APUNTES DE ELEMENTOS FINITOS

PARA SÓLIDOS DEFORMABLES

BEGOÑA CALVO CALZADA

MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ BARCA

ESTEFANÍA PEÑA BAQUEDANO

Área de Mecánica de Medios Continuos y Tª de Estructuras

Diseño e impresión.-

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Autores: Begoña Calvo Calzada Miguel Ángel Martínez Barca Estefanía Peña Baquedano

impreso en España / printed in Spain

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Indice general

1. Presentacion 1

2. Introduccion al metodo de los elementos finitos 5

2.1. Resolucion de una ecuacion diferencial orden dos . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Definicion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2. Formulacion fuerte y debil problema . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3. Aproximacion de la incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4. Propiedades de la funciones de aproximacion . . . . . . . . . . . . 8

2.1.5. Calculo de matrices y vectores elementales . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.6. Ensamblaje de las matrices y vectores elementales . . . . . . . . . 10

2.1.7. Imposicion de las condiciones de contorno esenciales . . . . . . . . 10

2.1.8. Resolucion del sistema algebraico de ecuaciones . . . . . . . . . . 10

2.1.9. Interpretacion fısica del problema resuelto . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Caracterısticas generales del MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Convergencia de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1. Condicion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2. Condicion de Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3. Condicion de Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.4. Condicion de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.5. Condicion de complitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.6. Condicion de invariancia geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.7. Condicion de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.8. Criterio de la Parcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Etapas a definir para la resolucion de un problema diferencial mediante el

MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Problemas Unidimensionales en Mecanica de Solidos Deformables 23

i

ii Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables

3.1. Formulacion de elementos finitos para axil y torsion . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2. Esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3. Modelo de torsion de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.4. Modelo de torsion no uniforme de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Formulacion de elementos finitos en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. Modelo de flexion de Euler-Bernoulli-Navier . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2. Modelo de flexion de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Comparacion entre los modelos a flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.3. Bloqueo a cortante en el modelo de elementos finitos de Timoshenko 37

3.4. Solucion del problema de bloqueo a cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1. Integracion reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.2. Distinta aproximacion para flecha y giros . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.3. Campo de deformaciones a cortante impuesto . . . . . . . . . . . 50

3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4. Resolucion de problemas bidimensionales en Mecanica de Solidos Deformables 77

4.1. Problema elastico bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Elementos de referencia y coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.1. Aproximacion de la geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2. Funciones de aproximacion de la variable . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3. Integracion numerica en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4. Algunos elementos en elasticidad bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.1. Elemento cuadrilatero bilineal. Deformacion plana . . . . . . . . . 88

4.4.2. Elemento triangular lineal. Tension plana . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.3. Comparacion de resultados en funcion del tipo de elemento utilizado 94

4.4.4. Elemento cuadrilatero bilineal. Axisimetrico deformacion plana . . 95

4.5. Programacion del elemento cuadrilatero bilineal en elasticidad . . . . . . . 97

5. Resolucion de problemas tridimensionales en Mecanica de Solidos Deformables 137

5.1. Problema elastico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.2. Elementos de referencia y coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3. Integracion numerica en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4. Comparacion de resultados en funcion del tipo de elemento utilizado . . . 145

5.5. Elemento hexaedrico trilineal en elasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . 147

6. Tecnicas Globales 149

Contenidos 3

6.1. Ensamblaje de las matrices y vectores elementales . . . . . . . . . . . . . 150

6.1.1. Caracterısticas de la matriz global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2. Imposicion de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.3. Metodos de almacenamiento de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . 154

6.4. Metodos de resolucion del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 155

6.5. Calculo de variables elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Apendice A Planteamiento diferencial de La Barra 159

A.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.2. Planteamiento diferencial de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.2.1. Esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.2.2. Modelo de flexion de Euler-Bernoulli-Navier . . . . . . . . . . . . 163

A.2.3. Modelo de flexion de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.2.4. Modelo de torsion de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.2.5. Modelo de torsion no uniforme de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . 167

Apendice B Aplicacion del MEF a otros problemas en Mecanica de Medios Continuos169

B.1. Problema de campo. Flujo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.1.1. Formulacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B.1.2. Matriz de rigidez y vector de carga elementales . . . . . . . . . . . 171

B.2. Problema de Flujo bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.2.1. Matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B.2.2. Vector de carga elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.3. Elemento hexaedrico trilineal para problemas Flujo tridimensional . . . . 176

Bibliografıa 189

4 Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables

1Presentacion

En la decada de los cincuenta comenzo a desarrollarse un metodo que, partiendo de las

ideas variacionales o energeticas ampliamente utilizadas en la primera mitad del siglo para

la obtencion de soluciones aproximadas, e incluyendo los conceptos de matriz de rigidez y

vector de cargas elementales que aparecıan en el calculo matricial de estructuras de barras,

permitıa establecer, mediante procedimientos intuitivos, las matrices de rigidez elementales

de subdominios previamente definidos de un medio elastico bidimensional. Este metodo,

desembocarıa finalmente en los anos posteriores en el Metodo de los Elementos Finitos

(MEF).

Fue la industria aeronautica la que, con la aparicion del motor a reaccion, planteo la

necesidad imperiosa de disponer de una herramienta de analisis suficientemente potente y

precisa, como para poder abordar los complejos problemas de geometrıa y cargas que en ella

se presentan, sin perder las dos condiciones basicas del diseno aeronautico: la seguridad y

la ligereza. En la empresa Boeing, bajo la direccion de Turner, un pequeno grupo comienza

a implementar las ideas antes aludidas, que plasman en un artıculo ya clasico, publicado

en el Journal of Aeronautical Sciences (Septiembre de 1956).

Es de senalar que el metodo vio la luz en el momento historico en que de forma natural

tenıa que aparecer. Efectivamente, se conjugaron los resultados aportados por Ritz, Ga-

lerkin y Courant en lo referente a metodos aproximados y formulacion variacional con los

primeros de Cross, Levy y Argyris en el establecimiento de matrices de rigidez de barras,

y sobre todo los primeros balbuceos en la comercializacion de ordenadores, sin los cuales

el MEF no hubiera sido posible. Todo ello en el breve espacio de los 25 anos previos a la

aparicion de este metodo.

Durante los anos sesenta se establecen las bases matematicas del metodo, siendo otra

fecha significativa en su desarrollo el ano 1967 cuando se publica el libro de O. C. Zienkie-

wicz “The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics”, en el que se

compendian los conocimientos del metodo hasta esas fechas y que permitio su mas amplia

difusion. En esos anos, el MEF, inicialmente limitado a problemas estaticos lineales, se

extiende a problemas no lineales y dinamicos, destacando las contribuciones de Gallagher,

1

2 Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables

Oden, Taylor y muchos otros.

Posteriormente, en la decada de los setenta, el MEF alcanza su madurez, con la apli-

cacion a multiples problemas, no relacionados con el analisis estructural como mecanica

de fluidos, transmision de calor, electricidad, etc. Asimismo aparecen los primeros textos

relacionados con los fundamentos matematicos del metodo y nuevos algoritmos mas eficaces

para la resolucion de grandes sistemas de ecuaciones o problemas de autovalores, ası como

formulaciones no lineales. Es difıcil destacar algunos nombres entre la ingente cantidad de

investigadores dedicados al metodo pero citaremos aquı ademas de los anteriores a Hinton,

Owen, Ciarlet, Glowinski, Irons, Bathe y Felippa.

Es en esta decada tambien cuando aparecen los grandes programas de elementos fini-

tos que hacen aplicable el metodo en la industria mas sofisticada. Entre tales programas

destacan: ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, IDEAS, CATIA la serie SAP, ADINA, MARC,

STRUDL, ASKA, MODULEF, etc.

La segunda mitad de los setenta y la decada de los ochenta se caracterizan por el desa-

rrollo espectacular de los pre y postprocesadores graficos que permiten una visualizacion

inmediata y realista de los datos y resultados del problema en estudio. Asimismo la apli-

cacion del metodo a microordenadores, mediante la configuracion de programas altamente

modulares y tecnicas particulares de programacion, ha supuesto una segunda revolucion en

la difusion del metodo entre la pequena y mediana empresa.

En la actualidad, el numero de publicaciones e investigadores dedicados al metodo es

enorme, habiendose consolidado como la principal herramienta de calculo en el analisis

estructural, que ha permitido el desarrollo de centrales nucleares, naves espaciales y demas

puntas de lanza de la tecnologıa actual.

El objetivo de este bloque es la presentacion del MEF como herramienta para resolver

problemas lineales en el ambito de la Mecanica de Solidos Deformables. Tambien utilizare-

mos el software comercial Abaqus para la resolucion de varios problemas.

Presentacion 3

(a) Pasarela metalica (b) Union soldada

(c) Stent metalico en una arteria

Figura 1.1 Distintas aplicaciones del metodo a problemas reales

4 Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables

2Introduccion al metodo de los elementos

finitos

El objetivo de este primer capıtulo es familiarizarnos con los conceptos generales del

metodo de los elementos finitos (MEF). Para ello, comenzaremos resolviendo una ecuacion

diferencial de orden 2 utilizando el MEF, e introduciremos los conceptos de formulacion

fuerte y debil, funciones de ponderacion y aproximacion (o de forma), nudos, elementos,

matriz de rigidez elemental, vector de carga, etc.

2.1. Resolucion de una ecuacion diferencial orden dos

2.1.1. Definicion del problema

Encontrar la funcion u(x), 0 ≤ x ≤ L , que satisface la ecuacion

Kd2uxdx2

= −fx (2.1)

con las siguientes condiciones de contorno:

esencial : ux(x = 0) = 0,003m

natural : G(L) = Kdux(X = L)

dx= 750N (2.2)

siendo L = 2m , K = 0,06× 106N y fx = −750N/m.

Para mantener la generalidad del metodo, como veremos en capıtulos posteriores, ex-

presamos el problema (2.1) en forma matricial,

A.u = f en Ω

G.u = g en δΩ (2.3)

siendo:

1. Vector de incognitas: u = (ux)1x12. Operador diferencial: A = SDH = ( d

2

dx2 )1x1 de orden 2k (k=1).

3. Operador diferencial: H = ( ddx )1x1 de orden k.

5

6 Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables

4. Operador diferencial: S = ( ddx )1x1 de orden k.

5. Matriz constitutiva: D = (K)1x16. Vector de datos: f = (f)1x1

2.1.2. Formulacion fuerte y debil problema

Esta forma de plantear el problema (2.1) se denomina forma fuerte del problema y exige

a la funcion solucion derivabilidad con continuidad de orden 2. En este caso, el problema

tiene solucion exacta sin mas que realizar la doble integracion y calcular las dos constantes

de integracion con las dos condiciones de contorno existentes. Si se realizan tales operaciones

se llega a una solucion exacta dada por (2.4)

ux(x) = (6,25x2 − 12,5x+ 3)10−3 con x expresadoen m (2.4)

Sin embargo, vamos a proceder a su resolucion mediante el metodo de los elementos

finitos. En primer lugar, se ha de transformar la formulacion fuerte (2.1) en la formulacion

debil. Para ello, se realiza el producto escalar de los dos terminos que definen la ecuacion

diferencial por una funcion vectorial ψ de la misma dimension que la funcion incognita u e

intregar las resultantes en el dominio del problema. En definitiva:∫ L

0

ψKd2uxdx2

dx = −∫ L

0

ψfxdx (2.5)

Si el termino de la izquierda se integra por partes k veces se observa que el primer

terminoA.u se puede integrar, por partes una vez, de forma que apareceran los dos terminos

siguientes: [Kψ

duxdx

]L0

−∫ L

0

Kdψ

dx

duxdx

dx = −∫ L

0

ψfxdx (2.6)

Reordenando terminos, nos queda∫ L

0

Kdψ

dx

duxdx

dx =

∫ L

0

ψfxdx+

[Kψ

duxdx

]L0

(2.7)

Para simplificar la notacion representamos por f′la derivada de f respecto x, con lo

que la ecuacion (2.7) se puede expresar por∫ L

0

Kψ′u

′

xdx =

∫ L

0

ψfxdx+[Kψu

′

x

]L0

(2.8)

Conocida como formulacion debil del problema. Si se encuentra una funcion ux solucion

de (2.8) para cualquier funcion ψ (con continuidad de primer orden), debera ser derivable

con continuidad de primer orden. A dicha funcion se denomina solucion debil del problema.

Observese que las condiciones de contorno naturales aparecen en esta formulacion en el

termino integral de contorno de la derecha de la ecuacion, con lo cual para tenerlas en