Area de Regiones Planas(1)
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AREA DE REGIONES PLANAS Sea y=f ( x ) ;x ∈ [ a;b ] entonces se define el área bajo la curva y=f ( x ) y las rectas y las rectas x=a, x=b como: El área del elemento diferencial será: dA=hdx=f ( x ) dx por tanto, el área de la región plana es: Tener en cuenta: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. A = ∫ c b f ( x ) dx
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Area y regiones
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AREA DE REGIONES PLANAS
Sea y=f ( x ) ; x∈ [a ;b ] entonces se define el área bajo la curva y=f ( x )y las rectas y las rectas x=a, x=b como:
El área del elemento diferencial será: dA=hdx=f ( x )dx por tanto, el área de la región plana es:
Tener en cuenta:Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.
4. Defina la integral o las integrales para el área.
5. Evalúe la integral definida.
A=∫c
b
f ( x )dx
Problema 1
Halle el área de la región limitada por la parábola y=4 x−x2 y el eje X
Sol
Calculamos los límites de la integración 0=4 x− x2 , x1=0 , x2=4
Problema 2
Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y=ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x=e
Sol
v=lnx→v '=1x ∫ lnxdx=xlnx−x+C
e
A=∫0
4
(4 x−x2 )dx
A=2x2
A=X3
3|04=323
ln x=0 (1,0 )e0=1
∫1
e
ln xdx
v '=1→v=x ∫1
e
lnxdx=[ x (lnx−x ) ]1e=0+1=1u2
Problema 3
Calcular el área del recinto limitado por la curva y=x2−4 x y el eje OX
Sol
Hallamos los puntos intersección:
0=x2−4
x=0∨x=4
A=∫0
4
(x2−4 x )dx=[ x33 −2 x2]0
4
=−323
|A|=323u2
Problema 4
Hallar el área limitada por la curva y=cos x y el eje Ox entre π /2y 3 π /2 .
Sol
A= ∫π /2
3 π /2
cos xdx=[senx ]π /23 π /2=sen3 π /2−sen π /2=−1−1=−2
|A|=2u2
Problema 5
Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f ( x )=x3−6 x2+8 x y el
eje OX.
Sol
Hallamos los puntos de intersección:
x3−6 x2+8 x=0
x ( x2−6 x+8 )=0
x=0 x=2 x=4
A=∫0
2
( x3−6 x2+8 x )dx+|∫2
4
( x3−6 x2+8 x )dx|
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
A=2∫0
2
( x3−6 x2+8x )dx=2[ x44 −2 x3+4 x2]0
2
A=8u2
Problema 6
Calcular el área del circulo de radio r.
Sol
Partimos de la ecuación de la circunferencia x2+ y2=r2
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
A1=∫0
r
√r2−x2dx
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
∫ √r2−x2dx
x=rsentdx=r cosdt
∫0
r
√r2−x2=∫ √r 2−r 2sen2 t .cos tdt=∫√r2 (1−sen2 t )r cos tdt
=∫r 2cos2 tdt=r2∫cos2 tdt=r 2∫ 1+cos2 t
2dt=r2 [ t2 + 1
4sen2 2t ]+C
Hallamos los nuevos límites de integración:X=0 0=rsent sent=0 t=0
X=r r=rsent sent=1 t=π /2
A1=r2 [ t2 +
14sen2 2t ]
0
π /2
=r2( π4−0)=14 πr2→A=4 A1=πr2
