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Apuntes de Mecanica de Fluidos
Jose Roberto Zenit Camacho
Instituto de Investigaciones en Materiales
Universidad Nacional Autonoma de Mexico
Enero de 2017
Motivacion
Me resulta difıcil de entender porque la Mecanica de Fluidos no es un
tema ‘popular’ en las carreras de ingenierıa o fısica. El movimiento de
fluidos esta en todas partes. Es importantısimo para una gran variedad
de aplicaciones practicas, sistemas biologicos y fenomenos naturales.
Con estos apuntes busco acercar a los alumnos al tema.
Tener estos apuntes hace que la imparticion de las clases Mecanica de
Fluidos sea mas facil para el instructor.
Con los apuntes es muy sencillo planear la distribucion de clases a lo
largo del semestre.
A la par de las notas, planeo crear una base de datos de tareas, ejercicios
y examenes.
De manera similar, planeo crear una base de datos de ligas a fuentes
de internet con material multimedia de diferentes temas de los cursos.
Los apuntes estan basados en varios libros clasicos [Por ejemplio Fox
et al., 2003, White, 2008] pero son en general una vision personal de
como se debe de ensanar la materia.
En los apuntes aparece texto con una fuente tipo: MMFM:Bondary layers.
Este se refiere a secciones del software multimedia de Homsy et al.
[2009].
i
ii
Indice general
Indice general 1
1. Introduccion 9
1.1. ¿Porque Mecanica de Fluidos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Mecanica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. ¿Mecanica no-Clasica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Estado Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. Propiedades de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5. Mecanica de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.6. Mecanica de cuerpo fluido . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.7. Enfoque integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Recuento Historico de la Mecanica de Fluidos . . . . . . . . . 17
2. Ecuaciones de movimiento 21
2.1. Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. Velocidad y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3. Campo de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Leyes de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1. Conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. Ecuacion de conservacion de momentum lineal . . . . . 34
2.2.3. Ecuacion de conservacion de energıa . . . . . . . . . . 37
2.3. Relacion constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
2 INDICE GENERAL
2.4. Ecuaciones de Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible . . . . . . . 42
2.4.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Hidrostatica 49
3.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1. Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2. Barometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3. Manometro (Diferencia de presiones) . . . . . . . . . . 52
3.1.4. Prensa hidraulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Presion hidrostatica para un fluido compresible . . . . . . . . 53
3.2.1. Liquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1. Superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2. Fuerza hidrostatica sobre superficies curvas sumergidas 57
3.4. Fuerzas en objetos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1. Fuerza de flotacion, principio de Arquımedes . . . . . . 58
3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . 60
3.5.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4. Ecuacion de Bernoulli 63
4.1. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1. Descarga de un orificio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2. Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.3. Sifon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3. Flujo en tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1. Solucion del flujo en una tuberıa circular usando Ber-
noulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.2. Solucion exacta de flujo en una tuberıa circular . . . . 71
INDICE GENERAL 3
4.4. Una ecuacion de Bernoulli modificada . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.1. Perdidas mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2. Perdidas Menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5. Solucion de problemas de flujo en tuberıas . . . . . . . . . . . 79
4.5.1. Ecuacion general de flujo en tuberıas . . . . . . . . . . 80
4.5.2. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.3. Redes de tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.4. Tuberıas de seccion no-circular . . . . . . . . . . . . . 84
5. Analisis de Volumen de Control 87
5.1. Definiciones basicas: sistema y volumen de control . . . . . . . 87
5.2. Ecuaciones de conservacion para un sistema . . . . . . . . . . 88
5.3. Teorema de Trasporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4. Ecuacion de conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.1. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5. Ecuacion de conservacion de momentum lineal . . . . . . . . . 95
5.5.1. Algunas observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.6. Analisis para un VC que se mueve a una velocidad constante . 97
5.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7. Conservacion de momentum para un VC con aceleracion rec-
tilınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.8. Primera ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.8.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6. Escalamiento y analisis dimensional 101
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2. Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.1. Dimension de una variable fısica y Funcion Dimension 104
6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes . . . . . . 107
4 INDICE GENERAL
6.3. Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3.1. Homogeneidad Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3.2. Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4. Metodo de variables repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.1. Algortimo del MVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.5. Ecuaciones de Conservacion en Forma Adimensional . . . . . . 119
6.5.1. Numeros adimensionales relevantes en Mecanica de Flui-
dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6. Teorıa de Modelos y Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6.1. Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6.2. Teorıa de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7. Flujo Viscoso: Soluciones Exactas a NS 127
7.1. Soluciones exactas a Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.1. Flujo de corte simple o de Couette . . . . . . . . . . . 128
7.1.2. Flujo en una tuberıa o de Poiseuille . . . . . . . . . . . 131
7.1.3. Pelıcula de fluido que escurre sobre una pared inclinada 134
7.1.4. Otros problemas unidireccionales estacionarios . . . . . 137
7.1.5. Flujos no-estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8. Flujo Viscoso: Capa lımite 155
8.1. Teorıa de capa lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1.1. Ecuaciones de capa lımite laminar . . . . . . . . . . . . 156
8.1.2. Solucion de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.1.3. Flujo de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa lımite . . . . 171
9. Flujo irrotacional ideal 177
9.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2.1. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
INDICE GENERAL 5
9.3. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3.2. Tecnicas de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.3.3. Funcion de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.4. Soluciones elementales en 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.4.1. Superposicion de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.4.2. Flujo alrededor de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . 201
9.4.3. Metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.Turbulencia 209
10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.2. Experimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3. Descripcion fısica de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.4. Estabilidad y origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . 213
10.4.1. Teorıa de la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.4.2. Desarrollo de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.5. Turbulencia desarrollada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.5.1. Descomposicion de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.6. Ecuaciones de Conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.6.1. Conservacion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.6.2. Conservacion de momentum . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.6.3. Modelos empıricos para turbulencia . . . . . . . . . . . 223
10.7. Capa limite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.7.1. Estructura de un flujo turbulento . . . . . . . . . . . . 227
10.7.2. Flujo de Couette turbulento . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.8. Capa limite, forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.9. Flujo turbulento en tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.Fuerzas hidrodinamicas: arrastre y sustentacion 239
11.1. Flujo alrededor de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.1.1. Fuerza de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
11.1.2. Flujo alrededor de una esfera . . . . . . . . . . . . . . 246
6 INDICE GENERAL
11.1.3. Perfiles aerodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.1.4. Fuerza de sustentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.Flujo compresible 257
12.1. Repaso de termodinamica de gases ideales . . . . . . . . . . . 258
12.2. Propagacion de una perturbacion pequena de presion . . . . . 262
12.2.1. Emision sonica y tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . 264
12.3. Flujo compresible unidimensional estacionario . . . . . . . . . 268
12.4. Relaciones para flujo isentropico de un gas ideal . . . . . . . . 271
12.4.1. Propiedades isentropicas de estancamiento . . . . . . . 272
12.4.2. Propiedades sonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.5. Flujos con cambio de area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.6. Tobera convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12.7. Flujo ahogado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.8. Otros temas de interes en flujo compresible . . . . . . . . . . . 281
A. Repaso de algunos conceptos utiles de calculo vectorial 283
A.0.1. Funciones Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . 283
A.0.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.0.3. Transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.0.4. Mas sobre funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 294
A.0.5. Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
A.0.6. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
A.0.7. Integrales de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
A.0.8. Teorema de Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.0.9. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
B. Series de ejercicios 309
C. Ecuaciones de conservacion 311
D. Ligas de interes 313
INDICE GENERAL 7
Bibliografıa 315
8 INDICE GENERAL
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. ¿Porque Mecanica de Fluidos?
Como estudiantes de licenciatura rara vez nos preguntamos porque de-
bemos tomar ciertas materias. Uno, como estudiante, no es capaz de cues-
tionarse la razon fundamental de tener que someterse a ciertos cursos. En
muchos casos es obvio: se toman clases de humanidades porque uno debe de
saber otras cosas ademas de los temas tecnicos; uno debe tomar clases de
matematicas porque todo el lenguaje tecnico esta en terminos de modelos
matematicos que predicen el comportamiento de sistemas.
1.1.1. Mecanica Clasica
1 Parte de la Fısica que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos
sometidos a cualesquiera fuerzas. Se divide en tres sub-areas:
Estatica
Cinematica
Dinamica. Estudia el movimiento en relacion con las fuerzas que
lo producen.
9
10 CAPITULO 1. INTRODUCCION
La mecanica clasica es la ciencia que estudia las leyes del comportamiento
de cuerpos fısicos macroscopicos en reposo y a velocidades pequenas compa-
radas con la velocidad de la luz.
La ley fundamental de la mecanica clasica es:
~F =d
dt(m~v) (1.1)
donde m es la masa de cuerpo (rıgido) y ~v es su velocidad. ~F es la fuerza
aplicada al cuerpo.
1.1.2. ¿Mecanica no-Clasica?
Si existe un termino llamado mecanica clasica, forzosamente debe de exis-
tir algo llamado mecanica no-clasica ¿no? Si los cuerpo no son macroscopicos
entonces se estudian con mecanica cuantica. Si los cuerpos se mueve a una
velocidad comparable a la de la luz entonces se estudian con mecanica re-
lativista. Nada de eso se ve en este curso.
1.1.3. Estado Fluido
El primer gran cambio que se debe considerar es dejar atras la conside-
racion de cuerpo rıgido.
¿La ecuacion es aplicable si el cuerpo no es rıgido?
Deformacion y Deformacion Continua
Deformacion ∼ F
A= τ
Deformacion continua. Forma del bloque de fluido cambia para diferentes
instantes de tiempo.
1.1. ¿PORQUE MECANICA DE FLUIDOS? 11
F
t=0
t=1
t=2
t=3
fluido
Figura 1.1: Fluido en deformacion cortante.
Fluidos viscosos y solidos elasticos
Existen varias definiciones de fluido. La mayorıa son fenomenologicas:
1 Substancia que se deforma continuamente a ser sometida a un esfuerzo
cortante (tangencial) sin importar que tan pequeno sea.
2 Cuerpo cuyas moleculas cambias su posicion relativa con facilidad. Ningu-
na o poca cohesion entre moleculas.
3 Material que toma la forma del recipiente que lo contiene.
F
Figura 1.2: Solido en deformacion cortante.
La definicion formal de fluido que aceptaremos en este curso es: Un fluido
es aquel material que se deforma de manera continua bajo la accion de un
esfuerzo cortante.
12 CAPITULO 1. INTRODUCCION
1.1.4. Propiedades de un fluido
Densidad
La densidad es un magnitud escalar que mide la cantidad de masa por
unidad de volumen:
ρ =m
V(1.2)
donde m es la masa y V es el volumen.
La densidad tiene dimensiones [ML−3]. Esta notacion se usara a lo largo
de las notas. Sus unidades en SI son kg/m3.
La densidad puede cambiar como funcion de la temperatura, T , de la
presion, P . En general, la densidad aumenta con la presion y disminuye con
la temperatura. Obvio, hay excepciones (agua-hielo).
∂ρ
∂T≤ 0 (1.3)
∂ρ
∂P≥ 0 (1.4)
Ejemplo: ley de gas ideal
ρ =P
RT(1.5)
donde R es la constante del gas.
Una propiedad relacionada con la densidad es el peso especıfico, δ = ρg.
Mide el peso por unidad de volumen. En general, no hacemos distincion entre
masa y peso. Esto es debido a que g es casi siempre constante.
Viscosidad
La viscosidad es una magnitud escalar que mide la oposicion que presenta
un fluido a fluir. Surge de la naturaleza molecular del lıquido; mide a afini-
dad que tienen las moleculas a permanecer juntas. A mayor afinidad, mayor
resistencia a fluir.
La definicion formal de viscosidad se dara mas adelante (es la constante
de proporcionalidad entre esfuerzo cortante y rapidez de deformacion).
1.1. ¿PORQUE MECANICA DE FLUIDOS? 13
Cuadro 1.1: Valores tıpicos de densidad de materiales comunes, a condiciones
estandar.fluido ρ, kg/m3.
agua destilada 1000.0
gasolina 680.0
petroleo 800.0
etanol 810.0
sangre 1600.0 a 1800.0
mercurio 13580.0
aire 1.2
hidrogeno 0.1
dioxido de carbono 1.9
hule espuma 20.0 a 500.0
Tierra (planeta) 5540.0
Jupiter (planeta) 1330.0
Sol (estella) 1410.0
Estrella de neutrones 6×1017
Universo 1×10−26
La viscosidad solo se manifiesta cuando hay flujo. De otra manera, no es
posible saber su valor. La manera mas directa de explicarla es considerando
un flujo cortante simple. ANADIR FIGURA.
Fr = µAU
H(1.6)
donde Fr es la fuerza cortante (fuerza de resistencia), A es el area de contacto,
U es la velocidad a la que se desplaza la placa superior y H es la distancia
entre las placas. La expresion anterior se puede re-escribir de la siguiente
manera:
τxy = µ∂u
∂y(1.7)
donde µ es la viscosidad dinamica del liquido.
La viscosidad tiene dimensiones [FL−2T ]. Sus unidades en SI son Pa s..
14 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Cuadro 1.2: Valores tıpicos de viscosidad de fluidos comunes, a condiciones
estandar.fluido µ, Pa s. ν, m2/s
agua destilada 1.0×10−3 1.0×10−6
miel 2 a 10 1.4 a 7.1
gasolina 6.0 ×10−3 8.8 ×10−6
etanol 1.1×10−3 1.4×10−6
sangre 3.5 ×10−3 2.1×10−6
mercurio 1.5×10−3 1.1×10−7
aire 18.3×10−6 15.3×10−6
hidrogeno 8.8×10−6 9.8×10−7
dioxido de carbono 14.8×10−6 7.5×10−6
vidrio 1×1017 4×1015
manto terrestre 1×1024 4×1022
Existe otra medida de viscosidad, llamada viscosidad cinematica, ν, que
se define como: ν = µ/ρ. Esta tiene dimensiones [L2T−1] y sus unidades en
SI son m2/s.
Cuando un lıquido tiene una viscosidad constante, se dice que es newto-
niano.
Tension superficial
La tension superficial es la propiedad de la interfaz entre dos fluidos que
mide que tan diferentes son. Mide la es la fuerza que actua tangencialmen-
te por unidad de longitud en el borde de una superficie de un lıquido en
equilibrio. Si mide la tension entre un liquido y el aire se denomina tension
superficial; si mide la tension entre dos lıquidos (o dos fluidos) se denomina
tension interfacial. ANADIR FIGURA.
La tension superficial tiene dimensiones [FL−1]. Sus unidades en SI son
N/m.
1.1. ¿PORQUE MECANICA DE FLUIDOS? 15
Cuadro 1.3: Valores tıpicos de tension superficial de lıquidos comunes, a con-
diciones estandar.fluido σ, N/m.
agua destilada 0.072
etanol 0.022
mercurio 0.485
aceite 0.012
helio liquido 3.7 ×10−4
1.1.5. Mecanica de cuerpo rıgido
En el esquema original de mecanica clasica tenıamos un objeto rıgido y
de tamano finito.
~F =d
dt(m~v) (1.8)
Esta ecuacion sigue siempre a la misma masa m. Todas las partıculas que
conforman a la masa m se mueven a la misma velocidad. Es una ecuacion
diferencial ordinaria de primer orden ¿se puede resolver?
¿Esta ecuacion es aplicable si el cuerpo es continuo? No.
1.1.6. Mecanica de cuerpo fluido
Cuando estudiamos un flujo, el objeto no es rıgido (obvio) y su tamano es
infinito (si no, al menos es muy grande). Entonces, el lugar dem consideramos
ρ = m/V . Ademas, la velocidad de las partıculas del material fluido no es
la misma para toda la masa: ~v = f(~x, t), dependen de la posicion ~x y del
tiempo.
La otra gran diferencia es que en vez de seguir a cada partıcula del medio,
medimos la aceleracion (o mas bien, cambio de momentum) de un cierto
punto por donde pasa el flujo. Esta cambio de manera de describir la mecanica
del sistema tiene consecuencias importantes, las cuales se discutiran en el
capıtulo siguiente.
16 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Enfoque diferencial
Le segunda ley de Newton para un fluido simple es:
−∇P + µ∇2~v + ρ~g = ρ
(∂~v
∂t+ (~v · ∇)~v
)
(1.9)
Si se resuelve nos puede dar la velocidad del flujo ~v en cada punto en el
espacio. Es una ecuacion diferencial parcial no-lineal de segundo orden ¿se
puede resolver?
1.1.7. Enfoque integral
La ecuacion (1.9) se puede escribir de manera alternativa, considerando
un volumen de control:
L
Lo que resulta en:
~Fvol + ~Fsup =∂
∂t
∫
vol
ρ~vdV +
∫
sup
ρ~v(~v · ~dA) (1.10)
Los detalles del movimiento del fluido dentro del volumen de control no
se resuelven. Solo obtenemos una descripcion global.
1.2. RECUENTO HISTORICO DE LA MECANICA DE FLUIDOS 17
1.2. Recuento Historico de la Mecanica de
Fluidos
Antes 300 A.C. Conocimientos empıricos aislados
384 A.C. , Aristoteles
• Leyes basicas de la mecanica. Conceptos sobre vacıo, peso, estado
natural, medio continuo
• Civilizacion griega
• Civilizaciones Olmeca y Teotihuacana
287 A.C. , Arquımedes
• Hidrostatica, flotacion, concepto de presion, bomba de tornillo
Hero de Alexandrıa, 300 A.C. aprox.
• primer ingeniero, maquina de vapor
Edad Media (400 D.C. al siglo XV)
• No hubo avances en M.F.
• En Mexico, perıodo clasico, Mayas
1425-1519, Leonardo da Vinci
• Filosofıa, anatomıa, optica, acustica. Ingenierıa de caminos, ca-
nales y puentes. Dibujos de olas y flujos, Concepto intuitivo de
continuidad y de arrastre.
• Renacimiento
• Perıodo posclasico, Aztecas, Conquista
1565- 1642, Galileo Galilei
18 CAPITULO 1. INTRODUCCION
• Fundamentos de dinamica general (diferente a lo originalmente
propuesto por Aristoteles). Conceptos de inercia, momentum. Pro-
porcionalidad entre fuerza y cambio de momentum.
• Renacimiento
• Conquista y Epoca Colonial.
1608- 1647, Evangelista Torricelli
• Conceptos de vacıo y presion
1623-1662 Blaise Pascal
• Teorıa hidrostatica, presion barometrica y atmosferica. Principio
de Pascal
1642-1747, Issac Newton
• Leyes de la mecanica. Calculo infinitesimal. Resistencia en fluidos
• Fin del renacimiento, inicio de la revolucion industrial.
• Continua el perıodo colonial.
1700-1782, Daniel Bernoulli.
• Relacion entre presion y el movimiento de los fluidos (ecuacion de
Bernoulli ?)
1707- 1783, Leonard Euler
• Fundador de la mecanica de fluidos en forma diferencial. Geo-
metrıa. Mecanica. Conceptos de partıcula de fluido, lıneas de co-
rriente. Primeras ecuaciones de balance.
1736-1813, Louis de Lagrange
1.2. RECUENTO HISTORICO DE LA MECANICA DE FLUIDOS 19
• Punto de vista alternativo para la el estudio del movimiento de
fluidos. Diferencial total. Potencial de velocidades.
Propuso formalmente la ecuacion de Bernoulli.
• Revolucion Francesa.
• Primeras insurrecciones independentistas en Mexico.
1717-1783 J.R. DAlambert.
Resistencia de un cuerpo en un flujo ideal.
1746-1822 G.B. Venturi.
1799-1869 Jean Poiseuille
• Flujo en tuberıas. Primeras comparaciones entre teorıa y experi-
mentos.
• La revolucion Industrial en apogeo.
• Independencia de Mexico.
1785-1836 Claude Louis Navier ; 1819-1903 George G. Stokes.
• Solucion al problema general de la viscosidad. Ecuaciones genera-
les de balance.
• Guerra civil en Estados Unidos. Origen de las especies de Darwin.
Canal de Suez. Torre Eiffel.
• Benito Juarez. Reforma. Porfiriato.
1900- Mecanica de fluidos experimental
1905 L. Prandtl.
• Concepto de capa lımite.
• Primeros aviones.
20 CAPITULO 1. INTRODUCCION
• Revolucion mexicana.
1950- T. von Karman; G.I. Taylor
• Estabilidad de flujos. Turbulencia.
• Guerras Mundiales.
• Inicio del Gobiernos modernos en Mexico.
Capıtulo 2
Ecuaciones de conservacion
El objetivo de este capıtulo es re-derivar las ecuaciones de balance fısico,
ampliamente conocidas, para el caso de un material que fluye.
Primero ¿porque se deben de rederivar las ecuaciones de conservacion?
Se supone que las ecuaciones de masa, momentum y energıa son universales
e inviolables.
Las ecuaciones fundamentales de conservacion, como se conocen hasta
ahora son:
Ecuacion de Conservacion de Masa:
dM
dt= 0
La masa, M , de un sistema es constante.
Ecuacion de Conservacion de Momentum Lineal (2da Ley de Newton):
d(M~v)
dt= ~F
Ecuacion de Conservacion de Energıa (1a Ley de la Termodinamica):
dE
dt= 0
21
22 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Hay dos elementos importantes a considerar. Primero, las ecuaciones de
conservacion estan desarrolladas para un cuerpo rıgido. Es decir, todas las
partıculas que conforman a la masa, M , responden de la misma manera bajo
la aplicacion de la la fuerza; todas se aceleran de la misma manera. Cuando
el cuerpo es un solido elastico o un fluido viscoso, este se podra acelerar a
diferente tasa, en diferentes posiciones del cuerpo. Esta deformabilidad de-
be tomarse en cuenta en la ecuacion de conservacion. El otro elemento de
gran importancia es la descripcion cinematica del movimiento y la mecanica.
Mientras que en mecanica de cuerpo rıgido se rastrea la aceleracion de las
partıculas de masa, en el caso particular de un fluido no es relevante conocer
las propiedades de partıculas especıficas. Es mejor, conocer la velocidad o
aceleracion de puntos especıficos del espacio por donde pase el fluido. Enton-
ces, se deben de re-expresar las leyes de conservacion para realizar el balance
para este nuevo punto de vista.
Antes de proceder con las derivaciones se dara un breve repaso a algunos
conceptos basicos de cinematica.
2.1. Cinematica
Punto Lugar en el espacio.
Partıcula Elemento volumetrico infinitesimal parte del medio continuo.
Configuracion Identificacion de las partıculas de un medio continuo con los
puntos en el espacio que ocupan en un tiempo t referidos a un sistema
de ejes coordenados.
Deformacion Cambio de forma de un medio continuo entre una configura-
cion inicial (no deformada) y una configuracion final (deformada).
Flujo Cambio continuo de la configuracion de un medio continuo.
MMFM:kinematics:kinematics of point and fluid particles
2.1. CINEMATICA 23
El movimiento de un medio continuo puede describirse en funcion de
coordenadas materiales (descripcion Lagrangiana)
xi = xi(X1, X2, X3, t) o ~x = ~x( ~X, t)
o en funcion de coordenadas espaciales (descripcion Euleriana)
Xi = Xi(x1, x2, x3, t) o ~X = ~X(~x, t)
Descripcion Lagrangiana Atencion fija sobre una partıcula especıfica del
fluido.
Descripcion Euleriana Atencion fija sobre un punto en el espacio
Cualquier propiedad fısica puede describirse como funcion de coordenadas
materiales o espaciales. Por ejemplo:
ρ = ρ( ~X, t) = ρ( ~X(~x, t) = ρ∗(~x, t)
MMFM:kinematics:fields particles and reference frames
2.1.1. Derivada material
La razon de cambio temporal cualquier propiedad en un medio continuo
con respecto a partıculas especıficas del MC en movimiento se llama derivada
material de esa propiedad.
La derivada material puede interpretarse como la tasa de cambio temporal
que un observador medirıa viajando con una partıcula especıfica.
MMFM:kinematics:material derivative
La posicion instantanea xi de una partıcula es en si una propiedad de la
partıcula. La derivada material de la posicion es la velocidad instantanea de
la partıcula.
vi =d
dtxi = xi o ~v =
d~x
dt= ~x
24 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
En general si Pij es una propiedad escalar, vectorial o tensorial de un MC
que pueda ser expresada como una funcion puntual de coordenadas (descrip-
cion lagrangiana):
Pij = Pij(X, t)
entonces la derivada material de dicha propiedad sera
DPij
Dt=∂Pij(X, t)
∂t1 Notese que las coordenadas X se mantiene fijas.
Si la propiedad Pij se expresa en funcion de las coordenadas (x) entonces
la derivada material estara dada por:
DPij(x, t)
Dt=
cambio temporal︷ ︸︸ ︷
∂Pij(x, t)
∂t+
cambio convectivo︷ ︸︸ ︷
∂Pij(x, t)
∂xk
dxkdt
Mas aun podemos escribir
DPij(x, t)
Dt=∂Pij(x, t)
∂t+ vk
∂∂Pij(x, t)
∂xk
Ası podemos definir un operador derivada material :
D
Dt=
∂
∂t+ vk
∂
∂xkoD
Dt=
∂
∂t+ ~v · ∇X
Ejemplo:
Encontrar la razon de cambio de la temperatura.
Sabemos que T (z, t) y buscamos la tasa de cambio temporal:
DT
Dt=∂T
∂t+ ~v · ∇T
Para este problema T 6= T (t) solo T = T (z). Tambien sabemos que es
una caıda puramente vertical: ~v = (0, 0, w). Entonces,
DT
Dt=∂T
∂t+ u
∂T
∂x+ v
∂T
∂y+ w
∂T
∂z
1Para la derivada material adoptaremos la notacion D
Dt.
2.1. CINEMATICA 25
10 Km/hr 3000 m
T
z
T= To - k z
k=0.005 o C/m
entoncesDT
Dt= w
∂T
∂z= w(−κ)
Finalmente
DT
Dt= (2.77m/s)(−0.005) = 0.014oC/s
2.1.2. Velocidad y aceleracion
Sabiendo que vi = DxiDt y que xi = ui + Xi, donde ui es el desplaza-
miento, podemos definir al vector velocidad como:
vi ≡DxiDt
=DuiDt
puesto que Xi es independiente del tiempo. Si el desplazamiento esta dado
en funcion de las coordenadas Lagrangianas, i.e., ui = ui(X, t), entonces
tenemos
vi = ui =Dui(X, t)
Dt=∂ui(X, t)
∂t
26 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si por otro lado el desplazamiento esta dado en terminos de las coorde-
nadas eulerianas, ui = ui(x, t), entonces tenemos
vi = ui =Dui(x, t)
Dt=∂ui(x, t)
∂t+ vk(x, t)
∂ui(x, t)
∂xk
o en forma vectorial
v(x, t) = v(x, t) · ∇Xu(x, t)
Notese que aquı la velocidad esta dada en forma implıcita.
La funcion vi = vi(x, t) nos da el campo de velocidades instantaneo.
La derivada material de la velocidad es la aceleracion. Si la velocidad esta
dada en coordenadas lagrangianas entonces
ai ≡ vi ≡Dvi(X, t)
Dt=∂vi(X, t)
∂t
Si por el contrario la velocidad esta dada en terminos de coordenadas
eulerianas, entonces tenemos
ai ≡ vi ≡Dvi(x, t)
Dt=∂vi(x, t)
∂t+ vk(x, t)
∂vi(x, t)
∂xk
2.1.3. Campo de esfuerzos
Los esfuerzos en un continuo son el resultado de la accion de fuerzas sobre
algun elemento superficial del fluido.
El concepto de esfuerzo es una forma de describir la manera en que las
fuerzas que actuan sobre las fronteras se transmiten a traves del medio.
Tanto la fuerza como el area son cantidades vectoriales. Por lo tanto, si el
esfuerzo es la relacion entre fuerza y area entonces el esfuerzo es una cantidad
tensorial. Esto quiere decir que se necesitan 9 cantidades para conocer el
estado de esfuerzos en un punto.
2.1. CINEMATICA 27
Fuerzas de Superficie y Fuerzas de Volumen
Podemos considerar dos tipos de fuerzas que actuan sobre un volumen
dado.
Fuerzas volumetricas. Actuan sobre cada elemento del volumen (sin
contacto fısico). Ejemplos de este tipo de fuerzas son la fuerza gravi-
tacional, electromagnetica, etc. En general, se considera que para un
elemento diferencial de volumen la fuerza es
ρ−→f V
Fuerza de superficie. Actuan sobre la superficie S del volumen por
contacto directo. La fuerza superficial en un elemento diferencial de
superficie se puede calcular del producto del esfuerzo y el area.
Esfuerzo en un punto
Consideremos el siguiente esquema: Sobre el elemento de area d~S en un
d S
d F
punto C actua una fuerza d~F . La magnitud de d~S es el area del elemento;
su direccion es la del vector normal a la superficie en ese punto.
28 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si definimos el esfuerzo como
Esfuerzo = T = lım|dS|→0
d~F
d~S
Note que la operacion cociente de dos vectores no esta definida para
campos vectoriales. Analicemos esta operacion.
El vector d~S es:
d~S = idSx + jdSy + kdSz.
En otras palabras, dSx es la componente x de d~S, etc. De la misma manera,
el vector fuerza es
d~F = iFx + jFy + kFz.
Entonces, para definir el esfuerzo en el punto CV debemos considerar que
cada una de las componentes Fx, Fy, Fz puede actuar sobre las cada una de
las componentes dSx, dSy, dSz. Por lo tanto, para lograr describir el estado
de esfuerzos en un punto se deben considerar nueve posibilidades:
dFx/dSx dFx/dSy dFx/dSz
dFy/dSx dFy/dSy dFy/dSz
dFz/dSx dFz/dSy dFz/dSz
Ası, definimos al esfuerzo, utilizando notacion indicial como:
Tij = lım|dSi|→0
dFi
dSj
Entonces,
Σ = σij =
σxx τxy τxz
τyx σyy τyz
τzx τzy σzz
Por ejemplo, τxy representa al fuerza en la direccion y que actua sobre el
plano x.
Los esfuerzos normales se denotan con σ y los esfuerzos con τ .
Por lo tanto, la fuerza de superficie sobre un elemento diferencial de area
de S se puede escribir como:
σ · ~ndS
2.2. LEYES DE CONSERVACION 29
2.2. Leyes de conservacion
2.2.1. Conservacion de masa
Consideremos el volumen euleriano, fijo en el espacio, mostrado en la
figura
V
S
dS
El elemento diferencial de area es d~S = ~nds
V
n
Consideremos:
la componente de ~v que acarrea material a traves de la superficie es
~v · ~n.
el flujo de masa a traves de un elemento infinitesimal de superficie dS
(hacia fuera) es
ρ~v · ~ndS
30 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
el flujo total de masa a traves de toda la superficie S es∫
S
ρ~v · ~ndS
Consideremos
para el elemento de volumen V , con densidad ρ, la masa total en V es∫
V
ρdV
la razon de cambio de masa en V es
D
Dt
∫
V
ρdV =∂
∂t
∫
V
ρdV =
∫
V
∂ρ
∂tdV
La razon de cambio de masa dentro del volumen V tiene que deberse al
flujo neto de masa a traves de S (suponiendo que no hay fuentes ni sumideros
dentro de V ). Por lo tanto:
∫
V
∂
∂tρdV = −
∫
S
ρ~v · ~ndS
Esta es la ecuacion de conservacion de masa en forma integral. Para con-
vertirla a la forma diferencial utilizaremos el teorema de la divergencia:∫
S
ρ~v · ~ndS =
∫
V
∇ · (ρ~v)dV
El teorema de la divergencia permite transformar a una integral de su-
perficie en una integral de volumen.
Por lo tanto podemos escribir la ecuacion de conservacion de masa en
forma integral de la siguiente manera∫
V
∂
∂tρdV +
∫
V
∇ · (ρ~v)dV = 0
∫
V
(∂
∂tρ+∇ · (ρ~v)
)
dV = 0
2.2. LEYES DE CONSERVACION 31
Para que esta integral sea cero para cualquier volumen V , la unica posi-
bilidad es que el integrando sea cero:
(∂
∂tρ+∇ · (ρ~v)
)
dV = 0
Podemos simplificar la ecuacion anterior si consideramos que
∇ · (ρ~v) = ρ∇ · ~v + ~v · ∇ρ
entonces tenemos∂ρ
∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ∇ · ~v = 0.
y recordando la definicion del operador derivada material,
Dρ
Dt+ ρ∇ · ~v = 0 (2.1)
que es la ecuacion de conservacion de masa en forma diferencial.
Esta ecuacion escrita en forma explıcita, en coordenadas rectangulares,
para ~v = (u, v, w), es:
∂ρ
∂t+
(
u∂ρ
∂x+ y
∂ρ
∂y+ w
∂ρ
∂z
)
+ ρ
(∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z
)
= 0
Caso especial: Fluido incompresible
SI consideramos el caso en que la densidad del fluido es constante (ρ 6=ρ(x, t)) entonces
∂ρ
∂t= 0
y
∇ρ = i∂ρ
∂x+ j
∂ρ
∂y+ k
∂ρ
∂z= 0
2
2Esto implica que Dρ/DT = 0.
32 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La ecuacion de conservacion de masa se reduce a ρ∇ · ~v = 0, y por lo
tanto
∇ · ~v = 0 (2.2)
es la ecuacion de conservacion de masa para un fluido incompresible.
En forma explıcita esta ecuacion es:
∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0
Derivacion de la ecuacion de conservacion de masa, metodo alter-
nativo
Consideremos un paralelepıpedo de volumen infinitesimal dxdydz: que
���
���
���
���
���
���
���
���
V
dx
dz
dy
2
1
V =(u,v,w)
esta fijo en un flujo ~v.
el flujo a traves de 1 es
ρudydz
el flujo a traves de 2 es
ρu+
Exp. serie Taylor︷ ︸︸ ︷
∂
∂x(ρu)dx
dydz
2.2. LEYES DE CONSERVACION 33
el flujo neto a traves de 1 y 2 es:
+ (ρu) dydz −(
ρu+∂
∂x(ρu)dx
)
dydz = −∂(ρu)∂x
dxdydz
de manera analoga, el flujo entre 3 y 4 es
= −∂(ρv)∂y
dxdydz
y el flujo entre 5 y 6 es
= −∂(ρw)∂z
dxdydz
Por lo tanto el flujo neto a traves del volumen dxdydz es:
=
(
−∂(ρu)∂x
− ∂(ρv)
∂y− ∂(ρw)
∂z
)
dxdydz
Ahora consideremos
la masa total dentro de dxdydz:
ρdxdydz
la tasa de cambio de masa dentro del volumen es∂
∂t(ρdxdydz)
La masa dentro del volumen solo puede cambiar como resultado del flujo,
entonces:
−(∂(ρu)
∂x+∂(ρv)
∂y+∂(ρw)
∂z
)
dxdydz =∂
∂t(ρdxdydz)
Simplificando tenemos:
∂ρ
∂t+
(∂(ρu)
∂x+∂(ρv)
∂y+∂(ρw)
∂z
)
que se puede escribir como
∂ρ
∂t+∇ · (ρ~v) = 0
que, finalmente, se puede reescribir como:
Dρ
Dt+ ρ∇ · ~v = 0
34 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
2.2.2. Ecuacion de conservacion de momentum lineal
Debemos re-expresar la Segunda Ley de Newton para un fluido (medio
continuo):
Fuerza total sobre un cuerpo = Rapidez de cambio de momentum
Consideremos, de nuevo, un volumen Euleriano fijo suspendido en un flujo
cualquiera.
V
S
dS
Las fuerzas en un fluido son:
~Ftotal = ~Fs + ~Fv
donde ~Fs son las fuerzas de superficie y ~Fv son las fuerzas de volumen.
Cada una se puede definir como:
~Fv =
∫
V
ρ~fdV
donde ρ es la densidad y ~f es un campo de fuerzas (magneticas, gravitacio-
nales, etc). Ademas:
~Fs =
∫
S
Σ · ~ndS
donde Σ es el tensor de esfuerzos.
Consideremos:
2.2. LEYES DE CONSERVACION 35
flujo de momentum a traves de un elemento diferencial de area:
~vρ~v · ~ndS
flujo total de momentum a traves de toda la superficie S
∫
S
(~vρ)~v · ~ndS
el momentum total contenido en V es∫
V
~vρdV
la razon de cambio de momentum en V es
D
Dt
∫
V
(~vρ)dV =∂
∂t
∫
V
(~vρ)dV =
∫
V
∂
∂t(~vρ) dV
el cambio total de momentum en V esta dado por el flujo a traves de
S mas la razon de cambio de momentum dentro de V :∫
S
(~vρ)~v · ~ndS +
∫
V
∂
∂t(~vρ) dV
Entonces, la segunda ley de Newton queda expresada como:
∫
V
ρ~fdV +
∫
S
Σ · ~ndS =
∫
S
(~vρ)~v · ~ndS +
∫
V
∂
∂t(~vρ) dV
que es la ecuacion de conservacion de momentum lineal en forma integral.
Utilizando, de nuevo, el teorema de la divergencia podemos realizar la
siguientes transformaciones:
∫
S
Σ · ~ndS =
∫
V
∇ ·ΣdV
36 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
y ∫
S
(~vρ)~v · ~ndS =
∫
V
∇ · ((~vρ)~v)dV
A esta ultima integral la podemos expandir sabiendo que
∇ · ((~vρ)~v) = (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)
Entonces podemos escribir la ecuacion de conservacion de momentum
como:∫
V
(
ρ~f +∇ ·Σ− ∂
∂t(~vρ)− ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ))
)
dV = 0
Una vez mas, para que esto sea cierto, independientemente de la eleccion
de V , el integrando debe ser cero:
ρ~f +∇ ·Σ− ∂
∂t(~vρ)− ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)) = 0
Podemos expandir el termino ∂∂t(~vρ):
∂
∂t(~vρ) = ρ
∂~v
∂t+ ~v
∂ρ
∂t
Entonces,
ρ~f +∇ ·Σ = ρ∂~v
∂t+ ~v
∂ρ
∂t+ (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)
Podemos reeagrupar algunos terminos tal que:
ρ~f +∇ ·Σ = ρ
(∂~v
∂t+ ~v∇ · ~v
)
+ ~v
(∂ρ
∂t+∇ · (~vρ)
)
Del ultimo termino de esta expresion, la cantidad dentro del parentesis
es exactamente igual a la ecuacion de conservacion de masa (Ecuacion 2.1),
y por lo tanto es igual a cero.
La cantidad dentro del parentesis del penultimo termino puede escribirse
de manera compactar usando la definicion de la derivada material.
Por lo tanto podemos escribir:
2.2. LEYES DE CONSERVACION 37
ρ~f +∇ ·Σ = ρD~v
Dt(2.3)
Esta es la ecuacion de conservacion de momentum en forma diferencial.
2.2.3. Ecuacion de conservacion de energıa
De nuevo, el objetivo es reformular las ecuaciones generales de conserva-
cion pero para el contexto de Mecanica de Medios Continuos.
La ecuacion de conservacion de energıa es
dEt = ðQ + ðW
donde Et es la energıa total, Q es el calor y W es el trabajo. El sımbolo ð
denote que las diferenciales de Q y W no son exactas.
Como nos interesa en cambio total de estas cantidades para un volumen
euleriano fijo en el espacio escribimos:
DEt
Dt=DQ
Dt+DW
Dt
La taza de cambio de energıa total puede expresarse como (considerando
cantidades por unidad de volumen):
DEt
Dt= ρdV
D
Dt
(
e +1
2|~v · ~v|2 − ~g · ~r
)
donde e es la energıa interna por unidad de volumen, ~g es un campo gravi-
tacional y ~r es el vector posicion. Mas aun, podemos desarrollar la ecuacion
anterior como:DEt
Dt= ρ
(De
Dt+ ~v
D~v
Dt− ~g · ~v
)
dV
La taza de transferencia de calor es
DQ
Dt= −∇ (∇ · ~q) dV = ∇ (k∇T ) dV
38 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde ~q es el flujo de calor, T es la temperatura y k es la conductividad
termica del material.
La taza de cambio de trabajo esta dada, para el caso de un fluido por
DW
Dt= ∇ · (~v ·Σ) dV
Entonces la ecuacion de conservacion de energıa se puede escribir como:
ρ
(De
Dt+ ~v
D~v
Dt− ~g · ~v
)
= ∇ (k∇T ) +∇ · (~v ·Σ)
El ultimo termino de esta ecuacion se puede desarrollar:
∇ · (~v ·Σ) = ~v(∇ ·Σ) +Σ(∇ · ~v)
Recordando la ecuacion de conservacion de momentum (Ecuacion 2.3) pode-
mos reescribir como:
∇ · (~v ·Σ) = ~v
(
ρ
(D~v
Dt− ~g
))
+Σ(∇ · ~v)
= ρ
(
~vD~v
Dt− ~v · ~g
)
+Σ(∇ · ~v)
Sustituyendo la expresion anterior en la ecuacion de conservacion energıa
y simplificando terminos tenemos finalmente:
ρDe
Dt= ∇ (k∇T ) +Σ(∇ · ~v) (2.4)
Ecuaciones de Estado
Se necesitan mas ecuaciones (hay mas incognitas que ecuaciones):
T = f1(P, ρ)
e = f2(P, ρ)
La ecuacion de estado mas conocida es la ecuacion de gas ideal: T = PρT.
2.3. RELACION CONSTITUTIVA 39
2.3. Relacion constitutiva
Podemos asociar a las componentes cortantes del esfuerzo (esfuerzos vis-
cosos) con la disipacion de energıa. Supondremos entonces que el tensor de
esfuerzos deviatorico Σ′ o τij es una funcion del el tensor rapidez de defor-
macion D o Dij:
Σ′ = fij(L)
Si consideramos que la funcion es lineal, entonces tenemos:
Σ′ = κ(1
2D)
donde κijpq es el tensor de coeficientes de viscosidad. Notese que puesto que
Σ′ y D son ambos tensores de segundo orden, entonces κ debe ser un tensor
de cuarto orden (¡24 componentes!).
Afortunadamente, si consideramos materiales isotropicos y homogeneos
(tensores de esfuerzo y rapidez de deformacion simetricos), unicamente sobre-
viven dos coeficientes de viscosidad diferentes de cero. La relacion constitutiva
se reduce a:
Σ = −P I+ λI(trD) + 2µD
en notacion indicial tenemos
σij = −Pδij + λδijDkk + 2µDij (2.5)
Esta es la relacion constitutiva newtoniana.
Notas:
Podemos definir el esfuerzo normal promedio:
1
3σii = −P +
1
3(3λ+ 2µ)Dii = −P + κDii
donde κ = λ+ 23µ es el coeficiente de viscosidad volumetrica.
40 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si consideremos los componentes deviatoricos de los tensores de esfuer-
zo y rapidez de deformacion podemos escribir las siguientes relaciones
τij = 2µD′ij
σii = −3P + 3κDii
donde D′ij = Dij − δijDkk/3 es el tensor rapidez de deformacion de-
viatorico y τij = σij − δijσkk/3 es el tensor de esfuerzos deviatorico.
En forma explıcita para el caso de coordenadas rectangulares, tenemos:
σxx = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ∂u
∂x
σyy = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ∂v
∂y
σxx = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ∂w
∂z
τxy = τyx = µ
(∂u
∂y+∂v
∂x
)
τxz = τzx = µ
(∂u
∂z+∂w
∂x
)
τyz = τzy = µ
(∂v
∂z+∂w
∂y
)
donde ∇ · ~v = ∂u∂x
+ ∂v∂y
+ ∂w∂z.
2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 41
2.4. Ecuaciones de Navier Stokes
Si sustituimos la relacion constitutiva (Ecuacion 2.5) en la ecuacion de
conservacion de momentum lineal (Ecuacion 2.3) tenemos:
ρD~v
Dt= ρ~f +∇ · (−P I+ λI(trD) + 2µD)
Sabemos que D es
Dij =1
2
(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
)
o en notacion vectorial
D =1
2(~v∇+∇~v)
entonces la ecuacion de conservacion de momentum se puede escribir como:
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v (2.6)
o en notacion indicial
ρDviDt
= ρfi −∂P
∂xi+ (λ+ µ)
∂
∂xj
(∂vj∂xi
)
+ µ∂2vi∂xj∂xj
Estas ecuaciones (es una ecuacion vectorial, tres componentes) se conocen
como las ecuaciones de Navier-Stokes.
Escribiendo las ecuaciones de N-S en forma explıcita para cada direccion
42 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
coordenada, considerando coordenadas rectangulares y ~v = (u, v, w), tenemos
ρ
(∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z
)
= −∂P∂x
+ (λ+ µ)∂
∂x
(∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z
)
+µ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
)
+ ρgx;
ρ
(∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z
)
= −∂P∂y
+ (λ+ µ)∂
∂y
(∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z
)
+µ
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2
)
+ ρgy;
ρ
(∂w
∂t+ u
∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z
)
= −∂P∂z
+ (λ+ µ)∂
∂z
(∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z
)
+µ
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2
)
+ ρgz.
2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible
Para un flujo incompresible la ecuacion de conservacion de masa se reduce
a ∇ · ~v = 0. En la ecuacion de conservacion de momentum (Ecuacion 2.6),
el esfuerzo viscoso extensional contiene un factor de ∇ · ~v, que puede ser
eliminado. Por lo tanto las ecuaciones de N-S para un flujo incompresible se
reducen a
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (2.7)
En forma explıcita, para coordenadas rectangulares, estas se escriben co-
mo:
ρ
(∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z
)
= −∂P∂x
+ µ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
)
+ ρgx;
ρ
(∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z
)
= −∂P∂y
+ µ
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2
)
+ ρgy;
ρ
(∂w
∂t+ u
∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z
)
= −∂P∂z
+ µ
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2
)
+ ρgz.
MMFM:dynamics:Navier Stokes equations
2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 43
Ecuaciones de N-S para flujo incompresible en forma adimensional
Podemos reescribir esta ecuacion en terminos adimensionales. Para esto
debemos elegir cantidades caracterısticas :
(x∗, y∗, z∗) = (x/L, y/L, z/L)
~v∗ = ~v/Vo
P ∗ = P/(ρV 2o
t∗ = t/(L/Vo)
donde L y Vo son la longitud y velocidad caracterıstica del flujo, respectiva-
mente.
Podemos ası hacer cambios de variable tal que
∂
∂x=
1
L
∂
∂x∗
∂
∂t=
VoL
∂
∂t∗
etc...
Las ecuaciones de N-S se reescriben como:
∂ ~v∗
∂t∗+ (~v∗ · ∇∗)~v∗ =
~f
VoL−∇∗P ∗ + (
µ
LVoρ(∇∗)2~v∗
Notamos que los grupos ~f/VoL y µ/LVoρ son adimensionales. Ademas
podemos definirlos como
Fr =~f
VoL
y
Re =LVoρ
µ
que son el numero de Froude y el numero de Reynolds respectivamente.
Entonces
∂ ~v∗
∂t∗+ (~v∗ · ∇∗)~v∗ = Fr −∇∗P ∗ +
1
Re(∇∗)2~v∗
44 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
El numero de Froude, Fr, es una comparacion entre los efectos gravita-
cionales y los efectos inerciales del flujo. Para Fr < 1 se pueden despreciar
los efectos gravitacionales.
El numero de Reynolds, Re, es una comparacion entre los efectos iner-
ciales y los viscosos del flujo. En un flujo con Re < 1 los efectos viscosos
dominan.
MMFM:dynamics:Reynolds number
2.4.2. Condiciones de contorno
En general se consideran dos clases de condiciones de frontera para un
problema de fluidos:
1. Continuidad de la distribucion de velocidades
Condicion de no deslizamiento:
~v|pared = ~Upared
~v|pared fija = 0
2. Continuidad de la distribucion de esfuerzos
Interfaz entre dos fluidos
τ1 = τ2
Superficie libre
τsup.libre = 0
MMFM:dynamics:boudary conditions
2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 45
2.4.3. Casos especiales
Ecuacion de la hidroestatica
Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido
estatico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuacion 2.6 se reducen a:
0 = ρ~f −∇P
Si consideramos el caso en que ~f = ~g = (0, 0, gz) entonces tenemos, para
las tres componentes de la ecuacion:
0 =∂P
∂x
0 =∂P
∂x
ρgz =∂P
∂z
Para las direcciones x − x′ y y − y′ tenemos que P es constante. Para la
direccion z − z′ vemos que la presion varıa en z de forma proporcional con
ρgz. Si tanto ρ como gz son constantes, entonces podemos integrar
P (z) = Po + ρgzz
donde Po es la presion de referencia en z = 0. Esta ecuacion es la ecuacion
de la hidrostatica.
Ecuacion de Euler
Para esta simplificacion suponemos que el fluido es ideal, que tiene visco-
sidad nula. La ecuacion se reduce a
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P (2.8)
Notese que al eliminar el termino viscoso la ecuacion diferencial reduce su
orden. Esta simplificacion tiene implicaciones matematicas importantes (esta
ecuacion si se puede resolver para algunos casos). Sin embargo, es importante
46 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
saber que las soluciones que se obtienen de este sistema de ecuaciones tienen
limitaciones importantes (resultados no fısicos o absurdos).
Uno de los resultados mas importantes que se pueden obtener a partir de
las ecuaciones de Euler es la Ecuacion de Bernoulli.
Derivacion de la Ecuacion de Bernoulli. Si consideramos que ~g es
un campo conservativo entonces se puede representar como
~g = ∇Φ
. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el termino
~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:
(~v∇)~v = ∇(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v
(esta identidad es la definicion del triple producto cruz).
Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuacion de N-S para en la ecua-
cion de Euler, tenemos:
∂~v
∂t+∇
(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v = −1
ρ∇P +∇Φ
Rearreglando terminos podemos escribir
∂~v
∂t+∇
(P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ
)
= ~v ×∇× ~v
Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-
cional ∇× ~v = 0, entonces la expresion anterior se reduce a:
∇(P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ
)
= 0
Una linea de corriente es aquella lınea que es tangente al vector velocidad
en cada punto. De la definicion de una linea de corriente sabemos que:
dx
u=dy
v=dz
w
2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 47
Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente dePρ+ 1
2~v ·~v−Φ sea cero, la unica posibilidad es que este termino sea constante:
P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ = constante
Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces:
P
ρ+
1
2~v · ~v + gz = constante (2.9)
que se conoce como la ecuacion de Bernoulli.
Ecuacion de Stokes
Si para un flujo los efectos viscosos son mucho mas importantes que los
efectos inerciales, entonces podemos despreciar los terminos de aceleracion
de las ecuaciones de Navier-Stokes. Considerando tambien que el flujo es
incompressible y que el campo gravitacional es despreciable, tenemos
0 = −∇P + µ∇2~v (2.10)
Estas ecuaciones tambien se pueden resolver matematicamente. Sus so-
luciones si tienen significado fısico valido pero su aplicacion es muy limitada
(flujos muy viscosos y lentos).
Ecuacion de conservacion de vorticidad
Otra forma de caracterizar a un flujo es a traves de la vorticidad. La
vorticidad se define como el rotacional de la velocidad
~ω = ∇× ~v
Fısicamente representa el giro de las partıculas de fluido, el cual esta
directamente relacionado con el momentum angular.
Si escribimos las ecuaciones de N-S para un fluido incompresible utilizan-
do la definicion del triple producto cruz (ver arriba), tenemos:
∂~v
∂t+∇
(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v = −∇(P
ρ
)
+µ
ρ∇2~v +∇Φ
48 CAPITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Tambien se supone que el campo gravitacional es conservativo y por tanto
se puede expresar como el gradiente de una funcion escalar Φ.
Ahora podemos aplicar la operacion rotacional a ambos lados de la ecua-
cion anterior (∇×). Sabemos, tambien por una identidad vectorial, que el
rotacional de cualquier gradiente es identico a cero. Por esto, la ecuacion
anterior se reduce a:∂~ω
∂t−∇× ~v × ~ω = ν∇2~ω
donde ~ω = ∇× ~v es la vorticidad y ν = µ/ρ es la viscosidad cinematica del
fluido. Esta es ahora la ecuacion de conservacion de vorticidad.
El termino ∇× ~v × ~ω puede expandirse:
∇× ~v × ~ω = ~v(∇ · ~ω)− ~ω(∇ · ~v)− (~v · ∇)~ω + (~ω · ∇)~v
El termino ∇ · ~ω = 0, puesto que la divergencia de cualquier gradiente es
siempre cero. La ecuacion de vorticidad puede escribirse como:
∂~ω
∂t+ ~ω(∇ · ~v) + (~v · ∇)~ω − (~ω · ∇)~v = ν∇2~ω
Si ademas consideramos el caso de un fluido incompresible,∇ · ~v = 0,
entonces, rearreglando terminos tenemos:
∂~ω
∂t+ (~v · ∇)~ω = −~ω(∇ · ~v) + ν∇2~ω
que se puede escribir, finalmente, como:
D~ω
Dt= −~ω(∇ · ~v) + ν∇2~ω (2.11)
Esta ecuacion tiene la ventaja de que para resolverla no se requiere cono-
cer el campo de presiones. Podemos, entonces, argumentar que los gradientes
de presion no producen giro en la partıculas.
Capıtulo 3
Estatica de Fluidos
El caso mas simple del estudio de mecanica de fluidos es aquel en el cual la
velocidad de las partıculas de fluido es cero en todos lados. Ası, las ecuaciones
de conservacion se simplifican enormemente.
Para este caso en particular, la presion puede calcularse en cualquier
punto de fluido.
Ecuacion de la hidrostatica
Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido
estatico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuacion 2.6) se reducen a:
0 = ρ~f −∇P. (3.1)
Esta es la ecuacion fundamental de la hidrostatica.
Si consideramos el caso en que ~f = ~g = (0, 0,−gz) entonces tenemos,
49
50 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
para las tres componentes de la ecuacion:
0 =∂P
∂x
0 =∂P
∂x
−ρgz =∂P
∂z
Para las direcciones x y y tenemos que P es constante. Para la direccion z
vemos que la presion varıa en z de forma proporcional con ρgz. Si tanto ρ
como gz son constantes, entonces podemos integrar
P (z) = Po + ρgzz
donde Po es la presion de referencia en z = 0. Esta ecuacion es la ecuacion
de la hidrostatica para un fluido incompresible.
3.1. Aplicaciones
3.1.1. Vasos comunicantes
Puesto que la presion unicamente cambia como funcion de la coordenada
vertical, podemos decir que para un nivel z = constante la presion debe de ser
igual. Ası, en un contenedor de formas varias abierto a la atmosfera tenemos:
H
3.1. APLICACIONES 51
3.1.2. Barometro
El barometro de Torricelli fue el primer aparato para medir la presion
atmosferica.
Consideremos el siguiente esquema:
z=0
H
La ecuacion a considerar es:
∂P
∂z= −ρlg
entonces,
P = −ρlgz + C1
Sabemos que P = Pvac = 0 en z = H , entonces
P = ρlg(H − z)
en z = 0, la presion es Patm. Por lo tanto
Patm = ρlgH
52 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
Si, ρl = 13600 kg/m3, entonces H = 760 mm, a nivel del mar.
Si, ρl = 1000 kg/m3, entonces H = 10300 mm.
3.1.3. Manometro (Diferencia de presiones)
A B
C
h 1
h 2
h 3
r 1
r 2
El objetivo es encontrar una relacion entre la presion en A y la presion
en b. Tomemos el punto C como referencia. Podemos calcular la presion en
ese punto de cada lado del manometro.
Lado izquierdo:
PC = PA + ρ1(h3 − h1) + ρ2H1
Lado derecho:
PC = PB + ρ1(h3 − h2) + ρ2H2
Igualando ambos lados:
PA + ρ1(h3 − h1) + ρ2H1 = PB + ρ1(h3 − h2) + ρ2H2
por lo tanto
PA − PB = g(ρ2 − ρ2)(h1 − h2)
3.2. PRESION HIDROSTATICA PARA UN FLUIDO COMPRESIBLE53
3.1.4. Prensa hidraulica
Puesto que la presion no depende del area, una de las aplicaciones practica
mas importantes de la hidrostatica es la prensa hidraulica.
A 1 A 2 F 1
F 2
Del lado izquierdo se aplica una fuerza de tamano F1 sobre un area A1.
Entonces, la presion en ese punto es simplemente
P1 =F1
A1
Si los lados a y 2 estan comunicados, entonces, por el principio de vasos
comunicantes, la presion del lado izquierdo debe de ser igual que la presion
del lado derecho:
P1 = P2
Si, del lado derecho el area es A2, entonces la fuerza sobre el este lado
sera
F2 = P2A2 = P1A2
Por lo tanto
F2 = F1A2
A1
Si A2 ≫ A1, entonces F2 ≫ F1.
3.2. Presion hidrostatica para un fluido com-
presible
Aunque un fluido no tenga densidad constante, la ecuacion
∂P
∂z= −ρg
puede integrarse para algunos casos
54 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
3.2.1. Liquidos
A altas presiones, la densidad de un liquido SI varıa con esta. La densidad
y la presion estan relacionadas a traves de una propiedad fısica llamada
modulo de compresibilidad volumetrica, EV :
EV =dP
drho/ρ
Si consideramos que EV sea constante entonces podemos sustituir su de-
finicion en la ecuacion de la hidrostatica:
1
∂z
(
EV∂ρ
ρ
)
= ρg
Por lo tanto
EV∂ρ
ρ2= d∂z
que puede integrarse tal que
−EV
ρ= −gz + C1
Si consideramos que ρ = ρo en z = 0, entonces:
[− EV
ρ− ρo= −gz
o
ρ = ρ0 +EV
gz
Sustituyendo de nuevo el la ecuacion de la hidrostatica tenemos,
P = ρgz + EV ln z + C
3.2.2. Gases
Para un gas la relacion entre presion, densidad y temperatura esta dada
por una ley de estado. La mas comunmente usada, obviamente, es la ley de
gas ideal:
P = RρT
3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 55
Sustituyendo esta relacion en la ecuacion de la hidrostatica tenemos
∂(ρRT ) = −ρg∂z
entonces,dρ
ρ=
−gRT
dz
Integrando, para T constante:
ln ρ =−gRT
z + C1
Si ρ = ρo para z = 0, entonces
ρ = ρo exp(−g
RTz)
3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas
Puesto que podemos saber la presion en cada punto en un fluid0 en reposo,
podemos tambien conocer la fuerza que se ejerce sobre cualquier superficie
sumergida. Solo es necesario integrar la presion sobre la superficie de interes.
Podemos estudiar las fuerzas que se producen debido a la presion. Pode-
mos calcular,
Magnitud de la fuerza
Direccion
Lınea de accion
3.3.1. Superficies planas
Consideremos la siguiente figura
Para calcular la fuerza sobre la cara superior de la placa mostrada debe-
mos calcular:~F =
∫
S
Pd~S =
∫
S
P~ndS
56 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
0
vista lateral
F r
CP dS
h
vista plana
Sabemos que∂P
∂h= ρg
Si, P = Po = 0 en h = 0, entonces
P = ρgh
Entonces,
~F =
∫
S
(ρgh)~ndS
La geometrıa de la placa puede expresarse en terminos de x y y La pro-
fundidad h puede expresarse en terminos de y
h = y sin θ
Si
dS = dxdy = (1)dy
esto es considerando que la profundidad x es unitaria.
Ası,
~F =
∫ y2
y1
(ρgy sin θ)j(1)dy
En general podemos escribir
3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 57
Fr = ρg sin θAYc
donde
Yc =
∫
s
ydS
es el primer momento de superficie.
Para calcular la posicion y orientacion de la fuerza resultante debemos
considerar que la suma de torques sea nula∑
~M = 0
Tomando momentos con respecto a (y, z) = (0, 0) tenemos
yCP · Fr =
∫
S
yPdS
entonces
yCP · Fr = ρg sin θ
∫
S
y2dS
La integral
intSy2dS
es en segundo momento del area.
3.3.2. Fuerza hidrostatica sobre superficies curvas su-
mergidas
La fuerza sobre un elemento diferencial de superficie es
∂ ~F = P∂~S
por lo tanto la fuerza total resultante es
~FR = iFRx + jFRy + kFRz =
∫
S
Pd~S
Para cada componente tenemos:
FRx =
∫
S
P i · d~S =
∫
P cos θxdS =
∫
S
PdSx
58 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
dAx
dAz
dAy
x
y
z
dA
donde
dSx = dS cos θx
es la proyeccion de S sobre el plano yz.
De igual manera
FRy =
∫
S
PdSy
FRz =
∫
S
PdSz
3.4. Fuerzas en objetos sumergidos
3.4.1. Fuerza de flotacion, principio de Arquımedes
Considere el siguiente objeto, de volumen V y densidad ρo sumergido por
completo el un fluido estatico de densidad ρf .
Existira una fuerza de superficie en cada punto de S del cuerpo debida a
la presion hidrostatica.
∂F = PdS
Suponga que los puntos 1 y 2 estan situados de lados opuestos (arriba y
abajo) en el mismo cuerpo. La diferencia de fuerzas entre los puntos 1 y 2
sera
∂F = (P1 − P2)dS
3.4. FUERZAS EN OBJETOS SUMERGIDOS 59
S
V
H 2
H 1
dS P 1
P 2
si para ambos puntos la presion se ejerce sobre un elemento diferencial de
area dS del mismo tamano.
Sabemos que
P2 − P1 = ρfg(H2 −H1)
entonces, si notamos que (H2 −H1)dS = dV , tenemos
∂F = ρfg(H2 −H1)dS = ρfgdV
Por lo tanto
Ftotal =
∫
∂F =
∫
V
ρfgdV
si ρf es constante entonces
Fflotacion = ρfgV.
Esta ecuacion es el principio de flotacion o Arquımedes: ‘Todo cuerpo sumer-
gido en un liquid de densidad ρf experimenta una fuerza en direccion opuesta
a la gravedad que es igual al peso del volumen del liquido desplazado por el
cuerpo’.
El peso del cuerpo sumergido es
W = ρogV
60 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
Si la fuerza de flotacion y el peso se igualan,
W = Fflotacion
entonces el cuerpo se dice ser de flotacion neutra. Esto ocurre si y solo si
ρo = ρf
3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo rıgido
Un caso especial en el cual se puede aplicar la teorıa hidrostatica para
un fluido en movimiento es aquel en el cual todas las partıculas de fluido se
mueve a la misma velocidad. Es decir el fluido se mueve sin deformarse (no
existen esfuerzos constantes). Para este caso el unico esfuerzo es la presion.
Consideremos la ley de Newton
d~F = ~adm = ~aρdV
De hidrostatica sabemos que
d~F = (−∇P ) + ρ~gdV
entonces
(−∇P ) + ρ~gdV = ~aρdV
por lo tanto
ρ~a = −∇P ) + ρ~g.
Esta ecuacion es, de hecho, la ecuacion de la hidrostatica pero para un caso
general en el cual existe una aceleracion ~a que hace que el gradiente de presion
pueda tener componentes en direcciones diferentes a la gravedad.
3.5.1. Ejemplo
Un recipiente rectangular, que contiene un liquido, se mueve con una
aceleracion horizontal (ver figura).
3.5. FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO 61
L
L
D
H
g
a
y
x
¿Cual sera la forma de la superficie una vez que el recipiente se acelere
horizontalmente a una tasa ~a?
La ecuacion a resolver es:
ρ~a = −∇P ) + ρ~g.
que expresada en componentes es
ρax = −∂P∂x
+ ρgx
ρay = −∂P∂y
+ ρgy
si ~g = (0, g) y ~a = (ax, 0) entonces
ρax = −∂P∂x
0 = −∂P∂y
+ ρg
Podemos calcular la diferencial de P de la siguiente manera:
dP =∂P
∂xdx+
∂P
∂ydy
62 CAPITULO 3. HIDROSTATICA
Puesto que en la superficie libre la presion es constante (presion atmosferi-
ca) entonces dP = 0:
0 =∂P
∂xdx+
∂P
∂ydy
por tanto
0 = ρaxdx+ ρgdy
Entoncesdy
dx= −ax
g
que es la pendiente de una recta.
La superficie libre estara dada por
y = −axgx+ b
Capıtulo 4
Ecuacion de Bernoulli y Flujo
en Tuberıas
Como se discutio en clase, las ecuaciones de Navier-Stokes representan la
conservacion de momentum lineal (segunda ley de Newton) para el caso de
un fluido. Sin embargo, estas ecuaciones son de gran complejidad matematica
y unicamente se pueden encontrar soluciones analıticas para casos especiales.
Si se supone que los esfuerzos viscosos son despreciables, puede encontrar-
se una ecuacion simplificada de una complejidad significativamente menor
que si se puede resolver.
4.1. Ecuacion de Bernoulli
Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede repre-
sentar como
~g = ∇Φ
. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el termino
~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:
(~v∇)~v = ∇(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v
63
64 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
(esta identidad es la definicion del triple producto cruz).
Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuacion de N-S para en la ecua-
cion de Euler, tenemos:
∂~v
∂t+∇
(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v = −1
ρ∇P +∇Φ
Rearreglando terminos podemos escribir
∂~v
∂t+∇
(P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ
)
= ~v ×∇× ~v
Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-
cional ∇× ~v = 0, entonces la expresion anterior se reduce a:
∇(P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ
)
= 0
Una linea de corriente es aquella lınea que es tangente al vector velocidad
en cada punto. De la definicion de una linea de corriente sabemos que:
dx
u=dy
v=dz
w
Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente dePρ+ 1
2~v ·~v−Φ sea cero, la unica posibilidad es que este termino sea constante:
P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ = constante
Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces, dividiendo en g:
P
ρg+
1
2g~v · ~v + z = constante (4.1)
que se conoce como la ecuacion de Bernoulli.
Termino a termino:
Pρg[=]FL−2M−1L3L−1T 2[=]L
Carga de presiones, altura de una columna de fluido bajo la presion P
contra la gravedad.
4.2. APLICACIONES 65
P 1
P 2
v 1
z 1
v 2
z 2
12g~v · ~v[=]L2T−2L−1T 2[=]L
Carga de velocidades, altura desde la cual una partıcula debe caer bajo
la accion de g para adquirir una velocidad |~v|
z[=]L
Carga de presiones, altura del punto en una linea de corriente sobre
una superficie de referencia arbitraria.
4.2. Aplicaciones
Dado que la ecuacion de Bernoulli es muy simple, es facil se pueden en-
contrar soluciones a problemas de flujo de manera inmediata. A continuacion
se analizan algunos problemas clasicos.
4.2.1. Descarga de un orificio
Podemos facilmente calcular la velocidad a la salida de un orificio en la
base de un tanque grande. Consideremos en siguiente dibujo:
La ecuacion a resolver es:
V 2
2+P
ρ+ gz = constante
Seleccionamos una lınea de corriente entre punto A y B y aplicamos la
ecuacion de Bernoulli para estos puntos:
V 2A
2g+PA
ρg+ zA =
V 2B
2g+PB
ρg+ zB
66 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
H
A
B
Note que:
en A, VA ≈ 0
en A, PA = Patm, zA = H
en B, PB = Patm, zB = 0
por lo tanto,
0 +Patm
ρg+H = 0 +
Patm
ρg+ 0
y
VB =√
2gH
Este resultado es una buena aproximacion. Sin embargo, siempre debe
tenerse en cuenta que la ecuacion de Bernoulli se derivo despreciando las
fuerzas viscosos. Para un flujo viscoso la velocidad serıa
(VB)real = C√
2gH
donde C < 1.
4.2.2. Tubo de Pitot
Este aparato se utiliza para medir la velocidad en un flujo.
Para este flujo, las presiones P1 y P2 se miden.
V 21
2g+P1
ρg+ z1 =
V 22
2g+P2
ρg+ z2
4.2. APLICACIONES 67
P 1
v 1
P 2
Note que:
z1 = z2
en 2, existe un punto de estancamiento (el fluido tiene velocidad cero),
por tanto V2 = 0.
por lo tanto,V 21
2g+P1
ρg= 0 +
P2
ρg
entonces
V1 =
√
2(P1 − P2)
ρ
.
4.2.3. Sifon
Podemos analizar las variaciones de velocidad y presion en un sifon:
Para encontrar la velocidad a la salida del chorro libre:
V 21
2g+P1
ρg+ z1 =
V 22
2g+P2
ρg+ z2
Note que:
P1 = P2 = Patm
V1 ≈ 0
68 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
h
H
A
z1 = h, z2 = H
Por lo tanto,
0 +Patm
ρg+ h =
V 22
2g+Patm
ρg+H
entonces
V2 =√
2g(H − h)
Podemos tambien calcular la presion en l punto A:
P2 = Patm
VA = V2, por conservacion de masa.
zA = 0, z2 = H
4.3. FLUJO EN TUBERIAS 69
Entonces,V 2A
2g+PA
ρg+ 0 =
V 22
2g+Patm
ρg+H
por lo tanto
PA = Patm− ρgH.
Esta presion es de vacıo!
4.3. Flujo en tuberıas
Uno de los problemas practicos de mayor importancia en la mecanica
de fluidos aplicada es el transporte de fluidos en tuberıas. En numerosas
aplicaciones es necesario transportar fluidos de un lugar a otro. Esto se ha-
ce, normalmente, utilizando bombas, tuberıas y accesorios. Las bombas son
dispositivos cuya funcion es aumentar la presion del fluido en un punto; al
existir una diferencia de presiones se puede inducir flujo. Ası, se puede hacer
fluir al fluido a traves de un conducto, generalmente de seccion circular, bajo
la accion de la diferencia de presiones generada por la bomba. Lo unico que
restarıa conocer es el flujo volumetrico que se puede entregar en este sistema.
En este seccion exploraremos las alternativas que existe para realizar este
calculo. En principio tenemos dos opciones:
Solucion de las ecuaciones de Navier-Stokes completas
Solucion de la ecuacion de Bernoulli con una modificacion empırica.
La primera opcion plantea la solucion del sistema de ecuaciones diferen-
ciales que gobiernan al movimiento de fluidos. Resulta, como se vera en este
capıtulo, que para el caso de una tuberıa circular com gradiente de presion
constante si es posible obtener una solucion analıtica, siempre y cuando el
flujo sea laminar. Cuando, el flujo no es laminar es necesario considerar la
segunda opcion. Sin embargo, la ecuacion de Bernoulli tiene que ser corre-
gida para incluir los efectos de friccion viscosa porque de otra manera sus
predicciones son irreales.
70 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
4.3.1. Solucion del flujo en una tuberıa circular usando
Bernoulli
Consideremos en problema mostrado en la figura: el flujo de un fluido
viscoso a traves de una tuberıa circular horizontal.
D
P2P1
Q
L
Nos interesa determinar el valor de la diferencia de presiones, P1 − P2,
para lograr que se mantenga en fluido fluyendo a un gasto volumetrico, Q,
en la tuberıa de largo L y diametro D. Planteamos entonces la ecuacion de
Bernoulli entre los dos puntos:
V 21
2+P1
ρ+ gz1 =
V 22
2+P2
ρ+ gz2
Sabemos que V = Q/A donde A = π/4D2. Si el diametro es el mismo
en los puntos 1 y 2, entonces V1 = V2. Tambien, dado que la tuberıa es
horizontal, z1 = z2. Entonces:
P1
ρ=P2
ρ
y por lo tanto:
P1 − P2 = 0
Entonces, para transportar un flujo Q entre los puntos 1 y 2 a una dis-
tancia L en una tuberıa de diametro D no se necesita ningun gradiente de
presion. Es decir, el fluido es capaz de moverse sin ninguna perdida. Este
resultado, obviamente, no representa a una situacion real. Es correcto, bajo
4.3. FLUJO EN TUBERIAS 71
las consideraciones que se toman para el desarrollo de la ecuacion de Bernou-
lli. O sea, un fluido inviscido se puede transportar sin perdidas por friccion
viscosa. Por esta razon no se puede usar la ecuacion de Bernoulli de manera
directa.
4.3.2. Solucion exacta de flujo en una tuberıa circular
Consideremos el flujo de un fluido en una tuberıa circular de diametro
D y largo L, en cuyos extremos existe una diferencia de presiones , ∆P .
Consideremos ademas que el flujo es estacionario (las derivadas temporales
son cero, ∂/∂t = 0) y que el flujo es desarrollado y sin efectos de borde
(el flujo no evoluciona en la direccion del flujo). Si adoptamos un sistema
coordenado cilındrico en la que el eje z es colineal con el eje de la tuberıa
(como se muestra en la figura) tenemos lo siguiente.
Caracterısticas del flujo:
1. Flujo estacionario (no cambia como funcion del tiempo):
∂/∂t = 0
2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placa y pelıcula infi-
nitas):
∂/∂x = 0
3. La gravedad actua en las dos direcciones x− x′ y y − y′:
~g = (s senα, g cosα).
4. No hay gradiente de presion en la direccion x− x′:
∂P/∂x = 0
La unica diferencia es que debemos considerar un sistema de coordenadas
cilındricas: ~v = (ur, uθ, uz)
En este caso la ecuacion de conservacion de masa, ∇ · ~v = 0, se escribe
en forma explıcita como:
1
r
∂
∂r(rur) +
1
r
∂
∂θuθ +
∂
∂zuz = 0
72 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
Por ser un flujo desarrollado (∂/∂z) y (∂/∂z) axisimetico (∂/∂θ), tenemos:
1
r
∂
∂r(rur) = 0
Por lo tanto:
ur = 0
Flujo unidireccional. El vector de velocidad se reduce a ~v = (0, 0, uz).
Resolviendo la ecuacion de conservacion de momentum unicamente en la
direccion donde el componente de velocidad no es cero, direccion z−z′. Paracoordenadas cilındricas tenemos:
ρ
(∂uz∂t
+ ur∂uz∂r
+uθr
∂uz∂θ
+ uz∂uz∂z
)
= −∂P∂z
+µ
(1
r
∂
∂r
(
r∂uz∂r
)
+1
r2∂2uz∂θ2
+∂2uz∂z2
)
+ρgz
Considerando las mismas caracterısticas del flujo que en la seccion 3.1.2
y ademas que el flujo es axisimetrico e unidireccional, la ecuacion anterior se
reduce a :
−Gµ
=1
r
∂
∂r
(
r∂uz∂r
)
donde G = −∂P/∂z = constante
Integrado una vez tenemos:
∂uz∂r
= − G
2µr +
C1
r
Integrado una vez mas:
uz = − G
4µr2 +
C1
lnr + C2
Sabemos que la velocidad en r = 0 debe ser finita, por lo tanto C1 = 0.
Tambien sabemos que la velocidad del fluido en la pared debe de ser cero
(condicion de no deslizamiento): uz(r = R) = 0.
C2 =G
4µR2
4.3. FLUJO EN TUBERIAS 73
Por lo tanto, el campo de velocidades para una tuberıa circular bajo un
gradiente de presion constante es:
uz =G
4µ
(R2 − r2
)(4.2)
Podemos calcular el flujo volumetrico como:
Q =
∫
A
uzdA =
∫ R
0
uz(2πrdr)
Ası:
Q =πG
8µR4
La velocidad media, U = Q/A, es
U =G
8µR2
Podemos calcular el esfuerzo en la pared es:
τpared = τrz|r=R = µ∂uz∂r
Entonces, el esfuerzo en la pared es:
τpared =GR
2
Podemos calcular el coeficiente de friccion sobre la tuberıa:
Cf =Ff
12ρU2A
El area de contacto A es 2πRL. La fuerza de friccion Ff sobre la tuberıa
se puede calcular directamente del esfuerzo en la pared como Ff = τparedA:
Ff = πR2LG
Por lo tanto
Cf =16µ
(2R)ρU=
16
Re
donde Re = ρDU/µ es el numero de Reynolds.
74 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
4.4. Una ecuacion de Bernoulli modificada
Una de las limitaciones importantes de la solucion a flujo en una tuberıa
circular (desarrollada en la seccion anterior) es que esta es solo valida cuando
el flujo es laminar. En el capıtulo XX, se discutira porque es que todos los
flujos laminares se vuelven turbulentos cuando se sobrepasa un cierto valore
del numero de Reynolds. En resumidas cuentas, el flujo pierde su naturaleza
unidireccional y aparecen fluctuaciones de velocidad en todas las direcciones
coordenadas. Bajo dicha condicion la prediccion del perfil de velocidades
dada por al Ecuacion 4.2 deja de ser valida.
Experimentalmente, se ha encontrado que el numero de Reynolds crıtico
para el cual un flujo laminar en una tuberıa circular se vuelve turbulento es
de alrededor de 2000. La gran mayorıa de los flujos en ingenierıa sobrepasan,
por mucho este valor. Por lo tanto la aplicabilidad de la Ecuacion 4.2 y sus
cantidades derivadas es muy limitada.
Para poder realizar calculos ingenieriles del flujo en tuberıas, nos vemos
en la imperiosa necesidad de regresar a una ecuacion simplificada, la ecuacion
de Bernoulli. Dicha ecuacion se puede escribir como:
P1
ρ+V1
2
2+ gZ1 =
P2
ρ+V2
2
2+ gZ2 (4.3)
Consideremos el caso del flujo en una tuberıa horizontal de la §4.3.2. Dado
que la tuberıa es horizontal entonces Z1 = Z2; dado que la seccion transversal
es constante y el flujo es incompresible
Q1 = Q2
V1π
4D2
1 = V2π
4D2
2
por lo tanto
V1 = V2
.
4.4. UNA ECUACION DE BERNOULLI MODIFICADA 75
Entonces, la ecuacion de Bernoulli se reduce a:
P1
ρ=P2
ρ,
lo cual se significa que para producir un flujo Q en una tuberıa de diametro D
de un fluido inviscido se requerirıa una bomba que produzca un incremento
de presion de cero! Este resultado es obviamente irreal, lo cual se deriva del
hecho que se desprecio el efecto viscoso en el lıquido.
Entonces, podemos plantear una version ‘amanada’de la Ecuacion de Ber-
noulli de la siguiente manera:
P1
ρ+V1
2
2+ gZ1 =
P2
ρ+V2
2
2+ gZ2 +H (4.4)
donde H es la perdida de carga por friccion viscosa, la cual tiene dimensiones
de [L].
En general, podemos dividir a la perdida de carga en H = HM + Hm,
perdidas mayores y perdidas menores. Las perdidas mayores estan asociadas
a la friccion viscosa a lo largo del tubo; las menores estan asociadas con otros
elementos en el circuito de flujo (accesorios, codos, reducciones, etc.
4.4.1. Perdidas mayores
Las perdidas mayores,HM , se pueden expresar en terminos de una perdida
de presion. Para el caso de una tuberıa horizontal de diametro constante
tenemos entonces:
HM =P1 − P2
ρ=
∆P
ρ
Por ejemplo, para flujo laminar, de la solucion mostrada en§4.3.2 tenemos
que
Q =π
8µR4−∆P
L
Por lo tanto,
∆P = 32L
D
µV
D
76 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
y entonces
HM =∆P
ρ=L
D
V 2
2f
donde f = 64/Re, es el factor de friccion. El numero de Reynolds se define
como
Re =V Dρ
µ.
Ahora, para un flujo turbulento, no existe una solucion analıtica. Sin em-
bargo, empıricamente podemos proponer la siguiente relacion adimensional:
2∆P
ρV 2= Φ(
L
D,Re,
e
D)
donde e es la rugosidad absoluta del tubo.
Por lo tanto podemos escribir
HM =V 2
2Φ(
L
D,Re,
e
D).
Experimentalmente se ha encontrado que HM y L/D son linealmente
dependientes por lo que:
HM =V 2
2
L
DΦ0(Re,
e
D).
Entonces, podemos expresar a las perdidas mayores para un flujo turbu-
lento en una tuberıa de diametro constante como:
HM =V 2
2
L
Df.
donde f es el factor de friccion el cual es una funcion empırica de Re y e/D
f = Φ0(Re,e
D).
El valor de f se lee directamente de tablas, del diagrama de Moody mos-
trado en la Figura 4.1.
Alternativamente, f se puede calcular de manera directa. Para flujo la-
minar
flaminar =64
Re.
4.4. UNA ECUACION DE BERNOULLI MODIFICADA 77
Figura 4.1: Diagrama de Moody. Tomado de Fox et al. [2003]
Para flujo turbulento, Re > 4000, fturbulento se calcula usando la expresion
implıcita:1√f= 1.14− 2 log10
(e
D+
9.35
Re√f
)
.
4.4.2. Perdidas Menores
Todas las perdidas que no esten directamente asociadas con el flujo en una
tuberıa de seccion transversal constante se absorben en factores de perdida
secundarios. Estos pueden darse como una distancia extra equivalente de
tuberıa o un factor constante.
Entonces, podemos tener
Hm = κV 2
2,
78 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
o
Hm =V 2
2
Leq
Df,
donde κ es el coeficiente de perdidas y Leq es una longitud equivalente. Estas
cantidaes se leen de tablas empıricas.
La Tabla 4.1 muestra algunos valores tıpicos de perdidas menores.
Cuadro 4.1: Perdidas menores para algunos accesorios tıpicos.
Tipo de AcessorioLongitud equivalente,
Le/DCoeficiente de perdida
Valvula de globo - abierta 340 10.0
Valvula de angulo - abierta 150 5.0
Valvula de compuerta - abierta 9 0.2
Valvula de compuerta - abierta 3/4 35 -
Valvula de compuerta - abierta 1/2 160 -
Valvula de compuerta - abierta 1/4 900 -
Valvula de mariposa - abierta 45 -
Codo de 90o - estandar 30 0.9
Codo de 90o - radio largo 20 0.6
Codo de 45o - estandar 16 0.4
Te estandar - flujo directo 20 0.6
Te estandar - flujo desviado a 90o 60 1.8
Entrada - tubo saliente - 0.8
Entrada - tubo al raz - 0.5
Entrada - boca poco redondeada - 0.2
Entrada - boca bien redondeada - 0.04
4.5. SOLUCION DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERIAS 79
4.5. Solucion de problemas de flujo en tu-
berıas
En general, cuando deseamos resolver el problema del flujo de un fluido a
traves de una tuberıa tenemos que resolver la siguiente ecuacion generalizada:
Q = Φ(∆P,D, L, e,∆Z, ρ, µ, configuracion)
,
De esta lista de variables podemos considerar que algunas de ellas, son en
realidad parametros. Por ejemplo, las propiedades del fluido (ρ, µ), normal-
mente no cambiaran para una instalacion dada. De manera similar, el tipo
de tubo (e) y la configuracion (∆Z y accesorios) tampoco varıan. Si para
un problema dado podemos considerar que los parametros son constantes,
entonces tenemos que:
Q = Φ(∆P,D, L)
.
Con estas cuatro variables podemos considerar la solucion de 4 tipos de
problemas:
1. ∆P desconocida; Q,D, L conocidos (encontrar el tamano de la bomba
necesaria para entregar un gasto Q en una tuberıa de diametro D entre
dos puntos separados por una distancia L).
2. L desconocida; Q,D,∆P conocidos (para una bomba dada y un gasto
Q conocido en una tuberıa de diametro D, calcular la distancia L para
la cual se puede satisfacer esta condicion).
3. Q desconocida; ∆P,D, L conocidos (para una bomba y tuberıa dada
de tamano y largo conocidos, encontrar el gasto que se puede entregar)
4. D desconocida; Q,L,∆P conocidos (para una bomba, gasto y distancia
conocidos, calcular el diametro de la tuberıa).
80 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
4.5.1. Ecuacion general de flujo en tuberıas
La ecuacion 4.4 se puede escribir como:
P1
ρ+V1
2
2+ gZ1 =
P2
ρ+V2
2
2+ gZ2 +
Vi2
2
L
Df
︸ ︷︷ ︸
Perdidas Mayores
+Vi
2
2
Leq
Df + κ
Vi2
2︸ ︷︷ ︸
Perdidas Menores
(4.5)
Dependiendo de que datos son los que se proporcionan de entrada, se debe
seguir una tecnica de solucion diferente. El aspecto mas importante en este
caso es el calculo del factor de friccion f . Este depende, en general, del numero
de Reynolds, Re y de la rugosidad relativa. Recordemos que Re = V Dρ/µ. Si
se desconoce la velocidad media del flujo (si se desconoce Q de entrada), no
se puede calcular el Re de manera directa y por lo tanto tampoco se puede
obtener f . De manera similar, si D no es un dato de entrada, no se puede
inferir V aunque se conozca Q y tampoco se conoce el valor de la rugosidad
relativa por lo que tampoco se puede conocer f .
Caso 1: ∆P desconocida
Este es el caso de calculo mas directo. La ecuacion (4.5) se puede reescribir
como:
P1 − P2
ρ=V2
2 − V12
2+ g(Z2 − Z1) +
Vi2
2
L
Df +
Vi2
2
Leq
Df + κ
Vi2
2.
Si D es constante, esta expresion se simplifica ya que V12= V2
2:
P1 − P2
ρ= g(Z2 − Z1) +
V 2
2
(L
Df +
Leq
Df + κ
)
.
Ya que se conocen Q y D, la velocidad media se obtiene directamente.
Asi el numero de Reynolds Re y la rugosidad relativa se calculan y se puede
leer f del diagrama de Moody.
4.5. SOLUCION DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERIAS 81
Ejemplo: Determinar la caıda de presion en un flujo de agua a traves de
una tuberıa de 150 mm de diametro a lo largo de una distancia de 10 m,
que entrega un gasto volumetrico de 0.1 m3/s. Suponga que la tuberıa
tiene una rugosidad relativa de ǫ/D = 0.0002.
Solucion: Considerando que no hay cambios de nivel (tuberıa hori-
zontal), entonces Z1 = Z2. Si ademas suponemos que no hay perdidas
menores, la ecuacion a resolver se simplifica a:
P1 − P2
ρ=V 2
2
L
Df.
La velocidad media se calcula como V = 4Q/(πD2) = 4(0.1)/(π(.15)2) =
5.66 m/s. La razon L/D = 10/.15 = 66.67. El factor de friccion se lee
del diagrama de Moody, sabiendo el valor de Re y ǫ/D.
El numero de Reynolds es Re = V ρD/µ = (5.66)(1000)(.15/0.001) =
8.49 × 105; y ǫ/D = 0.002. Con estos datos leemos, del diagrama de
Moody, un valor f = 0.015.
Por lo tanto:
P1 − P2 = 1000(5.66)2
2(66.67)(0.015)
∆P = 16.02 kPa.
Caso 2: L desconocida
Cuando unicamente se desconoce la distancia L, el calculo tambien es
directo. La ecuacion 4.5 se puede reescribir como (si D es constante):
L =2D
fV 2
(P1 − P2
ρ+ g(Z1 − Z2)
)
+D
(Leq
D+κ
f
)
.
Lo cual se calcula de manera directa.
82 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
Ejemplo: Determinar
Caso 3: Q desconocida
Por otro lado, si se desconoce el gasto Q, no se puede calcular V 2 y por
lo tanto no se sabe, de entrada, el valor de f .
Para una tuberıa de diametro constante, tenemos:
V =
√√√√√
2(
P1−P2
ρ+ g(Z1 − Z2)
)
(LDf + Leq
Df + κ
) .
En este caso se debe de llevar a cabo un proceso iterativo. Entonces, de
inicio se debe suponer un valor de factor de friccion. Usualmente se supone
que que el flujo es completamente turbulento. Entonces, del diagrama de
Moody (Figura 4.1) se lee el valor de f para el Re mas alto correspondiente
a la rugosidad relativa, e/D de la tuberıa (valores en el extremo derecho del
diagrama). Con este valor supuesto de f , se calcula la velocidad media, V
usando la ecuacion anterior. Con este valor se calcula un numero Reynolds
y, por tanto un nuevo valor de f . Se debe continuar iterando hasta que V
converja a un valor constate.
Ejemplo: Determinar
Caso 4: D desconocida
Este es el caso mas tedioso, pues no se puede calcular ni la rugosidad
relativa ni en numero de Reynolds (que se necesitan para calcular, f). La
ecuacion se reescribe como:
D =f(L+ Leq)
2V
(P1−P2
ρ+ g(Z1 − Z2)− κ
) .
4.5. SOLUCION DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERIAS 83
Para este calculo se debe suponer que el flujo es turbulento y ademas
completamente rugoso. Por tanto se debe escoger el valor maximo posible de
factor de friccion, f , del diagrama de Moody (la lınea superior para Re >
4000), cuyo valor aproximado es f = 0.072. Ademas se debe suponer un valor
del diametro con el cual se puede calcular una velocidad media. Usando la
ecuacion anterior, se calcula un primer valor del diametro. Una vez obtenido,
se puede comenzar a iterar hasta la convergencia.
Ejemplo: Determinar
4.5.2. Bombas
Las bombas son dispositivos que se usan para mover fluidos. Pueden ser
clasificadas en dos grandes grupos: las que inducen un incremento en presion
(bombas centrıfugas) o las que desplazan mecanicamente un cierto volumen
(bombas de desplazamiento positivo.
Una bomba de desplazamiento positivo hace que el fluido se mueva ‘atra-
pandoun cierto volumen de fluido, el cual es desplazado mecanicamente hacia
una tuberıa de descarga. Ejemplos de estas bombas son las de tornillo (muy
usadas para bombear fluidos viscosos), el corazon (que de hecho son dos
bombas que alimentan a dos circuitos distintos), etc. Una caracterıstica im-
portante de este tipo de bombas es que el gasto que entregan es independiente
de la diferencia de presiones que se le imponen.
Las bombas centrıfugas, por otra parte, tienen un elemento rotatorio que
incrementa la energıa cinetica del fluido. Esta energıa, a su vez, hace que se
incremente la presion en el fluido que induce un gradiente que hace que el
fluido se mueva. A diferencia de las bombas de desplazamiento positivo, el
gasto que pueden entregar las bombas centrıfugas depende de la carga que se
le impone. Entonces, para este caso es necesario consultar la llamada curva
de desempeno de la bomba en cuestion.
84 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
Ejemplo: Determinar
4.5.3. Redes de tuberıas
Las redes de flujo en tuberıas se deben de resolver de manera similar a
como se resuelven las redes electricas. Es decir, cada rama se debe de resolver
de manera simultanea.
Para n ramas que llegan a un mismo nodo debemos de considerar que
Q = Q1 +Q2 + · · ·+Qn.
Para n ramas que se conectan entre los dos mismos nodos, quizas con
distancias diferentes, tenemos que
∆P = ∆P1 = ∆P = · · · = ∆Pn.
Debe de tomarse en cuenta que mientras para el caso electrico la relacion
entre corriente y diferencia de voltage es lineal, para el caso hidraulico la rela-
cion es no-lineal (∆P ∼ Q2). Por tanto, no es posible utilizar las herramientas
usuales (algebra lineal y matricial) para el caso hidraulico.
4.5.4. Tuberıas de seccion no-circular
Aunque las tuberıas de seccion transversal circular es, por mucho, el caso
mas comunmente usado, en ocasiones es necesario utilizar conductos de otra
forma.
Una correlacion empırica que suele usarse para resolver el flujo en con-
ductos de seccion transversal no circular es considerar un diametro efectivo
equivalente. El diametro hidraulico se calcula como:
Dh =4A
P
donde A y P son el area y el perımetro de la seccion transversal, respectiva-
mente.
4.5. SOLUCION DE PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERIAS 85
Una vez que se calcula el diametro Dh se procede al calculo del flujo,
empleado este diametro.
86 CAPITULO 4. ECUACION DE BERNOULLI
Capıtulo 5
Analisis de Volumen de Control
Una tecnica muy importante en mecanica de fluidos es el analisis a traves
de volumenes de control. Esta consiste en re-expresar las leyes basicas de
conservacion para un volumen fijo (con respecto a un sistema de referencia).
Ası, evaluando los flujos a traves de las parades del volumen podemos calcular
fuerzas, cambios de masa, etc.
Estas ecuaciones, en particular la conservacion de masa y momentum
lineal, se derivaron en uno de los capıtulos anteriores. En esta seccion se
volveran a derivar utilizando el teorema de transporte de Reynolds.
5.1. Definiciones basicas: sistema y volumen
de control
Un sistema es la coleccion arbitraria de masa de identidad fija. Es decir,
una masa de las mismas partıculas para todo t. Seguir a un sistema corres-
ponderıa a una descripcion lagrangiana.
Un volumen de control es una coleccion de puntos fijos en el espacio. En
dicha region espacial, existe una masa de partıculas que, en general, cambia
con t; es decir, las partıculas de fluido son capaces de atravesar libremente
la superficie del volumen de control. Un analisis del movimiento a traves de
87
88 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
un volumen de control es una descripcion euleriana.
5.2. Ecuaciones de conservacion para un sis-
tema
Las ecuaciones de conservacion fundamentales estan expresadas, original-
mente, para un sistema. Las ecuaciones fundamentales son:
1. Conservacion de masa. La masa del sistema debe ser constante:(DM
Dt
)
sistema= 0
Podemos escribir
Msistema =
∫
sistema
dM =
∫
V
ρdV
donde ρ es la densidad de la material dentro del volumen V .
2. Segunda ley de Newton. Para un sistema que se mueve relativo a un
marco de referencia inercial, la suma de las fuerzas externas que actuan
sobre el sistema es igual a la razon de cambio con respecto al tiempo
del momentum lineal del sistema.
~F =
(
D~P
Dt
)
sistema
donde ~F es la fuerza total y ~P es el momentum lineal del sistema
definido como
~P =
∫
sistema
~Udm =
∫
V
~UρdV
donde ~U es la velocidad de las partıculas del sistema dentro del volumen
V .
5.2. ECUACIONES DE CONSERVACION PARA UN SISTEMA 89
3. Conservacion del momentum angular. La razon de cambio del momen-
tum angular es igual a la suma de los torques (pares), ~T , que actuan
sobre el sistema:
~T =D ~H
Dt|sistema
El momentum angular del sistema esta definido como
~Hsistema =
∫
V
~r × ~UρdV
4. Primera ley de la termodinamica. La conservacion de energıa para un
sistema esta dada por la relacion
Q− W =DE
Dt|sistema
donde
Esistema =
∫
m
edm =
∫
V
eρdB
donde
e = u+|V |22
+ gz
u es la energıa interna.
5. Segunda ley de la termodinamica. Si cierta cantidad de calor δQ se
transfiere a un sistema a una temperatura T , su entropıa, S, satisface
dS ≥ δQ
T
o para un proceso∂S
∂t≥ δQ
T
donde Q es la tasa de transferencia de calor.
La entropıa del sistema es
Ssistema =
∫
m
sdm =
∫
V
sρdV
donde s es la entropıa por unidad de masa.
90 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
5.3. Teorema de Trasporte de Reynolds
Una propiedad es la cuantificacion de un atributo o una cualidad esencial
del estado de un sistema.
Una propiedad extensiva, N , es aquella cuya medida es absoluta (el valor
de una propiedad extensiva puede sumarse, Nt = N1 + N2). Una propiedad
intensiva, η, es la medicion de una caracterıstica del sistema por unidad de
masa (el valor de una propiedad intensiva NO puede sumarse, ηt 6= η1 + η2).
Ası,
Nsistema =
∫
m
ηdm =
∫
V
ηρdV
Naturalmente, existe una propiedad intensiva por cada propiedad exten-
siva. Por ejemplo, si
N =M ⇒ η = 1
N = ~P ⇒ η = ~v
N = E ⇒ η = e
Podemos analizar como es que una propiedad extensiva cambia con res-
pecto al tiempo para un sistema contenido dentro de un volumen de control.
Considere el siguiente esquema:
VC
x
y z
t=to t=to+ t
I II
III
sistema
sistema
VC
Un volumen de control esta fijo en el espacio, inmerso en un flujo. En el
instante t = to, un sistema (un conjunto de partıculas) esta completamente
contenido dentro del la superficie del volumen de control V C.
5.3. TEOREMA DE TRASPORTE DE REYNOLDS 91
Sea N una propiedad extensiva del sistema y sea η su correspondiente
propiedad intensiva. Si consideramos un elemento diferencial de volumen,
dV dentro del volumen de control entonces
dNsistema = ηρdV
Ası,
Nsistema =
∫
Vsistema
ηρdV
NV C =
∫
VV C
ηρdV
Note que en t = to la suma total deN en el sistema y el volumen de control
son iguales debido a que en ese momento el sistema y el VC coinciden:
Nsistema(to) = NV C(to)
Sin embargo, en t = to + ∆t el sistema y el VC no ocupan el mismo
espacio. Entonces podemos decir que
Nsistema(to +∆t) 6= NV C(to+∆t)
De la figura, la region I representa Nentra(to + ∆t), y la region III re-
presenta Nsale(to + ∆t), correspondiente a las cantidades de N que entra
y salen del VC respectivamente. Notese ademas que puesto que N puede
tambien estar cambiando con respecto al tiempo, en general, Nsistema(to) 6=Nsistema(to +∆t).
De la figura podemos entonces deducir que
NV C(to +∆t) = Nsistema(to +∆t)−Nsale(to +∆t) +Nentra(to +∆t)
Restando Nsistema(to) a ambos lados de la ecuacion y dividiendo entre ∆t
tenemos
NV C(to +∆t)−Nsistema(to)
∆t=
Nsistema(to +∆t)−Nsistema(to)
∆t
− Nsale(to +∆t)
∆t+Nentra(to +∆t)
∆t
92 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
Del lado izquierdo de la ecuacion podemos sustituirNsistema(to) porNV C(to).
Ademas podemos restar Nsale(to)/∆t y Nentra(to)/∆t del lado derecho de la
ecuacion. (note que Nsale(to) = Nentra(to) = 0). Tenemos entonces, tomando
el lımite en que ∆t→ 0:
lım∆t→0
NV C(to +∆t)−NV C(to)
∆t= lım
∆t→0
Nsistema(to +∆t)−Nsistema(to)
∆t
− lım∆t→0
Nsale(to +∆t)−Nsale(to)
∆t
+ lım∆t→0
Nentra(to +∆t)−Nentra(to)
∆t
Por lo tanto
dNV C
dt=DNsistem
Dt− d
dt(Nsale −Nentra)
La notacion D/Dt representa la razon de cambio de un conjunto de
partıculas especıficas (descripcion Lagrangiana). Rearreglando la ecuacion
anterior tenemos,
D
Dt
[∫
Vsistema
ηρdV
]
=d
dt
[∫
CV
ηρdV
]
+d
dt(Nsale −Nentra)
El ultimo termino de esta ecuacion representa la tasa neta a la cual N esta
saliendo del volumen de control a traves de la superficie de este. Podemos
hacer una analisis mas detallado de un elemento diferencial de la superficie
del VC, dS.
La componente de flujo que puede arrastrar una propiedad hacia afuera
del VC a traves de dS es ~v ·n. Note que ~v es la velocidad del flujo con respecto
al VC. El elemento diferencial de volumen de fluid que sale del VC a traves
de dS en el tiempo ∆t es:
dV = (~v · n)∆tdS = (~v · dS)∆t
Podemos entonces definir un flujo volumetrico infinitesimal a traves de dS
dQ = ~v · dS
5.3. TEOREMA DE TRASPORTE DE REYNOLDS 93
dS
V
n
(V n) t
VC
sistema
Entonces,
d
dt(Nsale −Nentra) =
∫
S
ηρdQ =
∫
S
η(ρ~v · dS)
Por lo tanto la ecuacion para describir el cambio total de una propiedad
de un sistema que atraviesa un VC se puede escribir como:
D
Dt
[∫
Vsistema
ηρdV
]
=∂
∂t
[∫
CV
ηρdV
]
+
∫
S
η(ρ~v · dS) (5.1)
Esta ecuacion es el Teorema de Trasporte de Reynolds (TTR). El termino
de la izquierda representa la tasa de cambio de la propiedad N dentro del
sistema. El primer termino de la derecha representa la razon de acumulacion
de N dentro del VC; el segundo termino de la derecha representa el flujo neto
de N a traves de la superficie S que envuelve al V C.
94 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
5.4. Ecuacion de conservacion de masa
La ecuacion de conservacion de masa para un sistema es
DM
Dt|sistema = 0
Para este caso N =M y por lo tanto η = 1. Sustituyendo estas cantidades
en el TTR tenemos
DM
Dt|sistema =
∂
∂t
[∫
CV
ρdV
]
+
∫
S
ρ~v · dS
por lo tanto
0 =∂
∂t
[∫
CV
ρdV
]
+
∫
S
ρ~v · dS (5.2)
que es la ecuacion de conservacion de masa para un VC.
5.4.1. Casos especiales
Flujo incompresible
En este caso ρ = constante. Por lo tanto la ecuacion de conservacion de
masa se puede simplificar:
0 =∂
∂t
[∫
CV
dV
]
+
∫
S
~v · dS
Por definicion, el VC no cambia como funcion del tiempo. Por lo tanto:
0 =
∫
S
~v · dS
Si definimos el flujo volumetrico Q como
Q =
∫
A
~v · dS
5.5. ECUACION DE CONSERVACION DE MOMENTUM LINEAL 95
entonces la ecuacion de conservacion de masa se puede escribir como
0 =
N∑
i1
Qi
Tambien podemos definir la velocidad media a traves de una superficie,
A:
U =Q
A=
1
A
∫
A
~v · dS
Flujo estacionario compresible
Para este caso ∂/∂t = 0, entonces
0 =
∫
S
ρ~v · dS
5.4.2. Ejemplos
Aun no escrito.
5.5. Ecuacion de conservacion de momentum
lineal
La ecuacion de conservacion de momentum lineal para un sistema es
~F =D~P
Dt|sistema
Para este caso N = ~P y por lo tanto η = ~v. Sustituyendo estas cantidades
en el TTR tenemos
D
Dt
[∫
Vsistema
~vρdV
]
=∂
∂t
[∫
CV
~vρdV
]
+
∫
S
~v(ρ~v · dS)
Por lo tanto
96 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
~F =∂
∂t
[∫
CV
~vρdV
]
+
∫
S
~v(ρ~v · dS) (5.3)
que es la ecuacion de conservacion de momentum lineal para un VC.
El primer termino del lado derecho representa la acumulacion de momentum
dentro del VC, mientras que el segundo representa el flujo neto de momentum
a traves de la superficie del VC. La fuerza neta sobre el VC puede separarse
en dos tipos~F = ~FS + ~FV
donde~FS =
∫
A
−P ~dS
y
~FV =
∫
V
ρ ~BdV
donde ~B puede ser un campo gravitacional, magnetico, etc.
5.5.1. Algunas observaciones
Recuerde que la ecuacion de conservacion de momentum es una ecua-
cion vectorial. Entonces, de hecho, son en realidad tres ecuaciones. Sin
consideramos que ~v = (u, v, w) en las coordenadas (x, y, z), entonces
(FV )x + (FS)x =∂
∂t
[∫
CV
uρdV
]
+
∫
S
u(ρ~v · dS
(FV )y + (FS)y =∂
∂t
[∫
CV
vρdV
]
+
∫
S
v(ρ~v · dS
(FV )x + (FS)x =∂
∂t
[∫
CV
wρdV
]
+
∫
S
w(ρ~v · dS
Debe siempre tenerse en cuenta que la velocidad ~v que aparece en al
ecuacion de conservacion de momentum es una velocidad relativa con
respecto al VC.
5.6. ANALISIS PARA UN VCQUE SEMUEVE A UNAVELOCIDAD CONSTANTE97
La derivacion del TTR se llevo a cabo considerando que el VC estaba
fijo en el espacio (o que se trasladaba a una velocidad constante). Es
decir, para un sistema de referencia inercial. Si el VC se esta acelerando
(sistema de referencia no inercial), el TTR no es aplicable. Existe una
derivacion generalizada para el TTR para este caso.
Para resolver un problema cd VC se debe ser cuidadoso. recuerde:
1. Dibuje el VC sobre el cual se aplicara la ecuacion de conservacion
2. Indique el sistema de referencia
3. Escriba explıcitamente las suposiciones
4. Haga un diagrama de cuerpo libre
5. Escriba la ecuacion e indique el valor de cada termino
Aunque estas indicaciones pueden parecer triviales e innecesarias, se-
guir estos pasos reduce la posibilidad de equivocacion.
5.5.2. Ejemplos
Aun no escrito.
5.6. Analisis para un VC que se mueve a una
velocidad constante
Para este caso simplemente debemos hacer un cambio de variables. Si la
velocidad a la que se desplaza el VC es constante, entonces el sistema refe-
rencia sigue siendo inercial. El teorema de trasporte de Reynolds se escribe
entonces como:
D
Dt
[∫
Vsistema
ηρdV
]
=∂
∂t
[∫
CV
ηρdV
]
+
∫
S
η(ρ~vc.r.V C · dS) (5.4)
donde ~vc.r.V C es la velocidad del flujo con respecto al volumen de control.
98 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
5.6.1. Ejemplos
Calcule la fuerza que se ejerce sobre el carro mostrado en la figura si este
se esta moviendo a una velocidad constante VC .
5.7. Conservacion de momentum para un VC
con aceleracion rectilınea
Consideremos la conservacion de momentum lineal para un sistema
~F =D ~PXY Z
Dt
donde ~PXY Z esta evaluado para un sistema de referencia inercial XY Z. Po-
demos escribir la ecuacion anterior tal que
~F =D
Dt
∫
masa
~VXY Zdm
mas aun
~F =
∫
masa
D ~VXY Z
Dtdm =
∫
masa
~aXY Zdm
Si el volumen de control para el cual se desea aplicar las leyes de conser-
vacion se esta acelerando (sistema no inercial), debemos expresar vecaXY Z
como funcion de las coordenadas no inerciales, xyz:
~aXY Z = ~axyz + ~arf
donde ~arf es la aceleracion lineal del sistema de referencia xyz con respecto
a XY Z.
Entonces podemos escribir
~F =
∫
masa
~axyz + ~arfdm
5.8. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA 99
o~F −
∫
masa
~arfdm =
∫
masa
~axyzdm
Sabemos que ~axyz =D ~Vxyz
Dtentonces
~F −∫
masa
~arfdm =
∫
masa
D ~VxyzDt
dm =D ~Pxyz
Dt
por lo tanto
~F −∫
V
~arfρdV =D ~Pxyz
Dt
Utilizando en teorema de trasporte de Reynolds, podemos reescribir el
ultimo termino de la ecuacion anterior.
D ~Pxyz
Dt=
∂
∂t
[∫
CV
~vxyzρdV
]
+
∫
S
~vxyz(ρ ~vxyz · dS)
Por lo tanto
~F −∫
V
~arfρdV =∂
∂t
[∫
CV
~vxyzρdV
]
+
∫
S
~vxyz(ρ ~vxyz · dS)
5.7.1. Ejemplos
Calcule las condiciones para el despegue de un cohete a propulsion a
chorro, que se acelera a una tasa constante.
5.8. Primera ley de la termodinamica
Sabemos que
Q− W =DE
Dt|sistema
La energıa de un sistema es
Esistema =
∫
V C
eρdV
100 CAPITULO 5. ANALISIS DE VOLUMEN DE CONTROL
donde e es la energıa especıfica dada por
e = u+V 2
2+ gz
donde u es la energıa interna, V es el modulo de la velocidad y z es la altura
con respecto a una referencia.
Utilizando el TTR, considerando N = E y η = e, tenemos
Q− W =∂
∂t
[∫
CV
eρdV
]
+
∫
S
e(ρ~v · dS)
Podemos considerar que la razon de trabajo, W , o potencia, es positiva
cuando el trabajo es realizado por el volumen de control sobre sus alrededores
(convencion).
Ademas es usual dividir a la potencia en
W = Wpar + Wnormal + Wcorte + Wotros
donde
Wnormal = −∫
SC
P~v · d~S,
Wcorte = −∫
SC
τ~v · d~S
Entonces
Q−Wpar−Wnormal−Wcorte−Wotros =∂
∂t
[∫
CV
eρdV
]
+
∫
S
(u+V 2
2+gz)(ρ~v·dS)
5.8.1. Ejemplos
Aun no escrito.
Capıtulo 6
Escalamiento y analisis
dimensional
6.1. Introduccion
El termino escalamiento describe una situacion muy sencilla: la existencia
de una relacion tipo ley de potencia ente algunas variables, x y y por ejemplo,
y = Axα
donde A, α son constantes. Este tipo de relaciones aparecen en el modelado
matematico de muchos fenomenos, no solo en fısica e ingenierıa sino tambien
en biologıa, economıa, etc. Estas leyes de escalamiento no son solo un tipo
simple de una clase mas general de relaciones. De hecho son excepcionales
pues nunca aparecen de forma fortuita. Las leyes de escalamiento revelan una
propiedad importante sobre el fenomeno que describen: su auto-similaridad.
La auto-similaridad significa que el fenomeno se reproduce a si mismo en
diferentes escalas de tiempo y/o espacio.
Podemos introducir este tema basandonos en un primer ejemplo, que de
hecho ejemplifica el descubrimiento de las leyes de escalamiento y el fenomeno
de auto-similaridad. Analicemos el estado intermedio de una explosion nu-
clear. En este estado, una onda de choque intensa se propaga en la atmosfera
101
102 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
Figura 6.1: Fotografıa y esquema de una explosion atomica.
y el gas dentro de la onda de choque puede suponerse adiabatico. Este proble-
ma fue resuelto por G.I. Taylor en 1940. La pregunta que debıa resolver era
¿cual es el efecto mecanico que se espera de una explosion de gran intensidad?
Para responder a esta pregunta Taylor tenıa que entender y calcular el mo-
vimiento del gas ambiental despues de dicha explosion. Era claro que despues
de un perıodo inicial corto, una onda de choque aparece. Podemos suponer
que el movimiento es esfericamente simetrico. Para este estado inicial de la
explosion es posible despreciar los efectos viscosos y se puede suponer que
el gas se mueve en forma adiabatica. Para construir un modelo matematico
debemos considerar:
1. la ecuacion de conservacion de masa:
∂ρ
∂t+
1
r2∂
∂r
(r2ρu
)= 0 (6.1)
2. la ecuacion de conservacion de momentum:
∂u
∂t+ u
∂u
∂r= −1
ρ
∂P
∂r(6.2)
3. la ecuacion de conservacion de energıa:
∂
∂t
(P
ργ
)
+ u∂
∂r
(P
ργ
)
= 0 (6.3)
6.1. INTRODUCCION 103
obviamente, estas deben de ir acompanadas por condiciones de frontera y
condiciones iniciales.
Condiciones iniciales:
ρ(r, 0) = ρ0 (6.4)
P (r, 0) = P0 (6.5)
u(r, 0) = 0 (6.6)
para r ≥ ro.
y
ρ(r, 0) = ρi(r) (6.7)
P (r, 0) = Pi(r) (6.8)
u(r, 0) = ui(r) (6.9)
para r < ro.
El problema es en extremo complicado. No se puede resolver.
Taylor, usando analisis dimensional, y suponiendo que la energıa de la
explosion, E, se soltaba de manera concentrada en r0 = 0, argumento que:
Pf = f(E, t, r0, ρo, γ, Po) (6.10)
Si, r0 = 0 y Po ≪ Pf entonces
Pf = f(E, t, ρo, γ) (6.11)
y llego a la conclusion de que
Pf = C(γ)E2/5t−6/5ρ3/5o (6.12)
Lo cual es muy cercano a lo que se encontro experimentalmente. En esta
parte del curso aprenderemos a utilizar esta tecnica.
104 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
6.2. Analisis Dimensional
Primero comenzaremos definiendo algunos conceptos fundamentales.
Una medicion es la comparasion de una cantidad fısica con un estandar.
La medicion se da en terminos de unidades. Las unidades pueden ser fun-
damentales (masa, tiempo, distancia) o derivadas (sin combinan unidades
fundamentales, velocidad por ejemplo).
Si un grupo de unidades fundamentales tiene suficientes elementos para
describir a un sistema fısico, lo llamamos sistema de unidades. Por ejemplo:
Un sistema de unidades con un solo elemento, distancia L, mide pro-
piedades geometricas.
Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T ,
mide propiedades cinematicas.
Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T , y
masa, M , mide propiedades dinamicas.
Una clase de sistema de unidades es la que posee unidades similares. Por
ejemplo los sistemas cm-gr-s y km-ton-s son de la misma clase.
Es importante notar que se puede ‘crearotro sistema sustituyendo la uni-
dad M por la unidad F . Para esto se emplea la segunda ley de Newton para
hacer la equivalencia entre masa y fuerza: F =MLT−2.
6.2.1. Dimension de una variable fısica y Funcion Di-
mension
Las unidades fundamentales L, M y T son siempre numeros positivos.
Pueden interpretarse como los factores para cambiar de un sistema a otro.
Por ejemplo, si la unidad de distancia es reducida por un factor L y la
unidad de tiempo es reducida por un factor T , entonces la unidad de velocidad
es LT−1 veces menor que la unidad original.
6.2. ANALISIS DIMENSIONAL 105
Ası, el cambio del valor numerico de una cantidad fısica al pasar de un
sistema de unidades a otro en la misma clase esta dado por su dimension. La
funcion que determina el factor se denomina funcion dimension.
Ejemplo:
La funcion dimension de la densidad en el sistema MLT es:
ρ[=]ML−3
y en el sistema FLT es:
ρ[=]FL−4T 2.
Una cantidad fısica que tiene el mismo valor en diferentes sistemas de
unidades se dice que es ‘adimensional’. Su funcion dimension es unitaria
(φ[=]1).
Para que una ecuacion tenga significado fısico, ambos lados de la ecuacion
deben de tener la misma funcion dimension. Esto se vera mas adelante.
Funcion de potencia
Se puede demostrar que la funcion dimension, que represente a una va-
riable fısica, es una funcion de potencia tipo LαMβT γ, donde α, β y γ son
numeros reales cualesquiera. En otras palabras las funcion dimension es un
monomio de potencias de cada una de las unidades fundamentales.
Por ejemplo, la masa, m en el sistema LMT tiene una funcion dimension:
m[=]M1
o en el sistema LFT :
m[=]L−1FT 2.
La energıa, E tiene la funcion dimension:
E[=]FL
en el sistema LFT y en el sistema LMT es:
E[=]L2MT−1.
No puede existir una funcion dimension de la forma:
106 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
L+M2
exp(M)L
M cos(T ) log(L)
¿Porque? Es posible demostrar que si la funcion dimension no tiene esta
forma polinomial de potencia entonces no se puede asegurar que todos los
sistema de unidades dentro de una misma clase son equivalentes.
Demostracion
Supongamos que la funcion dimension de la variable fısica A esta dada
por:
A[=]φ(L,M, T )
Elijamos ahora dos sistemas de unidades dados por:
Sistema 1: L1,M1, T1
Sistema 2: L2,M2, T2.
Ahora por definicion:
A1 = Aφ(L1,M1, T1)
A2 = Aφ(L2,M2, T2)
Entonces:
A =A1
φ(L1,M1, T1=
A2
φ(L2,M2, T2)
y por lo tanto:A2
A1=φ(L2,M2, T2)
φ(L1,M1, T1)
ETC.
6.2. ANALISIS DIMENSIONAL 107
6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes
Las cantidades A1, A2, . . . , Ak se dicen que tienen dimensiones indepen-
dientes si ninguna de estas tiene una funcion dimension que pueda represen-
tarse como el producto de las funciones dimension restantes.
Por ejemplo:
ρ[=]ML−3
U [=]LT−1
F [=]MLT−2
tienen dimensiones independientes porque ninguna de estas puede represen-
tarse como una combinacion multiplicativa de las otras. Para demostrarlo
podemos suponer lo contrario: solo dos de las tres cantidades tienen dimen-
siones independientes. Notemos que tanto ρ como F tienenM es sus funciones
dimension.
Podemos entonces suponer que:
F [=](ρ)x(U)y
por lo que
MLT−2[=](ML−3)x(LT−1)y
Podemos igualar los exponentes para cada una de las dimensiones funda-
mentales, L,M, T :
Para L → 1 = −3x+ y
Para M → 1 = x
Para T → −2 = −y
No hay solucion. Esto indica que la suposicion de que F se podıa expresar
como una multiplicacion de potencias de ρ y U es falsa.
Es importante notar que ninguna de las cantidades Ai que tengan di-
mensiones independientes pueden ser adimensionales. La dimension de una
cantidad adimensional es 1, lo cual se puede obtener como el producto de
todas las demas cantidades elevadas a la potencia cero.
108 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
6.3. Analisis Dimensional
Un modelo matematico busca establecer relaciones entre variables fısicas.
Este modelo debera entonces de ser capaz de representar a un cierto fenomeno
fısico real. Entonces podemos decir que
A = f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm) (6.13)
La cantidad A es aquella que deseamos determinar en funcion de n = k +m
cantidades fısicas. Los argumentos de la funcion f estan separados tal que
A1, A2, . . . , Ak tienen dimensiones independientes y B1, B2, . . . , Bm no.
Entonces podemos ademas escribir:
B1 = (A1)p1 . . . (Ak)
r1
...
Bi = (A1)pi . . . (Ak)
ri
...
Bm = (A1)pm . . . (Ak)
rm
Podemos tener casos en que m = 0, pero en general k ≥ 1 y m > 0.
La funcion dimension de A tambien se puede escribir como:
A = (A1)p . . . (Ak)
r
6.3.1. Homogeneidad Generalizada
Podemos definir a las siguientes cantidades:
Π = A(A1)p...(Ak)r
Π1 =B1
(A1)p1 ...(Ak)r1
...
Πi =Bi
(A1)pi ...(Ak)ri
...
Πm = Bm
(A1)pm ...(Ak)rm
6.3. ANALISIS DIMENSIONAL 109
donde los exponentes de los parametros con dimensiones independientes son
tales que las cantidades Π,Π1, . . . ,Πi, . . . ,Πm son todas adimensionales.
La ecuacion (6.13) se puede entonces reescribir en terminos de las canti-
dades Π,Π1, . . . ,Πi, . . . ,Πm y los parametros A1, A2, . . . , Ak:
Π =f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm)
(A1)p . . . (Ak)r
entonces
Π =f(A1, A2, . . . , Ak,Π1((A1)
p1 . . . (Ak)r1), . . . ,Πm((A1)
pm . . . (Ak)rm))
(A1)p . . . (Ak)r
y finalmente, nos lleva a
Π = F(A1, A2, . . . , Ak,Π1, . . . ,Πm)
Ahora, es importante hacer notar que la expresion anterior es adimensio-
nal del lado izquierdo, pero tiene argumentos dimensionales del lado derecho.
Si quisieramos hacer un cambio de unidades, el lado derecho se verıa afecta-
do pero el lado izquierdo no. Entonces, podemos argumentar que para que
la expresion sea valida en general la funcion F no puede depender de los
argumentos A1, A2, . . . , Ak. Por lo tanto podemos escribir:
Π = Φ(Π1, . . . ,Πm) (6.14)
En otras palabras, cualquier funcion f , que es dimensionalmente correcta
y que tiene k +m argumentos, puede reescribirse de forma adimensional, Φ
con solo m argumentos:
f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm) = (A1)p . . . (Ak)
rΦ(Π1, . . . ,Πm)
6.3.2. Teorema Π
Los argumentos anteriores nos llevan a formular el teorema general del
analisis dimensional:
110 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
“ Una relacion fısica entre una cantidad dimensional y varios
parametros dimensionales, que influyen su comportamiento, pue-
de reescribirse como una relacion entre un parametro adimensio-
nal y varios productos adimensionales”
Ademas:
“El numero de productos adimensionales es igual al numero de
parametros menos el numero de parametros con dimensiones in-
dependientes.”
El analisis adimensional puede usarse de forma util para:
1. El analisis preliminar de un fenomeno fısico
2. El procesamiento de datos experimentales
3. Para simplificar e interpretar el modelo matematico de un problema
fısico, si este se conoce.
6.3.3. Ejemplos
Pendulo
Utilizando analisis dimensional es posible determinar el perıodo de osci-
lacion de un pendulo libre.
Consideremos un pendulo libre, de masa m, en un cable de largo l, que
oscila bajo la accion de la gravedad, g.
Podemos establecer una relacion funcional entre el perıodo de oscilacion,
θ, y el resto de las variables relevantes al problema. El perıodo debe de
depender de:
la gravedad g
la masa, m
el largo del cable l.
6.3. ANALISIS DIMENSIONAL 111
T
m
lg
Entonces:
θ = f(m, l, g)
Funciones dimension:
T [=] T
m [=] M
l [=] L
g [=] LT−2
Podemos notar que las variables g, l y m tienen dimensiones independien-
tes (ninguna se puede expresar como un producto de potencias de la otras).
Para este caso k = 3 y m = 0. Entonces el numero total de variables es
k+m = 3, y el numero de variables con dimensiones independientes es k = 3.
Del teorema Π podemos calcular el numero de grupos adimensionales:
No. de grupos adimensionales = (k +m)− k = m = 0
No hay ningun grupo adimensional!
Entonces θ = f(m, l, g) se transforma en:
Π = constante
112 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
Resta entonces determinar Π:
Π =θ
gαlβmγ
o
θ = Cgαlβmγ
lo cual el terminos de las funciones dimension se escribe como:
T [=](LT−2)α(L)βMγ
Igualando exponentes para cada una de las dimensiones fundamentales:
Para T : 1 = −2α
Para L : 0 = α + β
Para M : 0 = γ
Por lo tanto:
Π =θ√g√l
Puesto que Π = constante tenemos que:
θ = C
√
l
g
La constante debe de determinarse experimentalmente.
Solucion formal exacta:
La fuerza sobre la masa m es:
~F = −mg sen θ
Si el angulo es pequeno sin θ ≈ θ, por lo que ~F = −mgθ. Ademas θ ≈ x/l.
Entonces,
md2x
dt2= −mgx
l
6.3. ANALISIS DIMENSIONAL 113
cuya solucion es:
x = C1 sin(
√g
lt) + C2 cos(
√g
lt)
Con las condiciones de contorno se pueden encontrar las constantes C1 y
C2. Es claro que la solucion es periodica y que la frecuencia de oscilacion es
ω =√
g/l, y el perıodo de oscilacion es:
θ =2π
ω
Lo que finalmente da como resultado:
θ = 2π
√
l
g.
Flujo en tuberıas
Sabemos de flujo en tuberıas que se puede relacionar al gradiente de
presion con la velocidad media del flujo y el resto de las propiedades
del fluido. La solucion de Poiseuille (solucion exacta a las ecuaciones de
Navier-Stokes) es:∆P
L= 32µ
U
D2
Intentemos resolver este problema usando unicamente analisis dimen-
sional. Podemos plantear la siguiente relacion funcional:
∆P
L= f(U, µ, ρ,D, . . .)
Las funciones dimension de todas la variables son:
∆P/L [=] ML2T 2
U [=] LT
µ [=] MLT
114 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
ρ [=] ML3
D [=] L
Variables con dimensiones independientes: U, ρ,D (k=3)
Numero total de variables k +m = 4
Numero de grupos adimensionales = 1.
Entonces:
Π = Φ(Π1)
Solo falta determinar Π y Π1. Se determinan usando la tecnica de
variables repetidas (mas adelante):
Π =(∆P/L)D
ρU2
y
Π1 =ρDU
µ
Por lo tanto:∆P
L=ρU2
DΦ
(ρDU
µ
)
Teorema de Pitagoras
6.4. Metodo de variables repetidas
El teorema Π, a pesar de su profundidad e importancia, unicamente nos
dice que se puede escribir una relacion entre numeros adimensionales con una
dimensionalidad reducida. El teorema no dice cuales son estas variables adi-
mensionales. El metodo de variables repetidas puede usarse para determinar
de forma metodica los grupos adimensionales.
6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS 115
6.4.1. Algortimo del MVP
1. Haga una lista de todas las variables fısicas involucradas en el problema.
a) Este punto puede ser el mas difıcil pues requiere experiencia e
intuicion.
b) Algunas variables comunes son la presion la velocidad, la viscosi-
dad, la aceleracion gravitacional, etc.
c) Identifique las variables independientes (evite variables que sean
el producto de otras).
2. Determine la funcion dimension de cada variable, en terminos de las
variables fundamentales.
a) Para el caso de flujo de fluidos, las dimensiones fundamentales
son LMT (o LFT ). Ocasionalmente, se debe considerar tambien
la dimension fundamental de temperatura, Θ.
b) Recuerde que la notacion para funciones dimension es, tomando
a la densidad como ejemplo:
ρ [=]M
L3
3. Use el teorema Π para determinar el numero de grupos adimensionales
que se pueden obtener:
Numero de grupos Π = (k +m)︸ ︷︷ ︸
numero total de variables
− (m)︸︷︷︸
numero de variables con dimensiones dependientes
a) Es muy importante determinar el numero de variables con di-
mensiones independientes, k, pues este sera el numero de grupos
adimensionales que se pueden formar.
b) Se puede determinar cuantas variables con dimensiones indepen-
dientes por prueba y error. Es importante notar que, en general,
el numero de variables con dimensiones independientes es igual al
numero de dimensiones fundamentales.
116 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
4. Elija un conjunto de variables repetidas. El numero de variables de este
conjunto debe de ser igual a k (el numero de variables con dimensiones
independientes).
a) Obviamente, el conjunto de variables repetidas debe de ser un
subconjunto de conjunto total de variables.
b) Las variables repetidas tendran, consecuentemente, dimensiones
independientes. De esta manera, todas las dimensiones fundamen-
tales deben de aparecer en las funciones dimension de este sub-
conjunto.
c) La variable dependiente no debe de elegirse como parte de este
subconjunto.
5. Encuentre cada grupo Π multiplicando cada una de las variables no-
repetidas (VNR) por un producto de potencias de las variables repeti-
das (V R1, . . . , V Rk). Las potencias deben de calcularse tal que todo el
grupo sea adimensional.
Πi = VNRi(V R1, . . . , V Rk)
Encuentre un grupo adimensional para cada variable no-repetida.
Encuentre tambien un grupo adimensional para la variable depen-
diente.
6. Verifique que los grupos obtenidos sean adimensionales.
7. Escriba la nueva relacion funcional en terminos de los numeros adimen-
sionales.
Ejemplos
Deformacion de la base un tanque lleno de lıquido.
Considere un tanque cilındrico de diametro D esta lleno de un fluido
6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS 117
con peso especıfico γ = ρg. Su base se apoya unicamente en la periferia de
la circunferencia de la base. Por lo tanto, el centro de la base de deforma
una cierta longitud, δ. Encuentre la relacion funcional adimensional entre
la defleccion y todos los parametros fısicos relevantes.
1. Podemos argumentar que δ depende de:
δ = f(D, h, d, γ, E)
donde d es el espesor de la placa de la base y E su modulo elastico.
2. Las funciones dimension de cada variable es:
δ [=] L
h [=] L
D [=] L
d [=] L
γ [=] F/L3
E [=] F/L2
3. El numero de grupos adimensionales es:
No. de grupos adimensionales = No. variables−No. variables c/dims. independientes
por lo tanto:
No. de grupos adimensionale = 5− 2 = 3
Importante: note que en este caso el numero de variables con di-
mensiones independientes es diferente.
4. Escojamos las variables repetidas: D y γ.
118 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
5. Calculamos los numeros adimensionales
Π = δDαγβ
Igualando los exponentes de las funciones dimension llegamos
a que α = −1 y β = 0. Por lo tanto:
Π =δ
D
De manera similar:
Π1 =h
D
Π2 =d
D
Finalmente:
Π3 = EDαγβ
Para este caso: α = −1 y β = −1, por lo que
Π3 =E
Dγ
6. Verificamos que los grupos sean adimensionales:
Π [=] L/L
Π1 [=] L/L
Π2 [=] L/L
Π3 [=] (F/L2)(1/L)(L3/F )
7. Finalmente:δ
D= Φ
(h
D.d
D,E
Dγ
)
6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION EN FORMAADIMENSIONAL119
Lıquido que se derrama en una superficie horizontal.
Un cierto volumen de fluido se derrama sobre una placa horizontal.
Suponga que el tiempo requerido para el fluido recorra una cierta distan-
cia horizontal, d, depende del volumen, V, la gravedad, g, la viscosidad,
µ y la densidad ρ.
Escribir
0 = f(t, d,V, g, µ, ρ)
y proceder.
Se encuentran tres grupos adimensionales:
Π1 = t
√g
d
Π2 =V
d
Π3 =ρd
√gd
µ
Y por lo tanto
t
√g
d= Φ(
V
d,ρd
√gd
µ)
6.5. Ecuaciones de Conservacion en Forma
Adimensional
Si consideramos escalas caracterısticas para un problema de flujo de flui-
dos cualquiera de distancia, L, velocidad, U y tiempo, D/U , podemos adi-
mensionalizar las ecuaciones de flujo de fluidos haciendo cambios de variables.
Por ejemplo:
x∗ = xL
u∗i =ui
U
120 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
t∗ = tUL
P ∗ = PρU2
Las derivadas se pueden reescribir de forma adimensional. Por ejemplo:
∂
∂x=
1
L
∂
∂x∗
Ası, la ecuacion de conservacion de masa es:
∇∗ ~u∗ = 0 (6.15)
Y las ecuaciones de Navier-Stokes son:
∂ ~u∗
∂t+ ( ~u∗ · ∇∗) ~u∗ = −∇∗P ∗ +
1
Re(∇∗)2 ~u∗ +
1
Fr(6.16)
donde Re es el numero de Reynolds y Fr es el numero de Froude.
De esta manera es facil simplificar la forma de esas ecuaciones para dos
casos extremos: Re << 1 y Re >> 1.
6.5.1. Numeros adimensionales relevantes en Mecani-
ca de Fluidos
En flujo de fluidos aparecen frecuentemente grupos adimensionales que
caracterizan ciertas propiedades del flujo. Estos siempre tienen una interpre-
tacion fısica y su valor revela ciertos aspectos del problema en estudio.
Numero de Reynolds:
Re =UρD
µ
Es una comparacion entre las fuerzas inerciales (ρU2D2) y las fuerzas
viscosas (µDU) de un cierto flujo. Su valor determina si un flujo puede
ser laminar o turbulento.
6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION EN FORMAADIMENSIONAL121
Numero de Froude:
Fr =U2
gD
Este grupo compara fuerzas inerciales y gravitacionales de un cierto
flujo. Sirve para determinar cuando un flujo esta dominado por inercia
o gravedad.
Numero de Mach
Ma =U
c
Este grupo compara la velocidad del un flujo con la velocidad de pro-
pagacion del sonido c. Como veremos mas adelante, cuando Ma > 1 la
fenomenologıa de flujo cambia de manera substancial.
Numero de Euler
Eu =δP
ρU2
Compara la caıda de presion con la presion dinamica.
Coeficiente de arrastre:
CD =FD
ρU2D2
Numero de Galileo:
Ga =gD3ρ2
µ2
Se se consideran efectos de tension superficial, σ, se pueden definir
muchos otros numeros adimensionales: Weber, capilaridad, Bond, Oh-
nesorge, Morton, etc.
Si se consideran efectos y propiedades termicas, T , Cp,α,k,h, etc. se
pueden definir los numeros: Prandtl, Nusselt, Rayleigh, Grashof, etc.
122 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
6.6. Teorıa de Modelos y Similaridad
Otra de las herramientas de gran importancia del analisis dimensional es
la teorıa de similaridad. Esta idea nos permite estudiar sistemas modelo, en
condiciones de laboratorio, que reproducen fielmente el comportamiento de
sistemas reales.
6.6.1. Similaridad
Se dice que dos sistemas son similares si el valor de los numeros adimen-
sionales que los representan son iguales. Esta idea es muy facil de entender
en sistemas geometricos y se puede generalizar para sistemas cinematicos y
dinamicos.
Similaridad geometrica
La similaridad geometrica se da entre dos figuras si una es una reproduc-
cion a escala de la otra. En otras palabras, se dice que dos figuras geometricas
son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamanos entre ellos.
En el contexto de analisis dimensional, podemos demostrar que dos figuras
geometricas son similares si sus grupos adimensionales son iguales.
En la similaridad geometrica unicamente aparece la dimension funda-
mental L. Los mapas a escala son el mejore ejemplo de sistemas geometricos
bidimensionales similares.
Ejemplo: triangulos similares.
Similaridad cinematica
La similaridad cinematica requiere que todos los numeros adimensionales
que contengan dimensiones fundamentales L y T sean iguales.
6.6. TEORIA DE MODELOS Y SIMILARIDAD 123
Similaridad dinamica o total
Para el caso de sistemas fısicos en los cuales las dimensiones fundamen-
tales son LMT , se requiere que todos los numeros adimensionales para dos
sistemas sean iguales para poder asegurar que estos son similares.
6.6.2. Teorıa de Modelos
Los modelos son replicas a ‘escala’ de sistemas reales que se usan para
estudiar un fenomeno fısico en condiciones de laboratorio. Al sistema real
comunmente se denomina ‘prototipo’, mientras que al sistema escalado se
denomina ‘modelo’. Ası, para que un prototipo y un modelo sean similares
se debe de cumplir que:
Πmodelo1 = Πprototipo
1
...
Πmodeloi = Πprototipo
i
...
Πmodelom = Πprototipo
m
donde m es en numero de grupos adimensionales unicos para dicho sistemas.
Es importante notar que no siempre se puede satisfacer que todos los
grupos adimensionales sean iguales.
Ejemplos
Ejemplo 1. Se desean estudiar la fuerza de empuje generada por de un
rotor de motor de barco. El rotor de de cuatro aletas y se desean carac-
terizar con un prototipo a escala 10:1. El modelo tiene un diametro de 2
m y gira a una velocidad angular de 600 RPM y el barco se desplaza a
una velocidad de 10 m/s. Calcule las condiciones necesarias para hacer
124 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
pruebas en un tunel de viento.
Primero debemos de identificar las variables importantes:
FE = f(U, ω,D, ρ, µ)
donde FE es la fuerza de empuje, U es la velocidad del barco, ω es
la velocidad angular del rotor, D es el diametro, y µ y ρ las propiedades
del fluido.
Considerando las funciones dimension y el teorema Π tenemos:
Π =FE
ρU2D2
Π1 =ρUD
µ
Π2 =ρωD2
µ
Para que la fuerza de empuje en el prototipo sea representati va del
modelo tenemos que:
(FE
ρU2D2
)
prototipo
=
(FE
ρU2D2
)
modelo(ρUD
µ
)
prototipo
=
(ρUD
µ
)
modelo(ρωD2
µ
)
prototipo
=
(ρωD2
µ
)
modelo
Si el prototipo es una replica a escala 1:10 del modelo entoncesDmodelo =
10Dprototipo. Ademas, µmodelo = µaire y ρmodelo = ρaire.
Igualando los numeros Π1 podemos encontrar la velocidad del flujo a
la que debe de probarse el prototipo:
Uprototipo =Dmodelo
Dprototipo
ρmodelo
ρprototipo
µprototipo
µmodelo
6.6. TEORIA DE MODELOS Y SIMILARIDAD 125
E igualando los numeros Π2 podemos encontrar la velocidad de rota-
cion del rotor:
ωprototipo =D2
modelo
D2prototipo
ρmodelo
ρprototipo
µprototipo
µmodelo
.
Ejemplo 2. Clavados. Se desea modelar el salpicado de un clavado en
condiciones a escala de laboratorio.
Hs = f(L,D, µ, ρ, σ,H, g)
donde σ es la tension superficial.
8 variables, 3 variables con dimensiones independientes. Por lo tanto,
tenemos 5 grupos adimensionales:
Π1 =Hs
H
Π2 =L
H
Π3 =D
H
Π4 =
√gHDρ
µ
Π5 =(gH)Dρ
σ
Considere un modelo a escala: Lmodelo = Lprototipo/10 y Dmodelo =
Dprototipo/10.
¿Es posible empatar todos los numeros adimensionales?
126 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL
Capıtulo 7
Flujo Viscoso: Soluciones
Exactas a NS
7.1. Soluciones exactas de las ecuaciones de
Navier-Stokes
Debido a la complejidad de las ecuaciones de N-S, estas solo se pueden
resolver en casos especiales. En general, buscamos que la geometrıa del flujo
se tal que algunos de las partes de la ecuacion se cancelen.
Lo que se busca en cada problema es encontrar el campo de velocidades:
~v = f(x, y, z, t).
Para toda esta seccion consideraremos unicamente flujos newtonianos,
incompresibles, isotermicos y de propiedades constantes.
Para esto consideraremos las siguientes ecuaciones:
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (7.1)
∇ · ~v = 0 (7.2)
Tambien consideraremos, para la mayorıa de los casos, problemas en coor-
denadas cartesianas tal que ~v = (u, v, z).
127
128 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
7.1.1. Flujo de corte simple o de Couette
Flujo entra dos placas paralelas infinitas (2-D)
Consideremos el flujo en la siguiente figura:
y
x
H
U Pared movil
Pared fija
Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para
el caso 2-D:
Ecuacion de continuidad:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
Ecuaciones de Navier-Stokes:
ρ
(∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
= −∂P∂x
+ µ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
+ ρgx
ρ
(∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)
= −∂P∂y
+ µ
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)
+ ρgy
Caracterısticas del flujo:
1. Flujo estacionario (no cambia como funcion del tiempo):
∂/∂t = 0
2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placas infinitas):
∂/∂x = 0
3. La gravedad esta alineada con la direccion y − y′:
~g = (0, gy).
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 129
4. No hay gradiente de presion en la direccion x− x′:
∂P/∂x = 0
Condiciones de contorno:
1. ~v(x, 0) = (0, 0)
2. ~v(x,H) = (U, 0)
Considerando la caracterıstica de flujo (2) en la ecuacion de conservacion
de masa, tenemos:
0 +∂v
∂y= 0
Esta expresion implica que
v = constante
De la primera condicion de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto
que v es constante, podemos inferir que
v = 0
en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo
es unidireccional : ~v = (u, 0).
Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-
reccion y − y′. Si v = 0 en todas partes, entonces los unicos terminos que
sobreviven son:
ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −∂P∂y
+ µ (0 + 0) + ρgy
Reescribiendo,∂P
∂y= ρgy
que es la ecuacion de la hidrostatica.
Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-
reccion x− x′:
ρ
(
0 + u(0) + 0(∂u
∂y)
)
= −(0) + µ
(
0 +∂2u
∂y2
)
+ ρ(0)
130 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
entonces:
0 =∂2u
∂y2
Esta expresion se puede integrar directamente:
u = Ay +B
Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = 0 y u = U
en y = H :
B = 0
y
A =U
HPor lo tanto
u(y) =U
Hy
Es una distribucion de velocidades lineal:
y
x
H
U Pared movil
Pared fija
u(y)=U/H y
Otra resultado que podemos obtener de este resultado es el esfuerzo cor-
tante en la pared. La relacion constitutiva newtoniana es
σij = −Pδij + λδijDkk + 2µDij
El esfuerzo cortante en la pared es τxy|y=o:
τxy = 2µDxy = µ
(∂u
∂y+∂v
∂x
)
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 131
Para el flujo cortante simple:
τw = µ∂u
∂y= µ
U
H
Notese que el esfuerzo es constante a traves de todo el campo de flujo.
7.1.2. Flujo en una tuberıa o de Poiseuille
Consideremos el flujo en la siguiente figura:
y
x
H/2
Pared fija
Pared fija
H/2
P 1 P 2
L
Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para
el caso 2-D: Ecuacion de continuidad:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
Ecuaciones de Navier-Stokes:
ρ
(∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
= −∂P∂x
+ µ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
+ ρgx
ρ
(∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)
= −∂P∂y
+ µ
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)
+ ρgy
Caracterısticas del flujo:
1. Flujo estacionario (no cambia como funcion del tiempo):
∂/∂t = 0
132 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placas infinitas):
∂/∂x = 0
3. La gravedad esta alineada con la direccion y − y′:
~g = (0, gy).
4. El gradiente de presion en la direccion x− x′ es:
∂P/∂x ≈ (P1−P2)/L = −G Esta cantidad es constante. Esta cantidad
se define negativa porque para que exista un flujo de izquierda a derecha
la presion P2 debe se mas baja que P1.
Condiciones de contorno:
1. ~v(x,H/2) = (0, 0)
2. ~v(x,−H/2) = (0, 0)
Paredes fijas.
Considerando la caracterıstica de flujo (2) en la ecuacion de conservacion
de masa, tenemos:
0 +∂v
∂y= 0
Esta expresion implica que
v = constante
De la primera condicion de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto
que v es constante, podemos inferir que
v = 0
en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo
es unidireccional : ~v = (u, 0).
Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-
reccion y − y′. Si v = 0 en todas partes, entonces los unicos terminos que
sobreviven son:
ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −∂P∂y
+ µ (0 + 0) + ρgy
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 133
Reescribiendo,∂P
∂y= ρgy
que es la ecuacion de la hidrostatica.
Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-
reccion x− x′:
ρ
(
0 + u(0) + 0(∂u
∂y)
)
= −∂P∂x
+ µ
(
0 +∂2u
∂y2
)
+ ρ(0)
entonces:
−G = µ∂2u
∂y2
Esta expresion se puede integrar directamente:
u = − G
2µy2 + Ay +B
Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = H/2 y
u = 0 en y = −H/2:A = 0
y
B =G
2µ
(H
2
)2
Por lo tanto
u(y) =G
2µ
((H
2
)2
− y2
)
Es una distribucion de velocidades parabolica:
Podemos calcular la velocidad del fluido en el centro de la tuberıa:
umax = u(y = 0) =G
2µ
(H
2
)2
Podemos tambien calcular el campo de esfuerzos cortantes:
τxy = µ∂u
∂y= −G
µy
134 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
y
x
H/2
Pared fija
Pared fija
H/2
P 1 P 2
L
Velocidad Esfuerzo
Notese que el esfuerzo es varıa linealmente a traves de y. El esfuerzo en la
pared es
τw = µ∂u
∂y= −G
µ
H
2.
Podemos calcular el gasto Q que pasa a traves de la tuberıa. Sabemos
que
Q =
∫
a
udA
Puesto que es un problema en 2-D, podemos simplificar al elemento dife-
rencial de area como dA = dydz = dy(1), por unidad de z. Ası, tenemos
Q =
∫ H/2
−H/2
u(y)dy
=
∫ H/2
−H/2
(
G
2µ
((H
2
)2
− y2
))
dy
=G
12µH3
7.1.3. Pelıcula de fluido que escurre sobre una pared
inclinada
Consideremos el flujo en la siguiente figura:
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 135
��������
��������
��������
��������
g
H
y
x
superficie libre
g co
s
g sen
Para este caso ~v = (u, v). Consideraremos las ecuaciones 11.1 y 11.1 para
el caso 2-D. Ver en los ejemplos anteriores.
Caracterısticas del flujo:
1. Flujo estacionario (no cambia como funcion del tiempo):
∂/∂t = 0
2. Flujo desarrollado (no cambia con la posicion x, placa y pelıcula infi-
nitas):
∂/∂x = 0
3. La gravedad actua en las dos direcciones x− x′ y y − y′:
~g = (s senα, g cosα).
4. No hay gradiente de presion en la direccion x− x′:
∂P/∂x = 0
Condiciones de contorno:
1. No deslizamiento en la pared: ~v(x, 0) = (0, 0)
2. Superficie libre de esfuerzo: τxy(x,H) = 0
136 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
Considerando la caracterıstica de flujo (2) en la ecuacion de conservacion
de masa, tenemos:
v = constante
De la primera condicion de contorno sabemos que v = 0 en y = 0. Puesto
que v es constante, podemos inferir que
v = 0
en todas partes. Esto es un resultado muy importante. Significa que el flujo
es unidireccional : ~v = (u, 0).
Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-
reccion y − y′. Si v = 0 en todas partes, entonces los unicos terminos que
sobreviven son:
ρ (0 + u(0) + 0(0)) = −∂P∂y
+ µ (0 + 0) + ρg cosα
Reescribiendo,∂P
∂y= ρg cosα
que es la ecuacion de la hidrostatica.
Consideremos ahora la ecuacion de conservacion de momentum en la di-
reccion x− x′:
ρ
(
0 + u(0) + 0(∂u
∂y)
)
= (0) + µ
(
0 +∂2u
∂y2
)
+ ρg sinα
entonces:
0 = µ∂2u
∂y2+ ρg sinα
Esta expresion se puede integrar directamente:
u = −ρgµ
sinαy2
2+ Ay +B
Sabemos de las dos condiciones de contorno que u = 0 en y = 0 y τxy = 0
en y = H :
B = 0
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 137
y
τyx = µ∂u
∂y(y = H) = 0
entonces∂u
∂y= 0 = −ρg
µsinαH + A
y
A =ρg
µsinαH
Por lo tanto
u(y) =ρg
µsinα
(
Hy − y2
2
)
Podemos calcular la velocidad del fluido en la superficie libre:
umax = u(y = H) =ρg
µsinα
(H2
2
)
Podemos tambien calcular el esfuerzo en la pared:
τw = µ∂u
∂y(y = 0) = −ρg
µsinαH.
7.1.4. Otros problemas unidireccionales estacionarios
Flujo cortante simple de dos lıquidos inmiscibles
�������
�������
�������
U
y
x
H
H
138 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
Resolver el flujo para cada lado. En las paredes considerar condicion de
no-deslizamiento. En la interfaz, el esfuerzo cortante debe ser el mismo.
Ası para el fluido 1 (superior), tenemos
u1(y) = C1y + C2
en y = H , u = U y en y = 0, τxy = τint. Entonces,
U = C1(H) + C2
y
τint = µ1∂u1∂y
= µ1C1
Para el fluido 2 (inferior), tenemos
u2(y) = C3y + C4
en y = −H , u = 0 y en y = 0, τxy = τint. Entonces,
0 = C3(−H) + C4
y
τint = µ2∂u2∂y
= µ2C3
En la interfaz, τint−1 = τint−2:
µ1C1 = µ2C3
y u1(y = 0) = u2(u = 0), lo que implica que,
C2 = C4
Entonces
C1 =U
H
1µ1
µ2+ 1
C2 = U1
µ2
µ1+ 1
C3 =U
H
1µ2
µ1+ 1
C4 = U1
µ2
µ1+ 1
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 139
Por lo tanto
u1 =U
µ1
µ2+ 1
(y
H+µ1
µ2
)
u2 =U
µ2
µ1+ 1
( y
H+ 1)
Podemos calcular el esfuerzo cortante:
τ1 = µ1C1 = µ1U
H
1µ1
µ2+ 1
y
τ2 = µ2C3 = µ2U
H
1µ2
µ1+ 1
Notemos que
τ1 = τ2 =U
H
µ1µ2
µ1 + µ2.
Ası podrıamos calcular una viscosidad efectiva del medio:
¯τxy = µefU
2H
entonces
µef = 2µ1µ2
µ1 + µ2
Flujo de Poiseuille en una tuberıa circular
Este problema es muy parecido al problema de flujos de Poiseuille entre
dos placas (ver seccion 3.1.2).
La unica diferencia es que debemos considerar un sistema de coordenadas
cilındricas: ~v = (ur, uθ, uz)
En este caso la ecuacion de conservacion de masa, ∇ · ~v = 0, se escribe
en forma explıcita como:
1
r
∂
∂r(rur) +
1
r
∂
∂θuθ +
∂
∂zuz = 0
140 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
Por ser un flujo desarrollado (∂/∂z) y (∂/∂z) axisimetico (∂/∂θ), tenemos:
1
r
∂
∂r(rur) = 0
Por lo tanto:
ur = 0
Flujo unidireccional. El vector de velocidad se reduce a ~v = (0, 0, uz).
Resolviendo la ecuacion de conservacion de momentum unicamente en la
direccion donde el componente de velocidad no es cero, direccion z−z′. Paracoordenadas cilındricas tenemos:
ρ
(∂uz∂t
+ ur∂uz∂r
+uθr
∂uz∂θ
+ uz∂uz∂z
)
= −∂P∂z
+µ
(1
r
∂
∂r
(
r∂uz∂r
)
+1
r2∂2uz∂θ2
+∂2uz∂z2
)
+ρgz
Considerando las mismas caracterısticas del flujo que en la seccion 3.1.2
y ademas que el flujo es axisimetrico e unidireccional, la ecuacion anterior se
reduce a :
−Gµ
=1
r
∂
∂r
(
r∂uz∂r
)
donde G = −∂P/∂z = constante
Integrado una vez tenemos:
∂uz∂r
= − G
2µr +
C1
r
Integrado una vez mas:
uz = − G
4µr2 +
C1
lnr + C2
Sabemos que la velocidad en r = 0 debe ser finita, por lo tanto C1 = 0.
Tambien sabemos que la velocidad del fluido en la pared debe de ser cero
(condicion de no deslizamiento): uz(r = R) = 0.
C2 =G
4µR2
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 141
Por lo tanto, el campo de velocidades para una tuberıa circular bajo un
gradiente de presion constante es:
uz =G
4µ
(R2 − r2
)
Podemos calcular el flujo volumetrico como:
Q =
∫
A
uzdA =
∫ R
0
uz(2πrdr)
Ası:
Q =πG
8µR4
La velocidad media, U = Q/A, es
U =G
8µR2
Podemos calcular el esfuerzo en la pared es:
τpared = τrz|r=R = µ∂uz∂r
Entonces, el esfuerzo en la pared es:
τpared =GR
2
Podemos calcular el coeficiente de friccion sobre la tuberıa:
Cf =Ff
12ρU2A
El area de contacto A es 2πRL. La fuerza de friccion Ff sobre la tuberıa
se puede calcular directamente del esfuerzo en la pared como Ff = τparedA:
Ff = πR2LG
Por lo tanto
Cf =16µ
(2R)ρU=
16
Re
142 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
donde Re = ρDU/µ es el numero de Reynolds.
Factor de friccion:
Podemos reeinterpretar el resultado del gasto volumetrico como:
G =8µQ
πR4
como la caıda de presion que ocurre el una tuberıa de radio R bajo el flujo
Q de un fluido de viscosidad µ. Si escribimos este resultado como perdida de
carga (altura) tenemos:
hf =∆P
ρ=
8µQ
πR4L1
ρ
El factor de rozamiento f para una tuberıa es una cantidad usada muy
frecuentemente por INGENIEROS para calcular perdidas en tuberıas. El
factor de rozamiento se define como:
hf = fL
D
U2
2
donde D = 2R. Entonces, reescribiendo la expresion anterior tenemos:
hf =2µπUD2
πD4/16L1
ρ
= 32Uµ
D2
L
ρ
=
(64µ
ρUD
)L
D
U2
2
Por lo tanto
f =64µ
ρUD=
64
Re
Diagrama de Moody:
Flujo con lineas de corriente circulares
Consideremos el siguiente flujo:
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 143
Figura 7.1: Diagrama de Moody. Tomado de Fox, Macdonald
Una vez mas consideramos flujo estacionario, bidimensional, axisimetrico:
~v = (ur, utheta, 0)
De la ecuacion de conservacion de masa podemos demostrar que la velo-
cidad ur = 0, por lo que tenemos un flujo unidireccional (lıneas de corriente
circulares).
Si resolvemos la ecuacion de conservacion de momentum para la direccion
r − r′ tenemos:
ρ
(∂ur∂t
+ ur∂ur∂r
+uθr
∂ur∂θ
− u2θr
+ uz∂ur∂z
)
= −∂P∂r
+ µ∇2ur + ρgr
La mayorıa de los terminos son cero ya que ur = 0. Sin embargo sobrevi-
ven:u2θr
=∂P
∂r
144 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
Espacio entre los dos cilindros lleno de un
fluido viscoso
R 2
W 2
W 1
R 1
Existe un gradiente de presion en la direccion radial como resultado de la
!fuerza centrıfuga!
Ahora si, resolviendo para la direccion acimutal θ − θ′:
ρ
(∂uθ∂t
+ ur∂uθ∂r
+uθr
∂uθ∂θ
+uθurr
+ uz∂uθ∂z
)
= −1
r
∂P
∂θ
+ µ
(∂
∂r
(1
r
∂(ruθ)
∂r
)
+1
r2∂2uθ∂θ2
+∂2uθ∂z2
)
+ ρg
Eliminando terminos tenemos:
∂
∂r
(1
r
∂
∂r(ruθ)
)
= 0
Integrando dos veces tenemos:
∂
∂r(ruθ) = C1r
uθ =C1
2r +
C2
r
Las condiciones de frontera son
en r = R1, uθ = ω1R1.
en r = R2, uθ = ω2R2.
Resolviendo para C1 y C2 tenemos:
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 145
C1 =2(ω2R
22 − ω1R
21)
R22 − R2
1
C2 = −R21R
22
ω2 − ω1
R22 − R2
1
Ası,
uθ =ω2R
22 − ω1R
21
R22 −R2
1
r − R21R
22
R22 − R2
1
ω2 − ω1
r
Aplicacion: viscosimetrıa.
Consideremos el caso en que cilindro exterior se mantiene fijo y el interior gira
a una velocidad angular constante. Para dicho caso el perfil de velocidades
es:
uθ = − ω1R21
R22 − R2
1
r +R2
1R22
R22 −R2
1
ω1
r
para el cual el campo de esfuerzos cortantes es:
τrθ = µr∂
∂r
(uθr
)
= −µ R21R
22
R22 − R2
1
ω1
r
Si calculamos el torque sobre el cilindro interno tenemos:
T = τrθAR1
=
(
−µ R21R
22
R22 −R2
1
ω1
R1
)
(2πR1L)R1
= −µ R21R
22
R22 − R2
1
2πω1R1L
Si medimos el torque en el cilindro interno podrıamos utilizar este sistema
para medir la viscosidad del fluido:
µ =T
2πω1R1L
R22 − R2
1
R21R
22
146 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
7.1.5. Flujos no-estacionarios
Hasta ahora solo hemos visto soluciones exactas para el caso de flujos
estacionarios (∂/∂t = 0). Existe tambien una clases de flujos que tienen
soluciones exactas pero que no son estacionarios: flujo unidireccional ~v =
(u, 0, 0) pero ∂u/∂t 6= 0.
Para flujos newtonianos incompresibles consideramos las ecuaciones:
∇ · ~v = 0 (7.3)
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v (7.4)
Para el caso unidireccional, desarrollado y no estacionario, estas ecuacio-
nes se reducen a:
∂v
∂y= 0 (7.5)
∂u
∂t= G+
µ
ρ
∂2u
∂y2(7.6)
donde G = −∂P∂x
= constante.
Primer problema de Stokes
Consideremos el problema de una placa infinita, inicialmente en reposo,
sobre la cual hay un fluido viscoso.
Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son:
u(x, y, 0−) = 0
u(x, 0, 0+) = U
u(x,∞, t) = 0
Para este problema en particular, consideramos que G = 0, no existe
gradiente de presion en la direccion x− x′.
De la misma manera que para el caso de flujo uni-direccionales estaciona-
rios, utilizando la ecuacion de continuidad podemos deducir que u = u(y, t).
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 147
�������
y
x
U
La ecuacion de conservacion de momentum se reduce a:
∂u
∂t= ν
∂2u
∂y2(7.7)
donde ν = µρes la viscosidad cinematica. Esta ecuacion es una ecuacion
diferencial partial de segundo orden. Esta ecuacion es la ecuacion de difusion.
Existen varios metodos para resolver este tipo de ecuaciones.
1. Metodo de Similaridad
Consideremos la variable adimensional
u
U= g(η)
donde η = y(νt)−1/2 es la variable de similaridad que tambien es adi-
mensional.
Debemos proceder a hacer el cambio de variable en la ecuacion de
conservacion de momentum:
∂u
∂t=∂u
∂η
∂η
∂t
148 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
Podemos calcular
∂u
∂η=
∂
∂η(Ug(η)) = Ug′(η)
Entonces∂u
∂η= (Ug′(η))(−1
2yν−1/2t−3/2)
simplificando tenemos
∂u
∂η= −1
2ηUt−1g′(η)
De la misma manera podemos calcular:
∂u
∂y=
∂u
∂η
∂η
∂y= U(νt)−1/2g′(η)
∂2u
∂y2=
∂
∂η
(∂u
∂η
∂η
∂y
)∂η
∂y= U(νt)−1g′′(η)
Sustituyendo en la ecuacion de conservacion de momentum y simplifi-
cando tenemos
g′′(η) +1
2ηg′(η) = 0 (7.8)
la cual es una ecuacion diferencial ordinaria (a diferencia de la ecuacion
original que era parcial.
Para resolverla solo falta traducir las condiciones de frontera:
Para y = 0 y t > 0, u = U , entonces para η = 0, g(0) = 1
Para y → ∞ en cualquier t, u = 0, entonces para η → ∞, g(∞) =
0.
Podemos integrar la ecuacion 7.8
g′′
g′+
1
2η = 0
ln g′ +1
4η2 = C1
g′ = C1e− η2
4
g = C1
∫ η
0
e−η′2
4 dη′ + C2
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 149
Con las condiciones de frontera podemos calcular C1 y C2
C2 = 1
C1 =−1
∫∞
0e−
η2
4 dη′=
−1√π
Entonces
u(y, t) = U
(
1− 1√π
∫ η
0
e−η′2
4 dη′)
Que se puede reescribir como:
u(y, t) = U
(
1− erf
(y
2(νt)1/2
))
donde erf(x) es la funcion error definida como:
erf(x) =1√π
∫ x
0
e−x′2
2 dx′
2. Metodo de Transformada de Laplace Aplicando la transformada de
Laplace
L[f(t)] = f(s) =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt
a la ecuacion 7.7 obtenemos:
L[∂u
∂t
]
= νL[∂2u
∂y2
]
su = ν∂2u
∂y2
Esta ecuacion es diferencial ordinaria con solucion:
u(y, s) = C1e√
s/νy + C2e−√
s/νy
Para encontrar C1 y C2 debemos transformar las condiciones de frontera
u(0, t) = U −→ u(0, s) = U/s
150 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
u(y, 0) = 0 −→ u(y, 0) = 0
Considerando que u → 0 en y → ∞, entonces C1 = 0. Considerando la
primera condicion de frontera C2 = U/s. Por lo tanto:
u =U
se−
√s/νy
Aplicando la transformada inversa de Laplace
L−1[f(y, s)] = f(y, t) =1
2πi
∫ a+i∞
a−i∞
estf(s)ds
(donde s = a+ iω) encontramos la velocidad como:
u(y, t) = Uerfc
(y
2√νt
)
= U
(
1− erf
(y
2√νt
))
3. Separacion de Variables.
Este metodo se vera en la resolucion del siguiente problema.
Segundo problema de Stokes
Consideremos ahora el siguiente problema:
La ecuacion a resolver es la misma que para el caso anterior
∂u
∂t= ν
∂2u
∂y2
Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son:
u(x, y, 0−) = 0
u(x, 0, 0+) = U cosnt
u(x,∞, t) = 0
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 151
�������
y
x
U cos nt
Se puede resolver utilizando cualquiera de los dos metodos anteriores.
Aquı usaremos el metodo de separacion de variables para demostrar su apli-
cacion.
supondremos que la solucion, u(y, y) es el producto de dos funciones, cada
una unicamente funcion de una de las variables independientes:
u(y, t) =W (y) · T (t)
Puesto que la perturbacion que se esta aplicado a la pared es de tipo
cosnt podemos esperar que la funcion T (t) sea del mismo tipo. Ası
u(y, t) =W (y) cosnt
Mas aun podemos considerar
u(y, t) =W (y)ℜ{eint}
Esta expresion la podemos sustituir dentro de la ecuacion de conservacion
152 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
considerando
∂u
∂t= W (y)(in)eint
∂u
∂y= W ′(y)eint
∂2u
∂y2= W ′′(y)eint
entonces
ℜ{W (y)(in)eint} = νℜ{W ′′(y)eint}
que simplificando resulta en
W ′′(y)− in
νW (y) = 0
que es una ecuacion diferencial ordinaria. Resolviendo esta ecuacion tenemos
W (y) = C1e
(
−(1+i)√2
√nνy)
+ C2e
(
(1+i)√2
√nνy)
Considerando las condiciones de frontera, tenemos que para y → ∞,
u→ 0, lo que implica que C2 = 0
Entonces, la solucion es
u(y, t) = ℜ[
C1e
(
−(1+i)√2
√nνy)
eint]
= ℜ[
C1e(−√
n2ν
y)ei(nt−√
n2ν
y)]
= C1e(−√
n2ν
y) cos
(
nt−√
n
2νy
)
Tambien sabemos que u(y = 0) = U cosnt, por lo que C1 = U . Entonces
la solucion al problema es
u(y, t) = Ue
(
−1√2
√nνy)
cos
(
nt−√
n
2νy
)
7.1. SOLUCIONES EXACTAS A NAVIER-STOKES 153
y
x
H/2
Pared fija
Pared fija
H/2
P 1 P 2
L
Flujo pulsatil entre dos placas
Consideremos de nuevo el flujo entre dos placas paralelas, generado por
un gradiente de presion:
Pero ahora, en vez de considerar el que G = constante consideremos un
gradiente de presion que sea funcion del tiempo:
G = G0 cosnt = ℜ[Goeint]
La ecuacion a resolver sera
∂u
∂t= −1
ρG+ ν
∂2u
∂y2
Las condiciones de frontera e iniciales para u=u(x,y,t) son:
u(x,H/2, t) = 0
u(x,−H/2, t) = 0
este problema se puede resolver facilmente usando separacion de variables:
u(y, t) = ℜ[W (y)Goeint]
Que, al aplicarla a la ecuacion a resolver, nos da:
∂2W
∂y2− in
νW =
Go
ρν
154 CAPITULO 7. FLUJO VISCOSO: SOLUCIONES EXACTAS A NS
que es una ecuacion diferencia ordinaria no-homogenea. Esta se puede resol-
ver facilmente:
W (y) = iGo
ρν+ C1 cosh
(
(1 + i)
√n
2ν
)
+ C2 sinh
(
(1 + i)
√n
2ν
)
Para las condiciones de frontera (no deslizamiento en las paredes) tene-
mos:
C2 = 0
C1 =−iGo
ρn cosh((1 + i)
√n2ν
H2
)
Por lo tanto, el perfil de velocidades esta dado por
u(y, t) = ℜ{
iGo
ρn
(
1−cosh
((1 + i)
√n2νy)
cosh((1 + i)
√n2ν
H2
)
)
eint
}
Capıtulo 8
Flujo Viscoso: Capa lımite
8.1. Teorıa de capa lımite
Las ecuaciones de Navier-Stokes son de gran complejidad. Aunque, des-
cribe pueden predecir el comportamiento de fluidos newtonianos, su solucion
puede obtenerse solo en casos limitados.
Existen algunas simplificaciones que permiten encontrar soluciones pa-
ra algunos casos; sin embargo, estas pueden dar resultados erroneos o de
aplicabilidad limitada (ver flujo ideal o flujo viscoso).
Otra simplificacion que se puede lograr con consiste en eliminar ciertos
terminos de las ecuaciones de balance en regiones clave del flujo a resolver.
Es particular, y como se demostrara en este capıtulo, se sabe que para flujos
con un numero de Reynolds considerable los efectos viscosos del flujo son solo
importantes en la vecindad cercana a las paredes. Ası, podemos proponer la
solucion local de las ecuaciones de Navier-Stokes cerca de las paredes. A
distancias grandes de las paredes, la solucion que surge del flujo ideal es
apropiada. La solucion completa del un flujo puede entonces encontrarse
haciendo que la solucion de pared, concuerde con la solucion potencial a una
distancia media de la pared.
La idea de separar los efectos viscosos, para solo considerarlos importan-
tes cerca de las paredes, surgio en la primera decada del siglo XX. Ludwig
155
156 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Prandtl fue el primero en proponer esta simplificacion. Esta teorıa se conoce
como teorıa de la capa lımite.
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
MMFM:Bondary layers:concepts
MMFM:Bondary layers:laminar BL
8.1.1. Ecuaciones de capa lımite laminar
En esta seccion se deduciran las ecuaciones de la teorıa de la capa lımite
utilizando la tecnica de eliminacion por ordenes de magnitud.
Consideremos el flujo bidimensional mostrado en la figura. En dicho es-
quema se muestra una placa plana horizontal fija, que esta inmersa en un
flujo. La velocidad del flujo aguas arriba de la placa es uniforme, constante e
unidireccional: −→v = (Uo, 0). Consideremos que la coordenada x esta alineada
con la placa, y que y sea perpendicular a la misma.
Puesto que debe de satisfacerse la condicion de no deslizamiento, la velo-
cidad de las partıculas de fluido que estan cerca de la placa debera ser menor
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 157
�������
U=0
U=U o
y
x
que la velocidad aguas arriba, y la velocidad de las partıculas de fluido ad-
yacentes a la placa debera ser cero. Consideremos que la distancia sobre la
cual se siente esta disminucion de velocidad es de tamano δ.
Puesto que vamos a considerar flujos en los cuales el efecto de la viscosidad
es pequeno (Re ≪1), podemos afirmar que
δ
x≪ 1
Ası, tambien podrıamos afirmar que:
∂
∂x∼ 1
x
y que∂
∂y∼ 1
δ
Consideremos ademas que la velocidad del fluido en la direccion x es del
mismo orden de magnitud que Uo:
u ∼ Uo
Con estas consideraciones, tomemos la ecuacion de conservacion de masa
para evaluar el orden de magnitud de cada componente. Si
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
158 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
entonces podemos decir que∂u
∂x∼ ∂v
∂y
y por tanto
∂v ∼ ∂y∂u
∂x
Sabemos que ∂y ∼ δ y que ∂x ∼ x entonces,
∂v ∼ ∂uδ
x
Eliminado las diferenciales de v y u, y puesto que u ∼ Uo, tenemos
v ∼ Uoδ
x
Ahora, consideremos las ecuaciones de conservacion de momentum. Su-
pongamos, que tenemos un flujo estacionario y despreciemos el efecto de la
gravedad:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −1
ρ
∂P
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)
Consideremos primero cada termino de la ecuacion en la direccion x−x′:
u∂u
∂x∼ UoUo
x∼ U2
o
x
v∂u
∂y∼
(
Uoδ
x
)(Uo
δ
)
∼ U2o
x
−1
ρ
∂P
∂x∼ ?
ν∂2u
∂x2∼ ν
Uo
x2
ν∂2u
∂y2∼ ν
Uo
δ2
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 159
y cada termino de la ecuacion en la direccion y:
u∂v
∂x= U2
o
δ
x2
v∂v
∂y= U2
o
δ
x2
−1
ρ
∂P
∂y= ?
ν∂2v
∂x2= ν
Uoδ
x3
ν∂2v
∂y2= ν
Uo
δx
Consideremos primero, la componente x de las ecuaciones de Navier Sto-
kes escritas en orden de magnitud,
U2o
x+U2o
x∼ −1
ρ
∂P
∂x+ ν
Uo
x2+ ν
Uo
δ2
Primero, podemos notar que de la primera ecuacion, del lado izquierdo,
ambos terminos son del mismo tamano. El termino de gradiente de presion
aun no podemos decir nada; de hecho, su tamano puede variar dependiendo
las condiciones del flujo. Sin embargo, los dos ultimos terminos de la primera
ecuacion tienen un tamano muy diferente:
νUo
x2≪ ν
Uo
δ2
por lo que podemos despreciarlo.
Si por un momento ignoramos el termino −1ρ∂P∂x, y comparamos las mag-
nitudes de los terminos restantes en esta misma ecuacion tenemos:
U2o
x∼ ν
Uo
δ2
por lo que podemos decir que para que estos tengan tamanos similares, y por
lo tanto se puedan sumar, se debe de cumplir que
δ ∼√
νx
Uo
160 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
o escrito como:δ
x∼√
µ
ρxUo=
1√Reo
Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: para que se
satisfaga la condicion de que el espesor de la capa lımite se pequeno (δ/x≪ 1)
el numero de Reynolds del flujo debe se grande. Esto, pues, unicamente
impone una condicion de restriccion para el uso de la teorıa de la capa lımite.
Entonces, en la direccion x, la ecuacion se simplifica a:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
Ahora veamos la ecuacion, en ordenes de magnitud, en la direccion y:
U2o
δ
x2+ U2
o
δ
x2∼ −1
ρ
∂P
∂y+ ν
Uoδ
x3+ ν
Uo
δx
Exceptuando el termino −1ρ∂P∂y, cuya magnitud es desconocida, todos los
demas terminos son de tamano mucho menor al tamano de los terminos en
la ecuacion x:
U2o
δ
x2≪ U2
o
x
νUoδ
x3≪ ν
Uo
δ2
νUo
δx≪ ν
Uo
δ2
Entonces de esta ecuacion solo podemos concluir que
−1
ρ
∂P
∂y≈ 0
o que la presion P es constante en y y solo podrıa depender de x.
Ası, las ecuaciones para la capa lımite son (incluyendo continuidad y
momentum):
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 161
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (8.1)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
(8.2)
0 =∂P
∂y(8.3)
Las condiciones de frontera necesarias para resolver este conjunto de ecua-
ciones son:
u(x, 0) = 0
v(x, 0) = 0
u(x, y) = Uo, para y grande (lejos de la placa)
Podemos ademas considerar lo siguiente. Nuestro analisis arrojo que la
presion esta independiente de la coordenada y. Esto significa que la presion
dentro y fuera de la capa lımite deben ser iguales. Si consideramos que el flujo
lejos de la placa puede considerarse irrotacional y no viscoso (flujo potencial),
entonces podemos aplicar la ecuacion de Bernoulli:
1
2U2o +
P
ρ= constante
Podrıamos considerar el caso mas general en que Uo sea funcion de x
(sigue siendo independiente de t). Entonces la ecuacion de Bernoulli se podrıa
escribir como:
−∂P∂x
= ρ1
2
∂U2o
∂x
= ρUo∂Uo
∂x
162 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Entonces, la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x
para la capa lımite se puede escribir como:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= Uo
∂Uo
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
De esta manera, el termino de gradiente de presion deja de ser desconocido
y se relaciona con el flujo por fuera de la capa lımite.
8.1.2. Solucion de Blasius
El sistema de ecuaciones para la capa lımite sigue siendo un sistema de
tres ecuaciones diferenciales parciales, no lineales. Sin embargo, para este caso
si se puede encontrar una solucion ( o mejor dicho, casi se puede encontrar
una solucion).
Supongamos que Uo =constante, lo que implica que el primer termino del
lado derecho de la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x
es cero, ∂Uo/∂x = 0.
Las ecuaciones que se deben resolver son:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= ν
(∂2u
∂y2
)
Propongamos la existencia de una funcion de corriente Ψ(x, y) tal que:
u =∂Ψ
∂y
v = −∂Ψ∂x
Si sustituimos las velocidades u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de
continuidad, tenemos∂2Ψ
∂x∂y− ∂2Ψ
∂y∂x= 0
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 163
la cual se satisface identicamente.
Si ahora sustituimos, u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de conservacion
de momentum tenemos:
∂Ψ
∂y
∂2Ψ
∂x∂y− ∂Ψ
∂x
∂2Ψ
∂y2= ν
∂3Ψ
∂y3
Utilicemos el metodo de similaridad para resolver esta ecuacion. Debemos
suponer que
Ψ(x, y) ∼ f(η)
donde η es una variable adimensional que combina las variables x y y en una
sola: η = y/xn
Ası podemos encontrar que
η =y
x1/2
√
Uo
2ν
y que
Ψ =√
2νUoxf(η)
El factor de dos no es necesario (de hecho en la solucion original de Blasius
no aparece), pero se incluye para que despues se simplifique.
Podemos entonces escribir las derivaras de Ψ con respecto a x y y en
terminos de f y derivadas de η:
∂Ψ
∂y=
√
2νUox∂f
∂η
∂η
∂y=√
2νUoxf′
√
Uo
2νx= Uof
′
∂Ψ
∂x=
√
2νUox∂f
∂η
∂η
∂x+ f√
2νUo
(1
2x−1/2
)
=
√
νUo
2x(−(ηf ′) + f)
∂2Ψ
∂x∂y= −Uo
2xηf ′′
∂2Ψ
∂y2= Uo
√
Uo
2νxf ′′
∂3Ψ
∂y3=
U2o
2νxf ′′′
164 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Sustituyendo todos estos terminos en la ecuacion, despues de simplificar,
tenemos:
f ′′′ + ff ′′ = 0
que es una ecuacion diferencial ordinaria, que debe satisfacer las siguientes
condiciones de contorno:
f(0) = 0
f ′(0) = 0
f(η) = 1, para η → ∞
La solucion de esta ecuacion es numerica. Cualquier metodo sencillo se
puede utilizar para ello (Runge-Kutta, por ejemplo).
Esfuerzo contante en la pared
El esfuerzo sobre la placa es
τw = µ∂u
∂y(x, 0)
=∂2Ψ
∂y2
= µ
√
U3o
2νxf ′′(0)
Escribiendo el esfuerzo en la pared de forma adimensional, podemos llegar
aτw
12ρU2
o
=√2f ′′(0)√Rex
donde Rex = ρxUo/µ.
La fuerza de arrastre por unidad de ancho b es
FD = b
∫ x
0
τw(x′)dx′
lo cual se puede calcular y resulta:
FD = 0.664bUo
√
ρµUox
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 165
Este resultado se puede escribir en terminos adimensionales, para una
placa de largo L, lo que resulta:
CD =FD
12ρU2
o bL=
1.328√ReL
Espesor de la capa lımite
Existen varias maneras de definir de espesor de la capa lımite.
Espesor 0.99 U Es la distancia a la cual la velocidad horizontal u tiene
un valor de 0.99 Uo. De la solucion numerica de la ecuacion de Blasius
166 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
vemos que esto es cierto en η = 5.0. Entonces
5.0 =δ
√
νx/Uo
por tanto,δ
x=
5.0√Rex
Espesor de desplazamiento Se mide como la distancia a la cual el flujo
uniforme es desplazado. Insertar dibujo. Es el grosor de una capa sin
velocidad que tiene el mismo flujo masico que la capa lımite (el volumen
de fluido que falta como resultado de la presencia de la capa lımite):
ρUoδ∗ =
∫ ∞
0
ρ(Uo − u)dy
Por lo tanto:
δ∗ =
∫ ∞
0
(
1− u
Uo
)
dy
Para la solucion de Blasius tenemos que
δ∗
x=
1.7208√Rex
Espesor de momentum Espesor de una corriente uniforme que tiene el
mismo flujo de momentum que la capa lımite. Entonces:
ρU2o θ =
∫ ∞
0
ρu(Uo − u)dy
Por lo tanto:
θ =
∫ ∞
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dy
Para la solucion de Blasius tenemos que
θ
x=
0.6640√Rex
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 167
U=U o
�������
�������
�������
U=0
x
y
8.1.3. Flujo de Falkner-Skan
Consideremos ahora el caso mostrado en la figura. Este caso se puede
analizar considerando que Uo = Uo(x), entonces la ecuacion a resolver es:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= Uo
∂Uo
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
Para resolverla podemos plantear, tambien, una solucion tipo similaridad:
u(x, y) = Uo(x)f′(η)
donde η = η(x, y) es adimensional pero no es la misma que la solucion de
Blasius.
Podemos proponer que
η =y
ξ(x)
entonces, la funcion de corriente debe ser
Ψ(x, y) = Uo(x)ξ(x)f(η)
Sustituyendo en la ecuacion de conservacion de momentum tenemos:
∂Ψ
∂y
∂2Ψ
∂x∂y− ∂Ψ
∂x
∂2Ψ
∂y2= Uo
∂Uo
∂x+ ν
∂3Ψ
∂y3
168 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Los diferentes terminos de la ecuacion puede evaluarse:
∂Ψ
∂x=
∂Uo
∂xξf + Uo
∂ξ
∂xf − Uo
∂ξ
∂xηf ′
∂Ψ
∂y= Uf ′
∂2Ψ
∂x∂y=
∂Uo
∂xf ′ − Uo
ξ
∂ξ
∂xηf ′′
∂2Ψ
∂y2=
Uo
ξf ′′
∂3Ψ
∂y3=
Uo
ξ2f ′′′
Sustituyendo en la ecuacion original, y despues de varios pasos de algebra,
tenemos:
f ′′′ +
{ξ
ν
∂
∂x(Uoξ)
}
ff ′′ +
{ξ2
ν
∂Uo
∂x
}(1− (f ′)2
)= 0
Para que exista una solucion de similaridad los coeficientes dentro de las
llaves deben de ser constantes:
α =ξ
ν
∂
∂x(Uoξ)
β =ξ2
ν
∂Uo
∂x
Entonces, la ecuacion a resolver es:
f ′′′ + αff ′′ + β(1− (f ′)2
)= 0
considerando las siguientes condiciones de frontera:
f(0) = 0
f ′(0) = 0
f ′(η) → 1 cuando η → ∞
Para el flujo sobre una cuna (como el de la figura) debemos considerar el
caso en que α = 1 y β es arbitrario.
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 169
La solucion de este caso se muestra en la figura siguiente.
Debemos notar que el perfil de velocidades es muy diferente para diferen-
tes valores de β. Este parametro denota si el gradiente de presion, ∂P/∂x,
(que lo escribimos en terminos de ∂Uo/∂x para rsolver la ecuacion) es nega-
tivo, cero o negativo. Existe, de hecho un valor de β para el cual el gradiente
de velocidad se hace cero sobre la pared. (ver figura)
����������
����������
y
x
dP dx
< 0 dP dx
= 0
dP dx
> 0
flujo de retorno
du dy
=0
170 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Para valores de β que este, el perfil de velocidades presentarıa un flujo de
retorno. Se dice que la capa lımite se separa cuando en flujo es de retorno.
Ver por ejemplo el flujo alrededor de una esfera. Puesto que ∂P/∂x cambia
sobre la superficie de la esfera se espera que, para Re altos, el flujo se separe
a determinada distancia sobre la superficie de la esfera. La separacion, entre
otras cosas, causa que la diferencia de presiones entre las caras anterior y
posterior sea muy grande, lo cual se manifiesta como un incremento el el
coeficiente de arrstre del cuerpo.
Punto de separación
MMFM:Bondary layers:separation
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 171
8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa lımite
Existe una manera alternativa para obtener el grosor de la capa limite y
encontrar el esfuerzo en la pared. Este analisis requiere la incorporacion de
un volumen de control.
��������
��������
VC
y
x
a
b c
d
dx
(x)
Consideremos que el flujo es estacionario e incompresible. Analicemos
entonces la conservacion de masa y momentum a traves del volumen de
control mostrado en la figura.
La conservacion de masa para un volumen de control es
∂
∂t
∫
V
ρdV +
∫
S
ρ~v · ~dS = 0
Para la figura mostrada, solo podemos tener flujos masicos a traves de
las paredes ab, bc y cd, entonces:
0 =
∫
S
ρ~v · ~dS = mab + mbc + mcd
El flujo mab puede calcularse como:
mab = −∫ b
a
ρu(dz)dy
El flujo en cd puede calcularse como una expansion en series de Taylor
del flujo en ab:
mx+dx = mx +∂m
∂x|xdx
172 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
entonces:
mcd = −[∫ b
a
ρu(dz)dy +∂
∂x
[∫ b
a
ρu(dz)dydx
]]
Entonces, el flujo a traves de bc se puede calcular como mbc = −mab−mcd.
Ası,
mbc = − ∂
∂x
[∫ δ
0
ρudy
]
dxdz
La ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x para dicho
volumen de control es:
FSx + FBx =∂
∂t
∫
V
ρudV +
∫
S
uρ~v · ~dS
El primer termino es cero, porque estamos considerando un flujo estacio-
nario. Los flujos de momentum∫
Suρ~v · ~dS son:
fmab = −{∫ δ
0
uρudy
}
dz
fmcd =
{∫ δ
0
uρudy +∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
dx
}
dz
fmcd = Uombc = −Uo
{∂
∂x
(∫ δ
0
ρudy
)
dx
}
dz
fmad = 0
entonces el flujo neto de momentum sera:
=
{∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
dx− Uo∂
∂x
(∫ δ
0
ρudy
)
dx
}
dz
Las fuerzas de superficie FSx son:
Fab = +Pδdz
Fcd = −(P +∂P
∂xdx)(δ + dδ)dz
Fbc = (P +1
2
∂P
∂xdx)dδdz
Fad = −τwdxdz
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 173
entonces la fuerza total es
FSx =
{
−∂P∂x
δdx− τwdx
}
dz
Simplificando, la ecuacion de conservacion de energıa es
−∂P∂x
− τw =∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
− Uo∂
∂x
∫ δ
0
ρudy
Esta es la forma integral de la ecuacion de conservacion de momentum
en la capa lımite.
Una de las ventajas de esta formulacion es que puede conocerse el esfuerzo
en la pared de forma directa. Lo unico que necesitamos para conocer todos
los otros terminos de la ecuacion es conocer o suponer el perfil de velocidades.
Flujo sobre una placa plana
Consideremos el caso en que (∂P/∂x = 0. Tenemos entonces,
τw = Uo∂
∂x
∫ δ
0
ρudy − ∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
Puesto que Uo =constante y ρ = constante, entonces, despues de algunos
pasos de algebra, tenemos:
τwρ
=∂
∂x
∫ δ
0
(Uou− u2
)dy
De forma adimensional, tenemos
τwρU2
o
=∂
∂x
∫ δ
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dy
=∂
∂xθ
donde θ es el espesor de momentum de la capa lımite.
174 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Podemos hacer el siguiente cambio de variable
η =y
δ
entonces
dy = δdη
AsıτwρU2
o
=∂
∂xδ
∫ 1
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dη
Notemos que no se hizo ninguna suposicion sobre la forma de u(y), por
lo que tambien se podrıa usar para flujos turbulentos.
Supongamos un campo de velocidades dentro de la capa lımite
u
Uo= f
(y
δ
)
Esta distribucion de velocidades debe de satisfacer ciertas condiciones:
u = 0 en y = o
u = Uo en y = δ∂u
∂y= 0 en y = δ
Una vez que se ha establecido el perfil de velocidades f(y/δ), la integral∫ 1
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dyη = constante = β
Entonces,
τw = ρU2o
∂δ
∂xβ
por lo que se puede calcular τw = f(δ(x)).
Supongamos, por ejemplo, un perfil de velocidades dado por
u(y) = a + by + cy2
Para que esta expresion satisfaga las condiciones de frontera a, b y c deben
ser tal queu
Uo= 2
(y
δ
)
−(y
δ
)2
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 175
Para este perfil el esfuerzo en la pared esta dado por
τw = µ∂u
∂y|y=0
=µUo
δ
∂(u/Uo)
∂η|η=0
=µUo
δ
∂
∂η
(2η − η2
)|η=0
=2µUo
δ
Entonces, la ecuacion integral de conservacion de momentum en la capa
lımite se puede reescribir como:
2µUo
δ= ρU2
o
∂δ
∂x
∫ 1
0
(2η − η2)(1− 2η − η2
)dη
Entonces2µ
δρUo=
2
15
dδ
dx
Reearreglando e integrando tenemos
δ2
2=
15µ
ρUox+ C1
pero sabemos que δ = 0 en x = 0, por lo que C1 = 0.
Ası
δ =
√30µ
ρUox
entoncesδ
x=
√30√Rex
≈ 5.48√Rex
Podemos comparar esta prediccion con la prediccion de la solucion de
Blasius:δ
x=
5.00√Rex
lo cual no esta mal.
176 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Calculemos ahora el espesor de desplazamiento para el perfil supuesto
δ∗ = δ
∫ 1
0
(1− (2η + η3)
)dη
entoncesδ∗
δ= 0.333
(para el caso de Blasius δ∗/δ = 0.351).
Capıtulo 9
Flujo irrotacional ideal
A pesar de que las ecuaciones de conservacion para un fluido newtoniano
existen y que el sistema es cerrado (mismo numero de ecuaciones que de
incognitas), su uso es limitado. Solo en casos especiales este conjunto de
ecuaciones se puede resolver.
Un caso simplificado, el cual se puede resolver analıticamente, es el del
fluido inviscido. Si suponemos que los efectos viscosos no son importantes,
la complejidad de las ecuaciones se reduce considerablemente y se pueden
encontrar soluciones a flujos complicados. Sin embargo, las soluciones que
se obtienen se deben utilizar con reservas en el contexto de aplicaciones de
ingenierıa: suponer que las viscosidad es zero tiene implicaciones fısicas con-
siderables.
En este capıtulo se vera la teorıa general del flujo no viscoso.
MMFM:dynamics:Potential flow
9.1. Ecuaciones de Euler
La ecuacion que gobierna el movimiento del flujo no viscoso se obtiene
directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. Simplemente se supone que
la viscosidad es cero (µ = 0); ası, el termino que tiene el laplaciano de la
177
178 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
velocidad desaparece:
ρ
(∂~v
+~v∇~v
)
= −∇P + ρ~g (9.1)
En este caso, el cambio de momentum en el fluido es resultado unicamente
de dos tipos de fuerzas: fuerzas de presion y fuerzas gravitacionales. Este
sistema de ecuaciones se conocen las ecuaciones de Euler.
Cabe notar que el orden de este sistema de ecuaciones en menor que
el de las ecuaciones de Navier Stokes. Matematicamente, esto implica que
se necesitara un numero menor de condiciones de frontera para encontrar
soluciones. De hecho, la condicion que no se requiere satisfacer es la condicion
de no deslizamiento. Esta consecuencia matematica es la que, precisamente,
causa que las soluciones de estas ecuaciones no sean reales.
La ecuacion de conservacion de masa se mantiene igual, a pesar de haber
considerado que los efectos viscosos no son importantes:
∇ · ~v = 0 (9.2)
9.2. Ecuacion de Bernoulli
Es posible obtener una version simplificada de la ecuacion de conservacion
de momentum para el caso de un flujo ideal.
Consideremos, inicialmente, las ecuaciones de Euler. Si consideramos que
~g es un campo conservativo entonces se puede representar como
~g = ∇Φ
. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el termino
~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:
(~v∇)~v = ∇(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v
(esta identidad es la definicion del triple producto cruz).
9.2. ECUACION DE BERNOULLI 179
Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuacion de N-S para en la ecua-
cion de Euler, tenemos:
∂~v
∂t+∇
(1
2~v · ~v
)
− ~v ×∇× ~v = −1
ρ∇P +∇Φ
Rearreglando terminos podemos escribir
∂~v
∂t+∇
(P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ
)
= ~v ×∇× ~v
Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-
cional ∇× ~v = 0, entonces la expresion anterior se reduce a:
∇(P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ
)
= 0
Una linea de corriente es aquella lınea que es tangente al vector velocidad
en cada punto. De la definicion de una linea de corriente sabemos que:
dx
u=dy
v=dz
w
Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente dePρ+ 1
2~v ·~v−Φ sea cero, la unica posibilidad es que este termino sea constante:
P
ρ+
1
2~v · ~v − Φ = constante
Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces:
P
ρ+
1
2~v · ~v + gz = constante (9.3)
que so conoce como la ecuacion de Bernoulli.
9.2.1. Ejemplos de aplicacion
Seccion sin completar.
180 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
9.3. Flujo potencial
El metodo mas comun para la solucion de las ecuaciones de Euler consiste
en resolver la ecuacion de conservacion de masa para un flujo dado. Una vez
conocido el campo de velocidades, la ecuacion de conservacion de momentum
se usa solo para obtener el campo de presiones del flujo.
En esta seccion analizaremos este metodo detalladamente.
9.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad
Ademas de suponer que el fluido es inviscido, podemos suponer que no
existen ni gradientes de entropıa ni gradientes de densidad. Considerando
estas tres suposiciones podemos decir, sin perder generalidad, que el flujo es
irrotacional.
La vorticidad esta definida como el rotacional de la velocidad:
~ω = ∇× ~v
Fısicamente, la vorticidad representa la rotacion de las partıculas de las
partıculas de fluido.
En un flujo irrotacional, la vorticidad es cero el todas partes:
~ω = ∇× ~v = 0
Entonces, si el fluido es no viscoso las partıculas de fluido resbalan una sobre
otras. No es existen gradientes de velocidad.
El hecho de que el rotacional del campo de velocidades sea cero tiene
consecuencias importantes. Recordamos la identidad vectorial:
∇×∇φ = 0
(el rotacional del gradiente de cualquier funcion escalar es siempre cero).
Entonces, en base a la identidad anterior, para un flujo irrotacional po-
demos expresar al campo de velocidades como el gradiente de una funcion
escalar:
~v = ∇φ
9.3. FLUJO POTENCIAL 181
FLUJO VISCOSO
FLUJO NO VISCOSO
Particula de fluido
Diferencia de velocidades
= Rotacion
La viscosidad produce gradientes de velocidad. Si no hay efectos viscosos, entonces
no hay gradientes de velocidad. Por lo tanto no hay rotacion.
La funcion escalar φ se conoce como funcion potencial de velocidades.
En coordenadas rectangulares podemos expresar cada componente del
campo de velocidades como:
u =∂φ
∂x
v =∂φ
∂y
w =∂φ
∂z
Ahora, si sustituimos la expresion ~v = ∇φ en la ecuacion de conservacion
de masa, tenemos:
∇ · ~v = 0
∇ · ∇φ = 0
entonces
∇2φ = 0 (9.4)
182 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
Entonces, si resolvemos la ecuacion anterior y encontramos φ(x, y, z) po-
demos inferir el campo de velocidades ~v(x, y, z). Una vez conocido el campo
de velocidades, podemos calcular el campo de presiones sustituyendo ~v en las
ecuaciones de Euler. Mas aun, podemos utilizar la forma simplificada de las
ecuaciones de Euler (Ecuacion de Bernoulli) para encontrar la presion.
La ecuacion ∇2φ = 0 se conoce como la ecuacion de Laplace. Es una
ecuacion diferencial parcial lineal de segundo orden. En forma explıcita, para
coordenadas rectangulares,
∂2φ
∂x2+∂2φ
∂y2+∂2φ
∂z2= 0
Obviamente, para encontrar soluciones de esta ecuacion debemos tener
condiciones de frontera. Los dos tipos de condiciones de frontera que, gene-
ralmente se consideran son:
velocidad aguas arriba: u, v o w conocidas.
velocidad normal a la pared es cero: ∂φ/∂n = 0.
Esta ultima condicion se conoce como condicion de no-penetracion: el flujo
no puede penetrar una superficie solida. Es importante tener en cuenta que
para este tipo de flujos la condicion de no deslizamiento no se satisface.
9.3.2. Tecnicas de solucion
Para flujos no viscosos la tecnica de solucion de problemas es muy dife-
rente a la que se utiliza para encontrar soluciones a las ecuaciones de Navier-
Stokes. En este caso se busca, primero, resolver la ecuacion de Laplace para
encontrar la funcion potencial de velocidades φ(x, y, z). Una vez que se co-
noce φ, se pueden calcular las componentes de velocidad; despues, utilizando
la ecuacion de Bernoulli, se puede calcular el campo de presiones.
las tecnicas mas comunes para resolver problemas en flujo potencial son:
superposicion de funciones elementales
9.3. FLUJO POTENCIAL 183
mapeo (o transformacion) conforme
analogıa mecanica o electrica
analisis numerico
9.3.3. Funcion de corriente
Ademas de la funcion potencial de velocidades, φ, podemos definir una
funcion adicional que tambien puede servir para obtener soluciones en flujo
potencial. Para un flujo plano (2-D), podemos definir una funcion de corriente
ψ tal que,
u =∂ψ
∂y
v = −∂ψ∂x
Recordando la condicion de irrotacionalidad, ∇ × ~v = 0, sabemos que
para un flujo plano tenemos,
ωz = 0 =∂v
∂x− ∂u
∂y
Sustituyendo la definicion de la funcion de corriente en la expresion an-
terior tenemos:
∂
∂x
(
−∂ψ∂x
)
− ∂
∂y
(∂ψ
∂y
)
= 0
∂2ψ
∂x2+∂2ψ
∂y2= 0
entonces
∇2ψ = 0 (9.5)
184 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
La funcion de corriente tambien satisface la ecuacion de Laplace.
La ventaja que se tiene al utilizar la funcion de corriente, en vez de la
funcion potencial de velocidades, es que las lıneas ψ =constante representan
lıneas de corriente en el flujo.
| = | 1
| = | 2
Si ψ = ψ(x, y), entonces
∂ψ =∂ψ
∂xdx+
∂ψ
∂ydy
Si ψ =constante, entonces ∂ψ = 0 y por lo tanto,
0 = −vdx+ udy
entonces∂y
∂x=v
uque es la definicion matematica de una linea de corriente. Una linea de co-
rriente es aquella linea cuya tangente es paralela a ~v para un t dado.
De igual manera, para encontrar soluciones a la ecuacion ∇2ψ = 0 debe-
mos tener condiciones de frontera. Podemos considerar, en general, dos tipos
de condiciones de frontera:
corriente aguas arriba, u, v conocidas
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 185
superficie solida, psi conocida (la forma de la superficie solida, de hecho,
es una linea de corriente, ψ =constante).
Para resolver un problema de flujo potencial podemos encontrar ψ o φ o
ambas.
Notemos ademas que ψ y φ son perpendiculares:
u =∂ψ
∂y=∂φ
∂x
y
v = −∂ψ∂x
=∂φ
∂y
Si encontramos tanto ψ como φ podemos construir la red del flujo.
| = | 1
| = | 2
| = | 3
| = | 1
| = | 1
| = | 1
9.4. Soluciones elementales en 2-D
Un metodo sencillo para construir soluciones en flujo potencial es el pro-
poner expresiones matematicas que satisfagan a la ecuacion de Laplace. Pos-
teriormente se busca la interpretacion fısica de estas funciones.
186 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
Corriente uniforme
Sea φ = ax+by. Considerando un flujo bidimensional, ~v = (u, v) tenemos
que:
u =∂φ
∂x= a
v =∂φ
∂y= b
entonces, ~v = ai + bj. En este caso la velocidad del flujo es constante en
cualquier punto del fluido.
Calculemos la lıneas de corriente.
u =∂ψ
∂y→ ψ = ay + C1
v = −∂ψ∂x
→ ψ = −bx+ C2
Ası,
−bx + C2 = ay + C1
entonces
y =−bax+ C
que es una linea recta: lıneas de corriente rectas.
Sea, por ejemplo, b = 0 y a = U . Entonces,
φ = Ux
ψ = Uy + C1
Para este caso: u = U y v = 0, flujo unidireccional uniforme.
Fuente y/o sumidero
Supongamos que un punto emite un caudal uniforme: flujo radial.
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 187
y
x
U
| = | 1 | 2 | n
| = | 1
| 2
| n
Si el flujo es estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie
circular de radio r es constante:
Q = vr(2πr)L = 2πLm = constante
por lo tanto
vr =m
r
donde m es una constante. Si m 0 entonces tenemos una fuente (lineas de
corriente apuntan hacia afuera). Si m0 entonces tenemos un sumidero. Para
este caso la velocidad tangencial es cero, vθ = 0.
Podemos obtener φ y ψ en coordenados polares:
vr =m
r=
1
r
∂ψ
∂θ=∂φ
∂r
vθ = 0 = −∂ψ∂r
=1
r
∂φ
∂θ
entonces
ψ = mθ
y
φ = m ln r
188 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
y
| = | 1
| 2
| n
| = | 1
| 2
| n
x
Las funciones φ y ψ pueden expresarse en terminos de coordenadas rec-
tangulares:
ψ = m arctany
x
φ = m ln√
x2 + y2
Puede comprobarse que estas expresiones satisfacen a la ecuacion de La-
place.
Torbellino o vortice bidimensional
Supongamos ahora que vθ 6= 0 y vr = 0. Si ψ = −κ ln r y φ = kθ, entonces
vr = 0 y vθ = κ/r.
este es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que dismi-
nuye como 1/r, κ es la intensidad del torbellino.
Circulacion
El flujo descrito por un torbellino o vortice bidimensional es irrotacional
en todas partes excepto en el origen donde la vorticidad es finita.
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 189
y
| = | 1
| 2
| n | = | 1
| 2
| n
x
Definamos
Γ =
∫
C
~v · d~s =∫
C
(udx+ vdy + wdz)
donde C es una curva cerrada. Γ es la circulacion del flujo dentro de C.
C
V
ds
De la definicion de φ:
~v · d~s = ∇φ · ~s = dφ
190 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
entonces
Γ =
∫
C
dφ = φf − φi
Puesto que C es una curva cerrada φf = φi, entonces Γ = 0
Para el caso de un vortice
φ = κθ
Esto implica que hay un cambio de φ en una cantidad 2πκ en cada vuelta.
Por lo tanto
Γtorbellino =
∫ 2π
0
κ
rrdθ = 2πκ
En general Γ es igual a la suma de algebraica de todos los remolinos que
haya en el interior de una curva cerrada.
9.4.1. Superposicion de soluciones
La consecuencia mas importante que surge de suponer que el flujo es
potencial es que la ecuacion a resolver (ecuacion de Laplace) es lineal. Una
de las propiedades de las ecuaciones lineales es que soluciones simples se
pueden sumar para obtener una solucion compleja:
La solucion de una suma es igual a la suma de la soluciones indi-
viduales.
Ası, podemos encontrar la solucion a flujos mas interesantes sumando
soluciones simples de φs y ψs. La solucion total estara dada por
φtotal =n∑
i=1
φi
ψtotal =
n∑
i=1
ψi
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 191
Fuente y sumidero separados una distancia 2a
Consideremos la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad,
separados una distancia 2a. Sea φ1 una fuente de intensidad m situada en
(a, 0) y sea φ2 un sumidero de intensidad −m en (−a, 0):
φ1 = m ln r
φ2 = −m ln r
y sus correspondientes funciones de corriente:
ψ1 = mθ
ψ2 = −mθ
Para ψ1 el valor de la funcion aumenta en la direccion de las manecillas del
reloj.
La solucion total estara entonces dada, en coordenadas rectangulares, por:
ψ = m arctany
x+ a−m arctan
y
x− a
Utilizando la identidad trigonometrica
arctanα− arctanβ = arctanα− β
1 + αβ
tenemos entonces
ψ = −m arctan2ay
x2 + y2 − a2
La funcion potencial de velocidades queda dada por
φ = m ln r −m ln r
En coordenadas rectangulares, tenemos:
φ = ln
(√
(x+ a)2 + y2
(x− a)2 + y2
)
=1
2ln
((x+ a)2 + y2
(x− a)2 + y2
)
192 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
Dipolo
Si para el caso anterior consideramos el caso en que la distancia entre
la fuente y en sumidero tiende a cero (a → 0). Debemos considerar que la
intensidad m de cada elemento debe crecer para hacer que las velocidades se
mantengan finitas.
Ası, debemos hacer que el producto 2am = λ se mantenga constante.
Para la funcion de corriente consideremos:
ψ = lıma→0
2am=const
(
−m arctan2ay
x2 + y2 − a2
)
Entonces
ψ = −m arctan2ay
x2 + y2
pero sabemos que para α≪ 1, arctanα = α. Por lo tanto
ψ = −m 2ay
x2 + y2=
−λyx2 + y2
De manera analoga,
φ =λx
x2 + y2
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 193
En coordenadas polares psi y psi se escriben como:
ψ =−λ sin θ
r
φ =λ cos θ
r
Sumidero mas torbellino
Para este caso debemos considerar, en coordenadas polares:
ψtotal = ψsumidero + ψremolino
= −mθ + κ ln r
Y para la funcion potencial,
φtotal = φsumidero + φremolino
= −m ln r + κθ
194 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
Cuerpo semi-infinito de Rankine
El flujo alrededor de la parte frontal de un cuerpo largo se puede simular
superponiendo las soluciones de una corriente uniforme y una fuente.
ψtotal = ψcorr.unif. + ψfuente
= Uoy +m arctan(y/x)
= Uor sin θ +mθ
Tambien,
φ = Uor cos θ +m ln r
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 195
De la figura podemos observar que en un punto la velocidad del flujo
se hace cero, es decir aparece un punto de estancamiento. En este punto el
flujo de la corriente uniforme se cancela con el flujo generado por la fuente.
Podemos calcular la posicion de este punto de estancamiento.
Los componentes de velocidad en cada direccion, en coordenadas polares,
son:
vr =1
r
∂ψ
∂θ= Uo cos θ +
m
r
vθ = −∂ψ∂r
= −Uo sin θ
La magnitud al cuadrado de la velocidad es entonces
V 2 = v2r + vtheta2 = (Uo cos θ +
m
r)2 + (−Uo sin θ)
2
por lo tanto
V 2 = U2o + 2Uo
m
rcos θ +
m2
r2
En punto de estancamiento, que se encuentra en r = re y θ = ±π, sabemos
que V = 0. Entonces,
0 = U2o + 2Uo
m
re(−1) +
m2
r2e
Reescribiendo esta expresion tenemos
r2eUo − 2mUore +m2 = 0
Resolviendo la ecuacion cuadratica, podemos calcular el valor de re:
re =m
Uo
En el punto de estancamiento, la presion es maxima. Esto se puede inferir
utilizando la ecuacion de Bernoulli:
1
2ρU2
o + Po =1
2ρ(0)2 + Pe
196 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
por lo que
Pe = Po +1
2ρU2
o
Podemos tambien determinar la forma del perfil del cuerpo de Rankine.
Sabemos que la forma de cuerpo estara dada por una linea de ψ =constante.
Sabemos tambien que en el punto de estancamiento, coincide con la parte
frontal del cuerpo. Entonces en (r = m/Uo, θ = ±π):
ψcuerpo = Uom
Uosin(±π)±mπ
Por lo tanto
ψcuerpo = ±mπ
Podemos tambien calcular el grosor del cuerpo de Rankine, aguas abajo
del punto donde se localiza la fuente. Sobre el cuerpo sabemos que ψ = ±mπ,entonces podemos escribir, en coordenadas rectangulares por simplicidad:
±mπ = Uoy +m arctan(y/x)
Puesto que nos interesa conocer la altura y∗, lejos del origen, consideremos
lımx→∞
= Uoy∗ +m arctan(y∗/x)
Despejando y∗ tenemos el grosor del cuerpo:
y∗ = ±πmUo
Tambien se puede modelar el flujo en la parte posterior del cuerpo de
Rankine si consideramos la suma de una corriente uniforme y un sumidero.
Corriente uniforme mas torbellino
Consideremos la suma lineal de un remolino, ψ = −κ ln r, y una corriente
uniforme, ψ = Uor sin θ:
ψ = Uor sin θ − κ ln r
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 197
El flujo generado por esta superposicion se muestra en la figura.
Para este caso, observamos que tambien aparece un punto de estancamien-
to en un punto del flujo. Para encontrar la posicion de este punto, debemos
primero calcular las componentes de velocidad del flujo:
vr = Uo cos θ
vθ = −Uo sin θ +κ
r
De la misma manera que en el ejemplo anterior, podemos calcular la
magnitud cuadrada de la velocidad:
V 2 = U2o − 2
κ
rUo sin θ +
κ2
r2
En el punto de estancamiento sabemos que V = 0 y que θ = π/2, enton-
ces:
0 = U2o − 2Uo
κ
re+κ2
r2epor lo tanto
re =κ
Uo
Fila infinita de vortices
Consideremos la superposicion de una fila infinita de remolinos de la mis-
ma intensidad κ y separados entre si una distancia a. La funcion de corriente
198 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
total estara dada por
ψ = −κ∞∑
i=1
ln ri
Puede demostrarse que la suma infinita de logaritmos converge a la si-
guiente expresion:
ψ = −1
2κ ln
{1
2
(
cosh2πy
a− cos
2πx
a
)}
La comprobacion de esta transformacion requiere conocimientos de variable
compleja.
Las lıneas de corriente de este flujo forma ojos de gato alrededor de cada
vortice. Cabe notar que en la figura se uso un numero finito de vortices.
Se se considera un numero muy grande de torbellinos entonces el flujo es
practicamente horizontal por encima y debajo de la linea de vortices. De
hecho se puede comprobar que para |y| ≫
v = 0
u = ±πκa
Si consideramos el caso en que a→ 0, podemos definir una capa continua
de torbellinos.
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 199
Flujo alrededor de cuerpos cerrados
Existe diferentes maneras de modelar el flujo alrededor de cuerpos cerra-
dos en flujo potencial.
El mas sencillo, es el caso de un cuerpo ovalado generado por la superposi-
cion de un par fuente-sumidero (separados una distancia 2a) y una corriente
uniforme:
ψ = Uoy −m arctan2ay
x2 + y2 − a2
La figura muestra las lıneas de corriente, lineas de ψ = cosntante, para
esta combinacion. Se obtiene un cuerpo de forma oval. Las semi-longitudes
horizontal y vertical, L y h, respectivamente, dependen de la intensidad rela-
tiva del par fuente-sumidero con respecto a la corriente uniforme; es decir, la
relacion m/Uoa determina la forma del objeto. En general, solo se muestran
las lıneas por fuera del ovalo. Se puede demostrar que la linea de corriente
que corresponde al cuerpo es ψ = 0.
Podemos tambien notar que existen dos puntos de estancamiento sobre
el cuerpo, uno el parte frontal y otro en la parte posterior, en los puntos
x = ±L, y = 0. Notese tambien que el los puntos x = 0, y = ±h existen
200 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
puntos de presion mınima, que a su vez corresponden a puntos de velocidad
maxima. La siguientes relacione pueden obtenerse:
h
a= cot
{h/a
2m/Uoa
}
L
a=
{
1 +2m
Uoa
}1/2
Umax
Uo= 1 +
2m/Uoa
1 + h2/a2
Ovalo de Kelvin
Otra manera de simular el flujo alrededor de objetos altos se obtiene
superponiendo una corriente uniforme con un par de vortices, con direcciones
de rotacion opuestas, separados verticalmente una distancia 2a.
Para este caso la funcion de corriente es
ψ = Uoy −1
2κ ln
x2 + (y + a)2
x2 + (y − a)2
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 201
9.4.2. Flujo alrededor de un cilindro
El estudio del flujo alrededor de un cilindro ha sido muy importante para
el desarrollo de la mecanica de fluidos moderna. Dada su relativa simplicidad,
es posible analizar este flujo con cierto detalle. A continuacion, analizaremos
este flujo considerando un flujo ideal.
La funcion de corriente para modelar este flujo se puede obtener super-
poniendo una corriente uniforme con un doblete:
ψ = Uor sin θ −λ sin θ
r
La figura muestra las lıneas de corriente para esta caso.
Los componentes de velocidad para el flujo alrededor del cilindro son:
vr =1
r
∂ψ
∂θ= (Uo −
λ
r2) cos θ
vθ = −∂ψ∂r
= (Uo +λ
r2) sin θ
Podemos observar que existen dos puntos de estancamiento (vr = vθ = 0)
en θ = π, 0 y en r = R. Para este caso tenemos:
0 = (Uo −λ
R2)(±1)
202 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
entonces,
R =
√
λ
Uo
es el radio del cilindro (los puntos de estancamiento coinciden con la superficie
del cuerpo).
Podemos entonces reescribir la funcion de corriente como funcion de R:
ψ = Uo sen θ
(
r − R2
r
)
Calculemos la velocidad en la superficie del cilindro:
vr(r = R) = Uo(1−R2
R2) cos θ = 0
vθ(r = R) = −Uo(1 +R2
R2) sin θ = −2Uo sin θ
Notese que, en efecto, en la superficie solida no hay flujo a traves de la pared
(vr = 0) pero si hay deslizamiento (vθ 6= 0). Tambien vemos que la velocidad
tangencial sobre la pared varıa como funcion de θ, desde cero en los puntos
de estancamiento θ = 0, π hasta un valor maximo en θ = ±π/2.La magnitud cuadrada de la velocidad sobre la superficie del cilindro es
V 2 = 4U2o sin
2 θ
La distribucion de presiones en la superficie del cilindro se puede calcular
utilizando la ecuacion de Bernoulli:
Po +1
2ρU2
o = Ps +1
2ρ(4U2
o sin2 θ)
entonces
Ps − Po =1
2ρU2
o (1− 4 sin2 θ)
La distribucion de presiones sobre la superficie se muestra en la figura, como
funcion del angulo θ.
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 203
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
angulo, θ [rad]
2 (P
s−P
o)/(ρ
Uo2)
Arrastre sobre un cilindro en flujo potencial: Paradoja de Dalam-
bert
La fuerza de arrastre sobre el cilindro se puede calcular si se integra en
esfuerzo sobre el area. Para el caso de un flujo potencial, no hay esfuerzos
viscosos. Por lo tanto el unico esfuerzo que actua sobre la superficie del
cilindro es la presion.
La fuerza, en cada una de las direcciones coordenadas sera la integral de
la componente del vector de presion respectiva sobre el area del cilindro. Ver
figura. En la direccion x el componente de la presion es entonces
Px = P cos θ
La fuerza de arrastre FD es
FD =
∫
S
(P cos θ)dS =
∫
S
(Ps − Po) cos θdS
Para calcular la integral, debemos expresar dS en terminos de θ. Consi-
deremos la figura siguiente. Para un angulo pequeno, dθ, podemos considerar
que
tan dθ ≈ dθ =dS
R
204 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
P Psin0
Pcos0
0
d 0
R
dS
Entonces, el elemento diferencial de area dS, por unidad de profundidad L
se puede escribir como:
dS = LRdθ
Ası, la fuerza de arrastre se expresa como
FD =
∫ 2π
0
(1
2ρU2
o (1− 4 sen2 θ)
)
cos θLRdθ
entonces
FD =1
2ρU2
oLR
∫ 2π
0
(1− 4 sen2 θ) cos θdθ = frac12ρU2oLR
{sin θ − 2 sin3 θ
}2π
0
Por lo tanto
FD = 0
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 205
Este resultado se conoce como la paradoja de Dalambert. A pesar de que
somos capaces de calcular el campo de velocidades para cualquier punto en el
espacio, el hecho de haber eliminado los esfuerzos viscosos causa que el flujo
no produzca arrastre. Este resultado no es solo caso especial de un cilindro.
El arrastre para cualquier objeto, cualquiera que sea su forma, sumergido en
un flujo potencial es cero.
Podemos tambien calcular la fuerza de sustentacion, FL (fuerza en la
direccion perpendicular al flujo). Entonces, de manera analoga, tenemos
FL =
∫ 2π
0
(1
2ρU2
o (1− 4 sen2 θ)
)
sin θLRdθ
entonces
FL =1
2ρU2
oLR
∫ 2π
0
{5
3cos θ +
4
3sin2 θ cos θ
}2π
0
No es sorprendente encontrar que
FL = 0
Cilindro con circulacion
Si anadimos un vortice en el centro del cilindro, es decir anadimos circu-
lacion al flujo, entonces tenemos la siguiente funcion de corriente
ψ = Uo sin θ(r −R2
r)− κ ln
r
a
Podemos, de la misma manera que para el cilindro sin circulacion, calcular
el campo de velocidades, la velocidad y la presion en la superficie.
El campo de velocidades esta dado por:
vr = (Uo −λ
r2) cos θ
vθ = (Uo −λ
r2) sin θ +
κ
r
La velocidad en la superficie es:
vr(r = R) = 0
vθ(r = R) = −2Uo sin θ +κ
R
206 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
La presion en la superficie es:
Ps − Po =1
2ρU2
o (1− 4 sin2 θ + 4β sin θ − β2)
donde β = κ/(UoR).
Si calculamos tanto el arrastre como la sustentacion tenemos:
FD =
∫ 2π
0
(Ps − Po) cos θLRdθ
= 0
y
FL =
∫ 2π
0
(Ps − Po) sin θLRdθ
= −ρUo(2πκ)L
Entonces, la sustentacion por unidad de profundidad es
FL
L= −ρU0Γ
donde Γ = 2πκ.
9.4. SOLUCIONES ELEMENTALES EN 2-D 207
9.4.3. Metodo de imagenes
En muchos ejemplos practicos se debe considerar la presencia de paredes
rıgidas. Existe una manera para simular el efecto de una pared solida fija.
Consideremos, por ejemplo, el flujo generado por una fuente situada a una
distancia a de una pared horizontal solida. Sabemos que la pared debe satis-
facer la condicion de no-flujo a traves de ella. Es decir, debemos asegurarnos
que la pared corresponda e una linea de corriente del flujo.
Para simular la pared, y hacer que esta sea una linea de corriente del
flujo, se debe colocar una fuente virtual de la misma intensidad a la misma
distancia por debajo de la pared. Por simetrıa, las dos fuentes dan lugar a una
linea de corriente horizontal entre ellas que representa, entonces, la pared.
La funcion de corriente para este caso sera:
ψ = m arctany − a
x+m arctan
y + a
x
La misma tecnica se puede utilizar para simular el efecto de que tiene una
pared en el flujo generado por cualquier otra de las soluciones elementales o
sus combinaciones.
De la misma manera que para todos los otros ejemplos anteriores, una
vez conocida la funcion de corriente, o la funcion potencial de velocidades,
se puede deducir el campo de velocidades y tambien el campo de presiones.
208 CAPITULO 9. FLUJO IRROTACIONAL IDEAL
Capıtulo 10
Turbulencia
Una de las complicaciones mas importantes en el estudio de flujo de flui-
dos surge del hecho de que a partir de cierto numero de Reynolds critico
la estructura del flujo deja de ser laminar. En otras palabras, un flujo no
puede ser laminar para altos numeros de Reynolds. El numero de Reynolds
representa una medida de la magnitud relativa de los esfuerzos inerciales con
respecto a los efectos viscosos.
Podemos decir, entonces, que si en flujo los esfuerzos inerciales dominan
entonces el flujo no puede ser laminar. La perdida de laminaridad la llamamos
simplemente turbulencia. La turbulencia aparece porque los flujos son, en
general, inestables bajo perturbaciones pequenas si los esfuerzos viscosos son
mas pequenos que los inerciales.
La gran mayorıa de los flujos en ingenierıa son turbulentos.
En este capıtulo daremos una descripcion fısica de la turbulencia desa-
rrollada. Tambien se discutira la transicion de flujo laminar a turbulento.
MMFM:Bondary layers:instability, transition and turbulence
10.1. Introduccion
Se llama turbulencia al estado de un flujo que se caracteriza por su na-
turaleza fluctuante y aparentemente aleatoria. Es el resultado de la perdida
209
210 CAPITULO 10. TURBULENCIA
de estabilidad de un flujo laminar.
Los flujos laminares estan caracterizados por el hecho de que las partıculas
de fluido se mueven en capas o laminas. Las partıculas que estan en cierta
lamina, permanecen en ella. No pueden cambiar de capa.
Flujo laminar
Re < 4000
Flujo turbulento
Re > 4000
Para el caso de un flujo con numero de Reynolds mas alto que un cierto
numero de Reynolds crıtico, el movimiento de las partıculas se vuelve mas
tridimensional y agitado. Las capas de fluido se intersectan y se mezclan;
ademas, cambian como funcion del tiempo de forma aparentemente aleatoria.
Es difıcil, por esto, describir matematicamente a un flujo turbulento.
10.2. Experimento de Reynolds
Una de las primeras personas en identificar la transicion de un flujo la-
minar a un flujo turbulento fue Oswald Reynolds en (1883). Su experimento,
ilustrado en la figura, consistio en inyectar tinta en un flujo de un liquido
en una tuberıa. De esta manera fue capaz de observar que a medida que la
velocidad del flujo aumentaba, el movimiento del fluido en el seno del lıquido
se volvıa cada vez mas agitado e irregular. Reynolds observo que cuando la
relacion adimensional UDρ/µ del flujo permanecıa por debajo de 2000, el
flujo era laminar. Esta relacion adimensional es lo que ahora se conoce como
numero de Reynolds
Consideramos, por ejemplo, la medicion de la velocidad en un punto fijo
en medio de canal. Para un flujo laminar uno esperarıa medir una velocidad
10.2.EXPERIM
ENTO
DEREYNOLDS
211
u
t
Re < 1000
Medición de velocidad
1000 < Re < 10000 u
t
Re > 10000 u
t
212 CAPITULO 10. TURBULENCIA
constante en dicho punto (ver figura).
Para un flujo con un numero de Reynolds mucho mayor a 2000, la me-
dicion de la velocidad en el mismo punto cambia considerablemente. Puede
observarse que la magnitud del vector velocidad fluctua alrededor de un valor
medio.
Para flujos con numeros de Reynolds ligeramente superiores a 2000, la
medicion se caracteriza por perıodos breves de flujo laminar alternados con
perıodos turbulentos. Esto indica que la transicion de un flujo laminar a un
flujo turbulento no es abrupta; la transicion es progresiva. A este regimen
intermedio se le denomina como de transicion.
10.3. Descripcion fısica de la turbulencia
La turbulencia desarrollada puede describirse fısicamente por las siguien-
tes caracterısticas.
Naturaleza fluctuante. Tanto la presion como la velocidad fluctuan al-
rededor de un valor medio. Las fluctuaciones son ademas de naturaleza
tridimensional.
Aparicion de remolinos. Las capas de fluido estan acomodadas en es-
tructuras coherentes llamadas remolinos o vortices. Los vortices tienen
una amplia distribucion de tamanos, que van desde la dimension del
flujo (tamano del contenedor) hasta el tamano en el cual se disipa el
movimiento bajo la accion de la viscosidad (escala de Kolmogorov).
10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA 213
Fluctuaciones pseudo-aleatorias. Aunque a simple vista, la naturaleza
de las fluctuaciones de velocidad y presion parezcan aleatorias, en reali-
dad estas se distribuyen de una forma caracterıstica no enteramente al
azar.
<u'>
frecuencia
Turbulencia
frecuencia
Ruido
<u'>
Mantenimiento autonomo. Un flujo turbulento puede mantenerse tur-
bulento a si mismo. Los remolinos grandes generan remolinos pequenos.
Disipacion. Puesto que el flujo es autonomo, la ruptura sucesiva de
vortices a escalas mas pequenas, llevara eventualmente a la generacion
de vortices del tamano de la escala de Kolmogorov. Una vez alcanzado
este tamano, el movimiento se disipa por el efecto de la viscosidad. En
otras, palabras un flujo turbulento decaera progresivamente a menos
que exista un mecanismo de entrada de energıa.
Mezclado. El hecho de que el flujo turbulento sea fluctuante hace que
la difusion de calor, masa y momentum sean mucho mas efectivos que
la difusion molecular.
10.4. Estabilidad y origen de la turbulencia
Los flujos laminares, en un punto crıtico en el tiempo y el espacio, se
vuelven inestables bajo perturbaciones pequenas.
Se dice que un sistema es inestable cuando al someterlo a una pequena,
esta se amplifica. Estas perturbaciones, o imperfecciones, surgen de la rugo-
sidad, el ruido acustico, las vibraciones, etc.
214 CAPITULO 10. TURBULENCIA
����
����
����
Estable
����
����
Inestable
����
����
Neutro
10.4.1. Teorıa de la estabilidad
Este analisis, llamado de perturbacion, consiste en anadir matematica-
mente una pequena perturbacion a las variables de flujo (velocidad y presion).
Las variables perturbadas se sustituyen en las ecuaciones de conservacion, las
cuales se resuelven. El objetivo es averiguar si las soluciones que se encuen-
tran son estables, es decir, si crecen o no como funcion del tiempo. Este tipo
de analisis se puede emplear para analizar la estabilidad de cualquier sistema,
no solo de mecanica de fluidos.
Consideremos las ecuaciones de conservacion para un flujo newtoniano,
incompresible:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v
Supongamos que tenemos un flujo unidireccional, ~v = (u, 0, bidimensional
y que la presion es P = Po. Supongamos tambien que las soluciones para la
velocidad y presion tienen las siguientes relaciones funcionales:
u = U(y, t)
P = Po(y, t)
Procedamos a anadir una pequena perturbacion a las tres componentes
de velocidad y presion:
u = U + u
v = v
P = Po + p
10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA 215
Podemos sustituir estas expresiones de nuevo en la ecuaciones de Navier-
Stokes.
Por ejemplo en la direccion x, tenemos:
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
entonces
∂U
∂t+∂u
∂t+ (U + u)
∂(U + u)
∂x+ (v)
∂(U + u)
∂y=
− 1
ρ
∂(Po + p)
∂x+ ν
(∂2(U + u)
∂x2+∂2(U + u)
∂y2
)
A la ecuacion anterior se le puede restar la ecuacion de conservacion de
momentum para las variables no perturbadas. Ası, encontramos que
∂u
∂t+ U
∂u
∂x+ u
∂U
∂x+ v
∂U
∂y+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν∇2u
Si suponemos que u ≪ U y que v ≪ U , entonces podemos tambien
despreciar los productos u y v.
Mas aun podemos suponer que las perturbaciones (u, v, p) tienen solucion
de la forma
(u, v, p) = [f(y), g(y), h(y)] exp[iα(kx− ct)]
Sustituyendo en la ecuacion de conservacion, tenemos:
iαcf + Uiαkf = ν((iαk)2f + f ′′)
entonces
f ′′ − (αk)2f − iαc+ k
νf = 0
Esta es la ecuacion de Orr-Sommerfeld, en su version simplificada. Esta ecua-
cion diferencial ordinaria se puede resolver suponiendo algunas condiciones
de frontera y valores de los parametros k, c, α, ν. La solucion ecuacion predice
que la solucion laminar estacionaria se vuelve inestable para cierto valor del
numero de Reynolds del flujo.
216 CAPITULO 10. TURBULENCIA
Re Re crit
Región inestable
Región estable
10.4.2. Desarrollo de la turbulencia
La turbulencia no aparece de manera subita en un flujo. Para que esta
se manifieste en su forma completamente desarrollada deben pasar varias
etapas.
Consideremos la capa lımite sobre una placa plana. Ver figura.
Conforme se avanza en la direccion longitudinal de la placa, va creciendo
el valor de Rex, por lo que podemos ver como se desarrolla la turbulencia
desde el flujo laminar.
1. Cerca del punto donde el flujo encuentra a la placa se desarrolla una
capa lımite laminar ordinaria, puesto que el este primer tramo el Rex
no es muy grande.
2. Cuando el valor de Rex alcanza un cierto valor crıtico, los primeros
indicios de la perdida de estabilidad se manifiestan: aparecen las on-
das T-S (Tollminen-Schlichting), que son perturbaciones en la direccion
perpendicular al flujo. Estas son ondas, pero aun son laminares.
3. Un poco mas adelante, aumentando un poco el Rex, estas ondas trans-
versales comienzan a perder estabilidad y pierden su forma transversal.
En esta etapa comienza a aparecer un componente de la vorticidad en
la direccion del flujo.
10.4. ESTABILIDAD Y ORIGEN DE LA TURBULENCIA 217
4. Aumentando un poco mas el Rex, el siguiente fenomeno que se observa
es la desaparicion de la estructura unidireccional del flujo. Se dice que
tanto la velocidad y la vorticidad son tridimensionales.
5. Aguas abajo sobre la placa comienza a aparecer paquetes de turbulen-
cia completamente desarrollada. Estos paquetes, o manchas, crecen en
tamano y frecuencia de aparicion.
6. Finalmente, los paquetes se unen y se crea la zona de turbulencia com-
pletamente desarrollada.
218 CAPITULO 10. TURBULENCIA
10.5. Turbulencia desarrollada
Puesto que el flujo turbulento es muy complejo, resulta difıcil describirlo
con el tipo de funciones matematicas utilizadas en el flujo laminar (flujo
tridimensional y no estacionario).
Por esto para el estudio y descripcion de la turbulencia se utilizan he-
rramientas estadısticas para describirlo. En particular, se usa el concepto de
promedio temporal. Cualquier variable, fluctuante o no, puede describirse a
traves de su promedio en el tiempo.
10.5.1. Descomposicion de Reynolds
La descomposicion de Reynolds consiste en separar a cualquier variable
en dos componentes, una estacionaria y otra fluctuante. Por ejemplo si con-
sideramos la medicion de la velocidad en el centro de un canal cuyo flujo es
turbulento, podemos esperar encontrar una medicion como la mostrada en
la figura.
u
t
u
La velocidad instantanea de la velocidad en este punto se puede describir
como
u(t) = u+ u′(t)
donde u es el promedio temporal y u′ es la componente fluctuante de la
velocidad.
10.5. TURBULENCIA DESARROLLADA 219
Promedio temporal
Si consideramos una variable cualquiera f , su promedio temporal esta
definido como:
F =1
T
∫ to+T
to
f(t)dt
Entonces, podemos escribir que
f = f + f ′
Podemos ademas demostrar que
f ′ = 0
y que
f = f
Estas son algunas reglas de la operacion promedio temporal:
1. f ′g = 0
2. f ± g = f ± g
3. f · g = f · g + f ′g′
4. f · g = f · g
5. ∂f∂s
= ∂f∂s
6.∫fds =
∫fds
220 CAPITULO 10. TURBULENCIA
10.6. Ecuaciones de conservacion para un flu-
jo turbulento
10.6.1. Conservacion de masa
Consideremos, primero, la ecuacion de conservacion de masa para un flujo
incompresible, para el caso bidimensional en coordenadas rectangulares:
∇~v = ∂u
∂x+∂v
∂y= 0
Consideremos ahora que las variables de flujo son turbulentas y que pue-
den descomponerse como:
u = u+ u′
v = v + v′
Sustituyendo estas expresiones en la ecuacion de conservacion de masa,
tenemos,∂(u + u′)
∂x+∂(v + v′)
∂y= 0
Aplicando la operacion promedio temporal a toda la ecuacion tenemos:
∂u
∂x+∂u′
∂x+∂v
∂y+∂v′
∂y= 0
Aplicando las reglas de la operacion promedio temporal sabemos que
∂u′
∂x= 0
y que∂v′
∂y= 0
Por lo tanto∂u
∂x+∂v
∂y= 0
10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION 221
por lo que podemos decir que aun el flujo turbulento, la ecuacion de conser-
vacion de masa se satisface en promedio.
Ademas, si a la expresion anterior le restamos la ecuacion de conservacion,
antes de promediar en el tiempo, podemos deducir que
∂u′
∂x+∂v′
∂y= 0
entonces, podemos tambien decir que de forma instantanea, las fluctuaciones
de velocidad tambien satisfacen la ecuacion de conservacion.
10.6.2. Conservacion de momentum
De la misma manera que para la ecuacion de conservacion de masa, po-
demos sustituir la presion y las velocidades, descompuestas en parte media
y fluctuante, en las ecuaciones de Navier Stokes. Consideremos, por simplici-
dad, unicamente la componente x de las ecuaciones incompresibles bidimen-
sionales. Tenemos entonces,
∂(u + u′)
∂t+ (u+ u′)
∂(u+ u′)
∂x+ (v + v′)
∂(u + u′)
∂y=
− 1
ρ
∂(P + P ′)
∂x+ ν
(∂2(u+ u′)
∂x2+∂2(u+ u′)
∂y2
)
Desarrollando todos los productos, y aplicando la operacion promedio
temporal a toda la ecuacion, tenemos:
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ u′
∂u′
∂x+ v
∂u
∂y+ v′
∂u′
∂x= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
Los terminos u′ ∂u′
∂xy v′ ∂u
′
∂xpueden reescribirse de la siguiente manera
u′∂u′
∂x=
∂(u′)2
∂x− u′
∂u′
∂x
v′∂u′
∂x=
∂(u′v′)
∂x− u′
∂v′
∂x
222 CAPITULO 10. TURBULENCIA
entonces, simplificando las operaciones promedio temporal, la ecuacion de
conservacion de momentum puede escribirse como:
∂u
∂t+u
∂u
∂x+v
∂u
∂y+∂(u′)2
∂x−u′
(∂u′
∂x+∂v′
∂x
)
+∂(u′v′)
∂x= −1
ρ
∂P
∂x+ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
Utilizando la ecuacion de conservacion de masa, podemos demostrar que
el quinto termino del lado izquierdo es igual a cero. Entonces, podemos es-
cribir
ρDu
Dt= −∇P + µ∇2u− ρ
(∂
∂x(u′2) +
∂
∂y(u′v′)
)
La ecuacion anterior es muy similar a la ecuacion de Navier Stokes con
variables promediadas en el tiempo, excepto por la inclusion de dos terminos
extra en el lado derecho de la ecuacion: ρ ∂∂x(u′2) y ρ ∂
∂y(u′v′). Estos compo-
nentes adicionales son los esfuerzos turbulentos.
Si, de forma analoga, hacemos la deduccion de la conservacion de mo-
mentum en la direccion y, encontraremos:
ρDv
Dt= −∇P + µ∇2v − ρ
(∂
∂x(u′v′) +
∂
∂y(v′2)
)
Podemos entonces hablar de un tensor de esfuerzos turbulentos:
Σt = −ρ∇u′iu′j = ρ
u′u′ u′v′ u′w′
v′u′ v′v′ v′w′
w′u′ w′v′ w′w′
Estos esfuerzos extra tienen implicaciones fısicas importantes:
Los movimientos no estacionarios u′, v′, w′ provocan un flujo adicional
de momentum.
Se pueden interpretar como esfuerzos. A diferencia de los esfuerzos
viscosos, los esfuerzos turbulentos dependen de la naturaleza del flujo
y no de la naturaleza del fluido.
En mucho flujos turbulentos, el tamano de los esfuerzos turbulentos
puede ser mas grande que los esfuerzos viscosos.
10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION 223
Al aparecer nuevas incognitas en las ecuaciones de conservacion, nece-
sitamos mas ecuaciones para cerrar el sistema. Necesitamos un relacion
constitutiva turbulenta.
10.6.3. Modelos empıricos para turbulencia
Es claro que la aparicion de nuevos terminos en las ecuaciones de con-
servacion implica que debemos tener mas ecuaciones. Necesitamos, de hecho,
una ecuacion constitutiva para relacionar los esfuerzos turbulentos con otras
variables del flujo.
La teorıa de flujos turbulentos esta aun en desarrollo. Aun no existen
modelos analıticos precisos que esten ampliamente aceptados. Por esto, el
modelado de los esfuerzos turbulentos se hace de forma empırica.
Aquı se presentan algunos de los modelos mas comunmente usados:
1. Viscosidad Eddy o de remolino Este modelo considera reemplazar los
esfuerzos turbulentos por un esfuerzo tipo viscoso, utilizando una vis-
cosidad turbulenta:
−ρu′v′ = ε∂u
∂y
donde ε es la viscosidad de remolino.
2. Distancia de mezcla de Prandtl
Supongamos que la distancia tıpica de mezcla (o flcutuacion turbu-
lenta) es L. Esta distancia se extiende desde la pared hasta donde el
gradiente de velocidades es grande. Ası podemos decir que,
u′ = L∂u
∂y
v′ = L∂u
∂y
Entonces
−ρu′v′ = ρL2
(∂u
∂y
)2
224 CAPITULO 10. TURBULENCIA
(a) Estela turbulenta detras de un proyectil. Tecnica
deshadowgrafıa
(b) Desarrollo de turbulencia. Flujo sobre una pla-
ca. Visualizacion de lıneas materiales por medio de
generacion de burbujas de hidrogeno.
(c) Capa lımite turbulenta. Visualizacion por humo.
10.6. ECUACIONES DE CONSERVACION 225
Figura 10.1: Chorro turbulento. Visualizacion por tinta flourescente.
226 CAPITULO 10. TURBULENCIA
pero sabemos que en y = 0, la distancia de mezcla es cero L = 0,
entonces podrıamos decir que
L = Ky
Por lo tanto
−ρu′v′ = ρK2y2(∂u
∂y
)2
donde K es una constante universal (K = 0.4).
3. Hipotesis de similitud de Von Karman Esta hipotesis propone (a traves
de argumentos mas complicados) que:
−ρu′v′ = ρK2
(∂u∂y
)4
(∂2u∂y2
)2
10.7. Capa limite turbulenta
Consideremos, una vez mas el flujo sobre una placa. De la misma manera
como se hizo el desarrollo de capa lımite laminar, debemos hacer ciertas
suposiciones para lograr simplificar las ecuaciones de flujo turbulento.
Consideremos las siguientes suposiciones:
δ(x) ≪ x
v ≪ u∂
∂x≪ ∂
∂yw = 0∂
∂z= 0
w′2 6= 0 pero∂w′2
∂x= 0
Ası, la ecuacion de conservacion de masa es
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA 227
Considerando un flujo estacionario en promedio, la ecuacion de momen-
tum en x se reduce a
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= Uo
∂Uo
∂x+
1
ρ
∂τ
∂y
donde Uo(x) es la corriente por fuera de la capa lımite y τ es el esfuerzo total
dado por
τ = µ∂u
∂y− ρu′v′
La ecuacion de momentum en y es
0 = −∂P∂y
− ρ∂v′2
∂y
Por lo tanto, para el caso de un capa lımite turbulenta, no podemos decir
que la presion dentro y fuera de la capa lımite es la misma. Podemos decir
que
P = Po(x)− ρv′2
Sin embargo, esta correccion es pequena.
De igual manera que para el caso de capa lımite laminar, debemos consi-
derar las siguientes condiciones de frontera:
u(x, 0) = v(x, 0) = 0
u(x, δ) = Uo(x)
10.7.1. Estructura de un flujo turbulento
En general, para una capa lımite turbulenta podemos analizar su estruc-
tura en diferentes regiones, dependiendo de la cercanıa con la pared.
Podemos diferenciar el comportamiento de la capa lımite turbulenta en
tres regiones distintas:
Capa interna.
228 CAPITULO 10. TURBULENCIA
Es la capa que esta en contacto con la pared. Es esta, los esfuerzos
viscosos dominan.
Sabemos que en la pared u, v = 0, y tambien podemos argumentar que
muy cerca de la pared u′ = v′ ≈ 0, pues no hay espacio para que el
fluido se mueva en forma fluctuante. Por lo tanto, cerca de la pared
ρu′v′ = 0, no hay esfuerzos turbulentos.
Entonces, existe un flujo laminar en la vecindad de la pared:
uint = f(τw, ρ, µ, y)
Capa externa.
A cierta distancia de la pared, los esfuerzos turbulentos dominan. Pero,
puesto que el efecto de la pared es reducir la velocidad de Uo a u(y),
entonces la estructura de esta capa debe de ser funcion de δ, τw, ∂Po/∂x,
pero independiente de µ:
Uo − uext = f(τw, ρ, y, δ, ∂Po/∂x)
Capa intermedia.
En esta region ambos efectos tienen importancia. Las regiones externa
e interna deben empatarse en esta region:
uint = uext
10.7.2. Flujo de Couette turbulento
Consideremos un flujo de corte simple, para el caso en que el numero de
Reynolds es mayor que el crıtico. Es decir, que el flujo sea completamente
turbulento.
Una de las ventajas del analisis de este flujo simple es que el esfuerzo
cortante es constante a traves de y.
τxy = τv + τt
10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA 229
y
x
H
U Pared movil
Pared fija
Perfil turbulento u(y)=f(y)
Perfil laminar
donde τv = µ∂u∂y
y τt = ρu′v′.
Las ecuacion de conservacion para este flujo son entonces,
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
ρ
(
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
=∂
∂y(τv + τt)
Consideremos el uso de variables adimensionales:
y: distancia a la pared, [L].
ρ: densidad, [ML−1T−2]
u(y): velocidad media, [LT−1]
τw: esfuerzo en la pared, [ML−1T−2]
ν: viscosidad cinematica, L2T−1
Para lograr uniformidad dimensional, las variables ρ yτw deben de estar
en em mismo (ambas tienen M).
Podemos formar un grupo con unidades de velocidad, y ası usarlo como
velocidad de referencia:
uτ =
(τwρ
)1/2
230 CAPITULO 10. TURBULENCIA
entonces podemos definir una velocidad adimensional como
u∗ =u
uτ
Se puede agrupar otro conjunto de variables con unidades de distancia:
Lτ = ν
√ρ
τw
entonces podemos definir
y∗ = y1
ν
√τwρ
Capa interna
Sabemos que
τw = µ∂u
∂y
Dividiendo entre ρ y suponiendo que ∂u/∂y ≈ u/y, tenemos
τwρ
=µ
ρ
u
y
entonces
u2τ = νu
y
Re-arreglando terminos podemos escribir:
u∗ =u
uτ=uτy
ν=
(τwρ
)1/2y
ν
Por lo tanto
u∗ = y∗
De forma experimental se ha comprobado que la capa interna se extiende
desde la pared hasta y∗ ≈ 5. Entonces podemos calcular el espesor de la capa
interna, δCI ,uτδCI
ν= 5
entonces
δCI = 5ν
√ρ
τwEsto representa aproximadamente 0.002 δ, espesor de la capa lımite.
10.7. CAPA LIMITE TURBULENTA 231
Capa externa
Sabemos que el esfuerzo turbulento domina sobre el esfuerzo viscoso. En-
tonces
τ = −ρu′v′
Debemos considerar una de los modelos de turbulencia. Por ejemplo po-
demos usar el modelo de distancia de mezcla de Prandtl:
τ
ρ= −u′v′ = K2y2
(∂u
∂y
)2
Sabemos ademas que en un flujo de Couette, el esfuerzo cortante es cons-
tante en todo el flujo: τ = τw, para cualquier y. Entonces
τ
ρ=τwρ
= u2τ = K2y2(∂u
∂y
)2
Simplificando tenemos
uτ = Ky
(∂u
∂y
)
Esta ecuacion se puede integrar, dando como resultado
u =uτK
ln y + C1
Escribiendo en terminos de variables adimensionales tenemos:
u∗1
K1ln y∗ + C2
De forma empırica, se ha encontrado que K1 = 0.4 Y C2=5.0. Esta expresion
se conoce como ley de la pared.
Capa intermedia
En esta region se deben considerar tanto los esfuerzos viscosos como los
turbulentos, por lo tanto en esta region no se observa un comportamiento ni
lineal ni logarıtmico. Se puede demostrar que
y∗ = u∗ + exp(−KB)
[
exp(Ku∗)− 1−Ku∗ − 1
2(Ku∗)2 − 1
6(Ku∗)3
]
232 CAPITULO 10. TURBULENCIA
10.8. Forma integral de las ecuaciones de ca-
pa lımite para flujos turbulentos
Recordemos la ecuacion integral de capa lımite (para una placa plana):
τw(x) = ρU2o
∂θ
∂x
donde θ es el espesor de momentum definido como:
θ =
∫ δ
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dy
Si despreciamos la capa interna (muy pequena), podemos utilizar la ley
de la pared como perfil de velocidad:
u = uτ
[1
Kln(yuτν
)
+B
]
donde B = 5.0 y K = 0.41.
Entonces, en el borde superior de la capa lımite tenemos
Uo
uτ=
[1
Kln
(δuτν
)
+B
]
10.8. CAPA LIMITE, FORMA INTEGRAL 233
El coeficiente de friccion es
Cf =2τwρU2
o
pero τw/ρ = uτ entonces
Cf = 2
(uτUo
)2
oUo
uτ=
(2
Cf
)1/2
Ademas, despejando uτ tenemos
uτ = Uo
(Cf
2
)1/2
por lo que podemos escribir
δuτν
= Reδ
(Cf
2
)1/2
donde Reδ = δUo/ν.
Podemos, ahora, sustituir las expresiones para δuτ
νy Uo
uτen expresion de
la ley de la pared en el borde de la capa lımite:
(2
Cf
)1/2
=
[
1
Kln
(
Reδ
(Cf
2
)1/2)
+B
]
Esta expresion nos da una relacion funcional entre el coeficiente de friccion
y el numero de Reynolds (tipo diagrama de Moody). Sin embargo es una
ecuacion trascendental que se debe resolver numericamente.
Esta ecuacion puede ajustarse aproximadamente a
Cf = 0.02(Reδ)−1/6
Calculemos ahora el espesor de momentum de la capa lımite, θ. El perfil
de velocidades promedio en una capa lımite turbulenta se puede aproximar
au
Uo=(y
δ
)1/7
.
234 CAPITULO 10. TURBULENCIA
Reδ Cf
104 0.00493
105 0.00315
106 0.00217
107 0.00158
Este resultado es empırico.
Si sustituimos esta funcion en la definicion de θ tenemos:
θ =
∫ δ
0
(y
δ
)1/7(
1−(y
δ
)1/7)
dy
entonces
θ = δ
∫ 1
0
η1/7(1− η1/7)dη
=7
72δ
Ahora, de la definicion de coeficiente de friccion sabemos
τw = Cf1
2ρU2
o
por lo que
τw = (0.02(Reδ)−1/6)
1
2ρU2
o
Tambien sabemos que
τw = ρU2o
∂θ
∂xIgualando las dos expresiones anteriores tenemos
ρU2o
∂θ
∂x= (0.02(Reδ)
−1/6)1
2ρU2
o
Simplificando tenemos
9.72∂δ
∂x= (Reδ)
−1/6
pero Reδ = δUo/ν, entonces
9.72∂δ
∂x= (
δUo
ν)−1/6
10.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBERIAS 235
por lo que
9.72δ1/6∂δ =
(Uo
ν
)−1/6
∂x
Integrando tenemos
6
79.72δ7/6 =
(Uo
ν
)−1/6
x+ C
pero C = 0 porque δ = 0 en x = 0.
Entonces podemos decir que
Reδ = 0.16Re6/7x
y haciendo rearreglando terminos tenemos
δ
x=
0.16
(Rex)1/7
Es interesante comparar este resultado con el resultado que obtuvimos
para capa lımite laminar
δ
x laminar∼ 1
(Rex)1/2
Podemos entonces re-calcular Cf y ponerlo en funcion de x, en lugar de
en funcion de δ.
Cf =0.0027
(Rex)1/7
Tambien podrıamos obtener expresiones para CD y para δ∗.
10.9. Flujo turbulento en tuberıas
El flujo en tuberıas tiene gran importancia practica. Es posible comparar
con la solucion exacta para flujo laminar:
ulaminar =(−∂P/∂z)
4µ(R2 − r2)
236 CAPITULO 10. TURBULENCIA
C f
Re D
16/Re D
flujo laminar 2000 4000
flujo turbulento
experimentos
"teoría" turbulenta
transición
teoría viscosa
Si calculamos el coeficiente de friccion, Cf para el caso laminar tenemos
Cf =2τw
ρU2
El flujo laminar se vuelve inestable alrededor de Re = 2000. Entre 2000
y 4000 se observa una etapa de transicion. Para Re > 4000 el flujo es com-
pletamente turbulento.
Para un flujo completamente turbulento, la formula empırica de Blasius
nos da
Cf =0.0791
Re1/4
que es valida para 4000 < ReD < 105.
Si embargo podemos utilizar en analisis sobre capa lımite turbulenta visto
en la seccion anterior. Podemos decir, en terminos generales que el flujo
dentro de una tuberıa es para el caso de un gradiente de presion favorable.
Si el radio de la tuberıa es a, podemos hacer un cambio de variables para
considerar un eje coordenado sobre la pared:
y = a− r
por lo que
dy = −dr
10.9. FLUJO TURBULENTO EN TUBERIAS 237
Puesto que se desconoce el perfil de velocidades podemos calcular, en
lugar, una velocidad promedio empleando el flujo volumetrico:
Uprom =Q
A=
1
πa2
∫ a
0
u2πrdr
por lo tanto
Uprom =2
a2
∫ 0
a
u(a− y)dy
Si utilizamos la ley de la pared
u∗1
K1
ln y∗ + C2 =1
K1
lnyuτν
+ C2
entonces
Uprom =2
a2
∫ 0
a
uτ
[1
K1lnyuτν
+ C2
]
(a− y)dy
Ası
Uprom =2
a2K1
∫ 0
a
[a
K1
lnyuτν
+ C2a−y
K1
lnyuτν
− C2y
]
dy
resolviendo tenemos
Uprom = uτ
(1
K1lnauτν
+ C2 −3
2K1
)
Podemos escribir la definicion de Cf como
Cf =2u2τU2prom
por lo tanto
Cf =2
(1K1
ln auτ
ν+ C2 − 3
2K1
)2
Si definimos
ReD =2aUprom
νentonces tambien podemos escribir
Cf =2u2τ
(ν2aRed
)2
238 CAPITULO 10. TURBULENCIA
despues de un poco de algebra
auτν
=1
2
√
Cf
2ReD
que podemos sustituir en la ecuacion para Cf :
Cf =2
(
1K1
ln
(√Cf
8ReD
)
+ C2 − 32K1
)2
la cual es una ecuacion implıcita que relaciona a Cf con ReD. Esta ecuacion
concuerda muy bien con la expresion empırica.
Podemos escribir una expresion para el esfuerzo en la pared para un flujo
turbulento tal que
τw ∼ ρ3/4U7/4promµ
1/4D−1/4
Esta puede ser comparada com una expresion para flujo laminar
τw ∼ ρ0UpromµD−1
Capıtulo 11
Fuerzas hidrodinamicas:
arrastre y sustentacion
Una de las areas mas importantes en flujos en ingenierıa es el estudio de
la interaccion entre un flujo uniforme y un objeto sumergido.
MMFM:dynamics:Dependence of forces on..
11.1. Flujo alrededor de objetos
Para este tipo de flujos nos interesa, principalmente, conocer que tipo
de fuerzas el flujo ejerce sobre el objeto. Una vez conocidas estas fuerzas se
pueden hacer mejores disenos.
Las fuerzas que un flujo ejerce sobre un objeto se pueden calcular inte-
grando los esfuerzos, tanto normales como cortantes, sobre la superficie:
−→F =
∫
S
τwdS +
∫
S
(−P )dS
Si el cuerpo tiene una forma y orientacion no simetrica, las fuerzas y
momentos que ejerce el fluido tienen componentes en las tres direccion coor-
denadas.
Se acostumbra elegir que uno de los ejes coordenados sea paralelo a la
direccion de la corriente uniforme. La fuerza sobre el cuerpo en la direccion de
239
240CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Cuerpo de forma arbitraria
Arrastre
Empuje lateral
Empuje vertical
Corriente uniforme
V
Torque
Torque
Torque
este eje se denomina fuerza de arrastre, FD, y el torque se denomina momento
de balanceo.
Tambien, es usual elegir que una de las direcciones perpendiculares a la
direccion del flujo coincida con la direccion de la gravedad. La fuerza de flujo
que aparece en esta direccion se denomina fuerza de sustentacion, FL. En la
otra direccion coordenada perpendicular, la fuerza que se denomina fuerza
lateral.
Sin embargo, por lo general, los cuerpos sumergidos poseen por lo menos
un eje de simetrıa con respecto al flujo. Para estos casos unicamente aparecen
fuerzas de arrastre y sustentacion y momento de balanceo. Si el cuerpo tiene
dos planos de simetrıa, unicamente aparece la fuerza de arrastre.
En principio, se deseamos saber τw y P para poder integrar sobre la
superficie del objetos debemos resolver las ecuaciones de Navier Stokes y la
ecuacion de conservacion de masa:
ρD~v
Dt= ρ~f −∇P + µ∇2~v
∇ · ~v = 0
Sin embargo, sabemos que no es posible resolver estas ecuaciones para un
flujo general.
Existen soluciones aproximadas tanto para flujo viscoso (Re ≪ 1) como
para flujo ideal (Re≫ 1). Flujos en los cuales la viscosidad es el efecto mas
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 241
importante son muy limitados. Las soluciones obtenidas bajo la suposicion
de flujo ideal dan predicciones falsas, en particular para el calculo de arrastre.
Una forma de encontrar soluciones para flujos a alto numero de Reynolds
es la combinacion de la solucion del flujo en dos regiones distintas: la region
cercana a la superficie se resuelve a traves de la aproximacion de capa lımite;
y el flujo lejos de la superficie se resuelve utilizando flujo potencial.
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
Para el caso mas general, para flujo alrededor de geometrıas no simples,la
tecnica que sigue siendo la mas ampliamente utilizada, por lo menos antes de
que las tecnicas computacionales se hicieran de uso comun, es la experimen-
tal. Simplemente se llevan a cabo experimentos: se coloca un cuerpo con una
geometrıa dada en una corriente uniforme, bien caracterizada y controlada,
y se mide la fuerza directamente. El experimento se repite muchas veces para
diferentes condiciones de flujo y se componen graficas o tablas del coeficiente
de arrastre en funcion de parametros adimensionales.
242CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
11.1.1. Fuerza de arrastre
La fuerza de arrastre es la fuerza que resulta de la interaccion de un flujo
y un objeto, que esta en la direccion del flujo.
MMFM:dynamics:Dependence of forces on..
Consideremos el caso de un cuerpo liso con dos planos de simetrıa, por
ejemplo una esfera, inmerso en un flujo incompresible. Si realizamos experi-
mentos para medir la fuerza de arrastre sobre este objeto encontraremos que
FD depende del tamano del objeto L, de las propiedades del fluido, µ y ρ, y
obviamente de la velocidad del flujo, V . En forma funcional podemos decir
que
FD = f1(L, V, µ, ρ)
Si recordamos en teorema de Π-Buckingham, podemos con estas cinco
variables formar dos numeros adimensionales independientes. Podemos en-
tonces re-expresar la relacion funcional para la fuerza de arrastre en forma
adimensional:FD
ρV 2L2= f2
(ρV L
µ
)
= f2 (Re)
Si definimos el coeficiente de arrastre como
CD =FD
12ρV 2A
donde A es el area del objeto expuesta al flujo, A ∼ L2. Podemos decir,
entonces que
CD = f (Re)
Si consideramos que existen efectos de compresibilidad, de la cercanıa con
una superficie libre o una pared, la relacion funcional para el coeficiente de
arrastre estarıa dada por:
CD = f (Re,M, Fr,Π)
donde M es el numero de Mach dado por M = V/c, donde c es la velocidad
del sonido; Fr es el numero de Froude definido por Fr = V/√gH, donde
H es la distancia a la superficie libre; y Π es la relacion entre el tamano del
objeto y la distancia a una pared solida, Π = L/X .
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 243
Arrastre debido a rozamiento
Como se discutio con anterioridad, el arrastre sobre un cuerpo es la com-
binacion de esfuerzos viscosos de corte y esfuerzos normales que el flujo ejerce
sobre el cuerpo.
En general ambos efectos estan presentes, pero para algunas configura-
ciones o regımenes de flujo, uno de estos tipos de esfuerzo puede dominar con
respecto al otro.
Consideremos el caso del flujo sobre una placa plana horizontal.
�������
U=0
U=U o
y
x
Si no existe gradiente de presion (placa horizontal), entonces la fuerza de
arrastre esta dada por
FD =
∫
S.placa
τwdS
o
CD =
∫
S.placaτwdS
12ρV 2A
Sabemos que τw se puede calcular utilizando un analisis de capa lımite,
tanto para flujos laminares como turbulentos.
Para el caso laminar, sabemos de la solucion de Blasius que
Cf =τw
12ρV 2
=0.664√Rex
244CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Para calcular CD consideremos una placa de largo L y ancho b. Entonces
CD =1
bL
∫ L
0
0.664
√ν
Vx−0.5bdx
por lo que
CD =1.328√ReL
Para flujo turbulento
Cf =0.0027
Rex1/7
entonces
CD =0.00315
ReL1/7
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
Arrastre debido a diferencia de presiones
Consideremos ahora el flujo alrededor de una placa perpendicular al flujo.
Para un flujo a numero de Reynolds alto, aparecen zonas de separacion en
la parte posterior de la placa. La separacion esta caracterizada por generar
zonas de baja presion. Entonces, para este tipo de flujos el arrastre sobre
la placa es resultado, principalmente, de la diferencia de presiones entre la
parte anterior y posterior.
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 245
��
��
��
��
��
U=0
U=U o
y
x
separación
Aunque la presion en la parte posterior es practicamente constante, esta
no se puede determinar analiticamente. Se debe recurrir a experimentos para
determinar el arrastre.
El coeficiente de arrastre para una placa perpendicular al flujo depende
de la razon del ancho con respecto a la altura (b/h). Para el caso el que
b/h = 1.0, es CD alcanza un valor mınimo de 1.18. La grafica mostrada en la
figura es valida para el caso en que Reh > 1000.
El coeficiente de arrastre para todos los objetos con aristas agudas resulta
esencialmente independiente del numero de Reynolds, debido a que los puntos
de separacion estan fijos a la geometrıa del objetos.
La figura siguiente muestra el CD para varias geometrıas, tambien para
el caso en que Re > 1000.
246CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
11.1.2. Flujo alrededor de una esfera
En la seccion anterior vimos los casos en que el arrastre es producido ya
sea por esfuerzos viscosos o por diferencia de presiones. Para el caso viscoso,
la dependencia de CD con el Re era importante; por otro lado, cuando el
arrastre era generado por gradientes de presion (capa lımite desprendida) el
CD era practicamente constante. MMFM:Bondary layers:separation
Para el caso del flujo alrededor de una esfera, la transicion entre flujo
viscoso y flujo inercial se puede apreciar muy bien. La figura siguiente muestra
la grafica de CD como funcion de Re para una esfera lisa.
Se pueden distinguir varios regımenes de flujo:
1. Re ≪ 1. En este caso en flujo es dominado enteramente por esfuerzos
viscosos. De hecho, para este caso se puede encontrar una solucion
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 247
analıtica para el arrastre resolviendo las ecuaciones de Stokes:
FD = 3πµDUo
por lo tanto
CD =24
Re
Esta expresion es la linea recta a la izquierda de la figura. El flujo tiene
simetrıa aguas arriba-aguas abajo.
2. Para Re > 1 la expresion obtenida para el arrastre viscoso comienza
a fallar. Hasta Re ≈ 25 el flujo no se separa en la parte posterior de
la esfera, pero es ligeramente asimetrico. El CD continua disminuyendo
monotonicamente conforme Re aumenta, hasta Re ≈ 1000.
A partir de Re ≈ 25, se observa claramente un desprendimiento de la
capa lımite en la parte posterior de la esfera. La estela de recirculacion
se mantiene laminar y estable para flujos de hasta
3. Para el rango de flujos entre 25 < Re < 130, la estela de recirculacion
es estacionaria. La estela crece.
248CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 249
4. Entre 130 < Re < 400 la estela se vuelve inestable. Existe una compe-
tencia entre la generacion y la difusion y la conveccion de la vorticidad.
Se observa que vortices se desprenden de manera periodica de la parte
posterior de la esfera.
Para estos tres ultimos regımenes de flujo, el arrastre es una combina-
cion de esfuerzos viscosos y de presion.
5. En Re = 1000 el rozamiento viscoso es unicamente 5% del arrastre.
Para flujo con Re > 1000 el coeficiente de arrastre se mantiene practi-
camente constante , CD ≈ 0.4.
Para 1000 < Re < 350000, el flujo es no estacionario y asimetrico.
Ocurre el desprendimiento periodico de vortices.
6. Para Re > 200000, la caracterısticas del flujo cambian por completo.
Para Re ≈ 280000, la capa lımite se vuelve turbulenta. Puesto que para
este regimen existe una mayor agitacion del flujo, la capa lımite se re-
adhiere y disminuye la diferencia de presiones entre la parte frontal y
la posterior. Por tanto, el CD cae precipitadamente.
El comportamiento del flujo alrededor de un cilindro es muy parecido al
de la esfera.
250CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Re=0.16
Re=26.8
Re=118
Re=15000 Re=30000
Re=8.15
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 251
11.1.3. Perfiles aerodinamicos
Una forma de reducir el arrastre hidrodinamico es eliminando las zonas
de recirculacion para disminuir el arrastre por diferencia de presiones, que
tiene a dominar para flujo con numero de Reynolds elevado.
La zonas de recirculacion, o de desprendimiento, se pueden eliminar o
reducir se la forma del cuerpo es suave y se evitar las esquinas y cambios
abruptos de direccion. Sin embargo, al anadir regiones solidas para disminuir
las orillas, se aumenta tambien el area superficial, y por tanto, se aumenta
el arrastre por friccion.
Se han realizado muchas investigaciones para determinar la forma de ideal
de un perfil. La mayorıa de estas de forma experimental. La forma optima es
aquella que produce el mınimo de arrastre.
El mınimo coeficiente de arrastre que puede producirse es de aproxima-
damente 0.06, que representa tan solo el 20% del valor encontrado para un
cilindro.
252CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
11.1.4. Fuerza de sustentacion
La sustentacion es la fuerza que el flujo ejerce sobre el cuerpo en al direc-
cion perpendicular al flujo. Por lo general, esta direccion es la de la gravedad.
Esta fuerza aparece cuando el segundo plano de simetrıa con respecto al flujo.
El coeficiente de sustentacion esta definido como
CL =FL
12ρV 2Ap
donde Ap es el area proyectada del objeto frente al flujo.
U=U o F L
F D A p
L
Podemos decir que tanto el coeficiente de arrastre con el de sustentacion
son funciones del numero de Reynolds, Re = LUo/ν. Ademas de tambien
tambien depender de la geometrıa, son funciones importantes del angulo de
ataque, α. Este angulo esta definido como el angulo entre la cuerda del perfil
y el vector velocidad de la corriente libre. Debe notarse que el area proyectada
es tambien una funcion de α.
La figura muestra un ejemplo de CL y CD para un perfil aereodinamico
de clasificacion NACA. Puede notarse que CL aumenta como funcion de
alpha, hasta llegar a un valor maximo. Si se continua aumentado el angulo
de ataque, el coeficiente de sustentacion decrece rapidamente. Se dice que el
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 253
flujo alrededor del perfil esta ahogado, si el coeficiente de sustentacion decrece
de esta manera.
El ahogamiento ocurre cuando el flujo se separa sobre la mayor parte de
la cara superior del perfil. Conforme el angulo de ataque crece, el punto de
estancamiento se mueve sobre la superficie del perfil.
Podemos tambien mencionar que para perfiles finitos, el coeficiente de
sustentacion es menor que el calculado par perfiles bi-dimensionales.
Aviones
Para diseno de aviones necesitamos considerar dos factores:
El arrastre debe ser bajo. Un alto arrastre implica una potencia mas
alta para mover el avion.
La sustentacion debe ser alta. Si la sustentacion es grande, el avion
puede transportar pesos mas grandes.
Tambien debemos considerar las siguientes condiciones: Durante el des-
pegue y el aterrizaje, la sustentacion debe poder controlarse. Por ejemplo,
durante el aterrizaje, necesitamos tener una alta sustentacion a velocidades
no muy grandes.
Para vuelo permanente tenemos
Wavion = FL = CL1
2ρU2
oA
La velocidad mınima se puede calcular de la expresion anterior cuando
CL = CL(max):
Umin =
√
2W
ρCL(max)A
por tanto la velocidad mınima se puede disminuir si se aumenta A o CL. CL
se puede varias con alas de geometrıa variable.
254CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Sustentacion por giro
Otra manera de generar fuerzas de sustentacion es por el giro del objeto.
La aparicion de una fuerza perpendicular al flujo como resultado del giro de
una esfera o cilindro se conoce como efecto de Magnus. Este efecto se una
ampliamente en los deportes.
11.1. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS 255
256CAPITULO 11. FUERZAS HIDRODINAMICAS: ARRASTRE Y SUSTENTACION
Capıtulo 12
Introduccion a flujo
compresible
Un muchos casos de interes practico no es razonable suponer que la den-
sidad del fluido se mantiene constante. En este capıtulo discutiremos algunos
conceptos para determinar cuando podemos suponer que es correcto suponer
que la densidad es constante. Cuando no lo es, se debe de extender el analisis
de flujo para tomar en cuenta este efecto.
Cuando la variacion de densidad es importante y se debe considerar, las
ecuaciones de conservacion son las siguientes:
∂ρ
∂t+ ~v · ∇ρ+ ρ(∇ · ~v) = 0 (12.1)
ρ
(∂~v
∂t+ (~v · ∇)~v
)
= ρ~g −∇P + (λ+ µ)∇(∇ · ~v) + µ∇2~v(12.2)
ρCp
(∂T
∂t+ (~v · ∇)T
)
= ∇ (k∇T ) +Φ (12.3)
P = ρRT (12.4)
Este sistema de 6 ecuaciones (1 de masa, tres de momemtum lineal, 1
energıa y 1 de estado) y 6 incognitas (densidad, presion, temperatura y ve-
locidad, 3) esta cerrado. En principio, se podrıa resolver pues se tiene un
257
258 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
numero de incognitas igual al numero de ecuaciones disponibles. Sin em-
bargo, como se ha discutido ampliamente, no existen metodos matematicos
para encontrar la solucion. Por lo tanto, se deben de hacer simplificaciones
importantes.
En este capıtulo analizaremos el caso de flujo compresible unidimensional
y no-viscoso.
Antes de arrancar es importante hacer un repaso breve de algunos con-
ceptos importantes de la termodinamica de gases ideales.
12.1. Repaso de termodinamica de gases idea-
les
La ecuacion de estado para un gas ideal es:
P = ρRT
donde R es la constante del gas. Esta es:
R =RU
Mm
donde RU = 8314 J/(KgmolK) es la constante universal de los gases y Mm es
la masa molecular.
Usualmente en termodinamica se usa el inverso de la densidad, v = 1/ρ,
llamado volumen especıfico.
La energıa interna, u, de una sustancia se puede expresar como funcion
de otras dos variables termodinamicas:
u = f(v, T ).
Por lo tanto,
du =
(∂u
∂T
)
v
dT +
(∂u
∂v
)
T
dv
12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 259
lo cual puede escribirse como
du = CvdT +
(∂u
∂v
)
T
dv
dondeCv es la capacidad calorıfica a volumen constante. Para un gas ideal se
puede demostrar que la energıa interna no depende del volumen especıfico,
es decir ∂u/∂v = 0. Entonces,
du = CvdT
En otras palabras, el cambio de energıa interna depende unicamente de los
cambios de temperatura.
Podemos tambien definir la propiedad termodinamica, h, entalpıa como:
h = u+P
ρ
De igual manera, podemos escribir a la entalpıa como una funcion de
otras dos variables termodinamicas.
h = g(P, T ).
Por lo tanto, los cambios de entalpıa se pueden calcular como:
dh =
(∂h
∂P
)
T
dP +
(∂h
∂T
)
P
dT
pero ∂h/∂P = 0 por lo que
dh = CPdT
donde CP es la capacidad calorıfica a presion constante.
De la definicion de entalpıa tenemos
h = u+RT.
Entonces
dh = du+RdT
260 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
y usando las expresiones anteriores podemos escribir:
CPdT = CvdT +RdT
por lo tanto:
r = CP − Cv
Si definimos k = CP/Cv, entonces,
CP =kR
k − 1
Cv =R
k − 1
Sabemos que tanto CP como Cv son aproximadamente constantes para
un amplio rango de temperaturas. Por lo tanto podemos calcular el cambio
de energıa interna y entalpıa como:
∆u = Cv(T2 − t1)
∆h = CP (T2 − t1)
Tambien es util definir el concepto de entropıa:
∆s =
∫
rev
δQ
T
Esta ecuacion representa la segunda ley de la termodinamica.
Para proceso no reversible tenemos:
ds ≥ δQ
T
y para uno reversible:
Tds =dQ
mSi el proceso es adiabatico dQ = 0, entonces en un proceso adiabatico
reversible ds = 0 (proceso isentropico). De otra manera, ds > 0.
De la primera ley de la termodinamica sabemos que
∆u = Q−W
12.1. REPASO DE TERMODINAMICA DE GASES IDEALES 261
por lo tanto
du = δQ− δW.
Entonces,
Tds = du+ Pdv
y
Tds = dh− vdP
Por lo tanto
ds = CvdTT
+Rdvv
ds = CPdTT
− RdPP
(12.5)
Si el proceso es isentropico para un gas ideal, entonces
0 = CvdT + Pdv
0 = CPdT − vdP(12.6)
Por lo tanto,
dT =vdP
CP
= −PdvCv
y
fracdPP +CP
Cv
dv
v= 0
Esta expresion se puede integrar:
lnP + ln vk = constante
y finalmente:P
ρk= constante.
Para un proceso isentropico de un gas ideal la relacion P/ρk se mantiene
constante:P1
ρk1=P2
ρk2.
262 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
12.2. Propagacion de una perturbacion pe-
quena de presion
Consideremos que existe un dominio que esta originalmente en reposo, a
una presion P y a una densidad ρ. Supongamos que en una region de ese
dominio la presion crece subitamente (una pequena explosion). Por lo tanto
la densidad y la velocidad se veran afectadas:
Pρ
Vx=0
P+dP
ρ+ dρ
dVx
c
x
y
Como resultado del gradiente de presion el fluido tendera a moverse. Por
lo tanto, la frontera entre el fluido sin moverse y el que se esta moviendo
se desplazara. Para el caso mostrado en la figura, el desplazamiento se dara
hacia la izquierda.
Si suponemos que la frontera se desplaza a una velocidad constante pode-
mos realizar un analisis de volumen de control que se desplaza a una velocidad
constante c hacia la derecha.
La ecuacion de conservacion de masa para este volumen de control es:
d
dt
∫
V
ρdV +
∫
S
ρ~v · ~ndS = 0
Si el flujo es estacionario la primera integral es cero. Si consideramos un flujo
uniforme tenemos∫
Sizq
ρ~v · ~ndS +
∫
Sdere
ρ~v · ~ndS = 0
12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION263
entonces
−(ρcS) + (ρ+ dρ)(c− dVx)S = 0
por lo tanto
−ρcS + ρcS − ρdVxS + cdρS − dVxdρS = 0
si despreciamos los terminos que involucran productos de cantidades diferen-
ciales, tenemos
dVx = cdρ
ρ
La conservacion de momentum, en la direccion x, para el mismo volumen
de control es:
d
dt
∫
V
ρVxdV +
∫
S
ρVx~v · ~ndS = Fsx + FV x
Si el flujo es estacionario y no hay fuerzas volumetricas en x, tenemos
∫
S
ρVx~v · ~ndS = Fsx
Por lo tanto
−(ρc)cS + (ρ+ dρ)(c− dVx)(c− dVx)S = PS − (P + dP )S
Simplificando tenemos:
−ρcdVxS = −dPS
lo que se puede reescribir como:
dVx =1
ρcdP
Usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa
cdρ
ρ=c
ρdP
264 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
y por lo tanto
c2 =dP
dρ
Si consideramos un gas ideal y que el proceso de compresion se llevo a
cabo de manera isentropica tenemos:
P
ρk= constante.
Por tanto,dP
P− k
dρ
ρ= 0.
EntoncesdP
dρ= k
P
ρ= RT
Finalmente
c =√kRT
Para aire a temperatura ambiente, k = 1.4, R = 286.9 J/(Kg K), T = 293
K, c = 343.1 m/s.
De forma mas general, para otros fluidos y solidos podemos emplear la
definicion del coeficiente de compresibilidad, Ev:
Ev =∂P
(∂ρ)/ρ.
Por lo tanto,
c =
√
Ev
ρ
Para agua, ρ = 1000 Kg/m3, Ev = 2.2× 109, c = 1483 m/s.
12.2.1. Emision sonica y tipos de flujo
Si consideramos la existencia de una fuente de sonido (perturbaciones
de presion), esta viajara a la velocidad c en todas las direcciones. Esto se
muestra esquematicamente en la figura abajo. Si cada pulso de sonido esta
12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION265
separado por un instante de tiempo ∆t, la separacion entre los diferentes
pulsos de presion estara dado por una distancia radial cδt. El frente de cada
onda sera entonces un cırculo cuyo radio crecera el en tiempo. Los frentes de
onda consecutivos seran entonces cırculos concentricos.
b
Posicion de un pulso sonicodespues de un tiempo ∆t.
Objeto
(V=0)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
Ahora supongamos que el objeto que esta emitiendo pulsos sonicos se
mueve a una velocidad V de izquierda a derecha, como se muestra en la figu-
ra. El objeto se mueve a V < c. El pulso sonico se emitira de lugares distintos
pero la propagacion se dara de la misma manera, radialmente uniforme. No-
te que los pulsos estan menos espaciados en la direccion de movimiento del
objeto. Por lo tanto la frecuencia del sonido enfrente al objeto se incremen-
ta, mientras que detras del objeto la frecuencia es menor. Este es el efecto
Doppler.
b
Objeto se mueve(V<c)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
b b b
V(3∆t)
V(2∆t)
V(∆t)
Ahora consideremos el caso en que la velocidad del objeto es igual a la
266 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
velocidad de propagacion del sonido (V = c). En este caso los frentes de
onda no se pueden propagar por enfrente al objeto. Los frentes de onda se
‘enciman’ formando una frontera a traves de la cual la presion se incremen-
ta fuertemente. A esta frontera se le llama onda de choque. Por tanto, un
observador que se encuentre enfrente del objeto en movimiento no escuchara
ningun sonido hasta que el objeto llegue a su posicion.
b
Objeto se mueve(V=c)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
b b b
V(3∆t)
V(2∆t)
V(∆t)
Frontera de avance
12.2. PROPAGACION DE UNA PERTURBACION PEQUENA DE PRESION267
Y finalmente, consideremos el caso en que el objeto se mueve a una velo-
cidad mayor a la del sonido (V > c). El objeto se adelanta a los frentes de
sonido que va generando. La frontera de frentes de onda se inclina, formando
un cono de Mach. Por fuera de esta region no se escucha sonido (zona de
silencio).
b
Objeto se mueve(V>c)
c(∆t)
c(2∆t)c(3∆t)
b b b
V(3∆t)
V(2∆t)
V(∆t)
Frontera de avance
α
El angulo del cono de de Mach se puede calcular usando trigonometrıa:
sinα =c∆t
V∆t=
c
V
.
La razon entre la velocidad del objeto (o del flujo) y la del propagacion
del sonido sirve entonces para caracterizar la fenomenologıa de flujos com-
presibles. El numero adimensional, Ma, se define como:
Ma =V
c
Asi podemos definir diferentes regımenes de flujo:
Ma < 1, flujo subsonico. Ventiladores.
Ma > 1, flujo supersonico. Compresores, aviones.
0.9 < Ma < 1.1, flujo transonico.
Ma > 5, flujo hipersonico. Entrada a la atmosfera.
268 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
12.3. Flujo compresible unidimensional esta-
cionario
Un flujo unidimensional es aquel en que la velocidad unicamente cambia
en una de las direcciones coordenadas. Es decir
~v = ~v(x; t) o ~v(x; t)
En este caso, por lo tanto, consideramos que el flujo es uniforme en la
direccion perpendicular al movimiento.
Consideremos un flujo a traves de un canal mostrado esquematicamente
en la figura:
ρV AρV A+d(ρV A)
dx
PA PA + d(PA)
τPdx
x
δQδW
(P+dP/2)dA
Considerando un volumen de control de tamano infinitesimal en x, pode-
mos realizar balances de masa, momentum y energıa.
Conservacion de Masa
Para la conservacion de masa tenemos, para el caso estacionario:∫
S
ρ~v · ~ndS = 0
12.3. FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIO 269
Entonces
−(ρV A) + (ρV A) + d(ρV A) = 0,
por lo tanto
d(ρV A) = 0 ⇒ m = constante
Conservacion de Momentum Lineal
Si consideramos un flujo estacionario y sin fuerzas volumetricas tenemos
para el volumen de control mostrado:∫
S
ρux ~vrel · ~ndS = Fx
El lado izquierdo de la ecuacion da:∫
S
ρux ~vrel · ~ndS = −[ρV 2A] + [ρV 2A+ d(ρV 2A)] = d(ρV 2A),
el cual, usando el resultado de la ecuacion de conservacion de masa, se puede
escribir como:
d(ρV 2A) = d(mV ) = mdV = ρV AdV.
Las fuerzas en x, Fx, son:
Fx = [PA]− [PA+ d(PA)] + [(P + dP/2)dA)]− [τPdx]
Simplificando y eliminado productos de diferenciales tenemos:
Fx = −d(PA) + PdA− τPdx = −AdP − τPdx.
El ultimo termino de la expresion anterior representa la perdidas por
friccion viscosa. Este se puede reescribir usando el factor de friccion para
flujo en tuberıas, f :
τPdx =
(ρV 2
2
)(4fA
Dh
)
dx
donde Dh es el diametro hidraulico, Dh = 4A/P .
270 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
Por lo tanto, la ecuacion de conservacion de momentum lineal resulta en:
dP + ρV dV +
(ρV 2
2
)(4f
Dh
)
dx = 0 (12.7)
Si el flujo es inviscido, sin friccion, la ecuacion anterior se simplifica a:
dP + ρV dV = 0
o ∫dP
ρ+V 2
2= constante (12.8)
la cual es, de hecho, la ecuacion de Bernoulli para un fluido compresible.
Si el fluido es incompresible, entonces recuperamos la ecuacion clasica de
Bernoulli:P
ρ+V 2
2= constante
Para la ecuacion de Bernoulli compresible, podemos considerar la ecua-
cion de gas ideal, P = ρRT para evaluar la primera integral:
RT lnP
Po+V 2
2= C
donde Po es una presion de referencia. Esta ecuacion es, entonces, la ecuacion
de Bernoulli para un flujo compresible isotermico.
Si consideramos en caso de un flujo isentropico, sabemos que P/ρk =
constante. Entonces, la integral∫dP/ρ se puede escribir como:
∫dP
ρ= C1/k
∫
P−1/kdP = C1/k
(k
k − 1
)(
Pk−1k − P
k−1k
o
)
pero la constante C esta dada por C = P/ρk = Po/ρko , entonces
(k
k − 1
)P
ρ+V 2
2= constante
y finalmente,
CpT +V 2
2= constante (12.9)
es la ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal.
12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL271
Conservacion de Energıa
La ecuacion de conservacion de energıa para un volumen de control es:
d
dt
∫
V
ρedV+
∫
S
ρ(h+ V 2/2 + gz) ~vrel · ~ndS = Q− W
Si el flujo es estacionario, la primera integral es cero. Despreciando los
efectos gravitacionales, el flujo de energıa neto a traves de las paredes del
volumen de control es:∫
S
ρ(h+V 2/2) ~vrel·~ndS = m[−[(h + V 2/2)] + [(h+ V 2/2) + d(h+ V 2/2)]
]= md(h+V 2/2)
Por lo tanto:
d(h+ V 2/2) = δq − δw.
Para un flujo adiabatico y sin trabajo (o sea isentropico):
h+V 2
2= constante
lo cual es consistente con la ecuacion obtenida a traves de la conservacion de
momentum lineal ya que h = CPT para un gas ideal.
12.4. Relaciones para flujo isentropico de un
gas ideal
La ecuacion de Bernoulli para el flujo isentropico de un gas ideal se puede
reescribir como:
CPT +V 2
2= constante
Considerando la definicion del numero de Mach, podemos reescribir esta
relacion como:
CPT +(kRT )Ma2
2= constante
y de la relacion:
R =k − 1
kCP
272 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
podemos escribir:
T
(
1 +k − 1
2Ma2
)
= constante
Considerando queP
ρk= constante
podemos escribir
P = (constante)Tk
k−1
y
ρ = (constante)T1
k−1
para dar:
P
(
1 +k − 1
2Ma2
) kk−1
= constante
y
ρ
(
1 +k − 1
2Ma2
) 1k−1
= constante.
12.4.1. Propiedades isentropicas de estancamiento
Es util tener propiedades de referencia en un flujo compresible. Estas se
pueden obtener de las relaciones anteriores suponiendo que toda la energıa
cinetica del flujo se transforma en energıa termica o de presion. Para esto
podemos hacer el balance entre dos puntos del flujo y suponemos que en uno
de los puntos la velocidad del flujo es cero:
Entonces:
T
(
1 +k − 1
2Ma2
)
= To
(
1 +k − 1
2(0)2
)
por lo tanto:
T
To=
(
1 +k − 1
2Ma2
)−1
12.4. RELACIONES PARA FLUJO ISENTROPICO DE UNGAS IDEAL273
y de manera analoga:
P
Po=
(
1 +k − 1
2Ma2
) k1−k
y
ρ
ρo=
(
1 +k − 1
2Ma2
) 11−k
12.4.2. Propiedades sonicas
De manera similar, podemos calcular otra condicion de referencia que co-
rresponda a punto del flujo en el cualMa = 1. Estas condiciones se identifican
con el superındice ‘*’.
Entonces,
T ∗
To=
(
1 +k − 1
2
)−1
y
P ∗
Po=
(
1 +k − 1
2
) k1−k
y
ρ∗
ρo=
(
1 +k − 1
2
) 11−k
Es interesante notar que las propiedades sonicas unicamente dependen
del tipo de gas (el valor de k). Entonces para aire (k = 1.4):
T ∗
To= 0.8333
yP ∗
Po= 0.5283
yρ∗
ρo= 0.6339
274 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
Ejemplo
Suponga que existe un flujo isentropico de aire de un punto 1 a un punto
2 en un ducto. Si en el punto 1:
Ma = 0.3
A=0.001 m2
P=650 kPa
T=62 oC
calcule las propiedades del flujo en el punto 2, considerando que Ma2 = 0.8.
Solucion. Si el flujo entre 1 y 2 ocurre de manera isentropica, las condi-
ciones de estancamiento son las mismas para ambos puntos:
(To)1 = (To)2 = T1(1 +k − 1
2Ma2).
Al sustituir valores, tenemos
(To)1 = (To)2 = 341K.
Una vez conocida la condicion de estancamiento, podemos inferir las pro-
piedades en el punto 2 (pues se conoce Ma2):
T2 =(To)2
1 + k−12Ma22
= 302K
Consecuentemente:
c2 =√
kRT2 = 348m/s
y
V2 =Ma2c2 = 278m/s
La presion P2 se puede calcular de la relacion isentropica:
P2 = P1
(T2T1
) kk−1
= P1(0.696) = 452kPa.
El area en 2 es
A2 = A1ρ1ρ2
V1V2
=
12.5. FLUJOS CON CAMBIO DE AREA 275
Comparasion con un flujo incompresible
Consideremos la ecuacion de Bernoulli incompresible
Po = P +ρV 2
2
Entonces,Po
P= 1− ρ
P
V 2
2= 1− V 2
2RTy considerando la definicion del numero de Mach podemos escribir
Po
P= 1− 1
2kMa2
De la seccion anterior tenemos que
Po
P=
(
1− k − 1
2Ma
) kk−1
MOSTRAR FIGURA.
12.5. Flujos con cambio de area
Una parte interesante del flujo compresible es el efecto del cambio de area
en las propiedades del flujo.
Consideremos la ecuacion de conservacion de momentum lineal (Eqn. xx)
obtenida anteriormente:dP
ρ+ V dV = 0
entoncesdP
ρV 2= −dV
V
De la ecuacion de conservacion de masa (Eqn. xxx), tenemos que
m = ρV A = textconstante.
Esta ecuacion se puede reescribir
ln ρ+ lnA+ lnV = ln(constante)
276 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
que al diferenciar da:dρ
ρ+dA
A+dV
V= 0
odA
A= −dρ
ρ− dV
V
Usando la ecuacion de conservacion de momentum lineal podemos rees-
cribir:dA
A=
dP
ρV 2− dρ
ρ
El ultimo termino del lado derecho se puede reexpresar como:
dρ
ρ=dP
ρc2.
Por lo tanto:dA
A=
dP
ρV 2
(1−Ma2
)
o en terminos de la velocidad
dA
A= −dV
V
(1−Ma2
)(12.10)
Con base en las expresiones anteriores podemos analizar el comporta-
miento del flujo para el caso subsonico y supersonico.
Para Ma < 1 tenemos que (1−Ma2) > 0 (positivo), entonces:
• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera posi-
tivo: la velocidad aumenta. Tambien dP sera negativo, la presion
decae.
• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera ne-
gativo: la velocidad disminuye. En este caso dP sera positivo: la
presion crece.
Para Ma > 1 tenemos que (1−Ma2) < 0 (negativo), entonces:
12.6. TOBERA CONVERGENTE-DIVERGENTE 277
• Si el conducto es convergente, dA negativo, entonces dV sera nega-
tivo: la velocidad disminuye. Tambien dP sera positivo, la presion
aumenta.
• Si el conducto es divergente, dA positivo, entonces dV sera posi-
tivo: la velocidad crece. En este caso dP sera negativo: la presion
decrece.
¿Que pasa si Ma=1? Para este caso
dA
dV= 0
Esto lo podemos interpretar como un mınimo en el area. En otras pala-
bras Ma = 1 unicamente se puede alcanzar en la garganta de un canal
convergente-divergente.
12.6. Tobera convergente-divergente
Consideremos la tobera mostradas en la figura.
V < c
V = cacceleracion acceleracion
V < c
Del lado izquierdo, el flujo entra a una velocidad subsonica. Al moverse a
traves de una tobera convergente el flujo se acelera. Al llegar a la garganta, el
flujo puede, o no, alcanzar la condicion sonica. Si no lo hace, la velocidad agua
abajo de la garganta vuelve a disminuir. Si si alcanza la velocidad sonica en
la garganta, entonces el flujo se hace supersonico y acelera aun mas al pasar
por una tobera divergente.
278 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
Podemos determinar si el area en la garganta es lo suficientemente pe-
quena para que se de la condicion sonica en ella. Para que Ma = 1 en la
garganta el area tiene que ser crıtica: A = A∗.
Entonces para m =constante, tenemos:
A∗
A=ρV
ρ∗c=
1
Ma
ρ
ρ∗
√
T ∗
T
la cual se puede manipular resultando en:
A∗
A=
1
Ma
[
1 + k−12Ma2
1 + k−12
] k+12(k−1)
12.7. Flujo ahogado
Consideremos ahora el flujo de un fluido compresible desde un contenedor
a presion, hacia el medio ambiente. El medio exterior se encuentra a una
presion PB y el tanque se encuentra a condiciones de estancamiento: Po, To
y ρo.
Condicion ambiental
PB
Condicion deestancamiento
Po
Toρo
Condicion degarganta
Podemos identificar varias condiciones de flujo:
Cuando Po = PB, no hay flujo porque no hay un gradiente de presion
que impulse al flujo. Conforme PB decrece (o Po crece), se genera una
12.7. FLUJO AHOGADO 279
onda de presion hacia adentro del tanque y el flujo comienza y se mueve
hacia afuera.
Si la razon PB/Po decrece podemos esperar que la velocidad del flujo en
la garganta, Vtr, crezca y por lo tanto que el gasto masico, m, tambien
crezca.
Dentro del tanque, y hacia la garganta, podemos esperar que el flujo se
subsonico pues la condicion de inicio es de estancamiento. Por tanto, la
presion en la garganta sera entonces Ptr = PB. Esto lo podemos explicar
de la siguiente manera: si Ptr > PB entonces el flujo se expandirıa
despues de la garganta y la velocidad del chorro se reducirıa, y por lo
tanto la presion crecerıa. Entonces la condicion de que la presion debe
de ser PB no se cumplirıa. Por lo tanto la suposicion es incorrecta.
Si PB/Po continua decreciendo, eventualmente la velocidad del flujo en
la garganta alcanzara la velocidad sonica (Vtr = V ∗ = c). Entonces la
presion en la garganta sera
Ptr
Po
=PB
Po
=P ∗
Po
=
(
1 +k − 1
2
) k1−k
y la velocidad en la garganta sera:
Vtr = V ∗ = c =√kRT ∗
Aunque PB/Po continue disminuyendo, la velocidad en la garganta no
podra incrementarse por encima de valor sonico. A esta condicion se le
denomina flujo ahogado.
El maximo flujo posible es entonces:
mA = ρ∗A∗V ∗
Las propiedades sonicas se calculan con las expresiones desarrolladas
anteriormente.
280 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
La siguiente figura muestra como es que cambia el gasto masico como funcion
de la razon Pb/Po.
FIGURA.
Una manera sencilla de comprobar si el flujo esta ahogado o no consiste
en verificar si la presion exterior es menor o no que la presion sonica. En
otras palabras si
Pb
Po≤ P ∗
Po=
(
1− k − 1
2
) k1−k
entonces el flujo esta ahogado (Ptr = Po).
Ejemplo:Se tiene un contenedor a 1 MPa y una temperatura de 333 K
con aire. Si se abre un agujero de 0.001 m2 determinar el gasto masico
de salida si la presion ambiental es 590 kPa. Determine si el flujo esta
ahogado o no. Repita el calculo para 500 kPa.
El primer paso es verificar si el flujo esta ahogado. Para ello calcula-
mosPB
Po
=5.9× 105
1.0× 106= 0.591 > 0.528.
Por lo tanto el flujo no esta ahogado.
Entonces Ptr = PB. Usando la relacion:
Ptr
Po
=
(
1 +k − 1
2Ma2tr
) k1−k
podemos despejar el Matr , lo que resulta en Matr = 0.9.
La temperatura en la garganta se obtiene de:
ToTtr
=
(
1 +k − 1
2Ma2
)
por lo que Ttr = 287 K.
12.8. OTROS TEMAS DE INTERES EN FLUJO COMPRESIBLE 281
El gas masico es m = ρtr(Matrctr)Atr por lo tanto
m =
(Ptr
RTtr
)
Matr√
kRTtrAtr = 2.20kg/s
Ahora, si PB = 500 kPa:
PB
Po
=5.0× 105
1.0× 106= 0.50 < 0.528,
que indica que el flujo esta ahogado.
Para este caso, mmax = ρ∗V ∗Atr. Entonces, usando
T ∗
To=
(
1 +k − 1
2
)−1
tenemos T ∗ = 277.5 K por lo que:
V ∗ = c =√kRT ∗ = 333.9m/s
y de
ρ∗
ρo=
(
1 +k − 1
2
) 11−k
encontramos que ρ∗ = 0.2ρo. Entonces,
m = 3.93kg/s
12.8. Otros temas de interes en flujo compre-
sible
Este capıtulo es solo una introduccion breve al tema general de dinamica
de gases y flujo compresible. Hay un gran cantidad de temas que no se han
cubierto en estas notas. Si se desea profundizar en estos temas o continuar con
otros se debe de consultar algun libro especializado. Consultar por ejemplo
Liepmann and Roshko [2002].
282 CAPITULO 12. FLUJO COMPRESIBLE
Apendice A
Repaso de algunos conceptos
utiles de calculo vectorial
A.0.1. Funciones Escalares y Vectoriales
Notacion:
1. Un conjunto de elementos x1, x2,..., xn se representa como: V={x1, x2, ..., xn}
2. El elemento x pertenece a V
x ∈ V, x ∈ V
Campo Escalar
Un campo escalar F es un conjunto no vacıo de elementos con dos leyes
de combinacion llamadas suma y multiplicacion que satisfacen las siguientes
condiciones.
Un campo escalar F es un conjunto no vacıo de elementos con dos leyes
de combinacion llamadas suma y multiplicacion que satisfacen las siguientes
condiciones:
1. Suma: A cada par de elementos a,b ∈ F le corresponde un solo ele-
mento a+b llamado suma de a y b. Dicha suma satisface las siguientes
283
284APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
propiedades:
a) Conmutatividad: a+b=b+a
b) Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c)
c) Existe ademas un elemento llamado 0 tal que a+0=a ∀ a ∈ F
Para cada elemento a existe un elemento -a tal que a+(-a)=a-a=0
2. Multiplicacion: A cada par de elementos a,b ∈ F les corresponde un
elemento unico llamado el producto denotado por ab o a·b
el cual cumple con las siguientes propiedades:
a) Conmutatividad: ab = ba
b) Asociatividad: (ab)c=a(bc)
c) Distributiva (con respecto a la suma): a(b+c)=ab+ac
d) Existe un elemento llamado 1 tal que a·1=a para cada elemento
a existe un elemento a−1 tal que a · a−1=1
Los elementos de F se llaman escalares.
Espacio o campo vectorial
Un espacio vectorial V es un conjunto de elementos {u,v,w...} llamados
vectores que satisfacen las siguientes reglas operacionales:
1. Suma: A cada par u,v ∈ V le corresponde un vector asociado u+v
llamado suma, el cual cumple con las siguientes propiedades:
a) conmutativa: u+v 6=v+u
b) asociativa: (u+v)+w=u+(v+w)
285
A V le corresponde un vector unico o, llamado el vector nulo tal que:
u+0=u
A cada elemento de u ∈ V le corresponde un vector -u tal que:
u+ (−u) = u− u = 0
2. Multiplicacion escalar: A cada u ∈ V y cada escalar α ∈ F le corres-
ponde un vector αu llamado el producto escalar, con las siguiente pro-
piedades:
a) conmutativa:
α(βu) = β(αu)
b) asociativa:
α(βu) = (αβ)u = β(αu)
c) distributiva:
α+ β)u = αu+ βu
α(u+ v) = αu+ αv
Existe un vector unitario 1 tal que asociado a un vector u ∈V
1u = u
y su negativo (-1)
-1u = −u
El producto del escalar 0 y un vector u es el vector nulo
0u = 0
286APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
A.0.2. Funciones
Consideremos dos conjuntos (espacios vectoriales) U y V. Una funcion (o
mapeo) f´ es una operacion o regla que asocia a cada elemento de x ∈ U un
elemento unico y ∈ V
U V
x y
f: U V
U es el dominio de f
V es el rango de f
Los elementos x pueden ser escalares, vectores, etc. Es decir x puede ser
un conjunto de n polos
x=(x1,x2,...,xn)
Si el mapeo de U a V cubre todo V se dice que es “sobre”, es decir para
cada elemento y ∈ V existe por lo menos un x ∈ U tal que y=f(x). De otra
manera el mapeo U a V es “dentro”.
A.0.3. Transformacion lineal
Es una funcion o mapeo entre dos espacios vectoriales U, V la cual asocia
a cada x ∈ U en elemento unico T(x) ∈ U tal que ∀ x1, x2 ∈ U y ∀ a,b ∈ F
tenemos
T(ax1+bx2)=aT(x1)+bT(x2)
T(x) es la imagen de x bajo T si x ∈ V entonces cada vector x ∈ U tal
que T(−x) = x se llama la imagen inversa de x.
287
Nota: Una transformacion lineal mapea el origen en U al origen en V.
En este curso U=V=R3
Transformacion identidad T (U) = U ⇒ I
Transformacion inversa TT−1=I
si ∀ T ∃ T−1 – T es no singular.
En una transformacion lineal si U≡U transformacion lineal sobre si mismo.
R3 → R3
Para toda T se puede representar por matrices T(R3)
Para cada T existiran 3 eigenvalores (valores principales) y 3 eigenvectores
(vectores principales)
T =
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
Una transformacion lineal puede interpretarse como un tensor
U V
x1 x2
x3
y1
y2
y3
T(x)=y
Lımites
Definicion:
lımx→ x0
F (x) = L
288APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
U V
X 0 L
lımx→ x0
F (x) = L
si dado
ǫ > 0∃δ > 0
tal que
0 <| x < x0 |< δ ⇒| f(x)− L |< ǫ
Propiedades:
lim(f1 + f2) = limf1 + f2
lim f1 · f2 = limf1 · limf2lim Kf1 = Klimf1
Continuidad
La funcion f es continua en x0 si:
1. f esta definido en x0
2. si lımx→x0 f existe
3. lımx→ x0f=f(x0)
289
Derivada
Definicion:∂f
∂x= lım
x→ x0
f(x0)− f(x)
x0 − x
= lımx→ x0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
Funciones de varias variables
1. Lımites
2. Continuidad
3. Derivada
Derivadas parciales
La derivada parcial de una funcion con respecto a una de sus variables
en el punto (x0, y0) es la derivada ordinaria de dicha funcion con respecto a
dicha variable cuando la otra variable se mantiene fija:
Sea u=f(x, y)
∂f
∂x
∣∣∣∣x=x0y=y0
∂f(x, y0)
∂x
∣∣∣∣x=x0
lımh→ h0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
290APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
∂f
∂y
∣∣∣∣x=x0y=y0
∂f(x, y0)
∂y
∣∣∣∣y=y0
lımh→ h0
f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)
h
Derivadas parciales sucesivas
Sea u=u(x,y,z) una funcion diferenciable∂u∂x,
∂u∂y ,
∂u∂z son sus derivadas
parciales (tambien funciones de x,y,z)
1.∂
∂x
(∂u
∂x
)
=∂2u
∂x2
2.∂
∂y
(∂u
∂x
)
=∂2u
∂y∂x
3.∂
∂z
(∂u
∂x
)
=∂2u
∂z∂x
Teorema de Schwarz
Si u=u(x,y) es tal que en la velocidad del punto (a,b)
1.∂u
∂x=∂u
∂y
2.∂2u
∂y∂x
291
es continua, entonces existe∂2u∂x∂y en (a,b) y ademas
∂2u(a,b)∂y∂x
Gradiente
El gradiente si f(x,y,z) es una funcion escalar de 3 variables, su gradiente
denotado como ∇f o grad f es el vector:
∇f =∂f
∂xi+
∂f
∂yj +
∂f
∂zk
El operador nabla ∇ se define como:
∇f =∂
∂xi+
∂
∂yj +
∂
∂zk
Notas: ∇ no es un vector, es un operador. Por ejemplo si φ es un campo
escalar:
φ∇ es un operador mientras que:
∇φ es una funcion vectorial llamada gradiente.
De igual manera si V es un campo vectorial V·∇ es un operador mientras
que ∇·V es una funcion escalar.
Multiplicando ∇ por la izquierda da operadores
Multiplicando ∇ por la derecha da funciones escalares o vectoriales.
Reglas algebraicas para gradientes:
1. ∇(Kf) = K∇f
2. ∇(f + g) = ∇f +∇g
3. ∇(f − g) = ∇f −∇g
292APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
4. ∇(fg) = f∇g + g∇f
Derivada Direccional
Sea f=f(x,y) y si u=(cosθ,senθ) es un vector unitario, entonces la derivada
direccional de f en la direccion u, denotada Duf(x,y) esta dada por:
Duf(x, y) = lımt→ 0
f(x+ tcosθ, y + tsenθ)− f(x, y)
t
las derivadas parciales son casos especiales de la derivada direccional si
θ = 0u =< 1, 0 >= i de la de definicion:
if(x, y) = lımt→ 0
f(x+ t, y)− f(x, y)
t=∂f(x, y)
∂x
Si θ = π2⇒ u =< 0, 1 >= j
Djf(x, y) = lımt→ 0
f(x, y + t)− f(x, y)
t= fy(x, y)
Teorema: si f es una funcion diferenciable de 2 variables y u=< cosθ, senθ >
entonces:
Duf(x, y) =∂f
∂xcosθ +
∂f
∂ysenθ
Duf(x, y) = ∇f · u
293
Nota: ∇f · u =| ∇f || u | cosϕ; donde ϕ es el angulo entre u y ∇fcomo u es unitario ∇f · u =| ∇f | cosϕPuesto que -1 < cosϕ < 1 el valor maximo de la derivada direccional ocurre
cuando cos ϕ =1 ⇒ =0 es decir cuando ∇ f y u tengan la misma direccion.
Entonces:
u =∇f
| ∇f |es la direccion en la cual f esta aumentado. De igual manera la direccion−∇f|∇f | en la cual f disminuye.
Ejercicio
Un estudiante de Ing. esta parado en un salon cuya distribucion de tem-
peratura es: T(x,y)=200-x2-2y2. Si el estudiante esta parado en (x,y)=(-1,2)
¿hacia donde debe correr para aliviarse del calor?
∇ = i∂
∂x+ j
∂
∂y
∇T = i(−2x) + j(−4y)
| ∇T |=√
(2x)2 + (4y)2
Para que f disminuya
−∇f| ∇f | =
2xi+ 4yj√
(2x)2 + (4y)2
en (x,y)=(-1,2) tenemos
−∇f∇f =
−2i+ 8j√4 + 64
Por lo tanto el estudiante tendra que correr en la direccion −i+ 4j.
294APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
A.0.4. Mas sobre funciones vectoriales
Una funcion vectorial ~f(t) asigna a cada escalar t en un intervalo o do-
minio, un vector ~f(t) llamado el vector de ~f en t. Ası:
~f(t) = [f1(t), f2(t), f3(t)] = f1(t)i+ f2(t)j + f3(t)k
Limite de una funcion vectorial. Sea ~f(t) una funcion vectorial definida
para todo t en la vecindad del punto t0, excepto posiblemente en el punto
mismo. Se dice que un vector ~a es el lımite de la funcion ~f(t) cuando t→ t0
si
lımt→t0
~f(t) = ~a
Si y solo si dado ǫ > 0∃ δ > 0 tal que | ~f(t)−~a |< ǫ cuando 0 <| t−t0 |< δ.
Continuidad
La funcion ~f(t) es continua en t = t0 si esta definida en un entorno a t0
y ademas
lımt→t0
~f(t) = ~f(t0)
Diferenciacion de vectores
La derivada de una funcion vectorial ~f(t) es:
~f ′(t) =d
dt= ~f(t) = lım
△t→ 0
~f(t+△t)− ~f(t)
△t
si
~f(t) = f1(t)i+ f2(t)j + f3(t)k
~f ′(t) = f ′1(t)i+ f ′
2(t)j + f ′3(t)k
295
Reglas de derivacion
d
dt(~u · ~v) = ~u
d~v
dt+ ~v
d~u
dt
Ejemplo: sea ~u = xi+ yj+ zk un vector posicion de una partıcula en R3,
por tanto:
d~u = dxi+ dyj + dzk
La velocidad de la partıcula sera:
~v =d~u
dt=dx
dti+
dy
dtj +
dz
dtk
y la aceleracion
~a =d2~u
dt2=d2x
dt2i+
d2y
dt2j +
d2z
dt2k
Ejemplos de campos vectoriales
Un campo vectorial A en Rn es un conjunto de elementos (vectores) que
cumplen con ciertas reglas de asociacion. Un mapeo o funcion F : AǫRn → Rn
asigna a cada elemento de x de A un vector F (x) Si n=3 F es un espacio
vectorial 3-D.
Ejemplo:
1. Campo de velocidades en una tuberıa. Si
v 6= v(t)
(estacionario)
v = v(x)
Flujo laminar totalmente desarrollado en una tuberıa circular.
v(r, θ, z) =−△P4µ
(a2 − v2)
No estacionario v = v(x, t).
296APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
2. Sea Temperatura una funcion escalar T(x,y,z). El flujo de calor es un
campo vectorial. J = −K∇T donde K condicion termica.
3. Campo Gravitacional. Describe la fuerza de atraccion de la tierra sobre
una masa m.
F =mMG
r3r
r(x, y, z) vector posicion r.
Divergencia
Dado un campo vectorial
f = f1i+ f2j + f3k
la divergencia de f es un campo escalar.
divf = ∇ · f =∂f1∂x
+∂f2∂y
+∂f3∂z
La divergencia tiene importantes interpretaciones fısicas si f = v repre-
senta el campo de velocidades de un fluido entonces div v representa la razon
de expansion por unidad de volumen del fluido.
1. ∇ · (v) < 0 el fluido se esta comprimiendo.
2. ∇ · (v) > 0 el fluido se esta expandiendo.
3. ∇ · (v) = 0 fluido incompresible.
Lıneas de flujo
Si f es un campo vectorial, la trayectoria c(t) es una lınea de flujo si
c′(t) = F (c(t)). Si F es el campo de velocidades c es tangente al vector
velocidad en cada punto.
297
u
c(t)
Rotacional de un campo vectorial
Sea ~f = f1i+ f2j + f3k
Su rotacional es un campo vectorial definido como:
rot~f = ∇× ~f =
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
f1 f2 f3
∇× ~f = (∂f3∂y
− ∂f2∂z
)i+ (∂f3∂x
− ∂f1∂z
)j + (∂f2∂x
− ∂f1∂y
)k
El rotacional nos da la razon de giro, si ~f = ~v entonces ∇× v = w que es
la vorticidad (fısicamente es la intensidad de circulacion).
Ejercicio:
1. ∇× (∇f)=0 rotacional de un gradiente
2. ∇ · (∇× f)=0 gradiente de un rotacional.
Divergencia de un gradiente (Laplaciano)
Sea f un campo escalar, el operador Laplaciano ∇2 se define como la
divergencia del gradiente de f:
∇ · (∇f) = ∇2f =∂2f
∂x2+∂2f
∂y2+∂2f
∂z2
298APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
Coordenadas curvilıneas
Todos estos conceptos son validos independientemente del sistema coor-
denado en uso:
1. Cilındricas.
2. Esfericas.
299
Algunas identidades vectoriales
Algunas identidades vectoriales; f, g: campos escalares, f , g: campos vec-
toriales
1. ∇(f + g) = ∇f +∇g
2. ∇(cf) = c∇f
3. ∇(fg) = f∇g + g∇f
4. ∇(f/g) = (g∇f + f∇g)/g2; para g(x) 6= 0
5. ∇ · (f + g) = ∇ · f +∇ · g
6. ∇× (f + g) = ∇× f +∇× g
7. ∇ · (f f) = f∇ · f + f · ∇f
8. ∇ · (∇× f) = 0
9. ∇ · (f × g) = g · (∇× f)− f · (∇× g)
10. ∇× (f f) = f∇× f +∇f × f
11. ∇× (∇f) = 0
12. ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2(∇f · ∇g)
13. ∇ · (∇f ×∇g) = 0
14. ∇ · (f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f
15. ∇× (f × g) = f(∇ · g)− g(∇ · f) + (g · ∇)f − (f · ∇)g
16. ∇2f = ∇(∇ · f)−∇× (∇× f)
17. ∇× (∇× f) = ∇(∇ · f)−∇2f
18. Si r es el vector correspondiente al punto P(x,y,z):
300APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
a) ∇ · r = 3
b) ∇× r = 0
c) f · ∇r = f
301
A.0.5. Integrales de lınea
Sea ~F un espacio vectorial y ~C una trayectoria diferenciable en [a,b]. La
integral de ~F sobre C es:
∫
C
~F · d~s =∫ b
a
~F ( ~C(t)) · ~C ′(t) dt
o bien si~F = f1i+ F2j + F3k
y~C(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k
en a 6 t 6 b. Entonces∫
C
~F · d~s =
∫
C
F1dx+ F2dy + F3dz
=
∫ b
a
(
F1dx
dt+ F2
dy
dt+ F3
dz
dt
)
dt
Integral de lınea en un campo conservativo
Si ~F = ∇f donde f(x,y,z) es una funcion real y ~C(t) es una trayectoria
de (x0, y0, z0) a (x1, y1, z1)
∫
C
F · ds =∫
C
∇f · ds = f(x1, x2, x3)− f(x0, y0, z0)
La integracion de lınea es independiente de la trayectoria. Si la trayectoria
es cerrada, entonces: ∫
C
F · ds = 0
302APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
A.0.6. Integrales de superficie
I.S. de una funcion escalar
Sea f(x,y,z) una funcion definida sobre S y ~r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
la parametrizacion de S. La integral de f sobre S.∫∫
S
f(x, y, z)ds =
∫∫
S
fds =
∫∫
R
f(r(u, v))∣∣∣
∣∣∣∂ru∂u
× ∂rv∂v
∣∣∣
∣∣∣ dudv
I.S. de una funcion vectorial
Sea ~F (x,y,z) una funcion vectorial definida sobre S.∫∫
S
~F · s =∫∫
D
~F (r(u, v)) ·(∂r
∂u× ∂r
∂v
)
dudv
∫∫
S
~F · ds =∫∫
S
~F · nds
Ejemplos:
Sea S una superficie y ~V el campo de velocidades de un fluido mo-
viendose en el espacio. Entonces∫∫
S
V · ds =∫∫
S
F · nds
representa el gasto la cantidad de fluido por unidad de tiempo que
atraviesa la superficie.
El campo vectorial
∇T =∂T
∂xi+
∂T
∂yj +
∂T
∂zk
representa el gradiente de temperaturas del campo escalar T. El calor
fluye de frıo a caliente segun el campo vectorial
J = −K∇T
303
∫∫
S
J · ds
es el flujo total de calor a traves de la superficie S. Sea T(x,y,z)=x2 +
y2+ z2 y sea S una esfera unitaria x2+y2+ z2 = 1 con su normal hacia
afuera. Encontrar el flujo de calor a traves de la esfera si K=1
J = −∇T
J = −2xi+ 2yj + 3zk
sobre S
n(x, y, z) = ix+ jy + kz
J · n = −2x2 − 2y2 − 2z2
en la superficie de la esfera r=1
J · n = −2(x2 + y2 + z2) = −2(1) = −2
∫∫
S
Q · ds =∫∫
S
Q · nds = −2
∫∫
S
ds = −2(4π) = −8π
El flujo va dirigido hacia el centro de la esfera.
A.0.7. Integrales de volumen
Dado de un elemento diferencial de volumen dv es un escalar, podemos
considerar: ∫∫∫
R
fdv o
∫∫∫
R
fdv
donde f y f son campos escalares y vectoriales. En coordenadas cartesianas
dv=dxdydz.
∫∫∫
R
fdv = i
∫∫∫
R
f1dv + j
∫∫∫
R
f2dv + k
∫∫∫
R
f3dv
304APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
Representacion integral de la divergencia y del rotacional
1. Divergencia de un campo vectorial
∇ · ~F = lım△v→ 0
1
△v
∮
S
~F · d~s
donde △ v es el volumen de la region R acotada o limitada por la
superficie cerrada S. El volumen △ v siempre contiene el punto en el
cual se va a evaluar la divergencia de F cuando △ v → 0.
Interpretacion fısica ∫∫
S
~F · d~s
es el flujo de ~F a traves de la superficie.
∮
S
~F · d~s
es el flujo total neto a traves de S, superficie cerrada.
Esto muestra que la divergencia de F en un punto P es el lımite del
flujo neto por unidad de volumen cuando S se encoge hacia el punto P.
2. Rotacional de un campo vectorial ~F
∇× ~F = ~nmax lım△s→ 0
1
△s
∮
C
~F · d~r
donde △S es una superficie limitada por la curva simple C y nmax es el
vector unitario asociado a △S tal que la orientacion del plano de △S
da un valor maximo de1
△S
∮
~F · d~s
o bien la componente de ∇× f en la direccion ~n es
~n · (∇× ~F ) = lım△S→ 0
1
△S
∮
~F · ds
305
Si D es una region en R2, ∂D es su frontera con orientacion positiva y
P y Q son funciones con primera derivada continua de x y y tal que~F = P i+Qj, entonces:
∫
C
F · ds =∫
∂D
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dxdy
Ejemplo: Sea ~F = yi− xj y C un circulo de radio r en direccion contra
las manecillas del reloj. Evalue:
∫
C
F · ds
Podemos considerar que P = y y Q = −x, entonces:
∂Q
∂x− ∂P
∂y= −1 − 1 = −2
Por lo tanto
∫
C
~F · d~s =∫∫
D
(−2)dxdy = −2
∫∫
D
dxdy = −2πv2
La integral de lınea de la componente tangencial de un campo vectorial sobre
alguna curva cerrada es igual a la integral de superficie de la componente
normal del rotacional de esa funcion integrada sobre cualquier superficie que
tenga a C como frontera.
A.0.8. Teorema de Divergencia
Tambien se conoce como teorema de Gauss.
Considere el esquema siguiente
306APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
S
V
x
y
z
Tenemos un volumen V que esta rodeado por la superficie S. Sea ~n el vec-
tor normal a cada elemento de S. Ademas consideremos la funcion vectorial~F dada por
~F (x, y, z) =M(x, y, z)i+N(x, y, z)j + P (x, y, z)k
donde M,N y P son funciones con primeras derivadas parciales continuas.
Podemos entonces comprobar que:
∫∫
S
~F · ~ndS =
∫∫∫
V
∇ · ~FdV
A.0.9. Teorema de Green
Consideremos la siguiente figura
307
R
C
Sea C una curva suave cerrada a tramos (puede representarse parametri-
camente). Esta curva es la frontera de una region R en el plano y la direccion
positiva sobre C es tal que r esta a la izquierda cuando uno recorre C.
Podemos comprobar que si M y N son funciones continuas con primeras
derivadas parciales continuas en una region D que contenga R entonces
∮
C
Mdx+Ndy =
∫∫
R
(∂N
∂x− ∂M
∂y
)
dA
Teorema de Stokes
El teorema anterior puede generalizarse para el caso de una curva C en
el espacio. Consideremos el siguiente esquema:
308APENDICE A. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS UTILES DE CALCULO VECTORIAL
S P
n
T C
C 1
R
y
x
z
S es la grafica z = f(x, y), donde f tiene primeras derivadas parciales
continuas. C1 es es la curva la proyeccion de C sobre el plano x − y, que
circunsribe a R. ~n es le vector normal a S; ~T es el vector unitario tangente a
C. Si ~F es una funcion vectorial con primeras derivadas parciales continuas
en una region que contenga a S, entonces:
∮
C
~F · ~Tds =∫∫
S
∇× ~F · ~ndS
Apendice B
Series de ejercicios
309
310 APENDICE B. SERIES DE EJERCICIOS
Tarea 1
Solucion. Tarea 1
Tarea 2
Solucion. Tarea 2
Apendice C
Ecuaciones de conservacion
Coordenadas cartesianas, 2-D, (x, y)
Velocidad ~u = (u, v)
Conservacion de masa:∇~u = 0,
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
Conservacion de momentum: D~uDt
= −∇P + µ∇2~u+ ρ~g
direccion x-x’
ρ
(∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
= −∂P∂x
+ µ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
+ ρgx
direccion y-y’
ρ
(∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)
= −∂P∂y
+ µ
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)
+ ρgy
Coordenadas cilındricas
Flujo axi-simetrico (∂/∂θ = 0 y uθ = 0), (r, z).
Velocidad ~u = (ur, uz)
311
312 APENDICE C. ECUACIONES DE CONSERVACION
Conservacion de masa:∇~u = 0,
1
r
∂ur∂r
+∂uz∂z
= 0
Conservacion de momentum: D~uDt
= −∇P + µ∇2~u+ ρ~g
direccion r-r’
ρ
(∂ur∂t
+ ur∂ur∂r
+ uz∂ur∂z
)
= −∂P∂r
+µ
(∂
∂r
(1
r
∂
∂r(rur)
)
+∂2ur∂z2
)
+ρgr
direccion z-z’
ρ
(∂uz∂t
+ ur∂uz∂r
+ uz∂uz∂z
)
= −∂P∂z
+µ
(1
r
∂
∂r
(
r∂uz∂r
)
+∂2uz∂z2
)
+ρgz
Apendice D
Ligas de interes
313
314 APENDICE D. LIGAS DE INTERES
Bibliografıa
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