Aula 04 – Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas

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aplicado a análise de incertezas

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Prof. Valner Brusamarello

Incerteza - GUMO Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) estabelece regras gerais para avaliar e expressar a incerteza de estabelece regras gerais para avaliar e expressar a incerteza de medição.

O método de avaliação de incertezas, proposto pelo GUM toma O método de avaliação de incertezas, proposto pelo GUM toma por base a propagação de incertezas através do modelo matemático da medição. ç

O método apresenta alguns problemas práticos como por exemplo:p

Complexidade conceitual;

Necessidade de construir um modelo matemático da medição;Necessidade de construir um modelo matemático da medição;

Requer condições de linearidade do modelo;

R di t ib i ã l d iá l l tó i t Requer distribuição normal da variável aleatória que representa os valores possíveis do mensurando.

MMC – Método de Monte Carlo

Antes de 1949 foram resolvidos vários problemas estatísticos de amostragem aleatória empregando-se essa técnica (John Von Neumann e Stanislaw Ulam).Primeiramente estabelece-se o modelo de medição;Primeiramente estabelece-se o modelo de medição;Em seguida avalia-se o modelo. As diferenças entre o método clássico e a SMC estão no tipo de ç pinformação descrevendo as grandezas de entrada e na forma em que essa informação é processada para se obter a incerteza. N é d lá i d iá l d d d No método clássico, cada variável de entrada deve ser caracterizada pela função densidade de probabilidade (PDF), sua média e desvio padrão e os graus de liberdade. p gNa SMC, esse último parâmetro não é envolvido nos cálculos, tornando-se desnecessário.

éMMC – Método de Monte CarloNa SMC o formato da distribuição de saída será obtido a Na SMC, o formato da distribuição de saída será obtido a partir da avaliação do modelo matemático por meio da combinação de amostras aleatórias das variáveis de entrada combinação de amostras aleatórias das variáveis de entrada, respeitando as respectivas distribuições.

A i SMC d ã d PDF d d d Assim, a SMC produz a propagação das PDFs das grandezas de entrada através do modelo matemático da medição, f d lt d PDF d l fornecendo como resultado uma PDF que descreve os valores do mensurando consistentes com a informação que se possui.

É h d é d d d d bÉ conhecido como método da propagação de distribuições.

éMétodo de Monte CarloVantagens: Vantagens:

produz uma aproximação da função de distribuição para o mensurando. .Desta distribuição quaisquer parâmetros estatísticos, incluindo o resultado da medição, a incerteza de medição padrão associada e a prespectiva probabilidade de abrangência intervalo de confiança, podem ser obtidos. Não depende da natureza do modelo, isto é, pode ser fortemente não-linear ou ter um número grande de variáveis.

D t ( ã !!?) Desvantagens (ou não!!?): Caráter numérico, particularmente a sua natureza computacional

intensivaintensiva

éMétodo de Monte CarloModelos matemáticos não lineares;Modelos matemáticos não-lineares;

Distribuições assimétricas das grandezas de influência;

Contribuições não-normais dominantes;

Correlações entre grandezas e outras dificuldades para ç g pa aplicação do método clássico não precisam receber atenção especial atenção especial.

Considerações sobre a normalidade da estimativa de íd li bilid d d fó l ál l d saída e a aplicabilidade da fórmula para cálculo do

número de graus de liberdade tornam-se desnecessárias.

éMétodo de Monte CarloA qualidade dos resultados dependerá dos seguintes A qualidade dos resultados dependerá dos seguintes

fatores:

representatividade do modelo matemático;

qualidade da caracterização das variáveis de entrada;qualidade da caracterização das variáveis de entrada;

características do gerador de números pseudo-l ó l daleatórios utilizado;

número de simulações realizadas;ç

procedimento de definição do intervalo de abrangênciaabrangência.

úEfeito do número de amostrasVariável aleatória gaussiana M=100 e M=100000Variável aleatória gaussiana M=100 e M=100000

éMétodo de Monte CarloO aumento do tamanho de amostra M traz um aumento nos O aumento do tamanho de amostra M traz um aumento nos requisitos sobre o hardware usado na simulação e no tempo necessário para se dispor do resultado. Para definir o número de simulações, deve-se fazer um balanço entre a qualidade dos resultados desejada e as disponibilidades de h d d hardware e de tempo. O erro amostral de simulação não é a única fonte de desvios potenciais na análise de incerteza por SMC potenciais na análise de incerteza por SMC. Modelos matemáticos pouco representativos e grandezas de influência mal caracterizadas podem gerar desvios bem maiores e influência mal caracterizadas podem gerar desvios bem maiores e mais difíceis de serem detectados. Aumentar o número de simulações M para reduzir o erro amostral ç ppode não trazer o retorno esperado.

éMétodo de Monte CarloA flexibilidade do MMC permite que ele seja usado para A flexibilidade do MMC permite que ele seja usado para estimar a incerteza expandida, em situações onde a distribuição que representa os valores possíveis do distribuição que representa os valores possíveis do mensurando não é normal.

Q d di t ib i ã d iá l t l Quando a distribuição da variável que representa os valores possíveis do mensurando é simétrica, é possível usar o recurso d d t d íd d i l de ordenar o vetor de saída do menor para o maior valor e identificar os limites do intervalo de abrangência por meio da

t d l tcontagem dos seus elementos.

MMC – Propagação de PDFsEx : Duas distribuições retangulares iguais Variáveis X e Z têm Ex.: Duas distribuições retangulares iguais. Variáveis X e Z têm amplitudes iguais, dentro do intervalo [0; 1].

A convolução das duas distribuições pode ser calculada, resultando ç ç p ,uma distribuição de probabilidade de saída triangular.

100000 simulações.ç

Soma de duas distribuições retangulares com ç g100000 - mesmo intervalo [0,1]

Soma entre duas distribuições Soma entre duas distribuições retangulares com o método clássico da aplicação da Lei de propagação de incertezas com o MCM, com de incertezas com o MCM, com 500000 simulações.

Método Média U95% U99%Método Média U95% U99%

Clássico 1,0000 1,6004 2,1066

MCM 0,9994 1,5543 1,8002

Ex 2 : duas distribuições retangulares Ex.2 : duas distribuições retangulares com amplitudes diferentes (X [0, 1] e Z [0, 2,5]). 100000 simulações

Soma de duas distribuições retangularescom o intervalo [0,1] e [0,2,5] - 100000simulações -distribuição trapezoidalç ç p

Comparação método clássico x MMC500 000 simulações500.000 simulações

Diferenças de 8% e 21% para os níveis de confiança de 95% e 99%e 99%

Método Média U95% U99%

Clássico 1,7500 3,0470 4,0108

MCM 1 7507 2 7941 3 1858MCM 1,7507 2,7941 3,1858

Ex. 3 - Três distribuições retangulares X [0, 1], Z [0, 2,5] e Y [0, 1]). 100000 simulações[0, 1]). 100000 simulações

Resultado da soma de três distribuições retangulares,

Comparação método clássico x MMC

500000 simulações

Método Média U95% U99%Método Média U95% U99%

Clássico 2,2500 3,2502 4,2784

MCM 2,2496 3,0582 3,6551

O exemplo da calibração de um multímetro digital

modelo matemático: E V V V Vδ δ= − + −modelo matemático:

MMC com 500 000 simulações, a incerteza na indicação do MMD resultou no valor de 0 100 V com um intervalo de

X iX S IX SE V V V Vδ δ= − + −

MMD resultou no valor de 0,100 V, com um intervalo de confiança de 95%.

A forma da distribuição é essencialmente trapezoidalA forma da distribuição é essencialmente trapezoidal.

A distribuição retangular é uma aproximação possível

S i i ã i i di ib i ã Seria uma aproximação grosseira assumir uma distribuição gaussiana.

Distribuição da variável de saída para o çexemplo da calibração do multímetro digital 100000 simulações digital- 100000 simulações

éMétodo de Monte CarloO método de Monte Carlo é uma ferramenta que pode ser utilizada com q pvantagem em situações onde as condições do método convencional não são atendidas:

o modelo matemático da medição apresenta uma acentuada não-linearidade;ç pa distribuição de probabilidade da grandeza de saída afasta-se significativamente da normal.

O método da SMC é particularmente útil, quando modelos matemáticos p , qcomplexos estão envolvidos, nos quais é difícil ou inconveniente determinar as derivadas parciais exigidas pelo método clássico, ou quando a grandeza medida não pode ser explicitamente expressa em razão das grandezas de influência.gA utilização de ferramentas computacionais, na metrologia científica e industrial, tem sido cada vez mais aceito. As atividades metrológicas vêm sendo fortemente beneficiadas pela aquisição As atividades metrológicas vêm sendo fortemente beneficiadas pela aquisição de dados e pelo processamento de resultados via computador, com a conseqüente redução do trabalho rotineiro e dos erros grosseiros, aspectos esses inevitáveis quando grandes quantidades de números precisam ser q g q pmanipuladas.