Bases y Dimensión

CAPÍTULO 2

Bases y coordenadas

Definición 2.1. Sea V un K espacio vectorial. Diremos que un conjunto B ={v1, v2, . . . , vk} ⊂ V es una base para V si

i) B es un conjunto linealmente independiente,ii) 〈B〉 = V .

Es decir, B es un conjunto l.i. que genera todo el espacio vectorial V.

Ejemplo. Los conjuntos B1 =

{[12

],

[−1

1

]},B2 =

{[02

],

[11

]}son bases para R2 .

Claramente los vectores de B1 son l.i.. Falta verificar que el espacio generado por elloses todo R2 . Para ello debemos probar que dado un vector columna w =

[a b

]t existenescalares α1, α2 de tal manera que w = α1

[1 2

]t+α2

[−1 1

]t. Esta igualdad correspondea calcular una solución de la ecuación matricial[

1 −12 1

]x =

[ab

]Aplicando operaciones elementales obtenemos que la solución es única y está dada porα1 = (a+ b)/3, α2 = (b−2a)/3. Luego B1 es una base. Un argumento similar muestra queB2 es una base de R2 .

Para el K espacio vectorial Kn hay una base natural, llamada base canónica. Definimosen Kn los n vectores columna e1, e2, . . . , en siguientes:

ei =[0 . . . 0 1 0 . . . 0

]t, donde 1 está en la i-ésima posición .

El 1 representa el elemento unidad del cuerpo K. Afirmamos {e1, e2, . . . , en} forman unabase para Kn .

Proposición 2.2. Sean e1, e2, . . . , en los n vectores canónicos de Kn . Entonces elconjunto Bc = {e1, e2, . . . , en} es una base para Kn . Esta base es llamada la base canónicade Rn .

Demostración. Es fácil de ver que ellos son l.i.. Además si w =[c1 c2 . . . cn

]tentonces

w =[c1 c2 . . . cn

]t= c1e1 + c2e2 + · · ·+ cnen

lo cual prueba que el subespacio generado por los vectores canónicos e1, e2, . . . , en es todoKn . �

23

24 2. BASES Y COORDENADAS

Ejemplo. Sea N = {1, 2, . . . , n} un conjunto con n elementos y sea V = F(N,K) el Kespacio vectorial de las funciones con valores en el cuerpo K. La base canónica está dadapor las funciones ei de difinidas por

ei(l) =

{1 if i = l

0 if i 6= l

Claramente son l.i y además si f ∈ V entonces

f = f(1)e1 + f(2)e2 + · · ·+ f(n)en

Otra forma de visualizar este espacio vectorial F(N,K) es escribir un elemento f ∈F(N,K) como

f =

f(1)f(2)...

f(n)

Con esta notación se tiene que las funciones ei definidas con anterioridad se representancomo:

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, en =

00...1

y por lo tanto es claro que

f(1)f(2)...

f(n)

= f(1)

10...0

+ f(2)

01...0

+ · · ·+ f(n)

00...1

= f(1)e1 + f(2)e2 + · · ·+ f(n)en

Ejemplo. La base canónica del K espacio vectorial de las matrices deMn×m(K) está dadapor las matrices {Eij} donde Eij son las matrices con todos sus entradas nulas excepto laposición (i, j) donde hay un 1. Notemos que estas matrices están bien definidas puesto que0, 1 son siempre elementos que existen en el cuerpo.

Ejemplo. La base canónica para el espacio vectorial Pn(R), polinomios de grado a lo másn, es {1, x, x2, . . . , xn}.

Ejemplo. Las matrices triangulares superiores son un subespacio de las matricescuadradas. Es fácil ver que las matrices triangulares superiores con el 1 en la posiciónij, con i ≥ j, y cero el resto son una base del subespacio.

2. BASES Y COORDENADAS 25

Ejemplo. El conjunto V = Z3 × Z2 es un Z2 espacio vectorial. Una base B para V estádada por

B = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}

Ahora presentamos uno de los resultados importantes acerca de bases.

Teorema 2.3. Sea V un K espacio vectorial y B = {v1, v2, . . . , vn} una base para V .Entonces todo subconjunto de V con más de n elementos es linealmente dependiente.

Demostración. Sea D = {w1, w2, . . . , wl} un subconjunto de l vectores en V conl > n. Si alguno de los vectores que componen D es el vector cero no hay nada quedemostrar pues en tal caso conjunto D es l.d..

Supongamos que los l vectores de D son diferentes del vector cero y consideremos unacombinación lineal de ellos igual al vector 0. Es decir,

x1w1 + x2w2 + · · ·+ xlwl = 0

Sabemos que B es una base para V , luego cada vector wi se puede representar comouna combinación lineal de los vectores en B , es decir,

w1 = a11v1 + a21v2 + · · ·+ an1vn

w2 = a12v1 + a22v2 + · · ·+ an2vn...

......

wn = a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ annvn

wn+1 = a1(n+1)v1 + a2(n+1)v2 + · · ·+ an(n+1)vn

......

...wl = a1lv1 + a2lv2 + · · ·+ anlvn

Luego, la igualdad x1w1 + x2w2 + · · ·+ xlwl = 0 se puede reescribir como

x1

(n∑

k=1

ak1vk

)+ x2

(n∑

k=1

ak2vk

)+ · · ·+ xl

(n∑

k=1

aklvk

)= 0

Reagrupando las sumas se obtiene que(l∑

i=1

a1ixi

)v1 +

(l∑

i=1

a2ixi

)v2 + · · ·+

(l∑

i=1

anixi

)vn = 0

Como {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto l.i. se debe tener que(l∑

i=1

a1ixi

)= 0,

(l∑

i=1

a2ixi

)= 0, . . . ,

(l∑

i=1

anixi

)= 0


Ahora el problema corresponde a un problema matricial en Kn ,

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1lxl = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2lxl = 0...

...an1x1 + an2x2 + · · ·+ anlxl = 0

Este es un sistema en Kn donde hay más incógnitas que ecuaciones ( l > n), por lo tanto alpivotear la matriz asociada al sistema se obtendrá al menos una variable libre, y por lo tantohay una solución no trivial x1, . . . , xl del sistema. Es decir, existe una colección x1, . . . , xlde escalares del cuerpo no todos nulos de tal forma que x1w1 + x2w2 + · · ·+ xlwl = 0. Enotras palabras, el conjunto D es l.d.. �

Una aplicación directa de este resultado es el siguiente corolario,

Corolario 2.4. Sean B1,B2 dos bases de V . Entonces |B1| = |B2|.

Demostración. Sea B1 = {v1, v2, . . . , vk} y B2 = {w1, w2, . . . , wp} dos bases para V .

Aplicando Teorema 2.3 a la base B1 se tiene que p ≤ k puesto que los p vectores delconjunto B2 son l.i.. Aplicando el mismo teorema con base B2 se deduce que k ≤ p. Por lotanto, p = k. �

Este resultado asegura que si una base de un espacio vectorial V está compuesta porun número finito de vectores entonces cualquier otra base tiene la misma cantidad deelementos. Notar que el hecho de que la base tenga un número finito de elementos es fun-damental, pues logramos comparar la cantidad de incógnitas con la cantidad de ecuaciones.Este argumento se pierde si la base tiene un número no finito de vectores.

Definición 2.5. La dimensión de un espacio vectorial V es la cantidad de vectoresque componen una base. A este número lo denotaremos por dimV . Por convención elsubespacio trivial {0} tiene dimensión cero.

Ejemplo. R es un R espacio vectorial. Una base es por ejemplo, B = {1} puesto quecualquier elemento x ∈ R puede escribirse como x = x · 1. Luego B = {1} es un conjuntol.i., puesto que en cualquier cuerpo 1 6= 0, que además genera todo R. Por lo tanto sudimensión es uno. Más aún, {a} con a 6= 0 es una base para R.

Ejemplo. El mismo argumento del ejemplo anterior es aplicable a un cuerpo arbitrario.Es decir,K es un K espacio vectorial de dimensión 1.

Ejemplo. La dimensión de Kn es n pues la base canónica Bc tiene n elementos y por elCorolario, cualquier otra base tiene el mismo número n de elementos.

Ejemplo. La dimensión del R espacio vectorial Pn(R), polinomios de grado a lo más n,es n+ 1 pues la base la canónica {1, x, x2, . . . , xn} tiene n+ 1 vectores.


El siguiente resultado es bastante útil para encontrar bases de Kn .

Teorema 2.6. Todo subconjunto de Kn con exactamente n vectores l.i. es una basepara Kn .

Demostración. Sea B = {v1, v2, . . . , vn} un subconjunto l.i. de Kn . Por definiciónde base basta probar que el subespacio generado por B es todo Kn . Denotemos porV =

[v1 v2 . . . vk

]la matriz generada por los vectores columnas vi.

Sea w un vector de Kn . Debemos probar que la ecuación V x = w tiene soluciónen Kn . La matriz V es cuadrada de n × n y sus columnas son l.i., por lo tanto ella esinvertible. Luego existe solución, es única y está dada por x = V −1w. �

Este resultado es generalizable a un espacio vectorial arbitrario.

Teorema 2.7. Sea V espacio vectorial sobre K con dimV = n. Entonces cualquierconjunto con exactamente n vectores l.i. es una base para V .

Demostración. Sea S un conjunto con n elementos l.i., a saber, S ={w1, w2, . . . , wn}. Vamos a probar que S es una base para V . Ya sabemos que es l.i. Solofalta probar que genera V .

Sea v un vector no nulo de V . Vamos a probar que v se escribe como una combinaciónlineal de los vectores wi.

Por el Teorema 2.3 el conjunto Q = {w1, w2, . . . , wn, v} es l.d en V . Es decir existeuna colección de escalares x1, x2, . . . , xn, xn+1 en K no todos nulos tal que

x1w1 + x2w2 + · · ·+ xnwn + xn+1v = 0.

Afirmamos que xn+1 6= 0. Si xn+1 fuere cero se tendría que x1w1 +x2w2 + · · ·+xnwn = 0.Como los wi son l.i. entonces todos los escalares xi = 0 para todo i = 1, . . . , n con lo cualse tendría que Q es un conjunto l.i., lo cual es una contradicción. Por lo tanto, xn+1 6= 0.Ahora podemos despejar v

v = − x1xn+1

w1 −x2xn+1

w2 − · · · −xnxn+1

wn

lo cual prueba que el conjunto {w1, w2, . . . , wn} genera todo V .

�

Recordemos que un subespacio de V es cualquier subconjunto no vacío de V que escerrado bajo suma y producto por escalar. Para determinar la dimensión de un subespaciose necesita encontrar una base para él.

Teorema 2.8. Sea V un K espacio vectorial de dimensión finita y W un subespaciode V. Entonces

i) W posee una base.ii) dimW ≤ dimV .iii) dimW = dimV si y sólo si W = V .


Demostración. Sea B una base para V con n elementos. Como W es no vacío existeun elemento w1 ∈ W . Formemos el subespacio generado W1 =< {w1} >. Hay dos posibi-lidades : W1 = W , en tal caso se termina el proceso y se encuentra una base con un soloelemento ó W1 ⊂ W un subconjunto propio. En este segunda opción habría un elementono nulo w2 ∈W que no está en W1. Formamos entonces W2 =< {w1, w2} >. Como w2 noestá en W1 se tiene que w1, w2 son l.i.

Entonces se tienen dos posibilidades: W2 = W ó W2 ⊂W un subespacio propio de W .Si la primera se cumple se encuentra una base. Para la segunda alternativa se tendría unelemento no nulo w3 ∈ W que no está en W2. Por lo tanto w1, w2, w3 son l.i. FormamosW3 =< {w1, w2, w3} >. Así sucesivamente. Este proceso no puede repetirse más de nveces pues el Teorema 2.3 asegura que un conjunto con más de n elementos debe sernecesariamente l.d. Por lo tanto, Wk = W para algún k ≤ n y además dimW ≤ dimV .

La última aseveración es una inmediata aplicacioón del Teorema 2.7.

�

Ejemplo. Sea W el subespacio de Kn generado por los vectores l.i , v1, v2, . . . , vp conp ≤ n. Entonces la dimensión de W es p.

Ejemplo. Los subespacios de R tienen dimensión 1 o 0. Luego, por Teorema 2.8, ellos sonR y {0}.

Ejemplo. La dimensión de V = Mn×m es n · m puesto que hay n · m matrices Eij , l.i.entre ellas, que componen la base canónica de V .

Ejemplo. La dimensión del subespacio Dn de las matrices diagonales de V = Mn(K) esn. Una base para Dn es Eii, las matrices que tienen un 1 en la posición (i, i), i = 1, . . . , ny cero las entradas fuera de la diagonal.

Ejemplo. Sea N = {1, 2, . . . , n} un conjunto con n elementos y sea V = F(N,K). Ladimensión de V es n puesto que V tiene n funciones ei l.i. que generan V , donde ei(k) = 1si i = k , ei(k) = 0 si i 6= k para k = 1, . . . , n.

Ejemplo. Sea V = F(N,K). La dimensión del subespacio W de las funciones tales quef(1) = 0 debe ser menor o igual que n. Este subespacio se puede representar como elhiperplano de Kn , {(0, x1, . . . , xn) : xi ∈ K}. Luego su dimensión es n− 1.

Ejemplo. El espacio vectorial de las sucesiones acotadas de números reales tiene dimensióninfinita puesto que hay un número infinito de vectores l.i. dados por ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .).


Consideremos dos subespacios U,W de V . Ya sabemos que podemos construir dossubespacios a partir de ellos, W + U , W ∩ U . Además sabemos que

W ∩ U es un subespacio de W y de UW,U son subespacios de (W + U)

El siguiente lema es clave para demostrar el teorema de las dimensiones que relacionalos cuatro subespacios: U , W , U ∩W y U +W .

Lema 2.9. Sea V un K espacio vectorial y B∗ = {v1, . . . , vl} un conjunto l.i. en V .Entonces se puede completar B∗ a una base de V .

Demostración. La demostración es similar a la técnica utilizada en el Teorema 2.3,incluso se aplica dicho teorema. �

Más aún ellos están relacionados por la siguiente igualdad dimensional

Teorema 2.10 (Fórmula de Grassmann). Sean U yW subespacios del espacio vectorialV . Entonces

dim (U +W ) = dim (U) + dim (W )− dim (U ∩W )

Demostración. Supongamos que dim(U∩W ) = r . Sea { e1 , e2 , · · · , er } una basede (U ∩W ) . Por el Lema 2.9 podemos extender el conjunto l.i. { e1 , e2 , · · · , er } a unabase de U :

Bu = { e1 , e2 , · · · , er , u1 , u2 , · · · , up }.En forma análoga la base de (U ∩W ) se puede extender a una base de W ,

Bw = { e1 , e2 , · · · , er , w1 , w2 , · · · , wq }.Es decir, dim (U) = r + p , dim(W ) = r + q. Probaremos que el conjunto de vectores:

{ e1 , e2 , · · · , er , u1 , u2 , · · · , up , w1 , w2 , · · · , wq } (∗)es una base de W + U

El conjunto de vectores (∗) genera a U +W pues si : v ∈ U +W : entonces v = u+wcon u ∈ U y w ∈W . Como Bu y Bw son bases de U y W respectivamente, entonces:

u = α1 e1 + α2 e2 + · · ·+ αr er + β1 u1 + · · ·+ βpup

w = α′1 e1 + α′2 e2 + · · ·+ α′r er + δ1w1 + · · ·+ δq wq

Luego v = u+ w se representa como:

v = u+ w =r∑

k=1

(αk + α′k) ek +

p∑j=1

βj uj +

q∑i=1

δpwi

Es decir, v es combinación lineal de los vectores de (∗).

Veamos ahora que el conjunto de vectores (∗) es linealmente independiente. Los con-juntos {e1, . . . , er} , {e1, . . . , er, u1, . . . , up} , {e1, . . . , er, w1, . . . , wq} son l.i.. Luego solofalta demostrar que los vectores {u1, . . . , up, w1, . . . , wq} son l.i. entre ellos.


Si alguno de los vectores uk fuere combinación lineal de los wi entonces estaría en W .Es decir, uk sería un vector en U ∩W y luego sería un combinación lineal de los ei. Estoes una contradición puesto que uk es l.i. con los vectores ei. Similarmente se pruebe quelos vectores wj son l.i con los vectores ui.

Concluimos que el conjunto de vectores (∗) es linealmente independiente y generaU +W , por lo tanto constituye una base. Por lo anterior

dim(U +W ) = r + p+ q = (r + p) + (r + q)− r= dim(U) + dim(W )− dim(U ∩W )

�

Definición 2.11. Sean U,W subespacios vectoriales de un K espacio vectorial V . Elsubespacio vectorial suma U +W se dice que es suma directa si U ∩W = {0}. Esta sumadirecta la denotamos por U ⊕W ,

Corolario 2.12. Del Teorema 2.10 se tiene que si V = U ⊕W , entonces

dim(V ) = dim(U) + dim(W )

Ejemplo. Consideremos los subespacios de R4:

S = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y + z + t = 0 , 2x+ y − z + 2t = 0 , 3x+ 2y + 3t = 0}T = 〈 {(1, 1, 2, 0), (1,−1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} 〉

Calculemos dim (S), dim (T ), dim (S ∩ T ) y dim (S + T ).

El subespacio S corresponde al NulA donde A es la matriz de 3× 4 dada por

A =

1 1 1 12 1 −1 23 2 0 3

Es fácil ver que S tiene dimensión 2 y está generado por los vectores

S =

2−3

10

,−1

001

Para T vemos el conjunto {(1, 1, 2, 0), (1,−1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} es l.i. , puesto que laúnica solución de Bx = 0 es el vector 0 donde B es la matriz de 4× 3 cuyas columnas sonlos vectores del conjunto. En consecuencia dim (T ) = 3.

Calculemos S∩T . Claramente este subespacio consiste en todos los vectores de R4 queestán en ambos subespacios S, T simultáneamente,

x+ y + z + t = 0

2x+ y − z + 2t = 0

3x+ 2y + 3t = 0

(x, y, z, t) = α (1, 1, 2, 0) + β (1,−1, 1, 0) + γ (0, 1, 0, 1)


Por lo tanto,x+ y + z + t = 0

2x+ y − z + 2t = 0

3x+ 2y + 3t = 0

(x, y, z, t) = (α+ β , α− β + γ , 2α+ β , γ)

Reemplazando se obtiene que:(α+ β) + (α− β + γ) + (2α+ β) + γ = 0

−(α− β + γ)− 3(2α+ β) = 0

3(2α+ β)− 2 γ = 0

Resolviendo el sistema se tiene que α = β = γ = 0. Luego S ∩T = {0} y dim (S ∩T ) = 0.Por la fórmula de Grassmann, dim (S + T ) = 4. Es decir (S + T ) es un subespacio R4 dedimensión 4. Como dim (R4) = 4 se obtiene que (S + T ) = R4. Además como S ∩ T = {0}se deduce que R4 = S ⊕ T .

Ejercicios.

1. Calcule la dimensión del subespacio W de R4 generado por

W =< {(1, 2, 3, 0), (1, 1, 0, 2), (1, 3, 6,−2), (3, 6, 9, 1)} >2. Investigue si el conjunto B = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (1, 3, 3, 3), (1, 4, 4, 4)} es una

base para R4.

3. Considere V el Z3 espacio vectorial de las matrices de 2 × 2 con entradas en Z3.Considere el conjunto S = {A1, A2} donde

A1 =

[1 10 2

], A2 =

[0 12 2

],

Complete S a una base de V .

4. Sea V = M2(R) el R espacio vectorial de las matrices de 2× 2 y W el subespaciodefinido por

W = {B ∈ V : AB = 0} , donde A =

[1 13 3

]a) Determine una base para W .b) Calcule su dimensión.

5. Determine si el conjunto B de vectores de R3 , B = {(1, 2, 1), (3, 2,−1)}, (1, 1, 1)}es una base para R3.

6. Construya una base del subespacio W de M2(R) definido por W = {A = (aij) :a11 + a12 = 0, a21 + a22 = 0, }. Determine la dimensión de W .

7. Construya una base del subespacio U de Mn(R) definido por U = {A = (aij) :ai1 + ai2 + · · ·+ ain = 0, i = 1, . . . , n}. Determine la dimensión de U .


8. Determine α para que que el subespacio de M2(R) generado por S, donde S esdado por la matrices[

α+ 1 5α3α 4α+ 1

],

[3α −α0 5α

],

[α+ 1 2αα 0

]tenga dimensión 3. La misma pregunta de tal manera que dim (〈{S}〉) = 2.

9. Calcule la dimensión de Z3 × Z2 como Z2 espacio vectorial.

10. Sea F(X;R) el R espacio vectorial de las funciones definidas en el conjunto X ={1, 2, . . . , n} a valores en R. Definimos para cada subconjunto A de X la funciónFA ∈ F(X;R).

FA(x) =

{1 si x ∈ A0 si x /∈ A

Encuentre una base de F(X;R) compuesta por estas funciones.

11. Considere W1,W2 los subespacios de R5 definidos porW1 = {x ∈ R5 : x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 0 , 2x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 0}W2 = {x ∈ R5 : x1 + x2 + x4 − 3x5 = 0, x2 + x3 + x4 − 8x5 = 0, x1 + x3 + 5x5 = 0}

Calcule la dimensión del subespacio W1 +W2

12. Sea V el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de grado a lomás 5. Considere en V los subespacios dados por

W1 = 〈{1, x2 − 1, x3 + x, x5}〉 y W2 = 〈{x, x− 1, x2, x3 − x4}〉a) Calcule una base para el subespacio W1 ∩W2.b) Calcule la dimensión del espacio vectorial W1 +W2.c) Determine si V es suma directa de estos subespacios.

13. Sea Mn(R) el R espacio vectorial de las matrices de n×n. Considere el subespacioT generado por las matrices triangulares inferiores de n × n y el subespacio Sgenerado por las matrices triangulares superiores de n×n. Determine la dimensiónde S + T . Determine si S + T es una suma directa.

14. Sean A,B las matrices de 4× 4 dadas por

A =

1 1 −2 −31 −1 0 −10 −1 1 11 −1 0 −1

, B =

1 1 1 01 0 1 00 0 1 11 0 2 1

y considere los subespacios de W1, W2, W3 de R4 definido por

W1 = {x ∈ R4 : Ax = 0}W2 = {x ∈ R4 : Bx = 0}W3 = {x ∈ R4 : (A+B)x = 0}

a) Calcule las dimensiones de W1,W2,W3.


b) Calcule las dimensiones de W1 ∩W2, W2 ∩W3, W1 ∩W3 .c) Calcule las dimensiones de W1 +W2, W2 +W3, W1 +W3 .d) Determine cuales de los subespacios suma anteriores son suma directa.

15. Sea M2(R) el R espacio vectorial de las matrices cuadradas de 2× 2 y W1,W2 lossubespacios vectoriales de M2(R) definidos por

W1 =

{[a bc d

]: a+ d = b+ c

}, W2 =

{[a bc d

]: a+ c = b+ d

}Determine la dimensión de

a) W1 b) W2 c) W1 ∩W2 d) W1 +W2

16. Considere a, b, c números reales y W el subconjunto de R4 definido por

W = {(x1, x2, x3, x4) : x4 = ax1 + bx2 + cx3}a) Determine una base para W .b) Determine las coordenadas del vector v = (1, 1, 1, 1) en esta base.

17. Sea P3 el R espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado alo más 3. Sea qi = (t − a)i , i = 0, 1, 2, 3. Demuestre que {q0, . . . , q3} es una basepara P3.

18. Sea P4 el R espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado a lomás 4 y r = r0 + r1x+ r2x

2 un polinomio fijo de grado 2. Considere el subespacioW definido por

R = {r · p : p ∈ P2}a) Determine una base para R.b) Pruebe que P4 = R⊕P1.

19. Determine una base del subespacio ortogonal W⊥ al subespacio W de R5 definidopor

W = {(x, y, z, t, s) : x− 2y + z − 2t+ s = 0}20. Sea W el subespacio de R5 definido por

W = {(x, y, z, t, s) : x− y + z − t+ s = 0, 2x− y + 2z − t+ 2s = 0}a) Determine una base para W .b) Determine una base del subespacio ortogonal W⊥ de W .c) Pruebe que R5 = W ⊕W⊥.

21. Considere V = Mn(R) el R espacio vectorial de las matríces de n× n. Sean V1, V2los subespacios de V definidos por

V1 = {A ∈ V : A = At} y V2 = {A ∈ V : −A = At}a) Determine una base para cada subespacio.b) Pruebe que V = V1 ⊕ V2.

22. Sea W = 〈{(1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 0)}〉 un subespacio de R4.


a) Calcule la dimensión, exibiendo una base, de W⊥ el subespacio ortogonal a Wcon el producto interno euclidiano de R4.

b) Pruebe que R4 = W ⊕W⊥.c) Para el vector v = (1, 1, 1, 1) de R4 determine w0 ∈W y w1 ∈W⊥ de tal forma

que v = w0 + w1.

23. Considere U1, U2 los subespacios de R5, dados porU1 = 〈{(1, 1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1, 1)}〉U2 = 〈{(1, 0, 0, 1, 0), (1, 1, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1)}〉

Determine una base y calcule la dimensión de U1 , U2, U1∩U2 , U⊥1 , U⊥2 , (V1∩V2)⊥.

24. Considere el subespacio W de M2(R) definido por W = {X : AX = XB} dondeA,B son matrices en M2(R). Estudie la dimensión de W paraa) A,B invertibles.b) A no invertible.c) A,B no invertibles.

25. Sea V un R espacio vectorial y B = {v1, v2, v3, v4v5} una base para V . ConsidereB∗ = {w1, w2, w3, w4w5} con

w1 = v1

w2 = v1 + v2

w3 = v1 + v2 + v3

w4 = v1 + v2 + v3 + v4

w5 = v1 + v2 + v3 + v4 + v5

Pruebe que B∗ es una base para V .

2.0.1. Subespacio asociados a una matriz en Kn. El algoritmo de Gauss, esdecir, la decomposición PA = LU de una matrix A de n×p con coeficientes en K también esválida en este contexto. Por ello es que se puede calcular las dimensiones de los subespaciosasociados a una matriz A ∈Mn×p(K).

Recordemos estos subespacios. Sea A una matriz de n× p con coeficientes en K.

Nul A = {x ∈ Kp : Ax = 0} es un subespacio de Kp.ECA = {Ax : x ∈ Kp} es un subespacio de Kn .EF A = 〈{filas de A}〉 es un subespacio de Kp

Para calcular las dimensiones de estos subespacios se utiliza el algoritmo de reducciónde Gauss. Recordemos que Ran(A) representa la cantidad de columnas l.i. de A.

Proposición 2.13. Sea A una matriz de n × p con coeficientes en el cuerpo K. En-tonces:

a) dim Nul A = cantidad de variables libres de Ax = 0.b) dim EC (A) = cantidad de pivotes de A.c) dim EC (A) + dim Nul A = p = cantidad de columnas de A.


Demostración. Escribamos A =[a1 a2 . . . ap

]con ai las respectivas columnas

de A. Sea x =[x1 x2 . . . xp

]t el vector columna solución de la ecuación Ax = 0.Sabemos que x también es solución del sistema escalonado correspondiente, E(A)x = 0.

Sean xk1 , . . . , xkl las variables libres ( l < p), es decir, todas las variables x1, · · · , xp seescriben en función de las l variables libres. Sabemos que este hecho se expresa vectorial-mente como

x1x2...xp

= xk1v1 + xk2v2 + · · ·+ xklvl

donde los vectores v1, v2, . . . , vl son l.i. y hay tantos vectores l.i. como variables libreshubieren. Luego, los vectores v1, . . . , vl forman una base, es decir, dim(NulA) = l.

Cada columna ai de A se calcula como ai = Aei, i = 1, . . . p, donde e1, e2, . . . , ep sonlos vectores canónicos de Kp. Por ello se tiene que

EC(A) = 〈{Ae1, Ae2, . . . , Aep}〉

Por parte i), dim(NulA) = l con {v1, v2, . . . , vl} una base. Completemos esta base a unabase B de Kp. Puesto que dimKp = p se tiene que

B = {v1, v2, . . . , vl, wl+1, . . . , wp}

donde los vectores wi no están en NulA. Como B es una base, cada vector canónico eide Kp puede ser descrito por una combinación lineal de vectores en B, es decir, para cadai = 1, . . . p,

ei =l∑

k=1

βikvk +

p∑k=l+1

βikwk

Aplicando las propiedades de linealidad de A y que Avk = 0, recordar que los vectores vkson elementos de NulA, se obtiene que

ai = Aei

= A

(l∑

k=1

βikvk +

p∑k=l+1

βikwk

)

=

l∑k=1

βikAvk +

p∑k=l+1

βikAwk

=

p∑k=l+1

βikAwk

lo cual prueba que para cada i = 1, . . . , p , ai esta en el subespacio generado por{Awl+1, . . . , Awp}. Esto demuestra que {Awl+1, . . . , Awp} genera EC(A).


Además el conjunto {Awl+1, . . . , Awp} es l.i.. Para corroborar esto supongamos quetenemos una combinación lineal nula,

αpAwp + · · ·+ αl+1Awl+1 = 0

Por linealidad de A obtenemos que

A(αpwp + · · ·+ αl+1wl+1) = αpAwp + · · ·+ αl+1Awl+1 = A0 = O

Por lo tanto el vector v = αpwp + · · ·+αl+1wl+1 es un vector en NulA lo cual es imposible,al menos que v = 0, por elección de los vectores wk. Como wl+1, . . . , wp son l.i. se obtieneque necesariamente todos los escalares αk deben ser cero, es decir, hemos probado que elconjunto {Awl+1, . . . , Awp} es l.i..

En resumen, el conjunto {Awl+1, . . . , Awp} es una base para EC(A). Por lo tanto,dim EC(A) = p− l ó lo que es lo mismo dim EC(A) + l = p, es decir,

dim EC(A) + dim Nul(A) = p

�

Ejemplo. Calculemos una base para NulA = {x : Ax = 0}, donde A es la matriz de 3× 4con coeficientes en el cuerpo K = Z3 dada por

A =

1 1 1 20 1 1 01 2 2 2

Aplicando operaciones elementales hasta obtener la matriz escalonada reducida obtenemosque

ER(A) =

1 0 0 20 1 1 00 0 0 0

Es decir, hay dos variables libres, de lo cual se deduce que las solución general del sistemaAx = 0 se describe como:

x =

0−1

10

x3 +

−2

001

x4Luego, el subespacio Nul(A) tiene dos vectores l.i. que lo generan, luego dim Nul(A) = 2.

Ejemplo. Calculemos una base para EC (A) = {Av : v ∈ K4}, donde A es la matriz de3× 4 dada en el ejemplo anterior.

A partir de conocer la dimensión del Nul A podemos calcular una base de EC(A)directamente de la información que tenemos de Nul A, puesto que sabemos que

A

0−1

10

= 0 , es decir, − a2 + a3 = 0 y que A

−2

001

= 0 ,es decir, − 2a1 + a4 = 0


donde ai representa las columnas de la matriz A. Por lo tanto podemos elegir como baselas dos primeras columnas ( o las dos últimas ). En resumen, RanA = 2.

Ejemplo. Calculemos una base para Nul A si A =

1 −1 2 −1−1 0 −1 2

2 −4 6 0

es una matriz

con coeficientes en R.Determinando una matriz escalonada E(A) se tiene: 1 −1 2 −1

−1 0 −1 22 −4 6 0

∼ 1 −1 2 −1

0 −1 1 10 −2 2 −2

∼ 1 −1 2 −1

0 −1 1 10 0 0 0

= E(A)

Luego la solución del sistema Ax = 0 está dada por:

x =

−1

110

α+

30−1

1

βComo estos dos vectores son l.i. y generan Nul A, entonces forman una base para Nul Ay por lo tanto dim( Nul A) = 2.

Ejemplo. Determinar una base para E C(A) si A es la matriz con coeficientes en R dadapor

A =

1 −2 2 1 0−1 2 −1 0 02 −4 6 4 03 −6 8 5 1

Aplicando operaciones elementales, obtenemos que:

E(A) =

1 −2 2 1 00 0 1 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0

Si A = [ a1 a2 a3 a4 a5 ], entonces { a1 , a3 , a5 } es l.i. , a2 = −2 a1 y a4 = −a1 + a3, luegoestas últimas son l.d. Así las columnas que admiten pivotes forman una base para E C(A).Luego una base para E C(A) es:

1−1

23

,

2−1

68

,

0001

Proposición 2.14. Las columnas de A que admiten pivotes forman una base para suespacio columna.

Demostración. La demostración se deja como ejercicio. �


El subespacio fila es el subespacio generado por sus respectivas filas, esto es:

EF (A) = 〈 { filas de A } 〉 >= 〈 { filas l.i. de A } 〉 >

Para una matriz A de n× p, EF (A) es un subespacio de Kp. Para encontrar una base deél, a diferencia de EC (A), éste no se afecta al aplicar operaciones elementales filas, por lotanto en cualquier caso EF (A) = EF(E(A)), de donde se sigue fácilmente que las filas nonulas de E(A) son l.i. y por lo tanto forman una base para EF(A), de donde se tiene:

Proposición 2.15. Las filas no nulas de la matriz escalonada de cualquier matrizdada, forman una base para su espacio fila.

En resumen, las filas l.i. de la matriz escalonada E(A) forman una base para EF (A).

Ejemplo. Calculemos una base para EF (A) donde

A =

1 2 2 −10 1 −3 21 3 −1 10 0 0 1

Aplicando operaciones elementales obtenemos que una escalonada para A es:

E(A) =

1 2 2 −10 1 −3 20 0 0 10 0 0 0

Por lo tanto { (1, 2, 2,−1) , (0, 1,−3, 2) , (0, 0, 0, 1) } forman una base para EFA.

Ejercicio. Determinar una base para Nul A, EC(A) y EF(A) donde A está dada por

A =

2 0 0 −10 1 1 10 0 1 1

Observación. Sabemos que las columnas que admiten pivotes forman una base paraE C(A), luego la dimensión de éste corresponde al número de pivotes de la matriz; peroademás esta dimensión coincide con el número de filas l.i. de A que equivale al número defilas no nulas de E(A), por lo tanto se tiene:

Proposición 2.16. Dada una matriz cualquiera A, entonces

dim(E C(A)) = dim(E F (A))

Una consecuencia inmediata de este resultado es que

Proposición 2.17. El rango de A es igual al rango de At.

2.1. Coordenadas y Bases

En esta sección veremos la importancia de las bases en un espacio vectorial.

2.1. COORDENADAS Y BASES 39

Consideremos B = {v1, v2, . . . , vn} una base del K espacio vectorial V . Cada vectorv ∈ V , se escribe como combinación lineal de los elementos de B, es decir, existe unacolección de escalares α1 , α2 , · · · , αn ∈ K tal que

v = α1 v1 + α2 v2 + · · ·+ αn vn .

Resulta que esta colección es única. Supongamos que existieran dos representaciones de v: α1 , α2 , · · · , αn y β1 , β2 , · · · , βn tales que:

v =

n∑i=1

αi vi y v =

n∑i=1

βi vi entoncesn∑

i=1

(αi − βi) vi = 0

y como B es base, entonces αi − βi = 0 para todo i = 1, . . . , n. Luego, αi = βi paratodo i = 1, . . . , n. Por lo tanto hemos probado que la representación de v es única comocombinación lineal de los elementos de B

Definición 2.18. Sea V un K espacio vectorial, v ∈ V un vector y B = {v1, v2, · · · , vn}una base. Diremos que los escalares α1, . . . , αn ∈ K son las coordenadas de v con respectoa la base B si

v = α1 v1 + α2 v2 + · · ·+ αn vn .

Esta colección de n escalares lo denotaremos por

[v]B =

α1

α2...αn

Notemos que [v]B es un vector columna de Kn.

Ejemplo. En V = P3(R) elijamos la base B = {−1 , 1− x , 1− x2 , 1− x3 }.

Calculemos [p]B donde p(x) = 2x3−x2+3. Puesto que el polinomio p se puede escribircomo p(x) = 2x3 − x2 + 3 = (−4) · (−1) + 0 · (1− x) + (1) · (1− x2) + (−2) · (1− x3). seobtiene que las coordenadas son

[p]B =

−4

01−2

Al revés, [q]B =

1203

corresponde al polinomio en P3(R) dado por

q(x) = (1) · (−1) + 2 · (1− x) + (0) · (1− x2) + (3) · (1− x3) = −3x3 − 2x+ 4


2.1.1. La Función coordenada. La unicidad de la representación de un vectorv ∈ V respecto de una base dada permite definir una función, llamada función coordenada.

Definición 2.19. Sea V un K espacio vectorial de dimensión n y B una base de V , sedefine la Función coordenada, denotada CB por:

CB : V −→ Kn

v −→ [v]B

La función coordenada CB satisface las siguientes propiedades:

Teorema 2.20. Sea B una base del K espacio vectorial V . Entonces

i) CB(v + w) = CB(v) + CB(w) , para todo v, w ∈ V .ii) CB(α v) = α CB(v) , para todo v ∈ V, α ∈ Kiii) CB es inyectiva.iv) CB es sobreyectiva.

Demostración. Ejercicio. �

La importancia de esta función coordenada radica en que nos permite llevar laspropiedades de vectores abstractos v ∈ V a vectores columnas [v]B en el espacio vecto-rial Kn.

Mediante el teorema anterior transformaremos los problemas abstractos planteadosa nivel de los vectores de V en problemas con vectores en Kn, lo cual sabemos realizarutilizando la Teoría de Matrices desarrollada en los primeros capítulos. Examinemos conmás detención este intercambio.

Empezemos por considerar un conjunto de vectores u1, u2, . . . up en V . Por ejemploqueremos verificar si ellos son l.i. o l.d. en V . Si ellos fueran vectores de Kn sería inmediatodecidir su dependencia lineal calculando mediante el algoritmo de Gauss el Nul (A) dondeA es la matriz cuyas columnas son los vectores dados.

Para llevar los vectores abstractos u1, u2, . . . up a vectores en Kn aplicamos la funcióncoordenada, para lo cual debemos fijar una base B de V . Una vez fijada la base construimoslos vectores columna correspondientes [u1]B, [u2]B, . . . , [up]B de Kn.

El próximo resultado nos permitirá decidir si los vectores u1, u2, . . . up son l.i o l.d. enV mirando los correspondientes vectores de coordenadas en Kn.

Más aún veremos que podemos calcular las combinaciones lineales en Kn y devolvernosa V . Estos intercambios son posibles debido al Teorema anterior.

Proposición 2.21. Sea V un K espacio vectorial y B una base de V .

a) Los vectores u1, u2, . . . , up en V son l.i en V si y sólo si los correspondientes vectores[u1]B, [u2]B, . . . , [up]B son l.i. en Kn.

b) v = α1u1 + · · ·+ αpup si y sólo si [v]B = α1[u1]B + · · ·+ αp [up]B


Demostración. Supongamos que los vectores u1, u2, . . . , up en V son l.i en V y con-sideremos una combinación lineal nula en Kn,

x1[u1]B + x2[u2]B + · · ·+ xp [up]B = 0

Por linealidad de la función coordenada, propiedades i), ii) de Teorema 2.20, tenemos que

[x1u1 + x2u2 + · · ·+ xpup]B = x1[u1]B + x2[u2]B + · · ·+ xp [up]B = 0

Como la función coordenada es bijectiva, el único vector que va al vector nulo de Kn esel vector nulo de V . Por lo tanto, x1u1 + x2u2 + · · · + xpup = 0V . Como ellos son l.i. enV entonces todos los escalares x1, . . . , xp deben ser todos ceros. Por lo tanto, los vectores[u1]B, [u2]B, . . . , [up]B son l.i. en Kn. Al revés se razona de la misma manera. La segundaparte de la proposición es clara. �

Observemos que la Proposición nos garantiza que la función coordenada y su inversallevan conjuntos l.i. en conjuntos l.i. y conjuntos l.d. en conjuntos l.d.. Este resultado nospermite discernir acerca de la dependencia lineal de vectores en V mirando sus respectivosvectores coordenados en Kn. Aprovechamos este resultado para dar una demostraciónalternativa del siguiente resultado que fue demostramos usando otras técnicas.

Teorema 2.22. Sea V un K espacio vectorial de dimensión n. Entonces cualquierconjunto con más de n elementos es l.d..

Demostración. La demostración es directa aplicando la función coordenada. SeaS = {v1, . . . , vm} con m > n y B una base para V . El conjunto S = {[v1]B, . . . , [vm]B} esun subconjunto deKn con más de n elementos. Por Teorema 2.3 se obtiene de inmediato queS es un conjunto l.d. en Kn. Aplicando la proposición anterior se obtiene que {v1, . . . , vm}es un conjunto l.d. en V . �

La función coordenada nos permite solucionar sistemas vectoriales del tipo siguiente:

Consideremos el sistema vectorial en V

a11 v1 + a12 v2 + · · ·+ a1q vn = w1

a21 v1 + a22 v2 + · · ·+ a2q vn = w2

......

...an1 v1 + an2 v2 + · · ·+ anq vn = wn

con aij ∈ K y vi, wi vectores en V . Supongamos que la dimensión de V es p y fijemos unabase B en V . Aplicamos la función coordenada a cada ecuación. Esto nos lleva a un sistema


en Kp de la forma:

a11 [v1]B + a12 [v2]B + · · ·+ a1q [vn]B = [w1]B

a21 [v1]B + a22 [v2]B + · · ·+ a2q [vn]B = [w2]B...

......

an1 [v1]B + an2 [v2]B + · · ·+ anq [vn]B = [wn]B

Resolviendo este sistema en Kp encontramos, devolvíendonos, la correspondiente solucióndel sistema vectorial original.

Ejemplo. Consideremos el sistema vectorial en V

a11z1 + a12z2 = w1

a21z1 + a22z2 = w2

Si aplicamos a este sistema la función coordenada, se tiene que:

a11[z1] + a12[z2] = [w1]

a21[z1] + a22[z2] = [w2]

donde hemos omitido la base en la notación [zi].

Supongamos que la dimensión de V es 2. Si a11 6= 0 podemos pivotear vectorialmente,quedando el sistema equivalente

a11[z1] + a12[z2] = [w1]

a22[z2] = α[w1] + [w2]

Luego el sistema se transforma en el sistema numérico (en el cuerpo K)

a11

[x1y1

]+ a12

[x2y2

]=

[c1c2

]a22

[x2y2

]=

[d1d2

]Sistema que finalmente corresponde a uno en K de la forma :

a11 x1 + a12 x2 = c1a11 y1 + a12 y2 = c2

a22 x2 = d1a22 y2 = d2

Ejemplo. Considere el polinomio p = x3−3x2−1 en el R espacio vectorial de los polinomiosde grado a lo más 3. Determine si es posible escribir p como combinación lineal de lospolinomios q1 = 2x3 − 2x + 1, q2 = x2 − x, q3 = 2x + 1, q4 = x3 − 1. Vectorialmantedebemos resolver en V

p = a1q1 + a2q2 + a3q3 + a4q4


Tomamos la base canónica de V , {1, x, x2, x3} y aplicando la función coordenada con estabase obtenemos que

[p] = a1[q1] + a2[q2] + a3[q3] + a4[q4]

que es el sistema matricial en R4 dado por−1

0−3

1

=

1−2

02

a1 +

0−110

a2 +

1200

a3 +

−1001

a4ó lo que es equivalente,

1 0 1 −1−2 −1 2 00 1 0 02 0 0 1

a1a2a3a4

=

−10−31

Calculando la escalonada reducida se obtiene la única solución del sistema

1 0 0 0 3/80 1 0 0 −30 0 1 0 −9/80 0 0 1 1/4

Por lo tanto, p = (3/8)q1 + (−3)q2 + (−9/8)q3 + (1/4)q4.

Ejercicios.

1. Determine las coordenadas de v = (1, 2, 3) ∈ R3 con respecto a la base B dada porB = {(1, 2, 1), (3, 2,−1)}, (1, 1, 1).

2. En R2 calcule las coordenadas de v = (4, 3) en la base B = {w1, w2} con w1 =(1, 2), w2 = (−2,−1)

3. Considere a, b, c números reales y W el subconjunto de R4 definido por

W = {(x1, x2, x3, x4) : x4 = ax1 + bx2 + cx3}

Determine una base para W . y calcule las coordenadas del vector v = (1, 0, 0, a)en esta base.

4. Sea subespacioW el subespacio de R4 definido porW = {(x, y, z, t) : x−y−2z+t =0} . Determine una base para W . Calcule las coordenadas del vector v = (1, 1, 1, 2)en la base encontrada.

5. Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 con base B y w1, w2, w3 tres vectores deV con coordenadas

[w1]B =

123

, [w2]B =

021

, [w3]B =

113


Considere el sistema vectorial en V dado por

v1 + v2 + v3 + v4 = w1

v1 − v2 − v3 + v4 = w2

v1 − v2 + v3 − v4 = w3

Determine las coordenadas con respecto a la base B de todas las solucionesv1, v2, v3, v4 del sistema.

6. Sea P3 el R espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado alo más n. Sea qi = (t− 1)i + 1 , i = 0, 1, 2, 3.a) Demuestre que {q0, . . . , q3} es una base para P3.b) Determine las coordenadas del vector p = t2 − 2t+ 3 en esta base.

7. Sea P2 el R espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado alo más 4. Calcule las coordenadas del polinomio q = 1− 2t+ 4t2 con respecto a labase dada por los polinomios p1 = 1 + t,p2 = 1 + t+ t2, p3 = 1− t.

8. Considere V = M2(R) el R espacio vectorial de las matríces de 2 × 2 y U elsubespacio de V definido por U = {A ∈ V : A = At} }. Considere la base B de Vdada por

A1 =

[1 00 0

]A2 =

[0 00 2

]A3 =

[3 33 0

]Determine las coordenadas de la matriz B =

[a bb c

]en la base B.

9. Sea V un R espacio vectorial y B = {v1, v2, v3, v4v5} una base para V . Considerela otra base B∗ = {w1, w2, w3, w4w5} con

w1 = v1

w2 = v1 + v2

w3 = v1 + v2 + v3

w4 = v1 + v2 + v3 + v4

w5 = v1 + v2 + v3 + v4 + v5

a) Calcule [v]B∗ si [v]B =[1 2 3 4 5

]t.b) Calcule [v]B si [v]B∗ =

[1 2 3 4 5

]t.10. Considere los vectores {1−t, 1−t+2t4, 2+3t3+t5, t2−3t5, t+2} en P5. Determine

mediante una matriz si estos vectores son l.i. o l.d..

11. Sea N = {1, 2, 3, 4, 5} y F(N,R) el espacio vectorial de las funciones a valoresreales con dominio en N .

Determine la clase de dependencia lineal que existe entre las funcionesf1, f2, f3, f4, f5 ∈ F(N,R) donde fi(k) = ik , k = 1, 2, 3, 4, 5.


12. Sea N = {1, 2, 3, 4, 5} y F(N,R) el espacio vectorial de las funciones a valoresreales con dominio en N . Determine la clase de dependencia lineal que existe entrelas funciones f1, f2, f3, f4, f5 ∈ F(N,R) donde fi(k) = 2k + i , k = 1, 2, 3, 4, 5.

13. Sea V un R espacio vectorial con base B = {v1, v2, v3, v4} y considere el espaciovectorial V ∗ = L(V,R) de las funciones g con la propiedad de que g(αu + βw) =αg(u) + βg(w) para todo α, β ∈ K y u,w ∈ V .a) Demuestre que el conjunto de funciones B∗ = {f1, f2, f3, f4} definido por

fi(vk) =

{1 si k 6= i

0 si k = i

es una base para V ∗.b) Pruebe que la la función h(v) =

[1 1 1 1

][v]B esta en V ∗.

c) Calcule las coordenadas de h en la base B∗.

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