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Introduc ¸˜ ao Gauss-Jacobi Gauss-Seidel Interpretac ¸˜ ao Geom´ etrica ´ ALGEBRA LINEAR AULA 5 M ´ ETODOS ITERATIVOS Lu´ ıs Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 27
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Introducao
Gauss-Jacobi
Gauss-Seidel
InterpretacaoGeometrica
ALGEBRA LINEARAULA 5
METODOS ITERATIVOS
Luıs Felipe Kiesow de Macedo
Universidade Federal de Pelotas - UFPel
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Introducao
Gauss-Jacobi
Gauss-Seidel
InterpretacaoGeometrica
1 Introducao
2 Gauss-Jacobi
3 Gauss-Seidel
4 Interpretacao Geometrica
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Introducao
Gauss-Jacobi
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InterpretacaoGeometrica
Introducao
Seja o sistema linear Ax = b, onde:A: Matriz dos coeficientes, n × n;x: vetor das variaveis, n × 1;b: vetor dos termos independentes, n × 1.
Convertemos este sistema em um sistema do tipo x = Cx + g, onde C ematriz n × n e g vetor n × 1. ϕ(x) = Cx + g funcao de iteracao na formamatricial.
Esquema iterativo:
x(0) (vetor aproximacao inicial)x(1) = Cx(0) + g = ϕ(x(0)), (primeira aproximacao)x(2) = Cx(1) + g = ϕ(x(1)), (segunda aproximacao)...x(k+1) = Cx(k) + g = ϕ
(x(k)
), k = 0, 1, ...
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Introducao
Gauss-Jacobi
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Introducao
Observacao
Se a sequencia de aproximacoes x(0), x(1), . . . x(k), . . . e tal quelimk→∞ x(k) = α, entao α = Cα + g, ou seja, α e a solucao do sistemalinear Ax = b.
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InterpretacaoGeometrica
Testes de Parada
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Metodo Iterativo de Gauss-Jacobi
A forma como o metodo de Gauss-Jacobi transforma o sistema linearAx = b em x = Cx + g e o seguinte:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
......
...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
Supondo que aii , 0, i = 1, . . . , n isolamos o vetor x mediante aseparacao pela diagonal, assim:
x1 =1
a11(b1 − a12x2 − a13x3 − · · · − a1nxn)
x2 =1
a22(b2 − a21x1 − a23x3 − · · · − a2nxn)
......
...
xn =1
ann
(bn − an1x1 − an2x2 − · · · − an,n−1xn,n−1
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Introducao
Gauss-Jacobi
Gauss-Seidel
InterpretacaoGeometrica
Metodo Iterativo de Gauss-Jacobi
Desta forma, temos x = Cx + g, onde
C =
0 −a12/a11 −a13/a11 · · · −a1n/a11
−a21/a22 0 −a23/a22 · · · −a2n/a22
......
......
...−an1/ann −an2/ann −an3/ann · · · 0
e
g =
b1/a11
b2/a22
...bn/ann
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Introducao
Gauss-Jacobi
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InterpretacaoGeometrica
Metodo Iterativo de Gauss-Jacobi
O metodo de Gauss-Jacobi consiste em, dado x(0), aproximacao inicial,obter x(0), . . . , x(k) atraves da relacao recursiva x(k+1) = Cx(k) + g
x(k+1)1 =
1a11
(b1 − a12x(k)
2 − a13x(k)3 − · · · − a1nx(k)
n
)x(k+1)
2 =1
a22
(b2 − a21x(k)
1 − a23x(k)3 − · · · − a2nx(k)
n
)...
......
x(k+1)n =
1ann
(bn − an1x(k)
1 − an2x(k)2 − · · · − an,n−1x(k)
n,n−1
)
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InterpretacaoGeometrica
Metodo Iterativo de Gauss-Jacobi
Exemplo
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Metodo Iterativo de Gauss-Jacobi
Teorema - Criterio das linhasSeja o sistema linear Ax = b e seja
Seα = max
1≤k≤nαk < 1
entao o metodo de Gauss-Jacobi gera uma sequencia x(k) convergentepara a solucao do sistema dado, independente da escolha daaproximacao inicial x(0).
Obs: este teorema e uma condicao suficiente para a convergencia dometodo iterativo de Gauss-Jacobi.
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Metodo Iterativo de Gauss-Jacobi
Analise do Exemplo com o teorema do Criterio das Linhas
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Metodo Iterativo de Gauss-Seidel
Da mesma forma que no metodo de Gauss-Jacobi, no metodo deGauss-Seidel o sistema linear Ax = b e escrito na forma equivalentex = Cx + g por separacao da diagonal.O processo iterativo consiste em, sendo x(0) uma aproximacao inicial,calcular x(1), x(2), . . . , x(k), . . . por:
x(k+1)1 =
1a11
(b1 − a12x(k)
2 − a13x(k)3 − · · · − a1nx(k)
n
)x(k+1)
2 =1
a22
(b2 − a21x(k)
1 − a23x(k)3 − · · · − a2nx(k)
n
)...
......
x(k+1)n =
1ann
(bn − an1x(k)
1 − an2x(k)2 − · · · − an,n−1x(k)
n,n−1
)
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Metodo Iterativo de Gauss-Seidel
O esquema iterativo de Gauss-Seidel pode ser escrito na forma matricial.Inicialmente escrevemos a matriz A como A = L + D + R, onde:
L: matriz triangular inferior com diagonal nula;D: matriz diagonal com dii , 0, i = 1, . . . , n;R: matriz triangular superior com diagonal nula.
Podemos escrever como
L =
0 0 · · · 0a21 0 · · · 0a31 a32 · · · 0...
.
.
.. . .
.
.
.an1 an2 · · · ann
,D =
a11a22
. . .
ann
e R =
0 a12 · · · a1n0 0 · · · a2n
.
.
....
. . ....
0 0 · · · ann
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Metodo Iterativo de Gauss-Seidel
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Metodo Iterativo de Gauss-Seidel
L1 =
0 0 0 · · · 0a21/a22 0 0 · · · 0a31/a33
a32/a33 0 · · · 0...
......
. . ....
an1/annan2/ann
an3/ann · · · 0
e
R1 =
0 a12/a11
a13/a11 · · · a1n/a11
0 0 a23/a22 · · · a2n/a22
......
.... . .
...0 0 0 · · · 0
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Metodo Iterativo de Gauss-Seidel
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Slides e outros materiais serao postados no seguinte site:
http://wp.ufpel.edu.br/jahnecke/disciplinas/algebra-linear/
Obs: em junho colocarei o material no meu site.
Mais informacoes:
e-mail: [email protected]
Thanks!
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