CUADERNOS núm. 8

“Fragmentos de un diario de clase”

ÁNGEL RAMÍREZ MARTÍNEZ

Aula libre

MATEMÁTICAS

“Fragmentos de un diario de clase”

ÁNGEL RAMÍREZ MARTÍNEZ

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Para María Jesús.

Siempre se escribe para alguien. Incluso un diario de clase.

Afortunadamente hay personas que nos incitan a escribir

sólo con su recuerdo.

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ÍNDICE

Una excusa para pensar .................................................................................... 9Escritos encontrados y soldados...................................................................... 11

FRAGMENTOS DE UN DIARIO DE CLASE

Un reto .............................................................................................................. 14Almudévar no es un nombre de tango.............................................................. 15Multiplicando.................................................................................................... 23El ángel de los números.................................................................................... 27La búsqueda de un lenguaje ............................................................................ 30¡Qué problemas le ponen a Calvin!.................................................................. 34El miedo tiene raíces difíciles de arrancar ...................................................... 39Menos mal que andan estos tipos y tipas por el Instituto ................................ 43¿Quién dijo que las cosas sólo pueden hacerse de una manera? .................... 46El exquisito detalle de los dibujos de Asterix .................................................. 47¿Qué matemáticas son coeducativas? .............................................................. 51El irresistible encanto de la artesanía .............................................................. 56Me llamo Bala Rastreadora .............................................................................. 59La convincente fuerza de la imagen ................................................................ 62¡Veo el sen2x! .................................................................................................. 66Otra vez se oye hablar de victoria .................................................................. 72Rombos cruzados.............................................................................................. 74Once años de variaciones sobre un vieja idea.................................................. 77Los datos sensibles y los silogismos de la razón ............................................ 81En el reino del ingenio...................................................................................... 87

EPÍLOGO

He puesto sobre la mesa las viejas banderas rotas .......................................... 94Ejercicio de prospectiva.................................................................................... 97

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Una excusa para pensar

Para pensar ... sobre los triángulos, losnúmeros, los objetos matemáticos en sí mismos ...Desde luego, pero también sobre el maravillosohecho de que esos objetos –mitad inventadosmitad encontrados– se ajusten tan bien al mundomaterial en el que vivimos, sean tan fascinantesdesde un punto de vista estético y tengan unacapacidad tan grande de vida propia.

Para pensar, pues, sobre las matemáticas ysobre la vida, matematizando la vida y viviendolas matemáticas.

Para sorprendernos una y otra vez ante elmaravilloso espectáculo de la mente humana cre-ando ... entre el fragor de la realidad física ysocial, y en el contexto de su propia interioridadpsicológica y afectiva.

Para comprender que la libertad de crea-ción necesita de las sugerentes propiedades de loparticular y de la visión englobadora de lo gene-ral.

Para sentir pensando y pensar sintiendo.Para comprender y sentir la necesidad de

un pensamiento crítico: ante las inercias de la grancostumbre, ante los reduccionismos con queintenta trabarnos el Poder.

Para comprender y sentir las limitacionesdel conocimiento científico y la necesidad de lapoesía.

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ESCRITOS ENCONTRADOS Y SOLDADOS

Escritos redactados en los últimos ocho años y que en un momento dado se meocurrió soldar. Estos días, mientras los releía, les añadía o no modificaciones o amplia-ciones, los ordenaba, he recordado aquellas esculturas que Pablo Serrano titulabaHierros encontrados y soldados, o bien Ordenación del caos. Y pensaba que sí, quepuede ser un buen símil.

Escritos-hierros encontrados –reencontrados en los archivos inmateriales de lamemoria y en los archivos físicos del silicio o del papel– que en su momento fueroncada uno de ellos, a su vez, un escrito encontrado, una ordenación del caos que resul-tó funcional durante un cierto intervalo de tiempo.

He recordado también las Bóvedas para el hombre, del mismo Pablo Serrano,que me parecen ahora grupos de objetos encontrados –o quizás buscados, porque ya noson tan arbitrarios: el bronce toma muchas veces la forma del ladrillo– con una finali-dad espiritual, casi mística. Ya no es el juego constructivista que explora variaciones;se construye no por el placer de jugar sino porque el ser humano tiene necesidad derecogimiento y de protección.

Escritos-hierros encontrados que han pasado a formar parte de mi Bóveda vitalparticular. Escritos-hierro cuyas motivaciones son muy diferentes: colaboraciones en elescolar del periódico local, textos para los alumnos, relatos de situaciones ocurridas enclases de Primaria y Secundaria o, simplemente, archivos personales de papel a los quese recurre cuando las ideas ocupan demasiado espacio en la mente.

¿Es armonioso el conjunto? Observad las fotografías. ¿Son armoniosos losHierros soldados o las Bóvedas de Serrano? Lo vital tiene siempre imperfecciones,arrugas que contradicen las suaves texturas de lo planificado desde el platonismo. Yesto es así para todo. Es más probable que el mapa conceptual de un alumno o alumnaque haya tenido posibilidad de ser artífice importante de su construcción se asemejemás a los hierros soldados que a una pieza tersa y sin salientes “inútiles” e “inexplica-

Hierros encontrados y juntados

Bóveda para el hombre Hombre-Bóveda

bles”. Tendrá, eso sí, y ésta es la clave, el corazón pulido y brillante, luminoso, de losHombres puerta u Hombres bóveda (otra vez Serrano, claro), pero ese calor internorequiere de un exterior curtido en el contacto con el mundo. ¿La otra alternativa? Losprototipos oficiales: piezas frías, sin vida, que aparentan un acabado riguroso.Cambiando algunas palabras, todo esto es válido para el camino personal del profesoro profesora que no ha renunciado al derecho de inventar cada año sus guiones.

¿Será armonioso el conjunto? Pretender que lo sea es seguramente falta dehumildad, como atreverse a compararlo con las obras de Pablo Serrano. Pero lo hehecho sólo porque me gustaba el símil; mi atrevimiento no va más allá. Los amigos yamigas de Aula Libre decidieron que sí, que podría merecer la pena juntar mis escritos-hierros, y a ellos tengo que agradecer la oportunidad de este ejercicio de recuperacióny ordenación en mi memoria reciente.

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Fragmentos de un diario de clase

141 Publicado en el Escolar del Diario del Altoaragón del 17 – X – 96.2 Imre Lakatos: Pruebas y refutaciones. Alianza Universidad, 1978.

UN RETO1

“Pensar es algo que marea”, opinaba un personaje de D. Hammet. En efecto:hay que vencer la pereza o el pánico ante la situación de problema planteada; en lasbifurcaciones, no caer en la tentación de continuar sin más la primera idea que seencuentre; controlar los pasos que se van dando; si se intuye algo, no eludir el caminoaunque esté a oscuras. Entre las características de una persona inteligente no está sóloser capaz de pensar sino también atreverse a ello y querer hacerlo.

Establecer conexiones, elaborar y comprobar conjeturas, son las dos componen-tes básicas del hecho de pensar. El sistema educativo debería influir positivamente enambas mediante un proceso de aprendizaje que convirtiera en algo familiar a la mentealgunas técnicas sencillas para potenciarlas. Desde el punto de vista de lasMatemáticas, la Resolución de Problemas ha aportado excelentes ideas en los últimosveinte años.

La Resolución de Problemas como contexto de trabajo. Todo un reto para nues-tras clases. Y no porque en su momento lo dijeran la Eso o la Aquella –ya no dicennada–, sino por aportar a nuestros alumnos y alumnas la afición al libre pensamiento.Alguna vez habrá que romper con la situación descrita por Lakatos2, quien opinaba que“la educación matemática y científica es un semillero de autoritarismo, siendo el peorenemigo del pensamiento crítico e independiente”.

ALMUDÉVAR NO ES UN NOMBRE DE TANGO

I

Dos veces, en invierno y en primavera, he paseado lentamente las calles deAlmudévar. En las dos encontré motivos para el recuerdo. Opinaba Tàpies que un cua-dro, una pintura, puede ser lo que tú quieras que sea. Como un pueblo. Como una pro-fesión (aunque no todas). Como una hora de clase.

Me quedo con dos imágenes. En invierno, la tierra desnuda, abstracta, combina-da con Guara, los Pirineos y el Moncayo, blancos en la lejanía. En primavera, la explo-sión de amapolas a la entrada del pueblo, y de rosas y violetas en la calle central.Perpendiculares a ella, las transversales tienen nombres tan sugerentes como Ramón yCajal, Servet, Goya, o calle de Las Ciencias, que permite el acceso al colegio.

Matrículas

Al desviarme para el pueblo retengo la matrícula del coche que me precede. Elazar (¿?) aporta una idea para la clase de 8º (hoy diríamos 8º ESO).

- Buscad matrículas parecidas a ésta: HU - 5532 - L. Parecidas en los números.Vamos a dejar de lado las letras.

- ¿Qué quiere decir parecidas?- Elige tú mismo qué quiere decir. Sólo hay una condición: tienes que explicar

tu opción.

Durante diez minutos, individualmente, piensan sobre la propuesta. Despuéscomenzamos el diálogo, en el que recogemos siete criterios, aunque todavía quedabanmás.

Patricia propone el 5539, “porque sólo he cambiado un número”.Edurne, el 3255, “porque los números son los mismos y sólo los he cambiado de

orden”.Francisco sugiere el 5395 y argumenta también que sólo ha cambiado un núme-

ro. ¡En realidad lleva razón!. Todos habíamos interpretado el criterio de Patricia con lasuposición implícita de mantener el orden. Pero la justificación que dio admite el núme-ro de Francisco. Discutimos esto.

Cristina aporta un criterio más sofisticado: 5734, “porque 55-32=23 y 57-34=23”.

Paco, el profesor de Matemáticas indica el 9918, “porque las dos primeras cifrasson iguales y la suma de las dos últimas es su valor”. Pero este mismo número es suge-rido por un alumno a partir de una opción diferente: “porque 5 y 9 son impares, 1 y 3son impares, y 8 y 2 son pares”.

Aparece también 9213, “porque la suma de las cifras es 15”, y todavía quedan

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más en los tinteros, como 5533 ó 5632, justificados aparentemente por un criterio tanpoco refinado como que “no se alejan mucho de 5532”. Pero incluso en este caso habríaunas cuantas cosas que discutir.

- Para la próxima semana os propongo escribir un resumen de la discusión,aportando otros criterios de parecido si los tenéis. Después, elegid uno, y estudiadcuántas matrículas hay parecidas a 5322 según el que habéis elegido y según el dePatricia.

Mariposas, espejos y joteros

¿Contempla el temario (programación, secuenciación, último nivel de concre-ción o como se le quiera llamar) el estudio de la simetría en 4º de Primaria? ¿Es nece-sario que lo contemple para hacerlo? Hay que arriesgarse. Así que la palabra resonó enel aula produciendo una sorpresa que podía haber intuido.

Afortunadamente, Teresa ha conseguido llenar de mariposas y vencejos las pare-des de su aula. De manera que, visto el desconcierto, una bonita mariposa se despren-dió de la pared, sobrevoló las cabezas ante el general asombro, y se detuvo en variospuestos mostrando y juntando sus alas. Su intervención fue eficaz. No fue necesario darmás información. Voces anónimas empezaron a sugerir que ya sabían qué era la sime-tría.

- Vamos a ver si es verdad que sabéis lo que es. ¿Qué cosas hay en clase con simetría?.- ¡Los joteros!.La pared del fondo está adornada con una fila de “joteros” alternados con “jote-

ras” que han ido pintando en las semanas anteriores. Se dirigen allí las miradas e inme-diatamente discuten.

- ¡No!, porque al jotero la guitarra le sale por un lado.- ¡Pues la jotera!.- ¡No!, porque lleva la banda a la izquierda.- Pues la jotera de amarillo no tiene banda. ¡Esa sí que vale!.Intervengo en la conversación. - Y yo, ¿tengo simetría?.- No. Me sorprendo y pregunto por qué.- Por el pelo. Tienes la raya en un lado.- ¡Ah!, es por eso. Menos mal, me había asustado. ¿Hay algo más en clase consimetría?.- La pizarra.

Pero alguien interviene negando este ejemplo, porque “los ganchos no estánbien puestos”. Es cierto. En la parte superior de la pizarra hay unos ganchos para suje-

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tar una pantalla que rompen la simetría. Me sorprende este predominio de lo concreto.No hacen abstracción de los detalles, no separan la forma del objeto real. Tengo sinembargo la sensación de que son capaces de hacerlo, y de que se trata más de una cues-tión psicológica o afectiva.

Yo buscaba que propusieran un objeto que tuviera dos simetrías, así que termi-né por coger un folio (hubo que rechazar el primero porque se le detectaba una peque-ña mancha en un lado) y pregunté por dónde tenía que doblar. Tenían claro que habíados posibilidades.

Bien. Pasamos a cada uno/a un alfabeto y una lista de números del 0 al 9, elegi-dos en el ordenador de forma que las simetrías quedaran respetadas. Propusimos quelocalizaran qué números y qué letras tenían simetría, y cuántas. Teresa les pasó espejospara se sirvieran de ellos en la búsqueda. Más adelante les dijimos que formaran núme-ros y palabras con simetría. Y aquí hubo que poner algún ejemplo para explicar quéqueríamos decir: AMA es una palabra con simetría, pero no TETA, como había pro-puesto un grupo basándose en que todas sus letras la tenían.

Y volvió a quedar claro que, en situación de libertad para elegir caminos, losniños y niñas emplean sistemas parecidos a los de cualquier adulto que puede y quiereelegir el suyo. Y así, dos niñas encontraron una idea, 803, y decidieron buscar varian-tes: 308, 380, 883, 388,........ Esto nos lleva a un problema de combinatoria, aunqueellas no lo supieran, y vuelve a demostrar, una vez más (¿cuántas harán falta?), loabsurdo que es cualquier temario, programación, secuenciación, último nivel de con-creción, o como puñeta quiera llamársele.

Un mes más tarde la clase mostró su correcto dominio del concepto de simetríaen una animada sesión de diapositivas que, lamentablemente, no grabamos en vídeo.

Álgebra a la hora del vermut

En el bar “Almudévar la nuit” (abre por el día a pesar de su nombre), tomamosel vermut tres colegas. Al día siguiente preguntamos en la clase de 7º si eran capacesde decirnos el precio de las consumiciones sabiendo que nos habían cobrado 340 ptas.por tres tapas y dos vinos.

Como resultó haber muchas posibilidades, sugerimos que las ordenaran en unatabla y que eligieran la que les pareciera más razonable.

Pero siempre hay amantes de la exactitud, así que para ayudarles, al terminar lamañana, fuimos otra vez al bar. Esta vez tomamos dos tapas y tres vinos, que nos cos-taron 310 ptas.

Jorge presentó el informe que sigue. Él no lo sabía, pero había resuelto un siste-ma de ecuaciones.

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Una exploración con la calculadora

- ¿Así que sabéis hacer cuentas con la calculadora?. ¡Bien! Mirad: pues ahorase trata de encontrar muchas maneras de que salga 30 en la pantalla. O sea: encon-trar cuentas que den de resultado 30.

En niveles más altos, el respeto a la diversidad (es decir: el respeto a la formaque cada cual tenga de plantear un trabajo) es un derecho del alumnado, y una forma

para el profesor o profesora de disfrutar y aprender con la variedad de situaciones quepueden plantearse. En 1º de Primaria es algo más elemental: es una necesidad. Porquecada personajillo de 6 años elegirá inconscientemente su propia línea de investigación.

Y así, Juan se empeña en obtener el 30 empleando sietes: 7+7+7+9, 7+7+7+7+2,7+7+10+6, etc. Me divierte su empeño en conseguir cuantos más sietes mejor. Perotiene problemas: se equivoca al trasladar los 7 a la calculadora. Si le comentaEsperanza, su profesora, que con 7+7+7+7+3 no funciona y que se ha debido equivo-car, intenta comprobar y siempre introduce algún 7 de más o de menos. Se ayuda conlos dedos, apunta los que lleva, pero le cuesta ajustar definitivamente. Su mente intuyecon rapidez pero tiene dificultades para recorrer el camino que atraviesa el túnel hastala luz intuida. Y además –y esto es importante– la calculadora es un instrumento atrac-tivo pero muy peculiar: una vez introducidos, los sumandos desaparecen de su vista1.

Enfrente de él, una niña se ocupa justamente en todo lo contrario: obtener el 30sin repetir números en las cuentas.

Y a Jerónimo no le gusta el 30. Prefiere obtener el 18. Pero el problema no esque se haya saltado las condiciones propuestas, sino el limitado número de posibilida-des que obtiene. Y también, quizás, ¿por qué no ha sido capaz de retener el 30?

Geometría colectiva

El embaldosado de la foto fue realizado por alumnas de 2º del colegio SanchoRamírez. La diapositiva del embaldosado dio lugar a una explosión de polígonos en elcitado curso de 4º de Almudévar. Hexágonos, rombos, triángulos, romboides, fuerondetectados por un curso que aceptó implícitamente, sin discusión, que la baldosa gran-de era asimilable a un punto. Este mismo grupo de alumnos y alumnas no había acep-tado que el profesor tuviera simetría, porque tenía más pelo a un lado que a otro.Aunque son detectables los motivos psicológicos, geométricos y técnicos que favore-cieron el enfoque abstracto en un caso y no en el otro, no deja de ser un ejemplo másde lo sutil y complejo que es el funcionamiento de la mente humana.

191 Ahora hay modelos en los que esto no es así, pero son más caros

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También construido por alumnas del Sancho Ramírez. No llegó a discutirse enla clase de Almudévar, pero sí fue analizado por un pequeño grupo de profesores/as. Sise observa detenidamente es una mina geométrica. Como ejemplo, si se eligen adecua-damente piezas de las que forman el embaldosado, es posible encontrar hexágonos con

0, 1, 2, 3 y 6 ejes de simetría. Es decir, todas las varian-tes posibles para un hexágono.

Una bonita muestra de variaciones sobre unmismo tema. Su autora, un alumna de 3º de primariade La Rioja, las obtuvo como respuesta a una propues-ta de trabajo en la que se pedía llenar los cuadros condos colores de manera que cada uno de ellos ocuparala mitad de la superficie disponible, y que cada uno delos resultados finales fuera diferente a los otros. Enparticular, los cuadros 1 y 4; 2, 3 y 6; 7, 8 y 10; 9 y 12,explotan un tema concreto en cada caso.

Cuando mostramos en diapositiva éste y otros traba-jos similares a los alumnos y alumnas de 4º deAlmudévar, nos sorprendió su habilidad para localizarlos ejes de simetría en cada cuadro. Nos sorprendió el

acierto general, la rapidez de las respuestas, la facilidad para corregir errores que habíaen los dibujos y, en algunos casos, la precisión de sus argumentos sobre si la recta ele-gida era o no eje de simetría. Como ejemplo, la explicación de Francisco a propósitodel cuadro nº 4. La recta mediatriz a los dos lados horizontales del cuadrado no era ejede simetría, como alguien había propuesto, porque entonces el cuadrito de la esquinasuperior izquierda no debería ser como el de la figura A, sino como el de B.

A B

Epílogo

Cuando se trabaja conjuntamente con personas, la creatividad final es una de lasresultantes posibles al componer todas las creatividades individuales.

Mi creatividad como profesor se manifiesta en el trabajo de alumnos y alumnas.Dependo de ellos, pero creo a través de ellos.

Mi creatividad como asesor del CEP depende de mis colegas, de mis compañe-ras y compañeros de zona. De conseguir algo, lo conseguiremos juntos.

Pero para que sea posible la creatividad es necesario compartir tareas libremen-te aceptadas. Si no, nos quedamos en el cuartel o en una cadena de montaje.

Gracias, por permitirme compartir sus tareas diarias, a Agustín y sus niñas yniños de 2º del colegio Sancho Ramírez. Y a Paco, Teresa y Esperanza, y sus alumnosy alumnas de 8º y 7º, 4º y 1º del colegio de Almudévar.

II

El escrito de este apartado anterior fue pensado como aportación al I SeminarioProvincial de Experiencias de Innovación en Educación Infantil y Primaria, organiza-do por los CPRs de la provincia de Huesca, en septiembre del 96. Trabajaba entoncescomo Asesor de matemáticas en el CPR de Huesca, e intenté con él cubrir varios obje-tivos.

1) Mostrar algunas experiencias de trabajo en el aula, en las que se habían uti-lizado materiales diferentes.

2) Agradecer su colaboración a los/as colegas en cuyas aulas se habían desarro-llado esas experiencias.

3) Mostrar cuáles debían ser –en mi opinión– el método y los temas en los quetenía que basarse el trabajo de un asesor. Una propuesta inútil, puesto que en esemomento estaba ya avanzado el proceso de desmantelamiento de la Reforma medianteesterilizantes discusiones teóricas que pretendían –y consiguieron– apartar a docentesy asesores de la imprescindible reflexión sobre lo que realmente pasa en las aulas ysobre cómo se aprende.

4) Las conclusiones de las estériles discusiones teóricas citadas se presentabanen los papeles con su propio formato: interminable listado (¡¡aburridísimo listado!!,¡¡chapapótico listado!!) de intenciones varias a las que era difícil oponerse. ¿Acaso sepuede estar en desacuerdo con proclamas como “amaos los unos a los otros” o “pro-letarios de todos los países, ¡uníos!”? ¡Claro que no! El problema es cómo las haninterpretado y aplicado las burocracias religiosas o partidistas. La burocracia educativade la Reforma sólo estuvo interesada en los papeles y no en la práctica.

Así pues, huí adrede de los escolásticos listados e intenté introducir en el escri-to la vida de las aulas. Inevitablemente matizada por mí, desde luego, pero de paso que-daría claro que yo, como cualquier colega, también vivía y sentía en el aula. Por esotambién la entradilla literaria, para escapar más aún de los formatos oficiales y porquela escuela “ocurre” en un lugar concreto del globo.

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¿El título del escrito? ¡Nada! La última noche en que se proyectaba en Huescala película “Malena es un nombre de tango” no pude ir a verla porque no lo tenía ter-minado. Nadie dijo nada ni preguntó después. Estas publicaciones se hacen para que nolas lea nadie. Los Seminarios de Experiencias, o similares, ... ¿para qué se hacen? Sihubiera titulado “La sombra del ciprés es alargada” habría dado lo mismo.

Una última e importante observación: he pensado los objetivos de este escritosiete años después de haberlo redactado. [“El escritor que escribe lo que se propone noha escrito nada”, decía Borges] Cuando escribía no se me ocurrió elaborar un listadode objetivos: me guió la intuición. ¿Sabía siempre Maradona lo que quería al dar unpase? ¿Lo sabía Saura al dar un brochazo? ¿Lo puede saber un profesor o profesora alempezar el curso, sin conocer siquiera a las alumnas y alumnos a su cargo? Lo únicoque se “sabe”, sin necesidad de explicitarlas, es “la variedad de experiencias que unomismo selecciona para elegir la más conveniente”2 y a partir de las cuales elaborarotras nuevas en un proceso de crecimiento continuo.

Pero ellos, “los emperadores aztecas y los metales óxidos”3, ordenan y pidenprogramaciones, criterios definidos y claros de evaluación, etc., etc. Para arreglar pro-blemas –que los hay– no les importa correr el riesgo de violentar la vida.

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2 Habla Felipe Alaiz. Lo he tomado de Francisco Carrasquer: Felipe Alaiz. Estudio y antología por FranciscoCarrasquer del primer escritor anarquista español. Ed. Júcar. 1981.3 Recurro a la terminología de Miguel Labordeta en su poema Aula nº 6: “Entierra tu amor bien hondo / almade clarión y de orín / porque no se enteren los emperadores aztecas / y denunciándote a los metales óxidos /devoren tu seno de arcilla tierna”.

MULTIPLICANDO1

I

Roger Garaudy, uno de los muchos y excelentes pensadores que ha tenidoFrancia en el siglo XX, en su precioso libro Palabra de hombre, escribió lo siguiente:“Yo era, ¡pobre de mí!, un buen alumno; es decir, que yo creía en lo que se me ense-ñaba”.

Os propongo dudar -como parece que hizo después el Garaudy adulto- y comoeste artículo tiene que tratar de matemáticas, podríamos plantearnos qué podemos nocreernos de lo que nos dicen, o nos han dicho, en clase. Pero ... ¿qué acabo de escribir?Porque se puede dudar de muchas cosas, pero, ¿cómo hacerlo de que dos y dos son cua-tro?

Veamos. La mayor parte del tiempo de las clases de matemáticas se dedica aintentar conseguir que los chicos y chicas en edad escolar repitáis mecanismos o ruti-nas de cálculo (se llaman algoritmos), bien con números o con letras. Por ejemplo, elcálculo de 362 x 45 tal y como está hecho a laderecha.

¿Se puede dudar de esto? Os ayudaré un poco:

¿Sabéis por qué funciona este mecanismo de cálculo? Es decir: ¿por qué las multiplicaciones se hacen como se hacen?

Quizás sea difícil contestar a esta pregunta tal comoestá hecha. Vamos a traducirla a otras más concretas:

¿Por qué se escribe el 45 a la derecha y no a la izquierda?

¿Por qué hay un hueco encima del 1 del 1448 y otro debajo del cero de 1810?

- ¿Por qué no se escribe ó ?

¿Se puede hacer la operación de otra manera?

Desde luego, a lo largo de la Historia no se haseguido siempre este método. Por ejemplo, los árabestomaron de la India y gracias a ellos se difundió porEuropa, el “método de la rejilla”.

231 El apartado I de este escrito fue publicado en el Escolar del Diario del Altoaragón del 23 -V- 96.

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Y los antiguos egipcios, allá por el 1500 a.d.C., usaron este otro que sorpren-dentemente ¡funciona!

362 45181 90 9090 180 36045 360 144022 720 288011 1440 11520 5 2880 --------- 2 5760 162901 11520

¿Funciona? Es decir, ¿sabrías aplicarlo a otros productos distintos? Es más difí-cil explicar por qué funciona, pero merece la pena intentarlo.

De todas formas, aunque busquemos métodos de cálculo en la Historia podemosseguir pensando que, a fin de cuentas, nuestro algoritmo de clase es, hoy en día, de usogeneral en todo el mundo. Sin salirnos del ámbito europeo y mediterráneo, quizás ossorprenda saber que en Italia organizan la multiplicación como se muestra a la derecha.

¿Por qué funciona el método italiano?

Pero ... ¿por qué copiar lo que hacen o han hecho en otro sitios? ¿Podéis inventar otras formas de multiplicar?

¿Se puede empezar una multiplicación por la izquierda?¿Por qué multiplicar para multiplicar? ¿Se puede hacer

usando otras operaciones? ¿O combinando la multiplicacióncon otras?

¿Cómo multiplicaríais con una calculadora que tenga estropeada la tecla “x”? ¿Y si el producto es tan complicadocomo 362 x 45?

II

El método egipcio para la división es un algoritmo para quienes sólo usan latabla del dos. Hay que tener en cuenta que en el sistema jeroglífico que se empleaba enEgipto para escribir los números –muy poco útil para efectuar cálculos de manera rápi-da– la duplicación y la reducción a la mitad quedaban muy bien visualizadas en muchoscasos. Por ejemplo:

I I I I4= I I I I 2= I I 8= I I I I

Esto ayudaría a explicar que las operaciones intermedias se hagan sólo con el 2pero, ¿cómo pudieron llegar a esa forma de dividir? Los manuales de historia de las

362x 45--------

1030

15--------1810

824

12--------16290

1810

30

362x 45

15

824

12

16290

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matemáticas no aportan ideas. Collette2, por ejemplo, dice:

“La multiplicación de dos enteros se hacía generalmente por operaciones suce-sivas de desdoblamiento3, que dependen del hecho de que todo número puede expre-sarse como una suma de potencias de 2”

Ciertamente, 362= 28+26+25+23+2 (o, si se quiere, 362=101101010(2 )

y se puede conectar esta descomposición de 362 con el hecho de que se escojan para lasuma final los números de la columna derecha correspondiente a divisiones por 2 noexactas en la columna de la izquierda. Por ejemplo:

45*(2 + 23 + 25 + 26 + 28) = 90 + 90*22 + 90*24 + 90*25 + 90*27 == 90 + 360 +360*22 + 360*23 + 360*25 = = 90 + 360 +1440 + 1440*2 + 1440*23 == 90 + 360 +1440 + 2880 + 2880*22 = = 90 + 360 +1440 + 2880 + 11520

Pero no me imagino que los egipcios llegaran a su método por este camino. Meconvence mucho más la explicación materialista (no teórica) que dio (inventó) JoséPeirón en un taller de matemáticas durante una EVA4. Su razonamiento vino a ser máso menos éste:

Si yo tuviera que calcular cuántos kilos de cebada5 necesito para pagar a 362trabajadores 45 kilos a cada uno, no sabiendo más que multiplicar y dividir por 2,haría lo siguiente:

Si fueran la mitad, 181, a cada uno le corresponderían 90 kilos. Si fueran 90, tocarían a 180 para cada uno. Pero como la mitad de 181 no es

exacta, hay un bloque de 90 kilos que no he repartido.Si fueran 45, cada uno se llevaría 360 kilos.Si fueran 22, 720 kilos. Pero hay un bloque de 360 kilos que no he repartido.Si fueran 11, 1440 kilos para cada uno.Si fueran 5, 2880 kilos. Y he dejado sin repartir 1440 kilos.Si fueran 2, 5760 kilos. Y no he repartido 2880 kilos.Si sólo fuera 1, le tocarían 11520.

El objetivo de las sucesivas duplicaciones y divisiones es, por tanto, llegar a tenerun producto equivalente al inicial con uno de sus factores de valor 1. El otro factor seríael producto inicial que se quería calcular ... si no hubiéramos perdido cantidades en elcamino. Hay que añadirlas y, por tanto, 362 x 45 = 11520 + 2880 + 1440 + 360 + 90.

2 Jean Paul Collette: Historia de las matemáticas. Siglo XXI. Madrid, 1985.3 ¿”Desdoblamiento”? Mejor “duplicación”, supongo. No sé qué escribió Collette. Quien tradujo empleó“desdoblamiento”.4 Obviamente, Escuela de Verano del Altoaragón.5 La referencia a la cebada está justificada por el “contexto egipcio”. Se pagaba en especie y la cebadaera uno de los productos utilizados para ello.

Está claro, pues, por qué se cogen las cantidades de la columna de la derechacuyas correspondientes a la izquierda son impares. A partir de aquí, queda perfecta-mente mecanizado el proceso.

La vida práctica, antes que le reflexión teórica sobre las propiedades de losnúmeros, como generadora del algoritmo. Y, ciertamente, esta explicación materialistaes hermosa. “Las ideas –escribió Trotsky– están socialmente condicionadas; antes deconvertirse en causa de los hechos y de los acontecimientos, aparecen como su conse-cuencia”.

III

Me contó un buen amigo que un día en que tuvo que hacer una sustitución enuna clase de 5º de Primaria, les propuso hacer una multiplicación por tres métodos: elalgoritmo habitual en nuestras aulas, el de la rejilla y el italiano. Después miraron a vercon cuál se habían producido más errores. Resultado: el más seguro era el italiano ydespués el de la rejilla.

Un resultado previsible, sin duda, pues la gran ventaja del método italiano es queevita memorizar las llevadas y hacer cálculos mentalmente con ellas. El alumnado gita-no, en particular, salió especialmente contento: ¡por primera vez habían hecho bientodas las multiplicaciones! Mi amigo decidió entonces comunicar la experiencia a laprofesora titular de la clase, quien sin embargo opinó que las cosas hay que hacerlascomo hay que hacerlas (o alguna otra expresión similar)

¿Es necesario que explicite la moraleja de esta pequeña historia? ¿Para qué laescuela? ¿Cuál es el currículum oculto que realmente la guía y nos guía (consciente oinconscientemente)? ¿Por qué somos tan sumisos/as a él?

IV

Supongo que es correcto llamar italiano al “método seguro” que gustó a losniños y niñas gitanos. Me contó Carlos Gallego que una alumna suya tenía un novioitaliano que también estudiaba Magisterio. Una tarde, al efectuar una multiplicación,vieron que las organizaban de forma distinta. Así que he llamado “italiano” al algorit-mo que a él le enseñó su alumna. En realidad es como el “nuestro”, pero más “desple-gado”, menos sintético; hay que gastar más papel. ¡Por eso se reducen los errores!Respecto a su posible patente italiana ... ... ¿qué más da? Si lo usan ¿por qué no dejar-le ese nombre?, pero es casi clavado al que se utilizaba (según Ifrah6) para multiplicarcon las fichas del llamado ábaco de Gerbert de Aurillac (s. X). No he podido preguntarsobre él a ningún italiano y, además, Carlos Gallego no ha retenido en su memoria laanécdota.

Por lo demás, si se quiere, es posible complicarse la vida. Así lo hicimos en uncurso de 1º ESO en Sabiñánigo. Poneros a multiplicar “italianamente”, por ejemplo,5413 x 6006; o 3400100 x 300´03. Las dificultades surgen, claro, de que no tenemosmecanizado el algoritmo.

266 Georges Ifrah: Historia universal de las cifras. Espasa Calpe. 2000.

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EL ÁNGEL DE LOS NÚMEROS1

Vírgenes con escuadras Ni sol, luna, ni estrellas,y compases, velando ni el repentino verdelas celestes pizarras. del rayo y el relámpago,

ni el aire. Sólo nieblas.Y el ángel de los números,pensativo, volando Vírgenes sin escuadras,del 1 al 2, del 2 sin compases, llorando.al 3, del 3 al 4.

Y en las muertas pizarras,Tizas frías y esponjas el ángel de los números,rayaban y borraban sin vida, amortajadola luz de los espacios. sobre el 1 y el 2,

sobre el 3, sobre el 4 ...

Rafael Alberti

I

6442 millones de cifras

El mismo día en que se dio la noticia de la posible existencia de agua en la Luna,el informativo de la mañana de Iñaki Gabilondo comunicó que dos matemáticos japo-neses habían logrado determinar el valor de π con 6.442 millones de cifras decimalesexactas. Obviamente, lo que consiguieron fue programar una computadora para quesuministre las cifras. Hace ya unos cuantos años que la obtención del primer millón decifras de π se convirtió en un pequeño examen para valorar la capacidad calculadora deun ordenador.

La historia de los esfuerzos de la humanidad para controlar este número míticoestá llena de anécdotas. Una de las más desgraciadas es la del inglés William Shanksque, tras un trabajo de veinte años, obtuvo las 707 primeras sin advertir el fallo en lanúmero 528, lo que invalidaba las siguientes. Si la serie de cifras de π no responde aningún criterio podemos considerarla un producto del azar, lo que nos permite esperarporcentajes aproximadamente iguales para 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 al analizar unnúmero suficientemente amplio de decimales. Esta regularidad no existía en la lista delbueno de Shanks, pero apareció al efectuar las correcciones necesarias.

Lo más sorprendente de todo esto es su inutilidad. La conocida aproximaciónpor exceso, 3´1416, es suficiente para cálculos técnicos con cierto grado de refina-miento. Queda muy lejos de mi intención el que se me interprete como un defensor dela inutilidad de las Matemáticas. Creo firmemente en lo contrario, y creo que ello debeestar presente en los enfoques didácticos. Pero también creo en el entusiasmo del serhumano por el juego; una muestra de inteligencia, como tuve ocasión de oírle a JorgeWagensberg, el director del Museo de la Ciencia de Barcelona. Algo de juego tiene la

1 El apartado I de este escrito fue publicado en el Escolar del Diario del Altoaragón del 27 – II – 97.

31

asunción por las sucesivas generaciones de la tarea de prolongar la lista de π. El ángelde los números, cuya agonía en las aulas lamenta Alberti en su poema, inspira, con todaseguridad, esta interminable búsqueda.

Todo un mundo

Una mañana de noviembre en una clase de 6º del colegio de Sariñena. Se hapedido a alumnas y alumnos que utilicen su calculadora para encontrar números que almultiplicarlos por sí mismos den resultados comprendidos entre 300 y 400. Al pocorato se cambian las condiciones: ahora el producto tiene que estar entre 30 y 40. Hayquienes empiezan a intuir que existen muchas posibilidades porque se pueden poner enjuego los decimales. Cuando volvemos a cambiar el intervalo y lo acotamos con 3 y 4,se oyen afirmaciones que aseguran que da lo mismo, que existen infinitas respuestas.

Recogemos en la pizarra sus preferidas. Tardan en aparecer números decimales“complicados”, como 1´887888, pero finalmente se produce una avalancha. Pablo vamás lejos que nadie. Su número recorre el borde del folio hasta alcanzar agotado una“meta”, pero nos advirtió que se podría haber llegado mucho más lejos.

Un mundo. De alguna manera, Pablo está intuyendo que hay todo un mundo entre1´9 y 2. He tenido ocasión de observar cómo muchos alumnos y alumnas de Secundariay Bachiller no han tenido esa vivencia. Sin duda andaban perdidos en el espeso bosquede cálculos algorítmicos en el que habían sido planificadamente extraviados.

¿Jugamos?

Varones y mujeres, mujeres y varones, disfrutamos con el juego. Y entre nues-tros juguetes siempre han estado los números. A pesar del empeño de todos los siste-mas (supuestamente) educativos por impedirlo, pervirtiéndolos al convertirlos en unaobligación o un castigo, siempre ha habido quienes han escapado a esas trampas y hanreencontrado al ángel de los números.

¿Queréis jugar un rato? El número de Pablo no se ajusta estrictamente a un cri-terio –le falta muy poco; se percibe la voluntad de que sí se ajuste–, pero podemosemplear el que mantiene al principio. ¿Qué cifra ocuparía entonces la posición 89? ¿Yla posición 1.111? ¿Cuál estaría en el puesto 6.442.000.000? ¿Y si cambiamos el crite-rio, como hace Pablo, e introducimos ceros, qué cifras ocuparán esos lugares?

II

¡Los decimales de π! Me gusta especialmente la aproximación que obtuvo al-Kashi (Isfahán - Samarkanda; siglos XIV-XV), por dos motivos:

En primer lugar, por el objetivo que perseguía con su cálculo: después de criti-car la insuficiencia de los valores de π que habían manejado otros matemáticos árabes,decide que “la circunferencia de un círculo debe ser expresada en función del diáme-tro con una precisión tal que el error sobre la longitud de la circunferencia de un cír-culo cuyo diámetro sea igual a 600 000 veces el de la Tierra no sobrepase el espesorde un cabello”. Para ello, necesitó obtener 16 cifras decimales exactas.

El segundo es el hecho de que al-Kashi realizara sus cálculos en base 60 (en estabase efectuaban sus cálculos astronómicos tanto los matemáticos árabes como los occi-dentales). Él mismo realizó el paso a base 10.

π = 3´ 08 29 44 00 47 25 53 07 25 (60 = 3´ 14159265358979325 (10

Aquí, “08”, “47”, etc., son cifras en base 60. Es decir:

8 29 44 47 1 4 1 5π = 3+ ___ + ____ + ___ + ___ +.........= 3+ ___ + ____ + ___ + ____ +...........

60 3600 603 605 10 100 103 104

Aunque no con claridad, podemos pensar que al-Kashi, como Pablo, empezabatambién a intuir un mundo: los decimales de π son infinitos y no se ajustan a ningúncriterio de repetición periódica. Lo que técnicamente llamamos la “irracionalidad” deπ. Así podemos interpretar el comentario del propio al-Kashi: “nadie puede conocertoda la verdad sobre esta cuestión excepto Allah”.

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33

34

LA BÚSQUEDA DE UN LENGUAJE

I

Todos conocéis la fórmula (a+b)2=a2+2ab+b2 , y quizás hayáis visto dos demos-traciones de su validez: una geométrica y otra algebraica.

Geométricamente razonaríamos así:

(a+b)2 es el área de un cuadrado de lado a+b. Lafigura de la izquierda prueba que esa área se obtie-ne sumando la de los dos cuadrados, uno de lado a yotro de lado b, y la de los dos rectángulos iguales, delados a y b.

Algebraicamente razonaríamos así:

Aplicando las propiedades distributiva, conmutativa y asociativa del producto yde la suma, se tiene:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

La primera demostración se encuentra en el segundo libro de una de las obrasmás editadas y estudiadas de la historia: los Elementos, de Euclides, un matemático ale-jandrino del siglo III antes de Cristo. La segunda demostración podría firmarla un mate-mático de siglo XVII (aunque no todos).

Las diferencias entre estas dos demostraciones ilustran muy bien el tremendoavance de la matemática moderna respecto de la antigua. En cierto modo, podríamosdecir que la matemática griega era una matemática “gráfica”. Un número no era un enteabstracto desprovisto de conexión con la realidad concreta –salvo la que en un deter-minado problema queramos nosotros establecer–, como lo es para nosotros hoy día.Para los griegos un número era inseparable de su representación mediante una longi-tud, un área o un volumen, y las operaciones aritméticas se efectuaban mediante cons-trucciones gráficas. Así, por ejemplo, Euclides llama “lados” a los factores de un pro-ducto, que sería, a su vez, el área del rectángulo construido.

Todavía conservamos en nuestro lenguaje restos de esta forma de entender lasmatemáticas. Llamamos “cuadrado” o “cubo” a las potencias de orden 2 ó 3 de unnúmero, en clara referencia a la construcción geométrica que representa la operación.

Ya desde el siglo XIII empieza a tomar cuerpo el ideal de una ciencia univer-sal; de un método casi capaz de mecanizar el pensamiento. Por lo que a las matemáti-cas se refiere, ese ideal se plasmará en el desarrollo del cálculo algebraico o cálculo“literal” (cálculo con letras). Entonces, en el siglo XVI, se le llamó “logística specio-sa” (logística = aritmética; species = forma, símbolo). En los cursos anteriores habéispeleado por asimilar sus reglas.

El desconcierto que este cálculo con símbolos y letras (species), motivó en suépoca, queda bien reflejado en esta idea de Cavalieri, importante geómetra del XVII:

“Los algebristas ..., suman, restan, multiplican y dividen las raíces de los núme-ros, aún siendo inefables, absurdas y desconocidas, y están convencidos de haberactuado correctamente ...”.

Es decir, nosotros sabemos que , al margen de cuál sea la natu-

raleza de –al margen de qué tipo de número sea –, o que (a+b)2=a2+2ab+b2,independientemente de los valores de a y b, y de que sean o no el resultado de la medi-da de unas longitudes. En el cálculo algebraico, con unas pocas reglas generales –comolas propiedades conmutativa, asociativa y distributiva– aplicadas correctamente, obte-nemos resultados de validez general. Y en esto radica su potencialidad. Veámoslo conotro ejemplo.

Haciendo uso del cálculo literal, obtenemos con rapidez que:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab-ba-b2=a2-2ab+b2

Mientras que para probar con un gráfico el mismo resultado, hemos de fijarnosen la siguiente figura:

El cuadrado construido sobre a-b es igual al total (a2), menos dos veces el rec-tángulo de lados a y b, más el cuadrado de lado b que hay que sumarlo porque lo hemosrestado dos veces, una con cada rectángulo.

Para demostrar gráficamente otros resultados, como (a+b)(a-b)=a2-b2 o las fór-mulas correspondientes a (a+b)3 y (a-b)3 , debemos inventar construcciones nuevas, aveces complicadas, mientras que el cálculo algebraico nos da la respuesta en una línea.Pensemos incluso en la imposibilidad de obtener con gráficos resultados para expo-nentes mayores que 3. El cálculo algebraico nos proporciona un método, mecaniza eltrabajo y permite avanzar más lejos y más deprisa. En palabras de Descartes, en suDiscurso del método:

33

36353 =+

35

“Por lo que hace al análisis de los antiguos (...), está siempre tan sujeto a laconsideración de las figuras que no puede ejercitar el entendimiento sin fatigar muchola imaginación”.

Descartes, matemático y filósofo francés del siglo XVII, propuso su geometríade las coordenadas –que el llamó geometría analítica– con la que ya habéis tenido con-tacto, que pudo ser desarrollada gracias a la existencia del cálculo algebraico. Con lageometría de Descartes, el proceso de simbolización –eliminación de gráficos– es lle-vado más lejos, los propios objetos geométricos son expresados por números (y no alrevés, como hacían los antiguos) e incluso por símbolos (letras) o combinaciones desímbolos. Así, un punto es un par de números (o de letras) y una recta, o una curva, unaecuación, una igualdad algebraica. En consecuencia, no sólo no se harán ya las opera-ciones aritméticas con gráficos sino que las operaciones geométricas –determinación decortes de figuras, trazado de rectas o curvas, ...– dejarán de hacerse con regla y compás(gráficamente) y pasarán a ser simples ejercicios de “logística speciosa”.

“No es nada exagerado decir que, para el progreso humano, la introducción ydifusión del cálculo literal, en sustitución del álgebra geométrica, ha sido una revolu-ción comparable a la adopción de la máquina en lugar del trabajo manual. La com-paración es válida en todos los aspectos: también en el de que el trabajo manual essuperior al trabajo a máquina.

La belleza, la fantasía, la originalidad y la individualidad de cada pieza es loque le falta a la producción mecánica en serie. Así, por ejemplo, la demostración deEuclides que hemos expuesto antes, acerca del binomio a+b, nos parece incompara-blemente más bonita, más viva, más sugestiva que la “vuelta de manivela” algebraicaque nos permite llegar en diez segundos al mismo resultado. Aún así, lo mismo que nose nos ocurre destrozar los telares mecánicos para volver a la lanzadera y al huso, tam-poco rechazaremos la “logística speciosa” por amor a la belleza del álgebra geomé-trica.

Trataremos, de todos modos, de conservar en nosotros, aunque usemos los nue-vos instrumentos, el espíritu del viejo Euclides, la imaginación geométrica de los anti-guos griegos, que será esencial para nosotros cuando no se trate de aplicar unas reglassino de descubrir y crear otras nuevas”.

II

Aunque con añadidos míos, lo anterior es casi una paráfrasis –en cuanto al guiónde ideas; no en lo que al texto se refiere– de un apartado del libro de Lucio LombardoRadice: La matemática de Pitágoras a Newton1, pensada para consumo de alumnos yalumnas en el entorno del final de la Secundaria.

Hace dieciséis años que entré en contacto con las ideas que allí expone, y con elpárrafo citado del Discurso del método, y siguen siendo una referencia inevitable. La

361 Editorial Laia, 1983. La edición italiana es de 1971.

historia debería ser un acompañante necesario en las clases de matemáticas, pero escomplicada de usar porque si nuestros alumnos y alumnas no saben matemáticas esdifícil que la entiendan. Radice elabora una mezcla muy instructiva y digerible de con-tenidos de las dos materias, cuyo interés no está solamente en ese logro sino, sobretodo, en las potentes conexiones que establece. Nos enseñaron en su momento el cál-culo algebraico como algo intemporal, y hay un serio riesgo de que en muchas aulas denuestros Institutos esté ocurriendo lo mismo. En contrapartida, la comparación de lasdos demostraciones2 de un resultado tan sencillo como la fórmula de (a+b)2 advierte quelas matemáticas son el resultado de una creación colectiva, que han ido variando con eltiempo y que lo han hecho –como sugiere la larga cita última– en conexión con loscambios que se han ido produciendo en otros campos de la actividad social. Ideasimportantes para la visión de las matemáticas que irán construyendo alumnas y alum-nos, pero también para que circulen como transversales en la mente de los profesores.

372 Es sorprendente que haya alumnos y alumnas que terminen el Bachiller sin haber visto nunca la demos-tración de Euclides ...

38

¡QUÉ PROBLEMAS LE PONEN A CALVIN!

I

Calvin transmutado en zombi para no atacar definitivamente el problema.Quizás no le gustaría a Watterson, el dibujante, pero ya que Calvin no lo hace propon-go que lo hagamos nosotros. He pasado esta tira a varias personas adultas y, quizás por-que una historieta con un niño como protagonista les ha llevado a suponer el enuncia-do ingenuo, todas han pensado en las dos posibilidades de la figura 1. En la primera,d(A,C)=3’3; y en la segunda, d(A,C)=10.

Pero no hay porqué reducir el plano auna sola dirección.¿Habrá otras solucio-nes, en las que los trespuntos formen un trián-gulo? El enunciado quelee Calvin obliga a queC se encuentre en elcontorno de una circun-ferencia de centro B yradio 5. Las dos posi-ciones del punto A en lafigura 1 se encuentranen el mismo diámetro(fig. 2). ¿Podemos colo-carlo en otro sitio man-teniendo la exigencia deque d(A,C)=2d(A,B)?

Fig. 1

Fig. 2 Fig. 3

Es muy probable que las primeras conjeturas que elaboremos al intentar resolverun problema sean inciertas, pero pueden encerrar intuiciones válidas. Si giramos Ahasta A´ (fig. 3) de forma que A´BC sea rectángulo, d(A´,C) > 2d(A´,B) , pero la ideade colocar A en esa perpendicular no es mala. Si A´ se aleja de B manteniendo la direc-ción, aumentan sus distancias a C y B al tiempo que disminuye la proporción entre

ambas desde hasta , momento en el que A´ alcanzará la curva de la circunfe-rencia. Será 2 cuando A´BC sea la mitad de un triángulo equilátero. Obtenemos asíotras dos soluciones al problema (A´ y A´´ en fig. 4).

El caso es que tenemos ya cuatro puntos A y surge la tentación de imaginar quetodos los posibles se encuentran en la misma circunferencia (fig. 5) que, puesto que loque ocurra a un lado de AC tendrá su plasmación simétrica al otro, bien podría ser ellugar geométrico que resuelva el problema. Si así fuera, ¿cuál podría ser su centro? Enrealidad no tiene tanto mérito conjeturar en situaciones propuestas por enunciados dematemáticas. Nos movemos en un mundo platónico en el que la armonía viene inclui-da en el paquete que acompaña como consecuencia inevitable a las definiciones. Sí,desde luego que no es este un argumento muy serio, pero ¿dónde colocar el centro sino es en el otro punto situado en el diámetro AC a distancia 5/3 de B? CABRI permi-te comprobar que la intuición es acertada (figura 6; el dibujo está hecho con BC = 2´78cm, pero es evidente que ello no modifica las características geométricas de la curvasolución del problema)

210

39

Fig. 4 Fig. 5

Fig. 6

Pero es difícil “ver” que la proporción 2 conduce a una circunferencia con esecentro y ese radio, así que se puede recurrir a los enfoques de Descartes –para poder“ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación”1– e introducir un siste-ma de coordenadas con origen en B (figura 7), de forma que C sea el punto (5,0).Nuestro problema será entonces localizar los puntos A(x,y) tales que 2d(A,B)=d(A,C).

El cálculo nos guiará ciegamente desde hastax2+y2+3’3x-8’3=0 , que es la ecuación de la circunferencia que habíamos intuido. Estoavala nuestra conjetura, pero sigue sin responder a la petición de una demostraciónempírica.

Se puede también probar a posteriori el resultado, aplicando el teorema del cose-no a los triángulos ADC y ABC, buscando en el primero una expresión para 2x, y parax en el segundo. Combinando las dos se llega a que AD es siempre 10/3 (independien-temente del valor de x), lo que valida de nuevo nuestra circunferencia. Pero sentimosotra vez la sensación de ir guiados por un lazarillo, sin comprender las razones deestructura geométrica que justifican la respuesta encontrada.

El proceso inductivo inicial da pistas pero no certezas; permite conjeturar y, portanto, crea conocimiento. El proceso deductivo seguido al introducir el sistema de coor-denadas crea conocimiento, porque tampoco conocíamos la respuesta al comenzarlo, yademás aporta certeza. El razonamiento deductivo último –en el que hemos empleadoel teorema del coseno– es de tipo euclídeo: se trataba en definitiva de demostrar unatesis previamente establecida; no crea conocimiento, sólo lo valida. Pero en ninguno delos tres casos hemos podido “ver” el porqué “físico” –si se puede decir de esta mane-ra– del resultado. Para ello habríamos tenido que conjeturar deductivamente, al estilode nuestra segunda argumentación, pero sin coordenadas, partiendo de las figuras 2, 4ó 5 a que nos habían llevado las condiciones del problema.

En realidad, es fácil localizar la circunferencia solución con regla y compás,pues una vez determinados A´y A´´ (fig. 4), basta con trazar por uno de ellos una per-pendicular al segmento A´C. El corte de este segmento con la prolongación de BC (fig.9) es el centro de la circunferencia. O también, dibujando un triángulo equilátero delado A´A. Todo esto, sin embargo, sigue sin aportar luz sobre la necesidad “física” dela misma.

2222 )5(2 yxyx +−=+

401 Ver el capítulo “La búsqueda de un lenguaje”. El fragmento de frase que he empleado está sacado de con-texto y lo he utilizado con cierta ironía, pero no me parece que haya traicionado a Descartes.

Fig. 7 Fig. 8

41

II

Empezamos imaginando los tres puntos en una sola dirección para después colo-carlos en el plano, pero las dos situaciones son reduccionistas. Somos seres de tresdimensiones en un espacio tridimensional, y en él es donde debería plantearse de formanatural el problema. La tentación inmediata es suponer que la respuesta, ahora, será laesfera de centro D y radio 10/3. Es muy fácil justificar esta suposición: las distanciasAB y AC (fig. 10) no se van a ver modificadas porque giremos toda la figura respectodel diámetro ABAC, de manera que el triángulo ABC cambie su posición manteniendofijo un lado. En la figura 11 están marcadas algunas de las posibles localizaciones delpunto A. Dos ampliaciones de nuestra perspectiva de observadores nos han llevado delas dos únicas opciones de los extremos del segmento ABA, a los infinitos puntos de lacircunferencia y de la esfera que tienen a ese segmento como diámetro.

Si colocamos un trípode coordenado en el punto B (fig. 12), de forma que elpunto C sea (5,0,0), podremos comprobar la validez de nuestra esfera, cuyo centro esta-rá situado en D(-5/3,0,0). Sin duda es un innecesario ejercicio de calculote pero –des-

Fig. 9

Fig. 10 Fig. 11

42

x33́3́8))

−pués de todo lo anterior– tiene cierto encanto comprobar que 8’3-3’3x, la

distancia de un punto cualquiera del tipo al punto B(0,0,0),

es justamente la mitad de su distancia a C(5,0,0)

¡Qué problemas le pone a Calvin su maestra! ¿De dónde los sacará Watterson?Supongo que recurrirá a algún manual escolar, aunque intuyo que ni siquiera quien loredactó pensó en tantas posibilidades. Incluso si lo planteamos en una sola dimensiónparece una propuesta fuerte para una criatura como Calvin, pero no creo que debamosusar este hecho como un argumento en contra de que en las escuelas e institutos se tra-baje en tres dimensiones. La experiencia demuestra que a niñas y niños pequeños lesresulta más natural el espacio que el plano, y que si pueden escapan de la tiranía abs-tracta de este último. Todavía en Secundaria, cuando se les proporcionan piezas poli-gonales para confeccionar mosaicos, suelen intentar construir objetos de tres dimen-siones a pesar de lo inadecuado del material. En realidad, a quienes nos da miedo elespacio es a los profesores y profesoras. Y es que estuvimos muchos años dentro de lasaulas.

III

Problema de selectividad de la convocatoria de junio del año 2002 en el distritode Zaragoza:

Sabemos que en el plano el lugar geométrico de todos los puntos equidistantesde dos dados es una recta. Pues bien, ocurre que si en lugar de pedir que el cocientede las distancias sea 1, elegimos otro valor fijo, el lugar geométrico pasa a ser una cir-cunferencia.

a) Comprueba esta afirmación tornando como puntos (-1, 0) y (1, 0) y un pará-metro λ como cociente de las distancias.

b) Da una expresión del centro y del radio de la circunferencia del apartado a)en función de λ.

c) Representa la figura para 2 =λ.

Como se puede observar, el enunciado es una generalización en el plano del pro-blema de Calvin. Lo dicho: ¡qué problemas le ponen a este chico!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−± xyxyxA

3

10

9

75,, 22

Fig. 12

43

44

EL MIEDO TIENE RAÍCES DIFÍCILES DE ARRANCAR

I

- ¿Cuánto es 20?- 1- ¿Por qué?- ¿...? Nos dijeron que es así.

Otra respuesta habitual al “por qué” suele ser:

- 20 es 1 por convenio.

Y así un año tras otro. Muy de vez en cuando aparece alguien que explica que esasí porque al dividir potencias de igual base hay que restar los exponentes. Por supues-to, nadie da como razón la evolución paralela de estas dos series:

...... 23 22 21 20 2-1 2-2 ......

...... 8 4 2 1 0’5 0’25 ......

Ese argumento se les suele ocurrir a ellos/as (es decir, a alguno o alguna deellos/as), también de vez en cuando, cuando se les pide que busquen (no que recuerden)una justificación del famoso convenio. Porque los convenios se adoptan por algo, noson arbitrariedades. Responden a algo o se persigue algo con ellos. En matemáticas, meparece que, sobre todo, responden a algo. Y es increíblemente escandaloso que se leshaga creer que los convenios se adoptan por convenio. ¿Así se fomenta el espíritu crí-tico que se supone que desarrollan las clases de ciencias? ¿O estamos más bien ante otravariante de un catecismo dogmático?

- Nos dijeron que es así.- Los enemigos del hombre son tres: el mundo, el demonio y la carne1.- Sí, bwana.- ¿Por qué para estas integrales se usa este cambio?- Mira, muchacho, no te plantees el porqué de las cosas que eso no lleva a nadabueno2.- Sí, bwana.

Sin duda, el sistema educativo tiene en su currículum oculto el objetivo de la for-mación de mentalidades sumisas. Pero ocurre que tienen que tener conocimientos téc-nicos que permitan con el tiempo explotarlas laboralmente. Parece que se supone que

1 Parecía como si la mujer no tuviera enemigos, pero me temo que era mucho peor: era el enemigo mismo. 2 No son inventadas esta última pregunta y la respuesta del profesor. Me las transmitió un observador pre-sencial. El diálogo tuvo lugar en un aula de COU en los años noventa, en algún lugar de la ibérica piel de toro.

las matemáticas escolares son útiles en ese proceso posterior de explotación, así que tie-nen que haber visto –¡qué expresión, Dios mío: “haber visto”– muchas (muchas mate-máticas). Hay, pues, que quemar etapas y, para ello, ¿qué mejor que la historia de losconvenios? Son necesarios, no sólo porque permiten “ganar” tiempo, sino también por-que si alumnas y alumnos no han alcanzado todavía la necesaria capacidad de abstrac-ción y soportan mal “lo que tienen que ver”, la solución son los convenios.

II

No trabajé con este grupo, en 4º ESO, las potencias de exponente fraccionario.Ahora, en 1º de bachillerato, antes de entrar en los logaritmos –tampoco les dediquétiempo cuando oficialmente tenía que haberlo hecho– empiezo una batería de pregun-

tas sobre el significado y el valor de cosas como 2-3, 20’5, ó 0’60’6 . Explico en la pizarraun razonamiento tópico. Algo así como

Y hacemos unas cuantas variantes. Hay en el aula alumnos y alumnas de proce-dencia variada y, puesto que algunos han seguido los cauces programáticos oficiales, sesupone, también oficialmente, que dominan estas cosas. Pero en el camino, al hilo dela conversación, tengo que justificar incluso las propiedades más elementales de lasoperaciones con potencias. Me estoy refiriendo a esto:

34·33=37 porque 34·33=(3·3·3·3)·(3·3·3)

Y a otras cuestiones que habitualmente se consideran triviales pero que parece

que no lo son tanto. Por ejemplo: = ( )3 . Ocurre que la mente necesita tiempo.Tiempo para hacer tanteos, para equivocarse, para redescubrir lo que le han mostrado.Y ocurre que las justificaciones por convenio no producen conocimientos asentados.

A estas alturas no me fío de muchas expresiones de conformidad con lo que seha hablado en el aula. Puede ser que las hagan para no tener que implicarse más afondo. Así que unos días más tarde volví sobre el tema. Por eso y porque creo que esconveniente avanzar en espiral. Lo recomendaban los libros blancos aquellos. Me pre-gunto si se inspirarían en Lenin3: “El conocimiento del hombre (supongo yo que el dela mujer también) no es (no sigue) una línea recta, sino una línea curva que se aproxi-ma infinitamente a una serie de círculos, a una espiral”. Y continúa: “Cualquier seg-mento, trozo, fragmento de esta línea curva puede ser transformado (transformado uni-lateralmente) en una línea recta, independiente, íntegra, que conduce (si los árboles nodejan ver el bosque) en tal caso a la charca, al oscurantismo clerical”. Una buena des-cripción de los procesos de aprendizaje de convenios indiscutidos.

333

33'03'03'03'0 333333 =⇒=⋅⋅))))

3 Las dos citas están cogidas de unas breves notas de trabajo que se publicaron con el título de En torno a ladialéctica. Tengo la edición de la editorial Progreso (Moscú, 1983). Las notas a pie de página son tendencio-sas.

Pero estaba en que volví sobre el tema. Tengo, por supuesto, ejemplos de locomplicadas que son las cosas, aunque siempre quedan sutilezas inesperadas. Pregunté

si alguien podía explicar por qué . Finalmente accedió a salir a la pizarraC ... , pero su seguridad no llegaba al punto de utilizar 0’5 y advirtió que prefería 1/2.Por supuesto –son buenos alumnos/as– sabía de qué iba la cosa, pero lo que escribióindicaba que no estaba todo claro:

El asterisco lo he introducido ahora yo. Sus colegas advirtieron que la conclu-

sión final era , pero yo seguí insistiendo y pregunté que por qué se dabaeste último paso. Desde luego que frases similares a ésta: “el número que multiplicado

por sí mismo da 0’5 es la raíz cuadrada de 0’5, luego 0’50’5 tiene que ser ”, habí-an sonado en el aula durante estos días, ¡pero no es una frase tan sencilla!, requiere pen-sar un poco, tener alguna idea clara, de manera que la mayoría –eso es lo que intuí enese momento– había mecanizado el algoritmo para evitarse líos y evitar el pensamien-to. No es tan difícil. Veamos:

¿Qué hay que observar para esto? 1) Si hay un 4 en el denominador, hay que poner cuatro factores iguales.2) Una vez montado el escenario, se remata pasando el 4 al índice del radical.Y, ciertamente, no hace falta entender nada para repetirlo adaptándolo a las con-

diciones que marque el exponente.

III

¿Por qué ocurre todo esto? Sin duda son situaciones naturales. No se nos mete-rán en la cabeza algunas cosas:

- Utilizamos símbolos e ideas muy abstractos.- Y, además, descontextualizados.- Les importan un rábano. ¡Como es natural! Bien, puedo suavizar: les importan,

en el mejor de los casos, pero dentro de un orden. Y, a su edad, hay desde luego órde-nes más importantes y más interesantes. ¡También era así en mi caso!

- El conocimiento conceptual y procedimental oficializado en la pizarra paralizalos procesos abiertos de reflexión personal. Esto no quiere decir que no haya que ofi-cializar nada, pero sí que hay que hacerlo con delicadeza, dejar tiempo para que lasmentes se aclaren, y dialogar con sus dudas, sus métodos y sus soluciones.

441

41

41

41

41

algoalgoalgoalgoalgoalgoalgo =⇒=⋅⋅⋅

5'0

5'05'0 21

=

5'0(*)5'05'05'0 21

21

===⋅

5'05'0 5'0 =

46

1/2 1/2

1/2

1/4 1/4 1/4 1/4 1/4

IV

Al volver a casa hojeé a Erich Fromm:

“Para Russell, en contraste con los pragmatistas, el pensamiento racional no esla búsqueda de la certeza, sino una aventura, un acto de autoliberación y de coraje,que cambia al pensador (y a la pensadora, supongo) al volverlo más alerta y darle másvida.” 4

El miedo tiene raíces profundas, y quizás diversificadas, a las que no puedeacceder el profesor de matemáticas. El miedo está presente –no sólo la pereza– en lasmecanizaciones formalistas y sin contenido del pensamiento. El miedo es quien guía laconversión de la espiral en línea recta hasta llegar al oscurantismo. El miedo es quiendificultó la elaboración de la frase que remataba la argumentación sobre 0’50’5. Lo séporque lo sentí flotar en el aula, especialmente sobre la pizarra, mientras se desarrolla-ba la escena. Y en la escuela, en los institutos, en las universidades, hablar de aventu-ra, de actos de autoliberación, no es ni siquiera subversivo. Pensarían que a quien plan-tea esas cosas le acecha la locura.

4 Erich Fromm: “Sobre la desobediencia”. Paidós, 2001.

48

49

MENOS MAL QUE ANDAN ESTOS TIPOS Y TIPAS POR EL INSTITUTO

Si no fuera así, hace unos meses que habría intentado reconvertirme a camione-ro. Cada vez más, la resistencia al pensamiento se acentúa en las aulas y me canso deviolentar mentes todas las mañanas. Observo después al ciudadano que sirve cervezasen la barra del bar y no puedo evitar cierta envidia. Si no quieres una caña, no la pides:el resultado es que no sólo no riñe contigo sino que además conversamos amablemen-te. Hoy, sin ir más lejos, se han molestado en la clase de 3º porque hay demasiadas pare-jas de números cuyo producto es 2. Una vez superado el pequeño inconveniente decasos como 0’3x6 , advertido por alguien en el transcurso de la discusión, la informa-ción de que también sale 2 con x ha suscitado protestas, e incluso indignaciónen algunos casos. Las chicas lo han exteriorizado ruidosamente; los chicos, en aparien-cia no, pero sus caras dejaban ver la preocupación ante la pesadumbre mental que estanueva variante podría producirles a medio plazo. Dado el rechazo al cuadrado deles he hecho ver que yo no tengo la culpa de que pasen estas cosas y que, si así lo pre-fieren, puedo ocultarles informaciones de este tipo. Ante una amenaza como esta, deimprevisibles consecuencias para su futuro, han cedido.

I

¿Habéis visto a un gato jugar, por ejemplo, con una hoja de lechuga? Posada en elsuelo, la observa, le da la vuelta fijándose detenidamente en detalles que desde mi posi-ción no puedo intuir, la desplaza con la pata, suavemente, con cuidado, como si temieraromperla, pero con el tiempo acontece una tremenda agitación: la hoja salta por el aire, elgato da volteretas asido a su enigmático objeto de observación. ¿Qué ocurre? ¿Es unahoja? ¿Será otra cosa? Parece lechuga ... pero quizás esta conjetura no sea la correcta ...

Debo a Mª Jesús la comparación entre este comportamiento de un gato y el dealguien que HACE matemáticas. ¿Es exagerada? Desde luego los gatos son curiosos ytienen iniciativa propia, aunque quizás, es cierto, no elaboran conjeturas sobre las hojasde lechuga. Me tildaréis de roussoniano ingenuo, pero creo imposible que la Naturalezanos haya dotado de menos curiosidad que a los gatos, así que achaco a la sociedad(familia, escuela, TV, ...) el esfuerzo destructivo para eliminarla.

Pero ya digo que andan estos tipos/as por el Instituto.

II

Dicen –los Temarios, el Departamento, etc.– que hay que “dar” trigonometría en4º ESO B1, así que según subíamos para el aula después del recreo les he pedido queaverigüen qué ángulo forma la escalera con el suelo. Llevamos mucho tiempo ocupán-donos de la pendiente de una recta como si de una hoja de lechuga se tratara y ayer,cuando pedí por primera vez que dieran la abertura de los ángulos de un triángulo dibu-jado en la pizarra, como no encontraron un método de pasar de los cálculos derivados

2 ,

2 2

1 ¿Alguna vez nos daremos cuenta de que esta clasificación de los alumnos y alumnas de 4º en función de lasmatemáticas fue uno de los comienzos del proceso de derribo de una Reforma anunciada pero nunca llevadaa cabo?

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de sus medidas a los famosos grados2, les advertí al irme que Tráfico no necesita deellos para informar sobre ángulos en sus señales de carretera.

Es verdad que fue una pista excesiva, porque al hilo de la pendiente de una rectahabíamos dibujado perfiles de “carreteras” con un 100% de pendiente, un 200%, un22%, un 0´25%, etc., de manera que bastantes han ido directamente a tomar las medi-das necesarias para calcular la pendiente de la escalera. Con todo, Pilar y Alicia se hanlimitado a un cálculo a ojo: el ángulo era menor que los 45º de una escuadra y le hanasignado la tercera parte de un recto3. La mayoría dividió sus medidas para obtener0’53 de pendiente y me pedían ansiosamente cómo pasar de ahí a un valor en unidadesde medida de ángulos. Pero siempre hay que preguntar, como con las hojas de lechuga,si queda alguna otra posibilidad. Leticia, entonces, nos cuenta el tortuoso camino de sugrupo hacia la pendiente. Ellas no han medido el cateto vertical y el horizontal, sinoeste último dato y la hipotenusa, por lo que han tenido que recurrir a Pitágoras parasaber la altura4: 1´6 metros.

Han colocado entonces un sistema de coordenadas en el rincón de la escalera (eldibujo está hecho tal y como han visto y sentido la escalera al medir, subiendo hacia su

izquierda): la ecuación de la recta inclinada será deltipo y=mx + 1’6 y, como pasa por el punto A (3,0),0=3m+1’6.

De ahí obtienen la pendiente ¡¡de la escale-ra!! Hay que discutir, claro, el que salga negativa. Pormi parte, nada que objetar, porque ya el resto de laclase advierte que se podía haber dividido 1´6:3 direc-tamente, sin necesidad de buscar ecuaciones de rectas.

Los sistemas de coordenadas están para esto: para colocarlos allí dondehagan falta a alguien para resolver un problema. Sólo son fijos e inamovibles, como lasideas eternas, en los listados de ejercicios de los libros de texto. El camino de Leticia ysus colegas me indica que mis propuestas de cambiar de sistema de referencia en unamisma situación, para observar las modificaciones que ello introduce en las ecuacionesde las rectas, han dado el resultado que buscaba: introducir un cierto materialismo epis-temológico y filosófico. Los sistemas son herramientas, no objetos etéreos de naturale-za esotérica.

Hablamos de esto –de las herramientas, no de la epistemología, claro– y paso adar información. Hay suerte, y al pedirles que pulsen la tecla tan-1 salen resultados dis-tintos, lo que permite hablar de los modos DEG, GRAD y RAD. Y cuando me reclamanqué es tan-1, ¿por qué da la respuesta esa tecla?, avisan del cambio de clase. No puedoevitarlo, y me cisco en el timbre con cierta contundencia.

Ya digo que, afortunadamente, andan estos tipos/as por el Instituto.

2 A pesar de que se supone que conocen “el seno y el coseno” por las clases de Física. En matemáticas, yase sabe, siempre vamos con retraso.3 Y no han errado mucho: menos de 2 grados. Creo que es la primera vez en todo el curso que se dejan lle-var por un empirismo tan tosco.4 A pesar, de nuevo, del referente del coseno en las clases de Física.

III

Al volver a casa, releo a Paulo Freire5:

“... la pedagogía radical nunca puede hacer concesión alguna a las artimañasdel “pragmatismo” neoliberal que reduce la práctica educativa al entrenamiento téc-nico–científico de los educandos, al entrenamiento y no a la formación”.

51

5 “Pedagogía de la indignación”. Ed. Morata. Madrid, 2001. Freire emplea la palabra “formación” con elsignificado de “desafiar al educando a pensar críticamente en la realidad social, política e histórica en queestá presente”. El uso que yo he hecho su frase, sacándola de su contexto, reduce el contenido de “forma-ción”, que pasa a ser algo así como “desafiar al educando a pensar críticamente sobre los métodos de lasmatemáticas”. Aunque he recurrido a este reduccionismo, creo que no hay que olvidar el significado amplio–¡y difícil de practicar!– con que él la emplea.

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53

¿QUIÉN DIJO QUE LAS COSAS SÓLO PUEDEN HACERSE DE UNA MANERA?

Hace algunos años que Ignacio Ramonet, el director de “Le MondeDiplomatique”, acuñó la afortunada expresión “pensamiento único” para referirse aldogma neoliberal que nos impone tiránicamente su propuesta política y económica.Pero me temo que la afición a un pensamiento único, como forma de autodefensa delas distintas sociedades frente a posibles alternativas críticas que pudieran modificarlasdesde dentro, tiene una larga tradición en la Historia. Me temo también que el sistemaeducativo ha sido, desde su aparición como institución oficial (retrocédase en el tiem-po lo que se crea conveniente), uno de los habituales instrumentos para que las sucesi-vas generaciones acepten el pensamiento único del momento.

La vida es plural; los problemas que plantea admiten enfoques variados y la ten-sión entre ellos es la base de la creatividad colectiva. ¿Por qué sorprenderse de que sehayan inventado más de 250 formas de demostrar el Teorema de Pitágoras? ¿Qué sepretende (es decir: qué se consigue inconscientemente) cuando se propone, por ejem-plo, una única forma (oficial) de efectuar una multiplicación?

Una clase es –debería serlo– un taller de creación colectiva en el que se buscansoluciones variadas a problemas variados. Os presento una sencilla pero bonita mues-tra de la inventiva de que han dado muestra hace unos días en 3º ESO y en 1º de bachi-llerato tecnológico. Se trataba de insertar signos de operación en la lista de números 12 3 4 5 6 7 8 9, sin cambiar su orden, para que el resultado fuera 1.

1 - 2 + 3 + 4 - 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1 (Saúl U.; Jorge R.; Ignacio)1 + 2 - 3 + 4 - 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 1 (Blanca)( { [ (1 + 2) : 3 + 4 ] : 5 + 6 } : 7 + 8 ) : 9 = 1 (Oihane; Marcos A.)1 (2 - 3) (4 - 5) (6 - 7) (8 - 9) = 1 (Jorge L.; Guillermo) 1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1 (Jorge L.)1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - √9 = 1 (Pablo)1 : [ (2 - 3) (4 - 5) + (6 - 7) - (8 - 9) ] = 1 (Roberto)(- 1 x 2) + (3 x 4) - [ ( - 5 + 6) - (- 7 + 8) ] - 9 = 1 (Javier)1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 1 (Beatriz; José Miguel)1 - 2 + 3 - 4 + 5 + 6 - 7 + 8 - 9 = 1 (Nacho)(1 + 2 - 3) 4 + 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1 (Susana)

Y, haciendo algo de trampa ...

(9 x 7) - (8 x 6) 1 - (2 + 3 + 4 + 5) = 1 (Saúl S.)1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 7 + 8 - 9 = 1 (Juan)

Tres años más tarde, un alumno de 2º ESO (Javier) añadió tres soluciones más en la lista:

[(1 + 2 + 3 + 4) : 5 + 6 – 7 + 8] : 9 = 1[ ( 1 x 2 x 3 + 4 ) : 5 + 6 – 7 + 8 ] : 9 = 1( 1 x 2 x 3 x 4 ) – 5 + 6 – 7 – 8 – 9 = 1

54

EL EXQUISITO DETALLE DE LOS DIBUJOS DE ASTERIX

Siempre me ha gustado Asterix. Me refiero, claro, al Asterix de la época deGoscinny. Disfruto con los dibujos y ese humor refinado de presentación impresionis-ta. Creo que fue en la aventura de “La cizaña” donde apareció por primera vez unavista aérea del pueblecito de los irreductibles galos (figura 1). Desde entonces, a losatractivos anteriores se unió el de comprobar si las distintas perspectivas de rinconesdel pueblo que se ven en las viñetas cuadraban con la vista general. Y cuadran, claroque lo hacen. Por lo general, cuadran con una precisión tal que se diría que es el ojo deuna cámara, antes que el lápiz de un dibujante, quien selecciona los espacios por losque deambulan los galos.

La primera página de Asterix en Helvecia (figura 2) es un bonito ejemplo de estaprecisión. La “cámara-dibujante” empieza con una vista cercana del centro del pueblodesde el aire; desciende a ras de suelo para centrarse en un pequeño rincón; enfocahacia “le centre ville” que habíamos perdido, lo que nos permite observar que de la casadel jefe a la de Asterix el camino desciende; muestra las que ve Asterix desde la suya;y cruza el camino para captar la conversación del encuentro del jefe con Asterix yObelix que, efectivamente, deben estar situados a su izquierda según viene andando.Así pues, la primera hoja de esta aventura aporta información suficiente para conectarentre sí unos cuantos edificios del pueblo, y eso es lo que solicité a un grupo de 1º ESOen el texto que acompaña a la figura 2.

Fig.1

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Con la información que dan estas viñetas, dibuja un mapa sencillo del centrodel pueblo de Asterix. Tienen que estar localizadas la casa del jefe, la herrería, la pes-cadería y la casa de Asterix.

¿Puedes añadir algo más? ¿Más casas o árboles?

Fig.2

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¿Funcionó bien? Sí. Los mapas que trajeron eran muy deslavazados –no es nadacómodo el dibujo; haced un intento ...–, pero la discusión en clase fue apasionada.Preparé varias transparencias (figuras 1, 3, 4 y 5) que proporcionaran más informaciónpara ir utilizándola cuando algún grupo de discutidores/as no consiguiera llegar aacuerdos, y otras dos (6 y 7) que prueban que en los primeros números de la serie elpueblo no había tomado cuerpo en la mente de los autores.

Me ha quedado un bonito recuerdo. Como el tamaño de las transparencias resul-tó muy grande y se salían de la pantalla al proyectarlas, un grupo colocó unas sillasjunto a la pared para poder llegar a la zona alta de la viñeta que en ese momento esta-ba proyectada, mientras yo atendía la discusión interna en otro grupo y allí –desde elsuelo y señalando desde las sillas– continuaban su agitada discusión, ajenas y ajenospor completo a cualquier otra circunstancia. El mundo era en aquel momento un pue-blo ficticio.

Fig.3

Fig.4

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Fig.6

Fig.7

Fig.5

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¿QUÉ MATEMÁTICAS SON COEDUCATIVAS?1

Las dos menos cuarto del mediodía con un curso de 1º ESO. ¡Qué horarios!¡Qué falta de respeto a estos 18 chicos y chicas! Seis horas fingiendo educadamenteinterés y atención ...

I

Corto. Me iba del tema nada más empezar. Lo cierto es que ese día no fingíannada. Habían construido ya mosaicos semirregulares y estaban familiarizados por tantocon el fragmento que muestra la figura 1. Pregunté por el número de vértices y Jorgecontestó 36. Es claro que no se dio cuenta de que contaba dos veces muchos de ellos,pero era Jorge, y su contrastada competencia matemática fue suficiente para que lamitad de la clase decidiera que ya no hacía falta seguir pensando. Natalia expresó conrotundidad esta convicción.

Afortunadamente Lidia, siemprepeleando por aclararse, indicó desde elfondo del aula, ante la incredulidad del cita-do 50%, que sólo eran 28. Su estrategia derecuento no era muy especial – había idovértice por vértice cuidando de no olvidarninguno – pero alabé su búsqueda de un cri-terio propio más allá de las opiniones ajenasprevias. Ariana, con clarividente contunden-cia, explicó que sólo había que tener encuenta cinco cuadrados y ocho vérticessueltos de los octógonos.

Afortunadamente también, la lucidez de Jorge le permite aceptar sin problemassus errores. Mejor aún: le permite no creerse lo que se cree el 50%. Así que todo salióbien: para la coeducación y para lo que podríamos llamar la construcción democráticadel conocimiento (individual y colectivo).

La siguiente propuesta fue pedirles que buscaran todos los cuadrados que pudie-ran de forma que sus vértices fueran cuatro de esos 28. Quería trabajar no sólo el ordeny la exhaustividad al efectuar un recuento sino también luchar contra las limitacionessubliminales que se producen como consecuencia de esa tradición cultural que hace queun cuadrado aparezca casi siempre apoyado sobre uno de sus lados. Encontraron 31, ytodos, chicas y chicos, tuvieron especial empeño en mostrar a los demás sus hallazgosdesde la pantalla del retroproyector.

El siguiente problema fue más clásico en cuanto a su petición, aunque no encuanto a la libertad de elección que permitía su enunciado. Tomando el lado de los octó-gonos (o de los cuadrados; fig. 1) como unidad de medida, se trataba de obtener el perí-

1 Publicado en el número 26 de la revista Ada Byron (2002), editada por la Organización para la CoeducaciónMatemática Ada Byron.

Fig. 1

metro y la superficie de tres de esos 31 cuadra-dos. Cada cual podía seleccionar los que qui-siera. Hay que tener en cuenta que la granmayoría no conoce todavía el llamado teoremade Pitágoras: la libertad de elección era obliga-da. Disponían sin embargo de técnicas que nohabía explorado didácticamente hasta este añoy que me parece que hacen camino haciaPitágoras. Todo había empezado cuando, sinningún problema, determinaron el área del cua-drado de la figura 2.

La trama permitió ver cinco cuadraditos unidad en su interior, y la comparación–mediante una tabla– entre los lados y las áreas de diversos cuadrados llevó a bastan-

tes a concluir que el lado era . ¿Hay que advertir que el que alguien concluya algoacertadamente –incluso si ese alguien es un adulto– no es motivo suficiente para queuna semana después lo recuerde con claridad? Hay que dar ocasiones a la mente derevisar lo que va construyendo, y en esta dirección iba mi propuesta de medir tres cua-drados. Por ejemplo, ABCD y PQRS (fig. 1) proporcionan dos buenas ocasiones paraprofundizar en la idea utilizada en el cuadrado de área 5. Imagino que buscarán prime-ro la longitud de los lados y después la superficie; para esta última, por supuesto, estála calculadora. Pero siempre espero alguna sorpresa de este curso. No puedo contarosel final, porque dos actividades inesperadas nos llevaron sin clase de matemáticas hastael timbre de las vacaciones de Semana Santa.

II

A pesar de su ingenuidad, una historieta como la anterior dista mucho de ser habi-tual. El centro de atención de la clase no estaba en la pizarra sino en el centro físico del aula,entre el grupo de alumnas y alumnos. La implicación en el análisis de las situaciones pro-puestas –casos difíciles al margen– era alta. Las preguntas preocupaban a todo el mundo.Pero un clima como éste no surge de forma espontánea, entre otras cosas porque nueve añosde permanencia en el sistema educativo son un lastre muy fuerte que condiciona hacia lareceptividad pasiva. Un clima de trabajo y tolerancia sólo es posible si se intenta ganardesde el primer día como un objetivo fundamental, con el convencimiento de que es másimportante que las propiedades de un cuadrado, la cantidad de divisores de un número o elteorema del coseno. Pero hay más: las buenas intenciones no bastan, hay que elegir ade-cuadamente las propuestas de trabajo. En la terna investigación – problema – ejercicio, lacalidad desciende por ese orden. Un ejercicio, por definición, no deja de ser una actividadde amaestramiento. El pensamiento necesita espacios abiertos para crecer; el diálogo sobretemas menores producirá resultados menores (el adjetivo “menor”, por supuesto, está con-dicionado al nivel académico y particular de la clase). Afortunadamente hay muchas inves-tigaciones y problemas posibles, y bastantes ejercicios pueden abrirse hasta convertirse enproblemas. Afortunadamente también, casi todo puede ser un problema, por lo menos cuan-

5

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Fig. 2

do se empieza. Hay que rechazar la idea de que todo esto sólo es válido para contextos“alternativos” de trabajo pero no para los “serios”. Los “alternativos” no deberían tenereste carácter ni la “seriedad” en sentido tradicional es un enfoque deseable. Los “serios”sólo son necesariamente “serios” por las penosas exigencias que introducen en los pro-cesos de enseñanza-aprendizaje las ridículas imposiciones de los/as burócratas de turno.

III

Las piezas poligonales con las que construimos los mosaicos nos permitieronobtener la medida de los ángulos de los polígonos regulares de 3, 4, 6, 8 y 12 lados mez-clando observación y razonamiento. Un ejemplo: puesto que en cada vértice del embal-dosado de la fig. 1 concurren un cuadrado y dos octógonos, el ángulo de éste deberá serla mitad de 270º. Tuve que sugerir yo esta técnica porque el bloqueo llegó a hacersegeneral. Pero la explicación tuvo éxito, así que me animé a pedirles que completaran lasiguiente tabla.

Número Ángulo del Total delde lados polígono polígono----------------------------------------------------------------------------3 60 1804 90 36056 12078 1359101112 150n

La novedad no era por supuesto la actividad en sí misma, sino el hecho de quenunca la había lanzado en 1º ESO. Me preocupaba sobre todo el efecto que pudiera pro-ducir la “n”. Ya había hecho algún intento de trabajar con ella y sólo había sido acep-tablemente interpretada por la mitad de la clase. Les advertí que podrían obtener resul-tados en la segunda columna, y pasar después a la tercera, o al revés.

Puesto que la observación de regularidades en tablas era ya una técnica habitual,la mayoría encontró cómodo conjeturar –apoyándose en el aval del hexágono y el octó-gono– que la tercera columna avanza de 180º en 180º. Sergio fue el primero y, comoquería poner en cuestión su confianza en la inducción, le pedí garantías ... que no die-ron ni él ni sus colegas porque su línea de trabajo no podía darlas y no fueron capacesde cambiarla. Realmente es difícil que comprendan la necesidad de hacerlo ... [Por cier-to: las seguridades se obtienen fácilmente pensando en dónde van a para los 180º que

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añade cada lado que se aumenta. ¡Pero no lo había pensado nunca!]¿Y el resto? Un grupo de chicas eligió obtener conclusiones a partir de la segun-

da columna, y conjeturó deductivamente (en clase decimos “razonó al estilo deSherlock Holmes”) para obtener los ángulos para 5, 7, etc. Como las explicaciones deAriana indicaban claramente que comprendía la validez general del método que emple-aban, le propuse que llegara directamente al resultado correspondiente a “n” lados. Loconsiguió, y al comparar con las obtenidas por los chicos nos encontramos con expre-siones de aspecto muy dispar que sorprendentemente producían resultados análogos.La sorpresa, claro, venía de la dificultad para establecer la igualdad entre ellas, dadaslas limitaciones que todavía tienen al operar con el cálculo simbólico.

A la hora de la puesta en común quería atender a varias cosas. Había que comen-tar los dos métodos, reconocer el mérito a sus inventores1 y ocuparse de que tuvieranreconocimiento dos chicos que empezaban a subir la calidad de su trabajo. No podíansalir todos y si hablaban Alejandro y Fernando me quedaba sin chica. Así que Alejandroexplicó el método de Ariana y Fernando el de Sergio. Afortunadamente, otra vez, meparece que las cosas quedaron bien para la coeducación.

IV

La mente no suele avanzar en línea recta. A estas alturas conozco la importanciade saber responder a las “preguntas tontas”. Los triángulos que habíamos empleadoeran equiláteros, y puesto que se pueden juntar seis en un vértice, cada ángulo es de 60ºy hacen 180º entre los tres. Pregunté qué habría ocurrido si no hubieran sido equiláte-ros. Contestaron que la suma es 180º porque “una vez les enseñaron una especie depuzzle”. Mostré el puzzle con el retroproyector, hecho con los triángulos regulares, yme dijeron, claro, que con triángulos no equiláteros no sería posible. Bien: hubo quehacer el puzzle con escalenos al día siguiente. Una vez dado este paso, pensé que eraun buen momento para descender del nivel de investigación, en el que habíamos esta-do en la tabla anterior, al de problema. Propuse obtener el valor de los ángulos defini-dos por las líneas de la figura 3. Y más adelante, una vez que explicaron esto en clase,descendimos al de ejercicio en un trabajo individual, pidiendo lo mismo para el caso dela figura 4.

1 Las ideas circulan por el aire con rapidez cuando alguien las ha pensado, y es verdad que tiene que ser rein-terpretadas por cada uno y cada una, pero también que ha habido quien les ha dado rienda suelta por vez pri-mera.

Fig. 3 Fig. 4

V

No me parece que desde la preocupación coeducativa el problema sea la prefe-rencia por la geometría frente a los números, o al revés. Estos y aquella son festejadoso rechazados por alumnas y por alumnos, dependiendo en cada caso de circunstanciasmuy particulares. Las sutilezas anteriores son las que diferenciarán una clase coeduca-tiva de matemáticas de otra que no lo sea. En realidad, fundamentalista como soy, mesiento inclinado a pensar que diferenciarán a una clase de matemáticas –así, sin adjeti-vos– de cualquier simulacro más o menos burocratizado. Como sugirió Polya, y en sulínea sugieren las historietas anteriores, el diálogo y la construcción democrática delconocimiento en una clase de matemáticas pasan por la recuperación de los procesosinductivos y por el convencimiento de que las matemáticas, en última instancia, se fun-damentan en la experiencia.

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EL IRRESISTIBLE ENCANTO DE LA ARTESANÍA

¡Todo el curso sin decir nada! ¡Qué difícil arrancarle una palabra a Alberto! Elcaso es que parecía que pensaba, pero si lo hacía, nunca escribiendo algo. El 80% de losdías su papel terminaba la clase en blanco. Imaginad mi desesperación porque, además,los intentos de diálogo no dieron nunca resultado. Estoy hablando de un tipo de 3º ESO.

De vez en cuando generaba sorpresas. Como cuando propuse a la clase quesumara los cien primeros números y no di ninguna información. Las correctas y con-vencionales chicas del fondo me riñeron durante casi un cuarto de hora recriminándo-me que así no se hacen las cosas, que cómo iban a hacerlo si no sabían qué había quehacer. Me defendía –explicando la diferencia entre problema y ejercicio– pero aquí,aunque por motivos distintos, tampoco funcionaba el diálogo. Ya estaba dudando simerecía la pena prolongar la situación y, en caso de que decidiera que no, qué actitudadoptar, cuando al pasar por el puesto de Alberto vi escrito, así, escuetamente, el núme-ro mágico: 5050. Le pregunté cómo lo había hecho –esta vez sí acertó a explicármelo–y anuncié a toda la clase que alguien lo había resuelto. El acierto de Alberto resultó másconvincente que mis alegatos sobre la necesidad de resolver problemas.

Y así todo el año: una parálisis externa que sin embargo dejaba entrever en algu-nas ocasiones –sólo en algunas– una cierta actividad interior no plasmada en el papel.A principios de mayo decidí que me rendía, que se me escapaba Alberto.

Y llegamos al último examen del curso. En principio prefiero no hacer exáme-nes, pero no siempre es posible. Hay alumnos y alumnas que prefieren los exámenesporque así “tienen que trabajar menos”, hay quienes van a clase particular y los traba-jos que entregan llevan la marca de una convencional (matemáticamente) persona adul-ta, etc., etc. Así que según como sean las características del grupo, hay que hacer exá-menes; y las cosas van a peor desde este punto de vista. Los alumnos y alumnas fun-cionarios quieren exámenes y cada vez parece que aumenta su número ... En fin, siem-pre hay salida: si el examen se hace con los apuntes encima de la mesa, entoncesaumentan las posibilidades de descargar de burocracia un actividad burocrática dondelas haya. También mediante la corrección posterior, claro.

Me voy. Estábamos en que llegamos al último examen. ¿Qué hizo Alberto?Inevitable: lo de siempre. Pero en su limpia hoja aparecía una breve explicación de unode los problemas y la solución –¡¡sólo la solución!!– del que había resultado más difí-cil a toda la clase. De hecho, nadie lo terminó bien, y la mayoría prefirió centrarse enotros de aspecto más burocratizado. Veamos el problema:

Zigzag vertical

¿Qué superficie tienen los “picos” rayados?¿Cuál es la distancia entre A y B?[Trabaja sin calculadora, please. A ver quése te ocurre hacer ...]

Fig. 1

65

Habíamos dedicado tiempo a medir superficies contando cuadritos en la tramacuadrada y a calcular distancias construyendo un cuadrado sobre ellas y observando susuperficie para después extraer la raíz cuadrada1. Pretendía con ello recuperar algo delsentido común que se pierde al aplicar burocrática y prematuramente las distintas fór-mulas –por ejemplo, recordar en qué consiste medir una superficie– y preparar el cami-no para (en este caso) recordar el teorema de Pitágoras. De hecho, después de habertenido ocasión de recurrir a él para resolver varios problemas, yo esperaba que aquí

hubieran hecho algo parecido a aplicarlo en el triángulo ABC. Como AC=1’5 y

CB=0’5 , pedía yo irónicamente que no emplearan la calculadora, porque sabía delas resistencias que habían puesto a operar con radicales.

Pero mis previsiones se fueron abajo. Es cierto que cuandoinventé el zigzag me preguntaba si no sería una situación muycomplicada ... no por su resolución, sino porque no es el tipo deenunciados que les guste, –aunque hayan tenido ocasión de verotros semejantes– a alumnas y alumnos funcionarizados. Sólo con-

testó Alberto, pero su respuesta –¡¡correcta!!– era un lacónico .

Al día siguiente, mientras comentábamos en clase los dis-tintos problemas, le pedí que fuera a otra aula. Allí, él solo, tenía

una hora para explicar por escrito cómo había llegado a su .Además, esta vez no tenía escapatoria: seguiría allí hasta que escri-

biera algo. Me gustó mucho su redacción, con esos dibujos y esas grafías que me resul-taron muy delicados. Como quizás no se entienda su letra, expondré aquí los pasos desu razonamiento.

- “Si lo que indica la flecha” (fig. 1) “es , cada lado del cuadrado será 1”. Serefiere, claro, a cada uno de los cuadrados (fig. 3) que ha construido a partir del zigzag.

- Como cada uno de esos cuadrados se puede descomponer en 8 partes iguales(fig. 3), cada una de las cuales es igual a un “pico” del zigzag, cada pico mide 0´125 desuperficie.

- El cuadrado de la fig. 4, cuyo lado es la distancia AB, tiene de área 5, porquecada uno de los triángulos coloreados tiene de área 1. Por tanto la distancia entre A y Bes .

2

5

5

2

2

1 Como en la figura 2 del artículo “¿Qué matemáticas son coeducativas?”.

25

Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5

Entonces me enteré –él nunca había dado pista alguna– de que Alberto no pare-cía haberse quedado con el teorema de Pitágoras pero sí con los métodos artesanalesque habíamos usado previamente. Creo que es un poco fuerte que no aplicara el teore-ma al triángulo de la figura 5, pero seguro que muchos alumnos y alumnas de cursosmás altos son incapaces de “ver” la retícula de cuadrados que él encajó en el zigzag delproblema.

Desde luego, Alberto aprobó el curso. Había hablado muy poco, es verdad, peroel encanto de la artesanía es irresistible.

66

67

68

ME LLAMO BALA RASTREADORA

I

¡Un caso difícil para Bala Rastreadora! Empecé a reírme en la séptima viñeta yya no pude parar hasta el final. Este entrelazado temporal de la realidad ficticia deldetective-alumno y la realidad-física de la cliente-profesora debería figurar en cual-quier tratado de pedagogía. A lo largo de cuatro tiras más, el investigador privado ras-treará un número que resuelva su caso y que finalmente encontrará en el archivo numé-rico de su despacho: 1000000.

Pero, ¿por qué la risa (mi risa, la tuya, si se ha producido)? Porque nos han mos-trado el contraste de mundos en que se encuentran Calvin y “la dama persuasiva”. Enun aula normal, una escena como la de viñeta siete sería valorada como un descaro into-lerable por parte de un mal alumno. En la realidad de la escuela, éste no dispone de laayuda que en la ficción del tebeo le proporciona un guión que, si no toma partido explí-citamente por él, al menos explica que en ese momento se encuentra muy atareado. Hecometido ya un desliz en el primer párrafo: llamar “realidad ficticia” a la que ocupa enun determinado momento la mente de Calvin. Desde la ideología cientista en la queestamos inmersos, lo que no es directamente tangible es despreciado.

69

Calles mojadas, como sin duda lo son las que conducen a la respuesta de un pro-blema de matemáticas. Y preguntas clave: “¿quiénes eran esos fulanos?”. No anda malencaminado el dibujante: la psicología del aprendizaje hace tiempo que advierte que noes didácticamente eficaz plantear problemas descontextualizados. Recuerdo una signi-ficativa conversación con un curso de alumnos y alumnas del anterior 1º de bachiller(15 años). Les pedí algo así como que buscaran todos los puntos que están a igual dis-tancia de dos puntos dados, A y B. Pues bien: como mucho, localizaban el intermedioentre ambos. Una feliz intuición me hizo cambiar la pregunta:

Luisa ha hecho su casa en este sitio (marco un punto L en la pizarra) Antonio eneste otro (marco un punto A). Ana quiere hacer la suya en un lugar desde el que lecueste lo mismo ir a casa de cualquiera de sus dos amigos.

Tenían quince años, sí, bastantes más que Calvin. ¡A los cinco minutos todo elmundo había dibujado la mediatriz! ¿Acaso los adultos no soñamos –en especial enconferencias o en cursos de formación que no nos interesan lo más mínimo– convir-tiéndonos en cosas más ridículas que un detective de novela por más que estén social-mente más consideradas?

No he forzado en absoluto mi defensa de Calvin. La aventura de Bala Rastreadora,en las condiciones en que está descrita, tiene que ver con el enorme e inmoral desdén delos sistemas educativos ante las realidades sociales, psicológicas y afectivas de alumnas yalumnos de todas las edades. Por eso su fuerza transgresora y reivindicativa.

II

He pasado esta historieta en varios cursos de ESO (3º y 4º) y de 1º de bachillera-to. Por lo general, no se reconocen en el personaje y me piden que se la explique. ¿Quizásla huida ensoñadora de los adolescentes no tiene tintes tan novelescos? Aceptémoslo.Pero tengo conjeturas más inquietantes. Es posible que la preocupación por la notahaya llegado a un punto tal que ni siquiera les permita soñar en no hacer un problema... aunque luego haya realmente quienes no son capaces de ello, ya sea por su dificul-tad o por la inercia paralizadora acumulada con los años, tanto respecto a las matemá-ticas como ante el trabajo en general. Es posible también que el aumento de las exi-gencias de sumisión al sistema para poder progresar en él reduzca la capacidad paracaptar la ironía.

Es posible que, más que alumnos y alumnas Calvin, sean necesarios con urgen-cia profesoras y profesores capaces de transmutarse en Bala Rastreadora.

70

LA CONVINCENTE FUERZA DE LA IMAGEN1

Abro uno de aquellos libros de tapas duras, texto apretado y de aspecto austero,y abstracto y atractivo diseño en su portada, de la editorial Mir. Encerraban mucha sabi-duría matemática. En este caso se trata de V. Lidski y otros: Problemas de matemáticaselementales. Lo de “elementales” debe ser porque fueron propuestos a los “graduadosde las escuelas secundarias” en los exámenes de ingreso al Instituto Físico – Técnicode Moscú2. Leído esto, el título resulta casi ofensivo para lectores y lectoras –si se pue-den emplear estas expresiones a propósito de un libro de problemas de matemáticas–españoles.

I

En el capítulo de trigonometría encuentro al azar un enunciado de aspecto tole-rable. El problema número 551 dice:

Demostrar que

¿A quién se le ocurrirán estas cosas? Pero el caso es que tanto el 1/2 como el/5 resultan atractivos, así que pienso un poco: puesto que /5 es 36º, estamos ante

una relación entre los cosenos de 36º y 72º. Si dibujo un pentágono regular y otro estre-llado con el mismo centro, tendré una abundante colección de ángulos con estos dosvalores. Esto se anima.

En la figura 1, DBC=36º y ABC=72º. Están juntos y podría comparar sus cose-nos en los triángulos que resultan al trazar la vertical AD (fig. 2), pero las hipotenusasson diferentes y perderé una demostración visual. ¿Será posible conseguir tanto? Paraempezar, tengo que elegir una unidad. Me decido por el lado: BC = 1. Tiene la ventajade que es un 1 que lo puedo colocar en muchas posiciones. EC y FE, por ejemplo, tam-bién valen 1 (fig. 3).

Se trata ahora de observar con cuidado. No creo que me sirva de mucho el 1 de

ππ

1 Publicado, junto con la primera parte del capítulo siguiente, en el número 45 de la revista SUMA (febrero

2004).

2 La edición en español es de 1978.

2

1

5

2cos

5cos =−

ππ

Fig. 1 Fig. 2

72

FE. Más interesante me parece que FA =1, porque AFE=36º. ¡Ya está!, ya tengo el pri-

mer sumando. En la figura 4 se puede ver que .

Para puedo tener en cuenta que AFC=72º y FA =1, pero aparecerá

en el segmento FC. ¿Cómo compararlos? Ya veremos; de momento dibujo (fig.

5). ¡Están casi juntos! y .

Bueno, no es tan difícil ponerlos sobre la misma recta. Lo puedo hacer median-te una circunferencia de centro F y radio FH (fig. 6). De manera que

. Quiere decir esto que el segmento JG deberá ser 1/2.

¡Y sí, ciertamente lo es! Está claro (fig. 7).

¿Está claro? ¡Alguna garantía habrá que buscar! Veamos: si el lado del pentágo-

no regular es 1, su diagonal mide el valor del número áureo, . Como QP =1

(fig.8), entonces FQ = Φ -1 y su mitad (FQB es isósceles) es justamente cos 72º, comopuede comprobarse con la calculadora.

II

2

51+=Φ

FJFG −=−5

2cos

5cos

ππ

5

2cos

π=FH

5cos

π=FG

5

2cos

π5

2cos

π

5cos

π=FG

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5 Fig. 6

73

Voy a las soluciones y miro a ver cómo demuestran los autores del libro y–supongo– los candidatos a estudiantes del Instituto Físico – Técnico de Moscú, quela diferencia entre los cosenos de 36º y 72º es justamente 0´5. No me resisto a incluirsu argumentación.

Parten de la fórmula , para expresar

como . Multiplican esta expresión y la dividen por

, y emplean la fórmula de sen2α para llegar a

Como , y , conclu-

yen que el resultado es 0´5.

¡Flipante! Un ejercicio de estilo que demuestra pero no convence de nada. Puroformalismo desprovisto de significado. Me temo que no habría sido admitido en elInstituto Físico – Técnico de Moscú.

III

Al comienzo de este escrito he ironizado al preguntar a quién se le puede ocu-rrir que la diferencia entre los cosenos de 36º y 72º es justamente 0’5. La sorpresa, másque la ironía, me surge cada vez que abro un libro de problemas de matemáticas, moti-vada por esos infinitos listados de igualdades y ejercicios descontextualizados.

Pues bien: en este caso es posible saber que la igualdad en cuestión se re-monta,por lo menos, al siglo X. Probablemente figurara en alguna obra de Abu-l-Wafa, comouna etapa en el camino hacia el valor de . En el apartado que G. Gheverghese Joseph

510

3

210

3cos

ππππsensen =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=5

3

10210cos

ππππsensen =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

10

3cos

10cos2

5

3

55

2cos

5cos

ππ

ππππ

sensen=−

1010cos2

ππsen

10

3

102

ππsensen

5

2cos

5cos

ππ−

222coscos

yxsenyx

senyx−+

−=−

Fig. 7 Fig. 8

(“La cresta del pavo real”. Pirámide, 1996) dedica a la trigonometría árabe se puedever otra construcción para llegar a ella (página 459). Gheverghese incluye el dibujo ensu texto sin explicar cómo se obtiene el resultado. No sé si Abu-l-Wafa lo “vería” orecurrió a semejanzas de triángulos a partir de las cuales conseguir el 0’5 de la dife-rencia entre los cosenos, pero su triángulo permite “verlo”.

Si AB = 1, entonces AD = CD =1, y

CA = . Además, BP = , luego CB = .

Así pues, .

Si se gira la figura de manera que el triángulo seapoye en CA, se observa que es el mismo triángulo isós-celes FAE de la figura 3; pero ahora hemos tomado comounidad su lado pequeño. Todo esto, en definitiva, no sonmás que variaciones sobre el hecho de que .

No creo que Abu-l-Wafa siguiera esta argumentación, pero me temo que tampo-co la del Instituto Físico-Técnico de Moscú.

º36cos2=Φ

1º72cos2º36cos2 +=

º72cos21+

º72cosº36cos2

74

75

¡VEO EL SEN 2X!

I

Figuras 1 y 2: Una tentación habitual, , que se puede rechazar conun simple contraejemplo numérico pero que es instructivo visualizar. En la fig. 2 se ve

que MS = < BT = senx .xsen22

1

senxxsen 22 =

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

Fig. 4

Fig. 5 Fig. 6

76

Figura 2: sen2x=2senx cosx quiere decir que la proporción entre OA y OT = cosxes la misma que entre BT = senx y CT. Ciertamente, a simple vista, OT puede ser un80% del radio en el ejemplo de la figura, y CT puede ser un 80% de BT. Al multiplicarsenx por cosx lo estamos reduciendo en un 80%.

Figuras 3 y 4: Una intuición: si giro el triángulo OBT un ángulo x, el punto Tcoincidirá justamente con el punto R. ¡Cierto!

Figura 5: Pero es lógico que así sea.

Figura 6: En PMR se ve cómo el factor cosx proyecta senx a la dirección verti-

cal, convirtiéndolo en . Por tanto, sen2x=2senx cosx.

Si, ya sé que no he descubierto nada nuevo. Pero hace tiempo que quería visua-lizar –ver con mis ojos, de la misma forma que Santo Tomás quiso sentir la llaga consus manos– cómo el factor coseno evitaba la proporcionalidad 2 entre el seno de unángulo y el de su doble. Había visto otras construcciones (por ejemplo, en Roger B.Nelsen3), pero quería una que lo probara con el cuadrante que habitualmente dibujamosen clase.

Sí, ya sé que no es más que un caso particular de la que se suele hacer parademostrar la fórmula de sen(x+y), pero me ocurre que ahora, después de este caso par-ticular, entiendo mejor la otra que, además, no la había particularizado.

¿Qué por qué no lo hice? Porque cedí a las tentaciones de la deducción: no eramás que un simple caso particular de sen(x+y) que se obtenía por aritmética elemental.

¿A quién le cuento que he tardado tanto tiempo en sentir experimentalmente lafórmula del seno del ángulo doble? ¿Rebajaréis por ello mi prestigio profesional?

¿Os acordáis de Dieudonné y sus diatribas contra la trigonometría? Los globali-zadores1 actúan siempre así, despreciando la belleza de lo particular que queda anula-da en sus construcciones teóricas. Pero “lo general no existe más que en lo particular,a través de lo particular” y “toda cosa particular es (de alguna manera) general” 2.Nuestra creatividad didáctica, motivada por la ambición intelectual y el atrevimiento,necesita tanto de los esquemas generales en los que insertar nuestro trabajo como de lainesperada belleza de la artesanía. Es más: sin esta última, el riesgo de que aburramoses muy alto.

II

El caso es que si se “ve” sen2x, seguro que se “ve” también cos2x. Lo supusehace tres semanas, cuando escribí el apartado anterior, pero entonces no sentía –“sen-tía” es una palabra importante– que me fuera a resultar sencillo. Me paralizaba un pocoel que en la igualdad para cos2x, senx y cosx figuren al cuadrado. Interpretaba ambossumandos como áreas y, sin rechazar que fuera posible, no intuía cómo podría formar

xsen22

1

1 Ya sea en matemáticas, en didáctica o en política.2 Lenin (con perdón).3 Roger B. Nelsen: “Demostraciones sin palabras”. Ed. Proyecto Sur. Granada, 2001.

77

un triángulo rectángulo cuya hipotenusa fuera cosx y uno de sus catetos cos2x. Tressemanas después, trabajando con un grupo de 1º de bachillerato sobre las figuras ante-riores para sen2x, se me abrió la pista que ocultaba esta inconsciente y poco acertadainterpretación: sen2x aparece como un segmento en el triángulo PMR de la figura 6.

Si cosx proyecta PR=senx sobre PM, entonces senx proyecta a senx sobre MR.Así pues, MR=sen2x. Lo que queda es fácil: OH (fig.7) tiene que ser cos2x para quecos2x=OS=OH-SH=cos2x-sen2x . Pero es claro, porque en el triángulo ORH se obser-va que cosx proyecta OR=cosx sobre OH=cos2x.

Cuando se la comento, mi amigo Carlos Usón me advierte que esta última cons-trucción sí que aparece en algún libro de texto. Parece que todavía quedan irreductiblesque se resisten a abandonar la realidad (la geometría) como referente último. Pero toda-vía hay más. En la figura 8 queda claro que SH=HA y, por tanto,

. De la frialdad del intangible cálculo simbólico[ ] a la calidez de lo evidente. Parece claro, sinembargo, que para “ver” la tercera opción [ ] habrá que añadir algu-nas líneas al dibujo ... pero no serán tantas, porque inesperadamente encuentro otraforma de visualizar aquello de como una suma de segmentos en vezde una relación pitagórica: ¡¡OH+HA=1!!. De manera que si marco el simétrico delpunto O respecto del segmento RH, el punto Q de la figura 9, resulta:

)cos(cos2)(cos22cos 2222 xxsenxHQSHxSQOQOSx +−=+−=−==

1cos22 =+ xxsen

1cos22cos 2 −= xx

xsenxsenxsenxx 2222 1cos2cos −−=−=

xsenSHOAxOS 22122cos −=−==

Fig. 7 Fig. 8

Fig. 9 Fig. 10

Llegado a este punto reviso mis entusiasmadas conclusiones del apartado ante-rior: quizás aburra en el aula si insisto en exceso por este camino. Pero ese ya no es el

problema, la didáctica ha pasado a segundo plano. Necesito “ver” también .

Empecemos desde el principio (fig. 10): ciertamente, . Si duplicamostgx (segmento AL de fig. 11), encontramos la primeras relaciones interesantes. PJ esperpendicular a OP , porque OJ es bisectriz de 2x. Así pues, PJ=tgx y el triángulo PJLes isósceles. Lo sorprendente es que su lado distinto, LP, parece paralelo a OJ. En efec-

to, , de manera que y, por tanto, .

Me hace falta un segmento equivalente a tg2x, pero el caso anterior de cos2x haservido para coger algo de práctica en la búsqueda de segmentos cuya longitud sea elcuadrado de una razón trigonométrica. La mediatriz de PL (fig. 12) me permite formarel triángulo JAV en el que tgx proyecta a JA=tgx sobre la horizontal, con lo que

AV=tg2x. Para construir 1-tg2x traslado AV al punto O (fig. 13): AW=1-tg2x.Todo encaja ahora rápidamente. La prolongación de PL cae justamente en el

xOJPJLP −== º90ˆˆxLJP 2ˆ =xAJP 2º180ˆ −=

JAGA 2≠

xtg2

78

Fig. 11

Fig. 12 Fig. 13

punto J´(fig. 14) y WL es paralela a OG (fig. 15). En el triángulo LWA queda claro que

. En definitiva, es la razón de semejanza entre los trián-

gulos OGA y LWA [o entre G´WV y LWA (fig. 16)].Pero el paralelismo entre WL y OG me resulta todavía una intuición certera y no

una seguridad, así que (fig. 17) no está de más asegurarse de que cuadran los valoresd elos

ángulos.¡Qué trama tan perfectamente montada subyace debajo de una fórmula un poco

pasada de moda y que incluso en sus mejores recientes tiempos tampoco gozó del pri-vilegio de una especial consideración! ¡Qué falta de respeto a la vida (sí, creo que noexagero, que se puede decir “a la vida”; ya haremos las matizaciones filosóficas perti-nentes en el bar) si queda relacionada sólo con un desapasionado proceso aritmético!

xtg 21

1

−xtg

tgx

WA

LAxtg

21

22

−==

79

Fig. 14 Fig. 15

Fig. 16 Fig. 17

III

Volvamos a nuestro eterno y profesional punto de partida. ¿Acaso esa “falta derespeto” es comprensible porque nuestros alumnos y alumnas encontrarían muy durotodo lo anterior? Quizás. En cada curso hay que elegir lo que se puede y no se puedeproponer. Pero a poco que se intuya que pueden picar, ..., ¿por qué no echar el anzue-

lo?

Hasta puede que sigan por su cuenta ...

Hasta ahora había justificado la igualdad [o, si se quiere, que

el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es –1] mediante la compa-ración de parejas de triángulos como OPP’ y OQQ’ de la figura 18. Mikel fue hace unosdías mucho más contundente. Razonó (fig. 19) de la siguiente manera:

y RP´´´=ctgx. OTQ’’ y ORP’’’ son iguales. Por tanto,

. Explicó que, para verlo, bastaba con girar 90º el triángulo OQ’’T.

Bueno, en realidad no explicó nada. Simplemente mostró su dibujo, como si fuera unantiguo matemático indio. Él dice que lleva el laconismo en los genes, pero me temoque recurre a este supuesto condicionante como excusa para evitarse el esfuerzo de uti-lizar la palabra y el cálculo.

Me encantó su propuesta y, además, me permitió dar con otra forma de justifi-car el resultado, aplicando el teorema de la altura al triángulo rectángulo P’’OQ’’. ¡Québien trabada está la trama! Como en las novelas de Raymond Chandler.

ctgxxtg −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +2

π

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=2

''π

xtgTQ

1)2

( −=+π

xtgxtg

80

Fig. 18 Fig. 19

81

82

OTRA VEZ SE OYE HABLAR DE VICTORIA1

General, tu avión es poderoso,vuela como tormenta y destruye la ciudad.

General, pero tiene un defecto:necesita un hombre que lo pueda pilotar.

Bertolt Brech

I

Febrero de 2003

Desde que tengo uso de razón política –la época del golpe de estado en Chile–todos los presidentes norteamericanos se han embarcado de forma directa en empresasmilitares sangrientas. Indirectamente, es decir, guardando con hipocresía las aparien-cias formales, han sostenido multitud de regímenes dictatoriales que han producidoauténticas masacres entre su población. En los últimos años el grado de cinismo ha cre-cido exponencialmente; el de barbarie sigue constante, pero el hecho de que su justifi-cación forme parte de la teoría hace que la situación sea mucho más dura.

Tomando como excusa el terror del 11 de septiembre, la invasión de Afganistán sedesarrolló con el beneplácito de los creadores de opinión convenientemente tolerados ymantenidos por el Poder. Nuestras vidas, mientras tanto, siguieron su curso. Más agita-das, es cierto, con una fuerte sensación de que el mundo giraba a peor y de que las con-secuencias serían imprevisibles a medio plazo, pero la rutina se mantuvo. Y así, seguimosocupándonos de nuestros silenciosos intentos de microrrevoluciones didácticas.

Se suponía, se supone, que todo eso dejará un poso; que nuestras posibilidadesde actuación no dan para más. Y es cierto: somos débiles y limitados. No podemos cor-tar por lo sano los ejercicios de barbarie del Poder. Pero la pregunta es si, ante tantaagresión a la vida, ante tanta cultura de la fuerza formando con el ejemplo, la publici-dad y la propaganda, las mentalidades de nuestros alumnos y alumnas, los logros didác-ticos en el campo de la introducción al álgebra –es un decir– sirven para testimoniar lanecesidad de un mundo más solidario. A fin de cuentas, las ciencias, el pensamiento yla historia forman también parte de las herramientas que utilizan ahora mismo losmedios de adoctrinamiento –oficialmente de comunicación– para convencernos de lainevitabilidad del mundo real. ¿Por qué suponer que un/a adolescente asociará la belle-za de la generalización que ha desarrollado por la mañana en un contexto numérico, oel disfrute de un poema de Cernuda –en el supuesto, claro está, de que tengan acceso aestas lindezas y no hayan sido absolutamente sometidos/as al chapapote didáctico habi-tual–, con la posibilidad de imaginar un mundo mejor? ¿Acaso era sana la ideología delensalzado y exquisito Herbert von Karajan?

El conocimiento, por sí solo, no es suficiente para producir personas solidarias.Necesita ir acompañado de la explicitación de unas intenciones. Desde este punto devista, nuestro silencio exterior ante la barbarie, la potencia. La justifica, no porque laapoyemos directamente, sino porque al evitarla sin crítica le damos de alguna manera

1 La primera parte de este escrito se publicó en el número 78 de AULA LIBRE (marzo 2003).

el visto bueno. En Amén, la última película de Costa Gavras, un pastor protestante alque acude un SS alemán para testimoniar escandalizado sobre las barbaridades que hatenido ocasión de observar, termina aconsejándole algo parecido a: “Dichoso quien nove lo que ocurre, porque así no se ve en la obligación de actuar”.

Imagino una situación posible dentro de un mes. EEUU ataca Irak la mismasemana en que planteo a mis alumnas/os de 4º ESO un atractivo problema: colocar enforma de cuadrado mágico multiplicativo los 16 divisores de 216. Supongamos ademásque la propuesta genera entusiasmo. ¿Es razonable que mi trabajo en el aula contribu-ya de esta manera a alejar la atención de un tema mucho más importante? ¿Es ético esteencierro en la torre de cristal de los números? ¿No sacarían mayor provecho (humano)si optara por dar testimonio de mi oposición a la barbarie? Aprender/enseñar a pensar:de acuerdo. Pero, ¿para qué?

En cualquier caso, será difícil, muy difícil, dar testimonio. Cada vez lo es más.El peso de la rutina diaria es demoledor; también lo es la soledad. La soledad del lec-tor o lectora de fondo a quien el periódico informa del poder destructor de una cual-quiera de las bombas termobáricas lanzadas sobre Afganistán. La soledad de quienescucha en la radio la sorprendente declaración de un alto cargo norteamericano en laque afirma que llegado el caso emplearán armamento nuclear. La soledad de quien sepregunta ¿hasta dónde haremos dejación de responsabilidades? ¿Hasta dónde les deja-remos? ¿Existirá algún tope? Probablemente no. Esa es una de las lecciones de la pelí-cula de Costa Gavras, quizás por ello menos publicitada que otras que apelan más alsentimiento.

Cuesta mucho decir que NO en solitario.

II

27 – III – 03

Les preocupa la guerra. Les preocupa honradamente. Esta noche hemos hechoun encierro testimonial en el centro: por la mañana han asumido el compromiso adqui-rido y, tras la hora y media para ir a casa a lavarse y desayunar, han vuelto al Institutoy han soportado con dignidad el chapapote disciplinario de las seis horas de clase regla-mentadas. En la segunda tengo tutoría con el curso de 4º. Les he fotocopiado –ayer fueel primer día en el que se nos informó del bombardeo de un mercado en Bagdad– elartículo de hoy de Robert Fisk en La Vanguardia. Quería que supieran que su encierroha transcurrido alegremente durante media noche, pero que la barbarie continuabamientras tanto. Quería decirles que desde que alguien da la orden de construir el bom-bardero, hasta que otra persona aprieta finalmente el botón, se crea una larga cadena–político, diseñador, matemático, técnico, general, piloto– ninguno de cuyos compo-nentes termina viendo quiénes mueren. Quería decirles que las matemáticas sirven (seusan) también para esto.

83

84

85

ROMBOS CRUZADOS

La vieja polémica entre partidarios de la razón o de la experiencia como funda-mento del conocimiento humano, siempre renovada en el tiempo con los ropajes pro-pios de cada época, me parece fascinante. Creo en las síntesis, pero son posibles por-que existen dos polos entre los que se produce la chispa. La clase de matemáticas es unbuen observatorio para comprender la necesidad de ambas aportaciones y la debilidadde una práctica basada en el uso exclusivo de una de ellas. Pero para poder observaralgo, claro, tiene que haber diálogo.

I

Propuesta de trabajo para un grupo de 4º ESO:

Los dos rombos de la figura se cortan formando unoctógono. ¿Puedes dar su perímetro y su superficie?

- Describe el octógono. Di todo lo que se ocurrasobre él.

- En particular: ¿Cuántos ejes de simetría tiene? - Calcula el radio de su circunferencia inscrita.

[[[Pregunta tonta: ¿por qué no te pido el de la circuns-crita?]]]

En los escritos que recogí, aparecieron varios méto-dos para obtener el lado y la apotema del octógono. Afortunadamente hubo variacio-nes. Digo afortunadamente porque me parece una muestra de que se sienten libres a lahora de resolver un problema. Esta libertad la ganan peleando contra sí mismos/as,desde luego, pero es cierto que no entran en la batalla si desconfían de ti, así que tam-bién la siento como una conquista mía. Selecciono algunas ideas.

Mikel Calle utiliza la semejanza entre los triángulos A´OT y A´OD (fig. 1):

1030́10

3

1´´=⇒=⇒= OT

OT

DA

OD

OA

OT

Fig. 1 Fig. 2

Propone también (fig. 2) que el lado del octógono mide porque “se ve”

en la cuadrícula: . Para poder “verlo” hizo una ampliación de la

figura 1 hasta que el punto S coincidiera con un vértice de un cuadrado de la trama (enfig. 2, sin embargo, he reducido el dibujo).

Alejandro Escuer, por su parte, coloca un sistema de coordenadas en el punto O(fig. 1). Entonces la recta AS tiene de ecuación y=-3x+3 ; y la recta A´D, y=-1/3x+1 .Su corte está en el punto (3/4, 3/4), lo que confirma la conjetura “visual” de Mikel.

Pilar Jarné dibuja un octógono regular (emplea compás) y hace un alarde de vir-tuosismo calculístico a partir de sucesivas aplicaciones del teorema de Pitágoras. Enrealidad, nadie ha dudado que el octógono sea regular, pero en los razonamientos ante-riores no ha influido esta suposición. Es después, al utilizar los datos obtenidos paracalcular el perímetro o la superficie cuando han echado mano de ella. Pilar lo ha hechodesde el principio.

Fotocopio los tres trabajos para que todos/as puedan compartirlos, y les avisoque queda un problema pendiente: el octógono no es regular. La mayoría sigue sinhaberse convencido de ello al día siguiente. Por mi parte, preparo una transparencia contres ampliaciones de la figura. Hay que tener en cuenta que si OA´ = 1, entonces ¡OS= 1´06066!, de manera que para dar opciones a la vista hay que agrandar el dibujo.

Diego Benedé y Alberto Pérez advierten (fig. 3) que A´PC´R está torcido res-pecto a la vertical común a A´P y C´R que, además, no es mediatriz. Mikel razona (fig.4) que si D´N = 1, entonces SV = , conclusión correcta a la que ha llegado obser-vando su dibujo ampliado. Como no dispone de una transparencia, indica a sus colegasque rodeen una de las mesas y se lo explica sobre el papel.

Comenzamos entonces una interesante conversación sobre la diferencia entrepolígono regular, equilátero y equiángulo. Pensamos qué ocurre en el campo de los cua-driláteros y de los triángulos, y observamos el octógono del problema para mirar cuán-tos ejes de simetría tiene. Terminan volviendo a sus pupitres para dibujar octógonosequiángulos con cuatro y dos ejes de simetría.

2

104

1´

4

1´ == DASA

410

86

Fig. 3Fig. 4

87

II

Todos pecaron de exceso de confianza en los sentidos y en sus propios modelosconceptuales previos. La “vista” les decía que el octógono era regular, pero se lo“decía” porque en sus archivos personales de polígonos no había ningún octógono noregular con propiedades significativas. Difícilmente podía haberlo tal y como se ocupade estas cuestiones el sistema educativo. Recuerdo de hace años un interesante diálogocon una alumna:

- Dibuja un hexágono.- ¿Regular?- Tú verás.- Pero son todos regulares, ¿no?

La discusión sobre el octógono fue un buen momento para comentar los riesgosde las conclusiones obtenidas “experimentalmente”, por observación, sin someterlos aprueba, y los de no recurrir a lo que ofrecen los sentidos para buscar convicciones quedifícilmente se sustentan sólo en el cálculo, que demuestra pero no convence y que,además, funciona de forma ciega después de haber sido encauzado por nuestras incons-cientes suposiciones iniciales.

“El pensamiento es una enfermedad sagrada y la vista un engaño”, afirmóHeráclito. Sí, pero si lo sagrado no se apoya en lo material no tiene consistencia.

88

89

ONCE AÑOS DE VARIACIONES SOBRE UNA VIEJA IDEA

“La creatividad (...) no consiste en la persecución de la ´gran idea´, sino másbien en dejar –como dice Hofstadter– que la mente siga su camino de mínima resis-tencia, porque es cuando se siente más relajada, menos forzada, cuando es más pro-bable que sea más creativa. (...)

Ese camino de mínima resistencia suele ser el de hacer ´variaciones sobre unmismo tema´. Hay así una cierta naturalidad en el proceso creador: la percepción, losconceptos, las categorías se entremezclan inconscientemente y de cuando en cuandollegan a relaciones que no se habían establecido con anterioridad”.1

Hace once años que la que entonces llamé “figura interesante”2 –el motivo de lafigura 1– ha sido uno de mis temas recurrentes, tanto en conversaciones con alumnosy alumnas como con colegas. ¡Es una mina para plantear problemas! El curso pasadodecidí hacer los rombos más alargados, y la redacción del artículo anterior –en el quehe comentado el juego que este “nuevo” diseño de la figura 2 dio en la clase de 4º ESO,con preguntas que iban en la misma dirección que las que había utilizado otras vecescon la figura 1– fue una buena ocasión para, comparando los dos modelos, continuarla búsqueda de variaciones sobre este viejo tema.

Si nos dejamos llevar ingenuamente por curiosidades numéricas, hay algún cam-bio atractivo. En la figura 1, la parte rayada y el octógono son cada uno la tercera partedel cuadrado total, con lo que éste queda dividido en tres zonas de igual superficie. Enfig. 2, el octógono es la sexta parte del cuadrado total y la parte rayada el doble deloctógono, de manera que entre los dos rombos ocupan la mitad del cuadrado. Pero eloctógono de fig. 2 tiene sólo 1/8 más de la superficie del octógono de fig. 1.

Al cambiar de la figura 1 a la figura 2, el lado del cuadrado que encierra los rom-

1 Francisco Hernán: “Variaciones sobre un cuadrado”. En “La Alhambra”, número monográfico que la revis-ta EPSILON dedicó al palacio nazarí. La segunda edición (Granada, 1995) corrió a cargo de la S.A.E.M.Thales. 2 Angel Ramírez: “Una figura interesante”. En el número 11 (enero de 1992) de la revista SIGMA, editadapor el Departamento de Educación del Gobierno Vasco.

Fig. 1 Fig. 2

bos ha pasado de 2 a 3 , y dentro de este segundo cuadrado había dos posibilida-des para construir los rombos. Podíamos haber elegido el punto B´´ (fig. 3) en lugar delpunto B´: el nuevo modelo es el de la figura 4.

¿Qué ocurre con las superficies anteriores? Se complican: el octógono de fig. 4es más de la mitad del cuadrado (16/30), y la parte rayada la mitad del octógono (8/30del cuadrado). Al resto le queda sólo el 20% del cuadrado.

No es difícil medir estas áreas. Hay un método que, con las variantes necesarias,se puede adaptar para todos estos casos. Si el triángulo gris claro (fig. 5) tiene de super-ficie s, el triángulo blanco tiene 2s, porque su altura es la misma perola base del blanco mide el doble. El triángulo gris oscuro ocupa lomismo que el blanco, y entre los dos hacen un cuarto del octógonoque será equivalente, por tanto, a 16s.

Además, los tres triángulos forman otro cuya área es 3.Así pues, (s es el 60% de un cuadradito de la trama). Ahorapodemos obtener con comodidad todos los datos anteriores.

Pero, sobre todo, me atraen las flechas rayadas de la fig. 4. Son las más estiliza-das de todas las que hemos dibujado hasta ahora. Eliminemos los puntos y coloreemostodo uniformemente. Incluso giremos el dibujo a ver qué resultado se obtiene.

22

90

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5

Me siguen maravillando los distintos efectos estéticos que se producen al modifi-car las condiciones de un diseño, aunque el nuevo mantenga las propiedades geométricasdel primero; o, simplemente, al cambiar su posición. Volvamos a las puntas de flecha.Eliminando el cuadrado y girándolas 45º resultan dos variaciones inesperadas.

El polígono central tiene 16 lados y seguro que es interesante. Además dispone-mos ya de una batería básica de preguntas. Pero ¿quién piensa en eso ahora? Nos domi-na en este momento el atractivo de la forma, superior –me parece– al de la medida. Hayjuegos elementales que no por repetidos han perdido capacidad de divertir. Las cuatroflechas de la fig. 4 tienen, en conjunto, las propiedades de simetría de un cuadrado. Enlos dibujos siguientes aparecen coloreadas de forma que completemos todo el catálogode posibilidades si las vamos eliminando paulatinamente.

I y II con dos ejes de simetría, como un rombo o un rectángulo. En términos téc-nicos, la estructura que les corresponde es el grupo diédrico D2.

III y IV con un eje de simetría, como una cometa o un trapecio isósceles.

V y VI con sólo el centro de la figura como centro de giro de orden 4 ó de orden2 (grupos cíclicos C4 y C2 ), equiparables a un molinete de cuatro aspas o un romboide.

Queda, por supuesto, la situación de ausencia de regularidad: VII podría ser unejemplo. ¡Atención! No podemos decir que corresponde a un trapezoide porque unacometa es un trapezoide (los hay interesantes, aunque su nombre tenga una cierta cargadespectiva)

No hay por qué terminar aquí, claro. VIII abre nuevas posibilidades, tanto en lorelativo a la medida –la sugerente relación entre los dos octógonos concéntricos– comoen cuanto a la forma. Y además, la sucesión de flechas y de octógonos es ilimitada, porlo que se puede atacar directamente la generalización de los cálculos de sus superficiespara una “figura interesante cualquiera”.

92

93

94

LOS DATOS SENSIBLES Y LOS SILOGISMOS DE LA RAZÓN

“¿Cómo voy a confiar en los datos sensibles cuando el más seguro es el que pro-cede del sentido de la vista y siendo así que esta (...) mira a una estrella y la ve peque-ña, del tamaño de un dinar, pero las demostraciones geométricas prueban que es de untamaño mayor que el de la Tierra?

(...)¿No me veo en sueños dando crédito a una serie de cosas e imaginando situa-

ciones, creyéndolo todo firme y decididamente, sin dudar, y luego cuando despierto medoy cuenta de que todas aquellas cosas a las que daba crédito no tienen ningún fun-damento ni valor? ¿Qué garantía tengo de que todo aquello a lo que doy crédito pormedio del sentido o de la razón estando despierto, sea verdadero en relación al estadoen el que estoy ...?”1.

I

Ofrecen tantas ocasiones las matemáticas para dudar de “los datos sensibles” y“los silogismos de la razón”2 que, a riesgo de ser reiterativo –ya hemos visto el casodel octógono no regular en Rombos cruzados–, incluyo a continuación algunos ejemplosque me agradan especialmente y mezclados con otros que han aparecido en clase en losúltimos días.

El triángulo de la figura 1 parece equilátero y si empleamos un compás o unaregla para comprobarlo darán el visto bueno a esa intuición visual pero, en realidad, sus

lados miden 8 y = 8´062257748.... . Es equilátero en un taller de carpintería, perono en el mundo de los objetos platónicos de las matemáticas. [Dicho esto último, revi-so este párrafo: ¿qué quiere decir “en realidad”?]

Ahora en trama triangular. El triángulo ABC de la figura 2 parece rectángulo,

65

1 Algazel: “Confesiones: el salvador del error”. Alianza, 1989. La apuesta por su libertad de pensamientocondujo paradójicamente a Algazel (1058 – 1111) –al no encontrar nada en que asegurar con certeza sus con-clusiones– al camino de la mística. Pero el comienzo de este libro es un precioso canto a la indagación per-sonal.2 “Datos sensibles”; “silogismos de la razón”. Cojo de Algazel las dos expresiones.

Fig. 1

pero no lo es por muy poco: el ángulo en B mide 90´2º. Si fuera de 90º deberían ser

iguales BH y HC, puesto que AB = BC, pero BH = 9´5 y HC = 5’5 =9’526279....Nunca coincidirán dos distancias definidas por puntos de la trama si corresponden unaal eje AC y otra al eje BH, porque en el primero la distancia entre puntos es múltiplo

de y en el segundo son números enteros. ABC es isósceles pero no rectángulo.

Ni el cuadrado se lleva bien con la trama isométrica ni el triángulo equiláterocon la trama cuadrada. El conflicto surge porque en la realidad física sí pueden hacer-lo, y es necesario un ejercicio de voluntad para aceptar la posibilidad de que la apa-riencia material ofrezca algo engañoso. De hecho, los alumnos y alumnas de

Secundaria no suelen entender en un primer momento por qué su profesor se empeñaen llevar la contraria a la regla graduada.

El triángulo de lados 7, 11 y 13 no es rectángulo, por más que al dibujarlo conregla y compás quede como muestra la figura 3. El ángulo entre los lados de 11 y 13

unidades mide 89´6º, y Si en un primero de bachillerato tecno-lógico no recurren al teorema de Pitágoras y aceptan el engaño del dibujo, podemoslimitarnos a lamentar el bajo nivel académico etc. etc. –en la misma dirección argu-mental que las ministras y las personas oficialmente de orden– pero quedarse ahí es unamuestra de tosquedad similar a la de suponer que el triángulo es rectángulo. Es que-darse en lo superficial, en lo visible; empirismo burdo. Indudablemente conocenPitágoras, y si no lo utilizan en este caso como prueba de lo que la vista sugiere, si nisiquiera se plantean esa elemental norma de prudencia, el problema no es solamente elbajo nivel académico sino sobre todo la falta de espíritu crítico y el desinterés que el

...0384´13117 22 =+

3

3

95

Fig. 2

Fig. 3

96

sistema escolar les ha inculcado. Forman parte del currículum oculto, ese que la buro-cracia educativa no detecta porque está de acuerdo con él aunque sus publicacionesdigan lo contrario. Así se les ha acostumbrado a trabajar. Temas desconectados entre síy separados de forma disjunta en capítulos distintos, desinterés por la calidad del resul-tado, etc., etc. ¡Diez años de adoctrinamiento metodológico no pasan en balde!

II

Los típicos problemas de geometría analítica son un excelente contexto para estetipo de discusiones. Pero no sólo para dudar de los datos sensibles sino también paracargarlos de significado. Veamos un enunciado tópico:

El punto A(2, -5) es el vértice de un cuadrado, uno de cuyos lados está en larecta r: x – 2y – 7 = 0. Calcular el área de este cuadrado.

Desde luego, se puede buscar la perpendicular a la recta r por el punto A, hallarel corte entre ambas y obtener el lado del cuadrado, o incluso aplicar la fórmula de ladistancia de un punto a una recta. Y todo ello sin dibujar nada en absoluto –“para nofatigar la imaginación” 3–, en un nítido papel en blanco, sin cuadricular. Es decir: méto-

dos “serios” como corresponde a un enunciado “serio” recogido de un libro “serio”4.Pero, ¿por qué no obtener la respuesta experimentalmente, dibujando? Entonces (figura4), el 5 que se obtiene queda dotado de sentido.

Pero, ¿cómo interpretar ahora que se sorprendan –también en primero de bachi-llerato tecnológico– si, en el caso de que hayan actuado con “seriedad”, se les pide quebusquen dónde está el 5? ¿Y de que se sorprendan más todavía al encontrarlo? Lasexplicaciones al uso no recurrirán esta vez al bajo nivel ... Es el pernicioso currículum

3 De nuevo el recuerdo de Descartes. La cita completa en el capítulo La búsqueda de un lenguaje.4 Por cierto, un libro recomendable. D. Kletenik: Problemas de geometría analítica. Ed. Mir. Moscú, 1979.La colección de problemas es excelente, y nada impide enfocarlos como a cada cual le parezca.

Fig. 4

oculto el que propicia, al ser sistemáticamente aplicado durante años y años, el descui-do empirista de los ejemplos anteriores y el alejamiento idealista –en sentido filosófi-co– de la realidad en este último.

III

En la novela “Los señores Golovliov” del escritor ruso Saltikov- Schedrin (1826- 1889) aparece el siguiente fragmento:

“Porfiri Vladírimovich está en su despacho escribiendo cantidades en hojas depapel. Trata de saber cuánto dinero tendría si los cien rublos que le regaló su abueloal nacer, en lugar de ser gastados por su madre hubieran sido depositados en la Cajade Ahorros. Sin embargo, el resultado no es muy elevado: ochocientos rublos”

Imagina a Porfiri Vladírimovich. Intenta encontrar una respuesta razonable aestas dos preguntas: ¿Cuántos años tiene Porfiri? ¿A qué interés habrían estado colo-cados los cien rublos en la Caja de Ahorros? (Ten en cuenta que las entidades banca-rias son más bien rácanas)

Una idea de Perelman6 a la que quité su último dato: los 50 años que propone ensu enunciado para Porfiri en el momento del cálculo. Pretendía abrir el problema paraque llegaran a una función exponencial, y que realizaran una valoración de las posiblessoluciones para elegir la que a su juicio era la más razonable (de ahí mi advertenciasobre la falta de altruismo de los bancos, para que no emplearan tasas de interés altas).

Siempre me ha ocurrido lo mismo con este problema en 1º de bachillerato.Aparecen tres desconciertos: ante una fórmula exponencial como representación de lavariación de dos magnitudes; ante la propia idea de función; y ante la petición de ele-gir la respuesta porque no viene determinada de forma unívoca por las condiciones delenunciado. Diego aportó un interesante trabajo en el que falló esta vez por no haberreflexionado sobre los “silogismos de la razón”.

Empieza buscando la sucesión de capitales al acabar cada año, suponiendo quela tasa de interés hubiera sido del 10 %: 100, 110, 121, 133’1, 146’41............ El pro-blema entonces es determinar entre qué posiciones se encuentra en esa serie el número800. Pero introduce aquí una simplificación:

“Espero que se me perdonará por despreciar los decimales. De todos modos,una moneda no se puede dividir en partes para que adquieran un valor más pequeño.”

Más allá del sorprendente alejamiento de la realidad que supone la consideraciónde las monedas como algo que se divide materialmente en trozos para fraccionarlas,Diego tenía sin duda un motivo para su propuesta. Reconoció en las partes enteras de losprimeros capitales anuales una progresión aritmética de segundas diferencias constantes,

97

6 Y. Perelman: Algebra recreativa. Ed. Mir. Moscú, 1978. Se sigue editando en España por varias editoria-les. Otro excelente libro.

100 110 121 133 14610 11 12 13

1 1 1

un tema en el que se sentía fuerte. Si hubiera seguido hasta el sexto término, habríaadvertido que esa regularidad se rompe, pero olvidó la obligada prudencia ante las deci-siones que se van tomando al investigar un problema y buscó –en un proceso de agra-dable lectura– el término general de su sucesión: 100+9’5n+0’5n2

. Lo igualó a 800 y

obtuvo dos soluciones: 29´1 y –48´1. Por tanto, la edad de Porfiri si el dinero hubieraestado colocado al 10% sería 29´1 años. En realidad, la ecuación 100·1’1n=800 da unaedad de 21´8 años.

Por más que la divulgación oficial sobre la ciencia presente la elaboración deconjeturas y los silogismos como procesos asépticos, están muy influenciados pornuestra ideología, nuestra forma de pensar y nuestra afectividad. Supongo que en elcaso de Diego, entre otras cosas, por el deseo de controlar el problema. Por mucho quenos empeñemos, no es lo mismo la libre investigación que la que se efectúa para apro-bar una asignatura.

IV

Un caso extremo de desvarío por alejamiento de la experiencia, por dejar sola ala razón. Ni siquiera la llamada al orden del tigre parece conseguir efecto alguno.Ciertamente, ¿qué se puede esperar de un tipo que puede creerse el capitán Spiff?

98

Después de comentar el trabajo de Diego –un escrito interesante a pesar detodo– les pasé estas dos tiras de Calvin. Sus risas fueron risas inteligentes: un buen datopara valorar aquella hora de clase.

V

Tienen que aprender a dudar. Después de tantos cursos de reclusión en el siste-ma educativo, con su servidumbre de obediencia ciega, tienen que practicar la duda.Decidir por cuenta propia –sin el apoyo de la autoridad del profesor o profesora– y res-ponsabilizarse de las conclusiones obtenidas, condición necesaria –aunque no suficien-te, es cierto– para que se interesen por ellas. Tienen que aprender a dudar supone,claro, que tenemos que proporcionarles ocasiones para ello y considerar un objetivofundamental de nuestras clases el que lo hagan.

“Pienso en mis alumnos de quinto grado, enseñándome sus ejercicios deAritmética y preguntando con ansiedad: “¿Están bien?”. Me miran como si estuvieseloco cuando les replico: “¿Tú qué crees?”. Porque, ¿qué importa lo que ellos piensen?Lo correcto no tiene nada que ver con lo real, con la coherencia ni con el sentidocomún; lo correcto es lo que el profesor dice que es correcto; y la única forma de ave-riguar si algo está bien consiste en preguntárselo al profesor. Quizás el mayor de todoslos daños que infligimos a los niños en la escuela es el de arrebatarles la posibilidadde juzgar la validez de su propio trabajo, privándoles así de la capacidad de emitirtales juicios o incluso de la creencia de que pueden emitirlos” 7.

¡Tienen que aprender a dudar! ¡Imaginad que, en lugar de una inofensiva apa-riencia en una trama cuadrada, dan por buena una tramposa apariencia en el terrenomoral o político!

997 John Holt: El fracaso de la escuela. Alianza Editorial. Madrid, 1977.

100

101

EN EL REINO DEL INGENIO

“No se empeñen en enseñarles a niños o jóvenes el estudio de distintas “tablas”de sumar, restar, multiplicar; en la memorización mecánica de diferentes “reglas” yfórmulas, sino que, ante todo, acostúmbrenles a pensar con placer y conciencia. Lodemás se añadirá con el tiempo. No molesten a nadie con cálculos y ejercicios mecá-nicos muy largos y aburridos.

Cuando a alguien le sean necesarios en la vida, los hará por sí solo. Ademásahora hay para ello distintas máquinas calculadoras, tablas y otros dispositivos.”

Este es el final del prólogo que E. I. Ignátiev escribió para la edición de 1911 desu libro En el reino del ingenio1. Hacía dos semanas que en el grupo de 4º ESO había-mos discutido dos de sus problemas, pero el destello deslumbrante del ingenio se pro-dujo en relación con varias preguntas “normales” convertidas en problemas abiertospor las condiciones en que las plantée (entre otras cosas, no conocían la fórmula parala suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón mayor que -1y menor que 1).

Sumas de infinitos sumandos

Quizás te parezca sorprendente, pero la suma de infinitos números puede no dar

infinito. Empecemos por una pregunta fácil:

Busca ahora otras sumas parecidas. ¿Puedes dar una fórmula general?Justificarla es más difícil. ¿Se te ocurre algo?¿Cómo debe ser la serie para que tenga suma?

Esta fue la propuesta para una investigación individual en el aula (45 minutos).A pesar de que teníamos ya práctica en elaborar conjeturas mediante procesos inducti-vos, no resultó fácil la pregunta. Puesto que la suma del enunciado da 0’1 y la cone-xión con 1/9 sí que la tenían clara, esperaba que pasaran a igualdades como

(*). De hecho, Lorenzo llegó incluso a construir

, pero ya digo que fue una investigación complicada. Y

es que se pueden cruzar muchas cosas en el camino. Por ejemplo, hubo quienes recu-rrieron a la calculadora y no pasaron a fracción los resultados de las sumas que obtení-an, con lo que quedaba casi imposibilitado el proceso de generalización. Seis meses espoco tiempo para que todas las personas de una clase adquieran una experiencia sol-vente como elaboradoras de conjeturas.

Aclarada la fórmula de Lorenzo al día siguiente, quedaba el problema de su

1

1.........

1111432 −

=++++xxxxx

3

1.........

4

1

4

1

16

1

4

143

=++++

?.........1000

1

100

1

10

1=+++

1 Editorial Mir – Rubiños 1860. Ávila, 1995.

2 ¿Se deben escribir estas cosas? Es igual, lo digo: si se hace directamente con fracciones 1/x, la probabili-dad de que sólo la entienda una sola persona de la clase es muy alta. Cierto, cada curso es cada curso, pero

se consiguen mejores resultados si se empieza con 1/4 y se pide después que generalicen la demostración.3 Pensado a partir de los dibujos de Adrian Pinel en “Progresiones geométricas”, un pequeño pero sugeren-te artículo incluído en Geometría. Matemáticas 8, (MEC. 1988) de la colección Centros de Profesores.Documentos y propuestas de trabajo.

demostración. Podía haber recurrido directamente a un razonamiento del tipo

restando luego término a término2, pero preferí seguir dando vueltas al agujero, con elsiguiente problema3:

Espirales

a) Explica cómo se construiría el siguiente triángulo de la primera espiral.b)Si el lado del triángulo inicial es 1, escribe el valor de los lados y las áreas

de los triángulos construidos en los pasos siguientes.c)¿Qué parte del triángulo cubre la espiral “completa”? Este resultado se

puede expresar mediante una curiosa fórmula ... ...d)¿Qué fórmulas corresponden a las otras dos espirales?

La fórmula que se busca en c) es, claro, la de (*), pero la segunda preguntamolesta a la tercera, porque para que aparezca (*) hay que hacer un cambio de unida-des. La unidad de superficie debe ser ahora el área del primer triángulo que se divideen cuatro partes. Entonces el área del primer triángulo rayado mide 1/4; la del segundoserá la cuarta parte de este 1/4 (es decir, 1/42); y así sucesivamente. Como el triánguloinicial contiene tres espirales, se llega a la igualdad (*). Sólo Mikel intuyó esto con cla-ridad, después de alguna indicación mía.

Pablo, por su parte, prefirió aprovechar otras ideas que habían ido apareciendoen clase. No habíamos visto ninguna definición de límite, pero sí habíamos expresadocon notación correcta la tendencia de algunas sucesiones. En realidad, no hace faltaninguna indicación previa para dar el visto bueno a igualdades como

11

lim =+

∞→ n

n

n

02

1lim =

+∞→ nn

∞=+∞→

)23(lim nn

5432

432

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

...........4

1

4

1

4

1

4

1

+++=

++++=

S

S

...........+

(**)

y habían estudiado por su cuenta el límite de an, con n→∞, según los valores de a.También estaba disponible la fórmula de la suma de los n primeros términos de una pro-gresión geométrica. A partir de estos ingredientes, Pablo razonó (empleo su notación yno incluyo todos los casos particulares con los que trabajó) de esta manera:

Es posible que haya quien considere que calcular doce resultados particulares esun atraso, evitable por el camino directo del cálculo con letras, pero este atajo requiereseguridad experimental y eso es lo que estaba adquiriendo Pablo. Además, los decima-les le produjeron algunas incomodidades: 0´25, ó 0’1 se asocian sin problemas con suquebrado correspondiente, pero si la respuesta tiene que dar 1/7, esa conexión se hacemás complicada. Finalmente expuso sus conclusiones:

“Tengo ya suficientes ejemplos para ver que la suma de los infinitos términos deuna progresión geométrica en la cual el numerador no varía y el denominador es una

serie de potencias es ”.

De nuevo es posible que los/as amantes del rigor se molesten por las impreci-siones de la fórmula de Pablo: no conectó n con r y, por tanto, es evidente que, en lugar

de hacer el cálculo último, indujo de los casos particulares. Cierto, pero ello no

reduce para nada el interés y el atractivo de su búsqueda.

Oficialicé su método en la pizarra, corrigiendo las imprecisiones y empleandocorrectamente la notación de límites, y probablemente desarrollé mi argumento de (**),

pero no escribí algo así como . De manera que cuando, unos días más tarde,

volvimos a explorar el mismo terreno cada cual volvió a buscarse la vida como pudo.Salvo Pablo, que para algo había elaborado por su cuenta un método que había sidotransmitido a sus compañeros y compañeras pero que éstos no habían hecho suyo. Elenunciado –olvidado entre otros tres más desde hacía dos meses– decía lo siguiente:

Expresar 0’16 como suma de todos los términos de una progresión geométrica.¿Qué razón tiene?

Entonces yo había imaginado que alguien podría sugerir una respuesta que no se

r

aS

−=

11

1−nx

11

1

−=

−

−⋅

∞

n

x

r

r

n

x

103

- lim 0 ´ 1∞ = 0

- 1́09

1

9

10

11́0

11́0

10

1.........

1000

1

100

1

10

1 )==

−

−=

−

−⋅=+++

∞

- 11

10

15́0

15́0

2

1..............

16

1

8

1

4

1

2

1=

−

−=

−

−⋅=++++

∞

31

3

15́0

15́0

2

3..................

16

3

8

3

4

3

2

3=

−

−=

−

−⋅=++++

∞

31

3

15́0

15́0

2

3..................

16

3

8

3

4

3

2

3=

−

−=

−

−⋅=++++

∞

-

ajustaba exactamente a la pregunta: . Como ahora dis-

ponían de otra posibilidad: , creí que había propuesto sen-

cillamente un ejercicio. Afortunadamente mis caminos no coinciden del todo con lossuyos, y ello permitió que aparecieran variantes.

Leticia debió decidir que ya estaba bien de no disponer de información fiable

(léase “oficial”), y buscó en un libro el . Sin duda es una buena capacidad esta

de conseguir localizar la información que se necesita en un determinado momento, perohubiera preferido que hubiese intentado contruir algo con los materiales de que dispo-nía. En cualquier caso, interpretó con acierto, a partir de la fórmula, que hay infinitasmaneras de escribir 1/6 como suma de una progresión geométrica infinita. Eligióa1=0’1, con lo que r = 0´38125 [ella trabajó con 0’16=16/99 en lugar de 1/6 =0’16 ].

Mikel, por su parte, estableció una conexión inesperada y muy hermosa.

“Consideró” que 1/6 es la tercera parte del área del triángulo inicial del problema de lasespirales. Entonces, el área de este triángulo debería ser 0´5. A partir de ahí, escribió:

Ypropuso a continuación, como una variante más, el camino natural si se quería recurrira la idea de las espirales, de las que yo ya había desconectado porque sólo habíamoscomentado en clase la del triángulo. En la del hexágono, si la superficie del hexágonoinicial es 1, sale la fórmula

6

1......

7

1

7

1

7

1

7

1432

=++++

r

aS

−=

11

6

1......

7

1

7

1

7

1

7

1432

=++++

.....10000

6

1000

6

100

6

10

1++++

104

3

1

2

161́03́050́

3

5́0

3

21............

256

5́0

64

5́0

16

5́0

4

5́0⋅==⋅===++++

))

Ya sé. Ya sé que hay partidarios y partidarias –tanto entre alumnas/os y profeso-res/as– de un orden rígido en la programación y desarrollo de los temas. A mí me gustamás que muchas ideas circulen a la vez por el aire del aula para que cada cual elija yuse las que prefiera. Para que cada cual, si quiere –y hay quienes no quieren– practiqueaquello que Miguel Pardeza4 llamó “la anarquía entendida como responsabilidad”,condición imprescindible para llegar a lo que Ignatiev entendió como “el reino delingenio”.

1054 En un comentario en la sección deportiva de Heraldo de Aragón.

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107

109

Epílogo

110

HE PUESTO SOBRE LA MESA LAS VIEJAS BANDERAS ROTAS

I

Conjetura lanzada al aire de una clase de tutoría de 1º de bachillerato:

Me parece que la mayoría estáis aquí por uno de estos tres motivos:

- Queréis conscientemente disfrutar de un cierto nivel de comodidad materialen el futuro.

- En casa os han mandado. Es decir: en casa quieren que disfrutéis de esenivel futuro de comodidad material.

- Pasabais por aquí. Es decir: os habéis encontrado ante una bifurcación y,sin tener las ideas nada claras habéis elegido este camino.

Una mayoría casi absoluta dio el visto bueno a mi conjetura.

Las tres posibilidades tienen el mismo origen: una fuerte presión social que defi-ne ese currículum oculto que marca a hierro a las actuales generaciones, según el cualse aprende –mejor dicho, se aprueba– con un objetivo exclusivamente pragmático.

Sin curiosidad intelectual, ¿es posible desarrollar un proceso de enseñanza –aprendizaje efectivo? ¿Es posible con esa presión social sobre los afectos, la psicologíay el origen social de adolescentes y jóvenes?

Una utopía posible –me parece– es que quien no quiera estudiar matemáticas, nolas estudie. La finalidad de la enseñanza no es producir personas con la mente llena sinocon capacidad para pensar críticamente y para ser felices y solidarias. Y para conseguiresto no solamente no son necesarias tantas matemáticas, sino que incluso pueden sercontraproducentes. Freudenthal, el excelente matemático holandés preocupado –raraavis– por la enseñanza secundaria, opinaba que la cantidad de matemáticas que un ado-lescente debe estudiar es aquella que le sea útil para desarrollarse como persona. Esdecir: las matemáticas al servicio de la persona y no al revés. Como esta ley básica nose respeta, el sistema educativo, para poder funcionar, reparte un pienso mediocre yamorfo que se supone puede ser comestible por todos los estómagos. Que proporcioneuna buena digestión es otra cuestión.

Quien no quiera, que no estudie matemáticas, sí, pero recordando que a pesar deello tiene derecho a la educación. En Summerhill se atendía a todo el mundo. Eso escaro, por supuesto, pero el principal problema es que choca con el objetivo fundamen-tal de la organización social: suministrar mano de obra no pensante para alimento delMolloch empresarial.

La única utopía posible es cara, sí, pero quizás nunca hayamos tenido a manotantos medios para poder intentarla.

II

¿A quién puede interesarle que adolescentes y jóvenes se ejerciten en la anar-quía entendida como responsabilidad? Al Poder, desde luego, no.

¿A quiénes incluye la palabra el “Poder”? En primer lugar, al poder económico,y luego, en cascada, al poder militar y al poder político. Probablemente, también a lasfamilias, al menos si no se les explica qué significa eso de la anarquía y la responsabi-lidad. Es cierto que las familias son el último eslabón de control social de adolescentesy jóvenes, pero podrían estar de acuerdo con planteamientos que en principio se lesescapaban porque, a fin de cuentas, les quieren. Los otros eslabones, el poder econó-mico, militar y político, no les tienen ningún afecto y los/as contemplan como futuroscomponentes de la cadena social del trabajo: tú para aquí, tú para allá, en un proceso alque se intenta dar tintes de apariencia demócratica y de bienestar social.

Como profesoras/es, nuestro contacto con el Poder se establece a través del esla-bón político, así que volveré a repetir, adaptada a este nivel de concreción, la frase delprincipio:

A las administraciones educativas –centrales o autonómicas– no les interesa queadolescentes y jóvenes se ejerciten en la anarquía entendida como responsabilidad.

Con los tiempos que corren, de un conformismo por lo visto irresistible, quizásparezca esta afirmación un exabrupto por mi parte. Sería ya una suerte, pues supondríaque se ha interpretado como positivo lo de anarquía entendida como responsabilidad.¿Qué otra cosa van a querer ministras/os y consejeros/as que lo mejor para los/as ado-lescentes? Pero si desconfiáis de mí podéis leer a Bertrand Russell1.

Claro, habréis mirado la nota a pie de página y habréis pensado: - Pero hombre de Dios, ¡ese está en el museo! Allí se le contempla y se le rinde

homenaje. ¿Por qué?, ... eso da igual, ¡no vamos a andar ahora haciendo caso a todosesos tipos!

¿Quién me ha contestado? ¿La ministra, el consejero, la delegada, el padre ...?¡Espero que no haya sido la colega! ¡Qué triste sería!

Porque no hay que perder de vista que otro contacto del Poder con los/as ado-lescentes somos nosotros, los profesores y profesoras. Y que si de forma burocratizadaasumimos Su programa, odiaremos también que nuestros alumnos y alumnas ejerzan laanarquía entendida como responsabilidad. Y entonces nos parecerán bien todas las tra-bas que sibilinamente pone Su Poderío a que las aulas puedan intentar acercarse alreino del ingenio: programaciones, libros de texto, exámenes, leyes de calidad, .... yaumento de las ratios en las aulas.

1111 Bertrand Russell: Principios de reconstrucción social. Espasa – Calpe. 1975 (primera edición en español,1921)

Sus servidores incansables, planifican medidas destructoras de aprendizajescomprensivos y creativos. Son medidas inmorales, pero las han convertido en legales ypretenden con ello dormir la preocupación social. El ejercicio de la anarquía entendi-da como responsabilidad es caro, y prefieren desviar el dinero hacia otros asuntos. Lodemás, ..., ¡no les importa! No les importamos ni tú, ni yo, ni los adolescentes

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EJERCICIO DE PROSPECTIVA

Se acabó. Sí, esta vez se ha acabado. No sé dónde me encuentro, y no controlobien la extraña geometría del espacio en que me muevo. ¿Tendrá algo que ver conLobachevsky? ¿Será posible que la curvatura sea realmente negativa? Claro que, ¿paraqué me intereso ahora por esto?

Sin duda es un intento de mantener la calma. Es un mecanismo muy natural.

Es San Pedro. Lleva razón, y sabía que terminaría encontrándolo, pero me hasorprendido mucho que haya interrumpido de esta manera mis inútiles pensamientos.Va derecho al grano.

-Ya sabes lo que te voy a preguntar.-Sí. Pero supongo que a pesar de ello tienes que hacer el interrogatorio.-Así es. Vamos a ver: ¿por qué llevaste a tu hija primero a la Escuela y luego al

Instituto?-Sabes lo que voy a responder. Porque no me atreví a no hacerlo.-A pesar de que sabías lo que pasa dentro de esos sitios. A pesar de que sabías

que allí se atentaba contra la obra de la Naturaleza intentando eliminar la curiosidady el libre pensamiento.

-Sí, a pesar de eso. Ya te digo que no me atreví. -Bien. No tienes coartada. Si hubieras sido, por ejemplo, notario, o hubieras

trabajado en una gasolinera, no estabas obligado a conocer las interioridades del sis-tema educativo. De momento, irás al Infierno.

-Ya me lo había imaginado. Pero, ¿por qué has dicho “de momento”?-Te queda una pequeña oportunidad. Parece que alguna vez escribiste un cua-

dernillo para Aula Libre. Lo revisaremos. Quizás contenga algún atisbo de coherencia.-¿...?-¿Por qué te sorprendes? -¿Sabes lo que iba a contestar, pero no el contenido de lo que he escrito?-Nos interesan más las personas que lo que escriben. Ya sabes: “por sus hechos

los conoceréis”. Pero es verdad que tienes derecho a esta última posibilidad. De todosmodos, esperarás en el Infierno.

No contesto nada. Doy la vuelta y me pierdo de nuevo en el vacío. El Infiernoes probablemente esto, la condena a la soledad, al vacío estudio de curvaturas desco-nocidas. Además, ¿qué podría decirle? ¿Acaso no había escrito yo el guión de la entre-vista?

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Título: Fragmentos de un diario de clase.

Autor: Ángel Ramírez Martínez

Edita: Movimiento de Renovación Pedagógica AULA LIBREApartado de correos, nº 88 - 22520 FRAGA (Huesca)

Diseño portada: María Jesús Buil Salas

Imprime: Imprenta Coso, s.c.

Depósito Legal: HU-72-2004

I.S.B.N.: 84 -923123-9-4

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Los “Cuadernos de Aula Libre” nacen como vía deexpresión para quienes, con sus experiencias e investi-gaciones, tengan algo que aportar en la mejora de lascondiciones de aprendizaje de los alumnos y alumnas enla escuela.

“Cuadernos” se edita con la vocación inequívocade ser útil al colectivo de profesionales que trabaja día adía en su centro y se esfuerza por poner en prática meto-dologías alternativas.

En este octavo número se recogen experiencias yreflexiones de un profesor de matemáticas sobre su tra-bajo diario.