Ayudantía Nº 3

Carola Muñoz R. 1

Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:

a) (A B) C = A (B C )

(A B) C = A ( B C )c --------> A B = A Bc

= A ( Bc Cc ) --------> De Morgan

= ( A Bc ) Cc --------> Asociando

= ( A B ) Cc --------> A B = A Bc

= ( A B ) C --------> A B = A Bc

2

Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:

b) A (B C) = ( A B ) (C A)

A (B C) = A (B Cc ) --------> A B = A Bc

= ( A B ) ( A Cc ) --------> Distribución

= ( A B ) ( C Ac ) --------> Conmutatividad

= ( A B ) ( C A ) --------> A B = A Bc

= ( A B ) ( Ac C ) --------> A B = A Bc

3

Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:

c) A (B C) = ( A B ) (A C )

A (B C) = A (B C ) c --------> A B = A Bc

= ( A ( Bc Cc ) --------> De Morgan

= ( A B ) ( A C ) --------> A B = A Bc

= ( A Bc) ( A Cc ) --------> Distribución

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Ejercicio• Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:

d) ( A B) (B A) = ( A B ) (A B)( A B ) (A B) = ( A B ) (A B) c --> A B = A Bc

= [( A B ) Ac] [( A B ) Bc] --> Distribución

= ( A B ) (Ac Bc) --> De Morgan

= [( A Ac) (B Ac)] [( A Bc) (B Bc)] --> Distrib.

= [ (B Ac)] [( A Bc) ] --> Complemento

= ( B Ac ) ( A Bc ) --> Identidad

= ( A Bc ) (B Ac ) --> Conmutatividad

= ( A B ) ( B A ) --> A B = A Bc

Ejercicio• Usando propiedades, simplifique:

a) B [ ( A B )’ ( B A’)’ ]

= B [ ( A’ B’ ) ( B’ A) ] --------> De Morgan

= B [ ( B’ A’ ) ( B’ A) ] --------> Conmutatividad

= B [ B’ ( A’ A ) ] --------> Distribución

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= B [ B’ U ] --------> Complemento

= B B’ --------> Identidad

= --------> Complemento

Ejercicio• Usando propiedades, simplifique:

b) [( A B ) ( A B )]’

= [ ( A B’ ) ( A B) ]’ --------> A B = A B’

= [ ( A B’ )’ ( A B)’ ] --------> De Morgan

= [ ( A’ B ) ( A’ B’) ] --------> De Morgan

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= A’ [ B B’ ] --------> Distributividad

= A’ --------> Complemento

= A’ --------> Identidad

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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

a) De un total de 35 programadores entrevistados para un trabajo, 25 conocían Fortran, 28 conocían Pascal y dos no conocían ninguno de estos dos lenguajes; ¿ cuantos conocían ambos lenguajes?

|U| = 35

|F| = 25

|P| = 28

|P F|’ = 2

|P F| = ?

U

P F

2

Conocían al menos un lenguaje: |P F| = |U| – |P F|’ = 35 – 2 = 33

| P F | = | P | + | F | - | P F |

| P F | = 28 + 25 - 33

| P F | = 20

20

| P | | P F | = 28 20 = 8 | F | | P F | = 25 20 = 5

8 5

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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

b) Una encuesta a 100 músicos populares mostró que: 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes . – ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente?– ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?– ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos?

|U| = 100

|I| = 40

|D| = 39

|D I|’ = 60

|D I| = ?

|I D| = ?

|D I| = ?

UA

B

60 Usan guantes en al menos una mano -->| D I| = |U| –|D I|’ = 100 – 60 = 40

| D B| = |D| + | I | - | D I|= 39 + 40 - 40

= 39c)

39

10

U 60A

B

39

Gráficamente es |D I|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = | D| | D I | = 39 39 = 0

D = personas que usan guantes en mano derechaI = personas que usan guantes en mano izquierda

a) ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente?

| D I | = 40

| D I | = 39

| D | = 39

| I | = 40

b) ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?

Gráficamente es |I D|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = |I | | D I | = 40 39 = 1

1

c) ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos?

= | D I | = 39

11

Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

c) De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres,

60 estudian comunicación y 60 son mujeres que no estudian comunicación.– ¿ cuántas mujeres estudian comunicación? – ¿ cuántos hombres no estudian comunicación?– ¿ cuántas hombres estudian comunicación?

|U| = 200

|M| = 98

|C| = 60

|M C|= 60

|M C|= ?

|M C|’ = ?

|C M|= ?

U M

C

60

|M C|= |M| |M C| = 98 60 = 38

38|C M|= |C| |M C| =60 38 = 22

22

|M C|= |M| + |C| |M C| = 98 + 60 – 38 =120|M C|’ = |U| |M C| = 200 120 = 80 80

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Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

c) En un estudio de 120 consumidores, 80 consumidores indicaron que compran la marca A, 68 compran la marca B, y 42 adquieren ambas. – ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? – ¿Cuántos compran exactamente una de estas marcas?– ¿Cuántos compran sólo la marca A? – ¿Cuántos compran ninguna de estas marcas?

|U| = 120

|A| = 80

|B| = 68

|A B| = 42|A B| = ?

|A B| = ?

|A B| = ?

|A B|’ = ?

UA

B

42

|A B| = |A| + |B| |A B| = 80 + 68 42 = 106

|A B| = |A| |A B| = 80 42 = 38

38 |A B| = (|A B| + |B A|) = 38 + ( 68 42) = 64

26

|A B|’ = |U| |A B| = 120 106 = 1414

13

Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

d) De 3000 alumnos de una Universidad 368 utilizan solo su automóvil, 548 usan el transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan solo el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar

y 1438 no usan ningún medio de transporte.

|U| = 3000

|A| |T E| = 368

|E| = 548|T A| = 274

|A| = 714|E| |T A| = 184

|T A| |T A E| = 156

|T A E|’ = 1438

U

AT

E

368

184

156

1438

a) Solo el transporte urbano

b) Su automóvil o transporte escolar pero no transporte urbano

c) Solo uno de los tres medios de transporte

d) Los tres medios de transporte

U

AT

E

368

184

156

1438

|T A| 156 = 274 156 = 118

118

|A| 368 156 118 = 714 368 156 118 = 72

72

|E| 184 72 118 = 548 184 72 118 = 174

174

|A T E| = |U| |A T E|’ = 3000 1438 = 15621562 368 156 118 72 174 184 = 490

490

118

368 + 72 + 184 = 624

368 + 490 + 184 = 1042

490

15

Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

e) Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año.

De ellos, 860 cursan matemáticas,

664 física,

388 redacción,

480 física y matemáticas,

270 redacción y matemáticas,

210 física y redacción

y todos llevan al menos una de las tres asignaturas

|U| = 1050

|M| = 860

|F| = 664

|R| = 388

|F M| = 480

|R M| = 270

|F R| = 210

|M F R| = 1050

Ejercicio• Aplicaciones de conjuntos: Encuesta

e) Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas, entonces cuántos alumnos cursan:

a) Física y matemáticas pero no redacción

b) Solo matemáticas

Datos:

|U| = 1050 |F M| = 480|M|= 860 |R M| = 270 |F| = 664 |F R| = 210|R| = 388 |M F R| = 1050 M = cursan matemáticas

F = cursan físicaR = cursan redacción

UM R

F

17

Datos:

|U| = 1050 |F M| = 480|M|= 860 |R M| = 270 |F| = 664 |F R| = 210|R| = 388 |M F R| = 1050

M = cursan matemáticasF = cursan físicaR = cursan redacción

UM R

F

Por propiedades algebraicas se sabe que:

|M F R| = |M| + |F| + |R| |F R| |M F| |M R| + |M F R|

|M F R| = |M F R| |M| |F| |R| + |F R|+ |M F| + |M R|

= 1050 860 664 388 + 210 + 480 + 270 = 98

98

|M R| 98 = 270 98 = 172

172

|F R| 98 = 210 98 = 112

112

|F M| 98 = 480 98 = 382

382

|M| 172 98 382 = 860 172 98 382 = 208

208

|R| 172 98 112 = 388 172 98 112 = 6

6

|F| 382 98 112 = 664 382 98 112 = 72

72

18

UM R

F

98

172

112382

208 6

72

a) Física y matemáticas pero no redacción 382

b) Solo matemáticas 208