Ayudantía #2 - CIV314: Métodos numéricos(Interpolación de por tramos)

Profesor: Joaquín MuraAyudantes: Felipe Galarce - Hernán Mella

1. Demuestre que las funciones base de Lagrange tipo P1 son efectivamente una base de P1 (P1 es el espacio depolinomios de grado 1).

2. Utilizando interpolación por tramos y funciones base de Lagrange (de grado 1 y 2), encuentre el polinomio p(x)que interpola a la función y = exp(−x) en el intervalo I = [0, 1]. Para la interpolación utilice una división deldominio uniforme de 2 sub-intervalos. ¿Cuanto es el error relativo (para cada uno de los casos) si se quiereinterpolar el valor de y(1/8)?

3. Una función Spline cúbica s(x) en [x1, xn] cumple con las siguientes propiedades:

a) s(x) =∑n−1

i=1 si(x), donde si(x) = yi + bi(x − xi) + ci(x − xi)2 + di(x − xi)

3 (en otras palabras, en cadaintervalo Ii = [xi, xi+1], si es un polinomio de grado menor o igual a 3).

b) s, s′ y s′′ son funciones continuas en [x1, xn].

Formule el problema matricial que permite la construcción de la spline cúbica natural1.

4. Para un set de puntos dados (archivo de texto datos.txt) escriba un codigo en MATLAB que permita construirla función spline cúbica natural.

1La spline cúbica natural considera adicionalmente el siguiente par de condiciones: s′′(x1) = 0 y s′′(xn) = 0.

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