Aritmètica i Àlgebra

Departament de MatemàtiquesIES Miquel Bosch i Jover

SUMARIU

NIT

AT 1 Els nombres reals

Exercicis

UN

ITAT 2 Operacions amb nombres reals

Exercicis

UN

ITAT 3 Equacions, inequacions i sistemes

Exercicis

UN

ITAT 4 Polinomis i fraccions algèbriques

Exercicis

UN

ITAT 5 Progressions

Exercicis

2

BA

Unitat 1. Els nombres reals

El conjunt dels nombres naturals

Els nombres naturals sorgeixen de la necessitat de comptar o d'ordenar. Aquest conjunt es simbolitza amb la lletra N

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Es representen sobre una recta i procedirem així:

• prenem un segment unitat, AB, amb extrems A i B ;

• fem correspondre l'1 a l'extrem B ;

• traslladem cap a la dreta el segment AB i marquem els nombres 2, 3, 4, .. allà on es situa l'extrem B

Amb aquests nombres podem sumar i multiplicar.

El conjunt dels nombres enters

Per representar el resultat de qualsevol resta cal ampliar el conjunt N amb un nou conjunt de nombres : els nombres enters.

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }

Es representen sobre una recta on tenim col·locats els nombres naturals. Fem correspondre el nombre 0 amb l'extrem A del segment AB.

3

BA

1

BA

1 2

BA

1 2 3

1 2 3

BA

0

Traslladant cap a l'esquerra AB obtindrem els nombres enters -1, -2, -3, ...allà on es situa l'extrem A.

Amb aquest conjunt podem sumar, restar i multiplicar.

El conjunt dels nombres racionals

En el conjunt dels nombres enters la divisió no sempre és possible. Cal ampliar el conjunt dels nombres enters al conjunt dels nombres racionals. Simbolitzem aquest conjunt amb la lletra Q.

Un nombre racional està format per una fracció ( divisió indicada de dos enters ) i les seves fraccions equivalents. Cadascuna d'aquestes fraccions equivalents és un representant del nombre racional. La fracció irreductible de denominador positiu és el representant canònic del nombre racional.

Exemple:nombre racional

representants representant canònic

{−810

, 20−25

,−45

,−1215

, . ..} −45

Els nombres racionals també es poden representar mitjançant punts sobre una recta. Donat un nombre racional aquest pot ser:

• més petit que 1, per exemple, 35

, es divideix el segment unitat en 5 parts

( aplicant el teorema de Tales ) i triem 3 d'aquestes.

4

1 2 3

BA

0-1

1 2 3

BA

0-1-2

35

• més gran que 1, per exemple, 73

, en aquests cas fem primer la divisió:

7 31 2

per tant 7 = 3 · 2 + 1, 73

= 3 · 21

3= 2 +

13

. Per representar 73

es prenen dues

unitats i es divideix la unitat següent en tres parts i d'aquestes se'n pren una.

Tot nombre racional es pot expressar en forma decimal. S'obté dividint el numerador pel denominador. Les diverses situacions que es poden donar quan transformem una fracció en nombre decimal són:

a. divisió exacta: el numerador és múltiple del denominador, es tracta d'un

nombre enter. Exemple: 6416

= 4

b. decimal exacte: després d'uns quants decimals la divisió s'acaba. Exemple: 9740

= 2,425

c. decimal periòdic pur: després de la coma decimal apareix una xifra o un

grup de xifres que es repeteix indefinidament. Exemple: 3227

= 1,185185185...

d. decimal periòdic mixt: després de la coma decimal i d'algunes altres xifres apareix un dígit o un grup de dígits que es repeteix indefinidament.

Exemple: 1922

=0,8636363...

De la mateixa manera, qualsevol nombre decimal periòdic o exacte admet una representació com a fracció, és a dir, com a nombre racional. Es tracta de trobar la fracció generatriu.

decimal exacte fracció generatriu

0,001212

10000 =

32500

decimal periòdic pur fracció generatriu

7,333333333333...73−7

9 =

669

= 223

decimal periòdic mixt fracció generatriu

2,3454545454545...2345−23

990 =

2322990

= 12955

5

73

El conjunt dels nombres irracionals

Es pot demostrar que existeixen nombres que no es poden escriure en forma de fracció ( per exemple, 2 ). Aquests nombres decimals d'infinites xifres que no formen període són anomenats nombres irracionals.

Exemple:

0,101001000100001 ...

2 = 1,414213562...

nombre d'or Φ = 15

2 = 1,618033989...

π = 3,141592654...

Els nombres irracionals també es representen sobre una recta. Si són irracionals donats per un nombre quadràtic n'hi ha prou amb construir un triangle rectangle la hipotenusa del qual tingui com a longitud aquest radical.

Exemple: 5

En cas de no ser un radical quadràtic, el nombre irracional es pot representar de forma aproximada, situant-lo en intervals successius de forma que el nou interval està contingut en l'anterior. A més intervals, més precisió. És el mètode dels intervals encaixats.

El conjunt dels nombres reals

El conjunt de tots els nombres siguin racionals o siguin irracionals s'anomena conjunt dels nombres reals i s'acostuma a indicar amb R.

La classificació dels nombres la podem resumir en l'esquema següent:

6

5

NombresReals

R

NombresRacionals

Q

NombresEnters

Z

NombresNaturals

N

Zero

EntersNegatius

DecimalsExactes

DecimalsPeriòdics

PursMixtos

NombresIrracionals

I

Quan els reals es representen sobre una recta ja no queden punts buits, l'omplen totalment, és la recta real.

Podem establir un ordre en el conjunt R. Donats dos nombres reals a i b, direm que a és menor que b, i escriurem a < b, si en representar-los sobre la recta a queda situat a l'esquerra de b.

Ja que R està ordenat, podem parlar dels nombres reals compresos entre dos nombres reals donats, a i b. Aquest conjunt es correspon amb un segment de recta real, anomenat interval. Segons l'interval contingui o no els extrems a i b, pot ser:

• tancat: [a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b }

a b

• obert: (a, b) = { x ∈ R / a < x < b }

a b

semiobert: (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b }

a b

semiobert: [a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b }

a b

7

•intervals infinits: (a, ∞+ ) = { x ∈ R / x > a }

a

[a, ∞+ ) = { x ∈ R / x ≥ a }

a

( ∞− , b) = { x ∈ R / x < b }

b

( ∞− , b] = { x ∈ R / x ≤ b }

b

Un cas particular d'interval és l'entorn. S'anomena entorn de centre a i radi r, i es representa per Er (a), l'interval obert d'extrems a - r i a + r:

Er (a) = (a - r, a + r) = { x ∈ R / a - r < x < a + r }

De vegades ens interessa excloure el centre de l'interval, aleshores parlem d'entorn reduït:

Er* (a) = (a - r, a + r) - { a } = { x ∈ R / a - r < x < a + r , x ≠ a}

Com els intervals són conjunts de nombres, podem fer servir les operacions ∪ ( unió ), ∩ ( intersecció ) i − ( diferència ). Així, si A i B són intervals definim:

A ∪ B = { x ∈ R / x ∈ A o x ∈ B }A ∩ B = { x ∈ R / x ∈ A i x ∈ B }A − B = { x ∈ R / x ∈ A i x ∉ B }

8

Unitat 1. Exercicis

1. Indiqueu el conjunt numèric menor al qual pertany el resultat d'aquestes operacions:

a) 5 + 2 b) 5 + 12

c) 3 - 8 d) 2 · 8

e) 5 - ( -5 ) f) 152

: 52

h) -5 + 53

i) -5 · 215

2. Trobeu el valor de m perquè les fraccions m12 i

618 representin el mateix

nombre racional. Quin n'és el representant canònic ?

3. Indiqueu quina de les fraccions següents no és un representant del nombre

racional 27

.

414

−6−21

1035

2−7

−10−35

4. Representeu sobre la recta els nombres següents:

−53

−37

−2177 8

95 5

5. Trobeu la fracció generatriu dels nombres racionals següents: a) 4,65 b) 12,6666666... c) 1,254545454... d) 0,1999999...

6. Agrupeu aquests nombres racionals segons que la seva expressió decimal sigui limitada, periòdica pura o periòdica mixta:

34

13

−18

−225

853

1223

7. Indiqueu quins dels nombres següents són racionals:

16 0,1010010001... 2,515151... 35 π + 1

9

8. Anomenem espiral dels radicals la figura següent:

Apliqueu el teorema de Pitàgores i escriviu les longituds dels segments OA, OB, OC, OD i OE.Construïu un segment de longitud 7 amb l'ajut d'aquesta espiral.

9. Si busquem el valor de 6 amb la calculadora, apareix en pantalla 2,44948974. És racional aquest nombre ? És igual a 6 ?

10. Escriviu tres parells de nombres racionals entre els quals es trobi el nombre real 5 i de manera que cada vegada hi quedi més proper.

11. Comproveu que el producte de dos nombres irracionals no és sempre un altre nombre irracional.

12. Escriviu en forma de conjunt els intervals següents i representeu-los sobre la recta.

a) [3, 7) b) ( ∞− ,-2) c) (-3, 4] d) [1, ∞+ )

13. Indiqueu, en cada cas, l'interval representat gràficament:

a.

10

b.

c.

14. Escriviu en forma d'interval i representeu gràficament els entorns següents:

a) E2 (5) b) E13

(0) c) E3* (-2) d) E1 (-1) e) E1

2

*(-2)

15. Anoteu en forma d'entorn aquests intervals:

a) (-1,1) b) (-1,0) c) (4,10) d) (-4,-2) e) (-5,7)

16. Representeu gràficament i escriviu en forma d'entorn el conjunt de nombres reals que disten de -1 menys de dues unitats.

17. Escriviu en forma d'interval els següents conjunts de nombres reals:

a) | x | < 1 b) | x | ≥ 2 c) | x + 2 | ≥ 0 d) | x - 1 | ≤ 3

18. Escriviu en forma d'interval els següents conjunts de nombres reals i calculeu A ∪ B, A ∪ C, A ∩ C, A - B.

A = { x ∈ R / -2 ≤ x < 3 }B = { x ∈ R / x ≥ 2 }C = { x ∈ R / -1 < x ≤ 4 }

19. Expresseu els intervals corresponents a A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, A - B, essent A, B i C els conjunts de nombres reals representats gràficament:

A:

11

B:

C:

12

Unitat 2. Operacions amb nombres reals

Aproximació decimal dels nombres reals

Sabem que hi ha nombres reals amb infinites xifres decimals. Per operar amb ells amb més facilitat utilitzem aproximacions decimals. Les aproximacions poden ser per defecte, si són menors que el valor exacte , o per excés si són majors.

Exemple:

valor exacte aproximació per defecte aproximació per excés3,14159265358... 3,14 3,15

El nombre de xifres decimals triades en l'aproximació determina el seu ordre.

Per prendre una aproximació d'un nombre real fins a un determinat ordre, podem fer-ho:

• per truncament: suprimir les xifres decimals a partir de l'ordre d'aproximació.

• per arrodoniment: observem la primera xifra que s'ha de suprimir, si és més petita que 5, les xifres anteriors es deixen igual, si és més gran o igual que 5, s'augmenta en una unitat la xifra anterior a la primera que s'ha de suprimir.

Exemple:

valor exactenombre de xifres

decimals de l'aproximació

aproximació per truncament

aproximació per arrodoniment

55,2787529... dues 55,27 55,28

- 4,322222 tres - 4,322 - 4, 322

Error

Anomenem error absolut ( E a ) d'una aproximació, el valor absolut de la diferència entre el valor exacte del nombre i el valor aproximat.

El quocient entre l'error absolut i el valor absolut del valor exacte s'anomena error relatiu ( E r ). Aquest error expressa l'error comès per unitat, per tant, el percentatge d'error serà E r · 100.

Exemple:

valor exacte aproximació error absolut error relatiu percentatge d'error

12,6488 12,65 0,0012 0,000095 0,0095- 124,55 - 124 0,55 0,0044 0,44

13

Si el valor exacte no es coneix, no és possible trobar l'error absolut comès en prendre una aproximació, tot i que sí podem trobar un valor més gran que aquest error. Anomenem aquest valor fita d'error absolut.

Exemple:

2 = 1,414213562... si prenem com a aproximació 1,41 tenim E a = | 1,414213562... - 1,41 | = | 0,004213562...| < 0,01 , una fita d'error absolut és 0,01.

Donada la fita d'error absolut, també podem trobar una fita d'error relatiu.

Exemple:

2 = 1,414213562... si prenem com a aproximació 1,41 tenim E a < 0,01. Una fita d'error relatiu:

E r = Ea

∣1,412213562...∣ <

0,011,4

< 0,008

Radicals

Si a i b són nombres reals, direm que b és l'arrel d'índex n de a i ho escriurem

na = b si és certa la igualtat b n = a

on és el símbol del radical, n és el seu índex i a és el radicand.

Exemples: 327 , 25 , 53 .

Els radicals es poden escriure com a fraccions d'exponent fraccionari.

Exemples: 35 = 513 , 4

23 = 234 , 3 = 3

12

Els radicals que representen el mateix nombre diem que són equivalents. Fixeu-vos que podem passar d'un radical al seu equivalent, multiplicant l'índex i l'exponent del radicand per el mateix nombre.

Exemple: 33 = 436 = 6

39

Donats uns radicals, reduir-los a mínim comú índex és escriure radicals equivalents als donats que tinguin tots el mateix índex i que aquest índex sigui, a més, el més petit possible.

14

Exemple: Siguin els radicals 2 , 33 , 45 , per reduir-los al mínim comú índex:

• busquem el mínim comú múltiple dels índexs mcm (2, 3, 4) = 12.• escrivim radicals equivalents amb índex 12, 12

26 , 1234 , 12

53 .

Operacions amb radicals

Producte de radicals

• 1r cas: producte de dos radicals del mateix índex. El resultat és un radical amb índex igual al dels factors i radicand igual al producte dels radicands dels factors.• 2n cas: producte de radicals de diferent índex. Primer els reduïm al mínim comú índex, després utilitzem la regla anterior.

Exemple: 2 · 33 = 623 · 6

32 = 623·32 = 672

Quocient de radicals

• 1r cas: quocient de dos radicals del mateix índex. El resultat és un radical del mateix índex i radicand igual al quocient dels radicands.• 2n cas: quocient de radicals de diferent índex. Primer cal reduir-los al mínim comú índex, després utilitzem la regla anterior.

Exemple:535

= 653

652

= 653

52= 6

5

Extracció de factors fora del signe radical

Podem extreure factors fora del signe radical si l'exponent del radicand és més gran que l'índex del radical.

Exemple: 375 = 7 3

72

Introducció de factors fora del signe radical

Sempre podem introduir factors dintre del signe radical.

Exemple: 5 33 = 353 · 3 = 3375

Potència d'un radical

El resultat d'elevar un radical a un exponent és un radical del mateix índex i radicand elevat a aquest exponent.

Exemple: 325

= 325

15

Arrel d'un radical

L'arrel d'un radical és un altre radical del mateix radicand i índex producte dels índexs.

Exemple: 313 = 613

Suma de radicals

En general, no es pot calcular la suma de dos radicals sense haver d'utilitzar les seves expressions decimals.

Dos radicals direm que són semblants si, després de simplificar-los al màxim, contenen exactament la mateixa arrel.

Exemple: 8 , 3 2 i −18 són semblants, ja que es poden escriure com 2 2 , 3 2 i −3 2 .

Només es poden sumar radicals semblants.

Exemple: 3 44 - 5 99 + 2 1331 = 3 22 · 11 - 5 32 ·11 + 2 113 = 6 11 - 15 11 + 22 11 = 13 11

Racionalització

Racionalitzar una fracció amb radicals en el denominador, consisteix a trobar-ne una altra d'equivalent sense radicals en el denominador.

Exemples: 1

35 =

135

 ∙ 352

352

 = 352

353

= 352

5

  3

5−2 = 

35−2

 ∙  52

52 = 

3 · 525−2 · 52

 =  3 · 52 3

=  52

Notació científica

Els nombres expressats en notació científica consten de tres parts diferenciades: una part entera formada per una sola xifra no nul·la, una part decimal i una potència de 10 d'exponent enter. La notació científica és molt útil per expressar nombres molt grans o molt petits.

Exemples: 2300000000 = 2,3 · 109

0,0000533 = 5,33 · 10 -5

16

Unitat 2. Exercicis

1. Completeu la taula següent:

NombreNombre de xifres

decimals de l'aproximació

Aproximació per truncament

Aproximació per arrodoniment

64,363483627... dues

9,4444444444... tres

- 3,75757575... cinc

21,64732065... tres

501,3476 dues

3,435555 quatre

2. Completeu la taula següent:

Nombre Aproximació Error absolut Error relatiu Error relatiu %

12,6488 12,65124,55 12431,45 31,4

-31,273478 -31,270,6666 0,67

-4,736576 -4,737

3. Trobeu una aproximació de 2 amb una fita d'error absolut de 0,00001. Determineu també una fita d'error relatiu.

4. Escriviu en forma decimal:

310

67503−125

573

5. Escriviu en forma de potències d’exponent fraccionari:

a) 722 b) 10

83 c) 552 d) 37 e) 2

f) 43−2 g) 2−3 h) 6

55 i) 89−1 j) 45

17

6. Escriviu en forma de radical:

a) 17−13 b) 3

12 c) 7

32 d) 5

18 e) 2

−34

f) −3

73 g) 5

17 h)

−2

35 i) 13

−12 j) 2

25

7. Simplifiqueu els radicals següents:

a) 464 b) 12243 c) 9216 d) 81024

e) 15243 f) 62401 g) 1649 h) 14128

8. Reduïu els radicals següents a mínim comú índex:

a) 2 , 33 b) 43 , 3 , 53 c) 122 , 163 , 85 d) 5 , 43 , 87

e) 33 , 55 , 7 f) 2 , 32 , 42 g) 54 , 2 , 35 , 157

9. Traieu fora de l'arrel els factors que sigui possible en els radicals següents:

a) 2 128 b) 381 c) 3 5192 d) 43888

e) 44802 f) 323625 g) 2075

h) 3135104

10. Introduïu els factors sota el signe radical:

a) 2 128 b) 7 381 c) 3 5192 d) 17 3

e) 12 43 f) 3 75 g) 12

5 h) 32

352

11. Efectueu, simplificant al màxim el resultat:

a) 2 · 34 · 44 b) 2 · 516 c) 312 · 424 · 696

d) 3 · 37 e) 32

· 458

f) 43 · 3 · 53

18

12. Efectueu, simplificant al màxim el resultat:

a) 632 · 325

8 b)

2 · 3346

c) 5 · 35

45

d) 224

e) 5644

f) 3359 g) 3332 h) 3

1254

13. Efectueu les sumes següents:

a) 1331 - 44 + 2 99 b) 316 + 3686 - 3 32

c) 2 54 - 216 - 625

d) 432 + 4 281

- 7 42

e) 2 3 - 15

27 + 23

12 f) 32 - 18 + 15

128

14. Racionalitzeu:

a) 1

33b)

3

2 42 c)

32−1

d) 21

2−1 e)

2

53f)

252−5

15. Escriviu en notació científica els nombres següents:

374289600000,000000054320,0001237440000000000,00008-120000000000

16. Escriviu amb totes les xifres els nombres següents:

4,41 · 106

-3,28 · 10-3

-7,2 · 10-5

4,002 · 108

5 · 10-7

3,7520 · 1010

19

17. Efectueu amb la calculadora:

( 7,3 · 105 ) · ( 2,64 · 10-3 )

( 0,9 · 102 )3

5,56 · 10−2

( 13,7 · 10-1) · ( 5 · 103 ) : ( 1,3 · 104 )

−2,34 · 103·−5,72 · 10−1

( 7,8 · 102 )-2

20