Apuntes de probabilidad y estadística
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APUNTES
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ESIME ZACANTENCO
Francisco Muñoz Apreza, Juan Alfaro Yllescas, Genoveva Barrera Godínez, Rosa María Estrella Montoya.
MODULO I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y MUESTREO
Esta Modulo I está diseñado para que el alumno comprenda los fundamentos y aplicaciones de la Estadística descriptiva. Se abordarán los temas en dos vertientes; la primera a partir de los fundamentos teóricos y aplicaciones y la segunda mediante un Muestreo por encuestas.
TEMARIO
1.- Características del muestreoLevantamiento de la encuesta Uso del SPSS 17 para la elaboración de las tablas de frecuencia
2.- Tabla de Frecuencia
2.1 Teoría Elemental2.2 Frecuencias Acumuladas2.3 Frecuencias Relativas2.4 Ejemplos2.5 Ejercicios
3.- Representación gráfica de las Tablas de Frecuencias
3.1 Teoría Elemental3.2 Gráficas e Histogramas3.3 Ejemplo3.4 Ejercicio
4.- Medidas de Tendencia Central
4.1 Teoría Elemental4.2 Moda4.3 Media4.4 Mediana4.5 Media geométrica4.6 Ejemplo4.7 Ejercicios
5.- Medidas de Tendencia Central con Datos Agrupados
5.1 Teoría Elemental5.2 Ejemplo5.3 Ejercicios
6.- Medidas de Dispersión
6.1 Teoría Elemental6.2 Cuartiles6.3 Porcentiles6.4 Varianza6.5 Desviación Estándar6.6 Ejemplo6.7 Ejercicios
2.- Tablas de Frecuencia
2
Teoría Elemental
Definición de tabla de Frecuencia: Una tabla de frecuencia es el conjunto de datos organizados con base en la información contenida en una muestra.
Definición de frecuencia relativa:La frecuencia Relativa fi/n : es una frecuencia particular entre el número total de observaciones.
Definición de escala ordinal.Una escala Ordinal: es aquella escala representada por valores numéricos
Ejemplo:
{1, 2. 3.....}; < 1, 5, >,.
Definición de escala nominal
Una escala Nomina: es aquella escala representada por valores no numéricos
Ejemplo< masculino, femenino >.
Determinación del tamaño del intervalo: La fijación de este tamaño dependerá de las necesidades del investigador, puede ser todos del mismo tamaño o de tamaños desiguales.
Determinación del número de intervalos de clase:
A medida que el número de intervalos de clase disminuye, la información es menos precisa pero su tratamiento analítico es mayor. El número de intervalos se sugiere que sea entre 5 y 15 dependiendo de las necesidades de investigador.
Definición Límite superior e inferior: son los existentes en un intervalo de clase
< límite inferior, límite superior >.
Frecuencia acumulada:
Para elaborar este tipo de tabla se van sumando las frecuencias de cada una de los intervalos de clase. Su utilidad consiste en que podemos conocer el comportamiento del proceso estadístico de los intervalos de clase con respecto a la primera variable..
En los intervalos de clase, por ejemplo ( 13 a 15 ) del cuadro del ejemplo que se desarrolla, el 13 representa el límite inferior y el 15 el límite superior.
En el cuadro del siguiente ejemplo el investigador organizó su información en 7 intervalos de clase sacrificando precisión en la información pero ganó claridad analítica en ella.
Ejemplo
3
Tamaño de la muestra 812Edad a que entró a Trabajar
Edad Frecuencia 9 – 12 7213 - 15 15316 – 17 19018 – 20 31321 – 25 4526 en adelante 9No contestó 30Total 812
Al analizar el cuadro 4, observamos que los datos están agrupados por intervalos de clase ordinal, de conformidad con la necesidad que el investigador tiene de conocer parámetros que le permitan inferir acerca del trabajo infantil ( 9 a 12 ), la pubertad (13 a 15 ) y la adolescencia (18 a 20 ) y la juventud <21 a 25 > teniendo un intervalo mixto <26 en adelante> y uno nominal <no contestó>.
Tabla de frecuencia acumulada
Al elaborar una tabla de frecuencia acumulada del cuadro 4 se van sumando las frecuencias de cada uno de los intervalos. Ahí la utilidad para el investigador consiste en que puede conocer en cada uno de los intervalos el comportamiento total. Detecta en particular que 225 trabajadores se iniciaron en el trabajo asalariado entre los 9 y 15 años de edad.
Tamaño de la muestra 782Inicia labor de asalariado
Clase Frecuencia Acumulada9 – 12 729 - 15 2259 – 17 4159 – 20 7289 – 25 7739 ó 26 en adelante 782No contestóTotal 782
Tablas de frecuencia relativa
La utilidad para el investigador de representar sus datos mediante una tabla de frecuencias relativas, consiste en que ésta da claridad sobre el comportamiento de cada intervalo de clase respecto al total.
De tal forma si se desea conocer el peso que tiene en la rama del vidrio en los trabajadores que iniciaron una actividad remunerada en la época de la adolescencia vemos que representa el 38.54 %.
Tamaño de la muestra 812Inicio en labores asalariadas
4
Clase Frecuencia 9 – 12 8.813 – 15 18.8416 – 17 23.3918 – 20 38.5421 – 25 5.5426 en adelante 1.1No contestó 3.7T o t a l 100.00
Cuadro 1
CUADRO 2Tamaño de la Muestra 812
Sexo FrecuenciaMasculino 712Femenino 67No Contestó 33Total 812
CUADRO 3Tamaño de la Muestra 812
Estado Civil FrecuenciaSoltero 206Casado 544Viudo 13Divorciado 15Unión Libre 28No Contestó 6Total 812
Ejercicios del Tema I
1.- ¿Qué utilidad tendría utilizar la frecuencia acumulada en los cuadros 1, 2 y 3 ?.
5
Tamaño de la muestra 812Edad
Edad Frecuencia 0 – 17 1218 – 20 6021 – 25 14326 – 30 17131 - 35 14836 – 40 13741 – 45 6146 - 50 5251 - 55 2155 o más 5No contestó 2Total 812
2.- ¿Qué utilidad tendría utilizar la frecuencia relativa en los cuadros 1, 2 y 3 ?.
3.- ¿Qué ventajas tiene el utilizar frecuencias de amplitud total en los cuadros 1, 2 y 3.
4.- ¿Tiene sentido la frecuencia de amplitud total en los cuadros 1, 2 y 3?. ¿En cuáles no tiene sentido plantear intervalos de clase?.
TEMA II
El visualizar el comportamiento de los datos de las tablas de frecuencia mediante diagramas de barras, gráficas de líneas, diagramas circulares, polígonos de frecuencia rinden beneficios analíticos al investigador
GRÁFICATipo I
GRÁFICATipo 2
GRÁFICATipo 3
El utilizar una u otra representación visual va a ser importante en la medida que describa a la información con mayor claridad y facilite la interpretación.
6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.210.03
0.47
GráficaBJ 13. Niveles de violencia en la delegación política Benito Juá-
rez
Alto nivel de pobreza
Fuente: TADET, muestra: 34, año: 2010
Se debe tener cuidado con la escala con las cuales elaboren las gráficas; si se usa una escala errónea el gráfico arrojará una falsa idea en su comportamiento.
Ejemplo (Tema II)
Cuadro 5Salario Semanal
Clase FrecuenciaHasta 125 31125 – 250 194251 – 375 224376 – 500 123510 ó más 240No contestó 0Total 812
La presentación de los intervalos de clase en el salario semanal esta dada en combinación ordinal y nominal < hasta 125 >, < 501 ó más >.
En el polígono de frecuencia podemos deducir que la mayor concentración de los trabajadores se localiza en los niveles salariales de 4 salarios mínimos ó más.
Además de peso de los trabajadores que perciben hasta un salarios mínimo prácticamente inexistente.
Cuadro 6
AntigüedadAños Frecuencia 0 – 1 143 2 – 5 290 6 – 10 183 11 – 15 86 16 – 20 56 21 – 25 35 26 – 29 12300 ó más 7Total 812
Ejercicios (Tema II)
1.- Elabore la gráfica del cuadro 6.
2.- ¿Qué tipo de escalas se utilizan en el cuadro 6?.
3.- ¿Qué ventajas le ve usted a elaborar una tabla de frecuencias acumuladas en el cuadro 6?.
4.- ¿Qué análisis se desprende de la gráfica del cuadro 6?.
Medidas de tendencia central
7
Las medidas de ubicación proporcionan información sobre el lugar hacia donde existe la tendencia central dentro de un grupo de números. Las medidas de ubicación presentadas en esta unidad para datos no agrupados son la media, la mediana, y la moda.
Media: La media aritmética (o el promedio, media simple) es calculada sumando todos los números de un conjunto de números (xi) y después dividiéndolos por el número de observaciones (n) del conjunto.
Media = = Xi /n,
La media utiliza todas las observaciones, y cada observación afecta la media. Aunque la media es sensible a los valores extremos; es decir, los datos extremadamente grandes o pequeños pueden causar que la media se ubique o más cerca de uno de los datos extremos; A pesar de esto, la media sigue siendo la medida lo más usada para medir la localización. Esto se debe a que la media posee valiosas propiedades matemáticas que la hacen conveniente para el uso en el análisis estadístico de inferencia o deductivo.
Media Ponderada: en algunos casos, los datos de una muestra o población no deberían ser ponderados de la misma manera, es preferible ponderarlos de acuerdo a su importancia.
Mediana: La mediana es el valor medio de una grupo ordenado de observaciones. Si existe un número par de observaciones correspondientes al grupo podrían haber dos medianas
La mediana es normalmente utilizada para resumir los resultados de una distribución. Si la distribución es sesgada , la mediana es un buen indicador de medida para saber donde los datos observados se encuentran concentrados.
Generalmente, la mediana proporciona una mejor medida que la media cuando las observaciones son extremadamente grandes o pequeñas La media tiene dos ventajas distintas sobre la mediana. Es más estable, y uno puede calcular la media basada de dos muestras combinando las dos medios de las mismas.
Moda: La moda es el valor lo más con frecuencia posible que ocurre de un sistema de observaciones. Los datos pueden tener dos modas. En este caso, decimos que los datos son bimodales, y los grupos de observaciones con más de dos modos están referidos como multimodales. Observe que la moda no es una medida útil de ubicación, porque puede haber más de una moda o quizás ninguna.
Características de la Moda, Mediana y Media Hechos Moda Mediana Media
1
Es el valor mas frecuente en la distribución. Es el punto de más alta densidad.
Es el valor del punto medio de la selección (no del rango), tal que la mitad de los datos están por arriba y por debajo de ella.
Es el valor en algún agregado, el cual se obtendría si todos los valores fueran iguales.
2
Su valor es establecido por la frecuencia predominante, no por los valores en la distribución.
El valor de la media es fijado por su posición en la selección, y no refleja valores individuales.
La suma de las desviaciones en cualquier lado de la media son iguales; por lo tanto la suma algebraica de sus desviaciones es cero.
3Este es el valor mas probable, por lo tanto el mas común.
La distancia agregada entre la mediana y cualquier otro punto de la muestra es menor que en cualquier otro punto.
Esta refleja la magnitud de cada valor.
8
4
Una distribución puede tener mas de 2 modas, pero no existe moda en una distribución rectangular.
Cada selección tiene solo una mediana.
Una muestra tiene solo una media.
5
No puede ser manipulada algebraicamente. Modas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.
No puede ser manipulada algebraicamente. Medianas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.
Pueden ser manipuladas algebraicamente. Medias de subgrupos pueden ser combinadas cuando son ponderadas apropiadamente.
6Es inestable, puede ser influenciada en el proceso de agrupación.
Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación.
Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación.
7La moda no refleja el grado de modalidad.
No es aplicable para datos cualitativos.
Podría ser calcula igualmente cuando los valores individuales son desconocidos, si se posee la suma de los valores y el tamaño de la muestra.
8
Puede ser calculada cuando los extremos de los valores de los grupos son abiertos.
Puede ser calculado cuando los valores extremos son abiertos.
No puede ser calculado de una tabla de frecuencia cuando sus valores extremos son abiertos.
9Valores deben ser ordenados para su cálculo.
Valores deben ser ordenados y agrupados para su cálculo.
Los valores no necesitan ser ordenados para su cálculo.
La Media Geométrica: La media geométrica (G) de n valores no negativos es la enésima raíz del producto de los n valores.
Si algunos valores son muy grandes en magnitud y otros muy pequeños, la media geométrica proporciona una mejor representación de los datos que un simple promedio.
La Media Armónica:
H = n/[ (1/x(i)].
La media armónica es útil para calcular promedios de variables expresadas en proporciones de unidades por tiempo.
Histogramas: Analizando la Homogeneidad de la Población
Un histograma es una representación gráfica de una estimación para la densidad (para variables aleatorias continuas) o la función de probabilidad total (para variables aleatorias discretas) de la población.
Las características geométricas del histograma nos permiten descubrir información útil sobre los datos, por ejemplo:
1. La localización del “centro” de los datos. 2. El grado de dispersión. 3. La sección a la cual se sesga, es decir, cuando no cae simétricamente en
ambos lados del pico.
9
4. El grado de agudeza del pico. Cómo se levanta y baja la pendiente.
Las medidas de variación más comunes son: varianza, desviación estándar, y el coeficiente de variación.
Cuartiles: Cuando requerimos sean divididos en cuartos, Q1... Q4, conocidos como cuartiles. El primer cuartíl (Q1) es el valor donde están 25% de los valores mas pequeños y en el otro 75% los más grandes. El segundo cuartíl (Q2) es el valor donde están 50% de los valores mas pequeños y en el otro 50% los más grandes. En el tercer cuartíl (Q3) es el valor donde están 75% de los valores mas pequeños y en el otro 25% los más grandes.
Porcentajes: Los porcentajes tienen la ventaja que pueden ser subdivididos en 100 porciones. Los porcentajes y los cuartiles son más convenientes de leer cuando son tomados de una función de distribución acumulativa.
Varianza: Es una importante medida de variabilidad. La varianza es el promedio de las desviaciones estándar elevadas al cuadrado de cada una de las observaciones con respecto a la media.
Var(x) = (xi - ) 2 / (n - 1), de donde n por lo menos es igual a 2.
La varianza es una medida de dispersión entre valores de los datos. Por lo tanto, mientras más grande sea la varianza, menor será la calidad de los datos.
Desviación Estándar:
Ambas, la varianza y la desviación estándar proporcionan la misma información; una siempre puede ser obtenida de la otra . Es decir, el proceso de cálculo de la desviación estándar siempre implica el cálculo de la varianza. Puesto que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, esta siempre es expresada en las mismas unidades que el conjunto de datos:
Desviación estándar= = (Varianza) ½
Coeficiente de Variación: El coeficiente de variación (CV) es la desviación relativa absoluta con respecto al tamaño , siempre que sea cero, expresado en porcentaje:
CV =100 |S/ | %
El CV es independiente de las unidades de medida. En la estimación de un parámetro, cuando su CV es menos del 10%, la estimación se asume aceptable. En el caso contrario, digamos, 1/CV se llama el Cociente de señal de ruido.
El coeficiente de variación se utiliza para representar la relación de la desviación estándar hacia la media, diciendo cuan representativa es la media de los números de los cuales fue calculada. Esta expresa la desviación estándar como porcentaje de la media; es decir, refleja la variación de una distribución con respecto a la media. Sin embargo, los intervalos de la confianza para el coeficiente de variación generalmente no son expresados. Una de las razones es que el cálculo exacto del intervalo de confianza para el coeficiente de variación es tedioso de obtener.
Observe que, para un conjunto de datos agrupados o sesgados, el coeficiente de variación cuartíl es:
VQ = 100(Q3 - Q1)/(Q3 + Q1)% es mas útil que el CV.
10
Cociente de Variación para Datos Cualitativos: Puesto que la moda es la medida mas usada para la tendencia central de variables cualitativas, la variabilidad es medida con respecto a la moda. El estadístico que describe la variabilidad de datos cuantitativos es el cociente de variación (VR):
VR = 1 - fm/n,
de donde fm es la frecuencia de la moda, y n es el número total de cálculos en la distribución.
Cálculo de Estadísticos Descriptivos para Datos Agrupados: Una de las maneras más comunes de describir una sola variable es con una distribución de frecuencia. Un histograma es una representación gráfica de una estimación para la distribución de frecuencia de la población. Dependiendo de las variables particulares, todos los valores de los datos podrían ser representados, o se podrían agrupar los valores primero por categorías . Generalmente, no sería sensible determinar las frecuencias para cada valor. Preferiblemente, los valores deberían ser agrupados en rangos, y luego determinar la frecuencia. Las distribuciones de frecuencia se pueden representar de dos maneras: como tablas o como gráficos, los cuales a menudo se refieren a histogramas o gráfico de barras. Los gráficos de barras son normalmente utilizados para mostrar la relación entre dos variables categóricas.
Los datos agrupados son derivados de informaciones ordinarias, y consisten en frecuencias (cálculo de valores ordinarios) tabulados con las clases en las cuales ocurren. Los límites de las clases representan los valores más pequeños (inferiores) y más grandes (superior) que la clase contendrá. Las fórmulas para los estadísticos descriptivos son mucho más simples para los datos agrupados, así como se muestra en las siguientes formulas para la media, varianza, y la desviación estándar, respectivamente, de donde f representa la frecuencia de cada clase, y n es la frecuencia total:
Seleccionando entre Desviación Cuartíl, Media de Desviación Absoluta y Desviación Estándar
Una guía general para seleccionar el estadístico adecuado para describir la dispersión de la población, incluye la consideración de los siguientes factores:
1. El concepto de dispersión que el problema requiere. ¿Es un simple par de valores adecuado, tal como los dos extremos o los dos cuartiles (rango o Q)?
2. El tipo de datos disponibles. Si son pocos en números, o contiene valores extremos, evite la desviación estándar. Si se encuentran sesgados, evite la media de desviación absoluta. Si existen brechas entre los cuartiles, la desviación cuartíl se debería evitar.
3. La peculiaridad de la dispersión que los mide. Estos son resumidos en el cuadro de “las Características Principales de la Desviación Cuartíl, la Media de Desviación Absoluta y la Desviación Estándar”, que se muestra a continuación.
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Características Principales de la Desviación Cuartíl, la Media de Desviación Absoluta y la Desviación Estándar
Hechos La Desviación CuartílLa Media de Desviación
AbsolutaLa Desviación
Estándar
1
La desviación cuartíl es fácil de calcular y entender. Sin embargo, esta es inconsistente si existen brechas entre los datos alrededor de los cuartiles.
La Media de Desviación Absoluta tiene la ventaja de dar igual peso a la desviación de cada valor con respecto a la media o la mediana.
La Desviación Estándar es normalmente mas útil y mejor adaptable a análisis mas profundos que lo que es La Media de Desviación Absoluta.
2
Solo depende de dos valores, los cuales incluyen la mitad central de los mismos.
Es una medida de dispersión más sensitiva que cualquiera de las descritas anteriormente, y normalmente tiene errores de muestreo más pequeños.
Es más adaptable como estimador de la dispersión de la población que cualquier otra medición, haciendo que la distribución sea normal.
3
Es normalmente superior al rango como una medida cruda de dispersión.
Es más fácil de calcular y entender, además es menos sensible que la desviación estándar a valores extremos.
Es la más amplia medida de dispersión usada, y la más fácil de manejar algebraicamente.
4
Esta podría ser determinada en una distribución abierta en los extremos, o en una en la cual los datos pueden ser seleccionados pero no medidos cuantitativamente.
Desafortunadamente, es muy difícil de manejar algebraicamente, dado que el signo negativo debe ser ignorado cuando se calcula.
En comparación con los demás, esta es mas difícil de calcular y de entender.
5
Es muy útil en distribuciones muy sesgadas, o en aquellas en las cuales otras medidas de dispersión serian deformadas por valores extremos.
Su aplicación principal es la precisa elección de modelos en técnicas de predicciones comparativas.
Es normalmente afectada por valores extremos, los cuales podrían ocasionar el sesgamiento de los datos.
Muestreo
Al tomar una cantidad de elementos de una población para poder contar con criterios de decisión, estamos tomando una muestra de ella.
Del tamaño de la población (N) se pueden extraer varias muestras. Un cierto estadístico puede ser calculado para cada una de las muestras posibles extraídas de la población. Una distribución del estadístico obtenida de esta manera es llamada la distribución del estadístico.
12
En estadística un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a partir de una población.
Terminología para el muestreo
Los términos usados en inferencia estadística son:
Estadístico: medida usada para describir alguna característica de una muestra (media aritmética, mediana. desviación estándar)
Parámetro: representación del estadístico.
Los símbolos usados para representar los estadísticos y los parámetros, en éste y los siguientes capítulos, son resumidos en la tabla siguiente:
Tabla 1
Medida Símbolo para el estadístico Símbolo para el parámetroMedia X µ
Desviación estándar S sNúmero de elementos N N
Proporción P P
Al elegir una muestra, se espera que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, obteniendo resultados parecidos que si se realizase un estudio de toda la población.
Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio fiable (que represente a la población), debe cumplir ciertos requisitos, lo que lo convertiría en una muestra representativa.
En el muestreo, si el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la población, se puede extraer dos o más muestras de la misma población. Al conjunto de muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su probabilidad de extracción, sigue la llamada distribución muestral
Error Estándar: La desviación estándar de una distribución, en el muestreo de un estadístico, es frecuentemente llamada el error estándar del estadístico.
Error muestral o error de muestreo: La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra (un estadístico) y el resultado el cual deberíamos haber obtenido de la población (el parámetro correspondiente) se llama el error muestral o error de muestreo. Un error de muestreo usualmente ocurre cuando no se lleva a cabo la encuesta completa de la población, sino que se toma una muestra para estimar las características de la población.
El error muestral es medido por el error estadístico, en términos de probabilidad, bajo la curva normal. El resultado de la media indica la precisión de la estimación de la población basada en el estudio de la muestra. Mientras más pequeño el error muestras, mayor es la precisión de la estimación. Deberá hacerse notar que los errores cometidos en una encuesta por muestreo, tales como respuestas inconsistentes, incompletas o no determinadas, no son considerados como errores muéstrales. Los errores no muéstrales pueden también ocurrir en una encuesta completa de la población.
Métodos de selección de muestras.
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Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las características de la población. Los métodos para seleccionar una muestra representativa van a depender del objeto de estudio.
Muestreo simple: Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una población dada para el propósito de inferencia estadística. Puesto que solamente una muestra es tomada, el tamaño de muestra debe ser lo suficientemente grandes para extraer una conclusión. Una muestra grande muchas veces cuesta demasiado dinero y tiempo.
Muestreo doble: Bajo este tipo de muestreo, cuando el resultado del estudio de la primera muestra no es decisivo, una segunda muestra es extraída de la misma población. Las dos muestras son combinadas para analizar los resultados. Este método permite a una persona principiar con una muestra relativamente pequeña para ahorrar costos y tiempo. Si la primera muestra arroja una resultado definitivo, la segunda muestra puede no necesitarse.
Muestreo múltiple: El procedimiento bajo este método es similar al expuesto en el muestreo doble, excepto que el número de muestras sucesivas requerido para llegar a una decisión es más de dos muestras.
Los elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras diferentes:a. Basados en el juicio de una persona.b. Selección aleatoria (al azar)
Muestreo Aleatorio: Una muestra se dice que es extraída al azar cuando la manera de selección es tal, que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado.
A. Muestreo aleatorio simple. Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población. Para obtener una muestra aleatoria simple, cada elemento en la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado, el plan de muestreo puede no conducir a una muestra aleatoria simple. Por conveniencia, este método pude ser reemplazado por una tabla de números aleatorios. Cuando una población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son sistemático, estratificado y de conglomerados.
B. Muestreo sistemático. Una muestra sistemática es obtenida cuando los elementos son seleccionados en una manera ordenada. La manera de la selección depende del número de elementos incluidos en la población y el tamaño de la muestra. El número de elementos en la población es, primero, dividido por el número deseado en la muestra. El cociente indicará si cada décimo, cada onceavo, o cada centésimo elemento en la población va a ser seleccionado.El primer elemento de la muestra es seleccionado al azar. Por lo tanto, una muestra sistemática puede dar la misma precisión de estimación acerca de la población, que una muestra aleatoria simple cuando los elementos en la población están ordenados al azar.
C. Muestreo Estratificado. Para obtener una muestra aleatoria estratificada, primero se divide la población en grupos, llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un todo. Los elementos de la muestra son entonces seleccionados al azar o por un método sistemático de cada estrato. Las estimaciones de la población, basadas en la muestra estratificada, usualmente tienen mayor precisión (o menor error muestral) que si la población entera muestreada mediante muestreo aleatorio simple. El número de elementos seleccionado de cada estrato puede ser proporcional o no proporcional al tamaño del estrato en relación con la población.
D. Muestreo de conglomerados. Para obtener una muestra de conglomerados, primero dividir la población en grupos que son convenientes para el muestreo. En seguida, seleccionar una
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porción de los grupos al azar o por un método sistemático. Finalmente, tomar todos los elementos o parte de ellos al azar o por un método sistemático de los grupos seleccionados para obtener una muestra. Bajo este método, aunque no todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto la muestra es aleatoria.
Una muestra de conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral (por lo tanto, da menor precisión de las estimaciones acerca de la población) que una muestra aleatoria simple del mismo tamaño. Los elementos individuales dentro de cada "conglomerado" tienden usualmente a ser iguales. Por ejemplo la gente rica puede vivir en el mismo barrio, mientras que la gente pobre puede vivir en otra área. No todas las áreas son muestreadas en un muestreo de áreas. La variación entre los elementos obtenidos de las áreas seleccionadas es, por lo tanto, frecuentemente mayor que la obtenida si la población entera es muestreada mediante muestreo aleatorio simple. Esta debilidad puede reducida cuando se incrementa el tamaño de la muestra de área.
El incremento del tamaño de la muestra puede fácilmente ser hecho en muestra de área. Los entrevistadores no tienen que caminar demasiado lejos en una pequeña área para entrevistar más familias. Por lo tanto, una muestra grande de área puede ser obtenida dentro de un corto período de tiempo y a bajo costo.
Por otra parte, una muestra de conglomerados puede producir la misma precisión en la estimación que una muestra aleatoria simple, si la variación de los elementos individuales dentro de cada conglomerado es tan grande como la de la población.
Modulo II PROBABILIDAD CÁSICA
Teoría de conjuntos:
15
Un poco de historia El matemático alemán Georg Cantor en el siglo XIX formalizó por primera vez la teoría de conjuntos. El concepto de conjunto es fundamental en el análisis matemático toda vez que nos permite encontrar relaciones, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas.En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.Definición de Conjunto“Un conjunto es una agrupación de elementos bien definidos”
Ejemplo de conjuntos:
S1 = {2, 4}; S2 = {2, 4, 6, …, 2n, …} = {todos los enteros pares};
Notaciones de conjuntos
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas.Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculasA = { 1,3,5,7,9,11 }Separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves {}. Esta es llamada forma tabular de un conjunto.Pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.Ejemplo: Sea B el conjunto de todos los numero pares, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribeB={x/xa los números pares }lo que se lee “B es el conjunto de los números x tales que x es par” se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical se lee “ Tales Que” .si un objeto x es el elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos, se escribe.x Aque se puede leer también “x pertenece a A” ó “x esta en A”. Si por el contrario un objeto x no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribex AEs costumbre que en los escritos matemáticos poner una línea vertical o una oblicua “/” tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado de símbolos.Decimos que el elemento P pertenece al conjunto S si P está contenido en el conjunto S.Decimos que el conjunto A está contenido en el conjunto S si todos los elementos del conjunto A son elementos
del conjunto S.Igualdad o identidad de conjuntos
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismo elementos, es decir, si cada elemento en A
pertenece también a B, y si cada elemento en a B pertenece a A. Se denota la igualdad de los conjuntos
A = B.
Decimos que la identidad de dos conjuntos A Y B se da, cuando A está contenido en B y B está
contenido en A.
Ejemplo
Sean. A={1,2,3,4 } y B={3,1,4,2 }, entonces A=B, porque los elementos 1,2,3,4 de A pertenece a B y cada
uno de los elementos 3,1,4 y 2 de B pertenece a A.
Debemos de observar que en un conjunto el orden de aparición de sus elementos no cambia su contenido.UNIÓNLa unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A U B = { x / x en A ό x en B }
16
el cual se lee “A unión B”.
Intersección
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos comunes en A Y B, esto es, aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por:A ∩ B = { x / x Є A y x Є B }Que se lee “A intersección B”
El complemento de un conjunto, es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es decir la diferencia del conjunto universal U y del A. Se denota el complemento de A por:A' = { x / x A }
17
DiferenciaLa diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B.Se denota la diferencia de A y B por:A ─ B = { x / x Є A y x B }Que se lee “A diferencia B” o simplemente “A menos B”
Definición de conjunto vacío
El conjunto vacío es un conjunto sin elementos.Φ = { }
Conjunto Universal
El Conjunto Universal es el conjunto que tiene todos los elementos. U = { Todos los elementos que están contenidos en el diagrama de Venn }
Es importante señalar que el conjunto universal se debe definir en primer lugar y todos los demás conjuntos deberán estar contenidos en él.
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Por Ejemplo Si definimos que el Conjunto Universal está definido por los diez número dígitos entonces U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Ejemplo
Si el Conjunto Universal está definido por los números dígitos entonces
U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Ejemplo: Sea U={ x / 0< x < 2} A={x /1/2 < x < 1 }B={x / ¼< x < 3/2 }C= {x / 1/3 < x < 3/2 }
Entonces
AUB = { x / x Є A ó x Є B} = { x / ¼ < x < 3/2 }A∩B ={x / x Є A y x Є B } = { x / ½ < x < 1}Ā= {x / x A , x Є (U - A)} = { x / 0 < x < ½ } U { 1 < x < 2}
Con base en el desarrollo anterior
Calcula (AUB)C , (A∩B)C , AC∩B , A∩BC , AC∩ BC , ACUBC , CC , A∩C , ACUCC , ACUC.
Solución
(AUB)C = { x / x AUB, x Є (U- AUB) } = { x / (0 < x < ¼) U (3/2 < x < 2)} (A∩B)C = { x / x A∩B, x Є U – (A∩B) } = { x / (0 < x < 1/2) U (1 < x < 2)}
AC∩B = { x / x A y x Є B} = { x / (1/4 < x < 1/2) U (1 < x < 3/2)}
A∩BC = { x/ x Є A y x B} = { Ø }
AC∩ BC = { x / x A y x B} = { x / (0 < x < 1/4) U (3/2 < x < 2)}
ACUBC = { x / x A ó x B} ={ x / (0 < x < 1/2) U (1 < x < 2)}
CC = { x / x C , x Є (U – C)} = { x / (0 < x < 1/3) U (3/2 < x < 2)}
A∩C = { x / x Є A y x ЄC} = { x /1/2 < x < 1 }
ACUCC = { x / x A y x C } = { x / (0 < x < 1/2) U (1 < x < 2)}
ACUC = { x / x A ó x Є C } = { x / 1/3 < x < 3/2 }
19
/
Producto cartesiano
Definición: El producto cartesiano de un conjunto E por el conjunto F, es el conjunto de todas las parejas
ordenadas ( x , y ) tales que x E , y F .
El producto cartesiano de E y F, se escribe como E × F
Ejemplo:
si A = {1, 2} y B = {x, y, z}
entonces:
A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}.
B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}.
En este caso, A × B = B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).
Conjunto Potencia
La familia de todos los subconjuntos S se llama conjunto de potencia de S. Se le designa por
2s
Ejemplo:
Si M={a,b}, entonces
2M={{a ,b }, {a}, {b}, φ}
si un conjunto S es infinito digamos que S tenga n elementos, entonces el conjunto potencia de S tendrá
2n elementos, como se puede demostrar. Esta es una razón, para llamar conjunto de potencia de S la
clase de los subconjuntos de S y para denotarla por 2s.
Ejemplos
1.- Sea el conjunto universal u={( x , y )|x∈D1 , y∈D2 ,1≤x≤0,1≤ y≤0} y x , y∈Z
+. Sea:
20
A={x∈D1 , y∈D2|x+ y≥10}B={x∈D1 , y∈D2|x≺ y
2}C={x∈D1 , y∈D2|x
2+ y2≤10 }D={x∈D1 , y∈D2|x
2=2}E={x∈D1 , y∈D2|2≤x+2 y≤10 }
Determinar u , A , B , C , D y E .
Solución:
u=¿¿¿
¿A={(4,6 ) ,(5,6) ,(6,6 ) ,(6,4 ) ,(6,5) ,(6,6 )}B=¿¿¿
¿C={(1,1) ,(1,2) ,(1,3 ) ,(2,1) ,(2,2) ,(31 ,)}D={(2,1 ) ,(4,2 ),(6,3 )}E={(1,1) ,(2,1) ,(3,1) ,(1,4 ) ,(1,5 ). ..}=u
2.- Sean los conjuntos:
u={x|x∈ R ,0≤x≤9 }A={x|x≻3 }={x|3≤x≤9}B= {x|x≤3 }={x|0≤x≤3 }C={x|A≤x≺6 }D= {x|x≺3 , o x>8 }={x|0≤x≤3∪8≤x≤9}
Encontrar A ' , A∪B , A '∪(B '∪C ) , A∪(B '∩c ) , B∪(A '∪C ) .
Solución:
A '={x|x∉ A }={x∈3≤x≤9}={x∈0≤x≤3}=BA∪B={x|x∈ R ,0≤x≤9}A∪(B '∪C )={x|3<x≤9 ó ( x )3<x≤9 y 4≤x<6}A∪(B '∩c )={x∈ A ó x|4≤x<6}={x|3<x≤9}=AB∪(A '∪C )=B∩{0≤x≤3∪4≤x≤6}={0≤x≤3}=B
Problemas propuestos
1.- Escriba los elementos de los siguientes conjuntos:
A) Sea el conjunto de enteros entre 1 y 50 y que además cumplen con ser divisible entre 8.
Respuesta:
A={x|1≤x≤50 ,x8∈Z+}= {8 ,16 ,24 ,32 ,40 ,48 }
B) Sea B el conjunto de las x que cumplen con x2−x−12=0
21
Respuesta: B= {x|x2−x−12=0 , x∈Z }={−3,4 }
C) Sea C el conjunto de las x que cumplen con x2+4 x−5=0
Respuesta: C={x|x2+4 x−5=0 , x∈Z }={1 ,−5 } D) Sea E el conjunto donde x es un continente.
D= {x|x=Continente }D= {América , Europa,áfrica , Asia ,Oceanía }
2.- Sea el conjunto universal un intervalo de 0 a 15 obtener:a) El conjunto A todas x > 10.
El conjunto B todas las x de por lo menos 1 hasta 4.El conjunto C todas las x de por lo menos 7 a lo más 9.El conjunto D las x < 2 o x > 8.El conjunto E las x > 8 y x < 10.
b) B’ c) B’ ∩ D’d) A U (C∩E’)
Respuesta:
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 }A={x|x>10 , x∈R }= {x|10<x≤15 , x∈R } ( ]
B= {x|1≤x≤4 , x∈R }
[ ]
C={x|7≤x≤9 , x∈R } [ ]
D=¿¿ [ ) ( ]
E=¿¿ [ ]
B|={x|x∉B ,x∈R }=¿¿
22
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14
B|∩D|=¿¿¿
¿
AU (C∩E|)=¿¿
Tema II.- Probabilidad
La probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso.
La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar. Las grandes fortunas que se ganaban y perdían ocasionó que
23
Simbología Є Pertenece.
φ Conjunto vacío. U Unión. ∩ Intersección.
¿¿ Representa un conjunto con sus elementos.
≤ menor igual que. ≥ mayor igual que. < menor que. = igual. ¿ exactamente igual. Por lo menos significa mayor o igual que A lo más significa menos o igual que Al menos: significa mayor o igual que No más: significa menos o igual que Igual a = Relación entre dos
cantidades del mismo valor.
los apostadores intentaran llevar ventaja sobre sus oponentes, de esta forma encontraron que existía una relación inversamente proporcional entre los casos favorables y los casos posibles.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad es una disciplina matemática que se aborda desde tres enfoques:a) El contenido lógico formal. La probabilidad es analizada desde un punto de vista axiomático por lo que establece un conjunto de reglas.b)Antecedentes intuitivos.La intuición y la experiencia física son interdependientes, es un problema del que necesitamos ocuparnos. c)Aplicaciones En las aplicaciones, los modelos matemáticos abstractos sirven de instrumentos; además, diferentes modelos pueden describir la misma situación empírica. La forma en que se aplican las teorías matemáticas no depende de ideas preconcebidas; es una técnica con un fin determinado, que depende y cambia con la experiencia. Tipos de experimentos
Experimento determinístico:
Son aquellos eventos que se cumplen inexorablemente y cuya probabilidad de ocurrencia es 1
Ejemplo de ello es “Todos los humanos nos vamos a morir”.
Experimentos no determinísticos: son aquellos eventos cuya probabilidad de ocurrencia se
encuentra en 0 P(E) 1.
A este tipo de experimentos corresponde “Al arrojar un dado legal cual es la probabilidad de
que aparezca un dos”
Probabilidad clásica
Al utilizar el modelo probabilística en otro tipo de problemas surgió un problema nodal por
resolver, esto es, se requería saber contar tanto los casos favorables como los posibles.
Para responder a esta necesidad surgieron las técnicas del conteo, las que podemos agrupar
en: espacio muestral, análisis combinatorio y los diagramas de árbol.
Ejemplo: En una urna hay 30 bolas: 10 rojas, 5 azules y 15 blancas. Hallar la
probabilidad de que al extraer una bola al azar ésta sea de color.
Podemos observar que son 30 los casos posibles entonces:P(roja) = 10/30 = 1/3 P(azul) = 5/30 = 1/6
24
P(x) = casos favorables / casos posibles
Espacio Muestral
Comencemos por la técnica del espacio muestral, esta técnica se recomienda utilizarla cuando
el número de eventos posibles sea del orden de no más de 50.
Definición: “Un evento simple es un evento que no se puede descomponer”.
A cada evento simple le corresponde uno y sólo un punto muestral.
Construcción de espacios muestrales
Ejemplo 1: Exprese simbólicamente el espacio muestral S que consiste en todos los puntos (x,y) dentro de una circunferencia de radio 3 con centro en el punto (2,-3)
{(x,y)/ (x - 2)2 + (y + 3)2 < 9}
Ejemplo 2: Supongamos que en un sistema físico aislado hay tres moléculas M1, M2 y M3 cada una con cero, una o dos unidades de energía, la suma de sus energías es dos. Supóngase que todas las distribuciones de energía entre las tres moléculas son igualmente probables. Constrúyase un modelo matemático para esta situación. ¿Cuántos eventos elementales hay? ¿Cuántos eventos elementales son favorables al evento “M1 tendrá energía cero”? ¿Cuál es su probabilidad?.
M1 (0,1,2) (0,0,0) (0,0,1) (0,0,2) (0,1,0) (0,1,1) (0,1,2) (0,2,0) (0,2,1) (0,2,2)M2 (0,1,2) (1,0,0) (1,0,1) (1,0,2) (1,1,0) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,0) (1,2,1) (1,2,2)M3 (0,1,2) (2,0,0) (2,0,1) (2,0,2) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,2) (2,2,0) (2,2,1) (2,2,2)
Como la suma de sus energías es dos, entonces: (0,0,2) (0,1,1) (0,2,0) (1,0,1) (1,1,0) (2,0,0)
por lo tanto,
a) Hay 6 eventos elementales.
b) “M1 tendrá energía cero”: (0,0,0) por lo tanto, cada uno tiene probabilidad de 1/6, entonces:
(0,0,2) (0,1,1) (0,2,0) =1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
c) Su probabilidad es: Pr (C) = 3/24 / 6/24 = 3/6 = ½
Problemas propuestos
1.- Constrúyase un modelo para el experimento de lanzar un par de dados estándar ¿cuántos eventos elementales hay, y cuales son sus posibilidades?¿Qué suposiciones se hacen para establecer el modelo?b)¿Cuántos eventos elementales favorables para el evento “caerá un total de ocho puntos por los dos dados”?c)¿Cuál es la probabilidad de tirar “ojos de víbora”(Un total de 2 puntos)?.
25
Definición: “Un espacio muestral es el conjunto de todos los
puntos muestrales de un experimento”
d)¿Cuál es la probabilidad de tirar 7 u 11?e)¿Cuál es la probabilidad de tirar 2,3 o 12?.f) Supóngase que un dado es rojo, el otro es blanco. ¿cuál es la probabilidad de que el numero de puntos del dado rojo sea menor que el numero de puntos del dado blanco?
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
a) existen 36 eventos diferentes y es una suposición que los dados no están cargados
a) total de eventos 36 probabilidad de 1/36
b) p(b)= 5c) p©=1/36
d) p(7)=6/36 +P(11)=6/36+2/36=8/36=2/9 e) P(2)=1/36 +P(3)=3/36 +P(12)=1/36=4/36=1/9 f) P(f)=15/36=5/12
2.- Encontrar el espacio muestral de preguntarle a tres mujeres si ve la telenovela a las 8:00 pm.
S= {SSS ,SSN ,SNS ,SNN , NSS ,NSN ,NNS , NNN }
3.- ¿Cuál será el espacio muestral si se quiere obtener de un grupo de química a tres personas que son hombres y mujeres?
S= {HHH ,HHM , HMH , HMM ,MHH ,MHM ,MMH ,MMM } 4.- Encontrar el espacios muestral del siguiente experimento:se inspeccionan 3 artículos si se encuentran o no defectuosos:
Sea D : articulo defectuoso y N : articulo no defectuoso.
26
Comienzo
D N
D N D N
D
N
N
D
D
N
N
D
Respuesta y solución
Respuesta y solución
Respuesta y solución
Respuesta y solución
S={DDD , DDN , DND ,DNN ,NDD , NDD , NND ,NNN }5.-Si se lanzan dos monedas al mismo tiempo :
a) Cual es la probabilidad de que caigan 2 solesb) Que caiga un águila o un sol o águila y sol
S = { A A,AS, SA,SS}a) P(A y A) = P(A∩A) =P(A)*P(A) = ½ * ½ = 1/4b) P(S y A) o P(A y S) = (1/2 * 1/2) + (1/2 * 1/2) = 1/2
Para tres monedas: S = {AAA,AAS,ASA,ASS,SAA,SAS,SSA,SSS}
a) Probabilidad de que caiga SSA P(SSA) = P(S∩S∩A) = P(S)*P(S)*P(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
b) Probabilidad de que salgan 2 soles y 1 águila P(SSA) o P(SAS) o P(ASS) = 1/8*1/8*1/8 = 3/8
La probabilidad desde el punto de vista de la frecuencia relativa: Si un experimento se repite un número grande (N) de veces y de éstas el evento A ocurre n veces la probabilidad de A es:
P(A) = na / N A cada punto muestral se le asigna P(Ej) tal que:1.- 0 < P(Ej) < 12.- P(E) = 1 s
1.- Una urna contiene 20 papeletas blancas numeradas del 1 al 20, 10 papeletas rojas numeradas del 1 al 10, 40 papeletas amarillas numeradas del 1 al 40 y 10 azules numeradas del 1 al 10. Se revuelven las papeletas en la urna para que todas tengan probabilidad de ser seleccionadas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una papeleta azul ó blanca?b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1, 2, 3,4 ó 5?c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una roja ó amarilla y numeradas de 1, 2, 3, 4?d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5,15,25 ó un 35?e) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una papeleta blanca con un número mayor que
12 ó amarilla y con un número mayor que 26?
27
Comienzo
D N
D N D N
D
N
N
D
D
N
N
D
Respuesta y solución
S= {blancas (1−20 ) , rojas (1−10) , amarillas (1−40) , azules(1−10)}
P (azules o blancas )=3080
P (1,2,3,4,5 )=2080
P (1,2,3,4 roja o amarilla )=820
P (5 ,16 ,25 ,35 )=880
P ¿¿2.- Cuantas palabras de 5 letras se pueden formar usando las letras empleadas en la palabra caaas. Se tienen 5! = 120 permutaciones si no tomamos en cuenta el orden. Si lo tomamos en cuenta solamente las letras se forman seis palabras iguales, esto resulta del hecho que hay 3! = 3·2·1 =6 maneras diferentes de colocar las letras Esto es cierto para cada una de las otras posiciones posibles en donde las a aparezcan. Por consiguiente hay 20 palabras diferentes de 5 letras, que pueden formarse tomando las letras de la palabra caaas.
5!3!
=1206
=20
b)
4.- Se van a construir en Puebla, Acapulco, Toluca y Tepic hoteles y condominios y casas los que se ubicarán en la planicie o en la montaña.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?b) ¿Cuál es la probabilidad de tener un hotel?c) ¿Cuál es la probabilidad de tener en Acapulco un condominio de desarrollo turístico?d) ¿Cuál es la probabilidad de tener un desarrollo turístico?
S=24
P (H )=824
P (C∩Con∩DT )=824
P (DT )=1224
=12
5.- En una escuela 100 estudiantes tienen las siguientes asignaturas , 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si se selecciona aleatoriamente uno de estos estudiantes encuentre la probabilidad de que:
28
a) Se haya dedicado a matemáticas o historia.b) No haya cursado ninguna de estas materias.c) Haya estudiado historia pero no matemáticas.
6.- La probabilidad de que una moneda al ser lanzada aparezca cara y cruz son 0.52 y 0.48 respectivamente. Si la moneda se lanza 3 veces ¿Cuáles son las probabilidades de sacar:a) Solo carasb) Dos cruces y una cara en ese orden
a) P(C C C) = P(C)*P(C)*P(C) = (0.52)(0.52)(0.52) = 0.14060b) P(Z Z C) = P(Z)*P(Z)*P(C) = (0.48)(0.48)(0.52) = 0.1198
7.- Se lanzan dos dados en donde se registran el conjunto de todos los pares posibles que se pueden observar entonces defina los siguientes subconjuntos de S.A: el número en el segundo dado es par.B: la suma de los dos números es par.C: al menos un número en el par ordenado es impar.
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
A =: (1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6) (4,2),(4,4),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6)
B =: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2;6),(3,1),(3;3),(3,5) (4,2),(4,4),(4,6), (5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)
C =: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2;1),(2,3),(2,5) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)
A n B = (2,2),(4,2),(6,2),(2,4),(4,4),(6,4),(2,6),(4,6)(6,6) _A n B =(1,2),(3,2),(5,2),(1,4),(3,4),(5,4),(1,6),(3,6),(5,6)_A u B = (1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(1,3),(2,3),(3,3) (4,3),(5,3),(6,3),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)
29
P (H )=69100
P (M )=54100
P(H∩M )=35100
P (H∪M )=P (H )+P (M )−P (H∩M )=69100
+54100
−35100
=88100
P( H∪M_________ )=12
88
P (H )−P (H∩M )=69100
−35100
=34100
(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4)(6,6)
Eventos independientesDefinición:Se dice que dos eventos son independientes si cumplen alguna de las condiciones:
i) PA/B) = P(A)ii) P(B/A) = P(B)iii) P(A∩B) = P(A)P(B
Caso contrario los eventos son dependientesEventos mutuamente excluyentesSi A y B son mutuamente excluyentes entonces P(A∩B) = 0 y
6.- Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y P(A) = 0.3 y P(B)=0.5 encuentre:
a) P(AUB)b) P(A|)c) P(A|UB)
P (A∪B )=P ( A )+P (B )=0. 3+0 .5=0. 8
P (A|)= {x|x∉ A }=0.7
P (A|∪B )=¿¿
7.- Una persona al llegar a una intersección tiene tres opciones, dar vuelta a la derecha, a la izquierda, o seguir de frente.
a) Obtenga el espacio muestral del experimento.b) Determine la probabilidad de que la persona de vuelta, suponiendo que todos los
puntos maestrales tienen la misma probabilidad.
30
AB
BA
P(AUB)= P(A) +P(B)
S= {VD,VI , F }
P (VD )=13
P (VI )=13
P (F )=13
P (V )=P (VD∪VI )=P (VD )+P (VI )=13+
13=
23
8.- En una empresa su personal tiene las siguientes características
Empleado Desempleado
Hombre 460 40 500
Mujer 140 260 400
600 300 900
Obtener:
a) P(M)b) P(M|Desempleado)c) P(Desempleados)d) P(M ó Desempleados)e) P(Empleados|Hombres)
P (M )=400900
=49
P(M|Desempleados )=260300
P(Desempleados )=300900
=13
P(M ó Desempleados )=4490
P(Empleados|Hombres )=460500
Técnica de Análisis combinatorio
Principio fundamental del Conteo:
Si un evento puede realizares de n1 maneras diferentes, y si, continuamos el procedimiento, con n2 maneras diferentes, y n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es producto n1· n2 · ·n3......
Notación Factorial
n!.es el producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive
31
Conviene también definir 0! = 1.
Definición de Combinaciones
El número de combinaciones de n objetos tomados de r veces a la vez, es el número de subconjuntos no ordenados de tamaño r que se pueden formar con los n objetos está dada por:
nC r=
n !r ! (n−r )!
Definición de PermutacionesSon la cantidad de manera en que podamos ordenar n objetos diferentes tomados de r a la vez está dada por:
P(n , r )= n!(n−r )!
Teorema.
El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales, ..., nr son iguales, es
n !n1!n2 !···nr !
Ejemplo 1.- Cuantas permutaciones se pueden hacer para 4 personas que juegan al Briget.
Solución:
4 Pn=24
Ejemplo 2.- De cuantas maneras un investigador puede seleccionar a 3 familias que viven en
un complejo departamental que consta de 20 departamentos.
Solución:
nC r=20C3=1140
Ejemplo 3.- En cuantas maneras diferentes pueden 6 lanzamientos de una moneda producir 2
águilas y soles.
Solución:
32
6C26C4
6C6
=225
Ejemplo 4.- ¿Cuántos comités diferentes de dos químicos y un físico se pueden formar con 4
químicos y 3 físicos de una universidad.
Solución:
4C4⋅3C1=18
5.- En una mano de póquer que consta de 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener:a) Tres ases
Solución:
Número de formas en que se pueden repartir una mano póquer es nC r=52C5=2598960
De esas 5, de cuantas maneras puedo recibir tres ases
4C3⋅12C3⋅4C1⋅4C1=21120
p( tres ases)= FavorablesPosibles
=211202598960
=. 008126
6.- Si un cliente invierte con una probabilidad de .6 en bonos, en fondos de inversión con una probabilidad de .3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de .15. Encuentre:
a) La probabilidad de que invierta ya sea en bonos libres o en fondos de inversión.b) En ninguno de los instrumentos.
Solución:
Sea L: Bonos l y M: fondos de inversión.
a)
p(L)=.6p(M )=.3p(M∩L )=. 15
p(L∪M )=p(L)+ p(M )−p(L∪M )=. 6+. 3−.15=. 75
b) p(L∪M )C=p (LC∩MC )=. 25
7.- Un jurado integrado por ocho personas; cinco mujeres y tres hombres. Votaron por una mujer las cinco mujeres y los tres hombres en contra. Se apeló la decisión alegando parcialidad de género. Si no hubiera parcialidad se podría concluir que cualquiera de los miembros de la junta votara a favor de la mujer con la misma probabilidad. Si esto fuera cierto. ¿cuál es la probabilidad de que el voto se diera como el jurado votó?
5M 5 P(cinco sean mujeres)= 5/83H
Pvsex=5C53C3
C85
33
Pvsex=
5 !5 ! (5−5 )!
3 !3! (3−3 )!
8!5 !(8−5) !
= 156
8.- En un paquete de 52 cartas de un naipe inglés. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as? P(as) = 4 /52 = 1/ 13 b) La probabilidad de sacar un rey rojo P(Rey Rojo) = 2/52 =1/26
c) Probabilidad de sea una figura negra P(Fig. Negra) = 26/52 = ½
d) Probabilidad de que sea par P(par) = (13)(13) 5C2 ) / 52C5 = 0.000652
e) Probabilidad de un Full P(Full) = (13)(12) 5C3 5C2) / 52C5 = 6 x 10-3
9- En una urna existen 20 bolitas y solo hay 5 premiadas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar las 5 bolitas con premio?, obtener el recorrido de la variable.
Solución:
20C5 = 15504 maneras de sacar 5 bolitas.
P(x) = eventos posibles / total de eventos
x = numero de bolitas ganadoras.
x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
La probabilidad de sacar las 5 bolitas ganadoras es 1/15504
Axiomas de probabilidad
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Sean S cualquier espacio muestral y A cualquier evento de éste. Se llamara función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P(A) si satisface los siguientes axiomas.
1.- p(A) 0 para todo A S
2.- p(S) =1
3.- p(A+B) = p(A) + p(B) si AB =
Teoremas importantes
a.- p( A´ ) = 1- p(A)
b.- p(A) 1 para todo A S
c.- p() = 0.
d.- p(A+B) p(A) + p(B) -p(AB)
e.- p(A1+A2+... An) = p(A1) + p(A2) + ...p(An ) si Ai Aj = para ij
f.- p(A) p(B) si A B
g.- P() = 0
h.- P (A B) = P(A) + P (B) - (A B)
Diagramas de Árbol
1.- Una persona tiene probabilidad de sobrevivir a un trasplante de corazón en un 55%. Si el paciente sobrevive a la operación, la probabilidad de que su cuerpo rechace el trasplante es del 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva a estas etapas críticas?.
P(salvarse) = (0.55) ( 0.80) = 0.44
35
0.2Su cuerpo rechace
0.8Su cuerpo No rechace
0.55Sobreviva
0.45No sobreviva
P
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición.
Sean A y B dos sucesos tales que P(A)>0. Denotamos por P(B\A) la probabilidad de B dado
que A ha ocurrido.
P(B/A) = P( A B) / P(A)
Ejemplos
1.- Los resultados de una investigación de campo arrojan la siguiente información del comportamiento de 50 empresas de servicio:
Antigüedad Buen servicio (BS) Mal servicio (MS) Totalmas de 10 años (A) 16 4 20menos de 10 años
(B)10 20 30
Total 26 24 20
a) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia de automóviles que proporcione buen servicio dado que ha operado más de diez años?
P(BS|A )=16/20=P(BS∩A )P( A )
=16 /5020 /50
=16 /20=4 /5
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la agencia que ha operado con menos de 10 años proporcione un buen servicio de garantía?
P(BS|B )=P(BS∩B)P(B)
=10 /5030 /50
=10 /30=1/3
2.- Se sabe por experiencia que el 80% de los productos están a tiempo para ser embarcados y
que el 72% se entregan a tiempo al comprador.¿Cuál es la probabilidad de que una orden se
entregue a tiempo dado que estuvo lista para el embarque a tiempo?
A = es el evento de que este a tiempo para el embarque = 0.80B = es el evento de que se entregue a tiempo
P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.72 / 0.80 = 0.9
36
Teorema de Bayes
Los exámenes del laboratorio de una clínica privada resultan correctos en el 95% de los casos de infección cuando la infección esta presente. Estos exámenes arrojan un resultado "positivo" que es falso en el 1% de las personas sanas que se someten al examen, es decir, que si la persona esta sana entonces el examen le puede decir con una probabilidad .01 que ella esta enferma. Además se sospecha que el 5% de la población tiene esa infección.
¿Cual es la probabilidad de que una persona tenga la infección dado que recibió un resultado positivo ?
Solución.
Si D: La persona tiene la infección y
E: El resultado del examen es positivo,
la interrogante será P(D/E) ?.
Esto significa que solo el 83,3% de las personas cuyos resultados fueron positivos tienen la infección.
Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reaccionan positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente del 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre?
SOLUCION:M+ = 70% H+ = 40% M_ = 30% M_ = 60%
P ( x H ) = ( 25 ) ( 60 ) = 0.4 (25)(60) +(75)(30)
Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial el porcentaje de fracasos es 20% para A y 10% para B. Sin embargo, B cuesta más y por esto se utiliza solamente en el 30% de los casos (se utiliza A en el otro 70%). Se entreno a un trabajador según uno de los dos métodos pero no logro aprenderlo correctamente ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método A?
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(tomando a x como el trabajador)
A∪B={x|x∈ A óx∈B }P( x|A )=0. 2P( x|B )=0 . 1P( A )=0 . 7P(B)=0 .3
P( A|x )=P (A )P( x|A )P (A )P( x|A )+P(B )P ( x|B)
P( A|x )=(0 .7 )(0 . 20)(0 .7 )(0 . 2)+( 0.3 )(0. 1)
=0 .82
1. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey,
nos dirigimos a la urna I; en caso contrario a la urna II. A continuación, extraemos una
bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de
6 bolas blancas y 4 negras. Halla:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II
b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
2. Dos personas piensan cada una de ellas un número del 0 al 9. Calcula la probabilidad
de que las dos personas no piensen el mismo número.
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39
Modulo III.- Variable aleatoria discreta y sus distribuciones de probabilidad
Contenido
a) Variables aleatoriasDefinición de una variable aleatoria, definición de una variable aleatoria discreta, definición de función de probabilidad de una v.a.d.b) Distribución de probabilidad Binomial, definición de ensaño Bernulli, definición de
variable aleatoria binomial.c) Distribución de probabilidad Geométrica, serie geométrica, definición de v.a.
geométrica, función de probabilidad geométrica. d) Distribución de probabilidad Poisson, proceso Poisson, v.a. Poisson, Función de
probabilidad Poisson.e) Valor esperado, varianza, desviación estandar, de una v.a.d. definición de valor
esperado de una v.a.d. definición de valor esperado de la función de una v.a.d. cáculo del valor esperado de las distribuciones binomial, geométrica y de Poisson.
f) Propiedades del valor esperadog) Definición de varianza y desviación estandar.h) Teoremasi) Función generatriz de momentos, definición del i-esimo momento de una v.a. respecto
al origen, definición del i-esimo momento de una v.a. respecto a su media, definición de función generatriz de momentos, teoremas.
j) Usando la función generatriz de momentos calcular las variables de esta para la binomial, geométria y Poisson.
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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:
CASO 1.- Si X es una variable aleatoria discreta y Y es igual a H(X), entonces Y es también una variable aleatoria discreta.
Supóngase que los valores posibles de X pueden enumerar como x1,x2... ,xn... con seguridad, los valores posibles de Y se pueden enumerar como y1= H(x1), y2= H(x2),... (Algunos de los valores anteriores pueden ser iguales, pero esto e no impide el hecho de que esos valores pueden enumerarse.).
Una variable aleatoria discreta lo es, si los valores que toma se pueden contar , es decir, provienen de un espacio muestral numerable finito o infinito.
DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria, si el número de valores posibles de X es finito o infinito numerable se dice que X es una variable aleatoria discreta. Esto es, se pueden notar los valores posibles de X como x1,x2,... xn. Y la lista de ellas dependerá del total de valores tomando en consideración.
Ejemplos:
* El número de automóviles vendidos en un mes
* El número de accidentes ocurridos en una determinada semana e una planta de manufactura, también determinada.
Función de probabilidad de una v.a. d.
La Función de probabilidad de una v.a.d. es la función que representa las probabilidades asociadas a cada valor posible de una variable aleatoria discreta. La función f definida de esta forma como hemos visto se le conoce como función de probabilidad de la variable aleatoria X.
La distribución de probabilidad de X será la colección de partes[xi, f(xi)] con i=1, 2....
PROBLEMÁS
Sea el experimento de observar un hospital, el sexo del primer recién nacido en un día determinado. Calcular S ,X, f y F.
Solución:
S = { M,H}X = Rx= {0,1} ahora obtenemos f y F X = xi o 1 f(xi) ½ ½ F(xi) ½ 2/2
Consideremos el nacimiento de un pequeño en donde los resultados: niño o niña son igualmente posibles y los nacimientos son independientes.
Hallar S, X, f, F. De la variable aleatoria (uno de los niños que nacen en tres partos normales)
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Solución:
S = {MMM,MMH,MHM,HMM,MHH,HMH,HHM,HHH}
X= {0,1,2,3}
.ahora obtenemos f y F
X = xi 0 1 2 3
.f(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
F(xi) 1/8 4/8 7/8 8/8
Sea
P(X )={ KX−−−−−− (X=1,2,3,4 )
0−−−−−−−−−− (e .o .c . )}a) Encontrar K para ser una función de probabilidad.b) Graficarla.c) Encontrar E(x), VAR(X), r.d) Hacer un intervalo de I = 2r
a) k = ?
P(1) = K = 12/25 P(2) = K/2 = 6/25P(3) = K/3 = 4/25P(4) = K/4 = 3/25 = K(25/12) K = 12/25
b) E(X), VAR(X), r
E(X) = X P(X)E(X) = 1 (12/25) + 2 (6/25) + 3 (4/25) + 4 (3/25)
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E(X) = 12/25 + 12/25 + 12/25 + 12/25 = 48/25
E(X2) = X2 P(X) = 12 (12/25) + 22 (6/25) + 32 (4/25) + 42 (3/25)E(X2) = 12/25 + 24/25 + 36/25 + 48/25 = 24/5
VAR (X) = E(X2) - 2 = (24/5) – (48/25)2 = 1.1136
r = (VAR(X))1/2 = 1.0552
c) Hacer un intervalo de I = 2r
I = { -0.1905 , 4.0305 }
43
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
La Distribución Binomial es una de las distribuciones discretas de la probabilidad más útil. Sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opciones y otras. Mediante ella usted puede imaginar un experimento en el que el resultado es la ocurrencia o la no-ocurrencia de un evento. Sin perdida de generalidad, llámese "éxito" a la ocurrencia del evento y "fracaso" a su no-ocurrencia. Además, p nos representa la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se lleva a cabo y q=(1- p ) la probabilidad de fracaso. Supóngase que el experimento se realiza n veces y cada uno de estos es independiente de todos los demás, y sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los n ensayos. El interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x éxitos durante los n ensayos. Las suposiciones claves para la distribución binomial son:
1.- El experimento consiste en n ensayos idénticos 2.- Cada ensayo produce uno de dos resultados posibles. Uno llamado éxito y otro fracaso.3.- La probabilidad de éxito es p y es constante para todos los ensayos. La probabilidad de falla es q= 1-p4.- Los ensayos son independientes5.- El experimento se interesa en los y aciertos observados en los n ensayos.
Varios problemas prácticos parecen adherirse razonablemente a las suposiciones anteriores. Por ejemplo, un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un periodo razonable y, si como procedimiento de rutina, se selecciona aleatoriamente un determinado número de unidades, entonces las proposiciones de probabilidad con respecto al número de artículos defectuosos pueden hacerse mediante el empleo de la distribución binomial.
Para obtener la función de probabilidad de la distribución binomial, primero se determina la probabilidad de tener, en n ensayos, x éxitos consecutivos seguidos de n-x fracasos consecutivos se tiene:
p. p ... p. (1-p)(1-p).....(1-p) = px (1-p) n-x
x términos (n - x) términos.
La probabilidad de obtener exactamente x éxitos y n-x fracasos en cualquier otro orden es la misma puesto que los factores p y (1 - p) se reordenan de acuerdo con el orden particular. Por lo tanto, la probabilidad de tener x éxitos y n - x fracasos en cualquier orden, es el producto de px (1-p) n-x por el número de órdenes distintos. Este último es el número de combinaciones de n objetos tomando x a la vez. De acuerdo con lo anterior se tiene la siguiente definición:
Definición: Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos y p la probabilidad de éxito con cualquiera de éstos. Se dice entonces que X tiene una distribución de probabilidad
n !(n−x )! x !
px(1−p )n−x x = 0,1,2,......n.
p(x: n , p) =
0 para cualquier otro 0¿ p≤1
44
valor
Los parametros de la distribución binomial son n y p. Estos definen una familia de distribuciones binomiales, donde cada miembro tiene la función de probabilidad determinada Para ilustrar el efecto de estos parámetros la figura proporciona algunas gráficas de la distribución binomial.
Gráficas de la función binomial de probabilidad
EjemplosPara ilustrar él calculo de probabilidad mediante el empleo de la binomial :Sea n = 5 y p =0.4 entonces:
p(x; 5 , 0.4) =
5!(5−x )! x !
(0 . 4 )x (0. 6 )5−x
x = 0,1,2,3,4,5;
p(0;5,0.4)=
5 !(5−0)!0 !
(0 . 4 )0(0 .6 )5=0. 0778
p(1;5,0.4)=
5 !(5−1 )!1 !
(0 . 4 )1(0 . 6 )5−1=0 .2592
p(2; 5 , 0.4) =
5 !(5−2)!2!
(0 . 4 )2 (0. 6 )5−2=0 . 3456
p(3; 5 , 0.4) =
5 !(5−3)!3 !
(0. 4 )3(0 .6)5−3=0 .2304
p(4; 5 , 0.4) =
5 !(5−4 )! 4 !
(0 . 4 )4 (0 . 6 )5−4=0. 0768
p(5; 5 , 0.4) =
5!(5−4 )! 4 !
(0 . 4 )5(0 .6 )5−5=0 .0102
La probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a un valor especifico de x, se determina por la función de distribución acumulativa.
p(X ¿ x ) = F(x; n, p) = ∑i=0
x
( ni) p i(1−p )n−i
Sea n = 10 y p = 0.3. La probabilidad de que X pueda ser cuatro es:
p(X ¿ 4 ) = F(4; 10, 0.3) = 0.8497
45
La probabilidad de que X sea menor de dos es :
p(X>2) = p(¿3 )=1−p( X≤2 )=1−F (2;10 ,0 . 3)=0 .6172 )
Esperanza matemática.
Usando la función generadora de momentos tenemos:
Por lo tanto,
Entonces E[X] = '(0) = np
Varianza.
Para calcular la Varianza, derivemos primero E[X2] de la siguiente manera:
Por lo tanto,
Entonces:
Ejercicios.
Una moneda es lanzada 20 veces. Calcule el número más probable de salidas de cara y cual es la probabilidad de que salga ese número.
Solución:
El número más probable de caras es evidentemente n p =10. Y la probabilidad de que salga 10 veces es:
46
Supongamos que la probabilidad de recuperar un carro robado en Caracas es de 0.04.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 carros robados sean recuperados a lo sumo 3 de ellos?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que al menos 7 de los 10 carros sean recuperados?
Solución:
a) P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = .66 + .27 + .05 + .0058 = .9995
b) P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) = .00055
Un tubo de radio puesto e cierto tipo de equipo, tiene una probabilidad de 0.2 de funcionar más de 500 hrs. Si se prueban 20 tubos , ¿cuál es la probabilidad de que exactamente k de ellos funcionen más de 500 hrs. K=0, 1, 2, ..., 20?
solución:Si X es el número de tubos que funcionan más de 500 hrs. Se tiene una distribución
binomial.
Donde: P=0.2Q=1-P=0.8
P(X)=
(N ¿ ) ¿¿
¿¿
P(X=K)=
(20 ¿ ) ¿¿
¿¿
Sustituyendo los valores de K:
P(X=0)=0.012
P(X=1)=0.058
P(X=2)=0.137
P(X=3)=0.205
P(X=4)=0.218
P(X=5)=0.175
P(X=6)=0.109
P(X=7)=0.055
P(X=8)=0.022
P(X=9)=0.007
P(X=10)=0.002
P(X=K)=0+
Las probabilidades para X>10 son menores de 0.001
47
.........
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA..
La variable a aleatoria que tiene distribución geométrica se define para un experimento que es
muy similar al experimento binomial. También se refiere a pruebas idénticas e independientes,
y cada uno puede tener dos resultados, éxito o fracaso. La probabilidad de tener éxito es igual
a p y es constante para cada prueba. Sin embargo, la variable aleatoria geométrica Y es el
número de la prueba en la cual ocurre el primer éxito, en lugar del número de éxitos que
ocurren en n pruebas. Entonces el experimento consiste en una serie de pruebas que termina
al obtener el primer éxito. Por consiguiente, el experimento podría terminar en la primera
prueba al obtener el éxito o podría seguir indefinidamente.
El espacio muestral S para el experimento contiene el siguiente conjunto infinito contable de puntos muestrales.
E1
: S . . . (éxito en la primera prueba )E
2: F S . .. (fracaso en la priemra, éxito en la segunda )
E3
: F F S . . .(fracasos en la primera y la segunda, éxito en la tercera )E4 : F F F S
.
.
.EK
: F F F .. . F Sk−1
Como la variable aleatoria Y es el número de pruebas hasta tener el primer éxito inclusive, Y=1, Y=2 y Y=3 contendrán E1 , E2 , E3 , respectivamente, y en general, el evento numérico
Y= y y contendrán solamente E y . De este modo,
p ( y )=p (E y )=p (F F F . .. F S )y−1
48
.........La probabilidad de la intersección de y eventos independientes da lugar a la distribución de probabilidad geométrica.
Un histograma para p(y), en donde p = 0.5 se muestra en la figura 1. Las áreas sobre los
intervalos corresponden a probabilidades, tal como era el caso de las distribuciones de
frecuencia de datos, solamente debe considerarse que Y puede tomar valores discretos,
y=1,2,...,.
1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
Gráfico de una distribución de probabilidad geométrica con p=0.5
Y
p(y)
La distribución de probabilidad geométrica se usa frecuentemente como modelo para las distribuciones de longitud de tiempos de espera. Por ejemplo, supongamos que se da mantenimiento periódico al motor de un avión comercial de tal manera que sus diferentes partes se cambian en distintos momentos y por eso tiene tiempos de servicio diferentes. Entonces, puede ser razonable suponer que probabilidad de p, de falla del motor durante cualquier intervalo de una hora Y hasta el primer mal funcionamiento o descompostura.
Esperanza matemática de X Geométrica
E[X] = E[Y] –1 = (1-p)/p
49
.........Ejemplos
La probabilidad de que una componente de un sistema computacional falle en un ciclo de tiempo (dt) es p.
a. ¿ Cuál es el tiempo promedio esperado antes de que la componente falle? b. Solución: Asumiendo que las fallas ocurren independientemente entre si, el
número de ciclos (1 dt) para la primera falla debería seguir una distribución geométrica. Luego el tiempo promedio de falla de una componente será 1/p.
c. Suponga que se requieren ‘n’ componentes para construir una parte. Asumiendo que la parte falla, si falla una de sus componentes, ¿ cual es la probabilidad de que cualquiera de sus componentes falle?
Solución: Para n componentes, la probabilidad de falla de la parte, es la acumulada a ‘n’de la Geométrica, es decir,
P(X n) = 1 – (1-p)n
[para p pequeño, suma a n de p = np, entonces el tiempo esperado para que ocurra la 1ª. Falla será 1/(np) ]
El fabricante de un lector óptico de precios asegura que la probabilidad de que su aparato lea mal el precio de cualquier producto al interpretar mal el código de barras de la etiqueta es de 0.001. En el momento de que uno de los lectores se instalo en un supermercado, el gerente de la tienda probo su desempeño. Sea “y” el numero de pruebas (es decir el numero de precios leídos por el aparato) hasta que se observa el primer error en la lectura de un precio.
a) Si la aseveración del fabricante es correcta, calcule la distribución de probabilidad para “y” (suponga que las pruebas representan eventos independientes)
b) Si lo que dice el fabricante es cierto, ¿Qué probabilidad hay de que el lector leerá bien por lo menos los primeros cinco precios?
c) Si de hecho se lee mal el tercer precio, ¿Qué inferencia haría usted acerca de lo que el fabricante asegura, explique.
Solución.a) Geométrica p(y)=pqy-1
P(y)=(0.001) (0.999)y-1
b) p(y)= (0.001)(0.999)1-1 + (0.001)(0.999)2-1 + (0.001)(0.999)3-1 + (0.001)(0.999)4-1 + (0.001)(0.999)5-1 = 4.99 x 10-3
p(y 5)= 1- p(51 p(y)) = 0.775
c) Que no sería confiable lo que nos dice la probabilidad del fabricante.
50
.........Distribución de Probabilidad Poisson
Definición y propiedades de la distribución de Poisson.
Función de probabilidad.- Sea X una variable aleatoria con una distribución discreta y supóngase que el valor de X debe ser un entero no negativo.. Se dice que X tiene una distribución de Poisson con media ( > 0 )si la f.p de X es la siguiente:
f ( xλ )=¿ {e− λ λxx !para⇒ x=0,1,2 , .. . .¿ ¿¿¿
Esta claro que f (x/ ) = 0 para cada valor de x . Para verificar que la función f (x/ ) definida por la ecuación anterior satisface los requisitos de toda f.p, se debe demostrar que la función sea igual a 1. Por tanto.
∑x=0
∞f ( xλ )= e− λ∑x=0
∞ ( λxx ! )= e− λ eλ=1
Si X es una v.a. de Poisson , entonces X mide :- El número de ocurrencias discretas (éxitos) en un espacio continuo. Un proceso de Poisson
tiene las siguientes características:-- El número de éxitos en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del
número de éxitos en cualquier otro intervalo ajeno de tiempo o región del espacio considerado.
- La probabilidad de que un éxito ocurra en un intervalo de tiempo o espacio muy corto es proporcional a la longitud del intervalo o tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fueran de esta intervalo o región.
- La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o regiones tan pequeñas que es despreciable.
La distribución de Poisson a menudo servirá como una distribución de probabilidad apropiada para variables aleatorias tales como el número de llamadas telefónicas recibidas por una central telefónica durante un periodo de tiempo fijo, el número de partículas atómicas emitidas por un a fuente radiactiva que golpea un cierto punto durante un periodo de tiempo fijo o el número de defectos en una longitud especifica de un cinta magnética de grabación . Cada un de estas variables aleatorias representan el número total X de ocurrencia de un fenómeno durante un periodo de tiempo fijo que genera estas ocurrencias satisface tres condiciones matemáticas especificas, entonces la distribución de X debe ser una distribución de Poisson . Se presentara ahora un adscripción completa de las tres condiciones que se necesitan. En la siguiente exposición supóngase que se observa el número de ocurrencias de un fenómeno concreto durante un periodo de tiempo fijo. La primera condición es que el número de ocurrencias en dos intervalos cualesquiera de tiempo distintos deben ser independientes entre si.La segunda condición es que la probabilidad de una ocurrencia durante cualquier intervalo de tiempo muy pequeño debe ser aproximadamente proporcional a la longitud de ese intervalo.
51
.........Para expresar esta condición más formalmente se utiliza la notación matemática estándar o(t) que denota cualquier función de t con la propiedad de que:
limt→0
0( t )t
=0
De acuerdo con esta formula, o(t ) debe ser una función que se aproxima a cero cuando t –0 y además, esta función debe aproximarse a cero más rápido que t .La segunda condición se puede expresar ahora como sigue: Existe una constante > 0 tal que para cualquier intervalo de tiempo de longitud t, la probabilidad de almenas una ocurrencia durante ese intervalo tiene la forma t +o(t) . Entonces para cualquier valor muy pequeño de t , la probabilidad de al menos una ocurrencia en un intervalo de longitud t , es igual a t más una cantidad que tiene una magnitud de orden menor.Una de las consecuencias de la segunda condición es que el proceso observado debe ser estacionario sobre el periodo de observación completo; esto es , la probabilidad de una ocurrencia debe ser la misma sobre el periodo completo. No puede haber periodos ocupados, durante los cuales se sabe de ante mano que es probable que las ocurrencias sean más frecuentes. Esta condición se refleja en el hecho de que la misma constante expresa la probabilidad de una ocurrencia en cualquier intervalo durante el periodo completo de observación.La tercera condición que se debe satisfacer es que la probabilidad de que haya dos o más ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo muy pequeño debe tener una magnitud de menor orden que la probabilidad de que haya solo una ocurrencia. En símbolos, la probabilidad de dos o más ocurrencias en cualquier intervalo muy pequeño debe de despreciable en comparación con la probabilidad de una ocurrencia. Claramente, de la segunda condición resulta que la probabilidad de una ocurrencia en ese mismo intervalo será despreciable por si misma en comparación con la probabilidad de no ocurrencia.
Si se verifican las tres condiciones anteriores, entonces se puede demostrar por los métodos de ecuaciones diferenciales elementales que el proceso cumplirá las dos propiedades siguientes.El número de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo fijo de longitud t tendrá un distribución de Poisson cuya media es t Como se supuso en la primera condición, los números de ocurrencias en dos intervalos cualquiera de tiempos distintos serán independientes. Un proceso para el que se satisfacen estas dos propiedades se llama un proceso de Poisson. La constante positiva es el número esperado de ocurrencias por unidad de tiempo.La distribución Poisson con función de probabilidades.
Se le llama distribución de Poisson, debido a que S.D. Poisson lo introdujo en 1837.
Y F(x)=0 cuando x < 0.La distribución de Poisson tiene aplicaciones importantes. De hecho, esta distribución es una aproximación conveniente de la distribución binomial en casos en donde existe un gran número n de ensayos y una probabilidad pequeña p de éxito en un solo ensayo. Esto es una consecuencia de la sig. Proposición.
Si en la función de probabilidades binomial para x fijo, hacemos que n y p 0 a través de
sucesiones de valores en donde np es igual a un número fijo.
f ( x )= μx
x !e−μ⇒( x=0,1,2,3 . .. . .. .. .) .. . .. .. (1 )
F ( x )=e−μ∑s≤x
μs
s !⇒ cuando .( x≥0 ) .
52
.........Para demostrar esto, partimos de = np y tenemos:
Y
De igual manera,
Entonces:
Cuando n , la expresión:
Tiende a 1, y también la expresión de las llaves, mientras que la de los paréntesis rectangulares tiende a e- . Esto completa la demostración, que también prueba para como la media de la distribución de Poisson.
Ejercicios :
Refiérase al estudio publicado en Science (abril de 1993) relativo a las propiedades espectroscópicas de los asteroides de la franja principal. Las investigaciones revelaron que, en promedio, se observan 2.5 exposiciones de imagen espectral independientes por asteroide.
a) Suponiendo una distribución de Poisson, calcule la probabilidad de observar exactamente una exposición de imagen espectral independiente durante la observación de un asteroide de la franja principal.
b) Suponiendo una distribución de Poisson, calcule la probabilidad de observar cuando más dos exposiciones de imagen espectral independientes durante la observación de un asteroide de la franja principal.
SOLUCION:
Tanto la media como la varianza de una variable aleatoria de Poisson son iguales a λ. Por tanto, en este problema será:
μ = λ = 2.5; σ² = λ = 2.5 por lo tanto σ = √2.5 = 1.58
p= μn
px= μx
nx
qn−x=(1−p )n− x=(1− μn )n− x
=[1−μn ]n{1− μn }
−x
μx
x !n (n−1 ). ..( n−x+1)
nx [1−μn ]n{1−μn }
−x
μx
x !n (n−1 ). ..( n−x+1)
nx=( nn )( n−1
n ). .. ( n−x+1n )
53
.........a) Queremos conocer la probabilidad de que se observe exactamente una exposición de imagen espectral. La distribución de probabilidad de “y” es:
P (y) = (λ*y)(℮*-λ) / y!
Entonces, dado que λ = 2.5, y = 1 y ℮*-2.5 = 0.082085 por lo tanto:
P(y = 1) = (2.5* 1)(.082085)/(1!) = (2.5)(.082085)/(1) = 0.20521P(y = 1) = 0.20521
b) Queremos conocer la probabilidad de que se observe cuando más dos exposiciones de imagen espectral.
Entonces, dado que λ = 2.5, y ≤ 2 y ℮*-2.5 = 0.082085 por lo tanto:
P(y ≤ 1) = P(0) + P(1) +P(2)P(y ≤ 1) = (2.5* 0)(.082085)/(0!) + (2.5* 1)(.082085)/(1!) + (2.5* 2)(.082085)/(2!)P(y ≤ 1) = (1)(.082085)/(1) + (2.5)(.082085)/(1) + (6.25)(.082085)/(2∙1)P(y ≤ 1) = 0.082085 + 0.20521 + 0.25651P(y ≤ 1) = 0.543805
54
.........
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
La distribución Binomial es importante en muestreos con reemplazo.
Supongamos que queremos conocer el número de elementos defectuosos presentes en una muestra de ‘n’ elementos, extraídos de una urna que contiene ‘N’ elementos de los cuales ‘M’ están defectuosos. Si la extracción es con reemplazo entonces la probabilidad de escoger x elementos defectuosos tendrá un comportamiento Binomial, es decir:
Sin embargo, lo correcto en un caso como el de inspección, sería hacer la selección sin reemplazo, en cuyo caso en la 1ª. selección la probabilidad de que salga defectuoso es M/N, pero la segunda vez seria (M-1)/(N-1) ó M/(N-1) si antes salió defectuoso o no (número de casos favorables / número de casos posibles).
Luego, la probabilidad de escoger x elementos defectuosos en una muestra de n elementos sin reemplazo será:
la cual da lugar a la distribución conocida como Hipergeométrica.
Esperanza matemática de la Hipergeométrica:
Supongamos que n elementos de la muestra son seleccionados desde los N de la población manera secuencial. Si definimos la VA:
Entonces, , nos señala el número de elementos defectuosos de la muestra de n elementos.
Luego, y como E[Xi] = 1. p(Xi=1) + 0 . p(Xi=0) = p(Xi=1) = M/N, se tiene que:
E[ X ] = n . M/N
55
.........El cálculo de la Varianza es problemático porque las Xi no son independientes y en consecuencia hay que considerar indicadores no considerados hasta ahora (Covarianzas). El resultado es:
La función generadora de momentos
Supóngase que X es una variable aleatoria; es decir, X es una función del espacio muestral a
los números reales. Al calcular diversas características de la variables aleatoria X, como E(X) o
V(X), trabajamos directamente con la distribución de probabilidades de X. La distribución de
probabilidad de una función: la fdp en el caso continuo, o las probabilidades puntuales p(xi) =
P(X = xi) en el caso discreto. La ultima también se puede considerar como una función que
toma valores distintos de cero sólo si X = xi, i = 1, 2,------. Posiblemente podemos presentar
otra función y hacer los cálculos necesarios mediante ella (tal como antes asociábamos con
cada número un nuevo número). Esto es, de echo, lo que haremos precisamente. Primero
daremos una definición normal.
Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(xi)=P(X
= xi), i = 1, 2,..........La función, MX, llamada función generadora de momentos de X, se define
con:
MX (t )=∑j=1
∞
etxj p( xj)
Si X es una variable aleatoria continua con fdp f, definimos la función generadora de momentos
con
MX (t )=∫−∞
+∞
etx f (x )dx
Observaciones: a) tanto en el caso discreto como en el continuo, Mx(t) es simplemente el
valor esperado de etX. Por tanto, podemos combinar las expresiones anteriores y escribir:
56
.........MX (t )=E (e tX )
I. MX(t) es el valor que toma la función MX por la variable (real) t. La notación que indica la dependencia de X se usa porque quizá deseemos considerar dos variables aleatorias, X y Y, y luego investigar la función generadora de momentos de cada una, esto es, Mx y My.
II. Usaremos la forma abreviada fgm para la función generadora de momentos.
III. La fgm, como se definió anteriormente, se escribe como una serie infinita o integral
(impropia), dependiendo de si la variable aleatoria es discreta o continua. Tal serie (o
integral) puede no existir siempre (es decir; convergir aun valor infinito) para todos los
valores de t. Por tanto, puede suceder que la fgm no esté definida para todos los
valores de t. Sin embargo, no nos interesará esta posible dificultad. Cada vez que
hagamos uso de la fgm, siempre supondremos que existe. (Para t = O, /a fgm siempre
existe y es Igual a 1.)
IV. Hay otra función muy relacionada con la fgm que a menudo se usa en su lugar. Se
llama función característica, se denota con Cx, y se define con Cx(t) = E(e itX), donde
i=(-1)1/2, la unidad imaginaria. Por razones teóricas, hay una ventaja considerable al
usar Cx(t) en vez de Mx(t). Por esta razón, Cx(t) siempre existe para todos los valores
de t. Sin embargo, a fin de evitar cálculos con números imaginarios complejos
restringiremos nuestra exposición a la función generadora de momentos.
Teoremas
Teorema 1
M(n)(0)=E(Xn)
(Esto es, la n-ésima derivada de Mx(t) calculada en t=0 da E(Xn)
Los números E(Xn), n=1, 2, ........, se llaman n-ésimos momentos de la variable aleatoria
X respecto a cero. Por tanto, hemos demostrado que conociendo la función Mx, pueden
generarse los momentos (de aquí el nombre de función generadora de momentos).
Teorema 2
Supóngase que la variable aleatoria X tiene fgm Mx sea Y = X+. Entonces, My, la
fgm de la variable aleatoria Y, esta dada por:
57
......... My(t) = etMx(t).
En palabras, para encontrar la fgm la fgm de Y=X+ calculamos la fgm en t (en vez
de t) y multiplicamos por et
My(t) = E(eYt) = E[e(xX+)t]
= etE[etX] = etMx(t)
Teorema 3
Sean X y Y dos variables aleatorias con fgm, Mx(t) y My(t), respectivamente. Si Mx(t) =
My(t) para todos los valores de t, entonces X y Y tienen la misma distribución de
probabilidades.
Sin embargo, es muy importante comprender exactamente lo que establece el teorema.
Este dice que si dos variables aleatorias tienen la misma fgm, entonces tienen la misma
distribución de probabilidades. Esto es, la fgm determina unívocamente la distribución de
probabilidades de la variable aleatoria.
Teorema 4
Supóngase que X y Y son variables aleatorias independientes, sea Z = X + Y. Sean Mx(t),
My(t) y Mz(t) las fgm de las variables aleatorias X, Y y Z, respectivamente. Entonces:
Mz(t) = Mx(t)My(t)
58
.........
MODULO IV.- Variable aleatoria continua y sus distribuciones de probabilidad.
Contenidoa) Variable aleatoria continuaDefinición de v.a.c definición de función de distribución acumulada, función de densidad de una v.a.c. propiedades de la función de distribución acumulada, valor esperado, varianza y desviación estadar de una v.a.c. definición de valor esperado de una v.a.c, propiedades del valor esperado de una v.a.c. esperanza de una función de una v.a.c. la varianza y desviación estandar de v.a.c. teoremas.b) Distribución uniformeDefinición de la distribución uniforme, valor esperado de una distribución uniforme, varianza y desviación estandar de una distribución uniforme.c) La distribución exponencialLa función de densidad exponencial, función de distribución acumulada de una función de densidad exponencial, el valor esperado de una función de densidad exponencial, varianza y desviación estandar de una exponencial. Propiedades de pérdida de memoria de la exponencial.d) La distribución normalLa función de densidad normal, función de distribución acumulada de una v.a. normal, función de densidad normal estandar, función de distribución acumulada de una v.a. normal, estandarización de la distribución normal, media y varianza de la distribución normal.e) Distribución de probabilidad Ji cuadradaf) Distribución de probabilidad Fg) Distribución de probabilidad Th) Distribución de probabilidad gammai) Distribución de probabilidad Betaj) Función generadora de momentosDefinición del i-esimo momento de una v.a. con respecto al origen, Definición del i-esimo momento de una v.a. con respecto a su media, teoremas, Teorena de Tchebysheff.
59
.........
a) Variable aleatoria continua
Definición: Se dice que X es una variable aleatoria continua, si existe una función f, llamada función de densidad de probabilidad (fdp) de X, que satisface la siguientes condiciones:
1) f ( x )≥0 para toda x,
2) ∫−∞
+∞f ( x )dx=1
3) Para cualquier a, b, tal que −∞<a<b<+∞ , tenemos
P(a≤X≤b )=∫abf ( x )dx .
Definición de variable aleatoria acumulada o continua
Una variable aleatoria Y se dice continua si no puede tomar un conjunto numerable de valores.
(X,Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los valores posibles de (X,Y) son finitos o infinitos numerables. Es decir, los valores posibles de (X,Y) se pueden representar como (xi,yi),=1,2,.....,n,....;j=1,2,....,m,..
(X,Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si (X,Y) puede tomar todos los valores en un conjunto no numerable del plan euclidiano.
Definición de función de distribución acumulativa
Sea Y cualquier variable aleatoria. La función de distribución de Y, denotada por F(y) está dada por:F(y) = P( Y y) - < y <
Sea X una variable aleatoria, discreta o continua. Definimos que F es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X.
Ejemplo
Supongamos que Y tiene una distribución binomial con n= 2 y p= .5Encontrar F(y) y 2-y
60
.........P(y) = (2Cy) ( .5) ( .5) y= 0,1,2
Por lo que: p(0) = ¼ p(1) = ½ p(2) = ¼
Entonces
F8y) = P( Y y)
= 0 para y<0= ¼ para 0 y 1= ¾ para 1 y 2= 1 para y 2
Propiedades de F(y)
1.- lim F(y) = F(- ) = 0 y -
2.- .- lim F(y) = F( ) = 1 y -
3.- F(yb) F(ya) si yb > ya
Definición.Sea Y una variable aleatoria con función de distribución F(y). Se dice que Y es continua si F(y) es continua para - < y <
Definición: de función de densidad
Sea Fy) la función de distribución de una variable aleatoria continua Y. Entonces la función de densidad f(y) está dada por :
f(y) = dF(y)/ dy y F(y) = f(t) dt
Siempre y cuando exista la derivada.
Propiedades de función de densidad f(y)
1.- f(y) o para cualquier valor de y
2.- f(y)dy = 1
61
.........Se dice que X es una variable aleatoria continua, si existe una función f, llamada función de densidad de probabilidad (fdp) de X, que satisface las condiciones de arriba mencionadas.
Definición de valor esperado
El valor esperado de una variable aleatoria continua Y es:
E(Y) = yf(Y9 dy
Siempre que la integral exista
Propiedades importantes del valor esperado de una variable aleatoria.
1) Si X = C, donde C es una constante , entonces E(X) = C.
Demostración :
E( x )=∫−∞
+∞Cf ( x )dx
=C∫−∞
+∞f (x )dx=C .
2) Se supone que C es una constante y X es una variable aleatoria. Entonces, E(CX) = CE(X).
Demostración :
E(CX )=∫−∞
+∞Cxf ( x )dx=C∫−∞
+∞xf (x )dx=CE(X )
Propiedades del valor esperado de una variable aleatoria continua
Sea c una constante y sean g(Y) , g1(Y), g2(Y) ... gk(Y) funciones de una variable aleatoria Y. Entonces:
1.- E(c) = c
2.- E ( cg(Y) ) = cE(g(Y)
3.- E (g(Y) + g1(Y)+ g2(Y)+ ... +gk(Y) = = E (g(Y) +E( g1(Y)+ E g2(Y)+ ... +E(gk(Y)
La varianza de una v.a.c.
62
......... 2 2V(Y) = E( Y - )
Encuentre la varianza para una variable aleatoria tipo gamma
La desviación estadar es la raíz cuadrada de la varianza
Teorema 2 2(X) = E( X ) – ( E (X))
f ( x )={Ke−3X−−−−( X≻0 )
0−−−−−−(e .o .c . )
a) Encontrar K.b) Encontrar F(X).c) Encontrar el valor de:
P (X 1/2)P (1 X 1.5)P (X 58)P (X = 10)P (1/2 X 50)
a) Encontrar K
∫0
∞Ke−3 X dX=K∫0
∞e−3 X dX=K [−e−3 X
3 ]∞0 =K [− e−∞3+ e
0
3 ]=13K
K=3 ; f(X) = 3e - 3X
b) Encontrar F(X).
F(X) = ∫0
x3e−3 tdt=3 [− e−3 t
3|x
0 ]=−e−3 x+e0
= 1-e -3x c)
P (X 1/2) = P (0 X 1/2) = F (½) – F (0) = ( 1 – e- (1/2) (3) ) – 0 = 0.7769P (1 X 1.5) = F (1.5) – F (1) = ( 1 – e- (1.5) (3) ) - ( 1 – e- (3) ) = 0.0387P (X 58) = P (0 X 1/2) = F () – F (58) = 1 – 1 = 0P (X = 10) = F (10) – F (10) = 0P (1/2 X 50) = F (50) – F (1/2) = 1 – 0.7769 = 0.2231
f ( x )={c ( x2+1)−−−−(0≤X≤2 )
0−−−−−−−(E .O .C . )
63
.........a) C = ?b) F(x) c) Dibujar f(x) y F(x)d) Encontrar
P (1/3 x 1)P (3/2 x)P (3/2 = x)P (-1 x 4/2)
a)
∫0
2cx 2dx+∫0
2cdx=c∫0
2x2dx+c∫0
2dx=c [ x3
3|20 ]+c [ x|20 ]=c([ 2
3
3+0]+[2−0 ])
= 14/3 c = 1 ; c = 3/14 f(x) = 3/14 (x 2 + 1) b) F(x) =
∫0
x 314
(t2+1 )dt= 314∫0
xt2dt+ 3
14∫0
xdt= 3
14 ([ t33 |x0 ]+[ t|x0 ])= 3
14 ( x3
3+x )
c) Dibujar f (x) y F (x)
3/14 0f(x) = 6/14 F(x) = 4/14
15/14 1
d) Encontrar : P(1/3 x 1)=F (1) –F (1/3)=[3/14 (13/3 + 1)]–[3/14 ( (1/3)3/3 + 1)]=0.2116P (3/2 x) = P (3/2 x 2) = F(2) - F(3/2) = 37/32P (3/2 = x) = F(3/2) – F(3/2) = 0P (-1 x 4/2) = F(4/2) – F(-1) = 3/14 (23/3 + 2) – 0 = 1
f ( x )={K √x−−−−(0≺X≺1 )
0−−−−−(E .O .C . )
a) Encontrar K.b) F(x) y expresarla en intervalos c) Con la función acumulativa encontrar:
P(x 1/2)
64
.........P(x 1/3)P(1/3 x 0.9)P(x = 1/5)
d) E(x)e) E(x2)f) VAR (x)g)
a)∫0
1k √ xdx=k∫0
1x1/2dx=k ( x3/2
3 /2|10)=k ( 13/2
3 /2 )=2 /3k
b) F(x) = ∫0
x3 /2√ t dt=3 /2∫0
xt1/2dt=3/2[ t3/23 /2
|x0 ]=x3/2
0 0 x F(x) = x3/2 0 x 1
1 x 1c)
P(x 1/2) = P(- x 1/2) = F(1/2) – F(- ) = (1/2)3/2 – 0 = 0.3535P(x 1/3) = P(1/3 x) = F(1/3) – F(- ) = (1/3)3/2 -0 = 0.1924P(1/3 x 0.9) = F(0.9) – F(1/3) = (0.9)3/2 – (1/3)3/2 = 0.6613P(x = 1/5) = F(1/5) – F(1/5) = 0
d) E(x)= ∫0
1x (3 /2√x )dx=3/2∫0
1x3/2 dx=3/2[ x5/2
5/2|10]=3/2
5/2(15/2 )=3 /5
= 3/5 = 0.6
e) E(x2) = ∫0
1x2 (3/2√x )dx=3 /2∫0
1x5/2dx=3 /2 [ x7/2
7 /2|10 ]
= ((3/2)/(7/2)) (17/2) = 3/7 = 0.4285f) VAR (x) = E(x2) - 2 = 3/7 – (3/5)2 = 68.57x10 -3
g) = √VAR( x )= (68.57x10-3) = 0.2618
F ( x )={ 0−−−−−−−−−−−−−− (x≺2 )
2/27 x+1/27x2−8 /27−−−− (2≤x≤5 )1−−−−−−−−−−−−−−( x≻5 )
a) f(x)b)
P(- 4 x 1.5) P(2.5 x 4.5)P(4.5 5)P(3.1 x)
c) E(x)
65
.........d) VAR(x)e) I = 1.5f)
a) f (x) =
∂ (2 /27 x+1/27 x2−8/27 )∂ x
= 227
+ 127
(2 x )=2/27 x+2/27
b)P(- 4 x 1.5) = F(1.5) – F(- 4) = 0 – 0 = 0P(2.5 x 4.5) = F(4.5) – F(2.5) = 0.7870 – 0.1203 = 0.6667P(4.5 5) = P(4.5 x ) = F() – F(4.5) = 1 – 0.7870 = 0.2130P(3.1 x) = P(- x 3.1) = F(3.1) – F(- ) = 0.2892 – 0 = 0.2892
c) E(x)=
∫2
5x (2/27 x+2/27 )dx=2/27[∫2
5x2dx+∫2
5x dx ]=2/27[( x3
3|52)+( x
2
2|52)]
= 2.8888 + 0.7777 = 3.6665d) VAR (x)
E(x2) =
∫2
5x2 (2/27 x+2 /27 )dx=2/27∫2
5x2 ( x+1 )dx=2/27 [∫2
5x3 dx+∫2
5x2dx ]
=2 /27 [( x4
4|52)+( x
3
3|52 )]=14 . 1666
VAR (x) = 14.1666 – (3.6665)2 = 0.7226
σ=√VAR( x )=√0 .7226=0 .85e) I = 1.5 I = {2.3916 , 4.9416}
Calcule y 2 para la variable aleatoria continua de f(y) que se enuncia. Luego calcule P( - 2 < y < + 2 ) y compare el resultado con la regla empírica.
f ( y )=¿{(1c)e− y
2 y > 10 ¿ ¿¿¿
∫−∞
∞
f ( x ) dx=∫0
∞
e− y
2 dy+∫0
∞ 1ce− y
2 dy
66
.........1c∫−∞
0
ey2 dy+
1c∫0
∞
e− y
2dy=2c[e y 2]−∞
0
−2c[e− y2 ]
0
∞
=2c
[e0−e−∞ ]−2c
[e−∞−e0 ]=2c
[−1 ]=4c=1⇒ c=4
a)
μ y=E ( y )=∫0
∞
yf ( y ) dy
=∫−∞
0y4
ey
2 dy+∫0
∞ y4
e− y
2 dy
=14∫−∞
0
yey
2 dy=14[2 ye
y2−4e
y2 ]−∞
0
=14
[−4 ]=−1
=14∫0
∞
ye− y
2 dy=14[−2ye
− y2−4e
− y2]=1
4[+4 ]=1
=−1+1=0
b) ∇ y2
∇ y2=V ( y )=∫
∞
∞
( y−μ )2⋅f ( y ) dy
=24 ∫−∞
0
y2ey
2 14 ∫−∞
0
y2ey
2 dy=2 y2 ey
2−4 ∫ y e y
2 dy
=14[2 y2 e
y2−4 {2 ye y 2−4 e
y2}]∞
0
=24
[16 ]=8
67
v ( y )=∫−∞
∞
( y−0 )2 f ( y )dy=∫−∞
∞
y2 14ey2 dy+∫
−∞
0
y2 14ey
2dy
.........
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Supongamos que X es una variable aleatoria continua que toma todos los valores en el intervalo [a, b], en donde ambos a y b son finitos.Si la fdp (función densidad de probabilidad) de X está dada por:
f ( x )={ 1b−a
a≤x ≤b
0 parael resto
La función de distribución de probabilidad es:
F ( x )={ 0 x<ax−ab−a
a≤x<b
1x ≥b
Decimos que X está distribuida uniformemente en el intervalo [a, b].
Una variable aleatoria uniformemente distribuida tiene una fdp que es una constante en el intervalo de definición. A fin de satisfacer la condición:
∫f(x)dx = 1 en (-, +)
esta constante debe ser igual al recíproco de la longitud del intervalo.Una variable aleatoria distribuida uniformemente representa la analogía continua a los resultados igualmente posibles en el sentido siguiente. Para cualquier sub-intervalo [c, d], en donde a c d b , P(c X d) es la misma para todos los sub-intervalos que tienen la misma longitud. Esto es,
P(c X d) = ∫f(x)dx = (d – c)/(b-a)
Y así solo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación del intervalo.
Ahora podemos hacer precisa la noción intuitiva de elegir un punto P al azar en un intervalo, por ejemplo [a, b]. Con esto sencillamente indicaremos que la coordenada x del punto elegido, por ejemplo X, está distribuida uniformemente en [a, b].
68
.........Se supone que X es una variable aleatoria continua que toma todos los valores en el intervalo (a,b), donde ambos, a y b son finitos. Si la fdp de X está dada por
f ( x )=1a−b
a≤x≤b .
=0 para cualquier otro valor.
EJEMPLO
Un punto se elige al azar sobre el segmento de línea [0, 2]. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto escogido quede entre 1 y 3/2?
Representando la coordenada del punto elegido por X, tenemos que la fdp de X está dada por f(x) = ½, 0 < x < 2, y por tanto P(1 X 3/2) = ¼.
Se puede suponer que la dureza, H, de una muestra de acero es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente sobre [50, 70] en la escala B. Por tanto:
f(h) = 1/20 , 50 < h < 70
= 0, en otro lado
Supóngase que una despachadora automática de un liquido nunca da menos de 6cm3 ni más de 10cm3 y cualquier cantidad de liquido entre 6 y 10cm3 tiene la misma probabilidad de ocurrir. Al despachar cierta cantidad, determinar la probabilidad de que sea:
a) 7cm3 b) 6cm3 c) cualquier cantidad de entre {7 a 9}cm3 d) el promedio t desviación estándar que tiene la despachadora
automática.
f ( x )= 110−6
=14
a) P(x = 6) = ∫6
61/4 dx=1/4 (x|66)=1/4 (6−6 )=0
b) P(7 x 10) = ∫7
101/ 4dx=1/ 4 (10−7 )=3 /4
c) P(6 x 9) = ∫6
91/4 dx=1/4 (9−6 )=3 /4
d) E(x) =
10+62
=8
VAR ( x )=(10−6 )2
124 /3
69
......... Considere la temperatura ambiental promedio para una región de Polonia
se distribuye de igualmente entre los niveles que vende -20°C a 20°C para un invierno cualquiera:
a) Probabilidad de que la temperatura sea 10°Cb) 10°C y 5°Cc) {-10°C a 10°C}
f ( x )= 1
(20− (−20 ) )= 1
40
a) P(-20 x 20) = ∫−20
101 /40dx=1/40 (x|10
−20)=1/40 (10− (−20 ) )=3 /4
b) 10°C y 5°C = P(5 x 10) =
∫5
101/ 40dx=1/40( x|10
5 )=1/40 (10−5 )=1/8
c) P(-10 x 10) = ∫−10
101/ 40dx=1/40 (x|10
−10)=1 /40 (10− (−10 ) )=1/2
Una función uniforme se cree que tiene una maquina que fabrica tornillos entre los valores de 5 y 12mm.
a) Encuentre la función de densidad, haga su grafica, encuentre su media y desviación estándar e indique sus valores en la grafica.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tornillos sus dimensiones sean menores de 8mm?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que los tornillos sean mayores a 9mm?d) Si una constructora desea tornillos de 6 a 9.5 mm, ¿Cuál es la
probabilidad de encontrar esos tornillos en esa producción?
Solución a:
70
.........
r = 2.02
Solución b:
Solución c:
Solución d:
Sea
f(x) =
1b−a
= 150−20
= 130paara20≤x≤50
Encontrar A,B,C
A) 35
71
......... ∫20
351
30dx= 1
30x
=
3530
−2030
=1530
=12
20
B) (x < 25 o x > 45) = P(x < 25 U x > 45 ) = P(25≤x≤45 )
45
∫25
451
30dx= 1
30x
4530
−2530
=2030
=23
25
C)
μ±1.5σ
μ=E (X ) =a+b
2=20+50
2=35
VAR=(b−a )2
12=
(50−20 )2
12=
(30 )2
12=75
σ=√VAR=√75=8 . 66
Con la siguiente función acumulativa encontrar las siguientes probabilidades.
P(2 < x ≤ 6)P(x = 4)P(7 < x < 9)P(x >5)P(x >3)
0 x<11/3 1 < x < 4
F(x)= ½ 4 < x <65/6 6 < x <101 x > 10
P(2 < x ≤ 6) = P(3 < x ≤ 6) = F(6) – F(2) =5/6 - 1/3 = 3/6 = 1/2
P(x = 4) = F(4) – F(3) =1/2 - 1/3 = 1/6
P(x >5) = P(x >4)= 1- F(4) = 1-1/2=1/2
P(x >3) = 1- F(3) = 1-1/3=2/3
72
.........El tiempo y entre dos pausas en una terminal de edición en pantalla completa (esto es, el tiempo necesario para que la terminal procese un comando de edición y haga las correcciones en la pantalla) se distribuye uniformemente entre .5 y 2.25 segundos.
a. calcule la media y la varianza de yb. localice el intervalo 2 en una gráfica de la distribución de
probabilidad y calcule P ( - 2 < y < + 2 ). Compare su resultado con la regla empírica.
c. ¿Qué probabilidad hay de que la terminal procesará un comando de edición y hará las correcciones apropiadas en la pantalla en menos de un segundo?
1β−∞ }Distribución de probabilidad uniforme
f ( x )=¿ { 1β−α
∇ α<x<β ¿ ¿¿¿
= 2.25 seg = 0.5 seg - = 2.25 – 0.5 = 1.75 seg
f ( x ) =¿ {0. 5714 ∇ . 5 <x<2 .25 ¿ ¿¿¿¿
¿
a) μx=
α+β2
=0 . 5+2 .252
=1 . 375
Varianza ∇ x
2= 112
(β−α )2= 112
(2. 25−0 .5 )2=0 . 2552
b)
P ( -2 < y < + 2) = 1.375 – 2 ( 0.505) = 0.3651.375 + 2 (0.505) = 2.385
y
0.5714
.5 2.25
73
.........P(0.365 < y < 2.385) =
∫0 .365
2 .385
F( x ) dx= ∫0. 365
2. 385
0 .5714 dy=
∫0 .365
2 .385
dy=0 .5714 [ y ]0.3652.385=0. 5714 x [2 . 02 ]=1 .15422
P ( y<1)=∫−∞
1
F ( y ) dy=∫0 .5
1
0 .5714 dy=0 .5714∫0 . 5
1
dy
=0.5714 [ y ]10 . 51 =0 .2857
El tiempo y entre dos pausas en una terminal de edición en pantalla completa (esto es, el
tiempo necesario para que la terminal procese un comando de edición y haga las correcciones
en la pantalla) se distribuye uniformemente entre .5 y 2.25 segundos
a) calcule de Yb) ¿Qué probabilidad hay de que la terminal procesara un comando de
edición y hará las correcciones apropiadas en la pantalla en menos de 1 seg.
Utilizando distribución uniformeA = 2.25B = 0.5a) a + b 2.25 + .5 = --------- = -------------- = 1.375 2 2
(b – a)2 ( 0.5 – 12 )2 2 = ------------- = ----------------- = 0.2552
12 12
1b) p(y < 1) f(y) = --------------- = 0.571
2.25 – 0.5
1 1P( y < 1) = 0.571dy = 0.571( y ) = 0.571 ( 1-0.5) = 0.2857 0.5 0.5
Investigadores de la University of Calofornia-Berkeley han diseñado, construido y probado un circuito de condensador conmutado para generar
74
.........señales aleatorias. Se demostró que a trayectoria del circuito estaba distribuida uniformemente en el intervalo (0,1).
a. Indique la media y a varianza de la trayectoria del circuito.b. Calcule a probabilidad de que la trayectoria esté entre .2 y .4.c. ¿esperaría usted observar una trayectoria que excediera .995?.
solución:
μ=a+b2
=0+12
=. 5
σ 2=(b−a )2
12=1 /12=.083
σ=1/√12=. 2886
f ( y )=1b−a
=1
P(0 . 2 a 0 .4 )= f ( y )( . 4−. 2)= .2
El tiempo y entre dos pausas en una terminal de edición en pantalla completa (esto es, el tiempo necesario para que la terminal procese un comando de edición y haga las correcciones en la pantalla) se distribuye uniformemente entre .5 y 2.25 segundos.
a. Calcule la media y la varianza de y.
b. Localice el intervalo μ±2σ en una gráfica de la distribución de probabilidad
y calcule P( μ−2σ< y<μ+2σ ).c. ¿qué probabilidad hay de que la terminal procesará un comando de edición
y hará las correcciones apropiadas en la pantalla en menos de un segundo?
Solución:
75
.........μ=. 5+2 . 252
=1 . 375
σ 2=(2. 25−.5 )2
12=.2552
σ=.505
f ( y )=12. 25−. 5
=.571
P( . 365< y 2. 385 )=f ( y )(2 .2− .365 )=1 .047P( y<1 )=.571( . 5 )=. 2855
La distribución exponencial.
Definición. Se dice que una variable aleatoria continua X que toma todos los valores no negativos tiene una distribución exponencial con parámetros α>0 si su fdp está dada por:
f ( x )=αe−αx , x>o
=0 para cualquier otro valor.
Una integral inmediata indica que:
∫0
∞f ( x )dx=1
y, por tanto, la ecuación representa un fdp.
La distribución exponencial desempeña un papel importante en la descripción de una gran clase de fenómeno, especialmente en el área de la teoría de la confiabilidad. Por el momento, sólo investiguemos algunas de las propiedades de la distribución exponencial.
Propiedades de la distribución exponencial.
a) La fda F de la distribución exponencial está dada por:
F ( x )=P(X≤x )=∫0
xαe−αt dt=1−e−αx , x≥0
76
......... = 0 para cualquier otro valor.
Por tanto, P(X>x )=αe−αx
b) El valor esperado de X se obtiene como sigue:
E( X )=∫0
∞x αe−αx dx
Integrando por partes y haciendo αe−αxdx=dv y x=u, obtenemos v=v=−e−αx y
du=dx. Luego
E( X )=[−xe−αx ]|0∞+∫0
∞e−αx dx= 1
α
c) La varianza de X puede obtenerse con una integración semejante.
Encontramos que E( X2 )=2/α 2
y por lo tanto,
V (X )=E (X2 )−[E( X ) ]2= 1
α2
La distribución exponencial tiene la siguiente propiedad importante, análoga a la ecuación descrita para la distribución geométrica. Considerando para cualquier s, t>0, P(X>s+t | X>s). Tenemos:
P(X>s+ t|X>s )=P(X>s+ t )P(X>s )
= e−α ( s+t )
e−αs=e−αt
Por lo tanto,
P(X>s+ t|X>s )=P( X>t )
Así hemos demostrado que la distribución exponencial también tiene la propiedad de "no tener memoria" como la distribución geométrica.
77
.........Un caso especial muy importante de la distribución gama, se obtiene si
hacemos α=12 y r=n/2, donde n es un entero positivo. Obtenemos una
familia de distribuciones de un parámetro con fdp
f ( z )1
2n
2Γ (n/2)zn
2−1e−z
2
, z>0
Una variable aleatoria Z que tiene fdp dada por la ecuación anterior se dice que
tiene una distribución X-cuadrada con n grado de libertad (se denota con X2n ).
Una consecuencia inmediata de la ecuación del inciso c, es que si Z tiene fdp de la ecuación anterior, tenemos:
E(Z )=n , V (Z )=2n
Ejemplo
Un enfermo de gripa tiene tos a un promedio de 6
5 de accesos de tos por minuto.Calcular la probabilidad de que en un momento dado transcurra mas de 1 minuto hasta el segundo acceso de tos dado que el acceso ocurrió.
P( x>1)=∫1
∞ 65e−6
5xdx=6
5∫1
∞
e−6
5xdx=−6
5 ( 56 )∫1
∞
eudu=−e−6
5x|1∞=
*
u=−65x
du=−65dx
*=−e−6
5∞−(−e−
65 )=0+0. 3012=0. 3012
La duración (en horas) de la unidad central de proceso de cierto tipo de microcomputadora es una variable aleatoria exponencial con parámetro =1,000.
a. Calcule la media y la varianza de la duración de la unida central de proceso.b. ¿Qué probabilidad hay de que una unidad centra de proceso tendrá una
duración de por lo menos 2,000 horas?c. ¿Qué probabilidad hay de que una unidad centra de proceso tendrá una
duración de cuando más 1,500 horas?
78
.........Solución:a) =1000 2=2=1000000
b)P(2000)=e-y/ = e-2000/1000 = .135
c)P(y<1500)=1-e-1500/1000 = .7768
Vardeman y Ray sugieren que el número de accidentes industriales se puede modelar mediante una distribución exponencial. Suponga que el número de accidentes por hora en una planta industrial está distribuido exponencialmente con una media de =.5.
a. ¿Qué probabilidad hay de que al menos un accidente ocurrirá en una hora escogida al azar en la planta industrial?.
b. ¿qué probabilidad hay de que menos de dos accidentes ocurrirán en una hora escogida al azar en la planta industrial?
Solución:
a)P(1)=e-1/.5 = .1353
b)P(y<2)=1-e-2/.5 =.98168
79
.........
DISTRUBUCION NORMAL.
La distribución normal o campana de Gauss es una de las distribuciones más importantes y de mayor aplicación en la estadística inferencial por medio de la cual y bajo ciertas condiciones los Investigadores Generalizan los resultados obtenidos en una muestra a toda la población.
Es una distribución probabilística para una variable aleatoria continua, la cual tiene simetría perfecta, forma de campana unimodal. La mediana y la moda de la distribución son todas iguales y están localizadas al centro de la distribución. Las medidas de la varianza, compactas o dispersas fuera de la distribución, están alrededor de las media.
función de densidad de probabilidad normal esta dada por:
f x ( x )= 1
√2πσ 2e−1
2 ( x−μσ )2
Si es la media y es la varianza de una variable aleatoria normal Y, entonces la formula
f(y), la cual usamos para trazar curva normal de distribución, es:
80
......... x=μ−3 x=μ+3
f x (μ+3 )=ke
12 ( μ−3−μσ )2
=ke−12q
r2=ke12q
r 2
f x (μ−3 )=ke
12 ( μ+ 3−μσ )2
=ke− 12q
r2=ke12q
r2
En donde e es la base de los logaritmos naturales elevada a la potencia.
Gráficamente:
- + x
Observamos que:
1) La curva es simétrica respecto al valor de x = E[x] = .2) Tiene un máximo en x = E [X ] = cuyo valor es:
fx (X )= 1
√2πσ 2= 1σ √2π
3) Si la curva es aguisada ( Los datos están concentrados alrededor de E[X]: poca dispersión.
4) En x = +- se tienen los puntos de inflexión de la curva ya que:
81
......... a ) f ( x )≥σ
b )∫−∞
∞
fx( x )dx= 1
√2πσ 2∫−∞
∞
e12 ( x−μσ )2
dx=1
Marcas normalizadas o marcas Z. Una marca normal, o marca Z es una numero que mide que tan cerca esta cualquier medición dada con respecto a la media de todas las mediciones. La marca Z esta expresada en unidades de desviación estándar. Obtenemos la marca Z sustrayendo la media de las desviaciones , de cada media individual, y dividiendo entonces entre la desviación estándar de ellas esto es:
Z=Y−μσ
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR.
Si estandarizamos todas las mediciones en una distribución normal que tiene una medida y una desviación estándar , llamamos a la distribución resultante distribución normal estándar. Esta tiene una media igual a 0 y una varianza y desviación estándar iguales a 1.
En otras palabras, si Y es una variable aleatoria distribuida normalmente, entonces
f ( x )=pr (X≤X )=∫−∞
x
fx (x )dx=1
√2πσ 2∫−∞
x
e−1
2( x−μσ )2
dx
I=∬ e−x
2
e− y2
dxdy
I=∫e y 2
dy=1
Que esta también normalmente distribuida, con una medida 0 y una varianzas igual a 1.
82
......... LA MEDIA Y LA VARIANZA DE DISTRUBUCION NORMAL.
La media de una variable aleatoria Y es una medida de posición para la distribución probabilística de Y. Se le simboliza por una y se calcula al sumar el producto de cada valor de Y con su probabilidad correspondiente sobre todos los valores posibles (y1,y2, ......yn) de Y En otras palabras, si Y toma los valores de y, entonces:
μ=∑ yP( y )
En donde sumamos a través de todos los valores de y.
Varianza y desviación estándar de una distribución probabilística. Son medidas de variabilidad que reflejan el grado de dispersión de una variable aleatoria con respecto a la media
σ2=∑ ( y−μ )2P(Y )
Una formula alternativa es:
σ2=∑ y2P ( y )−μ2
La desviación estándar de una distribución probabilística es la raíz cuadrada de la varianza estos es:
σ=√σ2=1
donde la Acumulativa numérica esta dada por
ΦZ ( z )=P [Ζ≤Z ]
Ejemplo:
83
......... Las edades de un grupo de 30 personas están distribuidas normalmente con medida de 19 años y la probabilidad de que la edad de una persona seleccionada al azar se encuentra entre 18 y 20 años es de 0.4371.
a) Calcula la varianza de las edades.b) Calcula la probabilidad de que la edad de una persona sea mayor de 21
añosc) Calcula el numero aproximado de personas mayores a 21 años.
Solución:
X es una v.a.n (19,)
P [ 18≤20 ]=0 .4321
a )P [18≤X≤20 ]=P[18−19σ
≤X−μσ
≤20−19σ ]
Φz (Z )+Φ (−z )=1
2Φ(1σ )=1 .434212
ΦZ ( .57 )=. 7157
σ=1.57
≃1 .7544
σ=3 . 0779
X es v.a.n. ( 19,3.0779)
b )P [X<21 ]=P [21<X<∞ ]ΦZ
(∞ )−ΦZ (1 .1399 )=1−ΦZ (1. 14 )1−0. 8925=0 .1075
C) 30 P [X>21 ]=30(0 . 1075)=3. 225
Suponga que la temperatura (ªC) esta distribuida con esperanza 50ª y varianza 4 ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura este entre 48 y 53 ªC.
84
......... E [T]= 50 V [T]= 4 P[48<T<53]
=ΦZ (53−502 )−ΦZ (48−50
2 )¿ΦZ (1 .50 ))−ΦZ (1 .00 ' )¿ . 9332−0 . 1587¿ . 7745
Suponga que una distribución normal tiene una media de 100 y una desviación estándar de 10 (esto es, Y esta normalmente distribuida de tal forma que =100 y =10) ¿Cuál es la probabilidad de que una media escogida aleatoriamente pueda estar entre 100 y 110?
Solución:
Z= 110-100 10 --------- =--- =1.00 10 10
Consultando la tabla normal estándar para Z = 100, encontramos el numero 0.3413. Este numero representa el área entre la media (100) y un segmento de recta a una desviación estándar hacia la derecha de la media (110) por la tanto la probabilidad de que una observación caiga en el intervalo es de 0.3413.
En un estudio de las personas adultas sanas, se encuentra que el 30% dormían menos de 7.2hs. Diarias, mientras que el 40% dormían menos de 7.5 horas diarias. Si se supone que el sueño tiene una distribución normal, cual es la media y la distribución Standard del No, de horas de sueño diarias
85
.........Z1=X1−μΓ
−0 .52←0.3015⇒−0 .525 . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .−0 . 25←0 .4013⇒−0 .255−053←0 . 2981 .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .−0 . 26←0 .3974
−0 .525=7 . 2−μΓ
. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..−0 .255=7 .5−μΓ
−0 .525Γ−7 . 2=μ .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .−0 . 55Γ=7 . 5−μ−0 .525Γ−7 . 2+μ=0 . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..−0 .255 Γ−7 . 5+μ=0
−0 .525Γ−7 . 2+μ=0−0 .255Γ−7 . 5+μ=0μ=0. 525 Γ+7 . 2−0 .255Γ 7 . 5+0 . 525 Γ+7 .2=00 . 27Γ=0 .3
Γ=0 .30 .27
=1 .111
μ=0. 525(1 .111 )+7 . 2=7 . 88
Se observo durante largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones en cierta fabrica tiene: = 400 pesos, y = 20. si el presupuesto es de 450 pesos.
a) Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que el propuesto.
b) Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean menores que el propuesto.
c) De cuanto debe de ser el presupuesto para que las reparaciones sean menores a un 10% de rebasar el presupuesto.
= 400 = 20
a) P (x 450) = P (450≺x≺∞ )=P(450−400
20≺z≺∞)=P (2 .5≺z≺∞ )
=F (∞ )−F (2.5 )=1−0 . 9938=0 .62 %b) P (x 450) =
P (0≺x≺450 )=P( 0−40020
≺z≺450−40020 )=P (−20≺z≺2 .5 )
=F (2.5 )−F (−20 )=0. 9938−0 .0228=97 . 1%
En un estudio de la personas adultas sanas, se encontró que el 30% dormían menos de 7.2Hrs diarias, mientras que el 40% dormían menos de 7.5Hrs diarias. Si se supone que el sueño tiene una distribución normal cual es la media y la desviación estándar del numero de haz de sueño diario.
86
.........P(x 7.2) = 30%P(x 7.5) = 40%
7 .2−μσ
=−0 .525
7 .5−μσ
=−0 .255
−0 .525σ+μ=7 . 2−0 .255 σ+μ=7 .5
σ= −0 .3−0 .27
=1.11
μ=7 .2+0 .525(1.11)=7 .7827
Se observó durante un largo periodo que la cantidad semanal gastado en el mantenimiento y reparaciones en cierta fabrica tiene una media de $400 y una desviación de de $20.Si el presupuesto es de $450a)¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que el presupuesto?b)¿De cuanto debe ser el presupuesto para que las reparaciones no rebasen el 10%?
μ = 400 σ = 20
a) P(x>450) = P[(x – μ)/σ > (450-400)/20)]
P(z> 2.5) = 1-F(2.5)= 1(0.9938) = 0.0062
Z=-1.28 aprox 10%
b) Z=( x – μ)/σ
Despejando a x
x = zσ + μ x = (-1.28)20 + 400 = 374.4
Los marcapasos sirven para controlar el latido del corazón de pacientes cardiacos, y cada año se implantan más de 120,000 de estos dispositivos. Un solo marcapasos está constituido por varios componentes biomédicos que deben ser de alta calidad para que el marcapasos funcione. Es vital que los fabricantes de marcapasos utilicen componentes que cumplan con las especificaciones. Una pieza de plástico en particular, llamada módulo conector, se monta en la parte superior del marcapasos. Los módulos conectores deben tener una longitud de entre .304 y .322 pulgadas para funcionar correctamente. Cualquier módulo cuya longitud se salga de estos límites está “fuera de
87
.........especificación”. En Quality (agosto de 1989) se informó de un proveedor de módulos conectores que había estado enviando al fabricante durante 12 meses componentes fuera de especificación.
a. Se observó que las longitudes de los módulos conectores producidos por el proveedor seguían una distribución aproximadamente normal con una media de = .3015 pulgadas y una desviación estándar de = .0016 pulgadas. Utilice esta información para calcular la probabilidad de que el proveedor produzca un componente fuera de especificación.
b. Una vez que se detectó el problema, el personal de inspección del proveedor comenzó a utilizar un sistema automático de recolección de datos diseñado para mejorar la calidad del producto. Después de dos meses, el sistema estaba produciendo módulos conectores con una media de = .3146 pulgadas y una desviación estándar de = .0030 pulgadas. Calcule la probabilidad de producir un componente fuera de especificación. Compare su respuesta con la del inciso a.
= 0.3015 = 0.0016 = 0.304 b = 0.322
=
x−μ∇ = Variable Aleatoria Normal Estándar
a) P ( a < x < b ) = F ( 0.355 ) – F ( 0.304) =
=φ( 0 .322−0 .30150 . 0016 )−φ ( 0. 304−0 .315
0 .0016 )=φ (12.8125 )−φ (1.5625 )=
= 1-0.9406 = 0.0594
1-P ( a < x < b ) = 1 – 0.0594 = 0.9406
b) = 0.3146 = 0.003
P ( a < x < b ) = F ( 0.322) – F ( 0.304)=
=φ( 0 .322−0 .31460 . 0030 )−φ( 0 .304−0 .3146
0.0030 )=φ (2 .466 )−φ (−3 .53 )=
= 0.9931-0
1-P (a < x < b ) 1- 0.9931 = 0.0069
88
.........Suponga que la fuerza que actúa sobre una columna que ayuda a sostener a un edificio, está
normalmente distribuida con media de = 15 kips, y desviación estándar de = 1.25. ¿Cuál es
la probabilidad de que la fuerza?
a) Sea a lo sumo 17 kips.
b) Sea entre 12 y 17 kips.
a) P(y 17) z = (17 – 15) / 1.25 = 2 / 1.25 = 1.6
valor en las tablas = 0.9452.
b) P(12 y 17) z1 = (12 – 15) / 1.25 = -3 / 1.25 = -2.4
valor en tablas = 0.0082
z2 = (17 – 15) / 1.25 = 2 / 1.25 = 1.6
valor en tablas = 0.9452
0.5 – 0.0082 = 0.4918
0.5 – 0.9452 = 0.4452
P = 0.4918 + 0.4452 = 0.937
Se regula una maquina despachadora de refresco que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estandar igual a 15 mililitros
a) ¿Que fracción de los vasos contendrán mas de 224 mililitros?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209
mililitros?c) La probabilidad de que un vaso tenga mas de 230 mililitros.d) El 25% de 1000 botellas es de 250
Aquí se tiene una distribución normal con una media=200ml. Y uns desviación estandar =15ml.
f ( x )= 1√2π σ
e−
(x−μ )2
2 σ
89
.........Haciendo cambio de variable:
z= x−μσ
= x−20015
a) La probabilidad de que un vaso tenga mas de 224ml. Se obtiene primero calculando:
z=224−20015
=1 .6
Así la probabilidad será:
P=∫1 . 6
∞ 1
√2πe− x2
2 dx=1−∫−∞
1 . 61
√2 πe− x2
2 =1−0 . 9452=0 . 0548
a) La probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209ml.
Z191=191−20015
=−0 .6
Z209=209−20015
=0.6
∫−0 .6
0 . 61
√2πe− x
2
2 =− ∫−∞
−0 .61
√2πe− x
2
2 +∫−∞
0. 61
√2 πe− x
2
2 =−0 .2743+0. 7257=04514
c)La probabilidad de que un vaso tenga mas de 230ml.
z=230−20015
=2
Así la probabilidad será:
P=1−∫−∞
21
√2πe− x
2
2 =1−0. 9772=0. 0228
Ahora si se tienen 1000 vasos la variable aleatoria Y definida como el numero de vasos con mas de 230ml. Tendrá distribución binomial con parámetros n=1000 y P=0.0228: la esperanza de tal variable será de :
nP=(1000 ) (0 .0228 )=22 .8≈23
90
.........b) El 25% de 1000 botellas es de 250; suponiendo que el valor querido nos da una probabilidad p y la variable aleatoria que nos da la cantidad de vasos con mas del valor querido se distribuye binomialmente entonces su esperanza deberá ser de
1000 P=250∴ p=0 .25
buscando en tablas el valor de z tal que
∫−∞
z1
√2πe− x
2
2 =0. 25
z=−0 .67
recordando que:
z=x−μσ
=x−20015
∴ x=15 z+200
x=15 (−0 . 67 )+200=189. 95
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD JI CUADRADA
Ejemplo 1 En el estudio de un taller, se obtuvo un conjunto de datos para determinar si la proporción de artículos defectuosos producidos por los trabajadores era la misma durante el día, la tarde o la noche. Se encontraron los siguientes datos:
91
Turno
Día Tarde Noche Total
DefectuososNo defectuosos
45(57.0)905(893.0)
55(56.7)890(888.3)
70(56.3)870(883.7)
1702665
Total 950 945 940 2835
TurnoDía Tarde Noche
DefectuososNo defectuosos
45905
55890
70870
......... Frecuencias observadas y esperadas
Utilice un nivel de significancia de 0.025 para determinar si la proporción de artículos defectuosos es la misma para los tres turnos.
Solución Sea que p1,p2 y p3 representen las proporciones reales de artículos defectuosos para los turnos del día, la tarde y la noche, respectivamente. Al utilizar el procedimiento de los 6 pasos, se tiene: 1. Ho : p1 = p2 = p3
2. H1: p1,p2 y p3 no son todas iguales.3. alfa ( = 0.025.)4. Región crítica: X2 > 7.378 para v = 2 grados de libertad.5. Cálculos: En relación a las frecuencias observadas Oi = 45 y 02 = 55, se
encuentra: e1 =(950)(170)/2835=57 e2 =(945)(170)/2835=56.7
Todas las otras frecuencias observadas se encuentran por sustracción y se muestran en la tabla anteriorAhora,
X2= (45- 57.9) 2 + (55-56.7) 2 + (70 – 56.3) 2
57 56.7 56.3 + (905 - 893) 2 + (890 - 888.3) 2 + (870 - 883.7) 2
893.0 888.3 883.7 = 6.29
6. Decisión: No se rechaza H0 en a = 0.025. No obstante, con el valor calculado de P, realmente sería peligroso concluir que la proporción de artículos defectuosos producidos es la misma para todos los turnos.
2.- Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.
92
.........Solución:
Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:
al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.
Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.
Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.
Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:
Gráficamente:
Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.
93
.........
3.- En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.
Solución:
Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.
Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obteniéndose dos resultados. Para X2
(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.
Entonces el intervalo de confianza esta dado por:
y
4.- Una tabla de números aleatorios de 250 dígitos mostró la distribución de los dígitos 0,1,2,….9 que se muestra en la tabla adjunta.¿Difiere significativamente la distribución observada de la distribución esperada al nivel de 0.01?
Digito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Frecuencia Observada
17 31 29 18 14 20 35 30 20 36
Frecuencia Esperada
25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
SOLUCION: X2 = (17 - 25)2 / 25 + (31 - 25)2 / 25 + (29 - 25)2 / 25 + (18 - 25)2 / 25 +….. + (36 - 25)2 / 25 = 23.3
El valor critico de X20.99 pata v = k – 1 = 9 grados de libertad es de 21.7; como
94
.........23.3 > 21.7 se deduce que la distribución observada difiere significativamente de la esperada al nivel de significación del 0.01. Se deduce que cabe sospechar alguna tendencia no aleatoria en dicha tabla de números.
Ejemplo5:Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de
semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal. Solución:Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:
al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.
Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.
Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:
Gráficamente:
95
.........Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.
DISTRIBUCION "F" FISHER
Distribución F
EJEMPLO NUMERICO
1.- Si s=12 y s=22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas uno 10 y varianza dos = 15, respectivamente, encuentre
P(s12/s22 > 1.26).
Solución:
Calcular el valor de Fisher:
F= (S1/ S2)2 (2/1)2 = (1.26) ( 15/10) = 1.89
96
.........Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un área de 0.95, pero esta área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sería 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22 > 1.26.
2.- Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 unidades 2 se encuentren defectuosas?
2. ¿Y de que a lo sumo 2 se encuentren defectuosas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?
SOLUCION
1. Procedemos a calcular:
P(n10, 0, 05 =2) = (2/10) X 0.052 X (1 – 0.05)8 = 0.0746
2. Se tiene que:
P(n10, 0, 05 ≤ 2) = ∑(10/i) X 0.05i X (1- 0.05)10-i = 0.9884
3. Y por ultimo:
P(n10, 0, 05 ≥ 1) = 1- P(n10, 0, 05 = 0) = 1 – (10/0) X 0.050 X (1 – 0.05)10-0
= 1 – 0.5987 = 0.4013
97
.........3.- Si s12 y s22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 12 =10 y 22 = 15, respectivamente, encuentre P(s12/s22 > 1.26).
Solución:
Calcular el valor de Fisher:
F=(s1/s2)^2 * (var2/var1)^2=1.26*(15/10)=1.89
Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un área de 0.95, pero esta área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sería 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22 > 1.26.
4.- Un fabricante de baterías para automóvil garantiza que su producto durará
en promedio 3 años con una desviación estándar de un año. Con el objeto de
controlar la calidad y mantener dicha especificación realiza un muestreo anual.
Los muestreos realizados en tos tres últimos años, basados en grupos de 5
baterías permitieron calcular las siguientes varianzas muestrales:
Año 94 Año 95
Año 96
Si el fabricante trabaja con un nivel de significación :
a) ¿En qué años mantuvo el fabricante su norma de calidad?
b) ¿En que año fueron fabricadas las baterías con más precisión en cuanto a
su duración?
98
.........Si y son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños y
, seleccionadas de poblaciones normales con varianzas y respectivamente,
entonces
tiene una distribución F de Snedecor con y grados de libertad.
Observe que si es un valor calculado a partir de sendas muestras, podemos
pronosticar como son y entre si. Es decir si ha ocurrido algo extraño pues
dicho suceso tiene una probabilidad pequeña de ocurrencia , a menos que .
Análogamente, es poco factible que un valor calculado de f sea tal que , a
menos que sea muy pequeño, esto es, .
Resumiendo, a través de la gráfica siguiente, tenemos:
Se espera que así:
a) ó , esto es, ó .
b) ó , esto es, ó .
c) ó , esto es, ó
Observe que , o sea la probabilidad de que la varianza muestral difiera
significativamente de la varianza muestral , por esto definimos de nuevo a
como el nivel de significación.
Los tiempos en que los clientes llegan a las cajas registradoras se rigen por una distribución de Poisson. Se sabe que; durante un periodo de 30 minutos un cliente llegara a la caja. Calcula la probabilidad de que lleguen durante los últimos 5 minutos del periodo de media hora. SOLUCION: Como se dijo, el tiempo en que un cliente llega a una caja sigue una distribución uniforme en el intervalo (0,30).Si Y denota el tiempo en que este llega, Entonces: 30 P(25 ≤ Y ≤ 30) = ∫25 (1/30)dy = 30 – 25 / 30 = 5/30 = 1/6
La probabilidad de que el cliente llegue a la caja en cualquier otro intervalo de 5 minutos, es también de 1/6.
99
.........Se toman 2 muestras de tamaños 8 y 10 de dos poblaciones normalmente distribuidas con varianzas respectivas 20 y 36. Hallar la probabilidad de que la varianza de al primera sea doble que la de al segunda.
Solución:
Tenemos N1 =8, N2=10, σ 12=20 yσ 2
2=36 __ ∴
F=8S1
2/(7 )(20 )
10S22 /(9)(36 )
=1. 85S1
2
S22
El número de grados de libertad para el numerador y el denominador son V1 =N1-1 = 8-1 =7y V2 = N2-1 = 10-1=9. Ahora bien:
F=1 .85S1
2
S22>(1 . 85)(2 )=3 .70
100
.........
DISTRIBUCIÓN GAMMA
EJEMPLO: Suponga que el tiempo X de supervivencia en semanas de un ratón macho seleccionado al azar y expuesto a 240 rads de radiación gamma, tiene una
distribución gamma con α=8 y β=15 (datos de Survival Distribution sugieren α=8.5 y β=13.3). el tiempo esperado de supervivencia es E(X)=(8)(15)=120 semanas, en tanto que V(X)= (8)(15)2=1800 σ =
√1800=42.43 semanas. La probabilidad de que un ratón sobreviva entre 60 y 120 semanas.
P(X≤x )=F ( x ; α ; β )=F ( xβ ;α)P(60 ≤ X ≤ 120) = P(X ≤ 120) – P(X ≤ 60) = F(120/15 ; 8) – F(60/15 ; 8) = F(8 ; 8) – F(4 ; 8) = .547 - .051 = 0.496
la probabilidad de que un ratón sobreviva por lo menos 130 semanas es:
101
.........P(X ≥ 120) = P(X < 120) =1– (X ≤ 30) = 1 - F(30/15 ; 8) = 0.999 Suponga que el tiempo de reacción X a cierto estímulo en un individuo seleccionado al azar, tiene una distribución gamma estándar con α = 2 s. Puesto que P (a ≤ X ≥ b) = F(b) – F(a) Cuando X es continua, P (3 ≤ X ≥ 5) = F(5;2) – F(3;2) = .960 - .801 = .159
La probabilidad de que el tiempo de reacción sea más de 4 s es: P(X > 4) = 1 - P (X ≤ 4) = 1 - F(4;2) = 1 - .908 = .092La función gamma incompleta también se puede utilizar para calcular probabilidades en las que aparezcan distribuciones gamma que no sean estándar.
Un distribuidor mayorista de gasolina tiene taques de almacenamiento con un aprovisionamiento fijo. Los tanques se llenan cada lunes. Para el mayorista es interesante la proporción de este volumen que vende durante la semana. Durante muchas semanas se ha observado que esa proporción se modela muy bien con una distribución beta con α = 4 y β = 2. Calcular el valor esperado de esa proporción. ¿Será muy probable que el mayorista vende por lo menos el 90% de su capacidad en una semana determinada?
SOLUCION: De acuerdo con los datos mencionados, sea X la proporción del suministro total que se vende en una semana determinada, E (X) = α / α + β = 4 / 6 = 2 / 3
Para la segunda parte, lo que interesa es: 1 P(X > 0.9) = ∫0.9 [Г(4 + 2) / Г(4) Г(2)] x3(1 - x)dx 1 = 20 ∫0.9 (x3 – x4)dx = 20 (0.004) = 0.08
No es muy probable que se venda el 90% del suministro de una semana determinada.
Suponga que Y tiene una función de densidad de probabilidad gamma. Demuestre que , para los números a y b con 0<a y 0<b.
P(Y >a+b/Y >a)=P(Y >b )
Solución:De la definición de probabilidad condicional tenemos que:
102
......... P(Y >a+b )/Y >a )=P (Y >a+b)P(Y >a )
Porque la intersección de lo eventos (Y>a=b) y (Y>a) es el evento (Y>a+b). Ahora
P( y>a )=∫a
∞ 1βe− y / β dy=e−a/ β
Luego
P(Y >a+b/Y >a)= e−(a+b)/ β
e−a/ β=e−b/ β=P(Y >b )
Suponga que la longitud de tiempo, Y, para un cheque de mantenimiento periódico de una maquina sigue una distribución gamma de α = 3 y β = 2. Suponga que el nuevo fontanero tarda 14 minutos en verificar una maquina ¿Aparece que este tiempo en realizar el cheque de mantenimiento discrepa con la experiencia anterior?
La media es:
µ = α β y σ2 = α β2
Entonces.
µ = α β = (3) (2) = 6
σ2 = α β2 = (3) (4) = 12
σ=√12=3 . 46
14 - 6 = 8 minutos
En el ejemplo Y =14 minutos excedentes de 6 minutos por lo tanto K =
83. 46
P (Y−Μ≤Kσ )≤1
K2
P (Y−6≤8 )≤1K2
=3 . 462
82=12
64=0 . 1875
Suponga que el tiempo de reacción X a cierto estimulo de individuo seleccionado al azar tiene una distribución gamma estandar con =2s.puesto que
P(<=X<=b) = F(b) – F (a)
103
.........Cuando X es continua
P(3<=Xz=5) = F(5;2) – F(3;2) = .960 - .801 = .159
La probabilidad de que el tiempo de reacción sea mas de 4s es:
P(X>4) = 1 – P(X<=4) = 1 – F (4;2) = 1 - .908 = .092
DISTRIBUCIÓN GAMMA Distribución gamma.
En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros k y λ cuya función de densidad para valores x > 0 es
Aquí e es el número e y Γ es la función gamma. Para valores la aquella es Γ(k) = (k − 1)! (el factorial de k − 1). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribición distribución Erlang con un parámetro θ = 1 / λ.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son
E[X] = k / λ = kθV[X] = k / λ2 = kθ2
Relaciones
El tiempo hasta que el suceso número k ocurre en un Proceso de Poisson de intensidad λ es una variable aleatoria con distribución gamma. Eso es la suma de k variables aleatorias independientes de distribución exponencial con parámetro λ.
EJEMPLO: Suponga que el tiempo X de supervivencia en semanas de un ratón macho seleccionado al azar y expuesto a 240 rads de radiación gamma, tiene una distribución gamma con α=8 y β=15 (datos de Survival Distribution sugieren α=8.5 y β=13.3). el tiempo esperado de supervivencia es E(X)=(8)(15)=120 semanas, en tanto que V(X)= (8)
(15)2=1800 σ =√1800=42.43 semanas. La probabilidad de que un ratón sobreviva entre 60 y 120 semanas.
P(X≤x )=F ( x ; α ; β )=F ( xβ ;α)P(60 ≤ X ≤ 120) = P(X ≤ 120) – P(X ≤ 60) = F(120/15 ; 8) – F(60/15 ; 8) = F(8 ; 8) – F(4 ; 8) = .547 - .051 = 0.496
104
.........la probabilidad de que un ratón sobreviva por lo menos 130 semanas es:
P(X ≥ 120) = P(X < 120) =1– (X ≤ 30) = 1 - F(30/15 ; 8) = 0.999
DISTRIBUCIÓN T
Una de las distribuciones que tiene mayor uso en el análisis de datos provenientes de experimentos científicos es la llamada t de Student.La distribución t es simétrica, con media cero y de forma semejante a la normal estándar. Surge de la siguiente definición:Si Z es una variable N(0,1), y si X2 ~ X2(v) y es independiente de de Z, entonces la variable aleatoria definida por:
La cual tiene una distribución t de Student con v grados de libertad:
La distribución t, según se dijo, tienen una apariencia similar a la de la Normal estándar y, de hecho, se aproxima cada vez más a ésta a medida que se tienen más grados de libertad. La principal diferencia entre ambas es que la distribución de t tiene más área en las colas que la N(0,1).
Para calcular probabilidades en la distribución de t se presenta la tabla correspondiente cuyo uso se explica en seguida.
En la primera columna de la tabla se encuentran diferentes valores de los grados de libertad, mientras que en la primera hilera aparecen valores α de la variable t, denotados por t α (v), tales que:
Para localizar un valor específico de tα(v),se encuentra la hilera con grados de libertad v y sobre esa hilera la columna con la probabilidad α deseada. El valor que aparece en el cruce de esa hilera y esa columna es tα(v)
105
.........
EJEMPLO: Una empresa realizo un estudio del nivel de nicotina para una muestra de 220 cigarrillos producido por otra empresa. La tabla siguiente muestra la cantidad de nicotina contenida en cada uno de los cigarrillos de muestra.
22.5 26.7 28.1 24.5 23.925.2 23.6 23.4 24.6 24.3
26.0 22.7 23.6 24.1 25.225.8 24.7 24.8 27.3 27.0
La media es:
x=22 .5+ .. .+27 . 020
=24 . 9
La desviación estándar:
s=√∑( x−x )2
n−1=√ ((22 .5−24 .9 )+. . .+(27 . 0−24 .9 ))2
19=1. 53
El intervalo de confianza de 95% es o sea
0 .052
=0.025 y se localiza en el
renglón 19 que corresponden a los grados de libertad por ser n-1 o sea 20-1, localizando:El valor de t es 2.093. entonces la formula queda:
x− tα /2∗s
√n<μ<x+ tα /2∗
s
√n24 . 9−2. 093∗1. 53
√20<μ<24 .9+2. 093∗1 .53
√20 24 . 9−0 . 72<μ<24 . 9+0 . 72 24 .18<μ<25 .62
Esto es con probabilidad 0.95 el nivel medio de la nicotina de la marca competidora esta entre 24.18 y 25.65, o bien que al estimar el nivel medio de nicotina como 24.9 mg sabemos que un grado de confianza del 95%, el error es menor a 0.72 mg.
1.- El valor t con v=14 grados de libertad que dejan un área de .025 a la izquierda, y por tanto un área de .975 a la derecha es:Solución:
t 0.975 = -t 0.025 = -2.145
106
.........2.-Encuentre P(-t 0.025 < T < t 0.05 )Solución:
Como t 0.05 deja un area de 0.05ª la derecha, y -t 0.025 deja un area de 0.025 a la izquierda encontramos una rea total de:
1 - 0.05 – 0.025 = 0.925
Entre -t 0.025 y t 0.05 de aquí:
P(-t 0.025 < T < t 0.05 ) = 0.925
Se afirma que los estudiantes de un colegio tienen un promedio de C.I. mayor que 100. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 16 y se encuentra que la media muestral esx = 106. La desviación típica estimada (σ) es de 10 puntos. ¿Responden estos datos a la afirmación hecha? La prueba se hace como sigue:
Hipótesis nula, H0: μ = 100 Hipótesis alternativa, H1: μ > 100
El estadístico t será: t = x – μ / σ / √n = 106 – 100 / 10/ √16 = 2.4
Y tendremos una distribución de t con Ø = 16 – 1 = 15 grados de libertad. Si admitimos α = 2.5 por cierto, como esta es una prueba unilateral o de un extremo, obtenemos P(-2.13 < t < 2.13│Ø = 15) = 0.95
Como t = 2.4, la probabilidad de elegir una muestra con x 0 106, o mayor, de una población con μ = 100 será menor que 2.5 por cierto.Por tanto, la diferencia entre x y μ es significativa y rechazamos la hipótesis nula de μ = 100 y aceptamos la alternativa de μ > 100.
Ejemplo 1:
El valor t con = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, est0.975=-t0.025 = -2.145
107
.........
Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y
se obtendrá el valor de t. Ejemplo 2:
Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal.Solución:
Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a . Luego se busca el valor de 0.005 en el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como
el valor de está en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto:P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045
108
.........
D I S T R I B U C I O N D E P R O B A B I L I D A D B E T A .
Características:
Posee 2 parámetros, definida en el intervalo cerrado 0 X y X 1
Definición: Una V. A. Y tiene una distribución de probabilidad beta sí:
f ( y )=yα−1(1− y )β−1
B (α , β );0≤ y≤1
Donde:
B(α ,β )=∫0
1
yα−1 (1−Y )β−1dy=Γ (α )Γ ( β )¿Γ ( α+β ) ¿
¿¿
Si Y es una V. A. con distribución de probabilidad Beta con parámetros α > 0 y β > 0,
entonces:
μ=E (Y )= αα+β
σ 2=V (Y )=αβ¿( α+β )2 (α+β+1 ) ¿
¿¿
109
.........Esta distribución se puede utilizar como un modelo del porcentaje de impurezas presentes en
un producto químico o cantidad de tiempo que una maquina esta en reparación
E J E M P L O:
Los gerentes de proyecto utilizan por lo regular el método llamado PERT ( Program Evaluation and Review Technique) para coordinar diversas actividades que conforman un gran proyecto. Una suposición estándar del análisis PERT es que el tiempo necesario para realizar cualquier actividad particular, una vez que se haya iniciado, tiene una distribución Beta con A = tiempo optimista (sí todo va bien) y B = tiempo pesimista (sí todo sale mal). Supongamos que en la construcción de una casa, el tiempo X (en días) necesario para colocar los cimientos tiene una distribución Beta con A = 2, B= 5, α = 2 y β= 3.
Entonces
αα+β
=4 , así que E(x) = 2+ (3) (.4)=3.2. Para estos valores de α y β,
la pdf. de x es una función polinomial sencilla. La probabilidad de que se tome a lo sumo tres días para poner los cimientos es:
110
.........P(X≤3)=∫
2
313∗ 4 !
1 !2!( X−2
3)( 5−X
3)2 dx=. 407
La distribución B se usa para modelar la variación en la proporción o porcentaje de una cantidad que se presenta en muestras diferentes, tales como la proporción de horas que duerme un individuo.
1.-Supongamos que una distribución Beta es definida por n= 11 y r= 5; ¿Cuál es la probabilidad de que p sea menor o igual a p’ = 0.30?
Pβ ( p≤0 . 5;11)=PΒ [r≥5 ; (11−1 ) ,0 . 3 ] = 1- B (4; 10, 0.3) = 1- 0.84973 = 0.15027
2.-Nuevamente, para la misma distribución Beta anterior, ¿ Cual es la probabilidad de que p sea menor o igual a p’ = 0.7?
Pβ ( p≤0 .7 ;5 ,11)=PB ¿¿ =PB (r<6;10, 0.3) = 0.95265
E J E M P L O:
Los gerentes de proyecto utilizan por lo regular el método llamado PERT ( Program Evaluation and Review Technique) para coordinar diversas actividades que conforman un gran proyecto. Una suposición estándar del análisis PERT es que el tiempo necesario para realizar cualquier actividad particular, una vez que se haya iniciado, tiene una distribución Beta con A = tiempo optimista (sí todo va bien) y B = tiempo pesimista (sí todo sale mal). Supongamos que en la construcción de una casa, el tiempo X (en días)
111
.........necesario para colocar los cimientos tiene una distribución Beta con A = 2, B= 5, α = 2 y β= 3.
Entonces
αα+β
=4 , así que E(x) = 2+ (3) (.4)=3.2. Para estos valores de α y β,
la pdf. de x es una función polinomial sencilla. La probabilidad de que se tome a lo sumo tres días para poner los cimientos es:
P(X≤3)=∫2
313∗ 4 !
1 !2!( X−2
3)( 5−X
3)2 dx=. 407
La distribución B se usa para modelar la variación en la proporción o porcentaje de una cantidad que se presenta en muestras diferentes, tales como la proporción de horas que duerme un individuo.
Función Beta
Aplicación de las técnicas PERT:
Determinar las actividades necesarias y cuando lo son.
Buscar el plazo mínimo de ejecución del proyecto.
Buscar las ligaduras temporales entre actividades del proyecto.
112
......... Identificar las actividades críticas, es decir, aquellas cuyo retraso en la
ejecución supone un retraso del proyecto completo.
Identificar el camino crítico, que es aquel formado por la secuencia de
actividades críticas del proyecto.
Detectar y cuantificar las holguras de las actividades no críticas, es
decir, el tiempo que pueden retrasarse (en su comienzo o finalización)
sin que el proyecto se vea retrasado por ello.
Si se está fuera de tiempo durante la ejecución del proyecto, señala las
actividades que hay que forzar.
Nos da un proyecto de coste mínimo.
1.-Supongamos que una distribución Beta es definida por n= 11 y r= 5; ¿Cuál es la probabilidad de que p sea menor o igual a p’ = 0.30?
Pβ ( p≤0 . 5;11)=PΒ [r≥5 ; (11−1 ) ,0 . 3 ] = 1- B (4; 10, 0.3) = 1- 0.84973 = 0.15027
2.-Nuevamente, para la misma distribución Beta anterior, ¿ Cual es la probabilidad de que p sea menor o igual a p’ = 0.7?
Pβ ( p≤0 .7 ;5 ,11)=PB ¿¿ =PB (r<6;10, 0.3) = 0.95265
EJEMPLO: Los sensores de infrarrojo de un sistema robótico computarizado envía información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje y las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores el sistema sigue una distribución beta con α = β = 2.
a. Calcule la probabilidad de que mas de 30% de las señales de infrarrojo enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores.
b. Calcule la media y la varianza y.
f ( y )=yα−1(1− y )β−1
B (α , β )=
Γ (α+β )Γ ( α )Γ (β )
yα−1 (1− y )β−1 , 0≤ y≤1
a) Si sustituimos α = β = 2 en la expresión de f(y) obtenemos.
113
.........
f ( y )=Γ (2+2) y2−1 (1− y )2−1
Γ (2)Γ (2 )=(3 ! ) y (1− y )(1! )(1 ! )
f ( y )=6 y (1− y )
La probabilidad que buscamos es P(y > 0.30).
P( y>0 . 30)=∫0. 30
16 y (1− y )dy=6∫0. 30
1( y− y2 )dy
=6 [∫0. 30
1ydy−∫0. 30
1y2dy ]=6 {[ y2
2 ]0 . 30
1
−[ y3
3 ]0 .30
1 } =6 {12 −
( .3 )2
2−(13 −
( .3 )3
3 )} =6 (0 .085667 )=0. 514
b) La media y la varianza.
μ=αα+β
y σ2=αβ
(α+β )2 (α+β+1 )
μ=22+2
=24=0 .5
σ 2=(2)(2 )(2+2 )2 (2+2+1 )
=4(16 )(5 )
=0 . 05
114
.........
La función generadora de momentos
Supóngase que X es una variable aleatoria; es decir, X es una función del espacio muestral a
los números reales. Al calcular diversas características de la variables aleatoria X, como E(X) o
V(X), trabajamos directamente con la distribución de probabilidades de X. La distribución de
probabiIidades esta dada por una función: la fdp en el caso continuo, o las probabilidades
puntuales p(xi) = P(X = xi) en el caso discreto. La ultima también se puede considerar como
una función que toma valores distintos de cero sólo si X = xi, i = 1, 2,------. Posiblemente
podemos presentar otra función y hacer los cálculos necesarios mediante ella (tal como antes
asociábamos con cada número un nuevo número). Esto es, de echo, lo que haremos
precisamente. Primero daremos una definición normal.
Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(xi)=P(X = xi), i = 1, 2,..........La función, MX, llamada función generadora de momentos de X, se define con:
MX (t )=∑j=1
∞
etxj p( xj)
Si X es una variable aleatoria continua con fdp f, definimos la función generadora de momentos con
115
.........MX (t )=∫
−∞
+∞
etx f (x )dx
Observaciones: a) tanto en el caso discreto como en el continuo, Mx(t) es simplemente el valor esperado de etX. Por tanto, podemos combinar las expresiones anteriores y escribir:
MX (t )=E (e tX )
V. MX(t) es el valor que toma la función MX por la variable (real) t. La notación que indica la dependencia de X se usa porque quizá deseemos considerar dos variables aleatorias, X y Y, y luego investigar la función generadora de momentos de cada una, esto es, Mx y My.
VI. Usaremos la forma abreviada fgm para la función generadora de momentos.
VII. La fgm, como se definió anteriormente, se escribe como una serie infinita o integral (impropia), dependiendo de si la variable aleatoria es discreta o continua. Tal serie (o integral) puede no existir siempre (es decir; convergir aun valor infinito) para todos los valores de t. Por tanto, puede suceder que la fgm no esté definida para todos los valores de t. Sin embargo, no nos interesará esta posible dificultad. Cada vez que hagamos uso de la fgm, siempre supondremos que existe. (Para t = O, /a fgm siempre existe y es Igual a 1.)
VIII. Hay otra función muy relacionada con la fgm que a menudo se usa en su lugar. Se llama función característica, se denota con Cx, y se define con Cx(t) = E(eitX), donde i=(-1)1/2, la unidad imaginaria. Por razones teóricas, hay una ventaja considerable al usar Cx(t) en vez de Mx(t). Por esta razón, Cx(t) siempre existe para todos los valores de t. Sin embargo, a fin de evitar cálculos con números imaginarios complejos restringiremos nuestra exposición a la función generadora de momentos.
Teorema 1
M(n)(0)=E(Xn)
(Esto es, la n-ésima derivada de Mx(t) calculada en t=0 da E(Xn)
116
.........Los números E(Xn), n=1, 2, ........, se llaman n-ésimos momentos de la variable aleatoria X respecto a cero. Por tanto, hemos demostrado que conociendo la función Mx, pueden generarse los momentos (de aquí el nombre de función generadora de momentos).
Teorema 2
Supóngase que la variable aleatoria X tiene fgm Mx sea Y = X+. Entonces, My, la
fgm de la variable aleatoria Y, esta dada por:
My(t) = etMx(t).
En palabras, para encontrar la fgm la fgm de Y=X+ calculamos la fgm en t (en vez de t) y multiplicamos por et
My(t) = E(eYt) = E[e(xX+)t]
= etE[etX] = etMx(t)
Problemas
Supóngase que X está distribuida uniformemente en el intervalo [a,b]. Por lo tanto la fgm es:
Mx ( t )=∫a
b etx
(b−a )dx= 1
(b−a )t[ebt−eat ] , t≠0
Supóngase que X tiene una distribución exponencial con parámetro . por lo cual tenemos:
MX ( t )=∫0
∞etxαe−αxdx=∫0
∞ex ( t−α )dx
Esta integral converge si t<α . ∴ la fgm existe sólo para esos valores de t .
MX ( t )=αt−a
e x( t−α )|0α=αα−t
, t<α
117
.........
Supóngase que X tiene una distribución N(,2). por lo cual tenemos:
MX ( t )=1
√2∏ σ∫−∞
+∞etxexp(−1 /2 [x−μσ ])dx
Sea ( x- μ) /σ=s ; así x=σs+μ y dx=σ ds . por tanto
MX ( t )=1
√2∏ ¿∫−∞
+∞exp( t(σs+μ ))e−s
2/2ds ¿
=etμ1
√2∏ ¿∫−∞+∞ exp (−1 /2 [ s2−2σ ts ] )ds ¿
=etμ1
√2∏ ¿∫−∞+∞ exp (−1 /2( [s−σ ts ]2−σ 2t 2))ds ¿
=etμ+σ2t2/2 1
√2∏ ¿∫−∞+∞ exp(−1/2 [s−σ ts ]2)ds
¿
Sea s-t=v; entonces ds=dv y obtemos
MX ( t )=etμ+σ2 t2 /2 1
√2∏ ¿∫−∞
+∞
e−v2/2dv=e( tμ+σ
2 t2 /2 )¿
Supóngase que X sea una distribución gama con parámetros y r. Por lo cual tenemos:
118
.........MX ( t )=αΓ (r )∫0
∞
e yx(αx )r−1 e−αxdx
=αr
Γ (r )∫0
∞xr−1e− x (α−t)dx
esta integral converge a condición de que α>t . sea x (α -t )=u; así:
dx=(du )/(α -t)
y obtenemos
MX ( t )=αr
(α−t )Γ (r )∫0
∞ (u(α−t ) )r−1
e−udu
=(α(α−t ) )r1Γ (r )∫0
∞
ur−1
e−udu
puesto que la integral es igual a Γ (r ) , tenemos
MX ( t )=(αα−t )r
Considere una variable aleatoria continua con densidad
f(y)= {ey si y<0 {0 en cualquier otro punto
Encuentre la función generadora de momentos m(t) de y.
m(t)=etyE
=∫0
∞
e y ety=∫0
∞
e y (1+t)= e y
1+ t 0
∞= 1
1+t
Hallar los primeros cuatro momentos alrededor del origen, para una variable aleatoria X con función de densidad.
119
.........
f ( x )=¿ {4 x (9−x2 )/81 0≤x≤3¿ {¿ {0 de otra forma ¿¿¿¿μ1¨=E(X )= 4
81∫0
3
x2( 9−x2 )=85=μ
μ2¨=E(X )= 4
81∫0
3
x3 (9−x2 )=3
μ3¨=E( X )= 4
81∫0
3
x4 (9−x2 )=21635
μ4¨=E(X )= 4
81∫0
3
x5(9−x2 )=36938750
Teorema de Tchebysheff
Sea Y una variable aleatoria continua con un a función de densidad f(y) Entonces para cualquier k > o 2 2P( Y - < k 1 – 1/ k o´ P( Y - > k 1 – 1/ k
2En donde E(Y) = y V(Y) = <
120
.........
MODULO V.- Distribución de probabilidad bivariada.
Contenidoa)Variable aleatoria bivariadaVariable aleatoria bivariada discreta, variable aleatoria bivariada continua, función de densidad de porbabilidad conjunta y discreta, función de distribución acumulada y sus propiedades, propiedades de la función de densidad conjunta, b) Distribución de probabilidad marginal y de probabilidad condicional, definición de función de probabilidad marginal caso discreto, definición de función de probabilidad marginal caso continuo, definición de función de probabilidad condicional caso discreto, función de probabilidad condicional caso continuo,.c) Variables aleatorias independientesDefinición de variables aleatorias independientes caso discreto, definición de variables aleatorias independientes caso continuo.d) Valor esperado de una función de variables aleatoriasDefinición de valor esperado de una función de v.a.d, definición de valor esperado de una constante por una función de variables aleatorias, valor esperado de una constante, el valor esperado d ela suma de funciones de variables aleatorias, el valor esperado de las variables aleatorias independientes.e) La covarianza de dos variables aleatorias.Definición de covarianza de dos variables aleatorias, teoremaf) Teorema central del límiteg) Regresión linealh) Regresión no lineal
121
.........
VARIABLES ALEATORIAS BIVARIADAS DISCRETAS.
Las variables aleatorias bivariadas discretas son funciones de distribución de probabilidad bivariada.Si (X,Y) es una variable aleatoria bivariada su función de distribución de
probabilidad p(x,y) debe satisfacer:
1) 0<p(x,y) < 1
2) ∑∑ p(x,y)= 1 x y
Ejemplo
Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con función de densidad de probabilidad conjunta dada por:
( x + y ) , 0 < x , y < 1,
0 , para cualquier otro valor
Graficar la función de densidad de probabilidad conjunta, determinar la función de distribución acumulativa conjunta y obtener la probabilidad conjunta de que X < 1/2 y Y < 3/4 .
Entonces:
f (x,y) = {
( x + y ) dy dx = (xy + y / 2) dx = ( x + ½ ) dx = 1
122
.........
esto es cuando 0 < x, y < 1
F (1/2, 3/4) = (1/2)(1/2)(3/4)(1/2 + 3/4) = 15/64 2= xy + y / 2
2
1 1
Ejercicio 1
Sean X y Y las desviaciones horizontal y vertical respectivamente, de un individuo con respecto a su lugar de trabajo. En donde X y Y son variables aleatorias, independientes
cada una, con una distribución normal bivariada, medias μxμ y=0 y varianzas iguales. ¿Cuál es la máxima desviación estándar de X y Y, que permita tener una probabilidad de 0.99 de que el hombre se encuentre a no más de 500 milímetros de su lugar de trabajo tanto en dirección vertical como horizontal?
Como σ xσ y=σ , la probabilidad conjunta es:P ( -500 < X < 500, -500 < Y <500 ) = P ( -500 < X < 500 ) P ( -500 < Y < 500 )
= P(−500
σ<Z<500
σ )P(−500σ
<Z<500σ )
=P2(−500
σ<Z<500
σ )2
Puesto que por hipótesis es:
F(x, y) = (u + v) dv du = (uy + y / 2) du = xy + (x + y) / 2
0
123
.........P2(−500σ
<Z<500σ )
2
=0. 99
P(−500σ
<Z<500σ )=0 . 99499
ó
P(Z>500σ )
2
=0 .0025
peroP (Z>2 .81 )=0 .0025
Por lo tanto 500/σ = 2.81 y σ x=σ y=¿177 .94 milímetros.
124
.........FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTAS DISCRETAS Y CONTINUAS.
FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTAS DISCRETAS.
Una distribución conjunta es discreta, si cada variable aleatoria tiene distribución
marginal discreta. En este caso el espectro conjunto estará compuesto de un
numero finito de parejas (m,n).
FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTAS CONTINUAS.
Una distribución conjunta es continua si su función de repartición Fxy (x,y) es continua para todos los valores de x,y ; y además posee segundas derivadas parciales mixtas (excepto quizás en un conjunto finito o infinito numerable de puntos), en tal caso la derivada parcial mixta (cualquiera de ellas puesto que son iguales) se denomina función de densidad conjunta:
f xy (x , y )=∂2Fxy( x , y )
∂ x ∂ y=∂2F xy(x , y )
∂ y∂ x
Ejemplo
Se lanzan al aire tres monedas independientemente. Una de las variables de interés es Y1=el número de casos. Sea Y2 la cantidad de dinero ganado en una apuesta que se realiza de la siguiente manera. Si la primera cara ocurre en el primer lanzamiento, se ganará 1 dólar. Si la primera cara ocurre en las tiradas 2 y 3 dólares, respectivamente. Si no cae una cara, se perderá 1 dólar (es decir se ganará 1 dólar).
a) Determine la función de probabilidad conjunta para Y1 y Y2.b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran menos de tres caras y que se
gane 1 dólar o menos? [es decir obtenga F(2,1)]
espacio muestral:
125
......... 1 2 3c c cc c xc x xc x cx c cx x cx c xx x x P = 1 / 8
Y1
Y2 0 1 2 3
1 0 1/8 2/8 1/8
2 0 1/8 1/8 0
3 0 1/8 0 0
-1 1/8 0 0 0
126
.........F (a ,b )=P(Y 1≤a ,Y 2≤b )F (2,1)
F (2,1)=P( y1≤2 , y2≤1 )=12 Si la distribución de probabilidad conjunta de X y Y
esta dada por:
f (x, y) = a(x2 + y2) para x = -1,0,1,3 ; y = -1,2,3
a) Encuentre el valor de a.p(-1,1) = 2a p(0,-1) = a p(1,-1) = 2a p(3,-1) = 10ap(-1,2) = 5a p(0,2) = 4a p(1,2) = 5a p(3,2) = 13a p(-1,3) = 10a p(0,3) = 9a p(1,3) = 10a p(3,3) = 18a
-1 0 1 3-1 2/89 1/89 2/89 10/892 5/89 4/89 5/89 13/893 10/89 9/89 10/89 18/89
P(x ≤ 1, y >2 ) = p(-1,3) + p(0,3) + p(1,3) = 1/89 ( 10 + 9 + 10 ) = 29/89 P(x = 0, y ≤ 2) = p(0,-1) + p(0,2) = 1/89 (1 + 4 ) = 5/89 p( x + y > 2) = = p(0,3) + p(1,2) + p(1,3) + p(3,2) + p(3,3) = 1/89 (9+5+10+13+18) = 55/89
Función de probabilidad conjunta
Dada
a) Determine que es una función de probabilidad.b) Determinar lo siguiente:
P(x + y ≤ 3) ; P( x =1│y =2) ; P(2x + y > 1) ; P(2x + y ≤ 2) ; P(3x, 2y) ; F(2,2) ; F(1,2) ; F(3,1)
0 1 2 30 0 1/30 2/30 3/301 1/30 2/30 3/30 4/302 2/30 3/30 4/30 5/30
a)
127
......... = p(0,0) + p(0,1) + p(0,2) + p(1,0) + p(1,1) + p(1,2) + p(2,0) + p(2,1) + p(2,2) + p(3,0) + p(3,1) + p(3,2)
= 1/30 + 2/30 +1/30 +2/30 +3/30 +2/30 +3/30 +4/30 +3/30 + 4/30 + 5/30 = 30/30 = 1
Por lo tanto, podemos afirmar que es una función de probabilidad
b)
P(x + y ≤ 3) = p(0,0) + p(0,1) + p(0,2) + p(1,0) + p(1,1) + p(1,2) + p(2,0) + p(2,1) + p(3,0) = 1/30 ( 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 ) = 17/30
P( x =1│y =2) = p(x∩y) / h(y) = p(1,2)/ h(2) = 3/30 / 14/30 = 3/14
P(2x + y > 1) = p(0,2) + p(1,1) + p(1,2) + p(2,0) + p(2,1) + p(2,2) + p(3,0) + p(3,1) + p(3,2) = 1/30 ( 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 ) = 28/30
P(2x + y ≤ 2) = p(0,1) + p(0,2) + p(1,0) = 1/30 ( 1 + 2 + 1 ) = 4/30
P(3x, 2y) = p(0,0) + p(0,2) + p(3,0) + p(3,2) = 1/30 ( 2 + 3 + 5 ) = 10/30 = 1/3
F(2,2) = p(0,0) + p(0,1) + p(0,2) + p(1,0) + p(1,1) + p(1,2) + p(2,0) + p(2,1) + p(2,2) = 1/30 (1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 +4 ) = 18/30
F(1,2) = p(0,0) + p(0,1) + p(0,2) + p(1,0) + p(1,1) + p(1,2) = 1/30 (1 + 2 + 1 + 2 + 3 ) = 9/30
F(3,1) = p(0,0) + p(0,1) + p(1,0) + p(1,1) + p(2,0) + p(2,1) + p(3,0) + p(3,1) = 1/30 (1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 ) = 16/30 = 8/15
FUNCIONES DE DISTRIBUCION ACUMULADAS CONJUNTAS Y SUS PROPIEDADES.
Se define la función de distribución de probabilidad acumulativa conjunta como:FXY (x,y):= P[X x , Y y] Que cumple con las propiedades:
i) FXY (-, -) = 0
128
.........ii) FXY (, ) = 1
Sí x1 < x2 -------- FXY (x1,y) FXY (x2,y)
Sí y1 < y2--------- FXY (x1,y1) FXY (x2,y2)
0 FXY (x,y) 1
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE DENSIDAD CONJUNTA.
0 gxy (m,n) 1
∑(m,n)gxy(m ,n)=1
∑(m,n)gxy(m ,n)
b) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MARGINAL Y DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
Con cada variable aleatoria bidimensional (X,Y) asociamos dos variables aleatorias unidimensionales llamadas X y Y, respectivamente. Es decir; podemos interesarnos por la distribución de probabilidad de X o por la distribución de probabilidad de Y.
Definición de función de probabilidad marginal caso discreto
En el caso discreto procedemos así: puesto que X = x i debe ocurrir con Y = yj
para una j, y puede ocurrir con Y = yj para solo una j, tenemos:
P(xi) = P ( X = xi) = P(X = xi, Y = y1 o X = xi, Y = y2 o ……) = ∑j=1
∞
p (xi , y j )
La función p definida para x1, x2, ……, representa la distribución marginal de probabilidad de X.
Análogamente definimos q(yj) = p(Y = Yj) = ∑j=1
∞
1 p( x i , y j ) como la distribución
marginal de probabilidad de Y.
129
.........
Ejemplo
De un grupo de tres republicanos, dos demócratas y un independiente, debe seleccionarse al azar un comité de dos personas. Sea Y1 el número de republicanos y Y2
el número de demócratas en el comité. Encuentre la distribución marginal de Y1.
Para encontrar P1(y1), se tiene que sumar para todos los valores Y2, entonces esta
probabilidades están dadas por los totales de las columnas (por tablas).
P1(0) = p ( 0,0) + p (0,1) + p (0,2) = 0 + 2/15 + 1/15 = 3/15
Y1
Y2 0 1 2 Total
0 0 3/15 3/15 6/151 2/15 6/15 0 8/152 1/15 0 0 1/15
Total 3/15 9/15 3/15 1
P1 ( 1) = 9/15, p1(2) = 3/15
La distribución marginal de Y2 está dada por los totales de los renglones.
Ejercicio 1
Una planta recibe reguladores de voltaje de dos diferentes proveedores, B1 y B2; el 75% de los reguladores se compra a B1 y el resto a B2. El porcentaje de reguladores
130
.........defectuosos que reciben de B1 es 8% y el de B2 es el 0%. Determinar la probabilidad de que funcione un regulador de voltaje de acuerdo con las especificaciones (es decir, el regulador no está defectuoso)
Sea A el evento el regulador de regulador es no defectuoso. Es claro que ningún regulador de voltaje puede ser vendido tanto por B1 como por B2; por lo tanto B1 y B2 son disjuntos. Esto como resultado.
P (A) = P ( A B1) + P (A B2),
P (A B1) = P (B1)P(A/B1)
P (A B2) = P (B2)P(A/B2)
P(B1) =0.75, P (B2) = 0.25, P (A/B1) =0.92, y P (A/B2) =0.9;
Sustituyendo
P (A) = P (B1)P (A/B1) + P (B2)P (A/B2)
= 0.75(0.92) + 0.25(0.90) = 0.915
Definición de función de probabilidad marginal caso continuo.
En el caso continuo procedemos como sigue: sea f la fdp conjunta de la variable aleatoria bidimensional continua (X,Y). Definimos g y h, las funciones densidad de probabilidad marginales de X y Y, respectivamente, como sigue:
g( x ) =∫−∞
+∞f ( x , y )dy ; h ( y )=∫−∞
+∞f (x , y )dx .
Estas fdp corresponden a las fdp básicas de las variables aleatorias unidimensionales de X y Y, respectivamente.
Probabilidad condicional conjunta
Encuentre f (x │y) y f (y│x) si
f(x,y)
131
.........
c) VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
Tal como definimos el concepto de independencia entre dos eventos A y B, ahora definimos las variables aleatorias independientes. Lo que queremos decir intuitivamente es que X y Y son variables aleatorias independientes si el resultado de X, digamos, de ninguna manera influye en el resultado de Y. Esta es una noción extremadamente importante y hay muchas situaciones en que dicha suposición se justifica.
La independencia de variables aleatorias discretas requiere que p(y1, y2) = p1(y1)p2(y2) para cada elección (y1, y2). Así se contraviene esta igualdad por cualquier (y1, y2), las variables aleatorias son dependientes.
P(0,0) = 0Pero p1 (0) –3/15 y p2(0) = 6/15 Por tantoP (0, 0 ) ¿ p1 (0) p2 (0) y y1 y y2 son dependientes.
Ejemplo
Un vendedor obtiene sus ingresos mediante la venta de dos productos distintos. Por experiencia sabe que el volumen de ventas de A no tiene ninguna influencia sobre el de B. Su ingreso mensual es de 10% del volumen, en dólares, del producto A y el 15% del volumen de B. Si en promedio las ventas del producto A ascienden a $10000 con una desviación estándar de $2000 y las de B a $8000 con una desviación estándar de $1000, obténgase el valor esperado y la desviación estándar del ingreso mensual del vendedor.
Sea X y Y dos variables aleatorias que representan el volumen de ventas en dólares de los productos A y B, respectivamente. Por hipótesis:
E (X) = 10 000, d.e (X) = 2 000E (Y) = 8 000, d.e (X) = 1 000
De esta forma se tiene :
E (0.1X + 0.15Y) = 0.1E (X) + 0.15E (Y) = 2 200
132
.........y var (0.1X + 0.15Y) = 0.01var (x) + 0.0225var (Y) = 62 500
La desviación estándar es de $ 250.
Ejercicio 1
La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años mas es de 1/4 y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es de 1/3. Hallar la probabilidad de que:
Ambos estén vivos dentro de 10 años. Al menos uno estará vivo a los 10 años. Ninguno estará vivo a los 10 años. Solamente la esposa estará viva a los 10 años.
P( A )=14
el hombre vivirá en 10 años .
P(B)=13
lsu esposa vivirá en 10 años .
Ambos estén vivos dentro de 10 años.
Puesto que A y B son eventos independientes P(AB)=P(A)P(B)=(1/4)*(1/3)=1/2.
Al menos uno estará vivo a los 10 años.
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)=(1/4) + (1/3) - (1/12)= 0.5.
Ninguno estará vivo a los 10 años.
P(Ac)=1-P(A)=1-(1/4)=3/4P(Bc)=1-(1/3)=2/3
Puesto que A y B son independientes
P(Ac Bc)= P(Ac ) P(Bc)=(3/4)*(2/3)=0.5
Solamente la esposa estará viva a los 10 años.
Ac y B son independientes entonces:P(Ac B)= P(Ac)P(B)= (3/4)*(1/3)=0.25
133
.........Definición de Variable Aleatoria independientes caso discreto.
a) Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional discreta. Entonces X y Y son independientes si y solo si p(xi | yj) = p(xi) para toda i y j (o lo que es equivalente, si y solo si q(yj | xi) = q(yj)
Definición de Variable Aleatoria independientes caso continuoSea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional continua. Entonces X y Y son independientes si y solo si g(x | y) = g(x), o lo que es equivalente, si y solo si h(y|x) = h(y) para toda (x,y).
El Valor esperado de una función de variables aleatorias
EjemploUn vendedor obtiene sus ingresos, mediante la venta de dos productos distintos. Por experiencia sabe que el volumen de ventas de A no tiene ninguna influencia sobre el de B. Su ingreso mensual es el 10% del volumen, en dólares, del producto A y el 15% del volumen de B. Si en promedio las ventas del producto A ascienden a $10 000 con una desviación estándar de $2000 y las de B a $8000 con una desviación estándar de $1000, obténgase el valor esperado y la desviación estándar del ingreso mensual del vendedor.
Tomando a x, y como 2 V.A. que representan el volumen de ventas en dólares de A y B.
Tenemos:
Suponiendo
E( x )=10000E( y )=8000
d .e .( x )=2000d .e .( y )=1000
Se tiene:
E(0 . 1x+0 . 15 y )=0. 1 E( x )+0 . 15E ( y )E(0 . 1x+0 . 15 y )=$2200
Y
Var (0 . 1x+0 . 15 y )=0 . 01Var (x )+0 .0225Var ( y )Var (0 . 1x+0 . 15 y )=62500
Con desviación estándar de $250.
134
.........d) VALOR ESPERADO DE UNA FUNCION DE V.A.
Ejemplo
Y1 y Y2 tiene una densidad conjunta
F(y1, y2) = 2y1 0≤ y1≤;0≤ y2≤1
0 en cualquier otro punto.
Hallar el valor esperado Y1
SOLUCION
E(Y1) = ∫0
1
∫0
1
y1 (2 y1 )dy1dy2
1 1
=∫0
1
2 y3
1
dy2 = ∫0
1
2dy 2= = 2
3 0 3 0 3
El valor E(Y1) = 2/3
Ejercicio1
Un vendedor obtiene sus ingresos, mediante la venta de dos productos distintos. Por experiencia sabe que el volumen de ventas de A no tiene ninguna influencia sobre el de B. Su ingreso mensual es el 10% del volumen, en dólares, del producto A y el 15% del volumen de B. Si en promedio las ventas del producto A ascienden a $10 000 con una desviación estándar de $2000 y las de B a $8000 con una desviación estándar de $1000, obténgase el valor esperado y la desviación estándar del ingreso mensual del vendedor.
Tomando a x, y como 2 V.A. que representan el volumen de ventas en dólares de A y B.
Tenemos:
Suponiendo
E( x )=10000E( y )=8000
d .e .( x )=2000d .e .( y )=1000
Se tiene:
E(0 . 1x+0 . 15 y )=0. 1 E( x )+0 . 15E ( y )E(0 . 1x+0 . 15 y )=$2200
135
.........Y
Var (0 . 1x+0 . 15 y )=0 . 01Var (x )+0 .0225Var ( y )Var (0 . 1x+0 . 15 y )=62500
Con desviación estándar de $250.
La función de densidad de una variable aleatoria X esta dada por:
f ( x )=¿ {12x 0<x<2 ¿ ¿¿¿
¿¿
encontrar el valor esperado:
E( X )=∫−∞
x
xF ( x )dx=∫0
2
x ( x2 )dx=∫02x2
2dx= x
3
6|02=4
3
Valor esperado de una constante
Ejemplo
La función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas X, Y esta dada por:f ( x , y )=c (2x+ y ), donde x, y pueden tomar todos los valores enteros tales que:0≤x≤2,0≤ y≤3 , yf ( x , y )=0 de otra forma.
a) Hallar el valor de la constante c.b) Hallar P(X=2, Y=1).c) Hallar P(X 1, Y2).
Obteniendo la tabla muestral:
yx
0 1 2 3 Total
0 0 c 2c 3c 6c1 2c 3c 4c 5c 14c2 4c 5c 6c 7c 22c
Total 6c 9c 12c 15c 42c
Tenemos:
136
.........a)
c (2 x+ y )42c=1
c=142
b)
P( x=2 , y=1 )=5c= 542
c)
P( x≥1 , y≤2 )=∑x≥1∑y≤2
f ( x , y )
=(2c+3 c+4c )+(4 c+5c+6c )=24 c
=24 (142 )P( x≥1 , y≤2 )=4
7
E) DEFINICION DE COVARIANZA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS.
Sean X & Y v.v.a.a. definidas sobre un mismo . Se define la covarianza entre X & Y como: COV [X , Y]:= E[(X - x) (Y- Y)]
Ejemplo
Sean X y Y dos variables aleatorias con una función de densidad conjunta de probabilidad:
f ( x , y )={23 ( x+ y )e−x x>0,0< y<1 .
0 para cualquier otro valor.
Obtener la covarianza y el coeficiente de correlación de X y de Y.
137
.........f ( x , y )={23 ( x+ y )e−x x>0,0< y<1 .
0 para otro valor.
E( x )=23∫0
x
∫0
1
( x2+xy )e− xdydx
=2
3∫0
x
( x2+ x2)e−x dx
=2
3∫0
x
x2e− xdx+ 13∫0
x
xe−xdx
=
2 Γ (3 )3
+Γ (2 )
3
E( x )=5
3
E( x 2)=23∫0
x
∫0
1
( x3+x2 y )e−x dydx
=2
3∫0
x
x3 e− xdx+13∫0
x
x2e−xdx
=
2 Γ (4 )3
+Γ (3 )
3
E( x 2)=143
E( y )=23∫0
x
∫0
1
( xy+ y2 )e−xdydx
=1
3∫0
x
xe− xdx+ 29∫0
x
e−x dx
=Γ (2 )
3+ 2
9
E( y )=59
E( y2 )=23∫0
x
∫0
1
( xy2+ y3 )e−xdydx
=
29∫0
x
xe− xdx+ 16∫0
x
e−xdx
E( y2 )= 718
138
.........E( xy )=2
3∫0
x
∫0
1
( x2 y+xy 2 )e−xdydx
=1
3∫0
x
x2e− xdx+ 29∫0
x
xe−xdx
=Γ (3 )
3+
2 Γ (2 )9
E( xy )=89
∴ Cov ( x , y )=E( xy )+E (x )E ( y )
=8
9+( 5
3 )( 59 )
Cov ( x , y )=− 1
27
Dado que: Var ( x )=E( x2)+E2( x )=17
9
Var ( y )=E( y2 )+E2 ( y )=13
162
El coeficiente de correlación queda : ρ( x , y )=
− 127
√(17/9 )(13/162)=−0. 0951
Ejercicio 1
Sean X y Y dos variables aleatorias con una función de densidad conjunta de probabilidad
f ( x , y )¿¿¿¿
Obtener la covarianza y el coeficiente de correlación de X y Y.
E (X )=23∫0
x
∫0
1( x+ y ) ℓ−xdydx
139
.........E (X )=23∫0
x (x2+ x2 )ℓ−xdx
E (X )=23∫0
xx2 ℓ−xdx+ 1
3∫0
xxℓ−x dx
E (X )=2 P (3 )3
+P (2 )
3
E (X )=53
E (X 2)=23∫0
x
∫0
1(x3+x2 y )ℓ− xdydx
E (X 2)=23∫0
xx3 ℓ−xdx+ 1
3∫0
xx2 ℓ−x dx
E (X 2)=2 P (4 )3
+P (3 )
3
E (X 2)=143
E (Y )=23∫0
x
∫0
1(xy+ y3 )ℓ−xdydx
E (Y )=29∫0
xxℓ− xdx+ 1
6∫0
xℓ dx
E (Y )= P (3 )3
+2 P (2 )
3
E (Y )=89
E (XY )=23∫0
x
∫0
1(xy+xy 2) ℓ− xdydx
E (XY )=29∫0
xx2 ℓ−xdx+ 2
9∫0
xxℓ dx
E (XY )=P (3 )3
+2 P (2 )
9
140
.........E (XY )=89
Por lo tanto
Cov ( XY )=E (XY )−E ( X )E (Y )=89−( 5
3 )( 59 )=− 1
27dado que
Var (X )=E ( X2)−E2 ( X )=179
y
Var (Y )=E (Y 2)−E2 (Y )=13162
el coeficiente de correlación es
p (XY )=− 1
27
√(179 )(13
162 )=−0. 0951
Sean Y1 y Y2 dos variables aleatorias discretas con la distribución de probabilidad conjunta. Hallar el valor de la covarianza.
Y1
1 1.16 3.16 1.160 3.16 0 3.161 1.16 3.16 1.16
las probabilidades marginales de p1(-1), p2(-1) = 5/16, p1(0) p2(0) = 6/16 y p1(1) p2(1) = 5/16. en la esquina superior izquierda nos da p(1,-1) = 1/16
p( 1, 1) ¿ p1(1) p2(1)
Entonces E(Y1) = E(Y2) o también
E(Y1, Y2) ∑y 2
y1 y2 p ( y1, y2)¿
(1)(1) (1/16) +(0) (1) (3/16) + ... + (1)(1)(1/16) –0
141
.........así
Cov (Y1,Y2) = E(Y1, Y2) E(Y1) E(Y2) = 0
Obtener la covarianza y el coeficiente de correlación de X y de Y
Si se toman los valores esperados apropiados, se tiene
= 2T(3) / 3 + T(2) / 3
= 5 / 3 ;
E(X) = 2 / 3 2
(x +xy) exp (-x) dy dx
= 2 / 3 2
(x +x / 2) exp (-x) dx
= 2 / 3 2
x exp (-x) dx + 1 / 3 x exp ( -x ) dx
2E( X ) = 2 / 3
3 2
(x +x y) exp (-x) dy dx
= 2 / 3 3
x exp (-x) dx + 1 / 3 2
x exp ( -x ) dx
142
.........= 2T (4) / 3 + T(3) / 3
= 14 / 3 ;
= T(2) / 9 + 1 / 6
= 5 / 9 ;
= 2T(2) / 9 + 1 / 6
= 7 / 18 ;
E( Y ) = 2 / 3
2
(x y+ y ) exp (-x) dy dx
= 1 / 3
x exp (-x) dx + 2 / 9
exp ( -x ) dx
2E( Y ) = 2 / 3
2 3
(xy + y ) exp (-x) dy dx
= 2 / 9
x exp (-x) dx + 1 / 6
exp ( -x ) dx
143
.........
= T(3) / 3 + 2T(2) / 9
= 8 / 9 ;
Por lo tanto:
Cov(X, Y) = E (XY) – E (X)E (Y) = 8 / 9 – (5 / 3)(5 / 9) = -1 / 27.
Var(X) = 17 / 9
Var(Y) = 13 / 162,
p(X , Y) =
= -0.0951
Encuentre E(T), donde T es el tiempo entre llamadas telefónicas consecutivas al centro
de reservaciones y f T (t )=2e−2 t , t≥0 . ¿Cuál es la interpretación de este valor?
Implícitamente, f T (t )=0 , para t < 0. es necesario saber que:
∫0
∞
te−ctdt= 1
c2 de lo anterior se sigue que
E (T )=∫−∞
∞
tf T ( t )dt=2∫0
∞
te−2 t dt
( Pues f T ( t )=0 para t<0 y f T (t )=2e−2 t
E(XY ) = 2 / 3
2 2
(x y + x y ) exp (-x) dy dx
= 1 / 3 2
x exp (-x) dx + 2 / 9
x exp ( -x ) dx
-1 /27
(17/9)(13/162)
144
.........=2( 1
22 )=12 Como T es el tiempo que transcurre entre dos llamadas consecutivas,
E(T)=1/2 significa que, en el límite, se recibe una llamada telefónica cada medio minuto.
Covarianza
1.- Sean X y Y dos variables aleatorias con una función de densidad conjunta de probabilidad:
f ( x , y )={23 ( x+ y )e−x x>0,0< y<1 .
1 para cualquier otro valor.
Obtener la covarianza y el coeficiente de correlación de X y de Y.
f ( x , y )={23 ( x+ y )e−x x>0,0< y<1 .
1 para otro valor.
E( x )=23∫0
x
∫0
1
( x2+xy )e− xdydx
=2
3∫0
x
( x2+ x2)e−x dx
=2
3∫0
x
x2e− xdx+ 13∫0
x
xe−xdx
=
2 Γ (3 )3
+Γ (2 )
3
E( x )=5
3
E( x 2)=23∫0
x
∫0
1
( x3+x2 y )e−x dydx
=2
3∫0
x
x3 e− xdx+13∫0
x
x2e−xdx
=
2 Γ (4 )3
+Γ (3 )
3
E( x 2)=143
145
.........E( y )=23∫0
x
∫0
1
( xy+ y2 )e−xdydx
=1
3∫0
x
xe− xdx+ 29∫0
x
e−x dx
=Γ (2 )
3+ 2
9
E( y )=59
E( y2 )=23∫0
x
∫0
1
( xy2+ y3 )e−xdydx
=
29∫0
x
xe− xdx+ 16∫0
x
e−xdx
E( y2 )= 718
E( xy )=23∫0
x
∫0
1
( x2 y+xy 2 )e−xdydx
=1
3∫0
x
x2e− xdx+ 29∫0
x
xe−xdx
=Γ (3 )
3+
2 Γ (2 )9
E( xy )=89
∴ Cov ( x , y )=E( xy )+E (x )E ( y )
=8
9+( 5
3 )( 59 )
Cov ( x , y )=− 1
27
Dado que: Var ( x )=E( x2)+E2( x )=17
9
Var ( y )=E( y2 )+E2 ( y )=13
162
El coeficiente de correlación queda : ρ( x , y )=
− 127
√(17/9 )(13/162)=−0. 0951
146
.........
COVARIANZA.
Sean X y Y dos variables aleatorias con distribución de densidad conjunta de probabilidad.
147
.........
f ( x , y )=¿ {23 ( x+2)exp(−x ) para x>0,0< y<1 .¿ ¿¿¿¿
¿
148
.........E( XY )=2
3 ∫0
x
∫0
1
( x2 y+ xy2 )exp(−x )dydx
E( X2 )=13 ∫
0
x
x2 exp(−x )dx+29 ∫
0
x
x exp(−x )dx
E( X2 )=Γ (3 )3
+2Γ (2)9
=89
.
∴
Cov (X ,Y )=E (XY )−E (X )E (Y )=89−(53 )(59 )=−1
27.
149
.........
TEOREMA COV (X1 , X2) = E (X1 X2) - E(X1) E(X2)
Si X1 tiene promedio 1 y X2 tiene promedio 2, entonces:
COV (X1 , X2) = E (X1 X2) - 1 2
Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes, entonces E (X1 X2) - E(X1) E(X2)
TEOREMA SI X1 Y X2 SON INDEPENDIENTES, ENTONCES COV (X1,X2)=0
La inversa no es necesariamente valida, es decir, una covarianza cero no quiere decir que las variables sean independientes.
Es claro que E(X1) = E(X2) = 0 y que también E (X1 X2) = 0, y por lo tanto la covarianza de este teorema es igual a cero.
Supóngase que la fracción X de atletas hombres y la fracción
de atletas mujeres que terminaron la carrera puede
describirse por la siguiente función de densidad.
f(x,y)
Pruebe que es una función de densidad conjunta.
150
.........
Encontrar g(x) y h(y) para verificar si son variables independientes
para verificar si son variables independientes f (x, y) = g(x).h(y)
;
Para f (1,1), tenemos que:
8 ≠ 16, por lo tanto, son variables dependientes
Función de densidad conjunta
sea la función
f(x,y)
Verificar si es una función de densidad
151
.........
Por lo tanto, es una función de probabilidad
2.- f (x │y)3.- Si son variables independientes.
152
......... f (x, y) = g(x).h(y)
por lo tanto, 1 = 1, son variables independientes
4.-Encontrar el coeficiente de correlación
Dada la Función:
f(x,y)
153
.........1.- Verificar si es una función de densidad
2.- f (x │ y)3.- verificar si son variables independientes
son variables independientes
4.- Coeficiente de correlación
154
.........
155
.........Probabilidad conjunta
Determine la probabilidad de que al menos 1/8 de las mujeres que se inscribieron en el maratón la finalizaron si se sabe que exactamente la mitad de los atletas hombres la terminaron.
11.- Demuestre que no hay un valor K para el cual:
f(x, y) = k y (2y-x) para x = 0,3; y = 0,1,2.
p(0,0) = 0 p(3,0) = 0 p(0,1) = 2k p(3,1) = -k p(0,2) = 8k p(3,2) = 2k
No existe valor de k, pues no se cumple la condición en la cual p(x,y) ≥ 0 para p(3,1), por lo tanto, no puede ser esta una función de probabilidad
156
.........
12.-Sea la función :
F(x,y)
La función de densidad conjunta del vector aleatorio (x,y)
a) Encuentre el valor de a
f(x,y)
b) p(1≤x≤2, 1≤y≤x2)
c)E(x), E(y), y las derivaciones estandar para ambas variables.
157
.........
158
.........
Conjunta discreta
3.- Determinar el valor de la constante A, de tal manera que las siguientes funciones representen una distribución de probabilidad conjunta para las variables aleatorias discretas X, Y.
b) P(x, y) = a(x-y) x = -2, 0, 2 y = -2,3c) P(x ,y) = a ( x / y ) x = 1, 2 y = 1,2e) P(x ,y) = a(x2 + y2 ) para las parejas (1,1), (1,3), (2,3)
b)
p(-2,-2) = 0 p(0, 3) = 3ap(-2, 3) = 5a p(2,-2) = 4a =p(0, -2) = 2a p(-2, 3) = a
-2 0 2
-2 0 2/15 4/153 5/15 3/15 1/15
P(x≤2, y=1) = 0
P(x>2, y≤1) = 0
P(x > y ) = p(0,-2) + p(2,-2) = 2/15 + 4/15 = 6/15
P(x + y = 4) = 0
F(2,2) = p(x≤2, y≤2) = p(-2,-2) + p(0,-2) + p(2,-2) = 0 + 2/15 + 4/15 = 6/15
F(1,3) = p(x≤1, y≤3) = p(-2,-2) + p(-2,3) + p(0,-2) + p(0,3) = 0 + 5/15 + 2/15 + 3/15 = 10/15
c)
p(1,1) = a p(2,1) = 2ap(1,2) = a/2 p(2,2) = a =
159
.........
1 21 2/9 4/92 1/9 2/9
P(x≤2, y=1) = p(1,1) + p(1,2) = 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3
P(x>2, y≤1) = 0
P(x > y ) = p(2,1) = 4/9
P(x + y = 4) = p(2,2) = 2/9
F(2,2) = p(x≤2, y≤2) = p(1,1) + p(1,2) + p(2,1) + p(2,2) = 2/9 + 1/9 + 4/9 + 2/9 = 9/9 =1
F(1,3) = p(x≤1, y≤3) = p(1,1) + p(1,2) = 2/9 + 1/9 + 3/9 = 1/3
d)
p(1,1) = a p(1,3) = 10a =p(2,3) = 13a
1 2
1 1/24 03 10/24 13/24
P(x≤2, y=1) = p(1,1) + p(2,1) = 1/24
P(x>2, y≤1) = 0
P(x > y ) = p(2,1) = 0
P(x + y = 4) = p(1,3) = 10/24
F(2,2) = p(x≤2, y≤2) = p(1,1) + p(2,1) = 1/24
F(1,3) = p(x≤1, y≤3) = p(1,1) + p(1,3) = 1/24 + 10/24 = 11/24
Dada la sig. Distribución, calcule:
160
......... -1 1 H(y)-1 1/8 1/2 5/80 0 1/4 1/41 1/8 0 1/8
G(x) 2/8 3/4 1
a) Compruebe que es una distribución de probabilidad:
= 1/8 +1/8 + 0 + 4/8 + 2/8 + 0 = 8/8 = 1
Por lo tanto, es una función de probabilidad
b) Calcule las marginales
h(-1) = 5/8 g(-1) = 2/8 g(x) h( 0) = 1/4 h(x)g( 1) = 3/4 h( 1) = 1/8
c) Determine si son variables independientes o dependientes
si p(x,y) = g(x) . h(y) son independientes
p(-1,1) = 1/8 ; g(x)=( 2/8 ) ;h(y) = ( 5/8 )
1/8 ≠ 10/64 por lo tanto, son variables dependientes
d) Calcule la media para cada variable
= (-1)(2/8) + (1)(6/8) = 4/8 = 1/2
= (-1)(5/8) + (0)(2/8) + (1)(1/8) = -4/8 = -1/2
e) Calcula la varianza y la desviación estándar para ambas variables
= (-1)2(2/8) + (1)2(6/8) = 4/8 = 1
= (-1)2(5/8) + (0)2(2/8) + (1)2(1/8) = 6/8 = 3/4
161
......... = 1 – (1/2)2 = 3/4
= 3/4 – (-1/2)2 = 2/4 = 1/2
= 0.866
= 0.707
f) Covarianza
;
E(x,y) = (-1)(-1)p(-1,-1) + (-1)(0)p(-1,0) + (-1)(1)p(-1,1) + (1)(-1)p(1,-1) + (1)(0)p(1,0) + (1)(1)p(1,1) = (1)(1/8) + (-1)(1/8) + (-1)(4/8) + (1)(0) = -4/8 = -1/2
Cov(x,y) = ( -1/2 ) – [ ( 3/4) . (1/2) ] = -1/4
g) Coeficiente de correlación
= ( -1/4 ) / [ (0.866) (0.707) ] = -0.408
6.-Dada la sig. Función, determine lo siguiente:
f(x,y)
a) Que es una función de densidad.
162
.........
Por lo tanto, es una función de probabilidad
b) g(x), h(y)
c) f (x, y) = g(x).h(y)
163
.........Evaluando para f(1,1) ½ = ½
f(x,y) = g(x) . h(y) por lo tanto son variables independientes
d) E(x), E(y)
e) VAR (x), VAR (y), E(x2 ), E(y2 )
f) Cov (x, y )
164
.........
g) Coeficiente de correlación.
h) p(1<y<3 │x =2)
165
......... TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.
Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.
Los parámetros de la distribución normal son:
Media: n * (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)
Varianza: n * (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales).
EJEMPLO 1. Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.
La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal.
Media = 100 * 0,5 = 50
Varianza = 100 * 0,25 = 25
Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:
(*) 5 es la raíz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución.
Por lo tanto:
P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228
166
.........Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.
EJEMPLO 2. La renta media de los habitantes de un país se distribuye uniformemente entre 4,0 millones ptas. y 10,0 millones ptas. Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725 millones ptas.
Cada renta personal es una variable independiente que se distribuye según una función uniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se le puede aplicar el Teorema Central del Límite.
La media y varianza de cada variable individual es:
= (4 + 10 ) / 2 = 7
= (10 - 4)^2 / 12 = 3
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son:
Media: n * = 100 * 7 = 700
Varianza: n * = 100 * 3 = 300
Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a 725 millones ptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipificada:
Luego:
P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 - P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749
Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personas seleccionadas al azar supere los 725 millones de pesetas es tan sólo del 7,49%
EJEMPLO 3. En una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura. ¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra más de 15 veces?
Se vuelve a aplicar el Teorema Central del Límite.
Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo de distribución de Bernouilli:
"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene una probabilidad del 0,10
167
........."No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene una probabilidad del 0,9
La media y la varianza de cada variable independiente es:
= 0,10
= 0,10 * 0,90 = 0,09
Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye según una normal cuya media y varianza son:
Media : n * = 100 * 0,10 = 10
Varianza : n * = 100 * 0,09 = 9
Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra más de 15 veces, calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada:
Luego:
P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P (Y < 1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475
Es decir, la probabilidad de tener que salir más de 15 veces a la pizarra a lo largo del curso es tan sólo del 4,75%.
EJEMPLO 1.- Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año de las preparatorias de cierto estado tienen una media de 60 y una varianza de 64. Una generación específica de cierta preparatoria n = 100 alumnos tuvo una media de 58. ¿Puede afirmarse que esta preparatoria sea inferior? (Calcular la probabilidad de que la media muestral sea a lo más 58 cuando n = 100.)
SOLUCIÓN Sea Y la media de una muestra aleatoria de n = 100 calificaciones de una población con = 60 y 2 = 64. Se desea aproximar P(Y 58). Sabemos del Teorema
que √n (Y−μ )/σ es aproximadamente una variable aleatoria normal estándar, que denotaremos por Z. Por tanto:
P (Y≤58 )≈P(Z≤58−60
√64/100 )=P (Z≤−2 .5 )=. 0062
Mediante la Tabla 4 del Apéndice III.Ya que la probabilidad es tan pequeña, es poco probable que se pueda considerar a esa generación estudiada como una muestra aleatoria de una población con =60 y 2 =64. Se puede afirmar que la calificación promedio para esta preparatoria es menor que el promedio global de = 60.
168
.........EJEMPLO 2.- Los tiempos de espera para los clientes que pasan por una caja registradora a la salida de una tienda de menudeo son variables aleatorias independientes con una media de 1.5 minutos y una varianza de 1.0. Aproxime la probabilidad de que se pueda atender a 100 clientes en menos de 2 horas.
SOLUCIÓN Si Yi denota el tiempo de espera para el i–ésimo cliente, entonces se desea calcular.
P(∑i=1
100
Y i≤120)=P( Y≤120100 )=P (Y≤1. 20 )
Ya que el tamaño de la muestra es grande, el teorema del límite central establece que Y es aproximadamente una distribución normal con media = 1.5 y varianza
σ y2=σ2 /n=1 . 0/100 . Por lo tanto,
P (Y≤1 .20 )=P( Y−1 .501 /√100
≤1 . 20−1 .501/√100 )
¿ P [Z≤ (1 . 2−1 .5 )√100 ]=P (Z≤−3 )=0. 0013De la tabla 4 del Apéndice III.Así la probabilidad de que se pueda atender a 100 clientes en menos de 2 horas es aproximadamente 0.0013.
EJEMPLO 3.- Considere el experimento de lanzar un dado 30 veces y anotar sus resultados. Este experimento se realiza 56 veces para obtener 56 valores de x .
SOLUCIÓN Según el teorema del límite central, cabe esperar que el histograma de estos datos tenga forma aproximada de campana. El centro de la campana se ubicaría cerca de 3.5, el valor verdadero de ; la varianza de los datos de ser cercana a 0.0973, el valor verdadero de 2/n, y la desviación estándar de los datos ha de aproximarse satisfactoriamente al valor real del error estándar de la media, 0.3119. La figura 7.6 muestra el histograma de los datos del ejemplo. Note que la forma de campana es imperfecta. Se observa una leve desviación a la derecha, resultante de que se obtuvieron unos cuantos valores de x relativamente altos en el experimento. La media de estos datos es 3.548, un poco mayor que la media verdadera de 3.5; la varianza muestra es de 0.0911, levemente menor que el valor teórico de 0.0973, y el valor estimado del error estándar de la media basado en estos datos es 0.3019, apenas menor que el valor teórico de 0.3119. Al aumentar el tamaño de la muestra en el cual se basa cada valor de , se espera que el histograma tenga forma de campana más pronunciada y que las estimaciones de la media, la varianza y la desviación estándar de x guarden concordancia más estrecha con la predicciones teóricas.
169
.........
Regresión lineal
La forma de una función f puede ser algo de la forma
Por el momento no pretendemos encontrar relaciones tan complicadas entre variables, pues nos vamos a limitar al caso de la regresión lineal. Con este tipo de regresiones nos conformamos con encontrar relaciones funcionales de tipo lineal, es decir, buscamos cantidades a y b tales que se pueda escribir como:
Con el menor error posible entre e Y, o bien
De forma que sea una variable que toma valores próximos a cero.
170
.........Por tanto:
Si b>0, las dos variables aumentan o disminuyen a la vez; Si b<0, cuando una variable aumenta, la otra disminuye.
Por tanto, en el caso de las variables peso y altura lo lógico será encontrar que b>0.
El problema que se plantea es entonces el de cómo calcular las cantidades a y b a partir de un conjunto de n observaciones
1. Dadas dos variables X, Y, sobre las que definimos
2. Una aproximación de Y, se define a partir de dos cantidades a y b. Vamos a calcular aquellas que minimizan la función
3. Posteriormente encontraremos fórmulas para el cálculo directo de a y b que sirvan para cualquier problema.
Regresión de Y sobre X
Para calcular la recta de regresión de Y sobre X nos basamos en la figura.
Figura: Los errores a minimizar son las cantidades
171
.........
Una vez que tenemos definido el error de aproximación mediante la relación, las cantidades que lo minimizan se calculan derivando con respecto a ambas e igualando a cero (procedimiento de los mínimos cuadrados):
Se denomina ecuaciones normales. La primera se escribe como
Sustituyendo se tiene que
172
.........Lo que nos da las relaciones buscadas:
La cantidad b se denomina coeficiente de regresión de Y sobre X.
Regresión de X sobre Y
Las mismas conclusiones se sacan cuando intentamos hacer la regresión de X sobre Y, pero ¡atención!: Para calcular la recta de regresión de X sobre Y es totalmente incorrecto despejar de
Pues esto nos da la regresión de X sobre , que no es lo que buscamos. La regresión de X sobre Y se hace aproximando X por , del modo
Donde:
Figura: Los errores a minimizar son las
cantidades
173
.........
Ejemplo 1. En una muestra de 1.500 individuos se recogen datos sobre dos medidas antropométricas X e Y. Los resultados se muestran resumidos en los siguientes estadísticos:
Solución:
Lo que se busca es la recta, que mejor aproxima los valores de Y (según el criterio de los mínimos cuadrados) en la nube de puntos que resulta de representar en un plano (X,Y) las 1.500 observaciones. Los coeficientes de esta recta son:
Así, el modelo lineal consiste en:
Por tanto, si x=15, el modelo lineal predice un valor de Y de:
En este punto hay que preguntarse si realmente esta predicción puede considerarse fiable. Para dar una respuesta, es necesario estudiar propiedades de la regresión lineal que están a continuación.
Propiedades de la regresión lineal
Una vez que ya tenemos perfectamente definida , (o bien ) nos preguntamos las relaciones que hay entre la media y la varianza de esta y la de Y (o la de X). La respuesta nos la ofrece la siguiente proposición:
Proposición
En los ajustes lineales se conservan las medias, es decir
174
.........
En cuanto a la varianza, no necesariamente son las mismas para los verdaderos valores de las variables X e Y y sus aproximaciones y , pues sólo se mantienen en un factor de r2, es decir,
Demostración Basta probar nuestra afirmación para la variable Y, ya que para X es totalmente análogo:
Observación Como consecuencia de este resultado, podemos decir que la proporción de varianza explicada por la regresión lineal es del .
La cantidad que le falta a la varianza de regresión , para llegar hasta la varianza total de Y, , es lo que se denomina varianza residual, que no es más que la varianza de , ya que
175
.........
El tercer sumando se anula según las ecuaciones normales expresadas:
Por ello
Obsérvese que entonces la bondad del ajuste es
Para el ajuste contrario se define el error como , y su varianza residual es también proporcional a 1-r2:
Y el coeficiente de determinación (que sirve para determinar la bondad del ajuste de X en función de Y) vale:
Lo que resumimos en la siguiente proposición:
176
.........Proposición
Para los ajustes de tipo lineal se tiene que los dos coeficientes de determinación son iguales a r2, y por tanto representan además la proporción de varianza explicada por la regresión lineal:
Por ello:
Si el ajuste es bueno (Y se puede calcular de modo bastante aproximado a partir de X y viceversa).
Si las variables X e Y no están relacionadas (linealmente al menos), por tanto no tiene sentido hacer un ajuste lineal. Sin embargo no es seguro que las dos variables no posean ninguna relación en el caso r=0, ya que si bien el ajuste lineal puede no ser procedente tal vez otro tipo de ajuste sí lo sea.
Ejemplo 2. De una muestra de ocho observaciones conjuntas de valores de dos variables X e Y, se obtiene la siguiente información:
Calcule: 1. La recta de regresión de Y sobre X. Explique el significado de los
parámetros. 2. El coeficiente de determinación. Comente el resultado e indique el tanto por ciento de la variación de Y que no está explicada por el modelo lineal de regresión.
3. Si el modelo es adecuado, ¿cuál es la predicción para x=4.
Solución:
1. En primer lugar calculamos las medias y las covarianza entre ambas variables:
177
.........
Con estas cantidades podemos determinar los parámetros a y b de la recta. La pendiente de la misma es b, y mide la variación de Y cuando X aumenta en una unidad:
Al ser esta cantidad negativa, tenemos que la pendiente de la recta es negativa, es decir, a medida que X aumenta, la tendencia es a la disminución de Y. En cuanto al valor de la ordenada en el origen, a, tenemos:
Así, la recta de regresión de Y como función de X es:
2. El grado de bondad del ajuste lo obtenemos a partir del coeficiente de determinación:
Es decir, el modelo de regresión lineal explica el de la variabilidad de
Y en función de la de X. Por tanto queda un de variabilidad no explicada.
3. La predicción que realiza el modelo lineal de regresión para x=4 es:
La cual hay que considerar con ciertas reservas, pues como hemos visto en el apartado anterior, hay una razonable cantidad de variabilidad que no es explicada por el modelo.
178
.........
Regresión no lineal
La regresión lineal no siempre da buenos resultados, porque a veces la
relación entre Y y X no es lineal sino que exhibe algún grado de curvatura. La
estimación directa de los parámetros de funciones no-lineales es un proceso
bastante complicado. No obstante, a veces se pueden aplicar las técnicas de
regresión lineal por medio de transformaciones de las variables originales.
Una función no-lineal que tiene muchas aplicaciones es la función exponencial:
Y = AXb
Donde A y b son constantes desconocidas. Si aplicamos logaritmos, esta
función también puede ser expresada como:
179
......... log(Y) = log(A) +
b.log(X)
Consideremos ahora la siguiente regresión lineal:
log(Y) = b0 + b1log(X)
En esta regresión (denominada regresión doble-log), en lugar de calcular la
regresión de Y contra X, calculamos la regresión del logaritmo de Y contra el
logaritmo de X. Comparando estas dos ecuaciones, podemos apreciar que el
coeficiente es un estimador de log(A), mientras que es un estimador de b (el
exponente de la función exponencial). Este modelo es particularmente
interesante en aplicaciones econométricas, porque el exponente b en una
función exponencial mide la elasticidad de Y respecto de X.
La forma de la función f en principio podría ser arbitraria, y tal vez se tenga que la relación más exacta entre las variables peso y altura definidas anteriormente sea algo de la forma3.1
Por el momento no pretendemos encontrar relaciones tan complicadas entre variables, pues nos vamos a limitar al caso de la regresión lineal. Con este tipo de regresiones nos conformamos con encontrar relaciones funcionales de tipo lineal, es decir, buscamos cantidades a y b tales que se pueda escribir
con el menor error posible entre e Y, o bien
180
.........
de forma que sea una variable que toma valores próximos a cero. Observación Obsérvese que la relación explica cosas como que si X varía en 1 unidad, varía la cantidad b. Por tanto:
Si b>0, las dos variables aumentan o disminuyen a la vez; Si b<0, cuando una variable aumenta, la otra disminuye.
Por tanto, en el caso de las variables peso y altura lo lógico será encontrar que b>0.
El problema que se plantea es entonces el de cómo calcular las cantidades a y b a partir de un conjunto de n observaciones
de forma que se minimice el error. Las etapas en que se divide el proceso que vamos a desarrollar son de forma esquemática, las que siguen:
1. Dadas dos variables X, Y, sobre las que definimos
medimos el error que se comete al aproximar Y mediante calculando la suma de las diferencias entre los valores reales y los aproximados al cuadrado (para que sean positivas y no se compensen los errores):
2.
181
.........Una aproximación de Y, se define a partir de dos cantidades a y b. Vamos a calcular aquellas que minimizan la función
3. Posteriormente encontraremos fórmulas para el cálculo directo de a y b que sirvan para cualquier problema.
Regresión de Y sobre X
Para calcular la recta de regresión de Y sobre X nos basamos
Figura: Los errores a minimizar son las
cantidades
Una vez que tenemos definido el error de aproximación mediante la relación (3.13) las cantidades que lo minimizan se calculan derivando con respecto a ambas e igualando a cero (procedimiento de los mínimos cuadrados):
182
.........
La relación (, no es más que otra manera de escribir la relación , que se denomina ecuaciones normales. La primera de se escribe como
Sustituyendo se tiene que
Lo que nos da las relaciones buscadas:
183
.........
La cantidad b se denomina coeficiente de regresión de Ysobre X.
Regresión de X sobre Y
Las mismas conclusiones se sacan cuando intentamos hacer la regresión de X sobre Y, pero ¡atención!: Para calcular la recta de regresión de X sobre Y es totalmente incorrecto despejar de
Pues esto nos da la regresión de X sobre , que no es lo que buscamos. La regresión de X sobre Y se hace aproximando X por , del modo
donde
pues de este modo se minimiza, en el sentido de los mínimos cuadrados, los
errores entre las cantidades xi y las
Figura: Los errores a minimizar son las
cantidades
184
.........
La forma de la función f en principio podría ser arbitraria, y tal vez se tenga que la relación más exacta entre las variables peso y altura definidas anteriormente sea algo de la forma
Por el momento no pretendemos encontrar relaciones tan complicadas entre variables, pues nos vamos a limitar al caso de la regresión lineal. Con este tipo de regresiones nos conformamos con encontrar relaciones funcionales de tipo lineal, es decir, buscamos cantidades a y b tales que se pueda escribir
con el menor error posible entre e Y, o bien
de forma que sea una variable que toma valores próximos a cero.
Por tanto: Si b>0, las dos variables aumentan o disminuyen a la vez; Si b<0, cuando una variable aumenta, la otra disminuye.
Por tanto, en el caso de las variables peso y altura lo lógico será encontrar que b>0. El problema que se plantea es entonces el de cómo calcular las cantidades a y b a partir de un conjunto de n observaciones
de forma que se minimice el error. Las etapas en que se divide el proceso que vamos a desarrollar son de forma esquemática, las que siguen:
1. Dadas dos variables X, Y, sobre las que definimos
medimos el error que se comete al aproximar Y mediante calculando la suma de las diferencias entre los valores reales y los aproximados al cuadrado (para que sean positivas y no se compensen los errores):
185
.........
2. Una aproximación de Y, se define a partir de dos cantidades a y b. Vamos a calcular aquellas que minimizan la función
3. Posteriormente encontraremos fórmulas para el cálculo directo de a y b que sirvan para cualquier problema.
Ejemplos.
Ejemplo 1. En una muestra de 1.500 individuos se recogen datos sobre dos medidas antropométricas X e Y. Los resultados se muestran resumidos en los siguientes estadísticos:
Obtener el modelo de regresión lineal que mejor aproxima Y en función de X. Utilizando este modelo, calcular de modo aproximado la cantidad Y esperada cuando X=15.
Solución:
Lo que se busca es la recta, , que mejor aproxima los valores de Y (según el criterio de los mínimos cuadrados) en la nube de puntos que resulta de representar en un plano (X,Y) las 1.500 observaciones. Los coeficientes de esta recta son:
Así, el modelo lineal consiste en:
Por tanto, si x=15, el modelo lineal predice un valor de Y de:
En este punto hay que preguntarse si realmente esta predicción puede considerarse fiable. Para dar una respuesta, es necesario estudiar propiedades de la regresión lineal que están a continuación.
Ejemplo 2. De una muestra de ocho observaciones conjuntas de valores de dos variables X e Y, se obtiene la siguiente información:
186
.........Calcule: 1. La recta de regresión de Y sobre X. Explique el significado de los
parámetros. 2. El coeficiente de determinación. Comente el resultado e indique el tanto por ciento de la variación de Y que no está explicada por el modelo lineal de regresión.
3. Si el modelo es adecuado, ¿cuál es la predicción para x=4. Solución:
1. En primer lugar calculamos las medias y las covarianza entre ambas variables:
Con estas cantidades podemos determinar los parámetros a y b de la recta. La pendiente de la misma es b, y mide la variación de Ycuando X aumenta en una unidad:
Al ser esta cantidad negativa, tenemos que la pendiente de la recta es negativa, es decir, a medida que X aumenta, la tendencia es a la disminución de Y. En cuanto al valor de la ordenada en el origen, a, tenemos:
Así, la recta de regresión de Y como función de X es:
2. El grado de bondad del ajuste lo obtenemos a partir del coeficiente de determinación:
Es decir, el modelo de regresión lineal explica el de la variabilidad de
Y en función de la de X. Por tanto queda un de variabilidad no explicada.
3. La predicción que realiza el modelo lineal de regresión para x=4 es:
la cual hay que considerar con ciertas reservas, pues como hemos visto en el apartado anterior, hay una razonable cantidad de variabilidad que no es explicada por el modelo.
Ejemplo 3. En un grupo de 8 pacientes se miden las cantidades antropométricas peso y edad, obteniéndose los siguientes resultados:
187
......... Resultado de las mediciones
edad 12 8 10 11 7 7 10 14
peso 58 42 51 54 40 39 49 56
¿Existe una relación lineal importante entre ambas variables? Calcular la recta de regresión de la edad en función del peso y la del peso en función de la edad. Calcular la bondad del ajuste ¿En qué medida, por término medio, varía el peso cada año? ¿En cuánto aumenta la edad por cada kilo de peso? Solución: Para saber si existe una relación lineal entre ambas variables se calcula el coeficiente de correlación lineal, que vale:
ya que Por tanto el ajuste lineal es muy bueno. Se puede decir que el ángulo entre el vector formado por las desviaciones del peso con respecto a su valor medio y el de la edad con respecto a su valor medio, , es:
es decir, entre esos vectores hay un buen grado de paralelismo (sólo unos 19 grados de desviación). La recta de regresión del peso en función de la edad es
La recta de regresión de la edad como función del peso es
que como se puede comprobar, no resulta de despejar en la recta de regresión de Y sobre X. La bondad del ajuste es
188
.........por tanto podemos decir que el de la variabilidad del peso en función de la edad es explicada mediante la recta de regresión correspondiente. Lo mismo podemos decir en cuanto a la variabilidad de la edad en función del peso. Del
mismo modo puede decirse que hay un de varianza que no es explicada por las rectas de regresión. Por tanto la varianza residual de la regresión del peso en función de la edad es
y la de la edad en función del peso:
Por último la cantidad en que varía el peso de un paciente cada año es, según la recta de regresión del peso en función de la edad, la pendiente de esta recta, es decir, b1=2,8367 Kg/año. Cuando dos personas difieren en peso, en promedio la diferencia de edad entre ambas se rige por la cantidad b2=0,3136 años/Kg de diferencia.
Ejemplo: vamos a calcular la recta de regresión de la siguiente serie de datos de altura y peso de los alumnos de una clase. Vamos a considerar que la altura es la variable independiente "x" y que el peso es la variable dependiente "y" (podíamos hacerlo también al contrario):
Alumno
Estatura
Peso
Alumno
Estatura
Peso
Alumno
Estatura
Peso
x x x x x x x x xAlumno
11,25 32
Alumno 11
1,25 33Alumno
211,25 33
Alumno 2
1,28 33Alumno
121,28 35
Alumno 22
1,28 34
Alumno 3
1,27 34Alumno
131,27 34
Alumno 23
1,27 34
Alumno 4
1,21 30Alumno
141,21 30
Alumno 24
1,21 31
Alumno 5
1,22 32Alumno
151,22 33
Alumno 25
1,22 32
Alumno 6
1,29 35Alumno
161,29 34
Alumno 26
1,29 34
Alumno 7
1,30 34Alumno
171,30 35
Alumno 27
1,30 34
Alumno 8
1,24 32Alumno
181,24 32
Alumno 28
1,24 31
Alumno 9
1,27 32Alumno
191,27 33
Alumno 29
1,27 35
Alumno 1,29 35 Alumno 1,29 33 Alumno 1,29 34
189
.........10 20 30
El parámetro "b" viene determinado por:
b =
(1/30) * 1,034----------------------------------------
-= 40,265
(1/30) * 0,00856
Y el parámetro "a" por:
a = 33,1 - (40,265 * 1,262) = -17,714
Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta a esta serie de datos es:
y = -17,714 + (40,265 * x)
Esta recta define un valor de la variable dependiente (peso), para cada valor de la variable independiente (estatura):
Estatura Pesox X
1,20 30,61,21 31,01,22 31,41,23 31,81,24 32,21,25 32,61,26 33,01,27 33,41,28 33,81,29 34,21,30 34,6
190
.........
191
