EJERCICIO RESUELTO

En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera, y sin verla, se introduce en la segunda. A continuación de saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que:

a) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra.b) La bola extraía de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída

de la segunda ha sido blanca.

Resolución: (ver página siguiente)

Resolución:

a)

Hagamos la siguiente partición del espacio muestral:

N1 es el suceso compuesto por todos los sucesos elementales en donde la primera extracción ha sido bola negra. Esto es: N1 = { (NN) , (NB) }

B1 es el suceso formado por todos los sucesos elementales en donde la primea extracción ha sido bola blanca. Esto es: B1 = { (BN) , (BB) }

Es fácil ver que N1 N2 es igual al espacio muestral y que N1 N2 es igual al conjunto vacío. Por tanto es claro que los sucesos N1 y B1 forman una partición del espacio muestral.

Y ahora definamos los siguientes sucesos:

N2 es el suceso formado por todos los sucesos elementales en donde la segunda extracción ha sido bola negra. Esto es: N2 = { (BN) , (NN) }

B2 es el suceso formado por todos los sucesos elementales en donde la segunda extracción ha sido bola blanca. Esto es: B2 = { (NB) , (BB) }

Ya que los sucesos N1 y B1 forman una partición del espacio muestral, tenemos que:

P(N2) = P(N1) · P(N2 | N1) + P(B1) · P(N2 | B1)

P(N2) = 9

5

7

4

9

6

7

3 P(N2) = 603,0

63

38

Solución: La probabilidad de que la bola extraída de la segunda bolsa sea negra, es 0,603.

b)

Apliquemos la fórmula de Bayes:

2

1|2

1

2|1

BP

NBP

NP

BNP

Calculemos las probabilidades que podamos en ésta fórmula:

3 12 | 1

9 3P B N

7

31 NP

1|211|212 BBPBPNBPNPBP

63

25

9

4

7

4

9

3

7

32 BP

Otra forma mucho más rápida de calcular 2BP es la siguiente:

63

25

63

381212 NPBP

Y ahora volvamos a la fórmula de Bayes para terminar de calcular la probabilidad que falta:

1

1| 2 33 257 63

P N B

1| 2 633 757

P N B 3 63

1| 27 75

P N B 1891| 2 0,36

525P N B

Solución del apartado b: La probabilidad de que la bola extraída de la primera bolsa haya sido negra, siempre y cuando la bola extraída de la segunda bolsa haya sido blanca, es 0,36.