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MODELOS ESTOCSTICOS PARA VECTORES ALEATORIOS.

DISTRIBUCIN NORMAL MULTIVARIANTE

! INTRODUCCIN!

PROPIEDADES! LINEALIDAD! DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL

!

"2DE PEARSON

! t DE STUDENT! F DE SNEDECOR

DISTRIBUCIN NORMAL MULTIVARIANTE

Un vector aleatorio X= ,sigue una distribucin normal k-variante o k-dimensional

de vector de medias ,M=

y de matriz de varianzas,V=

lo que se expresa como: X~ Nk(M;V) si su funcin de densidad conjuntaobedece a la expresin:

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIN NORMAL MULTIVARIANTE:

1.-Si un vector aleatorio sigue una distribucin normal multivariante, puede demostrarseque todas las distribuciones marginales son normales, de forma que cada x i ~ N(m i; si).

Igualmente el resultado recproco se cumple tambin: dadas k variables aleatoriasnormales, su distribucin conjunta es una normal k-dimensional.

2.- Puede demostrarse que las distribuciones condicionadas de cualquier dimensin sontambin normales y que, en particular, las de dimensin uno son normalesunidimensionales que tienen por media el valor esperado por la regresin lineal, y por

varianza la varianza residual, de esa regresin.

1J.Lejarza & I.Lejarza

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/intro.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/propieda.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/transfor.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/t/t.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/t/t.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/chi2/chi2.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/t/t.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/chi2/chi2.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/f/f.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/f/f.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/f/f.htmhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/f/f.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/t/t.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/chi2/chi2.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/transfor.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/propieda.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/intro.htm

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3.- Un caso importante de distribucin normal k-dimensional es aqul, en el que todaslas variables son independientes.En este caso todas las covarianzas sern nulas y lamatriz de varianzas ser diagonal:

V=

4.- Un resultado an ms importante es que en el caso de que tengamos un conjunto devariables normales la incorrelacin implica independencia estocstica, cosa, querecordemos que, en general, no es cierta, pero s en el caso de normalidad de lasvariables.

TRANSFORMACIONES LINEALES DE NORMALES MULTIVARIANTES:

Dado un vector aleatorio Xtal que, X #Nn[M,V]

y dada la matriz de transformacin:A=

el nuevo vector aleatorio k-dimensional Y = A Xser tal que :

Y #Nk[AM , AVA']

DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA DISTRIBUCIN. NORMAL:

DISTRIBUCIN de PEARSON

Esta distribucin , junto con la t de Student y la F de Snedercor (adems de la

normal) son de fundamental importancia para el desarrollo de la inferencia estadstica .Como las otras dos , es la distribucin de una cierta caracterstica de los datos obtenidosaleatoriamente a partir de una distribucin normal . En consecuencia puede hacersederivar de un proceso experimental de selecin aleatoria, aunque tambien puede ponerseen relacin con las distribuciones Eulerianas.

Se define la con n grados de libertad , como la distribucin que sigue la variablesuma de los cuadrados de n variables normales (tipificadas) [0;1] independientes.

As , dadas n variables aleatorias independientestales que :

2J.Lejarza & I.Lejarza

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/propie1/propi1.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/propie1/propi1.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/pearson1.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/1%20normal/tipificada.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/indepenestocas/independ.htmhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/indepenestocas/independ.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/1%20normal/tipificada.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/pearson1.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/normaMu/propie1/propi1.htm

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las variables

seguir una con n grados de libertad.

Dado que la es la suma de n normales tipificadas al cuadrado podemos afirmar , por

el motivo de ser precisamente cuadrados ,que el campo de actuacin-variacin de lavariable as distribuda ser siempre positivo .La forma de la funcin de densidad ydistribucin variarn segn los grados de libertad , siendo su forma habitual lacampaniforme, astendramos :

El clculo de las diversas probabilidades para los diferentes valores de la variable X , seexplicita normalmente en tablas desarrolladas para los diversos valores de grados de

libertad

Como hemos dicho ,la representacn grafca de la distribucin ( su forma) vara segnlos valores que tome su parmetro n (grados de libertad); as y como puede observarseen el grfico .

3J.Lejarza & I.Lejarza

http://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?cl

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para grados de libertad bajos ( sobre todo para un g.l.) el conjunto de la probabilidad

queda muy prxima al valor cero de la variable ; de esta caracterstica surge , paraalgunos tipos de contrastes que utilizan la Chi2 , la correccin de Yates

La funcin de densidad de la vendr dada por :

:

siendo una distribucin gamma de Eulerde parmetro y

siendo n ( nmero de grados de libertad) el nico prametro de la distribucin

La funcin generatriz de momentos vendr dada por

partiendo de ella po debemos establecer por aplicacin del teorema de los momentos

la media que vendr dada por siendo la varianza

La distribucin JHI-2 (chi 2) cumple el teorema de adicin para su parmetro n(grados de libertad) , as la suma de dos chi2 con n y m grados de libertadrespectivamente , no ser otra cosa que una chi2 con (n+m) grados de libertad . Eslgico pensar que si una chi2 con n grados de libertad es la suma de n normales

tipificadas(independientes) al cuadrado ; y que una chi2 con m grados de libertad es lasuma de m normales tipificadas(independientes) al cuadrado , la suma de ambas ser ,obviamente, la suma de (m+n) normales tipificadas (independientes) al cuadrado : es

decir, una chi2 con (n+m) grados de libertad.

DISTRIBUCIN t DE STUDENT

La distribucin t de student (desarrollada por Gosset) es , con la chi2 , la F deSnedecor, y , por supuesto, la normal , transcendental para aplicaciones inferenciales ,

en especial para aquellas en las que se desconoce la varianza; dado que no depende de

las varianzas de las variables que la integran.

Su expresin formal parte de dos variables X e Y tales que :

e de manera que

siendo t una nueva distribucin conocida como t de student con n grados delibertad.

La distribucin t de student . admite , tambin , una definicin alternativa , tomadacomo la distribucin marginal de la primera variable de una distribucin "normal-gamma" ; en este sentido la expresin de sufuncin de densidadvendra dada por :

4J.Lejarza & I.Lejarza

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/7%20no%20para/yates.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/7%20no%20para/yates.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/euler.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/gosset.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/1%20normal/simple.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/3%20infemues/dmedsid.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/base/variable%20aleatoria/densidad.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/base/variable%20aleatoria/densidad.htmhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/base/variable%20aleatoria/densidad.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/3%20infemues/dmedsid.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/1%20normal/simple.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/gosset.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/euler.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/7%20no%20para/yates.htm

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siendo n los grados de libertad que actuan de parmetro y la funcin gamma deEuler

La distribucin t de student con ngrados de libertad tiene siempre

como media el valor "0" , sea

cuales fueren los grados de libertad

; es simtrica ,asitticamentetiende a , de forma

campaniforme , al igual que la

distribucin normal, teniendocomo varianza el valor

Los valores de la funcin deprobabilidad para los diversos

ix

estn tabulados atendiando al nico parmetro de la distribucin , es decir , el nmerode grados de libertad ; evidentemente , es ms recomendable para su clculo lautilizacin del programa que presentamos.

En otro orden de cosas la distribuccin t de student con n grados de libertad converge enley a una normal tipificada (estandarizada ) cuando el nmero de grados de libertadtiende a infinito

DISTRIBUCIN F DE SNEDECOR.

Diremos que una variable aleatoria F tiene una distribucin F de Snedecor con m gradosde libertad en el numerador y n grados de libertad en el denominador

( F #Fm,n

) cuando la variable aleatoria F sea:

donde U y V son dos variables aleatorias independientes que tienen por distribucin:

U #"2my W #"

2n respectivamente

La determinacin de probabilidades y valores crticos resulta sencilla mediante la Tablade la F de Snedecor. Lgicamente sus caractersticas ser muy parecidas a ladistribucin Jhi-2

5J.Lejarza & I.Lejarza

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/euler.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/1%20normal/tipificada.htmhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/tex1t/1%20normal/tipificada.htmhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/hipestat%20original/hip3/autores/autores/euler.htm

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6J.Lejarza & I.Lejarza

http://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?clhttp://www.pdfmachine.com/?cl