Aritmética

Aritmetica.

Rocıo Meza MorenoUniversidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa

Rocıo Meza Moreno Aritmetica

Subconjuntos importantes de los numeros realesPropiedades de los numeros reales

Fracciones.

Numeros naturalesNumeros enterosNumeros racionalesNumeros irracionales

Numeros naturales

Dicho en palabras sencillas, son aquellos numeros que usamospara contar:

N = {1, 2, 3, 4, . . .}

Con los numeros naturales se pueden efectuar dos operacionesbasicas que simplifican la tarea de contar: suma ymultiplicacion.

Fracciones.

Numeros naturales

N = {1, 2, 3, 4, . . .}

Fracciones.

Numeros naturales

N = {1, 2, 3, 4, . . .}

Fracciones.

Multiplicacion

Fracciones.

Multiplicacion

Fracciones.

Propiedad importante

1 La suma de dos numeros naturales da como resultado unnumero natural.

2 La multiplicacion de dos numeros naturales da comoresultado un numero natural.

¿Pero que ocurre cuando intentamos efectuar la operacioninversa?

Fracciones.

1 La suma de dos numeros naturales da como resultado unnumero natural.

2 La multiplicacion de dos numeros naturales da comoresultado un numero natural.

¿Pero que ocurre cuando intentamos efectuar la operacioninversa?

Fracciones.

Calcular la resta de dos numeros naturales a− b es respondera la pregunta

¿Cuanto queda si a la cantidad a le quito la cantidad b?, oequivalentemente

¿Que cantidad debo sumar a b para que el resultado sea a?

Fracciones.

Calcular la resta de dos numeros naturales a− b es respondera la pregunta

¿Cuanto queda si a la cantidad a le quito la cantidad b?, oequivalentemente

¿Que cantidad debo sumar a b para que el resultado sea a?

Fracciones.

La resta de dos numeros naturales, ¿es siempre un numeronatural?

La respuesta claramente es no.

Por ejemplo, no existe un numero natural que sumado al 12de como resultado 8. Es evidente porque 12 es una cantidadmayor que 8. Esto significa que

8− 12

no es una operacion que de como resultado un numero natural.

Fracciones.

8− 12

Fracciones.

Por ejemplo, no existe un numero natural que sumado al 12de como resultado 8. Es evidente porque 12 es una cantidadmayor que 8.

Esto significa que

8− 12

Fracciones.

8− 12

Fracciones.

¿Que se obtiene entonces si a 8 le quito 12?

Es claro quepuedo quitar los 8 en su totalidad y aun me faltarıa quitar 4.((Me quedan a deber 4)).

Es esta idea de ((deuda)), hace que no sea suficiente trabajarcon solo con numeros naturales. Es necesario introducir los((negativos)) de los numeros naturales y el numero cero paradarle sentido a la operacion de resta en todos los casos posibles.

Fracciones.

¿Que se obtiene entonces si a 8 le quito 12? Es claro quepuedo quitar los 8 en su totalidad y aun me faltarıa quitar 4.((Me quedan a deber 4)).

Fracciones.

Es esta idea de ((deuda)), hace que no sea suficiente trabajarcon solo con numeros naturales.

Es necesario introducir los((negativos)) de los numeros naturales y el numero cero paradarle sentido a la operacion de resta en todos los casos posibles.

Fracciones.

Numeros enteros

Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

El sımbolo −a denota el inverso aditivo de a, es decir, es elnumero que cuando se suma al numero a da como resultadocero: ((cuando quito, no me quedan a deber pero tampocosobra)).

Formalmente la resta se define como

Definicion de resta

a− b = a+ (−b),

es decir, a− b es el resultado de sumar a con el inverso aditivode b.

Fracciones.

Numeros enteros

Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Definicion de resta

a− b = a+ (−b),

Fracciones.

Numeros enteros

Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Definicion de resta

a− b = a+ (−b),

Fracciones.

La resta de dos numeros enteros da como resultado unnumero entero.

¿Y que pasa con la operacion inversa de la multiplicacion?

Fracciones.

La resta de dos numeros enteros da como resultado unnumero entero.

¿Y que pasa con la operacion inversa de la multiplicacion?

Fracciones.

Division

Fracciones.

Division

Fracciones.

Calcular la division de dos numeros naturales es responder ala pregunta:

¿Cuantos grupos se obtienen si se organizan a objetos engrupos de b objetos cada uno?, o equivalentemente

Si se organizan a objetos en b grupos con la misma cantidadcada uno, ¿cuantos objetos se deben poner en cada grupo?

Fracciones.

Calcular la division de dos numeros naturales es responder ala pregunta:

¿Cuantos grupos se obtienen si se organizan a objetos engrupos de b objetos cada uno?, o equivalentemente

Si se organizan a objetos en b grupos con la misma cantidadcada uno, ¿cuantos objetos se deben poner en cada grupo?

Fracciones.

La division de dos numeros naturales, ¿es siempre unnumero natural?

La respuesta, otra vez, es no.

Por ejemplo, si intentamos organizar 33 objetos en grupos de6

Fracciones.

Vemos que se pueden formar 5 grupos de 6 elementos cadauno pero sobran 3, es decir, se obtienen 5 grupos ((y cacho)).Esto significa que

33÷ 6

Fracciones.

33÷ 6

Fracciones.

Vemos que se pueden formar 5 grupos de 6 elementos cadauno pero sobran 3, es decir, se obtienen 5 grupos ((y cacho)).

Esto significa que33÷ 6

Fracciones.

33÷ 6

Fracciones.

El ejemplo anterior muestra la necesidad de introducirnumeros que permitan representar la idea de un ((cacho)), unaparte de un entero.

Para lograr esto, se introducen los recıprocos de todos losnumeros enteros distintos de cero, de manera que tenga sentidola division de dos enteros en todos los casos posibles.

Fracciones.

El ejemplo anterior muestra la necesidad de introducirnumeros que permitan representar la idea de un ((cacho)), unaparte de un entero.

Para lograr esto, se introducen los recıprocos de todos losnumeros enteros distintos de cero, de manera que tenga sentidola division de dos enteros en todos los casos posibles.

Fracciones.

El sımbolo a−1 denota el inverso multiplicativo de a, es decir,el numero que cuando se multiplica por el numero a da comoresultado 1.

Esto significa que cuando ((organizo)) a objetos engrupos de a elementos, se obtiene exactamente un grupo.

Es importante notar que el 0 es el unico numero entero quecarece de inverso multiplicativo (¿por que?).

Fracciones.

El sımbolo a−1 denota el inverso multiplicativo de a, es decir,el numero que cuando se multiplica por el numero a da comoresultado 1. Esto significa que cuando ((organizo)) a objetos engrupos de a elementos, se obtiene exactamente un grupo.

Fracciones.

El sımbolo a−1 denota el inverso multiplicativo de a, es decir,el numero que cuando se multiplica por el numero a da comoresultado 1. Esto significa que cuando ((organizo)) a objetos engrupos de a elementos, se obtiene exactamente un grupo.

Fracciones.

La division de dos numeros enteros a y b, se denota por:

a÷ b, a

b, a/b

y formalmente se define como:

Definicion de division

b= ab−1,

es decir, a÷ b es el numero que se obtiene al multiplicar a conel inverso multiplicativo de b.

Fracciones.

La division de dos numeros enteros a y b, se denota por:

a÷ b, a

b, a/b

y formalmente se define como:

Definicion de division

b= ab−1,

es decir, a÷ b es el numero que se obtiene al multiplicar a conel inverso multiplicativo de b.

Fracciones.

Numeros racionales

Q ={ab| a, b ∈ Z, con b 6= 0

¿Y por que es tan importante poder efectuar la ((operacioninversa))? Es porque permite resolver problemas.

Fracciones.

Numeros racionales

Q ={ab| a, b ∈ Z, con b 6= 0

¿Y por que es tan importante poder efectuar la ((operacioninversa))?

Es porque permite resolver problemas.

Fracciones.

Numeros racionales

Q ={ab| a, b ∈ Z, con b 6= 0

¿Y por que es tan importante poder efectuar la ((operacioninversa))? Es porque permite resolver problemas.

Fracciones.

Por ejemplo, suponga que se buscan dos numeros con lassiguientes condiciones: uno de ellos supera al otro en 7 y lasuma de ambos es 29.

Sean x y y los numeros buscados. La primera condicion diceque a uno de los numeros, digamos a x, le faltan 7 para((alcanzar)) al otro numero, es decir, a y:

x+ 7 = y.

Como x es el numero que se debe sumar a 7 para obtener y,esta igualdad significa que

y − 7 = x (1)

Fracciones.

x+ 7 = y.

y − 7 = x (1)

Fracciones.

x+ 7 = y.

y − 7 = x (1)

Fracciones.

x+ 7 = y.

y − 7 = x (1)

Fracciones.

La segunda condicion dice que

x+ y = 29,

Pero usando la igualdad (1) obtenemos

(y − 7) + y = 29.

Esto es,2y − 7 = 29.

Fracciones.

x+ y = 29,

(y − 7) + y = 29.

Esto es,2y − 7 = 29.

Fracciones.

x+ y = 29,

(y − 7) + y = 29.

Esto es,2y − 7 = 29.

Fracciones.

Esto significa que 29 es el numero que hay que sumarle a 7para obtener 2y, es decir,

2y = 7 + 29,

o sea2y = 36.

Esta ultima igualdad dice que y es el numero quemultiplicado por 2, da 36. Es decir,

y = 36÷ 2 = 18.

Los numeros buscados son entonces, 18 y 11.

Fracciones.

2y = 7 + 29,

o sea2y = 36.

y = 36÷ 2 = 18.

Fracciones.

2y = 7 + 29,

o sea2y = 36.

y = 36÷ 2 = 18.

Fracciones.

2y = 7 + 29,

o sea2y = 36.

y = 36÷ 2 = 18.

Fracciones.

2y = 7 + 29,

o sea2y = 36.

y = 36÷ 2 = 18.

Fracciones.

En la practica, este proceso de solucion suele mecanizarse ycada vez que se usa una operacion inversa se parafraseadiciendo ((lo que esta sumando pasa al otro lado restando y loque esta multiplicando pasa al otro lado dividiendo”.

Mas adelante estudiaremos con detalle la solucion deecuaciones.

Fracciones.

Numeros irracionales

Hasta ahora hemos presentado los siguientes conjuntos denumeros:

¿Son estos numeros suficientes para expresar cualquier posiblemedicion? Los pitagoricos pensaban que sı, sin embargo, se creeque fue precisamente uno de ellos, Hipaso de Metaponto, quiendemostro lo contrario. ¿Como lo hizo?

Fracciones.

¿Son estos numeros suficientes para expresar cualquier posiblemedicion?

Los pitagoricos pensaban que sı, sin embargo, se creeque fue precisamente uno de ellos, Hipaso de Metaponto, quiendemostro lo contrario. ¿Como lo hizo?

Fracciones.

¿Son estos numeros suficientes para expresar cualquier posiblemedicion? Los pitagoricos pensaban que sı, sin embargo, se creeque fue precisamente uno de ellos, Hipaso de Metaponto, quiendemostro lo contrario.

¿Como lo hizo?

Fracciones.

¿Son estos numeros suficientes para expresar cualquier posiblemedicion? Los pitagoricos pensaban que sı, sin embargo, se creeque fue precisamente uno de ellos, Hipaso de Metaponto, quiendemostro lo contrario. ¿Como lo hizo?

Fracciones.

Dio respuesta a la pregunta, ¿cuanto mide la diagonal de uncuadrado cuyo lado mide 1?

Nosotros sabemos muy bien que mide...√

Fracciones.

Nosotros sabemos muy bien que mide...

Fracciones.

Nosotros sabemos muy bien que mide...√

Fracciones.

Hipaso de Metaponto demostro que este numero no es unnumero racional: no es un cociente de numeros enteros.

Unaforma de demostrar esta afirmacion, es por reduccion alabsurdo. Supongamos que

√2 sı es un numero racional:

√2 =

Podemos suponer que m y n no tienen divisores en comun, esdecir, estamos suponiendo que la fraccion esta simplificada.

Fracciones.

Hipaso de Metaponto demostro que este numero no es unnumero racional: no es un cociente de numeros enteros. Unaforma de demostrar esta afirmacion, es por reduccion alabsurdo.

Supongamos que√

2 sı es un numero racional:

√2 =

Fracciones.

Hipaso de Metaponto demostro que este numero no es unnumero racional: no es un cociente de numeros enteros. Unaforma de demostrar esta afirmacion, es por reduccion alabsurdo. Supongamos que

√2 =

Fracciones.

Hipaso de Metaponto demostro que este numero no es unnumero racional: no es un cociente de numeros enteros. Unaforma de demostrar esta afirmacion, es por reduccion alabsurdo. Supongamos que

√2 =

Fracciones.

Como√

2 es el numero que elevado al cuadrado da 2, laigualdad anterior significa que

2 =(mn

Esto es2n2 = m2.

Ası que m2 es un entero par y por lo tanto tambien m debe serpar (¿por que?).

Fracciones.

Como√

2 =(mn

Esto es2n2 = m2.

Fracciones.

Como√

2 =(mn

Esto es2n2 = m2.

Fracciones.

De lo anterior se concluye que m2, no solo es par, sino que esmultiplo de 4

y por lo tanto podemos escribir m2 = 4k paraalgun entero adecuado k. Ası pues

2n2 = 4k,

o equivalentementen2 = 2k,

es decir, n2 es un numero par y por lo tanto lo es tambien n.

Fracciones.

De lo anterior se concluye que m2, no solo es par, sino que esmultiplo de 4 y por lo tanto podemos escribir m2 = 4k paraalgun entero adecuado k.

Ası pues

2n2 = 4k,

Fracciones.

De lo anterior se concluye que m2, no solo es par, sino que esmultiplo de 4 y por lo tanto podemos escribir m2 = 4k paraalgun entero adecuado k. Ası pues

2n2 = 4k,

Fracciones.

De lo anterior se concluye que m2, no solo es par, sino que esmultiplo de 4 y por lo tanto podemos escribir m2 = 4k paraalgun entero adecuado k. Ası pues

2n2 = 4k,

Fracciones.

Hemos visto que en m/n, tanto el numerador como eldenominador son numeros pares, de manera que la fraccion sepuede simplificar cancelando un 2.

¡Pero dijimos que la fraccion estaba simplificada! Estacontradiccion significa que

√2 no puede ser un numero

racional.

Fracciones.

¡Pero dijimos que la fraccion estaba simplificada!

Estacontradiccion significa que

racional.

Fracciones.

¡Pero dijimos que la fraccion estaba simplificada! Estacontradiccion significa que

racional.

Fracciones.

Son aquellos cuya representacion decimal no tiene un patronque se repite.

El conjunto de los numeros irracionales se denota por Qc. Alconjunto consta de todos los numeros racionales junto con losirracionales se llama conjunto de los numeros reales, y sedenota por R. En sımbolos:

R = Q ∪Qc

Fracciones.

El conjunto de los numeros irracionales se denota por Qc.

Alconjunto consta de todos los numeros racionales junto con losirracionales se llama conjunto de los numeros reales, y sedenota por R. En sımbolos:

R = Q ∪Qc

Fracciones.

El conjunto de los numeros irracionales se denota por Qc. Alconjunto consta de todos los numeros racionales junto con losirracionales se llama conjunto de los numeros reales, y sedenota por R.

En sımbolos:

R = Q ∪Qc

Fracciones.

El conjunto de los numeros irracionales se denota por Qc. Alconjunto consta de todos los numeros racionales junto con losirracionales se llama conjunto de los numeros reales, y sedenota por R. En sımbolos:

R = Q ∪Qc

Fracciones.

Veamos algunos ejemplos de numeros racionales:

4= 0.2500000 . . .

= 0.25

11= 0.18181818 . . .

= 0.18

4995= 0.15275275275 . . .

= 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

4= 0.2500000 . . . = 0.25

11= 0.18181818 . . .

= 0.18

4995= 0.15275275275 . . .

= 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

4= 0.2500000 . . . = 0.25

11= 0.18181818 . . .

= 0.18

4995= 0.15275275275 . . .

= 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

4= 0.2500000 . . . = 0.25

11= 0.18181818 . . . = 0.18

4995= 0.15275275275 . . .

= 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

4= 0.2500000 . . . = 0.25

11= 0.18181818 . . . = 0.18

4995= 0.15275275275 . . .

= 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

4= 0.2500000 . . . = 0.25

11= 0.18181818 . . . = 0.18

4995= 0.15275275275 . . . = 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

4= 0.2500000 . . . = 0.25

11= 0.18181818 . . . = 0.18

4995= 0.15275275275 . . . = 0.15275

413717421

111111111= 0.123456789

Fracciones.

Algunos numeros irracionales son:

2 = 1.414213562 . . .

2 π = 3.141592653 . . .

Soy y sere a todos definible,mi nombre tengo que daros,

cociente diametral siempre inmediblesoy de los redondos aros.

3 e = 2.71828182845 . . .

4 ϕ = 1+√5

2 =1.6180339887. . .

5 0.101001000100001000001 . . .

Fracciones.

2 = 1.414213562 . . .

2 π = 3.141592653 . . .

3 e = 2.71828182845 . . .

4 ϕ = 1+√5

2 =1.6180339887. . .

5 0.101001000100001000001 . . .

Fracciones.

2 = 1.414213562 . . .

2 π = 3.141592653 . . .

3 e = 2.71828182845 . . .

4 ϕ = 1+√5

2 =1.6180339887. . .

5 0.101001000100001000001 . . .

Fracciones.

2 = 1.414213562 . . .

2 π = 3.141592653 . . .

3 e = 2.71828182845 . . .

4 ϕ = 1+√5

2 =1.6180339887. . .

5 0.101001000100001000001 . . .

Fracciones.

2 = 1.414213562 . . .

2 π = 3.141592653 . . .

3 e = 2.71828182845 . . .

4 ϕ = 1+√5

2 =1.6180339887. . .

5 0.101001000100001000001 . . .

Fracciones.

2 = 1.414213562 . . .

2 π = 3.141592653 . . .

3 e = 2.71828182845 . . .

4 ϕ = 1+√5

2 =1.6180339887. . .

5 0.101001000100001000001 . . .

Fracciones.

Los numeros reales son entonces:

Fracciones.

Dijimos que los numeros naturales sirven para contar y quelas operaciones basicas, suma y multiplicacion, surgen como unamanera de simplificar esta tarea.

Sumar dos numeros naturales significa. . .

Multiplicar dos numeros naturales significa. . .

Pero, ¿como interpretamos la suma y la multiplicacion de dosnumeros que no son naturales?

Fracciones.

Propiedades basicasPropiedades adicionales.Leyes de los signos.

Propiedades basicas de los numeros reales.

Sean a, b y c numeros reales.

Propiedades de la suma.

1 Conmutatividad: a+ b = b+ a2 Asociatividad: a+ (b+ c) = (a+ b) + c3 Neutro aditivo: Existe un numero real, que se denota por

0, tal quea+ 0 = a

sin importar cual sea el valor de a.4 Inverso aditivo: Para cada numero real a existe un unico

numero real, que se denota por el sımbolo −a, que tiene lapropiedad

a+ (−a) = 0

Fracciones.

Propiedades de la suma.1 Conmutatividad: a+ b = b+ a

2 Asociatividad: a+ (b+ c) = (a+ b) + c3 Neutro aditivo: Existe un numero real, que se denota por

0, tal quea+ 0 = a

a+ (−a) = 0

Fracciones.

Propiedades de la suma.1 Conmutatividad: a+ b = b+ a2 Asociatividad: a+ (b+ c) = (a+ b) + c

3 Neutro aditivo: Existe un numero real, que se denota por0, tal que

a+ 0 = a

a+ (−a) = 0

Fracciones.

Propiedades de la suma.1 Conmutatividad: a+ b = b+ a2 Asociatividad: a+ (b+ c) = (a+ b) + c3 Neutro aditivo: Existe un numero real, que se denota por

0, tal quea+ 0 = a

sin importar cual sea el valor de a.

4 Inverso aditivo: Para cada numero real a existe un uniconumero real, que se denota por el sımbolo −a, que tiene lapropiedad

a+ (−a) = 0

Fracciones.

Propiedades de la suma.1 Conmutatividad: a+ b = b+ a2 Asociatividad: a+ (b+ c) = (a+ b) + c3 Neutro aditivo: Existe un numero real, que se denota por

0, tal quea+ 0 = a

a+ (−a) = 0

Fracciones.

Propiedades de la multiplicacion

5 Conmutatividad: a · b = b · a

6 Asociatividad: a · (b · c) = (a · b) · c7 Neutro multiplicativo: Existe un numero real, que se

denota por 1, tal quea · 1 = a

8 Inverso multiplicativo: Si a es un numero real a 6= 0,entonces existe unico numero, que se denota por el sımboloa−1, con la propiedad

a · a−1 = 1

Fracciones.

5 Conmutatividad: a · b = b · a6 Asociatividad: a · (b · c) = (a · b) · c

7 Neutro multiplicativo: Existe un numero real, que sedenota por 1, tal que

a · 1 = a

a · a−1 = 1

Fracciones.

5 Conmutatividad: a · b = b · a6 Asociatividad: a · (b · c) = (a · b) · c7 Neutro multiplicativo: Existe un numero real, que se

a · a−1 = 1

Fracciones.

5 Conmutatividad: a · b = b · a6 Asociatividad: a · (b · c) = (a · b) · c7 Neutro multiplicativo: Existe un numero real, que se

a · a−1 = 1

Fracciones.

Observe que por definicion se cumple que

−(−a) = a y (a−1)−1 = a.

Para ver por que solo hay que tener claro que significan ambasigualdades.

9 Propiedad distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c

(b+ c) · a = b · a+ c · a

Fracciones.

Observe que por definicion se cumple que

−(−a) = a y (a−1)−1 = a.

Para ver por que solo hay que tener claro que significan ambasigualdades.

9 Propiedad distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c

(b+ c) · a = b · a+ c · a

Fracciones.

1 ¿La resta es conmutativa?, ¿es asociativa?

2 ¿La division es conmutativa?, ¿asociativa?

Fracciones.

1 ¿La resta es conmutativa?, ¿es asociativa?

2 ¿La division es conmutativa?, ¿asociativa?

Fracciones.

Propiedades adicionales.

10 a · 0 = 0

a= 0 para a 6= 0

13 (−1)(a) = −a

a= a−1

Fracciones.

10 a · 0 = 0

a= 0 para a 6= 0

13 (−1)(a) = −a

a= a−1

Fracciones.

10 a · 0 = 0

a= 0 para a 6= 0

13 (−1)(a) = −a

a= a−1

Fracciones.

10 a · 0 = 0

a= 0 para a 6= 0

13 (−1)(a) = −a

a= a−1

Fracciones.

10 a · 0 = 0

a= 0 para a 6= 0

13 (−1)(a) = −a

a= a−1

Fracciones.

15 (a · b)−1 = a−1 · b−1

)−1=a−1

b−1=b

17 Si a · b = 0 entonces debe cumplirse que

a = 0 o bien b = 0

18 Sia

b= 0 entonces debe cumplirse que

Fracciones.

15 (a · b)−1 = a−1 · b−1

)−1=a−1

b−1=b

a = 0 o bien b = 0

18 Sia

Fracciones.

15 (a · b)−1 = a−1 · b−1

)−1=a−1

b−1=b

a = 0 o bien b = 0

18 Sia

Fracciones.

15 (a · b)−1 = a−1 · b−1

)−1=a−1

b−1=b

a = 0 o bien b = 0

18 Sia

Fracciones.

Leyes de los signos.

19 (−a)(−b) = ab

20 −(ab) = (−a)(b) = (a)(−b)

21−a−b

22 −ab

=−ab

Fracciones.

Suma y resta.Multiplicacion y division.

Fracciones.

Intuitivamente las fracciones pueden pensarse como si sedividiera una unidad en tantas partes como indique eldenominador, de las cuales, se toman tantas como indica elnumerador.

Por ejemplo,

Fracciones.

Intuitivamente las fracciones pueden pensarse como si sedividiera una unidad en tantas partes como indique eldenominador, de las cuales, se toman tantas como indica elnumerador. Por ejemplo,

Fracciones.

Suma y resta de fracciones.

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador es facilsumarlas:

Fracciones.

Suma y resta de fracciones.

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador es facilsumarlas:

Fracciones.

Ası pues, las fracciones con el mismo denominador se sumande la siguiente manera:

c=a+ b

y se restan de la siguiente manera:

c− b

c=a− bc

Fracciones.

c=a+ b

c− b

c=a− bc

Fracciones.

c=a+ b

c− b

c=a− bc

Fracciones.

c=a+ b

c− b

c=a− bc

Fracciones.

Pero, ¿como sumar fracciones con distinto denominador?

Fracciones.

Pero, ¿como sumar fracciones con distinto denominador?

Fracciones.

En este ejemplo es sencillo: dividimos cada “medio” en trespartes mas, de manera que cada entero queda dividido en seispartes. Con esto se logra que las fracciones tengan el mismodenominador.

Ası,7

Fracciones.

Ası,7

Fracciones.

Ası,7

Fracciones.

Ahora, ¿como se podrıan sumar, por ejemplo, 23 y 3

Fracciones.

Ahora, ¿como se podrıan sumar, por ejemplo, 23 y 3

Fracciones.

De nuevo necesitamos un denominador comun a ambasfracciones, el cual puede lograrse si dividimos cada “tercio” encuatro partes mas y cada “cuarto” en tres partes mas,obteniendo en ambos casos, doceavos.

Ası,2

Fracciones.

Ası,2

Fracciones.

Ası,2

Fracciones.

Lo que estamos haciendo es usar la

Ley de la cancelacion

a · cb · c

Ası pues, podemos sumar y restar fracciones con distintodenominador por medio de las siguientes reglas generales:

d=ad+ bc

b− c

d=ad− bcbd

Fracciones.

Lo que estamos haciendo es usar la

Ley de la cancelacion

a · cb · c

Ası pues, podemos sumar y restar fracciones con distintodenominador por medio de las siguientes reglas generales:

d=ad+ bc

b− c

d=ad− bcbd

Fracciones.

Multiplicacion de fracciones. Las fracciones se multiplicancon la siguiente regla:

b· cd

=a · cb · d

Division de fracciones. La division de fracciones se efectuapor medio de la regla:

d=a · db · c

o bien usando otra notacion

=a · db · c

Fracciones.

Multiplicacion de fracciones. Las fracciones se multiplicancon la siguiente regla:

b· cd

=a · cb · d

Division de fracciones. La division de fracciones se efectuapor medio de la regla:

d=a · db · c

o bien usando otra notacion

=a · db · c

Fracciones.

Observaciones.

1 Cuando se realizan varias operaciones en ausencia deparentesis, las multiplicaciones (y por lo tanto lasdivisiones) llevan prioridad sobre las sumas (y por lo tantolas restas).

Por ejemplo, en la expresion

−2 + 6× 3− 2

la multiplicacion debe efectuarse primero y por tanto elresultado es 14.

Fracciones.

Observaciones.

1 Cuando se realizan varias operaciones en ausencia deparentesis, las multiplicaciones (y por lo tanto lasdivisiones) llevan prioridad sobre las sumas (y por lo tantolas restas).

Por ejemplo, en la expresion

−2 + 6× 3− 2

la multiplicacion debe efectuarse primero y por tanto elresultado es 14.

Fracciones.

2 En la practica, al efectuar operaciones con fracciones seacostumbra, para facilitar los calculos y cuando es posible,simplificar las fracciones por medio de la ley de lacancelacion antes de realizar las operaciones indicadas.Asimismo, es conveniente dar el resultado en la forma massimple posible.

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