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MAXIMIZACION DE LA UTILIDAD POR PARTE DEL CONSUMIDOR

Para maximizar la utilidad, dada una cantidad fija de dinero para gastar, una persona compra las cantidades de bienes y servicios:

1. que agoten su ingreso total; y para las que la relacin psquica de intercambio de dos bienes cualesquiera - la Tasa Marginal de Sustitucin TMS - sea igual a la relacin a la que pueden intercambiarse stos en el mercado.

Hay que recordar que la pendiente de la CI es la Tasa Marginal de Sustitucin (TMS) y representa el nmero de unidades de Y que el consumidor est dispuesto a ceder para obtener una unidad de X y quedar sobre la misma Curva de Indiferencia:

TMS =(Y/(X

Este es el modelo ms bsico de microeconoma, quizs ms importante del equilibrio del mercado y la cruza de la oferta y la demanda.

FUNCION OBJETIVO DEL MODELO

a. Maximizar Utilidad

b. Minimizar Costos

c. Maximizar Ganancias

RESTRICCIONES DEL MODELO

a. Restriccin de Presupuesto

b. Restriccin de Tiempo

c. Restriccin de Insumos

METODO DE MAXIMIZACION LAGRANGE

a. Utiliza Proceso Matemtico

b. Facilita Util Interpretacin Econmica

Problema del Consumidor

Max U(X, Z, Q)

s.a.I = M C = XP + Z

X = Bien ambiental analizado.

Z = Bien Hicksiano (agrupa todos los dems bienes).

Q = Vector de Bienes y Servicios Ambientales (calidad ambiental).

I = Ingreso Disponible.

M = Ingreso Total.

C = Impuesto Fijo (provisin de bienes pblicos).

P = Precios.

Resolviendo:

MAX

U = U(X1, X2,...,Xn)

s.a

I = P1X1 + P2X2 + ... + PnXnFormulando Multiplicador de Lagrange:

L = U(X1, X2) + ((I P1X1 P2X2 - ... PnXn)

Derivando respecto a X Condiciones de Primer Orden (CPO)

1. L 1= U1 - (P1 = 0

2. L 2= U2 - (P2 = 0

n. L n= Un - (Pn = 0

n+1.L( = I P1X1 P2X2 - ... PnXn = 0

Despejando (, ( =

o,

( i=1, 2, ..., n

( j=1, 2, ..., n

donde, RMS (Xj por Xi) =

Interpretando el Multiplicador de Lagrange tenemos los siguientes resultados:

( =

Cada uno de los bienes comprados debe generar la misma utilidad marginal por cada peso gastado en l.

Ui = Utilidad Marginal de bien i.

Pi= Costo Marginal del bien i.

La relacin costo-beneficio es la misma por cada bien i.

Esta relacin, (, es el valor sombra de un peso adicional de ingreso, o sea el valor en bienes y servicios de ingreso adicional.La Funcin de Utilidad Indirecta

Max U= XY

s.a.I = XPx + YPy

Formulando Multiplicador de Lagrange:

L = XY + ((I XPx YPy)

Derivando (CPO):

1)

(

2)

(

3)

Igualando 1) y 2):

4)

;XPx = YPy

Sustituyendo 4) en 3):

I YPy YPy = 0

I XPx XPx = 0

I = 2YPy

I = 2XPx

Esta es la curva de la Demanda Marshalliana:

X* = XM(P, M)

Y* = YM(P, M)

Al reemplazar los X* e Y* en U=XY se obtiene la Funcin de Utilidad Indirecta

V = V(P, M).

La Funcin de Gasto

Min E = XPx + YPy

(E = Gasto Total)

s.a. U= XY

Formulando Multiplicador de Lagrange:

L = XPx YPy + ((U0 XY)

Derivando (CPO):

1)

(

2)

(

3)

Igualando 1) y 2):

4)

;XPx = YPy;

Sustituyendo 4) en 3):

U0 - X = 0

U0 - Y = 0

Esta es la curva de la Demanda Hicksiana:

X* = XH(P, U)

Y* = YH(P, U)

Al reemplazar los X* e Y* en E = XPx + YPy se obtiene la Funcin de Gasto

E = E(P, U).

Cualquiera de los dos enfoques, el de la Funcin de Utilidad Indirecta (Maximizar utilidad sujeto a una restriccin presupuestaria) o el de la Funcin de Gasto (Minimizar costo sujeto a un nivel de utilidad), proporciona un punto ptimo de consumo para el consumidor.

Los enfoques son validos y producen los mismos resultados y se puede pasar de la Funcin de Utilidad Indirecta a la Funcin de Gasto y viceversa, siendo que existe una dualidad.

La forma de hacer eso est descrita en la Figura 16.

LA DUALIDAD

Se puede pasar de la Funcin Indirecta a la Funcin de Gastos y viceversa. La forma de hacerlo es la siguiente:

.Figura 16: Dualidad

Reemplazar X e Y en U

Reemplazar X e Y en U

I = E

V = U

Identidad de Roy:

Lema de Shepard:

Si I = E:

X(P, I) = X(P, E(P, U)) = H(P, U)

Funcin Indir. Utilidad

Funcin de Gasto

V(P, I)

E(P, U)

V(P, Q, I)

E(P, Q, U)

Introduciendo la Variable Calidad Ambiental QFuncin de Gasto

E = E(P, U)

Funcin Indirecta de Utilidad

V = V(P, I)

Demanda Hicksiana

X* = XH(Px, U)

Y* = YH(Py, U)

Min I = XPx + YPy

s.a. U(X,Y)

Max U(X,Y)

s.a. I = XPx + YPy

Demanda Marshalliana

X* = XM(Px, I)

Y* = YM(Py, I)

XiH = X(Pi, U0)

XiM = X(Pi, I)

16

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