3

22).- Da un posible valor de m+n

31n

m11

m10

m9

m8

m7

CCC4C6C4C

a) 41 b) 42 c) 43 d) 47 e) 18

23).- Calcula X en: 3/2

4

4

6

5 x

x

C

C

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.

24).- Si : (x+1)!- x! = 4320; Calcula (x-1)! a) 6 b) 24 c) 100 d) 120 e) 720

25).- Calcula el valor de :

!10

!11

!9

!10

!8

!9.....

!2

!3

!1

!2

!0

!1M

a) 55 b) 66 c) 67 d) 120 e) 100

26).- Dada la igualdad: 1n2

8n1n2

3 CC

Determina el valor de (n2 + n)

a) 10 b) 110 c) 120 d) 130 e) 132

27).- Halla el valor de la expresin:

n2 + 2n 1, si n2 =28 a) 79 b) 62 c) 98 d) 34 e) 47

28).- Halla el valor de 1n

1n

, si :

2( n5 ) = 3(n3 ) ; n Z

+

a) 5/4 b) 9/7 c) 11/9 d) 6/5 e) 4/3

29).- Reduce y determine el valor de n en:

C n1 + C n2 = 21

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

30).- Determina el valor de M en

M = 2n71n

6n5

n4 CCCC

Resulta igual a C 3n10

a) 14 b) 12 c) 10 d) 18 e) 20

31).- Luego de resolver la ecuacin:

2

n

C

CC

1n3

2n3

n2

;

halla el valor de: n2 n + 1 a) 21 b) 23 c) 25 d) 30 e) 35

32).- Si: 2x4x6x8x ... x20= )!(2 nm

halla: m+n a) 10 b) 20 c) 30 d) 400 e) N.A.

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) b 3) c

4) c 5) c 6) b

7) c 8) d 9) c

10)d 11)c 12)a

13)b 14)a 15)a

16)c 17)a 18)a

19)a 20)b 21)b

22)d 23)d 24)d

25)b 26)b 27)a

28)a 29)a 30)a

31)a 32)b

4

BINOMIO DE NEWTON

Se da este nombre a la potencia indicada de un binomio. Ejm:

(a + b)5 ; (x + 1)8 ; etc

1. DESARROLLO DEL BINOMIO (a+b)n:

Ejm:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

EN GENERAL:

(a+b)n= nnnn

n22nn

21nn

1nn

0 baC..baCbaCaC

2. TRINGULO DE PASCAL : Nos sirve para obtener los coeficientes del desarrollo de un binomio para exponente natural.

1 (x+a)0 = 1 1 1 (x+a)1= x + a 1 2 1 (x+a)2=x2 + 2ax + a2 1 3 3 1 (x+a)3=x3+3x2a+3xa2 +a3 1 4 6 4 1 (x+a)4=x4+4x3a+6x2a2+4xa3+a4

. .

. .

3. FRMULA GENERAL DEL

TERMINO DE POSICIN k+1 ( 1kt

)

1k

t

= kknnk

aXC

Nota: La Expansin del Binomio (x+a)n

1 Presenta n+1 trminos. 2 Es un polinomio homogneo y ordenado

descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).

Adems:

n)x1( =

n

n

nn

3

3n

2

2n

1

n

0CX.....CXCXXCC

* Si x = 1 nn

n

2

n

1

n

0C.....CCC = 2n

*Si x=-1 ..CCC n4

n

2

n

0 = ..CCC n

5

n

3

n

1

4. PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON:

(x+y)n ,n Z+ a) El nmero de trminos que resultan es:

n+1

b) Los signos de los trminos se definen del esquema:

(x + y)n = + , +, +, +, ........ +

(x y)n = +,-,+,-,+,-,.......... Si n par : +,+,+,+,.... (-x y)n = Si n impar: -,-,-,-,-,-, ..

c) La suma de los coeficientes del desarrollo

de: (x + y)n es:

S = ( + )n

Si : = = 1 S = 2n

d) La suma de los exponentes del desarrollo

de: (x + y)n es:

Sexp = 2

)1n(n)(

e) La posicin del trmino central o medio

del desarrollo se calcular:

i) Si n PAR : 2

2n

ii) Si n IMPAR : 2

1n ;

2

3n

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Halla el T5 de (x+a)10

Solucin: T5

K+1 = 5

K = 4 n=10

Luego:

T5 = 441010

4 aXC

Pero: 210234

78910104

C

T5 = 210x6a4

2.- Halla el T4 de (x2+2y)8

Solucin: T4 k + 1 = 4

K = 3 n = 8 Luego:

T4 = 328

3 238

)()( yxC

* 5623

67883

C

* (2y)3 = 8y3

T4 = 56(x10)(8y3)

T4 = 448x10y3

3.- Halla T10 de (x3-y2)30

Solucin:

T10 = 9930

23309 yxC

T10 =186330

9 YXC

4.- De (x-a)20, halla T15

Solucin:

T15 = 1414202014 aXC

T15 = 14620

6 aXC

T15 = 38760x6a4

5.- Halla el trmino independiente en el

desarrollo de:

12

2 1

x

x

Solucin:

nC3 (x2)12-k (-x -1) k

Luego : 2(12 k) k = 0 (T.I.) k = 8

Por lo tanto: 128C = 495

6.- Halla el valor de n si el trmino de lugar

25 en el desarrollo de:

(x2 + 3

1

x)n contiene a x12.

Solucin:

t25 = n24C (x2)n-24 (x-3)24 = x12

2(n24) 72= 12 2n 48 72= 12 Luego: n = 66 7.- El 4to trmino del desarrollo de: (x+2)n es

80xm.

Calcula : mn

1Cn3

Solucin:

t4 = n3C (x)

n-3 (2)3 = 80xm

8 n3C xn-3 = 80xm

5

Luego : 8 n3C = 80 n3C = 10

xn-3 = xm

n-3 = m n m = 3 Luego :

3

9

3

110

mn

1Cn3 3

8.- Uno de los trminos de las expresin de

(x4 + x-3)15 es de la forma nx32. Calcula el valor de n. Solucin:

tk+1 = 15kC ( x4 )15-k( x-3 )k

15kC x

60-4k-3k = nx32

60 7k = 32 k=4

15415 CCk

234

12131415154

C

2145154 C

Luego: 154C = n

n = 2145

9.- Calcula el lugar que ocupa el trmino que

contiene x5, en el desarrollo de: 13

5

x

1x

Solucin:

tk+1 = 13kC (x

5)13-k (x-1)k

Luego : x65-5k . x -k = x 5

65 - 6k = 5 k = 10

Luego : k + 1 = 11

10.- Halla (n + k) si se sabe que el cuarto

trmino de (x + 2)n es 80xk. Solucin:

t4 = n3C x

n-3 23 = 80xk

8 n3C xn-3 = 80 xk

Luego :

n3C = 10

23

)2)(1(

x

nnn = 10

n(n-1) (n-2) = 60 Luego : n = 5 Ahora :

xn-3 = xk n 3 = k 5 3 = k

2 = k

n + k = 5 + 2 = 7

PRCTICA DIRIGIDA N 09 1).- Halla el T8 de (x+a)10

Rpta: ............................................... 2).- Halla el trmino sexto de (x-a)8

Rpta: ...................

3).- Halla el T6 de (x2+2y)8

Rpta: ...............................................

4).- Halla el T28 de (x3-y2)30

Rpta: ...............................................

5).- Halla n si el octavo trmino del desarrollo de:

n

2x

1x

contiene a x

12

a) 20 b) 25 c) 33 d) 35 e) 40

6).- Calcula el lugar que ocupa el trmino que

contiene a x5 en el desarrollo de: 13

5

x

1x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20

7).- Calcula el coeficiente del quinto trmino

de: 7

4x

1x

a) 30 b) 35 c) 33 d) 40 e) 1

8).- Halla n si en el trmino 28 del desarrollo

de (x+3y)n el exponente de x es 3. a) 30 b) 28 c) 25 d) 15 e) 12

9).- Halla el lugar que ocupa el trmino

independiente de: 56

3

3

x

1x

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

10).- Calcula el lugar que ocupa el trmino

independiente de: 54

7

x

1x

a) 9 b) 13 c) 35 d) 45 e) 55

11).- Halla el valor de n si el trmino de

lugar 25 en el desarrollo de n

32

x

1x

contiene a x 12 a) 30 b) 40 c) 66 d) 70 e) 78

12).- Determina el valor de n para que los trminos de lugares 9 y 10 de (x+3)n tengan igual coeficiente. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

13).- En la expansin de: B(x,y)=(x2+y3)20 determina el grado absoluto del noveno trmino. a) 24 b) 48 c) 60 d) 32 e) 44

14).- Si el grado absoluto del quinto trmino

de: (x3+x2)n es 26. Calcula Cn9

.

a) 10 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9

15).- El noveno trmino del binomio (x+x-3)n

es de grado 8, halla el grado del quinto trmino. a) 6 b) 14 c) 18 d) 24 e) 28

16).- Halla (n+m), si se sabe que el cuarto

trmino de (x+2)n es 80mxm. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

17).- Calcula el tercer trmino en el desarrollo

de:

7

3

3

xx

1xx

a) 21 x1/2 b) 21x3/2 c) 35x d) 35x3/2 e) 21

6

18).- Halla p si t16 de (x5 + yp)30

contiene a : x75 y60 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

19).- En el desarrollo de 17

3

x

1x

, el

trmino de lugar (k+1) posee xk+1. Halla dicho lugar a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

20).- Halla el stimo trmino sabiendo que es independiente de x en el desarrollo de:

n

xx

12

a) 50 b) 80 c) 84 d) 95 e) 1

21).- El trmino independiente del binomio: (x2+x-2)n se encuentra en el lugar 11. Halla el segundo trmino. a) 20x36 b) 19x36 c) 20x40 d) 190x36 e) 190x40

22).- Halla el trmino central de :

142

2x1

a) 14x16429 b) 14x

8429

c) 13x42 d) 14x429

e) 12x821

23).- Halla el valor de m, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los trminos noveno y quinto del desarrollo del

binomio nm3 )yx( es 8.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

24).- En el desarrollo de

n7

5

3 2

x

y

y

x

existen dos trminos

consecutivos uno de ellos es independiente de x, y el inmediato superior independiente de y. Halla el valor de n.

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100

25).- Halla el 4 trmino en el desarrollo de:

n

3

7

x

1x

si se cumple:

1kk24

tCoef

tCoef

1k

2k

a) 214

243 XC b)

710

253 XC

c) 2243 XC d) 7

10243 XC e)

37

253 XC

26).- Uno de los trminos de la expansin de:

15

3

4

x

1x

Es de la forma: Kx32. Calcula k a) 1450 b) 1550 c) 1536 d) 1366 e) 1365

27).- En el desarrollo de (2+3x2)n el coeficiente de x24 es cuatro veces el coeficiente de x22. Calcula el valor de n. a) 41 b) 42 c) 44 d) 45 e) 43

28).- Si el G.A del 7mo trmino del desarrollo

de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30

Halla el grado de su trmino central. a) 27 b) 28 c) 29 d) 31 e) 41

29).- De la expresin:

E(x) =

51

4 3

3 2

x

2x

Halla el lugar que ocupa el T.I a) 27 b) 26 c) 25 d) 24 e) 23

30).- Si un trmino del desarrollo de:

173

a

b

b

a

Tiene la forma: xayby. Calcula el lugar de dicho trmino.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 14

31).- Halla el lugar que ocupa el trmino de la forma: Ax24y12z12 en el desarrollo de:

(x2y + z3)n

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

32).- Halla el coeficiente del 7 trmino del

desarrollo de: (2x + y)9

a) 8 b) 495 c) 672 d) 132 e) 612

CLAVES DE RESPUESTAS

1)... 2)... 3)...

4)... 5) c 6) b

7) b 8) a 9) e

10)b 11)c 12)c

13)b 14)a 15)d

16)c 17)b 18)b

19)d 20)c 21)a

22)a 23)d 24)c

25)c 26)e 27)e

28)b 29)c 30)b

31)b 32)c