Automatizaci´on de Procesos/Sistemas de...

Automatizacion de

Procesos/Sistemas de

Control

Ing. Biomedica e Ing.

Electronica

Capitulo V

Controladores PID

D.U. Campos-Delgado

Facultad de Ciencias

UASLP

Agosto-Diciembre/2019

1

CONTENIDO

Motivacion

Estructura General

Filosofıa de Control

Sintonizacion Experimental

Sintonizacion Analıtica

2

Motivacion

En la actualidad la mayorıa de los controla-

dores que se utilizan en la industrıa siguen

la estructura PID.

El significado de PID viene del tipo de reac-

cion al error que afecta la senal de control o

variable manipulada: (P) Proporcional, (I)

Integral y (D) Derivativa.

Este tipo de control es sumamente robusto

para la mayorıa de las aplicaciones practi-

cas, sobretodo en aquellas cuya dinamica

no es rapida y de alto orden.

3

Estructura General

• El control PID utiliza como mecanismo mo-

tor al error de seguimiento, es decir

e(t) = r(t)− y(t)

donde r(t) representa la referencia y y(t) la

variable controlada o salida.

• De esta la accion de control se construye

segun la siguiente estructura basica

u(t) = Kp e(t)︸︷︷︸

Proporcional

+Ki

∫ t

0e(τ)dτ

︸︷︷︸

Integral

+ Kdde(t)

dt︸︷︷︸

Derivativa

donde Kp, Ki, Kd representan las ganancias

proporcional, integral y derivativa, respectiva-

mente.

• Por lo que para definir el controlador PID solo

se tienen que asignar las ganancias (Kp,Ki,Kd)

tal que se garantiza estabilidad y desempeno,

tanto transitorio como en estado estacionario.

4

• El controlador PID tambien puede escribirse

en un formato de funcion de transferencia

CPID(s) =U(s)

E(s)= Kp +

Ki

s+Kds.

• En una implementacion, la salida o variable

controlada puede verse afectada por ruido y en

este caso, la accion derivativa amplificara este

factor.

• Por lo que es comun agregar un filtro de

primer orden en la accion deirvativa, es decir

CPID(s) =U(s)

E(s)= Kp +

Ki

s+

Kds

τds+1,

de esta manera se tendrıan ahora 5 parametros

de sintonizacion (Kp,Ki,Kd, τd).

• En ocaciones, se acostumbra definir el parame-

tro τd en funcion del valor de la ganancia deri-

vativa, como

0.1Kd

Kp≤ τd ≤ 0.2

Kd

Kp

• Tambien se puede optar por controladores

solo P, PI o PD

CP (s) = Kp

CPI(s) = Kp +Ki

s

CPD(s) = Kp +Kds

τds+1

segun requiera la aplicacion.

• Otra forma comun de representar el controla-

dor PID es considerando el tiempo de reset Tr,

el tiempo derivativo Td y una ganancia general

K de control:

CPID(s) =U(s)

E(s)= K

(

1+1

Tr·1

s+

Tds

τds+1

)

.

Filosofıa de Control

Accion Proporcional: provee una contri-

bucion en la accion de control que depende

del valor instantaneo del error. Un controla-

dor proporcional puede controlar cualquier

planta estable, pero su desempeno es li-

mitado y el error de estado estable no se

garantiza que llegue a cero.

Accion Integral: proporciona una salida

que es proporcional al error acumulado, lo

que implica que la estrategia de control es

de lenta reaccion. El error de estado esta-

ble se garantiza que sea cero en la presen-

cia de escalones unitarios de referencia y

perturbaciones.

Accion Derivativa: contribucion propor-

cional a la tasa de cambio del error de refe-

rencia, de modo que es un control de rapida

5

reaccion, aunque desaparece en presencia

de errores constantes. Su implementacion

requiere de anadir un filtro pasa-bajos para

reducir el efecto adverso del ruido.

Enseguida se muestran 3 escenarios asociados

con diferentes senales de error, y se muestran

los 3 tipos de accion: Proporcional, Integral y

Derivativa.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e(t

) (E

rro

r)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−5

0

5

Accio

ne

s d

e C

on

tro

l

Kp=K

d=K

i=2.0

Acción Proporcional

Acción Integral

Acción Derivativa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

e(t

) (E

rror)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Accio

nes d

e C

ontr

ol

Kp=K

d=K

i=2.0

Acción Integral

Acción Derivativa


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1

−0.5

0

0.5

1

e(t

) (E

rror)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−6

−4

−2

0

2

4

6

Accio

nes d

e C

ontr

ol

Kp=K

d=K

i=2.0

Acción IntegralAcción Derivativa


• Para encontrar los valores apropiados de las

ganancias (Kp,Ki,Kd) que garanticen estabi-

lidad y desempeno (sintonizacion) se necesita

recabar informacion del proceso a controlar.

• Se pueden emplear dos filosofıas:

Sintonizacion Experimental: medir la sali-

da del proceso a ciertas entradas prototi-

po para calcular parametros de la repuesta

dinamica, y con base a estos valores deter-

minar los valores apropiados de las ganan-

cias de control.

Sintonizacion Analıtica: utilizar el modelo

matematico del proceso o planta, y consi-

derando la estructura del controlador cal-

cular la funcion de transferencia de lazo

cerrado, encontrar las ganancias que man-

tengan estable el sistema retroalimentado,

y desempeno transitorio y de estado esta-

ble.

Sintonizacion Experimental

• La estrategia mas utilizada se basa en la

metodologıa de Ziegler-Nichols, donde se asu-

me que la planta puede representarse por la

siguiente estructura:

G(s) =Y (s)

U(s)=

He−tds

τs+1.

• Enseguida se evalua la respuesta al escalon

unitario de la planta y se miden los parametros

L = td

R =H

τ.

6

• Las ganancias de control se calculan para

obtener un amortiguamiento en lazo cerrado

de ζ = 0.21.

Controlador Ganancias

P Kp = 1R L

PI Kp = 0.9R L,Ki =

0.27R L2

PID Kp = 1.2R L,Ki =

0.6R L2,Kd = 0.6

R

• Una estrategia alternativa es utilizar el meto-

do de la Ganancia Ultima, en la cual se coloca

a la planta bajo un control proporcional K, y

se aumenta la ganancia K hasta que el sistema

retroalimentado entra en oscilacion.

• La ganancia que provoca el regimen osci-latorio se le denomina como Ku y el periodoresultante como Pu.

• Las ganancias del controlador PID o sus va-riantes estarıan dadas por

Controlador Ganancias

P Kp = 12Ku

PI Kp = 0.45Ku,Ki = 0.54KuPu

PID Kp = 0.6Ku,Ki = 1.2KuPu

,

Kd = 0.075KuPu

Ejemplo: suponer que la respuesta al escalonde un proceso quımico esta dada por la siguien-te figura. Encontrar el modelo aproximado delproceso y las ganancias para los controladoresP, PI y PID.


• Con este fin se emplea el modelo matematico

del sistem LIT, y se define el comportamien-

to deseado para la respuesta transitoria y de

estado estacionario en lazo cerrado.

• Las restricciones en la respuesta transitoria

se traducen la ubicacion deseada de los polos

dominantes de lazo cerrado.

• Durante el diseno es posible cancelar un polo

estable con dinamica lenta de la planta con un

cero del controlador (cancelacion polo-cero).

• Los requisitos en la respuesta estacionaria

definiran restriciones en las ganancias del con-

trolador.

• Si se requiere cero error en estado estaciona-

rio ante escalones de referencia o perturbacion

se necesitan de accion integral en el controla-

dor ⇒ PI o PID.

7

Ejemplo 1: considerar el modelo de un motor

CD

G(s) =800

(s+4)(s+15),

disenar un controlador PI

C(s) = Kp +Ki

s

tal que se garantice

Error de estado estable cero ante escalones

de referencia, i.e. ess = 0,

Error de estado estable menor o igual a 1

para una referencia rampa, i.e. esr ≤ 1,

Sobretiro menor o igual al 5%, i.e. Mp ≤

5%,

Tiempo de asentamiento menor o igual a

1 seg, i.e. ts ≤ 1 seg.

Solucion: primero observar que la planta en la-

zo abierto G(s) tiene 2 polos estables en s =

−4 (polo lento) y s = −15, pero ningun cero.

Ahora, el controlador PI puede escribirse como

C(s) = Kp(s+Ki/Kp)

s,

que tiene un polo en s = 0 (accion integral) y

un cero en s = −Ki/Kp. Por lo que se propone

cancelar el polo lento de la planta con el cero

del controlador, es decir se define

Ki

Kp= 4.

De esta manera, la planta en lazo abierto es-

tarıa dada por

L(s) = C(s)G(s) = Kp(s+4)

s·

800

(s+4)(s+15)

=800Kp

s(s+15).

Debido a la accion integral del controlador PI

se cumple automaticamente ess = 0, y recordar

que

esr =1

lıms=0 sL(s)≤ 1

∴ lıms=0

sL(s) ≥ 1

Ya que se tiene que

lıms=0

sL(s) = lıms=0

s ·800Kp

s(s+15)=

800Kp

15

se necesita

Kp ≥15

800= 0.0187

Por otro lado, de la condicion de sobretiro Mp ≤0.05 se obtiene una restriccion para el amorti-guamiento en lazo cerrado

ζ ≥

√√√√ (ln 0.05)2

π2 + (ln 0.05)2= 0.69

Enseguida, la funcion de transferencia de lazocerrado estarıa dada por

H(s) =Y (s)

R(s)=

L(s)

1 + L(s)=

800Kp

s2 +15s+800Kp

al comparar con el prototipo de 2do orden seobtiene

ω2n = 800Kp

2ζωn = 15

⇒ ζ =15

2√

800Kp

≥ 0.69

y se concluye que

Kp ≤1

2

(15

40 · 0.69

)2

= 0.1477

Ademas como ζωn = 7.5, se satisface la res-

triccion

ts =3.91

ζωn= 0.52 ≤ 1.

Finalmente, al conjuntar las condiciones de es-

tado estacionario y respuesta transitoria para

Kp se deduce el intervalo de variacion:

0.0187 ≤ Kp ≤ 0.1477

Por ejemplo, se puede tomar Kp = 0.1 y en

consecuencia Ki = 0.4, es decir el controlador

final es

C(s) = 0.1 +0.4

s.


Ejemplo 2: considerar la siguiente planta

G(s) =6× 103

[(s+6)2 +144](s+12)

disenar un controlador PID

C(s) = Kp +Ki

s+Kds

tal que se satisfaga en lazo cerrado

Error de estado estable cero para un es-

calon de referencia, i.e. ess = 0,

Error de estado estable menor o igual a 0.1

para una rampa de referencia, i.e. esr ≤ 0.1,

Sobretiro menor o igual a 15%, i.e. Mp ≤

15%.

8

Solucion: primero observar que la funcion de

transferencia del controlador PID puede re-escribirse

como

C(s) = Kd[s2 + (Kp/Kd)s+ (Ki/Kd)]

s,

es decir el controlador posee un par de ceros y

un polo en el origen. Por otro lado, la planta

G(s) posee un polos en s = −6 ± j12 (polos

lentos) y s = −12.

De esta manera, se propone cancelar los po-

los complejos conjugados de la planta con los

ceros del controlador PID, es decir

s2 + (Kp/Kd)s+ (Ki/Kd) = (s+6)2 +144

⇒Kp

Kd= 12,

Ki

Kd= 180.

Enseguida se observa que la funcion de trans-

ferencia de lazo abierto estarıa dada por

L(s) = Kd(s+6)2 +144

s·

6× 103

[(s+6)2 +144](s+12)

=6× 103Kd

s(s+12)

es decir L(s) tiene un polo en el origen y en

consecuencia ess = 0, el error de estado estable

ante una rampa

esr =1

lıms=0 sL(s)≤ 0.1

∴ lıms=0

sL(s) ≥ 10

Ya que se tiene que

lıms=0

sL(s) = lıms=0

s ·6× 103Kd

s(s+12)=

6× 103Kd

12

se necesita

Kd ≥12

6× 102= 0.02

Por otro lado, la condicion de sobretiro estable-

ce que Mp ≤ 0.15, lo que define una restriccion

para el amortiguamiento en lazo cerrado

ζ ≥

√√√√ (ln 0.15)2

π2 + (ln 0.15)2= 0.52

Por otro lado, la funcion de transferencia de

lazo cerrado estarıa dada por

H(s) =Y (s)

R(s)=

L(s)

1 + L(s)=

6× 103Kd

s2 +12s+6× 103Kd

al comparar con el prototipo de 2do orden se

obtiene

ω2n = 6× 103Kd

2ζωn = 12

⇒ ζ =6

√

6× 103Kd

≥ 0.52

y se concluye que

Kd ≤1

6× 103

(6

0.52

)2

= 0.022

Finalmente, al conjuntar las condiciones de es-

tado estacionario y respuesta transitoria para

Kd se deduce el intervalo de variacion:

0.02 ≤ Kd ≤ 0.022.

Por ejemplo se puede tomar Kd = 0.021, y el

controlador resultante serıa

C(s) = 0.252 +3.78

s+0.021s


• De forma alternativa, si solo se coloca interes

en la estabilidad de lazo cerrado, se puede utili-

zar el criterio de Routh-Hurwitz para encontrar

el rango de variacion permitido para las ganan-

cias del controlador P, PI o PID.


G(s) =(s+1)

s(s− 1)(s+6)

obtener el rango de valores para un controla-

dor proporcional Kp que mantegan estable el

sistema retroalimentado.

Solucion: primero observar que G(s) tiene po-

los en s = 0, s = 1 (polos inestables) y s = −6,

y un cero en s = −1. Ahora, la funcion de

9

transferencia de lazo cerrado esta dada por

H(s) =Y (s)

R(s)=

Kp(s+1)

s(s−1)(s+6)

1+Kp(s+1)

s(s−1)(s+6)

=Kp(s+1)

s(s− 1)(s+6)+Kp(s+1)

=Kp(s+1)

s3 +5s2 + (Kp − 6)s+Kp.

Enseguida se analizan las raıces del polinomio

denominador

s3 +5s2 + (Kp − 6)s+Kp = 0

por el Criterio de Routh-Hurwitz.

s3 1 Kp − 6

s2 5 Kp

s1 15(4Kp − 30) 0

s0 Kp 0

Por lo que para evitar cambios de signo en la

primera columna del arreglo se necesita

1

5(4Kp − 30) > 0 & Kp > 0

es decir para mantener estabilidad se requiere

Kp >30

4= 7.5


G(s) =1

(s+1)(s+2)

obtener el rango de valores para las ganancias

de un controlador PI (Kp,Ki) que mantegan

estable el sistema retroalimentado

C(s) = Kp +Ki

s=

Kp s+Ki

s

Solucion: observar que G(s) tiene polos en s =

−1 y s = −2 (polos estables) y no tiene ceros, y

la accion integral del controlador PI garantizara

ess = 0. La funcion de transferencia de lazo

cerrado esta dada por

H(s) =Y (s)

R(s)=

(

Kp +Kis

)1

(s+1)(s+2)

1 +(

Kp +Kis

)1

(s+1)(s+2)

=Kp s+Ki

s(s+1)(s+2)+ (Kp s+Ki)

=Kp s+Ki

s3 +3s2 + (2+Kp)s+Ki.

Enseguida se analizan las raıces del polinomio

denominador

s3 +3s2 + (2+Kp)s+Ki = 0

por el Criterio de Routh-Hurwitz.

s3 1 2+Kp

s2 3 Ki

s1 13(3Kp +6−Ki) 0

s0 Ki 0

Por lo que para evitar cambios de signo en la

primera columna del arreglo se necesita

1

3(3Kp +6−Ki) > 0 & Ki > 0

es decir

Ki < 3Kp +6 & Ki > 0

Si se considera el plano (Kp,Ki) estas condi-

ciones definen una region de estabilidad:

Ω = (Kp,Ki) | Ki < 3Kp +6 & Ki > 0

Tarea # 5

Resolver los siguientes problemas del libro detexto (Ingenierıa de Control Moderna, K. Oga-ta, 4a Edicion, Prentice Hall):

B.10.1

B.10.3

B.10.4

B.10.5

B.10.11

10

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