APUNTES Guía de Ejercicios. - Eugenio Rivera · PDF fileSe definen las siguientes...

APUNTES Guía de Ejercicios.

FISICA

Temas: Estática y Electromagnetismo.

Profesor:

Eugenio Rivera Mancilla. 2007

2

Índice.

I. Introducción: i. Nociones de Trigonometría Plana. ii. Escalares y Vectores.

II. Parte 1

i. Equilibrio. ii. Estructuras - Reticulado.

III. Parte 2

i. Ley de Coulomb, Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico. ii. Corriente Eléctrica y Resistencias.

Física 1 – Ing. Civil Eugenio Rivera Mancilla – USACH

3

Introducción. i. Nociones de Trigonometría Plana. Se define como Circunferencia Unitaria o trigonométrica a aquella cuyo centro esta situado en el origen O de un sistema coordenado y su radio es la unidad.

1=r

1

1

1−

1−

Y

122 =+ yx

θ X O

La medición de un ángulo en posición normal o estándar es cuando se mide desde el semi-eje horizontal OX como se muestra en la figura. En la medición se dice que un ángulo es positivo si se considera una rotación en sentido anti-horario y negativo si se toma el sentido horario. Existen dos sistemas comúnmente utilizados para medir ángulos i) Sistema Sexagesimal y ii) Sistema Circular.

i) Sistema Sexagesimal: La unidad de medida correspondiente es el grado sexagesimal o simplemente grado que se denota por el símbolo º. Por ejemplo 30º (treinta grados). En este sistema el ángulo completo mide 360º, el ángulo recto mide 90º, el ángulo extendido mide 180º, etc.

ii) Sistema Circular: La unidad de medida correspondiente es el radian que se

denotado por “rad”. Por ejemplo π rad (phi radianes o simplemente phi). En este sistema el ángulo completo mide 2π radianes, el ángulo recto mide π/2, el ángulo extendido mide π, etc.

2π 90º

θ 180º 0 O

270º

π

23π

360º , π2


4

Para trasformar de un sistema a otro solo es necesaria la siguiente relación π2º360 = o alguna equivalente como lo es π=º180 . Por ejemplo transformemos a

radianes 45º, para esto, realizamos el cálculo simple de una regla de tres:

x↔↔

º45º180 π

Luego

4º180º45

º45º180ππ

π

==⇒

⋅=⋅

x

x

Por lo tanto

4º45 π=

Relaciones trigonométricas en el triangulo rectángulo: Consideremos un triangulo rectángulo de lados y y ángulo ba, c θ , como se muestra en la figura.

c

a : Cateto opuesto respecto a θ a b : Cateto adyacente respecto a θ

θ :c Hipotenusa

b Se definen

También s

Recuerde que en triángulos rectángulos se cumple el teorema de Pitágoras:
222 cba =+
las siguientes relaciones:

ca

==hipotenusa

opuesto cateto)sin(θ ac

==opuesto cateto

hipotenusa)(cosec θ

cb

==hipotenusa

adyacente cateto)cos(θ bc

==adyacente cateto

hipotenusa)(sec θ

ba

==adyacente catetoopuesto cateto)tan(θ

ab

==opuesto cateto

adyacente cateto)(cotan θ

e puede apreciar que:

ba

==)cos()sin()tan(

θθθ

ab

==)sin()cos()(cotan

θθθ

bc

==)cos(

1)(secθ

θ ac

==)sin(

1)(cosecθ

θ


5

A continuación se presentan dos de las identidades trigonométricas más conocidas y utilizadas en matemáticas e ingeniería y además una tabla de valores para el seno, coseno y tangente considerando ángulos comúnmente utilizados en ejercicios y problemas de prueba. Identidades famosas:

1)(tan)(sec1)(sin)(cos

22

22

=−

=+

θθ

θθ

Tabla básica de valores:

0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º

sin(θ) 0 21 2

223 1 0 1− 0

cos(θ) 1 23

22

21 0 1− 0 1

tan(θ) 0 33

1 3 ∃/ 0 ∃/ 0 Como curiosidad, verifiquemos la identidad , para uno de los ángulos mostrados en la tabla, para esto tomemos por ejemplo los valores del seno y coseno de 30º. Entonces tenemos que

1)(sin)(cos 22 =+ θθ

21)º30sin( = y 2

3)º30cos( = , elevando al cuadrado se tiene:

( ) 412

212 )º30(sin == y ( ) 4

32

232 )º30(cos ==

Luego 1)º30(sin)º30(cos 4

34122 =+=+

Signos de las relaciones trigonométricas según cuadrante

I II III IV sin(θ) + + - - cos(θ) + - - + tan(θ) + - + -

II I

III IV

Existen unas formulas muy importantes en trigonometría de las cuales pueden desprenderse casi todas las propiedades e identidades. Estas formulas son los desarrollos de )sin( βα + y )cos( βα + . Estas formulas se muestran a continuación:

)cos()sin()cos()sin()sin( ) αββαβα ⋅±⋅=±i )sin()sin()cos()cos()cos( ) βαβαβα ⋅⋅=± mii

Si se conocen y manejan bien las formulas mostradas anteriormente es posible reducir muchas relaciones trigonométricas que involucran ángulos conocidos, por ejemplo, veamos que ocurre si se desea reducir )º90cos( α− . Para esto utilizamos la formula ii) y escribimos:


6

)sin()º90sin()cos()º90cos()º90cos( ααα ⋅+⋅=− .

Luego evaluamos los valores conocidos del seno y coseno de 90º (ver tabla). Y al reemplazar resulta:

)sin(1)cos(0)º90cos( ααα ⋅+⋅=−

Finalmente obtenemos )sin()º90cos( αα =− .

Resolvamos otro problema. Veamos que ocurre con )º90tan( α− . Recuerde que:

)cos()sin()tan(

θθθ = , entonces, podemos escribir.

)(cotan)sin()cos(

)º90cos()º90sin()º90tan( α

αα

ααα ==−−

=−

Para finalizar esta sección de repaso de las nociones básicas de trigonometría plana, presentamos dos teoremas que son aplicables a cualquier triangulo. Consideremos un triangulo ABC cualquiera, como se muestra en la figura C γ b a

α β A c B

Teorema del Seno: En todo triangulo ABC, de lados a, b, c y ángulos interiores γβα ,, , opuestos a los lados a, b, c ; se cumple que:

cba)sin()sin()sin( γβα

==

Teorema del Coseno: En todo triangulo ABC, de lados a, b, c y ángulos interiores γβα ,, , opuestos a los lados a, b, c ; se cumple que:

)cos(2)cos(2)cos(2

222

222

222

γ

β

α

⋅−+=

⋅−+=

⋅−+=

abbacaccabbccba


7

Ejercicios.

1. En el triángulo ABC de la figura siguiente, se tiene que AC = BC = a. y AB = b. Calcule la )tan(γ .

2. En el triángulo ABC obtusángulo de la figura, se tiene que el ángulo CAB = θ y el ángulo ABC = φ; el segmento AB = d. Calcule la altura CD en función de θ, φ y d.

3. Inicialmente un globo se encuentra amarrado al suelo por una pita de largo L (en posición vertical). Con el viento, el hilo se desvía en un ángulo θ de su vertical. ¿Cuál es, ahora, la altura del globo sobre el suelo?

4. Si los lados de un triangulo (cualquiera) son a,b,c escriba expresiones que permitan determinar los ángulos interiores del triángulo.

5. Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura H. el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión φ y θ respectivamente. Determine la distancia entre las embarcaciones.

6. Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte más alta de éstos con ángulos de elevación 30º y 60º respectivamente. Demuestre que las alturas de los edificios están en la relación 1:3.

7. Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos partes, la parte que quedo vertical en el piso mide d1 y la parte derribada quedó atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de 30 º con la horizontal. Encontrar la altura del mástil.


8

ii. Escalares y Vectores. Definiciones:

Escalar: Son aquellas cantidades físicas que pueden especificarse completamente mediante un numero y una unidad, por consiguiente solo poseen modulo o magnitud. Ejemplos: Masa, Temperatura, Longitud, Energía, Densidad, etc.

321unidadmodulo

5000 metrosLongitud =

Vector: Son cantidades que poseen tanto modulo (magnitud) como dirección y

sentido. Si utilizamos coordenadas cartesianas o rectangulares los vectores los escribiremos por componentes:

kajaiaa zyxˆˆˆ ++=

r (vector en 3 dimensiones)

jaiaa yxˆˆ +=

r (vector en 2 dimensiones)

Donde son los versores asociados a los ejes X, Y, Z respectivamente. kji ˆ , ˆ ,ˆ Nota: Los Versores son vectores de longitud o modulo igual a 1 (vectores unitarios), y se usan para definir dirección según los ejes coordenados que se utilicen. Ejemplos: Vector desplazamiento, Vector velocidad, Vector aceleración, Vector fuerza, etc.

El modulo de un vector en 3D esta dado por 222zyx aaaaa ++==

r y el modulo

de un vector en 2D es el caso particular del 3D con , esto es, 0=za 22yx aaaa +==

r.

La dirección de un vector en el plano (2D), se asocia a un ángulo θ respecto a

uno de los ejes coordenados - como lo veremos más adelante - y el sentido corresponde al “sentido de la flecha”, es decir, para donde apunta la flecha, algunas veces se asocia con los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E), oeste (O) y sus combinaciones. Reglas para la adición y sustracción de escalares y vectores: Escalares: Se suman o restan según las reglas ordinarias del álgebra.

Ejemplos: 25 m +10 m = 35 m

25 m -10 m = 15 m


9

Vectores: Poseen ciertas reglas que se dividen en: i) métodos geométricos y ii) método analítico: i) Métodos geométricos: (Método del paralelogramo y Método del triangulo).

ar Considere los vectores:

ii) Método Analítico: (Se realiza componente a componente según dirección) Ejemplos: 1. Dados los vectores y jaiaa yx

ˆˆ +=r jbibb yx

ˆˆ +=r

, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jbaibajbjaibiajbibjaiaba yyxxyyxxyxyxˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++=+++=+++=+

rr

2. Dados los vectores jia ˆ13ˆ5 −=

r y jib ˆ10ˆ2 +=

r, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jijijjiijijiba ˆ3ˆ7ˆ1013ˆ25ˆ10ˆ13ˆ2ˆ5ˆ10ˆ2ˆ13ˆ5 −=+−++=+−++=++−=+

rr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jijijjiijijiba ˆ23ˆ3ˆ1013ˆ25ˆ10ˆ13ˆ2ˆ5ˆ10ˆ2ˆ13ˆ5 −=−−+−=−−+−=+−−=−

rr

br

ar br

ar

br

barr

+barr

+

Método del Triángulo Método del paralelogramo

Un signo negativo en un vector provoca solo el cambio de sentido del vector, esto es:

ar ar− ⇒

Ejemplo: En el siguiente diagrama se ha utilizando el método del triangulo para dibujar los vectores ba

r y ba

rr−

r+ .

ar

br

−barr

− br

barr

+


10

Descomposición de un vector en coordenadas rectangulares XY:

Considere un vector Fr

en el plano XY, como se muestra en la figura.

Y Note que: yx FFF

rrr+=

Fr

yFr

θX

Bajo el supuesto de conocer el modulo de un vector F

r y el ángulo θ que define su

dirección (en el caso de la figura la dirección del vector Fr

está respecto al eje coordenado X), la descomposición del vector F

r corresponde a la suma vectorial

jFiFFFF yxyxˆˆ rrrrr

+=+= . Donde xFr

y yFr

son las magnitudes de los vectores y xFr

yFr

respectivamente, para simplificar la escritura usaremos la siguiente notación xx FFr

=

y yy FFr

= . Por lo tanto . El cálculo de las magnitudes o módulos se

realiza utilizando los elementos básicos de la trigonometría, siendo fácil ver que:

jFiFF yxˆˆ +=

r

xFr

F

)cos(θ⋅= FFx , coordenada X yF

)sin(θ⋅= FFy , coordenada Y θ

xF

Donde es el modulo del vector F F

r. Con esto podemos escribir:

jFiFF ˆ)sin(ˆ)cos( θθ ⋅+⋅=

r

Ahora note que si se conocen las componentes y se puede calcular el modulo del

vector

xF yF

Fr

(como ya se mostró anteriormente 22yx FFF += ) y ángulo θ que definen la

dirección del vector Fr

en el caso mostrado aquí es respecto al eje horizontal X, y se puede obtener con el siguiente cálculo:

x

y

FF

tg =)(θ ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

x

y

FF1tanθ .

⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

y

FF

arctanθ


11

El Producto Punto o Escalar entre dos vectores ar y br

se escribe y se define así: barr⋅

)cos(θ⋅=⋅ abba

rr

Siendo y la magnitud de los vectores

ar

br

θ

)cos(θb

)cos(θa

a b ar y br

respectivamente, y el )cos(θ es el coseno del ángulo θ ( πθ ≤≤0 ) que forman los dos vectores (ver la siguient a)

e figur

uesto que y son escalares y

P a b )cos(θ es un número abstracto, el producto escalar de

e n figura, los números

dos vectores s u escalar. Tal y como se muestra en la )cos(θa y )cos(θb corresponden a las

proyecciones escalares de ar sobre br

y br

sobre ar respectivamente.

l producto escalar posee la propiedad conmutativa, esto es rr

, abba rr⋅=⋅

hora, si los vectores están escritos en componentes rectangulares, es decir, de la forma

E A

kajaiaa zyxˆˆˆ ++=

r y kbjbibb zyx

ˆˆˆ ++=r

, De la definición de producto escalar se tiene:

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkkjikkiijji Entonces:

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii

0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ =⋅=

zzyyxx

zyxzyx

bababa

kbjbibkajaiaba

++=

++⋅++=⋅

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(rr

y

222

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

zyx

zyxzyx

aaa

kajaiakajaiaaa

++=

++⋅++=⋅rr

tra consecuencia importante de la definición es que: dos vectores y O ar b

r serán

perpendiculares cuando se anule el producto escalar, esto es, 0=⋅barr

. Finalmente el ángulo θ que forman los vectores ar b

r y puede encontrarse a partir de la

definición )cos(θ⋅=⋅ abbarr

, despejando )cos(θ se iene

t :

abbababa

abbacoa zzyyxx ++=

⋅=

rr

)(θ


12

ar y br

se escribe barr

×El Producto Cruz o Vectorial entre dos vectores y se define como un vector de modulo:

)sin(θ⋅=× abbarr

cuya dirección y sentido quedan definidos por la regla de la mano derecha ( es un ector perpendicular a los otros dos vectores dados). Siendo y las magnitudes de los

barr

×v

ar

barr

× br

a bvectores a y b respectivamente, y el )sin(r r

θ es el seno del ángulo θ que forman los dos vectores (ver la siguiente figura)

θ

ab rr×

abba rrrr×≠×El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, esto es, . Sin

mbargo, es fácil ver que se cumplee abba rrrr×−=×

Ahora, si los vectores están escritos en compone tes rectangulares, es d forma

kajaia ˆˆˆ ++=n ecir, de la

a zyxr

y bjbibb ˆˆ ++=r

kzyxˆ , De la definición de producto vectorial se tiene:

=× ii

×

Luego, el producto vectorial cribirse en la

xyyxzxxzyzzyˆ )(ˆ )(ˆ )(

)

−+−+−=

rr

0ˆˆˆˆ =×=× kkjj ˆˆ

kij

kjiˆˆˆ

ˆˆˆ

−=×

=×

jik

jkiˆˆˆ

ˆˆˆ

=×

−=

ijk

ikjˆˆˆ

ˆˆˆ

−=×

=×

puede es forma:

kbjbibkajaiaba zyxzyxˆˆˆ()ˆˆˆ( ++×++=×

kbabajbabaibaba

Otra forma de escribir el producto vectorial es mediante el determinante:

zyx

zyx

bbbaaakji ˆˆˆ

rr ba =×

Una consecuencia importante de la definición es que: dos vectores ar y b

r distintos de

serán paralelos cuando se anule el producto vectorial, esto es, 0r

0=×ba

rr.


13

Ejercicios.

wv rr+ . 1. Dibuje la suma (“resultante”) vr

o Rivera Mancilla – USACH

wr

. Dibuje la suma del par de vectores en cada uno de los 3 casos:

. Dibuje la diferencia de vectores (a)

2

wv rr− , (b) vw rr

− 3

vr

wr

vr wr

(a) (b)

vr

wr ur

vr

wr ur

vr

vr

wr

4. Dibuje el vector rr

+

. Dibuje el vector

. Dibuje un vector tal que

vur + w

wvu rrr++ 5

wr 0=+ wv rr. 6

7. Dibuje el vector ur tal que 0 =++ wvur rr

Física 1 – Ing. Civil Eugeni

14

8. Dibuje la suma d los 5 vece tores:

. Dibuje la componente normal (=perpendicular) a la línea L del vector

vr . 9

vr L

vr y wr10. La magnitud de cada uno de los vectores en el dibujo es 10 y el ángulo entre llos es º30=θ . Encuentra la magnitud de la diferencia wv rr

− y la suma wv rr+ . e

vr

θ

wr

vr

L

θ

11. La magnitud del vector en el dibujo es vr 10=vr y el ángulo que forma con la línea L s º60=θ . Encuentra la magnitud de las componentes de vre normal y tangente a L.

2. Calcule el producto punto dados los siguientes vectores

kjia ˆ6ˆ2ˆ3 −+=r

y ˆ2ˆ5ˆ +−= kji

1

br

, y además encuentre el ángulo entre ellos.

jcib +−=r

. 13. Determine el valor de c para el cual barr

⊥ si kjia 22 ++=r

y Rc=1/2.

ˆ 4ˆ 2.3 +−=

pta:

14. A usted se le proporciona el vector u .2 jir

y el vector vr en el pla

magnitr

no x-y con

ud 5.20. El vector forma un ángulo de 120º con el eje positivo x.

b. Determine

b

a. Encuentre vu ⋅ ; Rpta: 19.1 vurr rr× ; Rpta: k . ˆ28−


15

Parte 1: Equilibrio.

1. La figura muestra un semáforo que tiene un peso W el cual es sostenido mediante cables. Se p

. El módulo de las tensiones T1 y T2 en función de Φ, δ y W.

. Una partícula de peso W se apoya sobre un plano clinado liso que forma un ángulo φ con la horizontal y está

ostenida por una cuerda AP sin peso que forma un ángulo con la vertical, como se indica en la figura. Se pide:

. El ángulo ψ

. Una escala AB, de largo l y peso W, está en equilibrio poyada con el extremo A sobre un piso horizontal áspero

T3

T1T2

δΦ

ide:

ab. Las componentes de las tensiones de las cuerdas 1, 2 y 3.

2insθ a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la partícula. b. La magnitud de la tensión en la cuerda y la reacción normal c 3a y on el extremo B sobre un muro liso

x A

B

d

y

c , a una distancia d del iso. Si el centro de gravedad de la escala está ubicado a

. La barra OA de la figura 2 tiene un peso P, una longitud de , está articulada en O, está sostenida en A mediante una uerda ideal cuyo otro extremo está fijo en el punto B. En la osición indicada en la figura 2 cuelga un peso de W. Se

O. agnitud de la tensión de la cuerda.

puna distancia x1 del extremo A, calcular: a. La reacción RB que ejerce la pared sobre la escala. b. La reacción RA del piso. 4Lcppide: a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra. b. Las componentes horizontal y vertical de la reacción enc. La m


16

5. La barra OC tiene masa “M” y longitud L, está articulada en

, sostenida por una cuerda inextensible AB y en su extremo erecho C cuelga una masa “m”. La barra forma un ángulo de =30º con la horizontal y la cuerda AB está perpendicular a la

. La reacción vertical y horizontal en O.

. La magnitud del torque que hace el peso de la

. La barra AB de masa “m” y de longitud , articulada en A, está en equilibrio en rma horizontal como se indica en la

gura, sometida a una fuerza vertical F y

. La masa m del cuerpo que cuelga.

. La tensión T1.

ión T3.

, está en equilibrio en forma horizontal rticulada en B y apoyada en C, como e indica en la figura. Actúan además

nitud máxima que podría tener F1 para que haya equilibrio.

Odθbarra. El punto A es el punto medio de la barra. Se pide: a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra. b. La tensión en la cuerda AB. cd masa que cuelga respecto al punto B. 6Lfofisostenida por la cuerda en B. Se pide a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra. bcd. La tensión T2. e. La tensf. La reacción vertical en A. 7. La barra AC de masa m y de longitud Lasdos fuerzas verticales de magnitudes F1 y F2, en los puntos que se indican. Se pide: a. La reacción vertical en B. b. La reacción vertical en C. c. La mag


17

8. La barra OA que tiene masa m y longitud L, está en quilibrio articulada en O, sostenida por una cuerda extensible que forma un ángulo θ con la barra y que está nida a un punto fijo B. La cuerda forma un ángulo δ con la

. La reacción horizontal en O.

m y longitud 2d, está en quilibrio sosteniendo en su extremo A un objeto de asa M. La geometría del problema se muestra en la

gura. Se pide:

el cable. . La fuerza que soporta el pasador B.

0. En sistema compuesto por dos barras de peso espreciable, la barra AB de longitud 2L esta poyada sobre una superficie ideal, en el extremo B sta apernada a la barra BC cuya longitud es 5L,

.

El collar puede deslizarse sin fricción sobre la barra a a un W , como se

uestra en la figura.

einuvertical como se indica en la figura. En el extremo derecho de la barra cuelga un cuerpo de peso W. Se pide: a. La tensión en la cuerda AB. b. La reacción vertical en O. c 9. La barra AB que tiene masaemfi a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra b. La tensión T dc 1daeademás en esta barra existe una carga puntual de magnitud F aplicada perpendicularmente, en el extremo C esta sujeta a un pasador simple (liso). Se pide para el equilibrio. a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra AB b. Las reacciones en A y C 11. Ahorizontal y esta conectad a carga m Determine la distancia x para la cual el collarín se mantiene en equilibrio, cuando qP = y qP 3= .


18

12. Determine las reacciones en A y C cuando º30=α

13. Una palanca esta articulada en y se encuentra nida a un cable de control en A . Si la palanca esta ometida a una fuerza verti

AB Cus cal en B de mag itud W , determine:

rm de longitud L y peso P está articulada n A en una pared. Un alambre fijo en la pared a una distancia sobre la articulación, sujeta a la barra por el extremo uperior, como se muestra en la figura. El alambre permanece orizontal cuando se cuelga un cuerpo de peso p en el

. El diagrama de cuerpo libre.

. La tensión de la cuerda.

masa m y longitud L, sus extremos A en un

extremo B en una pared clinada en un ángulo de 60º con la horizontal, como

e muestra en la figura. Para mantener el equilibrio se

n

a. La tensión en el cable. b. La reacción en C . 14. Una barra unifo eeDshextremo superior de la barra. Calcular la tensión del alambre y la fuerza de reacción en la articulación de la barra. 15. Para barra (en equilibrio) de largo L y peso W que se muestra en la figura. Suponga superficies lisas. Se pide: ab 16. La barra AB, uniforme de

con está apoyada suavemente lano horizontal y el otro p

inssujeta con una cuerda horizontal GC de manera que el ángulo que forma con la pared es de 30º. G es el punto medio de la barra, coincidente con el centro de gravedad. Se pide: a. La tensión de la cuerda GC. b. La reacción en los extremos A y B.


19

17. En el sistema de la figura 1, una fuerza horizontal F, cuya línea de acción pasa por el centro de un tambor

sobre el tambor, para R/2. Hacer las

uposiciones necesarias para calcular el valor de la:

de masa m descansa sobre el lano inclinado 30 grados y se apoya contra la pared lisa ertical B. Hallar las fuerzas de contacto en A y B.

9. En el sistema de la figura, el cilindro suave de radio R, uede rotar en el pasador fijo en su centro O. La distancia OA s igual a 5R/4. Cuando al cilindro se le aplica un torque 0

de radio R y peso P, se aplicahacerlo subir por un escalón de altos a. Fuerza F b. Fuerza del borde del escalón en A. c. Dirección de la fuerza en A. 18. La esfera homogénea y lisapv 1pe τ , e pide.

itud 3L tiene masa M y apoya cales, siendo T la

nsión de un cable que lo soporta, como se muestra en la gura, Calcule la tensión del cable T y las reacciones en los poyos A y B.

1. El cable de longitud c soporta la viga OA de masa m.emostrar, empleando las geometrías del polígono de fuerzas

de la figura, que la tensión del cable es

s a. La tensión de la cuerda CD. b. La reacción en el apoyo B c. La reacción en el pasador fijo y suave A 20. El poste uniforme de long BT

L 2L sus extremos lisos contra las paredes verti

tefia A

12L 5

c

O

A h 2 D

yh

mgcT2

=


20

F2

α

b

W

A

2. La placa rectangular se mantiene en equilibrio por medio e una fuerza horizontal F. El peso W actúa en el punto medio e la placa.

. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa considerando

dh d

aen A un pasador ideal. b. Demuestre que F esta dada por la ecuación:

Wbh

F ⋅⋅+⋅

=)sincos(2 αα

hb ⋅−⋅ )sincos( αα

23. Para a barra en equilibrio AB de largo L y peso W que se muestra en la figura. Suponga que º30=α . Se pide:

. El diagrama de cuerpo libre de la barra AB.

. La tensión de la cuerda BC.

y masa m, está con sus dos planos inclinados lisos,

omo se muestra en la figura. Los planos inclinados forman s ángulos de 30º y de 45º, respectivamente. Sea

L

A

L

α

B

A

45º 30º

ө

B

C

abc. El largo de la cuerda BC. 24. La barra AB de longitud Lextremos, apoyada en senclo θ el

ngulo que forma la barra con la horizontal. Se pide: á a. Las fuerzas que ejercen los planos en los extremos de la barra (No en función de θ ). b. El ángulo θ de equilibrio.

ө

25. Un carrete de peso W de radio interior R1 y radio exterior R2 está sobre un plano inclinado liso, de inclinación θ respecto la horizontaa l, y sujeto por dos cuerdas vianas e inextensibles, paralelas al plano inclinado. Se ide:

b.

lip a. La reacción del plano inclinado sobre el carrete.

Las tensiones de la cuerda.


21

Para las armaduras mostradas, Se pide:

. Encontrar las fuerzas de los miembros que la componen usando el método de los odos . Resolver mediante el método de las secciones y verificar los resultados obtenidos en a.

anb


22

Parte 2: Electromagnetismo.

ey de Coulomb. L

En 1785, Charles Agustín de Coulomb enuncio la ley que expresa el valor de la fuerza que se ejercen mutua

de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es

irectamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al

onde

mente dos cargas eléctricas: “La fuerza dcuadrado de la distancia que las separa”. D

12Fr

es la fuerza que ejerce la carga q1 sobre q2, y en forma análoga 21Fr

es la fuerza que ejerce la carga q2 sobre q1.

es la constante de proporcionalidad cuyo valor depende del medio. En el vacío y en

ke

el aire es igual a 9·109 Nm2/C2. La constante ek también suele escribirse en la

orma fπε41

=k , donde e ε es la constante dieléctrica o permisividad, la constante

dieléctrica en el vacío se denota por oε y su valor es 8.854·10-12 C2/(Nm2)

1 y qq s, que pueden ser positivas o negativas, sin embargo, en la formula aparecen estos valores entre “barras” que matemáticamente corresponden al símbolo de “valor absoluto”.

2 son el valor de las cargas eléctrica

r es la distancia entre las cargas. r) vector unitario (versor) en la dirección de la recta que une a las cargas.

La fuerza eléctrica posee las siguientes características:

La fuerza está dirigida a lo largo de la recta de unión de las cargas. La fuerza es za es de

atracción si las cargas son de signos contrarios. Así tenemos : de repulsión si las cargas son del mismo signo. En cambio la fuer

+ + r

+ - r

12Fr

21Fr

12Fr

21Fr

q1 q2

rr

qqKF e ˆ 2

21 ⋅=v

q2q1


23

Son fuerzas a distancia, no s e xista un medio material entre las cargas para que dicha fuerza actué.

Siempre se presentan a par , c o rincipio de acción y reacción

+ + Repulsión - - Repulsión + - Atracción - + Atracción

e n ce sario que e

es om afirma el p . Esto es, las fuerzas 12F

r y 21F

r tienen igual modulo y dirección pero sentidos opuestos.

(En la siguiente expresión se utiliza que 1212 FF =r

2121 FF =r

y )

21221

12 Fr

qqKF e =

⋅=

Está comprobado experimentalmente que las fuerzas eléctricas verifican el principio de superposición

. En el caso de tene tres o más cargas puntuales, la fuerza resultante sobre una de ellas es la suma vectorial de todas las fuerzas que las demás cargas ejercen sobre ésta. Esto es, la fuerza de cargas sobre una carga es:

r

n0

030201

100 sobre total 0 n

n

iiq FFFFFF

vL

vvvvv++++== ∑

q

=

Campo ic

Eléctr o Una carga eléctrica simplemente por su presencia, perturba el espacio que la rodea creando a su alrededor un campo de fuerzas que recibe el nombre de campo

léctrico. Cuando otra carga eléctrica se sitúa en esta región del espacio, interacciona con enta una fuerza eléctrica

eel campo y experim . Descripción del campo eléctrico. Los campos eléctricos se describen mediante dos magnitudes fundamentales: una vectorial, la intensidad de campo eléctrico, y otra escalar, el potencial eléctrico. La intensidad de campo eléctrico, E

r, en un punto del espacio es la fuerza que actúa

rueba (generalmente positiva) en un punto P del espacio situado a una distancia

sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto. Esta definición permite calcular el campo eléctrico creado por una carga puntual iq . Para ello se coloca una carga de p 0q r de la carga iq . El campo eléctrico en ese punto será la fuerza por unidad de carga, esto es:

ˆ ˆ 200

20

rrq

kErq

kqFE i

er

qqe

i

=⇒==⋅

rr

r


24

Características:

Es radial y disminuye con el cuadrado de la distancia, por lo tanto se trata de un campo de fuerza central. Todos los campos centrales son conservativos. El campo eléctrico es un campo central, por lo tanto también es un campo conservativo.

Su sentido depende del signo de . Si la carga es negativa el campo eléctrico se

La f er

elé c

i

dirige hacia la carga; si es positiva, se aleja de ésta.

za eléctrica sobre una carga q situada en un punto en que la intensidad del campo

q

u

ctri o es Er

se expresa: EqFrr

⋅=

o por una distribución de tres o mas cargas to es la suma vectorial de los campos creados por una de las

cargas en ese punto: rrrrrr

El principio de superposición también se cumple para la intensidad del campo eléctrico. El campo eléctrico creadpuntuales en un pun

ni

i EEEEEE L++++== ∑n

=

siguientes ilustran las líneas de campo para las cargas

positivas y negativas y la interacción entre ellas.

321

1

El campo eléctrico, puede ser representado por líneas con flechas que señalan el sentido. Las figuras


25

Potencial Eléctrico Si queremos acercar dos cargas positivas, debemos realizar un trabajo contra las fuerzas eléctricas de repulsión entre las cargas. Se este trabajo no depende del camino recorrido para acercar las cargas, sino que sólo depende de sus posiciones iniciales y finales. Decimos que el campo eléctrico es conservativo. Una vez acercadas las cargas, podríamos recuperar fácilmente el trabajo realizado. Bastaría dejarlas libres y aprovechar su movimiento. Decimos que el trabajo realizado sobre las cargas al acercarlas ha aumentado su energía potencial eléctrica. La diferencia de energía potencial eléctrica de una carga entre un punto A y otro punto B es

ual al trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar dicha carga de A a B. ig

∫ ⋅=−ABA rdFEpEp rrB

Usando esta expresión general podemos calcular la energía potencial eléctrica de una carga puntual q yen el campo eléctrico creado por otra carga puntual Q (supongamos positiva) situada a una distancia r .

∫∫ ⋅=⋅=−B

A

B

ABA rdrr

qQkrdFEpEp rrr

ˆ 2e

Como el trabajo no depende del camino seguido, escogemos una trayectoria radial para simplificar los cálculos, entonces:

drrdrdrrdr ==⋅=⋅rrr )º0cos( ˆˆ

luego B

B

BA qQkdrqQkEpEp ⎥⎤

⎢⎡−==− ∫

1 e2e A

A rr ⎦⎣

eeBA

BA rqQ

kr

qQkEpEp −=−

De esto tenemos que C r

qQkEp

A

+= e . La constante es arbitraria y depende

Generalmente se asigna el valor cero de energía potencial a los puntos situados a distancia infinita de la carga de la carga que crea el campo (

C

de la elección del origen de energía potencial.

∞→r ). Con esta elección se obtiene 0=C y la energía potencial léctrica resulta: e

eArqQ

kEp =

infinito. Esto

Note que esta expresión coincide con la del trabajo si colocamos el punto B en el nos permite dar una interpretación física de la energía potencial eléctrica:


26

La energía potencial eléctrica de una carga q en un punto del espacio es el trabajo que za el campo eléctrico para trasladar la carga q de dicho punto al infinito.

reali

Otra magnitud fundamental para la descripción del campo eléctrico es el potencial eléctrico. Este representa la energía potencial de la unidad de carga positiva situada en un punto del campo eléctrico. La diferencia de potencial eléctrico entre un punto A y otro punto B es igual al

ab

ABA

tr ajo realizado por el campo eléctrico al trasladar la unidad de carga positiva de A a B.

BrdEVV ∫ ⋅=−rr

Calculemos esta diferencia de potencial en el caso del campo eléctrico creado por una carga puntual Q .

∫∫ ⋅=⋅=−B

AABA

Brdr

rQ

krdEVV rrrˆ

scogemos una trayectoria radial para simplificar los cálculos, entonces:

I. Si la carga es positiva

2e

E

drrdrdrrdr ==⋅=⋅rrr )º0cos( ˆˆ

Si la carga es negativa

II. drrdrdrrdr −==⋅=⋅rrr )º180cos( ˆˆ

luego

I. 1 eee2eBAA

ABA rrrr ⎥⎦⎢⎣∫B

B Qk

QkQkdrQkVV −=⎤⎡−==−

II. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−−==− ∫ 1 eee2e

BA

B

AABA r

Qk

rQ

kr

Qkr

QkVV

uevamente, si asignamos un valor cero de potencial a los puntos situados a una

ia infinita de la carga (

−B dr

NQ ∞→rdistanc ), se obtiene la expresión:

rQkV e= Potencial Eléctrico

Nota: El potencial eléctrico es una cantidad escalar y tiene valor positivo si la carga es positiva y negativa en el caso contrario.

in ito. Esto nos permite dar una interpretación física de la nergía potencial eléctrica:

El potencial eléctrico en un pu o que realiza el campo eléctrico para trasladar la unidad de carga positiva desde dicho punto al infinito.

Q

Note que esta expresión coincide con la del trabajo por unidad de carga si colocamos el punto B en el fine

nto del espacio es el trabaj


27

ico es igual a la suma de los potenciales debidos

ii

=32

11

B, el trabajo

En el caso de que existan varias cargas puntuales, se cumple el principio de superposición. El potencial eléctra cada una de las cargas.

n

VVVVVV ++++== ∑ L n

Si en lugar de la unidad de carga positiva se traslada una carga eléctrica q de A a

realizado por el campo eléctrico es:

)( BA VVqW −⋅=

a energía potencial eléctrica de una carga en un punto del espacio se relaciona con el potencial eléctrico en dicho punto de esta manera.

L

VqEp ⋅=


28

q1

q2 q3

a P

a

θ θ

qqq

θ

E

θθ

qq

d

Ejercicios.


28

q1

q2 q3

a P

a

θ θ

q

θ

E

θθ

qq

d

Ejercicios. 1. Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triangulo, como se muestra en la figura d 0qonde 1 2q = y

20

3qq = son positivas y negativa, separadas por una

distancias “a”. Determine la fuerza resultante sobre 3q . También obtenga el campo eléctrico y potencial eléctrico debido a las tres cargas en el punto medio P. 2. Dos esfera igualmente cargadas de masa m, uelgan en equilibrio como se muestra en la figura. Las cuerdas

a. os m, l

l

nadas (0,h). las cargas q1 y q2 tienen una magnitud qo y en el punto P se

3 l punto P. 5. Un d n arg ancia 2a.

a. l potencial debido a las cargas a lo largo del eje Y en un punto P el cual se encuentra a una distancia “y”.

6. Una lde un

02 qq =

, cada una cque las sostienen son ligeras y de largo l y forman un ángulo θ con la vertical.

Suponga conocid , θ. Encuentre la magnitud de la carga q .

b. Suponga conocidos m, l, q . Encuentre una expresión que permita calcular el ángulo θ.

3. Dos esfera igualmente cargadas, cada una de masa m, cuelgan en equilibrio como se muestra en la figura. Las cuerdas que las sostienen son ligeras y de largo l y forman un ángulo θ con la vertical.

a. Suponga conocidos m, l, d, θ. Encuentre la magnitud de la carga q .

b. Suponga conocidos m, , d, q . Encuentre una expresión que permita calcular el ángulo θ.

4. Una carga positiva q1 se localiza en el origen y una segunda caen el eje X a una distancia “a” del origen.

a. Encuentre el campo eléctrico en un punto P de coordeonga que

rga q2 negativa se ubica

b. Supcoloca una carga positiva de qo. Calcule la fuerza en e

lo eléctrico se compon deipo e u a c a +q y otra –q separadas por una dist

Determine la fuerza, el campo eléctrico y e

b. Que ocurre con los resultados si considera y>>a, (y mucho mayor que a).

bo a de caucho de masa m en una cuerda ligera en presencia campo eléctrico uniforme. Cuando ]/[ )j ˆ ( CNEiEE yx +=

r la

n equilibrio en un ángulo θ. Determine la carga en la bola y bola esta e

la tensión de la cuerda.


29

θ θ

+q

θ1 θ2

-qE

7. Dos pepor me

léctrico uniforme se aplica en la dirección X. si las sferas tienen cargas iguales –q y +q determine el campo

as y respectivamente, de masa m están en equilibrio como muestra en la figura. Considere θ1 y θ2 pequeños (si son muy pequeños se puede

emostrar que θ1 ≈ θ2). Demuestre que la distancia

queñas esfera de masa m están suspendidas dio de cuerdas ligeras de longitud l. Un campo

eeeléctrico que permita a las esferas estar en equilibrio. 8. Dos esfera de cargad q q2se

rd entre las esferas, es aproximada a:

31

24⎜⎜⎝

⎛≅

mglqkr e⎟⎟⎠

⎞

9. Dos bolas iguales de masa m cuelgan de cuerdas ligeras de longitud l y tienen cargas iguales a qo como se muestra en la figura. Suponga que θ es pequeño tal que ( )()( θθ sentg ≈ ) por ser aproximadamente igual. Demuestre que.

θ θ

qq

polo de la izquierda. b. Para R>>a, demuestre que la magnitud de ercida en el dipolo de la

izquierda esta dada ap mente por

31

0

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

mglqx o

πε

10. Un dipolo está formado por una varilla de longitud 2a y dos cargas, +q y –q. Dos dipolos de esta naturaleza se encuentran orientados como se muestra en la figura, estando sus centros separados una distancia R. a. Calcular la fuerza ejercida en el di la fuerza ej

40

2

23

RpF

πε= . Donde qap 2= roximada

2a 2a

+q -q +q -q

R

es el

momento dipolar


30

11. Un punto con una carga q se localiza en (x0,y0) en el punto xy. Demuestre que las

[ ]

componentes x e y del campo eléctrico en (x,y) debida a esta carga son:

23

20

20

0

)()(

)(

yyxx

xxqk

[ ]2320

20

0

)()(

)(

yyxx

yyqkE ey

−+−

−⋅⋅= E e

x =−+−

−⋅⋅

12. Un tipo de cuadrupolo eléctrico esta formado por cuatro cargas situadas en los értices de un cuadrado de lado . El punto P a a una distancia R del centro el cuadrupolo en una línea paralela a los la del cuadrado, como se muestra en la gura. Para R>>a, demostrar que el campo eléctrico en P se obtiene aproximadamente

or

v s 2a se encuentrdosd

fi

40

2

4)2(3

RqaE

πε≈p

q1

C M

q4 q3

q2

Y

X

Q

qo -2qo qo P

b b

2a +q -q

+q -q

R P

. (Sugerencia: Considerar al cuadrupolo como dos dipolos)

3. Se tiene cuatro cargas eléctricas: q1=qo, q2=2qo, q3=-qo y q4=-2qo, ubicadas en los

a. El campo eléctrico en el punto M, debido a todas las cargas, en función de los datos.

b. El potencial eléctrico en el punto C, debido a todas las cargas, en función de los datos.

e ejes cartesianos se pide:

1vértices de un cuadrado de lado 2L. Sea M el punto medio entre las cargas q2 y q3, y C el punto medio entre las cargas q1=q2, como se muestra en la figura. L y qo son los datos. Se pide calcular.

14. Se tiene tres cargas eléctricas dos son positivas, cada una de carga qo, ubicadas simétricamente sobre un eje Ox en los puntos de coordenadas x=b y x=-b; la tercera carga es negativa de valor (-2qo) y colocada en el origen, como se muestra en la figura. En el sistema d

a. Demostrar que el potencial eléctrico U, en un punto P de coordenadas x (>b),

es dado por: )(

2)( 22 bxxbqkxU oe

−=

2

b. Calcular el campo eléctrico E(y), en un punto Q, de coordenada “y”.


Física 1 – Ing. Civil Euge

31

θ b

A

C

Y

X

3b

qo q

-2qo

o Q

b b 3b

b

qo

qo

qo

A

E

C

untos de coordenadas x=b y x=-b; la tercera iva de valor (-2q ) y colocada a una altura 3b sobre el origen, eje OY, como

se mue

a. punto donde el potencial eléctrico es nulo.

uestra n la fi a θ. Se

pide:

a. El valor de la carga en función del ángulo θ. b. La tensión de la cuerda en función del ángulo θ. c. La fuerza de Coulomb sobre la carga ubicada en A en función del ángulo θ

suponiendo q conocido.

. regcalc

e se ejercb. El campo eléctrico y el potencia

15. Se tiene tres cargas eléctricas dos son positivas, cada una de carga qo, ubicadas simétricamente sobre un eje Ox en los pcarga es negat o

stra en la figura. En el sistema de ejes cartesianos OXY se pide:

Determinar el b. Calcular el campo eléctrico E, en el punto Q, de coordenadas x=3b e y=0.

16. Cuatro esfera de iguales, de masa m y carga qo están en equilibrio como se me gur . El largo de la cuerda ligera es b y el ángulo formado con la vertical es

17 Se tienen seis partículas cargadas e

ular ABCDEF, con valores indicadosular, en función de la geometría del he

a. La fuerza eléctrica qu

nio Rivera Mancilla – USACH

θ b

B

D

3qo

4qo

2qo D

F

B

o donde qo es conocido. Se pide r y q .

e sobre la carga en C. l éctrico en el centro del hexágono.

léctricamente en los vértices de un hexágon en la figura,xágono regula o

el

32

18. (Un ejercicio en tres dimensiones). Cuatro cargas puntuales idénticamente cargadas con +q están fijas en las esquinas de un cuadrado de lado d. Una quinta carga puntual –Q esta a una distancia z del cuadrado a lo largo de la línea que es


Z

d

qq

qq d

Qz

o

perpendicular al cuadrado que pasa por su centro. Muestre que la fuerza ejercida sobre –Q por las otras cargas es:

9. Tres cargas están en los vértices de un triangulo isósceles (lados L=4 cm y base b=2

c. El punto in

y

1cm), las dos cargas que están en los vértices de la base, son negativas de valor q0 y la que esta en el vértice superior es positiva de valor q0. Calcule:

a. El campo E en el punto medio de la altura h. b. El potencial en el punto medio de la base b.

Y

X+q +q -2q

(a,0)(-a,0)

cuadrupolo

terior del triangulo donde el potencial es cero.

0. La distribución de carga que se muestra en la figura, se conoce como cuadrupolo neal.

a. Demuestre que el potencial de un punto sobre el eje X

2 s li

donde x>a es:

23

22xax

aqkV e

−⋅⋅

= .

. emás mu re que la e resión obtenida cuando x>>d se reduce a: b Ad est xp

3

22x

aqke ⋅⋅

gura es aproximadamente

V =

21. Demuestre que el potencial eléctrico para el cuadrupolo eléctrico mostrado en la

fi 32

2 )1cos3(r

pkV e −⋅≅

θ, donde es el momento

cuadrupolar eléctrico. En los cálculos suponga que

22qap =

ar >> .

( )k

2z

4

23

22 d

zQqkF e

+

=r

+q

+q

-2q

rr2

a

a

θ

Pr1


33

X

d/

d/2

2. Si una partícula se encuentra oscilando bajo la acción de una energía potencial dada

or

2. Si una partícula se encuentra oscilando bajo la acción de una energía potencial dada

or

222

21)( xkxU ⋅= , donde es una constante, y la fuerza correspondiente a este kpp

potencial es xkxkdxdUxF ⋅−=⋅−

=−

=)21()()(

2

, se dice que tienen el movimiento

de un oscilador armónico simple

os cargas puntuales idénticas +q están fijas en el o

Y

2 x

+q

-Q -Q

+q

dxdx.

espaci y separadas por una distancia . Una tercera carga p lmente n reposo en un bisector perpendicular de la línea que conecta las dos cargas fijas a una istancia x de la línea (ver figura). Se pide:

a. Muestre que si x equeña en relación con d, el movimiento de –Q es armónico simple a lo largo del bisector, y determine el periodo de ese movimiento.

e Q cuando está en el punto i

Dd untual –Q puede moverse libremente y se encuentra iniciaed

es p

b. ¿Qué tan rápido se ntermedio entre las dos cargas fijas?

muev


34

Corriente Eléctrica y Resistencias. (Los escritos presentados a continuación corresponden al capitulo 5 de los apuntes del curso de Física II. Creados por el profesor Luís Fuenzalida del Dpto. de Física de la USACH). Circuitos en corriente continua. En esta sección se define, primeramente, el concepto de corriente eléctrica como un flujo de portadores de carga eléctrica en respuesta a un campo eléctrico externo aplicado. Se analiza el caso de conductores metálicos de sección transversal pequeña( alambres) y conductores de sección transversal grande(conductores macizos y huecos); se definen dos parámetros físicos que describen la conducción de carga eléctrica en cada uno de los tipos de conductores. A continuación se discute la Ley de Ohm, definiéndose un parámetro característico de los materiales conductores y que se denomina resistencia eléctrica. Luego, se presentan las reglas que rigen ricas, y a través de

llas se obtienen simplificaciones de los circuitos eléctricos.

tensidad de corriente y vector densidad de corriente.

la combinación de resistencias elécte Finalmente, se analizan las reglas de Kirchhoff (ley de los nudos y ley de las mallas) que suministran las herramientas básicas para resolver los circuitos eléctricos. In

La corriente eléctrica se define como el flujo de portadores de carga eléctrica

ovilidad. El campo eléctrico aplicado implica una erza e

(electrones, iones positivos, iones negativos) que se produce en un medio conductor como respuesta a un campo eléctrico externo aplicado. En el caso de los medios conductores metálicos, la corriente eléctrica es debida esencialmente a un flujo de electrones, en virtud de que son partículas de considerable menor masa comparada con los protones (masa de un protón =1.67*10-27 Kg; masa de un electrón = 9.11·10-31 Kg) y, por lo tanto, presentan una mayor m

jercida sobre el electrón ( EeFr r

fu −= ) que modifica su estado de movimiento. Como en una pequeña muestra de material conductor existe un gran número de electrones, el conjunto tendrá un movimiento efectivo en la dirección del campo eléctrico, a una velocidad llamada velocidad de deriva, generándose la corriente eléctrica.

Se utilizan dos magnitudes físicas para definir el flujo de cargas eléctricas: la intensidad de corriente y la densidad de corriente. La intensidad corriente es una magnitud escalar que mide la cantidad de carga eléctrica que atraviesa normalmente un

área unitaria transversal del conductor en la unidad de tiempo. Matemáticamente, laintensidad de corriente se expresa como:

dtdqI =

y se indica en el S.I.(sistema internacional de medidas) en unidades llamadas [Ampère], y que corresponde a (Coulomb/segundo). Esta magnitud representa bien la conducción si se trata de conductores de sección transversal pequeña, los cuales se denominaran alambres. En particular, cuando se analicen conductores acoplados conformando un circuito eléctrico, se supondrá que estos tienen el carácter de alambres.


35

La corriente eléctrica así definida, se clasifica en:

vr

nr

A

i) corriente continua, entendida como aquella que tiene un valor constante I = I0 , y circula siempre en el mismo sentido a lo largo del conductor;

ii) corriente alterna, que es aquella que tiene un valor variable en el tiempo I = I(t),

y que además cambia de sentido de circulación en forma periódica.

El vector densidad de corriente, en cambio, define localmente la conducción y quivale a una función distribución de la corriente, y se denota como )(rJ rr

e . Es una cantidad vectorial que se relaciona con la intensidad de corriente según:

∫ ⋅=S

adJI rr

donde S es una sección transversal del conductor. Aún más, se

e es un vector puede mostrar que la densidad de corrientroporcional a la velocidad de deriva de los electrones ( vJ rr

∝p ). En si s

sección daforma un ángulo θ con el vector velocidad, como se muestra en la figu ento

e considera una porción de conductor de longitud v·dt y , y tal que el vector unitario normal al infinitésimo de área

efecto,

ra, nces:

vdt

( ) danvedIdtdanvdt

edt

dI ˆ ˆ ⋅=⇒⋅== ηη

y comparando con estas expresión se infiere que veJ

ddq rr

rrη= , siendo η el número de

electrones por unidad de volumen y e la carga eléctrica del electrón. Ecuación de continuidad.

Una de las propiedades fundamentales de la carga eléctrica nte una ecuación relaciona en cada

es su carácter conservativo, propiedad que se expresa matemáticamente mediadiferencial conocida como ecuación de continuidad. Esta ecuación punto del medio conductor a la densidad de corriente J )(rr

rcon la densidad de cargas

( )rrρ . Si se considera un volumen V en el espacio conductor, cuya supe

entonces la corrierficie frontera es S,

nte que ingresa al volumen esta dada por:

∫ ⋅−=S

adJI rr

que se reduce mediante la aplicación del teorema de Ga

uss a:

∫ ⋅∇−=V

dvJIrr

or otra parte, se puede medir la misma corriente en función de la carga acumulada en el volumP

en V:


36

∫∫ ∂∂

===VV

dvt

dvdtd

dtdqI ρρ

dado que el volumen es fijo. Por igualación de las expresiones anteriores se deduce:

0=∂∂

+⋅∇ Jtρrr

que es la ecuación de continuidad, y que establece que cualquiera variación de la carga

s de la superficie frontera e ese volumen; si aumenta la carga encerrada es porque hubo un flujo de cargas hacia

el interior del volumen, y viceversa.

encerrada por el volumen V significa un flujo de cargas a travéd

Ley de Ohm.

Esta es una ley que establece localmente una relación de proporcionalidad entre el vector densidad de corriente ( )rJ rr

y el campo eléctrico externo aplicado ( )rE rr:

)()( rErJ rrrr

⋅= σ

donde la constante de proporcionalidad σ (A/Vm) se denomina conductividad eléctrica, y es una constante característica de cada conductor metálico. También se suele emplear el recíproco de la conductividad, que se llama resistividad ρ (Vm/A).

=⇒⋅= ∫

Resulta conveniente expresar esta ley de Ohm en términos de parámetros medibles directamente con instrumentos. Para ello, se supone un trozo de conductor de longitud L y sección A, y se admite condiciones de uniformidad tanto del campo eléctrico como de la densidad de corriente en todo punto interior del conductor. Esto quiere decir

ue: q JAIadJI

rJr

es paralelo a adr . r

, dado que J =constante y S

Además,

LEVdEV ⋅=⇒⋅= ∫ lrr

, dado que E =constante y Er

es paralelo a lr

d . Reemplazando, entonces, en la expresión de la ley de Ohm se obtiene para esta aproximación:

ILVAρ

=

donde la cantidad A

Lρ , que depende únicamente de la geometría y de la naturaleza del elemento conductor, se denomina resistencia eléctrica R. Con lo cual, se escribe finalmente la ley de Ohm como:

RIV = Ley de Oh

m


37

En esta expresión, los voltajes son medidos con instrumentos llamados oltímetros, la intensidad de co s éctricas se

etro resistencia eléctrica permite independizarse de la geometría de los onductores y adoptar un símbolo común para todos ellos, diferenciando uno de otros

solamente en términos del valor de la resistencia. Así también, se facilita el diagrama y el análisis de la combinación de resistencias, uniéndola mediante conductores ideales.

v rriente con amperímetros, y las resistencia elmiden en unidades llamadas Ohm simbolizadas como (Ω). El parámc

Combinación de resistencias.

Dos son los tipos de combinaciones que se pueden construir con las resistencias: la conexión serie y la conexión paralela. El análisis de cada combinación conlleva a la determinación de la resistencia equivale te, e aquella única resistencia que umple las mismas prestaciones que el conjunto de resistencias. Estas reglas de ombinación serie y paralela, permiten posteriormente la simplificación de los circuitos

las resistencias componentes ediante conductores ideales(elementos conductores de resistencia nula). En la figura

orriente eléctrica es la misma por todas las resistencias, vale decir:

Así entonces

n ntendida comocceléctricos.

La combinación serie consiste en la unión sucesiva de

m(5.2) se tiene una combinación serie de N resistencias entre los terminales a y b, cada una con valores R1, R2, R3, ..........., RN.

Aplicando la conservación de la carga eléctrica y la conservación de la energía, se puede inferir las dos siguientes propiedades para la conexión en serie:

a) La c

I1 =I2 = I3 = ................... = IN.

b) El voltaje total entre a y b es igual a la suma de los voltajes de cada resistencia, es decir:

Vab = V1+V2+V3+..............+VN.

, aplicando la ley de Ohm se tiene que:

)...........( 321 Nab RRRRIV +++= pero como,

eqab RIV ⋅= se s:

concluye que el valor de la resistencia equivalente de la combinación serie e


38

∑= ieq RRi

mbinación paralela de resistencias es aquella en la cual todas las resistencias están conectadas a los mismos terminales a y b, como muestra la siguiente

as propiedades que satisface esta combinación de resistencias son:

a) El voltaje medido entre los terminales de cada resistencia el mismo, e igual al voltaje medido entre los terminales a y b, o sea

La co

figura.

L

Nab VVVVVV ====== .......4321

b) a corrientes poLa corriente total que ingresa o sale de la combinación es igual a la suma de l

r cada una de las resistencias, es decir

NIIIIII +++++= ..........4321 . Luego, haciendo uso de la ley de Ohm se obtiene que:

⎟⎟⎠⎝ Neq RRRRR 321

⎞⎜⎜⎛

++++= abab VV 1........111

de se calc

donde se deduce finalmente que la resistencia equivalente de la combinación paralela

ula como:

∑=i ieq RR

11

Pot nc

La resistencia eléctrica indica una medida de la oposición que enfrentan los lectrones a la libre circulación a lo largo del medio conductor, afectada por choques con

ques con impurezas, choques con s paredes del conductor, etc. Todas estas acciones sobre los electrones implican

pérdidas de su energía de movimiento, transformándose esencialmente en calor. Para los propósitos de este texto, las resistencias eléctricas son elementos disipadores de energía eléctrica, y la potencia eléctrica consumida se determina evaluando el trabajo que debe

alizar el campo eléctrico en el interior del conductor, para trasladar un infinitésimo de carga dq desde un punto a mayor potencial hasta un punto a menor potencial,

ia eléctrica consumida en una resistencia. e

elos núcleos positivos, choques con otros electrones, chola

re


39

dtdqV

dtdWPVdqdW ==⇒=

RVRIVIP

22 ===

en esta expresión se ha utilizado la ley de Ohm (V=IR) para dar otras formas alternativas para calcular la potencia consumida por una resistencia. La potencia eléctrica se mide en el S.I. en unidades llamadas (watts). Fuerza electromotriz (FEM) Se ha mencionado anteriormente, que es estrictamente necesaria la existencia de un campo eléctrico para producir una corriente eléctrica a lo largo de un conductor. A pesar de que un conductor posee cargas eléctricas positivas y negativas que están generando un campo eléctrico en todo el espacio, no se producirá una corriente permanente a través del conductor si este forma un circuito cerrado; la razón es que este campo eléctrico es conservativo, es decir, satisface la condición a lo largo de una trayectoria cerrada(

de circulación nula

∫ =⋅C

dE 0lrr

) y, por lo tanto, es incapaz de suministrar continuamente

nergía para que los electrones recorran el circuito. Se debe, entonces, aplicar un campo léctrico del tipo no conservativo, y el trabajo por unidad de carga que realiza este campo

eese conoce como la fem ξ (fuerza electromotriz):

∫ ⋅= lrr

dEefξ donde se ha denominado como efE

rel campo no electrostático. La expresión anterior

léctrica.

rna. Además, para efectos de análisis de ircuitos, se puede distinguir una fem ideal de una fem real; la fem ideal es aquella que roporciona entre sus terminales a-b un voltaje constante independientemente de las

resistencias(resistencias de carga) a las que esté conectada la fuente, es decir,

indica que la fem es fundamentalmente una diferencia de potencial y, por lo tanto, se mide en unidades de volts. Su valor determina la cantidad de energía suministrada a los electrones, y la potencia correspondiente se conoce como potencia suministrada. Así, las fem’s son dispositivos que transforman algún tipo de energía en energía eléctrica; por ejemplo, las baterías hacen un proceso de transformación de energía química en energía e Existen dos tipos de fem, dependiendo del tipo de corriente que suministran: la fem continua y la fem alterna. La fem continua es aquella que tiene un valor constante V0 y proporciona corriente continua, mientras que la fem alterna tiene un valor que es variable

n el tiempo V(t) y suministra una corriente alteecp

ξ=0v ; n tanto que, la fem real es aquella que entrega un voltaje entre sus terminales a-b que

rgaedepende de las resistencias de ca , o en otras palabras, es aquella que presenta un consumo de energía eléctrica interna y que se representa en términos de una resistencia interna que está en serie con la fem ξ(ver figura), en consecuencia, el voltaje entre los


40

terminales a-b de una fem real es: iRV i−= ξ0 , siendo I la corriente que se establece en l circuito. e

Es claro, que una fem real puede suministrar una corriente máxima finita, llamada corriente de cortocircuito Icc, que es aquella que circula cuando entre los terminales a y b se conecta una resistencia nula(cortocircuito) y que tiene un valor de:

icc R

I ξ=

na fem ideal se indica, por ejemplo, como “12 V”; mientras que una fem real se indica omo “12 V; 0,5 Ω”)

eyes de kirchhoff.

(uc L

Con una o más fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias léctricas se forma un circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica eterminar todas las corrientes que circulan, los voltajes en cada uno de los elementos léctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y consumidas. Para

contiene fem’s y/o sistencias eléctricas, y que es recorrida por una única corriente.

Nudo eléctrico es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual

onfluyen distintas corrientes eléctricas.

básicas para resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación off, las cuales a su vez, se infieren de la validez de la conservación

e la

edesimplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo eléctrico y malla eléctrica.

Rama eléctrica es cualquier segmento del circuito, que

re

c Malla eléctrica es cualquier ligazón de ramas eléctricas formando una trayectoria

errada. c

Las ecuaciones e las leyes de Kirchhd

d energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocen como la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.

La ley de nudos establece que la suma algebraica de las corrientes en todo nudo

eléctrico debe ser siempre igual a cero, es decir,



41

0=∑j

jI

nsecuencia, la anterior ecuación se

Al nudo pueden llegar o salir corrientes, entonces se diferencia, convencionalmente, una de otra mediante el empleo de signos positivos y negativos. En co

puede expresar también como una igualdad entre la suma de las corrientes que llegan al nudo y las que salen del nudo:

)()( salenIlleganIk

kj

j ∑∑ =

I1

II2 Para el ejemplo de la figura, la ecuación anterior se escribe como:

054321 =−+−+ IIIII

I3

I4 I5

53421 IIIII +=++ o bien,

La ley de las mallas establece que la suma algebraica de los voltajes en toda malla eléctrica debe ser siempre igual a cero.

∑j

jV 0=

En cada elemento eléctrico ( fem y resistencia eléctrica) se establecen polaridades más(+) menos(-) entre sus terminales. Se habla entonces de una subida de potencial cuando se corre el elemento desde el terminal (-) hacia

uando el recorrido es desde el terminal (+) hacia el (-). Para efectos de aplicar la ley de bidas de potencial y otro a

das de potencial.

Ahora bien, para resolver un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff conviene eguir el siguiente procedimiento:

el número de ramas eléctricas que existen en el circuito, pues eso determinará el número de corrientes incógnitas a resolver.

3) Establecer las polaridades en los terminales de las resistencias eléctricas, considerando que la corriente ingresa por un terminal positivo y sale por un terminal negativo. Las polaridades de las fem’s son independientes de los sentidos elegidos para las corrientes.

yre el terminal (+); y de una bajada de potencia cmallas debe asignarse, convencionalmente, un signo a las sulas baja s

1) Identificar

2) Asignar arbitrariamente los sentidos de recorrido de cada una de las corrientes incógnitas.

4) Escribir un número de ecuaciones, de nudo y de malla, necesario para la cantidad

de corrientes incógnitas, y resolverlas.

42

Ejercicios. 1. El circuito mostrado en la figura posee cuatro resistencias, un interruptor S y una fuente de diferencia

e potencial VdR

o. Los valores de las resistencias son: 1=

Vo. a) Eresb) El valor de las corrientes y la potencia en cada res 2. Ey S2 ab a) Transforme el circuito en un circuito d

) Calcule la potencia disipada en la resistencia 3Ro.

) La corriente que pasa por la fuente y R1. ) La corriente que pasa por la resistencia R5.

onocido. Se pide calcular, en función de Ro y Vo.

) La corriente que pasa por la fuente y R1. ) La corriente que pasa por la resistencia R5.

Ro, R2=R4=Ro y R3=3Ro. Se pide en función de Ro y

l valor de las corrientes y la potencia en cada istencia si el interruptor S está cerrado.

istencia si el interruptor S está abierto.

n el circuito mostrado en la figura, con S1 cerrado ierto:


e 2 mallas. bc) Determine la corriente en la resistencia de 4Ro. 3. El circuito de la figura, está formado por cincoresistencias y una fuente de diferencia depotencial Vo. Las resistencias son: R1=Ro, R2=R3=R4=2Ro y R5=3Ro donde Ro es conocido. Se

ide calcular, en función de Rp o y Vo. ab 4. El circuito de la figura, está formado por cinco resistencias y dos fuentes de diferencia de

npotencial Vo cada una. Las resistencias so : R1=Ro, R2= R3=R4=2Ro y R5=3Ro donde Ro es c ab


43

seis e

otencial Vo. Las resistencias son: R1= R6=Ro, 2= R4=2Ro y R3=R5=3Ro, donde Ro es onocido. Se pide calcular, en función de Ro y o.

is e

otencial Vo y 2Vo. Las resistencias son: 1=R5=Ro, R2=R4=2Ro y R3=R6=3Ro, donde Ro s conocido. Se pide calcular, en función de Ro Vo.

) La corriente que pasa por la resistencia R .

tencias y dos fuentes de diferencia de son:

o o

Vo.

) La corriente que pasa por la resistencia R .

. El circuito de la figura, está formado por seis

1=R5=2Ro, R2=R4=Ro y R3=R6=3Ro, donde Ro s conocido. Se pide calcular, en función de Ro Vo.

5. El circuito de la figura, está formado por resistencias y una fuente de diferencia dpRcV a) La resistencia equivalente del circuito. b) La corriente que pasa por la resistencia R5.

6. El circuito de la figura, está formado por seresistencias y dos fuentes de diferencia dpRey a 2b) La corriente que pasa por la resistencia R5.

7. El circuito de la figura, está formado por seis esis


r potencial Vo y 2Vo. Las resistenciasR1=R5=2Ro, R2=R4=Ro y R3=R6=3Ro, donde Res conocido. Se pide calcular, en función de Ry a 3b) La diferencia de potencial entre los nudos a y

b.

8resistencias y dos fuentes de diferencia depotencial Vo y 2Vo. Las resistencias son:Rey a) La corriente que pasa por la resistencia R4. b) La diferencia de potencial entre a y b


44

. El circuito de resistencias de la figura, posee dos entes de diferencia de potencial 5Vo y 4V

cias lar,

tor rto.

) Las corrientes en el circuito cuando el interruptor

0. El circuito de resistencias de la figura, posee una ente de diferencia de potencial Vo. Las resistencias

on R1=Ro, R2=8Ro y R3=2Ro y dos resistencias esconocidas de magnitud R, siendo Ro una sistencia conocida. Se pide calcular, en función deo y Vo.

s de diferencia de potencial,

resistencias son Ro, 2Ro y 3Ro son las

dicadas en la figura, S es un interruptor. Se pide alcular, en función de Ro y Vo.

las

) La corriente que circula por la resistencia R4.

9fu o, además existe un interruptor S. Las resistenson conocidas en terminos de Ro. Se pide calcuen función de Ro y Vo. a) Las corrientes en el circuito cuando el interrupestá abiebestá cerrado. 1fusdre R a) El valor de la resistencia R para que la resistenciaequivalente sea el doble de ella; es decir Req=2R. b) La corriente eléctrica que circula por la resistencia

R2=8Ro, si R es igual a 3Ro.

11. En el circuito de resistencias de la figura, existentres fuenterepectivamente 6Vo, 5Vo y 4Vo, ubicadas como semuestran. Las inc a) Las corrientes en el circuito cuando el interruptor está abierto. b) Las corrientes en el circuito cuando el interruptor está cerrado. 12. En el circuito de resistencias de la figura, la fuente hace circular una corriente Io (dato). Todas resistencias son iguales a Ro (dato). Se pide calcular, en función de Io y Ro. ab) El valor de la resistencia de potencial Vo, de la fuente.


45

13. Considere el circuito de resistencias con

os fuentes, como se muestra en la figura. Las ddiferencias de potencial de las fuentes son:

4. Se tienen dos resistencias desconocidas, 1 y R2. Cuando las resistencias se conectan n serie con la fuente, la potencia disipada, or el efecto Joule, es P1=2Po y la corriente s igual a I . Por otra parte cuando las

a diferencia de potencial las fuentes en ada caso (V y V ).

da.

5. El circuito de la figura, está formado por cinco resistencias y una fuente de diferencia b se incorpora un artefacto A. En un caso

o A, uando es una fuente de diferencia de

V1=Vo y V2=3Vo. Los valores de las resistencias son: R1=R3=R5=3Ro, R2=R4=Ro y R6=2Ro. Se pide calcular, en función de Ro y Vo. a) La diferencia de potencial entre a y b. b) La corriente que pasa por la resistencia R3. 1Repe oresistencias se conectan en paralelo con otra fuente, la potencia disipada es P2=Po/9, circulando la misma corriente Io. Ver la figura. (La potencia disipada está dada por P=R·I2). Se pide calcular, en función de Io y Po. a) Lc 1 2b) El valor de cada resistencia desconoci 1de potencial 2Vo; además, entre los nudos a yes un interruptor S y otro caso una fuente de den función de R

iferencia de potencial Vo. Se pide calcular, o y Vo.

a) La resistencia R, sabiendo que cuando el artefacto A es un interruptor S y está abierto, por la fuente (2Vo) circula una corriente que aumenta al doble cuando el interruptor está cerrado. b) La corriente que pasa por el artefactcpotencial Vo y la resistencia R=3Ro.


46

Bibliografía.

1. J. L. Meriam: Mecánica para Ingenieros “Est

2. D. J. McGill: M

ática”. Editorial Reverte, 1999.

ecánica para Ingenieros y sus aplicaciones “Estática”. Grupo Editorial

a Ingenieros “Estática”. McGraw-Hill, 2004.

4. L. Rodríguez: Física I, versión 2, Departamento de Física, Universidad de Santiago de

Chile, 2003.

5. J. Inzunza: Física: Introducción a la Mecánica, Proyecto de Docencia 02-16, Universidad de

Concepción, 2002.

6. R. Serway: Física, Tomo II, Mc Graw Hill, 2001.

7. D. Halliday: Física, Parte II, CECSA, 1972.

8. J. Armero: Física: Bachillerato, Ed

Iberoamericana, 1991.

3. F. P. Beer: Mecánica vectorial par

ebé, 1999.


APUNTES Guía de Ejercicios. - Eugenio Rivera · PDF fileSe definen las siguientes...

Documents

Transcript of APUNTES Guía de Ejercicios. - Eugenio Rivera · PDF fileSe definen las siguientes...