INFERENCIA ESTADSTICA

INFERENCIA ESTADSTICA

El proceso de inferencia estadstica se cumple a travs de 2 subprocesos de gran importancia, los cuales son:

1) Estimacin de parmetros

2) Pruebas de Hiptesis sobre parmetros

1) Estimacin de parmetros

Como sabemos, es la media de todos los valores posibles de una variable Yi, la cual slo es posible estimar si se conocieran los valores de toda la poblacin, sin embargo, como no es posible, se recurren a mtodos estadsticos para calcular los estimadores a travs de una muestra aleatoria. Estos estimadores servirn para inferir las propiedades de la poblacin a la que pertenece esa muestra.

Muestra aleatoria. Es aquella en la que todos los elementos de la poblacin tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra.

As, los valores de estos estimadores, tienden a aparecer de acuerdo a ciertas distribuciones llamadas Distribuciones derivadas del muestreo.

El proceso de estimacin consiste en definir los mejores estimadores de los parmetros que nos interesan.

Existen dos tipos de estimacin:

a) Estimacin puntual

b) Estimacin por intervalo

a) Estimacin puntual. Consiste en calcular un valor estimado del parmetro con base en los datos de la muestra que llamaremos estimador. Dar una idea muy vaga del verdadero valor del parmetro puesto que no podemos conocer el grado de incertidumbre de la estimacin.

Ejemplo:

La produccin promedio de leche del estado de Mxico es de 10 litros diarios (estimacin de un punto de la lnea real).

b) Estimacin por intervalo. Consiste en establecer un intervalo de valores, dentro del cual se conoce la probabilidad de que est el parmetro (o sea un intervalo de confianza).

Ejemplo:

La produccin promedio de leche en el estado de Mxico, flucta de 5 a 15 litros diarios con una medida de seguridad de 95%.

5 y 15 = 10 + 5

Mejores estimadores. Es comn que para un mismo parmetro existan varios estimadores, por ejemplo, para existen estimadores como , Me, etc., sin embargo, no todos ellos poseen caractersticas que los hagan deseables.

Las propiedades deseables de los estimadores son:

i) Insesgamiento

ii) Mnima varianza

iii) Consistencia

Insesgamiento. Un estimador de un parmetro es insesgado si E() = , esto es, si el promedio de todos los estimadores calculados en todas las posibles muestras es el valor parametral.

Si un estimador es sesgado, entonces

Sesgo = - E()

Mnima varianza Si y son dos estimadores diferentes (pero ambos insesgados) de , con varianzas y respectivamente y si

entonces debemos preferir , ya que tiene mnima varianza.

Consistencia. Sea un estimador de calculado a partir de una muestra aleatoria de tamao n. Si a medida que n tiende a N (N = nmero de elementos de la poblacin), la probabilidad de que tenga un valor cercano a se aproxima a 1, entonces es un estimador consistente de .

Existen mtodos de estimacin que proporcionan estimadores con una o ms caractersticas deseables, ellos son:

i) Mtodo de momentos

ii) Mtodo de mxima verosimilitud

iii) Mtodo de mnima ji-cuadrada

iv) Mtodo de mnimos cuadrados

i) El mtodo de mnimos cuadrados consiste en tomar como estimadores de los parmetros, aquellos valores que minimizan la suma de cuadrados de los errores, es decir:

= mnimo = (Yi - )2

DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREO

Como las muestras no incluyen a toda la poblacin, se tendrn variaciones de muestra a muestra, que se reflejarn en variaciones de los valores de los estimadores de un parmetro, derivados de cada muestra. Como estas variaciones son aleatorias, entonces los posibles valores del estimador, se distribuirn de acuerdo a las Distribuciones derivadas del muestreo.

Ejemplo:

Valor de

Frecuencia

1.0

1

1.5

2

2.0

3

2.5

4

3.0

5

3.5

4

4.0

3

4.5

2

5.0

1

Entonces tenemos que los estimadores son valores variables, su valor cambia de muestra a muestra, dependiendo de las observaciones que se hallen en la muestra. Por lo tanto, un estimador es una variable y por lo tanto debe tener una distribucin con sus respectivos parmetros.

Distribucin de la media muestral

Sabemos que , entonces

E() =

E(1)+ E(2) + . . . + E(n)

=

+ + . . . . +

=

n

=

N

n

n

Var() =

Var(1) + var(2) + . . . var(n)

=

n2

=

2

n2

n2

n

Entonces N(,2/n)

TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

En un muestreo aleatorio de una poblacin arbitraria con media y varianza 2,, si n es grande, la distribucin de es aproximadamente normal con media y varianza 2/n; en otras palabras

N(,2/n)y N(0,1)

Resumiendo tenemos:

i) X ? (,2) ===> N(0,1) cuando n (es grande)

Este teorema es de gran importancia, ya que ilustra la importancia de la densidad normal de probabilidades, pues muchas variables con densidades indeterminadas pueden ser llevadas a la normal, simplemente obteniendo promedios de grupos de valores grandes.

Ejemplo:

El porcentaje de protena (X) en una variedad de soya tiene una media de 23 con una desviacin estandar de 2; se realizan 10 determinaciones independientes del contenido de protena en dicha variedad. Cul es la probabilidad de que sea mayor de 24?

X (23,4) y se tienen X1, X2,. X10 determinaciones n = 10

= 1 - PZ < - 1.598 = 0.0571

Suponga que el peso neto por lata de una marca de sopa tiene una media de 565 g con una desviacin estndar de 15 g. Suponga distribucin normal de los pesos.

Si se toma una muestra de 9 latas y se registra el peso

a) Cul es la probabilidad de que la media muestral este entre 555 y 575?

X1, . . . ., X9 es una muestra aleatoria N(565, 225)

b) De qu tamao tendra que ser la muestra para que la probabilidad calculada sea de 0.9906?

P 555 < < 575 = 0.9906, adems tenemos

Entonces

= P Z < c - P Z < c = 0.9906

= Z < c =

1 0.9906

= 0.0047

2

y buscando en tablas tenemos que c = 2.6, entonces:

P -2.6 < Z < 2.6 y = 2.6, entonces n = 15.21 16

INTERVALOS DE CONFIANZA

a) Intervalo de confianza para de una distribucin normal cuando es conocida

Un intervalo de confianza es un estimador para un determinado parmetro por intervalo, donde se trata de encontrar un segmento a, b en el cual el parmetro est contenido con cierta probabilidad, esto es:

P a < < b = 100 (1 - ) %donde es la probabilidad de equivocarse (0.05, 0.01)

Z/2 es un valor de la distribucin normal estndar.

Ejemplo:

Los datos que a continuacin se dan son los pesos en gramos del contenido de 16 cajas de alimento balanceado que se selecciona de un proceso de llenado con el propsito de verificar el peso promedio .

506

504

514

506

508

510

505

502

499

497

493

509

503

512

496

496

Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal con una desviacin estndar poblacional (=5), obtenga los intervalos de confianza al 90, 95 y 99% para la media del llenado de este proceso.

Como = 503.75 = 0.1, entonces

P 501.694< < 505.806 = 90%

lmite inferiorlmite superior

Interpretacin:

De 100 cajas que se llenan, en el 90% de los casos cae en intervalo y el resto (10%) no cae.

Para = 0.05 tenemos

y para = 0.01

2.5758

b) Intervalo de confianza para de una distribucin normal cuando es desconocida

Si es desconocida, calculamos el I.C. de mediante

t/2 es un valor tal que P t tn-1, /2

Ejemplo:

Calcular el intervalo de confianza para el problema anterior considerando que es desconocida.

S = 6.2021 = 0.10/2 = 0.05 = n-1=15

t/2 es un valor tal que P t t(/2,)

= es el nivel de error de la prueba

= n-1

t(/2,15) = t(0.05,15) = 1.7531

Trabajo para =0.05

500.45 < < 507.05 = 95%

Problema:

Los siguientes datos son determinaciones del contenido de calcio en la sangre de 20 conejos adultos sanos.

10.46

10.77

11.68

9.46

10.20

9.49

11.28

9.72

12.46

10.08

11.39

10.42

10.21

11.37

10.63

7.99

11.39

9.67

9.74

9.56

Suponga que los datos provienen de una distribucin normal. Calcule un intervalo al 90% de confiabilidad sobre la media verdadera o poblacional ().

n = 20

= 0.1

= n-1 = 19

t(/2, 19) = t(0.05, 19) = 1.7291

= 10.4 S = 1.016

P 10 < < 10.8 = 90%

Programa SAS

data a;

input x @@;

cards;

10.46 10.77 11.68 9.46

10.20 9.49 11.28 9.72

12.46 10.08 11.3910.42

10.21 11.37 10.63 7.99

11.39 9.679.74 9.56

proc means mean std clm alpha=0.1;

proc means mean std clm alpha=0.05;

proc means mean std clm alpha=0.01;

run;

PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICA

Hiptesis: En general se entiende como un supuesto sobre un determinado fenmeno o hecho que puede ser cierto o no.

Hiptesis estadstica: Es aquella que se propone sobre algn (os) parmetro (s) de cualquier distribucin de probabilidades.

Ejemplo:

> 0

< 3

10

Juegos de hipotesis para

1) Ho : = 0 vsHa: 0 (dos colas)

2) Ho : < 0 vsHa: > 0 (cola derecha)

3) Ho : > 0 vsHa: < 0 (cola izquierda)

donde 0 es una constante elegida por el investigador.

Prueba de Hiptesis estadstica. Siempre involucra dos partes, la primera es la hiptesis nula (Ho), generalmente esta es la que el investigador quiere que no suceda y Ha que es el complemento de la nula.

En todos los juegos de hiptesis siempre se tiene lo siguiente:

Situacin real (desconocida)

Ho correcta

Ho falsa

Rechazar Ho

ERROR (llamado error tipo I

Decisin correcta

No rechazar Ho

Decisin correcta

ERROR (llamado error tipo II

Esto es, en una prueba de hiptesis pueden cometerse dos tipos de error. El llamado error tipo I consiste en rechazar una hiptesis nula que es cierta y el error tipo II consiste en no rechazar una hiptesis nula que es falsa. Las probabilidades de los errores respectivos se denotan por y .

= P error tipo I = P rechazar Ho cuando es cierta

= P error tipo II = P No rechazar Ho cuando es falsa

En una prueba de hiptesis, el valor mximo de probabilidad de error tipo I es llamado el nivel de significancia de la prueba. Se llama tambin ocasionalmente el tamao de la prueba. Generalmente este nivel es fijado por el investigador.

Prueba de Hiptesis para la media () de poblaciones con distribucin normal.

a) Una poblacin

a.1) Una poblacin suponiendo 2 conocida

a.2) Una poblacin suponiendo 2 desconocida

b)

La media de dos poblaciones normales con varianza desconocida pero (homogeneidad de varianzas).

Generalmente para probar cualquier prueba de hiptesis se adoptan los siguientes pasos:

1. Plantear el juego de hiptesis (procurando que Ho quede en lo que queremos)

2. Elegir el nivel de significancia ( = 0.05, = 0.01, etc.).

3. Calcular el valor de tablas (valor crtico) (tablas normal, t)

4. Calcular el estadstico de prueba a partir de la informacin muestral

5. Tomar una decisin contrastando el estadstico de prueba con la del valor crtico

6. Concluir en el contexto del problema

Prueba de hiptesis sobre la media de una poblacin normal con 2 conocida

1) Plantear Ho:

1) Ho : = 0 vsHa: 0 (dos colas)

2) Ho : < 0 vsHa: > 0 (cola derecha)

3) Ho : > 0 vsHa: < 0 (cola izquierda)

2. Elegir

3) Valores de Z/2oZ

para el juego1para el juego 2 y 3

4) Estadstico de prueba

5) Tomar una decisin

a) Para el juego 1Rechazar Ho si Zc > Z/2o Zc < - Z/2

a) Para el juego 2Rechazar Ho si Zc > Z

b) Para el juego 3Rechazar Ho si Zc < - Z

Ejemplo:

A continuacin se presentan los datos obtenidos por un investigador en un experimento sobre el efecto de un determinado micronutriente (Zn) sobre el rendimiento de frijol. Suponga que los rendimientos tienen distribucin normal con 2 = 0.4 ton2.

Datos

1.5

Nuestra hiptesis postulada es:

2.0

1) Ho : < 1 ton vs Ha: > 1 ton

2.5

2) = 0.1 =

1.8

3) Z0.1 = 1.285

1.9

4) Zc =

= 1.94

5) Como Zc = 3.33 > Z = 1.285 entonces se rechaza Ho.

6) Con una confiabilidad del 90%, los datos del experimento muestran evidencia de que la aplicacin de Zn en frijol produce rendimientos superiores a 1 ton/ha (P 0 (cola derecha)

3) Ho : > 0 vsHa: < 0 (cola izquierda)

Estadstica de prueba

Donde como sabemos S = desviacin estndar de la muestra y se estima mediante S.

Regla de decisin

Para el juego 1. Rechazar Ho si tc > t(,n-1) o si tc < -t(,n-1)

Para el juego 2. Rechazar Ho si tc > t(,n-1)

Para el juego 3. Rechazar Ho si tc < -t(,n-1)

Ejemplo:

Un metalurgista hizo 4 determinaciones del punto de fusin del manganeso, estas fueron: 1269, 1 271, 1263 y 1265. Es importante probar el hecho de que el fabricante del manganeso indicaba que el punto de fusin es 1260. La prueba de hiptesis es entonces:

Ho: = 1260vsHa: 1260

= 0.05

= 1267 S=3.65148

t(/2, n-1) = t(0.025,3)= 3.1824 (tablas de t)

Conclusion

Rechazar Ho si tc > t(,n-1) o si tc < -t(,n-1)

3.834 > 3.1824

Se encontr que el punto de fusin del manganeso es diferente de 1260c (P t(,n-1) o si tc < -t(,n-1)

3.834 < 5.84

Se encontr que el punto de fusin del manganeso es de 1260c (P>0.01).

Ejemplo:

Los propagandistas de cierta marca de cigarrillos sostienen que el contenido promedio de nicotina de sus productos es menor de 0.7 mg por cigarrillo. Suponiendo una distribucin normal para el contenido de nicotina, su aseveracin es que < 0.7. Queremos entonces probar:

Ho: > 0.7vs Ha: < 0.7

La hiptesis se probar con un nivel de significancia de = 0.01, ya que si se rechaza Ho deberemos autorizar que en la publicidad aparezca la afirmacin de la empresa, y slo estamos dispuestos a hacerlo si la evidencia en contra de Ho es sustancial. Para realizar la prueba determinamos el contenido de 30 cigarros con los siguientes resultados:

0.72 0.76 0.68 0.69 0.73 0.59 0.70 0.71 0.62 0.68

0.75 0.73 0.62 0.64 0.76 0.74 0.60 0.61 0.61 0.60

0.69 0.70 0.78 0.81 0.64 0.63 0.65 0.79 0.77 0.76

encontrndose los siguientes estimadores:

= 0.6920:S = 0.0653

De acuerdo a lo anterior tenemos que:

= 0.01, = n-1 = 29 y con esto t(0.01,29) = 2.462. Como es una prueba de la cola izquierda entonces:

- t(0.01,29) = -2.462

Y el valor de tC es

Para la hiptesis planteada tenemos:

Rechazar Ho si tc < - t(,n-1) y como tc = -0.671 > -2.462 entonces no rechazamos Ho.

El nivel observado de significancia de la muestra es:

= P(t(29) < -0.671) = p (t(29) > 0.671) = 0.2538 = 25.38%

Lo cual quiere decir que para rechazar Ho con la muestra anterior, tendramos que estar dispuestos a tolerar una probabilidad de Error Tipo I de al menos 25.38%.

DATA A;

INPUT NIC @@;

CARDS;

0.72 0.76 0.68 0.69 0.73 0.59 0.70 0.71 0.62 0.68

0.75 0.73 0.62 0.64 0.76 0.74 0.60 0.61 0.61 0.60

0.69 0.70 0.78 0.81 0.64 0.63 0.65 0.79 0.77 0.76

PROC MEANS;

RUN;

Prueba de hiptesis sobre la varianza 2 de una distribucin normal.

Para la varianza se tienen los siguientes juegos de hiptesis:

Juegos

de

hiptesis

1) Ho : 2 = vsHa: 2 (dos colas)

2) Ho : 2 < vsHa: 2 > (cola derecha)

3) Ho : 2 > vsHa: 2 < (cola izquierda)

La estadstica natural de prueba de estas hiptesis est basada en la varianza muestral S2, como a continuacin se da

y donde las reglas de decisin son:

Para el juego 1. Rechazar Ho si __________________________

o si

Para el juego 2.Rechazar Ho si __________________________

Para el juego 3.Rechazar Ho si __________________________

MUESTRAS ALEATORIAS

Prueba de hiptesis sobre las medias (1 y 2) de distribuciones normales (1, ) y (2, ). Supuesto y son desconocidas pero = = 2.

1) Ho : 1 = 2 vsHa: 1 2(dos colas)

2) Ho : 1 > 2 vsHa: 1 < 2 (cola izquierda)

3) Ho : 1 < 2 vsHa: 1 > 2 (cola derecha)

Pasos:

1. Elegir la hiptesis a probar.

2. Elegir

3. Estadstica a prueba

=desv. Estndar ponde-rada de y

*Encontrar frmula general.

Las reglas de decisin son:

Para el juego 1.Rechazar Ho si tc > t(/2,n1 + n2-2) o si tc < -t(/2,n1 + n2 2)

Para el juego 2.Rechazar Ho si tc > t(, n1+ n2-2)

Para el juego 3.Rechazar Ho si tc < -t(,n1 + n2-2)

Ejemplo:

Mediante 2 procesos se manufactur cable de alambre; se desea determinar si los procesos tienen diferentes efectos en la resistencia y en la ruptura del cable. Se efectuaron pruebas de laboratorio sometiendo al cable a tensin y se registr la carga requerida para romper el cable, obtenindose los datos de la siguiente tabla:

Valores crticos de la carga (codificados)

PROCESO 1

PROCESO 2

9

14

4

9

10

13

7

12

9

13

10

8

10

n1 = 6

n2 = 7

HIPOTESIS:

Ho: 1 = 2vs Ha: 1 2

= 0.05

= 8.17=5.366; n1 = 6,

= 11.28 =5.238 ; n2 = 7

Sp = =2.3

t Calculada

t Tablas

t(/2, n1+ n2 -2) = t(0.025,11) = 2.201 =-2.01

Conclusion

Rechazar Ho si tc > t(/2,n1 + n2-2) o si tc < -t(/2,n1 + n2 2).

-2.43>-2.01

Se encontr que los procesos de manufactura de alambre son diferentes (P 2vs Ha: 1 < 2

DATA A;

INPUT PROCESO RESIST @@;

CARDS;

1 9 1 4 1 10 1 7 1 9 1 10 2 14 2 9 2 13 2 12 213 2 8 2 10

PROC MEANS MEAN VAR;BY PROCESO;

PROC TTEST; VAR RESIST;

RUN:

ANALISIS DE COVARIANZA

MUESTRA APAREADA. Se dice que se tiene una muestra apareada cuando se toman mediciones de dos variables a un solo individuo que a su vez conforma una muestra aleatoria.

Cuando se tienen muestras apareadas, las inferencias sobre los tratamientos se llevan a cabo usando las diferencias Di = Xi Yi. Las estadsticas necesarias son:

En estos casos se pueden plantear pruebas de hiptesis de la siguiente forma:

1. Ho: x - y = k vs Ha: D k

Diferencias de las medias = D 0

2. Ho: D < k = k vs Ha: D > k

3. Ho: D > k = k vs Ha: D < k

Donde k es una constante elegida por el investigador, siendo comn que k tome el valor de cero.

Ahora, si se supone que las D1 son una muestra aleatoria de entonces se tiene que

Por lo tanto una prueba adecuada es una prueba de t usando la estadstica:

Las reglas de decisin son:

Para el juego 1. Rechazar Ho si tc > t(/2,n-1) o si tc < -t(/2,n-1)

Para el juego 2. Rechazar Ho si tc > t(, n-1)

Para el juego 3. Rechazar Ho si tc < -t(,n-1)

En la siguiente tabla se presentan las pulsaciones por minuto de atletas antes y despus de una sesin de entrenamiento.

x = pulsaciones despus

x

y

Dx-y

y = pulsaciones antes

157

67

90

SD = 17.26

158

61

97

163

89

74

160

74

86

161

69

92

126

78

48

114

60

54

148

78

70

150

72

78

124

68

56

Ho: D = 0vsHa: D 0; = 0.01

t(/2, 9) = 3.2498como tc > t(/2, 9) se rechaza Ho con = 0.01

Conclusin en el Contexto.

Se encontr que el nmero de pulsaciones por minuto en los atletas es diferente antes y despus de un entrenamiento (P 1*vsHa: 1 < 0*

Ho: 1 < 0*vsHa: 1 > 0*

ESTADISTICO DE PRUEBA

Valor de tablas

t(/2,n-2) (dos colas)

t(,n-2) (una cola)

= cualquier constante.

ULTIMA TAREA

1. Diga cules son las caractersticas que debe reunir un estimador.

2. Explique con sus palabras el teorema central del lmite y mencione sus propiedades.

3. Suponga que el peso neto por cerdo de una piara tiene una media de 70 kg y una desviacin estndar de 20 kg. Se toma una muestra de 20 cerdos y su peso respectivo. Cul es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 60 y 80 kg? Suponga distribucin normal de los pesos.

a) De qu tamao tendra que ser la muestra para que la probabilidad calculada sea de 0.90

4.

Realice los siguientes intervalos de confianza al 90, 95 y 99%, suponiendo que = 4, = 20

Realice adems los intervalos sealados pero si sabemos que S = 3.1 y el tamao de la muestra es 30.

5. Defina lo siguiente:

a) Hiptesis estadstica

b) Nivel de significancia

c) Error tipo I y Error tipo II

6. Una empresa produce un nuevo bactericida comercial, que contiene un componente especfico de 200 ppm ()

Un laboratorio le propone un nuevo producto cuyo componente especfico contiene mayor concentracin en ppm y a la empresa le interesara el producto, si tuviera al menos 300 ppm.

Se realiza un muestreo del nuevo producto con 25 observaciones y se sabe que = 20 y se supone que es la misma para el nuevo producto.

Del muestreo se encontr que = 200, adems deseamos trabajar con = 0.05.

Tiene el nuevo producto mayor concentracin en ppm (mayor o igual a 300?

7. Se aplica una dieta tradicional, la cual incrementa el peso de ovinos en 8 kg/mes. Se ensaya otra dieta nueva en 25 animales y se registran la media (=7) de incremento de peso y una S = 5. Puede decirse que la nueva dieta genera menos incremento de peso?

8. Ponga dos ejemplos donde aplique el concepto de muestras aleatorias y pruebe las hiptesis correspondientes con = 0.05

9. Realice lo mismo que lo anterior pero con muestras apareadas.

10. Se extrae sangre de 10 bovinos de la granja y se les determina el contenido de bacterias mediante los mtodos X y Y. Se desea saber si existe diferencia estadsticamente significativa entre mtodos al 5%=0.05.

Datos:

X

45

36

34

23

22

33

56

44

33

44

Y

34

45

30

10

23

21

18

21

67

23

11. Suponga que se mide el promedio de consumo de alimento balanceado y el incremento de peso promedio de un grupo de animales. Los datos son:

Consumo

Incremento Peso

12

2.4

14

3.0

10

5.9

11

3.9

20

6.6

8

2.5

7

4.3

Encontrar la ecuacin de regresin lineal simple que mejor se ajuste a los datos.

Bibliografa:

Chao L.L. 1975. Estadstica para las ciencias administrativas. 2 Edicin. McGraw-Hill. Mxico.

Infante G.S. y Zrate De L.G. Mtodos estadsticos.

Prez V.Apuntes de Introduccin a la Estadstica.

q

(

)

s

m

s

m

n

X

n

X

Z

c

-

=

-

=

/

4

.

0

(

)

33

.

3

63

.

0

5

1

94

.

1

=

-

(

)

S

n

X

n

/

S

X

t

c

m

m

-

=

-

=

X

(

)

(

)

834

.

3

65148

.

3

4

1260

1267

/

=

-

=

-

=

-

=

S

n

X

n

S

X

t

c

m

m

X

(

)

671

.

0

0653

.

0

7

.

0

6920

.

0

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