Bioestadísticas

Tema 1: Introdución 1

Bioestadística

Tema 1: Introducción a la estadística

TM. Pedro Cortes Alfaro

Magister en Administración en Salud


¿Para qué sirve la estadística?

La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables

La Ciencia se desarrolla observando hechos, formulando leyes que los explican y realizando experimentos para validar o rechazar dichas leyes

Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio (estocástico)

La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las ciencias donde la variabilidad y la incertidumbre forman parte de su naturaleza

“La Bioestadística [...] enseña y ayuda a investigar en todas las áreas de las Ciencias de la Vida donde la variablidad no es la excepción sino la regla”Carrasco de la Peña (1982)


DefiniciónLa Estadística es la Ciencia de la

• Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con objeto de

• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,

• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones.


Pasos en un estudio estadístico Plantear hipótesis sobre una población

Los fumadores tienen “más bajas” laborales que los no fumadores

¿En qué sentido? ¿Mayor número? ¿Tiempo medio?

Decidir qué datos recoger (diseño de experimentos) Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras)

Fumadores y no fumadores en edad laboral.

Criterios de exclusión ¿Cómo se eligen? ¿Descartamos los que padecen enfermedades crónicas?

Qué datos recoger de los mismos (variables) Número de bajas

Tiempo de duración de cada baja

¿Sexo? ¿Sector laboral? ¿Otros factores?

Recoger los datos (muestreo) ¿Estratificado? ¿Sistemáticamente?

Describir (resumir) los datos obtenidos tiempo medio de baja en fumadores y no (estadísticos)

% de bajas por fumadores y sexo (frecuencias), gráficos,...

Realizar una inferencia sobre la población Los fumadores están de baja al menos 10 días/año más de media que los no fumadores.

Cuantificar la confianza en la inferencia Nivel de confianza del 95%

Significación del contraste: p=2%


Plantear

hipótesis

Obtener

conclusiones

Recoger datos

y analizarlos

Diseñar

experimento

Método científico y estadística


Población y muestra

Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia).

Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.

Muestra („sample’) es un subconjunto suyo al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones)

Debería ser “representativo”

Esta formado por miembros “seleccionados” de la población (individuos, unidades experimentales).


Variables Una variable es una característica observable que varía entre los

diferentes individuos de una población. La información que disponemos

de cada individuo es resumida en variables.

En los individuos de la población Chilena, de uno a otro es variable:

El grupo sanguíneo {A, B, AB, O} Var. Cualitativa

Su nivel de felicidad “declarado” {Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz} Var. Ordinal

El número de hijos {0,1,2,3,...} Var. Numérica discreta

La altura {1‟62 ; 1‟74; ...} Var. Numérica continua


CualitativasSi sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)

Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)

Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor

Cuantitativas o NuméricasSi sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)

Discretas: Si toma valores enteros Número de hijos, Número de cigarrillos, Num. de “cumpleaños”

Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad

Tipos de variables


Es buena idea codificar las variables como números para poder procesarlas con facilidad en un ordenador.

Es conveniente asignar “etiquetas” a los valores de las variables para recordar qué significan los códigos numéricos. Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)

1 = Hombre

2 = Mujer

Raza (Cualit: Códigos arbitrarios) 1 = Blanca

2 = Negra,...

Felicidad Ordinal: Respetar un orden al codificar. 1 = Muy feliz

2 = Bastante feliz

3 = No demasiado feliz

Se pueden asignar códigos a respuestas especiales como

0 = No sabe

99 = No contesta...

Estas situaciones deberán ser tenidas en cuentas en el análisis. Datos perdidos („missing data‟)


Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico.

No todo está permitido con cualquier tipo de variable.


Los posibles valores de una variable suelen denominarse modalidades.

Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos) Edades:

Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años

Hijos: Menos de 3 hijos, De 3 a 5, 6 o más hijos

Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y excluyente Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la variable

Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)?

Bien: ¿Cuál es su grupo sanguíneo?

Excluyente: Nadie puede presentar dos valoressimultáneos de la variable Estudio sobre el ocio

Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)

Bien: Le gusta el deporte: (Sí, No)

Bien: Le gusta el cine: (Sí, No)

Mal: Cuántos hijos tiene: (Ninguno, Menos de 5, Más de 2)


Presentación ordenada de datos

0

1

2

3

4

5

6

7

Hombre Mujer

Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra.

Género Frec.

Hombre 4

Mujer 6


Tablas de frecuencia

Nivel de felicidad

467 30,8 31,1 31,1

872 57,5 58,0 89,0

165 10,9 11,0 100,0

1504 99,1 100,0

13 ,9

1517 100,0

Muy feliz

Bastante feliz

No demasiado feliz

Total

Válidos

No contestaPerdidos

Total

Frecuencia Porcentaje

Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Sexo del encuestado

636 41,9 41,9

881 58,1 58,1

1517 100,0 100,0

Hombre

Mujer

Total

Válidos


Porcentaje

válido

Número de hijos

419 27,6 27,8 27,8

255 16,8 16,9 44,7

375 24,7 24,9 69,5

215 14,2 14,2 83,8

127 8,4 8,4 92,2

54 3,6 3,6 95,8

24 1,6 1,6 97,3

23 1,5 1,5 98,9

17 1,1 1,1 100,0

1509 99,5 100,0

8 ,5

1517 100,0

0

1

2

3

4

5

6

7

Ocho o más

Total

Válidos

No contestaPerdidos

Total


Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de información (o poca).

Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad

Frecuencias relativas (porcentajes): Idem, pero dividido por el total

Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas Muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante)

¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83,8

¿Entre 4 y 6 hijos? Soluc 1ª: 8,4%+3,6%+1,6%= 13,6%. Soluc 2ª: 97,3% - 83,8% = 13,5%


Datos desordenados y ordenados en tablas

Variable: Género Modalidades:

H = Hombre

M = Mujer

Muestra:

M H H M M H M M M H

equivale aHHHH MMMMMM

Género Frec. Frec. relat.

porcentaje

Hombre 4 4/10=0,4=40%

Mujer 6 6/10=0,6=60%

10=tamaño

muestral


Número de hijos

419 27,8 27,8

255 16,9 44,7

375 24,9 69,5

215 14,2 83,8

127 8,4 92,2

54 3,6 95,8

24 1,6 97,3

23 1,5 98,9

17 1,1 100,0

1509 100,0

0

1

2

3

4

5

6

7

Ocho+

Total

Frec.

Porcent.

(válido)

Porcent.

acum.

Ejemplo ¿Cuántos individuos tienen

menos de 2 hijos? frec. indiv. sin hijos

+ frec. indiv. con 1 hijo = 419 + 255= 674 individuos

¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos? 97,3%

¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad inferior o igual? 2 hijos

≥50%


Gráficos para v. cualitativas Diagramas de barras

Alturas proporcionales a las frecuencias (abs. o rel.)

Se pueden aplicar también a variables discretas

Diagramas de sectores (tartas, polares) No usarlo con variables ordinales.

El área de cada sector es proporcional a su frecuencia (abs. o rel.)

Pictogramas Fáciles de entender.

El área de cada modalidad debe ser proporcional a la frecuencia. ¿De los dos, cuál es incorrecto?.


Gráficos diferenciales para variables numéricas

Son diferentes en función de que las

variables sean discretas o continuas.

Valen con frec. absolutas o relativas.

Diagramas barras para v. discretas

Se deja un hueco entre barras para indicar

los valores que no son posibles

Histogramas para v. continuas

El área que hay bajo el histograma entre

dos puntos cualesquiera indica la cantidad

(porcentaje o frecuencia) de individuos en

el intervalo.

0 1 2 3 4 5 6 7 Ocho o más

Número de hijos

100

200

300

400

Rec

uen

to

419

255

375

215

127

54

24 23 17

20 40 60 80

Edad del encuestado

50

100

150

200

250

Rec

uen

to


Diagramas integrales

Cada uno de los anteriores diagramas tiene su correspondiente diagrama integral. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas. Indican, para cada valor de la variable, la cantidad (frecuencia) de individuos que poseen un valor inferior o igual al mismo. No los construiremos en clase. Se pasan de los diferenciales a los integrales por integración y a la inversa por derivación (en un sentido más general del que visteis en bachillerato.)


¿Qué hemos visto?

Definición de estadística

Población

Muestra

Variables Cualitativas

Numéricas

Presentación ordenada de datos Tablas de frecuencias

absolutas

relativas

acumuladas

Representaciones gráficas Cualitativas

Numéricas Diferenciales

Integrales

Tema 2: Modelos probabilísticos20

Bioestadística

Tema 2: Modelos probabilísticos

Tema 2: Modelos probabilísticos 21

Variable aleatoria

El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

En estos casos aparece la noción de variable aleatoria Función que asigna a cada suceso un número.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas (como en el primer tema del curso).

En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designación. Los nombres son nuevos. Los conceptos no.


Función de probabilidad (V. Discretas)

Asigna a cada posible valor

de una variable discreta su

probabilidad. Recuerda los conceptos de

frecuencia relativa y diagrama de

barras.

Ejemplo

Número de caras al lanzar 3

monedas.0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3


Función de densidad (V. Continuas)

Definición

Es una función no negativa de integral 1.

Piénsalo como la generalización del

histograma con frecuencias relativas para

variables continuas.

¿Para qué lo voy a usar?

Nunca lo vas a usar directamente.

Sus valores no representan probabilidades.


¿Para qué sirve la f. densidad?

Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.

La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.

Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.


Función de distribución

Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumuladade los valores inferiores o iguales.

Piénsalo como la generalización de lasfrecuencias acumuladas. Diagrama integral.

A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero.

A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno.

Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “p-valor”, significación,… No le des más importancia a este comentario ahora. Ya

os irá sonando conforme avancemos.


¿Para qué sirve la f. distribución? Contrastar lo anómalo de una observación concreta.

Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de distribución en 210 es muy alta.

Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala” porque la función de distribución es muy baja para 140cm.

Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5.

Relaciónalo con la idea de cuantil.

En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en conjunto con respecto a una hipótesis de terminada.

Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hipótesis.


Valor esperado y varianza de una v.a. X

Valor esperadoSe representa mediante E[X] ó μ

Es el equivalente a la media

VarianzaSe representa mediante VAR[X] o σ2

Es el equivalente a la varianza

Se llama desviación típica a σ

29

Es la razón entre la desviación típica y la media. Mide la desviación típica en forma de

“qué tamaño tiene con respecto a la media”

También se la denomina variabilidad relativa.

Es frecuente mostrarla en porcentajes Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)

Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes variables. Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan más

dispersión en peso que en altura.

No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente

Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF

Los ingenieros electrónicos hablan de la razón „señal/ruido‟ (su inverso).

x

SCV

Coeficiente de variación


Algunos modelos de v.a.

Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las Ciencias de la Salud. Experimentos dicotómicos.

Bernoulli

Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos: Binomial

Poisson (sucesos raros)

Y en otras muchas ocasiones… Distribución normal (gaussiana, campana,…)

El resto del tema está dedicado a estudiar estas distribuciones especiales.


Distribución binomial

Función de probabilidad

Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

Media: μ =n p

Varianza: σ2 = n p q

nkqpk

nkXP knk 0 ,][


Distribución Binomial

Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución binomial de parámetros (n,p).

Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras. Bin(n=10,p=1/2)

Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras. Bin(n=100,p=1/2)

Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más adecuado.

El número de personas que enfermará (en una población de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas.

Bin(n=500.000, p=1/2000)

Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo de Poisson será más adecuado.


“Parecidos razonables”

Aún no conoces la distribución normal, ni de Poisson.

De cualquier forma ahí tienes la comparación entre valores de p no muy extremos y una normal de misma media y desviación típica, para tamaños de n grandes (n>30).

Cuando p es muy pequeño es mejor usar la aproximación del modelo de Poisson.


Distribución de Poisson

También se denomina de sucesos raros.

Se obtiene como aproximación de una

distribución binomial con la misma media, para

„n grande‟ (n>30) y „p pequeño‟ (p<0,1).

Queda caracterizada por un único parámetro μ

(que es a su vez su media y varianza.)

Función de probabilidad:

,...2,1,0 ,!

][ kk

ekXPk


Ejemplos de variables de Poisson

El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el servicio de urgencias del hospital clínico universitario. En Málaga hay 500.000 habitantes (n grande)

La probabilidad de que cualquier persona tenga un accidente es pequeña, pero no nula. Supongamos que es 1/10.000

Bin(n=500.000,p=1/10.000) ≈ Poisson(μ=np=50)

Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de traumatología de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero creemos que aún demasiados, enfermos con secuelas tras la intervención). Es dificil compararlos pues cada hospital atiende poblaciones de tamaños diferentes (ciudades, pueblos,…) Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes atendidos o nº individuos de la

población que cubre el hospital.

Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con respecto al total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la población,…

Se puede modelar mediante Poisson(μ=np)


Distribución normal o de Gauss

Aparece de manera natural:

Errores de medida.

Distancia de frenado.

Altura, peso, propensión al crimen…

Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y „p ni

pequeño‟ (np>5) „ni grande‟ (nq>5).

Está caracterizada por dos parámetros: La

media, μ, y la desviación típica, σ.

Su función de densidad es:

2

2

1

2

1)(

x

exf


N(μ, σ): Interpretación

geométrica

Pudes interpretar la

media como un factor

de traslación.

Y la desviación típica

como un factor de

escala, grado de

dispersión,…


N(μ, σ): Interpretación probabilista

Entre la media y una

desviación típica

tenemos siempre la

misma probabilidad:

aprox. 68%

Entre la media y dos

desviaciones típicas

aprox. 95%


Algunas características La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.

Media, mediana y moda coinciden.

Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a distancia σ de μ.

Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están… a distancia σ, tenemos probabilidad 68%

a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%

a distancia 2’5 σ tenemos probabilidad 99%

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de funciones „comunes‟.

Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal tipificada. Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos

diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.


Tipificación Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina

valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

xz

Tema 2: Modelos probabilísticos 41Bioestadística. U. Málaga.

Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.

Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%



Calcular P[Z<-0,54]

Solución: 1-0,705 = 0,295



Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673


Ejemplo: Cálculo con probabilidades normales

El colesterol en la población tiene distribución

normal, con media 200 y desviación 10.

¿Qué porcentaje de indivíduos tiene

colesterol inferior a 210?

Qué valor del colesterol sólo es superado por

el 10% de los individuos.


Todas las distribuciones normales son similares salvo traslación y cambio de escala: Tipifiquemos.

110

200210xz

841,0)ver tabla(]00,1[ZP


8,21228,110200

10

20028,1

x

x

El valor del colesterol que sólo supera el 10% de los individuos es el percentil 90. Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificación.

xz


Ejemplo: Tipificación

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de

sistemas educativos diferentes. Se asignará al que

tenga mejor expediente académico.

El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema

donde la calificación de los alumnos se comporta como

N(6,1).

El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema

donde la calificación de los alumnos se comporta como

N(70,10).

Solución

No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a

los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan

de modo normal, podemos tipificar y observar las

puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)


110

7080

21

68

B

BBB

A

AAA

xz

xz

Como ZA>ZB, podemos decir que el

porcentaje de compañeros del mismo

sistema de estudios que ha superado en

calificación el estudiante A es mayor que

el que ha superado B.

Podríamos pensar en principio que A es

mejor candidato para la beca.


¿Por qué es importante la distribución normal?

Las propiedades que tiene la distribución normal son interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué es una distribución especialmente importante.

La razón es que aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una distribución normal.

Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros datos, los „objetos‟ que resumen la información de una muestra, posiblemente tengan distribución normal (o asociada).


Aplic. de la normal: Estimación en muestras

Como ilustración mostramos una variable que presenta valores distribuidos de forma muy asimétrica. Claramente no normal.

Saquemos muestras de diferentes tamaños, y usemos la media de cada muestra para estimar la media de la población.



Cada muestra ofrece un resultado diferente: La media muestral es variable aleatoria.

Su distribución es más parecida a la normal que la original.

También está menos dispersa. A su dispersión („desv. típica del estimador media muestral‟… ¿os gusta el nombre largo?) se le suele denominar error típico.



Al aumentar el

tamaño, n, de la

muestra:

La normalidad de las

estimaciones mejora

El error típico

disminuye.

Tema 2 Modelos probabilísticos 53


Puedo „garantizar‟medias muestrales tan cercanas como quiera a la verdadera media, sin más que tomar „n bastante grande‟

Se utiliza esta propiedad para dimensionar el tamaño de una muestra antes de empezar una investigación.


Resumen: Teorema del límite central Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de

tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces:

dichos promedios tienen distribuciónaproximadamente normal;

La media de los promedios muestraleses la misma que la de la variable original.

La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error estándar).

Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.

Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.


Distribuciones asociadas a la normal

Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal aparece de forma casi inevitable.

Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas): X2 (chi cuadrado)

t- student

F-Snedecor

Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos.

Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles consultad el manual.

Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”. Significación, p-valores,…


Chi cuadrado

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo tienen densidad los valores positivos.

La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gausiana cuando aumenta el número de grados de libertad.

Normalmente consideraremos anómalos aquellos valores de la variable de la “cola de la derecha”.

Tema 2 : Modelos probabilísticos 57

T de student

Tiene un parámetro denominado grados de libertad.

Cuando aumentan los grados de libertad, más se acerca a N(0,1).

Es simétrica con respecto al cero.

Se consideran valores anómalos los que se alejan de cero (positivos o negativos).


F de Snedecor

Tiene dos parámetros denominados grados de libertad.

Sólo toma valores positivos. Es asimétrica.

Normalmente se consideran valores anómalos los de la cola de la derecha.


¿Qué hemos visto? En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas

anteriores Función de probabilidad Frec. Relativa.

Función de densidad histograma

Función de distribución diagr. Integral.

Valor esperado media, …

Hay modelos de v.a. de especial importancia: Bernoulli

Binomial

Poisson

Normal Propiedades geométricas

Tipificación

Aparece tanto en problemas con variables cualitativas (dicotómicas, Bernoulli) como numéricas

Distribuciones asociadas T-student

X2

F de Snedecor

Tema 3: Muestreo 60

Bioestadística

Tema 3: Muestreo

Tema 3: Muestreo 61

Parte de los conceptos de la teoría del muestreo han sido discutidos con anterioridad. Aquí los repasaremos y ampliaremos. Por ejemplo, hemos mencionado que las poblaciones están formadas por individuos, pero sería mejor denominarlas unidades de muestreo o unidades de estudio:

Personas, células, familias, hospitales, países…

La población ideal que se pretende estudiar se denomina población objetivo.

No es fácil estudiarla por completo. Aproximamos mediante muestras que den idealmente la misma probabilidad a cada individuo de ser elegido.

Tampoco es fácil elegir muestras de la población objetivo:

Si llamamos por teléfono excluimos a los que no tienen.

Si elegimos indiv. en la calle, olvidamos los que están trabajando...

El grupo que en realidad podemos estudiar (v.g. los que tienen teléfono) se denomina población de estudio.

Tema 3: Muestreo 62

Fuentes de sesgo Las poblaciones objetivo y de estudio pueden diferir en

cuanto a las variables que estudiamos. El nivel económico en la población de estudio es mayor que en

la objetivo,...

Los individuos que se eligen en la calle pueden ser de mayor edad (mayor frecuencia de jubilados p.ej.)…

En este caso, diremos que las muestras que se elijan estarán sesgadas. Al tipo de sesgo debido a diferencias sistemáticas entre población objetivo y población de estudio se denomina sesgo de selección.

Hay otras fuentes de error/sesgo No respuesta a encuestas embarazosas

Consumo de drogas, violencia doméstica, prácticas poco éticas,…

Mentir en las preguntas “delicadas”.

Para evitar este tipo de sesgo se utilizan la técnica de respuesta aleatorizada.

Tema 3: Muestreo 63

Técnicas de respuesta aleatorizada Reducen la motivación para mentir (o no responder) a las

encuestas. ¿Si digo la verdad, se me verá el plumero…?

¿Cómo se hace?Pídele que lance una moneda antes de responder y… Si sale cara que diga la “opción compremetida”

(no tiene por qué avergonzarse, la culpa es de la moneda) Si sale cruz que diga la verdad

(no tiene por qué avergonzarse, el encuestador no sabe si ha salido cara o cruz)

Aunque no podamos saber cuál es la verdad en cada individuo, podemos hacernos una idea porcentual sobre la población, viendo en cuánto se alejan las respuestas del 50%.

Tema 3: Muestreo 64

Ejemplo: ¿Ha tomado drogas alguna vez?

100% No Insinseros!!

40% No

60% Sí

Con respuesa

aleatorizada

Sin respuesta

aleatorizada

¡No son mitad y mitad!

El porcentaje estimado de ind. que tomó drogas es:%202,0

5,01

5,06,0*p

Los que deben decir la verdad

Diferencia entre los que han dicho sí y los que debían hacerlo

por que así lo indicaba la moneda

Tema 3: Muestreo 65

Técnicas de muestreo Cuando elegimos individuo de una población de estudio

para formar muestras podemos encontrarnos en las siguientes situaciones: Muestreos probabilistas

Conocemos la probabilidad de que un individuo sea elegido para la muestra.

Interesantes para usar estadística matemática con ellos.

Muestreos no probabilistas No se conoce la probabilidad.

Son muestreos que seguramente esconden sesgos.

En principio no se pueden extrapolar los resultados a la población. A pesar de ello una buena parte de los estudios que se publican usan

esta técnica. ¡Buff!

En adelante vamos a tratar exclusivamente con muestreos con la menor posibilidad de sesgo (probabilistas): aleatorio simple, sistemático, estratificado y por grupos.

Tema 3: Muestreo 66

Muestreo aleatorio simple (m.a.s.)

Se eligen individuos de la población de estudio, de manera que todos tienen la misma probabilidad de aparecer, hasta alcanzar el tamaño muestral deseado.

Se puede realizar partiendo de listas de individuos de la población, y eligiendo individuos aleatoriamente con un ordenador.

Normalmente tiene un coste bastante alto su aplicación.

En general, las técnicas de inferencia estadística suponen que la muestra ha sido elegida usando m.a.s., aunque en realidad se use alguna de las que veremos a continuación.

Tema 3: Muestreo 67

Muestreo sistemático

Se tiene una lista de los individuos de la población de estudio. Si queremos una muestra de un tamaño dado, elegimos individuos igualmente espaciados de la lista, donde el primero ha sido elegido al azar.

CUIDADO: Si en la lista existen periodicidades, obtendremos una muestra sesgada.

Un caso real: Se eligió una de cada cinco casas para un estudio de salud pública en una ciudad donde las casas se distribuyen en manzanas de cinco casas. Salieron con mucha frecuencia las de las esquinas, que reciben más sol, están mejor ventiladas,…

Tema 3: Muestreo 68

Muestreo estratificado

Se aplica cuando sabemos que hay ciertos factores (variables, subpoblaciones o estratos) que pueden influir en el estudio y queremos asegurarnos de tener cierta cantidad mínima de individuos de cada tipo: Hombres y mujeres,

Jovenes, adultos y ancianos…

Se realiza entonces una m.a.s. de los individuos de cada uno de los estratos.

Al extrapolar los resultados a la población hay que tener en cuenta el tamaño relativo del estrato con respecto al total de la población.

Tema 3: Muestreo 69

Muestreo por grupos o conglomerados Se aplica cuando es difícil tener una lista de todos los individuos

que forman parte de la población de estudio, pero sin embargo sabemos que se encuentran agrupados naturalmente en grupos.

Se realiza eligiendo varios de esos grupos al azar, y ya elegidos algunos podemos estudiar a todos los individuos de los grupos elegidos o bien seguir aplicando dentro de ellos más muestreos por grupos, por estratos, aleatorios simples,…

Para conocer la opinión de los médicos del sistema nacional de salud, podemos elegir a varias regiones de España, dentro de ellas varias comarcas, y dentro de ellas varios centros de salud, y…

Al igual que en el muestreo estratificado, al extrapolar los resultados a la población hay que tener en cuenta el tamaño relativo de unos grupos con respecto a otros. Regiones con diferente población pueden tener probabilidades diferentes

de ser elegidas, comarcas, hospitales grandes frente a pequeños,…

Tema 3: Muestreo 70

Estimación Un estimador es una cantidad numérica calculada sobre una

muestra y que esperamos que sea una buena aproximación de cierta cantidad con el mismo significado en la población (parámetro).

En realidad ya hemos trabajado con estimadores cada vez que hacíamos una práctica con muestras extraídas de una población y suponíamos que las medias, etc… eran próximas de las de la población.

Para la media de una población: “El mejor” es la media de la muestra.

Para la frecuencia relativa de una modalidad de una variable: “El mejor” es la frecuencia relativa en la muestra.

Tema 3: Muestreo 71

¿Es útil conocer la distribución de un estimador?

Es la clave para hacer inferencia. Ilustrémoslo con un ejemplo que ya

tratamos en el tema anterior (teorema del límite central).

Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras

“grandes”, la media muestral es:

aproximadamente normal,

con la misma media y,

desviación típica mucho menor (error típico/estándar)

Es decir si por ejemplo μ=60 y σ=5, y obtenemos muestras de tamaño

n=100,

La desv. típica de la media muestral (error estándar) es EE=5/raiz(100)=0,5

como la media muestral es aproximadamente normal, el 95% de los

estudios con muestras ofrecerían estimaciones entre 60±1

Dicho de otra manera, al hacer un estudio tenemos una confianza del 95%

de que la verdadera media esté a una distancia de ±1.

nEE

Tema 3: Muestreo 72

En el ejemplo anterior la situación no era muy realista, pues como de todas maneras no conozco σ desconoceré el intervalo exacto para μ.

Sin embargo también hay estimadores para σ y puedo usarlo como aproximación.

Para tener una idea intuitiva, analicemos el siguiente ejemplo. Nos servirá como introducción a la estimación puntual y por intervalos de confianza.

Tema 3: Muestreo 73

Ejemplo: Una muestra de n=100 individuos de una población tiene media de peso 60 kg y desviación 5kg.

Dichas cantidades pueden considerarse como aproximaciones (estimaciones puntuales) 60 kg estima a μ

5 kg estima a σ

5/raiz(n)= 0,5 estima el error estándar (típico) EE Estas son las llamadas estimaciones puntuales: un número concreto

calculado sobre una muestra es aproximación de un parámetro.

Una estimación por intervalo de confianza es una que ofrece un intervalo como respuesta. Además podemos asignarle una probabilidad aproximada que mida nuestra confianza en la respuesta:

Hay una confianza del 68% de que μ esté en 60±0,5

Hay una confianza del 95% de que μ esté en 60±1.

Ojo: He hecho un poco de trampa. ¿La ves?

Tema 3: Muestreo 74

Estimación puntual y por intervalos Se denomina estimación puntual de un parámetro al ofrecido por el

estimador sobre una muestra.

Se denomina estimación confidencial o intervalo de confianza para un nivel de confianza 1-α dado, a un intervalo que ha sido construido de tal manera que con frecuencia 1-α realmente contiene al parámetro.

Obsérvese que la probabilidad de error (no contener al parámetro) es α.

En el siguiente tema se llamará prob. de error de tipo I o nivel de significación.

Valores típicos: α=0,10 ; 0,05 ; 0,01

En general el tamaño del intervalo disminuye con el tamaño muestral y aumenta con 1-α.

En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala: La buena: hemos usado una técnica que en % alto de casos acierta.

La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso.

Tema 3: Muestreo 75

Aplicación Al final del tema 2 dejamos sin interpretar parte de los resultados.

¿Sabrías interpretar lo que falta por sombrear?

¿Puedes dar un intervalo de confianza para la media al 68% de confianza?

Observa la asimetría. ¿Crees probable que la asimetría en la población pueda ser cero ya que la obtenida en la muestra es aprox. 1?

Descriptivos para Número de hijos

1,90 ,045

1,81

1,99

1,75

2,00

3,114

1,765

0

8

8

3,00

1,034 ,063

1,060 ,126

Media

Límite

inferior

Límite

superior

Intervalo de

confianza para la

media al 95%

Media recortada al 5%

Mediana

Varianza

Desv. típ.

Mínimo

Máximo

Rango

Amplitud intercuartil

Asimetría

Curtosis

Estadístico Error típ.

Tema 3: Muestreo 76

¿Qué hemos visto? Sesgo de selección

Población objetivo

Población de estudio

Otros sesgos Técnica de respuesta aleatorizada

Técnicas de muestreo No probabilistas

Probabilistas m.a.s.

Sistemático

Estratificado

Conglomerados

Estimación Estimador

Estimación puntual

Error estándar

Estimación confidencial

Nivel de confianza 1-α

77

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

78

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

79

3 Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución

N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

p(µ−2σ ≤ X ≤ µ+2σ)

p(µ−σ ≤ X ≤ µ+σ)

80

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

8181

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

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