Apuntes Del Blogg Pracial 2
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7/17/2019 Apuntes Del Blogg Pracial 2
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ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Para resolver una ecuación diferencial homogénea se utiliza un
cambio de variables utilizando la variable “u” para dicho proceso
con los siguientes valores:
U = y/x
Y = ux
Dy = u*dx + x * du
ALGORITMO DE SOLUCIÓN:
1.- Identificar la variable “y” y la derivada con respecto a y “dy” en
la ecuación diferencial y sustituirlas, simplificando los términos
semejantes.
2.- Se separan las variables en cada miembro de la ecuación dejando
las x de un lado de la igualdad y las y del otro lado.
3.- Se resuelve la integral, simplifica y se despeja “c” para encontrar
la solución general.
4.- Se calcula el valor de la constante para el cálculo de las
soluciones particulares sustituyendo los valores de “x” y “y” con los
puntos dados.
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EJEMPLO:
(x2
– xy – y2
) dx – xydy = 0 (-3,2)
(x2 – x (ux) – (ux)
2) dx – x (ux) (udx + xdu) = 0
(x2 – ux
2 – u
2x
2) dx – ux
2(udx + xdu) = 0
X2dx – ux
2dx – u
2x
2dx – u
2x
2dx – ux
3du = 0
X2dx – ux
2dx – 2u
2x
2dx – ux
3du = 0
X
2
dx (-u -2u
2
) = ux
3
duX
2dx / x
3= udu / -2u
2 – u
ʃ dx / x = ʃ udu / -2u2 – u
e(ln x = ln -2u -1 + c)
x = c * e -2u
-1 Ec. General
Sol. Particular
X = c * e-2(2/-3)
-1
C = -3 / e-2(2/-3)
-1
C = -1.7909
X = -1.7909 * e -2(2/-3) -1
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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Una ecuación diferencial exacta es aquella que cuenta con la
siguiente estructura:
(M (x, y) dx + (N (x, y) dy) = 0
Para comprobar la existencia de una ecuación diferencial exacta se
debe cumplir la siguiente condición:
aM / ay = aN / ax
ALGORITMO DE SOLUCIÓN:
1.- Se procede a comprobar si la ecuación es exacta.
2.-Integrar a la función “M” con respecto a la derivada parcial de
“y” “ax“ y sustituir a la constante “c” por la función h (y)
3.- Se deriva a la función encontrada con respecto a “y” y se iguala
con la función “m” (x, y)
af / ay = N (x, y)
4.- Se integra a la función con respecto a la variable “y” y se despeja
h (y)
ʃ [af / ay = N (x, y) ] desp. h (y)
5.- Se encuentra la solución general con la ecuación del paso 2
sustituyendo el valor h / (y) e igualarla con una constante de
integración.
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EJERCICIO:
(2y2x - 3) + (2yx
2 +4) y
’= 0
aM / ay = 4yx aN / ax = 4yx
ʃ (2y2x - 3) dx
f (x, y) = 2y2x
2 / 2 – 3x + h (y)
af / ay = 2y2x
2 + h (y) = 2yx
2 + 4
ʃ h (y) = ʃ 4 dy
h (y) = 4y
R= y2x
2 – 3x + 4y + c Sol. General
Sol. Particular (3, 2)
(2)2(3)
2 – 3 (3) + 4 (2)
(4) (9) – 9+ 8
36 – 1= 35
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuación diferencial lineal es aquella en donde las derivadas
disminuyen en forma proporcional y se representan de la siguiente
forma:
y’+ p (x) y – q (x) = 0
y’ + p (x) y = q (x)
ALGORITMO DE SOLUCIÓN:
1.- Identificar el factor integrante, sustituirlo y simplificarlo
M = e ʃ p (x) dx
2.- Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante
3.- Sustituir en el primer miembro la derivada del resultado de la
función por el factor integrante
d / dx y * M
4.- Integrar la ecuación y despejar la variable independiente
EJEMPLO:
y’ + 2xy = x3
p (x) = 2x
M = e ʃ 2xdx
= ex2
ex2
y’+ 2xy e
x2= x
3e
x2
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ʃ d / dx y * ex2
= ʃ x2e
x2xdx
y * ex2
= x2 / 2 e
x2 – x / 2 e
x2+ 1 / 4 e
x2+ c
y =(x
2 / 2 e
x2 – x / 2 e
x2+ 1 / 4 e
x2+ c) / e
x2
y = x2/ 2 – x / 2 + 1 / 4 + c / e
x2Sol. General
en el punto dado (1, 3)
C = y ex2
– x2
/ 2 ex2
+ x / 2 ex2
– 1 / 4 ex2
C = e
x2(y – x
2 / 2 + x / 2 – 1 / 4)
C = e1(3 – 1 / 2 + 1 / 2 – 1 / 4)
C = e1(11 / 4)
C = 7.4752 Sol. Particular