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Proyecto Fin de Carrera Salvador Ortolá Gómez Modelo 1D Escuela Superior de Ingenieros

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Modelo 1D

Dejando ya a un lado los aspectos constructivos, en adelante nos centraremos en los modelos estudiados para reproducir los comportamientos de esta pieza y poder observar cómo afectarán los cambios futuros.

Comenzamos por crear un modelo simplificado de una sola dimensión, en el que calcularemos las propiedades del material usando la Teoría General de Laminados y resolviendo un problema de flexión con el Método de Elementos Finitos a través de PATRAN‐NASTRAN. Este modelo se complementará con los dos bloques siguientes: Modelo 3D y Ensayo Experimental.

Para comenzar con el modelo unidimensional será conveniente explicar en qué consisten las simplificaciones. Por un lado, simplificaremos la geometría de la aleta, convirtiéndola en un modelo de barra. En esta barra tomaremos unas propiedades del material y de inercia diferentes por tramos, es decir, seleccionaremos intervalos en los que la sección y la geometría no varíen sustancialmente y consideraremos unos valores del módulo de elasticidad y de inercia constantes en ese tramo. De esta manera obtendremos una viga con propiedades diferentes a tramos; más simple que considerar un modelo con propiedades variables continuas.


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Para caracterizar estas propiedades realizamos la siguiente discretización en la geometría:

Fig.27. - Discretización de la geometría y modelo de ensayo. Se usaron las costillas como puntos de referencia. De esta manera las dimensiones ya estaban tomadas con exactitud y resultaban de gran ayuda a la hora de calcular distancias. Por otro lado, la zona discretizada tiene esa longitud porque recoge la zona que más tarde se pudo ensayar en el Laboratorio de Elasticidad y Resistencia de Materiales (LERM) con el utillaje para ensayos de flexión. Una vez dividida la aleta en estos diez tramos, pasamos a obtener las propiedades mecánicas que los caracterizan:

i. Módulo de elasticidad equivalente, Ex,eq del laminado ii. Coeficiente de Poisson, νeq

iii. Área transversal, A

iv. Momento de Inercia, Ixx

Para calcular el módulo de elasticidad del laminado es necesario aplicar la Teoría General de Laminados. En este sentido podemos hacerlo de dos maneras: usando una función en MATLAB ya creada y generalizada para laminados de n láminas con m espesores diferentes (donde m≤n); o bien, declarando las propiedades de cada lámina y el posterior laminado en el pre‐procesador PATRAN. Haciéndolo de una u otra


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manera se llega a la misma matriz de la Ley de Comportamiento, y por ello a los mismos valores de Ex,eq, y νeq. El laminado usado es el compuesto por las capas que se comentaron en el capítulo Planteamiento (exactamente en la pág. 9). Los valores que caracterizan cada lámina se han tomado de los catálogos Prepreg Technology de Hexcel Composites y Composites. Global Solution de Axson.

Fig.28. - Tablas de PATRAN para la creación del laminado. Se muestran las propiedades y las matrices de la Ley de Comportamiento. Todas las unidades en MPa y mm (y las que se derivan de ellas).


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Respecto al núcleo de la pieza, ésta lleva un relleno de resina epoxi Araldite 50/52. Esta resina posee un módulo de elasticidad muy bajo, lo cual significa que es muy flexible (ver anexo: Cold‐curing System Based on Araldite LY 5052 / Aradur 5052. Data Sheet. HUNTSMAN). Por otro lado, su posición en el centro de la pieza le confiere pocas responsabilidades en cuanto a resistencia. Es por estos dos aspectos por lo que se despreció su aportación al comportamiento elástico en el modelo unidimensional que trata este capítulo. Las siguientes propiedades que se necesitan aportar para realizar el estudio de la flexión, son de carácter topológico: áreas transversales y momentos de inercia. El problema que se nos planteaba venía dado por la complejidad de obtener estos valores de un perfil NACA, sobre todo porque estos perfiles se obtienen como nube de puntos y no corresponden a ninguna curva, a no ser que se busque una ecuación cuadrática que aproxime. Por todo ello, se decidió hacer una primera aproximación: encajaríamos el perfil NACA en un rectángulo con la misma cuerda (b) y la misma altura (h). Aunque el resultado es un perfil mucho más rígido, se decidió hacerlo así por tener un punto de partida h

b

Fig.29. - Perfil NACA y rectángulo de aproximación. Para este perfil, el valor del momento de inercia es conocido y de cálculo sencillo:

31 ·12xxI bh A b h= =

Tomando unos valores de b y h promedios de cada tramo, obtenemos:

Tramo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( )b mm 122.50 114.15 106.75 100.12 93.15 85.78 77.96 71.88 67.37 62.50

( )h mm 11.030 10.280 9.614 9.015 8.386 7.720 7.017 6.417 6.070 5.630 4( )xxI mm 13690 10330 7900 6110 4580 3290 2244 1620 1250 930

Tabla.1. - Valores de ancho, espesor e inercia de cada tramo.


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Pues bien, una vez conocidos estos valores, podemos implementarlos en las propiedades de cada tramo en PATRAN. En este pre‐procesador se han tomado los 10 tramos mencionados anteriormente y se han declarado como elementos barra en los que las propiedades de inercia son las calculadas como rectángulos y el material el declarado más arriba. Posteriormente se crearía un caso único de carga de 250 N con los apoyos que permitieran el giro de la sección, pero no el desplazamiento. Con esta configuración probamos que el problema tenía solución y que convergía para mallados sucesivamente menores (10, 5 y 2 mm de longitud del elemento, observando que para tamaños inferiores a 5 mm el desplazamiento máximo no variaba significativamente). Una vez probada la convergencia pasamos a obtener la solución para el caso de carga de 250 N con los mismos apoyos (restricciones) y un tamaño de malla de 5 mm. El resultado fue el siguiente:

Fig.30. - Resultado PATRAN-NASTRAN: Modelo 1D, sección rectangular, carga = 250 N. Tratándose de una simulación en la que se ha declarado un comportamiento elástico lineal, podemos obtener los desplazamientos máximos con cargas inferiores intermedias a 250N sin más que dividir proporcionalmente. Todos estos valores de desplazamiento se pueden resumir en una gráfica en la que comparemos los resultados de la simulación con los datos obtenidos en el LERM:


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0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50

100

150

200

250

300

Desplazamiento, u [mm]

Car

ga, q

[N]

Evolución de la simulación: carga frente a desplazamiento máximo.

Simulación Patran-Nastran

Curva de ensayo LERM

Fig.31. - Comparación entre la simulación usando secciones rectangulares y la curva obtenida en el ensayo.

A la vista de lo anterior, la simulación parece estar devolviéndonos una barra más rígida a flexión que la ensayada. Ante tal discrepancia de comportamientos se plantearon posibles correcciones: la más directa e importante fue la de refinar el cálculo de la inercia de las secciones de cada tramo. Para poner de manifiesto la sensibilidad del comportamiento ante una disminución de este parámetro en la simulación, se probó con una rebaja de un 35 % en el momento de inercia de cada tramo buscando así mayor flexibilidad para los mismos casos de carga (esta técnica es poco rigurosa ya que los momentos de inercia no varían linealmente a lo largo de la aleta, con lo cual no es realista practicarle el mismo porcentaje de disminución a todos los tramos; aún así se hizo esto como prueba para ver si merecía la pena afrontar la tarea de calcular los momentos de inercia exactos de cada tramo. Con esta variación, los resultados de la nueva simulación nos alertaron de la importancia de calcular mejor los momentos de inercia:


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Fig.32. - Simulaciones con sección rectangular, con inercia disminuida y la curva obtenida en el ensayo. Tras la simulación observamos que la sensibilidad a la inercia es muy alta y que es inevitable buscar el valor exacto de los momentos de inercia de cada sección. Para ello comentaremos la matemática necesaria para este cálculo; el cual, más tarde, fue implementado en una función en MATLAB para que sirviera de herramienta en futuros problemas. Como ya sabemos, el momento de inercia de una sección respecto de un eje se define de la siguiente manera: 2

zzy

I y dA= ∫

en donde dA puede corresponder a una función de y a través del ancho de la sección. En el caso que tenemos, el ancho viene dado como una tabla de valores en función del número de NACA que posea nuestro perfil. En ese caso no podemos crear una función del tipo · ( )dA cte f dy= sino que tenemos que recurrir a alguna herramienta para obtener perfiles NACA a través de su número y de ahí usar los puntos para poder realizar un cálculo del momento de inercia de manera discreta y numéricamente, es decir: vamos a usar una función ya programada que nos devuelve los puntos ( , )z y


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que dibujan la sección y realizaremos una partición de n elementos rectangulares, los cuales se usaran para el cálculo de la inercia de la siguiente manera:

/ 22 2

/ 2

H

zz Hy

I y dA y dA−

= =∫ ∫

al ser una sección simétrica: H h h= + ; con lo que resulta:

2

02h

zzI y dA+

= ∫

Si tomamos n intervalos en cada mitad, es decir hacemos hn y aproximamos por

rectángulos con espesor:

hh cten

∆ = =

designaremos como ky , a la cota de cada rectángulo desde la línea media de la sección; y a kb , al ancho de cada rectángulo k ésimo− como función de ky . Resultando así la figura de abajo:

Fig.33. - Cálculo del momento de inercia del perfil NACA. Con estas definiciones, pasamos a calcular el momento de inercia de esta sección de manera discreta y luego lo llevaremos al límite para un número de divisiones muy elevado:

2 2 2

1 1 1 1· · · · · · ; 1, 2,..., ; 1, 2,..., ;

2

n n n kzz

k k k k k jk k k j

I y b h h y b h y b k n j k= = = =

⎛ ⎞= ∆ = ∆ = ∆ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

En el límite:

2

1 1lim 2 1, 2,..., ; 1, 2,..., ;

n k

zz k jn k jI h y b k n j k

→∞= =

⎛ ⎞= ⋅∆ ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑


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Una vez programado esta cálculo, se realizaron pruebas para un número de divisiones

1n = ; obteniendo así el mismo momento de inercia que el rectángulo de dimensiones correspondientes. Tras otras comprobaciones (convergencia de la solución para un elevado número de divisiones) se pasó a calcular los momentos de inercia de cada tramo de la aleta que teníamos en un principio. (Ver anexos: “Código de la Función NACA.m” y “Código de la Función inercias.m”). El resultado fue el siguiente:

Tramo Número de la costilla de

dimensiones representativas del tramo

4( )xxI mm 2( )A mm

1 5 6606.00 926.43 2 7 5673.50 858.56 3 10 4220.50 740.50 4 12 3331.80 657.94 5 14 2519.80 572.17 6 17 1566.40 451.12 7 19 1070.40 372.93 8 20 867.70 335.76 9 21 683.39 297.97

10 22 516.01 258.92

Tabla.2. - Valores de los momentos de inercia y áreas de cada tramo. Estos valores fueron declarados en las propiedades geométricas en el modelo 1D de PATRAN y se obtuvo el resultado siguiente dejando el resto de restricciones iguales a la anterior simulación:

Fig.34. - Deformada de la simulación con la inercia corregida y carga = 300 N.


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El valor de esta simulación y sus valores intermedios, están muy próximo a los valores obtenidos experimentalmente en el laboratorio e igualmente lineales. Ahora bien, no podemos pasar por alto un detalle que llama la atención: la simulación nos devuelve que el nodo de mayor desplazamiento no es el nodo en el que aplicamos la carga, cosa lógica a la luz de la Resistencia de Materiales, debido a que las secciones van decreciendo con la coordenada x , y por tanto sus momentos de inercia. En otras palabras: los elementos más cercanos a 0x = son más rígidos a flexión que los que están más alejados. Esto se puede observar en la figura 30, en la que los elementos de menor cota x aparecen menos deformados y, en conjunto, se asemejan más a una recta; cosa que varía a medida que nos acercamos al apoyo de la derecha. La conclusión de todo esto es que para ser precisos, debemos pedirle a programa que nos muestre el desplazamiento del nodo equivalente al punto de medida en la máquina de ensayo del LERM:

50 N 100 N 150 N 200 N 250 N 300 N

Fig.35. - Detalle del desplazamiento del punto de medida para los distintos casos de carga. La figura anterior representa los valores del desplazamiento del punto de medida. Dado el carácter lineal de la simulación, los valores de carga intermedios son resultados redundantes. Aún así se ha decido poner para representar mejor las diferencias entre los valores de las simulaciones con diferentes inercias. De hecho, con toda esta información, podemos obtener una serie de gráficas de comparación en las que podemos ver la evolución de los resultados obtenidos en las simulaciones a medida que hemos ido refinando el cálculo de los momentos de inercia de cada tramo de la aleta. Se observa como la última simulación se ajusta bastante bien a la curva del ensayo.


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0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

250

300


Car

ga, q

[N]

Comparación entre LERM y las tres simulaciones en Patran-Nastran

Ensayo LERM

Sim.-1 (Rectángulos)

Sim.-2 (Inercias 35%)

Sim.-3 (Últimas inercias)

Fig.36. - Comparativa entre las simulaciones y el ensayo a flexión en el LERM.

Si nos centramos más en la última simulación, podemos representar una gráfica que recoja la diferencia entre el desplazamiento del nodo de mayor desplazamiento y lo que se desplaza el nodo de medida en el ensayo. El resultado se representa más abajo, en el que el ajuste de las curvas es aparentemente bueno. Para cuantificarlo hemos representado los errores cometidos por la simulación usando la curva del ensayo como curva patrón. Si nos fijamos en cómo evoluciona el error del punto de medida, nos damos cuenta que: a mayor carga, el error disminuye. Esto puede deberse a que, primeramente, esto es un modelo simplificado monodimensional con propiedades de materiales equivalente, y en segundo lugar, a pequeños desplazamientos absorbidos por las almohadillas de goma de los apoyos del útil ensayado. Como vemos, a medida que la carga aumenta, este último efecto disminuye y cobran importancia los del propio comportamiento de la aleta. Con una carga superior a los 80 N (≈ 8 kg de masa) el error se mantiene por debajo del 5%. Para valores de carga significativos ( 180 N, unos 18 kg de masa) el error evoluciona por debajo del 2%.


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0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50

100

150

200

250

300


Car

ga, q

[N]

Comparación Ensayo y Simulación. Modelo 1D

Ensayo LERM

Nodo 2: Medida

Máx. Desp.

0 50 100 150 200 250-10

-5

0

5

10

Carga, q [N]

Erro

r y D

esvi

ació

n [%

]

Evolución del desplazamiento. Error entre ensayo y simulación; y desviación respecto del punto de mayor desplazamiento.

error [%]desviación [%]

Fig.37. - Última simulación y ensayo en el LERM. Evolución del punto de medida y el nodo de mayor desplazamiento. Errores en las simulaciones y evolución de la desviación del nodo de mayor desplazamiento respecto del nodo de medida. Si nos fijamos en la curva que experimenta la desviación del desplazamiento del nodo de mayor desplazamiento, vemos que tiene una evolución que pasa de valores negativos a valores positivos, asintóticamente. Esto quiere decir que para cargas menores de 150 N, el nodo de máximo desplazamiento posee una flecha menor que el punto de medida del ensayo; y viceversa para valores de carga superiores a 150 N. Esto nos da una idea de cómo se posicionan los valores de la simulación frente al ensayo. En cualquier caso, esta desviación, ya sea positiva o negativa, en ningún momento excede del 6% en términos absolutos, lo cual nos hace pensar que hemos dado con un modelo unidimensional (1D) simplificado bastante fiel a la realidad.

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