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DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA DIFUSIVIDAD
EFECTIVA PARA LA DESHIDRATACIÓN OSMÓTICA DE PIÑA
UTILIZANDO PELLETS EN FORMA DE CUBOS MEDIANTE
MÉTODOS NÚMERICOS
Ruiz R. Y. a, Torres J. E., Caicedo L. A.a, Durán H. A.a, Jiménez S.A.a
(Universidad Nacional de Colombia – Sede Bogotá)
Cll 45 Cra 30- Ciudad Universitaria - Bogotá D.C.- Colombia
E-mail: [email protected], [email protected]
Resumen. El propósito de este trabajo es estudiar la cinética de
deshidratación osmótica de cubos de piña. Para los ensayos se adecuó piña
variedad perolera (Ananas Comosus), en cubos de dos centímetros de arista,
que se deshidrataron por vía osmótica a 18oC, en una solución de sacarosa
con concentración inicial de 60°Brix y con relación fruta-solución de
sacarosa de 1:3. El sistema se agitó a 90 rpm. Durante la experimentación se
midió la concentración de sólidos solubles de la solución osmótica hasta que
el sistema llegó al equilibrio. La difusividad efectiva del agua se determinó
asumiendo que la transferencia de masa en la fruta está bien representada
por el modelo de difusión (segunda ley de Fick). El modelo se solucionó
mediante métodos numéricos, teniendo como condición de frontera la
variación de la concentración en la superficie de la piña respecto al tiempo
de acuerdo con una función conocida, la cual fue obtenida de datos
experimentales. Como condición inicial se consideró que en cualquier punto
de la piña la concentración de agua es conocida. Para calcular el coeficiente
de difusividad de la piña, se planteó un problema de optimización en el que
se comparan los resultados obtenidos del modelo matemático con los datos
experimentales; la función objetivo es la expresión de minimización de
errores cuadrados sujeta al modelo de difusión. Cuando la difusividad
efectiva se considera como una función exponencial de la concentración
promedio de agua en la piña, se encuentra buen ajuste del modelo
matemático respecto a los datos experimentales.
Palabras Clave: Difusividad efectiva de piña, Deshidratación osmótica y
método de líneas.
1. Introducción
La técnica de osmodeshidratación, se puede clasificar como una operación de
extracción líquido-sólido; consiste en poner en contacto un sólido hidratado, como
partículas de frutas, en un jarabe de alta concentración en sólidos solubles. La diferencia
de concentraciones entre la solución intrapartícula y la del medio líquido que la rodea
produce la transferencia preferencial de agua y otros componentes desde la partícula
hasta el medio circundante y transferencia de sólidos solubles del medio al sólido. Este
método ha sido recientemente empleado para la deshidratación de frutas como manzana
(Barrera Et al., 2004; Cornillon, 2000; Hough et al., 1993; Kaymak-Ertekin y Sultanolu,
2000; Lewicki y Porzecka-Pawlak, 2005; Mandala et al., 2005; Mavroudis et al., 1998;
Nieto et al., 2004; Prothon et al., 2001; Sacchetti et al., 2001; Salvatori et al, 1999;
Taiwo et al., 2002), piña (Expedito et al., 1996; Parjoko et al., 1996; Rastogi y
Raghavarao, 2004), kiwi (Gerschenson Et al., 2001; Gianotti et al., 2001; Talens et al.,
2003; Talens et al., 2002), fresas (Erle y Schubert, 2001; Piotrowski et al., 2004; Evans
et al., 2002). Como parte del proceso se produce un jarabe diluido enriquecido con
sustancias propias de la fruta y un sólido parcialmente seco.
La osmodeshidratación presenta ventajas frente a otros métodos de deshidratación,
ya que la fruta obtenida mantiene en una alto porcentaje las propiedades nutricionales y
sensoriales (color, aroma, sabor) de la fruta fresca (Torregianni, 1993), aspectos que
hacen parte de las exigencias del consumidor y por ende de la industria alimenticia.
La operación de osmodeshidratación se ha trabajado principalmente a nivel de
laboratorio con buenos resultados (Torreggiani, 1993, Expedito et al., 1996, Rastogi et
al., 2002), pero es necesario desarrollar equipos que logren llevar a cabo operaciones a
grandes escalas por ello se requiere entender los fenómenos de transporte que suceden
en la operación, determinar parámetros adecuados de diseño y generar modelos
matemáticos que permitan predecir el comportamiento de la operación. Con estos
propósitos algunos investigadores han formulado varios modelos matemáticos (Barat et
al., 2001, Fito, 1994, Salvatori et al., 1999, Toupin et al., 1989, Yao y Le Maguer, 1996,
Yao y Le Moguer, 1997a, Yao y Le Moguer, 1997b, Agnelli et al., 2005) y han
determinado valores de difusividad efectiva en diferentes frutas y geometrías haciendo
uso de la segunda ley de Fick (Rastogi et al., 2002, Rastogi y Raghavarao, 2004 y
Azuara et al., 1992). Hay pocos trabajos disponibles para hallar experimentalmente
difusividades efectivas con geometría de cubos en la fruta (Rastogi y Raghavarao, 2004)
y con baja relación fruta jarabe. El propósito de este trabajo fue determinar un valor
experimental de difusividad efectiva para la deshidratación osmótica de piña en forma
de cubos partiendo de la segunda ley de Fick, resolviendo la ecuación por métodos
numéricos y teniendo como una de las condiciones de frontera concentración variable
con el tiempo, debido a la baja relación fruta: jarabe utilizada en los ensayos. Se pudo
determinar la difusividad efectiva para la piña y a la determinación de perfiles de
humedad al interior de la fruta.
2. Materiales y métodos
2.1 Materia Prima
Piña. Se empleó piña (ananas comosus) variedad perolera, en geometría de cubos.
Los cubos tenían una arista de 2 cm en promedio.
Solución osmótica. Se empleó un jarabe de sacarosa, preparado mediante una
mezcla de azúcar en grado comercial y agua potable hasta alcanzar una concentración
de 60 °B.
2.2. Proceso de Deshidratación Osmótica
La deshidratación osmótica se realizó colocando la fruta y el jarabe en un recipiente
Erlenmeyer de 500 mL con una relación en peso fruta jarabe de 1:3, temperatura 18 ± 1
°C, y manteniendo el sistema en un agitador a 90 RPM durante 5 horas, esto es hasta
alcanzar un valor de aparente estabilidad de la deshidratación.
2.3. Métodos analíticos
Los sólidos solubles se determinaron empleando un refractómetro a temperatura de
18± 1°C.
2.4. Consideraciones Teóricas
Los resultados se presentan como el porcentaje de pérdida de peso respecto a la piña
fresca, estos datos fueron calculados a partir de un balance de masa aplicado al jarabe.
Los cálculos se realizaron teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:
• El volumen de control empleado para realizar los balances de masa fue el
volumen limitado por la solución osmótica.
• Se considera que no hay flujo de sólidos solubles desde el jarabe a la piña, ni
desde la piña al jarabe.
Balance de materia total:
Masa de agua transferida + Masa de jarabe inicial = Masa total acumulada
A + MiJ = MJt (1)
donde:
A = masa de agua ganada por el jarabe (pérdida por la piña)
MiJ = masa inicial de jarabe
MJt = masa de jarabe en un instante de tiempo
Balance para el agua:
agua inicial + agua entra = agua acumulada
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °
−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °
−×100Bx1MJA
100Bx1JM t
ti (2)
Por consiguiente:
t
tii
Bx)BxBxJ(M
A°
°−°= (3)
Porcentaje de pérdida de peso:
% Pérdida de peso = A/ Mip x 100 (4)
donde
Mip = Masa inicial de la piña
2.5. Modelo para determinar difusividades efectivas
Descripción fenomenológica
En la deshidratación osmótica de alimentos pueden existir varios mecanismos
responsables del transporte de masa, esto debido a la complejidad de la microestructura
de los alimentos (Chiralt y Talens, 2005). En la literatura hay tres mecanismos
principales de transferencia de masa aceptados a nivel celular, el apoplastico, que es la
difusión que ocurre en el exterior de la célula, en los espacios extracelualres, el
simplástico que es el transporte entre células vecinas, el cual se da a través de canales
llamados plasmodesmatas, y el extracelular que ocurre entre el interior de la célula y el
exterior de la misma (espacios intercelulares y pared celular) a través de la membrana y
la pared celular. (Shi y Le Maguer, 2002). Adicional a estos mecanismos, una vez que
los fluidos se encuentran en los poros de la fruta, estos pueden salir al medio
circundante mediante varios fenómenos de transferencia de masa.
Algunos autores han recalcado la importancia de otros mecanismos, como los
hidrodinámicos, que son debidos a la presión capilar que se genera en la estructura
porosa del alimento (Fito et al., 1995, Barat et al., 2001, Chiralt y Talens, 2005); estos
mecanismos son los responsables de la impregnación de los alimentos de los solutos
ganados por los alimentos en los procesos osmóticos (Chiralt y Talens, 2005)
Rastogi et al. (2002), describe de una manera más simple el transporte de agua en la
deshidratación osmótica: asume que éste se realiza en tres etapas en el interior del
alimento; la primera caracterizada por una velocidad alta de transferencia, que
corresponde a la salida de agua desde las células superficiales que se encuentran en
contacto con la solución osmótica. Una segunda etapa donde las células siguientes a las
superficiales empiezan a transferir agua, y debido a la deshidratación y por consiguiente
la contracción que han sufrido las células cercanas a la superficie, la velocidad de
transferencia de masa podría ser mayor que en la primera etapa y una ultima en la que la
transferencia se genera en las células internas del alimento, en esta etapa la velocidad de
transferencia es menor respecto a la etapa uno y dos.
Modelo matemático
Según la ley de Fick, se puede demostrar (Crank, 1975) que el transporte de una
sustancia en un sólido es representada por la siguiente ecuación en coordenadas
rectangulares:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅=∂∂
2
2
2
2
2
2
zC
yC
xC
tC
efD (5)
donde:
“Def” es la difusión efectiva de la sustancia a través del sólido, que representa en si
el promedio de las variaciones de la difusividad en las tres direcciones coordenadas.
Para el caso de la deshidratación osmótica, C es la concentración de agua en el
sólido, x,y,z son las coordenadas rectangulares espaciales, t es el tiempo del proceso.
La ecuación también se puede representar con el operador Laplaciano:
CtC 2∇⋅=
∂∂
efD (6)
El cual al aplicarle diferencias centrales (con igual incremento de las variables
espaciales) como una forma de poder manipular la ecuación diferencial parcial
numéricamente es:
( )zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxx
CCCCCCCh
C ,,1,,1,,,1,,1,,,1,,122 61
⋅−+++++⋅≈∇ −+−+−+ (7)
la ecuación 7 se puede representar gráficamente a través de moléculas de
computación (Constantinides, 1987):
-6
+1
+1
+1+1
+1
+1
⋅ ∇ ≈ 2 2 1
xh
Fig. 1. Representación de la ecuación diferencial mediante molécula computacional
donde hx es el paso o incremento en una dimensión espacial.
Al remplazar la ecuación 7 en la 6, la ecuación diferencial parcial (EDP) se convierte
en un conjunto de ecuaciones diferencial ordinarias (EDO):
( )zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxx
zyx CCCCCCChdt
dC,,1,,1,,,1,,1,,,1,,12
,, 6 ⋅−+++++⋅= −+−+−+efD
(8)
El presente sistema de EDO se puede resolver dependiendo si sus condiciones son
iniciales o de frontera en el tiempo, en el primer caso se pueden usar los métodos
numéricos clásicos (métodos de Runge-Kutta, Euler, y sus métodos implícitos) y en el
segundo caso se pueden utilizar métodos de elementos finitos o de bombardeo, entre
otros (Davis, 1990), en este caso se tiene un problema de condición inicial en el tiempo,
aplicando el método de Euler, la ecuación 8 queda de la forma:
( ) tzyxttzyxtzyxtzyxtzyxtzyxtzyxtzyxx
tzyx ChCCCCCCCh
C ,,,,,,,1,,,1,,,,1,,,1,,,,1,,,121,,, 6 +⋅⋅−+++++⋅= −+−+−++efD
(9)
Donde ht es el paso o incremento del tiempo y hx es el paso en las variables
espaciales como anteriormente se indicó, si hx toma el valor de un tercio el volumen
sería partido en 27 partes. En este trabajo la aproximación del volumen es un cubo que
tiene un lado con longitud 2L, aprovechando la simetría, ese cubo se parte en 8 cubos y
a uno de ellos se le aplica la partición hx, que será utilizada para resolver la EDP, esto se
puede apreciar en la siguiente figura:
L
2L
L*hx
8 veces
2L
Fig. 2. Partición del volumen de control
Condiciones de frontera de EDP
Si se supone que el cubo está inmerso en una solución con concentración = Csup(t),
si se toma el cubo inferior derecho ubicado en la cara frontal del cubo (de longitud de
lado 2L) de la Fig. 1, resultan las condiciones siguientes: 3 tapas se encuentran
sumergidas en la solución y las otras 3 caras no tienen gradiente de concentración por
simetría, lo anterior se puede representar como se muestra en la Fig. 3:
δC/dz=0
δC/dx=0 Csu
p(t)
Csup
(t)
Csup
(t)
δC/dy=0
Fig. 3. Condiciones de frontera para un cubo de longitud de lado L
Por lo tanto las condiciones de frontera en la superficie son dinámicas y dependen de
cómo cambia la concentración de la solución; se utilizaron dos expresiones de Csup(t),
en la primera se asume que no hay una resistencia apreciable a la transferencia de masa
en la solución osmótica, luego la concentración medida en el seno del fluido sería la
misma de la superficie, y en la segunda se tiene en cuenta que puede haber resistencia a
la transferencia de masa en la solución osmótica, la cual se constituye en controlante del
proceso; lo que obliga a introducir un coeficiente de transferencia de masa, y origina la
Ec. 10.
)(dt
dma1)sup( senot CCKa
A−= (10)
Difusividad efectiva
Basados en los datos experimentales y aplicando la herramienta Excel, se desarrollo
el programa FRUTDIFU que permite mediante técnicas de optimización, encontrar el
valor de la difusividad efectiva para varias condiciones de frontera.
La función objetivo es la presenta en la ecuación 11, donde la concentración
calculada es la promedio determina a partir de la Ec. 12
2
t,exp,
1 min ∑ ∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅= dVC
V-Ce tcalct
efD (11)
( )sup),,(,1
≠≈⋅= ∫∫∫ zyxV
tcalc CpromediodVCV
C (12)
Para encontrar el efecto de la concentración sobre la difusividad efectiva, se
empleará una expresión de tipo exponencial, como la presentada en la Ec. 13
bC
ef a(exp)D = (13)
3. Resultados y análisis
Concentración en el medio en función del tiempo.
Las ecuaciones obtenidas para representar la concentración en el medio en función
del tiempo son las siguientes:
(14) 474,0074,0)( 6931,0sup +⋅= ⋅− tetC
(15) 474,0380,0)( 01842,1sup +⋅= ⋅− tetC
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo(horas)
Csu
p (o
BExperimental
Ajustado
a)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo (horas)
Csu
p (o
B
Experimental
Ajustado
b)
Fig. 4. Concentración de la superficie de la piña respecto al tiempo. a) cuando no hay resistencia apreciable a la resistencia de masa en la solución osmótica. b) cuando hay
resistencia apreciable a la resistencia de masa en la solución osmótica.
Determinación de la difusividad efectiva constante sin resistencia externa.
Al resolver el problema de optimización representado por la Eq. (11) en una hoja de
cálculo, con “De” constante, y asumiendo que no hay resistencia representativa en la
transferencia de masa en la solución osmótica, se obtiene el siguiente resultado:
Con una difusividad de 9,23E-10 m2/s, que es del mismo orden de magnitud al
reportado en la literatura (Rastogi y Raghavarao, 2004). Al comparar el valor promedio
de la humedad en la fruta experimental y calculada a partir del modelo, se obtiene la
Fig. 5.
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo (Horas)
Hum
edad
pro
med
io (%
Experimental
Segunda ley de Fick
Fig. 5. Variación de la humedad promedio en el cubo de piña respecto al tiempo con “Def” constante
La Fig. 5 muestra la humedad promedio experimental y la calculada de la piña
respecto al tiempo. Puede verse que aunque las dos curvas tienen una tendencia similar
y presentan un desfase apreciable en los valores de humedad que predice el modelo.
-1
-0,7
5
-0,5
-0,2
5
0,25 0,
5
0,75 1
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0,25
0,5
0,75
1
Longitud z del cubo de piña (cm)
Longitud y del cubo de piña
(cm)
0,5-0,6
0,4-0,5
Fracción en peso - base húmeda (w/w)
z
x
y
Cómo varía la humedad sobre la superficieYZ, con
X = 0
Distancia z (cm)
“Zonas de humedad”
en t = 7,9hr
y (cm)
z
x
y
Cómo varía la humedad sobre la superficieYZ, con
X = 0
Distancia z (cm)
“Zonas de humedad”
en t = 7,9hr
y (cm)
Fig. 6. Perfil de humedad en un cubo de piña de longitud 2 cm después de 7,9 horas
de operación
El perfil de humedad dentro de la fruta se presenta en la Fig. 6. Allí se indica que en
una superficie x = 0 después de 7,9 horas de osmodeshidratación, la superficie tiene un
alto grado de deshidratación, y que prácticamente en todas las direcciones del cubo (y y
z) se ha alcanzado el máximo estado de deshidratación.
Sin embargo, teniendo en cuenta el desfase que se presenta entre la humedad
promedio calculada y la experimental, puede decirse que este perfil no representa
adecuadamente lo que sucede al interior del cubo de piña.
Efecto de la resistencia externa a la transferencia de masa sobre la difusividad
efectiva.
Cuando se asume que “Def” puede ser una función exponencial de la humedad
promedio se obtiene un mejor ajuste entre la curva experimental y la curva calculada
con el modelo matemático, este resultado está en la Fig. 7.
0,70
0,74
0,78
0,82
0,86
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo(Horas)
Hum
edad
pro
med
io (%
Humedad promedioexperimentalHumedad promediocalculada
a)
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (Horas)
Hum
edad
pro
med
io (%
Humedad promedioexperimentalHumedad promediocalculada
b)
Fig. 7. Variación de la humedad promedio en el cubo de piña respecto al tiempo. a) asumiendo que no hay resistencia significativa a la transferencia de masa en la solución osmótica. b) asumiendo que hay una resistencia significativa a la transferencia de masa
en la solución osmótica.
A pesar del mejor ajuste logrado en estos dos casos, se ve que los datos
experimentales tienen una tendencia diferente a la que predice el modelo, esto podría
deberse a los mecanismos de transferencia de masa, diferentes a la difusión.
También puede verse de la Fig. 7 que no hay variación apreciable en la
representación que se tiene del fenómeno, l oque indicaría que la resistencia externa a la
transferencia de masa no es controlante en la operación.
Efecto de la humedad promedio de la piña en la difusividad efectiva
El comportamiento de “Def” respecto a la humedad promedio puede verse en la
Fig.8.
0,00E+00
1,00E-10
2,00E-10
3,00E-10
4,00E-10
5,00E-10
6,00E-10
0,72 0,74 0,76 0,78 0,8 0,82 0,84 0,86 0,88Humedad promedio de la piña
(%w/w)
De
(m2/
s
No hay resistencia a T.M.apreciableHay resistencia a T.M.apreciable
Fig.8. Comportamiento de “Def” respecto a la humedad promedio de un cubo de piña
Las ecuaciones 16 y 17 representan el comportamiento de la difusividad efectiva
respecto a la humedad promedio en la piña cuando no hay resistencia significativa a la
transferencia de masa en la solución osmótica y cuando si existe resistencia significativa
a la transferencia de masa en la solución osmótica respectivamente.
0517,01009,9C
eEDe −= (16)
0507,01011,7C
eEDe −= (17)
De la Fig 8 puede observarse que la difusividad efectiva disminuye con la humedad
promedio de la piña, y que puede tener un efecto significativo sobre la misma.
Igualmente puede verse que la resistencia externa no hay un efecto significativo sobre la
difusividad efectiva. En el caso de los perfiles de humedad al interior del cubo, se
observa que no hay diferencia apreciable cuando se considera que no hay resistencia a la
transferencia de masa en la solución osmótica y cuando se considera que ésta es
apreciable. En las dos casos el modelo predice que al interior del cubo habrá cambios en
la humedad en las direcciones y y z. Por la simetría que se presenta en el cubo
igualmente se presentarán cambios en la humedad en la dirección x.
Debe resaltarse que la zona interior del cubo, de acuerdo con el resultado del modelo
matemático, no se deshidratará apreciablemente, por lo que resultaría atractivo evaluar
cual sería el tiempo necesario para llegara un nivel adecuado de deshidratación interna o
cual debería ser el tamaño adecuado del cubo para alcanzar un alto grado de
deshidratación.
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1-1
-0,75
-0,5
-0,25
0,25
0,5
0,75
1
Longitud z del cubo de piña(cm)
Longitud y del cubo de piña
(cm)
0,8-0,90,7-0,80,6-0,70,5-0,60,4-0,5
a)
Fracción en peso - base húmeda (w/w)
-1 -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1-1
-0,75
-0,5
-0,25
0,25
0,5
0,75
1
Longitud z del cubo de piña (cm)
Longitud y del cubo de piña
(cm)
0,8-0,9
0,7-0,8
0,6-0,7
0,5-0,6
0,4-0,5
b)
Fracción en peso - base húmeda (w/w)
Fig. 9. Perfiles de humedad en un cubo de piña con L 2 cm, en una superficie YZ y
X = 0, después de 7,9 horas de deshidratación osmótica. a) asumiendo que no hay resistencia significativa a la transferencia de masa en la solución osmótica. b)
asumiendo que hay resistencia significativa a la transferencia de masa en la solución osmótica.
El comportamiento mostrado en la Fig. 9. concuerda con lo descrito en la literatura
cuando se realiza la deshidratación osmótica en tiempos cortos de tratamiento. (Chiralt
y Talens, 2005)
Conclusiones
El modelo matemático de difusión de transferencia de masa en la deshidratación
osmótica de piña, variedad perolera, en forma de cubos permitió determinar
experimentalmente valores de la difusividad efectiva de la fruta.
El modelo planteado permitió establecer perfiles internos de humedad de la fruta, lo
cual indica que las zonas internas de la piña no se deshidratan a altos niveles en
tratamientos de tiempo corto. Referencias
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Agradecimientos
Los autores expresan su agradecimiento a COLCIENCIAS- Instituto Colombiano
para el Desarrollo de la Ciencia y la Tecnología "Francisco José de Caldas”- por el
soporte financiero. Al Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICTA) y al
Laboratorio de Ingeniería Química (LIQ) de la Universidad Nacional de Colombia –
Sede Bogotá.