Aquest exemplar no s’ha de mirar de principi a fi, sinó donar un cop d’ull a L’índex i escollir, de cada capítol, quin tema vols consultar. No to són curiositats, ja que podeu trobar-hi material divers de Química (simetriPa, “teoria de dimensions”, Tª dels forats negres…) intentant respectar i donar un altre enfoc perquè siguin més entenedors. Aplico un pas més a les teories ja descobertes…sense voler apropiar-me-les. Fa por aventurar-se en certs camps, i cal fer constar als autors i creadors des de l’inici i analitzar posteriorment si tinc alguna cosa a afegir.

Índex: Capítol 1.....................................1 Gravetat+ estudis paral·lels Radi terra Velocitat del satèl·lit La 4rta dimensió en termes matemàtics Capítol 2.....................................7 Forces de la natura+ dinàmica circular Accelerador de partícules Moment circular uniforme Força nuclear forta i força nuclear dèbil Capítol 3………………………….17 Bàsicament elements i grups de simetria Simetria i elements de simetria Teoria de grups i caràcters Matrius I.R. i Raman Capítol 4………………………….31 Casos d’àlgebra matemàtica Equació d’Schrödinger en termes matricials Bases canòniques Principi d’exclusió de Pauli

Capítol 5.....................................39 Vibració, enrotllament, natura dels quarks i demés… Multidimensionals Calabi- Yau Nº d’Enrotllament i nº de Vibració E de Plank Natura dels quarks Cercle cromàtic Capítol 6…………………………..49 “Kit-Kat” Reflexions paral·leles a la ciència Capítol 7.....................................53 Problema del coet+ escrits diversos Estudi de curiositats quotidianes Mescla racèmica i isòmers Problema del coet Degradació de colors en l’espectre visible Capítol 8.....................................63 Invencions d’equacions+ glàndules corporals+ quarks… Tipus d’amor Mínim comú múltiple Màxim comú divisor Ful·lerens

Més sobre els quarks Més curiositats quotidianes Capítol 9.....................................77 Parts de l’avió+ estudi de sistemes mitjançant eq. Schrödinger Fórmula polinòmica de Taylor Funcionament del televisor Parts de l’avió Tracte de les funcions d’ona amb operadors sistemes a estudi: àtom de Hidrogen, partícula lliure i oscil·lador harmònic Capítol 10...................................87 Organigrama polític+ borrositat+ Teoria de grups de GALOIS Petits fragments del llibre: “El futuro Borroso o el cielo en un chip”, de Bart Kosko Sistemes borrosos i interpretació de l’entropia com un càlcul de superfície; la química entesa com a caos i estadística Arrels quíntiques

Capítol 11...................................111 Funcions d’ona+ arrels quadrades+ Tartàglia+ “curiositats a l’atzar”… Resolució mecànica d’arrels quadrades Sistema dels quaternions Representació de nº’s complexes i aplicació a les funcions d’ona Capítol 12...................................127 Dilucidació d’equacions “poliexponencials”+ tensions+… Arrels cúbiques, quàrtiques i quíntiques Tensió Capítol 13………………………...137 Àlgebra de Lie+ supersimetria+ Tremes… Forces nuclears fortes i forces nuclears dèbils Desigualtat triangular Equació de Liouville Von Newmann Grups i àlgebra de Lie Camps de Yang-Mills Camp de Dirac Dioxines Supersimetria Peiheli de Mercuri

Capítol 14.....................................155 Flux, Gauss, Riemann, i altres Reacció de Belousov-Zhabotinskii Pendents i àrees Interseccions i energies Graus de llibertat Capítol 15………………………….165 Cantor, Peano, aïllament de la dimensió D+ càlculs “en clau” de fractals Laminar i turbulent Lorentz Flux i capacitats Fractals Univers de Fournier Alfombra de Sierpinsky Aïllament de la dimensió Corbes de Peano Pols de Cantor Cas concret de la representació d’una molècula de CNO- per T.O.M. Apèndix…………………………….201 Bibliografia

1

CAPÍTOL 1: GRAVETAT+ ESTUDIS PARAL·LELS.

2

3

La gravetat és sempre la mateixa qualsevol cos. La terraté una massa de 5’97.1021 tones i un radi polar de 6’356 kms, mentre que un d’equatorial de 6378 kms. r B A R x(t)= R.Cos(Ωt)+ r.Cos(Ωt) y(t)= R.Sin(Ωt)+ r.Sin(Ωt) vx= R.Ω.Sin(Ωt) – r.ω.Sin(ωt) vy= R.Ω.Cos(Ωt)+ r.ω.Cos(ωt) an= R.Ω2+ rω2 A partint de la TERRA an= R.Ω2- r.ω2 B on Ω i ω són les velocitats angulars F= (G.Mt.Ms/R2)= Mt.Ω2.R (G.Mt.Mll/r2)= Mll.ω2.r

4

C.M. v= 0 xe Mt Mll

Centre de masses: X=(Mt/m).rt+ Mll/m).rll on m=Mt+ Mll. Mll.Ω2.rll= G.Mt.Mll/d2 on d=rt+ rll Terra: si no existís la lluna faria una volta en 8 hores i no en les 24 qu e ja sabem. Els vents serien molt més potents L’atmòsfera contindria una quantitat d’O2. La rotació de la terra seria major// tindria a veure amb el moment angular- spin. Per calcular la distància terra- lluna grosso modo cal saber la velocitat a la que surt el satèl·lit i llavors mesurar el temps. S’ha trobat que és d’uns 384.400 Kms. El període de rotació de la lluna al voltant de la terra és de 27’322 dies, és a dir 360º. Un altra manera de calcular-lo és trigonomètricament, a base de establir un punt fixe o donat i veure com cada dia varia de localització uns certs graus; depenent també de la massa de la lluna es mourà més o menys i també de les hores que gasta per a fer la volta complerta. Canviem de tema:

5

½∫ dv2= ½.v2 -1/2.G.M∫ dr2/r3= -G.M/r m. v 2/r= G.M.m/r2

rMGv .

= també pots usar la velocitat a la

que va el satèl·lit. el·lipse: a b a c F’ F x2/a2+ y2/b2= 1 c2+ b2 = a2 temps τ en fer una volta complerta (el·lipse) de l’òrbita terrestre al sol: nº dies× estacions de l’any. La temperatura també pot ésser sistema de referència (la mateixa al passar els períodes i tornar al mateix punt de partida quan a estació mes setmana dia hora...).

6

7

CAPÍTOL 2: FORCES A LA NATURA+ DINÀMICA CIRCULAR.

8

9

SINCROTRÓ: És un acelerador de partícules; Per exemple electrons . Són enmagatzemats en anells i van circulant en ell. Al ésser continu pot assimilar-se al flaix d’una càmara fotogràfica (així tenim un continu perceptor o vislumbrament de “sistemes”. La radiació del sincrotró equival a una radiació electromagnètica produïda per partícules carregades (recordem que per a mantenir les partícules en òrbita calen camps magnètics que les vagin conduïnt a fi de no xocar amb les parets). La radiació que ens interessa és la no tèrmica

10

(a): On E

! ⊥ B!

(b): λ (c): y= A.Sinx

11

Com que avança, derivem la trajectòria de l’ E

! com una hèlix

(b) igual que el nº quàntic “l” (azimutal) que prové de la relació “radi a/radi b” i que hi ha un cas en què les orbites són el·líptiques depenent de n=1 a/b=1 n=2 a/b=1, a/b=2 n=3 a/b=1, a/b=1’5, a/b=3 etc... el camp magnètic (força magnética semblant als imans) pot limitar la Energia i el radi de la trajectòria. L’electroomagnetisme és generat per càrregues elèctriques en movement. En un sincrotró es varien els 2 camps (E

! i B!) i augmenta la seva

intensitat a mesura que les partícules augmenten la velocitat (i energia) per tal que el radi de la seva trajectòria ≈ ctnt. S’intenta que el seu radi sigui el més gran possible. Les partícules s’acceleren fins a v≈ llum. Al voltant de l’anella hi ha laboratoris que recullen la llum de gran intensitat (des de R-X fins a la llim visible).

1. com una foto permet veure la composició qca. d’una molécula

2. és més, ens ofereix un “film” d’un procés químic que estudiem.

Elímit E deguda a l’acceleració lateral= E aportada a cada volta. Podem aplicar el sincrotró en cristal·lografia: Existeixen 32 tipus de cristalls. Quan les condicions són optimes, cada compost tendeix a cristal·litzar en formes definides. A més, també el podem aplicar en composició química, disposició dels àtoms, forçes d’enllaç entre ells...

12

Mantenir la trajectòria circular per perpetuar el feix i que no tingui final; així s’estalvia i es conserva. També existeixen reixetes que filtren des dels R-X fins al visible. A vegades cal ésser home i donar un cop d’efecte que serveixi per a imposar el teus modus de vida És necessària la netedat i la bellesa gregues (m’embauca i em posseeix positivament). Normalment escric amb la intenció d’agradar, i encara que gran, també mostro esperit jove. Molt sovint em transformo en “guru”, i gesticulo conscientment amb la intenció d’enviar missatges o de guardar allò que tinc per a no ésser un “màquina” que em transformo en el que volen els altres i no en lo meu. 14/08/10. Força nuclear débil< força nuclear forta o força electromagnètica: F.N.D. F.N.F. Si la F.N.F. és més ràpida implica partícules més petites. F.N.D. és més lenta, aleshores partícules més grans.

13

Tan que m’esforço per a ésser correcte i complidor i amb la facilitat amb què m’ho tiren tot per terraambun petit comentari (i carregat de mala intenció). Ara tocarem el tema dels acceleradors de partícules carregades: Lineals: una sola direcció en direccions Hi ha diferència entre els acceleradors oposades i generant col·lisió(♣) Circulars (♣): e- e+ Mentre que les col·lisions poden ésser contra una diana o entre partícules. Ecinètica + Emassa conformen la E de partícules molt petites; llindar: velocitat de la llum.

14

Per accelerar partícules carregades, cal posar en bateria diferents camps elèctrics: e+ e- - + F=q.E= m.a Sabent que ay= q.E/m, vy= ay.t, i y=1/2.ay.t2 Llavors amb l’ajuda d’un camp magnètic podem separar les seves trajectòries i fer que col·lisionin en un punt determinat. E

! E

!

y d/2 q+ q+ L

15

A la dinàmica del moment circular uniforme: an= v2/R v an R

16

17

CAPÍTOL 3: BÀSICAMENT ELEMENTS I GRUPS DE SIMETRIA.

18

19

Segons els elements de simetria de cada compost molecular ens trobem amb què pertanyen a un grup o un altre; exemple: S1 com podem veure té E (que és constant en tots els compostos), C2z, σxz i σyz. O1 O2

C2v E C2z σxz σyz

z podem deduïr que les matrius que y definiran cada element de simetria amb cadascún dels 3 modus x (translacional, rotacional i vibracional) de cada àtom de la molécula, seràn 3×3.

20

xT! Tx Ty Tz

... yT!

zT! C2z: -1 0 0 xo1

0 -1 0 yo1 0 0 1 zo1 Tx Ty Tz

σxz: 1 0 0 xo1

0 -1 0 yo1 0 0 1 zo1 Tx Ty Tz

σyz: -1 0 0 xo1 0 1 0 yo1 0 0 1 zo1

i ara tractarem la rotació: S (y) O1 O2 S (z) S (x) O O O O I com podem veure, al mostrar-se també 3 modus rotacionals, la matriu serà també 3×3.

21

xR! , yR! , zR! :

Rx Ry Rz Rx Ry Rz

E: 1 0 0 xo1 C2z: -1 0 0 xo1

0 1 0 yo1 0 -1 0 yo1

0 0 1 zo1 0 0 1 zo1 etc... en SO2, quan a modus vibracionals, tenim: S S O O O O Oscil·lació Oscil·lació Bending simètrica d’enllaç S S o O O O O Oscil·lació assimétrica d’enllaç. Per tant, les matrius respecte a C2z, σxz, i σyz en cada àtom, també seran 3×3. el càlcul us el deixo per a vosaltres.

22

Abans d’avançar massa rapid, definiré un terme útil en aquesta teoria de grups: caràcter: La suma dels elements diagonals de cada matriu: χ =∑

iiia .

També es pot menester una representació matricial respecte funcions d’ona matemàtiques com ara: px, py, pz...(com a bases de representació) o, en el cas de molècules més complexes com ara AuCl4-, ML6...:dz2, dx2-y2, dxy, dxz, dyz. Exemple: (y) Cl Pertany al grup D4h, el qual conté, entre els seus elements de simetria, 1

4C :

Cl Au Cl (x) (-x) Cl (-y) + 1

4C - + → per tant py px 1

4C (py)= +px - o:

23

- - + 1

4C → px py per tant:

14C (px)= -py

+ aleshores: 0 -1 px p’x

= 1 0 py p’y I en altres grups com ara C3v: H N H H O D4h: Oh: L P Cl L L Cl M Cl L L L

24

O fins i tot: C4v: L L L M L L Si ens trobem amb una molècula C3v (amoníac) : a11 a12 a13 correspòn a un àtom de la molécula a21 a22 a23 que estudiem; aleshores deduïm que

a21 a22 a23 treballem amb “blocs”. A cada bloc li correspòn una matriu nn× . Tx Ty Tz

I si tornem a SO2, en termes de translació tenim que cada àtom conté 3 coordenades (x, y, z) i, multiplicant-les obtenim la matriu 9×9; és per això que definim Γ3N com a base de representació. I a partir d’ara treballarem amb blocs, que vol dir: B1 0 B1’ 0 B1’’ 0 0 B2 0 B2’ 0 B2’’ etc... A A’ A’’ etc... on la suma de les dimensions dels blocs B1 i B2, així com B1’ i B2’ o B1’’ i B2’’ o les que hi hagi (i que he anomenat A, A’, A’’...) dóna la dimensió de la Γ3N. Els blocs són irreduïbles.

25

x H3 H1

60º xT

! ’ 90º -y 30º yT

! y

xT!

yT!

’ -x H2

Com que per a definir xT

! ’ i yT!

’ ho hem de representar gràcies als vectors xT

! i yT!

, deduïm que van junts tots 2, aleshores els blocs B1 o B1’ o B1’’ tenen dimensió 2, mentre que B2 o B2’ o B2’’ són els 1blocs que provenen de representar zT

! ’ gràcies a zT! tenen dimensió

1 (aquesta és una fragmentació per blocs, on cada matriu correspòn a un en el cas de dalt, tenim NH3, que pertany al grup C3v (igual que el POCl3). C3v conté E,2C3 i 3σv. Començarem analitzant els elements C3: el tractament que hem seguit ha estat desplaçar 120º els vectors xT

! i yT!

per a obtenir els nous xT

! ’ i yT!

’. a11 a12 Tx Tx’ Cos60(-Tx)+ Sin60(-Ty)= +Tx’ = a21 a22 Ty Ty’ Cos30(+Tx)+ Sin30(-Ty)= +Ty’.

26

-Cos60 -Sin60 Per tant B1’= i B2’= (+1) Cos30 -Sin30 H3 H1

yT!

’ 30º 30º xT

! ’ 30º 30º 30º 30º 30º yT

! y

90º 60º xT

! σ H2

x Ara anem per l’element σ :(com a representació dels 3 vσ ). b11 b12 Tx Tx’ = b21 b22 Ty Ty’ Cos30(-Tx)+ Sin30(+Ty)= Ty’ Sin30(-Tx)+ Cos30(-Ty)= Tx’ -Cos30 Sin30 Per tant: B1’’= i B2’’= (+1) -Sin30 -Cos30 Els àtoms desplaçats no contribueïxen a la χ .

27

Independentment de l’àtom al què apliquem la operació de simetria, el caràcter de la matriu és el mateix. I ara establirem una altra quadrícula on la multiplicació dels àtoms no desplaçats × contribució de la χ de la matriu transformació per 1 àtom= Γ3N. C2v E C2z σxz σyz

Àtoms no desplaçats

3 1 1 3

Contribució al χ de la matriu transformació per 1 àtom

3 -1 1 1

Γ3 N

9 -1 1 3

On l’última fila respòn als caràcters de les matrius. Tota la informació de les matrius de transformació està continguda dins els seus caràcters. C2v E C2z σxz σyz

Γ3N

9×9

9×9

9×9

9×9

Cada una té una matriu 9×9 diferent. Cal dir que fan referència a les bases de representació xT

! , yT!

, zT! .

Γ3N

28

z S y x O1 O2

Introduiré un concepte més a la teoria de grups i d’elements de simetria: σ.nn CS = on σ és ┴ a l’eix nC . També, A.X= E i si A= 1

3C , X= 23C o X= 1

3−C .

Definició de Grups: col·lecció d’elements de simetria que compleixen determinades normes: 1) la seva combinació dóna elements que també pertanyen al grup 2) A.E= A 3) A.(B.C)= (A.B).C= A.B.C 4) A.X= E on X= A-1. També tenir present que de C= A.B segon en primer en aplicar aplicar Espectroscopia I.R.: Conté 3 modus vibracionals: νj, νk, νl. En l’estat fonamental, el nº quàntic v=0: ψ0= ψj(0). ψk(0). ψl(0). Mentre que quan s’excita el modus k: ψi= ψj(0). ψk(i). ψl(0)

29

I E RAMAN: h.νA= h.νi- hνj h.νB= h.νi- h.νk hνC= h.νi- h.νl I aclarint un altre concepte (el de simetria) diré que es produeïx quan el catàcter de la matriu transformació és +1. Si agafem una representació irreduïble (B1, B1’...) anomenada Γi i la multipliquem per Γg dóna Γi. En canvi si multipliquem Γi per ella mateixa dóna Γg. Γg és totalment simètrica formada per tot 1. En el cas monodimensional Γi.Γi=Γg Mentre que en el cas polidimensional: Γi.Γi= Γg+ Γi+ Γk… ∞ ∫ ψ0.µ.ψi.dτ=0 antisimètric // u // no provoca línia a l’I.R. -∞ ∞ ∫ ψ0.µ.ψi.dτ≠ 0 simètric // g // dóna línia a l’espectre. -∞

30

A partir del principi d’exclusió de Pauli sorgeixen les regles de sel·lecció i això, a la vegada, genera que si la integral és: =0 prohibida ≠0 permesa En SO2 el grup puntual és C2v, i les bases de representació translacionals coincideixen amb els modus vibracionals (tenen la mateixa simetria). µ vector que ha de tenir, al menys, 1 component≠ 0 de les 3 de què disposa: µ! = xµ

! + yµ! + zµ

! . Fent un incís que pot ésser útil: successió de colors respecte a la λ (longitud d’ona): al ↑la λ, ↓ la energia: Violeta- Blau- Verd- Groc- Vermell λ: 4000 Amstrongs 7000 Amstrongs

31

CAPÍTOL 4: ÀLGEBRA MATEMÀTICA.

32

33

L’equació d’Schrödinger en termes matricials: Primer exposarem el següent exemple: f g f-1 R3 R2 R2 R3 P A P-1 B on, en nomenclatura de matrius: P-1.A.P= B R3 f R2 e1 u1

e2 u2

e3

i =1,2,3 j =1,2 Si usem les bases canòniques e1, e2,...en com a bases de representació d’un conjunt de vectors e! tals que e!= α 1.e1+ α 2.e2+...α n.en [sabent que la dimensió de tal conjunt és n i que les bases canòniques, suposant que n =3, són: e1 =(1, 0, 0), e2 =(0, 1, 0) i e3 =(0, 0, 1)]. Conseqüentment, si R2, la base canónica serà n=2, i u1 =(1, 0) i u2 =(0, 1). En el cas de bases canòniques podem extreure la següent conclusió: si les bases no són canòniques, encara que puguin representar tots els elements (o millor dit, vectors) del conjunt, ja no es podrà assimilar a la equació d’Schrödinger, que mostra com, al aplicar la matriu associada a f per canviar de R3a R2 (i que pot rebre el nom d’A, per exemple), obtenim: f( e! ) =λ. e! , o f(en) =λn.en.

34

Si ens entretenim amb tal equació: (f-λ.I).e! =0

!.

I si aprofundim més: p(λ) =det(A-λ.I), que definirem com el polinomi característic per a aïllar la λ. Com a visualització: f: E E e1 e1 λ1 0 … 0 . A . on A= 0 λ2… 0 . . . . 0… λn

en en

i neeef .0................)( 111 ++= λ neeeef .0.........0)( 2212 ++= λ . . nnn eeef ...................0)( 1 λ++= a11-λ a12… a1n a21 a22-λ a2n si recordem d’àlgebra matricial que: . resoluble mitjançant la regla del pívot: . =0 ).det(]./)1[()det( AaA ij

ji+−= . (on i i j són els subíndexs d’1 a n) an1 an2… ann-λ fins aconseguir un I el polinomi caracteristic: det 3×3 o 2×2, 0......)1()( 01

11 =++++−= −− αλαλαλλ nn

nnp llavors fàcilment calculable.

35

Ara anem a explicar què significa l’adjunt d’un determinant i la seva funció: calcular el determinant d’una matriu: a b c e f d f d e C= d e f ijC = (-1)1+1.a. h i +(-1)1+2.b. g i +(-1)3+1.c. g h

g h i i+j i+j etc… abans de res anomeno una llei: si una línia o columna és combinació lineal d’altres del mateix determinant , pot eliminar-se i el rang perd un “grau”. desenvoupant zeros en una fila o columna també podem arribar a calcular el determinant: exemple: vull convertir -1 5 -1 2 v1 en zero -2 de -1 5 -1 2 7 -4 -2 6 v2 v2, per tant faig: v2- v1×2 9 -14 0 2 v’4-v’1×3 1 8 0 9 v3 1 8 0 9 -5 4 3 -8 v4 -5 4 3 -8 -1 5 -1 2 9 -14 2 v’’1 9 -14 0 2 (-1)3+1 1 8 9 v’’2 8× v’’2+ v’’3 1 8 0 9 -8 19 -2 v’’3

-8 19 0 -2 9 -14 2 v’’’1 0 -86 -79 (-1) 1 8 9 v’’’2 9× v’’’2- v’’’1 (-1) 1 8 9 0 83 70 v’’’3 0 83 70 -86 -79 (-1).(-1)2+1 83 70 = (-1).(-1)[(-86×70)-(-79×83)]= 537.

36

Si suposem: f E F e1 u1

e2 u2

... ... en um

e! =α1.e1+α2.e2+...+αn.en f(e! ) =λ1.u1+λ2.u2+...+λm.um

Ara explicaré com trobar les components d’f(e! ) respecte a la base de F [u1, u2,..., um]: ∑

=

=n

nijij a

1

.γδ , i en matrius:

a11 a12...a1n γ1 δ1

a21 a22...a2n γ2 δ2

aji γi = δj on i =1,…, n j=1,…,m am1 am2 amn γn δm on γ1, γ2,…, γn són les components d’un vector e! qualsevol respecte a les bases e1, e2,...,en, mentre que δ1, δ2,..., δm són les components d’f( e! ) respecte a les bases u1, u2,...,um. Fent un incís: per calcular la matriu “A”: Exemple: f(x,y,z)= (3x-y,2z) )0,0,1(1 =e! )0,3()( 1 =ef !

)0,1,0(2 =e! )0,1()( 2 −=ef !

)1,0,0(3 =e! )2,0()( 3 =ef !

1 i ara: a b c 0 = 3 d e f 0 0

37

a b c 0 -1 a b c 0 0 d e f 1 = 0 i d e f 0 = 2 0 1 a=3, d=0, b=-1, e=0, c=0, f=2. Cada eq. Schrödinger implica una Energia λn d’una partícula elemental (e-) o en el cas de quarks: u, d, s...; la matriu conversió ha de ser la base canónica ja que així f(en) =λn.en. i si n =3, e! =λ1.(1, 0, 0) +λ2 (0, 1, 0) +λ3(0, 0, 1). 1 0 0 A= 0 1 0 0 0 1 Potser per a visualitzar-ho millor tinguem en compte el Prinicpi d’Exclusió de Pauli i la següent representació: a11 a12 a13 x β1

a21 a22 a23 × y = β2

a31 a32 a33 β3

a41 a42 a43 z β4 fila× columna 4×3 3× 1 4× 1 (n, l, ml, ms) mentre que la matriu 3× 1 és (x, y, z) o (r, α, θ) (x, y, z) cada terme βn correspòn a una Energia de cada un dels nº’s quàntics de cada nivell:

38

n n, l n, l, ml

39

CAPÍTOL 5: VIBRACIÓ I ENROTLLAMENT DELS QUARKS I DEMÉS.

40

41

Un objecte susceptiu d’ésser multidimensional (formes de Calabi Yau, ampolla de Klein...), definim R com el nº d’enrotllament (relacionat amb el radi de les cordes) i 1/R com el nº de vibracions. Les energies corresponents a la vibració són inversament depenents del radi de la dimensió (que representem també com a R) i es pot entendre com una corda de radi “R” que, al augmentar el radi, la vibració es fa menys intensa. la Etotal és la suma de les 2 variables (1/R i R) i és el nº de vegades el valor energètic de Planck.

42

1/R R Etotal nº vibració nº enrotllament suma de les 2 variables 1 1 1/10+ 10 1 2 1/10+ 20 1 3 1/10+ 30 1 4 1/10+ 40 2 1 2/10+ 10 2 2 2/10+ 20 2 3 2/10+ 30 2 4 2/10+ 40 3 1 3/10+ 10 3 2 3/10+ 20 3 3 3/10+ 30 3 4 3/10+ 40 etc Sabem que la unitat de Planck representa la mínima magnitud tant de massa com de longitud com d’energia... que s’ha pogut trobar; en el cas de l’energia suposa salts quàntics ja que ν!=E [on la ! és la ctnt de Planck], i la freqüència ν són nº’s enters. El nº d’enrotllament pot ésser major de 4, i R és el radi de la corda que representa el nº vegades la longitud de Planck.

43

Nº de Nº Vibració d’Enrotllament 1/10 1(×10) 2/10 2(×10) 3/10 3(×10) 4/10 4(×10) 5/10 5(×10) 6/10 6(×10) etc el que jo interpreto és el nº vibració de cada enrotllament multiplicat pel nº d’ enrotllaments. mentre que R no és obligatori que sempre valgui 10: pot ésser 9’2, 7’1, 3’4, 2’2, 0’1... Cada estadi de la vida comporta un moment de glòria i un de “tu rai”, entre altres coses perquè has de donar el callo. Què perseguim els que canviem cada vegada? (de feina d’habitatge, d’amics...). En un moment determinat trobes allò que busques. Si alguna cosa és molt frágil i delicada millor no tocar-la massa. CANVIANT DE “REGISTRE”: Eplanck: límit per sobre de la qual no hi ha res i es perd validesa de la existència de les partícules elementals cancel·lables amb les seves antagòniques; a l’infinit també existeix aquesta falta d’exactitud i normalització. Abans de passar a altres termes, faré esment de la Ctnt. Cosmològica com a factor que es va diluïnt a mesura que incrementem el nº d’anàlisis...(entre altres coses perquè ens anem acostant al resultat correcte). Referent a la conservació de la massa també.

44

També podem intuïr què passa amb les jerarquies. Potser és que la potència no va amb mi, però la trempera només la tenen els marginats o els més ràpids; pot ésser ràbia versus un món on se’ls ha exclòs. Fan pena de veure, ja que res de trascendent els anim Ignorar-los és una solució només temporal...però és que són tan desconfiats amb els de l’altre costat...Necessiten a crits un cop de mà i ésser-ne ell també conscient; les actituds violentes o rebels contra el creador i perquè el món s’ha fet així és nauseabund i no és forma de jugar. Com a directrius diré que gran part del que fem hauria d’ésser constructiu. Actuacions i orientacions de cada etapa. Hom no es pot excloure de la societat i només pensar en la química; per començar hem d’implicar-nos en els problemes o facetes que conformen aquest món tan complicat. Recordo haver llegit ara les vicissituds d’algunes “stars” del món de la ciencia i em miro a mi mateix: tinc un espai en aquest ampli ventall de possibilitats, i sense el meu gra de sorra fa falta algo a la química. Hi ha qui serveix d’ajuda per a l’escalada d’algú altre (soón com àngels o escuders que fan pinya per a què pugi el personatge adient). Quan em deixo dominar per la por i les males vibracions mai faria res. La broma fàcil no és felicitat sinó només temporalitat. D’altra banda, la crítica sense fonament tampoc és edificant.

45

La sensació d’inutilitat ha d’esvaïr-se al construïr el bé de la societat; què és el bé? algo cap als demés pel que et sents satisfet. Qui fa passar una bona estona a algú també és fer el bé. No només explicar quelcom per a marcar-se un tàntol sinó, amb confiança en un mateix, solucionar problemes que puguin patir certs individus...és a dir, ajudar a trencar murs per a fer actuar en conseqüència o amb continuïtat a qui va perdut o qui està fotut. Sovint l’esquizofrènia se m’indigesta. Només tinc una opció: no magnificar la disfunció mental i potenciar les virtuts que tinc o de què estic dotat. Jugar amb les meves capacitats. Potser estic fora de circulació pel sol fet d’ésser malalt. Són móns. paral·lels que rarament es toquen. 10/09/10. Hi ha coses de la feina que no puc mencionar (perquè m’estimo més estar ”jodido pero contento” que voler trencar l’armonia i també l’ordre que m’he guanyat partint de la meva situació actual i considerant l’esquizofrènia com a agent limitador). És necessari seguir el ritme que imposen, però no el veig (només veig el meu, de ritme). Malgrat ésser un peó baix i no tenir contacte amb ningú semblo un dels primers (en teoria, ja que a la pràctica hi ha una barrera com un mirall que m’impedeix parlar com fa la majoria i només puc expressar-me en termes de trascendència i seriositat).

46

Tot allò que penso o que percebo és veritat, en certa manera. No hauria de “disparar” tan concretament, assertivament i certerament en els meus comentaris ja que repercuteix en moments de mar calma. A cada pausa usem una qualitat o habilitat humana (escoltar, idear coses o conceptes amb la ment, reposar...). Què fer quan hem de donar la talla? Si estàs confiat i tens prou base com per a mantenir un diàleg amb els que en saben, no importa la forma sinó el contingut. Al augmentar l’especialització per part dels nº’s quàntics, augmenten també les contribucions de la Energia d’una forma proporcional: matriu 1×3, 2×3, 3×3, 4×3. Perquè intentar dominar els sentiments en parella de la meva neboda? Jo no sóc ningú per a jutjar res, i me’ls estimo molt i punt (és que em barallo amb la sensació de possessió que tant odio i que no sé si jo comparteixo.). 15/09/10. Qualitats...ara sí!! Per a inventar situacions noves i noves experiències no és necessari haver de matxacar l’altre sexe (dones humiliant homes...). Per tant intento prescindir del supèrflu. Massa vegades denant voltes a petits conflictes diaris per a existir inventiva; si ara em deixo anar també és respectable. Estic sol però amb algú en qui confiar. No és competència però sí sacrifici.

47

I= m.x2 és la inercia, mentre que F’= P= m.g centrat en la partícula. També depèn de la massa però no del moviment de la partícula (com la inèrcia) sinó de la gravetat entre les 2 masses en joc: F’= G.M.m/r2. Les maquines escurabutxaques són un vici dolent. A vegades malgrat les distàncies espai- temps si conserves els mateixos impulsos o costums que algú altre, al trobar-se causa impacte. Hi ha gent que anteposa els seus costums als interessos de la majoria. El món petarà aviat (ho presenteixo). És responsabilitat de tots la fusió per a compartir les penes a nivell mundial. CERCLE CROMÀTIC: Cercle de colors que conformen el segment de llum visible; terra siena torrat, ataronjat, ocre, verd, blau ultramar, i violat. Colors complementaris: aquells parells de colors que , en l’espectre circular, es troben just enfront de l’altre en el cercle cromàtic.

48

49

CAPÍTOL 6: “KIT-KAT”.

50

51

Ésser simpàtic i fer agradable l’estada; malgrat tot els interessos personals fan insuportable l’estada. Perquè les motivacions no duren? Com superar els que incordien? Cal fer un M&M abans d’hora? Me marcho Perquè nop aprofitar els meus moments si encara que vulgui ningú canvia res? És que em toca el paper més lleig dins la familia? Independència i fer cas omís al que no em poden aportar res. Com que no he trobat ningú que em guïi en termes temporals, m’ho haig de muntar com puc. Fer la vista grossa a certs temes que no m’incumbeixen és “a mistake” crec que me n’ensurto prou bé.

52

53

CAPÍTOL 7: PROBLEMA DEL COET+ ESCRITS DIVERSOS.

54

55

I així obtenir motivació per a continuar encavant el meu treball. ¡què saben els altres del que em passa!?. Ho tinc tot tan apamat que m’aborreixo si no sé disfrutar dels petits moments i participar en el circ de la vida. Nous horitzons o guanyar la partida a la passivitat. Vull reptes pels què lluitar: segurament es transformaran en individuals. Fer cas omís als que no em poden aportar res. Al no trobar ningú que em guïi en termes temporals m’ho haig de muntar com puc. Fer la vista grossa a certs temes que no m’incumbeixen. Cal un càstig a qui s’ho creu i puc ésser jo mateix qui reparteixi i a la vegada tenir algú superior que em posi al meu lloc. La teoria és molt fàcil...poar-ho en pràctica en un lloc on no existeix la reflexió és ja més difícil. 21/09/10. Si em sotmeto a opinions i comentaris fàcils del meu entorn estic perdut. Intento saber com arribar a nivells alts de reflexió i interiorització i treball cerebral que “se me antoja” necessari per a prendre part en aquest món. Quan penso en els pares sento una sensació angoixant i “heavy”. Si tot s’ajuntés o col·lapsés i no hi hagués suficient força com per a esquivar tal cop d’efecte estariem perduts. Hi ha gent inaccesible i això implica poca atenció cap a ells que no sigui lo corrent. La millor manera de que et quedin grabades les coses és experimentar-ho en carns pròpies.

56

23/09/10. Perquè hem de carregar amb la imatge que donem a l’exterior?. A mesura que ens anem fent grans hem de complir amb feines que no ens agraden...millor trobar un lloc on estiguem a gust. La sorpresa arriba quan menys t’ho esperes. Existeix el mal moral i el físic. Els pirates informàtics poden desestabilitzar el país; caldria ésser honest amb els gastos i pagar quan és necessari sense prentendre fer beneficis “a toda costa”. Cmom és lògic les partícules lleugeres són més fàcils d’obtenir a temps baixos, mentre que pesants costen més de produïr. Treure les forçes d’on sigui és la máxima de l’esportista. La frontera mai podrà creuar-se: sempre hi haurà un estadi intermig (que no vol dir un estorb). Viure del “bypass” no és lògic. La vida independent té la seva part bona (seré lliure i em dedicaré a les meves coses “absolutely free”) i la seva part dolenta (si m’emancipo no podré parlar sempre que voldré ni tenir companyia...a més potser m’oblidaré dels meus pares i del seu “care”). Sabem que l’activitat humana és variada (per això hem arribat fins on hem arribat). No sempre és possible assolir els límits o fronteres (és a dir anticipar-me als fets i imposar un camí a seguir). Fer el “crack”...si ningú s’implica a establir cap via de pas hauré de ser jo qui prengui les regnes.

57

Si consumim un cigaló: Velocitat =litres/ temps =k.a.t d’ingestió acceleració temps de cinètica reacció corporal quantitat d’ingestió en litres/temps en què s’ingereixen Me situaré on em toca // potser a algú no li agradarà. A vegades estic sotmès a humiliació i això em converteix en un ésser frágil. Com que ara per ara estic controlat no suposo cap perill per a la societat. “I’m gonna leave one piece of my heart in Greece; I just adore it!”. Diferents enfocs i tendències perquè tot científic creu en una sola teoria per explicar molts dels esdeveniments científics? (per poder ésser crític cal saber diferents punts de vista). És que tot s’erigeix en un sol pic que pot orientar una cadena d’esdeveniments lligats que porten a un mateix fi. Vermell (λ↑) mentre que blau i violeta (λ↓). Home de poques paraules; hi ha moments en què hom no vol perdre el fil del seu raonament i es converteix, ho sàpiga o no, en un “guru” per a algú (potser situat molt lluny d’allà).

58

(1)Tractar amb gent més jove que jo o amb més grans que jo? (2)Records d’infantesa. (3)Velocitat: per a calmar-me no són necessàries les drogues però sí medicament adient. (4)De què estem parlant? (5)”Get sticky to somebody”≠ compenetració. “It’s my advantage”. (6)La mare manté el tipus. Si faig de “ragib” me quedaré amb l’esquelet (apart d’aborrir l’alimentació). Sembla que tot raonament o conceptualitat és rebutjat/da per la majoria. Segons com puc posar els punts sobre les i’s. El benestar momentani ocasionat del rebotar-se contra alguna persona és fals. Molt important: no more niñatos que no han sortit de l’ou i que a Barcelona se conceben com vividors o bloodsuckers dels pares. Ni al començament ni al final!! (tornant del viatge de Grècia mon germà em donà matrícula d’honor!! No sap la confiança que em donà!!. Mescla racèmica: de mostres o dissolucions determinades (són enantiòmers, i depenent de si estan en igual % o si impera més un que l’altre no hi haurà activitat òptica o n’hi haurà, [respectivament]; la polarització de la llum es demostrarà cap a l’esquerre o la dreta: dextrògir (D) o levògir (L)). La imatge especular d’una molélca es refereix a la que es reflecteix en un mirall; no són superposables sinó enantiòmers.

59

Estereoisòmers: isòmers amb només un centre quiral però no enantiòmers; El carboni protagonista del qual sorgeix l’enantiomeria. Si tenim una molécula amb més d’un centre quiral parlarem de diastereòmers. En els quarks dels nuclis i isoespin també pot assimilar-se tal assimetria D o L. Per experiència, no es pot tenir tot controlat. Sempre hi haurà alguna cosa per resoldre; “si el problema té solució ja no és problema, i si no en té tampoc (ja que és algo amb què haurem deconviure). Quan una partícula no és ni carn ni peix...: eν : no té càrrega però sí spin!! (l’únic que se m’acudeix és que potser és bipolar i per això rota amb l’eix desplaçat i podem qualificar-lo amb spin, encara que no té càrrega neta). Cal ésser realment voluntariós i creatiu per a generar cada dia un motiu pel què lluitar. Viure fora de la terra materna implica fer cas omís de la seva crida.

60

Evolució natural≠ intervenció del creador. Potser la mà de Déu radica en posar en funcionament tot el parament que la evolució ha ideat o preparat en el moment oportú. Nozick diu que totes les possibilitats se realitzen encara que no en ordre coherent; conseqüentment totes les teories subjacents tenen raó de ser. Segons el meu entendre, si convençes a la multitud et fas més i més gran i acabes amb l’atzucac de la teva sabiduria o bellesa física, per la qual cosa se’t reconeixerà. Però, per experiència pròpia si no tens sort o necessites fer més per a aconseguir popularitat a certa escala, no vull donar el gust a la gent de veure’m frustrat i derrotat: algun camí ha d’existir on pugui ubicar el meu saber!!. Cada nova etapa és com un susto per a passar a falmiliaritzar-me posteriorment i continuar amb la línia nova. Reforma laboral+ maquines i – plantilles; resultat: baixos costos. l’Estat afluixa $ als ajuntaments per fer 4 o 5 obres o serveis públics per a fer callar als veïns. Despido perquè així cobren indemnitzacions. Corrupció: $. Quan a la cuina domèstica hi ha un “pinche” (els homes) que ajuden a la mare, i si aquesta es crema (tant amb oli ruent de paella com al escórrer les verdures del foc...) hi ha comentaris òbvis que mereixen respostes “talants”, ex: <<crema aquest mànec? Doncs toca-ho i veuràs!!>>. He superat alguna barrera: l’alcoholisme, la por a viatjar...i tot el que això comporta. Ara estic supercontrolat i no vaig suelto com una fulla d’arbre (seria molt fort no tenir cap suport; podria optar per a fer broma de tot, cosa que no va amb mi).

61

Quin plaer parlar amb gent amb problemes!! fa que els meus desapareguin per qüestió de magnitud. Congeniar amb algú succeeix quan sóc consequent amb el meu interior i no em forço amb estirabots. Hi ha actituds o tòpics que jo no puc desfer ja que seria anar massa a l’arrel (amb lo que es perdria la calma sense cap fruit palpable). Només puc arribar a un límit, després del qual em poso a treballar com una fulla d’arbre o angoixa, amb lo que s’entén que no es pot aconseguir algo amb només un intent: cal pràctica i “una flor no fa estiu”; d’altra banda, si has aconseguit arribar a una fita que per tu és important, pots aplicar: “el que tuvo retuvo”. PROBLEMA DEL COET: on vcp= velocitat de sortida del coet vgc= velocitat d’expulsió del combustible (que ajuda a pujar). ΔM= massa que perd al pujar (ja que gasta combustible).

GCV! CPV

! Δ GPVV

!!= = GCCP VV

!!− en valor absolut, CPV

! < GCV!

Pi= m.vcp Pf= (m-ΔM). Vcp- ΔM.vgp

Ara, tPPF ifext Δ−=∑ /)( I substituïnt i cancel·lant:

62

././. dtdmVdtdVmF GCCPext −=∑ on dtdmtm // =ΔΔ

63

CAPÍTOL 8: INVENCIONS D’EQUACIONS+ GLÀNDULES CORPORALS+ QUARKS.

64

65

21/09/10. Quan no es veu clarament ni la negació ni el viure de renda ni experiències viscudes semblants al que realment ara m’està passant, no hi ha solució inmediata. Les dones obren el camí i fan veure la llum. 22/09/10. Fumar però sabent el secret de l’eterna joventut; el cervell per uns, la cultura física per altres...tot mesclat fins a fer un còctel de salut. Tinc una noció del que és correcte. Entre el plaer i la concepció neta del que és la mala llet, hi ha molt de recorregut. Lluny del que es considera estàndard per a les ganes de trobar coses noves i innovació i corregir i pulir defectes...(no ja només per a benestar sinó per a trobar la pau a l’entorn; això m’allunya de lo convencional. 24/09/10. M’obro o em tenco? escollir, solucionar...o portar el propi timó per a evitar sorpreses!!. 27/09/10. Les responsabilitats fan necessàries reunions i acords per a disensionar la situació. La Thangi és el meu suport que mai em farà mala cara. És el meu mirall. És un plaer poder conversar amb ella, ja que ens apreciem mútuament. Intentar no arribar mai al col·lapse i deixar que corri l’aire.

66

28/09/10. A grans mals grans remeis!!. A vegades veig les paraules dins el meu cervell; sovint les “clavo”, ja que m’ho miri com m’ho miri sóc algo més. Si em baso en la queixa mai reïxiré. L’intel·lecte xop de coneixement surt de tant en tant, però qui posseeix tal qualitat s’ho passa més malament que bé. 29/09/10. Suposo que s’ha de complir cada dia. Si anem a batzegades malament: jo aspiro a una coherència lògica i intel·ligible, però on sóc jo ara sembla impossible!! Es premien els extems (i jo estic al mig de no se què), aleshores sóc de difícil comprensió. 30/09/10. Encara que em vingui tot de cop, millor no patir (de la mateixa manera que me ve, se’n va). Conèixer les limitacions s’algú altre et converteix en un seu recolzament. És cert que al augmentar edat baixen el nº d’amics? i si em causa por ésser objecte d’enveja? i rebuig? 01/10/10. Dins- fora, stress- ioga...cal ésser realista (i si no, pregunteu-li a Jordi Eroles, periodista i presentador de TV3 o 3/24). I si no sé trobar es armes que tinc per a trobar el que busco?. Hi ha mirades que maten (per pròpia experiencia). M’he posat alguna vegada a la pell dels aturats. Se deixen anar massa i

67

s’acomoden en un lloc prohibit (se dediquen a estar i restar...quan els que treballem ens mereixem més pel sacrifici que fem). No sempre que estic sol o que em trobo sol haig de pensar; és per això que si em passo de reflexiu és negatiu. 07/10/10. Sembla estrany que no rebi avisos en forma de “reprimendes” a l’empresa. D’aquí poc ja manarà el nét del fundador de l’empresa, és a dir, un noi molt més jove que jo (veig passar les èpoques).. La guspira de seny i el trascendentalisme permet viure una vida amb qualitat i salut. És per riure o per plorar? Em diuen que val més ésser un “tu rai” que pas un “pobre noi”. Els clixés d’un inel·ligent es mesuren...pels moments brillants? I si acabo malament per culpa d’això? (frustració). 08/10/10. Passo de que em parin atenció, però no poden ignorar-me ja que posseeixo presència per què se n’adonin de mi (cada dia faig un esforç per a fer-me conèixer). Tipus d’AMOR:

1) Eros (eròtic). 2) Filos (amistat) 3) Ágape (espiritual i cristià; amor incondicional i reflexiu;

l’amant té en compte només el bé de l’ésser amat). MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE: d’un nombre o més d’un nombre enter (Z) és el menor nombre enter que és múltiple de tots ells;

68

O, dit d’una altra manera, la multiplicació de tots els factors que apareixen elevats al major exponent. exemple: 6936 23

×3×172 120 24

×3×52 24×52

×172×3

MÀXIM COMÚN DIVISOR: d’un nombre és la descomposició en nº’s i llavors prendre els factors comuns amb el seu menor exponent i multiplicar-los: Entre els ja coneguts: 6936 i 120, el m.c.d. serà: 23

×3. INVENCIÓ D’UNA EQUACIÓ: Velocitat mitja a la que va el cotxe= metres que el separen de l’altre cotxe/ temps que tarda en frenar. Respecte a la majoria. Temps entre accident 1 i accident 2= Δt×α tcompra- tactual ctnt que depèn del cubicatge, vmàx a la que pot arribar, kms que porta, carreteres perilloses, estat de les llums (dia o nit)... GLÀNDULES CORPORALS: Hipotàlem: al diencèfal // allibera hormones implicades en les emocions, Tª del cos, ingestió d’aliments.

69

Hipòfisi: glándula com una mongeta que intervé en la sexualitat (secreta hormones), el metabolisme... Estrògen: hormona femenina. Testosterona: desenvolupament dels espermartozoides. DOPATGE: feritropoietina (EPO) ... Insulina ... Nandrolona Clembuterol: TGH: hormona del creixement (droga sintètica que provoca transtorns sexuals. Cocaïna: absència de fatiga Hidroclorotiazida: enmascara substancies per a eliminar-les amb l’orina. O O Triazina: Sulfonamida: S N R1 N R3

R2

N Sulfametoxina: N N O S R O

70

Mentre que la hidroclorotiazina és: O O O O S S H2N NH Cl NH QUAN ALS FUL·LERENS: C60 !!. pot incloure’s en les estructures del carboni com ara el diamant o el grafit; s’assimila a una pilota de futbol (20 hexàgons i 20 pentàgons). Podem entendre l’aromaticitat esfèrica: nº carbons nº de π enllaços per a deslocaltizar. Equival a la: (2N+ 1)2 “rule” “Llei de Hückel” per a estructures en 3-D. Tothom té una ceba al cap (de qualsevol tipus) si no, mai hi hauria diferents òptiques. Un dia de pluja funciona per al recolliment i el canvi de panorama. M’ho estimo, ja que així tothom està d’acord amb una cosa: el poder de la natura sobre nostre (metereològicament) i se’ns situa a lloc. A vegades perdo pistonada (interpretat com que perdo el fil). Lo impossible i imaginari ho faig real i palpable [és una sort ja que així trobo la pau interna].

71

És cert que a una certa etapa de la vida la gent es torna individualista (potser per culpa de la parella, ja que la intimitat no es pot trencar, i la evolució ens hi porta). Com que no compleixo tals requisits, sempre aniré deambulant por doquier sense rumb fixe). QUAN ALS QUARKS: qq −−−−−− són les sticky partícules anomenades gluons que uneixen els quarks ( q ) amb els corresponents antiquarks ( q ). Per exemple: 0K i 0K . Els K ’s són kaons. Els quarks se presenten en forma de parelles o trios:

ttdduuss ,,,,,,, ...,,, bbcc Tant LBK ,, ...tenen les seves antipartícules. i: ← → fins que: +

72

L’estranyesa: ( S ): igual que l’Univers té E= ctnt. i ΔE= 0, les partícules més problemàtiques (quarks més interns o elementals) els cal un factor pel que els dóni, quan les tractem individualment (tant xocs com reaccions...), una magnitud igual (ctnt.). Si fem un exercici d’abstracció, l’estanyesa vindria a ser com un factor que contribueix a la conservació de la massa o conservació de la energia (comentada abans). etc etc Si paro atenció un altre cop a la estranyesa ( S ), m’he informat que per sobre d’un límit de pressió o densitat de materia estelar (estels de neutrons, matèria nuclear feta de nucleons...) aquesta es desfà en els quarks que la composen donant matèria estranya. És com un nº quàntic usat per a introduïr el nº de quarks s presents en la interacció : adopta uns valors enters següents:

73

)(1)(1

squarkSsantiquarkS

→−→

→+→

pot assimilar-se a la ctnt de Planck (h), que descriu el tamany de cada quant de llum elemental (ja que cada quant té una freqüència ν): h=E/ν (per a mantenir la E com a ctnt). Massa de Planck més enllà del balanç aproximat entre la Energia de Planck posició de partícules antagòniques

( ...),,, KKZZ FORÇA NUCLEAR DÈBIL: Nucli inestable que la tendència fa que es transformi en un altre de més estable emetent partícules elementals. INTERACCIÓ FORTA: No s’extén més enllà d’un nucli atòmic estable i amb partícules nuclears eclectrònicament oposades (recordem els gluons). CALÇ VIVA: Ca (alcalí terri≡ crema) + H2O Ca(OH) + ΔE La direcció de la reacció és la correcte ja que és exotérmica. FÓRMULA POLINÒMICA DE TAYLOR: Equació infinitèssimanent derivable en forma de polinomis i equacions diferencials per a ésser utilitzada com a aproximació a altres funcions

74

La recta tangent a “las cercanías” d’un punt (x0, f(x0)) és la que passa pel punt (x0, f(x0)) i té la mateixa pendent que la curva en aquell punt (1era derivada). [dit d’una altra manera: la derivada d’una funció en el punt (x0, f(x0)) és la pendent de la recta tangent en aqeuell punt]. f(x) f(x0) x0

recta tangent ≡ R(x) f(x) P(x) P(x)= a+ b(x-x0)+ c(x-x0)2+… Per tant, demanem a P(x) que passi pel punt (x0, f(x0)) i que tingui la mateixa pendent (1era derivada) i que tingui la mateixa concavitat que la parábola (2ona derivada).

75

Al aprofundir en derivades guanyem aproximació: P(x)= a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+...+ an(x-x0)n f(x) f(x0) β α x0 x on α≈ β per a treballar en un diferencial d’espai: x-x0 i f(x)-f(x0). FUNCIONAMENT DE LA TELEVISIÓ: Consta de 2 parts: produïr la imatge i el so // recepció de la senyal. El tub de raigs catòdics és el mecanisme que fa possible la formació d’imatges. Antigament es descobriren quan en un tub, on s’hi havia fet el buit i “polaritzat” en cada extrem amb un càtode i un ànode, s’hi féu passar corrent accelerat de partícules (electrons) des del càtode però amb un objecte al mig, tal que generà sombra a l’ànode!!. Per a produïr imatge, la llum que captem de l’exterior s’absorbeix en verd, vermell i blau; tals senyals lluminoses es transformen en elèctriques (senyals de vídeo). Després d’enviar tals senyals de vídeo al receptor, cada color va a un canó // les senyals s’emeten per electrons // per a amplificar la imatge usem uns moduladors que augmenten la freqüència. També podem analitzar la tensió a la que passen els e-: tensió equival a nº càrregues per espai.

76

Hi ha tensions altes i tensions baixes Els tons de color fosc equivalen a tensions altes. La tensió baixa, en canvi, es caracteritza per tons clars, aleshores fan falta més e- per a impactar (o simplement per a atravessar el càtode); Al impactar en la pantalla florescent els e- ja estan definits pels seus colors (tot en l’espectre de llum visible), cosa que facilita que els veiem. Cal que la càmera i l’escombrat del tub de raigs catòdics han d’estar en fase ja que ens dóna una imatge sincronitzada. Les càmeres solen fer unes 24 fotogrames o quadres/ segon!!. Cal una perfecte sincronia entre “l’exploració” i la “representació”. És més, la càmera envia un senyal en forma d’impulsos (o en forma d’ona quadrada) que indiquen que la línia està complerta i es passa a una altra (tant en sincronisme vertical com horitzontal). Selector de canals: per a sincronitzar la frequència i posar-la en fase:

77

CAPÍTOL 9: PARTS DE L’AVIÓ+ ESTUDI DE SISTEMES MITJANÇANT EQ. SCHRÖDINGER.

78

79

PARTS DE L’AVIÓ: Fusellatge(1), ales(2), grup impulsor(3), tren d’aterratge(4):

1- estructura principal on s’allotgen els passatgers ,equipatge...es fabriquen depenent del tipus d’avió i tenen un volum i aerodiàmica particulars.

2- Permet que l’avió voli i tingui força de sustentació; tenen alerons. És on s’hi emnagatzema el combustible.

3- Turbofar proporciona la velocitat necessària a l’avió per volar // fa augmentar la velocitat gràcies a l’expansió de gasos de la combustió. Ventilador impulsa aire cap enrere; Al augmentar la força del motor, estalviem combustible // el ventilador tambéajuda a augmentar la velocitat d’expulsió: Aire a v= x Aire a v= y on x<y. FUNCIÓ LOGARÍTMICA PER AL CÀLCUL DE PROBABILITATS. Logb(x.y)= logb(x)+ logb(y). Logb(x/y)= logb(x)- logb(y). Logb(x1/y)= (1/y).logb(x). Logb(a+ c)= logb(a)+ logb(1+ c/a). Logb(a- c)= logb(a)+ logb(1- c/a).

80

blogb(x)= x antilogb(logb(x))= x. logb(bx)= x logb(antilogb(x))= x. logab= logcb/ logca. TRACAR LES FUNCIONS AMB L’OPERADOR LAPLACIÀ (O OPERADOR NABLA AL QUADRAT) I EL LEGENDRIÀ: L’Operador HAMILTONIÀ del sistema (per exemple l’àtom d’hidrògen en 3-D, on V és la Energia Potencial de Coulomb entre l’e- i el protó del nucli [rotor rígid]; un altre sistema és la partícula lliure, i encara un altre sistema és l’oscil·lador harmònic[usant la llei de Hooke ], la represenació del potencial de la qual és 22/1)( kxxV = , i la seva Equació d’Schrodinger és: [ ] [ ] Ψ=Ψ+∂Ψ∂− Ekxxm 2222 2/1/)2/(! , i la resoldrem més endavant (₫). )()2/(ˆ 22 rVmH +∀−= !

on ∀ és l’operador nabla al quadrat i la massa del sistema és la combinació de la massaelectró i la massanucli (que es troba al centre de masses o s’anomena massa reduïda: µ).

Μ= (me+ mN)/memN, o electró Nucli centre de masses 2∀ 2(Ze+Ψ Ψ−=Ψ )/2()/1)(2/ 22

0 !! Er µπεµ γ ξ

81

Ψ=Ψ+Ψ∀ ξγ )/(2 r

22222 )/1()/)(/1( Λ+∂∂=∀ rrrr

part radial part angular )/()/)(/1()/)(/1( 22222 θθθθφθ ∂∂∂∂+∂∂=Λ SinSinSin que és la forma que adopta el legendrià (part angular del hamiltonià) en coordenades polars; si fóssin en coordenades cartesianes, el hamiltonià tindria la forma: )/()/()/( 2222222 zyx ∂∂+∂∂+∂∂=∀ la transformació d’un tipus de coordenades a unes altres us la deixo per vosaltres; només diré que: φθCosrSinx = φθSinrSiny = θrCosz = sabent que θ2222 Sinryx =+ i φxtgy = d’aquesta manera, veient com se tracta el hamiltonià en part radial i part angular (i suposant que el sistema és esfèric [per tant la part radial esdevé constant]), podem:

RY=Ψ RYRYrYRrYdrrRdr ξγ =+Λ+ )/()/1()/)(/1( 2222 si ara dividim per RY i multipliquem per r2 els dos termes de la igualtat: 2)(/1( drR ξγ =+Λ+ )/()/1)(/1()/ 222 rYYrdrrR

82

22222 )/1()/)(/( rrYYdrrRdrRr ξγ =+Λ+ ≠ f(r) ≠ f(θ) ni ≠ f(φ ). Aleshores: Y/1 ctntY −=Λ2 I: ctntrrdrrRdrRr =−+ 2222 )/)(/( ξγ Si filem prim en els valors, veurem que l2 tendeix a l(l+ 1) i E= l2/2I. [ ] rRrRrllrdrrRd ξγ =+−+ 222 /))1(()/()/( V= -[Ze2/(4πε0r)]+[l(l+1) 2! /(2µr2)]. Finalment, i quan r és molt alta, rRdrrRd ξ=22 / , aleshores: )/(2)/( 22 drdRdrRdr + per r ↑↑ RdrRd ξ=22 / Mentre que per R= f.er ξ no és vàlida ja que tendeix a infinit, L’altra: R= f.e-r ξ és real; veiem que són funcions exponencials, per tant podem transformar-les en logarítmiques. Com que tenim per sentat que la corba probabilística és Gaussiana, normalment, ja tenim l’explicació feta.

83

Aquí analitzo el moviment unidimensional d’una partícula sense energia potencial, només cinética: T= (½). m.v2= ½. (p/m).v p= (h.n)/(2π.r) H = T 2H = (h2.n2)/ [4.m2.(2π)2.r2].d2/ dr2 r2= (Z2.e4)/ (m.v2)2 i (m.v.r)2= [(h.n)/(2π)] m2.v2= (h2.n2)/ [(2π)2.r2]. 2H = (¼) [(h2.n2)2/{(Z2.e4).(4π2)2.}]m2.v2.d2/dr2 r2= Z2.e4/(m.v2)2 i ħ= h/2π Una massa correspòn a la de l’equació que defineix la E2, mentre que l’altra ho fa a a la que representa l’ 2H . Ja que hem elevat al quadrat l’operador H , Hamiltonià, [i com a conseqüència a l’altre costat de la igualtat ( H .Ψ= E.Ψ)], resulta que la E també s’hi ha elevat. I ara, a la caixa monodimensional, λ= h/p i px= mE2 λ= h/ mE2 ; en una caixa monodimensional a= n(λ/2) a= n. mE2/.!π i, combinant, trobem: E=(h2/8ma2)n2 també, partint de: ..ˆ iii EH Ψ=Ψ i Ψ=Ψ− ./).2/( 222 Edxdm! . Llavors ))/2((. δ+=Ψ xmESinC ! on δ = constant de fase. Gràcies a la normalització: ∫ =ΨΨ 1.. * τd veiem que aC /2= .

84

(₫): Ψ=Ψ+Ψ− Ekxdxdm 2222 2/1/)2/( ! on fem canvis de variable: 2/2 !mE=α i !/mk=β sabent que π2/h=! i a= -kx/m= -ω2x i ω= 2πν. El resultat és: !/2 νπβ m= I també: βϑ x= així: 0))/((/ 222 =Ψ−+Ψ ϑβαϑdd la solució és: I si dividim α/β ens trobem amb què → E= )/( βαν! I aprofundint més, α/β= (2v+1), que és el nº total de desdoblaments energètics definits com a vibracionals en una línia. És més, la funció d’ona que compleix tals requisits és: Ψ=C. 2/2ϑ−e

Curiositats: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a ... b c 0’66... 0’8 0’2 1 0’33... ja que a=0, 5/15= 0’33 10/15= 0’66 13/15= 0’8 15/15= 1 etç... P≡ Kgr.m2/sg2≡ Newtons P= F o m.g= m.a

85

Cal fer una taula de valors per a dibuixar una gràfica s/t i un cop la tenim anar per la següent: v/t. d’aquesta última n’extraurem el valor de la pendent (que resulta ésser la gravetat (v/t= a=g) v t y/x=v/t= g on g és negatiu. Evidentment g depèn del pes i de la velocitat de l’objecte. Si el mòbil està disminuïnt la seva rapidesa llavors la seva acceleració va en sentit contrari al moviment: -g +g

86

87

CAPÍTOL 10: ORGANIGRAMA POLÍTIC+ BORROSITAT+ TEORIA DE GRUPS DE GALOIS.

88

89

Des de fa molt que s’ha discutit entre la inetel·ligència dels cervell humà i la d’un computador o xip electrònic. Se sol concebre el futur com a difús o borrós. Precissió: matemática, política, artística, econòmica... Hisenda vol els comptes clars. Al augmentar el poder augmenta la definició; diferents estadis o apartats (per exemple quàntics, estats de la materia...). Borrositat≡ estadística≡ humanitat≡ matissos... La gràcia són les excepcions, en canvi, en informática iera digital, tot ha de ser exacte. Sembla que el nostre cervell està educat per a ésser binari, per això que qui manté la borrositat i boira en les seves vides sembla estar marginat, classificat, separat.. Ying- yang // si- no // blanc- negre... És a les fronteres on existeix més difusió. No sóc omnipotent quan a coneixement; tinc llacunes i això em fa persona de bé. Les “mantis religioses” del segle XXI són dones misterioses que no sé exactament de què viuen o s’alimenten però tenen molts ulls i un encant agressiu.

90

Ara no ens basarem en fronteres de la psique que ens impedeixen arribar a llocs desconeguts que vegades impliquen exactitud mil·limètrica (creada pel propi ésser humà) i que no és més que una ànsia de poder i domini. Seria com fer “budú” amb el que odies, encara que el resultat pot anar dirigit cap a un individu innocent o inofensiu. Un meu amic deia: <<home, depèn>> (quan se li feia una pregunta). Sistemes borrosos: x- ζ x+ ζ x al acotar el domini o límit de convergencia, augmenta l’exactitud. Potser és més fiable la Campana de Gauss (més que un triangle). El 95% de fiabilitat és gairebé el major que podem obtenir; b’’ a’’ x b’ a’ b a (a, b) (a’, b’) (a’’, b’’)…

91

Al ↑ el domini, ↑ la radicalitat i també ↑ l’extremisme entre els punts. v Δv/Δt= a si a<0, aleshores -Δv/Δt quan hi ha pendent és lógica la a l i si enlloc d’usar la lògica binaria usem la ternària o quaternària? Aparells borrosos equivalen a aparells intel·ligents i llavors robotitzats per a guanyar precissió, suavitat i $. Podem definir l’home com a conjunt de difusos i esborranys. El quadrat o la figura de més d’1 dimensió la descriuen els que més dret tenen a matizar [ex: economia i estat dónen la pauta, i els que paguen acaben delimitant]. Els polítics absorbeixen l’espai i obliguen a una decissió que ells no exerceixen sinó que juguen al joc de l’enfadós i de tirar pilotes fora entre ells. Quina opció prendre davant la salut? Deixar morir o allargar una vida que no té futur? Esquemes: Lliberals i demòcrates Conservadors i republicans De dretes: moderats o feixistes

92

Cal un mapa divisori: Llibertat Totalitarisme El centre es dilueix cap als extrems depenent també de l’edat del que exerceix. El del centre morirà aviat i serà substituït per un altre. Individu objecte Individu objecte de l’anarquia del feixisme

93

És el govern un destí? Com domina el govern a la cultura i ensenyament? Tot gira al voltant seu. És acàs el món cibernètic un ens lliure d’imposicions estatals?. Súbdits que es cultiven a sí mateixos són perillosos per l’estat. El meu lloc és a les aules i actuar com a lliurepensador i científic. Crec que sense la meva aportació mai s’edificarà una “edifici educatiu” correcte. Derivació d’internet com a força equilibradora sense relació amb l’estat (amb entitat pròpia). Hume: la magnitud del govern depèn de la seva opinió. Loteria de la investigació: partir del mateix punt i jugar amb els avenços i si produeixen, invertir més; és una escala on tota comunitat científica té oportunitats . Definitivament hem de arribar a assolir el fet de que els nostres interessos interns primin per sobre dels materials. Potser se comença a implantar la nova manera de sortir de la crisi: usant el desig de bé de la ciutadania. Borrosament veig el regne d’una persona o individu unitari que identifico amb l’ésser suprem [encara que no és menester idolatrar ningú; a més seria com saltar a la yugular d’un cap de turc o a qui li toca “aguantar la corona” en aquell moment]. Si em poso ulleres ho veig tot una mica més clar. El genoma humà (seqüència de cromosomes): Pare Fill Mare La combinació genètica o replicació està acotada i no són possibles totes les combinacions.

94

Cal descobrir el secret de com afecta i de quina manera afecta el genoma parentesc al físic i metabolisme del fill. Així es podria optimitzar a voluntat i distribuïr quants i quins gens donar per tal de fer un fill a mesura. Un altre exemple de gradació és el nivell de maduració o verdor d’una poma; no és cap sistema binari ja que la poma pot ésser un 70% madura i no només 0%- 100%: també podem pensar en menjar-nos la poma quan hagi madurat “x temps” a l’arbre. Cal un conjunt de valors per a veure si l’estadística corrobora que al cap d’un “temps x” les pomes ha madurat un 70% (o un 100%); <<si P, llavors Q>>. A l’espai atmosfèric (més enllà del cel) existeix alguna propietat que baixa al allunyar-nos de la terra [de forma contínua com a progressió geomètrica]. Fins i tot, en territoris marítims hi ha barreres sonores per a evitar que les balenes sobrepassin tal frontera. Progressió aritmética: an+1= an+ d Progressió geomètrica: an+1= an× d Deixar anar missatges subliminals entremig del que comento i em comunico. Malgrat tenir diarrea mental, intento no ésser mentider. Qui domina l’estament militar no té escrúpols ja que usa els peons (quan no té perquè apropiar-se’n). Realment qui dirigeix la guerra està en un lloc distant i segur del front de batalla. El que sembla destil·lar aquest llibre és que l’espai té un preu. És més, si un article qualsevol (creat per un inventor o una empresa o un artista...), si funciona pot vendre’s a gran escala.

95

Com més profund, més fiable i exacte (cal augmentar la velocitat per a evitar la borrositat). La guerra actual es basa més en la informática i els bits que en caps nuclears. Els soviètics o gent del nord potser són més fràgils emocionalment io deprimits i impenentrables. Sabem que un petit error de bits o altres partícules elementals pot desencadenar una seguit d’equivocacions // such as “efecte papallona”. Cada vegada costa més mantenir la privacitat ja que informàticament no es pot amagar res (tothom està fitxat) i tot és públic i cada cop més ampli. Cal entendre la forma en què s’entenen les equacions: a) A causa B efecte B=f(A) b) O oferta D demanda C=f(D) Cosa que fa veure que les matemàtiques poden ésser inductives o deductives. <<Si...llavors>> és aplicable al dia a dia per a no perdre pistonada. Si usem el GPS per arribar a un carrer i aparquem el cotxe una mica distant de l’objectiu i trobem bifurcacions (per exemple 3) i al anar avançant anem multiplicant les bifurcacions (3n) on n és el nº de vegades que escollim un carrer...vegi’s la complicació. Si en canvi tenim com a premisa les reaccions que es produeïxen entre UF6 (hexaflorur d’urani) i altres productes, es comença a generar una limitació de possibilitats.

96

Ara representarem una gràfica: y x1 X x2

depenent de les curves que dibuixa la gràfica (ex: Tª vs quantitat de CO2, o pressió de “x” vs fracció molar de “x”, etc...) podem valorar aproximadament les zones on és més probable que succeeïxi un esdeveniment: estem en disposició de dir si “x” fluctua entre x1 i x2, → “y” fluctua entre f(x1) i f(x2). Si podem extrapolar una recta o funció, ja fem un anàlisi borrós d’on s’aniran ubicant els punts. Ex: Pressió vs Temperatura Punt de congelació del disolvent ΔTc ΔTe Pv disolvent 1 atm

P Pv dissolució Puntd’ebullició del disolvent 0 atm

Tª Punt de congelació Punt d’ebullició de de la dissolució la dissolució

97

on ΔTc≡ descens del punt de congelació= Kc×molalitat i ΔTe≡ ascens del punt d’ebullició= Ke×molalitat i les K’s són constants (o la pendent de la gràfica). Canviant de tema, 1 0

etc és o vol ser una línia o imatge de bits si se reconeixen una sèrie d’ells es pot conectar una acció o ordre. Preu dels valors en referència als que estan al mercat. Al veure si els resultats d’usar un medicament són els mateixos que la substància que estem tractant en el cos o que ens manca. Suposo que aquesta comparació és la base de l’ús de fàrmacs. També pot succeïr que el cos humà inventi un producte al cervell sensible que posseïm els humans que cobreixi la mancança (anticossos o vacunes). Depenent del modus com s’emboliquen els axons neuronals pot significar també organització o ordre per a fer determinats impulsos o circuits (ex: dretà o esquerrà...) Estructura de retroalimentació per a construïr una pauta i valdre’s dels propis resultats (satisfactòris o errònis...) Si no se repara a temps el “daño celular” pot representar un cablejat erroni i cada cop més ràpid. Calculant el temps en què tarda en refredar-se un líquid, podem deduïr la fondària del pou. Ara presentaré que, segons el llibre “El futuro borroso o el cielo en un chip”, la informació equival a la massa que s’empassa el forat negre; cada cop es fa més gran i equilibra la massa que perdem de l’Univers; un forat negre genera fred.

98

(a): 3/2× mestrella< msol

La mestrella entre (a) i (b) (b): 2’5×mestrella≥ msol

Al augmentar el temps, (a) col·lapsarà en una estrella blanca morta. Depèn de la força d’atracció del sol i les estrelles. L’Univers recompensa les estrelles majors en detriment de les petites. La (b) es transformarà en un forat negre mentre que la del mig en una densa estrella o púlsar. y= x3 Aleshores, de negatiu a positiu podem entendre com : (cost total)3= nº béns produïts. Adostar-se a la perfecció dels referents i practicar en còpies. Al augmentar el coneixement, pots jugar amb més seguretat...cosa que no és tan perillosa com llençar-se al buit. El curiós de tot és que tant la fred com el calor cremen.

99

Comprar “bons de l’estat” i especular sense que siguin teus, amb els interessos que pots obtenir al vendre’ls. Jo no vull optar per a la crítica (ho he repetit mil vegades). El temps que “lays” dins meu m’impedeix assentar-me en un esglaó. No vull donar-me per vençut ja que deixaria d’estar viu. No s’augmenta la S (entropía) pel fet de caure en un forat negre sinó que ↑ el desordre degut a la dissolució de materia en unitats elementals (bits) que permeten noves fusions i així incrementar a ∞ les seqüències. Equival als escacs. Un Fit equival a un bit borrós, i mai pren valors radicals 0 o 1. Sabent que S= 0 quan 1+ 1= 2 0+ 0= 0 al 100%. 1+ 0= 1 Sabent que els codis per expressar probabilitat son: P= 1/n. On P∈ [0, 1]. Quan Pbits= 1 (és a dir que tots els termes sumen 0 meny un que val la unitat) aleshores S(P)= 0 [pi 0≥ i ∑

=

=n

iip

1

1].

Quan S(P)≠ 0 [i concretament S(P) màxim] el valor és igual a lnn es dóna quan tots els valors pi tenen el màxim de desordre: pi=1/n fins a pn=1/n. [on es pot deduïr que cap de les distribucions és més probable que l’altra]. Situem S(P)= ∑∑

==

=−n

i

n

iii nnpp

11

)ln()./1(ln. (Ω), i si la densitat

probabilística la representem per la integral: S(P)= ∫−

Rn

dxxpxp ).(ln).( “S(P)= lnn” ja que ∑=

=n

iin

1

1/1

Sense estats degenerats. Sabem que la S(P) o entropia, té a veure amb la varietat de les diferents possibilitats o casos:

100

Si suposem un cas senzill de 5 monedes i on C≡ cara i +≡ creu, veurem els diferents casos: C C C C C + C C C C + + C C C + + + C C + + + + C + + + + + I dins de cada cas trobem altres “subcasos”, per exemple la segona fila: C + C C C + C C C C C C + C C C C C + C C C C C + I així anant desglossant fins a obtenir: 1 2 3 4 5 6 1 5 10 10 5 1 N= ∑

=

n

iin

1

I definim W com el nº total de casos amb què ens podem trobar (recordem que, com he dit anteriorment, no tinc en compte els estats degenerats per exemple degut a les Energies Ei): W= N!/(n1!n2!n3!…) Mentre que si hi ha estats degenerats:

101

W= N!/∏

ii

ni ng i !/

I per arribar a la fórmula (Ω), traiem logaritmes de W i obtenim: LnW= lnN!- ln∏

iin != (NlnN-N)- ∑ ∑+

i iiii nnn ln.

∑

=

n

iin

1

!ln

Aproximació d’Stirling (lnN!= NlnN-N) Per a eliminar ∑

iii nn ln. passarem a derivar els dos costats de la

igualtat: [ ] ∑ ∑−−=i i

iiii nndndnWd ).(ln).(lnln ja que els demés termes

són constants i al derivar s’anul·len. ∑∑ ∑ ==

ii

iii

iiii dnndnnnnd )/1()(ln =0

I si ara introduïm estats degenerats a cada nivell, la probabilitat termodinàmica que descriu el nº de microestats que té un macroestat (W), veurem que !...).!./!( 21 nnNW = g1

n1g2n2g3

n3... La entropia pot ésser deguda tant a S(F) com a S(Fc) Fc= (1-f1,...,1-fn). Els complementaris de F F= (f1,…,fn) ∈ [0, 1]n on fi ∈ [0, 1]. Les unitats borroses On f1,...,fn ∈ al camp extès de X= (x1,..., xn) que representen unitats o vèrtexs se dimensió n (espai d’n dimensions). F és un subconjunt borrós de X, i Fc esdevé un conjunt borrós complementari.

102

Si volem calcular S(F) ens cal una referència, Fc i F poden representar la simetria dins l’espai 3-D. Aleshores usem S(F/Fc) Calculem S(F/Fc)- S(Fc/F) sabent que tal resta mai és 0; és la entropía mútua escalar borrosa. “Simplex” equival a un cub de dimensió 1 (unitari). n= 3: El major grau de borrosoitat de l’entropia es troba al centre. A vegades sota una premisa falsa, el govern intenta posar fre a internet pel fet que pot posar en perill l’indomable hegemonia dels que no es deixen veure; tal lluita pot desenvocar a una guerra de descobertes de “secrets d’estat” i altres prohibicions... Entre marejos i baixons, és com si tingués la meitat d’adult i volgués tenir un físic indestructible o portentós. Jugar al joc de la hipocresía i falsetat. Improvitzar no vol pas dir mentir sinó empalamar directament. Estic seriós fins a extrems insospitats (és que no vull equivocar-me mai) aleshores em silencio jo mateix.

103

No tinc perquè purgar tot allò que dic. Cal constancia, sinó en un “camp”, sí en altres facetes. Perdre la por a combinar un pensament amb un fet. La carnisseria d’anar verbalitzant exactament i empassar-se tot el temps entremig (amb les possibles persones que hi habiten) em porta a reflexionar sobre els dilemes següents:

a) explicació de l’orígen de la vida en caire científic o religiós. b) Dualitat ona-corpuscle. c) Variables ocultes o sinusoïdals. d) Càlcul integral per excés o per defecte. e) Fer un escombrat lent i cuidadós vs molts de ràpids.

ARITMÉTICA: RESSOLUCIÓ DE POLINOMIS I EQUACIONS DE MÉS DE 2 GRAUS: 1ER Ruffini: posarem un exemple: -3x3+ x- 2: -3 0 1 -2 -1 3 -3 2 -3 3 -2 -1× -3= 3 0+ 3= 3’ ara multipliquem altre cop “-1” però aquest cas per 3, obtenint-se -3. Llavors tornem a sumar 1+ -3= -2 Finalment -1× -2= +2 per a acabar sumant –2 i +2

104

Cal saber que així representarem el polinomi en factors menors: -3x3+ x- 2= (x+1) (-3x2+ 3x- 2). On veiem que el –1, en la representació factorial, està canviat se signe respecte al càlcul de Ruffini (♥) L’objectiu de Ruffini és descomposar polinomis en termes més senzills (factorització) i així poder aïllar les seves arrels; és a dir, si disposem d’un polinomi P(x)= x3 –9x2+26x-24

o P(x)= (1, -9, 26, -24). I el descomposem, obtenim P(x)= (x-3) (x-2) (x-4) Intentem tenir l’expressió més simple del polinomi: P(x)= (x+a) (x+b) (x+c)... o P(x)= (x+a)n (x+b)m (x+c)r...on n, m, r...són en nº de vegades que es repeteix tal factor. És més, els signes d’a, b, c…,tal i com hem vist a (♥), poden ésser + o - Una altra forma de factoritzar a la mínima expressió (o fins a la que es pugui) és dividir P(x) per un polinomi de menor grau [B(x)]: P(x)/ B(x) Se suposa que tothom sap dividir poinomis, així que represento directament P(x)/B(x)= Q(x) o: B(x)×Q(x)+ R= P(x) on R és el resto (nº enter). Altres dreceres per a factoritzar un polinomi són: (a+ b)2= (a+ b) (a+b)= a2+ 2ab+ b2. (a- b)2= (a- b) (a- b) (a2- b2)= (a+ b) (a- b)

105

Òbviamnet el grau de B(x) és ≤ P(x), i aleshores, si no hem reduït prou el polinomi, podem dividir-lo per un altre a fi d’aconseguir que el terme d’exponent major [per exemple, en aquest polinomi: 3x3- 4x+ 12, seria “3x3”] es vagi anul·lant fins on es pugui; Igual que passa amb les divisions entre nºs enters: 134/6= 22’33 i de resto 2 22’33/15= 1’48 i de resto 13 aleshores: (22’33 ×6)+ 2= 134 i (1’48×15)+13= 22’33 Llavors substituïm i ja tenim una factorització feta Ara afluixaré una mica fent una reflexió: Tothom pot opinar lliurement; si t’ho prens seriosament o no depèn de cadascú. Tinc una visió del que és la perfecció sumat al meu instint de fer les coses exactes com a bon científic. Per amagar-me i evitar el terrabastall i la salvatjada que m’esperen fora del ci de casa. Abans se casaven entre familia, aleshores els naixememnts tenien un alt percentatge de malalties mentals o congènites // no es coneixien les incompatibilitats entre gens o duplicació errònies de cromosomes. Quan ets pacient i a la vegada docent, estàs en un punt d’equilibri que no permet sentir massa el colpeig del vent a al cara i la natura sinó que l’estudi de l’home i les relacions humanes ja em treu prou força; és una postura interna i integrada a la societat. Vulgarment es podria definir com a: veig persones i la massificació i no tot el conjunt o la perspectiva.

106

Ara ja estem en condicions d’assaltar la TEORIA DE GRUPS per al possible càlcul d’arrels quíntiques: Una equació de p arrels, tindrà p lleis algebràiques; el nº de subgrups també serà p. En n=3, n!=6; té 6 variacions i 3 subgrups dins del grup (tenint en compte que les incògnites són 3); la taula de combinacions constarà de 6×6= 36 elements. Un altre cas és n=4; n!=24 i la taula de combinacions serà de 24×24 elements. Per lògica, els subgrups han de ser també divisibles per 36, 576... Els subgrups (igual que el grup principal), també és un “conjunt tancat” i amb vida pròpia en el sentit que al operar entre elements de la seva propietat donen sempre elements d’ell mateix. Així, ens trobem amb: 24 nº’s 6 nº’s 24 nº’s 6 nº’s 120 nº’s 120 nº’s

107

Per exemple, en el cas de 6: abc, acb, bac, bca, cab, cba, l’operador és: a b c a b c a b c a b c b a c a c b c b a c a b a b c a b c b c a a b c aleshores: I U V P Q R I U V P Q R Es van combinant entre ells i donen sempre elements del mateix grup, i on I és la identitat Tenim 1 subgrup de tres elements i 1 d’un element (a més del de 6 elements), és a dir que sumen 3; és comparable a un sistema d’equacions: si hi ha 3 incògnites hi haurà d’haver 3 “lleis algebràiques”. En el cas de n=5: 120 120 per tant, el nº d’equacions algebràiques equival al nº d’arrels, i aquest equivaldrà al mateix nº de subgrups.

108

El “tamany” dels blocs ha d’ésser sempre de la mateixa dimensió: Ex: 6 24 120 3 3 12 12 … ? (2 blocs) (2 blocs) 120 en canvi, si 120 60 60 40 40 40 (arrel cúbica) 20 20 (arrel quadrada) 10 10 (arrel quadrada) 5 5 ? i no hi ha més possibilitats, aleshores no és vàlid. exemple de n=3: 6 3 3 1 1 1 Si al ramificar-se tornen a aparèixer arrels 5enes, o no podem anar reduïnt arrels, vol dir que el grup d’n! permutacions no té solució.

109

Cada nova ramificació implica subgrups normals En la teoria de grups, per resoldre polinomis de grau≥ 2, solem dividir el nº de combinacions (factorial n!) en un nº divisible per ell i així obtenir un subgrup [ex:n=4 n!=24 12 i 12]. Segons GALOIS: n=4, n!=24 24

12 12 Si 24×24=576, ho dividim per 2 Si optem per a i obtenim 288, que són 144×2. ramificar-ho per 8, Així deduïm que l’arrel és tindrem arrel cúbica: quadrada. 576 dividit per 3=192, que és 8×8=64 (192/64=3). 4 4 4 on 144/3=48. Si ara dividim 48 per 16 obtindrem 3 (que vol dir arrel cúbica). continuant: 4 2 2 que pels mateixos procediments podem deduïr com a arrel cuadrada. i finalment: 2 1 1

110

Em faig un “lio” monumental amb l’anhel, els somnis que persegueixo, la sensació d’autodestrucció, el bon caràcter o la mala baba...i que són instints que em condueixen... Fumo com a activitat que m’ajuda a no perdre els nervis...si fumo no faig les coses que me toquen ime dóno per complet al “bollo”. No tinc maneres d’evitar-ho i escapar-me’n. Què pretenc decidir entre frescor o avantmà!?!! Intentar no cansar. Quan vénen mal dades cal estar en “carma” i intentar matenir lacompostura de cares enfora (només ho saps fins que t’hi trobes). Lligar caps i explicar profundament a veure qui m’agafa i em condueix cap al bé. Quan somio en la química em cau el món a sobre (no és l’únic que m’agrada).

111

CAPÍTOL 11: ARRELS QUADRADES+ FUNCIONS D’ONA+ TARTÀGLIA+ “CURIOSITATS A L’ATZAR”.

112

113

I ara aprofito l’avinentesa per a insertar un altre estudi: el que fa referència al Nº DE VEGADES QUE UN COTXE “X” POT TENIR UN ACCIDENT en un tamany de mostra de, per exemple, 100 cotxes com a mínim: Depenent de com surt la gràfica cotxe “X” vs. tn sense accident, on n ∈ (1, 100) Mostra de a) any de fabricació 100 cotxes b) material de què està fet c) cubicatge d) nº d’accidents soferts fins al període d’anàlisi t e) l’asfalt per on circula f) les rodes g) el temps metereològic. ... usant el cotxe “X” (on x1= Opel astra, x2= Seat ibiza, x3= VW polo, x4= Peugeot 205, etc fins xm // suposant xi, on i ∈ (1, m)): (ti) 20 40 60 80 100 nº cotxes “x1 o x2 o x3,…”. si ara introduïm factors que facin variar el resultat [ti= f(nº cotxe)], la gràfica pot anar fluctuant i retorçar-se o es pot anar curvant. És a dir que cada model té un ti concret i uns punts propis a la gràfica.

114

tn=∑

=

n

ii nt

1

/

ti (tnº) . . . . . . etc 10 50 100 nº cotxes d’un model concret xi

L’skyline de tal gràfica ens dóna una idea de l’evolució que sofreixen tenint en compte que podem visualitzar a cada grafic un dels factors (a), ..., (g)...etc. Així podriem fer una gràfica tridimensional: ti

x1 nº cotxes d’un x2 model concret “xi”. xi

xm

i com he dit, cada “screen” conté una variable de (a),…,(g)…

115

CURIOSITATS A LA CARTA: b a paret parafangs Al augmentar la densitat, tan del parafangs com de la paret, la resposta de la força a o b retorna amb més velocitat o menys. Si la paret té densitat baixa, o espumosa, tota la força que i apliques se’t retorna. A vegades tinc la impressió que forço a la gent amb la meva ment i els indueixo //sempre serà un misteri (pot deure’s al fet psicosomàtic o a lka capacitat que tenen alguns de fer baixar de la parra a qui està penjat. Coses superades impliquen desconeixement del que pot venir després (≡ canvis d’espai). Intentar dominar el cervell o la ment vs deixar-la funcionar passant d’ella. Crec que la ment és única i universal i cada tipus de persona la toca de diverses formes. A vegades sento males vibracions (no només dins el meu cervell sinó per part de gent oposada a mi. Jo puc aïllar-me’n recollint-me dins meu). A vegades tinc la sensació de dir: això ja ho conec. Les regles ja establertes o “tòpics coneguts” no són més que connexions per a agilitzar la recerca. Tals topics apareixen expontàniament pel “boca- boca” de la gent: un ho diu i l’altre ho repeteix davant un altre escenari i així es va disseminant.

116

El problema de l’absorció d’informació. Segons els abultaments, depressions o regles, veiem què interessa a l’individu L’híbrid és una opció, però no es pot generar cap innovació si inconscientment o posem estructures o límits // el primer model sempre és humà mentre que la intel·ligènia artificial va darrere. És un cas particular del que entenem com a respecte a la terra i la qualitat que hauriem de posseïr la majoria de persones del món de respectar i conservar la natura sense cap prejudici de superioritat respecte a cap ésser viu. Això és difícil ja que l’home té “mala baba” i projecta envers “l’exterior” el seu instint de destrucció. Qui prefereix autodestruïr-se és que atesora una visió correcte de l’assumpte i està trist davant el panorama. Podria ésser que tals individus reneguen de la seva condició humana. Si ens hi fixem, hi ha molts recursos per a viure en harmonia o pau espiritual La norma sembla atacar qui pensa per sí mateix. Com més s’incrementa una necessitat més interessos creats en deriven [↑ la fama i el mite]. Potser s’arribarà a pagar amb béns electrònics. Els valors de les divises canvia segons la importància que cada entitat els hi dóna // el mercat privat pot donar peu a una fórmula innovadora que estabilitzi el preu de les divises i posi pautes fixes i eviti inflar-les. Tot plegat és una guerra sense armes. Òbviamen la pressió que suporta una ment sensible i culta és afrontar el bombardeig diari que porta a l’assimilació de coses noves+ cuidar-se+ protegir-se. Una visió borrosa≡ xip gradual. Es pretén codificar en bits el cervell humà i sempre que hi hagi genis o artistes creadors de coses noves, mai si Déu vol, s’hi arribarà.

117

Amb la implantació d’un xip podrem continuar disfrutant de la posta de sol o influïr en la metereologia...?. L’única ventatge és que no gastariem tantes energies en posar en ordre les coses. ARRELS QUADRADES: radical radicat 7 mentre que el resultat és l’arrel posem per exemple el nº: 5836’369 Separar des del decimal cap a l’esquerra i cap a la dreta; afegir zero a la dreta si la distribució és imparell, mentre que cap a l’esquerra no: 58, 36’ 36,90 x2= el que més s’acosti a 58 per sota; x= 7. Ara situar 49 per sota del 58,36’36,90 i fer la resta: 58- 49= 9. Ara multiplicar 7× 2→ 14 // ara baixar el 36 58,36... -49 i atenció que seguidament separo el 936 en dos parts sempre deixant sol l’últim dígit

936 [per exemple, un nº qualsevol: el 6578, se separaria en 657,8, o el 763 en 76,3…].

118

Ara dividim el nº que ha quedat de la separació (93) entre el 14 anterior i obtenim 6; aquest és el segon dígit,després del 7 que conformarà el resultat de l’arrel quadrada.

Ara agafem el 14 , li afegim 6 i el multipliquem pel 6; dóna 876 [146×6= 876], que el restarem al 936 i, com podem comprobar, es repeteix la mateixa història: ’3690 936 Ara aplicarem el mateix mecanisme que abans: -876 multiplicar per dos l’arrel incipient (en aquest cas 76. Dóna 152. 6036 Ara dividirem el 603 (que ha quedat de la separació de dígits) entre 152 i obtenim 3, que serà el tercer dígit de l’arrel: 763. Ara agafem l’152 i li afegim un 3 a la dreta i el multlipliquem per 3, donant 1523×3= 4569. ,90 6036 ara dividirem 1467 pel producte entre 763 i -4569 dos, obtenint 1526. 14679 Finalment dividim la fracció 1467/ 1526≈ 0’9 Atenció que el zero abans del 9 és auxiliar i en cas de decimals es pren el primer nº que no sigui zero: en aquest cas 9. Atenció que ja tenim l’arrel: 76’39.

119

SISTEMA DE QUATERNIONS DE HAMILTON: Les 4 dimensions en nº’s complexes: No compleixen la llei commutativa, aleshores són un grup però no abalià: a.b≠ b.a Existeixen infinites solucions d’arrels quadrades 1− en els quaternions. Se representen: i (a,b) i en vectors seria (a+ bi) -i (a,-b) i el seu conjugat: (a- bi) part part real inaginària Sabent que cba !!!

+= : b

! a!

c!

120

En canvi, en 3 o 4 dimensions: P= a+ bi+ cj+ dk i p*=a- bi- cj- dk i on cada j és una nova arrel de –1, diferent de i i -i a j u= a+ bi v=c+ identifiacció. a, b, c, d defineixen un sol quaternió. També, enlloc de usar 360º n’usem 720º!! A cada coordenada i! li correspòn una de j! de forma aritmètica i com que no podem representar-ho d’altra manera, seran enlloc de 360º en 2 dimensions, 720º en 3 dimensions: Sabent que segons Pitàgores, però en 3-D, el mòdul de r! se substitueix pel de x! .

121

Si en 3-D 2222 jcibax

!!!++=

I en 4-D 22222 kdjcibaz!!!!!

+++= I en 2-D: r b a Tant i! com j! com k

! es troben en la mateixa situació, aleshores

podem suposar que 1222 −=== kji!!! .

també és curiós que operar 2 vectors diferents de zero i dónin zero!!: a×b= 0 (a1, a2, a3)×(b1, b2, b3) Exemple: (a1, a2)+ (-a1,-a2)= (0,0) Els elements de cada grup o subgrup, operats entre ells, donen elements del mateix grup o subgrup: per exemple quan fem el producte vectorial: i×j= k, j×k= i, k×i= j, j×i= -k, k×j= -i, i×k= -j. És més: i2= j2= k2= ijk= -1. Si x2+ 9= 0, x2= -9; aleshores: ix 31.99 =−=−= i2= 1)1).(1(1.1 =−−=−− Finalment apuntaré que (x1, y1)+ (x2, y2)= (x1+x2, y1+y2)

122

REPRESENTACIÓ DELS Nº’S COMPLEXES. Tot nº complex pot representar-se com a: i A(a, b) a=rCosφ I b=rSinφ b r φ a I a+ bi= r(Cosφ+iSinφ) La demostració que eα+βi=eα(Cosβ+iSinβ) és quan usem sèries de Taylor i McLaurin (éssent aquest últim el cas particular de Taylor de quan x=0): Sinx= x-(x3/3!)+ (x5/5!)-(x7/7!)+... Cosx= 1-(x2/2!)+ (x4/4!)- (x6/6!)+... Si y= e(α+iβ)r y= eαr. eiβr. y’= e(α+iβ)(Cosφ+iSinφ) segons McLaurin y= eib.(Cosφ+iSinφ) I en sèries de Taylor: eiy= 1+ (iy/1)-(y2/2!)+ (iy3/3!)+ (y4/4!)+ (iy5/5!)- (y6(6!)... i ara tindrem en compte tot aquest parament per estudiar les FUCIONS D’ONA:

123

Els orbitals s tenen un valor de probabilitat ≠ 0 al nucli. 1s 2s Ψ2 Ψ2 Ψ∝e-x Ψ∝ (a-x)e-bx

2p 3s Ψ2 Ψ2 Ψ∝axe-bx Ψ∝ (polinomi d’x)e-bx

3p 3d Ψ2 Ψ2 Ψ∝ (polinomi d’x)e-bx Ψ∝ax2e-bx

124

Quan a la part angular: z z En 2-D En 2-D: Ψ Ψ2 + + x x - - representa pz Ψ=Ctnt.Cosθ en px i py igual. SOBRE LA CONFERÈNCIA DE RAMON CARBÓ A GIRONA; TEMA: XARXES NEURONALS I INTEL·LIGÈNCIA ARTIFICIAL: Les xarxes neuronals també han notat la crisi! Per tant no hi ha tanta euforia com seria d’esperar. La simulació artificial de processos cerebrals A través de la simapsi es transmeten missatges. 1014 sinapsis!!! Malgrat tot, la velocitat del computador>>>velocitat sinapsi!! M’imagino que em poden dir: què hi fas aquí!, o també ésser objecte de servilisme i sumissió!! M’enfonsa i no em permet aflorar (a mi m’enerva). Tolerancia a l’error

125

Simulació d’aprenentatge. L’ordenador es canvia i reforma tal i com fa el cervell. Amb experiència les connexions són modificables. Hi ha una interconnexió entre neurones. Eines matemàtiques que representen les xarxes neuronals. La capacitat d’un cervell artificial pe a escollir o prendre decisions. La capacitat d’un cervell artificial pe a escollir o prendre decisions. Sofrir amb moderació, ja que si no se’t rifen. Veure allò que puc aconseguir i allò que no; són injeccions d’optimisme. TRIANGLE DE TRATÀGLIA: Per a calcular la potencia d’un binomi: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 etc (x+y)0= 1 (x+y)1= x+y (x+y)2= x2+ 2xy+ y2 (x+y)3= x3+ 3x2y+3y2x+ y3 (x+y)4= x4+4x3y+ 6x2y2+4xy3+y4 etc (a+b)n=t0an+ t1an-1b+ t2an-2b2+…+ tnbn

126

1 1 1

0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 Etc

127

CAPÍTOL 12: DILUCIDACIÓ D’EQUACIONS “POLIEXPONENCIALS” + TENSIONS.

128

129

Ara em centraré en com resoldre equacions amb ARRELS CÚBIQUES, QUÀRTIQUES QUÍNTIQUES... Tinc el següent esquema (χ):

2/13 2 xxx ≡ 3/14 3 2 xxxx ≡

4/15 4 3 2 xxxxx ≡ 5/16 5 4 3 2 xxxxxx ≡

o: 4/1xx = 8/1xx = etc i en el cas de l’arrel setena, el resultat és 291/1680≈ 1/5´8 i en la vuitena: 1971/13480≈ 1/6’8 etc... a més, qualsevol radical pot expressar-se com a fusió de molts radicals de menor grau. També puc analitzar-ho d’una alta manera (ρ): 2 22 xx dóna com a exponent 5/4≈ 1 2 2 233 xxx dóna com a exponent 17/8≈ 2

2 2 2 2234 xxxx dóna com a exponent 49/16≈ 3

2 2 2 2 22345 xxxxx dóna com a exponent 129/32≈ 4’3

2 2 2 2 2 223456 xxxxxx dóna com a exponent 331/64≈ 5’1 i en el cas d’una arrel vuitena, dóna 779/128≈ 6’01. Com abans (χ), podem destacar que la combinació de n mx dóna com a resultat xp, on p és lo suficientment petit com per a calcular-lo directament. Representació de un radical en altres de més fàcil obtenció

130

Com podem deduïr, el grau de l’arrel ens diu el nº de solucions de l’equació. Veiem que una equació quàrtica com ara x4= 2, dóna quatre arrels: 4 )2(− 4 2 4 2− 4 )2(−− i la seva representació en l’eix de coordenades varia segons el nº d’arrels reals o imaginàries amb què ens trobem: b i a x sien l’exemple x4=2 ens trobem amb 2 arrels reals i 2 arrels imaginaries, la representació és: i x ,que s’entén perfectament. mentre que si 4/15 4 xxx = i 5/16 5 xxx = 6 56 56 56 56 5 )(,)()(,)()(,,)( xxxxxxxxxx −−−−−−−−− cosa que pot analitzar-se: 5 arrels independents del valor d’x [que pot ésser 2]. Serien arrels cinquenes de dos i dónen 4 resultats imaginaris i 1 de real; això pot comprobar-se sabent

131

també que 1 elevat a qualsevol xifra o nº dóna 1, i -1 elevat a qualsevol xifra o nº parell dóna +1 (i elevat a qualsevol xifra imparell dóna –1). Exemple: -x1→-x i (-x)1/5→ (-1)1/5.x1/5

-x2→ x -x3→ -x -x4→ x 5 )1)(1)(1)(1)(1( −−−−− -x5→ -x etc (-1) imaginari l’única arrel real real 3/14 3 xxx =

132

y P(x,y) r C(a,b) i (x-a)2+(y-b)2=r2 x On Sinθ=h/r Cosθ=x/r r 60º h θ x x2+h2=r2 Sin2θ+ Cos2θ=1 Tensió: la tensió de les cordes en la teoria de cordes. Ara introduiré una fórmula que relaciona la longitud d’ona amb la tensió: y 1 Sinx Cosx 0 90º 180º x

133

y x1

x2 x3

F 0 x y= U.Sinα y1 y3 y2 y1=x1 E A D B x= U.Cosα C y αc=90º αb αa

O x A B C On hem substituït la distància per l’angle Sabent que Cos α= Sin(α+ π/2), perquè: “α” en graus

0 30 45 60 90

Sinx 0 1/2 2/2 2/3 1 Cosx 1 2/3 2/2 1/2 0

134

Suposem que el Cosα és una representació d’una cadena agafada pels dos extrems, 0 i F. Una de les fórmules és: α×U=l [La longitud l és representada a la fig. 82]; també x2+y2= U2; D’altra banda trobem proporcionalitat entre T (tensió), P (pes) i la longitud l. concordarem que U= ctnt. per cada dibuix de la catenària; a més, correspòn a la long. de la catenària entre el punt en anàlisi (0. A, B, C) i el punt més baix (C) . D’altra banda, P0∝ longitud 0- 0 baix PA∝ longitud 0- A PB∝ longitud 0- B PC∝ longitud 0- C, PC≡ T De manera que quan la longitud baixa, la tensió augmenta Llavors la tensió T a 0 és máxima: T0 alt TA< T0

TB< TA TC és mínima: TC baix (< TB) Fig. 82: 0 lA lB lC

A B C

135

Al ↑ la tensió més difícil és fer-la vibrar. (figura 82) Fig. 82 (b): referent a la tensió: T1> T2 y T2 T1

x

λ/2 On y= Sinx, i segons l’anterior tractament, existeix una força que s’ha de tenir en compte: la tensió. y= T. Sin[n(λ/2). 1/T)]. On n oscil·la entre [0, 1]. Pensar en el futur i trobar noves motivacions (altrament dit estar al dia). Al igual que cal escalfament previ a una activitat física...també cal entrar en el món de la ciència per a saber entendre els seus “camins”...

136

137

CAPÍTOL 13: ÀLGEBRA DE LIE+ SUPERSIMETRIA+ TREMES…

138

139

EQUACIÓ DE LIOUVILLE- VON NEWMANN: Ja he passat els moments critics I, per fi, ara toca el “traç planer”. Em situo en altres esferes, ja que passar d’estudiar a treballar és un obstacle fort; si el superes ja has fet un pas endavant. La corda fluixa és no treballar de la formació amb què has estat preparat. He après a contenir-me i a restar recte com un ciri davant les adversitats (així sempre estic i estaré atent al que pugui passar). 09/12/10. Sé discernir entre el que està bé i el que no. Gent que ha tingut la vida difícil i se n’ha sortit són d’admirar. Amb el cor a la mà. Si algú és ric en un aspecte formatiu, lo lògic és creure el que diu sobre el seu tema. No voldria causar mal i perdre una amistat després de tants anys; els meus problemes són intercanviables per amor que destino als meus éssers estimats. Ningú em salva, aleshores necessito i sóc dependent i tinc confiança en qui em vol bé (que no són gaires). Seriosament crec que tinc coneixements i haig de tenir un entorn favorable per a donar el millor de mi. L’equació de Liouville- Von Newmann s’aplica a ρ (probabilitat; més semblant a l’estadística i el caos, mentre que amb Schrödinger s’aplica la funció d’ona singular Ψ). Així podem entendre que Ψ.Ψcc, on Ψcc és el complexe conjugat de Ψ. Sabem que ρρ ./ Lt =∂∂ , mentre que ĤΨ=E.Ψ.

140

)().()(.)( 000

)( 0 tttUtet ttiH Ψ−=Ψ=Ψ −−

i ho assimilem a que, mentre que ∫ ΨΨ τdH ..ˆ. és cert, ∫ ΨΨ τdH )..(ˆ no ho és. És més: ).(.)0(.)( . oUet t

tiL ρρρ == − Bellesa i intel·ligència, van junts? No és un estat d’allò més imprescindible, però voldria més idees i ésser menys pressumptós quan a bon aspecte. Em costa molt assumir les meves limitacions ja que m’agraden els reptes. GRUPS I ÀLGEBRA DE LIE: L’àlgebra de Lie inclou una sèrie de transformacions infinitessimals (pròximes a la identitat que en teoria de grups és la operació que et deixa el sistema igual que abans) Prenem n com a dimensió Tenim una sèrie d’elements que formen un grup (en aquest cas els elements són arrels d’una equació de més de segon grau), que són infinits, l’operació dels quals és una rotació; s’anomenen SO, sigles que venen de Sistema Ortogonal. Són infinits perquè dónen la volta de 360º (i com podem deduïr hi ha infinites “posicions”): Tenim SO(2n), SO(2n+1), SU(n) Com veiem, ens movem representa el mateix que les SO’s tant en dimensions parells però en espai de nº’s complexes. com senars També de posicions infinites. S’anomena grup Unitari Epecial.

141

En lineals (n=1) també existeix Àlgebra de Lie. És més, quan ens referim a reflexió i no a rotació, passem a parlar de O(1) i O(2): tangent al cercle També hi podem incloure Sp(2n), que fa referència a les variables posició- moment, sempre conectadse entre elles (òbviament sempre estarem en 2-D). S’anomenen grups simplèctics. Mentre que 3, 5, 9, 17...(exponents de 2 més la unitat) dóna geometries amb costats naturals, els altres (per exemple un heptàgon), no es poden representar. Els matemàtics sempre busquen nous reptes i noves preguntes, multiplicant-se elles com una serp de dòmino. Mostrar la meva faceta real i no deixar-me trepitjar (perquè moldejar el meu ésser en funció dels altres?). Guardar recollit el meu cervell i càlculs interns a fi de no perdre el vaivé de la vida. Des de jove que he anat generant informació dins el meu comportament (i a la llum esdevé novetat i creació).

142

Hi ha una excepció: G2, que és finit i es pot assimilar a una construcció d’un calidoscopi; és 17- dimensions (o el que és el mateix 17- cares). Mentre que un grup de Lie: matrius que es multipliquen entre elles, álgebra de Lie: espai vectorial que descriu transformacions infinitessimals; un exemple pot ésser el de les representacins matricials de funcions d’ona (vegeu Cap.3) on, a partir del grup D4h usem l’operador de simetria 1

4C : y y 90º i i x x py= px px= -py aleshores: 0 1 px = px’ -1 0 py py’

qualsevol operació de simetria obté el mateix element però en un altre ordre. Hi ha un modus o interés en escriure o en aprofundir en uns estudis o tesis o línies d’investigació. Què és el que costa més? mantenir-se en una proposta o saber quan tens espai per a esplaiar-te a gust fins que no torna un altre moment crític on t’has de definir de nou: malgrat tot, tots aquests moments són diferents i de diferent color (encara que sembli que la història es repeteixi).

143

Les combinacions dels elements del grup SO(2n), SO(2n+1) o SU(n), al rotar poden desenvocar entre sí [com ara SU(3) pot rotar un p+ a un neutró o SU(2) rotar un e- en un neutrí]. També existeix U(1): la radiació electromagnètica hi pertany: Aprofitant l’avinentesa, diré que a vegades s’ha considerada la radiació electromagnètica com una dimensió nova (orienta i representa una tendència). Més sobre l’àlgebra de Lie: Compleixen la propietat commutativa: si =0 L[x,y]f= Lx(Lyf)- Ly(Lxf) si ≠0 on L és el moment angular: vmrprL !!!!!

.×=×= (en un partícula) ∑=

iiLL!! (en un conjunt de partícules)

v! m θ L=m.r.v.Sinθ r! L=p.r.Sinθ= p.l l O

144

CAMP DE DIRAC: Com descriure el moviment o l’essència de l’electró o partícula elemental en el mar de Dirac; està basat en la Energia de la partícula i com a conseqüència en la ubicació d’ella (recordem Pauli). Les diferents vibracions i estats energètics intervenen per a canviar la, fins llavors compacte, estructura simètrica. En l’espectre entre la molécula, o els àtoms en particular que la composen, s’emeten línies espectrals; se produeixen línies múltiples i diferents estats energètics (transicions... recordem la TOM) Diferents cares propiciades per la simetria de la molécula (octaedres, cubs, tetraedres...). Sota l’efecte d’un camp magnètic ( B

!), se trenca la simetria,

aleshores se disgreguen. El Mar de Dirac és un mar d’electrons que descriuen el buit. En aquest camp de Dirac, al descriure el Hamiltonià en base a una Ψ(x) i temps, passem a adoptar Ĥ com a descriptor de la Ecinètica:

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

1

2

2ˆ

j

jm

pH ignorant l’spin.

i: ttxitxH ∂Ψ∂=Ψ /),(.),(.ˆ ! Espais buits o forats de Dirac: els estats d’energia estan plens però de forma incomplerta. Hi ha espais buits (forats). Aquest forat té Energia +, ja que cal incidir-hi Energia per a crear aquest

145

parell “partícula- forat”. El mar de Dirac conté càrrega energética positiva i càrrega energètica negativa de manera que es neutralitzen. Així és com els positrons adquireixen sentit. La equació de Dirac: ttxitxcpcm

jjj ∂Ψ∂=Ψ+∑

=

/),(),().....(3

1

20 !αα

∑=

+=3

1

222 ).().(j

j cpcmE on E és igual tant la component cinètica

com la relacionada amb la “massa- moment”. Espinor: funció d’ona ≈ vector que canvia de signe quan es rota 2π. SUPERSIMETRIA: Té a veure amb: comunicació entre fermions i bosons [si es mesclen per a obtenir altres partícules de la família], i també cal tenir present que cada partícula té la seva antipartícula. És a dir que els fermions tenen la particularitat de tenir spin fraccionari mentre que els bosons el tenen enter. També, els fermions, obeeixen el Principi de Pauli, mentre que els bosons volen o tendeixen a reunir-se en una mateixa posició (com les mosques a la mel). S’ha apuntat també que la matèria està formada per fermions i les forçes nuclears feble i forta (que veurem més avall) tenen a veure amb bosons. Igual que hi ha partícules i les seves antagòniques, cada una té la seva supersimètrica. Les interaccions fermions- bosons i viceversa≡ desplaçament a través de l’espai- temps.

146

Trobar relació entre una teoria o un càlcul complexe modern i preveure cap endarrera d’on prové en origen clàssic FORÇA NUCLEAR FORTA: Força referent a un nivell de partícules elementals. Manté units eles protons del nucli i ha d’ésser molt forta. Supera la repulsió eléctrica. És de curt alcanç FORÇA NUCLEAR DÈBIL: Encara és de més curt alcanç que la forta. Explica com els elements escupen partícules I es transformen uns en altres. Acàs, en termes generals, perds facultats amb l’edat? Tinc la sensació que estic en un moment dolç i he acoblat el benestar amb el meu temps (mai m’havia sentit tan ple com ara). La llum esdevé o pot esdevenir una dimensió extra; la gravetat fa curvar la llum. Juntament amb l’espai- temps, esdevé un univers pentagonal. ALTRES DEFINICIONS: Nº Algebràic: nº que es pot definir a partir d’operacions d’àlgebra: suma, resta, multiplicació, divisió, arrel, exponencial... ≠ trascendent que no és finit.

147

Nº’s primers de Fermat: si les solucions o arrels del polinomi sumen nº primer (excepte 7, 11, 13, 19, 23, 29...), s’expressa com a 1+2n Llavors deduïm que el nº primer 17 sí que és construïble. Abarcar molt no és lògic. És una obsessió de superar exàmens cada dia!! 1er: no molestar 2on:estem tots ( al menys jo) una mica tocats de l’ala. No sé fins a quin punt haig de millorar!!! Em fa por. Gaudir d’un bona xarxa de seguretat fa perdre la gràcia. Aguantar amb serietat o fer broma? Tinc massa ingredients d’allò primer que pas de lo segon.

148

DIOXINES: O (furans) O Sovint halogenats de la forma: Cl O Cl Cl O Cl Són bioacumulatius degut a les seves propietats lipofíliques. Produïdes per combustió de matèria orgánica, plaguicides organoclorats, fabricació de paper, incineració de residus, ús de combustibles fóssils... Gairebé impossibles de reciclar ja que són poc reactives (tant al metabolisme com al sòl). Toxicitat a llarg plaç. Alguns PCB’s són “dioxin-like and have similar properties”:

149

Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl Dioxins també formades per focs forestalls i activitat volcànica. PCB’s: s’usen com a dielèctrics i refrigerants en transformadors. RECTES I PLANS OBLICUS: no sí ≠ 90º no 90º sí ≠ 90º 90º

150

Ara ve un exercici de reflexió: Sabem que una successió de nº’s primers no s’ha trobat encara, però ens hi hem acostat tant com hem pogut: Hem deduït dues expressions, a saber: 4k+1= a2+ b2 on a i b són nº’s enters; l’altre expressió, 4k+3, fa referència a una altra expressió de nº’s primers, i el quit de la qüestió és que qualsevol nº que surti de 4k+1 (per exemple 45) es pot descomposar factorialment en nº’s primers on al menys un d’ells estigui elevat al quadrat (32 ×5); aquí el 5 és 4k+1 on k=1. On la norma de (x+ yi): 22)).(()( yxyixyixyix +=−+=+ PERIHELI DE MERCURI: 1er: dóna peu a la Teoria General de la Relativitat. 2on: Mercuri és el planeta més proper al Sol 3er: és un planeta més petit que la terra. 4rt: va contraposat amb la llei de la gravetat de Newton com a norma general de descriure l’astrologia. Perhieli: punt més proper en la seva òrbita al voltant del sol. Eclíptica: pla geomètric que conté l’òrbita de la terra equador angle conegut com a oblicuïtat de l’eclíptica pla eclíptica Eclipsi: pot produïr-se quan la lluna creua l’eclíptica (nodes).

151

DESIGUALTAT TRIANGULAR: Sabent que: 222 cbav ++=

! on ),,( cbav =! Tenim una sèrie de propietats: wvwv !!!!

+≤+ (Ω) 222 wvwv !!!!

+=+ (Ξ) Podem, també, descriure: wvwv !!!! .≤+ (Π) Pel teorema de Pitàgores trobem (Ξ), mentre que quan v! i w! no són perpendiculars: wvwvbabawv !!!!!! .2)()( 222

222

112

++=+++=+ D’altra banda, 332211 .... bababawv ++=

!! on ),,( 321 aaav =! i ),,( 321 bbbw =! .

B A+B w! O v!

A I la demostració de la desigualat: wvwvbababa !!!! .2)()()( 222

332

222

11 ++≤+++++ que, simplificant, queda així:

wvbababa !! .... 332211 ≤++

152

“Trenes associades”: poden assimilar-se a una teoria de grups. En la mesura que combinem les posicions de les trenes obtenim una figura o una foto (tot pertanyent al mateix grup). Més enllà podem pronosticar que són trajectòries dels electrons:

153

Allò més representatiu dels llaços és que poden vibrar, apareixent dobles: a b on On la partícula i la seva antípode (a i b) poden representar el 50% de probabilitat de que estiguin a un lloc o l’altre

154

155

CAPÍTOL 14: FLUXES, GAUSS, RIEMANN I D’ALTRES.

156

157

PRIMERES VISLUMBRACIONS: Com més lligadures tenim amb el món menys podem alliberar-nos; per contra, estem assegurats de per vida al que pugui passar o a accidents imprevisibles. Quan apareix el caos en el model matemàtic (que explica fenòmens i les aplica de forma útil a la comprensió del món real...llavors ja tenim l’embrió a dins. Tot un mecanisme predeterminat o un caos absolut?!. Podem treure’ns de la màniga el concepte de “caos determinista”. Avui en dia es tendeix a resumir... 28/01/11. Feines manuals // quan estic atabalat i no sé com fer-ho per a sortir de la crisi que ens afecta en moltes facetes de la nostra vida (fins i tot en la intimitat), millor veure que hi ha alguna sortida elegant i optimista. Només quan, materialment, tot està acabat és quan la gent passa a tendir a la felicitat interior com a succedani. És un bon començament per a finiquitar tal societat de consum i altres barbaritats; l’home no és només un nº. Sempre hi ha coses per a descobrir (no caure en la monotonia).

158

Pendents i àrees: Periòdicament crec que tot l’estudi que estic efectuant només serveix perquè me’l rebatin. Depriment. GAUSS f(t)= v vi

v2

v1

xi xi’ xm xi’’ t1-t2 ti t la Llei de l’error: xi- xm mitjana acceleració×t=v xi’ v=f(t) xi’’ ∫ = àreadttf ).( ... mentre que, en espai/t, la pendent serà la velocitat: espai temps

159

Altres conceptes extrets de la “física moderna” quasi futurista: Ordre bé Caos mal Acàs l’ordre ve a partir del caos o al revés? 29/01/11. Si se crea algo...no és per a ésser qüestionat inmediatament i per norma, sinó (al menys en la intimitat) contribuïr en l’avenç de la ciència. Iterar: partir per exemple d’una població de la que volem mesurar l’alçada dels descendents; dividir per “grups” socials, families, edat, raça... Un sol cos és continu, mentre que si el disgreguem en dos més, la diferencia el fa discontinu i separat per forçes:

160

Expressant lleis naturals en forma d’equacions (o expressions algebràiques) veiem que, al iterar, es produeïxen convergències o caos. Centre de gravetat o Centre de masses són dos sistemes de referència pels que ens movem. És més: P=m×gravetat ens diu que si deixem caure un objecte des d’una torre, és un error pensar que com més massa té, més acceleració agafa, ja que )( óacceleracifm ≠ . Interseccions de la trajectòria d’un planeta o objecte en un pla. Pot interpretar-se com un autobús de ciutat que passa pel mateix lloc però usant diferents camins o trajectòries.

161

ENERGIES: Angle α l -A A x angle α període=T= gl /2π ω=φ/t= lg / x=A.Cos(ωt) Emax

Ecinètica

Epotencial

-x x v Ecin

x Epot

162

GRAUS DE LLIBERTAT I COORDENADES: En una bicicleta hi ha diferents graus de llibertat (suposem-ne 5: manilla, roda davantera, 2 pedals i eix cadena roda de darrere). Cada una ha de explicar-se mitjançant una coordenada posició i una de velocitat, és a dir: (x1, v1), (x2, v2)...(x5, v5) o sigui 10 dimensions. De dimensions en podem tenir 1, 2, 3, 4... i nº dimensions ≠ nº graus de llibertat. Si enlloc d’usar 1 o 2 coordenades n’usem 3: (xa, xb, xc) i (va, vb, vc)...o 4: (xa, xb, xc, xd) i (va, vb, vc, vd) etc CASOS QUE ENS TROBEM EN UN FLUXE: “Cadiretes de muntar” (quan 2 rajos de fluïd xoquen entre ells): Només s’hi arriba un cop.

163

També existeixen els “Desaigües” i les “Fonts” (oposades entre ells). En el cas d’un mapa de línies de força (recordem isòbares en metereologia) pot ésser que una partícula caigui en un pou sense fons o que viatgi per entre línies sense col·lapsar La papallona tant pot crear un huracà com cancel·lar-lo. En un toro (fig. inferior) se produeïxen moviments quasi periòdics però que es van desplaçant i són irrepetibles.

Què passa si la gent no recorda? És un símptoma d’ignorància? Al evitar passar per un punt P en un gràfic...aquest s’acaba convertint en un blanc cada cop més atractor. Motius recurrents que si només es produeïxen en un cas no hi ha motiu per a patir; el moviment de la papalona concorre a canviar les sèries o motius temporals i, si estem en el lloc oportú, passem d’un motiu temporal a un altre provocant , si se segueix la dinámica, a un efecte catastròfic.

164

REACCIÓ DE BELOUSOV-ZHABOTINSKII: BrO3

- Br2

Ce3+ Ce4+

Br- ABM Reacció oscil·latòria: oxidar una substància orgánica (ABM) amb bromat en medi àcid i amb Ce3+/Ce4+ com a catalitzadors. Esperant un temps necessari, [react]/[prod]= ctnt. És a dir que en equilibri tenim mescla de reactius i productes. En canvi, en reaccions oscil·lants estem fora de l’equilibri. Reaccions periòdiques segueixen un règim regular i no caòtic. En medi àcid (HBrO2) es produeïx la reducció de BrO3

- a Br. ABM≡ àcid bromomalònic La [ ] de Br baixa fins a un nivell crític [Br]crit. Tant Br- com HbrO2 competeixen per a reduïr BrO3

-. Halurs diferents de Br- no poden realitzar la reacció de Belousov-Zhabotinskii.

165

CAPÍTOL 15: CANTOR, PEANO, AÏLLAMENT DE LA DIMENSIÓ+ CÀLCULS “EN CLAU DE” FRACTALS.

166

167

Entre la fotografia que em fan i el poder de la paraula per a desfer embolics hi ha persones enmig. Només cal fer cas als altres quan hi ha quelcom per a corregir (que no és sempre). Suposant que la crisi dels 40’s pot passar desapercebuda...em sento fort per a modelar allò que externament no es veu [si més no, la cara és el mirall de l’ànima]. Sense més prejudicis ni convencionalismes, cal ésser un membre erèctil i ésser l’alliberació personificada. Densitat: d=massa/volum, i on la massa m(r)∝ rD, on D és la dimensió i r el radi (o variable). . . . … .. . . . . . . . . . . . … . . . . . . .. és la superfície de l’univers en expansió. A l’∞, els plans estan tots paral·lels = . Hi ha éter que impedeixi que les flames dels estels i cel ens cremin la terra? // sembla que no. Definint generador i iniciador, Cel·la unitat, l’espai on comença la iteració per exemple: pot ésser un quadrat, un triangle, un hexàgon, una línia [0,1], etc... i a partir d’ell se va multiplicant. (vegem les figures). on N=9 (més endavant veurem què vol dir N i altres variables).

168

Corves de Peano partint d’un iniciador quadrat:

169

en tal representació, el generador I el segon pas són: on α= 120º.

si s’aplica a l’exterior el k-èssim teràgon intern, s’obté el k-èssim teràgon extern, i si s’aplica al k-èssim teràgon extern resulta el (k+1)-èssim teràgon intern.

170

Iteració: càlcul que usa els resultats per a nous càlculs (en la mateixa fórmula), així cada cop s’augmenta la exactitud. Règim laminar i règim turbulent: En sistemes turbulents podem agafar un “subspai” i analitzar-lo però sense aïllar-lo del tot del sistema global (sembla que un estudi es basa en aïllar un sistema per a comprendre els seus comportaments o mecanismes físics, mentre que si usem tot el sistema estem mirant el tot i no les parts...).

171

Els valors numèrics depenen del promig i del valor concret d’un subspai. Perexemple, un gas: intentar seguir una fracció de partícules al llarg i ample i alt del volum on està confinat; si es produeïx un xoc amb altres partícules (cosa molt probable) hi ha descomposició i compliquem molt les coses. Cascada: Les partícules en un fluïd turbulent van desprenent-se de les seves parts supèrflues passant a convertir-se en calor pura. I si em permeteu definiré els Pols de Cantor com a riells i subdivisions de cada línia Etc. comparable a les de l’espectre àtòmic incloent l’efecte Zeeman Referent a Cantor: Si veiem Nr(U>u), podem suposar òbviament que u≡ valor possible de la longitud d’un forat mentre que U és la variable aleatoria longitud. Singularitats: condicions inicials o valors numèrics que encasellen un comportament. EULER: fluïds no viscosos NAVIER-STOKES: fluïds viscosos.

172

Quan se fa referència a raons no stàndard, volem dir raons no exactes. l l=n×G on G és la longitud de la regla que mesura la distància de l’illa. Mentre que l’àrea la mesurem en G2: G2

×n=l2= area. (G-long.)1/D/(G-àrea)1/2 (volum)1/3

∝ (area)1/D sempre que n sigui enter. Corves de Peano: Formes que no tenen punts en contacte entre elles (serien rius, conques...) N=5: N=16: (NC= 6) Al superposar iniciadors se multiplica i aprofundeix la exactitud. Al augmentar el nº d’illes el total d’àrea s’acumula i tendeix a infinit; recordem Grècia. És més probable que dins el sistema, al escollir un punt a l’atzar, caigui al mar més que pas a un espai ocupat per illes.

173

El nº de generadors es fa infinit també Al ↑ valoracions o escalatge, els resultats es fan infinits. Uns exemples d’iniciadors: En aquest cas veiem que les línies només poden creuar-se en els nodes les distàncies si començem per l’esquerra seran: { } )''(, 2121 ttPPL −= mentre que per la dreta: etc { } )''''(, 2121 ttPPR −= i són additives: { } { } { }322131 ,,, PPLPPLPPL += FRACTALS: Anar reduïnt la entropia a mesura que acotem en exactitud; hi ha diverses formes de delimitar un “sistema” (una costa, una illa, una ciutat...) i també quin iniciador usem (quadrat, triangle, [0,1], altres figures geomètriques... o si ). Podem treballar en expansió o de fora cap endins // i també amb figures curves o amb vèrtexs. Exemple: a) L(ε) on L= nº passos de la iteració o exercici fractal i ε= longitud o radi de cada pas. Si ε 0 L(ε) ∞.

b)...tenint en compte l’aigua o el líquid de què parlem, estació de l’any, marea... i llavors, al augmentar precissió quan viatgem per la costa, la distància tendeix a infinit

174

Cada “illa” rep aportació de les grans per a continuar el seu desenvolupament. nº illes tendeix a ∞ quan ε tendeix a 0 c) usant una “butifarra”... 2ε Si ara aprofudim en L(ε), veurem que ≈ F×ε1-D o sigui: ≈ F× ε/ εD

4ε mentre que: 4εD on D=2 En 2-D se troba la pendent d’una corba mentre que en 3-D se troba la pendent d’una superfície

175

Hola pares: la vostra teoria de que tothom és com és, m’ha entrat molt a dins Reordenar-me per a no anar marxa enrere. Si no tinc problemes semblo d’un altre món. No puc perdre res, al contrari; tret d’eliminar els mals costums... Sempre hi ha algo que podria anar pitjor. és al centre de cada quadrat on tenim major proporció de terreny. No podem creuar les corves d’un fractal construït amb cercles. Error Una corva tancada no espot descomposar en una reunió d’altres corves tancades.

176

Geometria fractal: es basa en construccions cubistes que van des del nivell microscòpic al macroscòpic guadant relació; exemple: molecularment existeix geometría, que es va expandint fins a la geometria visible // malauradament no sempre es compleix aquesta norma. Hi ha funcions contínues no diferenciables, a saber:

a) moviment Brownià b) estrella de neu c) la següent figura:

etc γ 1/3 I d’on deduïm que el fractal es fa divisible fins a l’infinit Si prenem γ com a valor del costat del triangle equilàter la unitat, anem dividint els “segments” cada cop més petits de forma que la successió seria 1-(1/3)- -(1/3)k

177

AÏLLAMENT DE LA DIMENSIÓ D: r(N)= 1/b= 1/N1/D D= -logN/log(r(N)). Suposem N “subintèrvals” de longitud r i r=1/b Magnitud escalar unitat del catet del quadrat (o segment) mentre que b fa referència al nº de particions N només d’una fila o columna. D= -logN/log(b). Escala i translació són 2 “variables” que els estudiosos usen per a entendre’s en aquest món dels fractals. Podem realitzar un procés fractal en expansió i un altre que “imploti” (cap a dins). Alfombra de Sierpinsky: En 2-D: Àrea=r×r=r2

N=b2 b≡ nº de quadres a cada línia. N≡ nº de quadrats totals a la quadrícula. r=1/b≡ valor d’un costat d’un quadrat. 1 longitud del segment (fila o columna). Si hi dibuixem un quadrat concèntric obtenim un valor diferent per a cada una de les variables descrites:

178

1-2r s’anomena esponja. N’= 4b- 4 i la trema (que en grec significa alguna cosa així com forat o, per entendre’s millor, del llatí “termita” o formiga que fa forats!!) és 1-2r. 4(b-1)≡ 4b(1-r)≡ nº quadrats concèntrics= N’. on D=log(4(b-1))/logb. Podem entendre que la D (dimensió) depèn del nº d’iteracions que es facin. en 3-D: en el cas d’un quadrícula en 3-D: Tenir present que N’’=4(3b-4)≡ 4b(3-4r)= nº quadrats continguts en l’espai concèntric. N’’= 12b-16 On el valor d’un costat és (1-2/b).

179

Sabent que N’’= 12b- 16: On 12b- 16: b→ 4 16→ trema. Si calculem la D tenint en compte l’iniciador (cub) i el generador (insertat dins l’iniciador i que es va repetint depenent del nº quadrats (2-D) o cubs (3-D) amb què dividim el quadrat iniciador. Cal estar alerta que b>3, o sigui b≥4. Un altre exemple: Una creu amb cubs per Davant i per darrera.

180

Si tornem al cas bidimensional i hi suposem relleu, podem dilucidar o al·lucinar amb un cub que en conté un altre (sempre que b sigui imparell): Obtenim N’’’=b3- 13=b3-1. En el cas tridimensional, sabent també que b sigui imparell, Niv= b3-(3b-2). Veiem que “pugem” 3 cubs de costat b cadascun: (b-2/3)×3: 1/3 suposem b=1/3, i multiplicat per 3: 1/3 1/3

181

Analitzant més profundament l’expressió b3-3b+2 trobem que al descomposar per Ruffini =(b-1)(b+1)(b+2). Aleshores, quan b=1: r=1 quan b=-1: r=-1 quan b=-2: r=-1/2 -2 -1 1

182

En una congregació de molècules, per exemple, al augmentar l’àrea del grup respecte al volum total del “recipient”, augmenta la condensació; és que cal buscar la menor Energia possible (i ho logrem baixant l’àrea (per la qual cosa entra menys calor). Qualsevol fórmula tendeix a la convergència o a la divergencia. UNIVERS DE FOURNIER: Les “boles” de cada vèrtex tenen radi 1 mentre que el radi en discontinu val 6. Cada bola serà considerada un agregat 6 estelar d’ordre 0. Mentrestant, la menor bola que conté les 7 elementals s’anomena agregat estelar d’ordre1 Podem deduïr ara l’agregat d’ordre 2: s’origina quan s’augmenta l’agregat d’ordre 1 en una raó 1/r=7. La “bola” ara tindrà r=7, i ho veurem al dibuix següent:

183

7 Als agregats d’ordre 3, per exemple, també augmentem a l’agregat d’ordre 2 una raó 1/r=7 i conseqüentment el radi de la “bola” serà també r=7.

184

Veiem que, com és natural, cal deixar un vèrtex lliure per a usar-lo com a iniciador d’un nou “procés” i així anar multiplicant o expandint. Com a vislumbrament: Agregat d’ordre 3 > agregat d’ordre 2> agregat d’ordre 1 usant rèpliques d’ordre cada cop un grau menor al vèrtex escollit per a acabar el mecanisme invers fins a ordre 1. No sé si s’aconsegueixen millors resultats aprop dels espais de coneixement o lluny d’ells en la solitud. Cap a l’interior “FRACTALS” Cap a l’exterior Les cel·les mai podran situar-se 2 vegades en la mateixa posició. La cel·la té un “bloqueig” (1/4) i ¾ d’enllaç amb la resta: Etc... Sembla que és difícil curar-se dels mals que podem contraure sense cap culpa: l’amor és clau per a lograr la felicitat. Oferir gratuïtament estima, apreci...qui no el vulgui no passa res, però qui m’ataqui allà ell amb la seva consciència.

185

FLUXE I CAPACITATS: Art fractal≡ cubisme v1

v d1 A.v= A1.v1+ A2.v2 d d2

v2

En les capacitats, les velocitats v, v1, v2 són iguals; l’únic que canvia són les àrees A, A1, A2. el fluxe = A.v.. Quan la velocitat baixa, la àrea augmenta. Aleshores: dΔ= d1

Δ+ d2Δ

2k (bifurcacions)nº de nusos Rk

1/k enlloc d’expandir-se se contrau contraiem la d del tronc en k parts i anem iterant a la inversa. k equival al nº d’iteracions. 1- (1/3)- ...- (1/3)k...

186

Potser al augmentar la ramificació anem acotant espai; al augmentar la raó (Δ>3), l’espai es fa cada cop més petit i tendeix a convergir. Etc... b 3b=a la raó d’aquest arbre és (1/ Δ)k

c=1 Δ≠ k a 3a=c nº de parts nº nusos amb què dividim c 2d la raó és lD/(2d)Δ l Estar constantment arreglant coses i mirar de tenir perspectiva. Sempre hi haurà noves formes d’expressar les coses. ≠ 1 dΔ/d2 d =1

187

l FORCES DE LORENZ: )( BvEqF ×+= i en la relativitat especial: Fdtvmd =)/..( γ o vEqdtcmd ..)/..( 2 =γ q<0

v! B! depenent de si el camp

q q=0 magnètic B! va cap a dins del

pla o cap a nosaltres ⊗ , la regla q>0 de la mà esquerre decidirà cap on va el camp elèctric o força. i ara idearem una matriu de dimensió 4×4 que representa les diferents interaccions en les diferents orientacions (x, y, z, v×t). L’anomenarem tensor electromagnètic: el tensor electromagnètic i les equacions de Maxwell es refereixen a l’electromagnetisme. 0 -Ex/c -Ey/c -Ez/c Ex/c 0 -Bz By “F”= Ey/c Bz 0 -Bx Ez/c -By Bx 0 El tensor electromagnetic equival a les equacions de Maxwell amb els signes canviats.

188

Les 8 equacions de Maxwell: Al anar variant la orientació dels eixos segons les equacions de Maxwell…anem veient que el zero es va desplaçant. Mantenint els valors d’”i” ctnts (i sense dependència amb els altres) podem monitoritzar els eixos de coordenades x,y,z. Com el propi nom indica, tals estudis són electromagnètics (es a dir que manipulem (són les 2 “bases” amb les que comptem per a les equacions de Maxwell, mentre que els zeros són l’altra “variable” independent i ctnt respecte a que acaba de definir un dels 4 vectors). F. = A Segons la regla de la mà esquerre: z y B

!

x v!

F!

'/// AzEyExE zyx =∂∂+∂∂+∂∂

''./1// AEcyBxB zxy =−∂∂−∂∂ !

'''./1// AEczByB xyz =−∂∂−∂∂ !

''''./1// AEcxBzB yzx =−∂∂−∂∂ !

0/// =∂∂+∂∂+∂∂ zByBxB zyx

0./1// =+∂∂+∂∂ zxy BcyExE !

0./1// =+∂∂+∂∂ xyz BczEyE !

0./1// =+∂∂+∂∂ yzx BcxEzE !

BE!!,

∀

189

cada component té la seva gràfica (en total 16 dimensions): exemple: Bz

B By

Bx

Podem assimilar les 4 dimensions de cada fila del “tensor” a les variables direccionals ; cada un d’aquests vectors de la matriu té les seves components (x,y,z,”i”); al ésser tretradimensional sempre hi ha d’haver un component fonamental=0 perquè no es pot dibuixar. L’operador que treballa sobre “F” és el nabla: . Quan el món cau sobre una sola persona, el fenòmen és puntual i no recurrent // passa cada x temps on x és molt elevat i probablement no es repetirà o es repetirà en altres circumstàncies. Quan tenim plantilles diferents i regulars...≠ [aleatorietat o atzar],podem predir algo, excepte quan tot col·lapsa en un moment determinat on cal decidir per on tirar. Interpretació de CORVA DE PEANO: a partir d’un generador, crear-ne 2 i llavors aplicar-los; en dites corves, els punts dobles són inevitables:

)///( zyx ∂∂+∂∂+∂∂=∀

FBEv!!!! ,,,

190

Mentre que les CORVES DE KOCH: inclou els conceptes: floquets de neu, illes de Koch i es tracta de posar un generador en una figura geomètrica. MÉS SOBRE ELS CONCEPTES DE D I DE E: E és l’espai Euclidi, que no té perquè coincidir amb la dimensió D (ja que aquesta última pot no ésser entera degut a les “irregularitats fractals” incloses, per exemple, en un floc de neu (Corves de Koch que ocasionen dimensions més enllà de les estàndard: 1, 2, 3...). Aleshores sabem que E≥D≥0. En els “racimos percolantes” trobem que hi ha diferència entre: bE- N i 1/2 bE-1- 1 longitud del catet b1 b2 bE b3 b1 b2 b3 on sembla que la percolació allunya les vies de pas (mai pots passar per un mateix punt dos cops). Aquest entramat de línies s’anomena trema.

191

També apuntaré que crear un “racimo” del no-res és molt improbable. Estudi profund d’aquestes deferències entre E i D: ☻) La diferència entre quadrícules en 3-D i quadrícules en 2-D: bE-N≥ ½bE-1-1. Tal expressió sembla la comparació entre coagulacions i percolacions entre E=3 i E=2, o entre E=2 i E=1. ☻) seguint la raó existent entre b3-N i (½)b2-1 b=3, 1/3.b3-1 (suposant que és tridimensional). E=2 E=1 l=1 b=3 ½.b2-1 equival a r2.b2-l2; ½.b2- 1 E=2 E=3 E=1 b=2 l=1

192

1/1.b1 - 1 E=3 E=2 E=1 ☻) estudi entre bE-N i ½.bE-1-1 o [1/(E-1)].bE-1-1 nº de quadrícules valor quantificat d’aquestes quadrícules passem ara a estudiar la Dcrit: θ θcrit quan se compleix que a la costa no hi hagi θ interseccions un polígon regular de M costats té θ = M/2π Dcrit correspòn a la D per sobre la qual hi ha autointrsecció o bucle. θ r h l r l h Sinθ=h/r Cosθ=l/r h r l2+h2=r2 h habitualment se pren θcrit≈ 60º

193

Jugar i participar al joc de la formació sense aturar massa la correlació d’esdeveniments. Costa esforç no perdre el fil i no emparanoiar-me malgrat que certes persones creuen saber i diagnosticar a la lleugera quan algú està boig o no. Continuar amb la tasca i no aturar-se malgrat les mínimes contrarietats. Es passen èpoques en què no tens delit per menjar. Hi ha quelcom més que la simple conversa verbal. A vegades em dóna la impressió que faig el vago. Si no assoleixo un nivell determinat em mortifico. NrD=1 Nr2=1 <N1>=Nr2 <N1>>1 D> 2 Sabent que la longitud del segment no és 1 sinó >1. Si, a partir de <N1> D≤ 2 i D>2, La línia de la línia de descendència descendencia pot pot prolongar-se fins a acabar per extingir-se infinit. <N2>=Nr1 <N2> D≤ 1 i D> 1.

194

Cada coàgul en genera d’altres al seu pas i cada cop menors (però que existeixen). N1(m) descendencia de l’m-èssima generació de la cascada (A) nodes i enllaços Cada node parell es divideix, i ajuda a evitar grumolls excessius o que s’apilonin. (B) Percolar: fluïr a través

195

Passem ara a analitzar una trema o xarxa com la dibuixada a sobre d’aquestes línies; suposem que està formada per barres de coure (conductores) + barres de vinil (no conductores); suposem també que en l’elecció d’una barreta de tal trema tenim una probabilitat de que sigui conductora= ρ. Es coneix com la “Red de Bernouilli”, i tenim una ρcrit quan la xarxa tendeix a ∞. La ρcrit és un probabilitat llindar, i si ρ<ρcrit, la probabilitat va ↑ al ↑ el tamany de la xarxa. Per contra, ρ>ρcrit, la probabilitat ↓ al ↑ el tamany. Aleshores, al ρ<ρcrit, la probabilitat de percolació →0 mentre que si ρ>ρcrit, la probabilitat de percolació → 1. Dels iniciadors dibuixats a (A) i a (B), tenim que en el cas (A) hi ha ramificacions a cada 2 nodes, de manera que podem definir l’abast de la conducció com ξ: Quan ρ→ ρcrit, llavors ξ→ ∞. ξ

196

Si l’iniciador (B) el tractem com a Polvo de Cantor, veurem el següent: forat ε.r= ε.1/3 (♥) al anar ε/3N ja que baixant ↑ el fraccions: [ ] [ ] cada espai es nº de forats mentre que els forats: ] [ disgrega en altres de més petits. Quan N→ ∞, un intèrval llarg té menys probabilitat de ser eliminat mentre que un intèrval massa dens pot devastar-ho tot. (♥) cal trobar-se amb què r sigui <1, tal i com hem fet a dalt (r= 1/3); així

197

Com podem veure les tremes poden dividir-se i assimilar-se a un Pols de Cantor. La r ha de ser <1 ja que no podem usar quadrícules de la mateixa longitud que tota la trema (és a dir que si li anem addicionant tremes amb longituds compreses entre ε/3 i ε corrim el perill de destruïr-ho tot). aquí el “fractal” només pot que “implotar” cap endins (o sigui sense expandir-se). Tal i com hem vist, a dins de l’intèrval apareixen ε/3 forats petits i anar fent: ε/3, ε/9, ε/3N. Significat de Passeig Aleatori Autoevitant: com indica el nom s’eviten certes “coincidències puntuals”. De tant en tant ens podem trobar amb iniciadors amb apèndixs: I si usem un generador com ara un quadrat: Nc= nº unitats que formen l’illa. N= nº de subintèrvals referent al generador de les costes N-Nc són el circuit tancat

198

Ara, dieu-me agosarat però incloc un estudi sobre l’enllaç químic en la vessant TOM (Teoria d’Orbitals Moleculars) que em va quedar al tinter en l’exemplar “Química Teórica per a Consultar”; espero que serveixi per a airejar tota aquesta informació masificada sobre els fractals i similars... La molècula a estudiar és CNO-. N≡ C- O- o sigui, lineal. 2sc té un rang d’energia que està per sota el llindar, aleshores contribueix ls orbitals moleculars (cosa que no passa amb 2sN ni amb 2so). D’altra banda, energèticament, 2pxN, 2pyN, 2pzN > 2pxo, 2pyo, 2pzo z N C O Ψsc pzN pzo Ψ1

Ψ*

sc pzN pzo Ψ*1

Ψpzc pzN pzo Ψ2

Ψ*

pzc pzN pzo Ψ*2

Tal molécula té , en l’eix z, 2 enllaços diferents: C-N i C-O, lo que ocasiona una independència entre ells (a diferència de CO2). També cal tenir present que si el solapament no és suficientment important, la combinació no val la pena; exemple:

199

N C O Mentre que per l’eix x i y prevalen els següents orbitals moleculars: x N C O Ψpxc pxN pxo ΨA

ΨNE

pxc pxN pxo ΨNEA

Ψ*

pxc pxN pxo Ψ*A

I el mateix però amb les y’s.

200

N O C Ψ*

1

Ψ*2

Ψ*Ax Ψ*

Ay

pxN pyN pzN

ΨNEAxΨNE

Ay pxc pyc pzc

pxo pyo pzo

ΨAxΨAy

sc

sN

so

Ψ2

Ψ1

201

APÈNDIX.

202

203

PRIMER: Refresquem la memoria de l’operador Perron-Frobenius (U): ).().()(.)( 000

).(. 0 tttUtet ttHi Ψ−=Ψ=Ψ −− I la funció de Liouville-Von Newman: ρρ ./ Lti =∂∂ )0(.)0(.)( .. ρρρ t

tLi Uet == − També deixo constància del que és el Tamiz Apoloniano, El Relleno de Leibnitz i La Cadena de Poincaré. SEGON: (Apartat discret del capítol 15). El cas del tronc i les seves branques:

2d l I la raó és: lD/ (2d)∆. Com més llarg sigui l amb més parts o ramificacions dividirem 2d. lD no convergeix sinó que s’expandeix. Quan ens barallem en més de 2 dimensions (D≥2) les ramificacions també creixen.

204

TERCER: Passem ara a estudiar les equacions multigrau. Ex: x17-1=0. Com que x és imparell, x=-1, i al ésser l’exponent “16+1” té gràfic: l’anomenat 17-ógono. Grups i àlgebra de Lie: SO(2) O(2) SO(2n) mentre que O(2n) SO(2n+1) O(2n+1) Tenen la particularitat Tenen la particularitat que roten (grups ortogonals que se reflexen especials). No dónen la volta al pla s’obté sempre el mateix cercle Tenim també els grups simplèctics: Sp(2), que són sempre parells ja que representen les simetries de les variables “posició” i “moment”: recordem el principi d’incertesa d’Heisenberg: ∆p.∆x≈ h. Tenim també grups complexes: SU(n):grups unitaris especials).

205

Hi ha geometries que s’han de representar multidimensionalment: G2 14. Linealització: Serveix per a passar d’estructura de grup a àlgebra de Lie. Se transforma en la mateixa dimensió però amb Geometria Plana. S’imnmobilitza i fa possible que el etc… resultat del dibuix tingui unes característiques de grup dins l’àlgebra de Lie. QUART: Entropia: S>0: creix el desordre. S=0: estat d’equilibri o màxim ordre. S<0: similar a la formació de llum a partir de col·lisions entre partículas: sistema que guanya ordre;

206

disminució d’opcions (↓ riquesa). Pot asimilar-se als superconductors (que en estat de Tª ↓↓↓ passen a una altra fase: la de transferir electricitat!!). CINQUÈ: Al acostar-me a un precipici no to una força que m’empeny cap a baix. Potser és la profunditat en metres que en minimitza l’estabilitat i me situa a mercès del vent, quantitat d’inclinació… Al α↑ baixa la intensitat de la força cap avall α’ α’’ DE QUÈ ESTÀ FET EL CABELL? Queratina, proteïna rica en sofre; proteïnes fibroses. Se retorçen enrotllant-se en ponts disulfur i interaccionen els filaments. Hi ha l’α-queratina, que presenta restes de cisteïna constituents dels ponts disulfur, i la β-queratina, on no es presenten.

207

La cisteïna és un aminoàcid no esencial. D’altra banda, el col·làgen es troba en cartílags, lligaments, pell, tendons, ossos… És una molècula protèica que forma fibres i teixit que, quan se sotmet a ebullició es transforma en gelatina (hidròlisi del col·làgen). Ara faré ressò del que pot ésser un “Tamiz molecular”. Per exemple agafem un triangle i l’anem dividint en tremes de manera que compleixin la norma d’equitat de formes (i conseqüentment baixa la seva superfície).

Etc…

208

Temperatura i treball:

1. comencem amb l’expressió T; la seva forma és

reversible i se representa com: Tex.= Tint. +/- dT D’aquesta manera vislumbrem l’expansió o la compressió, cosa que té a veure amb el treball d’un èmbol. Per exemple, una compressió s’entén com Tint = Text+ dT, mentre que una expansió és la oposada (Tint = Text- dT).

2. Passem ara a comprendre la expressió W (treball) en aquesta clau de reversibilitat/irreversibilitat i expansió/compressió; hi inclourem la variable P ja que, com hem vist en algun altre capítol,

dw= +/- Pext .dV (•).

En una compressió Pext < Pint, per tant, incloent dw, deduïm que el terme (•) és negatiu i: Pext = Pint- dP reversible mentre que Pext < Pint . és irreversible. Wrev = ∫ Pext. dV = ∫ (Pint- dP).dV≈ ∫ Pint .dV (∗) Wirrev = ∫v2 Pext. dV > ∫v2 Pint.dV =Wrev. (∗∗) v1 v1

i finalment Wirrev >Wrev En canvi, per una expansió, tota expressió segueix el mateix camí quan a representació Wrev (∗) i Wirrev,

209

(∗∗) excepte que dw (•) és positiu; aleshores tal expansió representa Vext <Vint (o V2<V1), cosa que implica Pext >Pint. Wirrev = - ∫v2 Pext. dV > - ∫v2 Pint. dV = Wrev. v1 v1

i acabem obtenint la mateixa expressió: Wirrev > Wrev.

CONCEPTE DE GRAVETAT:

Al anar escalant pisos, la sensació de caure és cada cop més pronunciada tal i com representen les línies discontinúes.

210

+y +x 90º -x -y Com més peces té cada pis, més fletxes en negreta i conseqüentment més components hi haurà a l’eix +y. Fins que s’igualin +y i –y mai s’anul·laran les forces que anomeno gravitatòries que empenyen cap avall. SUPERSIMETRIA I TEORIA DE CORDES: La supersimetria cancel·la “forces” i/o energies, i relaciona partícules com el fermió i el bosó. La teoria de cordes explica 6 dimensions (coneixem 5 tipus de cordes+ una “extra”: la gravetat). De 10 dim, en tenim 9 d’espacials i 1 temporal, per exemple les Formes de Calabi-Yau. S’assembla als diferents tipus d’estructures protèiques (4 de diferents). Segons el tipus d’interaccions entre partículas les podem expressar mitjançant els seus comportaments // la

211

teoria de cordes anul·la els infinits i divergents infinits en benefici de casos finits. Començarem per descriure els diferents tipus de cordes:

1. puntuals que xoquen elàsticament. 2. partícules que xoquen inelàsticament produïnt

resultats ≠ inici. 3. en 2dimensions; els gluons enganxen els quarks i

els antiquarks. Pot entendre’s com un camp de forces o com a cordes minúscules:

que ressonen

4. interacció entre 2 cordes unidimensionals que contenen E i vibració i se separen creant un nou escenari.

5. incloem tot el ventall de possibilitats i variables que conté l’Univers per a interaccionar amb una altra gravetat, cinètica, inèrcia; pot ésser que així s’entengui el “forat de cuc”.

Supercordes s’entén com entitats físiques vibracionals que són l’essència de la matèria.

212

Supersimetria+ relativitat general Supergravetat El seu quant és el gravitó (spin-2) i, segons la dualitat que invoca la supersimetria (fermions i bosons) existeix el gravití (spin 3/2). VÓRTEX DE TAYLOR:

Els dos cilindres roten en sentit oposat (amb velocitat angular), i serveix per a fer una lectura de la viscositat d’una substància que posem entre els 2 cilindres.

213

DESTIL·LACIÓ: Tal procés consta de evaporació i posterior condensació. Al condensar-se esdevé cada cop més pura. Així és com es fa H2O destil·lada. Cèl·lula eucariota: nucli separat del citoplasma Cèl·lula procariota: nucli no separat de la cèl·lula per cap membrana (al citoplasma).

214

Bibliografia: IAN STEWARD, Crítica, “Una historia de la simetria belleza y verdad PISKUNOV, “Cálculo infinitesimal y integral”. BART KOSKO, Drakontos bolsillo, “El futuro borroso o el cielo en un chip”. IAN STEWARD, Drakontos bolsillo, “Juega Dios a los dados?”. BENOIT MANDELBROT, Metatemas/ Tusquets, “La geometria fractal de la naturaleza”. STEPHEN HAWKING I LEONARD MLODINOW, Columna, “El gran disseny”. MORRISON BOYD, Addison Wesley, “QUÍMICA ORGÁNICA”. PINE, HENDRICKSON, CRAM, HAMMOND, Mc Graw Hill, “QUÍMICA ORGÁNICA”.