Facultad de Ingeniera y Construccion CivilDepartamento de Matematicas

FMM 133-Calculo II

AYUDANTIA 1SUMAS DE RIEMANN, PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINDA Y TEOREMA

FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Profesor Catedra: Miguel Bezares.Ayudante: Marcelo Millapan.

marcelo.millapan@usach.cl

P1: Para la siguiente funcion definida por f(x) = ax+ b, en el intervalo [0, 1] use particiones regularesde la forma Pn = {0, 1n , 2n , . . . , n1n , 1}, para obtener las sumas superiores e inferiores, demuestre quelas funciones son integrables y calcule

10f(x) dx

P2: Demuestre las siguientes propiedades:

1. Sea c > 0 y f una funcion impar definida en I = [c, c]. Verifique la siguiente propiedad: ccf dx = 0

2. Si f es par entonces aaf dx = 2

a0

f dx

P3: Interprete como integral los siguientes lmites:

1. lm|P |0

ni=1

xix

i , I = [1, 4]

2. lm|P |0

ni=1

tanxixi

xi , I = [0, pi]

P4: Calcule los siguientes lmites ayudandose con las sumas de riemann:

1. lmn

ni=1

1

n

(i

n

)22. lm

n

ni=1

3

n

((1 +

3i

n

)3 2

(1 +

3i

n

))P5: Sin resolver la integral, demuestre la siguiente desigualdad:

pi

6 pi

6

pi3

sinx dx pi3

P6: Considere f un funcion integrable. demuestre que si:

g(x) =

x0

sinx f(t) dt

entoncesg(x) + g(x) = 2f(x) cosx+ f (x) sinx

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