Actividad 2. Derivada de Funciones Trascendentales.

Docente en línea: María Mónica Contreras Oliver

Luis Alberto Velázquez Vázquez

Curso: Cálculo Diferencial BI-BCDI-1502S-B1-002

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios

Fecha de entrega: 20/septiembre/2015

Acapulco, Guerrero

Actividad 2. Derivada de Funciones Trascendentales.

Instrucciones:

1.- Calcula la siguiente derivada

a. .

Usamos la regla de cadena (En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.)

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=d (senu)du

Dado que

u= x+4x2−9

yddusenu=cosu

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( ddx ( x+4x2−9 ))Usamos la regla de división en (derivación de cocientes).

ddx ( x+4x2−9 )ddx ( uv )=

vdudx

−u dvdx

v2

dado estou=x+4→ dudx

=1 y v=x2−9→dvdx

=2 x

ddx ( x+4x2−9 )= x

2−9 (1 )−( x+4 )2x(x2−9)2

=x2−9−2 x ( x+4 )

(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( x

2−9−2x ( x+4 )(x2−9)2 )

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

cos( x+4x2−9 )(x2−9−2x ( x+4 ))

(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

(x2−9−2 x ( x+4 ))cos ( x+4x2−9 )(x2−9)2

ddx (sen ( x+4x2−9 ))=

−(x2−8 x+9 )cos ( x+4x2−9 )(x2−9 )2

Calcular los siguientes límites:

a)

.

Si (f) del lim estaría indeterminada 00Demostración

limx→4

12+5 (4 )−6 (4 )2+4³8−6 (4 )−3 (4 )2+4³

=00

Aplicamos la regla del L`hopital

Notación:

Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe

, entonces este límite coincide con.

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma , donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

Debemos derivar el numerado y denominador, para encontrar la solución a dada determinación basado en L'Hôpital;

Demostración:

limx→4

f (x)g (x)

=limx→4

5−12 x+3 x2

−6−6 x+3 x2=limx→4

5−12(4)+3(4)2

−6−6 (4 )+3(4 )2= 518

b) Calcular el siguiente limite

b. .

Ya conociendo un poco más la regla de L'Hôpital y evaluando el limite hallamos que es una determinación al igual que el limite anterior por ende aplicamos lo mismo.

Demostración:

limx→1

f (x)g (x)

=limx→1

13−14 x−3 x2+4 x3

−31+6 x +21x2+4 x3=limx→1

13−14(1)−3 (1)2+4(1)3

−31+6(1)+21(1)2+4 (1)3=00

Arroja de nueva cuenta un valor indeterminado como lo mencione anteriormente así procedemos a derivar:

limx→1

13−14 x−3 x2+4 x3

−31+6 x +21x2+4 x3=limx→1

f (x )g (x)

= limx→1

−14−6x+12 x2

6+42x+12 x2

limx→1

−14−6 (1 )+12 (1 )2

6+42 (1 )+12 (1 )2=−215

3.- Dada la función definida sobre el intervalo

hallar el valor que satisface .

f es continua en intervalo [ –2,2 ] y se derivara en (−2,2 )

si f ( x )=x3−4 x→f ( x )=3 x2−4

f (b )=f (2 )=23−4 (2 )=8−8=0f (a )=f (−2 )=−23−4 (−2 )=−8+8=0

derivamos en x=c

f (x )=3x2−4→f (c )=3c2−4b−a=2−(−2 )=2+2=4

Determinamos la ecuación

f (b )−f (a )=f (c ) (b−a )→0=3c2−4 (4 )→0=12c2−16

−12c2=−16→c2=43→c=±√ 43=± 2√3

4.- Dada la función definida en hallar que

satisface la relación .

1) s i f ´ (x )=x2−4 x→f ( x )=2x−42) f (b )=f (5 )=52−4 (5 )=25−20=53) f (a )=f (1 )=12−4 (1 )=1−4=−3

f (b )−f (a )=f ´ (c)(5−1).5−(−3 )=2c−4 (5−1 )8=2c−1616+8=2c

24=2c→ 242

=c→c=12

Referencias bibliográficas:Frank Ayres, jr. (1989). Calculo diferencial e integral, teoría y problemas resueltos.

Schaum mc Graw-Hill. Capítulo 3, 4, 5.http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ayres.pdf

Luis Leithold (1981). El cálculo con geometría analítica. Harla Harper y Row latinoamericana. Capítulo 3.

Vi tutor. La regla de L'Hôpital.http://www.vitutor.com/fun/6/lopital.html

Vi tutor. Formulas derivadas.http://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html

Julio Profesor. (2010). Derivadas. YouTube.https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo