Apuntes Ecuaciones diferenciales

Peña Ramirez Carlos Yamil 2541

Teoría Preliminar

Derivadas Parciales

Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias variables considerando

únicamente a una literal como variable y al resto se considera constante.

Algoritmo de solución

1.- Derivar de la ecuación todas y cada una de las variables respecto a las funciones indicadas (x, y,

z).

2.- Encontrar la función respecto de X, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las

variables de X.

3.- Encontrar la función respecto de Y, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las

variables de Y.

4.-.- Encontrar la función respecto de Z, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las

variables de Z.

f (x, y, z) = 3x2y + 2xz + 3yz

af/ax = 6xy + 2z

af/ay = 3x2 + 3z

af/az = 2x + 3y


Integral por Partes

El método de la integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para

resolver algunas integrales de productos.

Permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, arcos y polinómicas se eligen como “u”


1.- Definir la ecuación de la integral

2.- Identificar U y DV

3.- Dividir en una tabla de tabulación a U y posteriormente a derivar la función de U hasta llegar a

0

4.- De lado contrario de la tabla DV y posteriormente integrar la función de DV hasta igualar a 0 de

U.

5.- El primer término de U se juntara con el segundo término de DV de manera que se unan en

forma diagonal.

3x2 cos xdx

U DV

3x2 cos x

6x sen x R= 3x2 senx + 6x cosx – 6 senx + C

6 -cos x

0 -sen x


Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que cuenta con diferenciales en su estructura y su resultado es una ecuación Una ecuación diferencial se puede clasificar por su forma y estructura:

a) Ecuación diferencial ordinaria b) Ecuación diferencial parcial

Una ecuación diferencial puede clasificarse según su grado el cual se determina por la ecuación de mayor grado. Una ecuación diferencial generalmente cuenta con una solución en general y un número definido de soluciones en particulares para que una solución sea validada debe cumplirse a igualdad en la ecuación. Algoritmo de solución 1.- Se identifica el tipo de ecuación es. 2.- Se deriva acorde al tipo de ecuación que era según el grado 3.- Se utiliza el último resultado y se le resta el término mayor multiplicado por el término original 4.- Si el resultado igualado a cero cumple la igualación es una solución correcta

a)

b)

a)


b)


Familia de curvas de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial cuenta con una solución general que contienen una constante de integral

y un número indefinido de soluciones particulares.

Para encontrar una solución particular se debe identificar el valor de la constante sustituyendo el

punto por donde se desea pase la gráfica de la solución general.


1.- Haciendo uso de la solución general se procede a identificar con que puntos será evaluada.

2.- Cada punto dado es un sistema de coordenadas (x,y)

3.- En la solución general existirá alguno de estos datos x,y y serán sustituidos por los valores del

punto

4.- Una vez sustituidos los valores se continuara a realizar la operación para obtener C

5.- El valor de C corresponde al valor de los puntos en el eje de las Y

6.- Ahora se procederá a tabular los datos

7.- Se escogerá un rango de números para x ,(3,2,1,0,-1,-2,-3)

8.- Y con la formula resultado de C se procede a realizar la operación con respecto a cada punto de

X sustituyendo a esta misma en la formula si es necesario

9.- Con todos los datos de ambos ejes se procede a graficar los datos.

10.- Se repite el proceso según el número de puntos dados.

Ejemplo:

Solución general: y=C*X

grafique la familia de curvas que pase por los siguientes puntos:

(1,1)

(1,3)

(4,2)


punto (1,1)

y=C*X

1=C*1

C=1/1

C=1

tabulación 1:

X Y=1*X

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

Punto (1,3)

y=C*X

3=C1

C=3/1=3

tabulación 2:

X Y=3X

-3 -9

-2 -6

-1 -3

0 0

1 3


2 6

3 9

Punto (4,2)

y=C*X

2=C*4

C=2/4=1/2=.5

tabulación 3:

X Y=.5X

-3 -1.5

-2 -1

-1 -.5

0 0

1 .5

2 1

3 1.5


Ecuaciones diferenciales de variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de primer orden (grado) se pueden clasificar por su estructura en:

Ecuaciones diferenciales de variables separadas:

Son aquellas donde puede separarse en cada miembro de la ecuación una variable y se presenta

de la forma

( )

( )

Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza el siguiente algoritmo

Comprobar que puedan separarse las variables siempre y cuando las derivadas (dx, dy) queden

como numerador

Separadas las variables deberán integrarse cada una con respecto a su propia variable colocando

únicamente una constante

En caso de ser posible debe despejarse la variable dependiente, considerando la solución general

cuando contenga la constante de integración

Ejemplo:


Fórmula para integrar

Solución general


1.- Dada la ecuación, se procede a sustituir ya prima por derivada de y con respecto a la derivada

de x.

2.- Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y

se hace lo mismo con la derivada con respecto a x.

3.- Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de

integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es

igual a 0.

4.- Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso

contrario se procede a completarla para obtenerla.


Ecuaciones diferenciales de variables separables

Graficar la solución particular de una E.D.V.S.

La solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se presenta con una condición

inicial (se conoce un punto por donde pasa) como muestra el siguiente ejemplo:

( )

x=1 y=2

Solución general

( )


( )

Solución particular

x y

-3 1.0850

-2 1.9237

-1 1.0937

0 1.5453

1 1.9999

2 1.1668

3 1.4055



de x.





igual a 0.



5.- Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para

saber su valor.

6.- Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo

la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica.


Ecuaciones diferenciales de variables separables

Resolver soluciones particulares de una E.D.V.S. y sus aplicaciones

Graficar la solución particular cuando

F (1)=2, F (2)=4, F (3)=2

( )

( )

√(

)

Solución general


F (1)=2

X = 1 y = (2)

√(( )

)

x y

-3 2

-2 1.5182

-1 1.2599

0 1.5182

1 2.0

2 2.3207

3 2.5712

.


F (2)=4

X = 2 y = (4)

√(( )

)

x y

-3 3.8372

-2 3.7325

-1 3.6962

0 3.7325

1 3.8372

2 4

3 4.5712


F (3)=2

X = 3 y = (2)

√(( )

)

x y

-3 -2.1544

-2 -2.4384

-1 -2.5198

0 -2.4384

1 -2.1544

2 -1.3572

3 2




de x.





igual a 0.



5.- Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para

saber su valor sustituyendo los x y y con los valores de los puntos dados.

6.- Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo

la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica de cada uno de los

puntos dados.


Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento

Cuando se tienen fenómenos de incrementos o decrementos el comportamiento no es lineal, este

se comporta de forma exponencial aplicando la siguiente relación

Regla de crecimiento

Cuando se tienen problemas de crecimiento se deben conocer condiciones iniciales las cuales se

deben sustituir para identificar la solución particular del problema como muestra

Ejemplo:

La población de una ciudad ha aumentado un 50% en los últimos 6 años indique el tiempo que

tardara en alcanzar el doble de tamaño

Indique la población que tendrá en 3 años si inicialmente tenían 100 mil habitantes

∫

∫

[ ]

( ) Ecuación de crecimiento

Ecuación particular

( ) *

+

T=? cuando 2 P0

[

]

[ [

] ]

[

]

*

+

La población alcanzara el doble de tamaño en 10.2570 años

[ ]

Condiciones iniciales T0 años = T6 años =1.5

P0= ( ) C=P0

1.5 P0 = P0 ( )


La población que tendrá en 3 años (

)

Población (3 años)= 100000e

Total= 122474.4


1.- Se sustituyen las variables correspondientes al problema en la fórmula de la regla de

crecimiento

2.- Se procede a integrar los términos tomando en cuenta que una integración de una derivada

que se encuentra en una fracción se convierte en logaritmo natural y una simple integración de

una derivada se eliminan o es igual a 0.

3.- Se despeja la variable que se desea obtener el valor tomando en cuenta que al despejar

logaritmo natural, al pasarlo al otro lado de la igualdad se convierte en Euler.

4.- Una vez obtenida la ecuación de crecimiento correspondiente al problema, se procede a

organizar los datos dados en el problema para saber cuáles son las incógnitas a resolver.

5.- Cuando se tienen claras todas las incógnitas y los datos ya dados en el problema, se procede a

sustituir los valores en la ecuación de crecimiento.

6.- Se despeja la variable de la cual se desea obtener el valor y se resuelve la ecuación para

obtener el resultado al problema.

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