Apuntes de de Los Temas III y IV SEP UVA

Escuela de Ingenierías Industriales Dpto. de Ingeniería Eléctrica Universidad de Valladolid UVa

Grado: GRADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

Asignatura: SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

Curso: 2013/2014

Temas III y IV

Sección A.- MÉTODO DE CÁLCULO EN VALORES POR UNIDAD.

1. Método de cálculo en valores por unidad (p.u.).

1.1.-Sistemas monofásicos.

1.2.-Sistemas trifásicos.

2. Cambios de base

Sección B.- LÍNEAS ELÉCTRICAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL.

1. Introducción

2. Parámetros de líneas

2.1. Resistencia del conductor

2.2. Efecto inductivo

2.3. Efecto de Capacidad en las líneas

2.3.1. Caso de Cables aislados

2.4. Pérdidas de aislamiento y Efecto corona

3. Valores típicos de parámetros de líneas eléctricas

4. Modelos de líneas eléctricas en régimen estacionario sinusoidal. Aplicabilidad

4.1. Modelo general de parámetros distribuidos. Circuitos equivalentes en y T

4.2. Línea sin pérdidas. Circuitos equivalentes en y T

4.3. Modelos simplificados: Línea larga, media y corta

5. Caída de tensión. Influencia del factor de potencia

6. Modelo de líneas eléctricas en valores p.u.

7. Las cargas. Modelo en valores p.u.

Sección C.- LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS EN LOS SISTEMAS DE

ENERGÍA ELÉCTRICA.

1. Introducción

2. El generador síncrono. Modelo en valores por unidad (p.u.)

3. Transformador de dos devanados. Modelo en valores por unidad (p.u.)

4. Transformadores trifásicos. Modelo en valores por unidad (p.u.)

5. Análisis en valores p.u. de sistemas eléctricos de potencia. Protocolo de

actuación

6. Transformador de tres devanados Modelo en valores por unidad (p.u.)

7. Transformadores de regulación. Modelos en valores por unidad ( p.u.)

Bibliografía

[Alamo] José Luis del Alamo. Sistemas Eléctricos de Potencia. El autor. 1987

[Barrero] Fermín Barrero. Sistemas de Energía Eléctrica. Thomson. 2004

[Duncan] J. Duncan Glover & Mulukutla S. Sarma. Sistemas de Potencia. Análisis y Diseño. 3ª Edición. Thomson. 2004.

[Exposito] Antonio Gómez Expósito y otros. Análisis y Operación de Sistemas de Energía Eléctrica. McGraw Hill. 2002

[Kothari] Kothari, D. P.; Nagrath, I. J. Sistemas Eléctricos de Potencia. McGraw Hill. 2008

[Moreno] Jorge Moreno; Fernando Garnacho; Pascual Simón; José Rodríguez. Reglamento de Líneas de Alta Tensión y sus fundamentos técnicos. Paraninfo 2010

[Simon] Pascual Simón; Fernando Garnacho; Jorge Moreno; Alberto González. Cálculo y Diseño de Líneas Eléctricas de Alta Tensión. Garceta. 2011

Sistemas Eléctricos de Potencia

Cálculo en valores p.u. 3 de 77

Sección A.- MÉTODO DE CÁLCULO EN VALORES POR UNIDAD.

1. Método de cálculo en valores por unidad (p.u.).

1.1.-Sistemas monofásicos.

1.2.-Sistemas trifásicos.

2. Cambios de base

1. Método de cálculo en valores por unidad (p.u.)

Es habitual en el análisis de redes eléctricas, debido a la existencia de elementos con

distintos niveles de tensión, realizar una normalización de sus ecuaciones.

De este modo todas las variables y parámetros que intervienen en los cálculos se

encuentran en torno a la unidad y serán adimensionales.

Esta normalización se denomina valores por unidad (p.u.) y se establece a través del

cociente entre el valor de la variable o parámetro y un valor definido como base

(obviamente de dicha magnitud).

. .

El método de cálculo en valores por unidad, no constituye ningún nuevo

procedimiento para, tratar eléctricamente un circuito ; se trata solamente de, una nueva

herramienta para tratar numéricamente las magnitudes que intervienen en un circuito.

1.1. Ecuaciones en valores (p.u.) en régimen permanente senoidal monofásico

Los valores base se corresponden con los valores del módulo de las magnitudes

eléctricas básicas.

Así por ejemplo tendremos como valores base:

EB tensión eficaz (V),

IB intensidad eficaz (A),

SB potencia aparente (VA),

ZB módulo de la impedancia () y

YB módulo de la admitancia (1/).

Y por tanto las magnitudes en valores por unidad, serán por ejemplo:

E.I.I. Dpto. de Ingeniería Eléctrica

4 de 77. Cálculo en valores p.u.

. . . . . . . .

En régimen permanente senoidal, las variables eléctricas no son todas independientes,

sino que están relacionadas entre si. Así, por ejemplo, para una impedancia compleja

y para la potencia , para las referencias de la figura, se verifican las siguientes

relaciones en valores reales:

Ω (1.1)

Para que las ecuaciones en valores (p.u.) conserven su validez, los valores base deben

verificar las mismas leyes que las variables reales en un circuito. Así, en un

sistema monofásico se cumplirá que:

(1.2)

La transformación de las ecuaciones en valores reales a valores p.u. se efectúa

dividiendo la relación en magnitudes reales por las correspondientes valores base. Esto

es:

(1.3)

Con lo que podemos escribir:

. . . . . . . . . . . . (1.4)

La extensión de la normalización a valores por unidad a otras relaciones es inmediata.

Así:

. . . . . . . . . . . . (1.5)

donde

. . . . . . . . (1.6)

El análisis de un circuito podrá realizarse, obviamente, a través de las ecuaciones en

función de las variables reales (1.1) o bien, utilizando las expresiones en valores (p.u.)

correspondientes (1.4).

Obsérvese las relaciones entre las cantidades base dadas por (1.2); al igual que ocurre

con las variables reales, está claro que especificando dos cualesquiera de esas

+

Z E

‐

I



cantidades las otras quedan determinadas. Por ejemplo, si se toman EB y SB que es lo

habitual en el análisis de redes eléctricas, las otras cantidades base vendrán dadas por:

/

1

(1.7)

Téngase en cuenta que cualquier pareja de valores puede tomarse como valores base.

Ver tabla 1.1.-

Tabla 1.1.‐ Otros valores base monofásicos

Base elegida SB EB IB ZB

[ SB , EB ] SB EB

[ SB , IB ] SB IB

[ SB , ZB ] SB ZB

[ EB , IB ] EB IB

[ EB , ZB ] EB ZB

[ IB , ZB ] IB ZB

1.2. Caso de circuitos trifásicos

Cualquier circuito trifásico funcionando en régimen equilibrado tiene un esquema

equivalente de conexión estrella-estrella. Su análisis puede realizarse considerando el

circuito monofásico equivalente

E

E

E

V

V V

I

I

I

+

Z E

‐

I Z

Z

Z

V = 3 E

+

‐

+

‐

+

‐


6 de 77. Cálculo en valores p.u.

El análisis por unidad de un circuito trifásico se reduce al análisis por unidad del

circuito monofásico equivalente.

Es aconsejable utilizar como valores base los nominales del circuito:

tensión base:

Tensión fase-neutro EB, para las tensiones simples Tensión entre fases VB, para las tensiones compuestas, y tal que VB = 3 EB

potencia base: la potencia trifásica SB = 3 EB IB = 3 VB IB

La corriente base y la impedancia base se calculan como sigue (Ver tabla 1.2.- ):

3

/33

(1.8)

Tabla 1.2.‐ Otros valores base trifásicos

Base elegida SB EB VB IB ZB

[ SB , EB ] SB EB √3 3

3

[ SB , IB ] SB 3

√3

IB 3

[ SB , ZB ] SB 3

3

ZB

[ EB , IB ] 3 EB √3 IB

[ EB , ZB ] 3

EB √3 ZB

[ IB , ZB ] 3 √3 IB ZB

[ SB , VB ] SB √3

VB √3

[ VB , IB ] √3 √3

VB IB √3

[ VB , ZB ] √3

VB √3

ZB



Es importante observar que, en valores (p.u.), tomando como base valores

relacionados como un sistema trifásico, la potencia compleja puede escribirse:

. .3

3. .

(1.9)

y también que el módulo de la tensión de línea en un punto "i" del sistema puede

expresarse por:

. .√3

√3. .

(1.10)

igualmente para la potencia aparente (módulo de la potencia compleja) se puede

escribir que:

. .

33

. . . .

√3

√3. . . .

(1.11)

Por tanto, numéricamente no hay distinción entre las cantidades por fase y

trifásica cuando se expresan en valores por unidad tomando como base valores

relacionados como un sistema trifásico.

2. Cambio de base

Teniendo en cuenta que, por definición es

. .·

es decir, por ejemplo: . . , . . ,

Se justifica, entonces, que para el cambio de base utilicemos:

. . . . ,

, (1.12)

Y análogamente:

. . . . ,

, . . . . ,

,

,

, (1.13)


Líneas eléctricas 9 de 77

Sección B.- LÍNEAS ELÉCTRICAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL.

1. Introducción



2.2. Efecto inductivo


2.3.1. Caso de Cables aislados

2.4. Pérdidas de aislamiento y Efecto corona


4. Las cargas. Modelo en valores p.u.

5. Modelos de líneas eléctricas en régimen estacionario sinusoidal. Aplicabilidad

5.1. Modelo general de parámetros distribuidos. Circuitos equivalentes en yT

5.2. Línea sin pérdidas. Circuitos equivalentes en y T

5.3. Modelos simplificados: Línea larga, media y corta

6. Caída de tensión. Influencia del factor de potencia


1. Introducción

Las líneas eléctricas son los elementos básicos que constituyen las redes eléctricas. Su

función es el transporte de la energía eléctrica entre dos puntos en las mejores

condiciones posibles.

Constructivamente, en Alta Tensión (> 1kV), las líneas eléctricas pueden realizarse

mediante:

a) Líneas Subterráneas con cables aislados (ITC-LAT-06)

b) Líneas Aéreas con conductores desnudos (ITC-LAT-07)

c) Líneas Aéreas con cables aislados (ITC-LAT-08)

a) Las líneas Subterráneas con cables aislados deben realizarse, en general, atendiendo

a la instrucción técnica complementaria del Reglamento sobre Condiciones Técnicas y

Garantías de Seguridad en Líneas Eléctricas de Alta Tensión, ITC-LAT-06 y a las


10 de 77. Líneas eléctricas

normas UNE incluidas en al ITC-LAT-02 que les sean aplicables. En la Fig.1.1.-,

puede apreciarse la configuración típica de un cable aislado, en este caso, tripolar.

b) Las líneas aéreas con conductores desnudos en AT deben realizarse, atendiendo a la

instrucción técnica complementaria del Reglamento sobre Condiciones Técnicas y

Garantías de Seguridad en Líneas Eléctricas de Alta Tensión, ITC-LAT-07 y a las

normas UNE incluidas en al ITC-LAT-02 que les sean aplicables. En particular, los

conductores de estas líneas, deberán estar de acuerdo con dicha instrucción y con la

norma UNE EN 50182:2002, para conductores de aluminio y acero, y la UNE

207015:2005 para conductores de cobre.

En la Fig.1.2-, puede apreciarse la estructura básica de un conductor desnudo para

líneas aéreas de AT y su aspecto exterior.

c) Para MT (hasta 30 kV), Las líneas aéreas pueden realizarse mediante conductores

aislados, atendiendo a la instrucción técnica complementaria del Reglamento sobre

Condiciones Técnicas y Garantías de Seguridad en Líneas Eléctricas de Alta Tensión,

ITC-LAT-08. Dichas líneas pueden realizarse mediante conductores unipolares

reunidos en haz con cable fiador según la norma UNE-EN 60228:2005, o bien,

Acero

Cobre; Aluminio; Aleaciones

Fig.1.2.‐‐ Conductor desnudo para AT

1.‐ Conductores circulares rígidos, cableados de cobre o aluminio.2.‐ Capa semiconductora interior. 3.‐ Aislamiento individual. 4.‐ Capa semiconductora externa. 5.‐ Pantalla individual. 6.‐ Envoltura aislante común. Cubierta interior. 7.‐ Armadura. Protección mecánica. 8.‐ Cubierta exterior formada por materias textiles, derivados del

caucho, sustancias termoplásticas, etc,. Evita corrosión.

Fig.1.1.‐‐ Conductor aislado para AT (fuente:FACEL)



simplemente con conductores unipolares con cubierta de material aislante, según

UNE-EN 50397. En este último caso, el aislante de la cubierta es de poco espesor y no

proporciona suficiente aislamiento para la tensión de servicio, por lo que deben

instalarse sobre aisladores; no obstante, necesitan menos distancias de aislamiento que

los conductores desnudos.

Desde el punto de vista eléctrico, el funcionamiento de las líneas eléctricas vendrá

caracterizado por cuatro parámetros fundamentales, uniformemente repartidos a lo

largo de su longitud: la resistencia y la inductancia serie; la conductancia y la

capacidad en derivación.

Estos parámetros nos permitirán modelar una línea mediante un circuito eléctrico. En

función de su longitud, dicho circuito podrá ser caracterizado como de parámetros

concentrados o, necesariamente, de parámetros distribuidos.



Considérese un conductor cilíndrico de longitud l. Si circula por él una corriente

continua, la distribución de corriente en la sección transversal del conductor será

uniforme; la resistencia que presenta se conoce como resistencia en corriente

continua, se mide en ohmios (Ω) y viene dada por la conocida expresión:

es la resistividad del material conductor, en Ω mm2/m;

l es la longitud del conductor, en m;

S es la sección transversal del conductor, en mm2

En corriente alterna la distribución de la corriente no es uniforme en toda la sección

del conductor, debido al denominado efecto pelicular (o efecto skin en inglés), que da

Fig.1.3.‐‐ Conductor aislados para redes aéreas de MT

c1.‐ conductores aislados en haz (fuente:FACEL) c2.‐ conductor con cubierta

fiador

fases

Conductor de aleación de aluminio

Cubierta



lugar a que la densidad de corriente sea mayor en las zonas próximas a la periferia del

conductor e inferior en el interior del mismo, produciéndose por esta razón una

disminución de la sección efectiva del conductor y aumentando su resistencia, que se

denomina en este caso resistencia en corriente alterna (Rca).

Además del efecto pelicular, producido por la propia corriente que circula por el

conductor, la presencia de conductores cercanos, como consecuencia del efecto de

inducción mutua, provoca una modificación de la distribución de corriente, y, por

tanto, un incremento añadido de la resistencia efectiva. Este fenómeno se conoce con

el nombre de efecto de proximidad. En las líneas aéreas, dadas las grandes distancias

entre conductores, este efecto se desprecia; sin embargo, en cables aislados puede

tener importancia y ha de ser valorado.

Tipo de conductor Ks Kp

Cobre ó Aluminio circular cableado 1 0,81

Cobre circular segmentado 0,435 0,37

Aluminio circular 4 segmentos 0,28 0,37



Fuente: [Simon] Tabla 2.1.‐ Coeficientes pelicular y de proximidad

En la tabla 2.1.- se han recogido los coeficientes para determinar los factores pelicular

(Ks) y de proximidad (Kp) de varios tipos de cables aislados.

Por otro lado, conviene recordar que, tanto en corriente continua como en corriente

alterna, el valor de la resistividad depende mucho de la temperatura, aumentando de

forma lineal (en primera aproximación) con ésta. Así, para los materiales conductores

metálicos la siguiente expresión relaciona la resistividad que presenta un conductor a

diferentes temperaturas,

1

donde:

es la resistividad del conductor a la temperatura 1 en Ω mm2/m

es la resistividad del conductor a la temperatura 0 en Ω mm2/m;

es el coeficiente de temperatura del material conductor, en ºC-l.



En la tabla 2.2.- se resumen algunas propiedades de los materiales utilizados en la

fabricación de conductores.

Cobre Aluminio Almelec Acero

Resistividad a 20ºC (Ω mm2/m) 0,0172 0,0283 0,0326 0,15

Coeficiente de temperatura (ºC-1) 0,00393 0,00403 0,0036 despreciable

Fuente: [Simon] Tabla 2.2.‐ Propiedades de materiales

En conjunto, teniendo en cuenta todos los fenómenos que se han visto, la resistencia

efectiva de un conductor podría ser calculada mediante una expresión como la

siguiente:

1 · 1 · 1

donde, como ya hemos dicho, Ks y Kp son coeficientes que expresan el incremento

debido a los efectos skin y proximidad, respectivamente.

Código Código antiguo Rcc20ºC(/km) Rca20ºC(/km) Rca50ºC(/km)

242 AL1/39-ST1A LA 280 HAWK 0,119 0,119 0,131

337 AL1/44-ST1A LA 380 GULL 0,085 0,085 0,091

402 AL1/52-ST1A LA 455 CONDOR 0,072 0,073 0,083

Fuente: [Exposito] Tabla 2.3.‐Resistencias de algunos conductores de líneas aéreas más utilizados en España

Debido a los efectos comentados, habitualmente, los valores de resistencia de los

distintos conductores se encuentran tabulados y son suministrados por los fabricantes

para diferentes condiciones de funcionamiento, (ver tabla 2.3.-)

2.2. Efecto inductivo (Inductancia)

Una corriente eléctrica circulando a través de un conductor, crea un campo magnético

que se pone de manifiesto mediante líneas de campo en forma de lazos circulares que

rodean al conductor. Si la corriente i(t) es variable con el tiempo, el campo magnético

también lo será y en cualquier circuito eléctrico que concatene una porción del flujo

magnético se inducirá una tensión dado por la ley de Faraday-Lenz:

donde (t) es el flujo concatenado por el circuito.



El flujo concatenado es proporcional a la corriente que lo crea, siendo la constante de

proporcionalidad el denominado coeficiente de inducción o inductancia L, que

únicamente depende de la geometría de los circuitos:

En general, en el caso de una línea trifásica esta inductancia se corresponderá con una

matriz con coeficientes de inducción propios y mutuos entre cada dos fases, ya que

cada fase estará afectada en parte, por el flujo que provoca la intensidad que circula

por ella y, también por los flujos como consecuencia de las intensidades que circulan

por las otras dos fases.

Supondremos además que la línea es simétrica (conductores en los vértices de un

triángulo equilátero) o bien ha sufrido transposiciones regulares a lo largo de su

recorrido

Línea simétrica Transposiciones regulares en un línea trifásica

En estas condiciones puede obtenerse una inductancia única por fase que engloba los

acoplamientos inductivos mutuos entre las diferentes fases. A esta inductancia se la

denomina Inductancia de servicio (o inductancia por fase) Lb, y vendré dada (para

líneas de simple circuito) por la siguiente expresión:

2 · 10 ln (2.1)

donde:

DMG es la distancia media geométrica entre las fases: para el

caso de una línea trifásica.

r

R

Tríplex

Rr

Cuadruplex

Rr

DuplexFase a

Fase b

Fase cdab dbc

dca

a c

b

D D

D c

c

c

a

a

a

b

b

b Posición 1

Posición 2

Posición 3



RMG es el radio medio geométrico efectivo de los n0 conductores de cada fase

(equivale a la distancia media geométrica entre conductores de la misma fase), y, para

las distintas configuraciones, vendrá dado por la expresión:

En la que r e / r para el caso de conductores de 1 sólo hilo (UNE 21028), es el

radio aparente, que nos permite englobar el efecto del flujo interno en la expresión

general del flujo externo. Para conductores de más hilos los valores del radio aparente

son diferentes, pero los errores que se cometen son despreciables.

Para profundizar sobre el tema pueden consultarse las referencias [Exposito],

[Barrero], [Simon] y [Alamo].


Del mismo modo que el fenómeno de la inductancia de las líneas se establecía a partir

del campo magnético creado por las intensidades, la capacidad está ligada al campo

eléctrico generado por la carga eléctrica existente en los conductores.

Es sabido que un sistema de conductores cargados da lugar a una distribución de

potenciales sobre los mismos que dependen de su tamaño, configuración geométrica,

disposición relativa entre ellos, medio en que se encuentran etc.

Inversamente, si en un sistema de conductores, no cargados, se aplica un potencial a

cada uno de ellos, aparecerá una distribución de cargas sobre los mismos, que

dependerá de las magnitudes enunciadas anteriormente. Esto es lo que entendemos por

"efecto de capacidad".

El análisis del campo eléctrico en el entorno de un conductor permite relacionar la

carga eléctrica existente en dicho conductor con su potencial o tensión respecto a un

punto de referencia, a través de lo que denominamos coeficiente de capacidad o

simplemente capacidad:

En una línea trifásica interpretaremos este "efecto" de capacidad como si, a lo largo de

la línea y tanto entre conductores como entre conductores y tierra, existiesen todo un

conjunto de condensadores uniformemente repartidos, cuyo efecto total intentaría ser

equivalente al efecto de capacidad real (Fig. 2.1-). Esto equivale a decir que la

capacidad "C", al igual que lo que ocurría con el efecto inductivo, en una línea

trifásica, es una matriz con coeficientes de capacidad propios y mutuos entre fases.



No obstante, con la intención de estudiar el comportamiento de una línea trifásica a

través de su circuito monofásico equivalente, estaremos interesados en un único

coeficiente que englobe a los anteriores, lo denominaremos capacidad industrial o de

servicio por unidad de longitud, Cb.

Bajo ciertas hipótesis, para una línea aérea trifásica equilibrada y/o regularmente

transpuesta, esta Capacidad de Servicio, a tierra o a neutro real o imaginario vendrá

dada por la expresión:

0,02422

√4

(2.2)

DMG = 3 d1 d2 d3

HMG = 3 h1 h2 h3

donde:

CM

CM

CM

CE CE CE

h1

h2

h3

Cb = CE + 3 CM

r

R

Cuadruplex

rR

Triplex

r

R

Duplex

req = no r no R(no‐1)

no conductores por fase

Fig 2.1.‐ Efecto de capacidad en una línea aérea (fuente: [Alamo])



En definitiva, la existencia del efecto de capacidad se va a traducir (de forma

simplista) en la presencia, en la línea, de una susceptancia capacitiva por unidad de

longitud: .

El efecto de capacidad sobre las líneas,

es una "fuga" de corriente en sentido

"transversal" a la línea, tanto mayor

cuanto más elevada es la tensión de

servicio. Para una determinada

configuración geométrica y una línea

de longitud “l”.

Se deduce entonces que si bien el "efecto de capacidad" existirá siempre como término

geométrico, será tanto más importante cuanto más elevada sea la tensión y/o mayor sea

el coeficiente de capacidad de servicio y la longitud de la línea. Resulta evidente que

dichas corrientes de pérdidas sólo serán importantes en redes de alta tensión y/o con

coeficientes de capacidad elevados en líneas largas.

2.3.1.- Caso de Cables aislados

La Fig. 2.1.-, nos puede inducir a pensar que el efecto de capacidad solo se considera

en las líneas aéreas. Nada más lejos de la realidad, puesto que para las líneas con

conductores aislados, los coeficientes de capacidad tienen valores superiores a los que

resultarían de un tendido aéreo con conductores desnudos, separados a la distancia

apropiada.

Armadura y Cubierta de protección

Conductor

Aislamiento

Pantalla

Fig.2.2.‐ Configuración básica de un cable aislado

fase

referencia de tensiones

dx

+

-



En la Fig. 2.2.-, se muestran las secciones transversales de conductores aislados típicos

de alta tensión: tripolar y unipolar.

Campo eléctrico.

En un cable unipolar, el campo eléctrico existente entre el conductor y la envoltura

metálica o pantalla es de tipo radial. Lo mismo puede decirse en el caso de cables

multipolares, donde cada uno de los conductores está rodeado por una envoltura

metálica o pantalla individualmente. En este caso, en la zona del cable que queda entre

los diferentes conductores el campo eléctrico será nulo. Sin embargo, existen cables de

tipo multipolar con una única envoltura metálica o pantalla, que recubre a todos los

conductores al mismo tiempo. En estos cables el campo eléctrico ya no es radial y las

líneas del campo presentan formas irregulares, en consecuencia, los materiales de

relleno entre los diferentes conductores están sometidos a esfuerzos dieléctricos, para

los que están menos preparados. Esto limita la utilización de este tipo de cables a

tensiones más reducidas «15 kV).

En el caso de campo eléctrico radial es fácil llegar a una expresión sencilla para

evaluar la capacidad por unidad de longitud de dicho cable aislado

C2πε

ln Rr

F m (2.3)

donde

= 0 r es la constante dieléctrica del aislante en cuestión, con r la

permitividad relativa del aislante (un valor que depende del material entre 2,34) y

10 la constante dieléctrica del vacío.

y siendo r el radio interior de la capa aislante y R el radio exterior de dicha capa.

El estudio del campo eléctrico en un cable tripolar con una única carcasa metálica o

pantalla no es tan sencillo como el caso anterior. Como ya se ha dicho, en estas

condiciones el campo no es radial con lo que el estudio se complica enormemente. Por

ello, en este tipo de cables es conveniente obtener las diferentes capacidades a partir de

medidas directas en diferentes ensayos. En este caso, se distinguen seis capacidades

entre los conductores y la pantalla, tal y como se muestra en la Fig.2.3.-

En estas circunstancias, la capacidad a neutro para cada conductor o capacidad por

fase será

3



En resumen, de lo anterior, y además, podemos extraer las siguientes conclusiones:

1.- Que el efecto de capacidad se encuentra uniformemente repartido a lo largo de las

líneas, ya sean éstas aéreas o subterráneas (más importante en estas últimas) y que,

como consecuencia, admitirá un tratamiento como circuito eléctrico a base de

condensadores uniformemente repartidos a lo largo de las líneas.

2.- Los coeficientes de capacidad son tanto más elevados cuanto mayor es la longitud

de la línea y menor es la distancia entre conductores; serán más importantes en las

líneas con cables aislados que en las aéreas con cables desnudos.

3.- El efecto de capacidad da lugar a unas corrientes de fuga transversales, que serán

tanto más importantes cuanto mayor sean la tensión de la línea y/o más elevados los

coeficientes de capacidad. Será, por tanto más importante en AT y en redes con

cables aislados.

4.- El efecto capacidad será, por tanto, despreciable en líneas de baja tensión y en

algunas líneas aéreas cortas de alta tensión con cables desnudos.

Para profundizar sobre el tema pueden consultarse las referencias [Expósito],

[Barrero], [Simón] y [del Alamo].

2.4. Conductancia. Pérdidas de aislamiento y efecto corona

Además de la pérdidas longitudinales asociadas a la resistencia, al efecto inductivo y

capacitivo en las líneas eléctricas, pueden existir corrientes de fuga a través de los

aisladores y del aíre que originen pérdidas transversales. Estas pérdidas

fundamentalmente son debidas a la conductancia de los aislamientos y al efecto

corona.

Sobre la Fig.2.4.-, se ha dibujado una representación de un elemento de circuito a que

da lugar la presencia de esta conductancia transversal sobre las líneas de transmisión

C1

C2

C1 C1

C2

C2

C1

3C2

C1 C13C2

3C2

Fig.2.3.‐ Efecto de capacidad en un cable subterráneo de campo no radial



de energía eléctrica, para una frecuencia dada. Esta representación es válida tanto para

líneas aéreas con conductores desnudos, como para líneas con conductores aislados

subterráneos o no.

La presencia de la conductancia transversal da lugar a una corriente de pérdidas que

existirá siempre aunque no haya carga receptora alguna derivada del sistema, o de la

línea. Esta corriente de carga, para una línea de longitud "l", vendrá dada por la

expresión:

Conductancia de aislamiento

En los cables subterráneos el aislamiento no es perfecto lo

que motiva unas fugas de corriente por unidad de longitud.

En las líneas aéreas, los elementos que realizan la tarea de

unir los conductores de la línea a sus apoyos, manteniéndolos

al mismo tiempo eléctricamente separados, son los aisladores.

Si los aisladores fuesen ideales, su resistencia eléctrica sería

infinita y no sería posible el paso de corriente a través de

ellos. Sin embargo, la resistencia de aislamiento, aunque muy elevada, tiene en

realidad un valor finito y, por tanto, existirá una cierta circulación de intensidad entre

los conductores y tierra.

En cualquier caso, dicha resistencia de aislamiento se suele expresar en forma de una

conductancia de valor:

donde Ip es la intensidad de fuga y V la tensión entre el conductor y tierra.

fase

referencia de tensiones

dx

+

-

Fig.2.4.‐ Conductancia transversal

conductor

herraje

aislador



Esta intensidad de fuga está en fase con la tensión y por tanto provoca pérdidas de

potencia activa definidas por:

La conductancia de aislamiento varía mucho en función de factores tales como la

humedad del ambiente, la suciedad de los aisladores, el número de ellos, etc., y por

tanto, difícil de determinar siendo en la mayoría de los casos despreciable.

Como idea de órdenes de magnitud pueden ser útiles en líneas aéreas y para tensiones

superiores a los 120 kV los datos siguientes:

• ambiente seco, Gu = 1 10 10-8 S / km por fase

• ambiente húmedo, hasta 30·10-8 S / km por fase.

Efecto Corona

El efecto corona que consiste en la ionización del aire que rodea a los conductores de

una línea de alta tensión.

Este fenómeno se produce cuando un conductor adquiere un potencial en su superficie

lo suficientemente elevado, como para que el gradiente de tensión entre este y el aíre

de su entorno supere el valor de la rigidez dieléctrica del aire. Si los conductores están

próximos entre sí, podría establecerse un arco entre ellos con el consiguiente defecto

de aislamiento, pero si las distancias son elevadas, como ocurre en el caso de líneas

aéreas, es difícil que llegue a producirse, y en ese caso la descarga tiene lugar sólo en

las proximidades de cada conductor.

El efecto corona se manifiesta en forma de crepitación sonora que se traduce en un

zumbido como el de una abeja y, bajo determinadas condiciones puede llegar a ser

visible en la oscuridad.

Se denomina tensión crítica disruptiva o umbral a la tensión en que se inicia el

fenómeno y se corresponde con aquella en la que el gradiente en la superficie del

conductor iguala a la rigidez dieléctrica del aire (el campo eléctrico crítico equivale a

una tensión eficaz de 21 kV/cm en condiciones normales de presión y temperatura). El

fenómeno se hace visible cuando la tensión alcanza la denominada tensión crítica

visual, apareciendo una tenue corona violacea (blanco-azulada) que rodea al

conductor, acompañada de formación de ozono.

Consecuencias desfavorables de este fenómeno son, además de las pérdidas

transversales, las perturbaciones radioeléctricas a que da lugar.



En lo que respecta al diseño de las líneas de transmisión, resulta antieconómico

proyectarlas de tal forma que se elimine el efecto corona en cualquier circunstancia.

Sin embargo, es preciso limitar su nivel para evitar excesivas pérdidas y

perturbaciones. Es importante poner de relieve que, para líneas a muy altas tensiones,

el efecto corona puede constituir el factor determinante de la sección de los

conductores.

Una forma de reducir en la práctica las consecuencias del efecto corona es utilizar

haces de conductores. En efecto, si se analiza el caso de una línea trifásica con un

único conductor por fase, podemos obtener el valor del campo eléctrico en la

superficie de cada conductor (de radio r), considerando únicamente la carga propia de

cada uno y, por tanto, despreciando el efecto de los demás, según:

donde C es la capacidad por fase de la línea, V el valor de la tensión de fase y

10 la constante dieléctrica del vacío.

Si la línea tiene sus fases constituidas por dos o más conductores agrupados en haces,

el campo eléctrico en cada conductor es menor, si tenemos en cuenta que la carga de

cada fase se reparte entre ellos. En una agrupación de dos conductores (dúplex)

separados una distancia d=2R (pequeña en comparación con la distancia entre distintas

fases), el valor máximo del campo eléctrico en cada uno será la resultante de los

campos debidos a ambos:

Teniendo en cuenta que r « 2R se observa como el campo eléctrico para una

agrupación dúplex es prácticamente la mitad que para un conductor solo. Similar

desarrollo podría hacerse para tres o más conductores obteniéndose mayores

reducciones del campo eléctrico y, por tanto, del efecto corona.

/22

/22 2

22

12

R

r

r



Igual que las pérdidas por conductancia de aislamiento, las pérdidas por efecto corona

son de potencia activa, muy variables y dependen principalmente de factores tales

como:

(a) la disposición relativa de los conductores y de sus diámetros;

(b) la tensión y la frecuencia;

(c) la naturaleza de las superficies de los conductores y su estado;

(d) las condiciones atmosféricas (presión, temperatura, humedad ... ).

Los factores mencionados en (c) y (d) son difíciles de predecir, por lo que, al igual que

las pérdidas por conductancia de aislamiento, no suelen tenerse en cuenta en los

estudios analíticos de los sistemas de energía eléctrica por tal motivo, así como por su

escasa importancia relativa

F. W. Peek, ingeniero de la compañía General Electric, allá por el año 1910 propuso

unas fórmulas de utilidad práctica, contrastadas experimentalmente, entre otras:

24425 10 /

donde: f es la frecuencia, en Hz; r es el radio del conductor, en cm; D es la distancia media geométrica entre fases, en cm; U es la tensión nominal fase-neutro, en kV; Uc es la tensión crítica fase-neutro de la línea, en kV.

δ-densidad relativa del aire ,

con h la presión relativa (altura) en cm de

Hg y es la temperatura en ºC

Suele ser práctica común elegir un tamaño de conductor que, para la tensión nominal

de trabajo y tiempo seco, corresponda a unas pérdidas máximas por efecto corona de 1

kW /km para las tres fases, en zonas despobladas, y de 0,1 kW /km en el caso de líneas

que atraviesan zonas habitadas.

La conductancia por fase y por km asociada a estas pérdidas será:

/

y la conductancia total en siemens

· º · í




A modo de ejemplo, en la tabla 3.1, se proporcionan algunos valores típicos de los

parámetros de configuraciones de líneas eléctricas reales.

Reactancia

Inductiva (Ω/km)

Relación R/X Capacidad fase neutro (nF/km) [AT] [MT] [BT]

Líneas aéreas 0,3 0,4 0,1 0,3 1,2 2,7 8 15

Cables aislados 0,1 0,15 0,7 2 3 5,8 200 350

Nota: [BT]: 0,4 kV; [MT]: 20 kV, [AT]: 220 400 kV Fuente: [Barrero]

Tabla 3.1.‐ Valores típicos de parámetros de líneas eléctricas

4. Modelos de líneas eléctricas en régimen estacionario sinusoidal

El funcionamiento de una línea eléctrica viene caracterizado por los cuatro parámetros

fundamentales ya definidos en apartados anteriores y que se encuentran distribuidos a

lo largo de toda su longitud, esto es: resistencia, inductancia, capacidad y

conductancia. Los dos parámetros serie (resistencia e inductancia) constituyen la

denominada impedancia serie de la línea. Asimismo, los parámetros paralelo

(capacidad y conductancia) constituyen la denominada admitancia transversal.

En este apartado se considerará que las líneas trifásicas son equilibradas, lo que nos

permite analizarlas mediante un circuito monofásico equivalente más simple. Para ello,

se utilizarán esos parámetros distribuidos para construir un modelo general, por fase,

para el régimen permanente senoidal y obtener las expresiones que permiten calcular

la tensión y la intensidad en un punto cualquiera de la línea, supuestos conocidos los

valores en otro punto de la misma, normalmente el extremo receptor.

La consideración de pérdidas nulas lleva a un modelo simplificado respecto del

anterior, aunque manteniendo el carácter distribuido de los parámetros, que permite

apreciar mejor ciertas características de su comportamiento eléctrico.

La consideración de la longitud de la línea lleva, para el caso de menores longitudes

relativas, a modelos aún más simplificados de los que desaparece el carácter

distribuido de los parámetros; son los modelos denominados línea media y línea corta,

frente al modelo exacto general de línea larga.



4.1. Modelo general exacto de parámetros distribuidos. Circuitos equivalentes

Con carácter general, consideremos una de las fases de una línea trifásica de longitud l

entre dos nudos 1 (emisor o principio de línea) y 2 (receptor o final de línea).

Aislemos un elemento Δx de la misma situado a una distancia x medida desde el final

de la línea (punto 2) (Fig. 4.1).

Eléctricamente, en el domino del tiempo, este elemento diferencial de línea vendrá

caracterizado por una impedancia serie y una admitancia transversal donde Ru , Lu , Gu

y Cu , son respectivamente, los parámetros resistencia, inductancia, conductancia y

capacidad por unidad de longitud.

Aplicando las leyes de Kirchhoff y los modelos matemáticos de los componentes

individuales podemos escribir:

∆ , , ∆ , ∆ ,

∆ , , ∆ ∆ , ∆ ∆ ,

Dividiendo por Δx y haciendo el lim∆ podemos escribir:

lim∆

∆ , ,∆

lim∆

, ,

lim∆

∆ , ,∆

lim∆

∆ , ∆ ,

y en definitiva

,, (4.1)

,, (4.2)

2

Fig.4.1.‐ Elemento diferencial de una línea con parámetros distribuidos

1 ∆ ,

,

∆ ∆

∆ ∆

,

+

-

+

-

∆

∆

∆ ,



Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se denominan ecuaciones generales de transmisión.

Estas ecuaciones pueden expresarse de forma desacoplada. Para ello

De (4.1) , , ,

Como de (4.2) , , ,

sustituyendo se llega a

,,

, , (4.3)

Y análogamente

,,

, , (4.4)

Las ecuaciones (4.3) y (4.4) suelen denominarse ecuaciones de ondas.

En líneas trifásicas simétricas funcionando en régimen estacionario senoidal,

usaremos el circuito monofásico equivalente y pasaremos de estas variables en función

del tiempo a sus fasores y de las derivadas parciales a derivadas totales. Así:

Dado que los parámetros característicos de una línea eléctrica se encuentran

uniformemente distribuidos a lo largo de toda su longitud, una representación

adecuada de la línea debería estar constituida por una sucesión de infinitos elementos

de longitud dx, como se muestra en la Fig. 4.2

2

Fig.4.2.‐ Circuito equivalente monofásico de una línea con parámetros distribuidos

+ +

- -

1

+

-

+

-

e(x,t)

i(x,t) (x)



En estas condiciones las ecuaciones (4.1) y (4.2) se traducen directamente en las

ecuaciones siguientes teniendo en cuenta que en el campo complejo:

(4.5)

(4.6)

Son las ecuaciones generales de transmisión en el dominio complejo

Los números complejos

y representaran,

respectivamente, a la impedancia serie y a la admitancia paralelo por unidad de

longitud.

Al igual que antes, las ecuaciones (4.5) y (4.6) pueden escribirse de forma

desacoplada, derivando y sustituyendo una en otra, como:

(4.7)

(4.8)

Se corresponden con las ecuaciones de ondas en el campo complejo y donde γ

Z Y (con dimensiones de m-1) es la llamada constante de propagación que, en

general, es un número complejo, γ α jβ. La parte real se conoce como constante

de atenuación y la parte imaginaria como constante de fase o distorsión.

Por tanto, el comportamiento de la línea queda definido por las dos ecuaciones

diferenciales lineales (4.5 y 4.6) o por las ecuaciones (4.7 y 4.8).

La ecuación (4.7) es una ecuación diferencial lineal, homogénea de segundo orden

cuya solución será de la forma:

Donde son constantes de integración.

Esta ecuación deberá verificar tanto la ecuación diferencial (4.7) como la (4.5), por

esto último, podremos escribir:



De donde despejando

/

donde es la llamada impedancia característica o natural de

la línea, llamada así porque depende de características de las líneas.

Las constantes de integración se obtienen a partir de las condiciones de

contorno. En efecto en x=0 se verifica que

0

0

Y además en x=0

Despejando

2

2

Y en definitiva

2 2 (4.9)

2 2(4.10)

Estas ecuaciones nos proporcionan los valores de la tensión y la intensidad en un punto

de la línea a una distancia “x” del final de la misma, y en función de los valores de

tensión e intensidad en dicho extremo.

Como · , y · ,

El término cambia (aumenta o disminuye respectivamente) en magnitud

conforme x cambia,



El término siempre tiene como magnitud la unidad y origina un adelanto o

retraso de fase de radianes por unidad de longitud de la línea. De aquí, el nombre de

los coeficientes α y .

Interpretación en el dominio del tiempo

La ecuación (4.9)

2 2

Se puede escribir como

2 2

Donde

En el dominio del tiempo la tensión y se puede escribir como

√22

√22

Esta tensión instantánea consta de dos términos cada uno de los cuales es una función

de dos variables: el tiempo y la distancia. Por lo tanto, representan dos ondas viajeras,

es decir

Ahora

√22

cos

En cualquier instante del tiempo t, se distribuye senoidalmente a lo largo de la

distancia del extremo receptor con una amplitud que crece exponencialmente con la

distancia, como se muestra en la Fig. 4.3 (>0 para una línea que tenga resistencia).



Después de un tiempo Δt, la distribución avanza una distancia (Δx = - wΔt/). Así, esta

onda viaja hacia el extremo receptor a una ∆

∆ y se denomina onda

incidente.

Las pérdidas en la línea hacen que su amplitud disminuya exponencialmente al ir del

extremo emisor al extremo receptor.

Ahora

√22

cos

Después del tiempo Δt la distribución de tensión se retrasa una distancia en (Δx =

wΔt/). Ésta es la onda reflejada que viaja del extremo receptor al extremo emisor

con una a una ∆

∆ y una amplitud que decrece exponencialmente al ir

del extremo receptor al emisor, como se muestra en la Fig. 4.4.

0

Extremo de la línea

En el instante “t”

∆∆

∆

Dirección de la onda

En el instante “t+Δt”

Fig.4.3.‐ Onda móvil incidente

Origen de la línea



En cualquier punto a lo largo de la línea, la tensión es la suma de las ondas de tensión

incidente y reflejada presentes en el punto que se propagan a la misma velocidad y en

sentido contrario. Lo mismo ocurre para las ondas de corriente.

Si reagrupamos los términos de las ecuaciones (4.9) y (4.10) tendremos:

2 2

12 2

y al reconocer en ellas las funciones hiperbólicas de cosh y senh, obtenemos las

ecuación matricial (4.11) que nos permite obtener la tensión y la intensidad en

cualquier punto de la línea, en función de los fasores tensión e intensidad en el

extremo receptor.

cosh1

cosh (4.11)

En el caso particular de x = l, las ecuaciones anteriores representan las relaciones entre

las variables eléctricas tensión e intensidad en los terminales 1-2 de la línea, esto es:

0

∆∆

∆

Dirección de la onda

Origen de la línea

Extremo de la línea

En el instante “t”

En el instante “t+Δt”

Fig.4.4.‐ Onda móvil reflejada



cosh1

cosh (4.12)

La línea como cuadripolo

Las ecuaciones (4.12) anteriores pueden ser vistas como la relación matricial entre las

variables eléctricas de entrada y salida de un cuadripolo en la forma de parámetros de

transmisión ABCD.

Esto es, la línea se comporta como un cuadripolo pasivo y simétrico, donde:

cosh

1

2

Fig.4.5.‐ Cuadripolo equivalente a una línea con parámetros distribuidos

+ +

--

1



Circuito equivalente en

Para obtener los parámetros del circuito equivalente en no hay más que escribir las

ecuaciones que relacionan las variables de entrada y salida en el mismo e identificar

coeficientes.

Así, utilizando la técnica de cuadripolos en cascada, para el circuito de la Fig. 4.6, las

ecuaciones que relacionan las variables eléctricas de entrada en función de las de

salida son:

1 01

10 1

1 01

(4.13)

y en definitiva

1

2 1(4.14)

comparando con (4.12): cosh

cosh

y teniendo en cuenta que

resulta que:

1

2 (4.15)

Expresiones que se pueden reescribir como

(4.16)

/2 2

/2 2

2

/2 2

2

/2

Con Z R jwL Ω y Y G jwC S

Fig.4.6.‐Circuito equivalente en de una línea con parámetros distribuidos

+ +

--

1 2



Circuito equivalente en T

Para obtener los parámetros del circuito equivalente en T no hay más que escribir las

ecuaciones que relacionan las variables de entrada y salida en el mismo e identificar

coeficientes.

Así, utilizando la técnica de cuadripolos en cascada, para el circuito de la Fig. 4.7, las

ecuaciones que relacionan las variables eléctricas de entrada en función de las de

salida son:

10 1

1 01

10 1

(4.17)

y en definitiva

1 2

1(4.18)

comparando con (4.12): cosh

cosh

y teniendo en cuenta que

resulta que:

2 (4.19)

Expresiones que se pueden reescribir como

(4.20)

/22

/2 2

2

/2 2

2

/2

Con Z R jwL Ω y Y G jwC S

+

‐

+

‐

1 2

Fig.4.7.‐Circuito equivalente en T de una línea con parámetros distribuidos



4.2. Líneas sin pérdidas (ideales)

En las líneas de transporte la resistencia serie es mucho menor que la inductancia serie

y la conductancia paralelo es siempre despreciable. Por tanto, en el nivel de transporte,

en las aplicaciones del modelo de la línea, se suelen despreciar las pérdidas, con lo que

el modelo es más simple.

En efecto, en una línea sin pérdidas será

Ru = Gu =0

y por tanto

,

y ,

y en consecuencia

· · ,

y · · ,

siendo · la inductancia total de la línea y · la capacidad total.

Con lo que la impedancia característica y la constante de propagación de la línea son:

Z / YLC

γ Z Y j L C jβ

Observese que es un número real y γ un imaginario puro (atenuación nula).

En las líneas aéreas de transporte de energía en España, la impedancia característica

oscila entre 300 y 400 . Para líneas subterráneas su impedancia característica es del

orden el 10% del valor de las aéreas.

Las ecuaciones para el cálculo de la tensión y la intensidad del modelo general quedan

ahora de la siguiente manera, sin mas que tener en cuenta que:

cosh /2 cos

senh /2 sen

cos1

cos (4.21)

De acuerdo con estas ecuaciones, los módulos de las tensiones y de las intensidades a

lo largo de la línea varían senoidalmente.



Longitud de onda

Esta variación senoidal da pie a definir el concepto de longitud de onda () como la

distancia de la línea correspondiente a un ciclo completo (360º ó 2 radianes); es decir

a un período.

Analíticamente será tal que

2 es decir 2 con lo que L C L C

La velocidad de propagación de la onda en km/seg será el producto de la longitud de

onda en km por la frecuencia en Hz; es decir

11

L C √LC

Obviamente coincide, en módulo, con la velocidad de propagación de las ondas

incidentes y reflejadas vistas anteriormente (v = w/)

Para líneas de potencia a 50 Hz, la longitud de onda está en torno a 6.000 km y la

velocidad de propagación es muy cercana a la velocidad de la luz en el aíre ( 3 105

km/seg). En la práctica, sólo unas pocas líneas en el mundo superan /10 (600 km); es

decir su longitud es una pequeña parte de la longitud de onda.

La línea ideal como cuadripolo

Sustituyendo x por l en las ecuaciones (4.21) obtendremos las relaciones entre las

tensiones e intensidades al principio de la línea en función de sus valores al final de la

misma:

cos1

cos (4.22)

Estas ecuaciones pueden interpretarse como la relación matricial entre las variables

eléctricas de entrada y salida de un cuadripolo en la forma de parámetros de

transmisión ABCD.

2

Fig.4.8.‐ Cuadripolo equivalente a una línea sin pérdidas

+ +

--

1



Esto es, la línea se comporta como un cuadripolo pasivo y simétrico, donde ahora:

cos son nos reales

son imaginarios puros 1

Circuito equivalente en de la línea ideal

De la misma forma que hacíamos en el caso general; para la línea sin pérdidas

podemos obtener los parámetros del circuito equivalente en sin más que comparar

las ecuaciones (4.14), adaptadas al cuadripolo de la Fig. 4.9, con las (4.22); es decir:

1

2 1(4.23)

cos1

cos(4.22)

Entonces podemos escribir directamente que:

1 1 cos 1

2 (4.24)

Obsérvese que para ; es decir /2 , la impedancia serie del cuadripolo en

es inductiva pura y la admitancia paralelo capacitiva pura: Si la longitud de la línea

supera ese valor, la impedancia pasa a ser capacitiva y la admitancia inductiva.

Estas expresiones se pueden reescribir como:

(4.25)

+ +

--

1 2

′

′

Fig.4.9.‐Circuito equivalente en de una línea sin pérdidas

′



/2 2

/2 2

2

/2 2

2

/2

Con y

Circuito equivalente en T de la línea ideal

De la misma forma que hacíamos en el caso general; para la línea sin pérdidas

podemos obtener los parámetros del circuito equivalente en T sin más que comparar

las ecuaciones (4.18) adaptadas al cuadripolo de la Fig. 4.10, con las (4.22); es decir:

1

2 1(4.26)

cos1

cos(4.22)

Entonces podemos escribir directamente que:

2 (4.27)

Estas expresiones se pueden reescribir como:

(4.28)

/22

/2 2

2

/2 2

2

/2

Con y

+

‐

+

‐

1

1’ 2’

2

Fig.4.10.‐Circuito equivalente en T de una línea sin pérdidas

′′′



Para análisis rápidos y resultados aproximados se recomienda utilizar el modelo sin pérdidas, dejando el modelo exacto para análisis más precisos por computadora.

4.3. Modelos simplificados

Antes de abordar este apartado, resumiremos aquí el modelo exacto de transmisión de

parámetros distribuidos de una línea eléctrica y sus circuitos equivalentes en y T,

desarrollados en el apartado anterior.

LÍNEA REAL Ecuaciones generales exactas de transmisión

cosh 1

cosh

Con γ Z Y

Z / Y Ω

Siendo

Equivalente en Equivalente en T

12 2

2

/2

2 2

2

/2

Con Ω

Y G C S

Con Ω

Y G C S

1

2 1

1 2

1

+

‐

+

‐

1

1’ 2’

2

+ +

--

1 2



LÍNEA IDEAL(Sin pérdidas) Ecuaciones generales exactas de transmisión

cos 1

cos

L

C

β L C

Equivalente en Equivalente en T

12 2

2

/2

Con Ω y C S

2 2

2

/2

Con Ω y C S

1

2 1

1 2

1

Modelos en y en T nominal

Para longitudes de línea relativamente pequeñas (γl 1), es razonable admitir ciertas

simplificaciones respecto del modelo general exacto, como consecuencia de que para

valores pequeños de se cumplen las aproximaciones siguientes:

2 2

(4.29)

Con γl 1, se puede despreciar el efecto de parámetros distribuidos, considerando

sólo circuitos de parámetros concentrados. A estos modelos se les denomina circuitos

nominales en y en T. Así, las ecuaciones (4.14) y las (4.16), para el circuito en y

las (4.18) y (4.20) para el correspondiente en T, con esta simplificación, dan lugar a

los siguientes modelos:

+

‐

+

‐

1

1’ 2’

2

′′′

+ +

--

1 2 ′

′ ′

Con



LÍNEA REAL

Modelo de línea en nominal Modelo de línea en T nominal

2

2

Con Ω y Y G C S Con Ω y Y G C S

1 2

22

21

2

1

2 22

2

1 2

(4.30) (4.31) El caso particular de una línea ideal (sin pérdidas) se traducirá en que R = G = 0, con

lo que los anteriores modelos se transformaran en los siguientes:

LÍNEA IDEAL(Sin pérdidas)

Modelo de línea ideal en nominal Modelo de línea ideal en T nominal

2

C2

2

L2

C

1 2

22

21

2

1

2 22

2

1 2

(4.32) (4.33)

+

‐

+

‐

1

1’ 2’

2

2

2

+ +

--

1 2

2 2

+

‐

+

‐

1

1’ 2’

2

2

2

+ +

--

1 2

2 2



Dipolo Pasivo

Habrá escenarios en los que la longitud de las líneas sea pequeña y/o la tensión

nominal de servicio sea baja. En esas circunstancias podrá considerarse despreciable la

capacidad y la conductancia paralelo de la línea. Por tanto, Y 0 mientras que

Z R jwL. En dichos supuestos el modelo de línea se transforma en un simple

Dipolo Pasivo cuyo circuito equivalente podemos ver en la Fig.4.11.

LÍNEA REAL

Ecuaciones de Transmisión

10 1

(4.34)

En el caso particular de poder considerar la línea como ideal (sin pérdidas), el

modelo queda reducido a una reactancia serie jwL.

LÍNEA IDEAL (Sin pérdidas)

Ecuaciones de Transmisión

10 1

(4.35)

Recuérdese que la resistencia puede despreciarse en líneas de transporte donde la

relación R/X es muy pequeña, por ello, este modelo es utilizado en cierto tipo de

análisis de redes de transporte con muchos nudos, que requieren cálculos con

moderado requerimiento de precisión y elevada rapidez.

Aplicabilidad

Con carácter general, en función de la longitud de la línea, puede establecerse el

siguiente criterio de aplicabilidad de los modelos obtenidos. Por supuesto que los

valores de longitudes que determinan esta clasificación son orientativos.

+ +

--

1 2

Fig.5.12.‐ Circuito equivalente de una

línea ideal como dipolo pasivo

′

+ +

--

1 2

Fig.5.11.‐Circuito equivalente de una

línea como dipolo pasivo



Modelo Línea Aérea Subterránea

Línea larga Modelo exacto l > 250300 km l > 1015 km

Línea media Circuitos

nominales en y T 80100 km < l < 250300 km 2 km < l < 1015 k

Línea corta Dipolo pasivo l < 80100 km l < 2 km

Fuente: [Simón] Tabla 4.1.‐ Valores típicos de longitudes de línea

5. Caída de tensión

Se define la caída de tensión como la diferencia de los módulos de las tensiones entre

los extremos de una línea. Normalmente, suele expresarse en porcentaje respecto de la

tensión nominal de la línea. En términos de tensiones compuestas será:

∆ · 100 (5.1)

En AT, en la Tabla siguiente se han recogido los valores de las Tensiones nominales

normalizadas según ITC-LAT-06 y 07, así como la máxima caída de tensión

permitida.

Tensión nominal de la red: Vn(kV)

Tensión más elevada de la red: Vs(kV)

Caída de tensión %:

3 3,6 20%

6 7,2 20%

10 12 20%

15 17,5 17%

20* 24 20%

25 30 20%

30 36 20%

45 52 16%

66* 72,5 10%

110 123 12%

132* 145 10%

150 170 13%

220* 245 11%

400* 420 5%

(*) Tensiones de uso preferente en redes eléctricas de transporte y distribución.



En la práctica, es habitual utilizar un coeficiente de seguridad en el diseño de las líneas

eléctricas y proyectarlas para una caída de tensión del 5%.

Influencia del factor de potencia

Si analizamos una línea a través de su modelo como dipolo pasivo, tendremos los

siguientes casos

θθ

RI

XI

Caso de carga inductiva

Caso de carga resistiva

RI

XI

0

+ +

--

1 2

Fig.5.1.‐ Circuito equivalente de una línea

como dipolo pasivo

′

carga



En la gráfica siguiente podemos ver la variación de la caída de tensión en una línea, en

función del factor de potencia de la carga y de la longitud de la línea en km.

El ejemplo se ha desarrollado para una carga inductiva de 400 MW en una línea con

0,035 /km de resistencia longitudinal, 0,3 /km de reactancia longitudinal, 3,1410-6

(/km)-1 de susceptancia capacitiva y una tensión final de línea de 400 kV entre fases.

La caída de tensión mejora con el factor de potencia para una carga inductiva. La componente reactiva de la carga tiene mucha influencia en la caída de tensión.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0 50 100 150 200 250 300 350 400

caída de tensión en %

longitud en km

fdp=1 fdp=0,95

fdp=0,90 fdp=0,85

fdp=0,80

Zona de tensiones no admisibles

reglamentariamente

θ θ

RI

XI

Caso de carga capacitiva (Efecto Ferranti)

caída de tensión negativa (sobretensión)

Fig.5.2.‐Influencia del factor de potencia




Los modelos circuitales serán los correspondientes de las impedancias/admitancias que

las definan y se corresponderán con los modelos matemáticos transformados a valores

p.u.

Los modelos matemáticos se transformarán a modelos en valores p.u., simplemente

dividiendo las variables reales por los valores base correspondientes, o bien, utilizando

la siguiente técnica:

Ω

. . Ω . . . . Ω . .

. . . . p. u. . .

7. Las Cargas

Puesto que las líneas eléctricas son las encargadas de transportar la energía eléctrica

desde los centros de producción a los puntos de consumo, necesitaremos también

analizar las cargas como componentes de un sistema eléctrico de potencia.

Las cargas se encuentran en los nudos de esa red y pueden ser grandes consumidores

(por ejemplo, una gran industria) o, en la mayoría de los casos, son otras redes

eléctricas de distribución, de menor tensión, que van llevando esa energía eléctrica al

resto de consumidores más pequeños.

Aunque en general las cargas evolucionan en el tiempo, consideraremos, siempre que

no se diga lo contrario, el régimen permanente por lo que se admitirá que las cargas no

varían en el tiempo.

En cuanto a su representación dentro del sistema, se distinguen tres tipos de cargas

(Figura 7.1.-):

2

X R

2

I

2

P+jQ

Fig.7.1.‐ Representación de las cargas: (a) de impedancia constante, (b) de potencia constante y (c) de intensidad constante.

(a) (b) (c)



− Cargas de impedancia constante. Son cargas estáticas cuya impedancia, como indica

su nombre, es constante y, por lo tanto, la potencia que consumen depende de la

tensión que haya en cada instante en el nudo en el que están conectadas. Ejemplo de

este tipo de cargas son las baterías de condensadores o de inductancias. Estas cargas se

definen por el valor de su impedancia por fase y se representan mediante los valores

correspondientes de R y X en paralelo, tal y como se recoge en la Fig. 4.1.a (es más

útil esta representación que la de la rama equivalente serie, con R y X en serie, como

se verá más adelante a la hora de construir la matriz de admitancias de nudo en el

análisis de flujos de carga).

− Cargas de potencia constante. Son cargas cuyos valores especificados de P y Q

consumidos son constantes, independientemente de la tensión que exista en cada

momento en el nudo en el que están conectadas. Por este motivo no pueden

representarse mediante una impedancia o una fuente, así que se hace mediante una

flecha indicando los valores de P y Q correspondientes (Fig. 4.1.b). Este tipo de cargas

son las más frecuentes en los sistemas eléctricos de potencia; por ejemplo, se

comportan como cargas de este tipo los grandes consumidores, los motores eléctricos

y otras redes de distribución a menor tensión.

− Cargas de intensidad constante. Este tipo de cargas son bastante escasas y se

caracterizan por presentar una intensidad I consumida constante e independiente de la tensión que exista en cada momento en el nudo en el que están conectadas. Se representan mediante una fuente de intensidad I (Fig. 4.1.c).

Modelo en valores p.u.

Modelo de impedancias

. .Ω Ω Ω

. . . .

Modelo de potencias

. .W

. .VAr

Modelos matemáticos a modo de ejemplo

Ω . . p. u. . .

3 . .33

. . . .


Las máquinas eléctricas en los S.E.E. 49 de 77

Sección C.- LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS EN LOS SISTEMAS DE

ENERGÍA ELÉCTRICA.

1. Introducción

2. El generador síncrono. Modelo en valores por unidad (p.u.)



5. Análisis en valores p.u. de sistemas eléctricos de potencia. Protocolo de

actuación

6. Transformador de tres devanados Modelo en valores por unidad (p.u.)

7. Transformadores de regulación. Modelos en valores por unidad ( p.u.)

1. Introducción

Suponiendo régimen estacionario equilibrado, en este capítulo se aborda el estudio de

los modelos de el generador síncrono y los transformadores de potencia.

El generador síncrono es el encargado de transformar la energía mecánica

proporcionada por una turbina en energía eléctrica

Los transformadores permiten el trasvase de potencias entre partes de un sistema de

energía eléctrica a diferentes niveles de tensión

2. El generador Síncrono

Básicamente, el principio de funcionamiento del generador síncrono, también

conocido como alternador, es muy simple: la inyección de una intensidad constante en

una bobina instalada en el rotor, induce un sistema de tensiones equilibradas en las

bobinas del estator. (Fig.2.1.-).

N

S

+

+

+

‐

‐

‐

V1

V2 V3

120º 120º

120º

ω

estator

rotor

Fig.2.1.‐ Esquema de funcionamiento de un generador síncrono y tensiones inducidas

120º 120º

V1 V2 V3 E0

2


50 de 77. Las máquinas eléctricas en los S.E.E.

En la Fig.2.2.- se ha representado el modelo de generador como fuente trifásica y el

circuito monofásico equivalente con su modelo matemático, donde R representa la

resistencia de las bobinas del rotor y del estator y, Xs la reactancia de las mismas,

incluyendo la reactancia de dispersión y la reacción del inducido.

Tecnológicamente hay dos tipos de generadores síncronos (Fig.2.3.-). El esquema de

la Fig. a) se conoce con el nombre de rotor liso al ser éste perfectamente cilíndrico,

siendo utilizado en turbomáquinas de alta velocidad de giro características de centrales

térmicas con turbinas de vapor o gas. En centrales hidráulicas, se utilizan normalmente

generadores de rotor de polos salientes (Fig. b) a velocidades más bajas y, por tanto,

de más de dos polos

El circuito monofásico equivalente de la Fig.2.2.- se corresponde con un alternador de

rotor liso.

El generador de rotor de polos salientes no tiene un circuito equivalente, pero puede

asumirse el mismo considerando que Xs = (Xd + Xq)/2

Los parámetros característicos de los generadores síncronos dependen en gran medida

de su potencia nominal y de su velocidad de giro. La tabla siguiente muestra los

valores típicos y su rango de variación (expresados en valores p.u. respecto a la propia

N

S

a) b)

Fig.2.3.‐ Tipos de generadores síncronos

Fig.2.2.‐ Modelo de Generador trifásico y circuito monofásico equivalente

Z

Z

Z

+

+

+

V

V

V

Ω

+

Z R jX

E E

+



base del generador y una frecuencia de 50 Hz) para generadores síncronos de rotor liso

y polos salientes. Puede observarse como la resistencia es normalmente despreciable

frente a la reactancia en el modelo de generador.

Xs Xd Xq R

Rotor liso 1,20 0,95 a 1,45 0,001 a 0,007

Polos salientes 1,25 0,6 a 1,5 0,7 0,4 a 0,8 0,003 a 0,015

Fuente: [Barrero] Tabla 1.1.‐ Parámetros característicos de generadores síncronos

Circuito equivalente en valores p.u.

Para construir el circuito equivalente en valores p.u. se tomará como base:

- tensión eficaz fase-neutro en vacio

SB = potencia nominal trifásica de la máquina

verificándose que

. . . . . . . . (2.1)

correspondiente al circuito de la Fig. 2.4.-

Por ejemplo, datos de la placa de características de un generador: 90 MVA, 22

kV, X = 70 %;

interpretación: impedancia (reactancia) del modelo del generador de valor 70% ó

0,7 por unidad referida a un sistema de cantidades base definido por SB =90MVA

y UB = 22 kV.


Partamos del circuito equivalente de un transformador monofásico ideal como el de

la Fig. 3.1.-,

+

Z p. u.

E p. u.

Fig.2.4.- Modelo de alternador en valores p.u.

E p. u.

+

I p. u.



Donde es la relación de transformación y

las ecuaciones de definición para las referencia de la Fig.3.1.-

Estas expresiones pueden escribirse en forma más compacta:

Y pueden entenderse como los parámetros de transmisión del transformador

considerado como un cuadripolo

Si consideramos una impedancia de carga, en los terminales "2", podremos escribir:

Lo que significa que:

El transformador real difiere del ideal. El circuito equivalente de un transformador

real de dos devanados será como el de la Fig. 3.2.-

2 10

01

-

+

-

+

0

01

+ +

--

+

-

+

- Np:Ns

1 2

2 1r:1

Fig.3.1.‐Circuito equivalente de un transformador ideal.

+ +

+

-

1

+ +

--

+

-

+

- r:1

1 2



donde

• Rp y Rs representan las resistencias asociadas a los conductores reales de los

devanados primario y secundario del transformador.

• Xp y Xs representan las reactancias (de dispersión) asociadas a los devanados

(primario y secundario).

• RFe y Xmg representan, respectivamente, la resistencia cuyas pérdidas son

equivalentes a las pérdidas en el núcleo magnético (pérdidas en el hierro) y la

reactancia de magnetización (el núcleo es un material ferromagnético de

permeabilidad finita).

• representan la intensidad de vacío y sus componentes; es decir, la

asociada a las pérdidas en el núcleo (hierro) y la intensidad de magnetización.

• La relación de espiras coincide con la relación de tensiones

entre el primario y el secundario en vacio.

Dado que en las condiciones de plena carga se suele despreciar (por ser mucho más

pequeño) el valor de la intensidad frente al valor de , resulta el circuito

equivalente aproximado de la Fig. 3.3.-.

+ +

--

+

-

+

-

1 2

r:1

2 1r:1

Fig.3.3.‐Circuito equivalente de un transformador real con la impedancia reducida al primario

21r:1

+ +

+ +

- -

+

-

+

-

1 2

r:1

Fig.3.2.‐Circuito equivalente de un transformador real



En dicho circuito se ha utilizado la impedancia reducida al primario (obviamente

podría haberse obtenido otro circuito equivalente con la impedancia reducida al

secundario).

Siendo con

y obviamente ; ;

De esta forma, como elemento de circuito, el transformador real puede modelarse

como la asociación en serie de una impedancia con un transformador ideal o, desde la

perspectiva de cuadripolos, como la asociación en cascada de un dipolo serie y un

transformador ideal.

Circuito equivalente en .

Podemos obtener un modelo de circuito equivalente en del transformador real, sin

más que aprovechar la característica de cuadripolos en cascada, para obtener sus

parámetros de transmisión.

10 1

0

01

01

(3.1)

Por otro lado, para el cuadripolo en siguiente

Sus ecuaciones de transmisión, mediante la misma técnica, se pueden poner como

1 01

11

0 1 1 0

1

11

1

(3.2)

+ +

--

1 2

21

0

01

-

+

-

+



y en definitiva, comparando (3.1) y (3.2), donde

1

Obtenemos el modelo de circuito en de la Fig. 3.4.-


Tómense como valores base para el análisis en valores por unidad:

SB y EB1 en el primario

y SB y EB2 en el secundario,

de tal forma que

siendo “r” la relación de transformación nominal; en vacio (es la de la placa de

características del transformador); es decir ..

Estos valores nos llevan a las siguientes relaciones para las intensidades base en el

primario y el secundario:

1

(3.3)

Igualmente para las impedancias base:

(3.4)

Con ellos se cumple que

. . . . . .

1

1 . . (3.5)

2 1 r:1

+ +

- -

1 2

1

Fig.3.4.‐Circuito equivalente en de un transformador real con la impedancia reducida al primario

2 1

SB SB EB1 EB2



Para obtener el modelo en valores por unidad del transformador dividimos las

ecuaciones de su modelo matemático (3.1), por los valores base correspondientes:

1

1

1 1

1

luego

(3.6)

o de forma más compacta

. .

. .10 1

. .

. . (3.7)

Siendo . . . .

Ecuaciones en valores p.u. del transformador que describen el comportamiento del

circuito de la Fig. 3.5.-.

Por tanto, al analizar en el sistema por unidad un circuito en el que interviene un

transformador, eligiendo como valores base SB (común), EB1 y EB2 en la misma

relación que la relación de transformación nominal, el circuito equivalente del

transformador se reduce a un dipolo pasivo.

En valores p.u., desaparece el acoplamiento magnético, por lo que la impedancia de

cortocircuito va a ser la misma reducida al primario que al secundario.

. . . .

+ +

--

1 . .

. .

. .) 2

Fig.3.5.‐Circuito equivalente en valores p.u. de un transformador real

. . . . . . . .

. . . . . .



Si, además, las cantidades base elegidas coinciden con los valores nominales; es decir,

son tales que

SB = Sn y

EB1 = En1 en el primario y EB2 = En2 en el secundario

el módulo de la impedancia Zcc(p.u.) coincide con la tensión de cortocircuito en

valor relativo Vcc(p.u.) que se determina en el ensayo de cortocircuito y que aparece

en la placa de características de la máquina; esto es

Zcc(p.u.) = Vcc(p.u.) (3.8)

En la Tabla 3.1 se expresan los valores típicos de la reactancia y de la relación R/X.

Estos datos justifican que en muchas ocasiones se desprecie la Rcc frente a la Xcc

Reactancia inductiva (pu) Relación R/X Hasta 1.000 kVA (transformadores de distribución MT) 0,04 0,08 0,2 0,6

Más de 1.000 kVA (transformadores de transporte) 0,08 0,15 0,02 0,08

Fuente: [Barrero] Tabla 3.1.- Valores típicos de impedancia de cortocircuito de transformadores

Ejemplo de datos característicos de un transformador:

100 MVA; 20/220 kV; Vcc =8%; Pcu=300 kW

Interpretación: Transformador con una Zcc(p.u.) = 0,08 sobre una base de 100 MVA y

una tensiones base de 20 y 220 kV, respectivamente.


Los transformadores de potencia trifásicos son una extensión del transformador

monofásico, donde ahora los devanados aumentan en número y pueden disponerse en

distintas conexiones (estrella, triángulo).

El análisis de transformadores trifásicos se reducirá al de su circuito monofásico

equivalente.

No obstante, en los transformadores trifásicos, a diferencia de los monofásicos, se

presentan relaciones de transformación entre los devanados tanto de módulo como de

ángulo. La forma de conexión de los devanados primario y secundario (estrella o

triángulo) provoca la aparición de distintos desfases entre las tensiones primarias y



secundarias y da lugar a diferentes relaciones de transformación de los módulos. Las

relaciones de transformación de ángulo se suelen expresar mediante un coeficiente que

indica el ángulo de desfase entre primario y secundario en unidades de 30°. Este

coeficiente recibe el nombre de índice horario debido a la correspondencia que se

puede establecer entre los ángulos y la esfera horaria de un reloj.

Combinando las distintas posibilidades se pueden obtener transformadores con

diferentes tipos de conexión y distintos índices horarios; por ejemplo: Yy6, Yd7, Yd5,

Yd11, Dd6, Dd8, Dd10, Dy7, Dy5, etc..

Por ejemplo, si conectamos tanto el primario como el secundario en estrella, tal y

como se indica en la Fig.-4.1-a), se observa cómo el desfase entre las tensiones del

primario y las correspondientes del secundario es de 0°. Si se considera el diagrama

fasorial situado sobre una esfera horaria, donde la tensión del primario marca las 12, la

correspondiente tensión del secundario señala, en este caso, también las 12 que es

equivalente a las cero horas, por lo que este transformador es denominado Yy0. En

este transformador, las relaciones de módulo y ángulo pueden expresarse

matemáticamente por:

(4.1)

Otro posible caso se obtiene conectando el primario en estrella y el secundario en

triángulo, cómo se indica en la Fig. 4.2.-a). Si a partir de su diagrama fasorial, (Fig.

4.2.-b), se dispone la tensión del primario en las doce de una supuesta esfera

horaria, la tensión marcará la una, siendo, por tanto, su denominación Yd1.

a

b

c

nN

C

B

A

b) Diagrama fasorial con Np>Ns a) Esquema de conexiones

Fig.4.1.- Conexiones del transformador trifásico Yy0 y diagrama fasorial de tensiones

Np Ns



La relación de transformación entre las tensiones , se obtiene de forma inmediata

sabiendo que :

√3

√3 √3 (4.2)

Es decir, para el transformador trifásico Yd1 la relación de transformación entre

primario y secundario es 3Np/Ns, con un desfase de 30°.

Desde la perspectiva de tratamiento del transformador como elemento de circuito

de un sistema eléctrico de potencia, al factor 3Np/Ns se le suele denominar "m" y

representa la relación de tensiones (simples de fase a neutro ó compuestas) entre el

primario y el secundario del transformador en vacio y que depende del tipo de

conexión. Es decir,

mN

N x factor que depende del tipo de conexión

y de tal forma que, la relación de tensiones la podamos escribir como

(4.3)

donde = h·30°, siendo "h" el índice horario del tipo de conexión y .

Y el modelo de circuito monofásico de un transformador trifásico ideal será

a) Esquema de conexiones

Fig.4.2.- Conexiones del transformador trifásico Yd1 y diagrama fasorial de tensiones

a

b

c

N

C

B

A

30º1

√330º

b) Diagrama fasorial con Np>Ns

Np Ns



En conclusión, un transformador trifásico real, puede modelarse como la asociación en

cascada de una impedancia ( ) y un transformador ideal de relación de

transformación en vacio “m” índice horario h = /30º, tal como se muestra en la Fig.4.3.- y, en este caso, con la impedancia reducida al primario.

Su modelo matemático será formalmente análogo a las ecuaciones (3.1) pero teniendo

en cuenta el índice horario; es decir, en forma compacta

10 1

0

01

01

(4.4)

Esto es

E mEZm

I e (4.5)

I e1mI


Para pasar al modelo en valores (p.u.) tomamos como valores base

SB y EB1 en el primario

y SB y EB2 en el secundario,

de tal forma que

siendo “m” la relación de transformación nominal; en vacio; es decir .

Con lo que se verificará que y que

Si dividimos las ecuaciones anteriores (4.5), por los valores base correspondientes:

21 : 1

Fig.4.3.‐Circuito monofásico equivalente de un transformador trifásico real con la impedancia reducida al primario

2 1

0

01

-

+

-

+

21 ++

: 1

21

S SEB1 EB2

: 1



1

1 1

1

luego

(4.6)

o de forma más compacta

. .

. .10 1

. .

. . (4.7)

Estas ecuaciones se corresponden con el modelos de circuito del transformador

trifásico en valores por unidad mostrado en la Fig. 4.4-(a) sin tener en cuenta el

desfase horario; ó bien (b) teniéndolo en cuenta explícitamente.

5. Análisis en valores p.u. de sistemas eléctricos de potencia

En el análisis de una red eléctrica compleja con diferentes niveles de tensión es donde

tiene sentido práctico la aplicación del cálculo en valores por unidad.

Con carácter general, en un sistema eléctrico de potencia, podemos establecer un

protocolo de actuación basado en los siguientes puntos:

1.- Establecer el circuito monofásico del sistema en valores reales

2.- Obtener el modelo matemático en valores reales y explicitar los datos en términos

de tensiones e intensidades, en general.

. . . .

+ +

--

1 . .

. .

. .) 2

Fig.4.4.‐Circuito equivalente monofásico de un transformador trifásico en valores p.u.

2 1ej:1 . .

(b) (a)

. . . . . . . .

. . . .



3.- Calcular las impedancias de cortocircuito de los transformadores y las reactancias

síncronas de los generadores, en valores reales, en función de sus bases naturales

4.- Dividir el sistema en zonas en función de los transformadores existentes en el

circuito. Elegir una potencia base común para todas las zonas y, unas tensiones base,

en cada zona, relacionadas entre sí a través de las relaciones de transformación, en

vacio, de los transformadores. Calcular, a continuación, otros valores base necesarios

como impedancias e intensidades en las zonas.

5.- Obtener los modelos, en valores (p.u.), de los componentes del sistema. Prestar

especial atención a las impedancias de cortocircuito y las reactancias síncronas por si

hubiera que realizar un cambio de base.

6.- Establecer el circuito equivalente del sistema en valores (p.u.) y aplicar la 1ª y 2ª

ley de Kirchhoff. Esto es equivalente a transformar el modelo matemático en valores

reales, establecido en el punto 2.-, a valores (p.u.)

7.- Resolver según necesidades

8.- Pasar las variables calculadas a valores reales.

Obsérvese que este protocolo sigue los principios de actuación de todos los métodos

transformados.

En efecto, consideremos el circuito de la figura, que representa un sistema trifásico

funcionando en régimen equilibrado con la línea, de impedancia

conocida, regularmente transpuesta. Se trata de establecer, en valores p.u., la relación

que existe entre la tensión y la intensidad al principio de la línea con la tensión y la

intensidad al final de la misma

Solución real Solución p.u.

Circuito

valores reales valores p.u.

Modelo matemático

Modelo matemático p.u.

Circuito p.u.



ta: transformador trifásico con las siguientes características

Sa – potencia nominal en VA

ma – relación de transformación en vacio (Epa/Esa)

Vcca - tensión de corto circuito en %

a – desfase horario

tb: transformador trifásico con las siguientes características

Sb – potencia nominal en VA

mb – relación de transformación en vacio (Epb/Esb)

Vccb - tensión de corto circuito en %

b – desfase horario

1º Partimos de su circuito monofásico equivalente en valores reales

2º obtendremos su modelo matemático, por ejemplo, mediante la técnica de

cuadripolos asociados en cascada; es decir

0

01 1

0 110 1

10 1

0

01

operando las matrices

2 1 : 1

+

-

+

-

: 1

21

carga

+

-

+

-



01

o en forma menos compacta

(5.1) 1

3º Calcular las impedancias de cortocircuito de los transformadores y las reactancias

síncronas de los generadores, en valores reales, en función de sus bases naturales

Las impedancias de cortocircuito de los transformadores las obtenemos a través de los

correspondientes ensayos de cortocircuito reflejados en las tensiones de cortocircuito

que aparecen en su placa de características.

Así, suponiendo que Rcc = 0, como Zcc (p.u.) = Vcc(p.u.); podemos considerar que

. . . . . . . . referidos a sus bases naturales; es

decir

de tal forma que y

con lo que

Ω . . %

100 3

Ω . . %

100 3

Y en definitiva

Ω . .3

Ω . .3

4º Dividir el sistema en zonas en función de los transformadores existentes en el

circuito. Elegir una potencia base común para todas las zonas y, unas tensiones base,

en cada zona, relacionadas entre sí a través de las relaciones de transformación, en

2 1

S S Ep Es=1/m Ep



vacio, de los transformadores. Calcular, a continuación, otros valores base necesarios

como impedancias e intensidades en las zonas.

Para pasar a formulación en valores p.u., partiendo del esquema unifilar del sistema, lo

dividimos en zonas, según el número de transformadores que forman parte de dicho

sistema. Se elige una potencia base SB común para todo el sistema y una tensión base

EB en una de las zonas. A continuación se calculan las EB de las otras zonas, utilizando

la relación de transformación nominal del transformador correspondiente, y,

posteriormente calculamos otros valores base, fundamentalmente ZB e IB en cada una

de las zonas.

Zona I

Potencia: S

Tensión: EBI

Zona 0

Potencia: S

Tensión:

Zona II

Potencia: S

Tensión: 3

5º Obtener los modelos, en valores (p.u.), de los componentes del sistema en función

de la zona en la que estén. Prestar especial atención a las impedancias de

cortocircuito y las reactancias síncronas por si hubiera que realizar un cambio de

base.

Impedancia de línea

. .3

: 1 : 1

Zona I Zona II Zona 0

3

3

3



Impedancia de los transformadores

p. u.Ω

. .3

1

3 . .

3 3

p. u.Ω

. .3

1

3 . .

3 3

Lo que es equivalente a un cambio de base, de la tensión de cortocircuito, desde la

base natural del transformador a la base de la zona correspondiente del sistema de

potencia.

Tensión e intensidad en la carga

p. u.V p. u.

A A

3

6º Transformar el modelo matemático en valores reales, establecido en el punto 2.-, a

valores (p.u.). Esto es equivalente a establecer el circuito equivalente del sistema en

valores (p.u.) y aplicar la 1ª y 2ª ley de Kirchhoff.

Transformamos el modelo matemático dado por las expresiones (5.1) a valores (p.u.).

Así, la primera de las ecuaciones puede escribirse como

. .

. . . . . . . .

. . . .3

. .

3

. .3

. .

3

. .3

. .

3

Y teniendo en cuenta que

1

1



. .1

. .3 1

. .

3 1

. .3 1

. .

3 1

. .3 1

. .

3 1

Y en definitiva

. .

. . . . . . . . . .

. . . .

Y para la segunda ecuación (4.7), teniendo en cuenta que

1. .

1. .

Y en definitiva

. . . .

Salvando los desfases introducidos por los índices horarios de los transformadores,

estas ecuaciones representan la 2ª y 1ª ley de Kirchhoff aplicadas al circuito de la

Fig.5.2.-, tomando una potencia base común para todas las zonas del sistema de

potencia y tensiones base, en cada zona, relacionadas entre sí, a través de las

relaciones de transformación, en vacio, de los transformadores existentes.



7º Resolver según necesidades

8º Pasar las variables calculadas a valores reales.

Las ventajas que reporta la realización del análisis de redes eléctricas en valores por

unidad son notables. Quizá la más importante es el hecho, ya comentado, de que

tomando los valores base adecuados, las relaciones de transformación desaparecen del

problema. Pero hay más, se pueden destacar las siguientes:

• Los parámetros de los distintos elementos son más uniformes. Los valores óhmicos

reales difieren ampliamente para equipos de diferentes tamaños (valores nominales)

pero difieren poco cuando se expresan en valores por unidad. Esto hace que sea

posible estimar impedancias por unidad no conocidas y/o identificar datos erróneos.

• Simplificación en los cálculos y reducción de errores computacionales.

• Los resultados obtenidos en los cálculos tienen valores acotados (por ejemplo, las

tensiones en los nudos en condiciones normales de funcionamiento oscilan alrededor

del valor 1 p.u.) por los que los errores se hacen más evidentes.

• No hay que distinguir entre magnitudes de fase y de línea.

En la práctica, en realidad se opera como indica el esquema siguiente

Solución p.u.

Circuito

valores reales valores p.u.

Modelo matemático

Modelo matemático p.u.

Circuito p.u.

Solución Real

. . 1 . .

+

-

2

. .

+

-

. .

. .

Fig.5.2.‐Circuito equivalente en valores p.u.

. .. .



6. Transformadores de tres devanados. Modelo en valores por unidad (p.u.)

Un transformador con tres devanados es un transformador con un primario y dos

secundarios

En la Fig.6.1.- se muestra la configuración básica de un transformador ideal

monofásico de tres devanados.

Despreciando las pérdidas en el hierro y la reactancia de magnetización, para las

referencias de polaridad de la figura, sus ecuaciones de definición serán:

Para pasar a valores por unidad tomamos como valores base una potencia común SB

y seleccionamos las tensiones base en proporción a las tensiones nominales de los

devanados; es decir:

con lo que las intensidades base verificarán:

3

3 3

3 3

y las ecuaciones de su modelo matemático en valores p.u. se corresponderán con las

siguientes:

. . . .

Es decir

N1

N2

N3

+

+

+

‐

Fig.6.1.‐Configuración básica



. . . .

Y en definitiva

. . . . . . (6.1)

Idem para las tensiones

. . .

. . .

Y en definitiva

. . . . . . (6.2)

Su circuito equivalente se corresponderá con el de la Fig.6.2.-.

Por extensión, el modelo monofásico equivalente de un transformador trifásico real

de tres devanados, despreciando las pérdidas en el hierro y la reactancia de

magnetización, se muestra en la Fig.6.3.-(a).

b) valores p.u.

. .

1

+

-

3

. .

. . +

-

2

+

-

. . . .

. .

. .

. .

. .

Fig.6.3.‐Circuitos equivalentes monofásicos del transformador real de tres devanados

+

-

1

+

-

2

+

-

3

a) valores reales

. .

1

+

-

3

. .

. .+

-

2

+

-Fig.6.2.‐Circuito equivalente en valores p.u.

. . . .

. .



En valores reales, las impedancias representan la resistencia y la reactancia de

dispersión de cada devanado.

El circuito equivalente en valores p.u. de la Fig.6.3.- b) se obtiene, con análogo

razonamiento al utilizado para los transformadores de dos devanados, eligiendo una

potencia base común y unas tensiones base de primario, secundario y terciario de tal

manera que guarden la misma relación que sus respectivas tensiones nominales.

Obsérvese que ya no aparecen los acoplamientos magnéticos.

Las impedancias del circuito equivalente se definen a partir de tres ensayos de

cortocircuito.

Ensayo de cortocircuito alimentando el primario con tensión para que circule

la corriente nominal por el secundario en cortocircuito y con el terciario abierto.

Se mide una impedancia desde el primario .

Ensayo de cortocircuito alimentando el primario con tensión para que circule

la corriente nominal por el terciario cortocircuito y con el secundario abierto. Se

mide una impedancia desde el primario .

1

. .

+

-

2

3

. .

. .

. .

. .

. .

1

. .

+

-

2

3

. .

. .

. .

. .. .



Ensayo de cortocircuito alimentando el secundario con tensión para que

circule la corriente nominal por el terciario en cortocircuito y con el primario

abierto. Se mide una impedancia desde el secundario .

Si seleccionamos como valores base:

potencia base potencia nominal, supuesta común para los tres devanados tensiones base tensiones nominales de cada devanado.

De forma análoga a lo que ocurría en los transformadores de dos devanados, con los de

tres también se cumplirá que

. . . . . . . . . . . .

No obstante, hay que tener en cuenta que en los transformadores de tres devanados, a

diferencia de lo que ocurre en los de dos:

normalmente las potencias nominales de cada devanado son distintas

los valores de las impedancias de los ensayos, que normalmente aparecen en la

placa de características de la máquina, están expresadas en tanto por ciento

respecto:

de la potencia nominal del devanado que se pone en cortocircuito en el

ensayo correspondiente

y de una tensión base que es la del terminal desde el que se mide la tensión.

Por tanto, en general, habrá que hacer los cambios de base oportunos, para referir

todas las impedancias a una misma base común.

Una vez que todas las impedancias estén referidas a una base común, de las

condiciones de los ensayos, se deduce el cumplimiento de las siguientes igualdades:

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

(6.3)

1

. .

+

-

2

3

. .

. .

. .

. .

. .



De las cuales, se determinan las tres impedancias a incluir en el circuito equivalente.

. .12

. . . . . .

. .12

. . . . . .

. .12

. . . . . .

(6.4)

Ejemplo: transformador Yy0d11, 130/110/66 kV, 45/30/20 MVA, con Xcc12 = 10 %

(referida a 30 MVA), Xcc13 = 6 % (referida a 20 MVA) y X cc23 = 10,5 % (referida a 20

MVA). Como suele ser habitual se desprecian las resistencias.

Tomando como base común 100 MVA, y las tensiones nominales, resultan Xl =

0,0525; X2 = 0,2775 y X3 = 0,2475.

7. Transformadores de regulación

Los transformadores de regulación, son transformadores que permiten variar la tensión

en módulo y/o en fase (en una pequeña cantidad alrededor de su valor nominal,

típicamente menor que 0,1 p.u.). La diferencia entre las tensiones de las tomas

extremas se llama margen de regulación y la diferencia entre dos tomas consecutivas

escalón de tensión.

Básicamente hay dos tipos

Transformadores reguladores del módulo de la tensión (TRM). En ellos, se

establecen varias derivaciones, llamadas 'tomas', en uno de los arrollamientos y

TR

∆

∆

∆a

b c ∆

∆

∆

Fig.7.1.‐Esquemas de transformadores con regulación

carga



además se dispone de un medio para conmutar entre ellas. De esta forma, se

obtienen relaciones de transformación distintas de la nominal. Por ejemplo,

transformador de distribución con tomas en el lado de alta tensión, con relación

20 ± 5% kV/ 400 V.

Transformadores reguladores que ajustan el desfase de la tensión (TRD)

Cuando las tomas pueden ser modificadas en todo momento se les llama

transformadores de regulación en carga. Cuando son fijadas para un tiempo más o

menos largo se las llama de regulación en vacío, puesto que para su modificación es

necesario poner el aparato fuera de servicio.

Dichos transformadores, pueden utilizarse en alta tensión, de forma individual o en

combinación con otras técnicas de compensación de potencia reactiva, para compensar

las caídas de tensión provocadas por variaciones lentas de las cargas.

7.1. Modelo general en valores p.u. de transformadores de regulación.

Dado que el TRD no tiene un modelo circuital equivalente y representa únicamente un

desfase, nos centraremos en este apartado en el TRM por lo que no arrastraremos, en

la formulación, el operador horario.

Por analogía con un transformador trifásico normal, un transformador con regulación

de tensión, también llamado con regulación en carga, funcionando en régimen

estacionario equilibrado, puede modelarse como un transformador ideal de relación de

transformación variable "mt" en serie con una impedancia

Dado que, en general la impedancia del transformador varía poco al cambiar la toma

sobre el devanado (véase no obstante UNE 20101-75), para los márgenes de

regulación habituales, puede admitirse que tal impedancia es constante e igual a la de

la toma media.

Consideraremos que las tomas están en el primario; es decir en el lado “1”.

21

mt:1

+

-

+

-

Fig.7.2.‐Circuito equivalente monofásico de un transformador de regulación



Sea la impedancia del transformador referida al secundario.

Sea la tensión nominal del primario (fase-neutro) en la toma media e idem en el

secundario en vacio.

Así será la relación de transformación nominal (placa de características del

transformador) y si cada escalón es del x% y hay "n" escalones1., la relación de

transformación total variable en función de la toma será:

100 1100

·

Como ya sabemos las relaciones entre las variables de entrada y salida se pueden

poner como:

0

01 1

0 1

Que desarrolladas quedarán

1

(7.1)

Para pasar a valores por unidad elegimos las bases correspondientes con las siguientes

relaciones:

; ; ;

Y teniendo en cuenta casos ya desarrollados, llegaremos a las siguientes ecuaciones

que modelan el comportamiento del transformador con regulación en carga en valores

p.u. Efectivamente de (7.1):

. . · . . · . . ·

. . ·1

. . . .1

Y en definitiva 1 Nota:

Así por ejemplo, para un transformador 2540010%/230 en vacio, si cada escalón es

del 1%, cuando se encuentre en el escalón 5 la relación será: 254005·1%/230=

26670/230.

(4.8)



(7.2)

Donde puede ser considerada como la relación de transformación en p.u.

Podemos obtener el modelo de circuito en equivalente sin más que recordar lo que

desarrollamos en el apartado 3 de este capítulo. Entonces, deducíamos que, para el

modelo de circuito en de la Fig.7.4.-, las ecuaciones de transmisión son:

1 01

11

0 1 1 0

1

11

1

(7.3)

Que comparadas con las ecuaciones (7.2), nos permiten establecer las

correspondencias reflejadas en las Fig.7.5.- y 7.6.-, en las que se ha considerado que

. . . .

+ +

--

1 2

21 t:1

. .. . . .

. . . .+ +

. .1

. .

. . . . . . . .

Fig.7.3.‐Representación del transformador con tomas en valores p.u.

Fig.7.4.‐Modelo de circuito equivalente en .



. . . .

+ +

--

1 2. .

1 . .

1 . .

. . . .

Fig.7.6.‐Circuito equivalente en Pi de un transformador de regulación en valores

p.u. con la impedancia reducida al primario

21 . .. . . .t:1

. . . .+ +

. . . .

+ +

--

1 2. .

1. .

1. .

1. . . .

Fig.7.5.‐Circuito equivalente en Pi de un transformador de regulación en valores

p.u. con la impedancia reducida al secundario

21 t:1

. .. . . .

. . . .+ +

Apuntes de de Los Temas III y IV SEP UVA

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