Área de Un Polígono Regular

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GEOMETRIA

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I.E.P. DIVINO NIO JESS DOCENTE: Benites Ramos Hugo

I.E.P. DIVINO NIO JESS DOCENTE: Benites Ramos Hugo

REAS SOMBREADAS:I- Mtodo de la resta de reasEjemplos: Halla el rea sombreada:1.-Determina el rea de la regin sombreada si ABCD es un cuadrado.

2.-Hallar el rea de la regin sombreada. Si: O es centro

3. Hallar el rea de la regin sombreada, si ABCD es un cuadrado.

II. Traslacin de reas1. Halla el rea de la regin sombreada si ABCD es un cuadrado

2. Halla el rea de la regin sombreada:

3. Determina el rea de la regin sombreada

4. Halla el rea sombreada si ABCD es un cuadrado de lado 8cm:

EJERCICIOS: Halla el rea sombreada:

Si cada cuadradito representa 1cm2, calcula el rea de la figura.

REA DE UN POLGONO REGULAR:

Unpolgono regulartiene suslados y ngulos iguales.Elementos de un polgono regular:Centro: Es el punto interior que equidista de cada vrtice.

Apotema (ap) : Es la distancia del centro de unpolgono regularal punto medio de un lado.

La figura siguiente es un polgono regular (pentgono).Todos sus lados son iguales de longitud L, por lo tanto su permetro ser:P = L + L + L + L + L = 5LTrazamos dos segmentos desde el centro hasta los vrtices de un lado del polgono y se formar un tringulo.Hacemos lo mismo para los dems lados y obtenemos 5 tringulos de igual rea.

Ahora hallemos el rea de un tringulo:

El rea total ser el rea de los 5 tringulos:

Entonces el rea de un polgono regular estar dada por la frmula:

SLIDO GEOMTRICOEs una figura geomtrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.Los cuerpos geomtricos pueden ser: Poliedros (prismas y pirmides) y Cuerpos Redondos.(cono, cilindro y esfera)

I. LOS POLIEDROS:

Son slidos limitados por superficies planas (polgonos). -Se clasifican en prismas y pirmidesElementos de un poliedroCaras: Polgonos que limitan el poliedro.Aristas: Lados comunes a dos carasVrtices: Puntos donde se unen ms de dos carasBase: Polgono donde descansa el poliedro.

BaseCarasAristaVrtice

Clasificacin:Los poliedros se clasifican: Poliedros Regulares y Poliedros irregulares.

POLIEDRO REGULAR:

Poliedro cuyas caras son polgonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud.Los poliedros regulares son cinco y se denominan:Tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 tringulos equilteros iguales.Hexaedro regular (cubo):poliedro regulardefinido por 6 cuadrados iguales.Octaedro regular:poliedro regulardefinido por 8 tringulos equilteros iguales.Dodecaedro regular:poliedro regulardefinido por 12 pentgonos regulares iguales,Icosaedro regular:poliedro regular definido por 20 tringulos equilteros iguales.

POLIEDRO IRREGULAR:Los poliedros son irregulares cuando los polgonos que lo forman no son todos iguales.

1.- EL PRISMAUn prisma es un poliedro formado por dos bases iguales y paralelas entre si; cuyas caras laterales son paralelogramos.

Elementos de un Prisma:

Base con forma pentagonalLas dos bases son iguales y paralelas entre si.Arista BsicaArista lateralCaras lateralesVrtice

Desarrollo Plano de un Prisma:BaseBaseCaras laterales

Tipos de PrismasLos prismas se nombran segn el nmero de lados de sus bases. PrismahexagonalPrismaPentagonalPrismacuadrangularPrismatriangular

REA DE UN PRISMA RECTOA partir del desarrollo plano del prisma recto podemos calcular su rea total. Distinguimos dos partes: rea lateral y rea de las bases.rea lateral:Es la suma de las reas de sus caras.Su desarrollo es siempre un rectngulo.Uno de los lados del rectngulo coincide con el permetro de la base, y el otro con la altura del prisma.hL

PB

rea de las bases:Las bases son polgonos regulares.El prisma tiene 2 bases iguales.El rea de un polgono es:

+

rea total:rea total del prisma = rea lateral + 2 (rea de la base)

PRCTICA DE CLASE:1.-Halla el rea lateral de un cubo, sabiendo que la arista mide 5cm.2.-Si la arista de un cubo mide 3cm, Cunto ser su rea total?3. Halla el lado de un cubo si su rea total mide 96 m2.4.- Hallar el rea lateral de un prisma recto de 6cm de altura, cuya base es un cuadrado de 3 cm de lado.5. Halla el rea lateral de un prisma recto de 9m de altura cuya base es un rectngulo de 3m de largo y 2m de ancho.6. Halla el rea lateral de un prisma triangular que tiene las siguientes medidas: 12cm de altura, los lados de la base miden 5cm, 3m y 6cm.7. Halla el rea total de un prisma recto de 6m de altura cuya base es un cuadrado de 5m de lado.8. Halla el rea lateral de un prisma pentagonal si la altura mide 10cm y el lado de la base mide 4cm.9. Determina el rea total de los siguientes prismas 8cm3cm

16cm10cm

10 cm8cm

VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO bEl volumen de un prisma recto es igual al producto del rea de la base por la altura.ah

Ejemplos:1. Halla el volumen de un prisma cuadrangular si el lado de la base mide 5cm y la altura 8cm.2. Halla el volumen de un prisma hexagonal si el lado de la base mide 7cm, la apotema basal 8cm y la altura 10cm.

Halla el volumen del ladrillo

LA PIRMIDEUna pirmide es un poliedro cuya base es un polgono y sus caras laterales son tringulos que concurren en un vrtice comn, llamado vrtice de la pirmide.Elementos de la pirmide:La cspide es el vrtice donde se unen las caras laterales.

Altura de la pirmideBase con forma hexagonal.Las caras laterales son tringulosApotema:Es la altura de los tringulos que forman las caras lateralesArista bsicaVrticeArista Lateral

Desarrollo Plano de la pirmide:BaseCaras laterales

Tipos de Pirmide:Las pirmides se nombran segn segn el nmero de lados de su base. PirmidehexagonalPirmidepentagonalPirmidecuadrangularPirmidetriangular

REA DE UNA PIRMIDE REGULARA partir del desarrollo de la pirmide recta podemos calcular su rea. Distinguimos dos partes:1.- rea lateral:El rea lateral es la suma de las reas de la caras. Las caras laterales son tringulos iguales.La altura h es la apotema lateral. n el nmero de tringulos de la pirmidebapotema

Ejemplo:Determina el rea lateral de una pirmide cuadrangular cuyo lado de la base mide 6cm y el apotema lateral mide 8cm.n = 4 ; b = 6cm ap = 8cm

2.- rea de la base:Es el rea de un polgono regular, por ejemplo la base puede tringulo equiltero, un cuadrado. Si la base es un pentgono, hexgono, etc usamos la frmula del rea de un polgono regular aprendida anteriormente.

Ejemplo:Halla el rea de la base de una pirmide pentagonal de 8cm de lado y 6cm de apotema.Solucin: Si la base es un pentgono el polgono tiene 5 lados, luego el permetro mide:p= 5 x 8 = 40 cm ; luego el rea ser : rea total de la pirmide:

VOLUMEN DE UNA PIRMIDE:hV : Volumen de la pirmideAB : rea de la baseh: altura

Ejemplos:1.-Determina el volumen de una pirmide cuadrangular si el lado de la base mide 10cm y la altura 15cm.2.-Halla el volumen de una pirmide hexagonal, si el lado de la base mide 8cm ; el apotema de la base 7cm y la altura 12cm.PRCTICA DE CLASE1. Halla el volumen de cada pirmide:

2. Resuelve los siguientes problemas:2.1 La base de una pirmide regular es un cuadrado cuyo lado mide 4cm. Si la altura de la pirmide es 6cm, Cul es el volumen de la pirmide?2.2 Halle el volumen de una pirmide regular cuya base es un cuadrado que mide 6cm de lado y su altura es de 8cm.

2.3 Halla el rea lateral de una pirmide de base cuadrangular cuyo lado mide 8cm y la apotema de la pirmide es 18cm.

2.4 Determina el rea total de una pirmide de base cuadrangular cuyo lado mide 6cm y su rea lateral es 1800m2.

CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos de revolucin son aquellos cuyas superficies laterales son curvas.

EL CICLINDRO

Tiene 2 bases iguales que son crculos. Tiene una superficie lateral curva Se obtiene al girar un rectngulo sobre un eje

REA DE UN CILINDRO

VOLUMEN DE UN CILINDRO

Halla el volumen de un rollo de papel higinico

El papel higinico tiene la forma de un cilindro hueco

Qu datos necesitamos?

El radio exterior e interior de la base y la altura.

Qu herramientas empleamos?

Usa una regla y toma medidas en cm para hallar los radios y la altura.(Aproxima la parte decimal al dcimo)

Toma de datos:

Radio mayor:Radio menor: Altura: El volumen de un cilindro es:

Hallemos el rea de la base:

El rea que estamos hallando es la parte blanca, que representa al papel.

Finalmente reemplamos en:

Halla el volumen de un Ladrillo king kong 18 Huecos (precio: s/0,70 c/u)Datos: Medidas promedio(cm): 23x12,5x9Unidades promedio /m2: 39Peso promedio(Kg) : 2.8

EL CONO

Tiene 1 base que es circulo Tiene una superficie lateral curva Se obtiene al girar un tringulo sobre un eje

Desarrollo plano de un Cono

EJERCICIO:

LA ESFERA:

LOS CUERPOS REDONDOSSon los cuerpos geomtricos en los que al menos algunas de sus caras son curvas.Podemos distinguir tres tipos fundamentales: El cilindro, el cono y la esfera.I. EL CILINDROEl cilindro es un cuerpo redondo que est formado por 2 bases iguales, que son crculos, y una superficie lateral curva.Elementos de un cilindro:

El cilindro se obtiene cuando un rectngulo gira una vuelta completa en torno a uno de sus lados.h : alturar : radio

II. EL CONOEl cono es un cuerpo redondo que tiene una sola base, que es crculo, y una superficie lateral curva.ELEMENTOS DE UN CONO:

Vamos a construir un cono a partir de su desarrollo

El cono se obtiene cuando un tringulo rectngulo gira una vuelta completa alrededor de un ejeh : alturar : radiog : generatriz

LA ESFERALa esfera es un cuerpo redondo, sin caras, formado por una sola superficie curva.Elementos de una esfera

La esfera se obtiene al girar un semicrculo sobre un eje que es su dimetro: