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Medidas de Dispersión para datos sin agrupar Una descripción más completa del conjunto de datos puede obtenerse si se mide qué tan

dispersos están los datos alrededor de dicho punto central. Esto es precisamente lo que hacen las

medidas de dispersión. Indican cuánto se desvían las observaciones alrededor de su media.

Conjunto 1 Conjunto 2 Conjunto 3 0 4 5 5 5 5 10 6 5 5 5 5 Media

5 1 0 Desviación estándar

Rango o recorrido

Varianza poblacional

( )

( ) ( )

Es el promedio de las observaciones respecto a su media elevadas al cuadrado.

Se encuentra la cantidad por la cual cada observación se desvía de la media.

Se elevan al cuadrado tales desviaciones.

Se calcula la media de tales desviaciones elevadas al cuadrado.

La varianza es un número muy grande con respecto a las observaciones.

Se expresa en las unidades de los datos originales elevados al cuadrado. Cosa que muchas veces

no tiene sentido.

Desviación estándar poblacional

√

Es la raíz cuadrada de la varianza. Es una medida importante de la dispersión.

Es un número más pequeño para poder trabajar. Además de que está expresado en las mismas

unidades que los datos originales.

En Finanzas se usa como medida del riesgo para medir la variabilidad de las tasas de rendimiento

ofrecidas por las inversiones. Cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor es el riesgo.

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Ejemplo.

Seguros Axxa vende cinco pólizas de seguro diferentes para un VW sedán 98. Sus respetivas

primas mensuales son:

$ 110.00

$ 145.00

$ 125.00

$ 95.00

$ 150.00

$ 125.00 Media

430 Varianza

$ 20.74 Desviación estándar

En este caso la varianza se lee como “pesos al cuadrado”.

Ejemplo.

Paco está interesado en invertir sus ahorros en un fondo de inversión. Tiene dos opciones, la

cuales evalúa según los rendimientos que han tenido en los últimos 5 años.

Google Yahoo! 12 13 10 12 13 14 9 10 11 6

11 11 Media

2 8 Var

1.41421356 2.82842712 Desv Est ¿Cuál debe elegir? Paco es un cliente conservador.

Varianza muestral

∑( )

Desviación estándar muestral

√

La varianza se divide entre n-1 porque se tiene n-1 grados de libertad. El número de grados de

libertad en toda operación estadística es igual al número de observaciones menos toda restricción

impuesta en tales observaciones. Una restricción es cualquier valor que deba calcularse de dichas

observaciones.

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Generalmente una muestra está menos dispersa que una población de la cual se tomó. Por lo

tanto existe la tendencia a que la desviación estándar de la muestra sea un poco menor que la

desviación estándar de la población.

Ejemplo.

Paco desea determinar la estabilidad del precio de las acciones de Facebook. Decide basar su

juicio en la estabilidad de la desviación estándar del precio de cierre diario de dichas acciones. Al

revisar las páginas financieras, ve muchos precios de cierre desde hace varios meses. En lugar de

utilizar todos, decide tomar una muestra aleatoria de n=7 días.

$ 87.00

$ 120.00

$ 54.00

$ 92.00

$ 73.00

$ 80.00

$ 63.00

$ 81.29 media

465.90 var m

$ 21.58 desv est m

Medidas de dispersión para datos agrupados

Varianza muestral para datos agrupados

∑

Desviación estándar muestral para datos agrupados

√

Ejemplo

CLASES MC FRECUENCIA fMC MC2 fMC2

[5,7) 6 4 24 36 144

[7,9) 8 8 64 64 512

[9,11) 10 12 120 100 1200

[11,13) 12 8 96 144 1152

[13,15) 14 5 70 196 980

[15,17) 16 2 32 256 512

Totales 39 406 4500

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horas

( )

horas al cuadrado

√ horas

Mediana=10.17

Moda=10

Coeficiente de variación CV Sirve como medida relativa de dispersión.

( )

Ejemplo.

Pasajeros por día

Media=78.7

Desviación estándar=12.14

( )

Confiabilidad de la media=100-15.43=84.57%

Millas recorridas

Media=1267.5

0

2

4

6

8

10

12

14

[5,7) [7,9) [9,11) [11,13) [13,15) [15,17)

Fre

cue

nci

a

Horas tomadas hasta la finalización del trabajo

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Desviación estándar=152.7

( )

Confiabilidad de la media=100-12.05=87.95%