recibirlo, ¿cuándo debe decirle el encargado
al cliente que vuelva, para que, con una probabilidad de 0'95, éste no tenga que esperar?
Ejercicio 20: Suponga que la cantidad diaria de gasolina, en miles de litros, que vende una gasolinera es una
variable aleatoria X con función de distribución:
( ) ( ) ( ) ( ) 11;5,0110;00 =>−=≤<=≤ xFxxxkxFxxFx
a) Determina el valor de k utilizando las propiedades de la función de distribución.
b) Determina razonadamente la mediana de la distribución de probabilidad de X y explica el
significado del valor obtenido.
c) Si a las 11 horas ya se han vendido 200 litros de gasolina, determina la probabilidad de que ese día
no se vendan más de 800 litros.
d) Si por cada litro de gasolina vendido se obtiene un beneficio de 20 céntimos de euro, calcula
razonadamente la probabilidad de que la gasolinera obtenga mañana más de 150 euros de beneficio.
Ejercicio 21: El tiempo, en minutos, que se tarda en fabricar cierto artículo es una variable aleatoria X con
función de densidad
( ) ( ) ( ) ( ) casootroenxfxxfxxfxxf 0;403040
1;3020
20
1;2010
40
1 =≤≤=<<=≤≤=
a) Calcula la probabilidad de que se tarde en fabricar un artículo más de 25 minutos
b) Si el proceso de fabricación de un artículo se inició hace 15 minutos, determina la probabilidad de
que se tarde en fabricar el artículo más de 25 minutos.
23
c) Determina el tiempo máximo que se invierte en la fabricación del 10% de los artículos que menos
tardan en fabricarse.
d) Estudia si la distribución de X es simétrica.
e) Determina razonadamente la media y la mediana de la variable aleatoria X
f) Si el coste de fabricación de un artículo es de 2 euros más 30 céntimos de euro por cada minuto que
tarda en fabricarse, determina razonadamente el coste de fabricación esperado de un artículo.
Ejercicio 22: (Examen Junio 2011) Un almacén recibe semanalmente de fábrica cierto producto perecedero
que distribuye en exclusiva en una ciudad. La cantidad semanal demandada del producto, en miles de Kgs.,
es una variable aleatoria con función de distribución:
( ) ( ) ( ) 81;82;20 >=≤<−=≤= xxFxn
mxxFxxF
a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de
distribución.
b) Explica entre qué valores oscila la cantidad semanal demandada del producto.
c) Si el almacenista quiere tener una confianza del 90% de que no se le agote el producto en una
semana, ¿qué cantidad debe pedir a la fábrica
Ejercicio 23: (Examen Septiembre 2011) El número de novelas en inglés que vende semanalmente una
librería es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 0 1 2 3 4 5 7
( )xm 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05
a) Razona si la distribución de probabilidad de la variable X es simétrica.
b) Si el martes de cierta semana la librería ha vendido una novela en inglés, determina razonadamente
la probabilidad de que en esa semana no venda más de tres.
c) Si por cada novela en inglés que vende la librería obtiene un beneficio de 4 euros, determina
razonadamente el beneficio semanal que espera obtener la librería por la venta de novelas en inglés
Ejercicio 24: (Examen Junio 2012) La compañía de transporte urgente por carretera TUC ha determinado que
el número de multas de tráfico por exceso de velocidad que recibe mensualmente es una variable aleatoria
con función masa de probabilidad
X 1 2 4 6 7
m(x) 0,18 0,12 0,36 0,24 0,1
a) Determina razonadamente la media, la moda y la mediana de la distribución de probabilidad y
explica si es una distribución simétrica.
b) Si el primer día de un mes la empresa recibe dos multas por exceso de velocidad, determina
razonadamente la probabilidad de que ese mes no reciba más multas por exceso de velocidad.
Ejercicio 25: (Examen Septiembre 2012) El peso, en cientos de gramos, de las doradas que se crían en la
piscifactoría “Mar Mediterráneo” es una variable aleatoria con función de distribución
( ) ( ) ( ) 81;826
;20 >=≤<−+⋅=≤= xxFxnx
xmxFxxF
Determina razonadamente el peso mínimo del 40% de las doradas de mayor peso.
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Ejercicio 26: (Examen Septiembre 2014) El número mensual de casas que vende un agente inmobiliario es
una variable aleatoria X con función masa de probabilidad
X 2 6 8 10 12 15
( )xm 0,12 0,17 0,2 0,2 0,17 0,14
a) Razona si es cierta la siguiente afirmación: La media y la mediana de la distribución de probabilidad
de X son iguales.
b) Si el salario mensual del agente se compone de una retribución fija de 1800 euros más 200 euros por
cada casa vendida en el mes, determina razonadamente la media y la desviación típica de la variable
“Salario mensual del agente en miles de euros”(Debes utilizar alguna propiedad de la media y la
varianza)