artgdfgd f gdf gdfg3

7/25/2019 artgdfgd f gdf gdfg3

1/6

Revista Ciencia y PodeEdicin N 7 Septiembre 2012 ISSN

F C

Tecnologa

26

F C

Seguridad Operacionaly Logstica Aeronutica

MODELACIN MATEMTICA DE UNA OP

AutoresDiego Gerardo Roldn Jimn12

Jorge Mauricio Ruiz23 Fecha de recepcin: 25 de abril de 2

Fecha de aceptacin: 13 de Julio de 2

1. Msc. en Matemtica Aplicada. Facultad de Ciencia y Tecnologa, Universidad de Ciencias Aplicadas y Ambientales. Correo electrnico: drold2. PhD. en Matemticas. Departamento de Matemticas, Universidad Nacional de Colombia. Correo electrnico: [email protected]

MATHEMATICAL MODELLING OF AN A

ResumenEl siguiente artculo da a conocer una modelacin matemtica

con relacin a una operacin area donde se debe destruir unobjetivo en tierra. En particular, el objetivo por considerar disponede bateras antiareas suficientes para defenderse de un ataqueareo. Se desarrollarn modelos probabilsticos para describir lasituacin, donde se pretende determinar la cantidad de aeronavesque se deben utilizar para maximizar la probabilidad de xito y asu vez minimizar la cantidad de aeronaves aliadas derribadas.

Palabras clave: Bombardeos a objetivos estticos,

modelacin matemtica.

AbstractThis article presents how a mathematical model appl

air operation where ground targets are being attacked. Pait considers having enough anti aircraft batteries to be dfrom an air attack. It develops probabilistic models to desituation, trying to determine the quantity of airships toto maximize the probability of success and at the sameminimize the quantity of downed allied airships.

Key words: Static Objects Bombing, mathematical mod

MODELACIN MATEMTICA DOPERACIN AREA

rev.ciencia.poder.areo.7: 26-31, 2012.


2/6

Tecnologa

27

Revista Ciencia y Poder AreoEdicin N 7 Septiembre 2012 ISSN 1909 -7050


Diego Gerardo Roldn Jimnez, Jorge Mauricio Ruiz

1. IntroduccinLa situacin que se considera es la destruccin total de un

objetivo en tierra, que se encuentra bien defendido por baterasantiareas. Para ello, se deben enviar un nmero determinado deaeronaves, que garanticen el xito de la misin. El problema inicial

que se enfrenta es que las aeronaves van a recibir fuego enemigodesde tierra, lo cual puede ocasionar daos inminentes y quizel derribo de estas aeronaves. Por ello, el factor inteligencia esmuy importante en esta operacin, ya que permitir determinarcon cuales tipos de defensas antiareas cuenta el enemigo,la cantidad y la eficiencia de estas mquinas de defensa. Lasdefensas antiareas en su intento de defender el objetivo atacarnconstantemente a las aeronaves involucradas en la misin con elfin de derribarlas. A las defensas areas se les acostumbra a llamarSAM (por sus siglas en ingles Surface Air Missile) en este modeloestas defensas antiareas son automticas y como tal reaccionanante un posible ataque enemigo. La probabilidad de acertar deestas armas depende de la pericia del que las manipula y de latecnologa con la que cuente.

2. MtodoPara el escenario donde se est lanzando determinado nmero

de municin desde tierra, es conveniente utilizar una distribucinde probabilidad que indique el fracaso o el xito a la hora de atacaraeronaves enemigas.

En la primera parte, se encuentra la distribucin de probabilidadbinomial con algunas de sus propiedades y se menciona la nocinde simulacin analtica para modelar una situacin que involucrems variables.

2.1 Una Operacin Area PlanificadaEl centro de operaciones areas estratgicas, planea un ataque

a un objetivo que se encuentra muy bien defendido, el centrodispone de bombarderos de gran altitud para realizar la misin.Por problemas de seguridad nacional se debe asegurar el xito dela operacin durante el primer da de ataque.

Pregunta :Cuntos bombarderos deben enviarse a esteobjetivo, con el fin de garantizar su total destruccin?

Esta es la pregunta tpica que se realiza en el centro deoperaciones estratgicas. Para plantear su solucin, se necesitasaber las condiciones, bajo las cuales se enviarn aeronaves a lamisin y por ello, los informes de inteligencia son muy importantespara identificar mejor al objetivo. Normalmente, estos informes deinteligencia traen las coordenadas donde se planea el ataque, elterreno y la dimensin de objetivo (rea).

Esta informacin ayudar a determinar el tipo de bombasque deben ser utilizadas durante el ataque. En este tipo de

operaciones el dao colateral debe ser mnimo y en consest informacin es muy importante.

Con la informacin suministrada anteriormente, inpuede realizar estimaciones sobre la efectividad dbombarderos y determinar la probabilidad de xito indiv

tambin es importante contar con aeronaves de alta tecpues mientras se disponga de ms tecnologa mejor seprobabilidad. Adems, teniendo en cuenta las caracterlas aeronaves, tambin se pueden hallar cifras que indiprobabilidad de atravesar las defensas areas y lograr deobjetivo. Para fines prcticos se considera que la misin si se logra una efectividad mayor o igual a 99%.

Otro dato fundamental que debe suministrar inteles el qu tipo de defensa, de la que dispone el objetivinformacin debe ser precisa y detallada, porque permitlas cifras para determinar la probabilidad de que algunabateras antiareas impacte a una aeronave.

Para empezar a describir el modelo, se necesita halexpresin que determine la probabilidad de que la misixito. Se considera que el nmero de aeronaves derribauna variable aleatoria X cuya distribucin se mencionar adelante. Tambin se define X 1 como la expresin que represenla probabilidadP 1 de xito de la misin dado que X = iaeronaveshan sido derribadas, antes de que puedan atacar el objse necesita fijar la probabilidad de que X = i aeronaves seanderribadas.

En esta expresin X 1 se asigna a la distribucin de X con el finde determinar el valor esperado de xito dei aeronaves dado que X = iaeronaves han sido derribadas. De esta forma, se duna nueva variableS como la probabilidad de xito de la mis

dondem es la cantidad de misiles lanzados desde tierradeterminar los valores que toma, observemos que siN aeronavesson enviadas a la misin yx = i aeronaves son destruidas antede completar la misin, entoncesN - i aeronaves atacan el objetivSi es la probabilidad de que una aeronave destruya el obj1 -P es la probabilidad de que fracase.

Ahora se supone que la variable aleatoria que dennmero total de aeronaves destruidas es una variable aleadistribucin binomial; es decir:

dondem es el nmero de misiles lanzados yq es laprobabilidad de que un misil derribe una aeronave.

(1)


3/6


F C

Tecnologa

28

F C



En la expresin (1) los valores desconocidos sonm y N .Para conocer el valor dem se debe determinar el tiempo que lasaeronaves se encuentran expuestas al fuego enemigo, ya que lasbateras antiareas usualmente lanzan una determinada cantidadde misiles en un tiempo dado. V Se debe considerar la velocidad a

la que vuelan las aeronaves y el rango de alcance efectivo de cadaSAM, luego el tiempo que las aeronaves permanecern expuestasmientras realizan el ataque est dado por:

dondeA es el alcance del radar de las defensas antiareas yes la velocidad a la cual estn volando las aeronaves. Se

plantea el siguiente objetivo:

ObjetivoHallar el valor mnimo deN tal queS > 0.99

3. Un Ejemplo IdealHay que destacar que algunas probabilidades en estas

operaciones, como por ejemplo la probabilidad de detecciny destruccin del objetivo depende del armamento que se estutilizando. Estos clculos de efectividad de destruccin de lasbombas, son calculados por la casa fabricante y normalmentedependen del ngulo de incidencia entre el objetivo y la aeronaveatacante.

Es posible encontrar caractersticas sobre bateras antiareasen diferentes sitios de casas fabricantes. En el siguiente ejemplo(Meerschaert M.) existe una situacin especfica, donde el trabajode inteligencia suministra informacin detallada de las capacidadesdel objetivo y capacidades propias de las aeronaves a utilizar en lamisin (Ver Ejemplo 1).

Los datos de inteligencia suministrados, informan que elobjetivo est defendido con dos bateras antiareas y suficientesarmas de corto alcance; cada batera antiarea tiene su propiosistema de gua y rastreo, el cual es capaz de rastrear dosaeronaves con alcance de 80 km, tambin es capaz de guiar dosmisiles a la vez con un rango efectivo de radar de 24 km. Cada

misil viaja a una velocidad de 1600 km por hora. Se estima quela probabilidad de que un misil impacte una aeronave es del 60%y se sabe que puede disparar 1 misil cada 30 segundos; ademscada SAM dispara una sola vez a cada aeronave.

Por otra parte, los bombarderos viajan a una velocidad de 804kilometros por hora, a una altitud de 8 km y el ataque requiere unapermanencia en el rea de 1 minuto.

En este sentido, se quiere determinar el tiempo totase expondr cada aeronave; para ello se determina el efectivo del radar y la velocidad de la aeronave reemplala expresin (2):

A este valor se le debe sumar el minuto de permanencique informa el plan de vuelo, as el tiempo total de exposaproximadamente de 3 minutos.

Como las dos bateras antiareas pueden lanzar 2 cada 30 segundos, entonces se concluye que el nmeromsiles en el aire durante la operacin ser dem = 10 msiles.Para solucionar el modelo se harn simulaciones por comcon las siguientes entradas:

m = 10 p = (0.9) (0.5) q = (0.6)

y para diferentes valores deN . Se ilustra los resultados en lFigura 1.

Un mnimo deN = 15 aeronaves son necesarias para aseguel xito de la misin. Un nmero bastante considerable ssi se cuenta con un poder areo lo suficientemente limnecesita hacer un anlisis de sensibilidad para tener unms amplia, de cul ser el nmero indicado de bombardrealizar esta misin.

(2)

(3)

Ejemplo 1. El jefe del centrode operaciones aeronuticas,

sabe que las aeronaves queenviar a la misin tienen una probabilidad individual de

destruir el objetivo del 50%,asumiendo que atraviesan lasdefensas areas y encuentranal objetivo. La probabilidad deque cada aeronave adquiera el

objetivo es del 90%.


4/6

Tecnologa

29




Primero se considera la probabilidad de xitoS = 0.99 . Estees un valor conveniente a variar. En la Figura (2) se muestran losefectos de hacer esta variacin. Se observa queN = 15 es unabuena decisin, aunque un nmero de aeronaves entre 10 y 20sera aceptable. Ms de 20 aeronaves es innecesario, ya que nohay una variacin considerable de la probabilidad de xito.

3.1 El Mal ClimaCuando se planea una operacin area, entre los elementos

ms importantes que se deben considerar es el clima. Si hay buenclima, la probabilidad de que un bombardero pueda destruir elobjetivo ser mayor, debido a que son ms fciles las condicionesde vuelo. Normalmente, antes de lanzar un ataque areo se esperael reporte de meteorologa aeronutica, con el fin de determinarsi es viable o no el ataque. En el modelo propuesto, el mal climase ver reflejado en la probabilidad p, de que un bombardero

destruya el objetivo. Para este caso particular por, tiene que p = (0.9)(0.5) y si la

probabilidad de deteccin se reduce a la mitad, es decir p = (0.5) (0.5) y siS > 0.99 , entonces se necesitarnN = 23 aeronaves. Deigual forma, si la probabilidad de deteccin ahora es 0.3, entoncesN = 35 aeronaves son requeridas. La relacin que hay entre laprobabilidad de deteccin y el nmero de aeronaves requeridaspara la misin se ilustran en la Figura 3.

Es obvio que no se quiere volar la misin del ejemplo conmal clima. En la Tabla 1 se muestra que el ejemplo con losparmetros dados, es bastante sensible cuando la probabilidad de

deteccin est entre 0.2 y 0.3, caso opuesto a lo que sucede paravalores entre 0.8 y 0.9. Esto es porque la cantidad de aeronavesse incrementa en un factor de 13 aeronaves por cada 10% deprobabilidad de deteccin.

3.2 Tecnologa DisponibleUna consecuencia del modelo es analizar el impacto operacional

que traen los avances tecnolgicos. Por ejemplo, si se disponen debombarderos que viajen al doble de la velocidad, estos reduciranel tiempo de exposicin a 15 segundos.

Figura 3: Nmero de bombarderos contra la probabilidad de deteccinde las aeronaves.

Figura 2: Variacin de N para diferentes valores de S.

Por lo tanto, en la operacin de estudio las aeronavern expuestas al fuego antiareo solo por un 1 minutlas bateras SAM lanzarn un total dem = 4 misiles. Con estascondiciones solo se necesitarnN = 11 aeronaves para garantizaun xito de la misinS mayor al 99%.

La Figura 4 muestra la relacin que hay entre el nbombarderos enviados y la probabilidad de xito de la mcaso de que se lancenm = 10 misiles (trayectoria verde) y encaso del concepto avanzado de aeronavem = 4 (trayectoria azul).Para una comparacin de referencia incluimos el escenano se lanzan misilesm = 0 (trayectoria amarilla.

En la Figura 5 se observa que a mayor cantidad de aeen el aire y mayor probabilidad de impacto de los misil

ser el nmero de aeronaves derribadas.

3.3 Aeronaves DerribadasCuando las aeronaves cumplen su misin y se p

para regresar a la base, ellas an estn expuestas a las bantiareas, entonces, la siguiente pregunta es:

Pregunta: Cuntas aeronaves se perdern en toda la mi

Figura 1: La probabilidad S de xito y los bombarderos N enviados.


5/6


F C

Tecnologa

30

F C



Para conocer esta cifra se define la siguiente expresin:

dondei representa el nmero de aeronaves impactadas por losmisiles y p(x = i) representa la distribucin binomial. As, con elminuto adicional de permanencia, se tiene que las aeronaves debenpermanecer por lo menos 4.6 minutos en la zona de exposicin.En este tiempo cada batera antiarea lanza 9 misiles; as habrm = 18 misles en el aire. Luego:

Tabla 1: Sensibilidad entre los valores de p y N

Valores de Valores de Sensibilidad0.2-0.3 42-29 1.30.3-0.4 29-22 0.70.4-0.5 22-19 0.3

0.5-0.6 19-16 0.30.6-0.7 16-15 0.10.7-0.8 15-13 0.20.8-0.9 13-12 0.1

Figura 5: Relacin entre cantidad de misiles en el aire y aeronavesderribadas para diferentes valores de q.

Figura 4: xito de la misin S y el nmero de bombarderos enviados N.Comparacin de los tres casos m=0,4 y 10.

m = 18 p = (0.9) (0.5) q = 0.6 N = 15

Y se obtiene que en total se derriban 11 aeronave

resultado trgico para la operacin, esto es porque el valode un bombardero econmico, (por ejemplo elSupertucano ) es devarios millones de dlares. En este momento, se debe conposibilidad de permanecer menos tiempo en la zona de expara ello, se modifican los tiempos de entrada, permasalida.

El tiempo de permanencia en la mayora de los cinalterable, aqu; es importante disponer de aeronavveloces. Si ahora en el ejemplo se consideran aeronavuelan a una velocidad de 1.930 kilmetros por hora (bomsupersnicos) y solo permanecen en el rea de ataque segundos(0.25 minutos) se tiene que gastarn 0.75 mentrando en la zona de exposicin y 0.75 minutos saliencual gastarn un total de 1.75 minutos. Este tiempo suficique las bateras antiareas lancen un total dem = 6 misles. As:

m = 6 p = (0.9)(0.5) q = 0.6 N = 15

y solo se tendrn 4 aeronaves derribadas. Por lo tanto, ltecnolgica es de gran ayuda en estas operaciones.

4. ConclusionesEl modelo mostrado es bastante restringido en el sentid

consideran valores ideales e hipotticos en una operacisimulada. Estos modelos se simplifican al permitir indede eventos, como es el caso de asumir la misma probde destruccin por cada una de las aeronaves involucrla misin. En realidad esta independencia no sucede pprobabilidad de deteccin de cada una de las aeronaves dcuando cae una bomba sobre el objetivo, ya que generahumo, esto afecta la efectividad de estas armas. Aunque un anlisis de sensibilidad sobre este parmetro se observnmero de aeronaves no cambia de manera significativa

El modelo permite incorporar una distribucin de proa la variable que describe la cantidad de aeronaves derDebido la naturaleza de la situacin, una distribucin para este modelo es la distribucin de Binomial que la probabilidad de xitos en intentos. De esta forma, sdescribir el modelo utilizando simulacin analtica y postun posible desarrollo analtico con la ayuda del bin


6/6

Tecnologa

31




Barnier, W. (s.f.).Expected Loss in Keno. Mdulo 574: UMAP.

Bender, E. A. (s.f.). An introduction to Mathematical Modeling. New York: Wiley & Sons.

Billingsley, P. (1979).Probability and measure. New York: Wiley & Sons.

Carlson. :Conditional Probability and Ambiguous information. Modulo 391.UMAP.

Dym, C.L. (2004).Principles of Mathematical Modeling. Claremont,California: Academic Press.

Feller, W. (1971): An introduction to probability theory and its applications. Vol. 2. 2nd Ed. New York: Wiley & Sons.

Meerschaert, M. (1993).Mathematical Modeling. New York: AcademicPress, Inc.

Ross, S. (s.f.).Introduction to probability models. 3rd ed. New York: Academic Press Inc.

ReferenciasNewton. La simulacin analtica en donde se usa la distribucinde Binomial, no permite la situacin donde se presentan msmisiles en el aire que aeronaves, esto es por que la variable quedescribe el xito de la operacin toma valores positivos.

En situaciones de guerra donde se quiere debilitar al enemigo,

es evidente el deseo de desarticular sus principales fuentes decombate(por ejemplo, pistas, fbricas, artillera, etc) Estosobjetivos estratgicos, se espera sean muy bien defendidos porel rival, ya sea por tropas en tierra o como sugiere el modeloa travs del uso de bateras antiareas. El factor inteligenciapermite describir cmo est planteada la defensa enemiga.La destruccin de estas fortalezas rivales pueden cambiar elcurso de un conflicto armado, permitiendo quiz el fin del mismo.De esta forma, una versin ms avanzada del modelo puedeayudar a simular operaciones reales entre distintas fuerzas , yasea para ejercicios tcnicos de combate o para complementaruna eventual operacin que est involucrada en una hiptesisde guerra. De manera semejante, este modelo puede validarsecon operaciones hechas anteriormente en el territorio nacionalparametrizando las probabilidades de xito, de las cualesdispone el armamento areo y las aeronaves de combate dela FAC utilizadas usualmente para operaciones que involucrenbombardeos.

artgdfgd f gdf gdfg3

Documents

Transcript of artgdfgd f gdf gdfg3