ATENEO n° 2 ENCUENTRO 1 Año...

Versión Preliminar Abril 2018

ATENEO N° 2 ENCUENTRO 1

AÑO 2018

ÁREA MATEMÁTICA

De la proporcionalidad a las funciones

lineales.

NIV

EL SECU

ND

AR

IO C

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BÁ

SICO

CO

OR

DIN

AD

OR


Agenda

Momentos Actividades

Primer momento De la proporcionalidad a las funciones de proporcionalidad directa Análisis y discusión de problemas para reflexionar en torno a la articulación entre niveles. 90 minutos

Actividad 1 45 minutos En pequeños grupos - Entre todos Actividad 2 45 minutos En pequeños grupos - Entre todos

Segundo momento Los registros de representación en la articulación entre niveles Lectura de un texto y reflexión. 30 minutos

Actividad 1 30 minutos En pequeños grupos - Entre todos

Tercer momento Propuesta de trabajo y reflexión metacognitiva

Elección de alguno de los problemas analizados y

planificación de una clase a implementar en sus

cursos.

45 minutos

Actividad 1 60 minutos En pequeños grupos

Cuarto momento Cierre del encuentro 15 minutos

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro 15 minutos Individual


Presentación

El presente ateneo se presenta como un espacio de análisis y reflexión compartida sobre situaciones complejas de la práctica docente, que conllevan el desafío de pensar propuestas didácticas para favorecer la tarea concreta en el aula e impactar positivamente en los aprendizajes del área de Matemática.

Este es el primero de una serie de tres encuentros dedicados al análisis de propuestas de

enseñanza que posibilitan la reflexión en torno a la articulación entre la escuela primaria y

secundaria, a propósito del trabajo con las funciones lineales desde la noción de

proporcionalidad.

En este encuentro se plantea un diálogo entre las prácticas de la escuela primaria y las de la

escuela secundaria a propósito del contenido de proporcionalidad y función lineal, y para ello

se propone trabajar sobre los desafíos que supone pensar en una enseñanza articulada con lo

aprendido en la escuela primaria. En el periodo comprendido entre el primer y segundo

encuentro, se propone implementar en el aula la propuesta analizada durante el primero. En el

segundo, se analizarán las producciones de alumnas y alumnos en base a lo implementado. Y

por último, en el tercer encuentro se trabajará en torno a cómo organizar y graduar los

distintos tipos de problemas a lo largo del Ciclo Básico.

En este material encontrarán sugerencias para trabajar dentro del aula junto a estudiantes con

discapacidad y/o Dificultades Específicas de Aprendizaje (DEA), con el fin de promover el

acceso, el aprendizaje y la participación de todos los alumnos. Estos aportes los podrán

observar en el destacado Educación inclusiva.


Capacidades

● Cognitivas

● Identificar problemáticas vinculadas con la enseñanza, a partir del análisis de

la resolución de un problema,

● Incorporar herramientas teóricas, tanto matemáticas como didácticas, para

potenciar el análisis y desarrollo de la tarea docente.

● Intrapersonales

● Tener una postura crítica que le permita reflexionar sobre la propia práctica.

● Asumir el propio proceso de formación profesional.

● Contar con una mirada estratégica en torno a la planificación de su propuesta

de enseñanza.

● Interpersonales

● Trabajar en equipo y reflexionar sobre la práctica docente.

Contenidos

● La entrada a la función lineal desde la proporcionalidad a partir de situaciones

problemáticas que requieran:

● recuperar abordajes aritméticos propios de la escuela primaria para

resignificarlos en una mirada funcional;

● usar nociones vinculadas a la variación uniforme y no uniforme;

● interpretar y producir diferentes registros de representación.

● La gestión de clase: la importancia de desarrollar el análisis de distintas estrategias de

resolución como instancia que abona a la planificación y las instancias colectivas.

● El rol de los problemas en la clase de Matemática.

● Criterios de análisis didáctico.


Propuesta de trabajo

Primer momento Análisis y discusión de problemas para reflexionar en torno a la articulación entre niveles 90 minutos

Actividad 1 45 minutos En pequeños grupos - Entre todos Actividad 2 45 minutos En pequeños grupos - Entre todos

Actividad 1

A continuación les presentamos un problema y la foto de su resolución en un pizarrón de 6°

grado.

1. Les proponemos analizar la relación entre las estrategias desplegadas por los

estudiantes y las esperadas en el Nivel Secundario para este mismo contenido.

2. Muchas veces, los alumnos que comienzan la escuela secundaria afirman no haber

tratado de esa manera las situaciones de proporcionalidad directa durante la escuela

primaria. ¿Por qué creen que sucede esto?

Problema 11

Completá esta tabla, sabiendo que todos los paquetes tienen la misma cantidad de alfileres.

Cantidad de paquetes

2 6 10 12 30 300

Alfileres 1000 1200 68000

1 Adaptación de un problema extraído del libro Explorar en Matemática 7°/1° ES (Broitman, C. e

Itzcovich, H., 2014).


Orientaciones para el coordinador

Al estudiar el trabajo de articulación entre el Nivel Primario y Secundario, es habitual observar

estas acciones: adelantar contenidos de 1er año de secundaria en la escuela primaria con la

intención de “acortar distancias” o trabajar en 1er año únicamente con problemas en

contextos extramatemáticos porque “es la manera cómo se trabaja en la primaria”.

Sin embargo, para sostener un proceso de articulación favorable es necesario que las

instituciones, y en particular los docentes, conozcan el trabajo que se desarrolla en los últimos

años del Nivel Primario y en Ciclo Básico de la secundaria con el objetivo de identificar tanto

las rupturas como las continuidades entre ambos niveles. En esta transición entre los niveles

de escolaridad se ponen en juego varios aspectos: por un lado, los cambios de contexto que

enfrenta el estudiante; y por el otro, las modificaciones respecto de la enseñanza, entre las

que se pueden mencionar la organización de las instituciones, las prácticas pedagógicas, las

disciplinas y sus contenidos, etcétera.

Para abrir el debate y pensar acerca de la problemática de articulación entre niveles, esta

primera actividad plantea discutir acerca de las continuidades y rupturas en las prácticas de los

docentes de primaria y secundaria.

La intención es, en primer lugar, que los asistentes conozcan el modo de trabajo en el Segundo


Ciclo de la escuela primaria a propósito de la resolución de problemas de proporcionalidad

directa que involucran el tratamiento de tablas de valores. Con respecto a esta cuestión, se

puede observar que el abordaje realizado en este registro está en consonancia con las

prácticas propuestas en los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP) y en muchos de los

diseños curriculares provinciales. La consideración de estos documentos como punto de

partida para el trabajo en el Nivel Secundario resulta indispensable, sobre todo, teniendo en

cuenta que muchas veces no es posible organizar encuentros entre los docentes de las

diferentes instituciones y niveles para establecer los acuerdos necesarios a la hora de planificar

la articulación.

En segundo lugar, y a partir de las preguntas planteadas, se busca generar un momento de

reflexión en torno a la articulación de contenidos y sobre tipos de prácticas entre niveles,

donde emerjan concepciones de profesoras y profesores respecto a lo esperado en la escuela

secundaria.

La pregunta enunciada en la consigna 1 plantea centrar la atención en las estrategias

elaboradas por los estudiantes para luego compararlas con aquellas que los docentes creen

que deberían poner en juego en el Ciclo Básico. Por ejemplo, se puede analizar si se trata de

estrategias correctas o no, si las escrituras plasmadas en el pizarrón resultan adecuadas o

suficientes para validarlas, etcétera.

Algunas de las posibles respuestas que pueden surgir por parte de los participantes son las

siguientes:

1. La estrategia de Gastón está bastante alejada del trabajo descontextualizado que se

espera en la secundaria. ¿Qué significa sumar y restar columnas en términos de una

función de proporcionalidad? ¿Y multiplicar columnas por un número?

2. La estrategia de Tomás es “relativamente cercana” al tipo de estrategias que se

pueden trabajar en la secundaria. “Buscar el 1” es encontrar una constante de

proporcionalidad para la relación de proporcionalidad directa planteada, que en

términos funcionales se corresponde con encontrar la pendiente de la recta que

representa a esa función de proporcionalidad directa. En términos algebraicos,

representa el valor de ”m” en la fórmula genérica f(x) = m x.

3. La estrategia que utiliza Luli consiste en multiplicar por 2 la cantidad de paquetes y

luego agregar dos 0 para saber cuántos alfileres contiene. Aunque es posible que no

reconozca que su estrategia es equivalente a multiplicar por 200, utiliza de manera

implícita a 200 como una constante de proporcionalidad para la relación, tal como

propone Tomás.

La afirmación 1 tiene implícitas dos premisas que no son ciertas. La primera es que “en la

escuela secundaria solo se realiza un trabajo descontextualizado”; y la segunda es que


“trabajar con función de proporcionalidad equivale a trabajar con una fórmula”.

Durante el segundo momento de este encuentro se podrá concluir que el trabajo en el Nivel

Secundario, a propósito de la proporcionalidad directa, puede articularse con una entrada a la

noción de función lineal a través de representaciones familiares para los estudiantes. De esta

manera, trabajar en un inicio con expresiones algebraicas genera una ruptura y una pérdida de

sentido que no se apoya en los conocimientos que traen de la escuela primaria. Una

articulación de contenidos implica retomar aquello que los alumnos saben, tanto de los

contenidos en sí como de los contextos de funcionamiento.

Si bien la estrategia de Gastón puede estar alejada del tipo de trabajo que algunos profesores

esperan en la escuela secundaria, más adelante podrá observarse que es posible trabajar a

partir de ella, pues este tipo de estrategias está fuertemente vinculada con la definición de

“relación de proporcionalidad directa” que se trabaja en 6° grado y propuesta para recuperar y

profundizar en 1er año de secundario: “la relación de proporcionalidad directa es aquella en la

que, al doble de una de las cantidades le corresponde el doble de la otra; al triple, le

corresponde el triple; a la mitad, la mitad, etcétera”. Sobre esta base es posible empezar a

hacer un trabajo con las representaciones gráficas e introducir la idea de variación uniforme,

característica de las funciones lineales.

Con respecto a la afirmación 2, es importante notar que no se trata de un trabajo de

“traducción directa” entre representaciones. El objeto matemático (“el 1”, la pendiente de la

recta) adquiere diversos sentidos según la representación. Por eso, un estudiante de Ciclo

Básico puede “buscar el 1”, completar una tabla que involucra proporcionalidad directa y no

entender por qué es lo mismo que encontrar la pendiente de la función de proporcionalidad

directa o no saber cómo encontrarla. Es el docente quien debe vincular las estrategias que

circulan en ambos niveles. El trabajo de articulación en este caso no se apoyará solo en la

definición de este objeto en cada representación, ni en la enunciación de la equivalencia, sino

en un fuerte trabajo de coordinación entre registros de representación2. El siguiente texto

puede colaborar a ampliar estas ideas:

La teoría de las representaciones semióticas de R. Duval (1995) ofrece

categorías teóricas que permiten analizar de manera ordenada y sistemática las

producciones matemáticas escritas. Una de estas categorías es la de Registro

de representación que I. Guzmán (1998) describe de la siguiente manera:

“Un registro está constituido por signos en el sentido más amplio de la palabra:

trazos, símbolos, íconos... y estos signos están asociados de manera interna y

externa...”.

2 Se seguirá trabajando con la noción de registro de representación en el próximo encuentro de este

ateneo.


Tomemos como ejemplo este problema:

Para afirmar que el punto A pertenece al gráfico de la función no es necesario

hacer uso de la fórmula, si bien es una posibilidad. Puede realizarse

directamente interpretando el gráfico.

Por un lado, para poder interpretar el punto en el gráfico, es necesario conocer

el funcionamiento interno del plano cartesiano y cómo se lo utiliza para

representar funciones: los ejes son accesorios, es decir que funcionan de

referencia y no son el gráfico de la función; todo punto en el plano relaciona

dos valores, uno correspondiente a la variable independiente y otro a la

dependiente; la intersección entre los ejes corresponde al cero de ambos ejes;

etc.

Por otro lado, para poder interpretar la escritura del par ordenado, es

necesario conocer el funcionamiento de la escritura algebraica: en este caso,

que el “;” separa valores; que además están relacionados con un orden, etc.

Sin embargo, conocer estas reglas internas de cada representación no es

suficiente para poder relacionar la escritura del par ordenado con el punto

indicado en el gráfico. Es necesario también poder realizar la correspondencia

entre los valores que representa el punto en el plano y las coordenadas del par

ordenado, sin dejar de tener en cuenta el orden.

En conclusión, como se mencionó anteriormente, para responder a la consigna

es necesario poder “leer” el plano cartesiano, “leer” las escrituras algebraicas y


coordinar entre ambos registros de representación.

Utilizando los conceptos teóricos, en el ejemplo analizado es posible identificar

dos registros de representación: el registro gráfico –el plano cartesiano– y el

registro algebraico.

Como se acaba de mencionar, el plano cartesiano es un registro de

representación. Los signos que lo componen son los ejes, las marcas de la

escala sobre los ejes, los puntos graficados, el gráfico de una función, las líneas

punteadas que determinan coordenadas, etc. Conocer estos signos no es

suficiente para poder hacer una interpretación en el registro, pues es necesario

conocer también la relación existente entre los signos, cuáles se pueden

agregar o quitar y cuáles no, etc. En este sentido es que se dice que los signos

están relacionados de manera interna, pues son relaciones que se dan dentro

del mismo registro de representación.

Los signos que componen el registro algebraico son los números, las letras, los

signos que indican operaciones, el signo “=”, los signos de puntuación, etc. De

la misma manera que sucede en el registro gráfico, para poder interpretar y

operar en el registro algebraico es necesario conocer las reglas internas que

rigen las relaciones entre sus signos.

Cuando se establecen vínculos y relaciones entre distintos registros de

representación se dice que se realiza una coordinación entre registros.

Por ejemplo, en el problema analizado, la relación establecida entre el gráfico

del punto y su escritura algebraica como par ordenado constituye una

coordinación entre registros. En este caso, las relaciones entre signos son

externas, pues se dan entre signos de distintos registros. La posibilidad de

representar el mismo objeto (el objeto matemático puro) de distintas maneras

conforma un conocimiento más acabado del objeto. Por lo tanto, el trabajo con

los objetos matemáticos por medio de distintas representaciones en distintos

registros de representación debe ser parte de los contenidos incluidos en el

proyecto de enseñanza. Con el propósito de lograr conocimientos más

completos de los objetos matemáticos por parte de los alumnos, debe ser

planificada e implementada la puesta en aula de problemas que favorezcan la

formulación, el tratamiento y la coordinación entre registros.

(Melchiori, Nicodemo, Sanguinetti, Trillini, 2017)

A propósito de la afirmación 3, es posible observar que no aparece registrado en el pizarrón

cómo Luli llega a esa conclusión; sin embargo, podría ser un asunto que se discutió oralmente

durante esta clase. Tal vez es una afirmación a la que arriba luego de completar varias

columnas, a partir de conocer la cantidad de paquetes y al notar que, en todos los casos, los


cálculos que realiza son los mismos. En esta situación, Luli no tendría una explicación para

justificar por qué su estrategia funciona. El docente que gestiona esa clase podría proponer

una discusión que ponga en relación la estrategia de Luli con la de Tomás, para hacer explícito

que Luli opera con una constante de proporcionalidad.

Además de los aspectos considerados hasta el momento, es posible que los participantes

enriquezcan sus reflexiones al mencionar otros aspectos pertinentes a la articulación entre

niveles. Se pueden mencionar:

4. La forma de enunciación de las estrategias es diferente en el Nivel Primario que en el

secundario: en el pizarrón se puede observar que el docente del curso utilizó palabras

de los estudiantes y además identificó cada discurso con los nombres de los niños que

lo produjeron. En el Nivel Secundario se espera que quede registrado un lenguaje

menos coloquial y que incluya lenguaje simbólico.

5. La diferencia del trabajo con tablas: en el primario se trata de producirlas,

interpretarlas, completarlas y usarlas para graficar; y, en el secundario, se espera que

los alumnos las produzcan en caso de que las consideren necesarias, o que las utilicen

para la producción de fórmulas.

En la afirmación 4 se hace visible una concepción acerca de las escrituras en los diferentes

niveles: que en la escuela primaria se trabaja con lenguaje coloquial y que el trabajo en la

escuela secundaria necesariamente debe incluir notaciones simbólicas.

El lenguaje coloquial es central para el trabajo matemático en todos los niveles de escolaridad,

y por lo tanto, no es exclusivo del Nivel Primario. Se trata de una herramienta valiosa no solo

para el estudio y recuperación de lo trabajado en clase sino también para la reflexión y

explicitación de ideas; sobre todo de aquellas que surgen a partir de las discusiones colectivas

en torno a la resolución de problemas.

El análisis del pizarrón evidencia que, a partir del trabajo con este problema, circularon

diferentes voces y estrategias de resolución. El docente estuvo atento a esta diversidad de

resoluciones y, en función de su objetivo, es probable que haya realizado una selección a la

hora de registrarlas. De esta manera, el registro en el pizarrón forma parte de una decisión

didáctica.

En cuanto a la tercera afirmación anticipada, se acuerda que en cada nivel de escolaridad se

esperan tareas diferentes para realizar con las distintas representaciones, que no descartan a

las realizadas en los niveles anteriores sino que es posible retomarlas y ampliarlas. En la

escuela secundaria, generalmente, completar una tabla es una tarea auxiliar o necesaria (pero

no suficiente) para responder a otras preguntas. Por ejemplo: puede ser que los estudiantes

armen una tabla de valores con el objetivo de analizar la variación o para disponer de un


conjunto de puntos a graficar en el plano cartesiano, etcétera. En este sentido, el uso de tablas

se puede interpretar como una continuidad entre ambos niveles, como una representación

que adopta más sentidos con el paso por la escuela secundaria.

Para la segunda consigna se pretende discutir junto a los participantes que, para poder

recuperar los conocimientos de la escuela primaria y lograr hacerlos avanzar en la escuela

secundaria, es necesario que los alumnos reconozcan los objetos matemáticos que el docente

intenta recuperar. En palabras de Sadovsky (2005): “los alumnos dicen no haber estudiado un

asunto que sí estudiaron, simplemente porque no lo reconocen cuando el docente lo presenta

de un modo que no tiene en cuenta las situaciones específicas en las que tuvieron oportunidad

de aprenderlo”.

Con la finalidad de que estudiantes logren este reconocimiento, el docente debe tener en

cuenta varias cuestiones; entre ellas es posible mencionar: los alumnos pueden provenir de

diferentes instituciones escolares y cada una de ellas puede proponer diferentes trayectorias y

tratamientos de los contenidos; el reconocimiento no solo requiere recuperar la noción sino

también las tareas y el trabajo matemático que hayan hecho a propósito de ella. De este

modo, la evocación se presenta como un recurso didáctico útil para que los estudiantes

reflexionen sobre alguna situación sin realizarla nuevamente, dando la posibilidad de discutir

acerca del sentido y el estatuto de los conocimientos. Es así que las actividades de evocación

permiten establecer relaciones entre diferentes situaciones permitiendo que se produzca una

articulación entre lo nuevo y lo viejo.

Educación Inclusiva En caso de contar con alumnos con discapacidad y/o Dificultades Específicas en el Aprendizaje (DEA), se deben proporcionar los recursos pertinentes para que puedan participar en igualdad de condiciones con los demás, con los ajustes razonables que se requieran, considerando las distintas lenguas y formatos comunicacionales en los que pueden expresarse para promover la accesibilidad de los textos, su comprensión y producción. Encontrarán recursos accesibles, software libre con sus correspondientes tutoriales y secuencias didácticas, entre otros materiales, en: http://conectareducacion.educ.ar/educacionespecial/mod/page/view.php?id=492

Actividad 2

A continuación les presentamos tres problemas que no conforman una secuencia para llevar al

aula, sino que se trata de una serie de problemas para pensar los sentidos, técnicas y

representaciones que se trabajan a lo largo del Primer Ciclo de secundaria, a propósito del

trabajo con funciones lineales.

http://conectareducacion.educ.ar/educacionespecial/mod/page/view.php?id=492


1. Tomando como base los NAP de Ciclo Básico de la escuela secundaria, analicen los

siguientes problemas desde el punto de vista matemático y didáctico.

2. En plenario discutan: ¿cuál o cuáles de los problemas creen que serían propicios para

trabajar sobre la articulación entre la escuela primaria y la secundaria?

Problema 2

El gráfico representa el proceso de vaciado de un tanque de agua a partir del momento en que

se empezó a desagotar.

a. Marcá el punto que representa el momento en que la pileta comenzó a vaciarse. ¿Qué

cantidad de agua tenía el tanque en ese momento?

b. ¿Cuántos litros por minuto salieron del tanque mientras se vaciaba?

c. Definí una fórmula que modelice la cantidad de agua que había en el tanque en

función del tiempo, a partir del instante en que comenzó a vaciarse.


d. Marcá sobre el gráfico el punto que representa el momento en que el tanque se vació

y calculá cuánto tardó en hacerlo.

Problema 3

Un tanque de agua de 200 litros de capacidad se vacía a razón de 5 litros por minuto. Una

fórmula que representa el proceso de vaciamiento es A=200-5t, en la que “t” representa el

tiempo medido en minutos que transcurre desde que comenzó el proceso, y “A” es la cantidad

de agua que queda en el tanque, expresada en litros.

¿Es posible saber si el tanque estaba lleno al comenzar el proceso?

a. ¿Cuánto tiempo tardó en vaciarse?

b. ¿Cuánta agua contenía el tanque a los 15 minutos?

c. ¿Cuánta agua se sacó del tanque a los 15 minutos?

d. ¿En qué momento el tanque contiene 145 litros?

e. ¿Se trata de una relación de variación uniforme? Justificá tu respuesta.

Problema 43

El gráfico representa el recorrido de una avioneta que viaja a velocidad constante durante 8

horas de vuelo.

3 El Problema 4 ha sido adaptado del libro Broitman, C. e Itzcovich, H. (2014). Explorar en Matemática

7°/1° ES.


a) ¿Cuántos kilómetros recorrió la avioneta luego de transcurridas 4 horas de haber

comenzado su vuelo?

b) ¿Cuántas horas tardó en recorrer 3600 km?

c) ¿Es cierto que tardó 3 horas en recorrer 1800 km?

d) ¿Cuántos kilómetros recorrió en 1 hora?

e) Completá la tabla.

Horas 4 5 5,5

Kilómetros recorridos

300 6600

f) ¿Es cierto que por cada 2 horas transcurridas la avioneta recorre 1200 km? Explicá tu

respuesta.



Para la consigna 1 se sugiere contar con los documentos de los NAP en formato papel o digital

para distribuirlos en caso que no cuenten con conectividad a Internet. En las intervenciones

de los pequeños grupos se puede recordar que esta colección de problemas no es una

secuencia para llevar al aula, sino que se trata de una serie de problemas para pensar los

sentidos, técnicas y representaciones que se trabajan a lo largo del Primer Ciclo de

secundaria, a propósito del trabajo con funciones lineales. Sin embargo, alrededor de cada

uno de ellos se podría plantear una secuencia didáctica específica.

El coordinador puede tener en cuenta el anexo que contiene un análisis similar al que se

espera que desarrollen los docentes participantes a propósito de la consigna 1.

Algunas intervenciones para profundizar el análisis pueden ser:

● ¿A partir de qué tipo de representación se presentan los datos de los problemas?

¿Qué tipo de representación deben interpretar los estudiantes en cada año de

escolaridad según los NAP?

● ¿Qué propiedades de la proporcionalidad se ponen en juego en cada uno de los

problemas y de qué manera? ¿Cuál de los problemas implica un análisis variacional?

Para dar inicio al plenario, el coordinador puede hacer un punteo que resuma el tratamiento

de la noción de proporcionalidad en los distintos años:

● En 6° grado el tratamiento es aritmético (elegir cálculos, formular cálculos, calcular y

analizar cálculos). La representación que prima son las tablas, aunque pueden

incorporarse representaciones gráficas. Y se define la proporcionalidad como una

relación entre cantidades tales que “al doble de una cantidad, le corresponde el doble

de la otra, al triple de una le corresponde el triple de la otra, etc.” y se fundamenta

desde lo numérico.

● En 1er año se profundiza el estudio de los gráficos cartesianos. El trabajo con los

gráficos es puntual (punto a punto) y se trabaja la coordinación entre estos y tablas, o

pares ordenados. Se espera que los alumnos puedan interpretar relaciones entre

variables en tablas y gráfico, identificar el tipo de información que brinda cada uno

respecto de la función de proporcionalidad directa y destacar que el gráfico brinda

tanto información global como puntual según como esté confeccionado y el contexto

del problema a tratar. Por otro lado, las tablas proveen información puntual que

puede ser interpretada de manera que permita obtener conclusiones generales

respecto a la variación y otros aspectos de la las funciones.

● En 2° año, a partir del trabajo algebraico, se incorpora el registro fórmula con la

intención de que los estudiantes sean capaces de interpretarlas, tratarlas y

producirlas a partir de la resolución de problemas tanto intramatemáticos como


extramatemáticos. Además, se trabaja con la idea de variación uniforme, en el que la

proporcionalidad es un caso particular, y sobre el que se apoya para introducir otro

tipo de funciones de variación uniforme. El análisis de la variación pasa a ser central

en el trabajo funcional.

● En 3er año se profundiza el estudio de la función lineal. Se puede mencionar: la

conversión entre los diferentes registros de representación y la interpretación de la

noción de función lineal en los diferentes marcos.

Si bien es posible identificar en los NAP tipos de trabajos como los propuestos en los tres

problemas y en la escuela secundaria se suelen contemplar actividades de este estilo, el

Problema 4 es el que resulta más adecuado para poner en juego durante el inicio del proceso

de articulación en la escuela secundaria. Algunos de los argumentos que respaldan esta

afirmación y que el coordinador podrá recuperar en una instancia de debate colectivo son los

siguientes:

- Las preguntas a) y b) incluidas en el Problema 4 requieren la lectura e interpretación

de los puntos en el gráfico cartesiano. Se trata de una tarea asociada a los inicios del

trabajo con esta representación y de un nivel de complejidad menor que las

propuestas en el Problema 2. Esto hace que, al trabajar con el Problema 4, la

recuperación de los quehaceres realizados en 6° grado a propósito de los gráficos

cartesianos sea menos brusca que si se comienza con el Problema 2.

- El sentido de la noción de proporcionalidad directa que se estudia en la escuela

primaria reaparece a partir del trabajo con los ítems c) y d). Por ejemplo: recorrer la

mitad de los kilómetros considerados en el ítem b) hará que tarde la mitad del

tiempo. De la misma manera, viajar durante 1 hora –la sexta parte del tiempo

considerado en b)– implicará recorrer la sexta parte de los kilómetros.

- El Problema 4 es el único que involucra explícitamente el trabajo con una tabla de

valores –ítem d)–. Si bien en los otros problemas los alumnos pueden producir una o

el profesor puede proponer su utilización, en este caso viene dada en el enunciado y

supone la recuperación de las estrategias utilizadas durante la escuela primaria

además de un trabajo en torno al cambio del registro de representación.

Estos tres argumentos suponen una entrada a lo funcional considerando un recorrido que

recupere lo estudiado durante el Nivel Primario, apoyándose en lo que los alumnos traen y no

en quehaceres y representaciones sobre las que no tienen un trabajo previo. En este sentido

el Problema 4 colabora en el proceso de articulación al inicio de la escuela secundaria.

Pero además de la continuidad de contenidos y quehaceres, se pueden mencionar otros

aspectos que fortalecen los argumentos en pos de este problema para el trabajo sobre la

articulación.

- El Problema 4 permite profundizar el trabajo realizado en 6° grado en torno a la

coordinación entre dos registros de representación: la tabla de valores y el gráfico


cartesiano. La secuenciación de tareas desde el ítem a) al ítem e) posibilita identificar

puntos del plano cartesiano con columnas en la tabla de valores, y viceversa. Cabe

remarcar que esta tarea no es inmediata ni trivial; requiere de un trabajo de discusión

y análisis acompañado de la gestión del profesor.

- El recorrido entre las representaciones propuestas por este problema resulta inverso

al “tradicional”, que en general parte de una tabla de valores para la elaboración de

un gráfico cartesiano. El “ida y vuelta” entre las representaciones resulta una cuestión

central a la hora de pensar la coordinación entre registros de representación y

muchos de los documentos curriculares nacionales y provinciales proponen un

trabajo en este sentido. Se ampliaran estas ideas en el segundo momento de este

ateneo.

- Por otro lado, podemos notar que los ítems c) y d) posibilitan analizar los límites en la

lectura de datos generados a partir de gráficos cartesianos: no es posible leer en

forma directa y exacta los valores correspondientes a 1800 km y 1 hora.

Estas razones permiten concluir que los registros de representación (y sus tareas asociadas)

se retoman y se amplían, posibilitando una continuidad y profundización del trabajo y, por

lo tanto, colaborando en la articulación entre ambos niveles.

Por último, es posible mencionar un argumento central: el trabajo con los ítems a), b), c), d) y

e) del Problema 4 retoma la noción de proporcionalidad directa en el sentido estudiado en la

escuela primaria, con un fuerte trabajo en el marco aritmético y con una lectura punto a

punto en el gráfico cartesiano. Sin embargo, el ítem f) del Problema 4 prepara el trabajo para

entrar en un sentido funcional de la proporcionalidad directa, asociado a la noción de

variación uniforme. Es decir, el concepto de proporcionalidad directa vuelve a aparecer al

transitar por la escuela secundaria, incluso con el mismo nombre que en la escuela primaria,

pero ahora se trata de estudiar procesos que varían de manera constante: la función de

proporcionalidad directa.

Para cerrar este espacio de plenario se espera acordar que para pensar propuestas de

articulación no solo hay que contemplar los contenidos que se ponen en juego sino también

el tipo de práctica que se desarrollan a propósito de ellos.

La falta de articulación hace que los estudiantes puedan desconocer el objeto matemático

que se quiere enriquecer.


Segundo momento Lectura de un texto y reflexión 30 minutos

Actividad 1 30 minutos En pequeños grupos - Entre todos

Actividad 1

Les proponemos la lectura del siguiente fragmento del texto de Verónica Grimaldi y Horacio

Itzcovich Tensiones en el paso de la escuela primaria a la escuela media. Algunas reflexiones en

el área de Matemática y discutir entre todos:

1. ¿Qué asuntos les parecen novedosos y/o controversiales?

2. Pongan en relación lo discutido durante el primer momento de este encuentro con el

texto analizado.

3. Elaboren pautas a tener en cuenta a la hora de planificar sus clases a propósito de este

contenido.

Dado que en este nivel se suele privilegiar el uso de ecuaciones y fórmulas, el trabajo comienza

generalmente con representaciones de tipo algebraico y utilizando letras genéricas que no

siempre dejan a la vista la variable que representa –por ejemplo, proponiendo el uso de x e y

para cualquier situación–. Estas propuestas suelen tener al gráfico como punto de llegada –

gráfico que se extiende hacia ambos lados del cero– al que se arriba a través del uso de tablas

de valores.

[...]

Por otro lado, el planteo de situaciones en las cuales siempre se parte de la misma

representación para llegar a otra, también siempre la misma, obstaculiza la posibilidad de

“hacer visibles” aspectos de las representaciones y de las relaciones entre ellas que redundan

en un conocimiento más profundo del objeto o del problema. La dirección de la actividad

parece mostrar que el gráfico es un fin en sí mismo, y no una representación de una relación

que se está estudiando. La entrada privilegiada a través de representaciones algebraicas corre

el riesgo de dejar afuera aquellos conocimientos que los alumnos pudieran tener disponibles

de su paso por el nivel primario, ya que el problema se plantea justamente a partir de la

representación que menos conocen. A esto se le agrega que mientras en la escuela primaria el

lugar de la tabla de valores ha sido central –por ejemplo, para analizar el cumplimiento o no de

las propiedades de la proporcionalidad–, en las propuestas del nuevo nivel su rol se reduce al

de intermediario entre otras dos formas de representación.


Cabe, entonces, preguntarnos si con vistas a articular el trabajo entre ambos niveles, sería

posible seleccionar propuestas en las que intervengan diversas representaciones teniendo en

cuenta no solo qué características del objeto o del problema queremos hacer visible, sino

también cuáles son las que los alumnos conocen, cuáles han sido objeto de trabajo en la

escolaridad primaria y cómo hacer para generar avances, articulándose, a su vez, con nuevas

representaciones que serán objeto de estudio del nuevo nivel que permitirán abordar aspectos

diferentes del mismo objeto.

(Grimaldi y Itzcovich, 2013)


El objetivo de esta actividad es que los participantes puedan reflexionar sobre el trabajo con

los diferentes registros de representación vinculándolo con la problemática de la articulación

entre primaria y secundaria. Si bien durante el primer momento de este encuentro pudieron

surgir algunas de estas cuestiones en las instancias de discusión colectiva, el texto permite

profundizar y ampliar lo debatido hasta el momento. En ese sentido están planteadas las

preguntas que buscan poner en relación dichas reflexiones con las palabras de Verónica

Grimaldi y Horacio Itzcovich.

Una posible gestión de esta actividad puede ser recuperar el punteo con las concepciones de

los docentes en relación con la actividad 1 del primer momento y analizarlo a la luz de todo el

trabajo que se realizó. En las orientaciones del coordinador se remarcan algunos asuntos en

torno a los que pueden girar estas discusiones.

Algunas pautas que pueden surgir del trabajo con esta actividad:

- Considerar el sentido aritmético de la proporcionalidad que se estudia en la escuela

primaria con el objetivo de resignificarlo en el marco funcional durante la escuela

secundaria.

- Tener en cuenta los quehaceres, las escrituras y las representaciones provenientes de

la escuela primaria, haciendo especial hincapié en el trabajo con tablas y gráficos

cartesianos, con la intención de dar continuidad y profundizar el estudio de estas

representaciones.

- Proponer actividades que posibiliten la coordinación entre los diferentes registros de

representación; en particular, que no partan siempre de la misma representación ni

tengan como objetivo terminar siempre en la misma.

- Trabajar con las expresiones algebraicas de forma paulatina y no como punto de

partida pues es la representación menos familiar para los estudiantes que recién

comienzan la escuela secundaria.


Tercer momento Propuesta de trabajo y reflexión metacognitiva

Elección de alguno de los problemas analizados y

planificación de una clase a implementar en sus

cursos.

45 minutos

Actividad 1 60 minutos En pequeños grupos

Actividad 1

Los invitamos a pensar cómo podrían adaptar alguno de los problemas analizados en el primer

momento del ateneo para ser implementado en sus aulas:

● Elijan, considerando el nivel y las características de su grupo, uno de los problemas de

la colección y elaboren las consignas de trabajo a partir de ellos.

● ¿Cómo organizarán la clase para la resolución de ese problema?

● ¿Qué intervenciones pueden hacer durante la resolución?

● ¿Cómo gestionarán la puesta en común?

● ¿A qué conclusiones quieren que se llegue al finalizar la clase?

● ¿Qué creen que debería quedar registrado en las carpetas? ¿Y en el pizarrón?


Se propone a los docentes trabajar grupalmente de acuerdo al curso que tengan a cargo (1er, 2° o 3er año del Ciclo Básico) para elaborar la planificación de la clase a implementar, retomando la colección de problemas correspondientes al primer momento de este encuentro. El rol del coordinador será el de acompañar las discusiones en el interior de cada uno de los grupos, haciendo sugerencias y observaciones.

En el transcurso de este ateneo hemos discutido acerca de la importancia del modo de trabajo en el aula. En este sentido, la incorporación de problemas como los planteados durante el primer momento de este encuentro, permite abrir el juego para empezar a pensar en nuevas formas de hacer matemática en la escuela. Es una oportunidad para que los docentes se permitan probar propuestas que les brinden nuevas experiencias en relación a la articulación primaria-secundaria, facilitando la exploración de nuevas dinámicas.


Cuarto momento Cierre del encuentro 15 minutos

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro Individual 15 minutos

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro

Les proponemos que, al finalizar la implementación del problema elegido y planificado en el

tercer momento, fotografíen el pizarrón producido durante la puesta en común. Este material

será insumo para el próximo encuentro de este ateneo.


Consigna para la realización del Trabajo Final

El Trabajo Final se realizará luego del Encuentro 3 y consta de cuatro partes.

1. La implementación de una clase, considerando la secuencia didáctica propuesta en el ateneo. En su trabajo deberán incluir, entonces, a) una copia de la clase elegida con las notas sobre las modificaciones que hayan realizado para la adaptación a su grupo de alumnos o b) la planificación de dicha clase (en el formato que consideren más conveniente) en caso de haber optado por desarrollar una clase propia.

2. El registro de evidencias de la implementación en el aula. Podrán incluir producciones individuales de los alumnos (en ese caso, incluyan tres ejemplos que den cuenta de la diversidad de producciones realizadas), producciones colectivas (por ejemplo, afiches elaborados grupalmente o por toda la clase) o un fragmento en video o un audio de la clase (de un máximo de 3 minutos).

3. Una reflexión sobre los resultados de la implementación de la clase. Deberán agregar un texto de, máximo, una carilla en el que describan sus impresiones y análisis personal, que incluya cuáles fueron los objetivos de aprendizaje que se proponían para la clase y señalen en qué medida dichos objetivos, y cuáles consideran que se cumplieron y por qué. Analicen, también, cuáles fueron las dificultades que se presentaron en la clase y a qué las atribuyen, y qué modificaciones harían si implementaran la clase en el futuro.

4. Una reflexión final sobre los aportes del ateneo didáctico para su fortalecimiento profesional, considerando tanto los aportes teóricos como las estrategias que les hayan resultado más valiosas para el enriquecimiento de su tarea docente. Se dedicará un tiempo durante el tercer encuentro para la elaboración de este texto de, máximo, una carilla.

Presentación del trabajo

● Debe ser entregado al coordinador del ateneo didáctico en la fecha que se acordará oportunamente.

● Deberá entregarse impreso en formato Word y vía mail, y podrá incluir anexos como archivos de audio, video, o fotocopias de la secuencia implementada y producciones individuales y colectivas de alumnos.


Recursos necesarios

● Documentos correspondientes a los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios para el Ciclo

Básico del Nivel Secundario.

Materiales de Referencia

● Broitman, C. e Itzcovich, H. (2014). Explorar en Matemática 7° / 1° ES. Buenos Aires: Santillana.

● Duval, R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del

pensamiento. En Espinosa, F.H. Investigaciones en Matemática Educativa II, pp. 173-201.

México: Grupo editorial Iberoamérica.

● Grimaldi, V., Itzcovich, H. (2013). Tensiones en el paso de la escuela primaria a la escuela

media. Algunas reflexiones en el área de Matemática. En Broitman, C. (comp.), Matemática en

la escuela primaria II. Buenos Aires: Paidós.

● Guzmán R., I. (1998). “Registros de representación, el aprendizaje de nociones relativas a

funciones: voces de estudiantes”. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática

Educativa [en línea] 1 (marzo).

● INFoD. (2017). Ateneo Matemática. Encuentro 1. Los surtidores de nafta: un escenario para

producir modelos lineales. Nivel Secundario - Ciclo Básico. Buenos Aires: Ministerio de

Educación de la Nación. Recuperado de http://www.redalyc.org/pdf/335/33510102.pdf (última

visita 23 de abril de 2018).

● Itzcovich, H. y Novembre, A. (2007). Diferentes Aspectos del Trabajo Algebraico. Curso a

distancia. Buenos Aires. CePA, Ministerio de Educación de la Ciudad de Buenos Aires.

● Melchiori, D., Nicodemo, M., Sanguinetti, D., Trillini, M. P. (2017). Clase 1: registros de

representaciones semióticas y marcos interpretativos. Reflexiones en torno al Álgebra y las

Funciones y su enseñanza. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

● Melchiori, D., Nicodemo, M., Sanguinetti, D., Trillini, M. P. (2017). Clase 2: De los registros de

representación y la práctica docente. Reflexiones en torno al Álgebra y las Funciones y su

enseñanza. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

● Melchiori, D., Nicodemo, M., Sanguinetti, D., Trillini, M. P. (2017). Clase 3: Cambio de marcos y

práctica docente. Reflexiones en torno al Álgebra y las Funciones y su enseñanza. Buenos Aires:

Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.


● Sadovsky P. (2005). La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar en la

enseñanza de la Matemática. En Sadovsky P., Alagia H., Bressan A. Reflexiones teóricas para

Educación Matemática. Buenos Aires: Libros del Zorzal.


Anexo

Análisis didáctico de los problemas

Problema 2

El gráfico representa el proceso de vaciado de un tanque de agua a partir del momento en que

se empezó a desagotar.

a) Marcá el punto que representa el momento en que la pileta comenzó a vaciarse. ¿Qué

cantidad de agua tenía el tanque en ese momento?

b) ¿Cuántos litros por minuto salieron del tanque mientras se vaciaba?

c) Hallá una fórmula de una función que modelice la cantidad de agua que había en el

tanque en función del tiempo, a partir del instante en que comenzó a vaciarse.

d) Marcá sobre el gráfico el punto que representa el momento en que el tanque se vació

y calculá cuánto tardó en hacerlo.


Guía de problema y solución

Breve análisis del Problema 2

El trabajo con el Problema 2 requiere:

- Interpretar el gráfico de una función lineal que modeliza el proceso de vaciado de un

tanque y, en particular, utilizar los datos que provee el gráfico para calcular:

- la cantidad de agua al inicio del proceso (ordenada al origen);

- la cantidad de agua que salía por minuto (pendiente);

- el fin del proceso (cero o raíz de la función);

- Modelizar y analizar variaciones lineales expresadas mediante gráficos interpretando

sus parámetros (la pendiente como cociente de incrementos y las intersecciones con

los ejes).

- Determinar la ecuación de la recta a partir de los datos obtenidos.

Algunas posibles estrategias de resolución del problema:

Para responder el ítem a) los estudiantes podrían considerar la intersección entre la recta y el

eje “x”, confundiendo el inicio del proceso con el momento de finalización del proceso de

vaciado. En esta instancia puede ser interesante proponer una discusión en torno al significado

en términos del problema de cada uno de estos puntos.

Para responder a la pregunta b), una estrategia es calcular primero la cantidad de agua que

sale por minuto (haciendo 2954 : 3,5 = 844). De esta manera, salen 844 litros de agua por

minuto. Otra opción es analizar la variación de la cantidad de agua entre los puntos marcados

en la recta: desde el minuto 2 hasta el minuto 5,5 transcurrieron 3,5 minutos, y la cantidad de

agua disminuyó de 19412 a 16458; es decir, salieron del tanque un total de 2954 litros en 3,5

minutos. Haciendo 2954 : 3,5 = 844 también se llega a la respuesta.

Para la resolución del ítem c) se pueden apoyar en el resultado obtenido para el ítem anterior.

Conocido este dato, para saber cuánta agua había inicialmente, se puede hacer 19412 + 844 +

844 = 21100 (porque a los 2 minutos había 19412 y ya habían “sacado” dos veces 844). Luego,

inicialmente había 21100 litros y por cada minuto que pasa se extraen 844 litros. Esto se puede

expresar, si llamamos "𝐶" a la cantidad de agua y “𝐶" a los minutos, como 𝐶 = 21100− 844 ⋅

𝐶.

Finalmente para calcular en qué momento se vació la pileta (ítem d) se pueden restar

sucesivas veces 844 hasta obtener el valor cero o plantear y resolver la ecuación 21100−

844𝐶 = 0

Problema 3


Un tanque de agua de 200 litros de capacidad se vacía a razón de 5 litros por minuto. Una

fórmula que representa el proceso de vaciamiento es A=200-5t, en la que “t” refiera al tiempo

medido en minutos que transcurre desde que comenzó el proceso, y “A” es la cantidad de

agua que queda en el tanque, expresada en litros.

a. ¿Es posible saber si el tanque estaba lleno al comenzar el proceso?

b. ¿Cuánto tiempo tardó en vaciarse?

c. ¿Cuánta agua contenía el tanque a los 15 minutos?

d. ¿Cuánta agua se sacó del tanque a los 15 minutos?

e. ¿En qué momento el tanque contiene 145 litros?

f. ¿Se trata de una relación de variación uniforme? Justificá tu respuesta.




- Interpretar relaciones entre variables expresadas mediante una fórmula que modeliza

el proceso de vaciado de un tanque.

- Usar de la fórmula para responder preguntas acerca del proceso.

- Analizar el tipo de variación uniformes o no uniforme para relaciones expresadas

mediante fórmulas.

- Interpretar sus parámetros (la pendiente como cociente de incrementos y las

intersecciones con los ejes).

Algunas posibles estrategias de resolución:

Para responder al ítem a) es necesario interpretar que el momento de inicio del proceso

corresponde al tiempo cero. Una vez reconocido este hecho, se podría reemplazar en la

fórmula este valor para responder a la pregunta planteada.

Para responder al ítem b) es necesario interpretar que el momento de vaciado corresponde al

tiempo en el que en el tanque hay 0 litros de agua. Dado que la relación entre las variables

está dada por una fórmula, se podría recurrir al tanteo para encontrar para qué valor de “t”, la

expresión 200 - 5t vale 0. Esta estrategia es equivalente a resolver la ecuación 200 - 5t = 0,

siendo pertinente dados los valores involucrados. Nótese que si el tiempo de vaciado no fuera

un número natural, la estrategia de tanteo no resulta tan eficiente.


Una posibilidad de trabajo con los ítems c) y d) sería responder al primero utilizando la fórmula

(A = 200 - 5.15 = 125) y utilizar este dato para responder al segundo, planteando que al

comienzo había 200 litros y a los 15 minutos había 125. Otra posible estrategia, pero que

implica la interpretación de la fórmula y el reconocimiento de que es un proceso de variación

uniforme, sería pensar que el término -5t en la fórmula representa (por tener un menos

adelante) lo que se está extrayendo de la pileta, es decir, que “se sacan” 5t litros de agua. Con

esta interpretación, no es necesario tener el dato obtenido del ítem c) para responder el ítem

d).

El ítem e) plantea la situación inversa al ítem c), es decir, obtener el valor del tiempo dada la

cantidad de agua en la pileta. En este caso, se puede recurrir, al igual que lo indicado a

propósito del ítem b), a estrategias de tanteo para obtener la respuesta. Nuevamente, el valor

de “t” necesario es un valor entero, lo que habilita esta táctica.

Para responder a la última pregunta se podría recurrir a una tabla de valores. El tipo de trabajo

que se puede realizar con la tabla es del mismo tipo del realizado en el problema de los

alfileres pero analizando, en este caso, la relación entre las variaciones de las cantidades.

Problema 4

El gráfico representa el recorrido de una avioneta que viaja a velocidad constante durante 8

horas de vuelo.


a) ¿Cuántos kilómetros recorrió la avioneta luego de transcurridas 4 horas de haber

comenzado su vuelo?

b) ¿Cuántas horas tardó en recorrer 3600 km?

c) ¿Es cierto que tardó 3 horas en recorrer 1800 km?

d) ¿Cuántos kilómetros recorrió en 1 hora?

e) Completá la tabla.

Horas 4 5 5,5


300 6600


f) ¿Es cierto que por cada 2 horas transcurridas la avioneta recorre 1200 km? Explicá tu

respuesta.




- Interpretar relaciones entre variables en tablas y gráficos en el contexto del recorrido

de un móvil en el tiempo (proporcionalidad directa);

- Explicitar y analizar propiedades de la función de proporcionalidad directa (variación

uniforme, origen en el cero);

Algunas posibles estrategias de resolución:

Para responder a los ítems a) y b) los estudiantes tendrán que saber cómo se leen los puntos

en los gráficos cartesianos e interpretar esa información en términos del problema.

En el caso del ítem c), la respuesta no es de lectura directa del gráfico. La grilla en la que está

representado el gráfico introduce una escala en la que cada marca del eje vertical corresponde

a 80 km, por lo que si solo se basan en el registro gráfico podrán identificar un punto que

produce una respuesta aproximada. Esto es algo interesante para discutir con los estudiantes

porque permite evidenciar los límites del trabajo con gráficos cartesianos y habilita la

posibilidad de utilizar cálculos y la noción de proporcionalidad para resolver el problema. Sin

embargo, esto no es algo espontáneo ni natural, algunos chicos consideran que “están

haciendo trampa” si resuelven el problema con cálculos, ya que la representación sobre la que

propone trabajar es un gráfico. Será necesario, entonces, discutir con ellos estos quehaceres

propios del trabajo matemático.

Para resolver el ítem c) será necesario asumir que estamos en presencia de una relación de

proporcionalidad directa ya que la velocidad del móvil es constante. Así, apoyándose en las

propiedades de las relaciones de proporcionalidad directa estudiadas en la escuela primaria,

resulta que “si recorre la mitad de kilómetros, tardará la mitad de tiempo”. De esta manera,

para recorrer 3600 km la avioneta tardó 6 h, entonces para recorrer la mitad de kilómetros

(1800) tardará la mitad del tiempo (3hs). Otro posible abordaje es calcular el tiempo que tarda

el móvil en recorrer 1 kilómetro (haciendo 6 : 3600, 4 : 2400, o dividiendo los valores

correspondientes a las coordenadas de algún otro punto del gráfico) y multiplicar esa cantidad

por 1800. Esta última estrategia recupera la idea de constante de proporcionalidad trabajada

en el Nivel Primario.


Para resolver el ítem d) puede utilizarse una estrategia similar a la última mencionada a

propósito del ítem c): hacer 3600 : 6, 2400 : 4 o dividiendo los valores correspondientes a las

coordenadas de algún otro punto del gráfico. De esta manera, se obtiene que en 1 hora la

avioneta recorre 600 km. Esta es otra de las constantes de proporcionalidad directa

involucradas en el problema.

Para completar la tabla del ítem e) se puede:

● Completar la primera columna considerando que 300 es la octava parte de 2400 y, por

lo tanto, en recorrer 300 km tardará la octava parte del tiempo que tarda en recorrer

2400 km (6 : 8 = 0,75 horas).

● Como la segunda columna requiere información que puede leerse directamente del

gráfico. Sin embargo, algunos estudiantes pueden no utilizarlo y resolver el problema

haciendo cálculos similares a los descriptos para la tercera columna.

● Para completar la tercera columna se puede utilizar el dato obtenido en el ítem d): en

1 hora recorre 600 kilómetros y multiplicar esa cantidad por 5 obteniendo 3000 km.

También podrían sumar 600 a 2400 porque “por cada hora que pasa, la avioneta

recorre 600 kilómetros más”.

● Para la cuarta columna podrían utilizar la misma estrategia que para la tercera

(multiplicar 5,5 por 600), o bien sumar a 3000 la mitad de 600 (porque si transcurre la

mitad de 1 hora, se avanza la mitad de kilómetros correspondientes a una hora).

● Para el caso de la última columna, podrían utilizar una estrategia similar a la que

utilizaron para la primera; o bien multiplicar 5,5 por 2 (porque 6600 es el doble de

3300).

La tabla terminada quedaría así:

Horas 0,75 4 5 5,5 11


300 2400 3000 3300 6600

El ítem f) busca explicitar la idea de variación uniforme si es que aún no surgió en ítems

anteriores. La forma de enunciación de la pregunta se corre de la lectura punto a punto del

gráfico o de la tabla (estática) y da el puntapié para empezar a pensar el problema como un

proceso. El dinamismo será algo característico del trabajo en el marco funcional. Los

estudiantes podrán apoyarse en el gráfico para fundamentar que la afirmación es verdadera o

bien en la pregunta c).

ATENEO n° 2 ENCUENTRO 1 Año...

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