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Reglas de la multiplicación

Aquí estimaremos la probabilidad de que la ocurrencia de dos eventos sea simultánea.

Hay dos reglas de multiplicación:

Regla especial de multiplicación. Regla general de multiplicación.

Regla especial de multiplicación.

Requiere que dos eventos, A y B, sean independientes. Lo son si el hecho de que ocurra uno no altera la probabilidad de que ocurra el otro.

Una forma de entender la independencia consiste en suponer que los eventos A y B ocurren en diferentes tiempos. Por ejemplo, cuando el evento B ocurre después del evento A, ¿influye A en la probabilidad de que el evento B ocurra? Si la respuesta es no, entonces A y B son independientes.

En el caso de dos eventos que son independientes, A y B, la probabilidad de que A y B ocurran se determina multiplicando las dos probabilidades, tal que es la regla especial de la multiplicación es:

( ) ( ) ( )

Ejemplo:

El dueño de un hotel ha modernizado sus instalaciones. Observó que el 20% de los autos que pasan por ahí, se detienen a alquilar un cuarto. ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos dos carros se detengan?

Asumiendo que son eventos independientes,

( ) ( ) ( ) = 0.2*0.2=0.04

¿Cuál es la probabilidad de que el primer auto pare y el segundo no lo haga?

( ) ( )[ ( )] = 0.2*0.8=0.16

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Regla general de la multiplicación.

Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Se considera que el primer evento determina la probabilidad del segundo.

Si dos eventos, A y B son dependientes, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se determina multiplicando la probabilidad de que ocurra el evento A por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ha ocurrido.

( ) ( ) ( | )

Lo anterior se lee "la probabilidad conjunta de A y B es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B, dado que ha ocurrido A".

Ejemplo: Preguntas delicadas.

En una ciudad se realizó una encuesta y a cada encuestado se le hicieron sólo dos preguntas:

a. ¿Es el último dígito de su número de seguro social un número impar? b. ¿Ha mentido alguna vez en su solicitud de empleo?

La segunda pregunta es delicada y es de suponer que las personas no dirán la verdad por diversas razones, sobre todo si la respuesta es sí. Para eliminar ese posible sesgo, se pidió a los encuestados que lanzaran una moneda al aire y respondieran a la pregunta (a) si el resultado es águila y a la pregunta (b) si el resultado era sol. El 37 por ciento de las personas respondieron que sí.

¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado haya respondido a la pregunta delicada (b) afirmativamente?

Definimos los eventos:

A: El encuestado responde afirmativamente.

a: El encuestado contesta la pregunta (a)

b: El encuestado contesta la pregunta (b)

Sabemos que P(A)=0.37

Como las preguntas se determinaron lanzando una moneda, sabemos que P(a)= 0.50 y P(b)= 0.50

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Sabemos cuáles son las respuestas a la pregunta (a). El último dígito de la mitad de todos los números de seguro social es impar (del 0 al 9 hay 5 números divisibles entre 2). Por lo tanto la probabilidad de que la respuesta (a) sea afirmativa, P(A|a)= 0.50

Lo que necesitamos saber es P(A|b), que es la probabilidad de que contestó afirmativamente, dado que respondió a la pregunta (b).

Podemos hallar esa probabilidad utilizando las probabilidades que tenemos.

Sabemos que los eventos (a) y (b) son mutuamente excluyentes y colectivamente

exhaustivos. También sabemos que las probabilidades conjuntas de ( ) ( ) también son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas y su unión es A.

Por lo tanto,

( ) ( ) ( )

Utilizando la regla multiplicativa:

( ) ( ) ( | )

Y

( ) ( ) ( )

La probabilidad de que hayan contestado la pregunta delicada afirmativamente es 0.12

Para hallar la probabilidad de que un encuestado nos conteste afirmativamente cuando le hacemos la pregunta delicada es:

( | ) ( )

( )

Partiendo de este resultado, el 24% de la población encuestada ha mentido en alguna solicitud de empleo.