BACHILLERATO INTERNACIONAL NIVEL SUPERIOR (Segundo …

BACHILLERATO INTERNACIONAL

NIVEL SUPERIOR (Segundo año)

2º de Bachillerato Ciencias y Tec.

I.E.S. ROSA CHACEL

COLMENAR VIEJO

CURSO 2018-2019

IES Rosa Chacel. Dpto. de Matemáticas. Matemáticas BI-NS 2º Bach. 2018-2019

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ÍNDICE

1. OBJETIVOS ................................................................................................ 3 2. CONTENIDOS Y TEMPORALIZACIÓN ...................................................... 9 3. CONTRIUBUCIÓN DE LA ASIGNATURA A LA CONSECUACIÓN DE LAS COMPETENCIAS CLAVE ............................... 17 4. METODOLOGÍA DIDÁCTICA ...................................................................... 19 5. MATERIALES, TEXTOS Y RECURSOS DIDÁCTICOS .............................. 22 6. CRITERIOS DE EVALUACIÓN ................................................................... 23 7. PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN ......................... 29 8. SISTEMA DE RECUPERACIÓN DE EVALUACIONES PENDIENTES ....... 32 9. RECUPERACIÓN DE ALUMNOS CON LA MATERIA PENDIENTE ........... 33 10. EVALUACIÓN DE ALUMNOS QUE PIERDEN EL DERECHO A LA EVALUACIÓN CONTINUA ................................................................ 34 11. PRUEBA EXTRAORDINARIA DE JUNIO ................................................. 35 12. PROCEDIMIENTO DE INFORMACIÓN A LAS FAMILIAS........................ 36 13. MEDIDAS ORDINARIAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD .................. 40 14. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES ............... 41 15. ACTIVIDADES DE FOMENTO DE LA LECTURA ..................................... 43 16. PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA DOCENTE ...... 44


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1. OBJETIVOS

Este curso está destinado a alumnos con una buena formación matemática que poseen una serie de destrezas analíticas y técnicas. Para la mayoría de estos alumnos, las matemáticas constituirán uno de los componentes fundamentales de sus estudios universitarios, como materia en sí misma o en áreas tales como la física, la ingeniería y la tecnología. Para otros la elección puede deberse a que tengan un gran interés por las matemáticas, les atraigan sus desafíos y disfruten con la resolución de los problemas que se plantean.

El curso se centra en el desarrollo de importantes conceptos matemáticos de forma comprensible, coherente y rigurosa. Ello se consigue mediante un enfoque cuidadosamente equilibrado. Se pretende que los alumnos apliquen sus conocimientos matemáticos a la resolución de problemas extraídos de una diversidad de contextos.

En el desarrollo de los temas se debe dar importancia a la justificación y la demostración de los resultados. Los alumnos que elijan este curso lograrán desarrollar su comprensión de las formas y las estructuras matemáticas y han de estar capacitados para apreciar las relaciones entre conceptos pertenecientes a distintos temas.

También se les debe animar a desarrollar las destrezas necesarias para continuar su formación matemática en otros ámbitos de aprendizaje.

El componente de la evaluación interna, la exploración, ofrece a los alumnos una oportunidad para el desarrollo de su aprendizaje matemático de forma independiente. Se anima a que los alumnos adopten un enfoque reflexivo respecto a diversas actividades matemáticas y que exploren distintas ideas matemáticas. La exploración también permite que los alumnos trabajen sin las limitaciones de tiempo de los exámenes escritos y que desarrollen las destrezas necesarias para exponer ideas matemáticas.

Este es un curso muy exigente, donde los alumnos deben estudiar una amplia variedad de temas matemáticos a través de distintos enfoques y con distintos niveles de profundidad.

Estos alumnos cursarán de forma conjunta Matemáticas Nivel Superior (segundo año) de Bachillerato Internacional y Matemáticas II de bachillerato LOMCE.


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Objetivos específicos de cada unidad:

UNIDAD 1: DERIVADAS

Conocer la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en

un punto y saber calcular la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una curva en un punto.

Saber calcular la función derivada de las funciones elementales y de las obtenidas mediante operaciones algebraicas de las elementales.

Saber aplicar correctamente la regla de la cadena para calcular la función derivada de funciones obtenidas por composición de funciones elementales.

Aprender a calcular diferenciales, comprender su significado geométrico y saber hacer uso de esta herramienta matemática para realizar ciertos cálculos numéricos de forma aproximada.

UNIDAD 2: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. REPRESENTACIÓN

GRÁFICA DE FUNCIONES

Comprender y saber determinar las derivadas laterales de una función en un punto.

Aprender a resolver límites indeterminados por aplicación de la regla de L’Hôpital.

Utilizar las derivadas primera y segunda de una función para determinar con ellas los intervalos de monotonía, de curvatura y los extremos relativos.

Plantear y resolver problemas de optimización con la herramienta de la función derivada y la determinación de los intervalos de monotonía.

Conocer y utilizar el procedimiento general para estudiar y representar gráficamente funciones.

Deducir la forma de la gráfica de una función cuando a la función se le aplican transformaciones de diferentes tipos: traslaciones, contracciones, dilataciones, cambio de signo, etc.

Representar las gráficas de las funciones: –f (x), f (x) + k, f (x+c), a·f (x), f (k·x), |f (x)|, f (|x|) cuando se conoce la gráfica de la función f (x).

UNIDAD 3: INTEGRAL INDEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Calcular primitivas de funciones elementales que cumplan unas determinadas condiciones.

Aplicar correctamente y en los casos apropiados el método de integración por partes.

Descomponer las funciones racionales de la forma en fracciones simples para después hallar una primitiva de las mismas. )( ) ( xQ x P

Encontrar las transformaciones necesarias, y los cambios de variable oportunos para convertir una integral en inmediata y poder así resolverla.


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UNIDAD 4. INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

Obtener sumas de Riemann de una función continua cualquiera en un intervalo [a, b].

Aplicar la regla de Barrow para obtener el resultado de integrales definidas de funciones continuas de las que se conoce una primitiva.

Derivar funciones dadas bajo el signo integral por aplicación del teorema fundamental del cálculo.

Aplicar el concepto de integral definida a la resolución de problemas geométricos o de otras ciencias.

UNIDAD 5: ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales mediante campos de direcciones. Isoclinas.

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante el método de Euler.

Método de variables separadas para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones diferenciales homogéneas.

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante el método del factor integrante.

UNIDAD 6: SERIES INFINITAS

Sucesiones infinitas de números reales. Convergencia de sucesiones.

Definición de serie infinita. Sucesión de sumas parciales.

Criterios de convergencia de series: criterio de comparación, criterio de comparación del límite, criterio de D’Alembert y criterio de la integral de Cauchy.

P- series: definición y convergencia.

Convergencia absoluta y convergencia condicional.

Series alternadas.

UNIDAD 7: SERIES DE POTENCIAS

Series de potencias: radio e intervalo de convergencia.

Criterio de D’Alembert para el cálculo del radio de convergencia.

Polinomio de Taylor. Expresión de Lagrange para el resto.

Desarrollo en serie de Maclaurin de ex, senx, cosx, ln(1+x) y (1+x)p con p un nº racional.

Obtención de series mediante sustitución, productos, integración y derivación.

Series de Taylor a partir de ecuaciones diferenciales.


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UNIDAD 8: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES

Obtener e interpretar los parámetros estadísticos de una distribución unidimensional, efectuando representaciones adecuadas.

UNIDAD 9: COMBINATORIA

Conocer técnicas de recuento, bien mediante métodos sistemáticos o mediante el uso de la combinatoria.

Diferenciar las variaciones, las permutaciones y las combinaciones, y calcular el número de variaciones, permutaciones o combinaciones, sin y con repetición.

UNIDAD 10: PROBABILIDAD

Dar a conocer el álgebra de sucesos y mostrar los convenios de notación y cálculo en las operaciones con sucesos.

Dotar a los alumnos de conceptos y herramientas que puedan utilizar para calcular la probabilidad de un suceso relativo a una experiencia aleatoria.

Determinar probabilidades de sucesos en experimentos compuestos y discernir entre sucesos dependientes e independientes.

UNIDAD 11: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Desarrollar los conceptos asociados a las distribuciones discretas de probabilidad.

Desarrollar los conceptos asociados a las distribuciones continuas de probabilidad.

Obtener probabilidades a través de las funciones de probabilidad o de distribución de

las variables aleatorias B(n, p) y N(, ).

UNIDAD 12: MATRICES

Utilizar las matrices como forma de representar y transmitir información.

Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y propiedades.

Conocer el significado del rango de una matriz o de una familia de vectores, saber calcularlo y aplicarlo.

Saber determinar si una matriz es invertible y, en caso de que lo sea, saber calcular su inversa aplicando la definición o utilizando el método de Gauss-Jordan.

Utilizar las matrices en la resolución de problemas geométricos.

UNIDAD 13: DETERMINANTES

Conocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y saber calcular su valor para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3.

Conocer la regla de Sarrus y aplicarla en el cálculo de determinantes de orden 3.


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Conocer las propiedades de los determinantes y utilizarlas en la simplificación del cálculo de determinantes de matrices de orden mayor o igual a 3.

Utilizar los determinantes en el cálculo matricial.

UNIDAD 14: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

Conocer la regla de Cramer y utilizarla, cuando sea posible, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.Conocer el teorema de Rouché y utilizarlo en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Comprender la interpretación geométrica de los sistemas de dos ecuaciones lineales.

Determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro y resolverlos en los casos en que sea compatible.

Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para plantear y resolver problemas en diversos contextos.

UNIDAD 15. VECTORES EN EL ESPACIO

Comprender y manejar adecuadamente los conceptos de combinación lineal y de independencia lineal para poder expresar un vector en función de los vectores de una base y determinar sus coordenadas.

Efectuar correctamente el producto escalar de vectores y aplicar esta operación para resolver problemas de ortogonalidad, y para calcular el módulo de un vector y el ángulo que determinan dos vectores

Efectuar correctamente el producto vectorial y el mixto con vectores de V3 y comprender su interpretación geométrica para aplicarlos a la resolución de problemas métricos.

UNIDAD 16. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Determinar las coordenadas del punto que verifica ciertas condiciones según su posición en el espacio.

Aprender a determinar de distintas formas la ecuación de la recta y el plano y, recíprocamente, a reconocer los puntos y las direcciones de las rectas y los planos mediante su ecuación.

Conocer y comprender la determinación normal del plano y sus aplicaciones a los problemas de perpendicularidad y proyecciones ortogonales.

Reconocer la posición relativa de rectas y planos en el espacio y manejar correctamente los conceptos de incidencia, paralelismo e intersección.

UNIDAD 17. PROPIEDADES MÉTRICAS

Aprender a calcular ángulos entre dos rectas, dos planos o una recta y un plano.


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Determinar condiciones de perpendicularidad para obtener las proyecciones ortogonales de rectas y puntos sobre un plano, o de puntos sobre una recta.

Saber calcular la distancia entre los diferentes elementos geométricos (puntos, rectas y planos).

Saber calcular el área y el volumen de las figuras más elementales (triángulo, paralelogramo, tetraedro y paralelepípedo).


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2. CONTENIDOS Y TEMPORALIZACIÓN

Contenidos exigidos en el B.O.E ( REAL DECRETO 1105/2014) para la asignatura Matemáticas II de 2º de bachillerato

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas.

Planificación del proceso de resolución de problemas. Estrategias y procedimientos

puestos en práctica: relación con otros problemas conocidos, modificación de variables,

suponer el problema resuelto. Soluciones y/o resultados obtenidos: coherencia de las

soluciones con la situación, revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución,

problemas parecidos, generalizaciones y particularizaciones interesantes. Iniciación a la

demostración en matemáticas: métodos, razonamientos, lenguajes, etc. Métodos de

demostración: reducción al absurdo, método de inducción, contraejemplos, razonamientos

encadenados, etc. Razonamiento deductivo e inductivo Lenguaje gráfico, algebraico, otras

formas de representación de argumentos. Elaboración y presentación oral y/o escrita de

informes científicos sobre el proceso seguido en la resolución de un problema o en la

demostración de un resultado matemático. Realización de investigaciones matemáticas a

partir de contextos de la realidad o contextos del mundo de las matemáticas. Elaboración y

presentación de un informe científico sobre el proceso, resultados y conclusiones del

proceso de investigación desarrollado. Práctica de los proceso de matematización y

modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos. Confianza en las

propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias

del trabajo científico. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje

para: a) la recogida ordenada y la organización de datos; b) la elaboración y creación de

representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos; c) facilitar la

comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo

numérico, algebraico o estadístico; d) el diseño de simulaciones y la elaboración de

predicciones sobre situaciones matemáticas diversas; e) la elaboración de informes y

documentos sobre los procesos llevados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidos.

f) comunicar y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.

Bloque 2. Números y Álgebra

Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados

en tablas y grafos. Clasificación de matrices. Operaciones. Aplicación de las operaciones

de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos

reales. Determinantes. Propiedades elementales. Rango de una matriz. Matriz inversa.

Representación matricial de un sistema: discusión y resolución de sistemas de ecuaciones

lineales. Método de Gauss. Regla de Cramer. Aplicación a la resolución de problemas.


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Bloque 3. Análisis.

Límite de una función en un punto y en el infinito. Continuidad de una función. Tipos de

discontinuidad. Teorema de Bolzano. Función derivada. Teoremas de Rolle y del valor

medio. La regla de L’Hôpital. Aplicación al cálculo de límites. Aplicaciones de la

derivada: problemas de optimización. Primitiva de una función. La integral indefinida.

Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. La integral definida. Teoremas del

valor medio y fundamental del cálculo integral. Aplicación al cálculo de áreas de regiones

planas.

Bloque 4. Geometría

Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado

geométrico. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Posiciones relativas

(incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos). Propiedades métricas

(cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes).

Bloque 5. Estadística y Probabilidad

Sucesos. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir de

su frecuencia relativa. Axiomática de Kolmogorov. Aplicación de la combinatoria al

cálculo de probabilidades. Experimentos simples y compuestos. Probabilidad

condicionada. Dependencia e independencia de sucesos. Teoremas de la probabilidad total

y de Bayes. Probabilidades iniciales y finales y verosimilitud de un suceso. Variables

aleatorias discretas. Distribución de probabilidad. Media, varianza y desviación típica.

Distribución binomial. Caracterización e identificación del modelo. Cálculo de

probabilidades. Distribución normal. Tipificación de la distribución normal. Asignación de

probabilidades en una distribución normal. Cálculo de probabilidades mediante la

aproximación de la distribución binomial por la normal

Contenidos exigidos en el BI para la asignatura Matemáticas NS del programa del Diploma:

Se adjunta en un anexo el documento “Guía Matemáticas NS.pdf”, donde se puede ver la descripción detallada del programa de la asignatura.

Para poder conjugar los dos programas, el bloque de análisis comenzará donde se dejó el curso anterior, por lo que no se vuelve a ver límites, continuidad y derivadas este año.


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BLOQUE IV. ANÁLISIS II (45 horas) 11. INTEGRALES (15 horas)

Función primitiva e integral indefinida.

Tabla de integrales inmediatas.

Propiedades de la integral indefinida.

Integración por partes.

Integración por cambio de variable.

Integración de funciones racionales.

Integrales de algunas funciones trigonométricas.

Área bajo una curva.

Integral definida. Propiedades.

Teorema fundamental del cálculo.

Regla de Barrow.

Área bajo una curva. Área entre dos curvas.

Volúmenes de revolución.

Distribuciones de probabilidad de variable continua 12. SUCESIONES Y SERIES (15 horas)

Sucesiones infinitas de números reales. Convergencia de sucesiones.

Definición de serie infinita. Sucesión de sumas parciales.

Criterios de convergencia de series: criterio de comparación, criterio de comparación del límite, criterio de D’Alembert y criterio de la integral de Cauchy.

P- series: definición y convergencia.

Convergencia absoluta y convergencia condicional.

Series alternadas.

Series de potencias: radio e intervalo de convergencia.

Criterio de D’Alembert para el cálculo del radio de convergencia.

Polinomio de Taylor. Expresión de Lagrange para el resto.

Desarrollo en serie de Maclaurin de ex, senx, cosx, ln(1+x) y (1+x)p con p un nº racional.

Obtención de series mediante sustitución, productos, integración y derivación.

Series de Taylor a partir de ecuaciones diferenciales.

13. ECUACIONES DIFERENCIALES (15 horas)

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales mediante campos de direcciones. Isoclinas.

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante el método de Euler.

Método de variables separadas para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones diferenciales homogéneas.

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante el método del factor integrante.


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BLOQUE V. ÁLGEBRA (27 horas)

14. MATRICES (9 horas)

Definición de matriz. Tipos de matrices.

Operaciones con matrices. Suma y producto por un número real.

Producto de matrices.

Matriz inversa.

Dependencia e independencia lineal de vectores.

Rango de una matriz. Cálculo del rango por el método de Gauss.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss.

Aplicaciones de las matrices. 15. DETERMINANTES (9 horas)

Determinantes de orden 2 y orden 3.

Determinante de una matriz cuadrada de orden n.

Propiedades de los determinantes.

Matriz adjunta.

Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea.

Cálculo de la matriz inversa.

Cálculo del rango por determinantes.

Matrices dependientes de parámetros.

Ecuaciones matriciales.

16. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (9 horas)

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Solución de un sistema. Sistemas equivalentes.

Resolución de un sistema lineal por el método de Gauss.

Resolución de un sistema mediante la matriz inversa. Regla de Cramer.

Teorema de Rouché-Frobenius.

Sistemas homogéneos.

Interpretación geométrica de los sistemas lineales.

Sistemas dependientes de parámetros.


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BLOQUE VI. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (27 horas) 17. VECTORES EN EL ESPACIO (9 horas)

Vectores fijos y vectores libres en el espacio.

Operaciones con vectores libres. El espacio vectorial V3.

Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases de V3.

Coordenadas de un vector.

Producto escalar de dos vectores.

Módulo de un vector.

Ángulo entre dos vectores.

Producto vectorial de dos vectores.

Producto mixto de tres vectores. 18. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO (9 horas)

Sistemas de referencia en el espacio.

Ecuación vectorial de una recta.

Otras ecuaciones de la recta.

Ecuación vectorial de un plano.

Ecuación normal y ecuación general de un plano.

Posiciones relativas de rectas y planos. 19. PROPIEDADES MÉTRICAS (9 horas)

Ángulo entre dos rectas. Ángulo entre dos planos. Ángulo entre recta y plano.

Proyección ortogonal de un punto y de una recta sobre un plano.

Distancia entre dos puntos.

Distancia de un punto a un plano. Distancia entre dos planos paralelos.

Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas.

Distancia entre dos rectas que se cruzan.

Perpendicular común a dos rectas.

Área de un paralelogramo. Área de un triángulo.

Volumen de un paralelepípedo. Volumen de un tetraedro.


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BLOQUE VII. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (23 horas) 20. ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL (4 horas)

Individuo, población, muestra, caracteres, variables (cualitativas, cuantitativas, discretas, continuas).

Identificación y elaboración de gráficos estadísticos.

Elaboración de tablas de frecuencias.

Con datos aislados.

Con datos agrupados sabiendo elegir los intervalos

Media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

21. COMBINATORIA Y PROBABILIDAD (10 HORAS)

Estrategias para enfocar y resolver problemas de combinatoria.

Generalización para obtener el número total de posibilidades en las situaciones de combinatoria.

Diagramas en árbol para calcular las posibilidades combinatorias de diferentes situaciones problemáticas.

Variaciones con repetición. Identificación y fórmula.

Variaciones ordinarias. Identificación y fórmula.

Permutaciones ordinarias como variaciones de n elementos tomados de n en n.

Identificación de situaciones problemáticas que pueden resolverse por medio de combinaciones. Fórmula.

Números combinatorios. Propiedades.

Resolución de problemas combinatorios por cualquiera de los métodos descritos u otros propios del estudiante.

Sucesos. Álgebra de sucesos

Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace y a partir

de su frecuencia relativa.

Definición axiomática de Kolmogorov.

Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades.

Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e

independencia de sucesos. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Probabilidades iniciales y finales y verosimilitud de un suceso.


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22. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (12 horas)

Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad. Media, varianza y

desviación típica. Distribución binomial. Caracterización e identificación del

modelo.

Variables aleatorias continuas. Función de densidad, media, varianza y

desviación típica. Cálculo de probabilidades. Distribución normal. Tipificación de

la distribución normal. Asignación de probabilidades en una distribución normal.

Cálculo de probabilidades mediante la aproximación de la distribución binomial

por la normal


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TEMPORALIZACIÓN MATEMÁTICAS BI-NS (2º AÑO) CURSO 2018-2019

L M X J V S D T

EM

PO

RA

LIZ

AC

IÓN

201

8-

201

9

Repaso de derivadas y aplicaciones 10 11 12 13 14 15 16

SEPTIEMBRE 17 18 19 20 21 22 23

11. Integrales (15 horas)

24 25 26 27 28 29 30

1 2 3 4 5 6 7

OCTUBRE 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

12. Sucesiones y series (15 horas)

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 1 2 3 4

NOVIEMBRE 5 6 7 8 9 10 11

13. Ecuaciones diferenciales (15 horas)

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 1 2

DICIEMBRE

14. Matrices (10 h) 3 4 5 6 7 8 9

12 13 12 13 14 15 16

15. Determinantes (5 h) 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

31 1 2 3 4 5 6

ENERO 16. Sistemas de ecuaciones lineales (15 h)

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

17. Vectores en el espacio (9 h) 28 29 30 31 1 2 3

FEBRERO 4 5 6 7 8 9 10

18. Rectas y planos en el espacio (10 h) 11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

19. Problemas métricos. (12 h) 25 26 27 28 1 2 3

MARZO

4 5 6 7 8 9 10 20. Repaso de estadística (2 h) 11 12 13 14 15 16 17

21. Combinatoria. Probabilidad (12 h) 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

22. Distribuciones de probabilidad (10 h). 1 2 3 4 5 6 7

ABRIL 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 Exámenes finales 22 23 24 25 26 27 28

Exámenes BI

29 30 1 2 3 4 5

MAYO

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

Preparación acceso a la universidad. Prueba extraordinaria

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 1 2

3 4 5 6 7 8 9

JUNIO 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23


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3. CONTRIBUCIÓN DE LA ASIGNATURA A LA CONSECUCIÓN DE LAS COMPETENCIAS CLAVE

Tal y como se describe en la LOMCE, todas las áreas o materias del currículo deben participar en el desarrollo de las distintas competencias del alumnado. Estas, de acuerdo con las especificaciones de la ley, son:

1.º Comunicación lingüística.

2.º Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.

3.º Competencia digital.

4.º Aprender a aprender.

5.º Competencias sociales y cívicas.

6.º Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor.

7.º Conciencia y expresiones culturales.

En el proyecto de Matemáticas II, tal y como sugiere la ley, se ha potenciado el desarrollo de las competencias de comunicación lingüística, competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología; además, para alcanzar una adquisición eficaz de las competencias y su integración efectiva en el currículo, se han incluido actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Para valorarlos, se utilizarán los estándares de aprendizaje evaluables, como elementos de mayor concreción, observables y medibles, se pondrán en relación con las competencias clave, permitiendo graduar el rendimiento o el desempeño alcanzado en cada una de ellas.

La materia de Matemáticas II utiliza una terminología formal que permitirá al alumnado incorporar este lenguaje a su vocabulario, y utilizarlo en los momentos adecuados con la suficiente propiedad. Asimismo, la comunicación de los resultados de las actividades y/o problemas y otros trabajos que realicen favorece el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística.

La competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología son las competencias fundamentales de la materia. Para desarrollar esta competencia, el alumnado aplicará estrategias para definir problemas, resolverlos, diseñar pequeñas investigaciones, elaborar soluciones, analizar resultados, etc. Estas competencias son, por tanto, las más trabajadas en la materia.

La competencia digital fomenta la capacidad de buscar, seleccionar y utilizar información en medios digitales, además de permitir que el alumnado se familiarice con los diferentes códigos, formatos y lenguajes en los que se presenta la información científica (datos estadísticos, representaciones gráficas, modelos geométricos...). La utilización de las tecnologías de la información y la comunicación en el aprendizaje de las ciencias para comunicarse, recabar información, retroalimentarla, simular y visualizar situaciones, para la obtención y el tratamiento de datos, etc., es un recurso útil en el campo de las matemáticas que contribuye a mostrar una visión actualizada de la actividad científica.

La adquisición de la competencia para aprender a aprender se fundamenta en esta asignatura en el carácter instrumental de muchos de los conocimientos científicos. Al mismo tiempo, operar con modelos teóricos fomenta la imaginación, el análisis, las dotes de observación, la iniciativa, la creatividad y el espíritu crítico, lo que favorece el aprendizaje autónomo. Además, al ser una asignatura progresiva, el alumnado adquiere la capacidad de relacionar los contenidos aprendidos durante anteriores etapas con lo que va a ver en el presente curso y en el próximo.


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Esta asignatura favorece el trabajo en grupo, donde se fomenta el desarrollo de actitudes como la cooperación, la solidaridad y el respeto hacia las opiniones de los demás, lo que contribuye a la adquisición de las competencias sociales y cívicas. Así mismo, el conocimiento científico es una parte fundamental de la cultura ciudadana que sensibiliza de los posibles riesgos de la ciencia y la tecnología y permite formarse una opinión fundamentada en hechos y datos reales sobre el avance científico y tecnológico.

El sentido de iniciativa y espíritu emprendedor es básico a la hora de llevar a cabo el método científico de forma rigurosa y eficaz, siguiendo la consecución de pasos desde la formulación de una hipótesis hasta la obtención de conclusiones. Es necesaria la elección de recursos, la planificación de la metodología, la resolución de problemas y la revisión permanente de resultados. Esto fomenta la iniciativa personal y la motivación por un trabajo organizado y con iniciativas propias.

La aportación matemática se hace presente en multitud de producciones artísticas, así como sus estrategias y procesos mentales fomentan la conciencia y expresión cultural de las sociedades. Igualmente el alumno, mediante el trabajo matemático podrá comprender diversas manifestaciones artísticas siendo capaz de utilizar sus conocimientos matemáticos en la creación de sus propias obras.


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4. METODOLOGÍA DIDÁCTICA

A lo largo del curso de Matemáticas NS del Programa del Diploma, se debe animar a los alumnos a desarrollar su comprensión de la metodología y práctica de esta disciplina. Se deben introducir de forma adecuada los procesos de indagación matemática, utilización de modelos matemáticos y el uso de la tecnología. Estos procesos deben utilizarse a lo largo de todo el curso, y no tratarlos de modo aislado.

Indagación matemática

El perfil de la comunidad de aprendizaje del IB fomenta el aprendizaje a través de la experimentación, el cuestionamiento y el descubrimiento. En las clases del IB, los alumnos deben, por lo general, aprender matemáticas por medio de la participación activa en actividades de aprendizaje, en lugar de ser receptores de la enseñanza. Los profesores deben pues proporcionar a los alumnos oportunidades de aprender a través de la indagación matemática. Este enfoque está ilustrado en la figura 2.

Utilización de modelos matemáticos

Los alumnos han de ser capaces de utilizar las matemáticas para resolver problemas de la vida real. Interesar a los alumnos en el proceso de utilización de modelos matemáticos


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proporciona tales oportunidades. Los alumnos deben desarrollar modelos, aplicarlos y analizarlos de modo crítico. Este enfoque está ilustrado en la figura 3.

Figura 3

Tecnología

La tecnología es una herramienta poderosa en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se puede utilizar para potenciar la visualización y ayudar al alumno a comprender conceptos matemáticos. Puede ser útil en la recopilación, registro, organización y análisis de datos. También permite incrementar el ámbito de los tipos de problemas accesibles a los alumnos. El uso de la tecnología aumenta la viabilidad para que los alumnos trabajen en contextos de problemas interesantes donde reflexionan, razonan, resuelven problemas y toman decisiones.

Los profesores deben comenzar por proporcionar una orientación sustancial al ligar los temas vinculantes de la indagación matemática, la utilización de modelos matemáticos y el uso de la tecnología, y animar después gradualmente a los alumnos a hacerse más independientes como indagadores y como pensadores. Los alumnos del IB deben aprender a convertirse en sólidos comunicadores en el lenguaje de las matemáticas. Los profesores deben crear un entorno de aprendizaje seguro en el que los alumnos se sientan cómodos al asumir riesgos.

Se anima a que los profesores relacionen las matemáticas objeto de estudio con otras asignaturas y con la vida real, en especial con temas de especial importancia e interés para los alumnos. Se deben incorporar a las clases las cuestiones y los problemas cotidianos para motivar a los alumnos y que los materiales mantengan su pertinencia.. La exploración matemática ofrece una oportunidad de investigar la utilidad, la pertinencia y la presencia de


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las matemáticas en la vida cotidiana y añade una dimensión más al curso. La comunicación se debe basar en formas matemáticas (por ejemplo, fórmulas, diagramas, gráficos, etc.), acompañadas de los comentarios pertinentes. La utilización de modelos, la investigación, la reflexión, la implicación personal y la comunicación matemática deben ser, por tanto, características destacadas en la clase de matemáticas del Programa del Diploma.


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5. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS

Libro de texto de referencia: Matemáticas II. Editorial SM. Autores: Fernando Alcalde y otros.

Libros de Matemáticas Nivel Superior para Bachillerato Internacional.

Todos los materiales didácticos, como hojas de ejercicios, exámenes resueltos (tanto de las pruebas de selectividad como de los exámenes del BI), tareas, presentaciones, etc. estarán subidos al Aula Virtual Moodle.

Programas informáticos: Wiris, Geogebra, Excel/Calc.

Calculadora gráfica: Todos los alumnos disponen de la misma: CASIO fx-9750GII En este curso los alumnos pueden empezar a usar textos universitarios básicos, especialmente para la unidad opcional del BI: Análisis


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6. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Los criterios de evaluación de la asignatura de matemáticas según el DECRETO 1105/2014 son: Bloque I: Procesos, método y actitudes en matemáticas. 1. Expresa verbalmente de forma razonadda el proceso seguido en la resolución de un problema. 2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas. 3. Realizar demostraciones sencillas de propiedades o teoremas relativos a contenidos algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos. 4. Elaborar un informe científico escrito que sirva para comunicar las ideas matemáticas surgidas en la resolución de un problema o en una demostración, con el rigor y la precisión adecuados. 5. Planificar adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado. 6. Practicar estrategias para la generación de investigaciones matemáticas, a partir de: a) la resolución de un problema y la profundización posterior; b) la generalización de propiedades y leyes matemáticas; c) Profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; concretando todo ello en contextos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos. 7. Elaborar un informe científico escrito que recoja el proceso de investigación realizado, con el rigor y la precisión adecuados. 8. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones de la realidad. 9. Valorar la modelización matemática como un recurso para resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos utilizados o construidos. 10. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático. 11. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas. 12. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras. 13. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas. 14. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiendo éstos en entornos apropiados para facilitar la interacción. Bloque II: Números y Álgebra: 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices para describir e interpretar datos y relaciones en la resolución de problemas diversos. 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones), interpretando críticamente el significado de las soluciones.


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Bloque III: Análisis 1. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo, aplicando los resultados que se derivan de ello. 2. Aplicar el concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica y el cálculo de derivadas al estudio de fenómenos naturales, sociales o tecnológicos y a la resolución de problemas geométricos, de cálculo de límites y de optimización. 3. Calcular integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas básicas para el cálculo de primitivas. 4. Aplicar el cálculo de integrales definidas en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables y, en general, a la resolución de problemas. Bloque IV: Geometría: 1. Resolver problemas geométricos espaciales, utilizando vectores. 2. Resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos utilizando las distintas ecuaciones de la recta y del plano en el espacio. 3. Utilizar los distintos productos entre vectores para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes, calculando su valor y teniendo en cuenta su significado geométrico. Bloque V: Estadística y probabilidad. 1. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos (utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes técnicas de recuento y la axiomática de la probabilidad), así como a sucesos aleatorios condicionados (Teorema de Bayes), en contextos relacionados con el mundo real. 2. Identificar los fenómenos que pueden modelizarse mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal calculando sus parámetros y determinando la probabilidad de diferentes sucesos asociados. 3. Utilizar el vocabulario adecuado para la descripción de situaciones relacionadas con el azar y la estadística, analizando un conjunto de datos o interpretando de forma crítica informaciones estadísticas presentes en los medios de comunicación, en especial los relacionados con las ciencias y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones.

Los criterios de evaluación seleccionados por el departamento por unidades didácticas están basados en el (DECRETO 1105/2014) para la signatura matemáticas II de segundo de bachillerato y en la Guía de Matemáticas NS del BI:

UNIDAD 11: INTEGRALES

Hallar una función de la que se conoce su derivada y un punto de su gráfica.

Resolver problemas elementales de cinemática por la aplicación del cálculo integral.

Resolver por partes las integrales de funciones

Resolver, por reiteración del método de integración por partes

Calcular integrales de funciones racionales con raíces reales, simples y múltiples, en el denominador.

Efectuar la descomposición y las integrales de funciones racionales con raíces complejas simples en el denominador.

Efectuar transformaciones sencillas en la función integrando para transformar las integrales en inmediatas.

Resolver integrales, especialmente trigonométricas, por cambio de variable.


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Hallar la suma de Riemann en un intervalo [a, b] de una función lineal.

Obtener su

Resolver integrales definidas de funciones de las que se obtenga una primitiva de forma inmediata.

Resolver integrales definidas en las que haya que utilizar la propiedad de aditividad del intervalo.

Derivar funciones integrales

Calcular el área del recinto limitado por una curva y el eje de abscisas, o por dos curvas.

Hallar el volumen de un cuerpo de revolución.

Calcular longitudes de arcos.

Resolver mediante integral definida problemas relacionados con otras ciencias y en especial con la Física.

UNIDAD 12: SUCESIONES Y SERIES INFINITAS (15 horas)

Conocer y aplicar la definición de sucesión convergente.

Conocer la definición de suma parcial de una serie infinita.

Calcular la suma de series geométricas.

Calcular la suma de series telescópicas sencillas por descomposición en fracciones simples.

Conocer y aplicar las p-series

Conocer y aplicar correctamente el criterio de comparación de series

Conocer y aplicar correctamente el criterio de comparación del límite.

Conocer y aplicar correctamente el criterio de D’Alembert.

Conocer y aplicar correctamete el criterio de la integral de Cauchy.

Distinguir si una serie dada es absolutamente o condicionalmente convergente.

Reconocer una serie de potencias.

Calcular el radio de convergencia de una serie de potencias

Calcular el intervalo de convergencia de una serie de potencias

Calcular el polinomio de Taylor de una función

Calcular y acotar el resto en un polinomio de Taylor utilizando la expresión de Lagrange.

Conocer y aplicar el desarrollo en serie de Maclaurin.

Obtener nuevas series a partir de otras conocidas mediante sustitución, producto, derivación o integración.

Obtener series de Taylor a partir de ecuaciones diferenciales.

UNIDAD 13: ECUACIONES DIFERENCIALES

Reconocer las ecuaciones diferenciales de primer orden

Calcular un campo de direcciones y varías isóclinas de una ecuación diferencial.

Resolver ecuaciones diferenciales por el método de Euler.

Aplicar el método de variables separadas para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Distinguir y resolver ecuaciones diferenciales homogéneas mediante el cambio y = vx.

Resolver ecuaciones diferenciales mediante el método del factor integrante.


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UNIDAD 14: MATRICES

Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que conllevan datos estructurados en forma de tablas o grafos.

Realizar sumas y productos de matrices entre sí y por números reales.

Realizar operaciones combinadas con matrices. Resolver ecuaciones matriciales sencillas.

Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de Gauss.

Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.

Determinar si un conjunto de vectores fila o columna son linealmente dependientes o independientes.

Determinar si una matriz cuadrada es o no invertible mediante el cálculo de su rango.

Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el método de Gauss-Jordan.

Calcular el transformado de un punto por uno o varios movimientos.


Calcular determinantes de orden 2.

Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3.

Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden mayor o igual a 3.

Calcular el rango de una matriz mediante el uso de determinantes.

Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.

Comprobar mediante determinantes si una matriz cuadrada es invertible.

Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular.

Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices regulares de orden menor o igual a 3.



Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser compatibles.

Resolver sistemas homogéneos.

Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.

Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.

Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales.


Expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.


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Determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores.

Multiplicar escalarmente dos vectores tanto en la forma geométrica como en la analítica.

Determinar condiciones de ortogonalidad de dos vectores dependientes de un parámetro.

Saber hallar el ángulo de dos vectores y determinar vectores ortogonales a uno dado.

Calcular correctamente productos vectoriales y productos mixtos con unos vectores conocidos.

Aplicar el producto vectorial para determinar una dirección ortogonal al plano vectorial V2 determinado por dos vectores.


Dividir un segmento en partes iguales.

Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo.

Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos de la recta y su vector director.

Saber determinar un plano de distintas formas y saber hallar en cada caso su ecuación.

Hallar la ecuación de un plano del que se conoce un punto y la dirección del vector normal.

Saber hallar proyecciones de puntos sobre rectas y de puntos y rectas sobre planos.

Resolver problemas de paralelismo, perpendicularidad e intersección de rectas y planos.

Efectuar el estudio de la posición relativa entre dos rectas, entre una recta y un plano, y entre dos o tres planos.

UNIDAD 19. PROPIEDADES MÉTRICAS

Hallar el ángulo que determinan dos vectores y el ángulo entre dos rectas.

Hallar el ángulo que determinan dos planos secantes y el ángulo entre recta y plano.

Efectuar proyecciones de puntos sobre rectas y planos.

Calcular la proyección de una recta dada sobre un plano determinado.

Hallar la distancia entre dos puntos, entre punto y recta, punto y plano, rectas y planos paralelos, y rectas que se cruzan.

Calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro cuando se conocen las coordenadas de sus vértices.

UNIDAD 20: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES

Construye una tabla de frecuencias de datos aislados y los representa mediante un diagrama de barras.

Dado un conjunto de datos y la sugerencia de que los agrupe en intervalos, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.

Dado un conjunto de datos, reconoce la necesidad de agruparlos en intervalos y, en consecuencia, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.


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Obtiene los valores de la media y la desviación típica, a partir de una tabla de frecuencias (de datos aislados o agrupados) y los utiliza para analizar características de la distribución.

Conoce el coeficiente de variación y se vale de él para comparar las dispersiones de dos distribuciones.

UNIDAD 21: COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

Resuelve problemas de variaciones (con o sin repetición).

Resuelve problemas de permutaciones.

Resuelve problemas de combinaciones.

Resuelve problemas de combinatoria en los que, además de aplicar una fórmula, debe realizar algún razonamiento adicional.

Resuelve problemas en los que conviene utilizar un diagrama en árbol.

Resuelve problemas en los que conviene utilizar la estrategia del producto.

Resuelve otros tipos de problemas de combinatoria.

Expresa mediante operaciones con sucesos un enunciado.

Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros.

Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia de sucesos para hallar relaciones teóricas entre ellos.

Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia.

Calcula probabilidades totales o “a posteriori” utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes.


Construye la tabla de una distribución de probabilidad de variable discreta y

calcula sus parámetros y .

Reconoce si una cierta experiencia aleatoria puede ser descrita o no mediante una distribución binomial identificando en ella n y p.

Calcula probabilidades en una distribución binomial y halla sus parámetros.

Interpreta la función de probabilidad (o función de densidad) de una distribución de variable continua y calcula o estima probabilidades a partir de ella.

Maneja con destreza la tabla de la N (0, 1) y la utiliza para calcular probabilidades.

Conoce la relación que existe entre las distintas curvas normales y utiliza la

tipificación de la variable para calcular probabilidades en una distribución N (,).

Obtiene un intervalo centrado en la media al que corresponda una probabilidad previamente determinada.

Dada una distribución binomial reconoce la posibilidad de aproximarla por una normal, obtiene sus parámetros y calcula probabilidades a partir de ella.


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7. PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN Los procedimientos de evaluación del BI y del Bachillerato LOE difieren notablemente, aunque algunos principios se pueden conjugar. La evaluación del BI está muy reglada, siguiendo en parte los principios de las PAU. A continuación se detalla según aparece en la Guía de Matemáticas NS:

EVALUACIÓN DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL

La evaluación para la obtención del Diploma del Bachillerato Internacional se divide en dos partes:

1. EVALUACIÓN EXTERNA (80% de la nota final) Consta de 3 pruebas escritas de 5 horas de duración que realiza el IBO en mayo del 2º año y es corregida externamente. Prueba 1 (2 horas) No se permite el uso de calculadoras.

Sección A Preguntas de respuesta corta relacionadas con las unidades obligatorias del programa.

Sección B Preguntas de respuesta larga relacionadas con las unidades obligatorias del programa.

Prueba 2 (2 horas) Se requiere el uso de calculadoras de pantalla gráfica. Sección A Preguntas de respuesta corta relacionadas con las unidades obligatorias del programa. Sección B Preguntas de respuesta larga relacionadas con las unidades obligatorias del programa.

Prueba 3 (1 hora) Se requiere el uso de calculadoras de pantalla gráfica. Preguntas de respuesta larga relacionadas con la unidad opcional del programa.

2. EVALUACIÓN INTERNA – EXPLORACIÓN MATEMÁTICA (20% de la nota final) La exploración matemática consiste en un trabajo escrito de una longitud aproximada de 11 folios acerca de un tema de matemáticas de interés para el alumno. La exploración es corregida y evaluada por el profesor y la modera externamente IBO. Los alumnos ya han debido trabajar durante el primer año y durante las vacaciones en la preparación de esta exploración. A la vuelta de las vacaciones de Navidad deben tener


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entregada la exploración. En caso de que estén mal, el profesor mandará repetirlas para una segunda corrección.

EVALUACIÓN DEL BACHILLERATO LOMCE

La evaluación del Bachillerato LOE se adecuará al sistema habitual de 3 evaluaciones por año que rige en el centro. Aunque la obtención del diploma IBO, dentro de dos años permite entrar en cualquier universidad sin hacer prueba de acceso, el hecho de que las notas lleguen desde el organismo internacional en la primera quincena de julio, así como el posible riesgo de no obtenerlo, hace que sea conveniente que los alumnos se presenten también a las pruebas que la administración educativa determine para acceder a la universidad. Por tanto, son también alumnos LOMCE, y durante estos dos años, recibirán notas trimestrales de evaluación y se les completará el temario en aquellos aspectos que el IBO no exige pero sí el bachillerato LOMCE. Esto supondrá un esfuerzo suplementario para los alumnos, por tanto, sus trabajos tendrán un peso ponderado en las notas de evaluación. Para adecuar este sistema al sistema del BI, la nota de cada evaluación también será la suma de tres aspectos: 1. EXÁMENES (80% de la nota de evaluación) En cada evaluación se realizarán dos exámenes parciales que incluirán contenidos anteriores. Opcionalmente se realizará un examen global por evaluación. Los exámenes constarán tanto de ejercicios que muestren que el alumno ha adquirido los conceptos matemáticos desarrollados en el programa, como de problemas de aplicación, donde el alumno mostrará que sabe aplicar los conceptos aprendidos a situaciones reales. 2. TRABAJOS (20% de la nota de evaluación) En cada unidad del programa de estudios los alumnos deben entregar una serie de ejercicios, problemas y trabajos propuestos por el profesor. Se pretende que a medida que avance el programa, los alumnos se vayan familiarizando con la exploración matemática; de manera que, antes de finalizar el primer año sean capaces de realizar las tareas de la misma. 3. TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN (hasta el 10% adicional de la nota de evaluación) Durante este curso los alumnos deben realizar un trabajo de investigación denominado “Exploración matemática”, que se evalúa de manera interna, aunque es moderado por la organización del BI, a la que se le manda una muestra de unas cinco exploraciones. Puesto que esto es algo que no se exige en el bachillerato español, consideramos que este trabajo es un esfuerzo extra que hacen los alumnos del BI y debe ser valorado como tal. La calificación final será la media las tres evaluaciones.

Para aprobar la asignatura, la calificación final debe ser, al menos cinco.


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Al final de curso se realizará un examen global de la asignatura al que tendrán obligación de presentarse los alumnos con media inferior a cinco y podrán presentarse los alumnos, que habiendo superado la materia, quieran subir su calificación. Para éstos últimos alumnos no se consideraran calificaciones en el examen global inferiores a la obtenida mediante la media ponderada de las tres evaluaciones. Con más de una evaluación suspensa, no se hará la media y debe aprobarse el examen global de toda la materia para aprobar la asignatura. Con una evaluación suspensa, con calificación inferior a 3,0 (redondeada a un decimal) no se hará la media y debe aprobarse el examen global de toda la materia para aprobar la asignatura. En este caso, el profesor valorará el progreso y el comportamiento del alumno a lo largo del curso y podrá decidir examinarle sólo de la evaluación suspensa.


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8. SISTEMA DE RECUPERACIÓN DE EVALUACIONES PENDIENTES Al final de cada evaluación, los alumnos no calificados positivamente realizarán una prueba escrita en la que se evaluarán la adquisición de los contenidos de la evaluación en cuestión. Deberán realizar la prueba final global de junio los alumnos que tengan suspensa alguna evaluación, salvo aquellos que habiendo suspendido una única evaluación, y siempre con un 3 o más, la media de las tres evaluaciones sea igual o superior a 5.


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9. RECUPERACIÓN PARA ALUMNOS CON MATERIAS PENDIENTES

Aquellos alumnos matriculados en el segundo año BI que tuvieran pendiente la asignatura de Matemáticas I de 1º de bachillerato o Matemáticas aplicadas a las CCSS 1, la recuperarían de la misma forma que los alumnos que cursan 2º de Bachillerato LOMCE, puesto que es la asignatura LOMCE la que tienen suspensa (véanse las programaciones correspondientes).

Por otro lado, las materias de Nivel Medio del BI no tienen nota mínima para titular. Si

un alumno quisiera subir nota porque no ha conseguido los 24 puntos requeridos, puede presentarse en los siguientes exámenes de noviembre y mayo siguientes.


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10. EVALUACIÓN DE ALUMNOS QUE PIERDEN EL DERECHO A LA EVALUACIÓN CONTINUA

Para aquellos alumnos que incurran en “Pérdida del derecho a la evaluación continua”, por concurrir las circunstancias que prevé el Reglamento de Régimen Interior del Centro, se aplicará el protocolo de medidas descritas en este mismo documento. Para ellos se establece un sistema de evaluación que consistirá en la realización de un examen final de la materia en el que se incluirán todos los contenidos de la misma.


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11.- PRUEBA EXTRAORDINARIA DE JUNIO

La prueba extraordinaria de junio se basará en los contenidos mínimos desarrollados durante el curso. Consistirá en una prueba escrita con ejercicios que pueden incluir apartados y se puntuará sobre diez.

La prueba es igual para todos los alumnos, aunque puede incluir la elección de unos ejercicios frente a otros por parte de los alumnos, para paliar las posibles discrepancias al impartir el programa por parte de distintos profesores.

Para aprobar la asignatura será necesario obtener en la prueba una calificación

mayor o igual que cinco.


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12.- PROCEDIMIENTO DE INFORMACIÓN A LAS FAMILIAS Cada profesor y profesora del Departamento tiene asignada una hora de atención a padres en la cual atenderá cualquier consulta que la familia del alumno desee realizar. Se informará a los alumnos de los criterios y procedimientos de evaluación y calificación durante las clases. A principio de curso se envía a las familias un documento con las guías didácticas de todas las asignaturas del curso. Estos criterios también se harán públicos a través de la página web del instituto, (departamento de matemáticas) mediante el siguiente documento:

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS. I.E.S. ROSA CHACEL Resumen de contenidos y criterios de evaluación

MATEMÁTICAS II 2º de Bachillerato Internacional-Nivel Superior

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN (Repaso)

Adquirir de forma intuitiva y definir de manera formal los conceptos de límites laterales y límite de una función en un punto.

Resolver indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones, tanto por métodos algebraicos como por equivalencias de infinitésimos.

Adquirir el concepto intuitivo y formal de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo, tanto abierto como cerrado.

Identificar las funciones continuas y las discontinuas, clasificando en estas las discontinuidades que presenten y determinando los intervalos en los que son continuas.

Aprender a distinguir las ecuaciones que no pueden tener solución de las que seguro que tienen al menos una solución por simple aplicación del teorema de Bolzano, determinando intervalos en donde se hallen las soluciones.

Adquirir los conceptos de acotación, cotas, supremo, ínfimo y extremos absolutos.

DERIVADAS (Repaso)

Conocer la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en un punto y saber calcular la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una curva en un punto.

Saber calcular la función derivada de las funciones elementales y de las obtenidas mediante operaciones algebraicas de las elementales.

Saber aplicar correctamente la regla de la cadena para calcular la función derivada de funciones obtenidas por composición de funciones elementales.

Aprender a calcular diferenciales, comprender su significado geométrico y saber hacer uso de esta herramienta matemática para realizar ciertos cálculos numéricos de forma aproximada.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

(Repaso)

Comprender y saber determinar las derivadas laterales de una función en un punto.

Aprender a resolver límites indeterminados por aplicación de la regla de L’Hôpital.

Utilizar las derivadas primera y segunda de una función para determinar con ellas los intervalos de monotonía, de curvatura y los extremos relativos.

Plantear y resolver problemas de optimización con la herramienta de la función derivada y la determinación de los intervalos de monotonía.

Conocer y utilizar el procedimiento general para estudiar y representar gráficamente funciones.

Deducir la forma de la gráfica de una función cuando a la función se le aplican transformaciones de diferentes tipos: traslaciones, contracciones, dilataciones, cambio de signo, etc.

Representar las gráficas de las funciones: –f (x), f (x) + k, f (x+c), a·f (x), f (k·x), |f (x)|, f (|x|) cuando se conoce la gráfica de la función f (x).


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UNIDAD 11: INTEGRALES

Calcular primitivas de funciones elementales que cumplan unas determinadas condiciones.

Aplicar correctamente y en los casos apropiados el método de integración por partes.

Descomponer las funciones racionales en fracciones simples para después hallar una primitiva de las mismas.

Encontrar las transformaciones necesarias, y los cambios de variable oportunos para convertir una integral en inmediata y poder así resolverla.

Obtener sumas de Riemann de una función continua cualquiera en un intervalo [a, b].

Aplicar la regla de Barrow para obtener el resultado de integrales definidas de funciones continuas de las que se conoce una primitiva.

Derivar funciones dadas bajo el signo integral por aplicación del teorema fundamental del cálculo. Área bajo una curva. Área entre dos curvas.

Volúmenes de revolución.

Aplicar el concepto de integral definida a la resolución de problemas geométricos o de otras ciencias.

UNIDAD 12: SUCESIONES Y SERIES (UNIDAD OPCIONAL DEL BI)

Conocer y aplicar la definición de sucesión convergente.

Conocer la definición de suma parcial de una serie infinita.

Calcular la suma de series geométricas.

Calcular la suma de series telescópicas sencillas por descomposición en fracciones simples.

Conocer y aplicar las p-series

Conocer y aplicar correctamente el criterio de comparación de series

Conocer y aplicar correctamente el criterio de comparación del límite.

Conocer y aplicar correctamente el criterio de D’Alembert.

Conocer y aplicar correctamente el criterio de la integral de Cauchy.

Distinguir si una serie dada es absolutamente o condicionalmente convergente. Reconocer una serie de potencias.

Calcular el radio de convergencia de una serie de potencias

Calcular el intervalo de convergencia de una serie de potencias

Calcular el polinomio de Taylor de una función

Calcular y acotar el resto en un polinomio de Taylor utilizando la expresión de Lagrange.

Conocer y aplicar el desarrollo en serie de McLaurin.

Obtener nuevas series a partir de otras conocidas mediante sustitución, producto, derivación o integración.

Obtener series de Taylor a partir de ecuaciones diferenciales.

UNIDAD 13: ECUACIONES DIFERENCIALES (UNIDAD OPCIONAL)

Reconocer las ecuaciones diferenciales de primer orden

Calcular un campo de direcciones y varías isóclinas de una ecuación diferencial.

Resolver ecuaciones diferenciales por el método de Euler.

Aplicar el método de variables separadas para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Distinguir y resolver ecuaciones diferenciales homogéneas mediante el cambio y = vx.

Resolver ecuaciones diferenciales mediante el método del factor integrante.

UNIDAD 14: MATRICES

Utilizar las matrices como forma de representar y transmitir información.

Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y propiedades.

Conocer el significado del rango de una matriz o de una familia de vectores, saber calcularlo y aplicarlo.

Saber determinar si una matriz es invertible y, en caso de que lo sea, saber calcular su inversa aplicando la definición o utilizando el método de Gauss-Jordan.

Utilizar las matrices en la resolución de problemas geométricos.


Conocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y saber calcular su valor para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3.

Conocer la regla de Sarrus y aplicarla en el cálculo de determinantes de orden 3.

Conocer las propiedades de los determinantes y utilizarlas en la simplificación del cálculo de determinantes de matrices de orden mayor o igual a 3.

Utilizar los determinantes en el cálculo matricial.


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Conocer la regla de Cramer y utilizarla, cuando sea posible, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.Conocer el teorema de Rouché y utilizarlo en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Comprender la interpretación geométrica de los sistemas de dos ecuaciones lineales.

Determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro y resolverlos en los casos en que sea compatible.

Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para plantear y resolver problemas en diversos contextos.


Comprender y manejar adecuadamente los conceptos de combinación lineal y de independencia lineal para poder expresar un vector en función de los vectores de una base y determinar sus coordenadas.

Efectuar correctamente el producto escalar de vectores y aplicar esta operación para resolver problemas de ortogonalidad, y para calcular el módulo de un vector y el ángulo que determinan dos vectores

Efectuar correctamente el producto vectorial y el mixto con vectores de V3 y comprender su interpretación

geométrica para aplicarlos a la resolución de problemas métricos.


Determinar las coordenadas del punto que verifica ciertas condiciones según su posición en el espacio.

Aprender a determinar de distintas formas la ecuación de la recta y el plano y, recíprocamente, a reconocer los puntos y las direcciones de las rectas y los planos mediante su ecuación.

Conocer y comprender la determinación normal del plano y sus aplicaciones a los problemas de perpendicularidad y proyecciones ortogonales.

Reconocer la posición relativa de rectas y planos en el espacio y manejar correctamente los conceptos de incidencia, paralelismo e intersección.

UNIDAD 19. PROBLEMAS MÉTRICOS

Hallar el ángulo que determinan dos vectores y el ángulo entre dos rectas.

Hallar el ángulo que determinan dos planos secantes y el ángulo entre recta y plano.

Efectuar proyecciones de puntos sobre rectas y planos.

Calcular la proyección de una recta dada sobre un plano determinado.

Hallar la distancia entre dos puntos, entre punto y recta, punto y plano, rectas y planos paralelos, y rectas que se cruzan.

Calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro cuando se conocen las coordenadas de sus vértices.

UNIDAD 20: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES (Repaso)

Construye una tabla de frecuencias de datos aislados y los representa mediante un diagrama de barras.

Dado un conjunto de datos y la sugerencia de que los agrupe en intervalos, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.

Dado un conjunto de datos, reconoce la necesidad de agruparlos en intervalos y, en consecuencia, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.

Obtiene los valores de µ y σ, a partir de una tabla de frecuencias (de datos aislados o agrupados) y los utiliza para analizar características de la distribución.

Conoce el coeficiente de variación y se vale de él para comparar las dispersiones de dos distribuciones.

A partir de una tabla de frecuencias de datos aislados, construye la tabla de frecuencias acumuladas y, con ella, obtiene medidas de posición (mediana, cuartiles, centiles).

A partir de una tabla de frecuencias de datos agrupados en intervalos, construye el polígono de porcentajes acumulados y, con él, obtiene medidas de posición (mediana, cuartiles, centiles).

Construye el diagrama de caja y bigotes correspondiente a una distribución estadística.

Interpreta un diagrama de caja y bigotes dentro de un contexto.

Reconoce procesos de muestreo correctos e identifica errores en otros en donde los haya.


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UNIDAD 21: COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

Resuelve problemas de variaciones (con o sin repetición).

Resuelve problemas de permutaciones.

Resuelve problemas de combinaciones.

Resuelve problemas de combinatoria en los que, además de aplicar una fórmula, debe realizar algún razonamiento adicional.

Resuelve problemas en los que conviene utilizar un diagrama en árbol.

Resuelve problemas en los que conviene utilizar la estrategia del producto.

Resuelve otros tipos de problemas de combinatoria.

Expresa mediante operaciones con sucesos un enunciado.

. Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros.

Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia de sucesos para hallar relaciones teóricas entre ellos.

Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia.

Calcula probabilidades totales o “a posteriori” utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes.


Construye la tabla de una distribución de probabilidad de variable discreta y calcula sus parámetros.

Reconoce si una cierta experiencia aleatoria puede ser descrita o no mediante una distribución binomial identificando en ella n y p.

Calcula probabilidades en una distribución binomial y halla sus parámetros.

Interpreta la función de probabilidad (o función de densidad) de una distribución de variable continua y calcula o estima probabilidades a partir de ella.

Maneja con destreza la tabla de la N (0, 1) y la utiliza para calcular probabilidades.

Conoce la relación que existe entre las distintas curvas normales y utiliza la tipificación de la variable para calcular probabilidades en una distribución N ((,().

Obtiene un intervalo centrado en la media al que corresponda una probabilidad previamente determinada

Dada una distribución binomial reconoce la posibilidad de aproximarla por una normal, obtiene sus parámetros y calcula probabilidades a partir de ella.


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13. MEDIDAS ORDINARIAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Adaptaciones en los exámenes para alumnos con dislexia, DEA o TDAH

Las medidas aplicables a los alumnos con dislexia, DEA o TDAH en los exámenes y otros

instrumentos de evaluación podrán ser las siguientes:

Adaptación de tiempos. El tiempo de cada examen se podrá incrementar hasta un

máximo de un 35% sobre el tiempo previsto para ello.

Adaptación del modelo de examen.

Se podrá adaptar el tipo y el tamaño de fuente en el texto del examen.

Se permitirá el uso de hojas en blanco.

Adaptación de la evaluación. Se utilizarán instrumentos y formatos variados de evaluación de los aprendizajes: pruebas orales, escritas, de respuesta múltiple, etc. Facilidades: técnicas/materiales

Adaptaciones de espacios.

Se podrá realizar una lectura en voz alta, o mediante un documento grabado, de los enunciados de las preguntas al comienzo de cada examen.

Se podrán realizar los ejercicios de examen en un aula separada.


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14. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES

Concurso de problemas

Este concurso se realiza en todos los niveles agrupados en 3 categorías. Se pretende que los alumnos se ejerciten en el arte de pensar y buscar estrategias de resolución de problemas matemáticos y de ingenio.

Fase inicial. Habrá 4 entregas de 2 problemas cada entrega en cada categoría. Los estudiantes tienen una semana para entregarlos desde su publicación. 1ª entrega: 10-14 de diciembre 2ª entrega: 14-18 de enero 3ª entrega: 11-15 de febrero 4ª entrega: 11-15 de marzo Se puntuará de 0 a 5 cada uno de los problemas y los alumnos con mayor puntuación pasarán a la fase final, que se celebrará durante las 3 últimas horas del viernes 5 de abril. Paseo trigonométrico por Madrid

Consiste en la medición de distancias inaccesibles, usando cálculos trigonométricos.

Los alumnos construyen durante el mes previo a la actividad un goniómetro (aparato rudimentario para medir ángulos).

Realizan prácticas en el patio sobre su uso, manejo y aplicaciones.

El día de la actividad recorren lugares con edificios emblemáticos de Madrid: las torres de Bankia en plaza Castilla con su peculiar inclinación, la Plaza Mayor, el Viaducto, la catedral de la Almudena y las torres de la Plaza España.

Utilizando el goniómetro, un metro desplegable de 20 a 50 m y poniendo en práctica diferentes procedimientos trabajados en clase: doble tangente, teoremas del seno y del coseno, etc…se les encomienda la medición aproximada de alturas de edificios, longitudes de fachadas, etc.

Posteriormente se realiza una exposición en el vestíbulo del instituto y se evalúa la actividad por grupos, mediante una rúbrica que cubre varios aspectos: presentación, procedimientos matemáticos adecuados, grado de verosimilitud en los cálculos, etc….

Matemáticas en la naturaleza

Se realizará una excursión por la Pedriza de Manzanares con alumnos de 3º o 4º de la ESO en la que se tomarán diferentes medidas para elaborar gráficos del perfil de la ruta, gráficos distancia-tiempo y velocidad-tiempo. También se harán cálculos trigonométricos para determinar la altitud de algunos de los picos más emblemáticos de la Pedriza y de la sierra de Guadarrama.


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Juegos matemáticos en la fiesta Zerca y Lejos

El departamento de Matemáticas participa en la fiesta Zerca y Lejos que se celebra todos los años en el instituto con el fin de recaudar fondos para la escuela Infantil Ngom Ebae de Djoum (Camerún). Se ponen varias mesas con juegos matemáticos elaborados hace años por profesores del departamento para la feria de la Ciencia.


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15. ACTIVIDADES DE FOMENTO DE LA LECTURA Se fomentará especialmente la lectura de textos que versen sobre la materia de Matemáticas o relacionadas de alguna forma con ella; desde un nivel divulgativo hasta un nivel de textos de 1º de grado universitario. En este curso se valorará muy positivamente el uso de la mayor bibliografía posible.


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16. PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA DOCENTE La evaluación de la práctica se realizará en tres niveles:

1. Programación.

2. Desarrollo.

3. Evaluación.

PROGRAMACIÓN

INDICADORES DE LOGRO Puntuación De 1 a 10

Observaciones

Los objetivos didácticos se han formulado en función de los estándares de aprendizaje evaluables que concretan los criterios de evaluación.

La selección y temporalización de contenidos y actividades ha sido ajustada.

La programación ha facilitado la flexibilidad de las clases, para ajustarse a las necesidades e intereses de los alumnos lo más posible.

Los criterios de evaluación y calificación han sido claros y conocidos de los alumnos, y han permitido hacer un seguimiento del progreso de los alumnos.

La programación se ha realizado en coordinación con el resto del profesorado.

DESARROLLO

INDICADORES DE LOGRO Puntuación De 1 a 10

Observaciones

Antes de iniciar una actividad, se ha hecho una introducción sobre el tema para motivar a los alumnos y saber sus conocimientos previos.

Antes de iniciar una actividad, se ha expuesto y justificado el plan de trabajo (importancia, utilidad, etc.), y han sido informados sobre los criterios de evaluación.

Los contenidos y actividades se han relacionado con los intereses de los alumnos, y se han construido sobre sus conocimientos previos.

Se ha ofrecido a los alumnos un mapa conceptual del tema, para que siempre estén orientados en el proceso de aprendizaje.

Las actividades propuestas han sido variadas en su tipología y tipo de agrupamiento, y han favorecido la adquisición de las competencias clave.


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La distribución del tiempo en el aula es adecuada.

Se han utilizado recursos variados (audiovisuales, informáticos, etc.).

Se han facilitado estrategias para comprobar que los alumnos entienden y que, en su caso, sepan pedir aclaraciones.

Se han facilitado a los alumnos estrategias de aprendizaje: lectura comprensiva, cómo buscar información, cómo redactar y organizar un trabajo, etc.

Se ha favorecido la elaboración conjunta de normas de funcionamiento en el aula.

Las actividades grupales han sido suficientes y significativas.

El ambiente de la clase ha sido adecuado y productivo.

Se ha proporcionado al alumno información sobre su progreso.

Se han proporcionado actividades alternativas cuando el objetivo no se ha alcanzado en primera instancia.

Ha habido coordinación con otros profesores.

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